涉 及 知 识 点 多 解 题 过 程 比 较 复 杂 的 整 数 综 合 题, 以 及 基 本 依 靠 数 论 手 段 求 解 的 其 他 类 型 问 题. 1. 如 果 把 任 意 n 个 连 续 自 然 数 相 乘, 其 积 的 个 位 数 字 只 有 两 种 可 能, 那 么 n 是 多 少? 2. 如 果 四 个 两 位 质 数 a,b,c,d 两 两 不 同, 并 且 满 足, 等 式 a+b=c+d. 那 么, (1)a+b 的 最 小 可 能 值 是 多 少? (2)a+b 的 最 大 可 能 值 是 多 少?
3. 如 果 某 整 数 同 时 具 备 如 下 3 条 性 质 : 1 这 个 数 与 1 的 差 是 质 数 ; 2 这 个 数 除 以 2 所 得 的 商 也 是 质 数 ; 3 这 个 数 除 以 9 所 得 的 余 数 是 5. 那 么 我 们 称 这 个 整 数 为 幸 运 数. 求 出 所 有 的 两 位 幸 运 数. 4. 在 555555 的 约 数 中, 最 大 的 三 位 数 是 多 少?
5. 从 一 张 长 2002 毫 米, 宽 847 毫 米 的 长 方 形 纸 片 上, 剪 下 一 个 边 长 尽 可 能 大 的 正 方 形, 如 果 剩 下 的 部 分 不 是 正 方 形, 那 么 在 剩 下 的 纸 片 上 再 剪 下 一 个 边 长 尽 可 能 大 的 正 方 形. 按 照 上 面 的 过 程 不 断 地 重 复, 最 后 剪 得 正 方 形 的 边 长 是 多 少 毫 米? 6. 已 知 存 在 三 个 小 于 20 的 自 然 数, 它 们 的 最 大 公 约 数 是 1, 且 两 两 均 不 互 质. 请 写 出 所 有 可 能 的 答 案. 7. 把 26,33,34,35,63,85,91,143 分 成 若 干 组, 要 求 每 一 组 中 任 意 两 个 数 的 最 大 公 约 数 是 1. 那 么 最 少 要 分 成 多 少 组?
8. 图 10-1 中 两 个 圆 只 有 一 个 公 共 点 A, 大 圆 直 径 48 厘 米, 小 圆 直 径 30 厘 米. 两 只 甲 虫 同 时 从 A 出 发, 按 箭 头 所 指 的 方 向 以 相 同 的 速 度 分 别 爬 了 几 圈 时, 两 只 甲 虫 首 次 相 距 最 远? 9. 设 a 与 b 是 两 个 不 相 等 的 非 零 自 然 数. (1) 如 果 它 们 的 最 小 公 倍 数 是 72, 那 么 这 两 个 自 然 数 的 和 有 多 少 种 可 能 的 数 值? (2) 如 果 它 们 的 最 小 公 倍 数 是 60, 那 么 这 两 个 自 然 数 的 差 有 多 少 种 可 能 的 数 值?
1 3 10. 狐 狸 和 黄 鼠 狼 进 行 跳 跃 比 赛, 狐 狸 每 次 跳 4 米, 黄 鼠 狼 每 次 跳 2 米, 它 们 每 秒 钟 都 只 跳 一 次. 2 4 3 比 赛 途 中, 从 起 点 开 始 每 隔 12 米 设 有 一 个 陷 阱, 当 它 们 之 中 有 一 个 掉 进 陷 阱 时, 另 一 个 跳 了 多 少 米? 8 11. 在 小 于 1000 的 自 然 数 中, 分 别 除 以 18 及 33 所 得 余 数 相 同 的 数 有 多 少 个?( 余 数 可 以 为 0) 12. 甲 乙 丙 三 数 分 别 为 603,939,393. 某 数 A 除 甲 数 所 得 余 数 是 A 除 乙 数 所 得 余 数 的 2 倍,A 除 乙 数 所 得 余 数 是 A 除 丙 数 所 得 余 数 的 2 倍. 求 A 等 于 多 少?
13. 证 明 : 形 如 11,111,1111,11111, 的 数 中 没 有 完 全 平 方 数. 14. 有 8 个 盒 子, 各 盒 内 分 别 装 有 奶 糖 9,17,24,28,30,31,33,44 块. 甲 先 取 走 一 盒, 其 余 各 盒 被 乙 丙 丁 3 人 所 取 走. 已 知 乙 丙 取 到 的 糖 的 块 数 相 同 且 为 丁 的 2 倍. 问 : 甲 取 走 的 一 盒 中 有 多 少 块 奶 糖? 15. 在 一 根 长 木 棍 上, 有 三 种 刻 度 线. 第 一 种 刻 度 线 将 木 棍 分 成 10 等 份 ; 第 二 种 将 木 棍 分 成 12 等 份 ; 第 三 种 将 木 棍 分 成 15 等 份. 如 果 沿 每 条 刻 度 线 将 木 棍 锯 断, 那 么 木 棍 总 共 被 锯 成 多 少 段?
各 种 涉 及 长 方 体 立 方 体 圆 柱 圆 锥 等 立 体 图 形 表 面 积 与 体 积 的 计 算 问 题, 解 题 时 考 虑 沿 某 个 方 向 的 投 影 常 能 发 挥 明 显 的 作 用. 较 为 复 杂 的 是 与 剪 切 拼 接 染 色 等 相 关 联 的 立 体 几 何 问 题. 第 六 届 : 华 罗 庚 金 杯 少 年 数 学 邀 请 赛 初 赛 第 12 题 ( 略 有 改 动 ) 1. 用 棱 长 是 1 厘 米 的 立 方 块 拼 成 如 图 11-1 所 示 的 立 体 图 形, 问 该 图 形 的 表 面 积 是 多 少 平 方 厘 米? 2. 如 图 11-2, 有 一 个 边 长 是 5 的 立 方 体, 如 果 它 的 左 上 方 截 去 一 个 边 分 别 是 5,3,2 的 长 方 体, 那 么 它 的 表 面 积 减 少 了 百 分 之 几?
