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泔栾
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2 :,, OpenGL,, OpenGL, Windows Visual C ++ OpenGL,,,, CAD CG, : ,,,, ;,, ( CIP) /,,. :, ( 21 ) ISBN TP CIP ( 2005) : : http: / /www. tup. com. cn : : : : : : : : : 358 : : ISBN / TP 7086 : :

3 : : : ( ) : :

4 P RE F ACE 21, 21,,, 21, 20 ACM IEEE,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 21,, ,,,,,, 21,

5 , 21 ACM IEEE /CS Computing Curricula 2001( CC2001 ),,,, CC2001,, 2002 ( China Computing Curricula 2002, CCC2002), 21 ACM IEEE /CS CC2001, CCC2002,,,

6 F OREWORD, 20 60, 20 80,,,,,,,,,, CAD / CAM/ CAE, 1994, 10, 9 1, ; 2,, Windows OpenGL ; 3,,, Visual C ++ OpenGL ; 4,, OpenGL ; 5, Windows MFC OpenGL ; 6,,, OpenGL ; 7,,, OpenGL NURBS ; 8, ; 9, CAD / CAM : ( 1 )

7 40,,,, ( 2 ),, ( 3 ) OpenGL,, Windows OpenGL,, OpenGL,, OpenGL, OpenGL OpenGL 1 ; 2 ; 3 ; 4 8 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9,!,,

8 CO NTE NT S Windows Windows Windows Windows Windows OpenGL OpenGL OpenGL OpenGL Visual C ++ OpenGL OpenGL 26

9 Visual C Visual C OpenGL OpenGL OpenGL OpenGL OpenGL OpenGL

10 OpenGL OpenGL OpenGL ModelView OpenGL Model OpenGL View OpenGL OpenGL OpenGL Windows MFC ( FitWindow)

11 OpenGL OpenGL OpenGL OpenGL Z Z OpenGL OpenGL OpenGL OpenGL

12 B zier B zier B zier B B B B B B B OpenGL OpenGL NURBS OpenGL NURBS OpenGL NURBS CSG

13 CAD / CAM CAD / CAM

14 ,,,, ( computer graphics, CG), 20 80,,,,,,,, CAD / CAM/ CAE, computer graphics ( ) Ivan E. Sutherland 1963 Sketchpad: CRT, 1958 Calcomp, GerBer Ivan E. Sutherland Sketchpad,, 1-1 Ivan E. Sutherland Sketchpad

15 1-1 Ivan E. Sutherland Sketchpad, 20 60, , ,,, 20 80,, CPU /,,,,,,, ( ),, 30 /,, 20 60,,,, 20 70,,,,,, 1-2 SAMSUNG 6

16 , ( locator) ( stroke) ( valuator) ( choice ) ( pick) ( string), 6,,,,,,,, 1-2 SAMSUNG,,,,,,,,,,,,, , 1.,, Bresenham ;, 2. 3.,

17 Z, Gouraud Phong,, ( ),,, 4.,,,,,,,,,,,,, 5., ,,, Ferguson 1963, B zier 1962 UNISURF, de Casteljau 1959 CAD, Coons 1964,, B, 1972, deboor Cox B B, 1975, Riesenfeld B, Versprille B, , Piegl Tiller B, B ( non-uniform rational B-spline, NURBS) 1991 ( ISO), NURBS CAD NURBS 6.,,,,

18 , 40, 20,,,, Volume Graphics,, , ,,,,, ;, ( computational geometry),,, 1. 3,, 20 80,

19 ,,, 1. ( graphical user interface, GUI),,,,,,, 2. ( CAD / CAM) ( computer aided design, CAD) ( computer aided manufacturing, CAM) CAD /CAM,, CAD / CAM, ( CIMS) 3. ( visualization in scientific computing),,, see the unseen, 4. ( geographical information system, GIS),, 5.,, 6.,, 1-3

20 ( virtual reality, VR) ( virtual environment),,,, 8. ( reverse engineering),,,,,, 1. 1? 1. 2?

21 ,, OpenGL , 1. ( CRT) ( CRT) 2-1, 5,,, ( pixel),, CRT, 3, 3 3, 3 3,,,,,

22 9 2-1 ( CRT) , 8,, 256 ( 8 ), = 16, 16 ( 24 ) , 20 80, ( liquid crystal display, LCD),,,,, ;,,, ( plasma display panel, PDP),

23 2.,,,,,,,,,,, 3.,, , OpenGL,,, AutoCAD 3DS MAX,,, CAD /CAM 1. : ACIS Parasolid CAD / CAM ACIS Parasolid ACIS Parasolid Braid Ian 1973 Baumgart B. G. GEOMED ( ), ( B-rep) 1974 Braid Ian Charles Lang Alan Grayer

24 Shape Data, Romulus, 1988 Parasolid,, ( ), Parasolid,, CAD, CAD UGII SolidWorks Parasolid EDS( Electronic Data Systems) CAD / CAM, 7000, CAD / CAM/CAE, 1989 Braid Ian ACIS, ACIS 3 ( Solid) ACIS 1986 ( Spatial Technology Inc. ), NURBS, NURBS, ACIS STEP,,, ACIS ACIS, C ACIS, Romulus 4 20, Parasolid 2 6 ACIS, 3D ACIS 3D Toolkit 380, 180, ACIS, AutoCAD CAD-KEY Mechanical Desktop Bravo TriSpectives TurboCAD SolidModeler VellumSolid, Spatial Technology ACIS 7. 0 ACIS : ( ACIS 3D Toolkit) ( Optional Husks),, : ; ; ; ; ; ACIS,, ACIS ACIS C DLL, 3D, ACIS 2. CAD / CAM CAD /CAM, AutoCAD 11

25 AutoCAD PC Autodesk, 20 80, 1996 Autodesk MDT, PC,, Unigraphics( UG) UG Unigraphics Solutions,, Parasolid,,, 1997 Unigraphics Solutions Intergraph CAD, Solid Edge Parasolid, UNIX Windows NT CAD /CAE / CAM/ PDM Pro / Engineer Pro / Engineer ( Parametric Technology Corporation, PTC) PTC 1985, CAID /CAD / CAE /CAM/PDM, CAD / CAE / CAM Pro /Engineer,, ; CAD /CAE / CAM, CAD /CAE / CAM I-DEAS I-DEAS SDRC, CAD / CAE / CAM SDRC, CAD, CATIA CATIA 20 70, IBM,, 777 F - 22, 4000 CATIA Cimatron Cimatron 1982 Cimatron, CAD / CAM, Windows, ACIS MasterCAM MasterCAM CNC ( 1984 ) PC CAD /CAM, Parasolid MasterCAM NURBS, CAM Delcam s Power Solution

26 Delcam,, Delcam s Power Solution Windows CAD /CAM, PowerSHAPE PowerMILL CopyCAD ArtCAM PowerINSPECT Delcam PowerMILL CAM ; CopyCAD, 70% 90 %, CAD / CAM : CAD CAXA GS-CAD98 CAD 20 90,, Imageware Geomagic, UG ProE, I-DEAS Imageware Delcam CopyCAD CAD / CAM 3., : Softimage Softimage Alias Research Alias Wavefront Technologies Wavefront Softimage 1986, Maya, Softimage 3D Softimage 1994 Softimage, 1996 Windows NT Softimage 3 D Softimage 3D Softimage 3 D Softimage 3D, NURBS, Autodesk 3 DS MAX,, Softimage Avid, Softimage /XSI, Alias Wavefront SGI, 1998 Maya, Maya Renderman Pixar,, Renderman 13

27 , Autodesk 3DStudio MAX, Windows,, 3 DS MAX 3 DS MAX, 3DS MAX,, After-burn, Metareye, 4. AVS Advanced Visual Systems Inc., VolVis Arie E. Kaufman, X /Motif, ApE TaraVisual Inc.,, Visualizer , 3,,,,,,, , ( American National Standards Institute, ANSI), 1977, ( Associational for Computing Machinery, ACM) ( Special Interest Group on Graphics, SIGGRAPH ) ( 3D core graphics system), ( International Standard Organization, ISO) GKS( graphical kernel system), 3D Core

28 1988 GKS-3D ISO, PHIGS( programmer s hierarchical interactive graphics system) ISO, ISO CGI ( computer graphics interface) CGM( computer graphics metafile),,, SGI OpenGL, DirectX 2. DXF DXF( drawing exchange file, ) Autodesk AutoCAD, ASCII DXF 5 ( section) : ( header) DXF, ; ( tables),, ; ( blocks) ; ( entities) ; ( end of file) DXF DXF AutoCAD, CAD, 3. CGM CGM( computer graphic metafile), CGM,,, 3, 4. IGES IGES( intial graphics exchange specification) CAD / CAM CAD /CAM, 1982 ANSI ( flag) ( star) ( global) ( director entry) ( parameter data) ( terminate), ASCII ASCII 3 IGES,,, 3 IGES 2-3, CAD IGES, IGES, IGES CAD, CAD 15

29 2-3 IGES 5. STEP STEP( standard for the exchange of product model data) IGES (, ),,,, CAD / CAM STEP 2. 2 Windows Microsoft Windows, Windows, Windows, Windows, Windows Windows Windows DOS, DOS, C/ C ++, main,, main ( ),,, C/ C ++, 2-4 DOS Windows,, Windows, WinMain, Windows

30 DOS, WndProc,,, Windows Windows Windows Windows, Microsoft Visual C ++ Visual Basic, Borland C ++ Bulider Delphi, Visual C ++, Visual C ++, Visual C ++, C ++

31 C ++,,,,,,,, Visual C ++ Visual C ++,, 5 : CWinApp CMyApp CMDIFrameWnd CMainFrame CMDIChildWnd CChildFrame CDocument CMyDoc CView CMyView CMyApp : theapp, CWinApp theapp,, CMyApp, theapp CMainFrame CChildFrame :,, CMyDoc, CMyView, -,,, Windows Visual C ++ Windows OnDraw OnDraw CView, CView, CView WM_PAINT OnPaint WM_PAINT, Invalidate, OnDraw,, Windows ( GDI) GDI Windows, ( device context), Windows

32 1. DC Windows, ( device context, DC), GDI,, Windows MFC 4 : Display DC, Printer DC, Memory DC, Information DC,, 2., ( HDC) MFC, Windows ( HDC) ( 1) CDC :, CDC CDC, 170, ( 2 ) CPaintDC : CPaintDC OnPaint( ), OnPaint( ), CPaintDC Win32 API BeginPaint ( ), Win32 API EndPaint( ) ( 3 ) CClientDC : CClientDC, Win32 API GetDC ( ), Win32 API ReleaseDC( ) ( 4) CWindowDC : CWindowDC,,,, CWindowDC Win32 API GetDC ( ), Win32 API ReleaseDC( ) ( 5 ) CMetaFileDC : CMetaFileDC Windows Windows GDI 19

33 3. Windows GDI,,, X, Y 3, 3, Windows Windows Visual C ++ Windows :, ; ;, : v oi d CMyVi e w On Dr a w( CDC* { / / pdc) / /, 1 p DC - >Mo ve To ( 1 00, 1 00 ) ; p DC - >Li ne To ( 2 00, 2 00 ) ; / /, CPe n * pol d Pe n; / / CPe n da s h Pe n ; / /, 1 d a s hpe n. Cr e a t e Pe n ( PS_DASH, 1, RGB( 2 55, 0, 0 ) ) ; / /, pol d Pe n p Ol dpe n = pdc - >Se l e c t Obj e c t ( &d a s hpe n ) ; / / p DC - >Li ne To ( 30 0, 10 0 ) ; / / p DC - >Se l e c t Obj e c t ( p Ol dpe n ) ;

34 / / p DC - >Li ne To ( 4 00, 2 00 ) ; } OpenGL 2-6 OpenGL,, OpenGL Windows OpenGL OpenGL OpenGL( open graphics library, ) SGI GL SGI OpenGL ARB ( OpenGL architecture review board, OpenGL ), OpenGL ARB SGI Microsoft Intel IBM Sun Compaq HP, OpenGL, OpenGL, OpenGL OpenGL, OpenGL, OpenGL OpenGL, Windows 95 /98 Windows NT/2000 Linux Mac OS UNIX OS /2, Microsoft Windows 95 Visual OpenGL, OpenGL OpenGL C C ++ FORTRAN Ada Java OpenGL OpenGL OpenGL,, : OpenGL,, OpenGL NURBS :,,, OpenGL

35 OpenGL 4,, : OpenGL, RGBA, RGBA, A,, R G B :, OpenGL ( emitted light) ( ambient light) ( diffuse light) ( specular light), OpenGL ( texture mapping) :, alpha OpenGL, : OpenGL,,,, : OpenGL ( double buffering),,,, : OpenGL,,, OpenGL,, OpenGL, ( depth cue) ( motion blur) ( fog) OpenGL OpenGL, ( vertex) ( pixel) OpenGL 2-7 OpenGL OpenGL,,

36 OpenGL, ( evaluator),,, ( display list),,,, ( fragment), ( dithering) Visual C ++ OpenGL Visual C + +,, OpenGL, PreCreateWindow OpenGL : c s. s t yl e = WS_CLI PCHI LDREN WS_CLI PSI BLI NGS; OnCreate OpenGL, OpenGL, OpenGL OnCreate, OpenGL RC( rendering context) PIXELFORMATDESCRIPTOR, wglcreatecontext( ) RC :

37 / / PI XELFORMATDESCRI PTOR p f d = { s i z e o f ( PI XELFORMATDESCRI PTOR), / / pf d 1, / / PFD_DRAW_TO_WI NDOW / / Wi n do w PFD_SUPPORT_OPENGL / / Op e n GL PFD_DOUBLEBUFFER, / / PFD_TYPE_RGBA, / / RGBA 2 4, / /2 4 0, 0, 0, 0, 0, 0, / / c ol or b i t s i g no r e d 0, / / no a l p ha b uf f e r 0, / / s h i f t bi t i g no r e d 0, / / 0, 0, 0, 0, / /a c c um b i t s i gn or e d 3 2, / /3 2 z 0, / / 0, / / no a ux i l i a r y b uf f e r PFD_MAI N_PLANE, / / 0, / / 0, 0, 0 / / l a y e r ma s ks i gn or e d } ; CCl i e nt DC d c ( t hi s ) ; i nt p i x e l Fo r ma t = Cho os e Pi x e l Fo r ma t ( dc. m_h DC, &p f d ) ; BOOL s u c c e s s = Se t Pi x e l Fo r ma t ( dc. m_h DC, pi xe l For ma t, &p f d ) ; / / RC m_h RC = wgl Cr e a t e Co nt e x t ( d c. m_hdc) ; OnSize, OpenGL,, glviewport OnEraseBkgnd OnEraseBkgnd, TRUE Windows, OpenGL, ( ) OnDestroy OnDestroy OnCreate RC,

38 wgldeletecontext, RC, wglmakecurrent ( ) RC DC : wgl Ma ke Cu r r e n t ( NULL, NULL) ; wgl De l e t e Co nt e x t ( m_h RC) ; 25 OnDraw OnDraw, : wgl Ma ke Cu r r e n t ( p DC - >m_h DC, m_h RC) ; Dr a wsc e ne ( ) ; / /, Ope ngl wgl Ma ke Cu r r e n t ( p DC - >m_h DC, NULL) ; DrawScene( ),, OpenGL, Z,, OpenGL,,,,, g l Be g i n ( GL_LI NES) ; g l Col or 3 f ( 1. 0, 0. 0, 0. 0 ) ; g l Ve r t e x2 f ( 0, 0 ) ; g l Ve r t e x2 f ( 1, 1 ) ; g l Col or 3 f ( 0. 0, 1. 0, 0. 0 ) ; g l Ve r t e x2 f ( 0. 2, 0 ) ; g l Ve r t e x2 f ( , 1 ) ; g l End ( ) ; / /Ope ngl / / / / 2-8,,, : g l Be g i n ( GL_TRI ANGLES) ; g l Col or 3 f ( 1. 0, 0. 0, 0. 0 ) ; g l Ve r t e x3 f ( , 0. 0, 0. 0 ) ; g l Col or 3 f ( 0. 0, 1. 0, 0. 0 ) ; / / / /

39 g l Ve r t e x3 f ( 0. 0, 1. 0, 0. 0 ) ; g l Col or 3 f ( 0. 0, 0. 0, 1. 0 ) ; / / g l Ve r t e x3 f ( 1. 0, 0. 0, 0. 0 ) ; g l End ( ) ; 2-8 * 2-9 * 2-9,, 3,, OpenGL,, OpenGL,,, OpenGL,,,, OpenGL OpenGL OpenGL 4, :, 1. alpha ( bitplane), ( front buffer) ( back buffer) ( front_ left) ( front _right) ( back _left) ( back_right), *,

40 : ( 1 ) : glclear( GL_COLOR_BUFFER_BIT),, ( 2 ) : glclearcolor( red, green, blue, alpha), ( red, green, blue, alpha), ( 3 ) : glcolormask( ), alpha ( 4 ) : gldrawbuffer( ), ( 5 ) : swapbuffer( ),, 2. Z-buffer,,, OpenGL,,, OpenGL : ( 1 ) : glclear( GL_DEPTH _BUFFER_BIT),, ( 2 ) : glcleardepth( 1. 0) ( 3 ) : gldepthmask ( GL_ TRUE), ; gldepthmask ( GL_FALSE), ( 4 ) : glenable ( GL _ DEPTH _ TEST), ; gldisable( GL_DEPTH_TEST), ( 5) : gldepthfunc( ),, OpenGL ( 6 ) : gldepthrange ( Glclampd znear, Glclampd zfar), znear zfar, 3.,,,,, (, ) ; ; 4.,,,, 27

41 ( ),,, , Visual C ++, OnDraw, 2. 3, OnDraw 2. 4,,, Windows X Y 2. 5 ( X 0, Y 0 ) B, X 0 Y 0 0, B 1, OnDraw ( X, Y) ( ( X - X 0 ) * B, ( Y - Y 0 ) * B) ( X 0, Y 0 ) B,,,, , OpenGL, ( : OpenGL,,,, Z - 1, X Y ) glclearcolor glclear, ,, 1 1, , gldrawbuffer( ) swapbuffer( ),, 2. 8, ,,, : glclear glcleardepth gldepthmask glenable gldepthfunc

42 3. 1,,,,, ( ),,,,,,,,,,,,,,,, : Se t Pi xe l ( x, y, c o l o r ) ;, x y, color, ,

43 ,,,,, 45,,, : y = kx + b ( 3-1), k, b y p 0 ( x 0, y 0 ) p 1 ( x 1, y 1 ), k b k = y/ x = ( y 1 - y 0 ) / ( x 1 - x 0 ) b = y 0 - k x 0, x ( ) 1, ( 3-1) y, SetPixel( x, int( y ), color),,, : ( DDA) Bresenham 1. ( DDA) P 0 ( x 0, y 0 ), P 1 ( x 1, y 1 ) L( P 0, P 1 ), k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 x x 0, x, = 1 ( ), y : y = k x + b, ( x, round( y) ) x = 1 y i + 1 = kx i b = kx i + b + k x = y i y i + 1 = y i + k + k x : x 1, y k( ) 3-1 ( digital differential analyzer, DDA),, x y, x y DDA C : v oi d DDALi n e ( i nt x 0, i n t y 0, i n t x 1, i n t y 1, i nt c ol or ) { i nt i ;

44 DDA } f l o a t d x, d y, l e n gt h, x, y ; i f ( f a b s ( x 1 - x 0 ) >= f a bs ( y 1 - y 0 ) ) l e n gt h = f a b s ( x 1 - x 0 ) ; e l s e l e n gt h = f a b s ( y 1 - y 0 ) ; d x = ( x 1 - x 0 ) / l e n gt h; d y = ( y 1 - y 0 ) /l e n gt h ; i = 1 ; x = x 0 ; y = y 0 ; whi l e ( i <= l e n gt h) { Se t Pi xe l ( i nt ( x ), i nt ( y ), c o l o r ) ; x = x + d x ; y = y + d y ; i + + ; } : DDA P 0 ( 0, 0 ) P 1 ( 5, 2 ) 3-2 DDA,,, x dx y dy,,, 2. Bresenha m DDA, 1965, Bresenham, Bresenham, Bresenham :

45 3-2 DDA ( ),,, d i, 3-3, k 0 1, P 0 ( x 0, y 0 ), ( x ), y, ( x i, y i ), x i + 1 y y, 1, d 1 d d i x i x i, y i x i + 1, y i, 1 y i : y = y 1 - y 0 x = x e 1 d 1 = y - y i = ( k( x i + 1) + b) - y i d 2 = ( y i + 1) - y = y i ( k( x i + 1) + b) d 1 - d 2 = 2k( x i + 1) - 2y i + 2b x 0, k = y/ x,, : x( d 1 - d 2 ) = 2 y x i - 2 x y i + c ( 3-2)

46 , c, c = 2 y + x( 2b - 1), e i = x( d 1 - d 2 ), e i, d 1 - d 2 ( x > 0) e i < 0, ( x i + 1, y i ), ; e i > 0, ( x i + 1, y i + 1), ; e i = 0,, ( x i + 1, y i + 1) x y, k + 1, ( 3-2) : ( 3-2), : e i + 1 = 2 y x i x y i c e i e i = 2 y ( x i x i ) - 2 x ( y i y i ), c x i + 1, y i + 1, y i + 1 = x i + 1, : e i + 1 = e i + 2 y - 2 x ( y i y i ) - y i = 1, : e i + 1 = e i + 2 y - 2 x = y i, : e i + 1 = e i + 2 y x,,, ( x 0, y 0 ) e 0, ( 3-2) k = y / x : e 0 = 2 y - x 0 < k < 1 Bresenham : 33 v oi d Br e s e n ha m_li n e ( i nt x 0, i n t y 0, i n t x 1, i nt y 1, i nt c o l o r ) { i nt d x, dy, e, i, x, y ; d x = x 1 - x 0, d y = y 1 - y 0, e = 2 * d y - dx ; x = x 0, y = y 0 ; f or ( i = 0 ; i <= d x ; i + + ) { Se t Pi x e l ( x, y, c ol or ) ; x + + ; i f ( e >= 0 ) { y ++ ; e = e + 2 * dy - 2 * d x ; } e l s e e = e + 2 * dy ; } }

47 : 3-4( a) Bresenham P 0 ( 0, 0) P 1 ( 5, 2), 3-4( b) Bresenham x, y, e 3 k ( 0 < k < 1),, k > 1, y 1, Bresenham x 1, x y, k < 0, x y 1, 1 Li ne : P 0 ( 0, 0 ), P 1 ( 5, 2 ) ( a) x y e ( b) 3-4 Bresenham ( x c, y c ) r 4, : x = 0, y = 0, x = y x = - y ( x, y), 4 7,,, 8 : v oi d Ci r c l e Po i n t s ( i n t x, i nt y, i nt c ol or ) { Se t Pi xe l ( x, y, c ol or ) ; Se t Pi x e l ( y, x, c ol or ) ; Se t Pi xe l ( - x, y, c ol or ) ; Se t Pi xe l ( y, - x, c o l o r ) ; Se t Pi xe l ( x, - y, c ol or ) ; Se t Pi xe l ( - y, x, c o l o r ) ; Se t Pi xe l ( - x, - y, c ol or ) ; Se t Pi xe l ( - y, - x, c o l o r ) ; },, R x 2 + y 2 = R 2, 3 :, ;

48 , ; 1 /8 :, x, x 0 2 R, y 2 : 35 y = R 2 - x 2 ( ),, x, r, : x = rcos y = rsin [ 0, /4],,, 2. ( 0, R) ( R / 2, R/ 2 ) 1 /8, P( x P, y P ),, P 1 ( x P + 1, y P ) P 2 ( x P + 1, y P - 1) 3-5 F ( x, y) = x 2 + y 2 - R 2,, F ( x, y) = 0;, F ( x, y) > 0 ;, F( x, y) < 0 M P 1 P 2, M = ( x P + 1, y P ), F ( M) < 0, M 3-5, P 1, P 1 F ( M) > 0, P 2, P 2 F ( M) = 0, P 1 P 2, P 2, d P = F( M) = F( x P + 1, y P ) = ( x P + 1) 2 + ( y P ) 2 - R 2 d P < 0 P 1, : d P + 1 = F( x P + 2, y P ) = ( x P + 2 ) 2 + ( y P ) 2 - R 2 = d P + 2x P + 3

49 d P 0 P 2, : d P + 1 = F( x P + 2, y P ) = ( x P + 2) 2 + ( y P ) 2 - R 2 = d P + 2( x P - y P ) + 5 ( 0, R), d : d 0 = F( 1, R ) = R, e = d ,, d = R e = 1 - R d < 0 e < e,, e, e < e < 0 : Mi d Po i n t Ci r c l e ( i nt r, i n t c o l o r ) { i nt x, y ; i nt e ; x = 0 ; y = r ; e = 1 - r ; Ci r c l e Poi nt s ( x, y, c o l o r ) ; whi l e ( x <= y ) { i f ( e < 0 ) e + =2 * x + 3 ; e l s e { e += 2 * ( x - y ) +5 ; y - - ; } x + + ; Ci r c l e Poi nt s ( x, y, c o l o r ) ; } } 3.,, ( x - x c ) 2 / a 2 + ( y - y c ) 2 / b 2 = 1,,, ( x c, y c ), x y,,, x 2 / a 2 + y 2 /b 2 = 1 : F ( x, y) = b 2 x 2 + a 2 y 2 - a 2 b 2 = 0 ( 3-3)

