西北工业大学网络教育学院 招生考试专科起点本科高等数学复习大纲 ( 第七版 ) 总体要求考生应按本大纲的要求, 了解或理解 高等数学 中函数 极限和连续 一元函数微分学 一元函数积分学 多元函数微分学 排列与组合 概率论初步的基本概念与理论 ; 学会 掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法. 应注意各部分知识的结构及知识的内在联系 ; 应具有一定的抽象思维能力 逻辑推理能力 运算能力 ; 能运用基本概念 基本理论和基本方法准确地计算 ; 能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题. 本大纲对内容的要求由低到高 : 有关定义 定理 性质和特征等概念的内容分为 了解 理解 两个层次 ; 有关计算 解法 公式和法则等内容分为 会 掌握 熟练掌握 三 个层次 复习考试内容及要求 一 函数 极限和连续 ( 一 ) 函数. 知识范围 () 函数的概念与属性函数的概念单调性奇偶性周期性有界性 () 初等函数基本初等函数复合函数初等函数的定义. 要求 () 理解函数的概念, 熟练掌握求函数定义域的方法及函数奇偶性的判定. () 理解复合函数和初等函数的概念, 能建立简单的实际问题的函数关系. ( 二 ) 极限. 知识范围 () 数列的极限 数列极限的定义 性质四则运算法则夹逼准则单调有界数列极限存在准则 () 函数的极限
函数在一点处极限的定义 左 右极限及其与极限的关系 趋于无穷 (,, ) 时函数的极限四则运算法则夹逼准则 () 无穷小量与无穷大量 无穷小量与无穷大量的定义无穷小量的性质无穷小量的比较 无穷小量与无穷大量 的关系 () 两个重要极限 sin lim, lim( ). 要求 () 了解极限的概念 ( 对极限定义中 ε N ε δ ε X 等形式的描述不作要求 ). 会求函数在一点处的左极限与右极限, 理解函数在一点处极限存在的充分必要条件. () 掌握极限的四则运算法则, 掌握求极限的常用方法, 熟练掌握用两个重要极限求极限的方法. () 理解无穷小量 无穷大量的概念, 掌握无穷小量的性质 无穷小量与无穷大量的关系, 会进行无穷小的比较 ( 高阶 低阶 同阶和等价 ), 掌握运用等价无穷小量代换求极限. ( 三 ) 函数的连续性. 知识范围 () 函数连续的概念函数在一点处连续的定义左连续与右连续函数在一点处连续的充分必要条件函数的间断点 () 函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算复合函数的连续性反函数的连续性 () 闭区间上连续函数的性质 最大值与最小值定理有界性定理 零点定理介值定理 () 初等函数的连续性. 要求 () 理解函数在一点处连续与间断的概念, 理解函数在一点处连续与极限存在的关系. () 掌握判断函数 ( 含分段函数 ) 在一点处的连续性的方法. 会求函数的间断点. () 理解闭区间上连续函数的性质. () 理解初等函数在其定义区间上的连续性, 会利用连续性求极限.
二 一元函数微分学 ( 一 ) 导数与微分. 知识范围 () 导数概念导数的定义左导数与右导数函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义物理意义可导与连续的关系 () 求导法则与导数的基本公式导数的四则运算反函数的导数导数的基本公式 () 求导方法 复合函数的求导法隐函数的求导法 对数求导法由参数方程确定的函数的求导法 求分段函数的导数 () 高阶导数高阶导数的定义高阶导数的计算 (5) 微分 微分的定义 微分与导数的关系微分法则一阶微分形式不变性. 要求 () 理解导数的概念及其几何意义, 了解可导性与连续性的关系, 掌握用定义求函数在一点处的导数的方法. () 会求曲线上一点处的切线方程与法线方程. () 熟练掌握导数的基本公式 四则运算法则及复合函数的求导方法, 会求分段函数的导数. () 掌握隐函数求导法 对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法. (5) 理解高阶导数的概念, 会求简单函数的 n 阶导数. (6) 理解函数的微分概念, 掌握微分法则, 了解可微与可导的关系, 会求函数的一阶微分. ( 二 ) 微分中值定理及导数的应用. 知识范围 () 微分中值定理罗尔 (Roll) 定理拉格朗日 (Lagrang) 中值定理 () 洛必达 (L / Hospital) 法则
() 函数增减性的判定法 () 函数的极值与极值点最大值与最小值 (5) 曲线的凹凸性 拐点 (6) 曲线的水平渐近线与铅直渐近线. 要求 () 理解罗尔定理 拉格朗日中值定理及它们的几何意义. 会用拉格朗日中值定理证 明简单的不等式. 方法. () 熟练掌握用洛必达法则求 型未定式的极限的 () 掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增 减区间的方法, 会利用函数 的单调性证明简单的不等式. () 理解函数极值的概念. 掌握求函数的驻点 极值点 极值 最大值与最小值的方 法, 会解简单的应用问题. 定理. (5) 会判断曲线的凹凸性, 会求曲线的拐点. (6) 会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线. 三 一元函数积分学 ( 一 ) 不定积分. 知识范围 () 不定积分 原函数与不定积分的定义原函数存在定理不定积分的性质 () 基本积分分式 () 换元积分法 第一类换元法 ( 凑微分法 ) 第二类换元法 () 分部积分法 (5) 一些简单有理函数的积分. 要求 () 理解原函数与不定积分的概念及其关系, 掌握不定积分的性质, 了解原函数存在 () 熟练掌握不定积分的基本公式.
