2016~2017 学年北京海淀区人大附中初二上学期期中数学试卷 一 选择题 ( 每小题 3 分, 共 36 分 ) 1. 下面四个图形分别是低碳 节水 节能和绿色食品标志, 在这四个标志中, 是轴对称图形的是 ( ). 2. 下列计算正确的是 ( ). A. a 2 a 3 = a 6 B. (ab) 2 = a 2 b 2 C. ( a 2 3 ) = a 5 D. (xy) 3 x y 3 = (xy) 2 3. 内角和为 540 的多边形是 ( ). 4. 点 P ( 3, 5) 关于 y轴的对称点的坐标是 ( ). (3, 5) (3, 5) (5, 3) ( 3, 5) 5. 一个等腰三角形的两边长分别为 4, 8, 则它的周长为 ( ). 12 16 20 16 20 或 6. 根据下列已知条件, 不能唯一确定 ABC 的大小和形状的是 ( ). A.,, B.,, AB = 3 BC = 4 AC = 5 AB = 4 BC = 3 A = 30 C.,, D.,, A = 60 B = 45 AB = 4 C = 90 AB = 6 AC = 5 7. 下列式子从左到右运算正确的是 ( ). A. B. (a + b 2c)( a + b + 2c) = b 2 (a + 2c) 2 (x + 3y)(x 3y) = 3 1 (x 1) m = (x 1) 2 (x 1)m 1 1 2 π 0 = 1 C. D. x 2 y 2 8. 下列命题中, 不正确的是 ( ).
A. B. C. 有一个外角是 120 的等腰三角形是等边三角形 一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形等腰三角形的对称轴是底边上的中线 D. 等边三角形有条对称轴 3 9. 以下式子从左到右因式分解正确的是 ( ). A. x 3 x 2 1 B. + x = (x + ) x C. x y x y D. 3xy 2 3x 2 y = xy(3y 3x) x y = ( + )( ) a 2 6ab + 9 b 2 = (a 3b) 2 10. 如图, 在等腰 ABC 中, AB = AC, BD AC, ABC = 72, 则 ABD等于 ( ). 18 36 54 64 11. 如图, 在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形 ( a b a > b 影部分 ) 的面积, 验证了一个等式是 ( ). ), 把余下的部分剪成一个矩形, 通过计算两个图形 ( 阴 a 2 b 2 = (a + b)(a b) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + 2b)(a b) = + ab a 2 12. 如图, 点是的两外角平分线的交点, 下列结论 :1 ;2 点到 的距离相等 ;3 点到 O ABC OB = OC O AB AC O ABC 的三边的距离相等 ;4 点 O在 A的平分线上. 其中结论正确的个数是 ( ). 1 2 3 4
二 填空题 ( 本题共 28 分, 除 21 题外, 每题 3 分 ) 13. 若 (x 2) 0 = 1, 则 x的取值范围是. 14. 如图, 在 ABC 中, C = 90, C AB = 40. 按以下步骤作图 :1 以点 A为圆心, 小于 AC 的长为半径画弧, 分别交 于点 ;2 分别以点 为圆心, 大于的长为半径画弧, 两弧相交于点 G;3 作射线 AG交 BC 边于点 AB AC E F E F EF D. 则 ADC 的度数为. 1 2 15. 在 ABC 中, 两条角平分线 BD C E交于点 O, BOC = 116, 则 A的度数是. 16. 已知关于 x 的二次三项式 x 2 + mx 6可以分解为 (x 3)(x + n), 则 m n =. 17. 如图所示, AOB = 42, 点 P 为 AOB内一点, 分别作出 P 点关于 OA OB的对称点 P1 P2, 连接 P1P2交 OA于 M, 交 于, P1P2, 则 P M N的周长为, M P N =. OB N = 15 18. 如图, 在纸片 ABC 中, AC = 6, A = 30, C = 90, 将 A沿 DE折叠, 使点 A与点 B重合, 则折痕 DE的长 为. 19. 当身边没有量角器时, 怎样得到一些特定度数的角呢? 动手操作有时可以解 燃眉之急. 如图, 已知矩形 ABC D, 我们 按如下步骤操作可以得到一个特定的角 :( ) 以点所在直线为折痕, 折叠纸片, 使点落在上, 折痕与交于 ; ( ) 将纸片展平后, 再一次折叠纸片, 以所在直线为折痕, 使点落在射线上, 折痕交于. 则. 1 A B AD BC E 2 E A BC EF AD F AF E =
20. 观察下列各式 根据以上规律, 解决以下问题 : (1) 分解因式 :.,, x 3 x 2 x 4, (x 1)(x + 1) = x 2 1 (x 1)( x 2 + x + 1) = x 3 1 (x 1)( + + x + 1) = 1 x 5 1 = 3 50 + 3 49 + 3 48 + + 3 2 + 3 + 1 = (2) 计算 :. 21. 如图, 在平面直角坐标系中, 点,,, 点在第二象限, 且. 在坐标系中画草图分析 可得 : A(2, 0) B(0, 3) C(0, 2) D AOB OC D (1) 点 D的坐标为. (2) 点 P 在直线 AC 上, 且 P CD是等腰三角形, 则 DP C的大小为. 三 计算题 ( 本题共 14 分, 第 22 题 6 分, 第 23 24 每题 4 分 ) 22. 分解因式 : (1) (2) 2a(b c) + 3(c b) 3x 2 12 23. 解关于 x 的不等式 :(x 2) 2 + (x 3)(x + 3) < 2x(x 3) + 1. 24. 已知,, 求 (x 2y) x 2 y (2 x 4 y 2 + x 2 y 4 ) xy的值. x + y = 3 xy = 1 2 四 作图题 ( 本题共 6 分 ) 25. 如图, ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1, 1), B(4, 2), C(3, 4).
