05 年北京第三 五中学初三上学期数学期中试卷 选择题 ( 本 题共 0 题 每 题只有唯 正确答案 每 题 分 共 0 分 ) # 抛物线 ( x + ) 的顶点坐标是 ( ) A ( ) B ( ) C () D ( ) D 解析 抛物线的顶点为 ( ) 故答案为 D # 如图 在 ABC 中 若 DE BC AD : BD : 若 ADE 的 积等于 则 ABC 的 积等于 ( ) A 6 B 8 C D 8 D SADE AD ( ) 解析! DEBC ADEABC S 9 则有 ABC AB 故 SABC 9S ADE 8 故答案为 D # 如图 ABC 中 C 90 BC AB 则下列结论正确的是 ( ) 5 5 sin A cos A sin A tan A A B C D B BC sin A cos A sin A 解析 在 RtABC 中 AB 5 sin A tan A cos A 5 故答案为 C #4 若如图所 的两个四边形相似 则 α 的度数是 ( ) A 87 B 60 C 75 D 0 A 解析 两四边形相似 则各内 相等 且四边形内 和为 60 所以 α 60 60 8 75 87 故答案为 A #5 已知 sinα ( α 为锐 ) 则 α 的度数为 ( ) A 0 B 45 C 5 D 60 C π π π π 5 sinα α k + k + 解析! sinα 即 6 或 6! /! 5
π α α 为锐 6 即 0 故答案为 A x + ( x a) #6 已知 次函数 其中 a > 0 若当 x 时 随 x 增 减 当 x 时 随 x 增 增 则 a 的值是 ( ) A B 5 C 7 D 不确定 D 解析 a x 故 则 a 5 故答案为 B #7 将 α 放置在正 形 格纸中 位置如图所 则 tanα 的值是 ( ) 5 A B C D A ( ) ( ) a ( a ) + x ( x a) ( x ax + x a) ( x ) a 4 tanα 解析 数 格即可 故答案为 A 5 5 由题意可知 对称轴为 ax + bx + c ax + b #8 已知函数的图象如图所 则函数的图象是 ( ) A! B! C! D! B b > 0 解析 根据图中 次函数的图象可看出 a < 0 a 即 b > 0 ax + b 次函数 其斜率 a < 0 函数单调递减 b > 0 函数与轴的交点在 x 轴上 故答案为 B #9 如图 平 四边形 ABCD 中 E AB DE : EA : E 4 则 CD 的长为 ( ) 4 A B 8 C D 6 C 解析! EAB DE DAB! /! 5
! E DE AB DA AB E 又四边形 ABCD 为平 四边形 AB CD 故答案为 C #0 如图 已知矩形 ABCD 的长 AB 为 5 宽 BC 为 4 E 是 BC 边上的 个动点 AE E E 交 CD 于点 设 BE x C 则点 E 从点 B 运动到点 C 时 能表 关于 x 的函数关系的 致图象是 ( ) A! B! C! D A 解析! BC 4 BE x CE 4 x AE E AEB + CE 90! CE + CE 90 AEB CE 又 B C 90 RtAEBRt EC AB BE 5 x CE C 即 4 x 4 (4 x x ) ( x ) + 整理得 : 5 5 5 4 ( x ) + 关于 x 的函数关系式为 : 5 5 ( 0 x 4) 4 ( ) 由关系式可知 函数图象为 段抛物线 开 向下 顶点坐标为 5 对称轴为直线 x 故答案为 A 填空题 ( 本 题共 6 题 每 题 分 共 8 分 )! /! 5
