信号与系统解题诀窍

Transcription

1 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 信 号 与 系 统 解 题 诀 窍 目 录 一, 信 号 的 时 域 运 算 ( 十 二 种 ) Ⅰ, 信 号 的 线 性 组 合 运 算 6, 自 变 量 ( 橫 座 标 ) 上 的 迭 加 6, 将 信 号 分 解 成 线 性 组 合 7 3, 分 解 为 直 线 及 抽 样 时, 注 意 斜 率 的 变 化 8 4, 线 性 运 算 及 相 应 变 换 8 Ⅱ, 卷 积 与 相 关 运 算 5, 直 接 法 6 ), 能 量 信 号 且 乘 积 是 規 则 的 几 何 图 形 6 ), 单 边 指 数 信 号 的 卷 积 7 3), 任 意 信 号 同 冲 激 信 号 A ( b) 的 卷 积 8 4), 任 意 信 号 同 阶 跃 信 号 Au( b) 的 卷 积 9 5), 数 值 序 列 的 卷 积 9, 间 接 法 9 ), Fourier ansform A,sinc 信 号 的 卷 积 B, 简 谐 信 号 的 卷 积 C, 简 谐 信 号 与 其 它 信 号 的 卷 积 D, 不 存 在 L Z 的 双 边 信 号 的 卷 积 3

2 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ), Laplace ransform 4 3),Z-ransform 4 3, 相 关 函 数 与 卷 积 结 果 的 区 别 4 4, 循 环 巻 积 与 循 环 相 关 5 ), 连 续 信 号 ( 能 量 型 ) 的 循 环 巻 积 5 ), 能 量 型 离 散 信 号 的 循 环 巻 积 7 3), 能 量 型 数 值 信 号 的 循 环 巻 积 8 4), 用 循 环 巻 积 计 算 线 性 卷 积 9 5), 要 特 别 指 出 的 问 题 3 A, 能 量 型 信 号 的 卷 积 3 B, 功 率 型 信 号 的 卷 积 3 C, 能 量 型 信 号 与 功 率 型 信 号 的 卷 积 3 Ⅲ, 信 号 的 积 分 运 算 3, 参 量 积 分 3, 定 积 分 ( 一 次 方 ) 3 3, 定 积 分 ( 二 次 方 ) 33 A, 能 量 信 号 33 B, 周 期 信 号 35 C, 非 周 期 功 率 型 信 号 36 Ⅳ, 信 号 与 Dirac( ) 间 的 运 算 36

3 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ:656674, 积 分 运 算 37, 微 分 运 算 37 3, 比 例 运 算 37 4, 卷 积 运 算 38 5, 位 置 运 算 38 6, 周 期 运 算 38 Ⅴ, 信 号 的 比 例 反 折 时 移 运 算 38, 给 定 信 号 f() 求 其 位 移 反 折 比 例 后 的 信 号 f ( a b); a, b 带 符 号 的 波 形 38, 给 定 经 位 移 反 折 比 例 后 的 信 号 f ( a b); a, b ( 带 符 号 ) 求 原 信 号 f() 的 波 形 39 3, 由 f ( a b) 的 波 形 求 f ( c d) 的 波 形 4 Ⅵ, 信 号 功 率 和 能 量 的 算 4, 能 量 的 计 算 4 A, 規 则 几 何 图 形 信 号 4 B, 一 般 情 况 4, 功 率 的 计 算 4 A, 简 谐 信 号 功 率 的 计 算 4 B, 单 边 Fourier Series 信 号 功 率 算 4 C, 双 边 Fourier Series 信 号 功 率 的 计 算 4 3

4 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: D, 由 离 散 频 谱 计 算 信 号 功 率 4 E, 由 连 续 频 谱 密 度 计 算 信 号 功 率 4 Ⅶ, 周 期 信 号 参 数 等 有 关 计 算 4, 周 期 信 号 及 其 特 点, 单 个 连 续 周 期 信 号 参 数 的 计 算 43, 单 个 离 散 周 期 信 号 参 数 的 计 算 43 3, 连 续 周 期 信 号 的 FS;DS;F; 44 4, 离 散 周 期 信 号 的 FS;DS;F; 46 5, 周 期 信 号 线 性 与 非 线 性 运 算 46 二, 信 号 的 频 谱 分 析 5 Ⅰ, 信 号 组 成 及 频 谱 的 种 类 5 Ⅱ, 信 号 频 谱 的 计 算 5, 直 接 计 算 法 5, 分 解 计 算 法 5 A, 典 型 信 号 的 频 谱 密 度 5 B, 频 谱 密 度 性 质 53 C, 分 解 方 法 ( 线 性 法 延 拓 加 窗 法 ) 54 3, 利 用 频 谱 密 度 性 质 时, 必 须 注 意 的 情 况 (A B C D) 58 4

5 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: , 特 殊 信 号 ( n ) 的 频 谱 密 度 59 5, 离 散 信 号 的 频 谱 密 度 (A B), 6 A, 抽 样 法 6 B, 变 换 法 6 6, 利 用 L DF Z 计 算 频 谱 密 度 6 Ⅲ, 频 谱 密 度 几 个 有 用 推 论 ( ) 64 Ⅳ,DF 的 计 算 67, 直 接 计 算 67, 利 用 Z 计 算 68 3, 利 用 F 计 算 68 Ⅴ,Inverse Fourier ransform 的 计 算 68, 利 用 频 谱 密 度 的 性 质 ( 对 称 ) 计 算 IF 68, 利 用 留 数 法 (Residure) 计 算 IF 7 Ⅵ, 离 散 频 谱 与 Fourier Series(FS) 的 计 算 7, 基 本 关 系 式 7. 简 谐 信 号 的 频 谱 ( 连 续 离 散 ) 及 功 率 74 三, 信 号 变 换 的 计 算 75 Ⅰ,Laplace ransform(l) 75 5

6 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: L 的 计 算 (ROC; Zero-Poles; Propories) Ⅱ,Inverse Laplace ransform (IL) 的 计 算 77 A, 有 理 分 式 77 B, 分 子 中 有 延 迟 因 子 79 C, 分 母 中 有 延 迟 因 子 79 D, 对 数 函 数 8 Ⅲ,Z-ransform(Z) 的 计 算 7, 几 个 重 要 概 念 8,Z-ransform(Z) 的 计 算 8 A, 直 接 法 8 B, 利 用 性 质 计 算 83 3,Inverse Z-ransform(IZ) 的 计 算 83 ), 有 理 分 式 83 ), 分 子 中 有 延 迟 因 子 84 3), 条 件 极 点 的 另 一 ( 简 便 ) 处 理 方 法 85 4), 分 母 中 有 延 迟 因 子 88 5), 有 限 项 情 况 89 6), 由 收 敛 域 ROC 判 定 信 号 的 性 质 9 4, 能 量 型 信 号 ROC 问 题 细 探 9 Ⅳ,Hilber ransform(h) 9 6

7 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ:656674, 概 念 ( 定 义, 物 理 意 义 ) 9,H 的 计 算 9 A, 简 谐 信 号 9 B, 窄 带 信 号 93 C, 复 解 析 信 号 93 四, 系 统 分 析 94 Ⅰ, 有 关 概 念 94, 线 性 与 非 线 性 的 判 定 94, 时 变 与 时 不 变 的 判 定 95 3, 系 统 物 理 可 实 现 性 ( 因 果 性 ) 的 判 定 96 4, 系 统 稳 定 性 的 判 定 97 Ⅱ, 系 统 响 应 99, 与 迭 加 性 有 关 的 响 应 99, 对 简 谐 信 号 的 响 应 3, 对 任 意 输 入 信 号 的 响 应 4, 给 出 输 入 输 出 求 另 一 输 入 引 起 的 响 应 4 Ⅲ, 连 续 抽 样 系 统 7, 由 微 分 方 程 求 差 分 方 程 7, 由 H(S) 求 H(Z) 7 7

8 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: Ⅳ, 混 合 系 统 分 析 8 Ⅴ,LI 系 统 的 模 拟 4 五, 信 号 中 成 份 的 提 取 4 Ⅰ, 信 号 ( 己 调 ) 幅 度 的 提 取 4 A,AM( 振 幅 调 制 ) 信 号 中 调 制 信 号 的 提 取 4 B,DSB( 双 边 带 抑 制 载 波 调 制 ) 信 号 中 调 制 信 号 的 提 取 5 C,SSB( 单 边 带 抑 制 载 波 调 制 ) 信 号 中 调 制 信 号 的 提 取 6 Ⅱ, 信 号 相 位 的 提 取 9 A, 调 频 信 号 (FM) 中 调 制 信 号 的 提 取 9 B, 其 它 相 位 信 号 中 信 号 相 位 的 提 取 Ⅲ, 振 幅 相 位 同 时 提 取 Ⅳ, 组 合 信 号 中 信 息 的 提 取 8

9 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ:

10 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 信 号 与 系 统 解 题 诀 窍 -, 信 号 的 时 域 运 算 信 号 的 时 域 运 算 是 指 在 自 变 量 域 内 ( 如 时 域 ) 的 变 换, 在 信 号 与 系 统 和 信 号 处 理 中 主 要 有 十 二 种 ( 线 性 运 算 ; 共 轭 运 算 ; 比 例 反 折 运 算 ; 对 称 运 算 ; 时 移 运 算 ; 频 移 运 算 ; 卷 积 及 相 关 运 算 ; 乘 积 运 算 ; 微 分 运 算 ; 积 分 运 算 ; 重 复 运 算 ; 帕 塞 瓦 尔 运 算 ~~ 另 外 还 有 k 及 n k 加 权 ), 它 们 在 工 程 中 有 应 用 在 课 程 中 放 在 各 种 变 换 ( 如 Fourier 变 换,Laplace 变 换, Z 变 换 ) 的 性 质 中 讲 授 但 在 计 算 问 题 时 的 技 巧, 在 教 材 中 一 般 是 不 涉 及 的 下 面 列 出 一 些 主 要 技 巧 性 的 方 法 Ⅰ, 信 号 的 线 性 组 合 运 算

11 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 信 号 的 线 性 组 合 运 算 可 表 示 为 f ( ) c f ( ) c f ( ) 在 解 题 时, 有 几 种 重 要 情 况, 自 变 量 ( 横 坐 标 方 向 ) 上 的 迭 加, 例 如 3 n f ( ) Arec( ) Arec( ) 7 n3 在 表 达 式 中, 矩 形 信 号 的 宽 度 与 重 复 间 隔 相 等, 迭 加 的 结 果 就 是 相 互 连 接 了, 形 成 七 个 矩 形 的 宽 度 用 图 形 表 示 为 A f() 3 3 类 似 的 有 n f ( ) Brec( ) B n 及.5 n f ( ) Crec( ) cu( ) n 注 :rec 表 示 矩 形 函 数,u() 表 单 位 阶 跃 函 数, 将 信 号 分 解 成 线 性 组 合 在 信 号 变 换 计 算 时, 将 其 分 解 成 简 单 信 号 或 已 知 其 变 换 的 线 性 组 合, 可 大 大 的 简 化 运 算,

12 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 但 要 特 别 注 意 分 解 要 等 效 ( 不 要 改 掉 了 项 数 ); 以 及 组 合 以 后 信 号 的 类 型 变 化, 在 做 变 化 时 收 敛 域 要 发 生 变 化 如 下 例 A A f ( ) f( ) f( ) u( ) ( ) u( ) 这 个 结 果 是 错 误 的, 因 为 f( ) f( ) 的 组 合 信 号 波 形 为 图 A, 不 是 f() 的 波 形, 而 f() 应 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 为 3 A A u( ) ( ) u( ) Au( ) 如 果 对 f () 作 L, 则 有 f() f () f () f 3 () 图 A f () L S A, A s f() L e, S A s f3() L e, S A S S 按 线 性 性 质 f ( ) L F( S) ( e e ),, 这 就 是 错 误 的, 因 为 f() S 是 由 功 率 信 号 经 线 性 组 合 而 成 为 能 量 型 信 号, 它 的 L 应 为 A S S f ( ) L F( S) ( e e ), S S S S 这 里 最 重 要 的 是 收 敛 域 扩 大 了 又 如 信 号 A A f ( ) f( ) f( ) u( ) ( ) u( ) 这 是 错 误 的, 因 为 f () 与 f () 线 性 组 合 的 波 形 为 图 A, 不 是 给 定 的 f() 的 波 形 此 处 应 当 写 成

13 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 3 A u( ) A ( ) u( ) A ( ) u( ) 如 果 对 f() 作 L, 按 线 性 性 质 有 f () L S A, A S f() L e, S A S f3() L e, S f() f () f () f 3 () 图 A 按 线 性 性 质 A S S f ( ) L F( S) ( e e ),, s 这 就 错 了, 因 为 f () f () f () 3 三 个 因 果 信 号 线 性 组 合 以 后, 形 成 了 能 量 型 信 号, 其 L 应 为 A S S f ( ) L F( S) ( e e ),, s 特 殊 在 于 收 敛 域 的 扩 大 3, 分 解 为 直 线 及 抽 样 时, 注 意 斜 率 的 变 化 当 将 高 度 为 A, 底 宽 为 的 等 腰 三 角 形 波 在 持 续 期 内 抽 样 成 N 点 成 离 散 信 号 f( n) 的 表 达 式, 则 为 f ( n) A nu( n) A ( n N) u( n N) A ( n N) u( n N) N N N 3

14 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 这 里 斜 率 是 A N, A 而 不 是 4, 线 性 运 算 及 相 应 变 换 Def: 两 个 或 两 个 以 上 的 信 号 各 乘 以 常 数 后 求 和 得 到 一 个 新 的 信 号, 这 种 运 算 称 为 信 号 的 线 性 运 算 ( 或 线 性 组 合 ) 用 数 学 公 式 可 表 示 为 M f ( ) c f ( ) in M f ( n ) c f ( n ) i in 注 意 : 新 的 信 号 可 以 是 组 合 前 之 信 号 幅 度 迭 加 ; 也 可 是 自 变 量 ( 横 座 标 ) 上 的 迭 加 i i 用 图 形 ( 波 形 ) 表 示 为 ( 左 圄 为 幅 度 迭 加 ; 右 图 为 自 变 量 ( 横 座 标 ) 上 的 迭 加 ( 能 量 型 信 号 可 有 限 重 复 形 成 能 量 型 信 号, 正 时 域 无 限 重 复 形 成 半 周 期 信 号 ; 正 负 时 域 无 限 重 复 形 成 周 期 信 号 ) 离 散 情 况 类 似 ) i A f () f () f () f () B A+B f() f() 幅 度 ( 纵 座 标 函 数 值 ) 迭 加 自 变 量 ( 横 座 标 ) 迭 加 Ransfom Varying: FS-Co~Coninuous: 首 先, 判 定 组 合 形 成 的 新 信 号 是 否 是 周 期 信 号? 其 次, 若 不 是 周 期 信 号 则 新 信 号 不 存 在 FS; 新 信 号 若 是 周 期 信 号 则 有 M F( jk) cif i( jk i) in 4

15 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 是, i,,3, 等 的 最 大 公 约 数 ; 其 中 i 或 是 i,,,3, i 等 的 最 小 公 倍 数 FS-Co~Discree: 首 先, 判 定 判 定 各 离 散 信 号 是 否 是 周 期 信 号? 例 Ⅰ: 离 散 信 号 cos( ) n 并 求 出 其 离 散 信 号 的 周 期 cos( n) 离 散 间 隔 = N 4 N cos( ) 即 在 cos( ) n 例 Ⅱ: 离 散 信 号 cos( ).4 n 的 一 个 周 期 内 有 整 数 N=4 个 离 散 样 点, 故 是 周 期 N=4 的 离 散 周 期 信 号 cos( n) 离 散 间 隔 = N N.4 离 散 周 期 信 号 的 周 期 N 必 须 是 整 数 ; 而 cos( ).4 n cos( ) 内 有 N=4.8 个 离 散 样 点, 故 只 有 在 原 cos( ) 在 的 一 个 周 期 五 个 周 期 ( 每 个 周 期 内 有 N=4.8 个 离 散 样 点 ) 共 有 4 个 离 散 样 点, 才 形 成 周 期 M=4 的 离 散 周 期 信 号 例 Ⅱ: 离 散 信 号 cos( n ) 判 定 组 合 形 成 的 新 信 号 是 否 是 周 期 信 号? cos( n) 离 散 间 隔 = N N 离 散 周 期 信 号 的 周 期 N 必 须 是 整 数 ; 而 cos( ) cos( ) n 在 的 一 个 周 期 内 有 N= 个 离 散 样 点, 是 无 理 数, 不 存 在 一 个 整 数 ( 即 原 连 续 信 号 5

16 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: cos( ) 的 整 数 个 周 期 ) 乘 成 为 整 数 故 cos( ) ( 尽 管 cos 是 周 期 函 数 ) n 不 是 离 散 周 期 信 号 其 次, 判 定 组 合 形 成 的 新 信 号 是 否 是 周 期 信 号? 若 不 是 周 期 信 号 则 新 信 号 不 存 在 DFS; 新 信 号 若 是 周 期 信 号 ; 并 求 出 其 离 散 信 号 的 周 期 则 有 M F( jk) ci Fi ( jki ) 其 中 或 in 是, i,,3, 等 的 最 大 公 约 数 ; i 是 i,,,3, 等 的 最 小 公 倍 数 i FS: f FS Co e FS Co j k ( ) [ ] [ ] n 表 示 离 散 频 谱 ( 复 数 形 式 Fourier Serie s s Coefferenial ) f n FS Co e FS Co j k n ( ) [ ] [ ] n 表 示 离 散 频 谱 ( 复 数 形 式 Fourier Serie s s Coefferenial ) F~~Coninuous Specrum Densiy: 幅 度 迭 加 情 况 : f ( ) F( j) c F ( j) M in j j f ( n ) F( e ) c F ( e ) M 例 Ⅰ: 前 面 左 图 ( 幅 度 迭 加 ) 所 示 信 号 in f ( ) F( j) [ Asin c( ) Bsin c( )] e i i i i j 6

17 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f ( n) ( ) F e A c B c e k j j ( ) {[ sin ( ) sin ( )] } ( ) k 前 面 右 图 ( 时 间 迭 加 ) 所 示 信 号 j j f ( ) F( j) Asin c( ) e [ e ] f ( n) f ( ) ( ) j j j F( e ) Asin c( ) e [ e ] [ ( k) k 例 Ⅱ: n f ( ) ARe c( ) Au( ) n A A ( ) j f ( n) f ( ) ( ) Au( ) ( ) Au( n ) A [ A ( ) ] [ ( k) j ] k n f ( ) ARe c( ) A n A ( ) f ( n) f ( ) ( ) u( n) u( n ) [ A ( )] [ ( k) n k N N n f ( ) ARe c( ) A[ u( ) u( N ) ARe c( ) N NA sin c( N) e j N 7

18 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f ( n) f ( ) ( ) A[ u( n) u( n N ) j N [ NA sin c( N) e ] [ ( k) k DF: 条 件 是 组 合 前 之 信 号 fi( n) i,,3, 的 持 续 N 点 要 相 同 ; 且 只 有 幅 度 迭 加 m m f ( n ) c f ( n ) F( k) c F ( k) N i i i i i N i Laplace ransform: M Formula: f ( ) c f ( ) F( s) c F ( s) in M i i i i in ROC : 一 般 取 公 共 ROC; 但 注 意 非 能 量 型 信 号 线 性 运 算 后 成 能 量 型 信 号, 此 时 ROC 会 扩 大 ; 同 样 能 量 型 信 号 线 性 运 算 后 成 非 能 量 型 信 号, 其 ROC 会 减 小 下 面 举 例 说 明 例 Ⅰ: f ( ) u( ) u( ) u( ) L,Re[ s] s s u( ) L e,re[ s] s s f ( ) L F( s) ( e ),Re[ s} (, ) s ( 公 共 ROC 是 Re[ s}, 它 比 (-, ) 小 得 多 )) 例 Ⅱ: f ( ) u( ) ( ) u( ) ( ) u( ) u( ),Re[ s] s s ( ) u( ) e,re[ s] s s s ( ) u( ) e,re[ s] 8

19 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 但 f F s e e s s s ( ) ( ) ( ), (, ) (ROC 比 公 共 ROC 扩 大 了 ) 因 为 f() 如 下 图 所 示, 由 三 个 功 率 型 信 号 经 线 性 运 算 后 成 为 能 量 型 信 号, 而 能 量 型 信 号 之 L 的 ROC 为 Re[ s] (, ) 的 u() f() -(-)u(-) (-)u(-) 例 Ⅱ 的 图 示 例 Ⅲ: i f ( ) Re c( ), i k s k s Re c( ) Fk ( s) ( e ) e,re[ s] (, ) s 但 f() 由 线 性 运 算 后 成 为 正 时 域 的 功 率 型 信 号, 而 正 时 域 的 功 率 型 信 号 之 L 的 ROC 为 Re[ s] c ) c ( 本 题 Z-ransform: M f ( n ) c ( ) ( ) ( ) Formula: i fi n F z cifi z in M in 9

20 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ROC : 一 般 取 公 共 ROC; 但 注 意 非 能 量 型 信 号 线 性 运 算 后 成 能 量 型 信 号, 此 时 ROC 会 扩 大 ; 同 样 能 量 型 信 号 线 性 运 算 后 成 非 能 量 型 信 号, 其 ROC 会 减 小 下 面 举 例 说 明 例 Ⅰ: f ( n) u( n) u( n N) z u( n) z, z z z N u( n N) z z, z z z N f ( n) z F( z) ( z ), z z ( 公 共 ROC 是 z, 它 比 z 小 得 多 )) 例 Ⅱ: f ( ) u( ) ( ) u( ) ( ) u( ) z nu( n) f ( z) z. N( z) z N ( n N) u( n N) z z. N( z) z N( z) N ( n N) u( n N) z z. 但 z f F s z z z Nz ( ) N N ( ) ( ) ( ), (ROC 比 公 共 ROC 扩 大 了 ) 因 为 f() 如 下 图 所 示, 由 三 个 功 率 型 信 号 经 线 性 运 算 后 成 为 正 时 域 的 能 量 型 信 号, 而 正 时 域 的 能 量 型 信 号 之 z 的 ROC 为 z 的 例 Ⅲ: n im f ( n) Re c( ), M N N i n G z G Re c( ) F( z) z, z N z 但 f() 由 线 性 运 算 后 成 为 正 时 域 的 功 率 型 信 号, 而 正 时 域 的 功 率 型 信 号 之 L 的 ROC