(1) 在坐标系中作出 ABC 关于 y轴对称的 A1B1C1. (2) 已知 ABC 与 A2B2C2关于某条直线 l对称, 画出直线 l. (3) 在 x轴上求作一点 P, 使 P AB的周长最小, 并直接写出 P 的坐标为. 五 解答题 ( 本题共 16 分, 第 26 题 6 分, 第 27 28 题各 5 分 ) 26. 如图, 已知 ABC, 分别以 AB和 BC 为边向外作等边 ABD和等边 BC E, 连接 AE C D. (1) 求作 : AE = C D. (2) 若 DB垂直平分 C E, 求 ABC 的大小. 27. 探究 : 八年级某班数学合作学习小组在研究等腰三角形的性质时发现, 对于中, 如果, 则不论和 同为中线 同为高, 或同为角平分线, 如图, 均可以通过证明, 从而得到. 反过来又会怎么样 呢? ABC AB = AC BD C E 1 ABD AC E AE = AD 他们经过研究, 饶有兴致地发现, 若 BD C E为中线, 且 AE = AD, 则利用中线定义必有 AB = 2AE = 2AD = AC. 若 BD C E为高, 且 AE = AD, 则利用 ( 填写相应的全等判定定理 ) 可以证明 ABD AC E, 从而必有 AB = AC, 请你完成剩余的工作 ;
如图 2, ABC 中, BD和 C E为角平分线, 且 AE = AD, 求证 : AB = AC. 28. 我们知道 : 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 1 A BC M N AB = AC 如图, 点是线段的垂直平分线上的一点, 由线段的垂直平分线的性质可知,. 由等腰三角形的性质进一步可以得到 ABC = AC B. 在此基础上, 若平面上的一个点 P 在直线 M N的右侧, 连接 P B, P C. 思考并解决 : 此时 P B和 P C, P BC 与 P C B的大小关系又是怎样呢? 运用学过的知识解决问题 2 P M N P B > P C (1) 如图, 点在直线的右侧, 求证 :. (2) 阅读材料 关于 P BC 与 P C B的大小关系, 教材中有一般性的论述. 实验与探究三角形中边与角之间的不等关系学习了等腰三角形, 我们知道 : 在一个三角形中, 等边所对的角相等 ; 反过来, 等角所对的边也相等. 那么, 不相等的边 ( 或角 ) 所对的角 ( 或边 ) 之间的大小关系怎样呢? 大边所对的角也打吗? 1 ABC AB > AC ABC AC AB C AB 如图, 在中, 如果, 那么我们可以将折叠, 使边落在上, 点落在上的 点, 折线交于点, 则. D BC E C = ADE
ADE > B( 想一想为什么 ), C > B. 这说明, 在一个三角形中, 如果两条边不等, 那么它们所对的角也不等, 大边所对的角较大. 从上面的过程可以看出, 利用轴对称的性质, 可以把研究边于角之间的不等问题, 转化为较大量的一部分与较 小量相等的问题, 这是几何中研究不等问题时常用的方法. 从而, P B > P C, P BC < P C B. 根据以上积累的经验和知识解决问题 若平面上的一个点 P 在直线 M N的右侧, 并且满足 AP //BC, 连接 P B P C. 求证 : BP C < BAC.