編輯室墨記 本期特邀師大數學系洪萬生教授為我們介紹積分學中的先驅人物 阿基米德 讓我們走進 時光隧道 踏上阿基米德的數學舞台 探討這位偉大的數學家在一本再生羊皮書上 如何運用 不折不扣真正無窮的概念 及其稱之為 胃痛 的組合學問題 究竟這是什麼樣現在性的表現 呢 您不能錯過這篇文章 錦和高中陳禾凱老師特別介紹一套免費的數學繪圖軟體 GeoGebra 這是結合 幾何 與 代數 的教育軟體 在繪圖區畫出圓或直線 代數視窗就會出現其對應的方程式 反之 若 輸入代數方程式 繪圖區就會出現對應的圖形 GeoGebra將幾何圖形與代數關係緊密的結合 陳老師更提供GSP與GeoGebra的對照表 讓使用者更能明白GeoGebra的前瞻性及發展 吳孝仁老師分享其教學經驗 帶領我們探討 空間中兩條歪斜線必存在一條公垂線 並 利用幾何的觀察 代數的方法完成此論證 提供您教學或概念連結的一些素材 許教授講故事 中有一隻具有靈巧雙手 但頭腦簡單只會依同一模式洗四張牌的猴子 如果只知道一開始及猴子洗第三次牌的順序 您可以推出猴子洗第一次牌後的順序嗎 指定科目試 想要參加 千 附 試 詳解 吹灰 力即 確答案 升學報報收錄最新96學年度台灣師大數學系推甄 練習 好機 不能錯過這篇 的 會 其後 上 題 題 讓您不費 之 推甄的同學 可知道正 萬 發 行 人 李枝昌 發 行 所 龍騰文化事業股份有限公司 編輯顧問 許志農 地 址 48台北縣五股鄉五權七路號 總 編 輯 吳淑芬 電 話 (0)99-906 副總編輯 孫慧璟 傳 真 (0)99-5 執行編輯 莊莉錚 創 刊 日 006//0 美術編輯 李惠芬 出 刊 日 007//5 網 址 http://www.lugteg.com.tw
分 享 探 索 妙 錦 囊 風 潮 升 學 報 報 專 欄 秘 笈 許 教 授 講 故 事 >>> 許 志 農 / 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 ---------------- 阿 基 米 德 的 現 代 性 再 生 羊 皮 書 的 時 光 之 旅 >>> 洪 萬 生 / 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 ---------------- 6 數 學 繪 圖 軟 體 GeoGebra >>> 陳 禾 凱 / 台 北 縣 立 錦 和 高 中 ----------------- 0 另 一 個 觀 點 兩 條 歪 斜 線 必 存 在 一 條 公 垂 線 >>> 吳 孝 仁 / 國 立 政 大 附 中 -------------------- 國 立 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 96 學 年 度 推 薦 甄 選 入 學 指 定 項 目 甄 試 試 題 及 詳 解 >>> 許 志 農 / 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 --------------- 5 動 手 玩 數 學 >>> 許 志 農 / 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 --------------- 8 動 手 玩 數 學 第 期 破 解 秘 笈 >>> 許 志 農 / 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 ---------------
許 教 授 講 故 事 尼 采 在 拜 火 教 教 主 如 是 說 這 本 書 裡, 有 一 段 耐 人 咀 嚼 的 哲 學 思 考 : 當 你 見 到 猴 子 笨 拙 的 行 為 時, 你 該 覺 得 好 笑 還 是 自 卑 呢? 到 底 是 取 笑 猴 子 的 不 靈 活, 笨 手 笨 腳 的 行 為, 還 是 對 笨 拙 的 猴 子 可 以 演 化 出 人 類, 而 我 們 似 乎 很 難 比 牠 們 進 步 得 更 多 感 到 自 卑 呢? 人 類 之 所 以 異 於 動 物, 主 要 是 具 有 靈 巧 的 雙 手 與 聰 明 的 大 腦 據 說 一 百 多 年 前 當 科 學 家 還 無 法 了 解 頭 腦 內 部 結 構 時, 就 以 頭 殼 的 外 型 來 測 量 智 商 的 多 寡 就 是 科 學 昌 明 的 現 代, 還 是 有 很 多 人 相 信 皮 指 紋 分 析 可 以 找 出 孩 子 的 才 能, 用 指 紋 的 渦 紋 和 蹄 狀 紋 兩 種 紋 路 來 判 斷 性 格 及 命 運 傾 向 就 讓 我 們 來 欣 賞 一 道 具 有 靈 巧 雙 手, 但 頭 腦 普 通 的 猴 子 所 玩 的 把 戲 : 有 一 隻 會 洗 牌 的 猴 子, 牠 只 會 洗 四 張 牌, 而 且 每 次 都 用 同 樣 的 模 式 洗 牌 猴 子 的 主 人 拿 出 分 別 寫 著,,,4 的 四 張 牌 給 猴 子, 並 將 牌 子 排 好, 讓 由 上 而 下 順 序 為 編 號,,,4 的 四 張 牌, 如 下 圖 的 第 一 列 所 示 許 志 農 / 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 猴 子 洗 第 一 次 牌 後 不 讓 主 人 看 牌 子 的 順 序, 接 著 洗 第 二 次 牌 仍 然 不 給 主 人 看, 然 後 猴 子 洗 第 三 次 牌 並 讓 主 人 看 牌 號 的 順 序 這 時 主 人 發 現 從 上 而 下 的 牌 號 為, 4,,. 猴 子 的 主 人 想 了 一 下 說 : 我 知 道 猴 子 洗 第 一 次 牌 後, 牌 號 從 上 而 下 的 順 序 你 知 道 嗎? 洗 牌 的 方 式 有 很 多 種, 但 無 論 如 何 洗, 最 後 它 總 是,,,4 這 四 個 數 字 重 新 排 列, 又 四 個 數 字 排 成 一 列 計 有 4! = 4 = 4 種 不 同 的 排 法, 所 以 只 需 仔 細 討 論 這 4 種 排 法 中, 哪 一 種 可 以 在 經 歷 三 次 同 樣 操 作 後, 順 序 變 成,4,, 即 可 我 們 把 這 4 種 排 列 ( 以 下 稱 為 洗 牌 法 ) 根 據 其 特 性 分 成 三 大 類 : () 有 固 定 點 的 洗 牌 法 如 下 圖 所 示, 在 洗 一 次 牌 後, 順 序 為 將 這 順 序 跟 開 始 的, 4,,.,,, 4 比 較, 將 會 發 現 號 牌 沒 有 變 動
像 這 種 有 固 定 點 的 洗 牌 法, 無 論 洗 幾 次, 固 定 的 牌 還 是 紋 風 不 動 在 猴 子 洗 牌 遊 戲 中, 洗 三 次 之 後 並 沒 有 固 定 不 動 的 牌, 所 以 猴 子 會 的 洗 牌 法 不 屬 於 這 種 為 了 節 省 操 作 空 間 及 方 便 解 釋, 在 這 裡 我 們 引 入 函 數 的 關 係 來 解 釋 洗 牌 ; 前 面 所 提 的 洗 牌 法 ( 將 洗 到 4 的 位 置, 洗 到 的 位 置, 洗 到 的 位 置,4 洗 到 的 位 置 ) 也 可 以 用 如 下 的 函 數 f 來 表 示 () 分 成 兩 群 的 洗 牌 法 有 一 種 比 較 奇 怪 的 洗 牌 方 法, 例 如 洗 完 之 後 從 上 而 下 的 牌 號 為,, 4,. 這 種 洗 牌 法 所 對 應 的 洗 牌 函 數 f 為... 從 洗 牌 函 數 f 的 合 成 中 發 現, 無 論 洗 幾 次 總 是 與 位 置 的 牌 互 相 輪 換, 與 4 位 置 的 牌 互 相 輪 換 又 () 中 所 舉 例 的 洗 牌 函 數 從 圖 中 不 難 發 現 水 平 的 對 應 箭 號 就 是 不 動 牌 的 位 置 當 以 這 樣 的 洗 牌 方 式 洗 兩 次 時, 會 對 應 到 合 成 函 數 f = f f 的 結 果, 圖 示 如 下 此 時, 號 牌 會 洗 到 f () = f ( f ()) = f ( 4) = 的 位 置, 號 牌 會 洗 到 f () = f ( f ()) = f () = 4 的 位 置, 號 牌 會 洗 到 f () = f ( f ()) = f () = 的 位 置, 4 號 牌 會 洗 到 f (4) = f ( f (4)) = f () = 的 位 置 不 過, 從 圖 中 的 合 成 更 容 易 看 到 這 樣 的 洗 牌 效 果 因 為 的 位 置 固 定 不 動, 其 餘 位 置 是 4 的 輪 換, 所 以 也 算 是 分 成 {} 與 {,, 4} 兩 群 的 洗 牌 法 猴 子 所 對 應 的 洗 牌 函 數 f, 因 為 合 成 三 次 之 後 為 它 是 4 的 輪 換, 所 以 猴 子 洗 牌 的 函 數 也 不 屬 於 這 一 類 4
