目錄 單元一 : 數列... 1 課文 A: 數列與規律... 1 單元二 : 等差數列... 15 課文 A: 等差數列的基本概念... 15 課文 B: 等差數列的第 n 項公式... 7 課文 C: 等差中項... 38 課文 D: 等差數列的應用... 45 單元三 : 等差級數... 53 課文 A: 等差級數... 53 課文 B: 等差級數的應用... 70

單元一 : 數列 ( 一 ) 課文 A: 數列與規律這單元我們所要談的就是數列 什麼是數列呢? 簡單來說就是把一串數字做排列 舉一個實際的例子, 某次彩卷開獎實況畫面如下圖 : 從圖片中會看到這個彩卷開獎號碼順序是 :8, 7, 34, 4, 19, 而 8, 7, 34, 4, 19 這樣子的一串數字依序排列就稱為數列 再舉一個例子, 二年乙班同學的體重依座號紀錄為 : 4, 5, 47, 50, 51, 51, 49, 48, 57, 50, 40, 5, 51, 48, 57,, 像這樣子排列的一串數字也是數列 再舉一個例子, 台北計程車計費表起跳為 70 元, 每跳一次表加 5 元 小侃從火車站搭到動物園的花費是 400 元, 途中他睡著了, 中途的計費表數字沒看到, 但他將有記到的計費表數字記錄成 : 70, 75, 80, 85, 90, 95,, 385, 390, 395, 400, 這樣子排列的一串數字也是數列, 只是中間它省略了一些數字 1

總之, 不管數字有沒有重複, 也不管有沒有規律, 只要將一串數字排 成一列都可以叫做數列 知道了什麼是數列後, 再來介紹數列的相關名詞 在數列當中, 我們會依照排列的位置給每一個數字一個名字, 第 1 個數字就稱為第 1 項, 可以記為 a 1 ; 第 個數字就稱為第 項, 可以記為 a ; 第 3 個數字就稱為第 3 項, 可以記為 a 3 ; 前面舉的第一個例子中, 彩卷開獎號碼順序 : 8, 7, 34, 4, 19, 此數列中, 第 1 項 a 1 = 8, 第 項 a = 7, 第 3 項 a 3 = 34, 第 4 項 a 4 = 4, 第 5 項 a 5 = 19 從這一個規則來看, 第 n 個數字我們就稱它為第 n 項, 記為 a n 除此之外, 第 1 項是最開始的數字, 我們又稱它為首項 ; 相對的, 最 後出現的數字, 我們就稱它為末項 所以 8, 7, 34, 4, 19 這個數列的首項就是 8, 末項就是 19 再舉一個例子, 70, 75, 80, 85, 90, 95,, 385, 390, 395, 400, 此數列中, 第 1 項 ( 首項 ) a 1 = 70, 第 項 a = 75, 第 3 項 a 3 = 80, 第 4 項 a 4 = 85, 第 5 項 a 5 = 90, 第 6 項 a 6 = 95,, 末項 = 400

這裡末項 400 會是第 10 項嗎? 不是喔! 因為它中間省略了一些數字, 所以 400 實際上不是第 10 個數字, 中間其實還有數字, 只是沒有寫出來而已, 所以末項 400 不會是第 10 項! 這數列其實不難看得出來有一些規律, 可以試著推理看看, 如果全部記錄出來的話, 末項 400 會是第幾項? 後面我們會來討論這個問題! 有一些數列會有某種規律, 我們仔細觀察後就可以發現這個規律, 並且可以提供我們來做推測! 下面有一些數列的例子, 都含有著某種規律, 我們來觀察看看這些數列, 根據數列間的各項, 試著找出其規律! Ex1. 已知下列數列分別隱含某種規律, 請依其規律在空格中填入適當的數, 並說明所用到的規律 (1) 1, 4, 7, 10, 13, 16, () 3, 6, 1, 4,,96 (3) 1,, 3, 4, 5,, 7, 8 (4) 4, 9,, 5, 36, 49 3

解題思維 : (1) 我們仔細觀察一下這個數列 :1, 4, 7, 10, 13, 16,, 第 1 項 a 1 = 1 第 項 a = 4 第 3 項 a 3 = 7 第 4 項 a 4 = 10 第 5 項 a 5 = 13 第 6 項 a 6 = 16 第 7 項 a 7 不知道 感覺這個數列的數字越來越大, 而且成長還蠻平均的, 我們就來看一下它們成長的情況好了! 第 項減第 1 項 :a a 1 = 4 1 = 3; 第 3 項減第 項 :a 3 a = 7 4 = 3; 第 4 項減第 3 項 :a 4 a 3 = 10 7 = 3; 第 5 項減第 4 項 :a 5 a 4 = 13 10 = 3; 第 6 項減第 5 項 :a 6 a 5 = 16 13 = 3 成長關係大概像是這樣子 : +3 +3 +3 +3 +3 1, 4, 7, 10, 13, 16, 我們發現後面一項都比前面一項還多 3, 所以依照這個規律, 第 7 項 a 7 也要比第 6 項 a 6 還要多 3, 也就是 16 + 3 = 19 所以空格應該填入 19 4

() 我們仔細觀察一下這個數列 :3, 6, 1, 4,,96 如果將後面一項除以前面一項會發生什麼事? 第 項除以第 1 項 :a a 1 = 6 3 = ; 第 3 項除以第 項 :a 3 a = 1 6 = ; 第 4 項除以第 3 項 :a 4 a 3 = 4 1 = 關係大概像是這樣子 : 3, 6, 1, 4,, 96 發現都是後面一項都是前面一項的 倍, 所以依照這個規律, a 5 要是 a 4 的 倍 :4 = 48, 可以填入 48 試試看 3, 6, 1, 4, 48, 96 a 6 也的確是 a 5 的 倍 :48 = 96, 所以空格應該填入 48 (3) 我們仔細觀察一下這個數列 :1,, 3, 4, 5,, 7, 8, 此數列先不看正負號就可以很直覺的知道是 :1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 但是它有正有負, 所以正負的規律也要考慮進來 : a 1 是正 a 是負 a 3 是正 a 4 是負 a 5 是正 a 7 是正 a 8 是負, 按照這個規律可以猜測應該是 :+,, +,, +,, +,, 所以 a 6 應該要是負的, 也就是說空格應該填入 6 5

(4) 我們仔細觀察一下這個數列 : 4, 9,, 5, 36, 49, a 1 = 4, a = 9, a 3 不知道, a 4 = 5, a 5 = 36, a 6 = 49 這些數字好像很熟悉, 在平方根那個單元常常會出現耶! 再想一下, 這些數字其實都是某些數的平方 : 4 =, 9 = 3, 5 = 5, 36 = 6, 49 = 7 紀錄一下 : 4, 9,, 5, 36, 49 3 5 6 7 那麼那個空格應該填入 4 = 16 除了上面例題提供的規律以外, 其實還可以想想看還有沒有其他的規 律可以用來說明那個數列的, 只要有道理其實都可以! 舉一個例子, 第 () 小題的數列是 :3, 6, 1, 4,,96, 第 1 項 a 1 = 3 第 項 a = 6 第 3 項 a 3 = 1 第 4 項 a 4 = 4 第 5 項 a 5 不知道 第 6 項 a 6 = 96 感覺這個數列的數字越來越大, 但是成長好像不是很平均 : 第 項減第 1 項 :a a 1 = 6 3 = 3; 第 3 項減第 項 :a 3 a = 1 6 = 6; 第 4 項減第 3 項 :a 4 a 3 = 4 1 = 1 6

成長關係大概像是這樣子 : +3 +6 +1 3, 6, 1, 4,, 96 成長的幅度越來越大, a 比 a 1 多 3, a 3 比 a 多 6, a 4 比 a 3 多 1, a 5 應該要比 a 4 多多少呢? 想想看 +3, +6, +1 : 加的數字是兩倍增長, 所以接下來應該是 +4, 再來 +48 4 + 4 = 48 填進空格試試看! +3 +6 +1 +4 +48 3, 6, 1, 4, 48, 96 沒錯! 符合我們推論出來的規律, 因此空格就是填入 48 除了數字間有某種規律以外, 在某些圖形中也會有一些規律可以推論, 舉一些例子來看看! Ex. 下面各圖是小君運用火柴棒所排出的正三角形, 請你觀察一下這 些圖形之間的差異與所需的火柴數之間的關係, 並求出圖 (101) 會需要幾根火柴棒 圖 (1) 圖 () 圖 (3) 圖 (4) 7

