國立鳳山高中 / 張簡瑞璨老師 一 題型及試題內容分布 題目 冊別 單元內容 單選題多選題選填題 配分 總分 第一冊第二冊第三冊第四冊 第一章數與式 第二章多項式函數 9 E 0 第三章指數與對數函數 4 第一章數列與級數 第二章排列與組合 8 第三章機 率 3 0 第四章數據分析 6 第一章三 角 B 0 第二章直線與圓 A C 0 第三章平面向量 7 0 D G 0 第一章空間向量 H 0 第二章空間中的平面與直線 第三章矩 陣 F 第四章二次曲線 0 40 二 試題特色與分析. 今年試題高一配分約 3 分, 高二配分約 6 分, 很明顯偏重在高二, 尤其第三冊占了 40 分, 與以往每冊平均分配差異很大, 對社會組同學會較不利. 單選題考 7 題, 第 題簡易為空間與平面的差異 ; 第 題偏易為古典機率加近似值的概念 ; 第 3 題中間偏難為排列組合延伸的機率問題, 兩人在同一天休假要考慮兩天相同或一天相同, 有陷阱 ; 第 4 題簡易為基本對數運算 ; 第 題偏難為等差數列與三角和差角
公式的應用, 尚須廣義角的判斷, 實屬不易 ; 第 6 題中偏易為素養題, 只要能看懂成本與售價漲跌幅的定義就很容易處理 ; 第 7 題中偏難為向量內積的應用, 亦可用幾何觀點處理 3. 多選題考 題, 第 8 題簡易為邏輯分析題, 恰好結合申情入學情境, 相信學生會有感 ; 第 9 題簡易為一般多項式除法原理的應用加長除法 ; 第 0 題中偏易為基本向量運算與簡易三角函數大小判斷 ; 第 題簡易為空間中直線與平面的位置關係判斷, 只要利用直線方向向量與平面法向量處理 ; 第 題中偏易為拋物線 橢圓 雙曲線標準式求焦點坐標, 今年學測多選題的難易度與以往的試題相比真是平易近人, 相信多數學生必是在微笑中完成 4. 選填題考 8 題, 難易適中, 選填 A 簡易為結合三點共線性質與基本對數運算 ; 選填 B 中偏易為直角三角形邊角關係的計算 ; 選填 C 中偏難為切線性質結合二次配方法或算幾不等式處理問題 ; 選填 D 中等為線性二元一次不等式結合圓與直線的關係, 利用兩平行線的距離求解 ; 選填 E 中偏難為二次多項式拋物線的圖形結合餘弦定理或內積運算處理角度問題 ; 選填 F 簡易為矩陣乘法運算列出聯立方程組求解 ; 選填 G 偏難為正弦定理結合向量分點組合公式處理, 學生會花些許時間思考與計算 ; 選填 H 中偏難為空間概念的問題, 此題原本與選填 G 是鑑別題, 但坊間參考書 補習班講義, 甚至某版本課本的習題亦有此題, 筆者所服務學校的段考題也有, 數據與答案皆完全相同, 個人認為這題應會受到許多老師的質疑, 也希望學測命題與審題老師能再小心確認試題的公平性與原創性, 避免發生有爭議的試題, 去年數學亦有發生類似考古題的題目. 綜觀 07 年數學學科能力測驗試卷, 整份試卷難易度比去年下降甚多, 多數學生會考得不錯, 各檢定標準級分會提高, 應有助提高學習數學的動機, 但也期望命題難易的穩定度能保持及原創性的堅持
第壹部分 : 選擇題 ( 占 60 分 ) 一 單選題 ( 占 3 分 ) 說明 : 第 題至第 7 題, 每題有 個選項, 其中只有一個是正確或最適當的選項, 請畫記在 答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題答對者, 得 分 ; 答錯 未作答或畫記多於 一個選項者, 該題以零分計算. 給定相異兩點 A B, 試問空間中能使 PAB 成一正三角形的所有點 P 所成集合為下列 哪一選項? () 兩個點 () 一線段 (3) 一直線 (4) 一圓 () 一平面 答案 : (4) 出處 : 第四冊第 章空間向量 測驗目標 : 空間與平面的差異 試題解析 : 在 AB 的中垂線上取一點 P, 使得 PA = PB = AB, 將 P 繞 AB 旋轉一圈得其圖形為一圓, 故選 (4). 