() 輪 換 式 的 洗 牌 法 這 一 類 型 的 洗 牌 法 就 是 沒 有 固 定 點, 也 沒 有 分 成 兩 群 自 己 輪 換 的 洗 牌 方 法, 即 四 張 牌 一 起 輪 換 的 意 思 我 們 可 以 用 窮 舉 法 將 四 張 牌 一 起 輪 換 的 洗 牌 函 數 f 列 舉 如 下, 共 計 六 種 所 以 或 也 就 是 說, 猴 子 的 洗 牌 函 數 f = f 我 們 驗 算 它 的 三 次 合 成, 得 因 為 是 四 張 牌 輪 換, 所 以 四 次 之 後 會 輪 到 原 來 的 位 置, 以 f 驗 算 如 下 此 與 猴 子 洗 牌 三 次 之 後 給 主 人 看 的 順 序 一 致 故 猴 子 洗 一 次 牌 後 的 順 序 為 也 就 是 說, f 4 ( i ) = i ( i =,,, 4), 即 f 把 每 個 元 素 對 到 自 己 的 函 數, 稱 它 為 單 位 函 4 4 4 4 4 4 數 因 為 f, f, f, f, f, f 都 是 單 位 函 4 5 6 數, 又 猴 子 洗 牌 函 數 f 也 是 其 中 之 ㄧ, 所 以 4 f ( i ) = i ( i =,,, 4) 利 用 合 成 函 數 的 性 質 f i = f f i = i i = f 4 ( ) ( ) (,,, 4) 互 為 反 函 數 因 為 4 是 知 道 f 與 5
阿 基 米 德 的 現 代 性 在 一 些 數 學 史 的 著 作 中, 阿 基 米 德 總 是 被 視 為 積 分 學 的 先 驅 人 物 誠 然, 阿 基 米 德 所 使 用 的 逼 近 法, 的 確 具 有 現 代 積 分 的 意 義 不 過, 如 果 仔 細 對 比 定 積 分 (defiite itegral) 與 他 的 曲 線 形 求 積 ( 譬 如 拋 物 線 截 區 求 面 積 ), 我 們 可 以 發 現 阿 基 米 德 的 逼 近 法 與 現 代 的 方 法, 有 著 本 質 的 差 異 這 種 對 比 容 易 被 忽 略 的 原 因 之 一, 似 乎 就 在 於 他 為 了 避 開 取 極 限 而 使 用 的 窮 盡 法 (the method of exhaustio), 由 於 涉 及 古 希 臘 哲 學 家 亞 里 斯 多 德 的 潛 在 無 窮 (potetial ifiity), 而 成 為 眾 所 矚 目 的 焦 點 事 實 上, 這 也 可 以 解 釋 斯 坦 (Sherma Stei) 的 阿 基 米 德 幹 了 什 麼 好 事? 何 以 將 窮 盡 法 列 為 討 論 單 元 之 一 針 對 級 數 求 和 而 言, 所 謂 潛 在 無 窮, 是 指 吾 人 不 能 將 無 窮 多 項 加 起 來 因 此, 當 阿 基 米 德 考 慮 拋 物 線 截 區 求 面 積 時, 他 利 用 有 限 多 項 的 等 比 級 數 之 和 逼 近 這 一 面 積, 然 後, 利 用 窮 盡 法 證 明 它 們 最 終 必 須 相 等 在 這 個 論 證 中, 阿 基 米 德 正 如 同 稍 早 的 歐 幾 里 得 一 樣, 是 不 可 能 將 無 窮 多 個 正 量 加 起 來, 而 這 正 是 真 正 無 窮 (actual ifiity) 的 意 涵 然 則, 阿 基 米 德 的 潛 在 無 窮 究 竟 是 什 麼 呢? 以 曲 線 區 域 面 積 的 逼 近 為 例 ( 參 考 圖 一 有 關 拋 物 線 截 區 之 逼 近 ), 阿 基 米 德 寶 典 - 失 落 的 羊 皮 書 (The Archimedea Codex, 007) 提 供 了 一 個 想 像 的 對 話 : 阿 基 米 德 在 曲 線 區 域 內 塞 進 一 些 三 角 形, 而 留 下 空 白 處 之 大 小 大 於 一 顆 沙 粒 來 了 一 位 批 評 者 說 : 還 是 有 一 顆 沙 粒 的 差 別 哦! 是 這 樣? 阿 基 米 德 喊 道 : 好 吧! 我 就 再 重 複 使 用 我 洪 萬 生 / 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 的 機 制 更 多 次 結 果 空 白 處 之 大 小 小 於 一 顆 沙 粒 等 一 等, 批 評 者 說 : 空 白 處 還 是 比 頭 髮 寬 阿 基 米 德 就 ( 用 同 樣 的 機 制 ) 繼 續 下 去 空 白 處 總 是 小 於 批 評 者 所 提 的 大 小 這 樣 的 對 話 可 以 無 止 境 的 繼 續 下 去 這 是 潛 在 無 窮 顯 然, 根 據 這 種 進 路 以 及 歸 謬 法 ( 合 起 來 通 稱 為 窮 盡 法 ), 阿 基 米 德 完 成 了 許 多 重 要 的 求 ( 面 / 體 ) 積 工 作, 而 締 造 了 希 臘 數 學 的 高 峰 圖 一 上 述 這 一 類 論 述, 是 在 00 年 月 以 前, 有 關 希 臘 數 學 史 的 大 要 讓 我 們 引 述 阿 基 米 德 寶 典 - 失 落 的 羊 皮 書 的 作 者 之 論 斷 如 下 : 希 臘 人 把 數 學 發 展 成 精 確 的 嚴 格 的 科 學 他 們 避 免 了 矛 盾 及 錯 誤 這 麼 做 的 過 程 之 中, 他 們 也 避 開 了 無 窮 的 陷 阱 他 們 的 科 學 立 基 於 你 想 要 怎 麼 大 就 怎 麼 大, 或 你 想 要 怎 麼 小 就 怎 麼 小 的 數 目, 但 絕 對 不 是 無 窮 大 或 無 窮 小 想 要 怎 麼 大 就 怎 麼 大 的 數 目, 是 為 潛 在 無 窮 大, 但 不 是 真 正 的 無 窮 大 希 臘 人 不 用 真 正 的 無 窮 大 本 書 作 者 之 一 雷 維 爾 內 茲 (Reviel Netz) 為 舉 世 知 名 的 阿 基 米 德 權 威 學 者, 目 前 任 教 於 史 丹 佛 大 學 他 出 身 劍 橋 大 學 科 學 史 系, 曾 受 教 於 希 臘 科 學 史 大 師 洛 伊 德 (Geoffrey Lloyd), 因 此, 這 一 版 本 應 該 是 希 臘 數 學 史 的 標 準 敘 事 6
現在 阿基米德寶典 失落的羊皮書 的 再度問世 加上二十世紀才誕生的同步加速器 資訊與顯影等高科技之應用 我們乃得以揭露了 前所未知的秘密 而敦促數學史家改寫這一重要 的篇章 那就是 阿基米德竟然實際上將無窮多 項加起來 還有 他甚至進一步去比較兩個無窮 集合 後者這一極有膽識的運算 史家原本認為 直到十九世紀 德國偉大數學家康托 (Georg Cator, ) 創造超限集合理論時 才正 式進入數學舞臺 這一部於 年 月 日在紐約佳士得 拍賣場 以高價 萬美金售出的古書 是教士 約翰 麥隆納斯(Ioaes Myloas)在西元 年 月 日所抄寫的祈禱書 為的是在耶 穌復活週年日 當作禮物獻給教會 至於所使用 的再生羊皮紙 則是取原載有阿基米德的著作 平衡平面 球及圓柱 圓的測量 螺 線 浮體 方法 以及 胃痛 以及其他 內容的羊皮書 刮掉文字再度使用 因而這部祈 禱書也稱為再生羊皮書 還有 這些再生羊皮紙 原先書寫的文章 則大約是出現在西元 年 除了阿基米德的上述著作之外 這一本再生羊皮 書還保存了雅典一位最偉大演說家的講稿 古代 對亞里斯多德的評論 也包括了一些拜占庭的文 章 十世紀末的聖歌 和一位聖人的傳記 另有 七張書頁之手稿 目前還無法辨別身分 因此 這一本再生羊皮書 簡直就是 一座擁有特殊古 代手稿的小圖書館 年 月 雷維爾 內茲邀請日本大阪 大學的希臘數學史家齊藤憲(Ke Saito)一起研 究阿基米德的 方法 (The Method) 這一份西 元 年的手抄稿當然是 阿基米德寶典 失落 的羊皮書 在 年再度問世時 數學史家頗 感興奮的原因 這是因為 年海柏格(Joha Ludwig Heiberg)在君士坦丁堡發現此一再生羊 皮書時 最震撼希臘史家的就是它見證了阿基米 德運用機械方法(mechaical method) 而發現 了他另外再以幾何方法嚴格證明的很多面積與 845-98 998 0 9 0 9 4 4 970 00 公式 後者這一嚴密證明 無疑結合了前述 的逼近法與窮盡法 其中主要牽涉到潛在無窮的 概念 然而 海柏格在再生羊皮書上無法讀到 的 但經由 年 月以紫外線照射的高解析 數值影像 卻足以顯示它運用了不折不扣的真正 無窮的概念 根據內茲的報導 見 阿基米德寶典 失落 的羊皮書 第 章 當阿基米德證明 方法 第 命題 圓柱截體體積等於外圍正立方體體 積的六分之一 時 他三度指出 某某幾何量的 集合會與其他幾何量的集合 在數目上相等 就 本例而言 請參考圖二 請看內茲的解說如下 體積 00 8 4 任取一切片 就產生立方體的一個三角 形 它立於長方形的一個線段之上 而 阿基米德指出 組成三角柱的各個三角 形的數目 與組成長方形的各線段的數 目 兩者是一樣的 令 到十六世紀的卡瓦列利(B. Cavalieri, )所提出的所謂 卡瓦列利 原理 給定兩個立體一般高 如果等高處的截 面面積相等 則這兩個立體體積相等 不過 卡瓦列利卻小心翼翼地避開了 那些無窮多個截 面是否可以疊回成為原來立體 之問題 理由無 註 相反 他 他正是不敢觸及真正無窮之概念 地 顯然由於連結到真正無窮之概念 於是 阿 這一進路 人想 598-647 基米德毫不猶豫地將無窮多個項加起來 總之 內茲告訴我們說 命題 不再用到物理 但在 那裡 無窮個東西相加再也不是隱藏式的 而是 明確的 立基於無窮求和的法則 而這 也就 是 年 月史家得以確定的阿基米德現代性 4 00 表現之一 970 998 906 二 圖 7