50 : F ( x, y) < 0, ( x, y) ; F ( x, y) = 0, ( x, y) ; F ( x, y) > 0, ( x, y),, :, - 1, 3-6, x, ; - 1, y ( 3-3) : dy/ dx = - 2b 2 x /2a 2 y, dy /dx = - 1, : 2b 2 x = 2a 2 y, : 2 b 2 x = 2 a 2 y,,, ( x P, y P ), ( x P + 1, y P ) : d P = F ( x P + 1, y P ) = b 2 ( x P + 1) 2 + a 2 ( y P ) 2 - a 2 b 2, d P < 0,,, : d P + 1 = F( x P + 2, y P ) = b 2 ( x P + 2) 2 + a 2 ( y P ) 2 - a 2 b 2 = ( b 2 ( x P + 1) 2 + a 2 ( y P ) 2 - a 2 b 2 ) + b 2 ( 2x P ) = d P + b 2 ( 2x P ),, d 1 b 2 ( 2x p ) d P > 0,,, : d P + 1 = F ( x P + 2, y P ) = b 2 ( x P + 2) 2 + a 2 ( y P ) 2 - a 2 b 2

51 = ( b 2 ( x P + 1) 2 + a 2 ( y P ) 2 - a 2 b 2 ) + b 2 ( 2 x P ) - 2a 2 y P + 1 = d P + b 2 ( 2x P ) - 2a 2 y P + 1,, d 1 b 2 ( 2x P ) - 2a 2 y P + 1 d P : ( 0, b), ( 1, b ), d P 0 = F( 1, b ) = b 2 + a 2 ( b ) 2 - a 2 b 2 = b 2 + a 2 ( - b ),,, x y v oi d Mi dp oi nt El l i ps e ( i nt x c, i nt y c, i nt a, i n t b, i nt c ol or ) { i nt a a = a * a, bb = b * b ; i nt t wo a a = 2 * a a, t wo bb = 2 * b b ; i nt x = 0, y = b; i nt d ; i nt d x = 0 ; i nt d y = t wo a a * y ; d = i n t ( b b + a a * ( - b ) ) ; Se t Pi xe l ( x c + x, y c + y, c o l o r ) ; Se t Pi xe l ( x c + x, y c - y, c o l o r ) ; Se t Pi xe l ( x c - x, y c + y, c o l o r ) ; Se t Pi xe l ( x c - x, y c - y, c o l o r ) ; Whi l e ( dx < dy ) { x + + ; dx + = t wob b ; i f ( d < 0 ) d += b b + d x ; e l s e { dy - = t woa a ; d += b b + d x - dy ; y - - ; } Se t Pi x e l ( xc + x, y c + y, c o l o r ) ; Se t Pi x e l ( xc + x, y c - y, c o l o r ) ; Se t Pi x e l ( xc - x, y c + y, c o l o r ) ; Se t Pi x e l ( xc - x, y c - y, c o l o r ) ; } d = i n t ( b b * ( x ) * ( x ) + a a * ( y - 1 ) * ( y - 1 ) - a a * b b ) ; whi l e ( y >0 ) { y - - ; dy - = t woa a ;

52 } } i f ( d > 0 ) d += a a - d y ; e l s e { x + + ; dx + = t wob b; d += a a - d y + dx ; } Se t Pi x e l ( xc + x, y c + y, c o l o r ) ; Se t Pi x e l ( xc + x, y c - y, c o l o r ) ; Se t Pi x e l ( xc - x, y c + y, c o l o r ) ; Se t Pi x e l ( xc - x, y c - y, c o l o r ) ; ,,,,,,, :,,,,,,,, : ? :,, y,, y, x,,, y ( x )

53 ,, ;,, 4 : : ; : x ; :,, ; ; :, 1.,, ( active edge), x, ( AET) ( a) 3-7 y = 6, 3-8( b) y = 7, x x i,, x, : y = y i, x = x i ; y = y i + 1, a x + by + c = 0 x i + 1 = 1 a ( - b y i c) = x i - b a

54 41 3-8, x = - b a 3-8 ( AET),,, : 1 x ; 2 x x; 3 y m ax, ( NET),, y mi n, y min, NET : v oi d po l y f i l l ( p ol yg on, c o l o r ) i nt c ol or ; p ol yg on ; { f or (, i ) {

55 } NET [ i ] ; y mi n = i NET [ i ] ; y = ; AET ; f or ( i ) { NET[ i ] AET, x ; AET, ( ) ( x, y ), dr a wpi xe l ( x, y, c o l o r ) ; AET, y ma x = i AET, y ma x > i x x ;, AET ; } } / * p ol yf i l l * /,,, : 3-7, y = 7 P 6, P 6 ;, P 1, 1, 3,, 3-10 :,, P 5, P 6, y i < y i - 1, y i < y i + 1, 2 ( ), P 2 ; y i > y i - 1, y i > y i + 1, 0 ( ), P , ( ), 1, y y y ,, :,,

56 inside inside,, inside, inside, inside,, : 43 v oi d e d ge ma r k _f i l l ( p ol yd e f, c o l o r ) po l y de f ; i nt c ol or ; { p ol yd e f ; i ns i d e = FALSE; f or ( po l y de f y ) f or ( x ) { i f ( x ) i n s i de =! ( i n s i de ) ; i f ( i n s i de! = FALSE) dr a wpi xe l ( x, y, c ol or ) ; e l s e dr a wpi xe l ( x, y, b a c kg r o un d ) ; } },,,, ,,, ;, 3-11,,,, 3-11,

57 , 4 8, , 4,,, ; 8, 8, ( x, y) 4, oldcolor, newcolor 4 : v oi d Fl oo dfi l l 4 ( i n t x, i nt y, i nt o l d c o l o r, i nt n e wc o l o r ) { i f ( Ge t Pi xe l ( x, y ) == o l d c o l o r ) { Se t Pi x e l ( x, y, n e wc o l o r ) ; Fl oo dfi l l 4 ( x, y + 1, ol dc ol or, n e wc o l o r ) ; Fl oo dfi l l 4 ( x, y - 1, ol dc ol or, n e wc o l o r ) ; Fl oo dfi l l 4 ( x - 1, y, ol dc ol or, n e wc o l o r ) ; Fl oo dfi l l 4 ( x + 1, y, ol dc ol or, n e wc o l o r ) ; } } 4 : v oi d Bo un da r y Fi l l 4 ( i nt x, i n t y, i n t bo un da r y c o l o r, i nt n e wc o l o r ) { i nt c ol or = Ge t Pi x e l ( x, y ) ; i f ( c ol or! = n e wc o l o r && c ol or! = b ou nd a r yc ol or ) { Se t Pi x e l ( x, y, n e wc o l o r ) ; Bo un da r y Fi l l 4 ( x, y + 1, bo un da r y c o l o r, ne wc ol or ) ;

58 } } Bo un da r y Fi l l 4 ( x, y - 1, bo un da r y c o l o r, ne wc ol or ) ; Bo un da r y Fi l l 4 ( x - 1, y, bo un da r y c o l o r, ne wc ol or ) ; Bo un da r y Fi l l 4 ( x + 1, y, bo un da r y c o l o r, ne wc ol or ) ; 45 8, 4 8,,,, : ( x, y),,,, 4 : : ( x, y) : ( x, y), y : ( x, y),, xl xr : [ xl, xr] y,, t yp e d e f s t r uc t { i nt x ; i nt y ; } Se e d ; / / v oi d Sc a n Li ne Fi l l 4 ( i nt x, i n t y, COLORREF o l d c o l o r, COLORREF ne wc ol or ) { i nt x l, xr, i ; b oo l s p a n Ne e d Fi l l ; Se e d pt ; s e t s t a c ke mp t y ( ) ; p t. x = x ; pt. y = y ; s t a c k pu s h ( pt ) ; / / whi l e (! i s s t a c k e mpt y ( ) ) {

59 pt = s t a c kp op ( ) ; y = pt. y ; x = p t. x ; wh i l e ( g e t pi xe l ( x, y ) = = o l d c o l o r ) / / { Se t Pi x e l ( x, y, n e wc o l o r ) ; x ++ ; } xr = x - 1 ; x = p t. x - 1 ; wh i l e ( g e t pi xe l ( x, y ) = = o l d c o l o r ) { Se t Pi x e l ( x, y, n e wc o l o r ) ; x - - ; } xl = x + 1 ; / / / / x = x l ; y = y + 1 ; wh i l e ( x < x r ) { s p a n Ne e d Fi l l = FALSE; wh i l e ( g e t pi xe l ( x, y ) = = o l d c o l o r ) { s p a n Ne e d Fi l l = TRUE; x ++ ; } i f ( s p a n Ne e d Fi l l ) { pt. x = x - 1 ; pt. y = y ; s t a c kp us h( p t ) ; s p a n Ne e d Fi l l = FALSE; } wh i l e ( g e t pi xe l ( x, y )! = o l d c o l o r && x < xr ) x + + ; } / /End o f whi l e ( i < x r ) / /, x = xl ; y = y - 2 ; wh i l e ( x < x r )

60 } { s p a n Ne e d Fi l l = FALSE; wh i l e ( g e t pi xe l ( x, y ) = = o l d c o l o r ) { s p a n Ne e d Fi l l = TRUE; x ++ ; } i f ( s p a n Ne e d Fi l l ) { pt. x = x - 1 ; pt. y = y ; s t a c kp us h( p t ) ; s p a n Ne e d Fi l l = FALSE; } wh i l e ( g e t pi xe l ( x, y )! = o l d c o l o r && x < xr ) x + + ; } / /End o f whi l e ( i < x r ) } / / En d of whi l e (! i s s t a c k e mpt y ( ) ) 47, , ;,,, :,,, 1,,,,, M N, M N M N, ( x, y), ( x% M, y% M), % C 1,,,, : i f ( p a t t e r n ( x% M, y% N) ) Se t Pi xe l ( x, y, c ol or ) ; / / c o l o r 3. 4 ASCII 7 128, ASCII

61 , GB , ASCII, : 0 ASCII ; 1,, , 1, 0,, ( ),,, :,,,,, / B zier 3-13 ; ,,, ;,,

62 , 3. 5 Visual C ++ Windows Visual C + + Visual C ++, GDI( ), Windows GDI, Visual C G DI MS-DOS,, MS-DOS, Windows, ( GDI) GDI, GDI :, Windows ;, GDI, Windows, GDI, Windows GDI, Visual C ++, GDI GDI CGdiObject, GDI CGdiObject, GDI : CBitmap,,, CBrush,, CPen,,,, : CFont,,, CPalette,,, : 256 CRgn,,

63 2. G DI, CGdiObject, GDI ( CPen CBrush), ; ( CFont CRgn),, C ++,, CreateFont CreatePolygonRgn CGdiObject, C ++ Windows GDI CGdiObject,, 3. GDI Windows GDI Windows, (, Windows GDI ) MFC SelectStockObject,,, GDI,, Visual C Visual C ++ ( VC ++ ) VC ++ - ( VC ++ -, VC ++ ), Windows ( CDC) GDI,, CDC (,, CClientDC CWindowsDC ) ( ), CDC, OnDraw,, OnDraw,,,,, OnDraw ;,, Invalidate ( InvalidateRect) Windows Invalidate OnDraw, OnDraw,,,, 5 :

64 2. Windows,,,,,,, 51, CDC SelectStockObject, : v i r t u a l CGd i Obj e c t * Se l e c t St oc kobj e c t ( i nt n I n de x ) ;, CGdiObject ( CPen CBrush ), NULL nindex,, BLACK_BRUSH NULL_BRUSH DKGRAY_BRUSH WHITE_BRUSH GRAY_BRUSH BLACK_PEN HOLLOW_BRUSH NULL_PEN LTGRAY_BRUSH WHITE_PEN ( ) ( ), : p DC - >Se l e c t St oc kobj e c t ( WHI TE_PEN) ; p DC - >Se l e c t St oc kobj e c t ( BLACK_BRUSH) ; MFC, CPen GDI, CBrush GDI, : CPen CBrush ;

65 ;, ; ;, CPen CreatePen, : BOOL Cr e a t e Pe n ( i nt n Pe nst y l e, i n t nwi d t h, COLORREF c r Co l o r ) ;, npenstyle, 3-2 nwidth ( ) crcolor 3-2 PS_DASH, PS_INSIDEFRAME PS_DASHDOT PS_NULL PS_DASHDOTDOT PS_SOLID PS_DOT, CDC SelectObject, SelectObject : CPe n * Se l e c t Ob j e c t ( CPe n * p Pe n ) ;, ppen SelectObject, ( 1 ) CBrush CreateSolidBrush, : BOOL Cr e a t e So l i dbr u s h ( COLORREF c r Col or ) ;, crcolor ( 2 ) CBrush CreateHatchBrush, : BOOL Cr e a t e Ha t c hbr u s h ( i nt n I n de x, COLORREF c r Col or ) ;, nindex, 3-3

66 crcolor 3-3 HS_BDIAGONAL HS_FDIAGONAL 53 HS_CROSS HS_HORIZONAL HS_DIAGCROSS HS_VERTICAL ( 3 ) CBrush CreatePatternBrush, : BOOL Cr e a t e Pa t t e r nbr u s h ( CBi t ma p * p Bi t ma p ) ;, pbitmap,, CDC SelectObject, SelectObject : CBr us h * Se l e c t Ob j e c t ( CBr u s h * p Br us h ) ;, pbrush SelectObject, COLORREF, RGB 32, 3, RGB( ) ( ),,, ( ) 0, 0 255, 0, RGB ( 0x00FF0000 ), RGB( ) RGB( ) : COLORREF RGB( BYTE bre d, BYTE b Gr e e n, BYTE b Bl ue ) ;, RGB( 255, 0, 0), RGB( 0, 0, 0), RGB( 255, 0, 255 ), 3. CDC, ( ),

67 , ( x) ;, ( y) CDC, ( 1 ),,,,,,, Windows 8 ( 3-4), ( ) ( ) 3-4 W indows 8 MM_HIENGLISH MM_HIMETRIC MM_LOENGLISH X, Y MM_LOMETRIC 10 1 MM_TWIPS MM_TEXT 1 X, Y MM_ANISOTROPIC MM_ISOTROPIC X Y X Y GDI 6,, 6, MM_TEXT, ( y), 5 ( y),, MM_TEXT, MM_LOENGLISH MM_ANISOTROPIC MM_ISOTROPIC, ( ),,,, x y 4 x

68 , y Windows x x, y y, Windows, x x, y y MM_ISOTROPIC, ( ), GDI, MM_ANISOTROPIC,,, Windows : SetWindowsExt, SetViewPortExt, SetWindowsOrg, SetViewPortOrg ( 2 ), CDC SetMapMode, : 55 v i r t u a l i nt Se t Ma pmod e ( i nt n Ma pmod e ) ; nmapmode 8 SetMapMode,, x y, 7,,, ( 3 ) CDC DPtoLP, : v oi d DPt o LP( LPPOI NT l p Po i n t s, i n t ncou nt = 1 ) ; v oi d DPt o LP( LPRECT l pre c t ) ; v oi d DPt o LP( LPSI ZE l ps i z e ) ; lppoints POINT CPoint, ncount lprect RECT CRect, lpsize SIZE CSize, CDC LPtoDP, :

69 v oi d LPt o DP( LPPOI NT l p Po i n t s, i n t ncou nt = 1 ) ; v oi d LPt o DP( LPRECT l pre c t ) ; v oi d LPt o DP( LPSI ZE l ps i z e ) ; 4. ( 1 ) Windows, R2 _ COPYPEN, Windows,,,, CDC SetROP2, : i nt Se t ROP2 ( i n t ndr a wmod e ) ; ndrawmode, R2_BLACK R2_WHITE R2_NOP R2_NOT R2_COPYPEN R2_NOTCOPYPEN R2_MERGEEPENNOT R2_MASKPENNOT R2_MERGENOTPEN R2_MASKNOTPEN R2_MERGEPEN R2_NOTMERGEPEN R2_MASKPEN R2_NOTMASKPEN R2_XORPEN R2_NOTXOPEN, R2_MERGEPEN R2_MASKPEN, R2_XORPEN 3-5, R2 _NOT,

70 ,, ( 2 ), CDC SetBkColor, : 57 v i r t u a l COLORREF Se t BkCol or ( COLORREF c r Col or ) ; crcolor,, : Se t Bk Co l o r ( h dc, RGB( 0, 2 55, 0 ) ) ; ( 3 ) SetBkColor, SetBkMode : i nt Se t Bk Mo de ( i n t nbkmod e ) ; nbkmode, OPAQUE TRANSPARENT OPAQUE( ), SetBkColor TRANSPARENT( ),, SetBkColor OPAQUE 5., ( 0, 0), ( 1 ) ( ) CDC SetPixel ( ), : COLORREF Se t Pi x e l ( i n t x, i nt y, COLORREF, c r Col or ) ; COLORREF Se t Pi x e l ( POI NT po i n t, COLORREF, c r Col or ) ; x y point, crcolor : SetPixel,,,, 5, :

71 v oi d CDr a wdot Vi e w OnDr a w( CDC* p DC) { p DC - >Se l e c t St oc kobj e c t ( BLACK_BRUSH) ; p DC - >El l i ps e ( CRe c t ( 5, 10, 1 0, 1 5 ) ) ; } / / / / ( 2 ), CDC MoveTo MoveTo : CPo i n t Mo ve To ( i n t x, i nt y ) ; CPo i n t Mo ve To ( POI NT po i n t ) ; x y point ( 3 ) CDC LineTo LineTo( ), : BOOL Li ne To ( i n t x, i nt y ) ; BOOL Li ne To ( POI NT po i n t ) ; x y point, ( x, y) point Polyline : BOOL Po l y l i ne ( LPPOI NT l p Po i n t s, i n t ncou nt ) ; lppoints POINT, ncount ( 5, 5 ) ( 50, 50 ), 3-14, : v oi d CDr a wli n e Vi e w On Dr a w( CDC* { pdc - >Mov e To( 5, 5 ) ; pdc - >Li n e To( 5 0, 50 ) ; } pdc) 3-14 ( 4 ), CDC Arc, : BOOL Ar c ( i nt x1, i nt y1, i n t x2, i n t y2, i nt x3, i nt y3, i n t x4, i n t y4 ) ;

72 BOOL Ar c ( LPCRECT l pre c t, POI NT p t St a r t, POI NT p t End ) ; ( x1, y1) ( x2, y2) lprect, ( x1, y1), ( x2, y2) ( x3, y3 ) ptstart ( x4, y4) ptend, CDC ArcTo, : 59 BOOL Ar c To ( i nt x1, i nt y1, i n t x2, i n t y2, i nt x3, i nt y3, i n t x4, i n t y4 ) ; BOOL Ar c To ( LPCRECT l pre c t, POI NT p t St a r t, POI NT p t End ) ; ArcTo Arc, ArcTo ( 5 ) CDC, Rectangle RoundRect, Rectangle, RoundRect Rectangle : BOOL Re c t a n gl e ( i nt x1, i nt y1, i n t x2, i n t y2 ) ; BOOL Re c t a n gl e ( LPCRECT l pre c t ) ; ( x1, y1 ) ( x2, y2) lprect ( x1, y1 ), ( x2, y2) RoundRect : BOOL Ro un dre c t ( i nt x1, i nt y1, i n t x2, i n t y2, i nt x3, i nt y3 ) ; BOOL Ro un dre c t ( LPCRECT l pre c t, POI NT p oi nt ) ; ( x1, y1 ) ( x2, y2) lprect ( x1, y1 ), ( x2, y2) ( x3, y3) point, x3 y3 ( 6 ) CDC Ellipse( ),, : BOOL El l i ps e ( i nt x1, i nt y1, i n t x2, i n t y2 ) ; BOOL El l i ps e ( LPCRECT l p Re c t ) ; ( x1, y1) ( x2, y2) lprect, ( x1, y1), ( x2, y2),, x2 - x1 y2 - y1 ( 3-15 ),

73 ( 20, 20), ( 120, 120) : v oi d CDr a wel l i p s e Vi e w OnDr a w( CDC* { pdc - >El l i p s e ( 20, 2 0, 12 0, 1 20 ) ; } p DC) ( 7 ) CDC Pie, : 3-15 BOOL Pi e ( i nt x1, i nt y1, i n t x2, i n t y2, i nt x3, i nt y3, i n t x4, i n t y4 ) ; BOOL Pi e ( LPCRECT l pre c t, POI NT p t St a r t, POI NT p t End ) ; Pie,,,, ( 8 ) CDC Polygon, : BOOL Po l y go n ( LPPOI NT l ppoi nt s, i nt n Co un t ) ; lppoints, ncount,, POINT, point[ 6],, : Pol yg on ( po i n t, 5 ) ; ( 9 ) CDC PolyB zier, : BOOL Po l y B z i e r ( c o ns t POI NT* l p Po i n t, i nt n Co un t ) ; lppoint POINT ncount lppoint, 3, 6. CDC : ( 1 ) FillRect,, : v oi d Fi l l Re c t ( LPCRECT l p Re c t, CBr u s h * p Br us h) ;

74 lprect, pbrush ( 2 ) FillRgn, : v oi d Fi l l Rg n ( CRg n * prgn, CBr us h * pbr u s h ) ; 61 prgn, pbrush ( 3 ) FloodFill, : BOOL Fl oo dfi l l ( i nt x, i n t y, COLORREF c r Col or ) ; ( x, y), crcolor FloodFill ( x, y), crcolor ( x, y) crcolor,, ( 4 ) InvertRect, : v oi d I n ve r t Re c t ( LPCRECT l p Re c t ) ; lprect 3. 6 OpenGL OpenGL glbegin( ) glend( ) glbegin( ) Glenum, Mode GL_POINTS GL_LINES GL_POLYGON GL_TRIANGLES GL_QUADS GL_LINE_STRIP GL_LINE_LOOP,

75 Mode GL_TRIANGLE_STRIP GL_TRIANGLE_FAN GL_QUAD_STRIP glend( ), OpenGL OpenGL, ( 3-16 ) : g l Be g i n ( GL_POI NTS) ; g l Ve r t e x2 f ( 0. 0, 0. 0 ) ; g l Ve r t e x2 f ( 0. 0, 3. 0 ) ; g l Ve r t e x2 f ( 3. 0, 3. 0 ) ; g l Ve r t e x2 f ( 4. 0, 1. 5 ) ; g l Ve r t e x2 f ( 3. 0, 0. 0 ) ; g l End ( ) ; 3-16, glvertex2f( ),, 5 glbegin( ) glend( ), glvertex3f( ), : g l Be g i n ( GL_POI NTS) ; g l Ve r t e x3 f ( 0. 0 f, 0. 0 f, 0. 3 f ) ; g l Ve r t e x3 f ( 0. 5 f, 0. 5 f, f ) ; g l End ( ) ;, glpointsize ( ) ( ), : g l Poi nt Si z e ( 2. 0 f ) ;, OpenGL 1. :

76 g l Be g i n ( GL_LI NES) ; g l Ve r t e x2 f ( 0. 5 f, 0. 5 f ) ; g l Ve r t e x2 f ( f, 0. 0 f ) ; g l Ve r t e x2 f ( f, 0. 5 f ) ; g l Ve r t e x2 f ( 0. 0 f, f ) ; g l End ( ) ; 63, glbegin ( ) glend ( ) :, ;,,, : g l Li n e Wi d t h ( 2. 0 f ) ;,, ( Stippled Lines),, gllinestipple( ) OpenGL, 1, ,,, x00FF GlLineStipple( ) OpenGL, Glint,, Glushort,,, 2, , OpenGL glenable( ), : g l Ena bl e ( GL_LI NE_STI PPLE) : v oi d dr a wl i ne s ( )

77 { g l Be g i n ( GL_LI NES) ; gl Ve r t e x2 f ( f, 0. 8 f ) ; gl Ve r t e x2 f ( 0. 8 f, 0. 8 f ) ; g l End ( ) ; g l Ena bl e ( GL_LI NE_STI PPLE) ; g l Li n e St i pp l e ( 1, 0 x00 FF) ; g l Be g i n ( GL_LI NES) ; gl Ve r t e x2 f ( f, 0. 4 f ) ; gl Ve r t e x2 f ( 0. 8 f, 0. 4 f ) ; g l End ( ) ; } g l Li n e St i pp l e ( 2, 0 x00 FF) ; g l Be g i n ( GL_LI NES) ; gl Ve r t e x2 f ( f, 0. 0 f ) ; gl Ve r t e x2 f ( 0. 8 f, 0. 0 f ) ; g l End ( ) ; g l Di s a b l e ( GL_LI NE_STI PPLE) ; / / :, gl Di s a bl e 2. glbegin( ) GL_LINE_STRIP, : g l Be g i n ( GL_LI NE_STRI P) ; g l Ve r t e x2 f ( f, 0. 6 f ) ; g l Ve r t e x2 f ( 0. 8 f, 0. 6 f ) ; g l Ve r t e x2 f ( f, 0. 2 f ) ; g l Ve r t e x2 f ( 0. 8 f, 0. 2 f ) ; g l End ( ) ; glbegin( ) glend( ),,,, OpenGL 1., 3-18, :