一份試卷共有 0 題單選題, 每題有 個選項, 其中只有一個選項是正確答案 假設小明 以隨機猜答的方式回答此試卷, 且各題猜答方式互不影響 試估計小明全部答對的機率 最接近下列哪一選項? () 0 () 答案 : (3) 6 0 (3) 出處 : 第二冊第 3 章機率 測驗目標 : 古典機率與近似值 試題解析 : 7 0 (4) P = ( ) = (0.) = ( 0 ) 0 0 0 = 04 0 0 0 = 0 故選 (3) 0 3 0 7 8 0 () 0 9 3. 某公司規定員工可在一星期 ( 七天 ) 當中選擇兩天休假 若甲 乙兩人隨機選擇休假日 且兩人的選擇互不相關, 試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何? () 3 答案 : () () 8 (3) 3 7 出處 : 第二冊第 3 章機率 測驗目標 : 結合排列組合的概念處理 (4) 0 3 ()
試題解析 :( 方法一 ) P = P ( 天相同 ) + P ( 天相同 ) C C ( C!) 0 = + = + = C C C C 7 7 6 7 7 7 7 ( 方法二 ) P = P ( 休假均不同天 ) C C 0 = = = C 故選 () 7 7 7 C 9 x 0 4. 試問有多少個整數 x 滿足 0 < < 9? () 個 () 個 (3) 3 個 (4) 4 個 () 0 個 答案 : () 出處 : 第一冊第 3 章指數與對數函數 測驗目標 : 對數的運算 試題解析 : 0 < < 9 9 x 0 同取 log 9 < x log < 0log 9 = 0log 3 9 < x 0.300 < 0 0.477 9.9 < x < 3.7 x Z, x = 30 或 3 故選 (). 試問共有幾個角度 θ 滿足 0 < θ < 80, 且 cos(3θ 60 ),cos3 θ,cos(3θ + 60 ) 依序成一等差數列? () 個 () 個 (3) 3 個 (4) 4 個 () 個 答案 : (3) 出處 : 第三冊第 章三角 測驗目標 : 等差中項性質與和差角公式 試題解析 : 成等差 cos(3θ 60 ) + cos(3θ + 60 ) = cos3θ (cos3θ cos 60 + sin 3θ sin 60 ) + (cos3θ cos 60 sin 3θ sin 60 ) = cos3θ cos3θ + cos3θ = cos3θ cos3θ = 0 0 < θ < 80, 0 < 3θ < 40 3θ = 90, 70, 40 θ = 30, 90,0 共 3 個故選 (3) 4
6. 某貨品為避免因成本變動而造成售價波動太過劇烈, 當週售價相對於前一週售價的漲跌 幅定為當週成本相對於前一週成本的漲跌幅的一半 例如下表中第二週成本上漲 00%, 所以第二週售價上漲 0% 依此定價方式以及下表的資訊, 試選出正確的選項 當週成本 前週成本當週售價 前週售價 註: 成本漲跌幅 =, 售價漲跌幅 = 前週成本前週售價 () 0 = x < y < 80 () 0 < x < y < 80 (3) x < 0 < y < 80 (4) 0 = x < 80 < y () 0 < x < 80 < y 答案 : () 出處 : 第二冊第 4 章數據分析 測驗目標 : 依漲跌幅定義處理 第一週第二週第三週第四週 成本 0 00 0 90 售價 0 80 x y 0 00 試題解析 : 第三週成本漲跌幅 = = = 0% 00 x 80 第三週售價漲跌幅 = = % = 80 4 x = 3 90 0 4 第四週成本漲跌幅 = = = 80% 0 y 3 第四週售價漲跌幅 = = 40% = 3 y = 89 故選 (), 則 7. ABC 內接於圓心為 O 之單位圓 若 OA+ OB+ 3 OC = 0 () 30 () 4 (3) 60 (4) 7 () 90 答案 : (4) 出處 : 第三冊第 3 章平面向量 測驗目標 : 內積與長度的關係 BAC 之度數為何?