21 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 为 Re[ s] c ) c ( 本 题 k ( 本 题 k f ( n) F( z) F ( z), z c c ) nu(n). f(n) N N n -(n-n)u(n-n) N N n (n-n)u(n-n) N N n N N n 例 Ⅱ 的 图 示 Ⅱ, 卷 积 ( 褶 积 ) 与 相 关 运 算 卷 积 与 相 关 在 物 理 意 义 上 有 很 大 的 区 别, 前 者 的 线 性 卷 积 类 是 信 号 通 过 线 性 时 不 变 系 统 的 零 状 态 响 应 ; 而 后 者 是 两 个 信 号 波 形 形 状 的 相 似 程 度 的 度 量 但 卷 积 和 相 关 的 计 算 除 一 个 信 号 自 变 量 倒 转 ( 相 关 ) 外, 其 他 是 完 全 一 样 的 这 里 先 考 虑 线 性 卷 积 和 线 性 相 关 的 计 算, 至 于 循 环 卷 积 和 循 环 相 关 的 区 别, 在 最 后 指 出, 对 于 连 续 信 号 情 况, 对 于 离 散 信 号 情 况 f ( ) f ( )* f ( ) f ( ) f ( ) d f ( ) f ( ) d

22 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f ( n) f ( n) f ( n) f ( m) f ( n m) m m f ( m) f ( n m) 两 个 信 号 的 相 关 函 数 则 为 R ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) R ( m) f ( n) f ( n) f ( n) f ( n) 计 算 卷 积 ( 含 相 关, 下 同 ) 的 技 巧 方 法 有 两 类, 直 接 法 直 接 法 计 算 卷 积 就 直 接 按 定 义 或 图 解 求 出 卷 积, 由 于 卷 积 积 分 ( 或 积 和 ) 比 一 般 积 分 ( 或 积 和 ) 都 困 难 或 者 复 杂, 所 以 在 解 题 时, 只 有 以 下 几 种 情 况 应 用 ( 必 用 ) 直 接 法 较 为 简 便 ), 相 卷 积 的 两 个 信 号 一 是 能 量 型 信 号, 二 是 两 波 形 的 乘 积 是 易 于 求 面 积 的 规 则 几 何 图 形 f () A B f () AB min 上 图 两 个 矩 形 信 号 均 是 能 量 型 信 号, 其 乘 积 也 为 矩 形, 其 面 积 ( 积 分 ) 易 于 求 得

23 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 用 卷 积 的 定 义 式 或 图 解 法 可 求 得 其 卷 积 f() 是 一 梯 形 波 信 号 ( 当 梯 形 上 底 宽 为 零 时, 则 为 三 角 形 ) 梯 形 的 参 数 分 别 为 上 底 宽 L 下 底 宽 L 高 h A B min ( min 表 示, 中 小 的 一 个 ) 中 心 位 (, 本 身 带 符 号 ) 对 于 两 个 离 散 矩 形 信 号, 则 有 N A N N n n B n n n +n n N+N - f( n ) 为 梯 形 抽 样 信 号 与 一 个 抽 样 矩 形 信 号 之 和, 其 参 数 值 为 上 底 宽 L N N 下 底 宽 L N N 高 h ABN (Nmin 表 N N 中 最 小 的 ) min 中 心 n n n 3

24 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ), 两 个 单 边 指 数 的 线 性 卷 积 因 为 指 数 信 号 积 分 很 简 易, 所 以 可 直 接 计 算 卷 积 上 式 合 并 可 写 成 a b a b f ( ) Ae u( ) Be u( ) a b( ) ABe e d ( () { a b AB ( e e ab ) AB a b f ( ) ( e e ) u( ) ab 当 ab 时, 用 罗 比 塔 法 则, 求 上 式 得 f ( ) e a u( ) e b u( ) e a u( ) u 换 下 限, u ( ),( a b ) 换 上 限 ) 对 于 离 散 指 数 信 号, 则 类 似 的 有, a b n n f ( n) a u( n)* b u( n) m nm a u( m) b u( n m) m n m n m ab ( um ( ) 换 下 限, u( n m) 换 上 限 ) n 4

25 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: b n n n n n n m a b b a m ( a ) or b ab ba 当 ab 时, 仍 用 不 定 式 确 定 法, 可 得 f ( n) a n u( n)* a n u( n) ( n ) a n u( n) 3), 任 意 信 号 与 的 卷 积 f ( ) A ( ) Af ( ) 其 解 析 式 比 较 简 单, 但 在 作 图 时 要 注 意, 是 将 信 号 f() 的 坐 标 原 点 ( 不 是 信 号 的 起 点 终 点 中 心 点 ) 移 到 函 数 的 位 置 处 ( 不 管 信 号 在 坐 标 原 点 是 否 为 零 ) 信 号 与 信 号 的 n 阶 微 分 的 卷 积 则 可 利 用 卷 积 的 微 分 性 质, 即 有 f ( )* ( ) f ( )* ( ) ( n) ( n) 对 于 离 散 信 号 则 是 类 似 的 如 f ( n) g( n)* A ( n N) Ag( n N) 4), 任 意 信 号 与 阶 越 信 号 u () 的 卷 积 f ( ) u( ) f ( ) d 如 果 f() 的 参 量 积 分 易 于 求 得, 则 可 用 此 方 法, 否 则 用 后 面 的 变 换 法 u( ) u( ) u( ) d d 5

26 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: () u 对 于 离 散 信 号 有 n f ( n) u( n) f ( m) m 5), 两 个 有 限 长 度 数 值 序 列 的 线 性 卷 积 有 限 长 数 值 序 列 的 线 性 卷 积, 较 方 便 的 方 法 是 用 乘 法 竖 式 法 但 必 须 将 两 个 信 号 经 位 移 处 理 成 从 n= 开 始 的 因 果 数 值 序 列 其 处 理 方 法 是 : 当 信 号 是 不 从 n= 开 始 的 因 果 信 号, 则 在 左 边 从 n= 开 始 补 零, 如 下 图 f ( n ) 是 从 n= 开 始 的 因 果 信 号, 则 需 在 左 边 补 两 个, 占 两 个 点 位, 写 成 矢 量 形 式 为 [,,8,5,]= f ( n ) : 当 号 在 负 时 域 时 则 需 用 的 卷 积 表 示, 如 右 边 B 中 的 f ( n ) 信 号, 需 将 n=-5 的 信 号 值 移 到 坐 标 原 点, f ( n ) 的 坐 标 原 点 则 移 到 n=6 的 位 置, 得 到 f ' ( n ) =[6,,3] 而 卷 积 f( n ) = f ( n )* f ( n ) 变 成 f( n ) = f ( n )* f ( n ) f ' ( ) f n * (n+6)= F ( n ) ( n 6) ' ( ) n 均 为 从 坐 标 原 点 开 始 的 因 果 信 号, 下 面 乘 法 竖 式 计 算 出 了 卷 积, 它 是 ' F(n)= f ( n )* f ( n ) 如 图 C 所 示 ; 要 求 f( n ) 还 得 再 同 (n+6) 卷 积, 即 左 移 6 位 ( 坐 标 原 点 的 信 号 值 移 到 n=-6 处 ) 如 图 D 所 示 注 意 : 在 作 乘 法 竖 式 计 算 时, 值 为 零 要 占 据 位 置, 不 能 省 略 6

27 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f (n)) n 3 5 图 A f () 图 B n 图 D F(n) n f(n) () 图 n C 用 乘 法 竖 式 法 表 示 如 下 F(n), 间 接 法 ( 又 称 变 换 法 ) 在 求 解 卷 积 问 题 时, 除 以 上 五 种 情 况 外, 均 应 用 变 换 法 求 解 变 换 法 有 三 种, 即 Fourier 变 换,Laplace 变 换 和 Z 变 换 无 论 是 那 种 变 换, 都 由 三 步 完 成, 即 对 卷 积 的 两 个 信 号 进 行 变 换 ; 两 个 变 换 相 乘 ; 求 乘 积 的 反 变 换 以 上 三 步 中, 第 二 步 两 个 变 换 的 乘 积 很 简 单, 7

28 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 无 技 巧 可 言 至 于 反 变 换 放 在 后 面 信 号 的 变 换 去 讨 论, 这 里 讨 论 第 一 步, 相 卷 积 的 两 个 信 号 的 变 换 问 题 这 里 首 先 要 分 清 谱 密 度 ( 含 功 率 能 量 谱 密 度 ) 是 线 性 卷 积 或 相 关 ;DF 则 是 循 环 卷 积 或 相 关 ; 离 散 频 谱 则 是 周 期 卷 积 其 次 两 个 信 号 的 卷 积 与 相 关 的 计 算 虽 都 是 卷 积, 但 结 果 有 区 别, 间 接 法 就 是 用 变 换 的 卷 积 性 质 ), Fourier 变 换 (F) Fourier 变 换 是 在 引 入 冲 激 函 数 后, 其 适 应 范 围 比 Laplace( 连 续 信 号 ) 变 换 (L) 和 Z 变 换 (Z)( 离 散 信 号 ) 都 大 得 多 原 则 上 讲 大 多 连 续 信 号 和 离 散 信 号 以 及 一 些 不 存 在 L 和 Z 的 信 号, 都 课 用 F 但 是 离 散 信 号 的 F 是 以 ( )( 为 离 散 间 隔 ) 为 间 隔 或 频 域 周 期 而 周 期 重 复 的, 在 作 第 二 步 乘 积 运 算 时 需 辅 以 图 标 相 对 要 繁 杂 些, 所 有 离 散 信 号 一 般 用 Z 对 于 连 续 信 号 可 用 F 或 L 由 于 L 在 作 反 变 换 时, 其 自 变 量 为 复 量, 而 F 是 虚 部 jw, 写 时 简 洁 性 差 些, 所 以 常 用 L 但 有 下 列 几 种 情 况, 用 L 不 仅 繁 而 且 很 难, 必 须 用 F A, 超 越 函 数 SinC 的 卷 积 f ( ) Asin c( ) BSinc( ) b c ASinc ( ) p b Sincc ( ) p c A ASinc ( ) rec( ) e b b B BSinc ( ) rec( ) c c j 8

29 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: A/b ( ) b b b b - ( ) AB/bc B/c b c c 根 据 卷 积 性 质 有 AB F( j) rec( ) e bc b f ( ) AB SinCb ( ) j ( ) p 因 为 SinC 的 L 是 难 于 求 出 的, 所 以 此 处 不 能 用 L, 而 用 F 就 很 简 便 B, 简 谐 信 号 的 卷 积 简 谐 信 号 9

30 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: j jn Ae ASin Acos Ae ASin n Acos n 不 存 在 L 和 Z, 它 们 的 卷 积, 可 用 F 变 换 进 行 卷 积 运 算 还 是 比 较 方 便 的 例 如 f ( ) Acos ( ) Bsin ( ) 用 频 谱 密 度 ( 线 性 ) 卷 积 性 质, 计 算 于 下 j j F( j) A[ ( ) e ( ) e ] B e e j j [ ( ) ( ) ] AB e e j( j ( ) ) [ ( ) ( ) ] f ( ) AB cos ( ) 这 个 结 果 是 不 正 确 的 因 为 简 谐 信 号 是 周 期 信 号, 其 卷 积 性 质 是 离 散 频 谱 的 关 系 故 应 该 是 A A e e B B e e j j cos ( ) [ ( ) ( ) ] j j cos ( ) [ ( ) ( ) ] 周 期 信 号 的 离 散 频 谱 卷 积 关 系 是 故 有 f ( ) F( jn ) F ( jn ) F ( jn ) AB F jn e e 4 j ( ) j ( ( ) [ ( ) ( ) ) ] AB f ( ) cos w ( ) 则 得 及 相 关 函 数 为 3

31 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: AB R( ) cos w ( ) ( 注 意 相 关 函 数 的 中 心 位 置 与 卷 积 是 不 同 的 ; 以 及 周 期 相 关 函 数 与 周 期 卷 积 定 义 中 积 分 前 系 数, 将 导 致 重 要 的 差 别 ) C, 简 谐 信 号 与 其 它 信 号 的 卷 积 jw ( j y) F( j) e F( jy) l dy jw jy e F( y) e dy j f ( ) e j j( ) F( j)* e F( j) l d jw j e F( j) l d j F( j) e D, 不 存 在 L 或 Z 的 双 边 信 号, 可 试 用 Fourier 变 换 求 解 卷 积, a b e u() 和 e u( ) a e u() L s a b e u( ) L b s 的 卷 积, 因 有 如 果 a>b, 则 f() 不 存 在 L, 作 卷 积 就 不 好 办 但 a e u() L j a b e u( ) L b j a b 3

32 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: a b f ( ) e u( ) e u( ) ja b j ( b a e e ) ab 对 离 散 信 号 ( ) n ( ) z f n a u n z a z a ( ) n ( ) z f n b u n b z z b 如 果 a b, 则 没 有 Z 变 换 这 时 可 用 F 求 解 除 以 上 情 况 外, 对 连 续 信 号 用 L, 离 散 信 号 用 Z 求 解 具 体 反 变 换 在 下 面 的 变 换 中 讨 论 ),Laplace ransform 3),Z ransform 3, 相 关 函 数 结 果 与 卷 积 的 区 别 信 号 的 相 关 函 数 在 计 算 方 法 和 信 号 卷 积 类 似, 如 两 个 信 号 的 线 性 卷 积 为 f ( ) f ( n)* f ( n) f ( ) f ( ) d f ( n) f ( n)* f ( n) f ( m) f ( n m) m 而 两 个 信 号 的 相 关 函 数, 是 先 将 一 个 信 号 时 间 倒 转 后, 再 求 卷 积, 即 有 3

33 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: R( ) f ( )* f ( ) f ( ) f ( ) d R( m) f ( m)* f ( m) f ( n) f ( n m) n 由 上 面 的 关 系 式 可 知, 相 关 函 数 的 计 算 虽 然 是 化 为 卷 积, 但 相 关 要 先 将 一 个 信 号 时 间 倒 转, 故 有 f ( ) f ( )* f ( ) F ( jw) F ( jw) l j[ ( jw) ( jw)] f () A 卷 积 图 C f () B 相 关 图 D 而 实 信 号 的 相 关 为 R( ) f ( )* f ( ) F ( jw) F ( jw) l j[ ( jw) ( jw)] 可 见 对 实 信 号 来 说, f() R() 的 相 位 谱 不 同, 前 者 是 相 加 ; 后 者 是 相 减, 所 以 两 个 实 信 号 的 卷 积 和 相 关 函 数 之 间, 波 形 相 同 ( 对 周 期 函 数 相 关, 幅 度 还 有 差 ) 但 位 置 不 同 例 如 ( 注 ra 是 rapegoid 的 字 头, 表 梯 形 ) f Arec Brec ( ) ( )* ( ) 33

34 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ABC ra(,, ) 其 中,, + 分 别 是 梯 形 上 底 下 底 和 中 心 位 置 上 面 A B 两 图 波 形 信 号 的 卷 积 如 C 图 所 示, 其 梯 形 中 心 是 两 个 矩 形 中 心 之 和 ; 而 相 关 是 图 D 所 示, 其 梯 形 中 心 是 两 矩 形 中 心 位 置 之 差 4, 循 环 卷 积 和 循 环 相 关 循 环 卷 积 和 循 环 相 关 是 两 个 能 量 ( 也 可 是 一 个 自 身 ) 信 号 的 卷 积 或 相 关, 它 与 线 性 卷 积 有 着 严 格 的 区 别, 但 也 有 内 在 的 联 系 ; 它 在 象 数 学 计 ( 离 散 数 值 ) 算 上, 能 够 表 示 成 矩 阵 形 式, 计 算 机 语 言 编 程 就 较 方 便 ), 连 续 ( 能 量 型 ) 信 号 的 循 环 卷 积 两 个 连 续 信 号 的 持 续 期 相 等 ( 可 以 零 值 补 充 ) 的 能 量 型 信 号, 它 们 的 循 环 卷 积 为 fc(), 下 标 c 表 示 循 环 卷 积 f ( ) f ( ) f ( ) d c 34

35 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f() f(-) 循 环 位 移 f(-) 线 性 位 移 图 C 这 里 除 了 积 分 区 间 与 线 性 卷 积 不 同 外, 而 且 位 移 也 不 是 线 性 位 移 而 是 循 环 位 移, 循 环 位 移 整 个 信 号 位 置 不 变, 只 是 信 号 内 位 置 的 变 动, 如 下 图 C 中 信 号 经 循 环 时 移 = 后 的 波 形, 其 信 号 波 形 在 时 间 轴 上 的 位 置 不 变, 但 波 形 形 状 发 生 了 变 化 连 续 循 环 卷 积 ( 或 循 环 相 关 函 数, 下 同 ) 的 计 算, 是 将 两 个 信 号 的 持 续 期 延 成 相 等, 再 延 拓 成 周 期 信 号, 像 前 面 计 算 周 期 卷 积 一 样, 计 算 出 延 拓 后 信 号 的 周 期 卷 积, 再 取 ~ 的 主 周 期 值, 则 为 循 环 卷 积 例 如 下 图 两 个 信 号 的 循 环 卷 积 f ( ) Arec( ) f( ) B cos ( ) 4 首 先 将 两 个 信 号 延 拓 成 以 =4 的 周 期 信 号, 则 有 A f ( ) f ( ) ( ) F ( jn ) sin c e ( n ) j

36 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: B j j f ( ) f( ) 4 ( ) F ( jn ) [ e ( ) e ( )] f () 4 f () A 4 由 离 散 频 谱 的 巻 积 性 质 有 f ( )* f ( ) F( jn ) F( jn ) 4 4 AB j( ) AB j( ) sin c e ( ) sin c e ( ) 8 8 AB j AB j 4 4 e ( ) e ( ) 4 4 AB AB 4 4 j( ) ( j ) 4 4 e e AB s( ) ), 两 个 能 量 型 离 散 信 号 卷 积 计 算 所 给 两 个 离 散 能 量 信 号 f ( n ),n=., N 和 f ( n ),n=., m, 求 其 循 环 卷 积, 离 散 间 隔 相 同 首 先 将 两 个 信 号 中 长 度 M 或 N( 设 M<N) 中 小 的 一 个 加 零 延 长 至 长 的 一 个 长 度 N 36

37 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 其 次 如 果 要 用 变 换 法, 则 只 能 用 DF 的 卷 积 性 质 ( 不 能 用 Z L, 因 为 Z L 的 卷 积 性 质 是 对 线 性 卷 积 的 ) 计 算 ( 三 步 法 : 第 一 步 求 两 个 信 号 的 DF; 第 二 步 求 两 个 信 号 的 DF 的 乘 积 ; 第 三 步 求 乘 积 的 IDF) 其 循 环 卷 积 当 然 也 可 用 直 接 法 计 算 例 如 信 号 f ( n ) = a n (a>),n=., N 和 信 号 f ( n ) =,n=., N, 求 它 们 的 循 环 卷 积, 按 照 三 步 法 有 ( aw ) f ( n) F ( k) a W ( aw ) N N k N n kn k n N N N k n n awn N kn w f( n) F( k) wn w n kn N k N k N kn ( awn) wn F( k) F( k) F( k) k k aw w 由 上 可 见, 用 DF 在 求 反 变 换, 也 不 能 简 易 得 到 结 果 必 要 时 也 可 用 矩 阵 表 示 如 本 例 可 先 N N 定 义 f n a a a ( ) [,,,, N ] f ( n) [,,,,] F ( k) [ F (), F (),, F ( N )] W N F ( k) [ F (), F (),, F ( N )] W, W,, W...( N ) N N N.. ( N ) N, N,, N W W W W N W, W,, W...( N ) N N N.. ( N ) N, N,, N W W W W, W,, W ( N ). ( N ). ( N ) N N N W, W,, W ( N ). ( N ). ( N ) N N N f ( n) [ f (), f (),, f ( N )] F ( k) W f ( n) N 则 有 N F( k) F ( k) F ( k) F ( k) W f ( n) 37

38 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f n W F k F k N ( ) N ( ) ( ) 信 号 f ( n ) 是 恒 定 幅 度 信 号, 周 期 延 拓 后 成 一 整 个 时 间 范 围 内 部 都 是 恒 定 幅 度 ; 而 f ( n ) 又 是 一 等 比 序 列 f ( n ) 与 f ( n ) 的 任 何 位 移 在 周 期 N 内 相 乘 都 是 有 限 长 的 等 比 序 列, 便 于 求 和 所 以 本 例 采 用 直 线 法 较 为 简 便, 结 果 也 很 简 洁 N f ( n) f ( m) f ( n m) m N a m m a N a 3), 两 个 数 值 序 列 的 循 环 卷 积 数 值 序 列 的 循 环 卷 积 可 用 矩 阵 计 算 所 给 两 个 数 值 序 列 长 度 不 一 样 时, 首 先 要 在 较 短 序 列 后 加 零 延 长 到 两 个 序 列 长 度 相 等 并 且 位 于 同 一 时 间 区 段 内 数 值 卷 积 的 计 算 是 将 卷 积 排 列 成 矩 阵 相 乘, 其 规 则 为 f ( n) f ( n)* f ( n) f ( n ) 或 f ( n ) 排 列 方 阵, 其 规 则 为 n,,,, N f ( n) [ f (), f ()., f ( N )] f ( n) [ f (), f ( N )., f ()] f ( n) [ f (), f ( N )., f ()] f (), f (),, f ( N ), f (), f (),, f (), W f (), f (3),, f (), f (), f (),, f ( N ), f (), f (),, f (), W f (), f (3),, f (), f ( N ), f (),, f ( N ), f ( N ), f (),, f ( N ), 38