解題思維 : 從這個圖形當中我們可以紀錄正三角形個數及使用的火柴根數, 1 個三角形, 用到 3 根火柴數 ; 個三角形, 用到 5 根火柴數 ; 3 個三角形, 用到 7 根火柴數 ;4 個三角形, 用到 9 根火柴數 紀錄下來, 如下 : 正三角形個數 1 3 4 火柴棒根數 3 5 7 9 + + + 3, 5, 7, 9 發現後項都比前項還多, 也就是每多 1 個三角形, 就多 根火柴棒 也可以從圖形來推論 : 1 個三角形, 用到 3 根火柴數 個三角形, 就再多 根火柴數, 也就是 (3 + ) = 5 根火柴數 3 個三角形, 就再多 根火柴數, 也就是 (5 + ) = 7 根火柴數 4 個三角形, 就再多 根火柴數, 也就是 (7 + ) = 9 根火柴數每多 1 個三角形, 就多 根火柴棒, 這就是各圖間的關係 8

............... 由圖形的規律發現, 依序會多增加 根火柴棒, 各圖跟圖 (1) 相比的 各數可以記錄成下表 : 圖 (1) 圖 () 圖 (3) 圖 (4) 火柴棒 總數 比圖 (1) 多 1 個三角形 比圖 (1) 多 個三角形 比圖 (1) 多 3 個三角形 比圖 (1) 多 1 組 根火柴棒 比圖 (1) 多 組 根火柴棒 比圖 (1) 多 3 組 根火柴棒 3 3 + 1 3 + 3 + 3 依照此規律, 圖 (101) 比圖 (1) 多 100 個三角形, 所以所需要的火柴棒 總數為 3 + 100 = 03 根火柴數 在生活中, 常常隱含著某一些規律, 我們仔細觀察就能把這些規律找 出來, 接下來我們就舉幾個例子來試試看! Ex3. 右圖是台鐵火車車廂的座位表, 一節車廂上總共有 5 個位子, 請寫出第一行全部的座位號碼 第一行第二行 第三行第四行 第一排 1 3 4 第二排 5 7 走 8 6 第三排 9 11 1 10 道 9

............... 解題思維 : 在思考這樣子的問題時, 就要先想清楚它的排序規則是什麼, 從圖當中就可以知道一排有 4 個位置, 所以每排完 4 個位置後就會換下一排, 而排的順序是 : 第一行 第四行 第二行 第三行 第一行第二行第三行第四行第一排 1 3 4 第二排 5 7 8 6 走第三排 9 11 1 10 第四排 13 15 16 14 道 從這樣子的規則可以看到第一行的座位號碼會是 1,5,9,13,, +4 +4 +4 1, 5, 9, 13, 第一行這個數列的規律就是前一項加 4 等於後一項, 因此第一行座位號碼依序為 :1,5,9,13,17,1,5,9,33,37,41,45,49 10

重點提問 1. 一個數列當中, 第 1 個數字就稱為 或稱為, 通常記為 ; 第 個數字就稱為, 通常記為 ; 第 3 個數字就稱為, 通常記為 ; ; 第 n 個數字就 稱為, 通常記為 ; 最後出現的數字, 我們就稱它 為. 根據上面的課文, 請用自己的話解釋 首項 末項, 並舉一 個數列的例子做說明 3. 請舉出一個有規律的數列, 並解釋這個數列的規律 11

隨堂練習 : 1. 已知下列數列分別隱含某種規律, 請依其規律在空格中填入適當的數 (1), 7, 1, 17,, 7, () 1, 3, 9, 7,, 43 (3) 1, 1, 1,, 1, 1 3 5 6 (4) 1,, 3,, 5, 6,, 8, 3 (5) 1, 8,, 64, 15 (6), 5, 10, 17, 6, 37,. 下面各圖是小義運用火柴棒所排出的正方形, 請你觀察一下這些 圖形之間的差異與所需的火柴數之間的關係 並求出圖 (56) 會需 要幾根火柴棒 圖 (1) 圖 () 圖 (3) 圖 (4) 1

......... 3. 右圖是客運公車車廂的座位表, 一台車上總共有 1 個位子, 請寫出第三行全部的座位號碼 第一行第二行 第三行 3 1 6 5 走 4 9 8 7 道 4. 下圖是某年 1 月份的月曆, 請寫出此月份星期二的全部日期 日 一 二 三 四 五 六 1 3 4 5 6 7 8 9 10 13

還是不太懂, 請看下面影片 (1) 還是不太懂, 請看下面影片 () https://youtu.be/q7_9bpko5q https://youtu.be/ypxoq-mwzkw 還是不太懂, 請看下面影片 (3) 還是不太懂, 請看下面影片 (4) https://youtu.be/8a1pz1pqm_w https://youtu.be/yutcst_5fmw 還是不太懂, 請看下面影片 (5) 還是不太懂, 請看下面影片 (6) https://youtu.be/1dhfcbnk-ug https://youtu.be/jektwrix_c 14

單元二 : 等差數列 ( 二 ) 課文 A: 等差數列的基本概念 上一單元我們介紹了數列, 而且也觀察了一些規律, 像是 Ex 中第一 行的座號依序為 :1,5,9,13,17,1,5,9,33,37,41,45,49, 這一數列的 規律就是 任意相鄰的兩項, 後項減前項都等於 4 這種數列的規律還蠻常見的, 就是 任意相鄰的兩項, 後項減去前項 所得的差都相同, 像是這種數列我們就稱為等差數列, 而那個後項 減前項所得的差值我們就稱為公差, 通常記為 d 再舉一個例子, 在 1~0 當中 3 的倍數有 : 3,6,9,1,15,18 a a 1 = 6 3 = 3 ; a 3 a = 9 6 = 3 ; a 4 a 3 = 1 9 = 3 ; a 5 a 4 = 15 1 = 3 ; a 6 a 5 = 18 15 = 3 ; 這一數列的規律是 : 任意相鄰的兩項, 後項減去前項所得的差都是 3, 所以這個數列就是等差數列, 而 3 就是這個數列的公差 舉一個例題來熟悉等差數列! Ex1. 判斷下列各數列是否為等差數列 如果是, 請寫出數列的公差 (1) 1,,3,4,5,6,7 () 5,, 1, 4, 7, 10 (3),,,,,, (4) 1,0,1,0,1,0,1 15

解題思維 : 所謂等差數列就是任意相鄰兩項的差會是固定值, 所以我們就來檢 查看看每一個數列! (1) 1,,3,4,5,6,7 a a 1 = 1 = 1 ; a 3 a = 3 = 1 ; a 4 a 3 = 4 3 = 1 ; a 5 a 4 = 5 4 = 1 ; a 6 a 5 = 6 5 = 1 ; a 7 a 6 = 7 6 = 1. 1,, 3, 4, 5, 6, 7 從上面的運算我們可以知道, 後項減前項的差都是 1, 所以 1,,3,4,5,6,7 就是等差數列, 公差 d 為 1 () 5,, 1, 4, 7, 10 a a 1 = 5 = 3 ; a 3 a = ( 1) = 3 ; a 4 a 3 = ( 4) ( 1) = 3 ; a 5 a 4 = ( 7) ( 4) = 3 ; a 6 a 5 = ( 10) ( 7) = 3 5,, 1, 4, 7, 10 從上面的運算我們可以知道, 後項減前項的差都是 3, 所以 5,, 1, 4, 7, 10 就是等差數列, 公差 d 為 3 (3),,,,, +1 +1 +1 +1 +1 +1-3 -3-3 -3-3 +0 +0 +0 +0 +0,,,,, 從上面的運算我們可以知道, 後項減前項的差都是 0, 所以,,,,, 就是等差數列, 公差 d 為 0 16

(4) 1,0,1,0,1,0,1 a a 1 = 0 1 = 1 ; a 3 a = 1 0 = 1-1 +1-1 +1-1 +1 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 任意相鄰兩項的差不相等, 所以 1,0,1,0,1,0,1 不是等差數列 Ex. 下列空格中填入適當的數, 使得各數列成為等差數列 (1) 5,8,,,,, (),,, 5, 3, 3, (3),, b, 4b,,, 解題思維 : 要形成等差數列就必頇有一個固定規律, 這個規律就是任意相鄰兩 項的後項減前項都會是一個固定的值, 而這個固定的值就是公差 仔細看一下題目, 這些數列剛剛好都有給一組相鄰的兩項, 就可以 利用這兩項來求出公差, 再來就可以推得出其他的項了 (1) 5,8,,,,, 這一數列知道的是第一項 a 1 = 5 第二項 a = 8, 所以我們就 可以利用這兩項算出公差 d = a a 1 = 8 5 = 3 也就是說之後每一項都會比其前一項多 3 : +3 +3 +3 +3 +3 +3 5, 8, 11, 14, 17, 0, 3 17

