2012年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）

2012 年 北 京 市 房 山 区 高 考 数 学 二 模 试 卷 ( 文 科 ) 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一 选 择 题 : 本 大 题 共 8 小 题, 每 小 题 5 分, 共 40 分. 在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中, 选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项, 直 接 涂 在 答 题 纸 上. 1.( 5 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 集 合 A={x 0 x 1},B={x x }, 则 A B 等 于 ( ) A.{x x<1} B.{x x 1} C.{x 0 x<1} D.{x x 0} 考 点 并 集 及 其 运 算. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 计 算 题. 分 析 根 据 并 集 的 定 义 求 出 A 与 B 的 并 集 即 可. 解 答 解 : 集 合 A={x 0 x 1},B={x x }, A B={x x 1}. 故 选 B 点 评 此 题 考 查 了 并 集 及 其 运 算, 熟 练 掌 握 并 集 的 定 义 是 解 本 题 的 关 键. 2.(5 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 已 知 等 比 数 列 {a n } 中,a 3 =4,a 6 =, 则 公 比 q=( ) A. B.-2 C.2 D. 考 点 等 比 数 列 的 通 项 公 式. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 等 差 数 列 与 等 比 数 列. 分 析 利 用 等 比 数 列 的 性 质 求 出 公 比 q 的 值 即 可. 解 答 解 : 等 比 数 列 {a n } 中,a 3 =4,a 6 =, a 6 =a 3 q 3, 即 =4q 3, q 3 =, 解 得 :q=. 故 选 D 点 评 此 题 考 查 了 等 比 数 列 的 通 项 公 式, 以 及 等 比 数 列 的 性 质, 熟 练 掌 握 等 比 数 的 性 质 是 解 本 题 的 关 键. 3.( 5 分 )(2015 东 城 区 模 拟 ) 是 cos 的 ( ) A. 充 分 不 必 要 条 件 B. 必 要 不 充 分 条 件 C. 充 要 条 件 D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 考 点 必 要 条 件 充 分 条 件 与 充 要 条 件 的 判 断. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 计 算 题 ; 三 角 函 数 的 求 值. 第 1 页 ( 共 12 页 )

分 析 本 题 研 究 充 分 条 件 与 必 要 条 件 的 判 断, 利 用 充 分 条 件 与 必 要 条 件 的 定 义 结 合 三 角 的 知 识 作 出 判 断 选 出 正 确 选 项. 解 答 解 : 由 题 意 成 立 时, 一 定 有 cos 成 立, 故 是 cos 充 分 条 件 ; 又 cos 时, 可 得 θ=2kπ±,k z, 故 不 是 cos 的 必 要 条 件. 综 上 是 cos 的 充 分 不 必 要 条 件 故 选 A. 点 评 本 题 考 查 充 要 条 件 的 判 断, 解 题 的 关 键 是 理 解 充 要 条 件 的 定 义, 对 所 研 究 命 题 的 原 命 题 的 真 假 性 与 逆 命 题 的 真 假 性 作 出 判 断, 熟 练 掌 握 命 题 中 相 关 的 知 识 对 做 对 此 类 题 也 是 很 关 键 的, 此 类 题 可 涉 及 的 知 识 较 多, 需 要 对 高 中 所 学 的 知 识 有 着 全 盘 的 了 解, 做 充 分 条 件 必 要 条 件 这 方 面 的 题 才 少 遇 到 困 难. 4.( 5 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示, 其 中 俯 视 图 为 正 三 角 形, 则 该 几 何 体 的 侧 面 积 为 ( ) A. B.24 C. D. 考 点 由 三 视 图 求 面 积 体 积. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 计 算 题. 分 析 根 据 三 视 图 画 出 其 直 观 图, 利 用 三 视 图 的 数 据 求 出 底 面 三 角 形 的 周 长, 代 入 侧 面 积 公 式 计 算 即 可. 解 答 解 : 正 三 棱 柱 的 直 观 图 是 ; S 侧 =4 (2+2+2)=24. 故 选 B. 点 评 本 题 考 查 由 三 视 图 求 面 积 问 题, 解 决 的 关 键 是 利 用 三 视 图 的 数 据 求 底 面 三 角 形 的 周 长. 第 2 页 ( 共 12 页 )