另 阿基米德數學的 一個現代性 則是一個他 胃痛 的組合學問題 將給定正方形切 片之後 參考圖三 再重新拼湊成為正 稱之為 割成 4 方形的方法有多少種 三 阿基米德的答案是 種 這個組合問題 它出現在這一本再生羊皮書的最後一頁 現在就 以 胃痛 來表示 卻是讓內茲花了很多力氣 並且得到數學家的最多幫忙 最後才得以釐清 至於成功解讀的關鍵 則在於吾人 對於將要解 讀的文章的可能意義 能夠做某種猜測 你才可 能有所解讀 因此 海柏格之所以無法解讀 方法 之有關無窮的段落或 胃痛 這是最 大的原因 他不曾預期有真正的無窮 或者組合 學 這個問題的正確答案 是電腦科學家比爾 卡特勒(Bill Cutler)率先提出 後來 幾位著 名的數學家包括鼎鼎大名的隆 格拉罕(Ro Graham)及金芳蓉夫婦檔 都只靠紙與筆 好比 阿基米德只靠紙莎草及蘆葦筆一樣 而給出了同 圖 75 樣的答案 者除了前述的雷維爾 內茲之外 還 有修復此一再生羊皮書的計畫主持人威廉 諾爾 (William Noel) 他是華特絲美術館(Walters Museum)手稿及珍本部門策展人 學術專長為 年代來自英國坎特伯利的教會手抄本裝飾 畫 諾爾自稱是 阿基米德的雜役 凡是修復 的協調分工與尋求高科技的支援 甚至於訪問這 一再生羊皮書曾經典藏之處 都由諾爾負責 事 實上 他也是接受這本再生羊皮書擁有者 在本 本書作 00 8 生 主 他對於這一再生羊皮書的整個修復及解讀過 程 提供了鉅細靡遺的報導 其中甚至引述了他 們的團隊之一些相關的電子郵件之內容 再現了 部分研究活動 頗讓讀者有親臨其境之感 另一方面 數學史家內茲則專司解讀工作 由於他曾出版 希臘數學演繹法的形成 認知歷 史的研究 (The Shapig of Deductio i Greek Mathematics: A Study i Cogitive History, 999) 所以 內茲研究古代數學文本時 基於 認知科學之洞識 總是想知道 書中被稱為 B 先 委託的 要負責人 所以 數學經驗是什麼 它怎樣印入心 靈 之 眼 (the mid s eye) 中 我確信 要了解其意涵 我們必須能夠閱讀正確 翻譯的數學 此種翻譯必須保持原作者 的架構 因為從此架構我們可看出古人 是怎樣看待他們的科學的 簡單地說 從認知科學觀點切入 文本的形式 (form)與內容(cotet)同樣重要 認知與邏 輯 抽象觀念與具體圖像 終究無法分離 因 此 經由研究圖形及符號 書頁及手稿的認知 歷史 我們可能會進一步倒回去了解敘拉古的阿 基米德的頭腦 總之 內茲在獲邀參與這一研 究計畫時 他曾 狂野幼稚 狂喜而令人受不了 的尖叫 難怪他在解釋過阿基米德的名字的 由來後 提供了如下的 粉絲物語 (fas ote) 在其純科學的作品中 阿基米德一直讓 東西溢出浴缸 藝術與科學 美麗與秩 序 讓我們開始觀看 這些元素如何在 阿基米德的作品中聯手出現 內茲的書寫中 我們總可以讀到他的研 究過程中所流露的狂喜 這對於一位歷史學家的 隔離的智慧 而言 的確是一大考驗 不過 看起來內茲倒是蠻甘之如飴 最後 我們針對本書的書寫策略 提供一點 簡要的評論 兩位作者在書寫本書時分工合作 其中涉及希臘數學史與阿基米德手稿解讀工作 誠然 在
者, 一 概 由 內 茲 負 責, 其 他 則 由 諾 爾 執 筆 就 此 而 言, 本 書 可 以 說 是 科 普 寫 作 的 一 個 創 舉 譬 如 說 吧, 本 書 第 5 7 9 等 奇 數 章, 都 出 自 諾 爾, 至 於 偶 數 章 第 4 6 8 0 以 及 ( 第 章 ) 結 語 章, 則 是 內 茲 的 創 作 序 文 則 是 兩 人 共 同 創 作 這 種 安 排 顯 然 是 經 過 精 心 設 計 通 常, 諾 爾 書 寫 的 部 分 比 較 像 偵 探 報 告, 其 中 有 帶 著 電 視 節 目 製 作 人 走 訪 伊 士 坦 堡 聖 城 耶 路 撒 冷 以 及 西 西 里 ( 阿 基 米 德 的 故 鄉 ), 也 有 多 方 面 說 明 如 何 利 用 各 種 人 力 資 源 與 高 科 技, 以 利 於 再 生 羊 皮 書 之 解 讀 工 作 相 對 地, 內 茲 書 寫 的 部 分 則 側 重 阿 基 米 德 數 學 之 相 關 論 述, 幫 助 讀 者 深 入 了 解 希 臘 數 學 史, 內 容 則 極 有 質 感 由 於 內 茲 認 為 文 本 內 容 離 不 開 形 式, 因 此, 他 在 說 明 如 何 解 讀 此 一 再 生 羊 皮 書 時, 總 是 一 再 強 調 手 抄 本 形 式 的 重 要 性 這 一 進 路 無 形 中 呼 應 了 高 科 技 的 顯 影 工 作 之 策 略, 因 而 可 以 和 諾 爾 所 書 寫 的 比 較 具 有 實 作 (practice) 特 色 的 奇 數 章 融 洽 銜 接 換 句 話 說, 由 於 內 茲 強 調 古 代 文 本 的 認 知 意 義, 因 此, 它 的 內 容 vs. 形 式 的 意 義 得 以 凸 顯, 同 時, 古 代 文 本 的 一 個 現 代 詮 釋, 顯 然 也 必 須 顧 及 詮 釋 者 的 理 論 與 實 作 之 結 合 這 一 點, 當 然 也 讓 本 書 的 數 學 內 容 說 明, 顯 得 家 常 可 口, 而 不 致 於 乾 澀 難 以 下 嚥 總 之, 面 對 本 書, 外 行 人 當 然 可 以 看 熱 鬧 - 至 少 可 以 發 思 古 之 幽 情, 分 享 世 界 文 化 遺 產, 至 於 內 行 人 呢, 則 一 定 可 以 看 出 門 道 這 本 來 就 是 一 般 科 普 書 籍 期 望 獲 得 的 讀 者 反 應 不 過, 本 書 論 述 阿 基 米 德 數 學 時, 堅 持 實 質 內 容 之 鋪 陳 ( 譬 如 第 6 章 ), 而 且, 也 沒 有 在 提 及 達 文 西 時 東 拉 西 扯 ( 科 普 作 家 通 常 喜 歡 談 論 名 人 軼 事, 以 降 低 內 容 的 硬 度 ), 的 確 是 科 普 書 籍 少 見 的 氣 魄, 值 得 我 們 欽 佩 與 效 法 還 有, 筆 者 希 望 中 小 學 數 學 教 師 有 機 會 精 讀 本 書 第 4 章 視 覺 科 學, 從 容 領 會 希 臘 圖 形 的 邏 輯 以 分 享 阿 基 米 德 的 數 學 經 驗, 那 麼, 在 教 學 上 一 定 可 以 帶 來 很 多 的 啟 發 才 是! 參 考 文 獻 : 洪 萬 生 (007). 好 個 阿 基 米 德 科 學 月 刊 8(8): 60-6 斯 坦 (004). 阿 基 米 德 幹 了 什 麼 好 事! 台 北 : 天 下 文 化 Dijksterhuis, E.J. (987). Archimedes. Priceto, NJ: Priceto Uiversity Press. Netz, Reviel ad William Noel (007). The Archimedes Codex. Lodo: Weidefeld & Nicolso. Stei, Sherma (999). Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka? Washigto, DC: MAA. 註 第 五 世 紀 中 國 的 祖 沖 之 (49-500) 在 證 明 球 體 積 公 式 時, 也 提 出 此 一 原 理 的 類 似 版 本 : 夫 疊 棊 成 立 積, 緣 冪 勢 既 同, 則 積 不 容 異 只 是 他 的 無 窮 觀 念 究 竟 如 何, 我 們 還 無 以 索 解 9
數 學 繪 圖 軟 體 GeoGebra 簡 介 GeoGebra 是 由 Markus Hohewarter 所 設 計 的 數 學 繪 圖 軟 體, 曾 榮 獲 歐 洲 多 項 軟 體 大 獎, 一 開 始 是 他 在 00 年 於 奧 地 利 Salzburg 大 學 寫 有 關 數 學 教 育 博 士 論 文 的 程 式 計 畫, 現 在 已 發 展 成 多 國 語 言 (0 多 種 ), 跨 平 台 (Widow Mac Liux) 的 數 學 繪 圖 軟 體, 並 有 美 國 科 學 基 金 會 的 資 助, 繪 圖 功 能 持 續 加 強 中 GeoGebra 這 軟 體 的 名 稱 拆 開 來 是 Geo+Gebra, 顧 名 思 義 是 結 合 了 幾 何 (Geometry) 與 代 數 (Algebra) 的 教 育 軟 體, 若 在 繪 圖 區 畫 出 圓 或 直 線, 代 數 視 窗 就 會 出 現 對 應 的 方 程 式, 反 過 來 若 是 輸 入 代 數 方 程 式, 繪 圖 區 便 出 現 其 圖 形, 操 作 的 感 覺 就 像 是 把 GSP 及 Graphmatica 註 融 合 在 一 起, 代 數 算 式 和 圖 形, 一 左 一 右, 兩 個 同 時 出 現, 既 生 瑜 又 生 亮 GeoGebra 把 幾 何 圖 形 和 代 數 方 程 式 的 關 係 緊 密 的 結 合 在 一 起 GeoGebra 和 GSP 的 比 較 提 到 數 學 的 繪 圖 教 學 軟 體, 大 家 第 一 個 想 到 的 便 是 GSP(Geometry Sketch Pad), 因 此 筆 者 特 地 在 此 將 兩 種 軟 體 比 較 一 下 ( 如 附 表 ), 並 針 對 其 中 數 項 發 表 個 人 的 看 法. 首 先 是 價 格, 這 可 是 很 重 要 的! 教 學 軟 體 要 能 夠 普 級, 影 響 很 大, 筆 者 在 電 腦 教 室 以 學 校 所 購 買 的 GSP 教 導 班 上 同 學 們 繪 製 圓 錐 曲 線 的 圖 形, 一 堂 課 短 短 的 50 分 鐘, 學 生 們 均 陳 禾 凱 / 台 北 縣 立 錦 和 高 中 意 猶 未 盡, 紛 紛 詢 問 何 處 可 下 載 試 用 版 軟 體, 當 我 告 訴 他 們 網 路 上 沒 有 試 用 版 可 供 下 載 註, 要 回 家 用 只 有 自 行 購 買, 學 生 們 均 十 分 失 望, 無 法 想 像 擁 抱 數 學 竟 如 此 痛 苦, 要 花 費 600 元, 才 能 享 受 繪 圖 樂 趣 如 此 一 來, 教 師 若 在 學 校 以 GSP 教 授 數 學 繪 圖, 無 異 成 為 推 銷 員 若 是 以 GeoGebra 來 進 行 教 學 就 沒 這 個 困 擾. 