(),,, 5, 3,, 這一數列知道的其中相鄰兩項是 a 4 = 5 a 5 = 3, 所以我們 就可以利用這兩項算出公差 d = a 5 a 4 = 3 5 = 1 也就是說之後每一項都會比其前一項多公差 d = 1 : a 6 = a 5 + d = 3 + 1 = 7 ;a 7 = a 6 + d = 7 + 1 = 4 那如果要往前推前面的空格呢? 就要反過來想 後項都會比其前項多公差 d = 1, 換句話說, 也就是 前面一項都會比其後面一項還要少公差 d = 1 : a 3 = a 4 d = 5 1 = ;a = a 3 d = 1 = 3 ; a 1 = a d = 3 1 = + 1 + 1 + 1, 3,, 5, 3, 7, 4 1 1 1 18

(3),, b, 4b,,, 這一數列雖然沒有出現實際的數字, 但是等差數列的概念是一樣的, 公差會等於相鄰兩項的差 ( 後項減前項 ) 從題目中可以知道的其中相鄰兩項分別是 a 3 = b a 4 = 4b, 所以我們就可以利用這兩項算出公差 : d = a 4 a 3 = 4b b = b 也就是說之後每一項都會比其前一項多公差 b, 而前面一項都會比其後面一項還要少公差 b : +b +b +b +b -b, 0, b, 4b, 6b, 8b, 10b -b -b Ex3. 下列空格中填入適當的數, 使得各數列成為等差數列 (1) 4,, 10,,,, (), 7,,, 16,, 3 3 (3), 6b,,,, b, 19

解題思維 : 要形成等差數列就必頇有一個固定規律, 這個規律就是任意相鄰兩項的後項減前項都會是一個固定的值, 而這個固定的值就是公差 但是看一下題目, 這些數列都沒有給相鄰的兩項, 這裡就是跟剛剛 Ex 不一樣的地方了, 那怎麼辦呢? 沒關係, 就直接利用等差數列的想法去做就好了, 先求出公差 d, 再來慢慢推出各項! (1) 4,, 10,,,, 這一數列知道的是第一項 a 1 = 4 第三項 a 3 = 10, 我們先來嘗試著求出公差 d, 再來就可以推出所有項了! +d +d +d +d +d +d 4, a, 10, a 4, a 5, a 6, a 7 從上面就可以看出第一項 a 1 = 4 與第三項 a 3 = 10 之間差 了 個公差 從上面可以知道, 第三項 a 3 就是 4 + d + d = 10, 所以 4 + d = 10 d = 10 4 = 6, 可以得到公差 d = 3 也就是說之後每一項都會比其前一項多 3 : +3 +3 +3 +3 +3 +3 4, 7, 10, 13, 16, 19, 0

(), 7 3,,, 16 3,, 這一數列知道的是第二項 a = 7 3 第五項 a 5 = 16 3, 我們先來 嘗試著求出公差 d, 再來就可以推出所有項了! +d +d +d +d +d +d a 1, 7 3, a 3, a 4, 16 3, a 6, a 7 從上面就可以看出第二項 a = 7 與第五項 a 3 5 = 16 3 之間差了 3 個公差 7 從上面可以知道, 第五項 a 5 就是 + d + d + d = 16, 3 3 所以 7 3 + 3d = 16 3 3d = 16 3 7 3 = 3, 可以得到公差 d = 1 也就是說之後每一項都會比其前一項多 1 : + 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 4 3, 7 3, 10 3, 13 3, 16 3, 19 3, 3 1

(3), 6b,,,, b, 這一數列雖然沒有出現實際的數字, 但是等差數列的概念是一樣的, 公差會等於相鄰兩項的差 ( 後項減前項 ) 這一數列知道的是第一項 a = 6b 第六項 a 6 = b, 我們先來嘗試著求出公差 d, 再來就可以推出所有項了! +d +d +d +d +d +d a 1, 6b, a 3, a 4, a 5, b, a 7 從上面就可以看出第二項 a = 6b 與第六項 a 6 = b 之間差了 4 個公差 從上面可以知道, 第六項 a 6 就是 ( 6b) + d + d + d + d = b, 所以 ( 6b) + 4d = b 4d = b ( 6b) = 8b, 可以得到公差 d = b 也就是說之後每一項就是其前一項加上 b : +b +b +b +b +b +b 8b, 6b, 4b, b, 0, b, 4b Ex4. 回答下列問題, 已知等差數列的首項是 (1) 若公差為 3, 請寫出它的前五項 () 若公差為 3, 請寫出它的前五項 (3) 觀察上面的結果, 你認為等差數列中, 公差為正或為負, 數列 有什麼差別

解題思維 : 既然是等差數列, 所以相鄰兩項的差就會是固定的值, 也就是公差 所以知道首項 公差之後, 就可以把所有的項求出來了! (1) 首項 a 1 =, 公差 d = 3 : a = a 1 + d = + 3 = 5 ; a 3 = a + d = 5 + 3 = 8 a 4 = a 3 + d = 8 + 3 = 11 ; a 5 = a 4 + d = 11 + 3 = 14 +3 +3 +3 +3, 5, 8, 11, 14 () 首項 a 1 =, 公差 d = 3 : a = a 1 + d = + ( 3) = 1; a 3 = a + d = ( 1) + ( 3) = 4 a 4 = a 3 + d = ( 4) + ( 3) = 7; a 5 = a 4 + d = ( 7) + ( 3) = 10. -3-3 -3-3, 1, 4, -7, -10 (3) 從 (1) 跟 () 這兩個數列當中可以看到, 相同的首項, 但是不 同的公差, 如果公差是正的話那麼每一項就會越來越大, 而 如果公差是負的話那麼每一項就會越來越小 3

重點提問 1. 根據上面的課文, 請用自己的話解釋 等差數列 公差, 並 舉一個數列的例子做說明. 一個等差數列當中, 各項的關係如下 : +d +d +d +d +d +d a 1, a, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, (1) 相鄰的兩項之間差 個公差 () a 3 比 a 1 多 個公差 (3) a 4 比 a 1 多 個公差 (5) a 5 比 a 1 多 個公差 (6) a 6 比 a 1 多 個公差 (7) a 7 比 a 1 多 個公差 4

隨堂練習 : 1. 判斷下列各數列是否為等差數列 如果是, 請寫出數列的公差 (1),4,6,8,10,1,14 () 8,1, 6, 13, 0, 7 (3) 0,0,0,0,0 (4) 1,, 3, 4, 5, 6,7 (5) 1, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7. 下列空格中填入適當的數, 使得各數列成為等差數列 (1) 3,10,,,,, (),,, 7, 3,, 3 (3),,,,, 3, (4),, 3b, 6b,,, 5

3. 下列空格中填入適當的數, 使得各數列成為等差數列 (1) 7,, 13,,,, (), 1,,, 1,, 4 (3),,, 3,,, 9 (4), 3 b,,,, 1 b, 5 5 還是不太懂, 請看下面影片 (1) 還是不太懂, 請看下面影片 () 還是不太懂, 請看下面影片 (3) https://youtu.be/myml5qif6g4 https://youtu.be/k-wtooactka https://youtu.be/oi-lqycuim 還是不太懂, 請看下面影片 (4) 還是不太懂, 請看下面影片 (5) https://youtu.be/fqkdsdbdwe0 https://youtu.be/d1obfuvhmcc 6

單元二 : 等差數列 ( 二 ) 課文 B: 等差數列的第 n 項公式如果我們知道一等差數列的首項和公差的話, 那麼我們就能把之後的每一項都推算出來了 例如上一節的 Ex3, 已知等差數列的首項是 公差為 3, 那麼前五項會是 :, 5, 8, 11, 14 +3 +3 +3 +3 那如果我們想要求此等差數列的第 36 項時, 怎麼辦? 我們當然可以利用這個規律繼續推算 a 6, a 7, a 8, 一直到 a 36! 但是這樣子好像又太耗費時間了, 而且計算量也越來越大, 如果一不小心算錯其中一項, 那麼後面就會全部錯下去! 所以我們就會想要知道首項 公差與各項之間的關係, 這個關係可以 幫助我們知道了首項 公差後, 就可以直接推出想知道的那一項, 不 用逐項逐項的推 先來做一個簡單的觀察 : +3 5 +3 +3 5 8 +3 +3 +3 5 8 11 +3 +3 +3 +3 5 8 11 14 第 項比首項多 1 個公差, a = a 1 + 1 d = + 1 3 = 5 第 3 項比首項多 個公差, a 3 = a 1 + d = + 3 = 8 第 4 項比首項多 3 個公差, a 4 = a 1 + 3 d = + 3 3 = 11 第 5 項比首項多 4 個公差, a 5 = a 1 + 4 d = + 4 3 = 1 那麼第 36 項 a 36 呢? 它會比首項多幾個公差? 7

