中考总复习 : 全等三角形 巩固练习 ( 提高 ) 巩固练习 一 选择题 1. 已知等边 ABC 的边长为 a, 则它的面积是 ( ) A. a B. a C. a D. a. 在四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 相交于点 E, 若 AC 平分 DAB,AB=AE,AC=AD. 那么在下列四个结论中 :(1)AC BD;( )BC=DE;( 3) DBC= 1 DAB;( 4) ABE 是正三角形, 其中正确的是 ( ) A.( 1) 和 () B.( ) 和 (3) C.( 3) 和 (4) D.( 1) 和 (4) 3. 如图, 等腰三角形 ABC 中, BAC=90, 在底边 BC 上截取 BD=AB, 过 D 作 DE BC 交 AC 于 E, 连接 AD, 则图中等腰三角形的个数是 ( ) A.1 B. C.3 D.4 4. 如图, 三角形纸片 ABC 中, B= C, 把三角形纸片沿直线 AD 折叠, 点 B 落在 AC 边上的 E 处, 那么 下列等式成立的是 ( )A.AC=AD+BD B.AC=AB+BD C.AC=AD+CD D.AC=AB+ CD.(01 镇江 ) 边长为 a 的等边三角形, 记为第 1 个等边三角形, 取其各边的三等分点, 顺次连接得到一个正六边形, 记为第 1 个正六边形, 取这个正六边形不相邻的三边中点, 顺次连接又得到一个等边三角形, 记为第 个等边三角形, 取其各边的三等分点, 顺次连接又得到一个正六边形, 记为第 个正六边形 ( 如图 ),, 按此方式依次操作, 则第 6 个正六边形的边长为 ( ) 1 1 1 1 1 1 6 1 1 6 A. ( ) a B. ( ) a C. ( ) a D. ( ) a 3 3 3 3 6.(014 本溪校级二模 ) 如图, 过边长为 1 的等边 ABC 的边 AB 上一点 P, 作 PE AC 于 E,Q 为 BC 延长线上一点, 当 PA=CQ 时, 连 PQ 交 AC 边于 D, 则 DE 的长为 ( ) A. B. C. D. 不能确定 二 填空题 7. 如图,C 为线段 AE 上一动点 ( 不与点 A,E 重合 ), 在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE,AD 与 BE 交于点 O,AD 与 BC 交于点 P,BE 与 CD 交于点 Q, 连结 PQ. 1
以下五个结论 : 1 AD=BE; PQ AE;3 AP=BQ;4 DE=DP; AOB=60. 恒成立的有 ( 把你认为正确的序号都填上 ). 8.(01 鄂尔多斯 ) 如图, ABC 中, C=90,CA=CB, 点 M 在线段 AB 上, GMB= A,BG MG, 垂 足为 G,MG 与 BC 相交于点 H. 若 MH=8cm, 则 BG= cm. 9. 若直角三角形两直角边的和为 3, 斜边上的高为, 则斜边的长为. 10. 如图, 已知正方形 ABCD 的边长为, BPC 是等边三角形, 则 CDP 的面积是 ; BPD 的面积是. 11. 如图,P 是正三角形 ABC 内的一点, 且 PA=6,PB=8,PC=10. 若将 PAC 绕点 A 逆时针旋转后, 得到 P AB, 则点 P 与点 P 之间的距离为, APB=. 1.. 以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 个等腰直角三角形 ABA 1, 再以等腰直角三角形 ABA 1 的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A 1BB 1,, 如此作下去, 若 OA=OB=1, 则第 n 个等腰直角三角形的面积 S n=. 三 解答题 13. 已知 : 在 ABC 中, ABC=90, 点 E 在直线 AB 上,ED 与直线 AC 垂直, 垂足为 D, 且点 M 为 EC 中点, 连接 BM,DM. (1) 如图 1, 若点 E 在线段 AB 上, 探究线段 BM 与 DM 及 BMD 与 BCD 所满足的数量关系, 并直接写