78 g l Be g i n ( GL_POLYGON) ; g l Ve r t e x2 f ( 0. 0, 0. 0 ) ; g l Ve r t e x2 f ( 0. 0, 3. 0 ) ; g l Ve r t e x2 f ( 3. 0, 3. 0 ) ; g l Ve r t e x2 f ( 4. 0, 1. 5 ) ; g l Ve r t e x2 f ( 3. 0, 0. 0 ) ; g l End ( ) ; ( 3 ),, 2., glpolygonstipple( ) ( ), v oi d gl Po l y go nst i pp l e ( c o ns t Gl ub yt e * ma s k ) ; mask ( ), 1 ; 0 glenable( ), gldisable( ) g l Ena bl e ( GL_POLYGON_STI PPLE) ; g l Di s a b l e ( GL_POLYGON_STI PPLE) ; 3, 3-19,, GLu by t e f l y [ ] = { / / ma s k 0 x00, 0 x00, 0 x00, 0 x00, 0 x00, 0 x00, 0 x00, 0 x00, 0 x03, 0 x80, 0 x01, 0 xc0, 0 x06, 0 xc0, 0 x03, 0 x60, 0 x04, 0 x60, 0 x06, 0 x20, 0 x04, 0 x30, 0 x0 C, 0 x20, 0 x04, 0 x18, 0 x18, 0 x20, 0 x04, 0 x0 C, 0 x30, 0 x20, 0 x04, 0 x06, 0 x60, 0 x20, 0 x44, 0 x03, 0 xc0, 0 x22, 0 x44, 0 x01, 0 x80, 0 x22, 0 x44, 0 x01, 0 x80, 0 x22, 0 x44, 0 x01, 0 x80, 0 x22, 0 x44, 0 x01, 0 x80, 0 x22, 0 x44, 0 x01, 0 x80, 0 x22, 0 x44, 0 x01, 0 x80, 0 x22, 0 x66, 0 x01, 0 x80, 0 x66, 0 x33, 0 x01, 0 x80, 0 xcc, 0 x19, 0 x81, 0 x81, 0 x98, 0 x0 C, 0 xc1, 0 x83, 0 x30, 0 x07, 0 xe 1, 0 x87, 0 xe 0, 0 x03, 0 x3 f, 0 xf C, 0 xc0, 0 x03, 0 x31, 0 x8 C, 0 x C0, 0 x03, 0 x33, 0 xcc, 0 xc0, 0 x06, 0 x64, 0 x26, 0 x60, 0 x0 C, 0 xcc, 0 x33, 0 x30, 0 x18, 0 xcc, 0 x33, 0 x18, 0 x10, 0 xc4, 0 x23, 0 x08,

79 0 x10, 0 x63, 0 xc6, 0 x08, 0 x10, 0 x30, 0 x0 C, 0 x08, 0 x10, 0 x18, 0 x18, 0 x08, 0 x10, 0 x00, 0 x00, 0 x08 } ; GLu by t e h a l f t on e [ ] = { / / ma s k 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 xaa, 0 x55, 0 x55, 0 x55, 0 x55 } ; g l Cl e a r ( GL_COLOR_BUFFER_BI T) ; g l Col or 3 f ( 1. 0, 1. 0, 1. 0 ) ; g l Re c t f ( , 25. 0, , ) ; g l Ena bl e ( GL_POLYGON_STI PPLE) ; g l Pol yg on St i p pl e ( f l y) ; g l Re c t f ( , , , ) ; g l Pol yg on St i p pl e ( ha l f t o ne ) ; g l Re c t f ( , , , ) ; g l Di s a b l e ( GL_POLYGON_STI PPLE) ; g l Fl u s h ( ) ; , ,, OpenGL, :,, ( 1 )

80 v oi d gl Po l y go nmod e ( GLe nu m f a c e, GLe n um mod e ) ; face : GL_FRONT_AND_BACK, ; GL_FRONT, ; GL_BACK, mode : GL_POINT, ; GL_LINE, ;

81 GL_FILL, : glpolygonmode( GL_FRONT_AND_BACK, GL_FILL),,, g l Pol yg on Mo de ( GL_FRONT, GL_FI LL) ; g l Pol yg on Mo de ( GL_BACK, GL_LI NE) ; ( 2 ),, glfrontface( ) v oi d gl Fr on t Fa c e ( Gl e nu m mo de ) ; mode : GL_CW( ) GL_CCW(, ) ( 3 ),, OpenGL,,,, glcullface( ), ( cull), glenable ( ) v oi d gl Cu l l Fa c e ( GLe n um mod e ) ;, mode : GL_FRONT, ; GL_BACK, ( ) ; GL_FRONT_AND_BACK, : g l Ena bl e ( GL_CULL_FACE) ; g l Di s a b l e ( GL_CULL_FACE) ; ( 4 ), ;,,

82 ,, : glnormal* ( ) 69 v oi d gl No r ma l 3 {b s i df } ( TYPE nx, TYPE n y, TYPE n z ) ; v oi d gl No r ma l 3 {b s i df } v ( c on s t TYPE* v ) ; nx ny nz x y z, ( 0, 0, 1) v x y z ( ) glnormal* ( ) glenable ( GL_ NORMALIZE),, glnormal* ( ) glnormal* ( ), glvertex* ( ),,,, n0 n1 n2 n3 v0 v1 v2 v3: g l Be g i n ( GL_POLYGON) ; g l Nor ma l 3 f v ( n0 ) ; g l Ve r t e x3 f v ( v0 ) ; g l Nor ma l 3 f v ( n1 ) ; g l Ve r t e x3 f v ( v1 ) ; g l Nor ma l 3 f v ( n2 ) ; g l Ve r t e x3 f v ( v2 ) ; g l Nor ma l 3 f v ( n3 ) ; g l Ve r t e x3 f v ( v3 ) ; g l End ( ) ; OpenGL, ( ), : V( s, t) = [ X( s, t) Y( s, t) Z( s, t) ] V s V t,, :

83 , : F( x, y, z) = 0,, : z = G( x, y) V( s, t) = [ s, t, G( s, t) ] OpenGL,, 3 v1 v2 v3, ( ),,, OpenGL 1. OpenGL 3 : ( ) ( 1 ) ( bitmap fonts),,,, glrasterpos( ) ( )

84 ( 2 ) ( outline fonts) ( ) OpenGL : ( rotate translate scale) ( color material lighting) ( antialiasing) 71 ( texture mapping) ( ) ( 3 ) ( texture mapped text), OpenGL : wgl Us e Fon t Bi t ma ps ( wg l Ge t Cu r r e n t DC( ), 0, 2 56, ) ; g l Li s t Ba s e ( ) ; g l Ra s t e r Pos 3 f ( f, 0. 0 f, 0. 0 f ) ; g l Ca l l Li s t s ( 20, GL_UNSI GNED_BYTE, Dr a w wi t h Li s t Te x t. ) ; wglusefontbitmaps( ) ASCII, glcalllists( ) wglusefontbitmaps 4 : DC ASCII ASCII gllistbase( ) glcalllists glcalllists( ) 3 :, ASCII, ASCII gllistbase ( ) glcalllists( ), wglusefontbitmaps ASCII gllistbase( ) glcalllists glcalllists( )

85 ASCII, glrasterpos3f OpenGL : GLYPHMETRI CSFLOAT a gmf [ 2 56 ] ; wgl Us e Fon t Out l i ne s ( wgl Ge t Cur r e nt DC ( ), 0, 25 5, 10 00, 0. 3 f, 0. 8 f, WGL _ FONT _ LI NES, a g mf ) ; / / wg l Us e Fo nt Ou t l i n e s Ope ngl wgl Us e Fon t Bi t ma ps / /, 4, / / Tr u e Typ e, g l Tr a ns l a t e f ( f, 0. 0 f, 0. 0 f ) ; g l Sc a l e f ( 4. 0 f, 4. 0 f, 4. 0 f ) ; g l Li s t Ba s e ( ) ; g l Ca l l Li s t s ( 26, GL_UNSI GNED_BYTE, Dr a w o ut l i ne l i s t 3 D t e xt. ) ; 2. OpenGL : ( 1 ) wglusefontoutlines wglusefontbitmaps List ( 2 ) glcalllist( ) glcalllists( ), OpenGL ASCII, OpenGL, Microsoft wglusefont* ( ), wingdi. h, OpenGL : #de f i ne LI STBASE wgl Us e Fon t Bi t ma ps ( hdc, 0, 25 5, LSI TBASE) ; : c ha r * p My St r i ng = Ope ngl Te xt I nf o ; g l Li s t Ba s e ( LI STBASE) ; g l Ca l l Li s t s ( s t r l e n ( pmyst r i n g), GL_UNSI GNED_BYTE, p My St r i ng ) ;,,, : 6 7, List, List

86 wglusefont* ( ), call List, List, : ( 1 ),, CallList, List ( 2 ), ( compiled) List DOS : wglusefont* ( ) Microsoft,, DWORD wglusefont* ( ) : 73 GLYPHMETRI CSFLOAT p gmf [ 1 ] ; HDC h DC = wg l Ge t Cu r r e n t DC( ) ; DWORD d wcha r ; i nt Li s t Num; f or ( s i z e _t i = 0 ; i < s t r l e n ( ( c ha r * ) s t r ) ; i + + ) { i f ( I s DBCSLe a d By t e ( s t r [ i ] ) ) { dwch a r = ( DWORD) ( ( s t r [ i ]! = 8 ) s t r [ i + 1 ] ) ; i + + ; } e l s e dwch a r = s t r [ i ] ; Li s t Nu m = gl Ge nli s t s ( 1 ) ; bo ol r e t = f a l s e ; r e t = wgl Us e Fon t Out l i ne s ( HDC, dwch a r, 1, Li s t Nu m, 0. 0, 0. 1, WGL _ FONT _ LI NES, p gmf ) ; gl Ca l l Li s t ( Li s t Nu m) ; gl De l e t e Li s t s ( Li s t Num, 1 ) ; } OpenGL OpenGL : RGB( RGBA) RGBA R G B 3, Alpha ( ) R G B 3

87 0 1, : ( 1, 1, 0), ( 0, 0, 1 ) ( ), RGBA,, RGBA, OpenGL,,, v oi d gl Cl e a r Col or ( r e d, g r e e n, bl ue, a l p ha ) ;, red, green, blue, alpha RGBA, v oi d gl Cl e a r ( ma s k ) ;,, mask mask GL_COLOR_BUFFER_BIT GL_ACCUM_BUFFER_BIT GL_DEPTH_BUFFER_BIT GL_STENCIL_BUFFER_BIT glclearcolor ( ) glcleardepth ( ) glclearindex ( ) glclearstencil ( ) glclearacc( ), mask ( OR), glclear,, : glcolor* ( ), 2-9 { } g l Col or 3 f ( 1. 0, 0. 0, 0. 0 ) ; g l Ve r t e x3 f ( , 0. 0, 0. 0 ) ; g l Col or 3 f ( 0. 0, 1. 0, 0. 0 ) ; g l Ve r t e x3 f ( 0. 0, 1. 0, 0. 0 ) ; g l Col or 3 f ( 0. 0, 0. 0, 1. 0 ) ; g l Ve r t e x3 f ( 1. 0, 0. 0, 0. 0 ) ;,, OpenGL

88 ,, Bresenham, ( 1, 1 ), ( 8, 5) ( 0 < k < 1) Bresenham, 1 ( k > 1) Bresenham ,,, 3. 4, x < y,? 75 Mi dpoi nt Ci r c l e ( i n t r, i nt c ol or ) { } i n t x, y ; i n t e ; x = 0 ; y = r ; e = 1 - r ; c i r c l e po i n t s ( x, y, c ol or ) ; wh i l e ( x < y ) { i f ( e < 0 ) e + = 2 * x + 3 ; } e l s e { e + = 2 * ( x - y ) + 5 ; y - - ; } x + + ; c i r c l e p oi nt s ( x, y, c ol or ) ; 3. 5 DDA Bresenham Windows OpenGL 4, 10,, 3. 6, GDI 3. 7, GDI , 3. 9 GDI CBrush, SetROP2,, OpenGL OpenGL

89 第 4 章图形变换图形变换是计算机图形学的重要内容, 在图形的生成处理和显示过程中发挥着关键性作用, 同时, 变换本身也是描述图形的一个有力工具图形变换可以分为 3 类 : 几何变换坐标变换和显示变换这 3 种图形变换具有不同的概念和作用, 同时又有密切的联系本章将详细讲述这 3 种变换的概念原理和方法, 讨论它们之间的关系, 最后将介绍 OpenGL 中图形变换的使用方法由于图形裁剪算法是图形显示过程中必不可少的一个环节, 因此, 本章也包含了这一部分内容几何变换的概念和作用 4.1 几何变换几何变换提供了构造和修改图形的一种方法, 图形在位置方向尺寸和形状方面的改变都可以通过几何变换来实现几何变换的基本方法是把变换矩阵作为一个算子, 作用到图形一系列顶点的位置矢量, 从而得到这些顶点在几何变换后的新的顶点序列, 连接新的顶点序列即可得到变换后的图形几何变换是在同一坐标系下进行的, 因此, 这时坐标系是静止的, 而图形是变动的基本几何变换基本几何变换都是相对于原点和坐标轴进行的几何变换, 有平移缩放和旋转等在以下的讲述中, 均假设用 P(x,y,z) 表示三维空间上一个未被变换的点, 而该点经过某种变换后得到的新点用 P (x,y,z ) 表示 1. 平移变换平移是指将 P 点沿直线路径从一个坐标位置移动到另一个坐标位置的一个重定位

90 图形变换过程如果点 P (x,y,z ) 是由点 P(x,y,z) 在 x 轴 y 轴和 z 轴分别移动 Δx Δy Δz 距离得到的, 则这两点坐标间的关系为 : x =x +Δx y =y +Δy (4 唱 1) z =z +Δz 该式的矢量形式为 : P =P +T (4 唱 2) 其中, P P T 分别定义为如下向量 : x x Δx P = y, P = y, T = Δy z z Δz 2. 缩放变换缩放变换改变物体的大小设点 P(x,y,z) 经缩放变换后得到点 P ( x,y,z ), 这两点坐标之间的关系为 : x =s x x y =s y y (4 唱 3) z =s z z 其中, s x,s y 和 s z 分别为沿 x,y 和 z 轴方向放大或缩小的比例它们可以相等, 也可以不等该方程 (4 唱 3) 的矩阵形式为 : x s x 0 0 x y = 0 s y 0 y z 0 0 s z z 或 P =S P (4 唱 4) 其中 s x 0 0 S = 0 s y s z 3. 旋转变换设给定点 P 的坐标为 : ( x,y,z) =( rcosφ,rsinφ,z) 则它绕 z 轴旋转 α 角后, 可得点 P (x,y,z ) P P 之间的关系为 : 第 4 章 77

91 计算机图形学 78 x =rcos(φ+α) =xcosα-ysinα y =rsin(φ+α) =xsinα+ycosα (4 唱 5) z =z 这个变换的矩阵形式为 : x cosα -sinα 0 x y = sinα cosα 0 y z z 或 P =R z(α) P (4 唱 6) 其中 cosα -sinα 0 R z (α) = sinα cosα 关于其他两个坐标轴的旋转变换方程可以循环置换式 (4 唱 5) 方程中的 x,y,z 得到, 即按照 x y z x 的置换顺序即可 ( 如图 4 唱 1) 图 4 唱 1 坐标轴循环置换循序对于 (4 唱 5) 式, 利用上述的置换顺序, 可以得到绕 x 轴旋转的方程 : y =ycosα-zsinα z =ysinα+zcosα (4 唱 7) x =x 这个变换的矩阵形式为 : x y = z 或其中 x 0 cosα -sinα y 0 sinα cosα z P =R x (α) P (4 唱 8)

92 1 0 0 R x (α) = 0 cosα -sinα 0 sinα cosα 循环置换 (4 唱 7) 式中的坐标, 即可得到绕 y 轴旋转的方程 : z =zcosα-xsinα x =zsinα+xcosα y =y 绕 y 轴旋转的矩阵形式为 : x cosα 0 sinα x y = y z -sinα 0 cosα z 或 P =R y (α) P (4 唱 10) 在此需要注意的是旋转角度正负的确定当沿坐标轴的正向往坐标原点看过去时, 逆时针方向旋转的角度为正向旋转角 ( 如图 4 唱 2) 图 4 唱 2 旋转角度正负的定义图形变换 (4 唱 9) 第 4 章组合几何变换与齐次坐标 1. 齐次坐标在实际绘图时, 常常要对图形连续做多次变换, 例如先平移, 再旋转放大等这样需要对该图形上的点集按变换顺序依次进行计算, 计算量较大如果只对图形进行旋转和缩放两类变换, 如先旋转, 再缩放, 则可以首先将两变换合成一个复合变换, 将两次运算转换成一次性的矩阵与向量乘法这样对图形做上述一系列变换时, 只要用点集与这个复合矩阵相乘就可以了但是如果在变换中再加入平移变换, 变换就不容易合并了这主要是因为平移变换和旋转缩放变换的表示形式不一样 ; 平移变换为矢量的加法, 而旋转和缩放变换为矩阵的乘法为了使各种变换的表示形式一致, 从而使变换合成更容易, 有必要引入齐次坐标的概念所谓齐次坐标表示就是用 n +1 维向量表示 n 维向量例如, 在二维平面中, 点 P(x,y) 的齐次坐标表示为 (wx,wy,w) 这里,w 是任一不为 0 的比例系数类似地, 三维空间中坐标点的齐次坐标表示为 ( wx,wy,wz,w) 推而广之,n 维空间中的一个点 ( P 1,P 2,, P n ) 的齐次坐标为 (wp 1,wP 2,,wP n,w) 这里需要注意的是, 用笛卡儿直角坐标表示 n 维空间中一个点向量是惟一的而用齐次坐标表示则是不惟一的, 例如,(10,25,15,5),(6,15,9,3),(4,10,6,2) 均为 (2,5, 3) 这一点的齐次坐标这种多对一的映射关系往往使运算较为复杂, 所以通常 ( x,y,z)

93 计算机图形学 80 的齐次坐标为 ( x,y,z,1) 此后如不特别说明, 齐次坐标指的都是这种意义上的齐次坐标齐次坐标表示法一方面可以表示无穷远点, 例如,n +1 维向量中,w =0 的齐次坐标实际上表示了一个 n 维的无穷远点 ; 另一方面用齐次坐标表示, 使得所有几何变换都可以用矩阵相乘来表示, 获得了平移旋转和缩放变换的一致性表示, 无论哪种变换形式, 变换矩阵均可以用一个统一的 4 4 矩阵来表示利用齐次坐标, 平移变换的矩阵表示形式为 : x y = z 1 或缩放变换的矩阵表示形式为 : x y = z 1 或旋转变换的矩阵表示形式为 : 绕 x 轴旋转 : x y = z 1 或绕 y 轴旋转 : x y = z 1 或 Δx x Δy y Δz z P =T P (4 唱 11) s x x 0 s y 0 0 y 0 0 s z 0 z P =S P (4 唱 12) x 0 cosα -sinα 0 y 0 sinα cosα 0 z P =R x (α) P (4 唱 13) cosα 0 sinα 0 x y -sinα 0 cosα 0 z

94 图形变换 P =R y (α) P (4 唱 14) 绕 z 轴旋转 : x cosα -sinα 0 0 x y sinα cosα 0 0 y = z z 或 P =R z (α) P (4 唱 15) 2. 组合变换上述的几何变换是图形变换中最基本的几何变换实际应用中对图形作几何变换时往往是多种基本的几何变换组合, 因此我们把由若干个基本的几何变换组合而成的一个几何变换的过程称为组合变换由于引入了齐次坐标, 基本几何变换均可以表示成 P =T P 的形式, 因此组合变换的结果是每次的变换矩阵相乘, 组合变换同样具有 P =T P 的形式所不同的是, 此时有 : T =T n T 3 T 2 T 1 n >1 即 P =T P =T n T 3 T 2 T 1 P n >1 由于矩阵的乘法满足结合律, 因此, 通常在计算时先求出 T, 再与 P 相乘即 P =T P =(T n T 3 T 2 T 1 ) P n >1 以下重点讲述组合变换矩阵 T 的计算形式 (1) 相对于固定点 P(x f,y f,z f) 的缩放变换 1 把固定点 P 和物体一起做平移变换, 使 P 点被移到坐标系的原点 ; 2 把物体相对于坐标原点进行缩放变换 ; 3 再把固定点 P 和物体一起平移变换, 使点 P 移回到原来的位置这样, 就可以得到相对于 P 点缩放过的物体了整个变换的过程如图 4 唱 3 所示相对于任意点缩放的变换矩阵可以表示为平移缩放平移矩阵的级联 : s x 0 0 (1 -s x ) x f 第 4 章 81 T(x f,y f,z f) S(s x,s y,s z) T(-x f,-y f,-z f ) = (2) 绕任意轴旋转 0 s y 0 (1 -s y ) y f 0 0 s z (1 -s z ) z f (4 唱 16)

95 计算机图形学 82 图 4 唱 3 相对于固定点的缩放变换如果旋转所绕的轴不是坐标轴, 而是一条任意轴, 则变换过程显得较为复杂首先, 对物体和旋转轴一起做平移和旋转变换, 使得旋转轴与一条标准坐标轴重合然后, 绕该标准轴对物体作所需的旋转最后, 对物体和旋转轴进行逆变换, 使所绕的轴恢复到原来的位置这个过程需要由 7 个基本变换的级联才能完成假设 P 1 P 2 两点所定义的矢量为任意轴, 旋转角度为 θ( 图 4 唱 4) 这 7 个基本变换如下 : 1 T( -x 1,-y 1,-z 1 ), 使 P 1 点与原点重合 ( 图 4 唱 4(b)); 2 R x (α) 使得轴 P 1 P 2 落入平面 xoz 平面内 ( 图 4 唱 4(c)); 3 R y (β), 使轴 P 1 P 2 与 z 轴重合 ( 图 4 唱 4(d)); 4 R z (θ), 执行绕轴 P 1 P 2 的 θ 角度的旋转 ( 图 4 唱 4(e)); 5 R y (-β), 作变换 3 的逆变换 ; 6 R x (-α), 作变换 2 的逆变换 ; 7 T(x 1,y 1,z 1 ), 作变换 1 的逆变换首先, 求 R x (α) 的参数转角 α 是旋转轴 u 在 yoz 平面的投影 u =(0,b,c) 与 z 轴的夹角 ( 图 4 唱 5(a)), 故有 : cosα= c d, d = +c 2 b2 得出 R x (α) 为 : b sinα= u u z = b d R x (α) = c d b d - b d c d

96 图形变换第 4 章 83 图 4 唱 4 绕任意轴旋转的前 4 个步骤其次, 求 R y (β) 的参数 ( 图 4 唱 5(b)) 经过 R x (α) 变换,P 2 已在 xoz 平面, 但 P 2 点与 x 轴的距离保持不变因此,P 1 P 2 于 d,β 是 u 与 u z 的夹角, 故有 : 现在的单位矢量 u 的 z 方向分量的值即为 u 的长度, 等 cosβ= u u z u u z =d 图 4 唱 5 求转角的函数值根据矢量积的定义, 有 : u z u u z sin β=u z (-a) 因为 u = a 2 +d 2 = a 2 +b 2 +c 2 =1, 并 u z =1, 所以 : sinβ=-a 因此, 得到 R y (β) 为 :

97 计算机图形学 84 d 0 -a 0 0 R y (β) = a 0 d 绕任意轴旋转 θ 的变换 R(θ) 为如下的级联变换 : R(θ) =T(x 1,y 1,z 1 ) R x (-α) R y (-β) R z(θ) R y (β) R x (α) T(-x 1,-y 1,-z 1 ) (4 唱 17) 坐标变换的概念与作用 4.2 坐标变换坐标变换是根据图形在一个坐标系下的坐标求出该图形在另一个坐标系下的坐标当然, 在进行坐标变换时必须给出两个坐标系之间的关系坐标变换应用非常广泛, 可以将许多复杂的问题简化熟练掌握利用坐标变换解决问题的方法非常重要坐标变换是在两个坐标系之间进行的, 这时图形是静止的, 而坐标系是变动的基本坐标变换方法根据线性代数的知识可知, 若 ε 1,ε 2,,ε n 是 n 维线性空间 V 的一组基, α 是 V 中的任一向量, 若 : α =x 1 ε 1 +x 2 ε 2 + +x n ε n 记 X =[ x 1,x 2,,x n ] T, 向量 α 可以写成 : α =[ε 1,ε 2,,ε n ] X 则称 X 是向量 α 在基 ε 1,ε 2,,ε n 下的坐标在三维空间中给定一个点 P 0 和 3 个线性无关的矢量瓫 1, 瓫 2, 瓫 3, 则空间中任何一个点 P 可以表示为 : P =P 0 +a 1 瓫 1 +a 2 瓫 2 +a 3 瓫 3 a 1,a 2,a 3 为实数则点 P 的坐标为 (a 1,a 2,a 3 ) T, 写成矩阵形式为 : P =P 0 +[ 瓫 1, 瓫 2, 瓫 3 ] [a 1,a 2,a 3 ] T (4 唱 18) 知道了坐标的定义, 下面来推导两个坐标系之间的关系假设在三维空间中, 已知坐标系 Ⅰ: 原点 Q 0, 坐标轴 ( 即基 ) 为 u 1,u 2,u 3 ; 坐标系 Ⅱ: 原点 P 0, 坐标轴 ( 即基 ) 为瓫 1, 瓫 2, 瓫 3 ; 两坐标系间可以表示成如下的关系式 : u 1 =γ 11 瓫 1 +γ 12 瓫 2 +γ 13 瓫 3