39 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 其 循 环 卷 积 为 如 信 号 f ( n) W f ( n) W f ( n) f ( ) n [5,3,] f ( ) n [6,5,3,] 须 将 f ( n ) 延 拓 成 f ( ) n [5,3,,] f ( n) f ( n)* f ( n) 则 有 f () 5, 3,, 6 4 f () 3,,, 5 47 f (),, 5, f (3), 5, 3, 5 9 6, 5, 3, 5 4 5, 3,, ,, 6, 5 4, 6, 5, 或 4), 用 循 环 卷 积 计 算 线 性 卷 积 用 循 环 卷 积 计 算 线 性 卷 积, 将 相 卷 积 的 两 个 信 号 加 零 延 拓 成 两 信 号 长 度 之 和 减 如 上 例 f ( n) [5,3,] [5,3,,,,] f ( n) [6,5,3,] [6,5,3,,,] 下 面 分 别 列 出 矩 阵 法 式 和 竖 式 乘 法 结 果 39

40 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f () 5, 3,,,, 6 3 f () 3,,,,, 5 43 f (),,,, 5, 3 4 f (3),,, 5, 3, 9 f (4),, 5, 3,, 3 f (5), 5, 3,,, 5 4 5, 3,,,, 6, 5, 3,,,,,,,,,,,,,,,, 6, 4,,,, 5, 9, 6,,,, 5, 5,,,,, 3, 8,,,,, 3, 43, 4 9, 4,,,,, 由 上 可 见, 两 种 计 算 方 法 所 得 结 果 完 全 相 同 5), 要 特 别 指 出 的 问 题 在 结 束 卷 积 与 相 关 运 算 时, 要 特 别 指 出 的 是 : 第 一, 卷 积 分 线 性 卷 积 与 周 期 卷 积 和 循 环 卷 积 三 种, 彼 此 是 有 区 别 的 表 现 在 作 卷 积 或 相 关 的 信 号 类 型 积 分 或 求 和 的 区 间 ; 位 移 的 类 型 ; 结 果 的 区 别 这 四 个 方 面 ; 第 二, 循 环 卷 积 与 线 性 卷 积 有 一 定 的 联 系, 在 计 算 机 上 能 较 方 面 的 用 循 环 卷 积 计 算 现 性 4

41 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 卷 积 ; 第 三, 卷 积 或 相 关 与 谱 的 关 系 是 :. 线 性 卷 积 f( )* f( ) S( jw) S( jw) 是 频 谱 密 度 的 关 系. 周 期 卷 积 f ( )* f ( ) S( jnw ) S( jnw ) 是 离 散 频 谱 的 关 系 3. 相 关 函 数 R( ) E( ) 4. 周 期 信 号 的 功 率 谱 密 度 或 P( ) 是 能 量 或 功 率 谱 密 度 的 关 系 P( ) s( jn ) ( 离 散 频 谱 ) n 5. 周 期 信 号 的 周 期 相 关 函 数 与 周 期 卷 积, 其 幅 度 相 差 一 个 系 数 因 为 周 期 相 关 函 数 是 定 义 为 R( ) f( ) f( ) d 第 四, 关 于 一 些 特 殊 的 卷 积 A, 能 量 型 信 号 的 卷 积. 持 续 期 有 限 的 能 量 型 信 号 卷 积 f ( ), 持 续 期, f ( ) 持 续 期, 结 果 的 持 续 期 为 3 ) f ( n m ), 持 续 期 N, f( n m) 持 续 期 M, 则 ) f ( n m ) f ( n m ) f ( n m m ) 持 续 期 L M N 3. 持 续 期 无 限 的 能 量 型 信 号 的 卷 积 a a b Sinca, e, e u( ), e u( ),, n 及 sin cb n, nu( n), a u( n), a n 等. * ( jsgn( w)), 故 * ( ) 其 中 4

42 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 是 难 于 求 解 的 e a u( )* e b u( ), a n u( )* a n u( ) B, 功 率 型 信 号 的 卷 积. 无 限 持 续 期 功 率 型 信 号 的 卷 积 )sgn()*sgn() )sgn(n)*sgn(n) 3)c*c 4) 周 期 卷 积. 半 轴 功 率 型 信 号 的 卷 积 )u()* u()= u(), u(n)* u(n)= (n+)u(n) )u()* u(-)= u(-) u(-n)* u(-n)= (-n+)u(-n) 3)u()* u(-)= u(m)* u(-n)= C, 功 率 型 信 号 与 能 量 型 信 号 的 卷 积 条 件 : 功 率 型 信 慢 变 化, 能 量 型 信 号 持 续 期 很 短, 即 有 而 周 期 卷 积 则 定 义 为 f ( )* f ( ) Af ( ) P E p, A fe () d / f ( ) f ( ) f ( ) d 3 / 由 此 可 见, 相 关 函 数 不 仅 要 将 一 个 信 号 时 间 倒 转 后 再 求 卷 积, 而 且 幅 度 相 差 一 个 系 数 ( 周 期 ) Ⅲ, 信 号 的 积 分 运 算 4

43 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 有 些 信 号 的 积 分 比 较 繁 杂, 可 以 用 信 号 分 析 中 有 关 方 法 大 大 简 化 积 分 计 算 常 见 的 积 分 有 两 类 ; 一 类 是 参 量 积 分 ; 另 一 类 是 定 积 分, 参 量 积 分, 参 量 积 分 结 果 是 积 分 限 的 函 数, 计 算 时 将 其 化 为 卷 积 运 算 求 解, 即 有 f ( ) d f ( )* u( ) 例 如 已 知 g () 的 频 谱 密 度 为 G( j ), 求 的 频 谱 密 度 F( j ) f ( ) g( b) d 设 - =, 则 有 d = d; 当 = 时, 积 分 下 限 变 成 =, 当, 积 分 上 限 变 成, 代 入 上 式 则 得 ( 上, 下 限 交 换 反 号 与 d 中 负 号 相 乘 ) 故 得 g( b) d g( b) d g( b)* u( ) jb f ( ) F( j) G( j) e ( ) j G() ( w) j G( jw) l w jbw 注 : 此 形 式 是 (, ) 区 间 上 的 定 积 分, 但 被 积 函 数 中 有 与 积 分 无 关 的 参 量, 所 以 是 参 量 积 分, 将 其 化 为 标 准 参 量 积 分 求 解, 持 续 在 区 间 (a,b) 上 函 数 的 定 积 分, 如 b f () d, a 43

44 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 或 Asin c5 ( ) d. Arec( ) l j 其 特 点 是 被 积 函 是 一 次 方, 不 能 用 parserval 定 理 这 种 情 况 如 被 积 函 数 是 时 间 函 数, 则 用 频 谱 密 度 在 的 方 法 处 理 如 及 b b a a j o f ( ) d f ( ) e d F( j) F() Asin c5 ( ) d. Arec( ) l j 如 被 积 函 数 是 频 频 函 数, 则 用 Fourier 反 变 换 处 理, 如 因 j d = ( ) a a a a a e a e d a a 故 有 d e a a a j 又 如 求 f () F( j ) e d F( j ) d ( 谱 密 度 的 积 分 ) j 及 时 F() f ( ) e d f ( ) d ( 信 号 的 积 分 ) 由 以 上 两 例 可 见, 利 用 频 谱 密 度 的 关 系, 可 以 简 单 地 计 算 出 难 度 很 大 的 积 分 3, 持 续 在 区 间 (a,b) 上 函 数 平 方 的 积 分 如 b a f () d 或 b F ( j ) d a 往 往 是 难 于 用 普 通 方 法 得 到 结 果 的, 但 可 用 Parserval 定 理 处 理 这 种 问 题 分 三 种 情 况 : 44

45 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: A, 第 一 种 情 况 被 积 函 数 是 能 量 型 函 数, 这 时 有 例 如 E f ( ) d F( jw) dw E Asin ca( ) d? 因 为 Asinca( ) 则 有 A rec ( ) e a a j A A E( w) ( ) rec( ) R( ) sin ca a a a A Asin ca( ) d ( ) rec( ) d a a A A a a a R() 又 例 如 因 为 4 sin a 4 d sin a a rec( ) a a ( 注 : Ari( ) f ( ) rec( )* rec( ) a a p a a 4 a a 4 4 sin a a a F( j) ri( ) a a 表 示 高 为 A, 底 为 p, 中 心 位 于 的 等 腰 三 角 形 波 ) 则 有 sin a a d ri( ) d a

46 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: a 4 [4 ( ) d] a ( 下 图 ) 3 a a 4 [ a ] a a f () ) / -a a a/ a 4 f ( ) f ( ) -a -a a a f () / a [ ] 4 [ [ f ( ) f ( )] -a a -a -a a a 当 a= 时, 有 4 sin 4 d -a -a a a 3 类 似 有 sin a d a sin d ( a ) 而 sin a sin a j d e d rec( ) a 46

47 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: B, 第 二 种 情 况 f() 是 功 率 性 信 号 周 期 信 号 的 功 率 谱 密 度 P(w) 与 离 散 频 谱 间 有 P( ) F( jn ) ( n ) n 周 期 信 号 的 平 均 功 率 P 与 P(w) 间 的 关 系 符 合 parselval 定 理 P P( ) d f ( ) d 例 如 : 求 信 号 f ( ) Asin ( ) 的 功 率 谱 密 度 和 平 均 功 率 因 为 f() 的 离 散 频 谱 F( jn ) 为 A F( jnw ) ( ) ( ) e j j j A F( jn ) ( ) ( ) 4 A P( ) ( ) ( ) A P ( ) ( ) Asin w ( ) d A A A 4 4 对 于 相 关 函 数 F R( ) P( ) ( 注 意 这 里 F 不 是 FS), 则 有 jw jw R() A e A e cos A w 47

48 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f () f() C. 非 周 期 功 率 型 信 号 的 功 率 频 谱 密 度 和 功 率 在 信 号 与 系 统 中, 常 用 的 非 周 期 功 率 型 信 号 有 u(),sgn(), n n, a, l (a>) 这 种 情 况 下 注 意 两 点 : E ( w) 第 一, 它 们 的 功 率 密 度 P(w) 为 Pw ( ) lim 其 中 E ( w ) 是 截 取 一 段 长 度 的 信 号 f () ( 上 图 所 示 ) f () 是 能 量 型 信 号, E ( w ) = F ( jw ) 是 能 量 频 谱 密 度, 对 于 这 些 信 号, 只 能 得 到 表 达 式, 一 般 无 确 定 的 解 析 表 示 式 在 工 程 上, 是 用 其 他 方 法, 第 二, 他 们 的 平 均 功 率 P 为 P lim f ( ) d ( ) P d Ⅳ, 信 号 与 函 数 间 的 有 关 运 算 信 号 的 重 要 关 系, 基 于 有 比 例 位 移 时 间 反 转 ( ) ( ); ( a) ( ) a b b ( a b) [ a( ) [ a( ) a a b ( ) a a ( 3 ) [( )( )] ( ) ( ),, 基 于 ( ) ( ) 有 48

49 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f d f, ( ) ( ) ( ),, b, b ( a b) [ a( ) [ a( ) a a, b ( ) a a,,, f ( ) ( ) f () ( ) f () ( ), d ( ) ( ), ( ) d f f,, ( ) ( ) ( ) 函 数 与 信 号 的 运 算, 要 特 别 注 意 以 下 几 种 情 况, 与 信 号 相 乘 的 积 分 运 算 A, f ( ) ( ) d a, a或 b ( ), b a B, ( ) d b f a b ( ), f a 或 b, a b 或 a, a b, b, b, 函 数 的 微 分 与 信 号 间 的 运 算 A. ( n) n ( n) f ( ) ( ) d ( ) f ( ) ( ) d B. d ( ) ( ) C. f ( ) ( ) f () ( ) f () ( ) 3, 函 数 的 比 例 运 算 A. ( a) ( ) a 49

50 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: B. ( a) ( ) a 4, 函 数 与 信 号 的 卷 积 运 算 f ( )* ( ) f ( ) A. B. f ( ) f ( )* ( ), f () 周 期 信 号 f () 的 一 个 周 期 波 形 5, 函 数 位 置 运 算 A. ( ) ( ) ( ), 在 处, 有 存 在. B. (sin ) ( n ). sin n, 即 n 处, 存 在. n 6, 周 期 信 号 的 函 数 表 示 一 切 周 期 信 号 可 表 示 为 f ( ) f ( ) ( ) p 其 中 fp() 表 示 周 期 信 号, f () 是 周 期 信 号 的 一 个 周 期 Ⅴ, 信 号 的 比 例 反 折 时 移 联 合 运 算 这 种 问 题 是 作 图, 完 成 这 种 题 第 一 是 置 换 时 间 ; 第 二 是 置 换 顺 序 ; 第 三 比 例, 反 折, 时 移 均 以 坐 标 原 点 为 基 础 有 三 种 类 型 的 问 题, 下 面 分 别 讨 论, 给 定 信 号 f() 或 f( n ) 的 波 形, 求 f ( a b) 或 f ( an m) 的 波 形 5

51 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 第 一 置 换 顺 序 : 用 位 移 反 折 比 例 较 简 便 ( 先 + - 号, 后 乘 号 ) 第 二 逐 步 置 换 首 先, 用 -b 置 换 f() 的 如 b>, 将 f() 波 形 的 原 点 向 右 移 动 到 b 处 ; 如 b<, 将 f() 波 形 的 原 点 左 移 至 -b 处 得 f(-b) 波 形 其 次, 用 - 置 换 f(-b) 的 即 将 f(-b) 的 波 形, 以 纵 坐 标 为 基 准 反 折 ( 或 旋 转 8 ), 得 到 f(--b) 波 形 最 后, 用 a( 设 为 正 ) 置 换 f(--b) 中 的 当 a> 时, 将 f(--b) 时 间 轴 压 缩 a 倍, 当 a<, 将 f(--b) 扩 大 a 倍 无 论 是 压 缩 还 是 扩 大, 都 必 须 以 坐 标 原 点 为 基 准 例 如 一 己 知 信 号 如 下 图 A 所 示, 求 信 号 f(--3) 的 波 形 以 -3 置 换 f() 图 A 图 B f(-3) 图 C 以 - 换 以 换 图 D f(--3) f(--3) 注 意 D 的 坐 标 单 位 与 A B C 三 图 不 同, 所 以 波 形 显 得 较 窄, 由 已 经 位 移 反 折 比 例 运 算 的 信 号 求 原 信 号 即 已 知 f(-a-b) 的 波 形, 求 f() 第 一, 置 换 顺 序 : 用 比 例 反 折 位 移 较 简 便 ( 先 乘 号, 后 + - 号 ) 与 ) 相 反, 这 5

52 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 样 的 顺 序 与 由 f() 求 f(-a-b) 相 反 ; 但 问 题 也 是 相 反, 便 于 记 忆 第 二, 逐 步 置 换 首 先, 用 a 置 换 f(-a-b) 中 的, 根 据 的 值 是 大 于 还 是 小 于, 对 波 形 f(-a-b) 进 行 时 间 a 轴 放 大 (a>) 或 压 缩 (a<), 得 f(--b) 波 形 其 次, 用 - 置 换 f(--b) 中 的, 对 f(--b) 波 形 进 行 反 折, 得 f(-b) 波 形 最 后, 用 +b 置 换 f(-b) 的, 当 b> 时, 左 移 b; 当 b<, 右 移 b, 得 到 f() 的 波 形 例 : 已 知 信 号 f() 经 运 算 后 的 波 形 f(-+5) 如 图 A 所 示, 求 f() 的 波 形 ( 3) f(-+5) ( 3) ( 6) 4 ( 6) f(+5) 用 - 换 ( ) f() f(-+5) 用 /换 用 -5 换 这 个 例 题 中, 包 含 函 数, 它 在 作 比 例 变 化 时, 其 强 度 要 发 生 变 化 从 这 个 例 中, 可 看 到 由 f(-a-b)( 比 例 中 b 为 -5) 求 f() 与 由 f() 求 f(-c-d) 其 顺 序 和 运 算 ( 此 例 位 移 强 度 ) 是 互 逆 的 3, 由 已 知 f(-a-b)( a b 可 为 正 负 数 ) 的 波 形, 求 f(-c-d)( c,d 可 为 正 负 数 ) 的 波 形 5

53 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 这 种 情 况 最 稳 妥 的 方 法, 是 分 为 两 步 进 行 第 一 步, 按 照 上 面 ) 的 方 法, 由 f(-a-b) 求 到 f() 的 波 形 ; 第 二 步, 按 照 上 面 ) 的 方 法, 再 有 f() 求 到 f(-c-d) 的 波 形 最 后, 要 特 别 注 意 的 是 : 一 是 信 号 时 移 比 例 反 折 的 运 算, 顺 序 有 多 种, 但 有 些 顺 序 对 公 式 要 作 整 理 交 换, 以 上 所 讲 的 方 法 是 最 简 便 的, 能 可 靠 地 求 到 正 确 结 果 ; 二 是 这 类 问 题 极 易 作 错 Ⅵ, 信 号 能 量 或 功 率 的 计 算 信 号 能 量 或 功 率 是 归 一 化 为 电 信 号 在. 电 阻 上 所 消 耗 的 能 量 或 功 率, 其 计 算 有 如 下 情 况, 能 量 的 计 算 按 照 定 义, 有 E f () d A, 对 于 规 则 几 何 图 形 的 信 号 ( 矩 形 三 角 形 ) 可 直 接 在 时 域 积 分 求 得, 例 如 f ( ) Arec( ) 又 如 / / E A d A / / A f ( ) ARi( ) p 53

54 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: A E d [ ( )] p p p B, 一 般 情 况, 仍 应 用 parselval 定 理 筒 化 其 计 算 如 己 知 相 关 函 数, 则 有, 功 率 的 计 算 E R() A, 简 谐 信 号 f ( ) Acos( ) or Asin( ) P B,Simple Side Fourier Series A f ( ) [ a cos b sin ] n n ( n n ) n P a b n 总 功 率 ( k k k ) C,Double Side Fourier Series p a b 第 k 次 谐 波 的 功 率, f ( ) C cos[ n ( )] P n n C k k k n n 总 功 率 P =C +C 第 k 次 谐 波 功 率 D,Discree Specrum / jn F( jn ) f ( ) e d / P n S( jn ) 54

55 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: E,Coninous Specrum Densiy( 同 一 个 周 期 信 号 ) f ( ) F( j) F( jn ) p F( j) d n F( j) 例 如 f ( ) Acos 单 边 FS A A f ( ) cos( ) cos( ) 双 边 FS A f ( ) F( jn ) [ ( ) ( )] D.S. f ( ) F( j) A[ ( ) ( )] C.S.D. P( n ) F( jn ) A [ ( ) ( )]) n ( 功 率 谱 密 度 ~~ P R() ) P P n P d 用 各 种 公 式 计 算, 所 得 结 果 均 为 ( ) ( ) n 总 功 率 f ( ) Acos P A Ⅶ, 周 期 信 号 的 运 算, 周 期 信 号 及 其 特 点 周 期 信 号 的 表 示 形 式 ( 文 字 叙 述, 数 学 公 玉, 波 形 ) 以 基 本 波 形 f( ) / f( n ), 周 而 复 始 无 限 循 环 形 成 的 信 号, 称 为 周 期 信 号, 用 数 学 55

56 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 公 式 可 表 示 为 : ), f ( ) f ( n); (, ); n,,, ; 常 数, 称 为 周 期, f 称 为 频 率 (Coninuous Case) f ( n) f ( n in ); n,, ; i,, ; N 常 数, 称 为 周 期, f N 称 为 频 率 (Discree Case) ), f ( ) f( ) ( ) f( ) ( n ) 其 中 f () 是 一 个 周 期 的 波 形 f ( n ) f ( n ) ( n) f ( n) ( n in ) N 是 离 散 间 隔,N 是 周 期 其 中 f ( n ) 是 一 个 周 期 的 波 形 i 用 信 号 波 形 ( 以 连 续 时 间 信 号 为 例 ) 可 表 示 为 : f() f () - 周 期 信 号 的 离 散 谱 谱 密 度 都 是 离 散 的 f ( ) ( ) ( ) p f n ( f () 是 一 个 周 期 ) 因 为 有 n 故 有 f p( ) Fp( j) F ( j) ( k ) 这 是 以 k 的 离 散 函 数 ~~~~ 离 散 周 期 信 号 可 类 似 证 明 为 间 隔 周 期 信 号 的 谱 密 度 与 离 散 谱 的 异 同 周 期 信 号 的 频 谱 密 度 与 其 离 散 频 谱 的 不 同 点 是 : ), 前 者 为 后 者 的 倍 ; ), 前 者 单 位 为 信 号 单 位 秒 或 信 号 单 位 / 赫 芝 ; 后 者 单 位 为 信 号 单 位 周 期 信 号 的 频 谱 密 度 与 其 离 散 频 谱 的 相 似 点 是 : 二 者 在 轴 上 都 是 离 散 的 56

57 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 离 散 信 号 的 谱 密 度 是 周 期 的 这 是 以 因 为 有 f ( n ) f ( ) ( n ) 故 有 n j f ( n ) F( e ) F( j) ( k ) k 为 周 期 的 周 期 函 数, 周 期 信 号 基 本 运 算 汇 集 ), 单 个 连 续 周 期 信 号 参 数 的 计 算 ( 公 式 ; 自 变 量 定 义 域 ; 重 复 间 隔 ; 重 复 次 数 n) ( cos( ); sin( ); j A A e ) ; ( n ); A n 周 期 ; 频 率 ; 角 频 率 ; 相 位 ; 初 相 位 例 Ⅰ: 5 o 5 5 cos( 3 ); ; f Hz;.s 例 Ⅱ: f ( ) cos ; ; 5 例 Ⅲ: 3 ;. 3 j3 ( ) f ( ) e ; ), 单 个 离 散 周 期 信 号 参 数 的 计 算 ( 公 式 ; 自 变 量 定 义 域 ; 重 复 间 隔 ; 重 复 次 数 n) A n A n e j ( n cos( ) ); sin( ); ; n ( n N ). 周 期 ; 频 率 ; 角 频 率 ; 相 位 ; 初 相 位 ( 与 原 连 续 区 别 ) 例 Ⅰ: 57