3. 如 图 11-3, 一 个 正 方 体 形 状 的 木 块, 棱 长 l 米, 沿 水 平 方 向 将 它 锯 成 3 片, 每 片 又 锯 成 4 长 条, 每 条 又 锯 成 5 小 块, 共 得 到 大 大 小 小 的 长 方 体 60 块. 那 么, 这 60 块 长 方 体 表 面 积 的 和 是 多 少 平 方 米? 4. 图 11-4 中 是 一 个 边 长 为 4 厘 米 的 正 方 体, 分 别 在 前 后 左 右 上 下 各 面 的 中 心 位 置 挖 去 一 个 边 长 l 厘 米 的 正 方 体, 做 成 一 种 玩 具. 它 的 表 面 积 是 多 少 平 方 厘 米? 5. 图 11-5 是 一 个 边 长 为 2 厘 米 的 正 方 体. 在 正 方 体 的 上 面 的 正 中 向 下 挖 一 个 边 长 为 1 厘 米 的 正 方 体 1 小 间 ; 接 着 在 小 洞 的 底 面 正 中 再 向 下 挖 一 个 边 长 为 厘 米 的 小 洞 ; 第 三 个 小 洞 的 挖 法 与 前 两 个 相 同, 边 长 2 1 为 厘 米. 那 么 最 后 得 到 的 立 体 图 形 的 表 面 积 是 多 少 平 方 厘 米? 4
6. 有 大 中 小 3 个 正 方 形 水 池, 它 们 的 内 边 长 分 别 是 6 米 3 米 2 米. 把 两 堆 碎 石 分 别 沉 没 在 中 小 水 池 的 水 里, 两 个 水 池 的 水 面 分 别 升 高 了 6 厘 米 和 4 米. 如 果 将 这 两 堆 碎 石 都 沉 没 在 大 水 池 的 水 里, 大 水 池 的 水 面 升 高 了 多 少 厘 米 7. 如 图 11-6, 从 长 为 13 厘 米, 宽 为 9 厘 米 的 长 方 形 硬 纸 板 的 四 角 去 掉 边 长 2 米 的 正 方 形, 然 后, 沿 虚 线 折 叠 成 长 方 体 容 器. 这 个 容 器 的 体 积 是 多 少 立 方 厘 米? 8. 今 有 一 个 长 宽 高 分 别 为 21 厘 米 15 厘 米 12 厘 米 的 长 方 体. 现 从 它 的 上 面 尽 可 能 大 的 切 下 一 个 正 方 体, 然 后 从 剩 余 的 部 分 再 尽 可 能 大 的 切 下 一 个 正 方 体, 最 后 再 从 第 二 次 剩 余 的 部 分 尽 可 能 大 的 切 下 一 个 正 方 体. 问 剩 下 的 体 积 是 多 少 立 方 厘 米?
9. 如 图 11-7, 有 一 个 圆 柱 和 一 个 圆 锥, 它 们 的 高 和 底 面 直 径 都 标 在 图 上, 单 位 是 厘 米. 那 么, 圆 锥 体 积 与 圆 柱 体 积 的 比 是 多 少? 10. 张 大 爷 去 年 用 长 2 米 宽 1 米 的 长 方 形 苇 席 围 成 容 积 最 大 的 圆 柱 形 粮 囤. 今 年 改 用 长 3 米 宽 2 米 的 长 方 形 苇 席 围 成 容 积 最 大 的 圆 柱 形 的 粮 囤. 问 : 今 年 粮 囤 的 容 积 是 去 年 粮 囤 容 积 的 多 少 倍? 11. 一 个 盛 有 水 的 圆 柱 形 容 器 底 面 内 半 径 为 5 厘 米, 深 20 厘 米, 水 深 15 厘 米. 今 将 一 个 底 面 半 径 为 2 厘 米, 高 为 18 厘 米 的 铁 圆 柱 垂 直 放 人 容 器 中. 求 这 时 容 器 的 水 深 是 多 少 厘 米?
12. 如 图 ll-8, 用 高 都 是 1 米, 底 面 半 径 分 别 为 1.5 米 1 米 和 0.5 米 的 3 个 圆 柱 组 成 一 个 物 体. 问 这 个 物 体 的 表 面 积 是 多 少 平 方 米?(π 取 3.14) 13. 某 工 人 用 薄 木 板 钉 成 一 个 长 方 体 的 邮 件 包 装 箱, 并 用 尼 龙 编 织 条 如 图 11-9 所 示 在 三 个 方 向 上 加 固. 所 用 尼 龙 编 织 条 的 长 分 别 为 365 厘 米 405 厘 米 485 厘 米. 若 每 个 尼 龙 条 加 固 时 接 头 处 都 重 叠 5 厘 米, 则 这 个 长 方 体 包 装 箱 的 体 积 是 多 少 立 方 米?
14. 有 甲 乙 丙 3 种 大 小 不 同 的 正 方 体 木 块, 其 中 甲 的 棱 长 是 乙 的 棱 长 的 1 2, 2 乙 的 棱 长 是 丙 的 棱 长 的 3. 如 果 用 甲 乙 丙 3 种 木 块 拼 成 一 个 体 积 尽 可 能 小 的 大 正 体, 每 种 至 少 用 一 块, 那 么 最 少 需 要 这 3 种 木 块 一 共 多 少 块? 15. 有 6 个 相 同 的 棱 长 分 别 是 3 厘 米 4 厘 米 5 厘 米 的 长 方 体, 把 它 们 的 某 划 面 染 上 红 色, 使 得 有 的 长 方 体 只 有 1 个 面 是 红 色 的, 有 的 长 方 体 恰 有 2 个 面 是 红 色 的, 有 的 长 方 体 恰 有 3 个 面 是 红 色 的, 有 的 长 方 体 恰 有 4 个 面 是 红 色 的, 有 的 长 方 体 恰 有 5 个 面 是 红 色 的, 还 有 一 个 长 方 体 6 个 面 都 是 红 色 的, 染 色 后 把 所 有 长 ; 方 体 分 割 成 棱 长 为 1 厘 米 的 小 正 方 体. 分 割 完 毕 后, 恰 有 一 面 是 红 色 的 小 正 方 体 ; 最 多 有 多 少 个?
几 何 图 形 的 设 计 与 构 造. 涉 及 比 例 与 整 数 分 解, 需 要 添 加 辅 助 线 寻 找 规 律 或 利 用 对 称 性 解 的 较 为 复 杂 的 直 线 形 和 圆 的 周 长 与 面 积 计 算 问 题. 1. 今 有 9 盆 花 要 在 平 地 上 摆 成 9 行, 其 中 每 盆 花 都 有 3 行 通 过, 而 且 每 行 都 通 过 3 盆 花. 请 你 给 出 一 种 设 计 方 案, 画 图 时 用 点 表 示 花, 用 直 线 表 示 行.