() 熟练撑握不定积分第一类换元法. 掌握第二类换元法 ( 限于三角代换与简单的根 式代换 ). () 熟练掌握不定积分的分部积分法. (5) 会求简单有理函数的不定积分. ( 二 ) 定积分. 知识范围 () 定积分的概念 定积分的定义及其几何意义可积条件 () 定积分的性质 () 定积分的计算 变上限积分牛顿 莱布尼茨 (Nwton-Libniz) 公式 换元积分法 分部积分法 () 无穷区间的广义积分 (5) 定积分的应用 平面图形的面积 旋转体的体积. 要求 () 理解定积分的概念及其几何意义. 了解函数可积的条件. () 掌握定积分的基本性质. () 理解变上限积分是变上限的函数, 掌握对变上限积分求导数的方法. () 熟练掌握牛顿 莱布尼茨公式. (5) 掌握定积分的换元积分法与分部积分法. (6) 理解无穷区间的广义积分的概念, 掌握其计算方法. (7) 掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积. 四 多元函数微分学. 知识范围 () 多元函数 多元函数的定义 二元函数的几何意义二元函数极限与连续的概念 () 偏导数与全微分 偏导数全微分二阶偏导数 () 复合函数的偏导数
() 隐函数的偏导数 (5) 二元函数的无条件极值与条件极值. 要求 () 了解多元函数的概念 二元函数的几何意义. 会求二元函数的表达式及定义域. 了解二元函数的极限与连续概念 ( 对计算不作要求 ). () 理解偏导数概念, 了解偏导数的几何意义, 了解全微分概念, 了解全微分存在的必要条件与充分条件. () 掌握二元函数的一 二阶偏导数计算方法. () 掌握复合函数一阶偏导数的求法. (5) 会求二元函数的全微分. (6) 掌握由方程 F(,,z)= 所确定的隐函数 z=z(,) 的一阶偏导数的计算方法. (7) 会求二元函数的无条件极值. 会用拉格朗日乘数法求二元函数的条件极值. 五 排列与组合. 知识范围 () 加法原理 () 乘法原理 () 排列和组合. 要求 () 了解加法原理的内容, 会用加法原理计算 () 了解乘法原理的内容, 会用乘法原理解决一些实际问题 () 了解排列和组合定义, 掌握排列与组合的关系, 会利用排列和组合计算公式解决问题 六 概率论初步. 知识范围 () 随机事件基本事件, 复合事件, 必然事件, 不可能事件, 样本点, 样本空间 () 随机事件的关系与运算事件的包含, 事件的相等, 事件的并, 事件的交, 事件的互斥, 对立事件, 事件的差, 事件的运算规则 () 事件的概率
概率的定义 () 条件概率条件概率的定义, 条件概率的计算 (5) 乘法公式乘法公式 (6) 事件的独立性事件独立性的定义 (7) 一维随机变量及数字特征随机变量的概念, 随机变量的分布函数, 离散型随机变量, 数学期望, 方差, 均方差, 标准差. 要求 () 理解基本事件 复合事件 必然事件 不可能事件 样本点 样本空间 () 理解事件的包含 事件的相等 事件的并 事件的交 事件的互斥 对立事件 事件的差, 并且会用集合表示 熟练掌握事件的运算规则 () 理解概率的概念 基本性质和加法公式 会计算古典概率 () 掌握条件概率的定义, 会计算条件概率 (5) 了解乘法公式, 会利用其计算 理解事件独立性概念, 会利用事件的独立性计算 (6) 理解随机变量的概念 分布函数的概念和性质, 离散型随机变量, 熟练掌握数学期望和方差的计算 考试形式及试卷结构 试卷总分 : 分考试时间 :6 分钟考试方式 : 闭卷, 笔试试卷内容比例 : 函数 极限和连续约 5% 一元函数微分学约 % 一元函数积分学约 % 多元函数微分学约 5% 概率论初步约 8%
西北工业大学网络教育学院 招生考试专科起点本科高等数学考前辅导 ( 一 ) 共计 5 道单项选择题, 每小题 分, 共 分, 要求从所给出的四个备选项中选出一 个符合题目要求的选项, 并将正确的答案填入题目后面的括号内 下列各函数对中,( ) 中的两个函数相等 f ( ) ( ), g ) ( f ( ), g( ) + ln, g( ) ln f ( ) sin cos, g( ) 若函数 f ( ) 5, 则 f () ( ) 6 6 n n lim ( n n n ) 不存在 lim ( ) 8 5 当 时, 与 比较是 ( ) 高阶的无穷小量 非等阶的同阶无穷小量 6 lim ( ) ( ) 等价的无穷小量 低阶的无穷小量 6, 7 函数 f ( ) 在 = 处连续, 则 k = ( ). k, cos 8 lim ( ) sin