5.( 5 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 设,,c=lnπ, 则 ( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c 考 点 对 数 值 大 小 的 比 较. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 证 明 题. 分 析 利 用 对 数 函 数 和 指 数 函 数 的 单 调 性, 与 0 比 较, 和 lnπ 与 1 进 行 比 较, 进 而 得 到 三 者 的 大 小 关 系. 解 答 解 : < =0, =1,lnπ>lne=1, c>b>a, 故 选 A. 点 评 本 题 考 查 了 对 数 值 大 小 的 比 较 方 法, 一 般 找 中 间 量 0 或 1, 以 及 转 化 为 底 数 相 同 的 对 数 ( 幂 ), 再 由 对 数 ( 指 数 ) 函 数 的 单 调 性 进 行 判 断, 考 查 了 转 化 思 想. 6.( 5 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 如 图 是 2010 年 青 年 歌 手 大 奖 赛 中, 七 位 评 委 为 甲 乙 两 名 选 手 打 出 的 分 数 的 茎 叶 图 ( 其 中 m 为 数 字 0~9 中 的 一 个 ), 去 掉 一 个 最 高 分 和 一 个 最 低 分 后, 甲 乙 两 名 选 手 得 分 的 平 均 数 分 别 为 a 1,a 2, 则 一 定 有 ( ) A.a 1 >a 2 B.a 2 >a 1 C.a 1 =a 2 D.a 1,a 2 的 大 小 与 m 的 值 有 关 考 点 茎 叶 图. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 计 算 题. 分 析 由 题 意 知 去 掉 一 个 最 高 分 和 一 个 最 低 分 以 后, 两 组 数 据 都 有 五 个 数 据, 根 据 样 本 平 均 数 的 计 算 公 式, 代 入 数 据 可 以 求 得 甲 和 乙 的 平 均 分, 把 两 个 平 均 分 进 行 比 较, 得 到 结 果. 解 答 解 : 由 题 意 知 去 掉 一 个 最 高 分 和 一 个 最 低 分 以 后, 两 组 数 据 都 有 五 个 数 据, 代 入 数 据 可 以 求 得 甲 和 乙 的 平 均 分,, a 2>a 1 故 选 B 点 评 本 题 考 查 茎 叶 图 : 当 数 据 是 两 位 有 效 数 字 时, 用 中 间 的 数 字 表 示 十 位 数, 即 第 一 个 有 效 数 字, 两 边 的 数 字 表 示 个 位 数, 即 第 二 个 有 效 数 字, 它 的 中 间 部 分 像 植 物 的 茎, 两 边 部 分 像 植 物 茎 上 长 出 来 的 叶 子, 因 此 通 常 把 这 样 的 图 叫 茎 叶 图. 第 3 页 ( 共 12 页 )

7.( 5 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 已 知, 均 为 单 位 向 量, 且 +3 =, 则 的 夹 角 为 ( ) A. B. C. D. 考 点 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 模 夹 角. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 平 面 向 量 及 应 用. 分 析 设 的 夹 角 为 θ, 则 由 条 件 可 得 +9 +6 =13, 再 根 据 两 个 向 量 的 数 量 积 的 定 义 求 得 cosθ 的 值, 即 可 得 到 θ 的 值. 解 答 解 : 已 知, 均 为 单 位 向 量, 且 +3 =, 设 的 夹 角 为 θ, 则 +9 +6 =13, 即 1+9+6 1 1 cosθ=13, 解 得 cosθ=. 再 由 0 θ π, 可 得 θ=, 故 选 C. 点 评 本 题 主 要 考 查 两 个 向 量 的 数 量 积 的 定 义, 求 向 量 的 模 的 方 法, 属 于 基 础 题. 8.( 5 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 已 知 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数, 当 x>0 时,, 且 f(-2)=0, 则 不 等 式 的 解 集 是 ( ) A.