合理的推算就是第 36 項比首項多 35 個公差, 所以我們要算 a 36 就是 a 1 + 35 d = + 35 3 = 107, 這樣不用逐項逐項推, 很方便吧! 依此類推, 第 n 項的話就會是首項加 (n 1) 個公差, 也就是 : a n = a 1 + (n 1)d, 這就是等差數列的公式! 這個公式, 有 4 個主要元素, 首項 a 1 第 n 項 a n 項數 n 公差 d : a n = a 1 + 第首 n 項項 (n 1) d 項數 1 公差 這 4 個未知數只要知道其中 3 個就可以求出另外的第 4 個, 我們可以 練習看看一些題目! Ex1. 一等差數列首項為 14, 公差為 9, 求此等差數列的第 9 項為何? 解題思維 : 前面我們已經知道第 n 項的公式了, 我們可以直接使用公式, 先將知道的條件與要求的列出來 : 首項 a 1 = 14 公差 d = 9, 想求第 9 項 a 9, 也就是 n = 9, 然後將這些代入公式 a n = a 1 + (n 1)d 中 : a 9 = ( 14) + (9 1) 9 = ( 14) + 8 9 = 58 8

Ex. 已知一等差數列第 1 項為 14, 公差為 3, 求此等差數列的首 項為何? 解題思維 : 我們可以直接利用公式, 先將知道的條件與要求的列出來 : 第 1 項 a 1 = 14, 也就是 n = 1, 公差 d = 3, 想求首項 a 1, 然後將這些代入公式 a n = a 1 + (n 1)d 中 : 14 = a 1 + (1 1) ( 3) 14 = a 1 + 0 ( 3) 14 = a 1 + ( 60) 14 = a 1 60 14 + 60 = a 1 a 1 = 184 9

Ex3. 已知一等差數列首項為 0, 第 18 項為 71, 求此等差數列的公差為何? 解題思維 : 我們可以直接利用公式, 先將知道的條件與要求的列出來 : 首項 a 1 = 0, 第 18 項 a 18 = 71, 也就是 n = 18, 想求公差 d, 然後將這些代入公式 a n = a 1 + (n 1)d 中 : 71 = 0 + (18 1) d 71 = 0 + 17 d 71 0 = 17 d 51 = 17 d 51 17 = d 3 = d 30

Ex4. 已知一等差數列首項為 4, 末項為, 公差為 3, 求此等差數列 共有幾項? 解題思維 : 我們可以直接利用公式, 先將知道的條件與要求的列出來 : 首項 a 1 = 4, 第 n 項 a n =, 公差 d = 3, 想求項數 n, 然後將這些代入公式 a n = a 1 + (n 1)d 中 : = 4 + (n 1) 3 4 = (n 1) 3 18 = (n 1) 3 18 3 = n 1 6 = n 1 6 + 1 = n 7 = n 在單元一中舉的例子中, 70, 75, 80, 85, 90, 95,, 385, 390, 395, 400, 這是一個等差數列數列, 那麼末項 400 是第幾項呢? 我們可以知道 : 首項 a 1 = 70, 第 n 項 a n = 400, 公差 d = 5, 代入公式 a n = a 1 + (n 1)d 中 : 400 = 70 + (n 1) 5 400 70 = (n 1) 5 330 = (n 1) 5 330 5 = n 1 66 = n 1 67 = n 31

Ex5. 已知一等差數列第 3 項為 5, 第 7 項為 1, 求此等差數列的公差為何? 首項為何? 解題思維 : 原則上告訴我們首項 a 1 跟公差 d, 我們就可以將所有項求出來, 現在反過來告訴我們第 3 項 a 3 = 5 第 7 項 a 7 = 1, 想要求公差 d 跟首項 a 1 我們先回到基本的等差數列想法來看, 將數列寫下來 : +d +d +d +d +d +d a 1, a, 5, a 4, a 5, a 6, 1 以前我們都是拿各項去跟首項作比較, 可是現在首項不知道怎麼辦? 很簡單, 我們就拿知道的來做比較! +d +d +d +d +d +d a 1, a, 5, a 4, a 5, a 6, 1 仔細觀察一下, 第 7 項 a 7 比第 3 項 a 3 多了 4 個 d! a 3 + 4d = a 7 :5 + 4d = 1 4d = 1 5 4d = 16 d = 16 4 d = 4 知道公差 d = 4 之後, 原本就知道第 3 項 a 3 = 5, 所以就可以反推 回去求出求出首項 a 1 了!a 1 會比 a 3 少了 (3 1) 個公差 d, 所以 a 1 = a 3 (3 1)d = 5 4 = 5 8 = 3 3

如果我們直接使用公式的話, 先將知道的條件與要求的列出來 : 第 3 項 a 3 = 5, 第 7 項 a 7 = 1, 想求公差 d 跟首項 a 1 有兩個要求的未知數, 應該要有兩個方程式才能求出解來, 公式 a n = a 1 + (n 1)d 都是跟首項比, 所以可以分開列式 第 3 項 a 3 = 5, 也就是 n = 3, 公差 d 跟首項 a 1 : 5 = a 1 + (3 1) d 另外一個方程式, 第 7 項 a 7 = 1, 也就是 n = 7, 公差 d 跟首項 a 1 : 1 = a 1 + (7 1) d 這兩個方程式就可以列式解聯立 : { 5 = a 1 + (3 1) d 1 = a 1 + (7 1) d 整理 { 5 = a 1 + d.. 1 1 = a 1 + 6 d. 1 :16 = 4 d 16 4 = d 4 = d 代回 1 式 :5 = a 1 + 4 5 = a 1 + 8 5 8 = a 1 3 = a 1 33

重點提問 1. 一個等差數列當中, 各項的關係如下 : +d +d +d +d +d +d a 1, a, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7,, a n (1) a 比 a 1 多 個公差, 所以 a = a 1 + ( 1)d () a 3 比 a 1 多 個公差, 所以 a 3 = a 1 + ( 1)d (3) a 4 比 a 1 多 個公差, 所以 a 4 = a 1 + ( 1)d (5) a 5 比 a 1 多 個公差, 所以 a 5 = a 1 + ( 1)d (6) a 6 比 a 1 多 個公差, 所以 a 6 = a 1 + ( 1)d (7) a 7 比 a 1 多 個公差, 所以 a 7 = a 1 + ( 1)d (8) a n 比 a 1 多 個公差, 所以 a n = a 1 + ( 1)d. 根據上面的課文, 利用等差數列公式來解的題目可以分成哪幾 類? 34

隨堂練習 : 1. 已知一等差數列首項為 1, 公差為 9, 求此等差數列的第 10 項 為何?. 已知一等差數列第 1 項為 81, 公差為 3, 求此等差數列的首項 為何? 3. 已知一等差數列首項為 74, 第 1 項為 14, 求此等差數列的公 差為何? 35

4. 已知一等差數列首項為 1, 末項為 1, 公差為 3 4, 求此等 差數列共有幾項? 5. 已知一等差數列第 項為 65, 第 1 項為 5, 求此等差數列的公 差為何? 首項為何? 36

還是不太懂, 請看下面影片 (1) 還是不太懂, 請看下面影片 () https://youtu.be/iusnmhhcudk https://youtu.be/visjlfyfdy 還是不太懂, 請看下面影片 (3) 還是不太懂, 請看下面影片 (4) https://youtu.be/h79ua7_9j40 https://youtu.be/oy5rya35slu 還是不太懂, 請看下面影片 (5) https://youtu.be/dtaiuq7ywvk 37

單元二 : 等差數列 ( 二 ) 課文 C: 等差中項這一節要談一個有關等差數列的概念, 就是等差中項 等差中項顧名思義會跟等差數列有關, 而且特別是中間的那一項 例如有三個數 5,11,17, 這三個數形成一個等差數列, 那麼中間那項 11 就稱為是 5 和 17 的等差中項 再舉一個例子,1,10,8 成等差數列, 那麼中間那項 10 就稱為是 1 和 8 的等差中項 那為什麼要討論等差中項呢? 形成等差數列的三個數之間有什麼樣的關係呢? 我們來討論一下! 今天有三個數 a, b, c 成等差數列, 公差 d = b a = c b; 移項整理一下變成 b = a + c, 再除以 b = a:c + 公差 d + 公差 d a, b, c 這就是等差中項的關係 : 如果有三個數 a, b, c 成等差數列, b 就稱為 a 和 c 的等差中項, 三數間的關係就是 b = a:c 38