由 於 GeoGebra 是 以 Java 程 式 語 言 撰 寫,Java 的 優 缺 點, 如 支 援 多 國 語 言 跨 平 台 執 行 速 度 慢,GeoGebra 也 都 有, 不 過 在 比 較 舊 的 電 腦 才 感 覺 出 速 度 慢 的 困 擾, 以 筆 者 的 Acer 5TE 筆 記 型 電 腦 為 例 (7 年 前 的 機 型 ), 硬 體 配 備 : CPU:Petium III 680HZ 56MB memory, 第 一 次 執 行 GeoGebra 時, 以 為 是 當 機, 費 時 5 秒 才 見 繪 圖 畫 面 出 來, 在 繪 圖 過 程 中 若 按 Delete 鍵 要 刪 除 某 物 件, 或 是 按 Ctrl-Z 要 回 復 前 一 步 驟, 都 要 停 個 秒 多 才 會 顯 示 結 果, 還 好 其 他 的 繪 圖 操 作 一 切 順 暢, 當 然 若 使 用 的 電 腦 機 型 不 要 那 麼 舊, 如 Petium IV 5MB memory 等 級 以 上 的 電 腦, 就 感 覺 不 出 上 述 的 情 形. GeoGebra 以 Java 撰 寫 的 最 大 好 處 是 將 圖 形 儲 存 成 網 頁 時, 可 以 00% 轉 換 為 網 頁 畫 面, GeoGebra 還 支 援 Latex 語 法, 可 在 畫 面 上 顯 示 根 號 次 方 及 分 數, 這 都 是 GSP 所 望 塵 莫 及 的, 因 此 數 學 家 在 網 路 上 要 討 論 數 學 問 題 0
時, 用 GeoGebra 來 繪 圖 是 一 個 很 好 的 選 擇 4. 國 內 引 進 GSP 較 早, 使 用 GSP 的 師 生 較 多, 相 對 之 下 GeoGebra 似 乎 乏 人 問 津, 這 可 以 由 Google 蒐 尋 相 關 的 中 文 網 頁 看 出 來, 但 若 看 看 世 界 各 地 的 使 用 情 形, 以 Google 輸 入 Geometry sketchpad 及 GeoGebra 分 別 所 找 到 的 網 頁 數 87000 及 6000 來 看, 兩 者 在 這 世 界 的 使 用 人 口 差 不 多, 但 以 GeoGebra 的 支 援 多 國 語 言 特 性, 使 用 GeoGebra 可 稱 的 上 是 與 世 界 接 軌 5. GeoGebra 號 稱 是 高 中 數 學 的 教 學 軟 體, 當 然 有 許 多 和 高 中 數 學 直 接 相 關 的 指 令, 如 輸 入 + =, 可 畫 出 來 斜 方 向 的 橢 圓, x xy y 右 下 方 有 指 令 視 窗, 以 滑 鼠 下 拉 可 看 到 一 大 串 的 指 令, 如 極 限 單 位 向 量 切 線 等, 後 記 來 點 選 圓 規 或 直 尺 工 具 來 畫 圖, 因 此 操 作 GSP 和 操 作 GeoGebra 其 實 大 同 小 異, 若 是 有 操 作 過 GSP 的 經 驗, 學 習 GeoGebra 應 很 快 就 可 熟 悉, 此 外 筆 者 針 對 高 中 課 程 常 見 的 數 學 題 目 圖 形 以 GeoGebra 繪 製, 並 用 Wik( 哦! 又 是 一 個 好 用 的 freeware) 錄 下 畫 面, 讓 初 學 者 看 一 眼 也 知 道 如 何 來 使 用 GeoGebra, 有 興 趣 的 人 歡 迎 來 錦 和 高 中 數 學 網 學 習 資 訊 科 技 的 進 步 及 網 路 的 無 遠 弗 界 大 大 地 改 變 了 我 們 的 生 活 及 學 習 方 式, 回 想 二 十 年 前 筆 者 念 大 學 時 對 於 數 學 繪 圖 軟 體 的 印 象, 是 系 上 工 作 站 中 一 個 神 袐 軟 體, 如 今 任 何 人 只 要 利 用 網 路 就 可 輕 鬆 下 載 回 來 安 裝, 實 在 不 可 同 日 而 語 另 外 還 有 許 多 指 令 有 待 更 正 以 符 合 我 國 現 行 高 中 教 材, 如 : 單 位 垂 直 向 量 ( 單 位 法 向 量 ) 第 一 軸 線 ( 長 軸 ) 第 二 軸 線 ( 短 軸 ) 等, 不 過 瑕 不 掩 瑜, 這 些 小 問 題 是 可 以 克 服 的 6. 若 對 GeoGebra 的 使 用 有 任 何 問 題, 可 上 GeoGebra 的 討 論 區 和 世 界 各 地 的 使 用 者 請 教 解 決 方 法, 也 可 對 GeoGebra 的 未 來 發 展 提 出 建 議, 是 要 多 加 些 什 麼 功 能 或 指 令, 程 式 設 計 者 Markus Hohewarter 還 會 親 自 回 答 7. 學 習 數 學 繪 圖 軟 體 並 不 難, 主 要 是 利 用 滑 鼠 相 關 網 址. 錦 和 高 中 數 學 學 習 網 GeoGebra 教 學 http://lear.jhsh.tpc.edu.tw/~smath/lik.html. GeoGebra 官 方 網 站 http://www.geogebra.org. GeoGebra 的 中 文 翻 譯 討 論 區 http://ejoy.phy.tu.edu.tw/course/idex.php?category= 4. GeoGebra 的 使 用 討 論 區 ( 英 法 德 )http://www.geogebra.org/forum/ 5. GeoGebra Wiki GeoGebra 的 維 基 百 科 全 書 http://www.geogebra.org/e/wiki/ 6. Wik 的 下 載 網 址 http://www.debugmode.com
註. Graphmatica 也 是 一 個 免 費 數 學 繪 圖 軟 體, 可 輸 入 函 數 或 方 程 式, 立 即 顯 示 出 圖 形, 建 中 數 學 科 網 站 有 中 文 使 用 手 冊 可 供 下 載. GSP 的 一 般 試 用 版 已 不 准 放 在 網 頁 中 供 人 下 載, 故 師 大 數 學 建 中 數 學 網 站 中 的 試 用 版, 已 悄 悄 的 取 消,GSP 的 官 方 網 站 有 提 供 Istructor Evaluatio Editio 以 供 教 師 評 估 是 否 購 買 作 為 教 學 用 途 之 用, 有 效 期 限 60 天 GSP 及 GeoGebra 的 對 照 表 ( 評 分 最 高 5 分, 最 低 分, 個 人 主 觀 意 見, 僅 供 各 位 參 考 ) 項 目 價 格 執 行 速 度 繪 圖 工 具 GSP 校 園 版 50000 元 個 人 版 6000 元 學 生 版 600 元 良 好 基 本 的 線 及 圓 評 分 5 GeoGebra 免 費, 自 行 至 網 站 下 載 安 裝 較 舊 的 電 腦 機 型 會 有 : 起 動 稍 慢, 按 Ctrl-Z 會 停 頓 一 下 才 復 原 到 前 一 動 作, 其 餘 一 般 運 作 良 好 若 硬 體 為 Petium IV 5MB memory 以 上 配 備, 則 沒 有 上 述 問 題 評 分 有 較 多 的 繪 圖 工 具, 如 : 半 圓 切 線 極 限 中 垂 線 角 平 分 線, 過 5 點 的 圓 錐 曲 線 等 4 自 訂 工 具 可 5 可 5 4 相 關 書 籍 資 源 輸 出 為 網 頁 可 畫 出 的 高 中 數 學 圖 文 字 工 具 中 文 書 : 聯 經 出 版 社 : 國 中 幾 何 動 動 動 網 站 : 4 陳 創 義 官 長 壽 等 有 豐 富 的 範 例 檔 案 Gsp 的 官 方 網 站 http://www.dyamicgeometry.com/ 轉 換 為 JavaSketchPad, 但 對 於 某 些 繪 圖 指 令 不 支 援. 函 數 圖, 動 點 軌 跡 圖. 能 用 動 點 軌 跡 來 畫 拋 物 線 橢 圓 雙 曲 線 4. 空 間 圖 形 可 利 用 d 坐 標 架 模 擬 描 繪 可 在 圖 形 上 加 入 文 字 ( 不 支 援 Latex 語 法 ) 中 文 書 : 無 網 站 : 錦 和 高 中 數 學 教 學 網 GeoGebra Forum: 討 論 區 ( 英 文 法 文 等 ) GeoGebraWiKi: 任 何 人 均 可 上 傳 提 供 檔 案, 分 享 教 育 資 源 ( 中 文 英 文 法 文 等 ) GeoGebra 是 以 Java 語 言 設 計 的,00% 可 轉 換 為 網 頁. 函 數 圖, 動 點 軌 跡 圖. 可 輸 入 代 數 方 程 式 把 拋 物 線 橢 圓 雙 曲 線 等 的 圖 形 畫 出 來 ( 類 似 Graphmatica). 有 指 令 可 直 接 畫 出 積 分 的 上 下 和 的 連 續 矩 形 4. 空 間 圖 形 需 另 外 下 載 GeoGebraD 來 繪 圖 可 在 圖 形 上 加 入 文 字 ( 支 援 Latex 語 法, 可 顯 示 5 根 號 及 分 數 ) 5 5