2. 已 知 如 图 12-1, 一 个 六 边 形 的 6 个 内 角 都 是 120, 其 连 续 四 边 的 长 依 次 是 1 9 9 5 厘 米. 求 这 个 六 边 形 的 周 长. 3. 图 12-2 中 共 有 16 条 线 段, 每 两 条 相 邻 的 线 段 都 是 互 相 垂 直 的. 为 了 计 算 出 这 个 图 形 的 周 长, 最 少 要 量 出 多 少 条 线 段 的 长 度? 4. 将 图 12-3 中 的 三 角 形 纸 片 沿 虚 线 折 叠 得 到 图 12-4, 其 中 的 粗 实 线 图 形 面 积 与 原 三 角 形 面 积 之 比 为 2:3. 已 知 图 12-4 中 3 个 画 阴 影 的 三 角 形 面 积 之 和 为 1, 那 么 重 叠 部 分 的 面 积 为 多 少?
米? 5. 如 图 12-5, 涂 阴 影 部 分 的 小 正 六 角 星 形 面 积 是 16 平 方 厘 米. 问 : 大 正 六 角 星 形 的 面 积 是 多 少 平 方 厘 是 多 少? 6. 如 图 12-6 所 示, 在 三 角 形 ABC 中,DC=3BD,DE=EA. 若 三 角 形 ABC 的 面 积 是 1. 则 阴 影 部 分 的 面 积 7. 如 图 12-7,P 是 三 角 形 ABC 内 一 点,DE 平 行 于 AB,FG 平 行 于 BC,HI 平 行 于 CA, 四 边 形 AIPD 的 面 积 是 12, 四 边 形 PGCH 的 面 积 是 15, 四 边 形 BEPF 的 面 积 是 20. 那 么 三 角 形 ABC 的 面 积 是 多 少?
8. 如 图 12-8, 长 方 形 的 面 积 是 小 于 100 的 整 数, 它 的 内 部 有 三 个 边 长 是 整 数 的 正 方 形,1 号 正 方 形 5 的 边 长 是 长 方 形 长 的 12,2 1 号 正 方 形 的 边 长 是 长 方 形 宽 的 8. 那 么, 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 多 少? 9. 如 图 12-9, 三 个 一 样 大 小 的 正 方 形 放 在 一 个 长 方 形 的 盒 内,A 和 B 是 两 个 正 方 形 重 叠 部 分,C,D, E 是 空 出 的 部 分, 这 些 部 分 都 是 长 方 形, 它 们 的 面 积 比 是 A:B:C:D:E=1:2:3:4:5. 那 么 这 个 长 方 形 的 长 与 宽 之 比 是 多 少? 10. 如 图 12-10, 红 黄 绿 三 块 大 小 一 样 的 正 方 形 纸 片, 放 在 一 个 正 方 形 盒 内, 它 们 之 间 互 相 叠 合. 已 知 露 在 外 面 的 部 分 中, 红 色 的 面 积 是 20, 黄 色 的 面 积 是 14, 绿 色 的 面 积 是 lo. 那 么, 正 方 形 盒 子 的 底 面 积 是 多 少?
11. 如 图 12-11, 在 长 260 厘 米, 宽 150 厘 米 的 台 球 桌 上, 有 6 个 球 袋 A,B,C,D,E,F, 其 中 AB=EF=130 厘 米. 现 在 从 4 处 沿 45 方 向 打 出 一 球, 碰 到 桌 边 后 又 沿 45 方 向 弹 出, 当 再 碰 到 桌 边 时, 仍 沿 45 方 向 弹 出, 如 此 继 续 下 去. 假 如 球 可 以 一 直 运 动, 直 至 落 入 某 个 球 袋 中 为 止, 那 么 它 将 落 人 哪 个 袋 中? 12. 长 方 形 ABCD 是 一 个 弹 子 盘, 四 角 有 洞. 弹 子 从 A 出 发, 路 线 与 边 成 45 度 角, 撞 到 边 界 即 反 弹, 并 一 直 按 此 规 律 运 动, 直 到 落 人 一 个 洞 内 为 止. 如 图 12-12. 当 AB=4,AD=3 时, 弹 子 最 后 落 入 B 洞. 问 : 若 AB=1995,AD=1994 时, 弹 子 最 后 落 入 哪 个 洞? 在 落 入 洞 之 前, 撞 击 BC 边 多 少 次?
13.10 个 一 样 大 的 圆 摆 成 如 图 12-13 所 示 的 形 状. 过 图 中 所 示 两 个 圆 心 A,B 作 直 线, 那 么 直 线 右 上 方 圆 内 图 形 面 积 总 和 与 直 线 左 下 圆 内 图 形 面 积 总 和 的 比 是 多 少? 14. 在 图 12-14 中, 一 个 圆 的 圆 心 是 0, 半 径 r=9 厘 米, 1= 2=15. 那 么 阴 影 部 分 的 面 积 是 多 少 平 方 厘 米?(π 取 3.14) 15. 图 12-15 是 由 正 方 形 和 半 圆 形 组 成 的 图 形. 其 中 P 点 为 半 圆 周 的 中 点,Q 点 为 正 方 形 一 边 的 中 点. 已 知 正 方 形 的 边 长 为 10, 那 么 阴 影 部 分 的 面 积 是 多 少?(π 取 3.14)
内 容 概 述 仁 化 学 校 6 年 级 奥 数 思 维 导 引 下 学 生 版 第 14 讲 数 字 谜 综 合 各 种 具 有 相 当 难 度 求 解 需 要 综 合 应 用 多 方 面 知 识 的 竖 式 横 式 数 字 及 数 阵 图 等 类 型 的 数 字 谜 问 题. 典 型 问 题 1.ABCD 表 示 一 个 四 位 数,EFG 表 示 一 个 三 位 数,A,B,C,D,E,F,G 代 表 1 至 9 中 的 不 同 的 数 字. 已 知 ABCD+EFG=1993, 问 : 乘 积 ABCD EFG 的 最 大 值 与 最 小 值 相 差 多 少? 1 2. 有 9 个 分 数 的 和 为 1, 它 们 的 分 子 都 是 1. 其 中 的 5 个 是 3, 1 7, 1 9, 1 11, 1 另 外 4 个 数 的 分 母 个 位 数 33 字 都 是 5. 请 写 出 这 4 个 分 数.
3. 请 在 上 面 算 式 的 每 个 方 格 内 填 入 一 个 数 字, 使 其 成 为 正 确 的 等 式. 4. 小 明 按 照 下 列 算 式 : 乙 组 的 数 口 甲 组 的 数 1= 对 甲 乙 两 组 数 逐 个 进 行 计 算, 其 中 方 框 是 乘 号 或 除 号, 圆 圈 是 加 号 或 减 号 他 将 计 算 结 果 填 入 表 14 1 的 表 中. 有 人 发 现 表 中 14 个 数 中 有 两 个 数 是 错 的 请 你 改 正. 问 改 正 后 的 两 个 数 的 和 是 多 少?