Ex1. 已知 5, a, b 三項成等差數列, 且 a, b 兩數和為 8, 求 a, b 的值 解題思維 : 在做例題時, 都要先分析一下題目, 首先看一下 要求什麼 跟 有什麼條件 從這題目當中可以發現, 所要求的就是兩個未知數 a 跟 b, 所以 我們可以猜測應該需要列出兩個方程式 看一下題目給的條件 :5, a, b 三項成等差, a, b 兩數和為 8 這 其實提供兩種 a 跟 b 之間的關係 首先, 5, a, b 三項成等差數列, 換句話說 a 就是 5 跟 b 的等差中 項, 因此可以列式成 : a = 5:b 再來,a, b 兩數和為 8, 所以可以列式成 :a + b = 8 這樣子就有兩個二元一次方程式了, 可以利用這兩個二元一次方 程式來解聯立求出未知數 a, b! 5:b a = { a + b = 8 { a b = 5.. 1 a + b = 8.. 1 + :3a = 5 + 8 = 33 a = 5:b a = 5 + b a b = 5 等號右邊分母 移項過去變 等號右邊 +b 移項過去變 b a = 33 3 = 11 代入 11 + b = 8 b = 8 11 = 17 39

Ex. 已知 3a + b, 10, 7a b 三項成等差, 且 a b, 7, 3a + 4b 亦成等差, 求 a, b 的值 解題思維 : 從這題目當中可以發現, 所要求的就是兩個未知數 a 跟 b, 所以 我們可以猜測應該需要列出兩個方程式 看一下題目給的條件 : 3a + b, 10, 7a b 三項成等差, a b, 7, 3a + 4b 亦成等差 其實提供兩種 a 跟 b 之間的關係 首先, 3a + b, 10, 7a b 三項成等差, 換句話說 10 就是 3a + b 跟 7a b 的等差中項, 列式成 : 10 = (3a:b):(7a;b) 再來, a b, 7, 3a + 4b 三項成等差, 換句話說 7 就是 a b 跟 3a + 4b 的等差中項, 列式成 : 7 = (a;b):(3a:4b) (3a:b):(7a;b) 10 = { 7 = (a;b):(3a:4b) 0 = (3a + b) + (7a b) { 14 = (a b) + (3a + 4b) { 0 = 10a.. 1 14 = 4a + b.. 等號右邊分母 移項過去變 整理一下 1 等號兩邊同除以 10,a = 代入 14 = 4 + b 14 = 8 + b 6 = b 3 = b 40

Ex3. 已知 a, b, 5, c, d 五項成等差, 求 a + b + c + d 的值 解題思維 : a, b, 5, c, d 五項成等差 : a, b, 5, c, d 我們先挑中間三項 b, 5, c 就會成等差, 也就是說 5 是 b 和 c 的等 差中項, 所以就可以列式 :5 = b:c 那我們如果挑 a, 5, d 的話, + 公差 d + 公差 d + 公差 d + 公差 d a, b, 5, c, d 所以 a, 5, d 就會成等差, 也就是說 5 是 a 和 d 的等差中項, 所以 就可以列式 :5 = a:d + 公差 d + 公差 d + 公差 d + 公差 d 再來看看這兩個式子 :{ 5 = b:c 5 = a:d + 個公差 d + 個公差 d 等號右邊分母 移項過去變 { 10 = b + c 10 = a + d, 題目要求的 a + b + c + d = 10 + 10 = 0 41

重點提問 1. 根據上面的課文, 請用自己的話解釋 等差中項. 根據上面的課文, 如果有三個數 a,b,c 成等差數列, 那麼這三數 間會有什麼樣的關係式? 3. 一個等差數列當中, 各項的關係如下 : +d +d +d +d +d +d a 1, a, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7 a 4 是與的等差中項 ; a 4 也會是與的等差中項 ; a 4 也會是與的等差中項 4

隨堂練習 : 1. 已知, a, b 三項成等差, 且 a, b 兩數和為 8, 求 a, b 的值. 已知 a + b, 10, 3a b 三項成等差, 且 a b, 6, a + 4b 亦 成等差, 求 a, b 的值 43

3. 已知 a, b, 4, c, d 五項成等差, 求 a + b + c + d 的值 還是不太懂, 請看下面影片 (1) 還是不太懂, 請看下面影片 () https://youtu.be/n00c6papzok https://youtu.be/dirz6usv-e 44

單元二 : 等差數列 ( 二 ) 課文 D: 等差數列的應用學完等差數列後, 生活當中有一些規律跟等差數列有關, 那麼就可以利用等差數列的概念去進行解題 在解決應用問題的時候, 首先要找出想要求的目標及題目所提供的條件, 再根據條件列出方程式, 最後進行解方程式解出所求 Ex1. 曉明存錢筒裡面已經有了 75 元, 他決定從 3 月 1 日起, 省下每天買飲料的錢 5 元存進存錢筒裡, 請問到了 4 月 30 日, 他的存錢筒裡一共有多少錢? 解題思維 : 一開始有存錢筒裡面已經有了 75 元今天是 3 月 1 日, 他就存了 5 元, 所以存錢筒裡面共有 100 元 ; 明天 3 月 日, 又存了 5 元, 存錢筒裡面就有 15 元 ; 再隔一天 3 月 3 日, 又省下了 5 元, 存錢筒裡面就有 150 元 ; 再隔一天 3 月 4 日, 又省下了 5 元, 存錢筒裡面就有 175 元 ;... 也就是每天都會再多 5 元 將存錢筒裡面的錢寫下來 :75, 100, 15, 150, 175, 仔細觀察一下這個數列會發現就是一個等差數列, 45

首項 a 1 就是 75, 公差 d = 50 5 = 5 所以就可以利用這樣子的規律去推算到了 4 月 30 日總共省下到多少錢 4 月 30 日是第幾天呢? 3 月是大月, 有 31 天 ; 4 月 1 日到 30 日共有 30 天 所以 3 月 1 日到 4 月 30 日總共有 (31 + 30) = 61 天, 還有一開始就有一些錢, 所以就是在求 a 6 首項 a 1 就是 5, 公差 d = 5, 要求 a 6, 也就是 n = 6 a 61 = 75 + (6 1) 5 = 75 + 61 5 = 75 + 155 = 1600 Ex. 卉瑜為了存錢買一雙 800 元的釘鞋, 決定從 6 月 1 日起, 省下每天買飲料的錢 5 元, 請問要到了幾月幾日, 他才會存到足夠的錢? 解題思維 : 假設今天是 6 月 1 日, 他就省下了 5 元 ; 明天 6 月 日, 又省下了 5 元, 兩天總共省下 50 元 ; 再隔一天 6 月 3 日, 又省下了 5 元, 三天總共省下 75 元 ; 再隔一天 6 月 4 日, 又省下了 5 元, 四天總共省下 100 元 ;... 也就是每天都會再多 5 元 將總共省下的錢寫下來 :5, 50, 75, 100, 15, 150, 46

仔細觀察一下這個數列會發現就是一個等差數列, 首項 a 1 就是 5, 公差 d = 50 5 = 5 什麼時候可以存夠錢可以買 800 元的釘鞋呢? 不知道! 但是可以假設到了第 n 天總共所存的錢 a n 可以買釘鞋, 也就是 a n 會比 800 還要多, 所以就可以列式成 : a n 800 a n 的算法是 : a n = a 1 + (n 1)d, a n = a 1 + (n 1)d = 5 + (n 1) 5 a n = 5 + (n 1) 5 = 5 + 5n 5 = 5n 5n 800 n 800 5 = 11 所以他要存 11 天才存夠錢可以買釘鞋 11 5 800 500 300 50 50 50 0 從 6 月 1 日開始,11 天後是幾月幾日呢? 6 月是小月, 有 30 天 ;7 月是大月, 有 31 天 ;8 月是大月, 有 31 天 ; 這樣已有 30 + 31 + 31 = 9 天了, 還要再過 0 天才會到 11 天, 所以就會是 9 月 0 日 47

Ex3. 若一三角形內角成等差, 且最大角為最小角的 倍, 求此三角形三內角為何? 解題思維 : 這種題目叫三數成等差, 如果三個內角分別假設成 x, y, z, 那麼就用了三個未知數了, 而要解三個未知數需要三個方程式, 這樣解起來還蠻辛苦的 所以我們希望能將未知數減少, 不要假設那麼多未知數, 就從三個內角成等差下手 所以這三個內角中角度最小的角就假設成 a; 第二個比第一個多了一個公差, 所以假設成 a + d ; 第三個比第二個又多了一個公差, 所以假設成 a + d + 公差 d + 公差 d a, a + d, a + d 這樣子就只用了兩個未知數就可以表示出三個數了 除了這樣子假設以外, 我們通常還會用另外一種假設方式 : 三個 數成等差, 那麼我們就令等差中項為 a ; 前一項就少一個公差, 就是 a d ; 後一項就多一個公差, 也就是 a + d 48