58 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: o 4cos( n3 );( 离 散 间 隔 ); 3 5 ; N= N 3 只 有 经 历 5个 原 周 期, 使 N= 6成 为 整 数, 才 是 离 散 周 期 信 号 离 散 信 号 的 周 期 N ( ) 6 s; f Hz; 6 例 Ⅱ: cos cos cos n n ( cosn 不 是 周 期 信 号 ) 3), 连 续 周 期 信 号 的 FS;DS;F; FS~~ f ( ) [ f ( ) e d] e n / j n j n / ( 时 间 的 函 数 ) / j n DS~~ F( j n) [ f ( ) e d] ( n 的 函 数 ) / F~~ / / j [ f ( ) e d] ( k) k ( 因 为 f ( ) ( ) ( ) p f n ) ( 离 散 性 之 根 源 ) n (), 五 个 典 型 信 号 的 FS( 基 本 形 式 ; 复 简 谐 形 式 ); Acos( ) cos cos sin sin ( 基 本 形 式 FS) A e e e e j j j j [ ] ( 复 数 形 式 FS) A j j C( jk) [ e ( ) e ( )] ( 离 散 频 谱 ) j j F( j) A[[ e ( ) e ( )] ( 连 续 谱 密 度 ) 58

59 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: Asin( ) cos sin sin cos ( 基 本 形 式 FS) A e e e e j j j j j [ ] ( 复 数 形 式 FS) A j j C( jk) [ e ( ) e ( )] ( 离 散 频 谱 ) j j j F( j) j A[[ e ( ) e ( )] ( 连 续 谱 密 度 ) j( ) Ae A j C jk [cos( ) sin( )] [cos cos sin sin ] j[cos sin sin cos ] [cos j sin ]cos [sin j cos ]sin i j Ae e ( 复 数 形 式 FS) ( ) A[ e j ( ) F j ( 离 散 频 谱 ) ( ) Ae j ( ) ( 连 续 谱 密 度 ) A A A ( ) [ cosk cos k sin k sin k k A e ( 基 本 形 式 FS) j k e j k. ( 复 数 形 式 FS) k A C jk e k ( 离 散 频 谱 ) k j ( ) ( ) A F j e k j ( ) ( ) ( 连 续 谱 密 度 ) k j A Ae A ( 基 本 形 式 FS) A. ( 复 数 形 式 FS) 59

60 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: C( jk ) A ( ) F( j) A ( ) ( 离 散 频 谱 ) ( 连 续 谱 密 度 ) (), 其 它 七 个 典 型 信 号 的 周 期 重 复 ~~ Sep: 先 求 单 个 周 期 信 号 f () 的 频 谱 密 度 ; Sep: 求 周 期 信 号 的 频 谱 密 度, 用 公 式 f ( ) f ( ) ( ) F ( j) ( k ) F ( j) p p k Sep3: 求 周 期 信 号 的 离 散 频 谱, 用 公 式 C( jk) Fp ( j). Sep4: 求 周 期 信 号 的 复 FS, 用 公 式 f p C jk e ( ) ( ) j k k 求 周 期 信 号 的 余 弦 形 式 FS, 用 公 式 j k j k k k f ( ) C( jk ) C( jk ) e C( jk ) e p C() C( jk )cos k k 若 将 C( jk ) 的 模 和 相 位 分 别 代 入, 可 得 基 本 形 式 4), 离 散 周 期 信 号 的 FS;DS;F; 首 先 确 定 是 否 是 周 期 信 号? 其 次 确 定 周 期 变 成 了 多 少? FS~~ N f ( n ) [ f ( n ) ] e N n n j k n j k n N N ( 时 间 n 函 数 ) 6

61 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: N j kn DS~~ N F( j n) [ f ( n ) e ] N ( k 的 函 数 ; 周 期 性 ) N n N j n F~~[ f ( n ) e ] ( k) n ( 因 为 k f ( ) ( ) ( ) p f n ( 离 散 性 之 根 源 ) ) n 5), 周 期 信 号 的 线 性 与 非 线 性 运 算 对 连 续 周 期 信 号 只 须 先 判 定 线 性 运 算 后 是 否 还 是 周 期 信 号 对 离 散 周 期 信 号 则 须 : 首 先 判 断 离 散 信 号 本 身 是 否 还 是 周 期 信 号 ; 其 次 判 断 离 散 信 号 本 身 的 周 期 ( 注 意 与 连 续 函 数 的 周 期 的 区 别 ); 再 判 定 线 性 运 算 后 是 否 还 是 周 期 信 号 周 期 信 号 线 性 组 合 形 成 的 信 号 的 周 期 性 及 周 期 值 的 确 定, f ( ) f ( ) f ( ) 判 断 f() 是 否 是 周 期 信 号, 需 计 算 C 或 C 是 否 是 有 理 数 ( 正 负 整 数 或 分 数 ); 若 C 或 C 是 有 理 数, 则 f() 是 周 期 信 号, 其 周 期 值 为 的 最 小 公 倍 数,( 类 似 可 得 f() 的 频 率 是 f( ), f( ) 频 率 的 最 大 公 约 数 ); 若 C 或 C 是 无 理 数 ( 无 限 不 循 环 小 数, 如 等 ) 则 f() 不 是 周 期 信 号 ( 或 说 周 期 信 号 为 无 限 大 ) 例 如 f ( ) cos5 sin 6

62 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 由 于 cos5 和 sin 都 是 周 期 信 号, 它 们 的 周 期 之 比 ( 也 可 用 频 率 或 角 频 之 率 比 ). 5 是 有 理 数, 故 f() 是 周 期 信 号, 其 周 期 为 (.4 和 的 最 小 公 倍 数 是 ), 又 f ( ) sin cos 其 周 期 分 别 为 和, 其 比 值 为.5, 或, 是 无 理 数, 故 f() 不 是 周 期 信 号, 自 然 无 周 期 可 求 ( 可 见 凡 是 简 谐 信 号 线 性 组 合, 是 每 一 个 简 谐 成 分 均 含 或 以 及 所 有 成 分 均 不 含 或, 才 可 能 组 成 周 期 信 号 ) 例 Ⅰ: 信 号 f ( ) 6cos 伏 特 (), 最 小 周 期 =? cos( ) cos( ) 的 周 期. 的 周 期 比 cos( ) 故 为 (), 频 谱 密 度 F( j)? 的 周 期 小 一 倍, f ( ) 6co s( ) [Re c( ) 6co s( )] ( n) F( j) {sin c 6 [ ( ) n ( )]} ( k) k ( ) ( ) F( j) 6 [sin c sin c ] ( k) k k ( k ) ( k ) 6 [sin c sin c ] k F( jk )? (3), 离 散 频 谱 6

63 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ( k ) ( k ) F( jk) 3 [sin c sin c ] k (4), Complex Fourier Series( 复 付 利 叶 级 数 ) () f? ( k ) ( k ) f ( ) 3 [sin c sin c ] e n (5), 不 计 滤 波 稳 压 电 路 的 损 耗, 能 得 到 多 少 伏 特 直 流 电 压? ( k ) ( k ) V c c e j k 3 [sin sin ] k n 3( ) 幅 度 为 A 时 例 Ⅱ: f ( ) sin 伏 特 A j k (), 最 小 周 期 =? sin( ) sin( ) 的 周 期. 的 周 期 比 sin( ) 故 为 (), 频 谱 密 度 F( j)? 的 周 期 小 一 倍, f ( ) sin( ) [Re c( ) sin( )] ( n) F( j) {sin c j[ ( ) ( )]} ( k) k n ( ) ( ) F( j) j [sin c sin c ] ( k) k k ( k ) ( k ) j [sin c sin c ] k F( jk )? (3), 离 散 频 谱 ( k ) ( k ) F( jk) [sin c sin c ] j k 63

64 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: (4), Complex Fourier Series( 复 付 利 叶 级 数 ) f()? ( k ) ( k ) f ( ) [sin c sin c ] e j n j k (5), 不 计 滤 波 稳 压 电 路 的 损 耗, 能 得 到 多 少 伏 特 直 流 电 压? ( k ) ( k ) V c c e j k [sin sin ] k n j ( ) 幅 度 为 A 时 A 对 连 续 周 期 信 号 只 须 先 判 定 线 性 运 算 后 是 否 还 是 周 期 信 号 若 是, 才 能 求 Fourier Series 或 离 散 频 谱 例 Ⅲ: cos 5 sin 的 周 期 =4 因 为 是 有 理 数 故 cos sin 4; ; 5; 5 是 周 期 信 号 其 周 期 是, 的 最 小 公 倍 数, 即 为 4 对 离 散 周 期 信 号 则 须 : 首 先 判 断 离 散 信 号 本 身 是 否 还 是 周 期 信 号 ; 例 Ⅳ: cos(5 n) sin( n ) cos(5 n) n 5( 设 ) N.4 N 由 于 不 存 在 一 个 整 数 乘 胜 前.4 成 整 数, 故 cos(5 n ) 不 是 离 散 周 期 信 号, 所 以 这 cos(5 n) sin( n ) 不 是 周 期 信 号, 就 不 存 在 Fourier Series 或 离 散 频 谱 其 次 判 断 离 散 信 号 本 身 的 周 期 ( 注 意 与 连 续 函 数 的 周 期 的 区 别 ); 例 Ⅴ: cos n 5n sin 64

65 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 其 中 cos( n) N 4, 即 一 个 周 期 内 有 4 点, 是 离 散 周 期 信 号 N 5 n 5 sin N,8 必 须 连 续 信 号 的 五 个 周 期, 才 能 有 整 数 4 个 N 5 点, 即 离 散 信 号 sin n 的 周 期 为 N 4 再 判 定 线 性 运 算 后 是 否 还 是 周 期 信 号 例 Ⅵ: cos n 5n N 4 sin ; N 4 n 5n 为 有 理 数, 故 cos sin 是 周 期 信 号, 且 N, N 的 最 小 公 倍 数 是 4 它 有 Fourier Series 或 离 散 频 谱 二 信 号 的 频 谱 分 析 Ⅰ, 信 号 频 谱 的 种 类 在 信 号 与 系 统 中, 信 号 的 频 谱 共 有 四 种 ) 离 散 频 谱 周 期 信 号 ( 满 足 狄 利 赫 特 条 件 ) 具 有 离 散 频 谱 / jnw S( jnw ) f ( ) e d, w / / n jnw jnw S jnw e <f() 由 n f ( ) ( ) e 成 分 之 和 组 成 > F jk f n e N jkn D( ) ( ) ( 一 个 周 期 内 有 整 数 个 点 ) N k f n FD jk e ( ) ( ) jk n k ) 连 续 频 谱 密 度 ( 简 称 谱 密 度 ) 信 号 类 型 : 能 量 型 信 号, 周 期 信 号, 部 分 非 周 期 功 率 型 信 号 65

66 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 定 义 : F( jw ) = f () e d jw f() = jw F( j) e dw <f() 仍 由 jw e 组 成 > 意 义 :F(jw) 是 信 号 f() 在 单 位 (HZ) 带 宽 内 的 复 简 谐 波 ( e jw ) 合 成 复 振 幅 ( 振 幅, 初 相 位 ) f() F( jw ) < 对 应 ( 映 射 ) 关 系 > 3) 能 量 谱 密 度 信 号 类 型 : 能 量 型 信 号 定 义 : * E( w) F( jw) F( jw) F ( jw) ( 能 谱 密 度 的 定 义 ) 4) 功 率 谱 密 度 E E( w) dw ( 能 量 与 能 谱 密 度 的 关 系 ) E ( w) F ( jw) F ( jw) < 互 能 谱 > * 信 号 类 型 : 功 率 型 信 号 定 义 : P( w) lim E ( w) ( 功 率 谱 密 度 的 定 义 ) 周 期 信 号 : P( w) F( jnw ) ( w nw ) F( jw) ( w nw ) n n P p( w) dw ( 功 率 与 功 率 谱 密 度 的 关 系 ) Ⅱ, 频 谱 密 度 的 计 算 由 于 能 量 谱 密 度 和 功 率 谱 密 度 都 是 通 过 频 谱 密 度 定 义 的 ; 而 离 散 频 谱 与 连 续 频 谱 密 度 有 固 定 的 关 系, 即 对 于 同 一 个 周 期 信 号 f() 或 f(n) 来 说, 它 的 离 散 频 谱 F(jnw ) 与 连 续 频 谱 密 度 F(jw) 有 F(jw)= F(jn w ) nw =w 所 以 频 谱 的 计 算, 归 结 为 频 谱 密 度 的 计 算 66

67 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ:656674, 直 接 计 算 法 直 接 计 算 法 就 是 按 照 频 谱 密 度 的 定 义 F(jw)= () f e 及 FD ( j ) = f ( n ) e n j jwn d 进 行 积 分 或 求 和 这 种 方 法 只 在 几 种 简 单 信 号 情 况 下, 才 能 得 到 简 明 结 果 这 几 种 情 况 是 f() = = = A Re c( ) jw Ae a Ae A ( ) =, 分 解 法 分 解 法 就 是 将 待 求 频 谱 的 信 号 f()( 包 括 f(n), 下 同 ), 分 解 成 典 型 信 号 经 过 十 二 种 ( 频 谱 密 度 的 十 二 条 性 质 ) 运 算 中 的 一 些 运 算 组 成 这 是 最 普 遍 的 方 法, 这 种 方 法 的 基 础 第 一 要 熟 记 典 型 信 号 ( 十 二 个 ) 的 频 谱 密 度 ; 第 二 要 熟 记 频 谱 密 度 的 十 二 条 性 质 ; 第 三 要 熟 练 分 解 A 典 型 信 号 的 频 谱 密 度 ARe c( ) ASinc w e j w ( ) w p / p jw Bsin c Bp Re c[ ] e A ( ) Ae j sgn( ) j 67

68 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: A ( ) A ( n ) A ( W K) e n n jw Ae A w w ( ) j w Acos w A[ ( w w ) ( w w )] Asin w j A[ ( w w )] ( w w ) Ae j A ( ) Au( ) A[ ( w) ], jw [ u( ) ( ) ; ( ) u( jw)] j j Asgn( ) Au( ) Au( ) j ( ) A jw B 频 谱 密 度 的 性 质 L : C f ( ) C F ( ) C F ( jw) C F ( jw) 注 意 线 性 组 合 可 以 是 时 间 上 相 迭 加, 形 成 持 续 期 更 长, 甚 至 成 周 期 信 号, 例 如 : 3 n f ( ) ARe c( ) ARe c( ) 7 n3 及 f ( ) fi( n ), fi( ), (, ) n 成 周 期 信 号 68

69 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: Conjugae : f ( ) F( jw) S.S.I:( 时 移 比 例 时 间 倒 转 ) * *, 则 F F jw ( ) ( ) f ( ) F( jw), 则 w f ( a b) F( j ) e a a b j w a Duaiy:( 对 偶 性 ) f ( ) F( jw) F.S:( 频 移 ), 则 F( ) f ( w) f() F jw ( ), 则 f e j ( ) F[ j( )] Convouion: 线 性 卷 积 f( )* f( ) F ( jw) F ( jw ) f ( ) f ( ) F ( jnw ) F( jnw ) 周 期 卷 积 注 意 这 是 离 散 频 谱 的 关 系, 周 期 相 同, 结 果 仍 是 周 期 信 号 f ( n) f ( n) 循 环 卷 积 F ( k) F ( k ) 注 意 这 里 是 DF; 长 度 相 同, 结 果 的 长 度 也 相 同 Produc: f ( ) f ( ) F( jw)* F( jw) df () Differenial: f() F( jw ), 则 d d f ( ) j F( j) d Inegraion: f ( ) d f ( ) u( ) jwf( jw) F( jw)[ ( w) ] jw f ( ) d F( jw) dw E ( 能 量 ) 69

70 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: Parseral: ( ) ( ) k f d F jnw P ( 平 均 功 率 ) F jnw w nw P w ( 功 率 谱 密 度 ) k ( ) ( ) ( ) C 分 解 方 法 第 一 种, 延 拓 加 窗 法 它 适 合 于 待 分 析 信 号 是 下 图 A 所 示, 由 一 个 基 本 波 形 f () ( 持 续 期 为 (, ), 经 过 有 限 次 重 复 ( 图 中, 右 边 为 包 括 坐 标 原 点 范 围 内 重 复 N+ 次, 左 边 重 复 N 次 ) 而 得 f, () ( 图 除 中 心 外, 两 边 各 有 N 个 ), 它 是 f () 左 右 共 有 N+ 个 次 重 复 而 成 ( 注 意 具 体 情 况, 个 数 要 具 体 确 定 ) f, () f() N A N 图 B 图 首 先 将 两 边 延 拓 到, 形 成 周 期 信 号 f() 为 f ( ) f ( ) ( ) 其 次 再 加 窗 得 到 待 求 信 号 f, (), 即 有 f, ( ) Re c[ ] f ( ) (N ) Re c [ f( )* ( )] (N) 由 上 式 可 见, 只 要 求 得 f () 的 频 谱 密 度, 而 Rec, 信 号 的 频 谱 密 度 都 是 已 知 的, 利 用 卷 积, 乘 积 性 质, 就 可 写 f () 的 频 谱 密 度 例 Ⅰ: 下 图 所 示 信 号 f (), 是 一 个 己 调 简 谐 载 波 矩 形 包 络 信 号, 重 复 N 次 ( 注 意, 7

71 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f () f () N- N- 每 一 次 重 复 的 载 波 相 位 完 全 相 同 ) 形 成 的 信 号, 则 可 写 成 N f ( ) Re c( ){[Re c( )cos ] ( )} N 出 现 在 上 式 中 的 各 个 信 号 的 频 谱 密 度 均 是 已 知, 利 用 性 质 得 出 f () 的 频 谱 密 度 F ( jw ) 为 j N F ( jw) NSinc N e * j w Sinc w e * ( w w) ( w w) ( w k) k j w 如 果 要 作 图 可 不 整 理 首 先 作 Sinc w e * ( w w ) ( w w ) 将 Sinc 波 形 分 别 移 到 W 处, 然 后 作 与 w ( w) 相 乘, 即 抽 样,( 注 意 w, 只 有 当 成 整 倍 数 时, 即 内 有 整 数 个 载 波 周 期, w 处 才 有 抽 样 点 ), 最 后 在 每 个 抽 样 点 上 作, 其 作 图 是 先 与 w j ( N ) W ( ) Sinc N w e, 它 是 很 窄 的 Sinc 波 形 例 Ⅱ, 上 右 图 中 的 f () 由 于 各 载 波 间 不 是 重 复 的 ( 载 波 在 各 脉 冲 起 始 处 相 位 不 同 ); 但 若 将 间 隙 期 填 补 载 波, 则 载 波 是 连 续 的 因 而 可 将 载 波 延 拓 成 周 期 简 谐 波, 再 用 矩 形 序 列 ( 重 7

72 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 复 有 限 次, 再 延 拓 成 周 期 矩 形 再 用 宽 矩 形 截 取 ), 则 有 N f ( ) Rec Re c( )* ( ) Cosw} N 由 此 可 见, f () 与 f () 是 不 同 的, 表 现 在 大 括 号 中, f () 是 矩 形 与 简 谐 波 相 乘 后 再 重 复 ( 与 () 卷 积 ); 而 f () 是 矩 形 重 复 后 再 与 简 谐 波 相 乘 出 现 在 f () 中 的 信 号 频 谱 密 度 全 是 典 型 信 号, 按 性 质 有 j NW F ( jw) NSinc Nw e * j w Sinc w e ( w k) k [ ( w w) ( w w)] 其 图 形 同 F ( jw ) 的 区 别 在 W 处 一 定 有 一 谱 线 o 第 二 种, 线 性 分 解 法 线 性 分 解 法 是 将 信 号 分 解 成 几 个 典 型 信 号 的 线 性 组 合 例 Ⅰ, 右 上 图 所 示 三 角 形 可 分 解 为 f() f () = + f () + f () 3 其 中 f () 是 一 斜 坡 信 号, 斜 率 为 A/ A A u () u () A ( ) u ( ) A ( ) u( ) 7

73 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 即 f () = A u () f () 仍 是 一 斜 坡 信 号, 其 起 始 于, 斜 率 为 负, 且 斜 率 为 - A/, 相 加 ( 与 f () ) 以 后, 才 会 使 f() 从 开 始 下 降 ( 在 及 以 后 f () 仍 存 在 ), 若 f () 的 斜 率 仍 为 - A/, 尽 管 为 负, 也 只 能 抵 消 f () 增 长 ( ) A ( ) ( ) 则 f u 只 有 f () f () A 相 加, 在 = 以 后, 就 会 继 续 以 斜 率 下 降 所 以 在 处, 需 有 3 f (), 才 能 恢 复 f(), 故 f ( ) A ( ) u( ) 3 注 意, f () f 3 () 都 不 是 过 原 点 的 直 线, 所 以 有 截 距 密 度 在 这 个 问 题 中, 只 要 求 出 u() 的 频 谱 密 度, 便 可 按 线 性 性 质 求 出 f() 的 频 谱 则 有 因 为 有 df( jw) dw f () j df( jw) dw jf () e jw d 故 d u( ) j ( w) F( jw) dw jw 由 线 性 性 质 得 A A j w A f ( ) F( jw) F( jw) F( jw) e F( jw) e 例 Ⅱ, 右 图 A 所 示 信 号 f() 可 分 解 成 A F j w ( jw )[ e ] j w 73

74 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f() = f ( ) f ( ) A A f() f () Au() f () A(-)u(-) 而 f () 又 可 如 图 所 示 分 解 成 A A f () = u( ) ( ) u( ) 由 此 可 见, f (), f () 均 为 已 知 频 谱 的 信 号, 即 有 A A f ( ) F( jw) A ( ) F( j) F( j) e = 其 中 F ( jw) d j ( ) d j j 3, 利 用 频 谱 性 质 时, 要 特 别 注 意 的 情 况 A 利 用 微 分 性 质, 要 先 判 定 信 号 是 否 可 微 当 信 号 在 处 的 值 未 知 时, 如 上 面 线 性 分 解 法 中 的 例 Ⅱ 的 信 号, 在 处 的 值 是 未 知 的, 就 不 可 以 直 接 用 微 分 性 质, 因 为 微 分 以 后 再 积 分 得 不 到 原 信 号 f() 但 将 f() 分 解 成 f (), f () 以 后, f () 在 处 的 值 是 已 知 的, 对 f () 是 可 以 微 分 的 B 在 利 用 积 分 性 质 时, 要 知 道 频 谱 密 度 的 积 分 性 质 是 参 量 积 分, 74