出你得到的结论 ; () 如图, 若点 E 在 BA 延长线上, 你在 (1) 中得到的结论是否发生变化? 写出你的猜想并加以证明 ; (3) 若点 E 在 AB 延长线上, 请你根据条件画出相应的图形, 并直接写出线段 BM 与 DM 及 BMD 与 BCD 所满足的数量关系. 14. (1) 如图 1, 在正方形 ABCD 中, 点 E,F 分别在边 BC,CD 上,AE,BF 交于点 O, AOF=90. 求证 :BE=CF. 图 1 () 如图, 在正方形 ABCD 中, 点 E,H,F,G 分别在边 AB,BC,CD,DA 上,EF,GH 交于点 O, FOH=90, EF=4. 求 GH 的长. 图 (3) 已知点 E,H,F,G 分别在矩形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上,EF,GH 交于点 O, FOH=90,EF=4. 直接写出下列两题的答案 : 1 如图 3, 矩形 ABCD 由 个全等的正方形组成, 求 GH 的长 ; 如图 4, 矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成, 求 GH 的长 ( 用 n 的代数式表示 ). 图 3 图 4 1.1 如图 1, 在正方形 ABCD 中,M 是 BC 边 ( 不含端点 B C) 上任意一点,P 是 BC 延长线上一点, 3
N 是 DCP 的平分线上一点. 若 AMN=90, 求证 :AM=MN. 下面给出一种证明的思路, 你可以按这一思路证明, 也可以选择另外的方法证明. 证明 : 在边 AB 上截取 AE=MC, 连 ME. 正方形 ABCD 中, B= BCD=90, AB=BC. NMC=180 AMN AMB=180 B AMB= MAB= MAE. ( 下面请你完成余下的证明过程 ) 若将 1 中的 正方形 ABCD 改为 正三角形 ABC ( 如图 ),N 是 ACP 的平分线上一点, 则 当 AMN=60 时, 结论 AM=MN 是否还成立? 请说明理由. 3 若将 1 中的 正方形 ABCD 改为 正边形 ABCD X, 请你做出猜想 : 当 AMN= 时, 结论 AM=MN 仍然成立.( 直接写出答案, 不需要证明 ) 16.(01 秋 江阴市期中 ) 如图, ABC 中, C=Rt,AB=cm,BC=3cm, 若动点 P 从点 C 开始, 按 C A B C 的路径运动, 且速度为每秒 1cm, 设出发的时间为 t 秒. (1) 出发 秒后, 求 ABP 的周长. () 问 t 为何值时, BCP 为等腰三角形? (3) 另有一点 Q, 从点 C 开始, 按 C B A C 的路径运动, 且速度为每秒 cm, 若 P Q 两点同时出发, 当 P Q 中有一点到达终点时, 另一点也停止运动. 当 t 为何值时, 直线 PQ 把 ABC 的周长分成相等的两部分? 4
答案与解析 一 选择题 1. 答案 D.. 答案 B. 解析 此题采取排除法做. (1)AB=AE, 所以 ABE 是等腰的, 等腰三角形底角 AEB 不可能 90, 所以 AC BD 不成立. 排除 A,D;( ) AC 平分 DAB,AB=AE,AC=AD. DAE CAB, BC=DE 成立, 排除 C. 3. 答案 D. 解析 三角形 ABC 是等腰三角形, 且 BAC=90, 所以 B= C=4, 又 DE BC, 所以 DEC= C= 4, 所以 EDC 是等腰三角形,BD=AB, 所以 ABD 是等腰三角形, BAD= BDA, 而 EAD= 90 - BAD, EDA=90 - BDA, 所以 EAD= EDA, 所以 EAD 是等腰三角形, 因此图中等腰三角形共 4 个. 4. 答案 B. 解析 根据题意证得 AB=AE,BD=DE,DE=EC. 据此可以对以下选项进行一一判定. 选 B.. 答案 A. 6. 答案 B. 解析 过 P 作 PF BC 交 AC 于 F. PF BC, ABC 是等边三角形, PFD= QCD, APF 是等边三角形, AP=PF=AF, PE AC, AE=EF, AP=PF,AP=CQ, PF=CQ. 在 PFD 和 QCD 中,, PFD QCD(AAS), FD=CD, AE=EF, EF+FD=AE+CD, AE+CD=DE= AC, AC=1, DE=. 故选 :B.