5. 图 14 3 中 有 大 中 小 3 个 正 方 形, 组 成 了 8 个 三 角 形. 现 在 先 把 1,2,3,4 分 别 填 在 大 正 方 形 的 4 个 顶 点 上, 再 把 1,2,3,4 分 别 填 在 中 正 方 形 的 4 个 顶 点 上, 最 后 把 1,2,3,4 分 别 填 在 小 正 方 形 的 4 个 项 点 上. (1) 能 否 使 8 个 三 角 形 顶 点 上 数 字 之 和 都 相 等? 如 果 能, 请 给 出 填 数 方 法 : 如 果 不 能, 请 说 明 理 由. (2) 能 否 使 8 个 三 角 形 顶 点 上 数 字 之 和 各 不 相 同? 如 果 能, 请 给 出 填 数 方 法 ; 如 果 不 能, 请 说 明 理 由.
6. 图 14 5 中 有 11 条 直 线. 请 将 1 至 11 这 11 个 数 分 别 填 在 11 个 圆 圈 里, 使 每 一 条 直 线 上 所 有 数 的 和 相 等. 求 这 个 相 等 的 和 以 及 标 有 * 的 圆 圈 中 所 填 的 数. 7. 一 个 六 位 数, 把 个 位 数 字 移 到 最 前 面 便 得 到 一 个 新 的 六 位 数, 再 将 这 个 六 位 数 的 个 位 数 字 移 到 最 前 面 又 得 到 一 个 新 的 六 位 数, 如 此 共 进 行 5 次 所 得 的 新 数 连 同 原 来 的 六 位 数 共 6 个 数 称 为 一 组 循 环 数. 已 知 一 个 六 位 数 所 生 成 的 一 组 循 环 数 恰 巧 分 别 为 此 数 的 l 倍,2 倍,3 倍,4 倍,5 倍,6 倍, 求 这 个 六 位 数.
内 容 概 述 仁 化 学 校 6 年 级 奥 数 思 维 导 引 下 学 生 版 第 15 讲 计 数 综 合 1 将 关 键 的 已 知 数 据 看 作 变 量, 得 到 一 类 结 构 相 同 的 计 数 问 题, 通 过 建 立 这 些 问 题 的 结 果 所 构 成 数 列 的 递 推 关 系, 逐 步 地 求 得 原 问 题 的 答 案. 与 分 数 几 何 等 相 关 联 的 计 数 综 合 题. 典 型 问 题 1. 一 个 长 方 形 把 平 面 分 成 两 部 分, 那 么 3 个 长 方 形 最 多 把 平 面 分 成 多 少 部 分? 2. 一 个 楼 梯 共 有 10 级 台 阶, 规 定 每 步 可 以 迈 1 级 台 阶 或 2 级 台 阶, 最 多 可 以 迈 3 级 台 阶. 从 地 面 到 最 上 面 1 级 台 阶, 一 共 可 以 有 多 少 种 不 同 的 走 法?
3. 一 个 圆 上 有 12 个 点 A 1,A 2,A 3,,A 11,A 12. 以 它 们 为 顶 点 连 三 角 形, 使 每 个 点 恰 好 是 一 个 三 角 形 的 顶 点, 且 各 个 三 角 形 的 边 都 不 相 交. 问 共 有 多 少 种 不 同 的 连 法? 4. 现 在 流 行 的 变 速 自 行 车, 在 主 动 轴 和 后 轴 分 别 安 装 了 几 个 齿 数 不 同 的 齿 轮. 用 链 条 连 接 不 同 搭 配 的 齿 轮, 通 过 不 同 的 传 动 比 获 得 若 干 挡 不 同 的 车 速. 希 望 牌 变 速 自 行 车 主 动 轴 上 有 3 个 齿 轮, 齿 数 分 别 是 48,36,24; 后 轴 上 有 4 个 齿 轮, 齿 数 分 别 是 36,24,16,12. 问 : 这 种 变 速 车 一 共 有 多 少 挡 不 同 的 车 速? 5. 分 子 小 于 6, 分 母 小 于 60 的 不 可 约 真 分 数 有 多 少 个?
6. 一 个 正 方 形 的 内 部 有 1996 个 点, 以 正 方 形 的 4 个 顶 点 和 内 部 的 1996 个 点 为 顶 点, 将 它 剪 成 一 些 三 角 形. 问 : 一 共 可 以 剪 成 多 少 个 三 角 形? 如 果 沿 上 述 这 些 点 中 某 两 点 之 间 所 连 的 线 段 剪 开 算 作 一 刀, 那 么 共 需 剪 多 少 刀? 7. 如 图 15 3, 某 城 市 的 街 道 由 5 条 东 西 与 7 条 南 北 向 马 路 组 成. 现 在 要 从 西 南 角 的 A 处 沿 最 短 路 线 走 到 东 北 角 的 B 处, 由 于 修 路 十 字 路 口 C 不 能 通 过, 那 么 共 有 多 少 种 不 同 走 法? 8. 经 理 将 要 打 印 的 信 件 交 给 秘 书, 每 次 给 一 封, 且 放 在 信 封 的 最 上 面, 秘 书 一 有 空 就 从 最 上 面 拿 一 封 信 来 打. 有 一 天 共 有 9 封 信 打, 经 理 按 第 1 封, 第 2 封,, 第 9 封 的 顺 序 交 给 秘 书. 午 饭 时, 秘 书 告 诉 同 事, 已 把 第 8 封 信 打 印 好 了, 但 未 透 露 上 午 工 作 的 其 他 情 况, 这 个 同 事 很 想 知 道 是 按 什 么 顺 序 来 打 印. 根 据 以 上 信 息, 下 午 打 印 的 信 的 顺 序 有 多 少 种 可 能?( 没 有 要 打 的 信 也 是 一 种 可 能 )
第 16 讲 逻 辑 推 理 内 容 概 述 体 育 比 赛 形 式 的 逻 辑 推 理 问 题, 其 中 存 在 的 呼 应 一 队 的 胜 负 平 分 对 应 着 另 一 队 的 负 平 胜 对 解 题 有 重 要 作 用, 有 时 宜 将 比 赛 情 况 用 点 以 及 连 这 些 点 的 线 来 表 示. 需 要 从 整 体 考 虑, 涉 及 数 量 比 较 整 数 分 解 等 具 有 一 定 综 性 的 逻 辑 推 理 问 题. 典 型 问 题 1. 共 有 4 人 进 行 跳 远 百 米 铅 球 跳 高 4 项 比 赛, 规 定 每 个 单 项 中, 第 一 名 记 5 分, 第 二 名 记 3 分, 第 三 名 记 2 分, 第 四 名 记 1 分. 已 知 在 每 一 单 项 比 赛 中 都 没 有 并 列 名 次, 并 且 总 分 第 一 名 共 获 17 分, 其 中 跳 高 得 分 低 于 其 他 项 得 分 ; 总 分 第 三 名 共 获 11 分, 其 中 跳 高 得 分 高 于 其 他 项 得 分. 问 总 分 第 二 名 在 铅 球 项 目 中 的 得 分 是 多 少? 2.4 支 足 球 队 进 行 单 循 环 比 赛, 即 每 两 队 之 间 都 比 赛 一 场. 每 场 比 赛 胜 者 得 3 分, 负 者 得 0 分, 平 局 各 得 1 分. 比 赛 结 果, 各 队 的 总 得 分 恰 好 是 4 个 连 续 的 自 然 数. 问 : 输 给 第 一 名 的 队 的 总 分 是 多 少?