a + b 5 b # 已知 b 则 a a + b a 5 a + 解析 b b 故 b # 已知 程 ax + bx + c 0 ( a 0 ) 的解是 x 5 x 那么抛物线 ax + bx + c ( a 0 ) 与 x 轴的两个交点的坐标分别是 (50) ( 0) 解析 抛物线与 x 轴的两个交点即为 程 ax + bx + c 0 (5 0) ( 0) 的解 所以交点坐标为和 BE # 将 副三 尺如图所 叠放在 起 则 EC 的值是 解析 根据特殊三 形的性质可知 AB AC CD AC 由于 ABCD ABE DCE AB BE CD EC BE 即 EC #4 如图 利 标杆 BE 测量建筑物的 度 标杆 BE 5 测得 AB BC 4 则楼 CD 为 BE AB 5 解析 根据相似可得: CD AC 即 CD + 4 8 则 CD #5 如图 这个 次函数图象的表达式可能是 ( 只写出 个 ) x x 解析 次函数开 向上 即 a > 0 该点经过原点 则 c 0 又该函数对称轴在 轴右侧 则 b < 0 可写出该 次函数的表达式可能为 x x #6 我们把对称中 重合 四边分别平 的两个正 形之间的部分叫做 环形 易知 环形四周的宽度相等 当直线 l 与 环形的邻边相交时 ( 如图 ) l 分别交 AD AʹDʹ DʹCʹ DC 于 M M ʹ! 4/! 5
MM ʹ Nʹ N l 与 DC 的夹 为 α 那么 NʹN 的值为 ( 含 α 的三 表 ) tanα 解析! EM ʹCD EM ʹM DNNʹ α Nʹ sinα 在 RtNNʹ 中 NNʹ Nʹ NNʹ sinα EM ʹ cosα 在 RtEMM ʹ 中 MM ʹ EM ʹ MM ʹ cosα MM ʹ EM ʹ sinα NʹN Nʹ cosα EM ʹ Nʹ MM ʹ tanα NʹN 三 解答题 ( 本 题共 题 共 7 分 第 7-6 题 每题 5 分 第 7 题 7 分 第 8 题 7 分 第 9 题 8 分 解答 应写出必要的 字说明 证明过程或演算步骤 ) #7 计算 : tan 0 cos60 tan 45 + sin 0 tan 0 cos 60 tan 45 + sin 0 + 解析 #8 如图 在 ABC 中 D E 两点分别在 AC AB 两边上 ABC ADE AB 7 AD AE 7 求 AC 的长 解析 在 ABC 和 ADE 中! ABC ADE A A ABC ADE! 5/! 5
AB AC AD AE AB AE 7 7 AC 6 AD #9 已知 : 如图 ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D AB 8 BC 求 : sin ACD 的值及 AD 的长 55 55 8 8 解析 在 RtABC 中 AC AB BC 8 55! ACD + BCD B + BCD 90 B ACD AC 55 sin ACD sin B AB 8 55 55 AD AC sin ACD 55! 8 8 #0 如图 次函数 x + bx c+ 的图象与 x 轴交于 A B 两点 与轴交于点 C 且点 B 的坐标为 ( 0) 点 C (0 ) 的坐标为 次函数 mx n+ 的图象过点 A C @() 求 次函数的解析式 x + x 解析 点 B 的坐标为 ( 0) 点 C 的坐标为 (0 ) 代 到 次函数解析式中 x + bx c+ 0 + b + c b 即 c c 解得 故 次函数的解析式为 x + x @() 求 次函数的图象与 x 轴的另 个交点 A 的坐标 ( 0) 解析 令 x + x 0 解得 x 即另 个交点 A 的坐标为 ( 0) @() 根据图象写出 < 时 x 的取值范围 x > 或 x < 0 m + n 0 解析 次函数经过点 A C n 即 m n 解得 次函数解析式为 x! 6/! 5
! 当 < 时 可令 x < x + x 解得 x > 或 x < 0 sin B # 如图 在 RtABC 中 C 90 5 点 D 在 BC 边上 A DC AC 6 求 tan BAD 的值 7 4 sin B tan BAC 解析 在 RtABC 中 5 又 DC AC 6 tan CAD B D C 4 tan BAC tan CAD tan BAD tan( BAC CAD) + tan BAC tan CAD 4 + 7 # 飞机着陆后滑 的距离 s ( 单位 : m ) 与滑 的时间 t ( 单位 : s ) 的函数关系式是 s 60t 5t 飞机着陆后滑 多远才能停下来? 飞机着陆后滑 多长时间能停下来? 飞机着陆后滑 0s 后 滑出 600m 才能停下来 解析 飞机要停下来 即 s 取最 值! s 60t 5t 5( t 40 t) 5( t 0) + 600 当 t 0 时 s max 600 即飞机着陆后滑 0s 后 滑出 600m 才能停下来 # 如图 在边长为 个单位长度的 正 形组成的 格中 给出了格点 ABC ( 顶点是 格线的交点 ) @() 将 ABC 向上平移 个单位得到 A BC 请画出 A BC! 7/! 5