(-2,0) (0,2) B.(-,-2) (2,+ ) C.(-2,0) (2,+ ) D.(-,-2) (0,2) 考 点 导 数 的 运 算 ; 奇 偶 性 与 单 调 性 的 综 合. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 计 算 题. 分 析 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数, 说 明 奇 函 数, 若 x>0 时,, 可 得 为 增 函 数, 若 x<0, 为 增 函 数, 根 据 f(- 2)=f(2)=0, 求 出 不 等 式 的 解 集 ; 解 答 解 : f(x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数, 当 x>0 时,, 为 增 函 数,f(x) 为 偶 函 数, 为 奇 函 数, 在 (-,0) 上 为 增 函 数, f(-2)=f(2)=0, 第 4 页 ( 共 12 页 )

若 x>0, =0, 所 以 x>2; 若 x<0, =0, 在 (-,0) 上 为 增 函 数, 可 得 -2<x<0, 综 上 得, 不 等 式 的 解 集 是 (-2,0) (2,+ ) 故 选 C; 点 评 此 题 主 要 考 查 函 数 的 单 调 性 与 奇 偶 性 的 综 合 题, 解 题 的 关 键 是 找 函 数 的 零 点 问 题, 此 题 是 一 道 基 础 题 ; 二 填 空 题 : 本 大 题 共 6 小 题, 每 小 题 5 分, 共 30 分. 把 答 案 填 在 答 题 纸 上 的 指 定 位 置. 9.( 5 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 已 知 i 为 虚 数 单 位, 则 复 数 i(3-4i) 的 实 部 和 虚 部 分 别 是 4,3. 考 点 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 ; 复 数 的 基 本 概 念. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 计 算 题. 分 析 根 据 复 数 的 乘 法 运 算 化 简, 然 后 根 据 复 数 的 定 义 可 得 答 案. 解 答 解 : 因 为 i(3-4i)=4+3i, 所 以 复 数 i(3-4i) 的 实 部 和 虚 部 分 别 是 4,3, 故 答 案 为 :4,3. 点 评 本 题 考 查 复 数 代 数 形 式 的 运 算 复 数 的 基 本 概 念, 属 基 础 题. 10.( 5 分 )(2014 江 苏 一 模 ) 一 个 社 会 调 查 机 构 就 某 地 居 民 的 月 收 入 调 查 了 10000 人, 并 根 据 所 得 数 据 画 了 样 本 的 频 率 分 布 直 方 图 ( 如 图 ). 为 了 分 析 居 民 的 收 入 与 年 龄 学 历 职 业 等 方 面 的 关 系, 要 从 这 10000 人 中 再 用 分 层 抽 样 方 法 抽 出 100 人 作 进 一 步 调 查, 则 在 [2500, 3000)( 元 ) 月 收 入 段 应 抽 出 25 人. 考 点 分 层 抽 样 方 法. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 压 轴 题. 分 析 直 方 图 中 小 矩 形 的 面 积 表 示 频 率, 先 计 算 出 [2500,3000) 内 的 频 率, 再 计 算 所 需 抽 取 人 数 即 可. 解 答 解 : 由 直 方 图 可 得 [2500,3000)( 元 ) 月 收 入 段 共 有 10000 0.0005 500=2500 人 按 分 层 抽 样 应 抽 出 人 故 答 案 为 :25 点 评 本 题 主 要 考 查 直 方 图 和 分 层 抽 样, 难 度 不 大. 第 5 页 ( 共 12 页 )

11.( 5 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 如 图 是 一 个 算 法 的 流 程 图, 则 输 出 n 的 值 是 13. 考 点 循 环 结 构. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 图 表 型. 分 析 按 照 程 序 框 图 的 流 程 写 出 前 几 次 循 环 的 结 果, 并 判 断 每 一 次 得 到 的 结 果 是 否 满 足 判 断 框 中 的 条 件, 直 到 满 足 条 件, 执 行 输 出. 