评 注 : 常 见 的 体 育 比 赛 模 式 N 个 队 进 行 淘 汰 赛, 至 少 要 打 N 1场 比 赛 : 每 场 比 赛 淘 汰 一 名 选 手 ; 2 N( N 1) N 个 队 进 行 循 环 赛, 一 共 要 打 C N = 场 比 赛 : 每 个 队 要 打 N 1场 比 赛. 2 循 环 赛 中 常 见 的 积 分 方 式 : 1 两 分 制 : 胜 一 场 得 2 分, 平 一 场 得 1 分, 负 一 场 得 0 分 ; 核 心 关 系 : 总 积 分 =2 比 赛 场 次 ; 2 三 分 制 : 胜 一 场 得 3 分, 平 一 场 得 1 分, 负 一 场 得 O 分 ; 核 心 关 系 : 总 计 分 =3 比 赛 场 次 -1 赛 平 场 次. 3. 6 支 足 球 队 进 行 单 循 环 比 赛, 即 每 两 队 之 间 都 比 赛 一 场. 每 场 比 赛 胜 者 得 3 分, 负 者 得 0 分, 平 局 各 得 1 分. 现 在 比 赛 已 进 行 了 4 轮, 即 每 队 都 已 与 4 个 队 比 赛 过, 各 队 已 赛 4 场 的 得 分 之 和 互 不 相 同. 已 知 总 得 分 居 第 三 位 的 队 共 得 7 分, 并 且 有 4 场 球 踢 成 平 局, 那 么 总 得 分 居 第 五 位 的 队 最 多 可 得 多 少 分? 最 少 可 得 多 少 分? 4. 某 商 品 的 编 号 是 一 个 三 位 数. 现 有 5 个 三 位 数 :874,765,123,364,925, 其 中 每 一 个 数 与 商 品 编 号, 恰 好 在 同 一 位 上 有 一 个 相 同 的 数 字. 那 么 这 个 三 位 数 是 多 少?
5. 某 楼 住 着 4 个 女 孩 和 2 个 男 孩, 他 们 的 年 龄 各 不 相 同, 最 大 的 10 岁, 最 小 的 4 岁, 最 大 的 女 孩 比 最 小 的 男 孩 大 4 岁, 最 大 的 男 孩 比 最 小 的 女 孩 大 4 岁. 求 最 大 的 男 孩 的 岁 数. 6. 某 次 考 试 满 分 是 100 分,A,B,C,D,E 这 5 个 人 参 加 了 这 次 考 试. A 说 : 我 得 了 94 分. B 说 : 我 在 5 个 人 中 得 分 最 高. C 说 : 我 的 得 分 是 A 和 D 的 平 均 分, 且 为 整 数. D 说 : 我 的 得 分 恰 好 是 5 个 人 的 平 均 分. E 说 : 我 比 C 多 得 了 2 分, 并 且 在 5 个 人 中 居 第 二. 问 这 5 个 人 各 得 了 多 少 分?
7. 在 一 次 射 击 练 习 中, 甲 乙 丙 3 位 战 士 各 打 了 4 发 子 弹, 全 部 中 靶. 其 命 中 情 况 如 下 : 1 每 人 4 发 子 弹 所 命 中 的 环 数 各 不 相 同 ; 2 每 人 4 发 子 弹 所 命 中 的 总 环 数 均 为 17 环 ; 3 乙 有 2 发 命 中 的 环 数 分 别 与 甲 其 中 的 2 发 一 样, 乙 另 2 发 命 中 的 环 数 与 丙 其 中 的 2 发 一 样 : 4 甲 与 丙 只 有 1 发 环 数 相 同 ; 5 每 人 每 发 子 弹 的 最 好 成 绩 不 超 过 7 环. 问 : 甲 与 丙 命 中 的 相 同 环 数 是 几?
第 20 讲 列 方 程 解 应 用 题 内 容 概 述 列 方 程 解 决 问 题 是 一 种 很 重 要 的 通 法, 以 前 我 们 往 往 将 应 用 题 分 成 : 鸡 兔 同 笼 年 龄 问 题 还 原 问 题 等 等, 再 归 纳 出 每 一 类 问 题 的 解 法. 而 现 在 我 们 就 可 以 利 用 方 程 统 一 来 考 虑 这 些 问 题. 方 程 思 想 的 建 立 可 以 说 是 一 个 很 大 的 飞 跃. 下 面 我 们 就 如 何 找 好 等 量 关 系, 如 何 建 立 方 程 给 出 一 些 示 范, 希 望 大 家 体 会 掌 握 以 提 高 自 己 的 解 题 能 力. 典 型 问 题 1 1. 有 一 篮 子 鸡 蛋 分 给 若 干 人, 第 一 人 拿 走 1 个 鸡 蛋 和 余 下 的 9, 1 第 二 人 拿 走 2 个 和 余 下 的 9, 第 三 人 1 拿 走 3 个 和 余 下 的 9,, 最 后 恰 好 分 完, 并 且 每 人 分 到 的 鸡 蛋 数 相 同, 问 : 共 有 多 少 鸡 蛋? 分 给 几 个 人? 2. 某 人 每 日 下 午 5 时 下 班 后 有 一 辆 汽 车 按 时 接 他 回 家. 有 一 天, 他 提 前 l 小 时 下 班, 因 汽 车 未 到, 遂 步 行 返 家, 在 途 中 遇 到 来 接 他 的 汽 车, 因 而 比 平 日 早 16 分 钟 到 家, 问 此 人 是 步 行 几 分 钟 后 遇 见 汽 车 的?
