. 有限要素法 地盤数値解析学特論 防災環境地盤工学研究室村上哲 Mrakam, Satos 単軸圧縮を受ける棒の問題 有限要素法の流れ ( おさらい 有限要素 一次元問題 二次元問題 三次元問題 アイソパラメタリック要素と数値積分 境界条件とその与え方 Drclt 境界 mann 境界 線要素 要素 節点 節点 の任意の位置における変位 ( と節点 の間の変位 と節点 の変位ベクトルを用いて表現 ( 補間 線要素 α + α 節点 の任意の位置における変位を現す補間式として 次式を採用する α + α において において となることから α + α α + α -より α α - より ( α α (
線要素 α + α 節点 代入して整理すると + + 有限要素法の世界では この を補間関数 形状関数と呼んでいる 変位とした場合は 変位関数とも呼ばれる が位置の関数のみで与えられることに 注意する いかなる変位に対してもこの は変わらないということ 線要素のひずみ α + α ε 節点 一次元問題のひずみ 伸びひずみ ε δ m 内のひずみは L 一様である m 変位 ~ひずみマトリックス -Matr 線要素 ( 一次線要素のまとめ α + α 節点 要素内における変位の仮定 α + α 節点の変位量を用いた表現 要素内の任意の位置におけるひずみ ε 要素内の変位の分布として 一次関数を採用しているので このような線要素は 一次線要素と呼ばれる 線要素 ( 有限要素法への適用 微分方程式 境界条件 諸関係式 dσ 0 d Aσ d ε d σ Eε 節点 Aσ 積分方程式 境界条件 節点変位と任意関数 変位と任意関数の 階微分 ε 諸関係式 d Ad σ d d ε d σ Eε
線要素 ( 有限要素法への適用 変位と任意関数の 階微分 [ ]{ [ ]{ 節点 [ ] K E[ ] Ad [ ] [ ] [ ] E A d AL E[ ] d Ad σ d σ { { { d d Ad E Ad d ε d d dε E Ad d d { [ ] [ ]{ E Ad { [ ] E[ ] Ad { [ ] K E[ ] Ad とおくと { { d σ Ad d K { K { { { { { メモ [ A][ ] [ ] [ A] K 要素剛性方程式 線要素 ( 有限要素法への適用 要素 節点 { { 節点 K 要素剛性方程式 全ての要素に対して 要素剛性方程式を作成 節点の番号に基づいて重ね合わせ [ K]{ { 全体剛性方程式 [ K] M K m { { { { 境界値問題の弱形式と有限要素法 要約すると 微分方程式の境界値問題を弱形式 ( 積分方程式 へ 未知数となる ( この場合は変位であった の近似 任意関数も同じ関数で近似 積分を解き 要素方程式を作る 連立方程式に帰着 境界条件を考慮して解く 有限要素法 ( ガラーキン法による アイソパラメタリック線要素 全体座標系 節点 -.0 0.0 局所座標系 の任意の位置 を局所座標系で表すことを考える ( + ( ( ( ( + ( ( +, 0 ( 0, ( + 0, + ( 0
アイソパラメタリック線要素 全体座標系 節点 -.0 0.0 局所座標系 の任意の位置 における変位も同様のを用いて表す ( ( + ( ( ( ( + ( ( ( ( + + + + δ m + L + 未知のパラメータを指定する物理量の補間関数を座標の補間関数と同一に選ぶ 先に示した線要素と同じ有限要素をアイソパラメトリック要素 (soparamtrc lmnt と呼ぶ m 座標変換 - - の任意の位置 (, を次の補間係数で表す (, (, (, (, ( ( ( ( + ( ( + + ( ( + 未知の変数である物理量の補間関数も同一に選ぶ 例 水頭 (, (, v v v (, (, v 変位速度 (, (, の任意の位置 (, を次の補間係数で表す (, (, (, (, ( ( ( ( + ( ( + + ( ( + ( ( ( + ( + ( ( + ( + ( J Jacoban matr J