98 写成矩阵表示形式 : u 2 =γ 21 瓫 1 +γ 22 瓫 2 +γ 23 瓫 3 u 3 =γ 31 瓫 1 +γ 32 瓫 2 +γ 33 瓫 3 [ u 1 u 2 u 3 ] =[ 瓫 1 瓫 2 瓫 3 ] 那么由坐标系瓫 1, 瓫 2, 瓫 3 到坐标系 u 1,u 2,u 3 的变换矩阵为 : M = γ 11 γ 21 γ 31 γ 11 γ 21 γ 31 图形变换 (4 唱 19) γ 12 γ 22 γ 32 (4 唱 20) γ 13 γ 23 γ 33 γ 12 γ 22 γ 32 (4 唱 21) γ 13 γ 23 γ 33 如果坐标系 Ⅰ 的原点 Q 0 在坐标系 Ⅱ 的坐标为 :[q 1,q 2,q 3 ] T, 则根据坐标的定义 (4 唱 18), 可以写成以下的矩阵形式 : Q 0 =P 0 +[ 瓫 1, 瓫 2, 瓫 3 ] [q 1,q 2,q 3 ] T =P 0 +[ u 1,u 2,u 3 ] M -1 [q 1,q 2,q 3 ] T 对于空间中的任一点 D, 如果已知 D 点在坐标系 Ⅱ 中的坐标为 [d 1,d 2,d 3 ] T, 则 : D =P 0 +[ 瓫 1, 瓫 2, 瓫 3 ] [d 1,d 2,d 3 ] T =Q 0 -[ 瓫 1, 瓫 2, 瓫 3 ] [q 1,q 2,q 3 ] T +[ 瓫 1, 瓫 2, 瓫 3 ] [d 1,d 2,d 3 ] T =Q 0 +[ 瓫 1, 瓫 2, 瓫 3 ] [[d 1,d 2,d 3 ] T -[ q 1,q 2,q 3 ] T ] =Q 0 +[ u 1,u 2,u 3 ] M -1 ([d 1,d 2,d 3 ] T -[ q 1,q 2,q 3 ] T ) 因此,D 点在坐标系 Ⅰ 中的坐标为 : M -1 ([d 1,d 2,d 3 ] T -[ q 1,q 2,q 3 ] T ) (4 唱 22) 齐次坐标下的坐标变换方法在三维空间中给定一个点 P 0 和 3 个线性无关的矢量瓫 1, 瓫 2, 瓫 3, 则空间中任何一个点 P 的矩阵可以表示为 : P =[ 瓫 1, 瓫 2, 瓫 3,P 0 ] [a 1,a 2,a 3,1] T (4 唱 23) 则 P 的齐次坐标为 [a 1,a 2,a 3,1] T 假设在三维空间中, 已知坐标系 Ⅰ: 原点 Q 0, 坐标轴 ( 即基 ) 为 u 1,u 2,u 3 ; 坐标系 Ⅱ: 原点 P 0, 坐标轴 ( 即基 ) 为瓫 1, 瓫 2, 瓫 3 ; 两坐标系之间可以表示成如下的关系式 : u 1 =γ 11 瓫 1 +γ 12 瓫 2 +γ 13 瓫 3 u 2 =γ 21 瓫 1 +γ 22 瓫 2 +γ 23 瓫 3 u 3 =γ 31 瓫 1 +γ 32 瓫 2 +γ 33 瓫 3 第 4 章 85

99 计算机图形学矩阵表示形式 : Q 0 =γ 41 瓫 1 +γ 42 瓫 2 +γ 43 瓫 3 +P 0 (4 唱 24) 86 [u 1 u 2 u 3 Q 0 ] =[ 瓫 1 瓫 2 瓫 3 P 0 ] γ 11 γ 21 γ 31 γ 41 γ 12 γ 22 γ 32 γ 42 (4 唱 25) γ 13 γ 23 γ 33 γ 齐次坐标下的两坐标系的变换矩阵为 : γ 11 γ 21 γ 31 γ 41 M 齐 = γ 12 γ 22 γ 32 γ 42 γ 13 γ 23 γ 33 γ (4 唱 26) 对于空间中的任一点 D, 如果已知 D 点在坐标系 Ⅱ 中的坐标为 [d 1,d 2,d 3,1] T, 则 : D =[ 瓫 1, 瓫 2, 瓫 3,P 0 ] [d 1,d 2,d 3,1] T =[ u 1,u 2,u 3,Q 0 ] M -1 齐 [d 1,d 2,d 3,1] T 因此,D 点在坐标系 Ⅰ 中的齐次坐标为 : M -1 齐 [d 1,d 2,d 3,1] T (4 唱 27) 比较式 (4 唱 22) 和式 (4 唱 27), 可以看出用齐次坐标表示, 坐标变换会简单许多 4.3 几何变换与坐标变换的关系对于简单问题, 用几何变换求解非常方便直观, 而对于复杂问题, 则使用坐标变换的方法非常方便在节中, 讲述了用几何变换的方法求解绕任意轴旋转的问题用几何变换的方法求解时变换矩阵非常复杂但如果采用坐标变换的方法来实现, 则相对比较简单假设以 P 1 点为坐标原点, 直线 P 1 P 2 为 z 轴建立一个直角坐标系 ( 如图 4 唱 6 所示 ), 那么绕任意直线的旋转, 就变成了在新坐标系下绕 z 轴的旋转在此, 关键问题是如何建立两个坐标系之间图 4 唱 6 以 P 1 P 2 为 z 轴建立直角坐标系的变换矩阵假设 P 1 P 2 坐标分别为 (x 1,y 1,z 1 ) 和 (x 2,y 2,z 2 ), 则 z 轴由 P 1 P 2 两点矢量定义 : V =P 2 -P 1 =(x 2 -x 1,y 2 -y 1,z 2 -z 1 )

100 图形变换令 u 为沿旋转轴的单位矢量 : u = V V =(a,b,c) 瓫 3 =u 知道了一个坐标轴的方向,y 轴的方向该如何确定? 我们可以指定任意一个方向, 只要该方向与 z 轴垂直即可, 但是怎样保证它们之间的垂直关系呢? 其实我们可以充分利用已知的 z 轴的单位矢量 u 构造我们不妨设 : 瓫 2 = u u x u u x 其中 u x 为矢量 u 在 x 轴方向的投影通过矢量相乘, 可以得到 : 第 4 章 87 瓫 2 = 0, c d,-b d 其中 d = b 2 +c 2 知道了两个坐标轴的单位矢量, 两者叉乘即可得到第三坐标轴的单位矢量 : 瓫 1 = 瓫 2 瓫 3 = d, - ab d,-ac d 并且根据公式 (4 唱 23), 得到两坐标系之间的变换矩阵为 : M = d 0 a x 1 - ab d - ac d c d - b d b y 1 c z (4 唱 28) 得到两坐标系之间的变换矩阵后, 求解绕任意轴 ( P 1 P 2 两点所定义的矢量 ) 旋转 θ 角度的问题就迎刃而解了假设在坐标系 Ⅰ(u 1,u 2,u 3,P 0 ) 中有一点 P, 已知点的齐次坐标为 [ d 1,d 2,d 3,1] T, 则有 : P =[ u 1 u 2 u 3 P 0 ] [d 1 d 2 d 3 1] T =[ 瓫 1 瓫 2 瓫 3 P 1 ] M -1 [d 1 d 2 d 3 1] T 那么得到该点在坐标系 Ⅱ( 瓫 1, 瓫 2, 瓫 3,P 1 ) 中的坐标为 : M -1 [d 1 d 2 d 3 1] T 该点绕 z 轴旋转 θ 后, 则坐标为 : R z (θ) M -1 [d 1 d 2 d 3 1] T 注意此时的坐标为坐标系 Ⅱ 中的坐标根据式 (4 唱 23), 可以写成 : P =[ 瓫 1 瓫 2 瓫 3 P 1 ] R z (θ) M -1 [d 1 d 2 d 3 1] T

101 计算机图形学 88 =[ u 1 u 2 u 3 P 0 ] M R z (θ) M -1 [d 1 d 2 d 3 1] T 那么绕任意轴旋转的变换矩阵为 : T =M R z(θ) M -1 (4 唱 29) 4.4 显示变换如何将图形显示到窗口中图形在计算机内是以数量的形式进行加工和处理的, 而坐标则建立了图形和数量之间的联系三维空间中的物体要在二维的屏幕上显示出来, 必须通过投影的方式把三维物体转换成二维的平面图形投影的方式有平行投影和透视投影两种往往在图形显示时只需要显示图形的某一部分, 这时可以在投影面上定义一个窗口只有在窗口内的图形才显示, 而窗口外的部分则不显示在屏幕上也可以定义一个矩形, 称为视区经过窗口到视区变换, 窗口内的图形才能变换到视区中显示根据上面所述, 三维图形的显示流程如图 4 唱 7 所示图 4 唱 7 三维图形的显示流程窗口到视区的变换为了在视区中显示出窗口内的图形对象, 就需要根据用户所定义的参数, 找到窗口和视区之间的坐标对应关系, 如图 4 唱 8 所示图 4 唱 8 窗口到视区的变换

102 图形变换假设窗口的左下角顶点的坐标为 ( WXL,WYB), 右上角顶点的坐标为 ( WXR,WYT) 视区的左下角顶点坐标为 (VXL,VYB), 右上角顶点坐标为 ( VXR,VYT) 要将窗口内的点 (x w,y w ) 映射到视区内的点 (x v,y v), 应该满足如下关系式 : x v -VXL VXR -VXL = x w -WXL WXR -WXL y v -VYB VYT -VYB = y (4 唱 30) w -WYB WYT -WYB 由此可得 : 其中 s x VXR -VXL = WXR -WXL,s y x v =VXL +( x w -WXL) s x y v =VYB +( y w -VYB) s y (4 唱 31) VYT -VYB = WYT -WYB 上述窗口到视区的变换, 也可以通过一系列变换的组合得到变换过程按照以下步骤进行 : 1 将窗口左下角点 (WXL,WYB) 平移到窗口所在坐标系的原点 ; 2 进行缩放变换, 使窗口的大小与视区相等 ; 3 将窗口内的点映射到视区中, 再进行反平移, 将视区的左下角移回到原来的位置将上述步骤写成矩阵形式为 : 1 0 VXL s x WXL T 窗视 =T 3 T 2 T 1 = 0 1 VYB 0 s y WYB s x 0 -WXL s x +VXL = 0 s y -WYB s y +VYB (4 唱 32) x v y v 1 = 透视投影变换 s x 0 -WXL s x +VXL 0 s y -WYB s y +VYB x w y w 1 (4 唱 33) 根据投影的定义可知, 空间任意一点的透视投影是投影中心与空间点构成的投影线与投影平面的交点假设投影中心在 z v 轴上的 z PrP 处, 视平面与 z v 轴垂直, 并且在 z vp 处, 如图 4 唱 9 所示, 可以写出透视投影线上任一点坐标的参数形式 : 第 4 章 89

103 计算机图形学 90 x =x -xu y =y -yu z =z -( z -z PrP)u 0 u 1 (4 唱 34) 图 4 唱 9 空间点 P 的透视投影当 u =0 时, 即为 P ( x,y,z) 点, 当 u =1 时, 即为投影中心点 (0,0,z PrP ) 在视平面上 z =z vp, 把此等式代入 z 方程, 可以得出 : u = z vp z PrP -z (4 唱 35) -z 把此值带入 x y 方程, 我们可以得到透视投影新旧坐标之间的关系 : x P =x z PrP -z vp z PrP -z =x z PrP d P -z y P =y z PrP -z vp z PrP -z =y z PrP d P -z (4 唱 36) z P =z vp 其中, d P =z PrP -z vp 是视平面到投影中心的距离应用齐次坐标,(4 唱 36) 式以矩阵的形式表示为 : x h y h z h x y = (4 唱 37) 0 0 -z vp /d P z vp (z PrP /d P ) z h 0 0-1/d P z PrP /d P 1 其中, h = z PrP -z,x P =x h /h,y P =y h /h d P 为了能得到透视投影变换矩阵的简单表示形式, 可以使视平面位于 uv 平面, 即 z vp = 0; 或者使投影中心位于视坐标系原点, 即 z PrP =0 在此, 以视平面位于 uv 平面为例, 得出透视投影的变换矩阵在这种情况下, 式 (4 唱 36) 可以化简为 :

104 图形变换第 x P y P =x =y z PrP z PrP z PrP z PrP -z -z (4 唱 38) 4 章 91 z P =z vp =0 写成矩阵形式 : x x z PrP /(z PrP -z) x x y = z y z PrP /(z PrP -z) 0 = y 0 = y z h 1 (z PrP -z)/z PrP 0 0-1/z PrP 1 1 (4 唱 39) 如果令 d =z PrP -z vp =z PrP, 则透视投影变换的矩阵为 : M 透视 = (4 唱 40) 0 0-1/d 平行投影变换平行投影可根据投影方向与投影面的夹角分为两类 : 正投影和斜投影当投影方向与投影面垂直时, 为正投影, 否则为斜投影正投影的变换方程很简单如果投影平面垂直于 z v 轴, 且位于 z vp 处, 那么在视坐标系中任意一点 (x,y,z) 的投影, 是过该点的投影线与投影平面的交点 ( 如图 4 唱 10) 因此空间点的坐标与投影坐标之间的关系为 : x =x, y =y, z =z vp (4 唱 41) 图 4 唱 10 空间点 P 的正投影

105 计算机图形学 92 假如投影平面位于 uv 坐标平面内, 即 z vp =0, 那么上式的矩阵表示形式为 : x x y y = (4 唱 42) z z 平行投影的变换矩阵为 : M 平行 = (4 唱 43) 比较式 (4 唱 40) 和式 (4 唱 43), 可以发现, 当 d 时,M 透视就变成了 M 平行, 这就说明了平行投影是透视投影的投影中心趋于无穷时的特例视坐标系与视变换前面我们得到了在特殊情况下的透视投影和平行投影的变换矩阵但是实际应用中往往需要在一般情况下进行投影变换, 如果直接推导变换公式, 则比较复杂, 那么我们可以首先根据场景的显示要求建立一个视坐标系 ( 如图 4 唱 11), 然后构建一个视平面, 也称为投影平面, 使该平面与 z v 轴垂直显示过程即是把场景中物体从世界坐标转换成视坐标, 然后, 把视坐标再投影到视平面图 4 唱 11 世界坐标系与视坐标系图 4 唱 12 法矢量 N 的定义 1. 视坐标系为了建立视坐标系, 首先指定世界坐标系中的一点作为观察参考点, 这个点就是视坐标系的原点然后通过指定视平面的法矢 N 确定 z v 轴的正向法矢 N 的方向通常是由世界坐标系中的某个点指向世界坐标系的原点或者指向视坐标系的原点例如我们可以定义 N 的方向是从三维物体上的某一观察点 P 指向视坐标系的原点, 如图 4 唱 12 所示 N 的正向即为 z v 轴的正向

106 图形变换确定了矢量 N 后, 再定义正向矢量 V, 称为向上方向矢量, 该矢量用来建立 y v 轴的正向由于一般很难选定一个恰好垂直于 N 的 V 矢量, 因此, 可以这样来确定 V: 开始选择任意一个不平行 N 的矢量 V, 然后, 使该矢量 V 投影到垂直于法矢量 N 的平面上 ( 如图 4 唱 13), 定义投影后的矢量为矢量 V 这样要比输入一个恰好与 N 垂直的矢量要容易得多最后利用矢量 N 和 V, 可以计算出既与 N 又与 V 垂直的第三个矢量 U,U 则对应于 x v 轴的正向矢量 N V U 的方向就决定了视坐标系中各坐标轴的方向, 而它们的大小则是无关紧要的为了在视变换中计算简单, 一般都是用 UVN 的单位向量, 因此视坐标系也称为 uvn 坐标系 ( 如图 4 唱 14) 第 4 章 93 图 4 唱 13 矢量 V 的定义图 4 唱 14 uvn 坐标系建立了视坐标系后, 需要建立视平面一般视平面总是垂直于轴 z v, 平行于 x v y v 坐标平面, 因此可以用与视坐标原点的距离来定义由于视平面总是与 x v y v 坐标面平行, 因此三维物体在视平面上的投影与在输出设备上显示的图形是一致的在建立了视坐标系和视平面以后, 就可以通过改变视坐标系的原点或 N 的方向使用户在不同距离和角度上观察三维物体 2. 视变换由世界坐标系变换到视坐标系, 称为视变换假设世界坐标系为 O w x w y w z w, 视坐标系为 O v uvn, 视坐标系的原点在世界坐标系中的坐标为 ( x 0,y 0,z 0 ), 视坐标系的 3 个坐标轴的单位向量分别为 (u x,u y,u z),(v x,v y,v z),(n x,n y,n z) 现在要将世界坐标系中的图形变换到视坐标系中, 假设记该变换为 T 视根据齐次坐标下的坐标变换公式 (4 唱 28), 得到 : u x v x n x x 0 T 视 u y v y n y y 0 = (4 唱 44) u z v z n z z 为了将三维物体显示到屏幕上, 则需要经过几何变换视变换投影变换和窗口到视

107 计算机图形学口变换等一系列变换此组合变换的变换矩阵可以写成 : T =T 窗视 T 投影 T 视 T 几何 (4 唱 45) 窗口到三维空间的变换上面讲述的是如何把三维物体在二维的窗口 ( 或视口 ) 中的显示变换在交互式图形系统中, 往往需要通过鼠标来拾取三维坐标系中的位置但是鼠标仅仅返回一个二维的值, 这个值是鼠标在屏幕中的位置因此, 人们就希望能实现从二维到三维空间的反变换, 来确定这个屏幕的二维位置对应的三维空间位置从投影的知识可以知道, 一个二维的点, 可以来源于三维空间中的同一条投影线上的任意位置 ( 如图 4 唱 15) 因此, 在进行逆变换时, 必须要同时提供一些辅助信息, 如深度值等图 4 唱 15 投影的性质假设透视投影的参数如图 4 唱 15 所示, 视平面在 z v =0 处, 窗口的中心与视点的连线垂直于视平面如果已知点的深度 z 值, 那么可以得到二维点与三维空间点之间的关系式 : x = zprp y = z PrP z PrP z PrP -z x P -z y P (4 唱 46) 把上式写成矩阵形式 : x h (z PrP -z)/z PrP x P x P y h z h = (z PrP -z)/z PrP y P z = y P z PrP /(z PrP -z) z h 1 z PrP /(z PrP -z)

108 图形变换 = z PrP /(z PrP -z) /(z PrP -z) 1 x P y P z 1 (4 唱 47) 第 4 章裁剪的概念与作用 4.5 裁剪 1. 视景体在相机拍摄过程中, 镜头的类型是决定多少场景被拍摄到胶片上的一个因素广角镜头拍摄的场景要比普通镜头范围广三维显示中, 在投影平面上指定一个窗口具有同样的效果如图 4 唱 16 所示, 由于窗口边界分别与 x v y v 轴平行, 因此窗口可以用视坐标来定义而且窗口不一定要以视坐标原点为中心, 它可以在视平面上的任意位置处定义窗口后, 就可以根据窗口的边界建立视景体只有在视景体内的物体经投影落在窗口的内部才被显示, 否则将被裁剪掉不显示视景体的大小依赖于窗口的大小, 而视景体的形状则依赖于所采图 4 唱 16 在视平面上指定窗口用的投影方法对于平行投影来说, 视景体是一个四边平行于投影方向, 长度无限的四棱柱, 如图 4 唱 17 所示对透视投影来说, 视景体是以投影中心为顶点的四棱锥, 如图 4 唱 18 所示图 4 唱 17 平行投影的视景体图 4 唱 18 透视投影的视景体在实际使用中, 常常沿着 z v 方向定义两个裁剪平面前裁剪面和后裁剪面来限制视景体的范围, 如图 4 唱 19 所示正投影的视景体为一矩形平行管道, 透视投影的视景体

109 计算机图形学 96 为一棱台当物体从世界坐标变换到视坐标以后, 物体在视景体内的, 经过投影将落在窗口内而被显示, 物体在视景体外的, 则被裁剪掉这样得到的视景体可以使用户在基于深度的显示操作中, 裁剪掉在前裁剪面之前以及在后裁剪面之后的物体图 4 唱 19 视景体 2. 何时裁剪在三维图形显示的过程中, 裁剪在投影变换之前或者之后进行均可如果先对物体进行投影, 再将它们在投影平面上的投影做关于窗口的裁剪这样所做的裁剪是二维裁剪, 实现起来要比三维裁剪容易但是需要对所有的物体进行投影变换, 而其中部分物体可能是落在视景体的外部, 根本不可见的在三维图形显示过程中, 需要对显示的图形进行消隐处理要进行消隐处理, 必须要有图形的深度信息, 所以消隐必须在投影之前完成而消隐过程是十分耗时的, 因此人们总是希望在进行消隐之前, 能裁剪掉不可见图形, 以提高消隐的效率因此, 一般来说, 在投影之前进行裁剪相对比较合理三维空间的裁剪算法主要是确定并保存视景体内的所有表面, 裁剪掉视景体外的部分只不过二维裁剪是用窗口的直线边界裁剪, 而三维空间中是用视景体的边界面来裁剪物体, 算法的实现是二维裁剪算法的推广 3. 视景体的规范化三维空间中关于视景体的裁剪是图形显示过程中的一个重要步骤, 裁剪的效率将直接影响到图形显示的速度三维裁剪中涉及大量求交计算为了减少计算量, 有必要引入规范化视景体的概念规范化视景体的 6 个平面方程十分简单, 使得求交计算相对简单例如在视坐标系中, 平行投影的规范化视景体的 6 个方程可以定义为 :

110 图形变换 x v =-1, x v =1, y v =-1, y v =1, (4 唱 48) z v =0, z v =1 在节中讨论的透视投影的视景体是正四棱台, 而正投影的视景体是长方体, 关于长方体的裁剪比关于正四棱台的裁剪要简单得多且为了使透视投影和平行投影共用同一套裁剪和投影程序, 可以先把透视投影的视景体变换成平行投影的视景体假设透视投影的参数如图 4 唱 20 所示, 且视景体的中心线与视平面垂直假设 ( x,y,z) 是原视景体中的一点, 变换到新视景体中为 (x,y,z ), 两点之间的关系 : 第 4 章 97 x =x z PrP z PrP y =y z PrP z PrP -z vp -z -z vp -z z +x vp -z PrP z PrP -z z +y vp -z PrP z PrP -z z =z (4 唱 49) 变换矩阵为 : M = x PrP x PrPz vp z PrP -z vp z PrP -z vp y PrP y PrPz vp z PrP -z vp z PrP z PrP z PrP -z vp z PrP -z vp -z vp (4 唱 50) 无论是透视投影还是平行投影, 其视景体均可以变成一个矩形平行管道但是此时的视景体一般来说并不是规范化的视景体, 还需要进行必要的变换假设在视坐标系中, 视景体的参数确定如图 4 唱 21 所示, 将它规范化的过程按照以下步骤进行 1 平移使前裁剪面上的窗口中心移至坐标原点, 变换矩阵为 : xw max +xw min 2 T 1 = ywmax +ywmin (4 唱 51) z front 缩放使视景体的尺寸规范化, 其变换矩阵为 :

111 计算机图形学 98 图 4 唱 20 透视投影视景体的变换图 4 唱 21 视景体的参数 S 2 = 2 xw max -xw min yw max -yw min z back -z front (4 唱 52) 矩形平行管道的视景体规范化的变换矩阵为 : N =S 2 T 1 (4 唱 53)

112 4.5.2 线段的裁剪图形变换 1. 二维直线的裁剪 (1) Cohen_Sutherland 算法算法分为两部分 : 判断线段是否完全在窗口内, 如果是, 则该线段是完全可见的, 如图 4 唱 22 中线段 AB, 否则判断是否为显然不可见, 即线段的两端点均位于窗口某一条边的外侧, 如图 4 唱 22 中 CD; 对于不能判定是完全可见或显然不可见的线段, 则要进行求交计算, 计算出直线段与窗口边界的一个交点, 这个交点把线段分为两段, 把其中一段是显然不可见的线段抛弃, 对余下部分再作第一步判断, 重复上述过程为了实现这个算法首先把窗口的 4 条边框线延长, 并将平面分成 9 个区域, 每个区域用一个 4 位二进制代码 B t B b B r B l 表示, 其中各位编码的含义如下 : 第 4 章 99 B t = 1 y >ymax 0 其他 B b = 1 y <ymin 0 其他 B l = 1 x <x min 0 其他 B r = 1 x >x max 0 其他图 4 唱 22 直线与窗口的位置关系图 4 唱 23 区域编码根据编码规则, 窗口及其延长线所构成的 9 个区域的编码如图 4 唱 23 所示裁剪直线段时, 先求出线段端点 P 1 和 P 2 的编码 code(p 1 ) 和 code(p 2 ) 若线段两端点的编码均为零, 即两端点均在窗口内, 则线段为完全可见完全不可见的线段也很容易地由线段的两端点编码判定将线段两端点的编码按位进行逻辑与运算, 若结果为非零, 则该线段两端点位于窗口边框的同一侧, 为完全不可见如图 4 唱 22 中 CD 线段,code( C) =1001, code(d) =0001, 则 code(c) code(d) =0001, 且右边第一位不为零, 说明线段 CD 在窗口的左侧若一条直线两端点不属于上述两种情况, 如图 4 唱 22 中 EF GH IJ, 则判断比较复杂, 需要进行求交计算求交前需要测试线段与窗口的哪些边有交点其实这很简单,