試題解析 : ( 方法一 ) 依題意作圖, OA = OB = OC = OA+ OB+ 3 OC = 0 OB+ 3 OC = OA OB+ 3 OC = OA OB + 3OB OC+ 3 OC = OA + 3 cos BOC + 3 = 3 cos BOC =, BOC = 0 BAC = 7 ( 圓周角為圓心角之半 ) OA+ OB = OC = OD ( 如圖 ) ( 方法二 ) OA+ OB+ 3 OC = 0 3 又 OA = OB = OC =, OD = 3 且 C, O, D 共線 + ( 3) 3 cosθ = = 3 θ = 30, BOC = 0 BAC = 7 二 多選題 ( 占 分 ) 說明 : 第 8 題至第 題, 每題有 個選項, 其中至少有一個是正確的選項, 請將正確選項畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題之選項獨立判定, 所有選項均答對者, 得 分 ; 答錯 個選項者, 得 3 分 ; 答錯 個選項者, 得 分 ; 答錯多於 個選項或所有選項均未作答者, 該題以零分計算 6
8. 某年學科能力測驗小華的成績為 : 國文 級分 英文 級分 數學 9 級分 自然 9 級 分 社會 級分 他考慮申請一些校系, 表 為大考中心公布的學測各科成績標準 ; 表 是他最有興趣的五個校系規定的申請檢定標準, 依規定申請者需通過該校系所有檢定標 準才會被列入篩選 例如甲校系規定國文成績須達均標 英文須達前標 且社會須達均 標 ; 丙校系則規定英文成績須達均標 且數學或自然至少有一科達前標 表 空白者表 示該校系對該科成績未規定檢定標準 表 學測各科成績標準 頂標 前標 均標 後標 底標 國文 3 0 9 7 英文 4 9 6 4 數學 0 7 4 3 自然 3 9 6 社會 3 0 8 7 表 校系篩選規定 國文 英文 數學 自然 社會 甲校系 均標 前標 均標 乙校系 前標 均標 前標 丙校系 均標 一科達前標 丁校系 一科達前標 均標 均標 戊校系 均標 前標 均標 前標 根據以上資訊, 試問小華可以考慮申請哪些校系 ( 會被列入篩選 )? () 甲校系 () 乙校系 (3) 丙校系 (4) 丁校系 () 戊校系 答案 : ()(4) 出處 : 第二冊第 章排列與組合 測驗目標 : 簡易的邏輯與分析 試題解析 : (): 均符合規定 () : 國文未達前標 (3) : 數學與自然未有一科達前標 (4): 均符合規定 () : 自然未達前標 故選 ()(4) 7
9. 已知多項式 f ( x ) 除以 x 之餘式為 x + 試選出正確的選項 () f (0) = () f () = 3 (3) f ( x ) 可能為一次式 4 (4) f ( x ) 可能為 4x + x 3 4 3 () f ( x ) 可能為 4x + x 3 答案 : ()(3)() 出處 : 第一冊第 章多項式函數 測驗目標 : 除法原理的應用 試題解析 : 依題意, 可令 f ( x) = ( x ) Q( x) + (x + ) () : f (0) = ( ) Q(0) + 無法判定 f (0) = (): f () = + = 3 (3): 若 Q( x ) = 0, 則 f ( x) = x + 為一次式 4 (4) : 利用長除法得 4x + x 3 = ( x )(4 x + 6) + 3 4 3 (): 利用長除法得 4x + x 3 = ( x )(4 x + x + 4) + (x + ) 故選 ()(3)() 0. 已知坐標平面上 ABC, 其中 AB = ( 4,3), 且 () BC = () ABC 是直角三角形 (3) ABC 的面積為 (4) sin B > sin C () cos A > cos B 答案 : ()(3) 出處 : 第三冊第 3 章平面向量 測驗目標 : 向量的基本運算與簡易三角概念 BC BC AB 8 AC = 4 試題解析 : () : BC = AC AB = (, ) ( 4,3) = (, ) = = ( ) + ( ) = (): AB = = ( 4) + 3 = AC 4 = AC = ( ) + ( ) = 4 AC + BC = + = = AB ABC 為直角三角形 4 (, ) 試選出正確的選項