解 答 解 : 经 过 第 一 次 循 环 得 到 结 果 为 2 1 =2, 此 时 不 满 足 判 断 框 的 条 件,n=4, 经 过 第 二 次 循 环 得 到 结 果 为 2 4, 此 时 不 满 足 判 断 框 的 条 件,n=7, 经 过 第 三 次 循 环 得 到 结 果 为 2 7, 此 时 不 满 足 判 断 框 的 条 件,n=10, 经 过 第 四 次 循 环 得 到 结 果 为 2 10, 此 时 不 满 足 判 断 框 的 条 件,n=13, 经 过 第 五 次 循 环 得 到 结 果 为 2 13, 此 时 满 足 判 断 框 的 条 件. 执 行 输 出 n, 即 输 出 13. 故 答 案 为 :13. 点 评 本 题 主 要 考 查 了 循 环 结 构, 在 解 决 程 序 框 图 中 的 循 环 结 构 时, 常 采 用 写 出 前 几 次 循 环 的 结 果, 找 规 律, 属 于 基 础 题. 12.( 5 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 已 知 抛 物 线 x 2 =2py(p>0) 的 准 线 过 双 曲 线 的 一 个 顶 点, 则 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 (0,4). 考 点 抛 物 线 的 简 单 性 质 ; 双 曲 线 的 简 单 性 质. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 圆 锥 曲 线 的 定 义 性 质 与 方 程. 第 6 页 ( 共 12 页 )

分 析 先 根 据 双 曲 线 方 程 的 标 准 方 程, 求 得 a, 则 双 曲 线 顶 点 坐 标 可 得, 进 而 求 得 抛 物 线 方 程 中 的 P, 则 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 可 得. 解 答 解 : 双 曲 线 方 程, a=4, 双 曲 线 的 一 个 顶 点 (0,-4) 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 y=-4 p=16, 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 (0,4). 故 答 案 为 :(0,4). 点 评 本 题 主 要 考 查 了 抛 物 线 的 简 单 性 质, 圆 锥 曲 线 的 共 同 特 征. 考 查 了 学 生 对 基 础 知 识 的 综 合 把 握 能 力. 13.( 5 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 点 M 的 坐 标 (x,y) 满 足 O 是 坐 标 原 点, 则 OM 的 最 大 值 为 4, 最 小 值 为. 考 点 简 单 线 性 规 划. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 不 等 式 的 解 法 及 应 用. 分 析 先 根 据 约 束 条 件 画 出 可 行 域, 再 利 用 几 何 意 义 求 最 值,z= OM 表 示 (0,0) 到 可 行 域 的 距 离, 只 需 求 出 (0,0) 到 可 行 域 的 距 离 的 最 值 即 可. 解 答 解 : 画 出 可 行 域, 如 图 所 示, 易 得 A(8,4), OA = =4, O 点 支 直 线 x+2y-8=0 的 距 离 d= =, 由 图 可 知, OM 的 最 大 值 为 OA =4 ; OM 的 最 小 值 为 d=. 故 答 案 为 :4 ;. 点 评 本 题 主 要 考 查 了 简 单 的 线 性 规 划, 以 及 利 用 几 何 意 义 求 最 值, 属 于 基 础 题. 第 7 页 ( 共 12 页 )

优 网 版 权 所 有 14.( 5 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 设 定 义 在 (0,+ ) 上 的 函 数 f(x) 满 足 :1 对 于 任 意 实 数 a,b 都 有 f(ab)=f(a)+f(b)-5;2f(2)=4. 则 f(1)= 5 ; 若 a n =f(2 n )( n N * ), 数 列 {a n } 的 前 项 和 为 S n, 则 S n 的 最 大 值 是 10. 考 点 数 列 的 求 和. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 综 合 题 ; 等 差 数 列 与 等 比 数 列. 分 析 由 1 得 f(1)=f(1)+f(1)-5, 解 出 即 得 f(1); 多 次 用 1 可 求 得 a n 表 达 式, 由 表 达 式 易 判 断 该 数 列 为 等 差 数 列, 根 据 该 等 差 数 列 的 各 项 符 号 变 化 规 律 可 求 得 S n 的 最 大 值. 