9 下列函数中, 在 处可导的是 ( ) ln 设函数 f () 在 处可导, 且 lim h f ( 若 f ( ) cos, 则 f () =( ) h) f () h (), 则 f ( ) d 设函数, 则 ( ) d sin 设函数, 则微分 d ( ) sin sin d cos sin cos sin d 5 设函数 f ( ) ln, 则 f () ( ) 5 9 5 由方程 确定 是 的隐函数, 则 () ( ) 5 6 lim ( ) 5 6 5 不存在 7 已知 lim ( ) sin 8 下列函数在指定区间(, ) 上单调增加的是 ( ) sin
9 函数 arc cot 在 (, ) 内 ( ) 单调增加 单调减少 不单调 不连续 下列函数中, 是 ( ) 的驻点 ln sin 函数 在 ( ) 取极小值 函数 的拐点是 ( ) (,) (,) (,) (,) 函数 在 (, ) 上是 ( ) 凸的 凹的 非凸非凹 既凸又凹 ln 设函数, 则其铅直渐近线是 ( ) 5 在切线斜率为 的积分曲线族中, 通过点 (, ) 的曲线为 ( ) = + = + = + = 6 d d ( ) - d d d 7 下列函数中, 不是 sin 的原函数的是 ( ) cos 8 d ( ) ( ) cos cos sin arctan arctan 9 d ( ) arctan arc cot
若 ( k)d =, 则 k =( ) t 设函数 F( ) cos tdt, 则 F () ( ) cos cos sin (arctant) dt lim ( ) 设 f ( ), 则 f ( ) d ( ) 8 d ( ) + ln ln 5 d cos ( ) 6 d ( ) 5 + ln 7 d ( ) ( ) + ln 发散 8 抛物线 与直线 所围成的图形面积等于 ( ) 8 9 曲线, 及 ln 所围图形绕 轴旋转一周而成的旋转体体积等于 5 5 设 f (, ) ( ), 则 f (,) =( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) 函数 z z, 则偏导数 ( ) ln.. 设函数 z arcsin(), 则 dz ( ). ln d d d d d d z z 设方程 z 确定了隐函数 z z(, ), 则 =( ) z z z z z z z 5 设函数 z, 则 ( ) 6 点(,) 是函数 z 6 的 ( ) 极大值点 极小值点 最大值点 非极值点 7 某厂要用铁板做成一个体积为 m 有盖长方体水箱, 问当长 宽 高分别等于是 ( ) 时, 才能使用料最省 (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) 8 对于任意两个事件, 和, 有 p ( ) ( ) p( ) p( ) p( ) p( ) p( ) p( ) p( ) p( ) p( ) p( ) 9 袋中有 8 个乒乓球, 其中 5 个白色球, 个黄色球, 从中一次任取 个乒乓球, 则取出的 个球均为白色球的概率为 ( )
5 5 8 5 设离散型随机变量 X 的分布律为 5 6 5 56 则 P X ( ) X - P.......6.7 高等数学辅导 ( 一 ) 参考答案 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5
西北工业大学网络教育学院 招生考试专科起点本科高等数学考前辅导 ( 二 ) 共计 5 道单项选择题, 每小题 分, 共 分, 要求从所给出的四个备选项中选出一个符合题目要求的选项, 并将正确的答案填入题目后面的括号内 设 f ( ), 则 f ( f ( )) =( ) n n lim n n ( ) 极限 lim( )sin =( ) - 不存在 当 时, tan 与 比较是 ( ) 高阶的无穷小量 非等阶的同阶无穷小量 arcsin 5 lim ( ) 5 6 lim( ) ( ) 等价的无穷小量 低阶的无穷小量 5 5 sin a 7 设 f ( ) 在 处连续, 则 a 等于 ( ) 8 若函数 f () 在点 处可导, 则 ( ) 是错误的 函数 f () 在点 处有定义 lim f ( ), 但 f ) 函数 f () 在点 处连续 9 设函数 f () 在 处可导, 且 lim 函数 f () 在点 处可微 f ( ) f ( ) (, 则 f ) ( ) (