113 计算机图形学 100 只要判断线段编码中各位的值即可如图 4 唱 22 中 EF,E 点编码中的 B l =1, 而 F 点中 B l =0, 则可知 EF 与窗口的左边所在的直线有交点在程序中, 求交测试的顺序是固定的, 不妨假设按照左右下上的顺序进行算出直线与窗口边框线的交点, 将直线分割, 舍去交点之外的一段, 再对另一段重复上述处理, 继续判断分割取舍, 直至找出部分可见线段或完全裁掉 Cohen_Sutherland 算法的关键在于总是要得知位于窗口外的一个端点这样位于此端点至交点之间的区段必为不可见, 故可以抛弃然后此算法继续处理线段被裁剪后剩余部分 Cohen_Sutherland 算法用编码的方法实现了对完全可见和完全不可见线段的快速判断, 这使得该算法在两类场合中非常有效 : 一是大窗口的场合, 其中大部分线段为完全可见 ; 另一类是窗口特别小的场合, 其中大部分线段是完全不可见这种算法可以推广到三维空间的裁剪 (2) Liang_Barsky 算法 Liang_Barsky 算法的基本出发点是直线的参数方程给出任意一条直线段, 两端点分别为 (x 1,y 1 ) 和 (x 2,y 2 ), 令 Δx =x 2 -x 1,Δy =y 2 -y 1 则直线的参数方程为 : x =x 1 +u Δx 0 u 1 (4 唱 54) y =y 1 +u Δy 如果直线上任意一点位于窗口内, 则必须满足下列关系式 : 上述不等式可以表示为 : 其中 p 和 q 定义为 : xw min x 1 +u Δx xw max yw min y 1 +u Δy yw max (4 唱 55) u p k q k k =1,2,3,4 (4 唱 56) p 1 =-Δx q 1 =x 1 -xw min p 2 =Δx q 2 =xw max -x 1 p 3 =-Δy q 3 =y 1 -yw min (4 唱 57) p 4 =Δy q 4 =yw max -y 1 任何一条直线如果平行于某一条裁剪边界, 则有 p k =0, 下标 k 对应于直线段平行的窗口边界 (k =1,2,3,4, 并且分别表示裁剪窗口的左右下上边界 ) 如果对于某一个 k 值, 满足 q k <0, 那么直线完全在窗口的外面, 可以抛弃如果 q k 0, 则该直线在它所平行的窗口边界的内部, 还需要进一步计算才能确定直线是否在窗口内外或相交当 p k <0 时, 表示直线是从裁剪边界的外部延伸到内部, 如果 p k >0, 则表示直线是从裁剪边界的内部延伸到外部的对于 p k 0, 可以利用式 (4 唱 58) 计算出直线与边界 k 的交点的参数 u:

114 图形变换 u = q k p k (4 唱 58) 对于每一条直线, 可以计算出直线位于裁剪窗口内线段的参数值 u 1 u 2 u 1 的值是由那些使得直线是从外部延伸到内部的窗口边界决定对于这些边, 计算 r k =q k /p k u 1 值取 r k 以及 0 构成的集合中的最大值 u 2 的值是由那些使得直线是从内部延伸到外部的窗口边界决定的计算出 r k,u 2 取 r k 和 1 构成的集合中的最小值如果 u 1 >u 2, 这条直线完全在窗口的外面, 可以简单抛弃, 否则根据参数 u 的两个值, 计算出裁剪后线段的端点例如, 如图 4 唱 24(a) 所示的直线段 AB, 根据式 (4 唱 57), 可知 p 1 p 3 <0, 则 r 1 r 3 分别表示的直线与窗口左下边界的交点的参数值 u 1 =max( r 1,r 3,0) =r 1 ;p 2 p 4 >0, 则 r 2 r 4 分别表示直线与窗口右上边界交点的参数值 u 2 =min(r 2,r 4,1) =r 4 从直线方程的几何意义可知 u 1 <u 2, 把参数带入方程, 就分别得到裁剪后直线段的端点对于图 4 唱 24(b) 所示直线, 只不过是 u 1 >u 2, 此时直线完全在窗口外面, 为完全不可见第 4 章 101 图 4 唱 24 直线的 Liang_Barsky 裁剪一般来说,Liang_Barsky 算法减少了求交计算, 因此比 Cohen_Sutherland 算法的效率要高在 Liang_Barsky 算法中, 参数 u 1 和 u 2 的每次更新, 只需要进行一次除法运算, 且只有当最后获取裁剪结果线段时, 才计算直线与窗口的交点相反, 在 Cohen_Sutherland 算法中即使直线完全在窗口的外面, 也要重复进行求交计算而且每次求交计算需要进行一次乘法和一次除法运算但是这两种算法都可以扩展到三维空间的裁剪 2. 三维直线段的裁剪二维空间中区域编码的概念完全可以推广到三维空间, 只不过增加一个前裁剪面, 一个后裁剪面, 与左右上下裁剪面共同构成一个视景体作为裁剪空间在二维裁剪中, 用 4 位二进制编码来表示线段的端点的位置, 那么在三维裁剪中, 就要用 6 位编码

115 计算机图形学 B b B f B t B b B r B l 来表示线段端点所在的位置后 4 位编码的含义同前, 前 2 位编码的含义如下 : z >z vmax 1 z <z vmin B b = B f = 0 其他 0 其他根据编码规则, 可知延长视景体各边界面, 可把空间分为 27 个区间, 如图 4 唱 25 所示图 4 唱 25 三维空间的区域编码例如, 区域编码为则表示点在视景体的上面后面, 而编码为则表示点在视景体内部如果线段两端点的区域编码均为 , 则线段完全在视景体内否则将线段两端点的编码进行逻辑与操作, 结果为非零, 则表示该线段在视景体某一个边界面的同侧如果不能简单判定线段是完全在视景体内或完全在视景体外, 则需要进行求交计算, 决定线段的哪部分要舍弃直线段余下的部分与其他边界面进行测试, 直到线段可以被完全抛弃或完全在视景体内空间直线可以很方便地用参数方程表示, 把二维 Liang_Barsky 算法推广到三维空间如果线段的端点为 P 1 (x 1,y 1,z 1 ) 和 P 2 (x 2,y 2,z 2 ), 我们可以写出直线的参数方程为 : x =x 1 +( x 2 -x 1 ) u y =y 1 +( y 2 -y 1 ) u 0 u 1 (4 唱 59) z =z 1 +( z 2 -z 1 ) u 坐标 (x,y,z) 表示实线段之间的任一点, 如果 u =0, 则即为 P 1 点, 如果 u =1, 则为 P 2 点为了得到直线与视景体平面的交点, 用式 (4 唱 59) 代入平面方程, 得 u 例如, 我们要

116 图形变换求 zv min 平面与直线的交点,u = zv min -z, 如果计算出的 u 不在 0 和 1 范围内, 则表示线段的 z 2 -z 1 交点不在 P 1 P 2 线段之间 ( 如图 4 唱 26 中线段 AB), 如果在 0 和 1 范围内, 则可以利用式 (4 唱 58) 计算出 x 和 y 坐标, 如果 x y 值不在视景体范围内, 那么这个线段与前裁剪面的交点则在视景体边界范围之外 ( 如图 4 唱 26 中线段 CD) 第 4 章 103 图 4 唱 26 平面 zv min 裁剪线段多边形裁剪前面着重讨论的是线段的裁剪多边形当然可以看作是线段的集合但是当一封闭的多边形作为线段集合进行裁剪时, 原来封闭的多边形变成一个或多个开的多边形或离散的线段 ( 如图 4 唱 27) 为了实现多边形裁剪, 我们需要这样一个算法 : 能生成一个或多个封闭的区域, 且裁剪完成后的输出应该是裁剪之后多边形顶点的序列图 4 唱 27 用直线裁剪算法裁剪多边形 1.Sutherland 唱 Hodgman 算法该算法基于下述基本思想 : 即可以简单地通过单一边或面的裁剪实现对多边形的裁剪因此在算法中, 原多边形和每次裁剪所生成的多边形将逐次对裁剪窗口的每一条边进行裁剪图 4 唱 28 显示了一个矩形窗口, 多边形为顶点表 P 1,P 2,,P n, 由此可得多边形

117 计算机图形学 104 的边 P 1 P 2,P 2 P 3,,P n -1 P n,p n P 1 在图 4 唱 28( a) 中, 这些边将首先被窗口左边裁剪生成的多边形如图 4 唱 28(b) 所示然后逐次裁剪, 中间多边形又被窗口的上边所裁剪, 生成第二个中间多边形继续这一过程, 直至多边形依次被窗口所有边裁剪完为止裁剪各步骤如图 4 唱 28(b) ~(e) 每执行一步, 则生成一个新的顶点序列, 并将生成的顶点序列作为下一条窗口边界裁剪的输入顶点序列图 4 唱 28 逐次多边形裁剪窗口的一条边及其延长线构成的裁剪线, 把平面分为包含窗口区域的可见一侧, 不包含窗口区域的不可见一侧, 这样沿着多边形依次处理顶点会遇到 4 种情况 :1 第一点 S 在不可见一侧, 第二点 P 在可见一侧 ( 如图 4 唱 29(a)), 则 SP 与窗口边界的交点 I 与 P 均被加入到输出顶点表中 ;2S 和 P 都在可见一侧 ( 如图 4 唱 29( b)), 则 P 被加入到输出顶点表中 ;3S 在可见一侧,P 在不可见一侧 ( 如图 4 唱 29( c)), 则交点 I 被加入到输出顶点表中 ;4 如果 S 和 P 都在不可见一侧 ( 如图 4 唱 29(d)), 输出顶点表中不增加任何顶点这一算法可以正确地实施对凸多边形的裁剪, 而且可以很容易地推广到三维裁剪但是对凹多边形裁剪时, 就有可能产生多余的边, 如图 4 唱 30 所示这是因为裁剪后多边形变成独立的两个以上部分, 但是输出顶点表只有一个为了正确地显示凹多边形的裁剪, 可以采取以下几种措施 : 把凹多边形分割成两个或两个以上的凸多边形, 然后分别处

118 图形变换第 4 章 105 图 4 唱 29 边与裁剪平面之间的关系理每一个多边形另一种方法是修改 Sutherland_Hodgeman 算法, 用窗口边界检查顶点表, 正确地连接顶点还有就是可以用更一般的裁剪算法, 如 Weiler _ Atherton 算法 Weiler 算法等图 4 唱 30 Sutherland_Hodgeman 算法产生多余的边 2.Weiler 唱 Atherton 算法前面讨论的裁剪算法均要求裁剪区域为凸区域, 然而在许多应用环境中, 需要考虑对凹区域的裁剪由 Weiler 和 Atherton 提出的裁剪算法可以满足这一要求该算法虽然略为复杂, 但功能较强, 它可以用一个有内孔的凹多边形去裁剪另一个也有内孔的凹多边形被裁剪的多边形简称为主多边形, 裁剪区域称为裁剪多边形算法中, 主多边形和裁剪多边形均用它们顶点的环行表定义多边形的外部边界取顺时针方向, 而其内边界或孔取逆时针方向当遍历顶点表时, 上述约定保证多边形的内部总是位于前进方向的右侧主多边形和裁剪多边形的边界可能相交, 也可能不相交若它们相交, 交点必定成对出现, 其中一个交点为主多边形边进入裁剪多边形内部时的交点, 而另一个交点为其离开时的交点算法从进入交点开始, 沿主多边形的外部边界按照顺时针方向向前跟踪, 直至找到它与裁剪多边形的一个交点为止在交点处开始沿裁剪多边形的外部边界按照顺时针方向跟踪, 直至发现它与主多边形的一个交点后, 再次沿主多边形的边界跟踪继续上述过程, 直至到达算法起始点位置如图 4 唱 31 所示, 假设从 S 1 开始, 沿主多边形前进至交点 I 8, 此交点 I 8 为进点, 继续沿主多边形前进至交点 I 1, 此交点为出点, 转而沿裁剪多

119 计算机图形学边形边界跟踪继续上述过程, 直至达到算法起始点位置 OpenGL 坐标变换机制 OpenGL 中与变换有关的数据结构 1. 矩阵 OpenGL 中的多数变换均对应于相应的变换矩阵, 可以说 OpenGL 就是实现将物体的各个顶点通过各种变换矩阵的作用映射到屏幕上的过程因此, 在图 4 唱 31 Weiler 唱 Atherton 裁剪 OpenGL 中提供了一些必不可少的矩阵及矩阵操作命令其中与变换有关的矩阵有 ModelView 矩阵 Projection 矩阵 Projection 矩阵描述了怎样从三维空间变换到屏幕坐标, 而 ModelView 矩阵则描述了物体旋转平移缩放等变换在调用变换命令之前, 需要声明其后矩阵操作的对象, 可以用命令 glmatrixmode (GLenum mode) 定义当 mode 为 GL_MODELVIEW 时, 则表示是对 ModelView 矩阵进行操作, 如果 mode 为 GL_PROJECTION 时, 则表示是对 PROJECTION 矩阵进行操作而系统默认方式是对 ModelView 矩阵操作 2. 矩阵堆栈在 OpenGL 中, 与变换有关的矩阵堆栈有 ModelView 矩阵堆栈 Projection 矩阵堆栈 ModelView 矩阵保存着视点变换和模型变换矩阵的累积乘积每一次的视点变换或模型变换矩阵与当前 ModelView 矩阵乘积就生成一个新的矩阵 ModelView 矩阵堆栈至少包含 32 个 4 4 的矩阵, 初始状态时, 最顶层的矩阵为单位阵在有些 OpenGL 的实现中, 可能支持多于 32 个矩阵的堆栈用户可以通过查询命令 glgetintegerv(gl_max_modelview_stack_depth) 得到该系统所允许的最大的矩阵数目 Projection 矩阵包含一个描述视景体的投影变换矩阵一般情况下, 投影矩阵不需要复合, 因此在进行投影变换之前需要调用函数 glloadidentity () 也正是这个原因, Projection 矩阵堆栈只需要两层用命令 glgetintegerv( GL_MAX_PROJECTION_STACK_ DEPTH) 可以得到系统所支持的投影矩阵堆栈的深度矩阵堆栈用来保存和恢复矩阵的状态, 主要用于具有层次结构的模型的绘制中, 用以提高绘图效率 OpenGL 中提供了 glpushmatrix() 和 glpopmatrix() 两条命令来进行矩阵堆栈的操作矩阵堆栈的好处在于, 它可以保存指定的矩阵状态, 并在需要时进行恢复, 从而避免

120 了通过逆变换进行状态恢复时带来的大量的矩阵运算, 提高了绘图效率 OpenGL 中的 ModelView 变换机制图形变换 Model 变换相当于确定被摄物体在场景中的摆放方式通过 Model 变换可以改变物体的位置和尺寸, 相当于我们前面所讲的几何变换而 View 变换则相当于在照相时, 改变相机的位置和拍摄方向, 以确定所要拍摄的景物或物体, 则相当于前面所讲的坐标变换 OpenGL 中的 Model 变换和 View 变换的关系就如同几何变换与坐标变换的关系我们可以通过 View 变换将相机拉离物体 ( 物体不动, 坐标系动 ), 也可以通过 Model 变换将物体拉离相机 ( 坐标系不动, 而物体动 ) 这两个操作是等价的, 因而在 OpenGL 中视点变换和模型变换用同一个 ModelView 矩阵表示 OpenGL 中的 Model 变换使用方法在进行视点变换和模型变换之前, 必须调用 glmatrixmode( GL_MODELVIEW), 申明以下的变换命令只能改变 ModelView 矩阵操作 ModelView 矩阵进行 Model 变换, 可以有下面两种方法 1. 直接定义变换矩阵 void glloadmatrix{fd}(const TYPE 倡 m); 直接将当前矩阵设置为 m 所指定的矩阵, 其中 m 为指向列顺序排列的 16 个值组成 4 4 矩阵的指针 void glmultmatrix{fd}(const TYPE 倡 m); 将当前矩阵与函数所指定的矩阵进行乘法运算, 并将结果置为当前矩阵在 OpenGL 中假如当前矩阵为 C, 用 glmultmatrix() 定义的矩阵或其他变换矩阵为 M, 乘法运算后, 得到矩阵为 CM 因此, 一般情况下, 需要在此命令前调用命令 glloadidentity() 把当前矩阵设置为单位矩阵, 否则可能由于先前进行的变换的影响将产生意想不到的后果 2. 用 OpenGL 中库函数 Model 变换的函数有 gltranslate 倡 (),glrotate 倡 (),glscale 倡 () 这 3 条命令相当于生成平移旋转或缩放的矩阵, 并以此矩阵作为参数, 然后调用 glmultimatrix 倡 () 但是直接用库函数要比用 glmultimatrix 倡 () 执行速度快 void gltranslate{fd}(type x, TYPE y, TYPE z); 当前矩阵乘以平移矩阵,x,y,z 分别是位移矢量的 x,y,z 坐标值 void glrotate{fd}(type angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); 第 4 章 107

121 计算机图形学当前矩阵乘以旋转矩阵物体绕坐标原点到点 ( x, y, z) 构成的射线逆时针旋转 angle 度 108 void glscale{fd}(type x, TYPE y, TYPE z); 当前矩阵乘以缩放矩阵, 缩放因子分别是 x,y,z OpenGL 中的 View 变换使用方法 View 变换是改变视点的位置和方向,View 变换一般是平移和旋转变换的组合 View 变换命令必须在调用模型变换之前调用, 因此模型变换对物体先产生作用视点变换的实现可以有以下几种方法, 当然也可以直接使用视点在原点, 方向是指向 z 轴负方向的默认设置 1 使用模型变换命令 gltranslate 倡 () 和 glrotate 倡 () 这些变换的结果, 可以想象成移动相机, 或者是相对于固定的相机而移动所有物体所致 2 利用 OpenGL 应用程序库函数 glulookat() 来定义视线的方向这个函数封装了一系列旋转和平移命令 3 封装旋转和平移命令生成用户自己的应用程序下面主要介绍应用程序库函数 glulookat() 的使用通常, 程序员围绕原点或其他一些便利的位置构建一个场景, 然后就希望从一个任意的点观察场景以便能得到一个良好的视觉效果函数 glulookat() 就是出于这样的目的而设计的该函数有三部分参数, 分别定义视点的位置相机对准的参考点和向上的方向矢量选择一个能得到预想场景的视点参考点一般都是选择在场景的中间位置如果是在原点构建场景, 那么参考点可能就取坐标原点定义向上的方向矢量则需要一定的技巧如果是在原点或原点附近构建的场景, 且 y 轴正向为指向向上的方向, 那么通常它就作为向上方向矢量 void glulookat(gldouble eyex, GLdouble eyey, GLdouble eyez, GLdouble centerx, GLdouble centery, GLdouble centerz, GLdouble upx, GLdouble upy, GLdouble upz) 该函数定义了一个视图矩阵并将其右乘当前矩阵, 结果返回到当前矩阵视点由参数 eyex eyey eyez 确定, 而参数 centerx centery centerz 指定被观察点, 参数 upx upy upz 指定向上的方向 OpenGL 的投影 1. 透视投影透视投影的基本特征是近大远小, 离相机越远的物体在画面上显得越小由于这

122 图形变换种投影方式类似于人眼的视觉机制, 所以通常用于动画场景仿真等强调真实感的应用场合 OpenGL 中用命令 void glfrustum ( GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far) 来定义透视投影的视景体其 6 个参数分别指定了视景体的左右上下前和后的位置, 从而决定了视野范围位于视景体内的物体被显示, 而超出视景体的物体就被裁剪掉了其参数如图 4 唱 32 所示, 其中 near 和 far 只能取正值第 4 章 109 图 4 唱 32 由 glfrustum() 定义的视景体需要指出的是视景体的定义并不要求对称, 另外轴线也不要求与 z 轴平行 OpenGL 的实用库中还定义了一个使用起来更加直观的透视投影函数 void gluperspective(gldouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble nnear, GLdouble zfar) 它通过指定 x -z 平面内的视角大小及宽高比 aspect =w /h 来确定沿视线方向的棱锥, 并通过指定远近剪切面与视点间的距离来截断棱锥, 从而确定视景体的大小, 如图 4 唱 33 所示与 glfrustum() 不同是,gluPerspective() 只能建立沿视线方向关于 x y 轴都对称的视景体, znear zfar 的值均为正值, 但是这种视景体却是最常用的图 4 唱 33 用 gluperspective() 定义的视景体

123 计算机图形学正投影 OpenGL 中使用命令 void glortho ( GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far) 来定义一个正投影的视景体, 各参数的意义如图 4 唱 34 所示图 4 唱 34 glortho() 定义的视景体 OpenGL 的深度缓冲区深度缓冲区存储每个像素的深度值, 可以根据像素与观察者的距离, 用最近的像素覆盖远的像素通过深度检验, 可以始终将深度值较小的像素点保存在深度缓存中, 以达到物体消隐的目的如果要使用深度缓冲区, 只需调用参数为 GL_DEPTH_TEST 的函数 glenable() 将其激活, 同时要注意, 在重画每一帧之前, 要把深度缓存每位都置为 1 并可以用 gldepthfunc() 函数为深度测试选择不同的比较函数 void gldepthfunc(glenum func) 函数中的 func 值必须为 GL_NEVER GL_ALWAYS GL_LESS GL_LEQUAL GL_EQUAL GL_GEQUAL GL_GREATER GL_NOTEQUAL 如果 z 值与深度缓存中的值满足确定的关系, 则通过深度测试 func 的默认值为 GL_LESS, 即如果 z 值小于深度缓存中的 z 值, 则输入的深度值取代深度缓存中的相应值 OpenGL 中的反变换 OpenGL 应用程序库函数 gluunproject() 可以实现窗口坐标到世界坐标的转换给定变换后顶点的三维窗口坐标和影响这些坐标的所有变换,gluUnProject() 函数就返回顶点的世界坐标 int gluunproject(gldouble winx, GLdouble winy, GLdouble winz, const GLdouble modelmatrix[16],

124 图形变换 const GLdouble projmatrix[16], const Glint viewport[4], GLdouble 倡 objx, GLdouble 倡 objy, GLdouble 倡 objz); 该函数使用 ModelView 矩阵 ( modelmatrix ) Projection 矩阵 ( projmatrix ) 和视口 (viewport) 所定义的变换, 将指定的窗口坐标 ( winx, winy, winz) 映射到对象坐标中在参数 objx,objy,objz 中, 返回物体的坐标如果该函数的返回值为 GL_TRUE, 则表示成功, 如果其返回值为 GL_FALSE, 则表示失败在进行反变换的过程中, 有一些困难一个二维的屏幕位置, 可以来源于三维空间中的一条线上的任意位置因此在使用 gluunproject() 函数前, 需要提供窗口深度坐标 (winz) 如果 gldepthrange() 函数使用默认值 winz =0.0 时, 变换后的点的世界坐标位于前裁剪面上, 当 winz =1.0 时, 则变换后的点的世界坐标位于后裁剪面上利用函数 glreadpixels() 可以得到窗口内任一像素的深度值第 4 章 111 习题 4.1 试写出三维图形几何变换的一般表达形式, 并说明其中各子矩阵的变换功能 4.2 利用基本几何变换, 推导出视变换的变换矩阵 4.3 写出空间一点对任意平面的对称点的组合变换矩阵 4.4 推导出透视投影和平行投影的变换矩阵 4.5 试分析三维图形的显示流程 4.6 试分析对直线段进行三维裁剪的基本思想, 给出详细算法 4.7 在文档类中保存一个水滴型多边形, 以屏幕中心为核心, 生成一个水滴沿着螺旋线甩出并不断变大的图案试用几何变换和坐标变换两种方法实现之 4.8 在文档类中保存一个简单几何体的多面体信息, 在视图类中保存各种显示参数, 按照视图中的显示参数, 将多边体用 GDI 以线框的方式绘制到视图中实现通过菜单和对话框改变视图的显示控制参数的功能实验从不同角度和远近观察同一物体, 并且同时生成多个观察视图 4.9 以一条斜线为旋转轴, 以旋转阵列的方式将题 4 畅 8 中多面体的多个拷贝绘制出来从不同的角度对其进行观察 4.10 用 OpenGL 实现题 4.8 和题 4.9 的功能, 多面体按照面的方式绘制 4.11 将题 4.10 中的多面体的棱边用圆柱的方式绘制出来通过调用 OpenGL 绘制圆柱的函数配合坐标变换绘制棱边 4.12 考察深度缓存, 随机生成若干点, 以点为顶点生成圆锥, 每个圆锥设置不同的颜色, 从上向下看时, 考察所生成的图案是什么样子研究当从斜上方向下看时所生成

125 计算机图形学 112 的图案 4.13 绘制一个 3 行 4 列的汽车阵列, 每个汽车由一个简单多面体构成的车身和 4 个圆柱体车轮构成, 每个车轮侧面要求绘制一圈六棱柱形的螺母, 并且不同车辆前轮的转向不同