解 答 解 : 由 1 得 f(1)=f(1)+f(1)-5, 即 f(1)=5, a n =f(2 n )=f(2 2 n-1 )=f(2)+f(2 n-1 )-5=f(2)+f(2 2 n-2 )-5=2f(2)+f(2 n-2 ) -2 5= =nf(2)-5(n-1)=4n-5(n-1)=-n+5, 易 知 数 列 {a n } 为 首 项 为 4, 公 差 为 -1 的 等 差 数 列, 令 a n 0, 即 -n+5 0, 解 得 n 5, 所 以 数 列 {a n } 的 前 4 项 为 正 数, 第 5 项 为 0, 故 数 列 前 4 项 或 前 5 项 和 最 大, 最 大 值 为 =10, 故 答 案 为 :5;10. 点 评 本 题 考 查 函 数 恒 等 式 数 列 的 求 和, 考 查 学 生 观 察 分 析 能 力 解 决 问 题 的 能 力. 三 解 答 题 : 本 大 题 共 6 小 题, 共 80 分. 解 答 应 写 出 文 字 说 明, 演 算 步 骤 或 证 明 过 程. 15.( 13 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 已 知 函 数 f(x)=2sinxcosx+2 cos 2 x. (Ι) 求 函 数 f(x) 的 最 小 正 周 期 ; (ΙΙ) 当 x 时, 求 函 数 f(x) 的 最 大 值 与 最 小 值. 考 点 三 角 函 数 中 的 恒 等 变 换 应 用 ; 三 角 函 数 的 周 期 性 及 其 求 法 ; 复 合 三 角 函 数 的 单 调 性. 菁 专 题 三 角 函 数 的 图 像 与 性 质. 分 析 (I) 利 用 三 角 函 数 的 恒 等 变 换 化 简 函 数 f(x) 的 解 析 式 为 2sin(2x+ )+, 可 得 f(x) 的 最 小 正 周 期 正 周 期 为 π. (II) 根 据 x, 再 根 据 正 弦 函 数 的 定 义 域 和 值 域 求 得 函 数 f(x) 的 最 大 值 与 最 小 值. 解 答 解 :(I) 函 数 f(x) =2sinxcosx+2 cos 2 x=sin2x+2 =sin2x+ cos2x+ =2sin(2x+ )+, f(x) 的 最 小 正 周 期 正 周 期 为 π. (6 分 ) (II) x, 2x+, 当 2x+ = 时,f(x) 有 最 大 值 1+ ; 当 2x+ = 时,f(x) 有 最 小 值 -2+. (13 分 ) 点 评 本 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 恒 等 变 换 及 化 简 求 值, 三 角 函 数 的 周 期 性 和 求 法, 正 弦 函 数 的 定 义 域 和 值 域, 属 于 中 档 题. 第 8 页 ( 共 12 页 )

16.( 13 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 为 了 对 某 课 题 进 行 研 究, 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 三 所 高 校 A, B,C 的 120 名 人 员 中, 抽 取 若 干 人 组 成 研 究 小 组. 三 所 高 校 的 人 数 与 抽 取 的 人 数 如 下 表 ( 单 位 : 人 ): 高 校 人 数 抽 取 人 数 A 20 x B 40 2 C 60 y (I) 求 x,y; (II) 若 从 高 校 B C 抽 取 的 人 中 选 2 人 作 专 题 发 言, 求 这 2 人 都 来 自 高 校 C 的 概 率. 考 点 列 举 法 计 算 基 本 事 件 数 及 事 件 发 生 的 概 率 ; 频 率 分 布 表. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 概 率 与 统 计. 分 析 (Ⅰ) 根 据 分 层 抽 样 的 方 法, 有 20:40:60=1:2:3, 得 出 x:2:y=1:2:3, 解 可 得 答 案 ; (Ⅱ) 根 据 题 意, 可 得 从 5 人 中 抽 取 两 人 的 情 况 数 目 与 二 人 都 来 自 高 校 C 的 情 况 数 目, 根 据 等 可 能 事 件 的 概 率 公 式, 计 算 可 得 答 案. 解 答 解 :(Ⅰ) 根 据 分 层 抽 样 的 方 法, 有 20:40:60=1:2:3, x:2:y=1:2:3, 解 可 得 x=1,y=3; (Ⅱ) 根 据 题 意, 从 高 校 B C 抽 取 的 人 共 有 5 人, 从 中 抽 取 两 人 共 C 5 2 =10 种, 而 二 人 都 来 自 高 校 C 的 情 况 有 C 3 2 =3 种 ; 则 这 二 人 都 来 自 高 校 C 的 概 率 为. 点 评 本 题 考 查 分 层 抽 样 的 方 法 与 等 可 能 事 件 概 率 的 计 算, 难 度 不 大, 注 意 组 合 数 公 式 的 运 用. 17.( 14 分 )(2014 烟 台 三 模 ) 如 图, 直 四 棱 柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 底 面 ABCD 是 菱 形, 且 ABC=60,E 为 棱 CD 的 中 点. (Ⅰ) 求 证 :A 1 C 平 面 AED 1 ; (Ⅱ) 求 证 : 平 面 AED 1 平 面 CDD 1. 