信号与系统 Sigls d Sstes 第七章 Z 变换 Chpter 7 Z Trsfortio 控制系网络课程平台 :http://www.cse.ju.edu.c/eclss/sigl_sste/ 浙江大学控制科学与工程学系
主要内容 双边 变换 变换的收敛域 变换的性质 常用信号的 变换对 反变换 单边 变换及其性质 LTI 系统的 域分析
单边 变换及其性质 -- 定义 实际问题中常遇到的是因果序列 :< 时 : =, 定义 : 记 : uz } { u Z 或求和在 进行, 不考虑 < 时 的值单边 Z 变换的收敛域总是位于某一个圆的外部 例 7-8 P 求的单边 Z 变换 u 解 : ; u 注意到 : 实际上在 =- 处 是有值并非等于 的 但如定义, 单边 Z 变换的求和在 进行, 不考虑 < 时 的值
解 :Z 变换式有 个极点在单位圆上, 收敛域 >, 对应的序列为因果序列 采用部分分式求反变换以得 单边反变换例 7-9 P 求单边 Z 变换对应的因果序列 单边 变换及其性质 -- 定义 ; 5 5 ; 5 5, 5 5 u u 注 : 若用长除法, 则单边 Z 变换的幂级数展开式中不能包括 的正幂次项 有理分式排序时以 的降次幂排列 例 P5 ;
5 单边 变换及其性质 -- 性质 单边 Z 变换的大部分性质与双边 Z 变换相同, 但也有明显的不同 -- 如时移性质, 初值定理和终值定理对分析非零初始条件的系统十分重要. 位 时 移性质 uz 设双边序列 单边 Z 变换 } { } { u Z uz 序列左移后的单边 Z 变换 超前定理 - 前差分 ZT R R, 比较双边 : 序列的初值 } { s s s s dt t d ul } { } { uz 序列右移后的单边 Z 变换 滞后定理 - 后差分 序列的初值若 是因果序列, 结果更简单, 初值均为零 与双边 Z 变换的移位性质相同
单边 变换及其性质 -- 性质 } 5 5 { u 解 : 利用单边 Z 变换对差分方程求变换 } { } { uz uz } { / 例 7- P75 已知一阶差分方程, 输入为 : = u, -=, 求系统响应 / 零状态部分零输入部分其中
单边 变换及其性质 -- 性质. 初值定理对于因果序列, 即 =, 当 < 时, 若 则有 uz ; ROC R li li 比较 Lplce 变换的初值与终值定理 证明 : li t, t 定理限制条件 : t, t 不包含冲激或者高阶奇异函数 初值定理 : li s s; 注意条件, 要保证有确切的初值 s 终值定理 : li t t li s s; 条件是 li s t t 存在 s 的极点均在 s平面的左半平面 7
单边 变换及其性质 -- 性质. 终值定理对于因果序列, 且 的极点位于单位圆 = 以内 单位圆上最多在 = 处可有一阶极点, 则有 li li 证明 : 因为因果序列的 Z 变换与单边 Z 变换相同, 利用 Z 变换的线性与因果序列的单边 Z 变换超前定理 uz{ } 即 uz{ } 对两边取极限 li li { } { 终值定理只有当 时 收敛 稳定 才能应用 8
主要内容 双边 变换 变换的收敛域 变换的性质 常用信号的 变换对 见 P59, 表 7- 反变换 单边 变换及其性质 LTI 系统的 域分析 系统函数与系统性质 线性常系数差分方程的 域分析 系统函数的方框图表示 9
LTI 系统的 域分析 -- 系统函数与系统性质 : H 定义 与离散 Fourier 变换相似,Z 变换也可以用于分析离散时间系统, 且特别适合于分析非零起始的系统 单边 Z 变换可引入序列的初值, 获得系统的零状态 零输入和全响应 第三章中已经定义 : 特征函数 指系统对该信号的输出响应仅是一个常数 可能是复数 乘以该信号 特征值 系统对特征函数 输入信号 的输出响应中的常数 幅度因子 称为系统的特征值 系统函数 H
LTI 系统的 域分析 -- 系统函数与系统性质 : H 定义 由第四章可知 特征函数 LTI 系统,h LTI H h H H 特征值 * h h h H 对 LTI 系统定义 h H Z 若单位圆在 H 的 ROC 中, 将 H 在 单位圆上求值 =e j, H 即为频响 离散时间 LTI 系统的性质完全可由 H 来反映 与 h He j 一样