126 第 5 章交互绘图技术 5.1 窗口系统事件驱动模式 Windows 操作系统是一个窗口式的多任务操作系统, 它的出现使 PC 机进入了图形用户界面时代基于窗口的图形用户界面大大方便了用户对计算机的操作, 提高了用户对计算机的使用效率本节将以 Windows 操作系统为例, 介绍窗口面向对象消息传递及事件驱动等基本概念, 在此基础上讨论基于消息传递事件驱动的面向对象编程模式窗口窗口是屏幕上的一个矩形区域, 对用户来说, 一个窗口就是一个单独的可操作单元一个典型的 Windows 窗口一般由标题栏菜单栏工具栏地址栏状态栏工作区域边框和滚动条等部件组成, 可对其进行移动改变大小最大化最小化还原关闭切换排列其图标及复制窗口内容等操作事件驱动模式在日常生活中, 人们无时无刻不处在事件以及对事件的处理中交通路口路灯的颜色变化电话铃响有人喊自己的名字这些都是事件当这些事件发生时, 人们会采取相应的行动 : 如果交通灯是红色的, 就要停下来 ; 电话铃响了, 就要接电话 ; 有人喊自己的名字, 就会停下来看个究竟这时候, 人就是一个事件处理者, 也可以叫做一个被事件驱动的人在 Windows 环境下编写应用程序, 就是采用上面所述的事件驱动机制传统的 MS 唱 DOS 程序主要采用顺序的关联的过程驱动的程序设计方法一个程序是一系列预先定义好的操作序列的组合, 它具有一定的开头中间过程和结束程序直接控制事件和过程的顺序这样的程序设计方法是面向程序而不是面向用户的, 交互性差, 用户界面不够友好, 因为它强迫用户按照某种不可更改的模式进行工作它的基本模型如图 5 唱 1 所示

127 计算机图形学 114 图 5 唱 1 传统 DOS 环境下编程模式事件驱动程序设计是一种全新的程序设计方法, 它不是由事件的顺序来控制, 而是由事件的发生来控制, 而这种事件的发生是随机的不确定的, 并没有预定的顺序, 这样就允许用户用各种合理的顺序来安排程序的流程对于需要用户交互的应用程序来说, 事件驱动的程序设计有着过程驱动方法无法替代的优点它是一种面向用户的程序设计方法, 它在程序设计过程中除了完成所需功能之外, 更多的考虑了用户可能的各种输入, 并针对性的设计相应的处理程序它是一种被动式程序设计方法, 程序开始运行时, 处于等待用户输入事件状态, 然后取得事件并作出相应反应, 处理完毕又返回并处于等待事件状态它的基本模型如图 5 唱 2 所示图 5 唱 2 事件驱动程序设计模式 Windows 下基于消息的事件驱动编程 Windows 程序的运行依靠外部发生的事件来驱动, 换句话说, 程序要不断等待 ( 利用

128 交互绘图技术一个 while 循环 ), 等待任何可能的输入 ( 如鼠标移动, 键盘按下等 ), 然后做判断, 进行相应的处理上述的输入是由操作系统捕获之后, 以消息的形式 ( 一种特定的数据结构 ) 进入程序之中如果把应用程序获得的各种消息分类, 可以分为由硬件装置产生的消息 ( 如鼠标移动键盘被按下等 ), 放在系统消息队列中, 以及由 Windows 系统或其他 Windows 程序传送过来的消息, 放在程序消息队列中当应用程序获得某个消息, 则某个代码段将会被执行, 这种应用程序模式便被称之为事件驱动消息响应编程模式可想而知, 每一个 Windows 程序都应该有一个循环代码段 : 第 5 章 115 MSG msg; While (GetMessage(&msg,NULL,NULL,NULL)) { TranslateMessage(&msg); DispatchMessage(&msg); } 消息, 也就是上面的 MSG 结构, 其实是 Windows 内定的一种数据结构, 其中包含消息的窗口来源 ( 消息发生时拥有焦点的窗口的句柄 ) 消息种类 ( 如鼠标点击 ) 与此消息相关的附加信息 ( 如键盘按下时, 相应的键码 ) 消息发生时鼠标的位置等域接收和处理消息的主角就是窗口, 每个窗口都应该有一个函数专门用来负责处理消息, 我们称这个函数为窗口函数 Windows 程序员的主要任务就是设计应用程序中每个窗口的窗口函数, 以便当某个窗口上产生事件时, 能够有特定的代码被执行, 以完成应用程序的功能窗口函数中应该根据传来消息的类型分别进行处理 Windows 中事件驱动消息响应机制如图 5 唱 3 所示 MFC 中的事件驱动编程微软基础类库 (Microsoft foundation class,mfc) 是微软为 Windows 程序员提供的一个面向对象的 Windows 编程接口, 它大大简化了 Windows 编程工作使用 MFC 类库的好处是 : 首先,MFC 提供了一个标准化的结构, 这样开发人员不必从头设计创建和管理一个标准 Windows 应用程序所需的程序, 而是站在巨人肩膀上, 从一个比较高的起点编程, 节省了大量的时间 ; 其次, 它提供了大量的代码, 指导用户编程时实现某些技术和功能 MFC 库充分利用了 Microsoft 开发人员多年开发 Windows 程序的经验, 并可以将这些经验融入到自己开发的应用程序中去在有关事件驱动编程方面,MFC 通过一组宏定义大大简化了 Windows 程序设计的基本结构, 其核心是消息映射机制 MFC 通过定义一个消息与处理函数的对照表, 实现了消息处理的分离编程每当产

129 计算机图形学 116 图 5 唱 3 消息响应机制生一个事件 ( 经 GetMessage 函数转化为消息 ), 便可以通过这个对照表找到相应的消息处理函数, 执行这个函数便完成了相应的功能 ; 这样, 程序员不再需要编写庞大的窗口函数, 不再需要用 switch 语句判断消息的类型从而决定执行什么样的代码段 ; 相应的, 程序员只需利用 VC 集成开发环境提供的工具 ( 如类向导 ) 指定当鼠标在哪个 GUI 对象 ( 如按钮 ) 上单击时执行哪个函数即可这样, 为每个对象的不同事件指定惟一的一个消息处理函数, 完成在该对象上发生这种事件时的功能 MFC 中事件驱动编程模式如图 5 唱 4 所示由图 5 唱 4 可以看出, 利用 MFC 编写事件驱动的 Windows 程序, 不需要编写杂乱冗长的窗口函数, 只需为每个对象的每个事件编写一个个独立的消息处理函数即可, 这将大大减少程序出错的可能性, 且可以实现多人协作开发状态与事件结合程序控制模式在计算机图形学领域, 许多软件在运行时需要记住一系列状态值, 每当有事件发生, 系统将根据目前的运行状态 ( 变量的值 ) 决定如何进行响应 Windows 的画图软件便是一个典型的例子在画图软件的界面中, 有一系列按钮安排在一个工具板上, 当用户单击其中一个按钮

130 交互绘图技术第 5 章 117 图 5 唱 4 MFC 中事件驱动编程模式后, 该按钮将处于一种选中状态, 此后, 用户的各种操作都是针对目前选中的状态来进行, 如画线状态画圆状态等, 直到用户单击另外一个按钮, 系统便转入另外一种状态总结来说, 系统在任一时刻总处于某种特定的操作状态, 用户操作如选择菜单等可能会引起状态机跳转, 使系统由一种操作状态转换到另一种操作状态我们称这种软件运行模式为基于状态机模型的运行模式传统的事件处理模式使用分情况跳转来实现这种状态机模型, 如图 5 唱 5 所示图 5 唱 5 传统的状态机处理模式由图 5 唱 5 可以看出, 每当用户事件产生, 传统的状态机处理模式将判断系统目前处于何种操作状态, 然后根据判断结果进行相应的处理这种处理方式有两个主要缺点 :

131 计算机图形学不管系统处于何种操作状态, 事件处理模块都要进行判断, 无法利用面向对象的多态特性, 且所有处理分支都集中在一个模块中, 使事件处理模块变得庞大, 增加了调试难度 2 这种处理方式不容易实现分工协作所有分支都在一起编写, 失去了面向对象封装性编程的优势基于以上分析, 借助于面向对象提供的多态特性, 下面介绍一种新型的状态机处理模型, 其原理如图 5 唱 6 所示图 5 唱 6 功能类机制的状态机处理模式在状态机模型中, 系统在每个时刻都处于一种特定的操作状态, 如画线状态, 在这种特定的操作状态下, 每当用户事件产生, 如用户移动了鼠标, 系统只需完成当前状态所规定的任务画线, 而不须考虑系统的其他功能因此, 需要编制一类特殊的对象, 每个对象负责系统在不同状态下应完成的工作, 每个对象都能根据自己的任务对接收到的鼠标键盘事件进行正确的解释 ; 称这种对象为功

132 交互绘图技术能类对象, 它们属于同一种类型 - 功能类因此, 功能类对象应具有以下共同特点 : 1 每个功能类对象都具有接收键盘鼠标消息的外部接口, 一旦系统接收到鼠标键盘消息, 便可以通过这个接口分发给某个功能类对象 2 某个功能类对象 A 在接管另外一个功能类对象 B 的工作 ( 系统的操作状态发生变换, 如由画线状态进入画圆状态 ) 时,A 可能需要做一些初始化工作, 为自己完成任务做准备, 因此, 每个功能类对象都应提供一个初始化接口, 系统在安排某个功能类对象成为当前任务的负责者时首先调用这个接口, 让 A 有机会做自己的初始化工作, 将这个接口定义为 Initialize 3 某个功能类对象 B 被另外一个功能类对象 A 接管工作时,B 可能需要做一些收尾工作, 如让出某些资源, 因此, 每个功能类对象都应提供一个做扫尾工作的外部接口, 当系统将某个功能类对象挂起 ( 另一个功能类对象接管 ) 时, 调用 B 的这个接口, 让 B 有机会做自己的扫尾工作将这个接口定义为 Suspend 4 当某个功能类对象 C 被彻底删除时,C 可能也要进行一些必要的工作, 系统在删除 C 之前, 应告诉其将被删除的消息, 因此, 每个功能类对象应提供外部接口, 来接收自己将被删除的消息, 将这个接口定义为 Kill 5 某个功能类对象 D 在运行过程的中间, 若用户将当前窗口进行缩放操作, 则将导致窗口内容重画 D 在运行过程中向屏幕绘制的一些临时场景将会消失, 而系统又不知道 D 画了一些什么内容, 导致窗口重画之后的场景与实际状态发生偏差如 D 在创建折线的过程中, 假设已经创建了折线上的 3 个线段, 鼠标再次单击将会创建第四个线段 ; 若此时窗口发生刷新操作, 那么系统只能重画窗口的背景, 而无法替 D 完成那 3 个线段的绘制 ( 因为 3 个线段的绘制都是由 D 在自己活着时画出的 ), 若 D 自己不进行这项操作, 窗口内的 3 个线段将消失, 但实际上它们应该是存在的因此, 每个功能类对象在任何时刻都应保证能将屏幕上显示的场景恢复到重画之前的状态, 这样, 需要每个功能类对象提供一个外部接口, 负责重画自己在工作过程中产生的一些临时场景, 当窗口发生刷新操作时, 系统通过调用这个接口让功能类对象自己完成临时场景的恢复将这个接口定义为 Draw 6 当某个功能类对象 E 被另外一个功能类对象 F 接管 (E 被挂起 ) 后, 某个时刻可能需要让 E 重新接管回原来的工作, 这时 E 可能需要进行一些与首次接管别人工作时不同的初始化操作, 因此, 每个功能类对象应提供外部接口以完成被重新唤醒时需要进行的操作, 系统在重新唤醒某个功能类对象之前将调用此接口让其有机会进行这个初始化工作将这个接口定义为 WakeUp 7 为了利用面向对象提供的多态特性, 使得系统在检测到鼠标键盘事件时, 不需判别当前正在执行任务的对象 G 负责什么样的任务, 也不需处理当前任务的临时现场 ( 变量值 ), 而只是简单地将接收到的消息直接交给 G, 这就需要让每个功能类对象具有共同第 5 章 119

133 计算机图形学 120 的祖先 ( 假设为 BaseFunction), 且 1 至 6 所述接口必须设计为虚接口 (Virtual Function) 综上所述, 这种机制可以实现模块分解 ( 使消息处理模块不致过于庞大 ) 和分工协作 ( 不同功能单独编写, 封装在不同的功能子类中, 只要它们提供规定的接口 ) 的目的, 其基本实现思想如下 : 1 要完成某个具体的功能, 只须从 BaseFunction 派生一个新类, 然后重载其中某些接口, 以对鼠标键盘消息以及初始化挂起杀死唤醒等操作作出适合于本功能的合理解释, 以便正确地完成自己负责的任务 2 每个从 BaseFunction 派生的功能类只须负责自己的工作, 而无须关心系统的其他功能, 这样使得每个具体的功能类任务单一, 简化了事件解释, 从而达到了模块分解的目的 3 每个不同的功能类可以由不同人员单独开发, 无须关心其他人员与自己是否需要进行协商, 只要每个功能类都能合理地做好自己的每一步工作, 系统集成便轻而易举, 这样就达到了分工协作的目标那么, 当系统检测到鼠标键盘事件后, 应将这些事件分发给哪个功能类对象呢? 另外, 若用户指示系统从一种操作状态转换到另外一种操作状态时, 系统应如何完成功能类对象之间的接管与挂起操作呢? 这可以通过一个功能类对象队列来解决其基本思路如下 : 1 文档类 ( MFC 体系 ) 中设置一个功能类对象的队列, 如图 5.6 中 Document 部分这个队列的最大长度为 2, 即任何时刻不会有超过 2 个的功能类对象处于存活状态队列顶端的对象称为当前功能类对象, 即当前正在运转的功能类对象 ; 处于队列底端的对象称为被挂起的功能类对象, 它是在当前功能类对象之前运转过的功能类对象 2 若由于用户的菜单操作使得系统需要发生状态转换, 从一种操作状态 A 转换到另一种操作状态 B( 显然, 此时 A 类对象处于队列的顶端, 为当前正在运转的功能类对象 ), 则需要创建一个新的功能类对象 b( B 类对象 ), 然后将 b 作为参数调用文档类的一个外部接口 SetCurrentFunction, 完成状态转换操作 3 SetCurrentFunction 做如下工作 : 首先调用队列中被挂起对象的外部接口 Kill, 以便在删除它之前让其有机会做收尾工作, 然后将其删除 ; 接着调用队列中当前功能类对象的外部接口 Suspend, 以便在挂起它之前让其有机会做收尾工作, 然后将其在队列中下推, 成为被挂起对象 ; 最后, 调用 b 的外部接口 Initialize, 以便让 b 在成为当前功能类对象之前做初始化工作, 接着将 b 压进队列, 成为当前功能类对象 4 每当视图 ( MFC 体系 ) 收到鼠标键盘消息, 便将此消息分发给文档类中维护的当前功能类对象这样, 鼠标键盘消息总是按照系统当前正进行的操作状态进行解释, 从而能够正确无误地完成任务由此, 利用面向对象的多态特性, 功能类机制很好地实现了基于状态机模型的软件运

134 行模式实践证明, 这是一种较好的状态与事件结合的程序控制模式 5.2 交互式的显示控制技术交互绘图技术在计算机图形学领域, 显示控制是软件编制需要考虑的一个重要方面灵活的显示控制方式是衡量一个计算机图形学软件的非常重要的指标, 交互式的显示控制, 如对显示场景的旋转平移缩放等, 能够给用户提供高效率的操作方式, 并能够提高计算机图形学软件的可视化程度, 让用户在视觉上对所处理的场景进行较全面的了解场景充满窗口 (FitWindow) 的控制方法所谓 FitWindow 是指将当前显示的场景进行一定程度的缩放和平移, 使之显示在窗口中央且尽量充满整个窗口 FitWindow 是一次性操作, 不必用功能类来实现, 不需要接收鼠标键盘消息, 一般将之安排在一次菜单动作中, 用于将场景以最佳尺寸和位置显示出来当用户对场景进行旋转或平移操作之后, 可用 FitWindow 功能复原场景显示显示场景时, 需要指定投影变换参数, 实际上就是定义一个视景体, 只有处于视景体内的物体才能显示出来视景体由 6 个平面围成, 分别为 left right top bottom near 和 far 平面如图 5 唱 7 所示第 5 章 121 图 5 唱 7 视景体 FitWindow 的功能就是要根据场景数据计算出一个刚好能容纳整个场景的视景体, 达到使场景刚好充满窗口的目的 FitWindow 的伪代码如下 : // 得到场景分布区域的宽度 Extend Point3D Max,Min; pscenedata ->GetBox(Max,Min);

135 计算机图形学 // 设置视距 viewdistance =Max.Distance(&Min) 倡 15; 122 // 求出场景中心点 middlepoint, 作为显示中心点, 保证场景能够显示在屏幕中心 middlepoint =( Max +Min)/2; // 求出场景分布区域 x 方向的长度 dx_extend 和 y 方向的长度 dy_extend PSceneData ->GetBox(Max,Min); double Extend =Max.Distance(&Min); double dx_extend =Extend; double dy_extend =Extend; // 再根据窗口的宽高比及 Y 方向的长度, 得到 X 方向的适合窗口宽高比的长度 //dtmpx_extend double dtmpx_extend =dy_extend 倡 m_daspectratio; // 设置 near 平面和 far 平面 nearestplanedistance =viewdistance -Extend /2; farestplanedistance =viewdistance +Extend /2; // 设置视宽为 X 方向长度及 X 方向的适合窗口宽高比的长度中小者 // 保证场景在 X 方向及 Y 方向都不会超出视景体 viewwidth =max(dx_extend,dtmpx_extend)/1.1; // 刷新窗口 Invalidate(); 旋转操作的交互控制方法利用前面介绍的功能类机制, 可以定义负责场景旋转的功能类, 其显示控制实现如下 : OnLButtonDown(msg) { m_leftbuttondown =TRUE; m_leftdownpos =GetMouseLocation(); m_centerpoint =GetCenterPoint(); m_viewpoint =GetViewPoint(); } OnLButtonUp(msg) { m_leftbuttondown =FALSE; } OnMouseMove(msg)

136 { } if(m_leftbuttondown) { int dx,dy; dx =m_leftdownpos.x 唱 GetMouseLocation().x; dy =m_leftdownpos.y 唱 GetMouseLocation().y; m_ LeftDownPos =GetMouseLocation(); VP =m_viewpoint 唱 m_centerpoint; double alfa =3.14 倡 dx /GetClientRect().right; VP.Rotate(alfa 倡 2); SetViewDirection(VP); m_viewpoint =GetViewPoint(); Invalidate(); } 交互绘图技术第 5 章 123 首先, 在旋转功能类中定义如下数据成员 : m_leftbuttondown, 布尔型, 用来标志鼠标左键是否已被按下 m_leftdownpos,cpoint 类型, 记录上次鼠标移动事件中鼠标的位置, 用来计算两次鼠标移动的距离 m_centerpoint,point3d 类型, 显示中心点的坐标 m_viewpoint,point3d 类型, 视点的位置当鼠标左键按下时, 表示旋转操作的开始, 因此旋转功能类在鼠标左键按下时做如下几个工作 : 1 设标志 m_leftbuttondown 为真, 表示已经处于旋转状态 ; 2 记下此时鼠标指针的位置, 放在 m_leftdownpos 中, 用来在鼠标移动事件中计算两次鼠标位置的移动距离, 从而计算出应对场景旋转的尺度 ; 3 将此时场景的显示中心点记入 m _ CenterPoint 中, 将视点位置记入 m_viewpoint 中当鼠标移动时, 旋转功能类首先判断鼠标左键是否已按下, 这可以根据 m_leftbuttondown 的值来确定若鼠标左键未按下, 则不作任何处理, 否则, 做如下工作 : 分别计算上次鼠标位置与现在鼠标位置在 x y 方向的距离, 根据这两个距离值计算场景应旋转的尺度, 然后按照这个尺度将视图原来的视线方向 ( 视点减去参考点所得向量 ) 进行旋转, 得到新的视线方向 ( vp), 并将视图的视线方向修改为新的值然后刷新视图当视图刷新时, 会根据视点显示中心点视线方向等参数自动调整场景的外观当鼠标左键抬起时, 表示旋转动作结束, 因此, 旋转功能类将标志 m_leftbuttondown 设为 FALSE, 这样, 在鼠标移动事件中将不再继续处理

137 计算机图形学平移操作的交互控制方法 124 场景平移功能类的伪代码实现如下 : OnLButtonDown(msg) { m_leftbuttondown =TRUE; oldcenterpoint =GetCenterPoint(); m_leftdownpos =GetMouseLocation(); } OnLButtonUp(msg) { m_leftbuttondown =FALSE; } OnMouseMove(msg) { if(m_leftbuttondown) { MouseLocation =GetMouseLocation(); oldpoint =GetWorldCrdByScreenCrd(m_LeftDownPos); newpoint =oldcenterpoint +( GetWorldCrdByScreenCrd( MouseLocation) - oldpoint); SetCenterPoint(newPoint); Invalidate(); } } 首先, 在场景平移功能类中定义如下数据成员 : m_leftbuttondown, 布尔型, 用来标志鼠标左键是否已被按下 oldcenterpoint,point3d 类型, 本次平移操作之前显示中心点的位置 m_leftdownpos,cpoint 类型, 记录上次鼠标移动事件中鼠标的位置, 用来计算两次鼠标移动的距离当鼠标左键按下时, 表示平移操作开始, 因此平移功能类在鼠标左键按下时做如下几个工作 : 1 设标志 m_leftbuttondown 为真, 表示已经处于平移状态 ; 2 记下此时鼠标指针的位置, 放在 m_leftdownpos 中, 用来在鼠标移动事件中计算两次鼠标位置的移动距离, 从而计算出应对视图平移的尺度 ; 3 将此时视图的显示中心点记入 oldcenterpoint 中

138 交互绘图技术当鼠标移动时, 视图平移功能类首先判断鼠标左键是否已按下, 这可以根据 m_leftbuttondown 的值来确定若鼠标左键未按下, 则不作任何处理, 否则, 做如下工作 : 计算上次鼠标位置对应的世界坐标 ; 计算本次鼠标位置对应的世界坐标 ; 求得两次鼠标位置在世界坐标系中的距离向量, 将此向量加到场景的显示中心点上, 得到场景新的显示中心点最后刷新场景当视图刷新时, 会根据显示中心点的新值自动调整场景的外观, 实现平移效果当鼠标左键抬起时, 表示平移动作结束, 因此, 平移功能类将标志 m_leftbuttondown 设为 FALSE, 这样, 在鼠标移动事件中将不再继续处理第 5 章缩放操作的交互控制方法场景缩放功能类的伪代码实现如下 : OnLButtonDown(msg) { m_leftbuttondown =TRUE; m_leftdownpos =GetMouseLocation(); oldwidth =GetViewWidth(); } OnLButtonUp(msg) { m_leftbuttondown =FALSE; } OnMouseMove(msg) { if(m_leftbuttondown) { dy =m_leftdownpos.y 唱 GetMouseLocation().y; ScalingFactor =dy /msg.getview() ->GetClientRect().bottom; newwidth =oldwidth 倡 (1 +ScalingFactor); SetViewWidth( newwidth); InvalidateRect(NULL,FALSE); } } 首先, 在场景缩放功能类中定义如下数据成员 : m_leftbuttondown, 布尔型, 用来标志鼠标左键是否已被按下 oldwidth,double 类型, 本次缩放操作之前视口的宽度 m_leftdownpos,cpoint 类型, 记录上次鼠标移动事件中鼠标的位置, 用来计算两次鼠

139 计算机图形学 126 标移动的距离当鼠标左键按下时, 表示缩放操作的开始, 因此缩放功能类在鼠标左键按下时做如下几个工作 : 1 设标志 m_leftbuttondown 为真, 表示已经处于缩放状态 ; 2 记下此时鼠标指针的位置, 放在 m_leftdownpos 中, 用来在鼠标移动事件中计算两次鼠标位置的纵向移动距离, 从而计算出应对视图缩放的尺度 ; 3 将此时场景的视宽记入 oldwidth 中当鼠标移动时, 首先判断鼠标左键是否已按下, 这可以根据 m_leftbuttondown 的值来确定若鼠标左键未按下, 则不作任何处理, 否则, 做如下工作 : 首先计算上次鼠标位置与现在鼠标位置在 y 方向的距离, 根据这个距离值计算场景应缩放的尺度, 然后将这个尺度与原来的视宽结合, 并将视图的视宽修改为新的值最后刷新场景当刷新时, 会根据视宽自动调整场景的显示尺寸当鼠标左键抬起时, 表示缩放动作结束, 因此, 功能类将标志 m_leftbuttondown 设为 FALSE, 这样, 在鼠标移动事件中将不再继续处理 5.3 交互式的图形生成技术交互式的计算机图形学软件允许用户通过鼠标或键盘等外部设备动态的控制场景的显示, 甚至能够动态的可视的改变场景数据假如用户想向一个三维场景中通过鼠标单击加入一个点数据, 那么就需要将鼠标在屏幕上的位置 ( 二维坐标 ) 转换为与当前场景对应的三维坐标 ; 若用户需要在当前场景的基础上进行实时绘图操作, 比如画线, 则需要使用橡皮筋技术因此, 本节将讨论有关的交互式图形生成技术, 包括交互式绘图基本方法坐标的输入技术和橡皮筋技术等交互式绘图概述一般说来, 交互式绘图操作是一次性操作, 这种绘图是为了表示用户在操作过程中产生的暂时的过程性的图形元素比如用户在三维场景中的画线操作, 鼠标左键单击表示一条新的线段的开始 ; 在用户移动鼠标的过程中, 上一次画线的结果要抹掉, 一条新的线段将出现在屏幕上, 指示当前的画线过程 ; 当用户鼠标再次单击后, 则表示当前的画线操作结束, 这条线段将保存到程序的数据结构中在这个过程中, 如何抹掉上次操作的图形指示? 另一个重要的问题是, 如何将屏幕上鼠标位置的二维坐标转换为场景中的三维世界坐标? 这些就是交互式绘图所要解决的一些基本问题