(3): ABC 的面積 = = (4) : sin B = = sin C = sin 90 =, sin B < sin C () : cos A =, cos B =, cos A < cos B 故選 ()(3) x y z. 坐標空間中, 設直線 L : = = 3, 平面 E : x 3y z = 0, 平面 E : x + y z = 0 試選出正確的選項 () 點 (3,0, ) 在直線 L 上 () 點 (,,3) 在平面 E 上 (3) 直線 L 與平面 E 垂直 (4) 直線 L 在平面 E 上 () 平面 E 與 E 交於一直線 答案 : (3)() 出處 : 第四冊第 章空間中的平面與直線 測驗目標 : 空間中直線與平面的位置關係 x y z 試題解析 : L : = = 3 方向向量 v L = (, 3, ) 9 E : x 3y z = 0 法向量 n = (, 3, ) E : x y z 0 () : (3, 0, ) 代入 L = = 3 () : (,,3) 代入 E 6 3 0 + = 法向量 n = (,, ) ( 矛盾 ), (3,0, ) L, (,,3) E (3): vl // n, L E x = + t (4) : L : y = 3 t, t R 代入 E z = t ( + t) + ( 3 t) ( t) = 0 3 = 0 ( 矛盾 ), t 無解, 即 L // E (): n // n, E // E E 與 E 交於一直線故選 (3)()
. 試問下列哪些選項中的二次曲線, 其焦點 ( 之一 ) 是拋物線 y () () (3) (4) () y 4 = ( x ) x y + = 4 3 4y x + = 3 8x 8y = 4x 4y = 答案 : ()(3)(4) 出處 : 第四冊第 4 章二次曲線 測驗目標 : 二次曲線標準式求焦點坐標 試題解析 : y = x = 4 x, c = 焦點 (,0) (): y = ( x ) ( x ) = y + = 4 ( y + ) 4 4 4 4 c = 焦點 (, + ) = (,0) 4 4 4 () : 4, a = b = 3 c =, c = 焦點 ( ±,0) y 3 (3): x + = a =, b =, c = 3 4 4 4 c = 焦點 ( ±,0) x y (4): = a =, b =, c = 8 8 4 8 8 c = 焦點 ( ±,0) x y () : = a =, b =, c = 4 4 4 4 c = 焦點 ( ±,0) 故選 ()(3)(4) = x 的焦點? 0
第貳部分 : 選填題 ( 占 40 分 ) 說明 :. 第 A 至 H 題, 將答案畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 所標示的列號 (3-33). 每題完全答對給 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 已知坐標平面上三點 (3,log 3) (6,log 6) 與 (, y ) 在同一直線上, 則 y = log 答案 : 4 出處 : 第一冊第 3 章指數與對數函數 測驗目標 : 共線性質與基本對數運算 試題解析 : 令 A(3,log 3), B(6,log 6), C(, y ) A, B, C 共線, m AB = m AC 第三冊第 章直線與圓 log 6 log 3 y log 3 log y log 3 = = 6 3 3 3 y = log 4 B. 如右圖所示 ( 只是示意圖 ), 將梯子 AB 靠在與地面垂直的牆 AC 上, 測得與水平地面的夾角 ABC 為 60 將在地面上的底 B 沿著地面向外拉 公分到點 F( 即 FB = 公分 ), 此時梯子 EF 與地面的夾角 EFC 之正弦值為 sin EFC = 0.6, 則梯子 長 AB = 公分 答案 : 70 出處 : 第三冊第 章三角 測驗目標 : 直角三角形的邊角關係 試題解析 : 設 BC = x, ABC = 60, AB = x 3 EF = x, 又 sin EFC = 0.6 = 4 cos EFC = + x 4 =, x = 8 x 即 AB = 8 = 70