(, (, (, (, J Jacoban matr 逆関係 J J * * * J * * J J J 水頭 (, (, 動水勾配の成分 * * * * + J + J J + J bv * * * * + J + J J + J c ここに b J + J * * b c J + J * * b b b b { { c c c c c 節点水頭 ~ 動水勾配関係マトリクス 変位速度 v (, (, v v (, (, v ひずみ速度の成分 v v v * * * * ε + J v + J v J + J v bv v v v * * * * ε + J v + J v J + J v cv v v v v v v γ + + + + * * * * J v + J v + J v + J v * * * * J + J v + J + J v cv + bv 変位速度 v (, (, v v (, (, v { v v bv v ε b 0 b 0 b 0 b 0 v ε cv 0 c 0 c 0 c 0 c v γ c b c b c b c b cv + bv v v v ε [ ]{ v [ ] 変位速度 ~ひずみ速度マトリックス -Matr 5
6 5 座標変換 - 5 6 - の任意の位置 (, を次の補間係数で表す (, (, (, (, ( ( ( ( ( ( + ( ( ( + + + ( ( ( + + ( ( 5 ( 6 + ( ( ( 5 + ( 5 ( の任意の位置 (, を次の補間係数で表す (, (, (, (, J J Jacoban matr Jacoban matr 逆関係 J * * J J * J J * * J J 水頭 (, (, 動水勾配の成分 * * * * + J + J J + J b * * * * + J + J J + J c ここに b J + J * * b c J + J * * b b b { { c c c c 節点水頭 ~ 動水勾配関係マトリクス 6
変位速度 v (, (, v v (, (, v ひずみ速度の成分 v v v * * * * ε + J v + J v J + J v bv v v v * * * * ε + J v + J v J + J v cv v v v v v v γ + + + + * * * * J v + J v + J v + J v * * * * J + J v + J + J v cv + bv 変位速度 v (, (, v v (, (, v ひずみ速度の成分 v bv v ε b 0 b 0 b 0 { v ε ε cv 0 c 0 c 0 c [ ]{ v γ c b c b c b cv bv + v v v [ ] 変位速度 ~ひずみ速度マトリックス -Matr アイソパラメタリック六面体要素 (( アイソパラメタリック六面体要素 (( z 5 6 座標変換 ζ 5 6 の任意の位置 (,,z を次の補間係数で表す ( ζ,, ( ζ,, ( ζ,, ( ζ,, ζ 5 6 ( ( ( ζ ( ( ( + ζ ( ( ( + + ζ ( ( ( + ζ z ( ζ,, ( ζ,, z ( ( ( 5 + ζ ( ( ( 6 + + ζ ( ( ( + + + ζ ( ( ( + + ζ
アイソパラメタリック六面体要素 (( の任意の位置 (, を次の補間係数で表す ( ζ,, ( ζ,, ( ζ,, ( ζ,, ( ζ,, ( ζ,, ς J ς z z z ς Jacoban matr ς J Jacoban matr ς z z z ς 逆関係 ζ z z z ζ J ζ ζ J * * * J J J ζ * * * * J J J J * * * ζ J J J z z z z z アイソパラメタリック六面体要素 (( 動水勾配の成分 水頭 ( ζ,, ( ζ,, ζ * * * + + J + J + J ζ ζ * * * J + J + J b ζ ζ * * * + + J + J + J ζ ζ * * * J + J + J c ζ ζ * * * + + J + J + J z z z z ζ z ζ * * * J + J + J d ζ ここに b J + J + J ζ * * * d J + J + J ζ * * * c J + J + J ζ * * * アイソパラメタリック六面体要素 (( 水頭 ( ζ,, (,, 動水勾配の成分 ζ b b b b { c c c c { d d d z d 節点水頭 ~ 動水勾配関係マトリクス アイソパラメタリック六面体要素 (( 変位速度 v ( ζ,, ( ζ,, v v ( ζ,, (,, v ζ { v ( ζ,, ( ζ,, v ひずみ速度の成分 ( 結果のみ bv v v cv z ε b 0 0 b 0 0 b 0 0 v ε 0 c 0 z 0 c 0 0 c 0 v dv ε z 0 0 0 0 0 0 d d d v γ c b 0 c b 0 c b 0 z cv + bv γ v z 0 d c 0 d c 0 0 c γ z d 0 b d 0 b d 0 b z dv + cv v v z bv + dv z v ε [ ]{ v [ ] 変位速度 ~ひずみ速度マトリックス -Matr
地盤の 次元問題で使われる有限要素の種類 線要素 トラス要素 例えば ジオシンセティックス ( 曲げ剛性の無い材料 ビーム ( はり 要素 例えば 矢板 ( 曲げ剛性の有る材料 シェル要素 全体座標系の値を用いて 局所座標系で表現 例えば トンネルのコンクリート部分 面要素 土の部分に適用する (, (, (, (, 三角形要素座標系の補間関数と同様に 対象とする物理量の補間も同じとする アイソパラメタリック四角形要素 節点 水頭 (, (, 節点 節点 変位速度 v (, (, v (, (, 特殊な要素 ジョイント要素 不連続面の相互作用として利用 メリット : ガウスの数値積分を利用できる 動水勾配 ひずみ速度 { { v v 節点水頭 ~ 動水勾配関係マトリクス { ε [ ]{ v [ ] 変位速度 ~ ひずみ速度マトリックス アイソパラメタリック要素を用いた場合の積分 微小体積要素と Jacoban( ( ヤコビアン で出てきた次の関係 dddz dt J dddς を使うと ある関数 (,,z の積分は z dddz dddς (,, (,, dt V ς J 同様に (, (, dt J dd dd ( ( dt J d d 次元問題 次元問題 次元問題 メリット : ガウスの数値積分を利用できる 境界値問題と有限要素法 微分方程式の境界値問題を弱形式 ( 積分方程式 へ 浸透問題 未知数となる変数の有限要素近似 任意関数も同じ関数で有限要素近似 有限要素法 ( ガラーキン法による m 要素方程式を作る 積分はあったままでもよい Gass の数値積分により代数的に演算可能 連立方程式に帰着 境界条件を考慮して解く 6m 透水層 不透水層 9
m 有限要素分割 解析するのは水が地盤内を流れる部分だけ 境界条件 m 不透水面 m 6m 解析体の外周には全て 水頭あるいは流量境界があることに注意 6m m 6m 基準面 m (@m 不透水面 浸透問題 流量境界 変形問題 外力境界 水頭境界 変位境界 水頭境界 解析体 水頭境界 (Drclt 境界 * 変位境界 解析体 変位境界 (Drclt 境界 v v * 流量境界 (mann 境界 外力境界 (mann 境界 流量境界 q * q 不透水境界では q 0 外力境界 * 地表面境界では 0 成分ごとに これらの境界は 混在してよい 0
境界条件は節点として与える 要素の辺には与えない Drclt 境界 水頭境界 : 節点における水頭の値 変位境界 : 節点における変位 ( 変位速度 の値 mann 境界 流量境界 : 節点における流量の値 不透水境界であれば 0 ポンプなどによる汲み上げは その値 外力境界 : 節点における外力 ( 外力増加速度 の値 地表面であれば X,Y 方向ともに 0 分布荷重のような場合は 等価な節点外力 ( 等価節点外力 として与える. 有限要素法まとめ 単軸圧縮を受ける棒の問題 有限要素法の流れ ( おさらい 有限要素 一次元問題 線要素 二次元問題 アイソパラメタリック 節点四角形要素 アイソパラメタリック 節点四角形要素 三次元問題 アイソパラメタリック 節点 6 面体要素 アイソパラメタリック要素と数値積分 全体座標系での積分式を局所座標系に変換し実行 境界条件とその与え方 Drclt 境界 mann 境界 構造力学でやった はりの反力を求める考え方と同じ