75 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 即 不 是 定 积 分, 也 不 是 不 定 积 分 即 有 b ( ) d f ( )* u( ) 而 f ( ) d C ( w ) a b C f ( ) d F( jw) w 在 信 号 分 析 中, 不 讨 论 不 定 积 分 a C 只 有 当 信 号 是 由 折 线 组 成 时, 利 用 微 分 积 分 性 质 才 会 方 便 简 化 运 算 D 几 个 有 用 的 等 式 f ( ) f ( ) 对 复 信 号 * f f f ( ) ( ) ( ) 4, 特 殊 ( 时 间 的 幂 函 数 ) 信 号 频 谱 密 度 计 算 A f () a n 的 频 谱 密 度 这 类 问 题, 可 利 用 频 谱 密 度 F( jw ) 的 频 域 微 分 性 质, 即 则 有 相 应 有 jw F( jw) f ( ) e d F( jw) dw f () 例 如 求 f ( ) 5 3 jf () e j n f ( ) ( j) 的 频 谱 密 度 n jw a F( j) d n d F( j) n d 75

76 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: j o 3 3e 6 ( ) d ( ) 5 5 j[5 ] d j ( ) 则 f ( ) 5 3 j ( ) 6 ( ) n a B f () a 的 频 谱 密 度 a 先 求 的 频 谱 密 度,( 因 a 是 常 数, 可 先 让 a=), 由 Hilber 变 换 知, 有 则 j sgn( ) j sgn( ) n 对 于 a, 则 用 线 性 性 质 ( 解 决 a ) 或 乘 积 性 质 求 得 完 整 解 k C f() 的 频 谱 密 度 a j 利 用 频 谱 密 度 的 对 偶 性 质 有 如 f ( ) F( jw) 则 F( ) f ( jw) a 因 为 ke u() 则 k a j k a j ( ) a jw e u( jw) = e jaw u( jw) ka 例 如 f() 的 频 谱 密 度 可 以 利 用 a 76

77 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: a[] a a k k ak ( ) ( ) ke ke u ke u a jw a jw a w ka k f () ke ke a f () e a 同 样 有 w w 5, 离 散 信 号 频 谱 密 度 的 计 算 A 抽 样 法 离 散 信 号 f ( n ) 或 f( n )(= 单 位 时 间 ), 可 表 成 f ( n ) = f ( ) ( ) 利 用 f() 的 频 谱 密 度 和 () 的 频 谱 密 度, 根 据 乘 积 性 质, 求 得 f ( n ) 的 频 谱 密 度 例 如 常 有 u( n) u( ) ( ) ( ) * ( n) j n nu( n) u( ) ( ) j ( ) * ( n) j n 及 sinca n sin Ca ( ) rec * ( n) a / a n 注 意 : 这 是 抽 样 间 隔 (Sinc 主 瓣 一 半 宽 ) 当 时, 即 抽 样 间 隔 与 主 瓣 底 a a 宽 一 半 相 等 时, 即 sin Ca ( ) ( ) ( n) a 77

78 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: a e e ( ) * ( n) a n a n a 3 特 别 注 意 :u(n) 的 Z 在 单 位 圆 上 是 不 收 敛 的, 不 能 用 un ( ) Z Z j ze 求 频 谱 密 度, 利 用 Z 求 频 谱 密 度, 必 须 考 查 收 敛 域 ROC, 详 细 情 况 同 L( 后 面 ) B 变 换 法 变 换 法 就 是 利 用 Z, 让 其 中 变 量 Z 在 单 位 圆 ( 即 Z e jw ) 上 取 值, 但 Z 在 单 位 圆 上, 必 须 是 无 极 点 ( 当 有 极 点 时, 需 要 另 外 的 数 学 处 理 ) 例 如 : f ( n) u( n) u( n N) an z N f ( n) e u( n) F( z) ( Z ), Z,< Z < Z Z N 则 有 F( j) ( Z ) ( 单 位 圆 上 无 极 点 ) J Z Ze a an ez a 又 如 f ( n) e u( n) F( z), Z e, a a ez a an ez 则 有 e u( n) F( j) a ez Ze J ( 单 位 圆 上 无 极 点 ) 6, 利 用 L 和 DF 计 算 频 谱 密 度 A 利 用 DF 计 算 频 谱 密 度 利 用 DF 计 算 频 谱 密 度, 只 能 对 有 限 点 离 散 能 量 型 信 号, 这 是 前 提 条 件 ; 其 次 是 已 知 DF 或 其 DF 易 于 求 得 时, 可 用 此 方 法 ; 第 三 利 用 频 域 抽 样 定 理, 由 DF 求 得 信 号 的 频 谱 密 度 例 如 N 点 离 散 信 号 f ( n ) 的 DF 为 则 DF f ( n ) F( k) F( k) N F f ( n ) F( j) F( k) sinc N ( k) N N k 78

79 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ( 频 域 抽 样 定 理 ) 这 里 要 注 意 的 是 N 点 离 散 信 号 f ( n ) 的 DF 和 其 频 谱 密 度 之 间 只 是 对 应 关 系 ( 所 含 信 息 相 等 ), 但 不 是 相 等 关 系, 要 写 等 式 必 须 按 抽 样 定 理 B 利 用 L 求 频 谱 密 度 如 果 连 续 时 间 信 号 f() 的 L 已 知 或 易 于 求 得 ; 其 次 LF() s 的 收 敛 域 (ROC) 包 括 虚 轴 ( 纵 坐 标 ), 在 这 两 个 条 件 下, 可 以 由 F(S) 将 s jw代 入 求 得 频 谱 密 度 L 的 ROC 有 四 种 情 况, 分 别 列 为 f() 是 能 量 型 信 号 f ( ) F( s),, 这 时 有 f ( ) F( jw) F( s) s jw 因 果 信 号 f ( ) u( ) 由 于 f ( ) u( ) F( s), c 这 时 只 有 C< 时, 才 能 由 Fs () s j 求 得 其 频 谱 密 度 函 数 F(jw) 例 Ⅰ: f ( ) u( ) e u( ), 3 s 3 3 纵 坐 标 不 在 ROC 内, 故 不 能 由 F(s)/s=jw, 求 频 谱 密 度 函 数 F(jw) 例 Ⅱ, f ( ) u( ) e u( ), s 纵 坐 标 在 ROC 内, 故 有 e u( ) F( s) / s jw F( jw) jw 3 负 时 间 域 信 号 f ( ) u( ) f ( ) u( ) F( s), b 只 有 当 b> 时, 才 能 由 F( s) / s = jw 求 频 谱 密 度 函 数 F( jw ), 79

80 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 例 Ⅰ e u( ), 3.( 3 b ) s 3 3 例 Ⅱ 这 时 jw 表 示 的 纵 坐 标 不 在 ROC 内, 故 不 能 由 F( s) / s = jw 求 频 谱 密 度 F( jw ) e u( ), s Fs 由 于 纵 坐 标 jw 在 ROC 内, 故 可 由 () s j 4 双 边 信 号 求 得 F( j ) 对 于 双 边 信 号, 许 多 情 况 下 不 存 在 L, 如 一 切 周 期 信 号, 恒 值 信 号 f () b a f ( ) u( ) e e u( ), 当 b a F( jw ) [ 但 他 们 仍 有 F( jw )] 当 ROC 不 包 括 纵 坐 标 时, 也 不 能 用 L 求 F( jw ), 如 f u e u 3 ( ) ( ) ( ) Fs ( ) ( 3 ) s s 3 其 ROC 不 包 括 纵 坐 标, 不 能 由 L 求 F( j ) 又 如 ( ) a b f e u( ) e u( ) F( s) ( a b) s a s b 只 有 b>-a, 且 b>, 则 可 由 L 求 F( jw ) A及 时, 都 不 存 在 L, 当 然 谈 不 上 用 L 求 5 要 特 别 指 出, 不 存 在 L 的 信 号 ( 恒 值, 周 期 等 信 号 ) 仍 然 具 有 频 谱 密 度 所 以 一 般 不 用 L 求 F( jw ) 除 L 已 知 或 极 易 求 得 Ⅲ, 频 谱 密 度 的 几 个 有 用 推 论, 实 信 号 频 谱 密 度 正 负 频 率 部 分 的 关 系 8

81 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: F( jw) f ( )[ Cosw jsinw ] d 实 部 R( j) f ( ) Cosd 虚 部 I( j) f ( ) Sind F( j) R( j) ji( j) F( j) R( j) ji( j) 则 有 及 F j F j * ( ) ( ) ( 正 负 频 率 部 分 共 轭 ) F( jw) R ( jw) I ( jw) ( 偶 函 数 ), 实 偶 信 号 的 频 谱 密 度 是 实 函 数 ( j) ( ) j ( 反 号 ) 因 为 F( jw) f ( )[ Cosw jsinw ] d 3, 实 因 果 信 号 频 谱 密 度 的 实 部 与 虚 部 的 关 系 ( 不 独 立 ) 因 为 因 果 实 信 号 f(), 可 表 为 f ( ) Cosd R( ) fe( ) u( ) F( jw) Fe( j)*[ ( ) j ] 因 为 fe() 是 实 偶 函 数, 则 Fe ( jw ) 是 实 函 数 4, 信 号 的 奇 偶 函 数 展 开 Fe( j) j Fe( j) R( j) jrˆ ( j) ( 互 为 Hilber 变 换 ) 任 意 信 号 f(), 不 管 它 是 奇 偶 或 非 奇 非 偶, 均 可 表 示 成 8

82 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f ( ) f ( ) f ( ) e o 其 中 fe( ) [ f ( ) f ( )] ( 偶 函 数 ) fo( ) [ f ( ) f ( )] ( 奇 函 数 ) e 则 有 f ( ) F( jw) f ( ) cosd j f ( ) sind 如 果 f() 是 因 果 信 号, 可 表 示 成 f ( ) u( ), 则 有 f ( ) u( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) sgn( ) e o e e o 其 中 fe( ) [ f ( ) u( ) f ( ) u( )] fo( ) [ f ( ) u( ) f ( ) u( )] 5, 信 号 在 时 域 抽 样, 其 频 谱 重 复 f() f ( n ) n F( j ) j Fe ( ) / / 因 为 f ( n) f ( ) ( ) 8

83 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 则 f ( n ) F ( jw) D k k F( jw)* ( ) F[ j( )] K K f(), f ( n ), F( jw ), F ( jw ) 如 由 上 图 所 示 D f() f () R -N N F( j) F ( ) R j 6, 信 号 波 形 重 复, 其 频 谱 分 裂 ( 抽 样 ) 如 下 图 fr( ) rec( ){ f ( )* ( )} (N) 则 f ( ) F ( jw) R R Ⅳ,DF 计 算, 数 值 计 算 被 计 算 的 信 号 f(n), 在 人 工 ( 考 试 ) 计 算 时 只 是 N= 和 4 两 种 情 况, 如 给 定 的 N jw 少 于 或 4, 可 在 其 后 加 零 延 长 成 N=,4; 若 给 定 的 是 Cos,sin, e 时, 则 在 83

84 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 一 个 周 期 内 抽 样 得 N=4; 若 给 定 为 ( n) 或 () 或 sin C a ( ) 用 ( n) 代 入 定 义 式 或 矩 阵 式 得 到 解 答 例 Ⅰ: f ( n) ( n 6), 求 其 DF a 解 : N n j kn j 6k N N F( k) ( n 6) e e 例 Ⅱ: 求 f ( ) 5cos ( 这 里 N 一 般 是 给 定 的 ; 若 未 给 定 就 设 为 N) 经 抽 样 得 到 的 f( n ) 的 DF 解 : 一 个 周 期 内, 抽 样 四 点, 即 取 抽 样 间 隔, 得 到 4 f( n) [5,, 5,] F(),,,, 5 F(),,, j j F(),,, 5 F(3), j, j 例 Ⅲ N=6, F( k) 5 ( k 3) 5 ( k 3) 求 f( n ), 变 换 计 算 法 5 6 ( ) ( ) j f n F k e kn N K 5 5[ ( k 3) ( k 3)] e 6 K 5 5 e e e 6 6 j kn 8 j 3n j 3n j 6 n e e j n j n cos 8 8 n A Z 变 换 84

85 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: B Fourier 变 换 N 点 离 散 信 号 f( n ) 的 Z,F(z) 一 定 在 单 位 圆 上 收 敛 的, 故 有 F( k) F( k) F( z) z e N j K N N 点 离 散 信 号 f(n) 的 频 谱 密 度 一 定 存 在, 故 有 F( k) F( K) F( ) ( 当 =, N k N k ) N Ⅴ,Fourier 反 变 换 的 计 算 (IF), 利 用 频 谱 密 度 的 性 质 ( 对 称 ) 计 算 IF 大 多 数 情 况 下, 是 利 用 性 质 和 典 型 信 号, 完 成 IF 例 Ⅰ: 有 一 实 因 果 信 号 的 频 谱 密 度 实 部 R(w) 是 一 等 腰 梯 形, 中 心 在 原 点, 高 为 3., 下 底 宽 为 4., 上 底 为., 求 该 因 果 信 号 f() 解 : 实 因 果 信 号 可 表 为 f ( ) f ( ) u( ) 其 中 f ( ) f ( ) f ( ) 是 偶 函 数 e e 从 式 中 可 知, 只 要 求 得 fe(), 再 乘 上 u (), 便 求 得 f() 为 此, 首 先 应 分 析 fe() 的 频 谱 密 度, Fe ( j ) 同 因 果 信 号 f() 频 谱 密 度 ( 实 部 ) 的 关 系 由 f() 表 示 式 有 F( jw) Fe ( jw)*[ ( w) ] jw Fe( j) j Fe( j)* ( () e f 是 实 偶 信 号, F ( jw ) 是 实 函 数 ) e 85

86 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: R( ) jr( )* ( ( ) e F j 是 实 函 数 ) 故 Fe ( jw ) = RW ( ) Rrc( )*Re c( w) / 3 ( 见 下 图 ) 3 R(j ) F( j). F ( j) 则 3 fe( ) 4 [ Rrc( )*Re c( w)] 3 3 fe( ) 4 Sinc Sinc 3 Sinc Sinc 3 3 (cos cos ) f ( ) fe( ) u( ) (cos cos ) u( ) 故 例 Ⅱ: 信 号 f() 的 振 幅 谱 F( jw ) 相 位 谱 ( jw) 下 图 所 示, 求 f() F( j). / ( j) 解 : 由 图 可 写 出 f() 的 频 谱 为 w w F( jw) rea( ) rec( ) e j 86

87 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 则 f ( ) sin ce sin c e e j j j in [ j n j j 4 j 4 S c e e e e ] sin c cos( ) 4, 利 用 留 数 法 (Residue) 求 IF 当 给 定 的 频 谱 密 度 F( jw ) 是 以 jw 为 变 量 的 有 理 分 式 时, 可 将 纵 坐 标 看 成 在 收 敛 域 中 的 一 条 直 线, 利 用 留 数 经 初 等 ( 有 重 根 时 有 微 分 运 算 ) 运 算 便 可 得 到 IF, 下 面 列 出 计 算 步 骤 并 举 例 说 明, 如 给 出 一 般 形 式 是 : m bm( j) b ( j) b ( j) b F( jw) n ( j) a ( j) a ( j) a m m n n 第 一 步 : 当 m n时, 用 长 除 法 将 F( jw ) 分 解 成 整 式 与 分 式 之 和, 即 F( jw) F ( jw) F ( jw) F ( jw) C ( jw) C ( jw) C 其 中 L L 根 据 数 频 谱 密 度 的 微 分 性 质, 可 得 F ( jw ) 的 IF 为 F f ( ) C ( ) C ( ) C ( ) ( L), L k k k d ( jw) d ( jw) d( jw) d N( jw) ( jw) n n ( jw) an s( jw) a( jw) a D( jw) 第 二 步 : 求 F ( ) jw jw e 的 极 点, 由 于 e D( jw ) = 的 根 如 P P 第 三 步 : 将 P P P i, L j jw i 无 极 点, 故 只 须 求 p 等 为 单 根, P 为 L 重 重 根 P 以 纵 坐 标 为 分 界 线, 分 成 两 组, 左 边 的 记 a k =[ P P 4 ] 等, 右 边 一 组 记 b k =[ PP ] 3 第 四 步 : 求 各 极 点 PP 的 留 数, 得 到 F ( jw ) 的 IF, 即 有 L j 87

88 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: j f ( ) Re s[ F ( j) e a ] u( ) Re s[ F ( j) e b ] u( ) 其 j k k L j L d l i Re s[ F( j) e pi ] [( j p ) i F( j) e ] L j p j ( L )! d( j) 第 五 步 : 由 f () f () 根 据 线 性 性 质, 得 f ( ) f ( ) f ( ) 例 Ⅰ: 已 知 有 信 号 f() 的 频 谱 密 度 函 数 F( jw ) 为 k F( j) 3 ( j) 5( j) ( j) 3 ( j) ( j) 解 : 第 一 步 : 由 于 n=m, 用 长 除 法 得 4( j) 3( j) 4 ( j) ( j) F( j) F ( j) F ( j ) F jw = f ( ) ( ) 其 中 ( ) 第 二 步 : F( jw ) 有 极 点 p ( 单 极 点 ), p ( 重 极 点 ) 第 三 步 : a 组 P k b k 组 P 第 四 步 : Re s[( j) F( j) e, p ] j ( j )[4( j) 3( j) 4] [4( j) 3( j) 4]( j ) ( j ) e j j 4( j) 3( j) 4 j e j ( j ) 5 5 ( e l ) u( ) 4 4 第 五 步 : Re s[( j) F ( j) e, p ] j 4( j) 3( j) 4 j j e e u( ) ( j ) 4 88

89 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f f f l l u l u 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 例 Ⅱ: 有 一 实 因 果 信 号 f() 其 频 谱 密 度 F( jw ) 的 实 部 解 : 由 于 f() 是 因 果 信 号, 利 用 函 数 的 奇 偶 分 解 可 得 Rw ( ) w 求 信 号 f() 其 中 f ( ) f ( ) f ( )sgn( ) e fe( ) [ f ( ) u( ) f ( ) u( )] 是 实 偶 函 数 e 前 面 已 经 证 明 fe() 的 频 谱 密 度 与 因 果 信 号 f() ( 可 写 成 f ( ) u( ) ) 频 谱 密 度 的 实 部 是 相 等 的 ( 注 意 是 奇 偶 展 开, 有 系 数 ) 即 : fe( ) Fe( j) R( ) 按 照 留 数 法 Fe ( jw ) 或 Rw ( ) 有 两 个 极 点 : ( j) ( j) j Re s[ Fe ( j) e ] e u( ) j Re s[ Fe ( j) e ] e u( ) 故 fe( ) e u( ) e u( ) fe( )sgn( ) e u( ) e u( ) ( 由 于 sgn( ) 乘 f () ), 即 f () 正 部 分 乘, 负 部 分 乘 - e e 则 f ( ) f ( ) f ( )sgn( ) e u( ) e e Ⅵ, 离 散 频 谱 与 Fourier 级 数 的 计 算 89

90 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 周 期 信 号 f () 具 有 连 续 频 谱 密 度 F ( jw ), 又 具 有 离 散 频 谱 和 Fourier 级 数 但 它 们 之 间 有 较 简 单 的 关 系, 所 以 都 可 由 连 续 频 谱 密 度 F( jw ) 计 算 出 来, 基 本 关 系 式 设 f() 是 周 期 信 号 () f 的 一 个 周 期, 则 有 其 频 谱 密 度 F ( j ) A, f ( ) f ( )* ( ) F f( ) F( jw) F( jw) ( w k) k 其 中 F( jw ) 是 一 个 周 期 波 形 f() ( 一 定 是 能 量 型 信 号 ) 的 频 谱 密 度 ; B, f () 的 离 散 频 谱 F ( jhw ) ( w ) 为 F( jkw ) F( jw) F( j) ( k), k C,Fourier 级 数 为 f ( ) F ( jkw ) l, w k jkw 由 上 式 A B C 三 式 可 见, 由 周 期 信 号 一 个 周 期 的 波 形 f() 的 频 谱 密 度 F( jw ), 经 简 单 运 算 便 可 得 到 周 期 信 号 f () 的 频 谱 密 度 F ( jw ) 离 散 频 谱 F ( jkw ) 和 复 数 形 式 的 Fourier 级 数 (C 式 ) Fourier 级 数 的 其 它 形 式 有 基 本 形 式 f () = a [ ancos nw bnsin nw ] n 余 弦 形 式 f () = C Ck cos( nw k) k 9

91 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 其 中 C k = a h b k bk k = g ah 离 散 频 谱 F ( jww ) 与 基 本 形 式 a k. b k 的 关 系 为 F ( jk ) a b k k b k ( jkw ) g a k 由 上 分 析 可 知, 只 要 计 算 出 周 期 信 号 一 个 周 期 波 形 的 频 谱 密 度 F( jw ), 便 可 经 过 简 单 计 算, 求 得 整 个 周 期 信 号 的 频 谱 密 度 F ( jw ), 离 散 频 谱 F ( jkw ) 复 数 形 式 Fourier 级 数 及 其 它 形 式 Fourier 级 数, 功 率 谱 密 度 和 功 率 等, 简 谐 信 号 的 频 谱 及 功 率 f ( ) acos w w A 余 弦 信 号 : ( 也 基 本 形 式 付 利 叶 级 数 ) 频 谱 密 度 F ( jw) A[ ( w w) ( w w)] A j A j ( 因 为 Acos e e ) 离 散 频 谱 F ( jkw ) A[ S( w w ) ( w w )] 复 Fourier 级 数 功 率 谱 密 度 A A f () e e j( w ) j( w ) p( w) F ( jkw ) ( w kw ) k 平 均 功 率 A [ ( w w) ( w w)] p P( w) dw A A A 4 4 9

92 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 相 关 函 数 R p w A ( ) ( ) cos B 正 弦 信 号 f () ASinw F ( j) j A[ ( ) ( )] 频 谱 密 度 ( 因 jw jw Asin w [ e e ] ) F ( jkw ) ja[ ( w w ) ( w w )] 离 散 频 谱 复 Fourier 级 数 功 率 谱 密 度 相 关 函 数 平 均 功 率 A A f () e e j( w ) j( w ) P w A w w w w ( ) [ ( ) ( )] R( ) p( ) A cos p 形 式 F 基 本 ourier 级 数 C 复 简 谐 信 号 : A f () ASinw f () Ae jw F ( j) A ( ) 频 谱 密 度 F ( jkw ) A ( w w ) 离 散 频 谱 复 Fourier 级 数 功 率 谱 密 度 平 均 功 率 f () Ae jw p w A w w ( ) ( ) p A 9