另一种定义 : N 阶离散时间 LTI 系统可用起始状态为零的线性常系数差分方程表示 : M r r N b 对差分方程进行双边 Z 变换 b M r r r N D N b H N M r r r s 由 Z 变换的卷积性质 H 收敛域问题 由系统性质推出 H 其他名称 传输函数 网络函数 LTI 系统许多性质 因果性 稳定性 频响等 与 H 的零极点分布有关 LTI 系统的 域分析 -- 系统函数与系统性质 : H 定义
因果性 LTI 系统的 域分析 -- 系统函数与系统性质 一个离散 LTI 系统因果性的充要条件是 h=, 当 < 因果系统单位脉冲响应 h 的 Z 变换 H h 对于一个因果系统,< 时,h= h 是一个右边序列 H 的 ROC 应在某个圆外部 右边序列对应的 变换的 ROC 在某个圆外部, 但不一定包含 例 h=d+, H= 一个离散 LTIS 是因果的, 当且仅当它的系统函数 H 的 ROC 是某个圆的外部, 且包含 = 对于有理系统函数, 必须满足 H 的分子阶数小于等于分母阶数
LTI 系统的 域分析 -- 系统函数与系统性质 例 7-P8 考察一系统的因果性 解 : 因为 ROC: >, 是某个 圆 = 的外部, 为右边序列 ; H ; 因为 H 的分子阶次 > 分母阶次 包含 的正幂次项,ROC 不包含 =; 所以, 该系统不是因果系统
LTI 系统的 域分析 -- 系统函数与系统性质 稳定性 与 H 的极点和 ROC 之间的关系 系统稳定的含义 : 在时域上, 系统稳定 单位冲激响应 h 绝对可和 h h 的 Fourier 变换收敛 即 He j 存在, 而一个信号的 fourier 变换就等于 Z 变换沿单位圆 = 求值, 即 H e j H 所以, 当且仅当系统函数 H 的 ROC 包括单位圆 即 Re{s}=}, = 时,LTI 系统是稳定的 e j 5
LTI 系统的 域分析 -- 系统函数与系统性质 因果稳定性 同时满足因果性与稳定性 一个具有有理函数 H 的因果系统是稳定的, 当且仅当系统函 数 H 的全部极点分布在单位圆的内部, 且分子阶数小于等于 分母的阶数 有理函数 H 是因果的 系统稳定 ROC 在某个圆的外部 ROC 包括单位圆 系统函数 H 的全部极点均位于单位圆内, 且分子阶数 小于等于分母的阶数 显然, 因果性 稳定性这些系统性质都能直接与系统函数及特性联系起来
LTI 系统的 域分析 -- 系统函数与系统性质 5 例 7-P9 考察一系统 H 的因果性与稳定性 当 ROC:</,h 是左边序列, 非因果系统, 不稳定 ; / << /, h 是双边序列, 非因果系统, 不稳定 ; > /, h 是因果的, 且 个极点在单位圆内, 故稳定 7
8 由例子可得运用 Z 变换求系统函数的步骤 : 对差分方程两边求 Z 变换, 并利用线性与时移性质 合并整理 Z 变换式, 得到 H. LTI 系统的 域分析 -- 线性常系数差分方程的 域分析. 由已知差分方程求系统函数 N M b H M N b M N b P7 给出了二阶后向差分方程和二阶前向差分方程的例子 特别注意 : 一个满足线性常系数差分方程的系统, 其系统函数总是有理的 如果在式中不发生零极点相消, 则系统函数 H 与它对应的差分方程一一对应 H
LTI 系统的 域分析 -- 线性常系数差分方程的 域分析. 线性常系数差分方程的 Z 域求解思路 : 基于单边 Z 变换位移性质, 将差分方程转换为代数方程, 再反变换步骤 : 对已知的差分方程两边求单边 Z 变换 -- 注意 : 时移性质 ; 与求 H 区别 合并整理 Z 变换式, 得到 的表达式 若 为因果序列, 则 零输入项 + 零状态项 H i 与起始条件有关 与激励 有关 s H M N b 代入起始条件与, 求出 求 的反 Z 变换, 得 零输入响应 + 零状态 i s 9
LTI 系统的 域分析 -- 线性常系数差分方程的 域分析, 例 7-7P85 已知因果系统,,, u 求 解 : 对差分方程两边求单边 Z 变换 合并整理得到 i s 求 的反 Z 变换, 得 将 化为部分分式, 进行反变换即可得, 参见 P7 例 7- Z i s 代入, 求出
LTI 系统的 域分析 -- 线性常系数差分方程的 域分析 解 : 由第一条信息 : 例 7-9 假设关于一个 LTI 系统给出下列信息 : 式中 为实数 系统输入是, 输出是 若试确定 H 及 ; 推出系统的因果性 差分方程和稳定性 u u 7 :, 那么输出 ;, 5 则系统函数的代数表示式 : 5 H