二 填空题 7. 答案 13. 解析 提示 : 证 ACD BCE, ACP BCQ. 8. 答案 4. 解析 如图, 作 MD BC 于 D, 延长 DE 交 BG 的延长线于 E, ABC 中, C=90,CA=CB, ABC= A=4, GMB= A, GMB= A=., BG MG, BGM=90, GBM=90 -. =67., GBH= EBM- ABC=.. MD AC, BMD= A=4, BDM 为等腰直角三角形 BD=DM, 而 GBH=., GM 平分 BMD, 而 BG MG, BG=EG, 即 BG= BE, MHD+ HMD= E+ HMD=90, MHD= E, GBD=90 - E, HMD=90 - E, GBD= HMD, 在 BED 和 MHD 中,, BED MHD(AAS), BE=MH, BG= MH=4. 故答案是 :4. 6
9. 答案. 解析 设直角边为 a,b, 斜边为 c, 则 a + b =3, a b c, 1 a b 1 c, 代入即可. 10. 答案 1,. 解析 BPC 是等边三角形, PCD=30 做 PE CD, 得 PE=1, 即 CDP 的面积是 = 1 1=1; 根据即可推得 S S S S. VB C D VB P D VB P C V P C D 11. 答案 6,10. 1. 答案. 三 解答题 13. 答案与解析 (1) 结论 :BM=DM, BMD= BCD. 理由 : BM DM 分别是 Rt DEC Rt EBC 的斜边上的中线, BM=DM= 1 CE; 又 BM=MC, MCB= MBC, 即 BME= BCM; 同理可得 DME= DCM; BME+ DME=( BCM+ DCM), 即 BMD= BCD. () 在 (1) 中得到的结论仍然成立. 即 BM=DM, BMD= BCD 证法一 : 点 M 是 Rt BEC 的斜边 EC 的中点, BM= 1 EC=MC, 又点 M 是 Rt BEC 的斜边 EC 的中点, DM= 1 EC=MC, BM=DM; BM=MC,DM=MC, 7
CBM= BCM, DCM= CDM, BMD= EMB+ EMD= BCM+ DCM=( BCM+ DCM)= BCD, 即 BMD= BCD. 证法二 : 点 M 是 Rt BEC 的斜边 EC 的中点, BM= 1 EC=ME; 又点 M 是 Rt DEC 的斜边 EC 的中点, DM= 1 EC=MC, BM=DM; BM=ME,DM=MC, BEC= EBM, MCD= MDC, BEM+ MCD= BAC=90 - BCD, BMD=180 -( BMC+ DME), =180 -( BEM+ MCD)=180 -(90 - BCD)= BCD, 即 BMD= BCD. (3) 所画图形如图所示 : 图 1 中有 BM=DM, BMD= BCD; 图 中 BCD 不存在, 有 BM=DM; 图 3 中有 BM=DM, BMD=360 - BCD. 解法同 (). 14. 答案与解析 (1) 证明 : 如图 1, 四边形 ABCD 为正方形, AB=BC, ABC= BCD=90, EAB+ AEB=90. EOB= AOF=90, FBC+ AEB=90, EAB= FBC, ABE BCF, BE=CF. () 解 : 如图, 过点 A 作 AM//GH 交 BC 于 M, 过点 B 作 BN//EF 交 CD 于 N,AM 与 BN 交于点 O /, 则四边形 AMHG 和四边形 BNFE 均为平行四边形, EF=BN,GH=AM, FOH=90, AM//GH,EF//BN, NO / A=90, 故由 (1) 得, ABM BCN, AM=BN, GH=EF=4. (3) 1 8. 4n. 1. 答案与解析 (1) AE=MC, BE=BM, BEM= EMB=4, AEM=13, 8
CN 平分 DCP, PCN=4, AEM= MCN=13 在 AEM 和 MCN 中 : AEM MCN, AM=MN () 仍然成立. 在边 AB 上截取 AE=MC, 连接 ME ABC 是等边三角形, AB=BC, B= ACB=60, ACP=10. AE=MC, BE=BM BEM= EMB=60 AEM=10. CN 平分 ACP, PCN=60, AEM= MCN=10 CMN=180 AMN AMB=180 B AMB= BAM AEM MCN, AM=MN (3) 16. 答案与解析 解:(1) 如图 1, 由 C=90,AB=cm,BC=3cm, AC=4, 动点 P 从点 C 开始, 按 C A B C 的路径运动, 且速度为每秒 1cm, 出发 秒后, 则 CP=, C=90, PB= =, ABP 的周长为 :AP+PB+AB=++ =7. ()1 如图, 若 P 在边 AC 上时,BC=CP=3cm, 此时用的时间为 3s, BCP 为等腰三角形 ; 若 P 在 AB 边上时, 有三种情况 : i) 如图 3, 若使 BP=CB=3cm, 此时 AP=cm,P 运动的路程为 +4=6cm, 9
所以用的时间为 6s, BCP 为等腰三角形 ; ii) 如图 4, 若 CP=BC=3cm, 过 C 作斜边 AB 的高, 根据面积法求得高为.4cm, 作 CD AB 于点 D, 在 Rt PCD 中,PD= = =1.8, 所以 BP=PD=3.6cm, 所以 P 运动的路程为 9-3.6=.4cm, 则用的时间为.4s, BCP 为等腰三角形 ; ⅲ) 如图, 若 BP=CP, 此时 P 应该为斜边 AB 的中点,P 运动的路程为 4+.=6.cm 则所用的时间为 6.s, BCP 为等腰三角形 ; 综上所述, 当 t 为 3s.4s 6s 6.s 时, BCP 为等腰三角形 (3) 如图 6, 当 P 点在 AC 上,Q 在 AB 上, 则 PC=t,BQ=t-3, 直线 PQ 把 ABC 的周长分成相等的两部分, t+t-3=3, t=; 如图 7, 当 P 点在 AB 上,Q 在 AC 上, 则 AP=t-4,AQ=t-8, 直线 PQ 把 ABC 的周长分成相等的两部分, t-4+t-8=6, t=6, 当 t 为 或 6 秒时, 直线 PQ 把 ABC 的周长分成相等的两部分. 10