探 討 空 間 中 兩 條 相 異 直 線 的 關 係, 在 教 學 的 過 程 中 一 般 都 是 從 這 樣 的 分 類 開 始 :. 兩 條 直 線 在 同 一 個 平 面 上 這 時 候 直 線 的 關 係 對 學 生 來 說 是 明 顯 的 舊 經 驗, 平 行 或 不 平 行, 不 平 行 會 相 交, 交 點 也 在 兩 條 直 線 所 處 的 平 面 上. 兩 條 直 線 不 在 同 一 個 平 面 上 這 時 候 兩 條 直 線 不 平 行 但 也 不 相 交, 歪 歪 斜 斜 的, 所 以 叫 一 組 歪 斜 線 再 來 從 課 本 裡 學 習 到 經 典 例 題 : 如 何 去 計 算 一 組 歪 斜 線 的 公 垂 線? 這 也 讓 學 生 了 解 到 確 實 有 公 垂 線 的 存 在 ; 如 果 再 加 上 幾 何 上 的 觀 察, 那 學 生 應 該 會 更 有 感 覺 了 幾 何 上 是 這 樣 解 釋 的 : 假 設 有 兩 條 歪 斜 線 a, b 考 慮 包 含 a 而 平 行 b 的 平 面 π, 把 直 線 b 投 影 到 π 上 為 b, 那 麼 a 與 b 會 有 交 點 P 因 為 投 影 的 關 係, 所 以 P 會 是 b 上 的 某 個 點 P 的 投 影, 那 麼 直 線 PP 就 是 歪 斜 線 a, b 的 公 垂 線 P b 吳 孝 仁 / 國 立 政 大 附 中 在 這 裡 先 規 定 一 些 符 號, 兩 條 相 異 的 直 線 a, b 方 向 ( 向 量 ) 分 別 為 a*, b * 另 外 a, b 上 各 有 一 個 點 A, B, 於 是 如 此 一 來 我 們 就 可 以 寫 出 a, b 的 直 線 方 程 式, 但 是 這 待 會 再 談 先 觀 察 到 一 件 事 情 : 如 果 a, b 是 一 組 歪 斜 線, 那 麼 a*, b * 不 會 平 行 另 外,AB 也 不 會 與 a*, b * 共 平 面, 否 則 a, b 是 同 一 個 平 面 上 的 不 平 行 直 線, 這 樣 會 有 交 點 換 句 話 說 : a, b 是 一 組 歪 斜 線 *, *, 事 實 上, *, *, a b AB a b AB a, b 是 一 組 歪 斜 線 *, *, 我 們 注 意 到 了 *, *, 為 代 數 條 件, 即 是 *, *, 積 非 零 換 句 話 說 : 不 共 平 面 不 共 平 面 也 是 充 分 的, 即 a b AB a b AB a, b 是 一 組 歪 斜 線 a b AB 不 共 平 面 不 共 平 面 可 以 轉 化 所 張 的 平 行 六 面 體 體 a * det b * 0 AB (#) 既 然 a, b 間 有 一 條 公 垂 線, 所 以 條 件 (#) 似 乎 保 證 了 公 垂 線 的 存 在 性 我 們 繼 續 討 論 下 去, 取 P b a a*, b * 的 外 積 a* b*, 方 向 上 垂 直 a, b 所 以 公 垂 線 的 方 向 有 了, 但 是 要 成 為 a, b 的 公 垂 線, 還 必 須 保 證 以 a* b* 為 方 向 的 直 線 與 a, b 各 有 一 個 交 這 篇 文 章 想 要 做 的 是, 由 一 些 代 數 條 件 來 看 一 組 歪 斜 線 與 其 公 垂 線 之 間 的 關 係 ; 希 望 能 提 供 給 各 點, 所 以 這 兩 個 交 點 存 在 與 否 就 決 定 了 a, b 的 公 垂 線 位 先 進 作 為 深 入 教 學 或 是 概 念 連 結 的 一 些 素 材
假 設 兩 條 直 線 a, b 的 參 數 方 程 式 : = + a : X A a * t = + b : X B b * s t, s 直 線 c 的 方 向 為 a* b* 試 想, 如 果 a, b 上 各 有 一 點 A, B 落 在 直 線 c 上, 那 麼 由 前 述 討 論, 直 線 0 0 c 就 是 a, b 的 公 垂 線 考 慮 方 程 組 R + = + + + = a * = AB A a * t ( B b * s) ( a * b *) a * t b * s ( A B) a * b * [ t, s, ] b * a * b * (##) 因 為 a, b 是 一 組 歪 斜 線 a b a * b * AB * det * 0 AB 是 可 逆 矩 陣 有 實 數 解 (##) [ t, s, 0 0 ] 這 意 謂 著 直 線 c 通 過 A, B, 所 以 c 為 a, b 的 公 垂 0 0 線 至 此, 已 經 完 成 我 們 的 論 證 繼 承 之 前 的 符 號, 在 這 裡 下 個 結 論 :. a, b 是 一 組 歪 斜 線 a * det b * 0 AB (#). 條 件 (#) 提 供 了 以 a* b* 為 方 向 的 直 線 和. a, b 各 有 一 個 交 點 的 充 分 性 a * det b * 0 AB 蘊 含 了 公 垂 線 的 存 在 註. 文 中 直 線 參 數 式 X = A+ a* t 是 以 向 量 的 形 式 來 表 示, t 是 a * 的 係 數 積. A, B 個 別 來 看 是 點, 但 是 表 示 成 ( A B ) 時 則 視 為 向 量 AB 假 設 A = A+ a* t 0 0 B = B+ b* s 0 0 以 及 直 線 c ( A + B 0 0 ) c : X = + ( a * b *) r, r R 於 是 A, B 分 別 落 在 a, b 上 而 且 0 0 另 外 當 當 = A B a b 0 0 * * + ( A B ) ( a * b * 0 0 ) r =, X = + = A0 ( A + B 0 0 ) ( a * b *) r =, X = = B0 4
國 立 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 96 學 年 度 推 薦 甄 選 入 學 指 定 項 目 甄 試 試 題 一 計 算 證 明 題 ( 考 試 時 間 : 小 時 ). 在 電 影 詭 絲 中, 一 位 物 理 學 家 以 孟 傑 海 綿 (Meger spoge) 來 捕 捉 鬼 魂 ; 下 面 是 平 面 上 孟 傑 海 綿 的 製 作 方 法 a 第 一 階 段 : 取 一 個 邊 長 為 a 的 正 方 形 ( 參 看 下 圖 一 ), 將 正 方 形 等 分 成 九 個 邊 長 為 的 小 正 方 形, 再 將 中 央 的 小 正 方 形 切 除 ( 參 看 下 圖 二 ) a a 第 二 階 段 : 對 前 階 段 留 下 的 所 有 邊 長 為 的 小 正 方 形, 每 個 都 等 分 成 九 個 邊 長 為 的 小 正 方 9 形, 再 將 中 央 的 小 正 方 形 切 除 ( 參 看 下 圖 三 ) 以 下 依 此 類 推 () 若 孟 傑 海 綿 是 完 成 第 五 階 段 後 所 製 成 的, 則 製 作 過 程 中 共 切 除 多 少 個 各 種 大 小 的 正 方 形? () 若 孟 傑 海 綿 是 完 成 第 階 段 後 所 製 成 的, 則 製 作 過 程 中 共 切 除 多 少 個 各 種 大 小 的 正 方 形? 被 切 除 的 正 方 形 周 長 共 多 少? 被 切 除 的 正 方 形 面 積 共 多 少?. () 試 證 : 若 x, y 與 z 都 是 不 等 於 0 的 正 實 數, 則 下 述 不 等 式 恆 成 立 : x + y+ z + +. x y z xyz 5
() 設 ABC 的 三 邊 長 分 別 為 a, b 與 c, 而 其 內 切 圓 半 徑 為 r 若 s 表 示 ABC 周 長 的 一 半, 試 證 : + + ( s a) ( s b) ( s c) r.. 設 007 次 整 係 數 多 項 式 f ( x) = ( x )( x ) ( x 007) 等 於 兩 個 整 係 數 多 項 式 g ( x ) 與 k x = g x + h x h( x 的 乘 積, 令 ( ) ( ) ( ) ) () 試 證 : k() = k() = = k(007) = 0 () 試 證 : 兩 多 項 式 g ( x ) 與 h( x ) 中 必 有 一 是 常 數 多 項 式 4. 設 甲 袋 原 有 k 個 白 球 與 個 黑 球 ( k ), 而 乙 袋 原 有 k 個 白 球 今 自 甲 袋 與 乙 袋 中 同 時 各 取 出 一 球 放 入 對 方 袋 中, 這 動 作 我 們 稱 之 為 一 次 換 球 ; 對 每 個 正 整 數, 令 P 表 示 次 換 球 後 黑 球 仍 在 甲 袋 的 機 率 () 試 求 P 與 P () 設 為 正 整 數, 試 求 P () 試 求 lim P 之 值 5. 已 知 : 拋 物 線 的 焦 點 對 此 拋 物 線 所 有 切 線 的 對 稱 點 都 在 拋 物 線 的 準 線 上 () 試 證 : 若 一 拋 物 線 過 切 點 P 的 切 線 為 l, 而 焦 點 F 對 切 線 l 的 對 稱 點 為 D, 則 PD 與 準 線 垂 直 () 設 一 拋 物 線 的 準 線 方 程 式 為 x y 4= 0, 且 與 直 線 x+ y+ 6= 0相 切 於 點 (, 0), 試 求 其 焦 點 坐 標 6