考 点 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 ; 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 空 间 位 置 关 系 与 距 离. 分 析 (I) 根 据 线 面 平 行 的 判 定 定 理, 先 证 线 线 平 行, 再 由 线 线 平 行 证 明 线 面 平 行 即 可 ; (II) 先 由 线 线 垂 直 证 线 面 垂 直, 再 由 线 面 垂 直 证 明 面 面 垂 直 即 可. 解 答 证 明 :(Ⅰ) 连 接 A 1 D, 交 AD 1 与 F, 连 接 EF, 第 9 页 ( 共 12 页 )

由 已 知 四 边 形 ADD 1 A 1 为 矩 形, F 为 AD 1 的 中 点, 又 E 为 CD 的 中 点. EF 为 DCA 1 的 中 位 线. A 1 C EF, A 1 C 平 面 AED 1,EF 平 面 AED 1, A 1 C 平 面 AED 1 ; (Ⅱ) 由 已 知 DD 1 AD,DD 1 BD, 又 AD BD=D,AD 平 面 ABCD,CD 平 面 ABCD, DD 1 平 面 ABCD, AE 平 面 ABCD, AE DD 1, 底 面 ABCD 是 菱 形, 且 ABC=60,E 为 棱 CD 的 中 点. AE CD, 又 CD DD 1 =D,CD 平 面 CDD 1,DD 1 平 面 CDD 1, AE 平 面 CDD 1 C 1, AE 平 面 AED 1, 平 面 AED 1 平 面 CDD 1. 点 评 本 题 考 查 面 面 垂 直 的 判 定 线 面 平 行 的 判 定. 18.( 13 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 已 知 函 数 f(x)=x 3 -(1+b)x 2 +bx,b R. (Ⅰ) 若 函 数 f(x) 在 点 (1,f(1)) 处 的 切 线 与 直 线 x+y-3=0 平 行, 求 b 的 值 ; (Ⅱ) 在 (Ⅰ) 的 条 件 下, 求 f(x) 在 区 间 [0,3] 上 的 最 值. 考 点 利 用 导 数 求 闭 区 间 上 函 数 的 最 值 ; 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 综 合 题 ; 导 数 的 综 合 应 用. 分 析 (Ⅰ) 求 导 数 f (x), 由 函 数 f(x) 在 点 (1,f(1)) 处 的 切 线 与 直 线 x+y-3=0 平 行, 得 f (1)=-1, 解 出 即 得 b 值 ; (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 写 出 f(x), f (x), 解 方 程 f (x)=0, 在 区 间 [0,3] 上, 列 出 x,f (x), f (x) 的 变 化 情 况 表, 由 表 可 求 得 函 数 的 最 值 ; 解 答 解 :(Ⅰ)f (x)=3x 2-2(1+b)x+b, 函 数 f(x) 在 点 (1,f(1)) 处 的 切 线 与 直 线 x+y-3=0 平 行, f (1)=3-2(1+b)+b=-1, 解 得 b=2. (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 f(x)=x 3-3x 2 +2x,f (x)=3x 2-6x+2, 令 f (x)=3x 2-6x+2=0, 解 得,. 在 区 间 [0,3] 上,x,f (x), f(x) 的 变 化 情 况 如 下 : x 0 (0,x 1 ) x 1 (x 1,x 2 ) x 2 (x 2,3) 3 f (x) + 0-0 + f(x) 0 递 增 递 减 - 递 增 6 所 以 当 x=3 时,f(x) max =6; 当 x=1+ 时,f(x) min =-. 第 10 页 ( 共 12 页 )

点 评 本 题 考 查 导 数 的 几 何 意 义 利 用 导 数 求 闭 区 间 上 函 数 的 最 值, 考 查 学 生 的 运 算 能 力, 解 决 本 题 的 关 键 是 准 确 求 导, 正 确 理 解 导 数 的 几 何 意 义. 19.( 14 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 已 知 椭 圆 C: (a>b>0) 的 长 轴 长 是 4, 离 心 率 为. (Ⅰ) 求 椭 圆 方 程 ; (Ⅱ) 设 过 点 P(0,-2) 的 直 线 l 交 椭 圆 于 M,N 两 点, 且 M,N 不 与 椭 圆 的 顶 点 重 合, 若 以 MN 为 直 径 的 圆 过 椭 圆 C 的 右 顶 点 A, 求 直 线 l 的 方 程. 