+ 公差 d + 公差 d a d, a, a + d 這樣子的假設方式一樣是利用兩個未知數 這樣子假設有什麼好處呢? 如果條件有給我們三數和的時候,(a d) + a + (a + d) = 3a 只留下一個未知數, 計算上會比較方便! 我們假設這個三角形的三個內角度數分別是 :a d, a, a + d 接下來看條件, 從題目當中可以知道這三角形的最大角為最小角的 倍, 所以可以列式成 :a + d = (a d) 那另外一個條件呢? 很重要的條件, 就是這是一個三角形的三個內角 我們知道三角形的內角和為 180 度, 所以就可以列式成 : (a d) + a + (a + d) = 180 a + d = (a d) { (a d) + a + (a + d) = 180 a + d = (a d) a + d = a d d + d = a a 3d = a 移項整理 { 3d = a.. 1 3a = 180.. 同除以 3 a = 180 3 = 60 再代回 1 3d = 60 d = 0 同除以 3 49

重點提問 1. 小峰存錢筒裡面已經有了 75 元, 他決定從 4 月 1 日起, 省下每天買飲料的錢 0 元存進存錢筒裡, 請問到了 4 月 30 日, 他有了多少錢? 由題目可以得知, 存在錢筒裡面的錢, 這些數字所成的數列為 : 這個數列是否為等差數列? 如果是的話, 首項 a 1 = 公差 d = 項數 n = ; 所想要求的是. 大冬為了存錢買一雙 3000 元的釘鞋, 決定從今天開始省下每天買飲料的錢 0 元, 請問需要幾天他才會存到足夠的錢? 由題目可以得知, 大冬如果每日結算總共所存的錢, 那麼這些數字所成的數列為 : 這個數列是否為等差數列? 如果是的話, 首項 a 1 = 公差 d = 末項 = ; 所要求的是 50

隨堂練習 : 1. 小晴決定從 7 月 1 日起, 每天健走 4 公里, 請問到了 8 月 31 日, 他一共健走了多少公里?. 為了增進大家的英文實力, 老師規定每人在暑假中要閱讀一本英文小說 小希選了一本 00 頁的英文小說, 她之前已經讀了 0 頁了, 決定之後再從 7 月 1 日起開始閱讀, 每天讀 5 頁, 請問要到了幾月幾日她才能讀完整本小說? 51

3. 若一三角形內角成等差, 且最大角比最小角多 0 度, 求此三角 形三內角為何? 還是不太懂, 請看下面影片 (1) 還是不太懂, 請看下面影片 () https://youtu.be/oh8_iblulwm https://youtu.be/tvwnmweuhg 5

單元三 : 等差級數 ( 三 ) 課文 A: 等差級數回顧一下, 數列就是將一串數字依序排成一列, 例如小芳紀錄這禮拜星期一到星期日的早餐費依序為 :55, 45, 50, 60, 65, 55, 75, 55, 45, 50, 60, 65, 55, 75 這就是一個數列 如果小芳想計算這星期總共花了多少早餐錢, 計算方式就是將每一天所花的早餐錢都加起來 :55 + 45 + 50 + 60 + 65 + 55 + 75, 55 + 45 + 50 + 60 + 65 + 55 + 75 這就是一種級數 而級數的首項 末項 項數其實就跟數列一樣的 以這個級數來說, 第 1 項 ( 首項 ) a 1 就是 55 第 項 a 就是 45... 第 7 項 a 7 ( 也是這個級數的末項 ) 就是 75, 而項數 n = 7 55 + 45 + 50 + 60 + 65 + 55 + 75 = 405,405 就是這個級數的和 簡單來說, 將數列的每一項用 + 連接, 就稱為級數 再舉一個例子, 古代的落地鐘為了方便提醒時間, 在 1 點的時候會敲 1 下鐘聲 點的時候會敲 下鐘聲 3 點的時候會敲 3 下鐘聲, 以此類推到 1 點 從 1 點到 1 點將每小時敲的鐘聲數紀錄如下 : 1,,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1 仔細觀察, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 相鄰兩項差都是 1, 這是一個等差數列 想計算從 1 點到 1 點總共 敲了幾聲 :1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 1, 而 53

1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 1 這就是一個等差級數 而這個等差級數的首項 a 1 = 1 第 1 項 a 1 ( 剛好是這個級數的末項 )= 1 項數 n = 1 公差 d = 1 簡單來說, 將等差數列的每一項用 + 連接, 就稱為等差級數 由這個例子來說, 從 1 點到 1 點總共敲了幾聲直接計算就好了 : 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 1 = 78, 總共 78 聲 78 就是等差級數和 這個等差級數的項數很少, 所以要計算等差級數和非常容易, 直接計算就可以了, 但是如果當一個等差級數的項數非常多時怎麼辦呢? 說一個小故事, 傳說數學家高斯在 10 歲時, 老師在數學課上出了一道題目 : 1 + + 3 + + 99 + 100 =? 給學生計算, 老師想趁學生做題時可以休息一下, 但不到幾秒鐘, 高斯就舉手說出答案是 5050, 讓老師吃了一驚 高斯是用什麼方法算出來的呢? 仔細看一下, 高斯老師所出的題目 : 1 + + 3 + + 99 + 100 =?, 這其實就是在求等差級數和, 但是有非常多項, 有 100 項, 這如果慢慢算的話就會非常的辛苦, 讓我們來看一下高斯的做法吧! 高斯先將級數按照順序排列,1 + + 3 + + 98 + 99 + 100 = 54

再將級數排序整個反過來排,100 + 99 + 98 + + 3 + + 1 = 只是順序反過來而已, 所以這兩級數和會是一樣的, 假設它等於 S 然後將它們相加 : 1 + + 3 + +98 +99 +100 = S +) 100 + 99 +98 + + 3 + + 1 = S 101 +101 +101 + +101 +101 +101 = S 上下對應相加會發現 : 1 加上 100 等於 101 加上 99 等於 101 3 加上 98 等於 101 98 加上 3 等於 101 99 加上 4 等於 101 100 加上 1 等於 101, 都是 101 也就是會有 100 組的 101, 100 101, 而這是兩組相同等差級數和 相加的, 所以等差級數和就是 100 101 = 5050 從高斯的作法中, 可以看到等差級數有種對稱性的感覺, 什麼意思呢? 我們來看一下高斯所做的題目 :1 + + 3 + + 98 + 99 + 100 = 這個級數中, 第一項 1 加上最後一項 100 等於 101 第二項 加上倒數第二項 99 也等於 101 第三項 3 加上倒數第三項 98 還是等於 101 第五十項 50 加上倒數第五十項 51 都是等於 101 1 + + 3 + + 50 + 51 + + 98 + 99 + 100 101 101 101 101 55

我們利用高斯的想法來計算看看 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 這個等差級數 這個級數總共有 7 項, 各項依序為 :1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 +3 +3 +3 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 0 0 0 從上面也可以看出來他們有對稱關係! -3-3 -3 所以 +3 +3 +3 +3 +3 +3 S = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 +) S = 19 + 16 + 13 + 10 + 7 + 4 + 1-3 -3-3 -3-3 -3 S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 發現每一對都是 0, 都跟首項加末項的值一樣, 總共會有 7 對 : S = 0 7, 所以這個等差級數和 S = (1:19) 7 = 70 高斯的作法可以推廣到任意的等差級數和, 我們也將這個結果化為等 差級數和公式! 56

有一個 n 項的等差級數 :a 1 + a + a 3 + + a n;1 + a n 其和為 S n, 所以可以列式成 : S n = a 1 + a + a 3 + + a n; + a n;1 + a n, 再將整個級數反過來排序, 和也會一樣 : 然後將它們相加 : S n = a n + a n;1 + a n; + + a 3 + a + a 1 S n = a 1 + a + a 3 + + a n; + a n;1 + a n +) S n = a n + a n;1 + a n; + + a 3 + a + a 1 S n 因為是等差級數, 所以這個級數有對稱性的感覺, 所以 a 1 + a n = a + a n; + a 3 + a n;3 = a 4 + a n;4 = a 5 + a n;5 = 因此, 每一對相加都會與 (a 1 + a n ) 相等 : S n = a 1 + a + a 3 + + a n; + a n;1 + a n +) S n = a n + a n;1 + a n; + + a 3 + a + a 1 S n =a 1 + a n +a 1 + a n +a 1 + a n + +a 1 + a n +a 1 + a n +a 1 + a n 總共會有 n 對的 (a 1 + a n ):S n = (a 1 + a n ) n 所以這個等差級數和 S n = (a 1:a n ) n, 這就是等差級數和的公式! n 項等差級數和首項 末項 ( 也是第 n 項 ) 項數 S n = (a 1 + a n ) n 57

Ex1. 等差級數 18 + 1 + + 78 共有 1 項, 求此等差級數和 解題思維 : 首先我們先看看題目, 試著從當中得到一些已知的資訊 18 + 1 + + 78 這一等差級數可以直接得知: 首項 a 1 = 18 末項 a n = 78, 還可以知道公差 d = 1 18 = 3 除此之外, 題目還有特別跟我們說這個級數的項數 n = 1 有了這些資訊之後就可以代入等差級數和的公式 :S n = (a 1:a n ) n, 首項 a 1 = 18 末項 a n = 78 項數 n = 1, 所以 S 1 = (18:78) 1 = 96 48 1 = 1008 48 1 48 96 1008 58