C. 平面上兩點 A B 之距離為, 以 A 為圓心作一半徑為 r ( 0 < r < ) 的圓 Γ, 過 B 作圓 Γ 的切線, 切點 ( 之一 ) 為 P 當 r 變動時, PAB 的面積最大可能值為 ( 化成 最簡分數 ) 答案 : 4 出處 : 第三冊第 章直線與圓 測驗目標 : 利用切線性質結合多項式的運算或算幾不等式 試題解析 : ( 方法 ) PAB 的面積 = r r = r ( r ) = r + r 4 6 4 = ( r ) + 6 當 r = 時, Max = = = 4 4 ( 方法 ) r r + ( r ) =, 由算幾不等式 + ( r ) r ( r ) r r 4 r r 即 PAB 的最大面積為 4 D. 坐標平面上, 圓 Γ 完全落在四個不等式 : x y 4 x + y 8 x y x + y 4 所圍成的區域內 則 Γ 最大可能面積為 π ( 化成最簡分數 ) 答案 : 9 出處 : 第三冊第 章直線與圓第三冊第 3 章平面向量 測驗目標 : 結合線性規劃與平行線的距離
試題解析 : 依題意作圖, 則圓 Γ 的最大面積為以兩平行線 x y = 4 與 x y = 的距離為直徑的 圓面積 4 ( ) 6 d = = = 3 + ( ) 3 9 r = d =, 面積 = π E. 坐標平面上, 若拋物線 y = x + x 3 的頂點為 C, 與 x 軸的交點為 A B, 則 cos ACB = ( 化成最簡分數 ) 答案 : 3 出處 : 第一冊第 章多項式函數 第三冊第 3 章平面向量 第三冊第 章三角 測驗目標 : 二次多項式的圖形與餘弦定理或內積 試題解析 : y x x x = + 3 = ( + ) 4 頂點 C(, 4) 又 x + x 3 = 0, ( x + 3)( x ) = 0 x = 3或 與 x 軸交點為 A( 3,0), B(,0) ( 方法一 ) AB = 4, AC =, BC = ( ) + ( ) 4 3 cos ACB = = ( 方法二 ) CA = (,4), CB = (,4) CA CB 4 + 6 3 cos ACB = = = CA CB a b 3 x 7 3 7 F. 設 a, b, c, d, e, x, y, z 皆為實數, 考慮矩陣相乘 : c d 0 y 7 4 6 e =, z 3 則 y = ( 化成最簡分數 ) 3
答案 : 7 出處 : 第四冊第 3 章矩陣 測驗目標 : 矩陣乘法運算 試題解析 : 利用矩陣乘法得 3c 4d = 0 7c + de = 7 c + 6 d = y 3 7 + e = 3 4 由 4 e = 8代入, 7c + 8d = 7 由 c = 7, d = 代入 3 4 7 y = 7 + 6 ( ) = 4 G. 設 D 為 ABC 中 BC 邊上的一點, 已知 ABC = 7 ACB = 4 ADB = 60, 則 s =,t = ( 化成最簡分數 ) 若 AD = s AB+ t AC 答案 : ; 3 3 出處 : 第三冊第 章三角 測驗目標 : 正弦定理與向量分點公式 試題解析 : 依題意作圖 第三冊第 3 章平面向量 BD AB 在 ABD 中, = sin 4 sin 60 BC AB 在 ABC 中, = sin 60 sin 4 AB 由 BD = sin 4 = AB sin 60 3 AB 3 由 BC = sin 60 = AB sin 4 3 BD : BC = : = : 3 3 BD : CD = :, 由分點公式 得 AD = AB+ AC 3 3 4
H. 將一塊邊長 AB = 公分 BC = 0 公分的長方形鐵片 ABCD 沿對角線 BD 對摺後豎立, 使得平面 ABD 與平面 CBD 垂直, 則 A C 兩點 ( 在空間 ) 的距離 AC = 公分 ( 化成最簡根式 ) 答案 : 337 出處 : 第四冊第 章空間向量 測驗目標 : 空間概念 試題解析 : 依題意作圖 BD = + 0 = 設 BE = x = DF, 則 EF = x = = 0 ( ), x = 9 AE x x AE = = = = 9, EF 8 7 EC = + = 7 93 AC = + = 93 337