二 填 充 題 ( 考 試 時 間 : 小 時 ). 設 ω 為 方 程 式 x = 0之 ㄧ 虛 根 若 無 窮 級 數 + + + + + ω ω ω 之 和 為 α + βω, 其 中 α, β 為 實 數, 則 α + β =. 函 數 f ( x) = x + 4 + x x+ 0 的 最 小 值 為. 在 平 面 坐 標 系 中, x + y = 之 圖 形 所 圍 區 域 的 面 積 為 4. 考 慮 數 列,,,,,,,,,,,,,, 9 9 9 9 9 9 9 9 9 其 中 值 為 的 項 共 有 k k 個 ( k =,,, ) 若 前 項 之 和 為 50, 則 為 位 數 (log = 0.00, log = 0.477, log 7 = 0.845) 5. 設 實 數 α, β 滿 足 π < α < π, π < β < π, 且 α β = =, 則 ta, ta 4 + + α + α + β + β cos si cos si = 7 a a 6. 設 A= a 4 6 a a a 4 5 6 方 程 組 為 的 矩 陣, 且 A 的 每 一 列 每 一 行 每 一 對 角 線 的 總 和 皆 相 等, 則 的 解 ( x, y, z ) 為 7x+ a y+ a z = a x+ 4y+ 6z= a x+ a y+ a z= 6 4 5 6 7
x+ y z+ x y z+ 7. 給 定 三 直 線 L : = =, L : = = 4 4 與 L : 點 P 為 直 線 L 與 L 的 交 點, 點 Q 為 直 線 L 與 L 的 交 點, 則 線 段 PQ 在 平 面 E : x+ y+ z+ = 0上 的 正 射 影 長 度 為 8. 空 間 中 位 於 點 (0,,) 的 光 源, 將 xz 平 面 上 的 圓 + + = = 令 x y z x + z = y = 0 ( ) 照 射 在 xy 平 面 上, 則 這 個 影 像 的 曲 線 方 程 式 為 9. 給 定 正 整 數 ; 持 續 擲 一 公 正 的 骰 子, 若 連 續 兩 次 擲 出 的 點 數 相 同 或 擲 滿 次 即 停 止, 則 一 連 串 擲 骰 子 的 所 有 可 能 結 果 有 種 0. 擲 一 公 正 的 硬 幣 8 次 ; 已 知 擲 出 正 面 的 次 數 小 於 或 等 於 4 次, 則 第 一 次 與 第 二 次 都 擲 出 正 面 的 機 率 為 8
國 立 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 96 學 年 度 推 薦 甄 選 入 學 一 計 算 證 明 題 : 指 定 項 目 甄 試 試 題 詳 解 a. 令 a 代 表 第 階 段 所 切 除 的 正 方 形 個 數 因 為 第 一 階 段 切 除 的 正 方 形 邊 長 為, 第 二 階 段 切 除 的 正 方 形 邊 長 為 a,, 所 以 第 階 段 所 切 除 的 正 方 形 邊 長 為 a = 個 正 方 形, 第 二 階 段 切 除 a = 8 個 正 方 形, 第 三 階 段 切 除 a = a ; 又 因 為 第 一 階 段 切 除 8 個 正 方 形,, 所 以 第 階 段 切 除 a 8 = 個 正 方 形 () 依 題 意, 一 共 切 除 a + a + a + a + a 個 正 方 形, 計 算 得 4 5 () 孟 傑 海 綿 在 完 成 第 階 段 後 一 共 切 除 個 各 種 大 小 的 正 方 形 計 算, 得 被 切 除 的 正 方 形 周 長 為 4 + 8 + 8 + 8 + 8 = 468( 個 ) a + a + + a 8 8 + 8 + + 8 = = ( 個 ) 8 7 a a a 4 + 8 + + 8 4 8 8 4 4 8 = + + + = = 8 5 a a a. 8 被 切 除 的 正 方 形 面 積 為 a a a + 8 + + 8 a 8 8 a 9 8 = + + + a. = = 9 9 9 9 8 9 9 8 9
. () 將 下 列 三 個 算 幾 不 等 式 x + y + z + y z x = = = z x y xyz x y z xyz y z x xyz 相 加, 得 x + y+ z + +. x y z xyz () 設 Δ 為 ABC 的 面 積, 根 據 海 龍 公 式 及 面 積 公 式, 得 Δ= s( s a)( s b)( s c) = sr, 即 s = ( s a)( s b)( s c) r 利 用 (), 得 s ( a+ b+ c) s + + = = ( s a) ( s b) ( s c) ( s a)( s b)( s c) ( s a)( s b)( s c) r.. 設 007 次 整 係 數 多 項 式 f ( x) = ( x )( x ) ( x 007) 等 於 兩 個 整 係 數 多 項 式 g ( x ) 與 h( x ) 的 乘 積, 令 k( x) = g( x) + h( x) () 因 為 所 以 f () = f () = = f (007) =, g() h() = g() h() = = g(007) h(007) = 又 因 為 g ( x ) 與 h( x ) 都 是 整 係 數 多 項 式, 所 以 g(), g(),, g(007) 0
與 h(), h(),, h(007) 都 是 整 數 因 此, g () 與 h () 必 是 一 個, 而 另 一 個 為, g () 與 h (),, g (007) 與 h (007) 也 都 是 一 個, 而 另 一 個 為 也 就 是 說, 即 g() + h() = g() + h() = = g(007) + h(007) = 0,. k() = k() = = k(007) = 0 () 考 慮 g ( x ) 與 h( x ) 的 次 數 m= deg g( x) 與 = deg h( x) ; 為 了 方 便 起 見, 不 妨 設 m 0 因 為 f ( x) = g( x) h( x) 的 次 數 是 007 次, 所 以 m+ = 007 ; 又 由 k() = k() = = k(007) = 0 知, g ( x) + h( x) 被 ( x )( x ) ( x 007) 整 除, 即 m deg( g( x) + h( x)) 007 由 m+ = 007 及 007 m 得 m= 007, = 0, 故 h( x ) 4. 考 慮 是 常 數 多 項 式 P 與 P 的 遞 迴 關 係, 因 為 次 換 球 後 黑 球 仍 在 甲 袋 的 機 率 等 於 ( ) 次 換 球 後 黑 球 仍 在 甲 袋, 且 第 次 換 球 後 黑 球 仍 在 甲 袋 的 機 率 + ( ) 次 換 球 後 黑 球 跑 到 乙 袋, 且 第 次 換 球 後 黑 球 在 甲 袋 的 機 率, 即 k P = P + ( P ). k k 整 理, 得 k P P = k. 因 此 k k k P = P = k k k. 整 理, 得 ( k ) ( k ) + k P = + =. k k
() 利 用 前 面 的 公 式, 得 ( k ) + k k k + P = =, k k ( k ) + k k k + 6k 4 P = =. k k () 利 用 前 面 的 公 式, 得 ( k ) ( k ) + k P = + =. k k () 根 據 () 的 公 式, 得 ( k ) + k lim P = lim = lim k + k 因 為 是 小 於 的 定 正 數, 所 以 因 此 k lim 0 = k.. lim P =. 5. () 設 P 至 準 線 的 垂 足 為 H, 即 PH 是 P 到 準 線 的 最 短 距 離, 又 根 據 拋 物 線 的 定 義 PF = PH ; 已 知, D 在 準 線 上, 且 因 為 對 稱 點 的 關 係, 所 以 PF = PD 因 此 PH = PD. 由 PH 是 P 到 準 線 的 最 短 距 離 知 D = H, PD 與 準 線 垂 直 () 通 過 點 (, 0), 又 與 準 線 x y 4= 0垂 直 的 直 線 方 程 式 為 L x+ y = + =. : ( ) 0 4 準 線 與 直 線 L 的 交 點 坐 標 為 4 0 D, 4 0 現 在 求 D, 點 對 切 線 x+ y+ 6= 0的 對 稱 點, 過 D 與 切 線 相 垂 直 的 直 線 方 程 式 為 4 0 : = = 8. L x y 切 線 與 直 線 L 的 交 點 為 7 9 M, 利 用 FD 的 中 點 為 M, 得 焦 點 F 的 坐 標 為 0,.
二 填 充 題 :... 4. 5. 5 6 5 4 9 6. 7. 8. 9. 0.,, 78 x x + y = 0 + y = 0或 z = 0 (5 ) 6. 令 此 級 數 為 S, 套 用 無 窮 等 比 級 數 公 式, 得 S = = ω ω. ω 將 分 子 與 分 母 同 乘 4 +, 得 ω ω ω ω ω ω (4 + ) + S = = + +. ( )(4 ) 因 為 ω ω + + = 0, 所 以 ω + S = = + + ω. 5 故 α + β = + =. 將 f ( x) = x + 4 + x x+ 0 表 為 = + + +, f ( x) ( x 0) (0 ( )) ( x ) (0 ) 即 f ( x ) 代 表 x 軸 上 的 動 點 P( x, 0) 至 定 點 A(0, ) 與 B (, ) 的 距 離 和 其 最 小 值 發 生 在 當 P 是 x 軸 與 直 線 AB 的 交 點 時, 又 直 線 AB 的 方 程 式 為 將 P( x, 0) 代 入 解 得 x = 5x y =., 而 最 小 值 為 5 AB = (0 ) + ( ) = 6.