3. 一 次 数 学 竞 赛 中 共 有 A B C 三 道 题,25 名 参 赛 者 每 人 至 少 答 对 了 一 题. 在 所 有 没 有 答 对 A 的 学 生 中, 答 对 B 的 人 数 是 答 对 C 的 人 数 的 两 倍, 只 答 对 问 题 A 的 人 数 比 既 答 对 A 又 至 少 答 对 其 他 一 题 的 人 数 多 1. 又 已 知 在 所 有 恰 好 答 对 一 题 的 参 赛 者 中, 有 一 半 没 有 答 对 A. 请 问 有 多 少 学 生 只 答 对 B? 4. 河 水 是 流 动 的, 在 Q 点 处 流 入 静 止 的 湖 中, 一 游 泳 者 在 河 中 顺 流 从 P 到 Q, 然 后 穿 过 湖 到 R, 共 用 3 小 时. 若 他 由 R 到 Q 再 到 P, 共 需 6 小 时. 如 果 湖 水 也 是 流 动 的, 速 度 等 于 河 水 的 速 度, 那 么 从 P 到 Q 再 到 R 需 5 小 时. 问 在 这 样 的 条 件 下, 从 R 到 Q 再 到 P 需 几 小 时? 2
内 容 概 述 第 24 讲 应 用 题 综 合 较 为 复 杂 的 以 成 本 与 利 润 溶 液 的 浓 度 等 为 内 容 的 分 数 与 百 分 数 应 用 题. 要 利 用 整 数 知 识, 或 进 行 分 类 讨 论 的 综 合 性 和 差 倍 分 问 题. 典 型 问 题 1. 某 店 原 来 将 一 批 苹 果 按 100% 的 利 润 ( 即 利 润 是 成 本 的 100%) 定 价 出 售. 由 于 定 价 过 高, 无 人 购 买. 后 来 不 得 不 按 38% 的 利 润 重 新 定 价, 这 样 出 售 了 其 中 的 40%. 此 时, 因 害 怕 剩 余 水 果 腐 烂 变 质, 不 得 不 再 次 降 价, 售 出 了 剩 余 的 全 部 水 果. 结 果, 实 际 获 得 的 总 利 润 是 原 定 利 润 的 30.2%. 那 么 第 二 次 降 价 后 的 价 格 是 原 定 价 的 百 分 之 多 少? 2. 某 商 品 76 件, 出 售 给 33 位 顾 客, 每 位 顾 客 最 多 买 三 件. 如 果 买 一 件 按 原 定 价, 买 两 件 降 价 10%, 买 三 件 降 价 20%, 最 后 结 算, 平 均 每 件 恰 好 按 原 定 价 的 85% 出 售. 那 么 买 三 件 的 顾 客 有 多 少 人? 3. 甲 容 器 中 有 纯 酒 精 11 立 方 分 米, 乙 容 器 中 有 水 15 立 方 分 米. 第 一 次 将 甲 容 器 中 的 一 部 分 纯 酒 精 倒 入 乙 容 器, 使 酒 精 与 水 混 合 ; 第 二 次 将 乙 容 器 中 的 一 部 分 混 合 液 倒 人 甲 容 器. 这 样 甲 容 器 中 的 纯 酒 精 含 量 为 62.5%, 乙 容 器 中 的 纯 酒 精 含 量 为 25%. 那 么, 第 二 次 从 乙 容 器 倒 入 甲 容 器 的 混 合 液 是 多 少 立 方 分 米?
4.1994 年 我 国 粮 食 总 产 量 达 到 4500 亿 千 克, 年 人 均 375 千 克. 据 估 测, 我 国 现 有 耕 地 1.39 亿 公 顷, 其 中 约 有 一 半 为 山 地 丘 陵. 平 原 地 区 平 均 产 量 已 超 过 每 公 顷 4000 千 克, 若 按 现 有 的 潜 力, 到 2030 年 使 平 原 地 区 产 量 增 产 七 成, 并 使 山 地 丘 陵 地 区 产 量 增 加 二 成 是 很 有 把 握 的. 同 时 在 20 世 纪 末 把 我 国 人 口 总 数 控 制 在 12.7 亿 以 内, 且 在 21 世 纪 保 持 人 口 每 年 的 自 然 增 长 率 低 于 千 分 之 九 或 每 十 年 自 然 增 长 率 不 超 过 10%. 请 问 : 到 2030 年 我 国 粮 食 产 量 能 超 过 年 人 均 400 千 克 吗? 试 简 要 说 明 理 由. 5. 要 生 产 基 种 产 品 100 吨, 需 用 A 种 原 料 200 吨,B 种 原 料 200.5 吨, 或 C 种 原 料 195.5 吨, 或 D 种 原 料 192 吨, 或 E 种 原 料 180 吨. 现 知 用 A 种 原 料 及 另 外 一 种 ( 指 B,C,D,E 中 的 一 种 ) 原 料 共 19 吨 生 产 此 种 产 品 10 吨. 试 分 析 所 用 另 外 一 种 原 料 是 哪 一 种, 这 两 种 原 料 各 用 了 多 少 吨? 6. 有 4 位 朋 友 的 体 重 都 是 整 千 克 数, 他 们 两 两 合 称 体 重, 共 称 了 5 次, 称 得 的 千 克 数 分 别 是 99,113, 125,130,144. 其 中 有 两 人 没 有 一 起 称 过, 那 么 这 两 个 人 中 体 重 较 重 的 人 的 体 重 是 多 少 千 克?
补 充 选 讲 问 题 1 A B C 四 个 整 数, 满 足 A+B+C=2001, 而 且 1<A<B<C, 这 四 个 整 数 两 两 求 和 得 到 六 个 数, 把 这 6 个 数 按 从 小 到 大 排 列 起 来, 恰 好 构 成 一 个 等 差 数 列 请 问 :A B C 分 别 为 多 少? 7. 甲 乙 两 人 参 加 同 一 场 考 试, 又 同 时 在 上 午 10 点 离 开 考 场, 同 时 午 饭. 但 甲 说 : 我 是 在 午 饭 前 2 小 时 与 考 试 开 始 后 1.5 小 时 这 两 个 时 间 中 较 早 的 一 个 时 间 离 开 考 场 的. 乙 说 : 我 是 在 午 饭 前 2.5 小 时 与 考 试 后 1 小 时 这 两 个 时 间 中 较 晚 的 一 个 时 间 离 开 考 场 的. 求 考 试 开 始 和 午 饭 开 始 的 时 间.