! 解析 见答案图 @() 请画 个格点 A BC 使 A BC ABC 且相似 不为! 解析 见答案图 #4 如图 矩形 ABCD 中 E 为 AD 中点 E EC 交 AB 于点 连接 C ( AB > AE ) AE 和 EC 相似吗? 若相似 证明你的结论 ; 若不相似 请说明理由 相似 证明见解析 解析 AE EC 证明 : 延长 E 与 CD 的延长线交于 G E 为 AD 中点 AE DE AE GED RtAE RtDEG E EG CE CE EC CEG 90 RtEC RtEGC AE EGC EC 又 A EC 90 RtAE RtEC! 8/! 5
#5 九章算术 是中国传统数学最重要的著作 奠定了中国传统数学的基本框架 其中卷第九勾股 主要讲述了以测量问题为中 的直 三 形三边互求的关系 其中记载 : 今有 百步 各中开门 出东门 五步有 问出南门 何步 见? 译 : 今有正 形 城边长为 00 步 各 中央开 城门 出东门 5 步处有树 问出南门多少步能见到树? 请你结合题意画出图形 并完成求解 000 解析 根据题意作出 意图 BD AD B 00 BC 5 则有 EAD EC EA AD E C AE 00 00 + AE 5 000 AE 解得 : 000 即出南门 步才能见到树 #6@() 在平 直 坐标系中 点 A (0 ) 的坐标是 在 x 轴上任取 点 M 完成下列作图步骤 : 连接 AM 作线段 AM 的垂直平分线 l 过 M 作 x 轴的垂线 l 记 l l 的交点为 P 在 x 轴上多次改变点 M 的位置 的 法得到相应的点 P 把这些点 平滑的曲线连接起来 观察画出的曲线 L 猜想它是我们学过的哪种曲线 x + 4 抛物线 解析 如图所 连接 AP 过点 A 作 AN PM! BP 是 AM 的垂直平分线 AP PM PM x 轴 AN x P( x ) PN x + AN + PN AP 即 x + ( ) 即 4 @() 对于曲线 L 上任意 点 P 线段 PA 与 PM 有什么关系? 设点 P 的坐标为 ( x ) 你能由 PA 与 PM 的关系得到 x 满 的关系式吗? 你能由此确定曲线 L 是哪种曲线吗? 你得出的结论与 () 中 你的猜想 样吗? x + PA PM 4 抛物线 解析 证明见第 问的解析! 9/! 5
#7 已知 : 抛物线 ax ( a ) x + a ( a > 0) @() 求证 : 抛物线与 x 轴有两个交点 证明见解析 ax ( a ) x + a 0 解析 Δ [ ( a )] 4 a( a ) 4 即 Δ > 0 抛物线与 x 轴有两个交点 @() 设抛物线与轴有两个交点的横坐标分别为 x x ( 其中 x > x ) 若 是关于 a 的函数 且 ax + x 求这个函数的表达式 a ( a > 0) ( a ) ± x 解析 由求根公式 得 a x x 或 a! a > 0 x > x x x a ax + x a 即 a ( a > 0) 为所求 a + @() 在 () 的条件下 结合函数的图象回答 : 若使 则 变量 a 的取值范围为 0 < a x 解析 作出函数图象 即可得到 #8 对某 种四边形给出如下定义 : 有 组对 相等 另 组对 不相等的凸四边形叫做 等对 四边形 @() 已知 : 如图 四边形 ABCD 是 等对 四边形 A C A 70 B 80 则 C 度 D 度 C 0 D 80 解析 根据定义可知 B D 80 C 60 80 A 0 @() 在探究 等对 四边形 性质时 : 红画了 个 等对 四边形 ABCD ( 如图 ) 其中 ABC ADC AB AD 此时她发现 CB CD 成 请你证明此结论! 0/! 5