93 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 三 信 号 变 换 的 计 算 Ⅰ, 拉 普 拉 斯 (Laplae) 变 换 (L), 拉 普 拉 斯 变 换 ( 将 信 号 分 解 接 成 变 振 幅 l 复 简 谐 信 号 e jw ) 的 计 算 拉 普 拉 斯 变 换 考 题 少 见, 只 要 记 住 几 个 典 型 信 号 的 变 换 及 其 基 本 性 质 ( 同 频 谱 密 度 F) 就 能 完 成 正 变 换 的 计 算 几 个 典 型 的 型 号 是 u( ), e u( ), ( ), u( ), e a n a 等 ) 拉 普 拉 斯 变 换 的 关 键 是 正 确 求 出 收 敛 域 (ROC) 例 Ⅰ ( ) ( f e e ) u( ), 求 其 F(s) 根 据 收 敛 域 的 定 义 有 则 有 lim e e u( ), 必 须 lim e e u( ), 必 须 e u e s ( ) e u( ),,( e,, ) s f( ), ( 公 共 区 域 ) s s s ( ) ( ),,(,, ) 故 例 Ⅱ 求 f () e 的 拉 普 斯 变 换 因 : f ( ) e e u( ) e u( ) ( ) e u( ) ( e,, ) s ( ) e u( ) ( e,, ) s Fs ( ), ( 公 共 区 域 ) s s s 例 Ⅲ 求 ( ) f e u( ) e u( ) 拉 普 拉 斯 变 换 f ( ) e u( ) e u( ) 93

94 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ( ) e u( ), ( e,, ) s ( ) e u( ) ( e,, ) s f ( ) F( s), 有 s s s 收 敛 域 ROC, 在 信 号 形 式 给 定 后, 列 方 程 lim f ( ) e x 解 出 应 满 足 的 条 件 在. L.. 时, 只 求 出... F(s) 的 表 示 式, 而 没 有 求... ROC..., 从 上 面... 三 个 例 子 可 以 看 出, 解 (... F(s) 表 示 式 ) 不 是 唯 一 的... ), 由 零 极 点 确 定 拉 普 拉 斯 变 换 F(s) 的 零 点 ( 分 子 的 根 ), 极 点 ( 分 母 的 根 ) 和 放 大 系 数 K 能 完 全 决 定 F(s) 和 收 敛 域 例 Ⅳ: 信 号 f() 的 Fs () 在 S= 有 一 阶 零 点, 有 两 个 极 点, 分 别 为 解 : Fs () 由 初 值 定 理 有 3 3 p, p j 且 已 知 f()=. 求 F(s) ks 3 3 ( s j )( s j ) lim SF( s), 得 k= s 则 Fs () s 3 3 ( s j )( s j ) (ROC 内 无 极 点 ) 3), 微 分 性 质 ( 包 括 时 域 微 分 和 S 域 微 分 ) 也 是 常 用 的, 与 频 谱 分 析 类 似 在 此 不 赘 述 另 外, 周 期 信 号 不 具 有 拉 普 拉 斯 变 换 94

95 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ:656674, 拉 普 拉 斯 反 变 换 的 计 算 (IL) A 有 理 分 式 反 变 换 留 数 (Res) 法 已 知 4 3 s 6s 8s S 3 Fs ( ), 3 ( s)( s3) 6s 4s96 第 一 步 标 准 化 F( s) s s F ( s), 3 ( s)( s3) s f ( ) ( ) ( ) ( 整 式 及 全 零 点 F(s) 的 反 变 换 F(s)) 第 二 步 : 求 F s e 的 极 点 P, P 3( 二 阶 极 点 ) s () 第 三 步 : 在 ROC 中 划 一 条 平 行 于 纵 坐 标 的 直 线 L, 将 极 点 分 成 ak :[ P ] 和 b :[ P ] 两 组 : k 第 四 步 : 求 各 极 点 的 留 数 s Re s[ p ] [( s ) F ( s) e ] s e u( ),( ak 组 极 点 ) 4 d s Re s[ p 3] [( s 3) F( s) e ] s 3 u( )( bk 组 极 点 ) ds ( s )( s 4) (6s 4s 96) ( s ) 6s 4s96 ( s ) e u( ) e u( ) [59 e 8 e ] u( ) 4 第 五 步 : 组 成 最 终 结 果 k k k s3 e s e u( ) f ( ) f ( ) Re s[ a ] u( ) Re s[ b ] u( ) 4 4 k s u( ) s3 3 3 ( ) ( ) e u( ) [59 e 8 e ] u( ) 留 数 的 优 点 一 是 只 涉 及 到 微 分 和 初 等 运 算, 且 不 用 查 表 ; 二 是 ROC 一 并 考 虑 进 去, 不 必 再 分 解 ROC 95

96 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: s 5s 9s 6s 7 例 Ⅴ: 求 Fs ( ) 3. 的 反 变 换 ( S) ( s3) SepⅠ:Normal F( s) s 6 s 39s35 ( s) ( s3) SepⅡ: 求 s s 39s35 () F s e ( s) ( s3) e s 的 极 点, 由 于 e s 是 解 析 函 数, 没 有 极 点, 故 得 p ( 二 阶 ) p 3 s 的 方 次, 在 处 就 无 极 点 ( 一 阶 ) 共 三 个 极 点 由 于 分 母 s 的 方 次 高 于 分 子 SepⅢ: 极 点 分 组 由 ROC 包 含 虛 轴, 可 以 它 为 划 分 线, 分 出 a : p ; b : p 3 k SepⅣ: 求 Res( 留 数 ) k Re s[ F ( s) e, p ] s d ( )! ds s [( s p ) F( s) e ] s p ( s 3)(4s 39) (s 39s 35) (s 39s35) ( s 3) e ( 3) 3 e 4 4e ( s 3) e s s ( 4) ( ) ( 39 35) e ( 4) e s s 96

97 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: Re s[ F ( s) e, p ] ( s 3) F ( s) e s s s3 s 39s35 ( s ) e e 4 SepⅤ: 整 式 部 份, 由 函 数 的 L 及 微 分 性 质 得 f ( ), ( ) 6 ( ) 3 e 3 s s3 故 得 到 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 3, ( ) 6 ( ) ( e 4 e ) u( ) e u ( ) 3 4 B 延 迟 因 子 在 分 子 时 的 IL 这 时 先 将 延 迟 不 考 虑, 求 其 IL 得 f(), 再 考 虑 延 迟 定 理 ( 又 称 位 移 性 质 ) 将 f() 延 迟 相 应 值 便 得 结 果 s 例 : 已 知 F( s) ( e ) s 解 : 由 收 敛 域 可 知,f() 是 能 量 型 信 号 将 F(s) 展 开 先 不 考 虑 延 迟 因 子, 可 得 F s e e s 利 用 延 迟 性 质 有 s s ( ) ( ) s u() s e ( ) u( ) s 97

98 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: s s e u ( ) ( ) 故 有 f ( ) u( ) ( ) u( ) ( ) u( ) C 延 迟 因 子 在 分 母 时 IL 这 时 可 以 利 用 系 统 模 拟 图, 将 分 母 有 延 迟 的 部 分 做 出 模 拟 图, 从 图 中 按 冲 激 响 应 定 义 求 出 h(), 便 是 该 部 分 的 反 变 换 s e 例 : Fs () 4s s( e ) s 解 : 将 F( s) ( e ) 4s s e s ( e ) u( ) u( ) Re c( ) s 按 下 模 拟 图 h( ) ( 4 n) 4s e n 故 f ( ) Re c( f )* S( 4 n) n Re c( 4 n) n 其 波 形 如 下 图 所 示 () h() 延 迟 4 h() D 对 数 函 数 的 反 变 换 对 数 函 数 同 含 延 迟 因 子 一 样, 不 是 有 理 分 式, 不 能 求 极 点, 因 而 不 能 用 留 数 法 求 反 变 换 这 时 可 用 变 换 域 的 微 分 积 分 性 质 即 f( ) f ( ) F( S) ds, f () S 98

99 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 例 Ⅰ: 求 ( a e ) u ( ) 的 L, a a 解 : ( e ) u( ) F( s), s s a,( -a, 的 公 共 区 域 ) a ( e ) ( ) ds s s s a 则 s a Ln s 例 Ⅱ: 求, u f ( ) ( Lnu ds Lns lim u ) s s s F() s In 的 IL s 解 : 故 s F( s) In [ ] ds s s s s u( ) e u( ) s s s In u( ) e u( ) s Ⅱ,Z 变 换 及 计 算 (Z) 几 个 重 要 概 念 A 只 有 离 散 信 号 f(n) 或 f(n) 才 有 Z B 周 期 离 散 信 号 是 没 有 Z 的 C Z 的 关 键 是 要 求 出 ROC, 其 方 法 有 比 值 法 和 根 植 法 D f(n) 的 L 到 Z 的 映 射 关 系 E 由 Z 求 F(jw) F(k) 必 须 包 括 单 位 圆 是 收 敛 的,Z 的 计 算 计 算 Z, 需 要 等 比 级 数 的 求 和 公 式 及 Z 的 性 质, 尤 其 是 Z 域 微 分 性 质 以 及 信 号 的 分 解 99

100 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 技 能 即 : 有 限 N 项 等 比 级 数 的 和 ( n a q s ) q 无 限 多 项 等 比 级 数 的 和 s a / ( q) ( a 为 首 项,q 为 公 比 ) df () z Z 域 微 分 性 质 f ( n) F( z), 则 nf ( n) z dz ), 直 接 法 得 用 Z 的 定 义 求 Z 就 是 求 级 数 和, 它 适 于 当 信 号 为 f( n ) 为 n n u( n), u( n) u( n N), a u( n), a u( n), ( n) 等 情 况, 因 为 这 时 Z 是 等 比 级 数 例 Ⅰ: 求 解 : 因 则 f( n) ( ) 3 n 的 Z 变 换 n n f ( n) ( ) u( n ) ( ) u( n) 3 3 n n n n z ( ) u( n ) ( ) z ( ), z z z3 n n 故 n n n n z ( ) u( n) z ( ) ( ), z 3 n 3 n 3z z 3 3 n 3 f ( n) ( ) F( z) z /[( z 3)( z )], z 例 Ⅱ: 求 f ( n) 6[ u( n) u( n 8)] 解 n 8 6 z( z ) n F( z) 6 z, z z ), 利 用 性 质 计 算 Z 例 Ⅰ: 求 f ( n) nu( n) ( n N) u( n N) ( n N) u( n N) 解 : 利 用 Z 域 微 分 性 质 和 un ( ) 的 Z 有 z nu( n), z ( z )

101 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: z N ( n N) u( n N) z, z ( z ) z ( z ) N ( n N) u( n N) z, z 则 z f n F z z z ( z ) N ( ) ( ) ( ), ROC 扩 大 了, 因 为 f(n) 为 能 量 信 号 例 Ⅱ: 求 f ( n) ( n 3) u( n 3) 的 Z 解 : 这 是 不 能 应 用 位 移 性 质, 因 为 (n-3) 与 u(n+3) 中 的 n+3 不 一 致, 但 f( n ) 可 求 成 n f ( n) ( n 3) u( n 3) 6 u( n 3) ( nu( n 3) 6 u( n 3) 3 u( n 3) ( n 3) u( n 3) 6 u( n 3)) 则 有 例 Ⅲ: 已 知 信 号 4 5 z 3 6z 3 7z 6z F( z) z z, z ( z ) ( z ) ( z ) f n ( ) n u( n) 求 : f( n ) 的 Z n f ( n) f ( m) 的 Z m 解 : 利 用 u(n) 的 Z 及 Z 域 微 分 性 质 u( n), z z df() z d z z nu( n) z z ( ), z dz dz z ( z )

102 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: d z z( z ) ( ) [ ], dz ( z ) ( z ) n u n z z 3 z( z ) z f ( n) f ( n) f ( n)* u( n), z ( ) z n 3 m z 3,Z 反 变 换 (IZ) 的 计 算 ) F(z) 是 有 理 分 式 时, 同 IL 类 似, 留 数 法 最 简 便, 步 骤 同 IL, 现 举 例 说 明 求 : 4 3 z 6z 8z z 3 F( z), z 3 ( z)( z3) 的 反 变 换 解 : 第 一 步 : 标 准 化 F( z) z 6z 4z96 ( z)( z3) z F ( z), z 3 z f ( n) ( n ) ( n) 第 二 步 : 求 F z z 的 极 点, p () n, p 3 ( 二 重 ), p 3 (n=, 条 件 ) 第 三 步 : 在 收 敛 域 划 闭 合 围 线 L, 被 围 的 极 点 组 ak :[ p, p 3] ; 未 被 围 极 点 b:[ p ] 是 重 极 点 第 四 步 : 求 各 极 点 的 留 数 6z 4z96 n n n z Re s[ p ] z ( ) u( n) ( ) u( n) ( z 3) 6z 4z96 3 z Re s[ p, n ] ( n) ( z)( z3) 3

103 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: d n Re s[ p 3] [( z 3) F( z) z ] z 3! dz [ = ( z )( z 4) (6z 4z 96) ( z ) 6z4z96 ( ) n n z ] ( z ) 3 59 (3) 9( n )(3) 4 z n z3 n n n n n =[9 (3) (3) n(3) ] u( n ) 第 五 步 : f ( n) f ( n) Re s[ ak] u( n) Re s[ bk] u( n ) k n n n ( n ) ( n) ( ) u( n) [ (3) n(3) ] u( n ) 3 k ), 分 子 中 有 延 迟 因 子 同 IL 类 似, 先 不 考 虑 延 迟 因 子, 求 出 除 延 迟 因 子 项 外 部 分 的 IZ 再 利 用 延 迟 性 质 移 位 例 : 求 z z N N F( z) ( z z ), z z 解 : 首 先 求 un ( ) z, z ( 留 数 ) z N 则 有 z u( n N) z z N Z u( n N) z 的 IZ 故 f ( n) u( n) u( n N) u( n N) 其 波 形 如 下 图 所 示, 图 中 N=4 3

104 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: u(n) n n -. u(n-4) U(n-8) n. f(n)=u(n)-u(n-4)+u(n-8) -. n 3), 条 件 极 点 的 另 一 ( 简 便 ) 处 理 方 法 ~~ 将 F() z z n 出 现 在 分 子 中 的 z N 当 作 延 迟 处 理, 不 参 与 运 算, 只 在 最 后 结 果 中 增 加 延 迟 即 可 ~~ 因 为 求 IZ 时, 是 求 F() z z n 的 围 线 积 分 通 常 是 用 留 数 法, 当 n 时, 在 z 处, 出 现 所 谓 条 件 极 点, 当 Fz () 分 母 中 有 因 子 z 出 现 时, 如 Fz () ( z z) ( z zm) k z ( z p ) ( z p ) L M 将 出 现 F() z z n ( z z) ( z zm) ( z p ) ( z p ) L M z n k L 在 n, z 出 现 ( k ) 阶 条 件 极 点 ;( 类 似 如 分 子 中 出 现 单 项 式 z ) 用 留 数 法 求 解 时, 将 要 求 k 阶 微 分, 这 是 很 麻 烦 的 事 这 时 可 以 将 z N 当 延 迟 因 子 处 理, 不 参 与 运 算, 只 在 最 后 结 果 中 增 加 延 迟 即 可 例 Ⅰ: 求 4z F( z), z ( z )( z ) 3 的 反 变 换, 用 经 典 留 数 法 4

105 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: z F( z) F ( z); z ( z )( z) ( n) 4 8z ( z )( z ) n Re s[( z ) z ] n n ( ) u( n) ( ) u( n) 4 8z 3 3 ( z )( z) 3 n Re s[( z ) z ] Re s[ z 3 z n n 3( ) u( n) 3( ) u( n) 4 8z 3 3, z, n ] 4 ( n) ( z )( z) 3 n n f ( n) 4 ( n) [( ) 3( ) ] u( n) 4 ( n) 3 n n [( ) 3( ) ] un ( ) 3, 将 Fz () 分 子 中 的 z 作 延 迟 因 子 处 理, 这 时 有 4 z ( z )( z) 3 n, z 4 3 ( z )( z ) n ( ) un ( ) 3 n Re s[( z ) z ] z 3 n n 3( ) u( n) ( 左 移 )3( ) u( n) 5

106 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: z ( z )( z) 3 n Re s[( z ) z ] n n 3( ) u( n) ( 左 移 ) 3( ) u( n) n 3( ) un ( ) 4 Re s[, z, n ] ( n) ( z )( z) 3 ( n ) ( 这 是 负 时 域 信 号, 与 RoC 不 符, 故 应 舍 弃 ) n n f ( n) [( ) 3( ) ] u( n) 3 3, 分 子 合 并 后 的 单 项 式, 将 下 式 z 作 为 延 迟 因 子 中 这 时 有 4z n z, z ( z )( z) 3 4 ( z )( z) 3 n z, z 4 n Re s[( z 3 ) z ] ( z )( z ) n ( ) un ( ) 3 z 3 n n 3( ) u( n) ( 左 移 )3( ) u( n) 4 n Re s[( z ) z ] z ( z )( z) 3 n n 3( ) u( n) ( 左 移 ) 3( ) u( n) n 3( ) un ( ) 6

107 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: n n f ( n) [( ) 3( ) ] u( n) 3 从 上 可 见 对 分 子 出 现 z 的 正 方 次 时, 各 种 处 理 结 果 均 相 同 例 Ⅱ: 有 因 果 DLI 系 统 的 传 输 函 数 H(z) 为 ( z ) H() z ( z.5)( z.8) 求 : 其 单 位 样 值 响 应 hn ( ) 解 法 - 经 典 留 数 法 : 由 于 是 因 果 DLI 系 统, 其 ROC 应 为 z.8 故 有 ( z ) ( z.5)( z.8) n Re s[( z.5) z ] z.5 (.5) n un ( ) ( z ) ( z.5)( z.8) n Re s[( z.8) z ] z.8 5(.8) n un ( ) ( z ) Re s[ ] 5 ( n) ( z.5)( z.8) z n n h( n) 5 ( n) [(.5) 5(.8) ] u( n) h() h() h().7 解 法 二 : 将 条 件 极 点 z 作 延 迟 处 理, 这 时 有 ( z ) n Re s[( z.5) z ] ( z.5)( z.8) z.5 5(.5) n un ( ) ( z ) n Re s[( z.8) z ] ( z.5)( z.8) z.8 7

108 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: (.8) n un ( ) n n h( n) [5(.5) 4(.8) ] u( n) h n h n u n n n ( ) ( ) [5(.5) 4(.8) ] ( ) h() h() h().7 由 此 可 见, 结 果 是 相 同 的. 4), 分 母 中 有 延 迟 因 子 这 种 情 况 难 于 求 出 极 点, 简 便 的 方 法 同 IL 一 样, 是 用 系 统 的 模 拟 图 按 照 冲 激 响 应 的 定 义 求 出 h(n), 便 是 其 传 输 函 数 H(z) 的 反 变 换 : 例 : 求 解 : z F( z), z N z F( z) ( z ) N z F ( z) F ( z) 的 反 变 换 () -Z - h (n) z 4 h (n) h(n) n 按 照 系 统 模 拟 方 法,F(z) 的 串 联 模 拟 方 框 图 如 上 所 示, 从 图 h(n) 的 定 义 有 : F ( z) ( z ) h ( n) [ ( n) ( n )] F( z) h( n) ( N kn) N z K F( z) h( n) h ( n)* h ( n) 8

109 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 其 波 形 如 上 图 所 示, 图 中 N=4 [ ( n) ( n )] ( n kn) K k [ ( n kn) ( n kn )] 5), 求 反 变 换 有 限 多 点 的 数 值 解 这 种 情 况 下, 只 能 用 长 除 法 较 为 简 便 但 要 注 意 两 个 问 题 : 根 据 ROC 确 定 长 除 法 是 按 升 幂 排 列 还 是 按 降 幂 排 列 ; 当 收 敛 域 是 Z 当 收 敛 域 是 Z 当 收 敛 域 是 b< Z C, 反 变 换 是 因 果 信 号, 长 除 应 按 降 幂 排 列 ; C, 反 变 换 是 负 时 域 信 号, 长 除 应 按 升 幂 排 列 ; C, 反 变 换 是 正 负 时 域 信 号, 应 先 作 部 份 因 式 和 收 敛 域 分 解, 再 分 别 按 升 冪 和 降 冪 进 行 长 除 ; 长 除 结 果 中 Z 方 次 必 须 连 续, 如 有 缺, 必 须 以 系 数 填 补 5z 例 Ⅰ: 求 F( z), z 3 z z6 反 变 换 的 n= 左 右 的 7 个 系 数 解 : 由 ROC 可 知, 反 变 换 是 双 边 信 号, 必 须 分 解 F(z) 和 ROC, 即 z z Fz () z z3 z 3 () z F z z z ( 分 解 ROC) () z F z z 3 z 3( 分 解 ROC) F() z 作 长 除 时, 被 除 式 和 除 式 应 降 幂 排 列 得 F ( z) z z 4z 8z 3 F () z 作 长 除 时, 被 除 式 和 除 式 应 升 幂 排 列 得 F () z z z z

110 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 组 合 得 f( n) [,,,,,4,8, ] 例 Ⅱ: 求 F( z) [z 7z 88z z 5 z ]/ ( z z ). z 解 : 用 长 除 ( 降 幂 ) 法 得 F() z 3Z. z 5z 3 ( 补 项 ) 则 f( n) [,3,,5] 6), 由 收 敛 域 ROC 判 定 信 号 性 质 收 敛 域 可 以 由 极 点 给 出, 但 极 点 不 能 完 全 决 定 收 敛 域 n 例 : xn ( ) 的 ZX(z) 共 有 两 个 极 点, 分 别 为 p j; p 3 j 且 x( n) ( ) u( n) 绝 对 可 和, 请 问 x(n) 为 左 边 信 号 右 边 信 号 双 边 信 号 中 的 哪 一 种? 解 : 由 题 给 xz () 的 极 点, 可 推 知 ROC 有 下 三 种 情 况 X( z), z x ( n为 ) 正 时 域 因 果 ( 右 ) 信 号 ; X( z), 5 z x n( 为 正 ) 负 时 域 信 号 X( z), z 5 x( n为 ) 负 时 域 左 信 号 ; n 由 x( n) ( ) u ( n绝 ) 对 可 和, 即 存 在 Z, 而 而 n n x( n ) ( ) u n( ) x z ( Z) [( u ) n ( )] n Z[( ) u( n )] z, z n 故 x( z) Z[( ) u ( n的 )] 公 共 ROC 为 z 则 xz () 为 X( z), z 5 x( n为 ) 负 时 域 ( 左 ) 信 号 ; 4, 能 量 型 信 号 ROC 问 题 细 探, 能 量 型 信 号 ROC 问 题 分 两 种 情 况 ( 总 是 一 个 园 环 ) 情 况 Ⅰ: 持 续 期 有 限 的 能 量 信 号, 其 ROC 为