. 因 為 x + y = 的 圖 形 對 稱 x 軸 與 y 軸, 所 以 只 需 畫 x + y = 在 第 一 象 限 的 圖 形 即 可 知 道 整 個 圖 形 現 在 設 x 0, y 0, 此 時 x + y = 變 成 x + y =. () 當 x, y 時, x+ y = 6 () 當 x, y 時, x y = () 當 x, y 時, x y = 4 (4) 當 x, y 時, x+ y = 0 將 這 四 部 分 畫 圖 如 下 左 圖, 現 在 算 它 們 的 面 積 : 畫 直 線 x = 及 將 該 區 域 分 成 一 三 角 形 一 矩 形 兩 個 梯 形 等 四 個 y = 9 可 以 算 面 積 的 形 狀 ( 如 上 右 圖 ), 其 中 三 角 形 的 面 積 為, 矩 形 面 積 為, 兩 個 梯 形 面 積 分 別 5 為 4 與 故 在 第 一 象 限 所 圍 出 的 面 積 為 9 5 + + 4+ = 因 為 對 稱 的 關 係, 所 以 圖 形 圍 出 的 總 面 積 為 4 = 5 4. 將 數 列 分 成 每 k = 個 一 組, 根 據 題 意 每 組 和 皆 為 若 前 項 和 為 50, 則 k (,,, ) 49 是 第 50 組 的 最 後 一 項 ; 又 因 為 第 一 組 有 項, 第 二 組 有 項,, 第 50 組 有 項, 所 以 50 49 50 = + + + + = =. 4
因 為 50 log 0.00 50 0.477.5540 = + =, 所 以 為 4 位 數 θ a =, 可 得 5. 令 ta θ a si =, cos = θ + a + a. 又 利 用 θ cos cos si θ θ = 及 si si cos θ = θ θ, 可 得 cos a a θ = = + a + a, siθ. 將 上 述 公 式 代 入 所 求 的 式 子, 得 5 7 9. 所 求 的 和 = + = = + + + + + 0.5 + 0.5 + ( 4) + ( 4) 0.5 0.5 ( 4) ( 4) 6 6. 從 假 設 條 件 可 得 等 式 7+ a + a = a + 4+ a = a + 6+ a = 7+ a + a 4 5 6 = a + 0 = a + a + a = 4 + a + a = + a, 4 5 6 4 6 其 中 7+ a + a = 0+ a 推 得 a =, a + 6 + a = + a 再 推 得 a = 5, 即 總 和 為 4 4 6 6 4+ a + a = 4+ 5+ =. 4 將 其 和 代 入 關 係 式 = + a = 0 + a 得 a 6 =, a 6 =, 代 入 關 係 式 = 7 + a + a = + a 得 a = 0, 代 入 關 係 式 = a + 4 + a = 4 + a 得 a 5 5 5 = 8 綜 合 這 些 計 算, 方 程 組 為 7x+ 5z = x+ y+ z = x+ y+ z = 4 6 8 6 利 用 高 斯 消 去 法 或 加 減 消 去 法, 可 以 解 得 =, =, =. x y z 5
7. 首 先 求 P, Q 兩 點 的 坐 標, P 點 坐 標 為 x+ y = x y = 7 P = x y x y 5 = = 4 (,, ). Q 點 坐 標 為 x y = 4 x y = 5 Q = x y x y + + + = = (,,). 接 下 來 計 算 線 段 PQ,P 點 至 平 面 E 的 距 離 d ( P, E ) 及 Q 點 至 平 面 E 的 距 離 dq (, E ) 如 下 : PQ = + + = ( ( )) ( ) ( ) 6 ; 4 (, E) = = ; d P (, E) = =. dq + + + + + + + + + 利 用 畢 氏 定 理, 線 段 PQ 在 平 面 E : x+ y+ z+ = 0上 的 正 射 影 長 為 4 ( (, ) (, )) 6 78. PQ d P E d Q E = = 8. 將 xz 平 面 上 的 圓 表 為 參 數 式 x + z = y = 0 ( ) ( x, y, z) = (cos t, 0,+ si t), t 為 實 數 若 通 過 點 (0,,) 與 (cos t, 0, + si t) 的 直 線 與 xy 平 面 相 交 於 點 ( x, y, 0), 則 t + t = = x 0 y 0 cos 0 0 ( si ), 解 得 x y+ cos t =, si t = y y. 6
利 用 + =, 得 cos t si t x y+ + = y y, 整 理, 得 x + y = 0. 9. 設 總 共 擲 骰 子 k 次, 討 論 如 下 : () i< 的 擲 法 第 一 次 擲 有 6 種 可 能, 之 後 的 每 一 回 都 不 能 與 上 一 回 相 同, 故 有 5 種 可 能, 而 最 後 第 i 回 i 與 第 i 回 相 同, 只 有 種, 所 以 共 有 6 5 種 () i = 的 擲 法 表 示 到 了 第 回 時 還 沒 有 重 複 的 點 數, 而 最 後 一 回 不 管 重 複 與 否 都 要 結 束, 故 有 種 結 果 6 5 6 一 共 有 種 i= 6 5 + 6 5 6= 5 i ( ) 0. 設 A 代 表 前 兩 次 都 擲 出 正 面 的 事 件, B 代 表 擲 出 小 於 或 等 於 4 次 的 事 件 P A ( ) i 6 C P A B + + B = = = = P B + + + + C i ( ) 0 6 i= 4 6 5. ( ) 4 8 8 8 56 70 6 = 0 i 8 7
動 手 玩 數 學 許 志 農 / 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 遊 戲 伸 出 你 的 左 手, 從 大 拇 指 開 始, 如 下 圖 所 示 那 樣 數 數 字,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, : 遊 戲 4 一 隻 大 烏 龜 馱 上 兩 隻 中 烏 龜, 這 兩 隻 中 烏 龜 的 重 量 都 是 大 烏 龜 的 八 分 之 ㄧ, 又 每 隻 中 烏 龜 又 背 著 兩 隻 小 烏 龜, 這 兩 隻 小 烏 龜 的 重 量 也 都 是 中 烏 龜 的 八 分 之 ㄧ, 如 此 疊 上 去 已 知 最 底 下 的 大 烏 龜 有 公 斤 重, 求 所 有 烏 龜 的 總 重 量? () 求 大 拇 指 所 數 的 第 個 數 為 何? 並 描 述 大 拇 指 所 數 的 數 之 規 律 () 數 到 999 時, 你 數 在 哪 個 手 指 上? ( 以 大 拇 指 食 指 中 指 無 名 指 或 小 指 回 答 ) 玩 鎖 玩 索 尋 找 規 律 或 發 現 公 式 一 直 是 數 學 活 動 中 很 受 重 視 的 一 環 例 如 95 學 年 度 學 測 第 G 題 就 是 幾 何 規 律 的 尋 找 問 題 : 用 黑 白 兩 種 顏 色 的 正 方 形 地 磚, 依 照 如 下 的 規 律 拼 成 若 干 圖 形 玩 鎖 玩 索 拋 物 線 與 弦 所 圍 的 區 域 稱 為 拋 物 線 的 弓 形, 世 界 上 第 一 位 會 算 拋 物 線 弓 形 面 積 的 人 是 兩 千 多 年 前 的 阿 基 米 德 阿 基 米 德 以 弦 為 底 畫 出 一 個 三 角 形, 之 後 在 兩 邊 再 各 畫 一 個 三 角 形, 如 下 圖 所 示 : 試 問 : 拼 第 95 個 圖 需 用 到 幾 塊 白 色 地 磚? 又 如 下 圖, 求 第 個 圖 的 白 色 正 六 邊 形 個 數? 這 也 是 一 道 尋 找 規 律 問 題 這 道 數 數 問 題 是 取 自 第 三 屆 華 羅 庚 金 杯 少 年 數 學 邀 請 賽 的 團 體 決 賽 口 試 試 題 阿 基 米 德 說 : 如 果 依 照 這 樣 的 規 律 一 直 畫 下 去, 那 麼 這 些 三 角 形 的 面 積 總 和 就 會 是 拋 物 線 的 弓 形 面 積 直 觀 看 來, 兩 者 的 差 異 愈 來 愈 小, 問 題 是, 這 些 三 角 形 有 無 窮 多 個, 而 且 不 知 道 其 面 積 總 和 該 如 何 求? 阿 基 米 德 進 一 步 說 : 馱 在 上 面 的 兩 個 三 角 形 之 面 積 和 是 底 下 這 個 三 角 形 面 積 的 四 分 之 8