Ex. 等差級數 ( ) + + 6 + + 90, 求此等差級數和 解題思維 : 首先我們先看一下題目, 從裡面找出一些資訊 ( ) + + 6 + + 90 這一等差級數可以直接得知 : 首項 a 1 = 末項 a n = 90, 還可以知道公差 d = ( ) = 4 再來看一下等差級數和的公式 :S n = (a 1:a n ) n, 要利用這個公式 需要首項 a 1 末項 a n 還需要項數 n, 首項 a 1 有了 末項 a n 也有 了, 所以還需要項數 n 要知道總項數 n, 可以利用原來的級數來求 首項 a 1 = 末項 a n = 90 公差 d = 4, 利用 a n = a 1 + (n 1)d 來求 : 90 = ( ) + (n 1) (4) 90 = + 4n 4 90 = 6 + 4n 90 + 6 = 4n 96 = 4n n = (96) (4) = 4 所以項數 n = 4, 首項 a 1 = 末項 a n = 90 代入等差級數和的公式 :S n = (a 1:a n ) n, 所以 S 4 =,90:(;)- 4 = 88 44 4 = 1056 44 4 176 88 1056 59

Ex3. 一等差級數的首項 63, 末項 93, 和 600, 求其項數和公差 解題思維 : 從題目直接知道首項 a 1 = 63, 假設有 n 項, 末項就是 a n = 93, 和為 S n = 600, 要求項數 n 公差 d 藉由等差級數和公式 S n = (a 1:a n ) n : 600 =,63:(;93)-n 600 15 30 n 15n n = ( 600) ( 15) = 40 有首項 a 1 = 63 項數 n = 40 末項 a n = 93, 要求公差 d, 可以利用代入 a n = a 1 + (n 1)d : 93 = 63 + (40 1)d 93 = 63 + 39d 93 63 = 39d 156 = 39d d = ( 156) 39 = 4 60

Ex4. 一等差級數 3 + ( 1) + ( 5) +, 求 (1) 此等差級數前 1 項的和 () 此等差級數前 0 項的和 解題思維 : (1) 3 + ( 1) + ( 5) + 此等差級數可以直接得知 : 等差級數的 首項 a 1 = 3, 公差 d = ( 1) 3 = 4, 要求前 1 項的等差級 數和, 也就是 n = 1, 要求 S 1 等差級數和的公式 :S n = (a 1:a n ) n, 要利用這個公式需要首項 a 1 末項 a n 還需要項數 n, 首項 a 1 有了 項數 n 有了, 所以還需要 末項 a n 要知道末項 a n, 可以利用原來的級數來求 首項 a 1 = 3 公差 d = 4 要求的項數 n = 1, 所以末項就是 a 1, 可以利用 a n = a 1 + (n 1)d 來求 : a 1 = 3 + (1 1) ( 4) = 3 + 11 ( 4) = 3 44 = 41 代入等差級數和的公式 :S n = (a 1:a n ) n, 所以 S 1 =,3:(;41)- 1 = ( 38) 1 6 = 8 38 6 48 18 8 61

() 等差級數的首項 a 1 = 3, 公差 d = 4, 要求前 0 項的等差級數 和, 也就是還知道 n = 0, 要求 S 0 首項 a 1 有了 項數 n 有了, 所以還需要末項 a 0, 才能使用等差 級數和的公式, 可以利用 a n = a 1 + (n 1)d 來求末項 a 0 : a 0 = 3 + (0 1) ( 4) = 3 + 19 ( 4) = 3 76 = 73 代入等差級數和的公式 :S n = (a 1:a n ) n, 所以 S 0 =,3:(;73)- 0 = ( 70) 0 10 = 700 如果有了一個等差級數的前幾項, 例如 Ex5: 知道一等差級數 3 + ( 1) + ( 5) +, 就可以求前 1 項和 S 1 前 0 項和 S 0, 甚至可以求前 n 項和 S n 但是因為給的資訊都沒有末項, 所以都要 先求出末項, 才可以利用 S n = (a 1:a n ) n 這個公式求出前幾項和 這裡要提到另外一個等差級數和公式, 可以省略需要求出末項這個步驟 末項是利用 a n = a 1 + (n 1)d 這個公式求出的, 所以就可 以將這個公式代入等差級數和公式 S n = (a 1:a n ) n 中: S n = *a 1:,a 1 :(n;1)d-+ n =,a 1:(n;1)d- n 這樣就只需要知道首項 a 1 項數 n 公差 d, 不需要知道末項就可以 將前 n 項求出來了! 6

利用 Ex5 這題來練習一下 S n =,a 1:(n;1)d- n 這個公式, 3 + ( 1) + ( 5) +, 等差級數的首項 a 1 = 3, 公差 d = ( 1) 3 = 4, 要求 S 1, 也就是 n = 1,S 1 =, 3:(1;1) (;4)- 1 = (6;44) 1 要求 S 0, 也就是 n = 0,S 0 =, 3:(0;1) (;4)- 0 = (6;76) 1 =,6:11 (;4)- 1 = ( 38) 1 6 = 8 =,6:19 (;4)- 0 = ( 70) 0 10 = 700 現在要求等差級數有兩種公式 :S n = (a 1:a n ) n 這兩種公式有不同的使用時機, 我們來比較一下! 63 S n =,a 1:(n;1)d- n S n = (a 1:a n ) n 這個公式, 主要有 4 種數量關係 : 首項 a 1 末項 a n 項數 n 級數和 S n ; S n =,a 1:(n;1)d- n 這個公式, 主要有 4 種數 量關係 : 首項 a 1 公差 d 項數 n 級數和 S n 仔細看一下, 最大的差別就是一個是跟末項 a n 有關的公式 ; 另一個 是一個是跟公差 d 有關的公式 所以知道首項 a 1 末項 a n 項數 n, 求級數和 S n, 就可以使用 S n = (a 1:a n ) n ; 而知道首項 a 1 公差 d 項數 n, 求級數和 S n, 則是可以使用 S n =,a 1:(n;1)d- n

Ex5. 一等差級數 3 + 4 + 5 + 前 n 項和為 75, 求 n =? 解題思維 : 從此等差級數 3 + 4 + 5 + 可以得知首項 a 1 = 3 公差 d = 4 3 = 1, 而且前 n 項和 S n = 75, 要求項數 n =? 題目沒有很明顯的提到末項 a n, 所以不會選擇 S n = (a 1:a n ) n 這個公式, 會選擇另外一個公式 S n =,a 1:(n;1)d- n 知道首項 a 1 = 3 公差 d = 1 前 n 項和 S n = 75, 要求出項數 n, 將這些代入 S n =,a 1:(n;1)d- n : 75 =, 3:(n;1) 1- n 這式子看起來很複雜, 沒關係, 我們慢慢整理! 75 =, 3 + (n 1) 1- n 75 = (6:n;1) n 75 = (n:5) n 75 = (n + 5) n 150 = n + 5n n + 5n 150 = 0 利用十字交乘法 : 前面 n 拆成 n n 後面 150 拆成 15 ( 10), 造出中間 +5n n + 15 n 10 (n + 15)(n 10) = 0 +15n 10n = +5n n = 10 or 15( 不合, 因為項數不會是負的 ) 64

重點提問 1. 根據上面的課文, 請用自己的話解釋 等差級數 並舉例, 再找 出這個例子當中的首項 末項 公差 項數 級數和. 請利用高斯計算 1 + + 3 + + 99 + 100 =? 的方法, 計算 3 + 38 + 44 + 50 + 56 + 6 + 68 =? 3. 下圖為快遞公司堆疊的快遞箱子, 請根據圖形的規律, 利用等差 級數的想法計算總共有多少個箱子 65

4. 請寫出求等差級數和的兩種公式, 並比較這兩種公式 5. 根據上面的課文, 利用等差級數和公式來解的題目可以分成哪幾 類? 66

隨堂練習 : 1. 等差級數 0 + 4 + + 80 共有 11 項, 求此等差級數和. 等差級數 ( 15) + ( 5) + 5 + + 85, 求此等差級數和 3. 一等差級數的首項 38, 末項 13, 和 75, 求其項數和公差 67

4. 一等差級數 90 + 88 + 86 +, 求此等差級數前 1 項的和 5. 一等差級數 ( 3) + ( 1) + 1 + 3 + 前 n 項和為 135, 求 n =? 68