内 容 概 述 第 17 讲 赛 况 分 析 赛 况 分 析 是 一 些 学 校 近 年 考 试 的 热 点, 我 们 再 给 出 几 例, 希 望 大 家 在 掌 握 了 下 面 的 知 识 点 以 后, 多 多 练 习. 常 见 的 体 育 比 赛 模 式 : N 个 队 进 行 淘 汰 赛, 至 少 要 打 N-1 场 比 赛 : 每 场 比 赛 淘 汰 一 名 选 手 ; N 个 队 进 行 循 环 赛, 一 共 要 打 C 2 N N N-1 = ( ) 场 比 赛 : 每 个 队 要 打 N-1 场 比 赛. 2 循 环 赛 中 常 见 的 积 分 方 式 : 1 两 分 制 : 胜 一 场 得 2 分, 平 一 场 得 1 分, 负 一 场 得 0 分 ; 核 心 关 系 : 总 积 分 =2 比 赛 场 次 ; 2 三 分 制 : 胜 一 场 得 3 分, 平 一 场 得 1 分 负 一 场 得 0 分 ; 核 心 关 系 : 总 计 分 =3 比 赛 场 次 一 1 赛 平 场 次. 典 型 问 题 2. 一 次 围 棋 比 赛 共 有 10 名 选 手 参 加, 他 们 分 别 来 自 甲 乙 丙 三 个 队, 每 队 不 少 于 2 人, 每 个 人 都 与 其 他 的 9 人 比 赛, 每 盘 胜 者 得 2 分, 负 者 得 0 分, 平 居 各 得 1 分. 结 果 乙 队 平 均 得 分 为 5.2 分, 丙 队 平 均 分 17 分, 试 求 甲 队 的 平 均 分. 4. 五 支 足 球 队 进 行 单 循 环 赛, 每 两 队 之 间 进 行 一 场 比 赛. 胜 一 场 得 3 分, 平 一 场 得 1 分, 负 一 场 得 0 分. 最 后 发 现 各 队 得 分 都 不 相 同, 第 三 名 得 了 7 分, 并 且 和 第 一 名 打 平, 那 么 这 五 支 球 队 的 得 分 从 高 到 低 依 次 是 多 少?
6. 有 五 支 足 球 队 进 行 循 环 赛, 每 两 个 队 之 间 进 行 一 场 比 赛, 胜 者 得 3 分, 平 者 各 得 1 分, 负 者 得 0 分. 现 在 还 有 一 些 比 赛 没 有 进 行, 各 个 队 目 前 的 得 分 恰 好 是 五 个 连 续 的 偶 数, 其 中 甲 队 积 2 分, 并 且 负 于 乙 队, 那 么 乙 队 现 在 积 多 少 分? 8. 五 支 足 球 队 A B C D E 进 行 单 循 环 比 赛, 即 每 两 队 之 间 都 比 赛 一 场. 每 场 比 赛 胜 者 得 2 分, 负 者 得 0 分, 平 局 各 得 1 分. 已 知 :(1)4 队 获 得 了 冠 军 ;(2)B 队 C 队 和 D 队 的 得 分 相 同, 且 无 其 它 并 列 情 况 ;(3) 在 C 队 参 加 的 比 赛 中, 平 局 只 有 一 场, 那 场 的 对 手 是 B 队 ;(4)D 队 战 胜 了 A 队. 请 你 根 据 上 述 信 息, 分 析 出 每 场 比 赛 的 胜 平 负 情 况.
内 容 概 述 仁 化 学 校 6 年 级 奥 数 思 维 导 引 下 学 生 版 第 28 讲 数 论 综 合 3 具 有 相 当 难 度, 需 要 灵 活 运 用 各 种 整 数 知 识, 或 与 其 他 方 面 内 容 相 综 合 的 数 论 同 题. 典 型 问 题 2. 有 3 个 自 然 数, 其 中 每 一 个 数 都 不 能 被 另 外 两 个 数 整 除, 而 其 中 任 意 两 个 数 的 乘 积 却 能 被 第 三 个 数 整 除. 那 么 这 样 的 3 个 自 然 数 的 和 的 最 小 值 是 多 少? 4. 对 于 两 个 不 同 的 整 数, 如 果 它 们 的 积 能 被 和 整 除, 就 称 为 一 对 好 数, 例 如 70 与 30. 那 么 在 1,2,, 16 这 16 个 整 数 中, 有 好 数 多 少 对?
6. 甲 乙 两 人 进 行 下 面 的 游 戏 : 两 人 先 约 定 一 个 自 然 数 N, 然 后 由 甲 开 始, 轮 流 把 0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9 这 10 个 数 字 中 的 一 个 填 入 图 28-1 的 某 个 方 格 中, 每 一 方 格 只 能 填 一 个 数 字, 但 各 方 格 所 填 的 数 字 可 以 重 复. 当 6 个 方 格 都 填 有 数 字 后, 就 形 成 一 个 六 位 数. 如 果 这 个 六 位 数 能 被 N 整 除, 那 么 乙 获 胜 ; 如 果 这 个 六 位 数 不 能 被 N 整 除, 那 么 甲 获 胜. 设 N 小 于 15, 问 当 N 取 哪 几 个 数 时. 乙 能 取 胜? 8. 已 知 a 与 b 的 最 大 公 约 数 是 12, a 与 c 的 最 小 公 倍 数 是 300, b 与 c 的 最 小 公 倍 数 也 是 300. 那 么 满 足 上 述 条 件 的 自 然 数 a, b, c 共 有 多 少 组?
10. 圆 周 上 放 有 N 枚 棋 子, 如 图 28-2 所 示,B 点 的 那 枚 棋 子 紧 邻 A 点 的 棋 子. 小 洪 首 先 拿 走 B 点 处 的 1 枚 棋 子, 然 后 沿 顺 时 针 方 向 每 隔 1 枚 拿 走 2 枚 棋 子, 这 样 连 续 转 了 10 周,9 次 越 过 A. 当 将 要 第 10 次 越 过 A 处 棋 子 取 走 其 他 棋 子 时, 小 洪 发 现 圆 周 上 余 下 20 多 枚 棋 子. 若 N 是 14 的 倍 数, 请 精 确 算 出 圆 周 上 现 在 还 有 多 少 枚 棋 子? 12. 是 否 存 在 一 个 六 位 数 A, 使 得 A,2A,3A,,500000A 中 任 意 一 个 数 的 末 尾 6 个 数 码 不 全 相 同? 14. 已 知 m,n,k 为 自 然 数,m n k, n 2 m +2 n -2 k 是 100 的 倍 数, 求 m + n - k 后 的 最 小 值.
第 29 讲 数 论 综 合 4 内 容 概 述 主 要 是 小 升 初 综 合 素 质 测 试 中 较 难 的 数 论 问 题. 1. 任 意 选 取 9 个 连 续 的 正 整 数, 即 它 们 的 乘 积 为 P, 最 小 公 倍 数 为 Q. 我 们 知 道,P 除 以 Q 所 得 到 的 商 必 定 是 自 然 数, 那 么 这 个 商 的 最 大 可 能 值 是 多 少? 2. 老 师 在 黑 板 上 依 次 写 了 三 个 数 21 7 8, 现 在 进 行 如 下 的 操 作, 每 次 将 这 三 个 数 中 的 某 些 数 加 上 2, 其 他 数 减 去 1, 试 问 能 否 经 过 若 干 次 这 样 的 操 作 后, 使 得 : (1) 三 个 数 都 变 成 12? (2) 三 个 数 变 成 23 15 19?