111 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: z 例 如 : f ( n) u( n ) u( n ) 3 z u( n ) F ( z), z. z z u( n ) F ( z), z. z 3 z z F( z), z. z ( 没 有 极 点 ) 反 变 换 z z z z F() z z z z z z z z 3 n n n n ( 恢 复 成 园 环 收 敛 域 ), z z z n n Re s [( z ) z z] () u n ( u n) ( ) z z Re s [( z ) n n z z] () u n ( u n) ( ) f( n) u( n ) u( n ) 情 况 Ⅱ: 持 续 期 无 限 的 能 量 信 号, f( n) n, 其 ROC 本 应 为 n n 例 如 : f ( n) a u( n) b u( n ); a b z (a z b ) u z a u( n), z a. z a n z b u( n ), z b. zb ( b a) z F( z), a z b. ( z a)( z b) (NO z ) 反 变 换 F() z z n ( ba) z ( z a)( z b) n ( ba) n n Re s[( z a) z ] zaa u( n) ( z a)( z b)

112 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ( ba) n n Re s[( z b) z ] zb b u( n ) ( z a)( z b) n n f ( n ) a u n( ) b u ( n ) Ⅲ, 希 尔 伯 特 (Hieber) 变 换 (H), 概 念 : 希 尔 伯 特 变 换 可 以 广 泛 写 作 : f ˆ( x) f ( x) (H) x ˆ f ( ) f ( ) (IH) 这 里 X 可 以 是 时 间, 频 率 W 或 S Z n 等 H 的 物 理 意 义 可 由 下 图 表 示, 其 中 : j f ( ) / f ( n) h( ) / h( n) / H( j ) / H( e ) ˆ ˆ f ( ) / f ( n) h () /h(n)= n H( jw) jsgn( w) H( jw ) 表 明 对 信 号 作 H, 就 是 将 正 频 率 成 分 移 相 -9 o 负 频 率 成 分 移 相 9 o, 而 各 频 率 成 分 幅 度 不 变, 即 是 说 H 是 9 o 移 相 器,H 的 计 算 ) 简 谐 信 号 的 H 由 于 H 是 9 o 移 相 器, 可 直 接 得 到 Acos w ASinw ASinw Acos w

113 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: Be Ce jw ) 窄 带 信 号 的 希 尔 伯 特 变 换 Be ce j( w 9) jw j( w 9) 由 于 窄 带 信 号 是 已 调 信 号, 对 其 作 H 只 变 换 其 载 波 部 分, 而 慢 变 的 调 制 信 号 则 不 变 各 种 调 制 的 广 播 信 号 ( 接 收 机 检 波 前 ) 通 信 信 号 均 是 窄 带 信 号 例 如 : Ac[ km( )]cos H AC[ km( )] Sin ( AM ) Acm( )cos H ACm( ) Sin ( DSBSK ) 对 于 一 般 情 况 f() 中 最 高 频 率 成 分 的 频 率 H, 则 有 f ( )cos H f ( ) sin 例 Ⅰ: 求 f ( ) Sinc cos34 解 : 因 Sinc F Re c( ) H cos34 cos [ ( ) ( )] 故 f() 是 窄 带 信 号, Sinc 慢 变 部 分,cos34 是 快 变 的, 有 f ( )* sin c cos34 3), 复 信 号 的 表 示 f ( ) A( )cos[ ( )] 当 时, 只 要.. f()... 是 窄 带 信 号..., 它 的 解 析 表 示 式 与 它 的 相 量 表 示 式 f ( ) f ( ) jf ( )* 3

114 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: [ ( ) ( ) j A e ] A( )cos[ ( )] ja( )sin[ w ( )] 是 相 等 的 只 要 论 证 f() 是 窄 带 信 号, 则 由 相 量 形 成 的 虚 部, 便 得 到 f ( ) 的 f ˆ( ) A ( ) Sin [ ( )] 例 Ⅱ: 求 中 波 广 播 ( 及 其 它 通 讯 ) 系 统 发 射 端 调 制 以 后 至 接 收 端 检 波 以 前 信 号 的 复 解 析 表 示 式 解 : 中 波 广 播 系 统 发 射 端 调 制 以 后 至 接 收 端 检 波 以 前 的 信 号 是 AM 调 制, 其 已 调 信 号 为 s( ) A [ k m( )]cos( ) c a 其 中 m() 是 包 含 信 息 的 调 制 信 号 它 的 频 谱 密 度 如 下 图 所 示 m() M(j ) S(j ) 由 上 面 己 调 信 号 s() 的 频 谱 密 度 s(j ), 具 有 - c c c 故 s() 是 一 窄 带 信 号, 则 有 s( ) Ac[ kam( )]cos( ) A [ k m( )]sin( ) c a s( ) ( ) s( ) js ( ) ( ) A [ k m( )]cos( ) c a ja [ k m( )]sin( ) c a Ⅰ. 有 关 概 念 四 系 统 分 析 4

115 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ:656674, 判 别 系 统 的 线 性 与 非 线 性 ( 以 方 程 判 定 ) ). 以 微 分 差 分 方 程 给 出 系 统 的 数 学 模 型 的 判 定 dy() 第 一, 方 程 中 微 分 差 分 ( 延 迟 或 左 移 ) 不 出 现 非 一 次 方 项 d, y ( k ) 第 二, 方 程 中 微 分 差 分 项 的 系 数 与 被 微 分, 差 分 函 数 无 关 满 足 以 上 两 个 条 件, 则 为 线 性 系 统, 反 之 为 非 线 性 系 统 例 Ⅰ: d y( ) dy( ) 5 y( ) f ( ) d d y k y k y k f u f k ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 以 上 均 为 非 线 性 系 统 例 Ⅱ: d y( ) dy( ) 5 y( ) f ( ) d d y( k ) y( k) y( k ) y( k ) f ( u) f ( k ) 以 上 均 为 非 线 性 系 统 ). 输 入 与 输 出 关 系 以 代 数 方 程 给 出 的 判 定 输 入 与 输 出 是 过 原 点 的 直 线 方 程, 则 是 线 性 的, 反 之 是 非 线 性 的 例 Ⅰ: 设 输 入 量 x, 输 出 量 y y c ax, a 为 常 数, c y a( x) x, a 为 x 的 函 数 y ax b, a,b 均 为 常 数 以 上 三 个 系 统 均 为 非 线 性 系 统 例 Ⅱ:y=ax,a 为 常 数, 则 为 线 性 系 统 5

116 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: j 3), 如 给 出 系 统 的 H( s), H( z), H( j ), H( e ), h( ), h( n) 的 确 切 表 示 式, 则 系 统 是 线 性 的 因 为 非 线 性 系 统 不 存 在 这 些 函 数, 判 别 系 统 的 时 变 与 时 不 变 性 ), 以 微 分 差 分 方 程 给 出 系 统 模 型 的 判 定 出 现 在 微 分 差 分 方 程 各 微 分 差 分 项 的 系 数 与 时 间 无 关, 则 为 时 不 变 系 统, 反 之 为 时 变 系 统 例 如 y( n) ny( n ) f ( n) ( n ) f ( n ) 为 时 变 系 统 ), 以 方 程 ( 非 微 分 差 分 ) 给 出 I/O 关 系 时 的 判 定 第 一, 关 系 式 中 不 出 现 输 入 信 号 与 另 一 时 间 函 数 相 乘 ; 第 二, 无 时 间 比 例 尺 变 化 满 足 以 上 两 条 的 则 为 I 系 统, 反 而 则 时 变 系 统 例 如, y( ) L( ) f ( ) y( ) f ( a) 以 上 两 个 系 统 均 为 时 变 系 统 换 句 话 说, 抽 样 器, 调 制 器, 相 干 检 波 器 等 ( 含 本 地 信 号 ) 及 信 号 时 间 扩 展 或 压 缩 器, 均 是 时 变 系 统 一 切 时 变 系 统 的 冲 激 相 应, 频 率 特 征 和 传 输 函 数 都 应 是 二 元 ( 自 变 量 应 二 个 ) 函 数, 即 j h(, ), h( n, m), H( s, ), H( z, m), H( j, ), H( e, ) 6

117 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: , 判 别 系 统 的 因 果 ( 物 理 可 实 现 ) 性 ). 根 据 冲 激 响 应 判 定 凡 满 足 h( ) / h( n), / n 的 系 统, 就 是 因 果 系 统 例 a h( ) e u( ), h( n) nu( n m), m 以 上 两 个 系 统 就 是 因 果 系 统 而 h( ) e,, h( n) nu( n 3), 以 上 两 个 系 统 就 是 非 因 果 系 统 ). 根 据 系 统 零 状 态 响 应 y f 与 输 入 f() f(n) 的 时 间 关 系 判 定 在 研 究 系 统 时, 总 是 将 输 入 信 号 作 用 于 系 统 的 时 刻 定 义 为 原 点, 所 以 输 入 信 号 总 是 因 果 的, 即 y ( ), y ( n ) 在 负 时 域 应 恒 为 零 f 例 Ⅰ: y( ) f ( ) f 因 f() 是 因 果 信 号,f(-+) 是 非 因 果 信 号, 故 该 系 统 是 非 因 果 的 此 过 程 如 图 所 示 f() 用 + 代 f(+) 用 - 代 f(-+) 例 Ⅱ: y( ) f ( a) u( a) a> y( n) f ( n)*[ u( n N) u( n N)] N> f ( n)* u( n N) f ( n)* u( n N) 7

118 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: N mn f( m) 均 是 非 因 果 的, 因 为 响 应 在 负 时 域 不 为 零 ( 输 入 f( n ) 是 因 果 ) 例 Ⅲ: 系 统 的 阶 跃 响 应 为 y ( n) nu( n) f y ( n) h( n) nu( n) ( n ) u( n ) u( n ) f 该 系 统 是 因 果 的, 且 时 不 变 的 例 Ⅳ: 系 统 的 零 状 态 响 应 为 因 为 y ( ) f ( b) d f y ( ) f ( b) u( ) f ( ) ( b) u( ) f h( ) u( ) ( b) u( b) 故 系 统 是 因 果 的, 且 时 不 变 的 3), 根 据 系 统 框 图 判 定 若 系 统 框 图 中 只 包 括 4, 系 统 的 稳 定 性 ; ; s ; c; z 等 可 物 理 实 现 的 部 件, 则 系 统 是 因 果 的 LI 系 统 的 稳 定 性, 是 由 系 统 的 结 果 和 参 数 决 定 而 描 述 系 统 结 果 和 参 数 信 息 的 是 系 统 的 数 学 模 型, 当 系 统 的 数 学 模 型 给 定 后, 其 稳 定 性 便 可 由 数 学 模 型 的 特 征 ( 解 ) 判 定 在 信 号 与 系 统 中, 稳 定 性 内 容 有 两 类 形 式 ). 给 定 数 学 模 型, 判 定 系 统 稳 定 与 否? 有 下 列 情 况 A, 给 出 yx() 或 yx( n ) 检 验 lim y ( ) lim y ( n) x 若 上 式 成 立, 则 系 统 稳 定 ; 反 之 不 稳 定 x 8

119 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 例 如 B, 给 定 微 分 或 差 分 方 程 y e e e u 5 x( ) ( ), 因 有 e u(), 故 不 稳 定, n n yx( n) (.5) (.) u( ), 因 有 (.5) n u ( ), 故 不 稳 定 求 齐 次 微 分 或 差 分 方 程 的 特 征 根, 对 于 连 续 系 统 ( 微 分 ), 检 验 特 征 根 的 实 部, 如 所 有 特 征 根 实 部 为 负, 则 系 统 稳 定 ; 若 任 一 个 特 征 根 为 或 为 正, 系 统 不 稳 定 对 于 离 散 ( 差 分 ) 系 统, 检 验 特 征 根 的 模 是 否 全 部 小 于, 如 是 则 系 统 稳 定 ; 任 一 个 特 征 根 等 于 或 大 于, 则 系 统 不 稳 定 如 d y dy df y d d d ( ) ( ) ( ) 6 ( ) 3 8 f ( ) 它 的 齐 次 微 分 方 程 的 特 征 方 程 为 r r6, 解 为 r 3, r, 因 r 系 统 不 稳 定 又 如 y( n ) y( n) f ( n) 其 齐 次 差 分 方 程 的 特 征 方 程 及 解 为,,, 系 统 不 稳 定 C, 给 定 系 统 的 传 输 函 数 H(s), H(z) 判 别 系 统 的 稳 定 性 对 于 连 续 系 统, 检 验 H(s) 的 极 点 是 否 全 部 具 有 负 实 部, 是 则 稳 定 ; 反 之 则 不 稳 定 ; 对 离 散 系 统, 检 验 H(z) 的 极 点 是 否 其 模 全 部 小 于, 是 则 稳 定, 反 之 则 不 稳 定 例 如 5s 3 H(s)= ( s j3)( s j3), 因 极 点 j3实 部 为 正, 故 不 稳 定 9

120 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: z H() z ( z)( z.), 因 极 极 点 P 其 摸 大 于, 故 不 稳 定 D, 给 定 冲 激 响 应 h(),h(n) 稳 定 条 件 为 lim h ( ) 或 lim hn ( ) n 或 n h( ) d, hn ( ) 是 否 满 足, 满 足 则 稳 定, 反 之 则 不 稳 定 jw E, 给 定 系 统 的 频 率 响 应 特 性 H(jw), He ( ) 判 定 系 统 稳 定 性 jw 当 系 统 的 频 率 响 应 特 性 H(jw), He ( ) 给 定 时, 系 统 就 是 稳 定 的 F 给 定 的 数 学 模 型 中 有 未 知 参 数, 求 使 系 统 稳 定 该 参 数 的 取 值 范 围 例 : 系 统 的 差 分 方 程 为 y( k ) ky( k) f ( k), 求 使 系 统 稳 定 k 的 取 值 范 围 解 : 系 统 齐 次 差 分 方 程 的 特 征 方 程 为 k, 其 根 k, 要 使 系 统 稳 定, 特 征 方 程 的 模 k 或 k (,) Ⅱ. 求 解 系 统 响 应, 与 迭 加 性 有 关 的 响 应 要 特 别 注 意, 系 统 响 应 中 只 有 零 输 入 y x 和 零 状 态 y f 各 自 具 有 迭 加 性 和 齐 次 ( 比 例 ) 性, 而 系 统 的 全 响 应 不 具 迭 加 性 和 齐 次 性 因 此, 当 给 出 是 全 响 应 时, 要 将 其 分 解 成 和, 对 y x y f 单 独 可 用 迭 加 性 和 齐 次 性 下 面 举 例 说 明 y x 与 y f 之

121 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 例 Ⅰ: 有 -LI 系 统, 输 入 f() 时, 系 统 响 应 为 y e u 3 ( ) sin ( ) 输 入 f() 时, 其 响 应 ( ) 3 y sin ( ) e u, 求 输 入 ( ) f 时, 系 统 的 响 应 解 : 本 体 所 给 y (), y () 可 以 看 出, 他 们 是 全 响 应, 不 满 足 齐 次 性, 包 含 一 个 起 始 状 态 所 以 有 y y y e u 3 ( ) x( ) f( ) sin ( ) y y y e u 3 ( ) x( ) f( ) sin ( ) y y e u 3 x( ) f( ) sin ( ) y ( ) y ( ) y ( ) sin u( ) f y ( ) sin ( ) f u 3 y( ) y( ) y ( ) x e u( ) 当 输 入 ( ) f 时, 利 用 齐 次 性 和 延 迟 不 变 性 有 y f ( ) sin ( ) u( ) 而 起 始 条 ( 状 态 ) 未 变, 故 全 响 应 为 例 Ⅱ, 有 -LI 系 统, 当 输 入 y e u u 3 f ( ) ( ) sin ( ) ( ) f ( ) ( ) 时, 其 响 应 ( ) ( ) y ( ) e u ; 当 输 入 f ( ) u( ) 时,

122 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 响 应 ( ) 3 y ( ) e u 求 输 入 f ( ) [ u( ) u( )] 3 时, 系 统 的 全 响 应 y () 3 解 : 显 然 y () y () 是 全 响 应 要 求 y () 3, 一 要 求 出 y () 3 x 它 有 y3x ( ) yx( ) y x( ) ; 二 要 找 到 系 统 的 传 输 函 数, 因 为 f () 3 与 f () f () 不 是 简 单 的 迭 加 比 例 关 系, 这 需 要 从 y () 与 输 入 f() f 的 关 系 中 求 得 d d 据 题 意 有 y f( ) y f( ) ( 因 f( ) ( ) f( ) ) d d y ( ) y ( ) y ( ) ( ) e u( ) x f y ( ) y ( ) y ( ) 3 e u( ) x f y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) ( ) e u( ) f f dy f () y f ( ) ( ) e u( ) d s syf( s) yf( s) s s f( ) F( s) s 则 得 系 统 的 传 输 函 数 H(s) 为 Hs s y () s s s F ( s) s s s s f ( ) { } yf ( s) H( s) F( s) e u( ) s y ( s) y ( s) y ( s) y ( ) y ( ) e u( ) x x 3x f s s y3f ( s) H( s) F3( s) e e s s s s

123 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: s s ( e ) e s( s ) s u e u u e u e u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u( ) e u( ) u( ) y ( ) y ( ) y ( ) 3 3x 3 f e u( ) u( ) e u( ) u( ) e u( ) u( ) u( ),LI 系 统 对 简 谐 信 号 的 响 应 如 果 LI 系 统 的 输 入 信 号 是 简 谐 信 号 cos. sin. e jw 及 周 期 信 号 ( 表 成 jw FS) 用 频 率 响 应 H(jw)H ( e ) 计 算 响 应 y f 最 为 简 便 将 输 入 信 号 的 频 率 w 代 入 频 率 响 应 中, 得 模 和 相 角, 这 时 输 出 y f 的 幅 度 等 于 输 入 信 号 幅 度 乘 以 频 率 响 应 的 模, 相 位 等 于 输 入 信 号 相 位 与 频 率 响 应 的 相 角 之 和 例 Ⅰ:LI 系 统 的 Hs () s, 5 求 f() 是 5cos( 3 ),sin( ),6e j 时, 系 统 的 y (). f 解 : 由 H(s) 得 极 点 P=-, 系 统 是 稳 定 的, 故 有 频 率 响 应 为 H( jw) H( s) s jw jw 当 f 时, w, 则 ( ) 5cos( 3 ) H( jw) e jw j4 故 输 出 y f ( ) 5 cos( 5 ) 当 f 时, w =, 则 ( ) sin( ) 3

124 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: j H( jw) e, g jz 5 4 y 5 f ( ) sin( ) 当 f e 时, w =5, 则 ( ) 6 j 5 3 H jw e g j5 6 j ( ), 5 y f 3() e 6 j(5 ) z 例 Ⅱ: 离 散 LI 系 统 H() z, 求 输 入 f ( n) 5e j n 时 的 yf ( n ) z.5 解 : 由 H(z) 的 极 点 模 小 于, 系 统 是 稳 定 的, 故 有 故 jw jw jw H ( e ) e ( e.5) w j e,.8 5 y f ( n) e.8 g j( n ) 3,LI 系 统 对 任 意 输 入 响 应 由 于 输 入 f(),f(n) 不 是 简 谐, 这 时 利 用 变 换 法 的 分 解 法 较 方 便 因 为 y( ) y ( ) y ( ) 或 y( n) y ( n) y ( n) 分 别 求 yx() 和 yx( n ) ), yx(), yx( n ) 的 求 解 第 一 步 : 求 传 输 函 数 H(s) 或 H(z) 的 极 点 x x f f 4

125 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 第 二 步 : 写 出 z 对 H(s) 有 极 点 P, P, Pi, Pj ( 考 试 最 多 出 现 二 重 极 点 ) 对 H(z) 有 极 点 r, r, r, r ( 同 上 ) y x 的 通 式 i j p j y ( ) c e c e c e u( ) pi p j x i j j i 单 极 点 重 极 点 及 n n n yx( n) ciri c jrj c jnrj u( n) i 单 极 点 重 极 点 ). yf (), yf ( n ) 的 求 解 第 一 步 : 求 输 入 信 号 的 变 换 F(s) 或 F(z); 第 二 步 : 将 传 输 函 数 与 输 入 信 号 的 变 换 相 乘 得 H(s)F(s),H(z)F(z); 第 三 步 : 作 乘 积 的 因 果 反 变 换, 可 用 留 数 法 进 行 例 Ⅰ: 已 知 LI 系 统 的 微 分 方 程 输 入 信 号 及 起 始 状 态 为 d y dy df y d d d ( ) ( ) ( ) 6 5 ( ) f ( ) f e u ( ) ( ) y( ) 5 ;y()=3 求 系 统 的 全 响 应 解 : 首 先 求 系 统 的 传 输 函 数 y( s) s s Hs () F s s s s s ( ) 6 5 ( )( 5) 5

126 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 其 次 求 第 三 求 y () f y c e c e u 5 x( ) ( ) 5 5 e e u( ) [ y () c c 3 x, y c c () 5 5 y () y () 4c 8 c x 由 c c 3 c 5] ) f ( ) e F( s) s 4s ) H( s) F( s) ( s )( s )( s 5) 3 5 3) 反 变 换 得 y f ( ) e e e u( ) 例 Ⅱ: 离 散 LI 系 统 的 冲 激 响 应 ( 又 称 单 位 样 值 响 应 ) 零 负 状 态 和 输 入 为 n n h( n) 4(3) 4() u( n) y (), y () 3 f ( n) u( n) 求 系 统 的 全 响 应 解 : 首 先 传 输 函 数 其 次 求 yx( n ) 有 第 三 求 y ( n ) f 4z 4z 4z h( n) Z H( z) z 3 z ( z )( z 3) n n n n yx( n) c c3 u( n) 3() (3) u( n) z ) f ( n) u( n) z 6