证明见解析 解析 如图 连接 BD AB AD ABD ADB ABC ADC ABC ABD ADC ADB CBD CDB CB CD @() 已知 : 在 等对 四边形 ABCD 中 DAB 60 ABC 90 AB 5 AD 4 求对 线 AC 的长 7 或 解析 (Ⅰ) 如图 当 ADC ABC 90 时 延长 AD BC 相交于点 E ABC 90 DAB 60 AB 5 AE 0 DE AE AD 0 4 6 EDC 90 E 0 CD AC 7 (Ⅱ) 如图 当 BCD DAB 60 时 过点 D 作 DM AB 于点 M DN BC 于点 N DM AB DAB 60 AD 4 C AM DM D BM AB AM 5 N 四边形 BNDM 是矩形 DN BM BN DM A B M BCD 60 CN BC CN + BN AC 即 AC 7 或 ax + bx c+ ( a 0) > #9 如图 抛物线的顶点为 M m 直线与 x 轴平 且与抛物线交于点 A B 若 AMB 为等腰直 三 形 我们把抛物线上 A B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形 线段 AB 称为碟宽 顶点 M 称为碟顶 点 M 到线段 AB 的距离称为碟! /! 5
x @() 抛物线 对应的碟宽为 ; 抛物线 4x 对应的碟宽为 ; 抛物线 ax ( a > 0 a( x - ) + ( a 0) > ) 对应的碟宽为 ; 抛物线对应的碟宽 4 a a 解析! a > 0 ax 的图象 致如下 : 其必过原点 O 记 AB 为其碟宽 AB 与轴的交点为 C 连接 OA OB OAB 为等腰直 三 形 ABx 轴 OC AB AOC BOC AOB 90 45 ACO 与 BCO 亦为等腰直 三 形 AC OC BC x A A x B B ax 代 A( ) B( ) C(0 ) a a a a a AB OC a a 即 ax 的碟宽为 a x a 抛物线 对应的 得碟宽 a 为 4 ; 抛物线 4x 对应的 a 4 得碟宽 a 为 ; 抛物线 ax ( a > 0 ) 碟宽为 a ;! /! 5
4 抛物线 a( x - ) + ( a 0) > 可看成 ax 向右平移 个单位长度 再向上平移 个单位长度后得 到的图形 平移不改变形状 放 抛物线 a( x - ) + ( a 0) > 的准蝶形 抛物线 ax 的准碟 抛物线 ax ( a > 0 ) 碟宽为 a 抛物线 a( x - ) + ( a 0) > 碟宽为 a ax -4 ax - ( a 0) > @() 若抛物线 对应的碟宽为 6 且在 x 轴上 求 a 的值 a 5 5 ax 4 ax a( x ) (4 a + ) 解析 同 () 其碟宽为 a ax 4ax 的碟宽为 6 6 a a 解得 ( x ) @() 将抛物线 n anx + bn x c+ n ( an 0) > 的对应准蝶形记为 ( n ) 定义 为相似准蝶形 相应的碟宽之 即为相似 若 与 的相似 为 且 的碟顶是 的碟宽的中点 现在将 () 中求得的抛物线记为 其对应的准蝶形记为 @@ 求抛物线的表达式 7 或 解析 的碟宽 : 的碟宽 : 4 a a a a 5 5! /! 5
( x ) 的碟宽 AB 在 x 轴上 ( A 在 B 左边 ) A( 0) B(50) 的碟顶坐标为 ( 0) ( x ) n 的准蝶形为等腰直 三 形 的碟宽为 h n hn : hn : n hn hn ( ) hn ( ) hn ( ) h h hn n h nhn 且都过 n 的碟宽中点 h h h hn h n 都在 条直线上 h 在直线 x 上 h h h hn h n 都在直线 x 上 + n 的碟宽右端点横坐标为 n 令 的碟宽右端点在 条直线上 直线为 x + 5 分析如下 : 考虑 n n 情形 关系如图 n n 的碟宽分别为 AB DE GH ; C I 分别为其 碟宽的中点 都在直线 x 上 连接右端点 BE EH ABx 轴 DEx 轴 GHx 轴 ABDE GH GH 平 相等于 E DE 平 相等于 CB 四边形 GEH 四边形 DCBE 都为平 四边形 HEG EBDC GI GH DCE DC GDC HEEB HE EB 都过 E 点! 4/! 5
HE EB 都在 条直线上 n n n 的碟宽右端点是在 条直线 的碟宽右端点是在 条直线 : ( x ) (50) 准蝶形右端点坐标为 : ( x ) ( + ) 准蝶形右端点坐标为 待定系数可得过两点的直线为 x + 5 的碟宽右端点是在直线 x + 5 上! 5/! 5