140 5.3.2 坐标的输入技术交互绘图技术计算机屏幕是一个二维的平面, 得到的鼠标位置是一个二维点坐标但用户的操作在语义上是对三维场景进行的, 这就需要将二维的屏幕坐标转换为三维世界坐标, 称这种转换为坐标的输入技术要将三维场景显示到屏幕上, 需要进行一系列变换操作, 如视图变换模型变换投影变换及视口变换等, 这些变换是由三维坐标映射到二维平面很显然, 坐标的输入技术正好与此相反, 是将二维坐标变换到三维空间, 因此, 它应该是前面讨论过的各种变换的逆操作以 OpenGL 为例, 其变换规则为 : objx objy objz W =INV(M 倡 P) 2(WinX -view[0]) view[2] 2(WinY -view[1]) view[3] 2(WinZ -1 ) 1 其中,objX objy objz 为要计算的三维空间中的坐标分量,INV 是对矩阵求逆,M 为当前三维场景的模型变换矩阵,P 为当前使用的投影变换矩阵,WinX WinY WinZ 为二维屏幕坐标 (WinZ 可以随意取值, 只要其值落在当前视点与显示中心之连线与场景相交的范围内即可 ),view[0] view[1] view[2] view[3] 分别对应当前视口的左上角 x y 坐标分量宽度和高度橡皮筋技术橡皮筋技术是交互式绘图中广泛使用的一种用户界面接口手段, 何谓橡皮筋技术? 想象一下, 将橡皮筋一端固定于某点, 手持其另一端点随意移动, 则橡皮筋将随着手的移动而不断变换形态, 这种形态的变化能够很清晰的表达出手移动的过程细节因此, 橡皮筋技术可用于交互式绘图以表现用户操作的过程细节交互式绘图需要控制某种图形随着用户的操作 ( 如鼠标移动 ) 不断变换形态, 这要解决两个方面的问题 : 擦除旧的图形形态, 显示新的图形形态要实现橡皮筋技术, 最关键的问题是如何将旧的图形擦除, 显示新的图形形态则较为简单目前, 实现橡皮筋技术主要有两种方法 : 基于异或操作的橡皮筋技术和基于缓冲区的橡皮筋技术 1. 基于异或操作的橡皮筋技术基于异或操作的橡皮筋技术利用了异或逻辑操作的重要性质 : 值 A 与值 B 两次异或, 其值仍然为 A 其运算逻辑如表 5 唱 1 所示 -1-1 第 5 章 127

141 计算机图形学表 5 唱 1 异或操作 A B A 磑 B 将这个性质应用到像素的颜色上, 则可以利用两次异或操作恢复本来的像素颜色即 : 将图形显示方式设置为异或模式 ( 如 Visual C ++ 中的函数 SetROP2), 画出图形 ( 此时图形是可见的 ), 在异或模式下, 将相同的图形再画一遍, 这个图形将会从屏幕上消失, 而原来被它覆盖的部分将恢复如初 2. 基于缓冲区的橡皮筋技术屏幕上所绘的图形都是由像素组成的, 每个像素都有一个固定的颜色或带有相应点的其他信息, 如深度等因此在绘制图形时, 内存中必须为每个像素均匀地保存数据, 这块为所有像素保存数据的内存区就叫缓冲区, 又叫缓存 (buffer) 不同的缓存可能包含每个像素的不等数位的数据, 但在给定的一个缓存中, 每个像素都被赋予相同数位的数据在基于缓冲区的橡皮筋技术中有两个缓存 ( 称为双缓存 ), 一个称为前缓存, 另者称后缓存向前缓存中绘制图形, 将会在屏幕上看到具体的绘制过程, 向后缓存中绘制图形, 屏幕上看不见具体的绘制过程, 在适当的时刻, 将后缓存中内容复制到前缓存, 则后缓存中绘制的图形将会快速的显示到屏幕上有下面两种方式实现橡皮筋技术 : 1 在进行交互式绘图之前, 将场景内容放入后缓存 ; 在进行交互式绘图过程中, 每次需要更新画面时, 首先将后缓存内容显示到屏幕上, 然后将需要显示的交互式图形绘制到屏幕上 2 在进行交互式绘图过程中, 将每次需要显示的整个场景 ( 包括交互式图形 ) 一并绘制到后缓存中, 然后将后缓存中的内容复制到前缓存 ( 快速显示到屏幕 ) 由于将缓存中内容显示到屏幕上速度非常快, 因此用这种技术实现的交互式绘图效果并不比异或绘图方式差 5.4 交互式的图形编辑技术场景显示的交互式控制, 使得用户可以自由的观察场景的各个组成部分, 通过缩放操作还可以观察场景中某个局部的细节, 相应的交互式的图形编辑技术能够给用户提供可视化的修改图形数据的手段

142 5.4.1 交互式图形编辑的基本方法交互绘图技术三维图形中最常见的图形元素包括点线和面, 因此交互式图形编辑一般是针对这 3 种图形元素进行的, 当然, 也可以对复杂的三维对象进行整体编辑图 5 唱 8 给出点线面的最基本的编辑方法图形元素拾取技术在一个三维图形处理系统中, 同一时刻屏幕上存在着多种对象 ( 图形元素 ), 如曲面折线点等这些图形元素最初创建的形态不一定能满足要求, 有时需要对这些图形元素的形态做进一步的调整比如移动折线中的某个关键点, 使折线的形态达到令人满意的效果 ; 有时需要沿法向拖动曲面上的某个离散点, 从而改变曲面的形态如图 5 唱 8 所示所有这些编辑动作, 都需要在选中某个图形元素后才能进行, 因此, 图形元素的选择 ( 拾取 ) 就成为一个不可缺少的基本操作选择一个元素与对这个元素进行操作往往是紧密联系在一起的如单击屏幕上的某个点时, 其实就是在选择这个点, 但这个单击操作同时也是拖动 ( 编辑 ) 这个点的开始, 因此选择与编辑操作是交织在一起的根据不同编辑操作的需要, 将选择操作分为两种类型 : 静态选择和动态选择所谓静态选择是指只有在某个图形元素之上单击了鼠标左键之后, 这个点才被认为是选中了 ; 动态选择是在鼠标移动过程中实现的, 当鼠标移动到某个图形元素之上时, 这个图形元素就被选中, 网页中的动态链接在一定程度上类似于动态选择在动态选择中, 按下鼠标左键不再表示选择操作, 而是表示编辑动作的开始针对这两种不同类型的选择操作, 分别讨论其实现机制在一个三维图形处理系统中, 屏幕上显示的是三维空间中的物体, 而屏幕本身却是二维的, 鼠标指针的位置也是二维的, 因此需要解决一个问题 : 如何在二维世界中识别三维对象? 即如何拾取指定的三维对象? 三维图形平台 OpenGL 提供的选择机制提供了解决这个问题的实现方法现在假设已能够从给定的对象集合中确定鼠标指针选中了哪个对象, 结合前面介绍的功能类机制, 利用面向对象的多态性, 可以对任意给定的对象集合进行静态选择与动态选择, 前提是集合中的每个对象都会绘制自己 ( 每个对象都有一个绘制自身的成员函数 ) 1. 静态选择功能类静态选择往往与其后的编辑操作是独立的, 使用静态选择选中某个对象后, 需要用户通过单击菜单或其他操作来对选中的对象做进一步的处理, 因此, 静态选择通常用来选中复合型对象 ( 如一个曲面, 其中包含离散点折线等 ), 选中后再对其做进一步处理第 5 章 129

143 计算机图形学 130 图 5 唱 8 点线面的编辑方法下面给出了静态选择功能类的伪代码实现, 它由 BaseFunction 派生而来静态选择功能类用来实现鼠标左键单击作为手段的图元选择它继承了 BaseFunction, 重载其鼠标左键按下的消息处理成员, 以满足静态选择操作的需要

144 交互绘图技术 (1) 构造函数 // 接受外部提供的待选择图元集合 m_pelementset =pelementset; // 接受外部提供的预选取对象 m_pelement =pelement; // 将用户指定的默认选中元素赋给成员变量, 并高亮显示默认被选中元素 if(m_pelement!=null)setselectedelement(m_pelement); 第 5 章 131 (2) 数据成员 ElementSet 倡 m_pelementset; // 图形元素集合, 将从这些图元中挑出被选中者, 放到 m_pelement 中 Element 倡 m_pelement; // 被选中的图元被放在这个成员变量中 (3) 鼠标左键处理 // 利用某种机制 ( 如 OpenGL 提供的选择机制 ) 从待选择元素集合中选择出鼠标指向的图形元素 Element 倡 pei =GetElementFromSelection(m_pElementSet,GetMouseLocation()); if(pei ==m_pselectedelement) return; if(pei! =NULL) SetSelectedElement(pEI); 当静态选择功能类对象获得控制权 ( 成为当前功能类对象 ) 时, 需要首先选中一个默认的元素, 因此在其构造函数中, 将用户指定的默认选中元素赋给成员 m_pelement, 并将其高亮显示 2. 动态选择功能类动态选择往往与其后的编辑操作密不可分, 鼠标移动时选中元素, 左键按下开始拖动 ( 编辑 ) 该元素, 因此, 动态选择功能类通常与其他具有编辑功能的功能类结合在一起, 共同完成一种完整的编辑操作动态选择功能类与静态选择功能类的实现基本一致, 不同的是动态选择功能类重载基类的鼠标移动事件, 而静态选择功能类重载基类的鼠标左键单击事件 ; 另外, 动态选择功能类的特点决定了其在初始化时不需要指定一个默认的被选中元素, 因此, 其构造函数中不做任何工作下面给出了动态选择功能类的伪代码实现, 它由 BaseFunction 派生而来 (1) 数据成员 ElementSet 倡 m_pelementset; // 图形元素集合, 将从这些图元中挑出被选中者, 放到 m_pelement 中 Element 倡 m_pelement;

145 计算机图形学 // 被选中的图元被放在这个成员变量中 (2) 鼠标移动处理 132 // 利用某种机制 ( 如 OpenGL 提供的选择机制 ) 从待选择元素集合中选择出 // 鼠标指向的图形元素 Element 倡 pei =GetElementFromSelection(m_pElementSet,GetMouseLocation()); if(pei ==m_pselectedelement) return; // 恢复屏幕背景, 然后高亮显示被选中的元素 if(pei! =NULL) SetSelectedElement(pEI); 5.5 OpenGL 对图形交互的支持 1992 年,OpenGL 正式成为适用于各种计算机环境下的三维应用程序接口 (3D API) 目前, 它已经成为国际上通用的开放式三维图形标准作为一个优秀的三维图形接口, OpenGL 提供有丰富的绘图命令, 利用这些命令能够开发出高性能交互式的三维图形应用软件在三维图形交互方面,OpenGL 提供了反向坐标变换 ( gluunproject) 用以实现三维坐标输入 ;OpenGL 的双缓存机制为实现橡皮筋技术提供了途径 ; 为了支持三维图形的编辑及三维目标实体的拾取功能,OpenGL 提供了一种简单直观的选择机制, 能够很容易的实现三维场景中任一图形元素的选取本节将依次介绍 OpenGL 的几种图形交互技术的使用方法用 OpenGL 的反向坐标变换实现三维坐标输入 OpenGL 提供的 API 函数 gluunproject 能够将 Windows 屏幕坐标转换为场景中的三维世界坐标, 也就是说, 已知鼠标在 Windows 窗口中的位置, 通过函数 gluunproject 可以获得该位置在场景中对应的 (x,y,z) 三维坐标使用该函数, 需要指定如下一些参数 : 1 视口的原点 (x,y 坐标 ) 及视口宽度 (width) 与高度 (height); 2 当前显示三维场景所使用的模型视图变换矩阵 (the modelview matrix); 3 当前显示三维场景所使用的投影变换矩阵 (the projection matrix); 4 Windows 窗口坐标 ; 5 存储三维坐标的变量 (posx,posy,posz) 下面详细说明所需要参数的有关内容 1. 视口信息 ( 视口原点坐标宽度高度 ) 使用函数 gluunproject, 需要获得当前视口的相关信息, 包括视口左上角坐标 ( x,y) 及

146 交互绘图技术视口的宽度 (width) 与高度 (height) 方法是 : GLint viewport[4]; // 存储视口相关信息 glgetintegerv(gl_viewport, viewport); // 检索 (x, y, width, height) 一旦调用成功, 将有 : 第 5 章 133 viewport[0] =x viewport[1] =y viewport[2] =width viewport[3] =height 2. 模型视图变换矩阵一旦获得了视口信息, 紧接着获得当前的模型视图变换矩阵 ( the modelview matrix) 模型视图变换矩阵决定了 OpenGL 图元顶点的世界坐标如何变换到视坐标方法如下 : GLdouble modelview[16]; // 存储模型视图矩阵的 16 个双精度值 (4 4 矩阵 ) glgetdoublev(gl_modelview_matrix, modelview); // 检索模型视图矩阵 3. 投影矩阵然后, 需要获取投影矩阵 (the projection matrix) 信息利用投影矩阵可将顶点的视坐标变换为裁剪坐标利用下面的代码段可以获得投影矩阵 : GLdouble projection[16]; // 存储投影矩阵的 16 个双精度值 (4 4 矩阵 ) glgetdoublev(gl_projection_matrix, projection); // 检索投影矩阵 4.Windows 屏幕坐标 Windows 屏幕坐标即为要变换成三维坐标的数据来源, 一般对当前鼠标位置感兴趣在 VC 中, 有些事件处理程序可以直接获得鼠标位置, 如 OnLButtonDown,OnMouseMove 等但有些事件处理程序的参数不直接提供鼠标位置, 这需要另外编写代码来获得鼠标位置, 下面的代码段说明了这个过程 : CPoint mouse; // 保存当前鼠标指针位置的 x,y 坐标 GetCursorPos(&mouse); // 获得当前鼠标坐标 ScreenToClient(hWnd, &mouse);// 将屏幕坐标转换为窗口坐标 ( 或称为 OpenGL 视口坐标 ) GLfloat winx, winy, winz; // 用来存放传递到函数 gluunproject 的窗口坐标参数 winx =(float)mouse.x; // 鼠标坐标的 x 分量 winy =(float)mouse.y; // 鼠标坐标的 y 分量由于 Windows 窗口坐标 (0,0) 在左上角, 而 OpenGL 视口是由左下角开始的, 因此需要将 WinY 变换一下 : winy =(float)viewport[3] 唱 winy;

147 计算机图形学需要注意,WinZ 无法由鼠标位置直接得到 ( 鼠标位置为二维坐标 ), 需调用 OpenGL 提供的 API 函数 glreadpixels 计算得到, 方法为 : 134 glreadpixels(winx, winy, 1, 1, GL_DEPTH_COMPONENT, GL_FLOAT, &winz); 5. 存储三维坐标的变量剩下的工作就是调用 gluunproject 计算对应的三维坐标 (posx,posy,posz), 并存储到 posx,posy,posz 中下面给出利用 OpenGL 函数 gluunproject 进行反向坐标变换实现三维坐标输入的完整的子程序 : Point3D GetOGLPos(int x, int y) { GLint viewport[4]; GLdouble modelview[16]; GLdouble projection[16]; GLfloat winx, winy, winz; GLdouble posx, posy, posz; glgetdoublev(gl_modelview_matrix, modelview ); glgetdoublev(gl_projection_matrix, projection ); glgetintegerv(gl_viewport, viewport ); winx =(float) x; winy =(float)viewport[3] 唱 (float)y; glreadpixels(winx, winy, 1, 1, GL_DEPTH_COMPONENT, GL_FLOAT, &winz ); gluunproject ( winx, winy, winz, modelview, projection, viewport, &posx, &posy, &posz); } return Point3D(posX, posy, posz); 用 OpenGL 缓冲区技术实现橡皮筋功能屏幕上所绘的图形都是由像素组成的, 每个像素都有一个固定的颜色或带有相应点的其他信息, 如深度等因此在绘制图形时, 内存中必须为每个像素均匀地保存数据, 这块为所有像素保存数据的内存区就叫缓冲区, 又叫缓存 (buffer) 不同的缓存可能包含每个像素的不等数位的数据, 但在给定的一个缓存中, 每个像素都被赋予相同数位的数据

148 交互绘图技术存储一位像素信息的缓存叫位面 ( bitplane ) 系统中所有的缓存统称为帧缓存 (framebuffer), 可以利用这些不同的缓存进行颜色设置隐藏面消除场景反走样和模板等操作 1.OpenGL 帧缓存组成 OpenGL 帧缓存由以下 4 种缓存组成 (1) 颜色缓存 (color buffer) 颜色缓存通常指的是图形要画入的缓存, 其中内容可以是颜色索引, 也可以是 RGB 颜色数据 ( 包含 alpha 值也可 ) 若所用 OpenGL 系统支持立体视图, 则有左右两个缓存 ; 若不支持立体视图, 则只有左缓存同样, 双缓存 OpenGL 系统有前台和后台两个缓存, 而单缓存系统只有前台缓存每个 OpenGL 系统都必须提供一个左前颜色缓存 (2) 深度缓存 (depth buffer) 深度缓存保存每个像素的深度值深度通常用视点到物体的距离来度量, 这样带有较大深度值的像素就会被带有较小深度值的像素替代, 即远处的物体被近处的物体遮挡住了深度缓存也称为 z 唱 buffer, 因为在实际应用中,x y 常度量屏幕上水平与垂直距离, 而 z 常被用来度量眼睛到屏幕的垂直距离 (3) 模板缓存 (stencil buffer) 模板缓存可以保持屏幕上某些部位的图形不变, 而其他部位仍然可以进行图形绘制比如说, 可以通过模板缓存来绘制透过汽车挡风玻璃观看车外景物的画面首先, 将挡风玻璃的形状存储到模板缓存中去, 然后再绘制整个场景这样, 模板缓存挡住了通过挡风玻璃看不见的任何东西, 而车内的仪表及其他物品只需绘制一次因此, 随着汽车的移动, 只有外面的场景在不断地更改 (4) 累积缓存 (accumulation buffer) 累积缓存同颜色缓存一样也保存颜色数据, 但它只保存 RGBA 颜色数据, 而不能保存颜色索引数据 ( 因此在颜色表方式下使用累积缓存其结果不确定 ) 这个缓存一般用于累积一系列图像, 从而形成最后的合成图像利用这种方法, 可以进行场景反走样操作 2. 利用 OpenGL 的双缓存实现橡皮筋技术 OpenGL 提供了双 ( 颜色 ) 缓存, 分别称为前 ( 颜色 ) 缓存和后 ( 颜色 ) 缓存当然, 有些 OpenGL 系统还提供了更多的颜色缓存, 如前左缓存后右缓存等, 这里我们只讨论利用双缓存实现橡皮筋技术, 其他颜色缓存不予考虑通过调用 OpenGL 的 API 函数 gldrawbuffer 可以指定后续绘图操作将画进哪个缓存, 其参数可以是 GL_FRONT 或 GL_BACK, 也可以是 GL_FRONT_AND_BACK GL_BACK _RIGHT 等前缓存直接与计算机屏幕相对应, 也就是说, 若指定后续绘图操作画进前缓存, 则用户能够在屏幕上看见绘图的过程, 即画进前缓存相当于直接对屏幕作图 ; 若指定第 5 章 135

149 计算机图形学 136 后续绘图操作画进后缓存, 则绘图结果并不显示到计算机屏幕, 除非调用 OpenGL 的函数 SwapBuffers, 将后缓存的内容复制到前缓存中由此, 利用 OpenGL 的双缓存机制, 可以实现橡皮筋技术具体操作方法为 : 在进行交互式绘图之前, 首先指定后续绘图操作将对后缓存进行, 然后绘制场景, 这时, 后缓存中存放了不包括交互式图形在内的整个场景, 可以将之作为背景来抹除不再需要显示的交互式图形当需要绘制交互式图形时, 首先调用 SwapBuffers 将后缓存中的背景显示到计算机屏幕, 然后指定后续绘图操作针对前缓存进行, 紧接着绘制交互式图形通过这种方式, 不再需要考虑怎样抹除上次画出的交互式图形, 只是简单的用后缓存中保存的背景重画屏幕, 再画出新的交互式图形就可以了因为将后缓存中的三维图形倾倒至计算机屏幕的速度相当快速 ( 将某缓存中三维图形显示到屏幕并不重新进行各种变换及消隐操作, 缓存中的数据是当初画进缓存时已经计算好的 ), 因此利用这种方式实现的橡皮筋效果非常理想另外, 具有橡皮筋效果的交互式图形是用来表现用户的某种操作, 一般情况下希望交互式图形总能被用户看见, 而不被其他三维对象挡住, 因此, 在绘制交互式图形之前, 调用 OpenGL 函数 gldepthmask(false) 禁止进行深度测试, 这样, 交互式图形总会在背景之前根据前面论述, 给出一个完整的函数 SetDrawImmediately( BOOLImd), 它的功能是 : 根据所传递参数的不同, 设置不同的图形绘制方式, 若参数 Imd 为 TRUE, 则设置为交互式绘图, 否则, 设置为一般绘图情况其代码片断如下 : void GLView SetDrawImmediately( BOOL Imd) { if(imd) // 绘制交互式图形 { // 取消深度测试, 保证交互式图形总能够被用户看见 gldepthmask(false); // 直接向屏幕绘图 gldrawbuffer(gl_front); // 总是不进行深度测试 gldepthfunc(gl_always); } else // 一般情况下绘图 { // 进行深度测试 ( 进行消隐计算 ) gldepthmask(true);

150 交互绘图技术 } } // 后缓存绘图, 用 SwapBuffers 显示, 在视觉上提高绘图速度, 减少闪烁现象 gldrawbuffer(gl_back); // 深度小的对象显示 ( 深度大的对象被消隐 ) gldepthfunc(gl_less); 第 5 章实例利用前面介绍的功能类机制, 结合 OpenGL 提供的双缓存绘图, 给出一个画线的程序实例用户单击鼠标左键, 表示一条新的线段的开始, 在鼠标移动过程中, 要不断的更新屏幕显示, 线段的起点不变, 但终点始终跟随着鼠标指针, 当用户再次单击鼠标左键后, 画线操作结束实例代码比较简单, 请读者自行理解 OnLButtonDown(msg) { ShowStatusBar( 拖动鼠标至终点, 抬起左键完成线段定义 ); m_leftbuttondown =TRUE; m_leftdownpos =GetMouseLocation(); m_start3dpoint =GetOGLPos(m_LeftDownPos.x,m_LeftDownPos.y); m_lastmovepos =m_leftdownpos; } OnMouseMove(msg) { if(! m_leftbuttondown) return FALSE; Point3D tmppoint =GetOGLPos ( GetMouseLocation ().x, GetMouseLocation (). y); if(m_lastmovepos!=m_leftdownpos) { SwapBuffers(wglGetCurrentDC()); } if(getmouselocation()! =m_leftdownpos) { SetDrawImmediately(TRUE); DrawLine(&m_Start3DPoint,&tmpPoint); SetDrawImmediately(FALSE); } m_lastmovepos =GetMouseLocation(); } OnLButtonUp(msg) {

151 计算机图形学 138 Point3D tmppoint =GetOGLPos ( GetMouseLocation ().x, GetMouseLocation (). y); if(m_lastmovepos!=m_leftdownpos) { SwapBuffers(wglGetCurrentDC()); } ShowStatusBar( 按下鼠标左键, 定义线段起点 ); m_leftbuttondown =FALSE; if(getmouselocation() ==m_leftdownpos) SetDrawImmediately(TRUE); DrawLine(&m_Start3DPoint,&tmpPoint); SetDrawImmediately(FALSE); } return TRUE; OpenGL 中的选择机制介绍在实际应用中, 有些 OpenGL 图形程序只需简单地将二维或三维物体显示到屏幕上, 可由用户控制对整个场景进行旋转缩放平移等操作 ; 而另外一些应用程序则可能需要识别屏幕上显示出来的各个三维图形元素, 允许用户进一步对某个元素单独做处理如在三维地质建模系统中, 屏幕上同时显示出一系列地层断面剖面, 每个断面或地层中又包含着大量离散点或地质线, 剖面中包括用来生成断面的断面线和用来生成地层的层位线, 系统应允许用户选中断面或地层面上的某个离散点, 拖动它进行编辑从而引起断面或地层形态的变化, 达到建模的目的 ; 用户也可以拖动地质线上的某离散点来编辑地质线, 从而改变此地质线所附属的地质面的形态所有这些都需要识别屏幕上的某个图形元素, 允许用户选择它并进行编辑, 而不是将整个场景作为一个整体来对待通过 OpenGL 画在屏幕上的图元通常都经历过多次旋转平移和投影变换, 在三维场景中要确定用户所选择的究竟是哪一个图元就显得非常困难令人高兴的是,OpenGL 提供了一种选择机制, 可自动通知用户在窗口的某个特定区域里画出的是哪个图元, 利用这种机制, 就可以判断给定图元集合中哪个图元被鼠标选中 1. 设置选择缓冲区若需使用 OpenGL 的选择机制, 第一个步骤首先要为 OpenGL 返回的选择信息设置缓冲区, 通过这个缓冲区可以取得有关被选中图元的信息, 从而决定给定图元集合中哪些图元被选中了使用命令 glselectbuffer 可以设置选择缓冲区它有两个参数, 一个指明缓冲区的大小, 另外一个是整型数组, 用来存放 OpenGL 返回的选择信息 2. 进入选择模式通常情况下,OpenGL 工作在渲染模式 ( 默认模式 ), 在这种模式下, 一切绘图操作通