127 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ) H( z) F( z) z z ( z )( z )( z 3) n 4 n n 3) 反 变 换 y f ( n) u( n) 8() 6(3) u( n) n n 最 后 得 y( n) yx( n) y f( n) u( n) 5() 5(3) u( n) 4, 给 出 输 入 输 出 求 另 一 输 入 引 起 的 响 应 n 由 己 知 一 LI 系 统 的 输 入 和 输 出 信 号, 求 该 系 统 对 另 一 输 入 的 响 应, 这 种 情 况 可 有 两 处 理 方 法 一 种 是 由 给 出 的 输 入 输 出 求 得 系 统 函 数, 再 由 系 统 函 数 求 其 对 另 一 输 入 的 响 应 ; 另 一 种 方 法 是 找 出 两 个 输 入 的 关 系, 便 可 求 出 要 求 的 响 应 下 面 举 例 说 明 例 : 已 知 x () 和 x () 如 下 图 a,c 所 示 其 中 y( ) x( ) h( ) 如 下 图 b 所 示 求 x ( ) h( ) X () - a y () -4-4 b x () c 解 法 Ⅰ: 因 dx() x( ) ( 3) d y ( ) x ( ) h( ) dy () d x h d [ ( )] ( ) d dx () x h h d dx () d dy () ( 3) d ( ) ( ) [ ( )] ( 3) [ ( 3)] h( ) 6 = Re c( ) Re c ( ) x ( ) h( ) 解 Ⅱ: 由 给 出 的 输 入 ~ 输 出 关 系, 求 出 系 统 函 数 7

128 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 将 梯 形 分 解 成 两 个 三 角 形 之 差, 即 有 ( ) ( ) y ( ) 表 三 角 波, 前 面 系 数 表 高,() 中 分 母 表 底 宽 8 4 ( ) ( 4) u( 4) u( ) ( 4) u( 4) 8 [ e e ] ( e e ) ( e e ) s s 4s 4s s s s s ( ) ( ) u( ) u( ) ( ) u( ) 4 s s s s [ e e ] ( e e ) s s s s x( ) ( ) x( s) ( e e ) 4 s Fs () H s e e x () s s s ( ) h( ) ( ) ( ) ( ) x ( ) h( ) x ( ) x ( ) x ( ) 故 有 6 Re c ( ) Re c ( ) 解 法 Ⅲ: 将 y () 分 解 成 三 个 同 输 入 信 号 一 样 的 三 角 波 形, 如 下 图 所 示 8

129 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: x () g () y () g () g 3 () -4-4 y ( ) g ( ) g ( ) g ( ) 从 图 可 知, 3 g ( ) x ( ) ( ) g ( ) x ( ) ( ) g ( ) x ( ) ( ) 3 显 然 有 h( ) ( ) ( ) ( ) 故 得 到 x( ) h( ) x ( ) x ( ) x ( ) 6 = Re c( ) Re c( ) Ⅲ. 抽 样 系 统 9

130 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f() f( n) cli 系 统 yn ( ) y () 抽 样 系 统 是 在 连 续 时 间 系 统 的 输 入 输 出 端 设 置 同 步 开 关, 对 连 续 信 号 进 行 抽 样, 而 成 离 散 系 统, 如 由 上 图 所 示 抽 样 系 统 中 连 续 子 系 统, 可 以 建 立 或 给 定 其 数 学 模 型, 剩 下 的 问 题 是 要 建 立 抽 样 后 系 统 的 数 学 模 型, 连 续 子 系 统 微 分 方 程 给 定 或 易 于 建 立 时, 即 有 n n m d y( ) d y( ) d f ( ) a a ( ) ny bm bf ( ) n n m d d d 第 一 步 : 对 y(),f() 进 行 抽 样 得 y(n),f(n); 第 二 步 : 对 各 阶 微 分 用 差 分 代 替, 即 dy( ) y( ) y( ) lim y( n ) y( n) y( n)( ) d 或 y( n) y( n) y( n ) y n y n y n y n y n y n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 依 次 类 推, 微 分 方 程 经 代 替 得 差 分 方 程 y( n) a y( n ) a y( n k) b f ( m) b y( m ) b y( n m) k m m, 由 连 续 子 系 统 传 输 函 数 H(s) 求 H(z). 由 于 从 s 域 映 射 到 z 域 不 是 一 一 对 应 (s 域 虚 轴 每 段 都 映 射 z 域 单 位 圆 上 ), 所 以 不 能 用 S l z 代 换 由 于 抽 样 是 在 时 间 域 进 行, 所 以 n 第 一 步 : 由 H(s) 求 IL 得 到 h() 第 二 步 : 对 h() 抽 样 得 h(n) 第 三 步 : 求 h(n) 的 Z, 得 H(z) 3

131 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 例 : 有 LI 系 统, 由 连 续 系 统 抽 样 成 的 离 散 系 统, 其 Hs () 求 其 H(z). s a ) ) () 5 a H( s) h( ) 5 e u( ) s a an h 抽 样 h( n) 5 e u( n) 3) 5z h( n) Z H( z) a z e Ⅳ. 混 合 系 统 分 析 这 里 所 谓 混 合 系 统 是 系 统 中 包 含 有 时 变 ( 内 部 信 号 与 输 入 信 号 相 乘 或 输 入 信 号 经 过 子 系 统 的 输 出 相 乘 ) 子 系 统 非 线 性 子 系 统, 线 性 时 不 变 子 系 统 等 的 系 统 混 合 系 统 不 具 有 整 体 的 微 差 分 方 程 冲 激 响 应 传 输 函 数 频 率 响 应 特 性 等 数 学 模 型 混 合 系 统 的 分 析, 是 分 段 进 行, 下 面 举 例 说 明 例 Ⅰ: 有 一 系 统 如 下 图 所 示, 其 中 3 f ( ) (4 k)cos k, k y( ) cos k k 求 : 系 统 的 输 出 r() 及 当 = 时 及 时 间 =n 时 的 r() 的 值 Y() H( j) f() p() r() H(j ). -3 / 3 / 解 : 这 是 一 个 时 变 系 统, 由 内 部 时 间 函 数 y() 与 输 入 f() 相 乘 的 时 变 子 系 统 与 LI 相 串 联 组 成 这 类 系 统 只 能 用 分 段 分 析 法 首 先 : 计 算 时 变 部 分, 有 3

132 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: p( ) f ( ) y( ) 4 3cos( ) cos( 4 ) cos( 6 ) cos( ) cos( 4 ) cos( ) 4cos( ) cos( ) 8cos( ) 6cos ( ) cos( )cos( ) cos cos 8cos 6cos cos 4cos 6 4 cos cos 其 次 : 系 统 输 出 是 经 后 接 频 率 响 应 为 H(jw) 的 LPF, 3 p() 中 w 的 成 份 被 滤 除 则 有 r ( ) 8 3 (6 8 3 )cos( ) 3 cos( ) 最 后 : 当 =n(n 为 整 数 ) r( n) 3 cos( n) 33 例 Ⅱ: 有 一 系 统 如 图 所 示, 要 求 输 出 y( ) f ( ), 3

133 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f() x () x x () ( ) x ( 3 ) x() H ( j) H ( j) H ( j) cos L() L () cos cos L() L () F(j ) A - c y () y () H ( j) H ( ) j c 求 :) x ( jw ) 及 图 示 ) x ( jw ) 及 图 示 3) x 3 ( jw ) 及 图 示 并 确 定 w 4) 求 出 H ( jw ) 的 参 数 解 : 这 也 是 一 个 混 合 系 统, 需 分 步 进 行 结 果 如 图 A.B.C.D.E.F 所 示. ), x ( ) f ( )cos x ( j) x ( j) F( j) [ ( ) ( )] 如 下 图 A 所 示 A x ( j) B x ( j) C x ( j) x ( ) x ( j) x ( j) H ( j) ),

134 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 将 x ( j ) 中 频 率 的 成 份 滤 掉, 得 到 如 图 B 所 示 x ( j) x ( j) [ ( ) ( )] 3), 3 如 图 C 所 示 4), H ( j) 4 rec( ) A D h() h () 3 F f() h () B C Cos 4 h() E 9 移 相 Cs5 h () 3 + G 到 ( h ) () 4 H 例 Ⅲ: 有 一 系 统 如 图 所 示. 其 中 f ( ) sin c(5 ); 4 4 h( ) H( j) rec( ) rec( ) h( ) H( j) rec( ); h ( ) ( ) 4 求 A.B.C.D.E.F.G.H 各 点 处 信 号 及 频 谱 的 表 达 式 或 波 形. 解 : 这 也 是 由 时 变 子 系 统 和 LI 子 系 统 组 成 的 系 统, 仍 然 应 采 用 分 段 分 析. 34

135 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: A 点 : 4 A( ) f ( )cos w A jw rec w w 4 4 ( ) ( )*[ ( ) ( )] / A(j ) B() 4 4 B(j ) o -9 o B 点 : C 点 : B( ) sin 4 B jw j 4 4 ( ) [ ( ) ( )] 4 c( ) f ( )cos c j j 4 4 ( ) rec( ) [ ( ) ( )] 其 波 形 和 频 谱 密 度 与 A( ) 和 A( j ) 类 似, 只 是 载 波 由 余 弦 变 成 正 弦 以 及 相 位 谱 密 度 有 区 别 D 点 : 4 4 w w 因 为 h( ) H( ) rec( ) rec( ), 能 使 A() 不 衰 减 的 通 过. 故 35

136 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: D( ) A( )cos(5 ) [cos 5 cos5 ] f ( ) w D( jw) rec( ) [ ( w 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( w 5 )] / D(J ) E 点 : E( ) c( )sin(5 ) E( j) rec( )* j [ ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 )] 其 E( j ) 与 D(j ) 相 同, 相 位 谱 在 5,5 处 是 -9, 而 在 -5,-5 处 是 正 9 F 点 : w 由 于 h3( ) H3( ) rec( ), 只 能 让 D() 中 角 频 为 5 的 项 无 衰 减 地 通 过, 而 将 频 率 为 5 的 项 全 部 衰 减 掉 故 f ( ) f ( )cos5 F( j) rec( )*[ ( 5 ) ( 5 )] G 点 : 36

137 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: G( ) f ( )sin5 波 形 与 F() 的 包 络 相 同, 只 是 载 波 不 是 余 弦, 而 是 正 弦 G( j) rec( )*[ ( 5 ) ( 5 )] j 其 振 幅 频 谱 图 与 F(jw) 相 同, 相 位 谱 是 负 频 率 为 9 ; 正 频 率 为 -9 F(j ) H 点 : 由 于 h ( ) ( ) 4, 只 是 位 移 故 H( ) [ F( ) jg( )]* ( ) cos5 j sin 5 f ( ) * ( ) ( ) j5 f e * ( ) f ( ) e j5 ( ) 37

138 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: w jw j5 H( jw) rec( ) e * ( w5 ) e 5 w5 j5 j5 rec( ) e e j w 5 e rec( ) / H(j ) - Ⅴ.LI 系 统 的 模 拟 系 统 模 拟 一 是 要 会 用 moson( 梅 逊 ) 公 式 和 系 统 方 框 图 或 信 号 流 图, 用 直 视 法 写 出 系 统 传 输 函 数 H(S) H(Z); 二 是 根 据 H(S) H(Z) 画 出 系 统 的 级 联 (casecade) 串 联 (series) 和 并 联 (parae) 等 形 式 的 模 拟 图 教 科 书 都 有, 篇 幅 也 不 多 此 略 五 信 号 中 成 份 的 提 取 方 法 Ⅰ. 信 号 ( 已 调 ) 振 幅 的 提 取,AM 已 调 信 号 AM 已 调 信 号 及 其 频 谱 密 度 可 表 为 f ( ) A [ k m( )]cos w k m( ),( 一 般 为.35) c A c a F( j) A [ ( ) ( )] c c c Ac kam[ j( c )] Ac kam[ j( c )] 38

139 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 其 图 形 分 别 如 右 A.B.C.D 所 示, 由 于 f() 的 包 络 就 是 待 提 取 的 信 号 m(), 所 以 E 图 所 示 的 包 络 检 波 器, 就 能 提 取 出 m() ( 注 意 : 有 的 人 从 f() 表 示 出 发, 用 cos w c 去 除 f()) 得 到 Ac[ KAm( )], 再 通 过 隔 直 电 容 得 Ack am() 这 样 作 的 错 误 是 cos w, c 当 w= n c 时 为 零, 零 是 不 能 作 除 数 的 ; 再 者 cos w c 从 何 而 来, 也 是 有 困 难 的 M() M(j ) m() F( j ) cos c 已 调 信 号 f() - c c y(j ) m() R AM 检 波 器 y() C,DSB 信 号 39

140 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: m() M(j ) F( j ) m( )cos 已 调 DSB 信 号 c c c DSB 检 波 器 f() cos[( ) ] c LPF y() y( j ) c km() DSB 已 调 信 号 及 频 谱 密 度 为 f ( ) A m( )cos c F( j) A M ( j)*[ ( ) ( )] c c c 注 意 已 调 波 形 包 络 ( 正 或 负 ) 已 不 是 m(), 过 零 点 处 载 波 相 位 倒 转, 其 频 谱 已 没 有 载 波 c w c 处 的 两 个 函 数 DSB 信 号 的 解 调 或 提 取, 必 须 知 道 w, 无 论 是 从 f() 中 提 取 w, 还 是 按 照 已 知 w c 产 生 cos w, c 都 会 有 一 定 的 误 差, 所 以 在 DSB 检 波 器 图 中 用 cos[ wc w ], 其 中 w, 表 示 频 率 和 初 相 的 误 差 从 DSB 检 波 器 图 中, 得 y( ) f ( )cos[( ) ] = c c 经 过 LPF, 上 式 第 一 项 角 频 率 为 w c c A m( ){cos[( w w) cos( w )]} w, 被 滤 除, 只 有 第 二 项 能 通 过, 则 有 c c 4

141 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: y( ) A m( )cos( w ) c 当 条 件 w 时, y( ) A m( ) c 由 于 当 w, 时, 系 统 内 部 信 号 的 频 率 和 初 相 位 同 输 入 信 号 f() 的 频 率, 初 相 位 就 完 全 相 等, 即 同 步 了 所 以 这 种 信 号 提 取 系 统, 称 为 同 步 检 测 器 ; 由 相 位 ( 频 率 锁 相 ) 相 同, 相 位 间 就 有 确 定 的 关 系, 又 称 为 相 位 相 干 ( 相 关 ), 这 种 系 统 又 称 相 干 检 测 器, 由 于 只 有 一 个 通 道, 又 称 为 单 路 相 干 检 测 波 3,SSB 已 调 信 号 SSB 信 号 表 为 : mˆ ( ) m( )* f ( ) m( )cos mˆ ( )sin c c 其 中 mˆ ( ) m( )* 其 频 谱 密 度 为 F ( j) M ( j) u( j)* ( ) u M ( j) u( j)* ( ) c c (f() 右 边 取 负 号 时 ) 如 果 只 提 取 m(), 仍 可 用 DSB 的 单 路 相 干 检 波 器, 这 时 有 y( ) [ m( )cos mˆ ( )sin ]cos[( ) ] c c m ( ) cos[( ) ] cos( ) 4

142 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 经 过 LPF 得 m ˆ ( ) sin[( ) ] sin( ) y ( ) m ( )cos( w ) m ˆ ( )sin( w ), 当 w, 时, y( ) m( ) M( j ) F ( ) u j - H F ( ) L j H c x() c LPF y() 9o 移 相 cos[ ) ] c c c Z() LPF Q() 如 果 要 分 别 得 到 m () 和 m ˆ (), 则 可 用 上 图 所 示 双 路 相 干 检 波 ( 由 于 两 路 内 部 信 号 相 差 9, 即 正 交, 所 以 又 称 正 交 相 干 检 波 器 ), 对 于 上 面 一 路 完 全 与 单 路 相 同, 得 到 y( ) m( ) 对 于 下 面 一 路 有 z( ) m( )cos mˆ ( )sin sin[( ) ] c c c 4

143 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 经 过 LPF 得 m ( ) sin[( c ) ] sin( ) m ˆ ( ) cos( ) cos[ c ] Q ( ) m ( )sin( w ) m ˆ ( )cos( w ) 当 同 步 时, w, Q ( ) m ˆ ( ) Ⅱ. 信 号 相 位 的 提 取 如 果 信 号 的 相 位 ( 不 是 初 相 ) 含 有 信 息, 就 需 要 提 取 它 含 相 位 信 息 的 信 号, 应 用 十 分 广 泛 因 而 它 的 提 取 也 是 非 常 重 要 的, 调 频 信 号 波 形 如 下 图 所 示, 等 幅 谐 波 频 率 随 m() 幅 度 变 化 调 制 信 号 m() FM 已 调 信 号 f() 可 表 为 f ( ) A cos( w k m( )) c c F 在 f() 中 m() 是 要 提 取 的, 很 易 想 到 将 频 率 变 化 首 先 变 换 成 振 幅 变 化, 再 用 包 络 检 测 器 检 出 振 幅 变 化, 便 可 得 到 m() 由 于 m() 在 cos 函 数 中, 容 易 看 出 先 对 f() 微 分, 就 能 得 43

144 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 到 幅 度 随 m() 变 化 即 有 f() 微 分 器 AM 检 波 器 k m() df () d df () d A [ k m( )]sin( k m( )) c c F c F 由 上 式 可 见, df () d A k m k m Cc[ F ( )]cos[( c F ( ) 9 )] 的 信 号 形 式 同 AM 已 调 信 号 形 式 相 似, 就 可 用 包 络 检 波 器 得 到 m(), 整 个 系 统 如 图 所 示, 它 由 一 微 分 器 与 包 络 检 波 器 串 联 组 成 ( 微 分 器 根 据 其 频 率 响 应 特 性 可 由 谐 振 电 路 实 现, 参 见 高 频 电 路 ) 由 于 能 检 出 f() 的 频 率 变 化, 所 以 又 称 鉴 频 器, 其 它 相 位 信 号 f ( ) A cos[ ( )] A. 当 () 时, 就 是 所 谓 二 相 调 制 信 号 B. 当 () a 时, 就 是 频 移 信 号, 或 多 普 频 移 信 号 在 f() 中, 要 提 取 (), 可 用 双 路 相 干 检 波 器, 这 时 有 c x( ) f ( )cos[( ) ] c c A {cos[( w w) ( )] cos( w ( )} c c 经 过 LPF 得 I( ) A cos ( ), w, ( 同 步 ) c 44

145 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 另 一 路 Q( ) A sin ( ) c f() x () LPF I () I Q () cos c 9 o 移 相 y() Q() () LPF Q g I Q( ) sin ( ) g() I( ) cos ( ) 则 () g Q () g () { 相 位 Phase} ( ) I ( ) Q ( ) ( 包 络 --Envelope) 材 这 个 系 统 由 于 是 双 路, 且 两 路 相 位 又 相 差 9, 所 以 一 般 又 称 为 双 路 正 交 相 干 检 波 器 Ⅲ 振 幅 相 位 同 时 提 取 信 号 f ( ) 中 的 幅 度 和 相 位 均 需 提 取, 应 用 也 很 广 泛 这 种 信 号 可 表 示 为 f ( ) ( )cos[ ( )], c 从 f() 中 提 取 出 () 和 (), 可 用 上 面 的 双 路 正 交 相 干 检 波 器, 从 图 中 可 得 x( ) ( )cos[ ( )]cos c c 45

146 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ( )[cos( c ( ) cos ( )] I( ) ( )cos ( ) y( ) ( )cos[ w ( )]sin c ( )[sin( c ( )) sin ( )] Q( ) ( )sin ( ) 两 路 平 方 和 开 方 得 [ I ( ) Q ( )] [ ( )[cos ( ) sin ( )]] 4 u () Q( ) sin ( ) I( ) cos ( ) g g g g () [ ( )] Ⅳ 组 合 信 号 的 提 取 组 合 信 号 的 提 取 可 根 据 信 号 的 时 域 或 频 域 的 特 征, 设 计 提 取 系 统, 下 面 举 例 说 明 其 中 f( ), f( ) 的 频 谱 具 有 w f ( ) [ f ( ) f( )] [ f( ) f( )]cos w cos( ) F( j ) 4 w

147 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 且 F ( jw ) wc 求 : f () 和 f () Oher 其 他 ww c 3 解 : 根 据 f() 的 频 谱 F(jw) 的 结 构, 可 以 用 三 个 滤 波 器 将 f() 分 成 三 个 信 号, 4 第 一 个 滤 波 器 的 频 率 特 性 设 计 为 F( j ) - c H( j) rec( ) rec( ) 它 只 让 f() 的 第 一 项 通 过, 输 出 为 f ( ) f ( ) - c / / c c f() H ( j) H ( j) H ( j) 3 f ( ) f ( ) [ ( ) ( )]cos c f f 倍 频 cos c + - LPF f f 第 二 个 滤 波 器 的 频 率 特 性 设 计 为 47

148 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ( ) ( c ) ( c H ) j rec rec 它 让 f() 的 第 二 项 通 过, 输 出 为 [ ( ) ( )]cos c 第 三 个 滤 波 器 的 频 率 特 性 设 计 为 f f c / c / H3( j) rec( ) rec( ) 这 里, 是 窄 带 滤 波 器, 它 只 让 f() 中 的 第 三 项 通 过, 输 出 为 cos c 经 倍 频 为 3 cos w c H ( j), H ( j ) 的 输 出 经 相 乘 器 和 LPF 组 成 的 单 路 相 干 检 波 器, 得 到 [ f ( ) f ( )]cos cos [ f ( ) f ( )][cos cos o] LPF f ( ) f ( ) [ f ( ) f ( )] [ f ( ) f ( )] f ( ) 经 和 差 运 算 得 [ f ( ) f ( )] [ f ( ) f ( )] f ( ) c c ~~~~~~~ 结 束 ~~~~~~~~ 48