考 点 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题 ; 椭 圆 的 标 准 方 程. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 圆 锥 曲 线 中 的 最 值 与 范 围 问 题. 分 析 (Ⅰ) 利 用 椭 圆 的 长 轴 长 是 4, 离 心 率 为, 求 出 几 何 量, 即 可 求 椭 圆 方 程 ; (Ⅱ) 设 出 直 线 方 程, 代 入 椭 圆 方 程, 利 用 韦 达 定 理, 及 以 MN 为 直 径 的 圆 过 椭 圆 C 的 右 顶 点 A, 求 出 k, 即 可 求 得 直 线 l 的 方 程. 解 答 解 :(Ⅰ) 由 已 知 2a=4,. 解 得 a=2,c=1, 所 以 b 2 =a 2 -c 2 =3, 故 椭 圆 的 方 程 为. (5 分 ) (Ⅱ) 由 M,N 不 与 椭 圆 的 顶 点 重 合, 设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx-2, 代 入 椭 圆 方 程 可 得 (4k 2 +3) x 2-16kx+4=0, 由 =(-16k) 2-16(4k 2 +3)=12k 2-3>0, 得 或 (8 分 ) 设 M(x 1,y 1 ), N(x 2,y 2 ), 则 x 1 +x 2 =,x 1 x 2 =,y 1 y 2 = 由 (Ⅰ) 得 椭 圆 C 的 右 顶 点 A(2,0), 因 为 以 MN 为 直 径 的 圆 过 椭 圆 C 的 右 顶 点 A, 所 以 k AM k AN =-1, =-1, y 1 y 2 +x 1 x 2-2(x 1 +x 2 )+4=0, =0, k 2-8k+7=0, 解 得 k=7 或 k=1 当 k=1 时,l:y=x-2, 直 线 过 椭 圆 C 的 右 顶 点 A(2,0), 舍 去 ; 当 k=7 时,l:y=7x-2. 综 上 可 知, 直 线 l 的 方 程 是 y=7x-2 (14 分 ) 第 11 页 ( 共 12 页 )

点 评 本 题 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程, 考 查 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系, 考 查 韦 达 定 理 的 运 用, 考 查 学 生 的 计 算 能 力, 属 于 中 档 题. 20.( 13 分 )(2012 房 山 区 二 模 ) 数 列 {a n } 中,a 1 =1, 前 n 项 的 和 是 S n, 且 S n =2a n -1,n N *. (Ⅰ) 求 出 a 2,a 3,a 4 ; (Ⅱ) 求 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 ; (Ⅲ) 求 证 :S n S n+2. 考 点 数 列 与 不 等 式 的 综 合 ; 等 比 关 系 的 确 定. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 等 差 数 列 与 等 比 数 列. 分 析 (I) 利 用 数 列 递 推 式, 代 入 计 算, 可 求 a 2,a 3,a 4 ; (II) 再 写 一 式, 两 式 相 减, 即 可 求 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 ; (III) 求 出 前 n 项 和, 代 入 计 算, 可 以 证 得 结 论. 解 答 (I) 解 : a 1 =1,S n =2a n -1, 当 n=2 时,a 1 +a 2 =2a 2-1, a 2 =2 当 n=3 时,a 1 +a 2 +a 3 =2a 3-1, a 3 =4 当 n=4 时,a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =2a 4-1, a 4 =8 (3 分 ) (II) 解 : S n =2a n -1,n N *. (1) S n-1 =2a n-1-1,n 2,n N *. (2) (1)-(2) 得 a n =2a n-1, 数 列 {a n } 是 以 1 为 首 项,2 为 公 比 的 等 比 数 列, a n =2 n-1 (8 分 ) (III) 证 明 : S n =2a n -1=2 n -1, S n S n+2 =(2 n -1) (2 n+2-1)=2 2n+2-2 n+2-2 n +1, =2 2n+2-2 n+2 +1 2 n >0 S n S n+2. (13 分 ) 点 评 本 题 考 查 数 列 递 推 式, 考 查 数 列 的 通 项, 考 查 数 列 与 不 等 式 的 联 系, 考 查 学 生 分 析 解 决 问 题 的 能 力, 属 于 中 档 题. 第 12 页 ( 共 12 页 )