3. 对 于 n 个 奇 质 数, 如 果 其 中 任 意 奇 数 个 数 的 和 仍 是 质 数, 那 么 称 这 些 数 构 成 奇 妙 数 组, 而 n 就 是 这 个 数 组 的 阶 数. 例 如 11,13,17 就 是 奇 妙 数 组, 因 为 11,13,17 和 11+13+17=41 都 是 质 数. (1) 证 明 : 奇 妙 数 组 的 阶 数 最 大 值 为 4; (2) 对 于 阶 数 为 4 的 奇 妙 数 组, 求 这 4 个 质 数 的 乘 积 的 最 小 值. 评 注 : 四 阶 的 奇 妙 数 组 还 有 很 多, 如 97,13,41,53. 它 们 的 三 个 数 和 依 次 为 107,191,163,
151 均 是 质 数. 第 30 讲 几 何 综 合 2 内 容 概 述 勾 股 定 理, 多 边 形 的 内 角 和, 两 直 线 平 行 的 判 别 准 则, 由 平 行 线 形 成 的 相 似 三 角 形 中 对 应 线 段 和 面 积 所 满 足 的 比 例 关 系. 与 上 述 知 识 相 关 的 几 何 计 算 问 题. 各 种 具 有 相 当 难 度 的 几 何 综 合 题. 典 型 问 题 2. 如 图 30-2, 已 知 四 边 形 ABCD 和 CEFG 都 是 正 方 形, 且 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 10 厘 米, 那 么 图 中 阴 影 三 角 形 BFD 的 面 积 为 多 少 平 方 厘 米? 4. 如 图 30-4, A+ B+ C+ D+ E+ F+ G+ H+ I 等 于 多 少 度?
6. 长 边 和 短 边 的 比 例 是 2:1 的 长 方 形 称 为 基 本 长 方 形. 考 虑 用 短 边 互 不 相 同 的 基 本 长 方 形 拼 图, 要 求 任 意 两 个 基 本 长 方 形 之 间 既 没 有 重 叠, 也 没 有 空 隙. 现 在 要 用 短 边 互 不 相 同 且 最 小 短 边 长 为 1 的 5 个 基 本 长 方 形 拼 接 成 一 个 更 大 的 长 方 形. 例 如, 短 边 长 分 别 是 1,2,5,6,12 的 基 本 长 方 形 能 拼 接 成 大 长 方 形, 具 体 案 如 图 30-6 所 示. 请 给 出 这 5 个 基 本 长 方 形 所 有 可 能 的 选 择 方 式. 设 a 1 =1<a 2 <a 3 <a 4 <a 5 分 别 为 5 条 短 边 的 长 度, 则 我 们 将 这 种 选 择 方 式 记 为 (a 1,a 2,a 3,a 4,a 5 ), 这 里 无 需 考 虑 5 个 基 本 长 方 形 的 拼 图 方 案 是 否 惟 一. 8. 如 图 30-8,ABCD 是 平 行 四 边 形, 面 积 为 72 平 方 厘 米,E,F 分 别 为 边 AB,BC 的 中 点. 则 图 形 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 多 少 平 方 厘 米?
10. 图 30-10 是 一 个 正 方 形, 其 中 所 标 数 值 的 单 位 是 厘 米. 问 : 阴 影 部 分 的 面 积 是 多 少 平 方 厘 米? 12. 如 图 30-12, 若 图 中 的 圆 和 半 圆 都 两 两 相 切, 两 个 小 圆 和 三 个 半 圆 的 半 径 长 都 是 1. 求 阴 影 部 分 的 面 积. 14. 如 图 30-14, 将 长 方 形 ABCD 绕 顶 点 C 顺 时 针 旋 转 90 度, 若 AB=4,BC=3,AC=5, 求 AD 边 扫 过 部 分 的 面 积.(π 取 3.14)
第 34 讲 最 值 问 题 内 容 概 述 均 值 不 等 式, 即 和 为 定 值 的 两 数 的 乘 积 随 着 两 数 之 差 的 增 大 而 减 小. 各 种 求 最 大 值 或 最 小 值 的 问 题, 解 题 时 宜 首 先 考 虑 起 主 要 作 用 的 量, 如 较 高 数 位 上 的 数 值, 有 时 局 部 调 整 和 枚 举 各 种 可 能 情 形 也 是 必 要 的. 典 型 问 题 2. 有 4 袋 糖 块, 其 中 任 意 3 袋 的 总 和 都 超 过 60 块. 那 么 这 4 袋 糖 块 的 总 和 最 少 有 多 少 块? 4. 用 1,3,5,7,9 这 5 个 数 字 组 成 一 个 三 位 数 ABC 和 一 个 两 位 数 DE, 再 用 O,2,4,6,8 这 5 个 数 字 组 成 一 个 三 位 数 FGH 和 一 个 两 位 数 IJ. 求 算 式 ABC DE-FGH IJ 的 计 算 结 果 的 最 大 值.
6. 将 6,7,8,9,10 按 任 意 次 序 写 在 一 圆 周 上, 每 相 邻 两 数 相 乘, 并 将 所 得 5 个 乘 积 相 加, 那 么 所 得 和 数 的 最 小 值 是 多 少? 8. 一 个 两 位 数 被 它 的 各 位 数 字 之 和 去 除, 问 余 数 最 大 是 多 少? 10. 用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个 数 字 各 一 次, 组 成 一 个 被 减 数 减 数 差 都 是 三 位 数 的 正 确 的 减 法 算 式, 那 么 这 个 算 式 的 差 最 大 是 多 少?
12. 4 个 不 同 的 真 分 数 的 分 子 都 是 1, 它 们 的 分 母 有 2 个 是 奇 数 2 个 是 偶 数, 而 且 2 个 分 母 是 奇 数 的 分 数 之 和 与 2 个 分 母 是 偶 数 的 分 数 之 和 相 等. 这 样 的 奇 数 和 偶 数 很 多, 小 明 希 望 这 样 的 2 个 偶 数 之 和 尽 量 地 小, 那 么 这 个 和 的 最 小 可 能 值 是 多 少? 14. 有 13 个 不 同 的 自 然 数, 它 们 的 和 是 100. 问 其 中 偶 数 最 多 有 多 少 个? 最 少 有 多 少 个?