LTI 系统的 域分析 -- 线性常系数差分方程的 域分析 5 解 : 由第二条信息 LTI 系统,h 7 由特征函数的性质, 对 的响应必须等于 - 乘以 H 在 =- 的值例 7-9 假设关于一个 LTI 系统给出下列信息 : 式中 为实数 系统输入是, 输出是 若试确定 H 及 ; 推出系统的因果性 差分方程和稳定性 u u 7 :, 那么输出 9 5 7 H 5 H
LTI 系统的 域分析 -- 线性常系数差分方程的 域分析 5 H ;, 例 7-9 假设关于一个 LTI 系统给出下列信息 : 式中 为实数 系统输入是, 输出是 若试确定 H 及 ; 推出系统的因果性 差分方程和稳定性 u u 7 :, 那么输出 的 ROC 至少包括 和 H 的 ROC 的相交部分 H 有三种可能的 ROC: </, /<</, >/ 只有 >/ 才能与 与 的 ROC 相符 H 的 ROC 包括单位圆, 故系统稳定 分子阶次没有超过分母的阶次, 所以系统是因果的 5
LTI 系统的 域分析 -- 线性常系数差分方程的 域分析 7 例 7- 已知一单位脉冲响应为 h, 有理系统函数为 H 的稳定而因果的系统, 假定已经知道 H 有一极点在 =.5, 并在单位圆的某个地方有一个零点, 其余极点和零点的真正数量和位置均未知 对以下说法作出判断, 能否肯定地说对 错或条件不充分难以置评 F{ h } j 某一个 有 H e ; h 为有限长 ; h 是实序列 ; 5g={h*h} 是一个因果稳定系统的单位脉冲响应 解 : 令 =re jω F{ h } re j F{ r { r } { r re 收敛 ; 对 相应于 h 的 Z 变换在 r= 的值 因此它收敛就等于点 = 在 ROC 内 因为系统稳定和因果,H 的全部极点都必须位于单位圆内, 因此,ROC 就应该包括所有位于单位圆外的点, 当然包括 = e j } } e j j 对
例 7- 已知一单位脉冲响应为 h, 有理系统函数为 H 的稳定而因果的系统, 假定已经知道 H 有一极点在 =.5, 并在单位圆的某个地方有一个零点, 其余极点和零点的真正数量和位置均未知 对以下说法作出判断, 能否肯定地说对 错或条件 j 不充分难以置评 F{ h } 收敛 ; 对某一个 有 H e ; h 为有 限长 ; h 是实序列 ;5g={h*h} 是一个因果稳定系统的单位脉冲响应 解 : 对 LTI 系统的 域分析 -- 线性常系数差分方程的 域分析 8 因为有个零点在单位圆上 即 r= 对 因为有限长序列的 ROC 包括整个 Z 平面, 可能除去 = 和 / 或 =, 而这与在 =.5 处有个极点矛盾 错 若 h 是实序列, 则要求 H=H*, 这意味着若在一个非实数的地方 = 有一个极点 或零点, 必定在 =* 还有一个极点 或零点 已知信息太少, 不足以证实该说法是否正确 5
LTI 系统的 域分析 -- 线性常系数差分方程的 域分析 9 例 7- 已知一单位脉冲响应为 h, 有理系统函数为 H 的稳定而因果的系统, 假 定已经知道 H 有一极点在 =.5, 并在单位圆的某个地方有一个零点, 其余极点和 零点的真正数量和位置均未知 对以下说法作出判断, 能否肯定地说对 错或条件 j 不充分难以置评 F{ h } 收敛 ; 对某一个 有 H e ; h 为有 限长 ; h 是实序列 ;5g={h*h} 是一个因果稳定系统的单位脉冲响应 解 :5 因为系统是因果的,<, h=, h*h=; 也就是说, 以 h*h 作为单位脉冲响应的系统是因果的, 同一结论对 g={h*h } 也是对的 ; b 由卷积性质, 对应于单位脉冲响应为 h*h 的系统函数为 H ; 再由微分性质, 对应于 g 的系统函数就是 G d d H d H d H 因为 H 的全部极点在单位圆内, 故 G 也必须如此, 因此,g 就是 一个因果而稳定系统的单位脉冲响应 可见,G 的极点与 H 的极 点相同, 可能例外是原点 对
第七章 主要内容 双边 变换 : 定义, 与 FT 关系, 常用序列的 Z 变换 变换的收敛域 : 变换的性质 : 与 F 变换性质基本相同, 区别在 ROC 常用信号的 变换对 反变换 : 幂级数展开法 部分分式法 单边 变换及其性质 : 位 时 移性质 终值定理 初值定理 LTI 系统的 域分析 : 系统函数与系统性质 线性常系数差分方程的 域分析 7