若函数 ln, 则 = ( ) d 设函数 cos 5, 则 ( ) d sin sin 5 sin 5 sin 设函数 ln, 则微分 d ( ) (ln ) d ln d ln d d 若 f ( ) cos, 则 f () ( ) cos sin cos sin sin cos sin cos lim( ) ( ) ln 5 lim ( ln 5 ) 5 不存在 6 设函数, 则 ( ) 7 若 f ( ), 则 是函数 f ( ) 的 ( ) 极大值点 最大值点 极小值点 驻点 8 函数 在 (, ) 内 (, ) 为 ( ) 单调增加 单调减少 不单调 不连续 9 函数 在 ( ) 内单调增加 (, ) (, ) (, ) (, ) 函数 的拐点是 ( ) (, ) (, ) (, ) 不存在 函数 ln( ) 在 ( ) 取极小值
ln 设函数, 则其水平渐近线是 ( ) 设函数, 则在 (,) 上是 ( ) 凸的 凹的 非凸非凹 既凸又凹 已知 a 在 处的切线平行于直线, 则 a ( ) 5 下列函数中, 不是 的原函数的是 ( ) ( ) ( ) 6 若 F ( ) f ( ), 则 ( ) 成立 ( ) ( ) F ( )d f ( ) c f ( )d F( ) c F ( )d f ( ) c f ( )d F( ) c 7 设 f ( ) d sin, 则 f () ( ) cos cos cos cos ) d cos cos cos cos cos cos cot cos tan 8 ( ( ) 9 d ( ) ( tan ) d ( ) - 设函数 F( ) ( ) d, 则 F () ( ) t sin tdt lim ( ) t dt
d ( ) ln d ( ) 5 d ( ) ( ) ( ) 6 d ( ) a 7 若 d, 则 a =( ) - - 8 曲线 与 轴所围图形的面积等于 ( ) 9 曲线, 8 所围图形绕 轴旋转而成的旋转体体积等于 ( ) 6 5 8 5 设 f (, ), 则 f (, ) =( ) lim ( ) z 函数 z f (, ) cos( ), 则偏导数 ( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( )
设函数 z arctan( );, 则 dz (,) ( ) d d d d d d 设方程 z z z 确定了隐函数 z z(, ), 则 =( ) d d z z z z z z z z z 5 设函数 z ln, 则 ( ) 6 点(,-) 是函数 z 的 ( ) 极大值点 极小值点 最大值点 非极值点 7 函数 z 在条件 下的极值为 ( ) 8 对任意二事件,, 等式 ( ) 成立 P( ) P( ) P( ) ( P( ) ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) ( P( ) ) P( ) P( ) P( ) 9 设, 是两个独立的随机事件, 已知 P() =.,P() =.7, 则 与 只有一个发生 的概率为 ( ).6.8.5.5 5 已知事件, 的概率分别为 P() =.,P() =.6,P( ) =., 则 P() = ( ).5.8.7 高等数学辅导 ( 二 ) 参考答案 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5