ㄧ, 由 此 可 推 得 拋 物 線 的 弓 形 面 積 是 最 大 三 角 形 面 積 的 三 分 之 四 倍 在 沒 有 微 積 分 的 幫 忙 之 下, 能 夠 算 出 這 樣 的 結 果, 算 是 出 類 拔 萃 之 人, 在 我 們 學 會 多 項 式 的 微 積 分 之 後, 就 很 容 易 驗 證 阿 基 米 德 的 這 些 結 果 將 上 述 情 境 中 的 三 角 形 改 成 烏 龜, 面 積 視 為 烏 龜 的 重 量, 就 是 這 裡 所 談 的 問 題! 利 用 無 窮 等 比 級 數 的 求 和 公 式 算 烏 龜 的 重 量 總 和 阿 基 米 德 歐 幾 里 得 費 馬 與 高 斯 參 加 一 場 四 道 題 目 的 數 學 競 賽 賽 後 四 人 圍 在 一 起 討 論, 對 話 如 下 : 遊 戲 5 阿 基 米 德 說 : 第 一 題 及 第 四 題 都 沒 答 對 歐 幾 里 得 說 : 第 四 題 沒 答 對 費 馬 說 : 答 對 第 一 題 高 斯 說 : 答 對 第 四 題 四 人 各 答 對 一 題, 而 且 每 人 答 對 的 題 目 都 不 一 樣 ; 已 知 四 人 中, 三 人 說 了 實 話 問 誰 答 對 第 一 題, 又 誰 答 對 第 四 題? 玩 鎖 玩 索 這 是 馬 里 蘭 大 學 舉 辦, 高 中 數 學 競 賽 第 6 屆 第 二 部 分 五 個 題 目 中 的 第 一 題 ; 這 是 一 道 邏 輯 演 繹 與 推 理 的 問 題, 只 是 這 道 題 目 稍 微 複 雜 一 點 不 過, 將 所 有 可 能 情 形 討 論 一 遍, 必 定 可 以 找 出 答 案 9
下 圖 是 施 工 單 位 將 半 徑 相 同 的 大 型 水 管 堆 疊 在 一 起 的 截 面 圖 ( 底 層 的 三 個 水 管 是 隨 意 擺 放 的 ), 圖 中 是 六 個 遊 戲 6 半 徑 相 同 的 圓 相 切 的 情 形 最 左 側 最 右 側 與 最 上 邊 的 這 三 個 圓 之 圓 心 所 形 成 的 三 角 形 為 何 種 三 角 形? 可 以 證 明 你 的 答 案 嗎? 玩 鎖 玩 索 下 圖 是 由 長 度 一 樣 的 6 根 木 材 架 設 起 來 的 平 面 圖 : 在 這 平 面 圖 中, 最 左 側 最 右 側 與 最 上 邊 的 這 三 個 點 所 形 成 的 三 角 形 為 何 種 三 角 形? 可 以 證 明 你 的 答 案 嗎? 又 它 與 遊 戲 的 關 係 為 何? 將 上 述 圖 形 對 稱 於 直 線 AB, 得 到 下 圖 : 看 見 對 稱 之 美 了 嗎? 此 時, CR = CR = CQ + Q R = = AR. 試 著 完 成 上 述 的 部 分 0
動 手 玩 數 學 ~ 破 解 秘 笈 遊 戲 9 利 用 天 平 平 衡 時, 兩 邊 力 矩 相 等, 得 = = Qa m b Qb m a,, 解 得 a b m = Q, m = Q. b a 因 此 a b m + m Q+ Q b a a + b P = = = Q. ab 將 P 與 Q 相 減, 得 如 果 將 上 述 攤 平 的 左 下 角 定 坐 標 為 (0, 0), 右 上 角 定 坐 標 為 (8, 4), 那 麼 P = (8, ), Q = (0, ) 螞 蟻 爬 行 的 距 離 為 玩 鎖. 玩 索 解 答 (8 0) + ( ) = 68 = 7. 這 是 一 道 不 容 易 的 挑 戰 題, 答 案 跟 直 覺 相 違 背 如 圖 所 示, 在 右 側 面 對 角 線 四 分 之 ㄧ 處 a + b P Q = Q Q ab a ab+ b = Q ab ( a b) = Q > 0. ab 故 估 算 重 量 P 比 物 品 實 際 重 量 Q 重 遊 戲 0 () 將 魔 術 方 塊 定 坐 標, 左 後 下 角 定 為 原 點, 右 後 下 角 定 為 (4, 0, 0), 左 前 下 角 定 為 (0, 4, 0) 此 時 P = (4,, 4), Q = (0,, 0), 兩 點 的 直 線 距 離 為 (4 0) + ( ) + (4 0) = 6. () 因 為 螞 蟻 在 魔 術 方 塊 表 面 爬 行, 所 以 必 須 將 魔 術 方 塊 攤 平 考 慮 遊 戲 () a = 9, l =. () 因 為 每 個 灰 色 小 正 方 形 的 旁 邊 伴 隨 著 個 相 同 大 小 且 未 塗 色 的 正 方 形, 所 以 a 是 首 項, 公 比 的 等 比 數 列, 即 a =. 又 因 為 每 次 分 割 時, 邊 長 減 半, 所 以 l 是 首 項, 公 比 的 等 比 數 列, 即 Q P l =.
() 設 所 有 被 塗 成 灰 色 的 正 方 形 面 積 和 為 S, 由 () 知 道, 第 個 圖 所 新 增 的 灰 色 正 方 形 面 積 為 所 以 S a l = = 4 = + + + + 4 4 4 4 = 4 =.. (4) 由 () 知 道, 被 塗 成 灰 色 的 面 積 與 正 方 形 面 積 一 樣, 所 以 正 方 形 內 的 每 一 個 點 都 會 被 塗 成 灰 色 遊 戲 機 率 問 題 必 須 先 求 岀 樣 本 空 間, 兩 人 猜 拳 的 樣 本 空 間 可 以 用 序 對 表 示, 序 對 的 第 一 位 置 代 表 一 人 出 拳 情 形, 第 二 位 置 代 表 另 一 人 出 拳 情 形 因 此, 會 有 ( 剪 刀, 剪 刀 ),( 剪 刀, 石 頭 ),( 剪 刀, 布 ),( 石 頭, 剪 刀 ),( 石 頭, 石 頭 ),( 石 頭, 布 ),( 布, 剪 刀 ),( 布, 石 頭 ),( 布, 布 ) 共 9 種 情 形 所 以 平 手 有 種, 分 出 勝 負 有 6 種, 即 猜 一 次 拳 平 手 的 機 率 為 9 =, 而 分 出 勝 負 的 機 率 為 6 = 9 由 上 述 分 析, 得 猜 次 拳 才 分 出 勝 負 的 機 率, 即 前 次 平 手, 第 次 分 出 勝 負 的 機 率 為. 因 此, 兩 人 猜 拳 分 出 勝 負 的 期 望 次 數 為 將 後 式 減 去 前 式, 得 S = + = + =. = 故 兩 人 猜 拳, 平 均 要 猜.5 次 才 分 勝 負 玩 鎖. 玩 索 解 答 如 前 面 解 答, 可 以 將 三 人 一 起 猜 拳 ( 三 人 一 起 出 拳 ) 的 樣 本 空 間 表 成 三 個 位 置 的 序 對 將 樣 本 空 間 列 出, 共 有 = 7種, 其 中 兩 人 勝 一 人 有 9 種, 一 人 勝 兩 人 有 9 種, 而 平 手 有 9 種, 即 兩 人 勝 一 人 一 人 勝 兩 人 平 手 的 機 率 都 是 現 在 分 成 兩 種 情 形 討 論 : () 前 次 平 手, 第 次 一 人 勝 兩 人 的 機 率 為 =. 這 種 情 形 的 期 望 值 為. = = = () 前 次 平 手, 第 次 兩 人 勝 一 人 的 機 率 為 =. 接 下 來 剩 兩 人 猜 拳, 根 據 遊 戲 知 道 期 望 值 為.5 這 種 情 形 的 期 望 值 為 + (.5) = = =..5 + = = + 4 故 三 人 一 起 猜 拳, 平 均 要 猜. + + =.5 + 0.75 =.5 = = 4 次, 才 剛 好 有 一 人 勝 出 又 S = = = =. S =. =
一 對 龍 騰 數 亦 優 各 篇 文 章, 您 到 目 前 為 止 的 閱 讀 狀 態 如 何? 各 篇 文 章 的 參 考 價 值 如 何? 參 考 價 值 篇 名 閱 讀 狀 況 有 有 無 全 部 重 要 部 份 略 翻 完 全 沒 讀 讀 完 讀 完 分 享. 許 教 授 講 故 事 探 索. 阿 基 米 德 的 現 代 性 再 生 羊 皮 書 的 時 光 之 旅 妙 錦 囊. 數 學 繪 圖 軟 體 GeoGebra 風 潮 4. 另 一 個 觀 點 兩 條 歪 斜 線 必 存 在 一 條 公 垂 線 升 學 報 報 5. 師 大 數 學 系 96 學 年 度 推 薦 甄 選 入 學 指 定 項 目 筆 試 試 題 專 欄 6. 動 手 玩 數 學 整 體 而 言, 以 上 文 章 您 最 喜 歡 哪 一 篇? 編 號 : 為 什 麼? 二 內 容 實 用 度 讀 者 意 見 調 查 表 您 認 為 龍 騰 數 亦 優 最 實 用 的 三 篇 文 章 是 : () () () 您 認 為 龍 騰 數 亦 優 內 可 有 可 無 的 三 篇 文 章 是 : () () () 理 由 為 : 三 對 本 期 龍 騰 數 亦 優 的 意 見. 題 材 的 選 擇 恰 到 好 處 普 通 不 符 需 求. 內 容 的 深 度 艱 澀 難 懂 普 通 過 於 淺 顯. 實 用 的 效 果 效 果 佳 普 通 效 果 不 佳 4. 標 題 前 言 吸 引 人 普 通 不 吸 引 人 5. 照 片 插 畫 清 晰 簡 明 普 通 複 雜 模 糊 6. 整 體 呈 現 方 式 美 觀 大 方 普 通 不 利 閱 讀 您 對 本 書 之 整 體 意 見 : 五 個 人 資 料 姓 名 : 電 話 :(O) (H) 任 教 學 校 : 任 教 年 級 : 任 教 科 目 : 地 址 : E-mail:
親 愛 的 讀 者, 您 好 : 感 謝 您 對 龍 騰 數 亦 優 的 支 持, 秉 持 著 不 斷 精 益 求 精 的 一 貫 信 念, 我 們 特 別 設 計 了 這 份 問 卷, 希 望 藉 由 讀 者 的 看 法 及 意 見, 幫 助 我 們 更 加 精 進 謝 謝 您 耐 心 填 寫 此 信 問 卷, 再 次 感 謝 您 對 我 們 的 支 持 與 愛 護! 敬 祝 教 學 愉 快 龍 騰 數 亦 優 期 刊 敬 上 ------------------------------ 請 自 行 黏 貼 後 直 接 投 郵 ------------------------------ 廣 告 回 信 台 灣 北 區 郵 政 管 理 局 登 記 證 北 台 字 第 0 號 免 貼 郵 票. 限 時 專 送 48 台 北 縣 五 股 鄉 五 權 七 路 號 期 刊 編 輯 室 收