還是不太懂, 請看下面影片 (1) 還是不太懂, 請看下面影片 () https://youtu.be/jmxgdi-1boa https://youtu.be/rln4fjcx--s 還是不太懂, 請看下面影片 (3) 還是不太懂, 請看下面影片 (4) https://youtu.be/1uxotqvwo_m https://youtu.be/88frtek4pz4 還是不太懂, 請看下面影片 (5) 還是不太懂, 請看下面影片 (6) https://youtu.be/jp6xgxq3y7o https://youtu.be/w-4u8nzoyly 69

單元三 : 等差級數 ( 三 ) 課文 B: 等差級數的應用學完等差數列與級數後, 生活當中有一些規律跟等差數列與級數有關, 那麼就可以利用等差數列與級數的概念去進行解題 在解決應用問題的時候, 首先要先理解題目的意思, 找出想要求的目標及題目所提供的條件, 再根據條件對應相關的元素 :a 1 a n d n S n, 列出關係方程式, 最後進行解方程式解出所求 Ex1. 請計算 1 到 100 之間, 所有能被 3 整除的數字和 解題思維 : 先了解一下題目的意思, 在 1 到 100 之間可以被 3 整除所有數字, 最小是 3 1 = 3 再來是 3 = 6 3 3 = 9 3 4 = 1 直到 3 33 = 99, 寫成數列為 :3,6,9,1,,99 仔細觀察一下這個數列, 就會發現它是一個等差數列 而它的首項 a 1 = 3 末項是 99 公差 d = 6 3 = 3; 從乘 1 到乘 33, 總共有 33 個, 所以項數 n = 33 有了首項 末項 項數 公差, 求級數和, S n = (a 1:a n ) n S n =,a 1:(n;1)d- n 這兩個公式都可以用, 選計算比較少的 51 S n = (a 1:a n ) n : S n = (3:99) 33 10 33 = = 1683 51 33 153 153 1683 70

Ex. 瑞穗國中的育樂館第一排有 8 個座位, 之後每一排比前一排多 個座位, 已知最後一排共有 76 個座位, 則育樂館的座位共有多少排, 又共有多少座位 解題思維 : 從 育樂館第一排有 8 個座位, 之後每一排比前一排多 個座位 這句話可以知道這個育樂館的座位呈現梯形的樣子, 越後排越多位置, 也可以知道第二排有 8 + = 30 個座位 第三排有 30 + = 3 個座位, 一直到最後一排有 76 個座位 寫成數列為 :8, 30, 3,, 76 這個數列就是一個等差數列 首項就是第一排,a 1 = 8; 末項就是最後一排,76; 而因為後一排都會比前一排還多, 所以公差 d = 第一個問題是想問這個育樂館有幾排, 其實就是在問項數 n 有首項 末項 公差, 想求項數, 可以利用 a n = a 1 + (n 1)d : 76 = 8 + (n 1) 76 = 8 + n 76 = 6 + n 76 6 = n 50 = n n = 50 = 5 所以育樂館總共有 5 排座位 71

第二個問題要求育樂館總共的座位數, 其實就是在求等差級數和 S n 有首項 末項 公差 項數, 要求級數和, S n = (a 1:a n ) n S n =,a 1:(n;1)d- n 這兩個公式都可以用, 選計算比較少的, S n = (a 1:a n ) n : S n = (8:76) 5 = 5 104 5 = 1300 5 5 60 104 1300 所以育樂館總共有 1300 個座位 Ex3. 一架轟炸機在高空中投擲炸彈, 第一秒鐘炸彈落下 4.9 公尺, 之後速度越來越快, 每秒鐘落下的距離增加 9.8 公尺 ( 即第二秒落下 14.7 公尺 第三秒落下 4.5 公尺 ), 若炸彈落下 40 秒後觸地爆炸, 請問 : (1) 炸彈第 40 秒落下的垂直距離為何? () 又轟炸機投擲時, 離地面高度為何? 解題思維 : 先理解一下題意, 炸彈從高空落下, 第一秒落下 4.9 公尺, 之後越來越快, 每秒落下的距離增加 9.8 公尺, 也就是說第二秒落下 4.9 + 9.8 = 14.7 公尺, 第三秒落下 14.7 + 9.8 = 4.5 公尺, 第四秒落下 4.5 + 9.8 = 34.3 公尺,, 一直到第四十秒, 然後就觸 地爆炸了 7

在右邊我們畫個簡圖來解釋一下 第一秒 4.9 公尺 把這些數字寫成一數列 : 4.9, 14.7, 4.5, 34.3, 第二秒 14.7 公尺 第三秒 4.5 公尺 那麼首項就是第一秒 4.9, 公差就是 9.8 首先要求的就是第 40 項 a 40, 就可以利用 第四秒 34.3 公尺 a n = a 1 + (n 1)d 求出來 : a 40 = 4.9 + (40 1) 9.8 = 4.8 + 39 9.8 = 4.9 + 38. = 387.1 39 9.8 31 351 38. 第二個問題是問轟炸機投擲時離地面的高度, 也就是炸彈落下的 距離 炸彈在空中停留了 40 秒, 所以求這 40 秒所落下的距離總 和 S 40 有首項 a 1 = 4.9 項數 n = 40 末項 a 40 = 387.1, 就可以利用 S n = (a 1:a n ) n : S 40 = (4.9:387.1) 40 = 所以轟炸機離地面 7840 公尺 39 40 0 = 7840 73

Ex4. 有一種樓梯每階的長 寬與增加的高度都相同, 今天要在樓梯的 側面貼上正方形磁磚 ( 如圖 ), 第一階貼了 4 塊, 第二階貼了 8 塊, 依此類推, 貼完 11 塊磁 磚後, 恰好把樓梯的一側貼滿, 請問這個樓梯 共有幾階? 解題思維 : 從題目和圖當中就可以知道, 第一階貼了 4 塊, 第二階貼了 8 塊, 第三階貼了 1 塊, 每多一階就再多需要 4 塊, 所以每階所需要 的磁磚數成一個等差數列 :4, 8, 1,, 首項 a 1 = 4 公差 d = 4 假設這個樓梯有 n 階, 也就是有 n 項 題目有提到總共貼了 11 塊磁磚, 所以這 n 項和 S n = 11, 想 求的就是項數 n 有了首項 a 1 = 4 公差 d = 4 級數和 S n = 11, 想求項數 n, 可以使用 S n =,a 1:(n;1)d- n 這個公式: 11 =, 4 + (n 1) 4- n 這式子看起來很複雜, 沒關係, 我們慢慢整理! 74

11 =, 4 + (n 1) 4- n 11 = (8:4n;4) n 11 = (4n:4) n 11 = (4n + 4) n 4 = 4n + 4n n + n 56 = 0 利用十字交乘法 : 前面 n 拆成 n n 後面 56 拆成 8 ( 7), 造出中間 +n n + 8 n 7 +8n 7n = +n (n + 8)(n 7) = 0 n = 7 or 8( 不合, 因為項數不會是負的 ) 所以這個樓梯共有 7 階 75

重點提問 1. 請計算 1 到 100 之間, 所有能被 7 整除的數字和 由題目可以得知, 那麼這些數字所成的級數為 : 這個級數是否為等差級數? 如果是的話, 首項 a 1 = 公差 d = 項數 n = 末項 a n = ; 所想要求的是 可以利用等差級數和公式, 求出. 光明電影院有 11 排的座位, 每一排座位數均比前一排座位數多 個, 第一排共有 15 個座位, 求此電影院的總座位數量 由題目可以得知, 那麼這些數字所成的級數為 : 這個級數是否為等差級數? 如果是的話, 首項 a 1 = 公差 d = 項數 n = ; 所想要求的是 可以利用等差級數和公式, 求出 76

隨堂練習 : 1. 請計算 1 到 00 之間, 所有能被 6 整除的數字和. 好響音樂廳第一排有 67 個座位, 之後每一排比前一排多 3 個座 位, 已知最後一排共有 133 個座位, 則音樂廳內的座位共有多少 排, 又共有多少座位 77

3. 一直昇機空拋救災物資, 第一秒鐘救災物資落下 4.9 公尺, 之後速度越來越快, 每秒鐘落下的距離增加 9.8 公尺 ( 即第二秒落下 14.7 公尺 第三秒落下 4.5 公尺 ), 若救災物資落下 5 秒後剛好到達地面, 求直昇機離地面的高度 4. 大賣場常會將飲料罐排成 ( 如下圖 ), 來做促銷, 在賣場打工的小 敏打算以每層差一罐的方式排 10 層, 需用幾罐飲料? 78

還是不太懂, 請看下面影片 (1) 還是不太懂, 請看下面影片 () https://youtu.be/liefll3vcu4 https://youtu.be/4s8i0tnups 還是不太懂, 請看下面影片 (3) 還是不太懂, 請看下面影片 (4) https://youtu.be/bppuv13adem https://youtu.be/xzlnk4e1oye 79