西北工业大学网络教育学院 招生考试专科起点本科高等数学考前辅导 ( 三 ) 共计 5 道单项选择题, 每小题 分, 共 分, 要求从所给出的四个备选项中选出一个符合题目要求的选项, 并将正确的答案填入题目后面的括号内 函数 f ( ) ln( 5) 的定义域是 ( ) [-5, ) (5, - ) (-5, ) (-5, ] 下列结论中,( ) 是正确的 基本初等函数都是单调函数 偶函数的图形关于坐标原点对称 奇函数的图形关于坐标原点对称 n n lim ( ) n n 5 lim ( ) 周期函数都是有界函数 不存在 不存在 5 已知 f ( ), 当 ( ) 时, f () 为无穷小量. tan 6 lim ( ) ( ) 7 lim ( ) sin( ) 8 函数 f () 在 处极限存在是 f () 在 处连续的 ( ) 必要不充分条件 充分必要条件 充分不必要条件 既非必要又非充分条件 9 下列函数中, 在 处可导的是 ( )
ln cos sin f ( ) f () 设函数 f () 在 处可导, 且 f ( ), 则 lim ( ) d 设函数 ln cos, 则 ( ) d cot cot tan tan cos 已知, 则 () ( ) ln ln ln ln 设函数 ln, 则微分 d ( ) d d 设隐函数 cos( ), 则 ( ) d d ( )sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) (5) 5 设函数 f ( ), 则 f ( ) ( ) 5 5 6 lim ( ) sin 7 lim ( ) ( ) 不存在 不存在 8 曲线 在点 (, ) 处的切线斜率是 ( ).. 5..5 9 函数 ln 在 (, ) 内 ( ) 单调增加 单调减少 不单调 不连续 函数 在 ( ) 内单调增加
(,) (, ) (, ) (, ) 下列函数中, 是 ( ) 的驻点 ln tan 函数 ln( ) 在 ( ) 取极小值 函数 5 8 的拐点是 ( ) (,) (, ) (, ) (, ) 设函数, 则在 (, ) 上是 ( ) 凸的 凹的 非凸非凹 既凸又凹 5 下列函数中,( ) 是 sin 的原函数. cos cos -cos - cos 6 设 f () 的一个原函数为, 则 f () ( ) 7 f ( ) d, 则 f () ( ) (arctan ) 8 d ( ) ( arc cot) (arctan ) 9 d ( ) ( ) ( arc cot) (arctan ) ln ln ln ln t 设函数 F( ) dt, 则 F () ( )
sin tdt lim ( ) cos d ( ) ( ) 设函数 f ( ), 则 f ( ) d ( ) ln ln ln ln sin d ( ) 5 8 d ( ) ln ln 6 ln d ( ) 7 d ( ) 8 曲线 sin 及直线, 发散 与 轴所围平面图形的面积是 ( ) 9 曲线 sin 和它在 处的切线及 所围图形绕 轴旋转而成的旋转体体积 等于 ( ) lim( )cos ( )
无极限 设 f (, ), 则 f (, ) ( ) ( ) ( ) z z 函数 z, 则 ( ) 设函数 z, 则 dz ( ) d d d ( d d) ( d d) z z 设方程 z 确定了隐函数 z z(, ), 则 =( ) ( z) z z 5 设函数 z cos( ), 则 ( ) z cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) 6 函数 f (, ) 的极小值为 ( ) 9 6 7 内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体, 则长方体的长 宽 高分别是 ( ) ( a, a, a) ( a, a, a) ( a, a, a) ( a, a, a) 8 设, 为两个任意事件, 则 P(+) =( ) P() + P() P() + P() - P()P(). P() + P() - P() P() [P() + P() ] 9 有甲 乙两批种子, 发芽率分别是.85 和.75, 在这两批种子中各随机取一粒, 则至 少有一粒发芽的概率为 ( ).965.875.965.8975 5 设随机变量 X 的分布为 X - - p.....
则 (X ) ( )..96. 高等数学辅导 ( 三 ) 参考答案 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5