152 交互绘图技术过各种变换直接显示到屏幕上 ; 若需使用 OpenGL 的选择机制, 则必须进入选择模式, 在这种模式下, 实际的绘图操作并不反映到屏幕上 ( 不进行光栅化 ), 而是收集到某个后台缓冲区, 供 OpenGL 判断返回给定条件下的选择信息因此, 在设置了选择缓冲区之后, 必须设置当前的绘图模式为选择模式, 这可以通过命令 glrendermode 来实现, 给定参数为 GL_RENDER, 则进入渲染模式, 若要进入选择模式, 则设置参数为 GL_SELECT 注意, 当选择操作完成后, 应该再次使用 glrendermode 返回到默认的绘图模式 ( 渲染模式 GL_RENDER), 并由此让 OpenGL 将选择信息写入选择缓冲区 3. 初始化命名堆栈命名堆栈构成了选择信息的基础命名堆栈中用来存放一系列整数, 每个整数作为某个图元的标识 ; 每当需要绘制下一个图元供 OpenGL 判断其是否被选中之前, 首先将此图元的标识 ( 整数 ) 压入命名堆栈, 这样,OpenGL 便会知道其后绘制的便是此图元, 经计算之后, 若此图元被选中, 则命名堆栈中此图元的标识便会返回到选择缓冲区中, 这样, 通过提取选择缓冲区中的命名堆栈的内容, 便可得到有关哪个图元被选中的信息在使用命名堆栈之前, 首先要对其进行初始化 ( 置空 ), 命令 glinitnames 完成这项工作, 它不需要参数 4. 设置合适的投影变换矩阵和模型视图矩阵若要使 OpenGL 能够正确地判断哪个图元被选中, 就要设置合适的投影变换矩阵和模型视图矩阵, 使得在选择模式下的绘制代码能够与绘图模式下的相吻合, 因此这里设置的投影变换矩阵和模型视图矩阵应该与在绘图模式下的相一致与在绘图模式下惟一不同的是, 在此要设置另外一个矩阵拾取矩阵要让 OpenGL 来判断哪个图元被选中, 则必须向它提供一个位置信息 ( 通常便是鼠标的位置 ), 这个位置信息由拾取矩阵来表达, 使用命令 glupickmatrix 设置拾取矩阵, 它有 5 个参数 : 第一个参数是鼠标指针的横坐标 x; 第二个参数是鼠标指针的纵坐标 y( 注意, OpenGL 中的二维坐标系规定原点在左下角, 因此, 第二个参数要稍微变换一下, 即将视口高度与鼠标指针纵坐标之差作为 glupickmatrix 的第二个参数 ); 第三个参数是靶区的宽度 ; 第四个参数是靶区的高度 ( 为了方便用户选中微小的物体, 将鼠标指针扩大为一个合适的矩形区域, 凡是与这个区域相交的图元便被选中, 这个矩形区域就称为靶区 ); 第五个参数是一个含有 4 个元素的整型数组, 它包含着当前 OpenGL 视口 ( Viewport) 的信息, 即左上角 x,y 坐标值, 视口的宽度与高度视口信息可以用变量保存, 在窗口大小发生变化时更新, 也可以通过 OpenGL 提供的函数 glgetintegerv 临时获得 5. 交替发送图元绘制命令以及命名堆栈操作命令, 为每个图元分配合适的名称当前面各项内容都正确设置好之后, 便可以将集合中每个图元依次进行绘制, 供 OpenGL 计算相关的选择信息第 5 章 139

153 计算机图形学 140 在绘制每个图元之前, 首先要将此图元的标识 ( 整数 ) 压入命名堆栈, 然后开始绘制 ; 若几个图元使用了相同的标识, 则 OpenGL 将这几个图元作为一个整体进行计算, 如具有相同标识的图元中的某一个或几个被选中, 则其标识会返回到选择缓冲区中, 如具有相同标识的图元中任何一个都未被选中, 则此标识不返回到选择缓冲区中 ; 当某个图元绘制完成之后, 为了节省命名堆栈的空间, 应将其标识从命名堆栈中弹出 ( 这并不影响 OpenGL 的计算 ) 使用命令 glpushname 将某个图元的标识压入命名堆栈, 而 glpopname 则负责将当前栈顶元素弹出 6. 切换回渲染模式当所有待选择图元绘制完毕后, 便可以让 OpenGL 进行计算, 并将相关信息写入选择缓冲区了, 这需要再次调用函数 glrendermode( 此时可以根据需要决定是进入哪种模式 : 渲染模式选择模式还是反馈模式 ) 函数 glrendermode 返回选中记录的数目 ( 整数 ); 若选中记录的数目大于 0, 那么选择缓冲区中就已经包含了相关的选择信息 ( 是哪些标识被选中了 ) 7. 分析选择缓冲区中数据, 确定被选中图元若 glrendermode 返回值大于 0, 说明有图元被选中了, 此时, 选择缓冲区中包含了一个个选中记录, 每个选中记录的格式如下 ( 对应于某个图元被选中时的情形 ): 命名堆栈中标识的数目最小深度最大深度标识序列若每个图元的标识均不相同, 每个图元选中记录中的标识数应为 1, 标识序列中只包含一个标识, 即被选中的图元的标识, 因此, 选择缓冲区的格式为 : 1 最小深度最大深度标识 1 最小深度最大深度标识最小最大深度可以帮助判断被选中的图元中哪个在最上面 ( 深度最小 ), 最后需要的便是选择缓冲区中深度最小的那个图元的标识 ( 即鼠标单击的是最上面的图元 ) 这样, 就可以得知在给定鼠标靶区的范围内, 哪个图元被选中了习题 5.1 了解图形交互技术, 分别用 MFC 和 OpenGL 实现直线的交互绘图 5.2 用 GDI 绘图功能, 编制一个二维图形显示控制功能, 实现二维图形的充满放大缩小和平移, 并显示进行试验验证 5.3 用 OpenGL 绘图功能, 编制一个三维图形显示控制功能, 实现充满放大缩小平移

154 交互绘图技术和旋转 5.4 用 GDI 绘图功能, 实现交互生成与编辑二维点和直线的功能, 实现在二维平面上增加删除和拖动点和直线 5.5 用 OpenGL 绘图功能, 实现交互生成与编辑三维点和直线的功能, 实现在指定空间平面上增加删除和拖动点和直线 5.6 绘制一个 3 行 4 列的汽车阵列, 每个汽车由一个简单多面体构成的车身和 4 个圆柱体车轮构成, 每个车轮侧面要求绘制一圈六棱柱形的螺母, 在此基础上, 编制用 OpenGL 选择机制选取汽车车轮与螺丝的功能, 每次鼠标按下将鼠标点取的对象信息显示出来, 当鼠标未选中任何对象时, 显示未选中 ; 当鼠标选中汽车车身时, 显示选中某行某列车身 ; 当鼠标选中汽车车轮时, 显示选中某行某列左或右前或后车轮 ; 当鼠标选中汽车车轮螺母时, 显示选中某行某列左 ( 或右 ) 前 ( 或后 ) 车轮第几个螺母双击某个汽车前轮时, 要求能够改变前轮的转向角度第 5 章 141

155 第 6 章真实感图形的生成技术真实感图形绘制是计算机图形学研究的重要内容之一, 简单地讲, 真实感图形绘制就是借助数学物理计算机等学科的知识在计算机二维显示屏上产生三维场景的真实逼真图像图形的过程真实感图形绘制在人们日常的工作学习和生活中已经有了非常广泛的应用, 如计算机辅助设计多媒体教育虚拟现实系统科学计算可视化动画制作电影特技模拟计算机游戏等许多方面, 都可以看到真实感图形在其中发挥了重要的作用, 而且人们对于计算机在视觉感受方面的要求越来越严格, 这就需要研究更多更逼真的真实感图像生成算法在计算机图形设备上生成真实逼真的图像图形需要经过以下 4 个步骤 : 1 构造各个物体的数学描述物体可以由基本的几何要素构成, 如点线多边形等 2 将各个物体安放在给定参考坐标系的三维空间中适当位置处, 由此构成场景, 并且选择所期望的观察场景的视点视方向视域 3 给出各个物体的颜色信息物体的颜色可以显式地指定, 也可以由特定的光照条件决定, 还可以通过向物体粘贴纹理来获得 4 将各个物体的数学描述和它们相关的颜色信息转化为屏幕上的像素信息这个过程称为光栅化为了使光栅化后生成的图形具有真实感, 在这个过程中应该将被其他物体遮挡的不可见面 ( 线 ) 消隐, 并且可见面的颜色应该由光照条件决定, 即根据基于光学物理的光照模型计算可见面投射到观察者眼中的光亮度大小为了使绘制的图形更接近自然景物, 可以在应用光照模型时将特定的花纹图案映射到物体的表面在应用光照模型时还可以根据物体的表面是否位于阴影区内来改变相应光源的光照效果, 从而使得最终生成的图形具有阴影的效果下面各节将对上面提到的消除隐藏面 ( 线 ) 技术, 以及确定可见面颜色的光照技术物体表面细节模拟技术阴影生成技术进行介绍本章还讨论了真实感图形生成过程中的图形反走样技术最后介绍如何利用 OpenGL 图形库生成真实感图形

156 真实感图形的生成技术消隐技术的综合介绍 6.1 消隐技术第 6 章 143 将三维场景绘制在计算机二维显示屏上必须经过投影变换, 比如, 将多面体的顶点按某种方式投影到二维平面上, 然后按照原有的拓扑连接关系连接各个投影点即可将多面体绘制出来投影变换将三维信息变换到二维平面上, 这个过程中深度信息被丢失, 生成的图形往往具有二义性, 如图 6 唱 1(a) 通过判别当前观察方向下的可见线和可见面, 然后只显示可见线与可见面可以消除图形的二义性, 如图 6 唱 1(b),6 唱 1(c) 在计算机图形学研究的早期, 判别可见面的算法又被称为消除隐藏线消除隐藏面算法图 6 唱 1 图形具有二义性判别可见面算法通常可以按照它们在实现时所基于的坐标系分为物空间算法和像空间算法物空间算法是在定义描述物体的世界坐标系中实现的它以场景中的物体为处理单元, 可描述如下 : for( 场景中的每一个物体 ) { 将其与场景中的其他物体比较, 确定其表面的可见部分 ; 显示该物体表面的可见部分 ; } 物空间算法具有很高的精度, 通常与机器的精度相同, 因而物空间算法在对精度要求较高的工程应用方面特别有用像空间算法是在观看物体的屏幕坐标系下实现的, 它以窗口内的每个像素为处理单元, 可描述如下 : for( 窗口内的每一个像素 ) { 确定与此像素对应的距离视点最近的物体, 以该物体表面的颜色来显示像素 ; } 像空间算法的计算仅局限于屏幕的分辨率, 比如 , 这通常是很粗糙的物

157 计算机图形学 144 空间算法和像空间算法一个显著区别在于算法所需要的计算量不同假设场景中有 k 个物体, 平均每个物体表面由 h 个多边形构成, 显示区域中有 m n 个像素, 则物空间算法需要的计算量为 ( kh) ( kh), 而像空间算法所需要的计算量为 ( mn) ( kh), 其中 mn 冲 kh 理论上讲, 物空间算法的计算量少于像空间算法的计算量, 因为 mn 冲 kh, 于是绝大多数的算法似乎应该在物空间实现但实际上, 并不是这回事所有的判别可见面算法都离不开排序, 物体距视点越远, 则它越有可能被距视点近的物体部分或全部遮挡, 因此排序一般是基于体面边或点到视点的距离判别可见面算法的效率很大程度上取决于排序的效率而以扫描线的方式实现像空间算法时容易利用连贯性质从而使得像空间算法更具效率这里连贯性指的是物体特征的变化趋势具有局部不变性提高消隐算法效率的常见方法有利用连贯性包围盒技术背面剔除区域分割技术物体分层表示等, 由此人们提出了许多的判别可见面算法, 如画家算法 Z 缓冲器算法扫描线算法 Warnock 算法等等需要指出的是, 在进行真实感图形绘制时, 光照计算纹理映射技术都要融合到消隐算法中, 确切地讲就是在利用消隐技术确定像素所对应的物体上可见点后, 需要利用光照计算纹理映射技术计算出该点的颜色接下来的两小节分别介绍了多面体隐藏线消除和 Z 缓冲器消隐算法多面体隐藏线消除多面体是由表面多边形构成的表面多边形可以是凹的, 凸的, 还可以是带孔的讨论多面体隐藏线消除问题时, 总是假定多面体是用线框方式表示的, 并且如果存在多个多面体, 则多面体之间是互不相交的隐藏线的产生是因为在给定的观察方向下, 某些棱 ( 或棱的一部分 ) 被表面多边形的遮挡成为不可见, 因此多面体隐藏线消除可以归结为一个根本问题 : 在给定的观察方向下, 给定一条空间线段 P 1 P 2 和一个多边形 π, 判断线段是否被多边形遮挡如果遮挡, 求出遮挡部分基于前面的假定, 这里的线段 P 1 P 2 和多边形 π 在空间中是不相交的这个问题可以按下面的步骤求解 : 1 将线段 P 1 P 2 和多边形 π 投影到投影平面上得到线段 P 1 P 2 和多边形 π 2 计算线段 P 1 P 2 和多边形 π 各条边的交点 3 交点将 P 1 P 2 分成若干个子线段, 特别地当交点不存在时, 子线段只有一个, 即 P 1 P 2 自身现在每个子线段上的所有点具有相同的隐藏性 4 分别判断各个子线段的隐藏性取子线段的中点, 判断该点是否在多边形 π 内如果不在多边形内, 则说明子线段与多边形 π 是分离的, 不存在隐藏关系, 因而该子

158 真实感图形的生成技术线段是可见的如果在多边形内, 则说明子线段在多边形 π 内, 子线段可能完全可见, 也可能完全隐藏, 需要进一步判断这时从子线段中点 ( 对应 P 1 P 2 上的点 ) 向视点引射线, 如果射线与多边形 π 相交, 则该子线段被多边形隐藏, 否则该子线段可见上面的算法求出的是线段 P 1 P 2 被一个多边形遮挡的部分, 当线段 P 1 P 2 用参数形式 P(t) =(P 2 -P 1 )t +P 1 表示时 ( 其中 0 t 1), 这些遮挡部分可以表示为参数区间 [0,1] 的若干个子区间在进行多面体隐藏线消除时, 线段 P 1 P 2 视为多面体的一条棱, 它与所有的多面体表面多边形依次进行上面的隐藏性判别, 记下各个多边形所遮挡的参数子区间, 最后对这些区间进行并集运算, 就可以确定这条棱总的隐藏子线段的位置, 进而确定可见子线段如图 6 唱 2 所示第 6 章 145 图 6 唱 2 可见子线段的确定注意到线段和一个多边形进行隐藏性判断时, 涉及到的运算包括投影变换, 平面上线段和多边形的求交, 判断点是否在多边形内, 空间中射线和平面求交如果将多面体的每条棱与每个多边形都按上面的方法消除隐藏线, 那么计算量将非常大事实上, 可以采取预先消除自隐藏线面, 进行深度测试和包围盒测试来减少大量不必要的复杂运算 1. 消除自隐藏线隐藏面首先介绍多面体表面多边形内法向量的概念假设某表面多边形所在平面方程为 : ax +by +cz +d =0 可以调整系数的符号, 使得位于物体所在一侧的某 P 0 ( x 0,y 0,z 0 ) 点 ( 比如物体的重心 ) 有 : ax 0 +by 0 +cz 0 +d >0 这时平面法向量 (a,b,c) 必是指向物体内部的, 这个法向量称为该表面多边形的内法向量事实上, 设 P(x,y,z ) 为 P 0 在这个表面多边形所在平面上的垂足, 则有 : ax +by +cz +d =0, 并且 P 0 -P 是指向物体内部的平面法向量此时, ( a,b,c) (P 0 -P) =ax 0 +by 0 +cz 0 +d -( ax +by +cz +d) >0

159 计算机图形学 146 这说明 (a,b,c) 和 (P 0 -P) 的夹角小于 90, 又 ( a,b,c) 和 ( P 0 -P) 都是平面的法向量, 二者夹角只能是 0 或 180, 所以 (a,b,c) 和 (P 0 -P) 的夹角只能为 0, 即向量 ( a,b,c) 和向量 (P 0 -P) 一样也是指向物体内部的可以按照这种方法求出多面体表面各多边形的内法向量, 当视线与某个多边形的内法向量夹角余弦大于 0, 则这个多边形称为朝前的面, 朝前的面是潜在可见面, 它可能完全可见, 也可能被其他的多边形遮挡成为部分可见或完全隐藏 ; 当这个夹角余弦小于 0, 则这个多边形称为朝后的面, 朝后的面是自隐藏面, 这是因为物体表面是封闭的, 朝后的面总是被朝前的面所遮挡, 从而始终是不可见的两个自隐藏面的交线为自隐藏线显然在多面体的消隐问题中, 不会仅由于自隐藏面的遮挡, 导致某条棱的不可见, 因此在进行多面体的消隐时可以将自隐藏面全部去掉, 而不考虑它们对棱的遮挡性另外也无需对所有的棱进行隐藏性判别, 因为自隐藏线总是不可见的, 因此只需要对潜在可见面的边进行隐藏性判别 2. 深度测试深度测试指的是在观察坐标系下判断线段与多边形的前后关系不失一般性, 假设视点为观察坐标系原点, 视线方向沿观察坐标系 Z 轴负向, 以下的讨论在观察坐标系中进行深度测试可以分为粗略测试和精确测试两步首先进行粗略测试, 即把多边形顶点的最大 Z 坐标和线段端点的最小 Z 坐标进行比较如果前者小于或等于后者, 则说明多边形完全在线段之后, 多边形不可能对线段造成任何遮挡, 线段完全可见, 无需就线段和多边形的遮挡关系进行进一步判断 ; 如果前者大于后者, 这时线段仍有可能完全位于多边形之前, 可以采用精确测试予以判断 : 从线段两端点 P 1 (x 1,y 1,z 1 ) 和 P 2 (x 2,y 2,z 2 ) 各做一条与 Z 轴平行的直线, 假设这两条直线与多边形所在平面的交点分别为 M 1 (x 1,y 1,z 1 ) M 2 (x 2,y 2,z 2 ), 若 z 1 z 1 且 z 2 z 2, 则多边形不会对线段造成任何遮挡, 线段完全可见, 无需就线段和多边形的遮挡关系进行进一步判断否则, 要按前面介绍的步骤将线段和多边形投影到投影平面上, 进行线段和多边形求交等诸多运算最终确定被多边形隐藏的子线段 ( 如果存在的话 ) 3. 包围盒测试包围盒测试是在投影平面上线段和多边形求交之前进行的在投影平面上, 线段或多边形的包围盒是包含它们的边平行于投影平面坐标轴的最小矩形, 这个矩形可以由 4 个参数 x min,x max,y min,y max 表示设线段和多边形的包围盒参数分别为 : x min 1,x max 1,y min 1,y max 1 与 x min 2,x max 2,y min 2,y max 2 当它们满足 x min 1 >x max 2 或 y min 1 >y max 2 或 x max 1 <x min 2 或 y max 1 <y min 2 时, 这两个包围盒不相交, 从而线段和多边形也不相交如图 6 唱 3 所示图 6 唱 3 包围盒测试

160 真实感图形的生成技术显然这时多边形不会对线段造成任何遮挡, 线段完全可见, 无需就线段和多边形的遮挡关系进行进一步判断如果包围盒测试的上述条件不满足, 则只能在投影平面上将线段和多边形进行求交运算, 进而判断各个子线段相对多边形的隐藏性最后, 这里讨论的多面体隐藏线的消除算法思路可以完整地描述如下 : hidden_line_removal() { for(i =1 ; i <=NF; i ++) / 倡 NF 是所有多面体表面多边形的个数倡 / { 求第 i 个表面多边形的内法向量 ; 计算视线与这个内法向量的夹角余弦 ; if( 上述夹角余弦大于 0, 即第 i 个表面多边形是潜在可见面 ) { 把当前多边形送入潜在可见面集合 ; 把当前多边形的各条边送入潜在可见线段集合 ; / 倡注意如果某条边已经在集合中, 则不必再次加入倡 / } } / 倡至此, 产生了一个潜在可见面集合, 假设面的个数为 NF1 还产生了一个潜倡 / / 倡在可见线段集合, 假设线段的个数为 NE 不属于潜在可见线段集合的其他多倡 / / 倡面体棱是自隐藏线, 其不可见性不言而喻接下来要为潜在可见线段集合中的倡 / / 倡每一条线段与潜在可见面集合中的每一个多边形进行隐藏性判别倡 / for(j =1; j <=NE; j ++) / 倡对每一条潜在可见线段进行处理倡 / { for(k =1; k <NF1; k ++) / 倡线段 j 与每一个潜在可见多边形进行隐藏性判别倡 / { 在观察坐标系下, 潜在可见线段 j 和潜在可见多边形 k 进行深度测试 if( 深度测试中的粗略测试或精确测试通过 ) { 深度测试表明多边形不会对线段造成任何遮挡, 线段 j 相对于当前多边形的隐藏子区间不存在 } else { 将线段 j 和多边形 k 变换到投影平面上二者进行包围盒测试 if( 包围盒测试表明二者是分离的 ) { 多边形不会对线段造成任何遮挡, 线段 j 相对于当前多边形的隐藏子区间不存在 } 第 6 章 147

161 计算机图形学 148 } } else { 按照本节最开始提出的根本问题的求解步骤 2~4, 计算并记录线段 j 被当前多边形遮挡的子线段位置 } } } 对线段 j 被各个潜在可见多边形隐藏的子线段位置求并运算, 获得线段 j 最终的隐藏子线段以及可见子线段 Z 缓冲器消隐算法 Z 缓冲器消隐算法是最简单的消除隐藏面算法之一在这个算法里, 除了有一个帧缓冲区用来存放每个像素的亮度值, 还要有一个 Z 缓冲区用来存放每个像素的深度值帧缓冲区和 Z 缓冲区的存储单元数目相同, 并且都等于屏幕上像素的个数, 见图 6 唱 4 当颜色用 RGB 值表示时, 帧缓冲区每个单元的位数可以是 24bits 由于 Z 缓冲区中每个单元存储的是相应像素所对应物体上的点在观察坐标系下的 z 坐标值, 因而每个单元的位数取决于场景在观察坐标系下 z 方向的变化范围, 一般取 20bits 可以满足需要, 更精确的可以取 float 数据类型所占的位数图 6 唱 4 Z 缓冲区示意图不失一般性, 假设视点为观察坐标系原点, 视线方向沿观察坐标系 z 轴负向 Z 缓冲区算法的流程为 : 帧缓冲区置成背景色 ; Z 缓冲区置成某初始值, 该值比场景在观察坐标系下的最小 z 值还小 ; for( 各个多边形 ) { 扫描转换该多边形 ;

162 } for( 多边形所覆盖的每个像素 (x,y)) { } 计算该像素所对应多边形上的点在观察坐标系下的 z 坐标值 Z(x,y); if(z(x,y) 大于 Z 缓冲区在 (x,y) 处的值 ) { } Z 缓冲区中 (x,y) 处深度值替换为 Z(x,y); 帧缓冲区中 (x,y) 处亮度值替换为多边形在 (x,y) 处的亮度值 ; 真实感图形的生成技术第 6 章 149 如果是平行投影, 则上述过程中计算像素所对应多边形上的点在观察坐标系下的 z 坐标值可以用增量方法求出事实上, 假设平面在观察坐标系下的方程为 : ax +by +cz +d =0 则投影平面上 (x 0,y 0 ) 处对应多边形上的点的 z 值为 : z 0 =( -d -ax 0 -by 0 )/c 屏幕上同一行中两相邻像素 x 坐标相差为 1, 对应到投影平面上的两点只是 x 坐标相差一个常量 Δx, 投影平面上 (x 0 +Δx,y 0 ) 处对应多边形上的点的 z 值为 : z =[ -d -a(x 0 +Δx) -by 0 ]/c =z 0 -( a /c)δx 这里 a /c 为常数, 所以计算同一行中相邻像素的深度值只需要做一次减法在 Z 缓冲器算法中, 多边形的绘制次序是无关紧要的, 其基本思想就是在像素级上以近物取代远物, 因此有利于硬件实现由于除了帧缓冲器外, 还要有一个 Z 缓冲器, 因此 Z 缓冲器消隐算法的实现需要较多的存储空间简单光照模型 6.2 光照技术在利用消隐技术确定了像素所对应的物体上的可见点后, 需要计算该可见点的颜色并赋给当前像素如果可见点取预先指定的物体的颜色, 则绘制出来的图形即使经过消隐, 大多数物体看起来也不像是三维的, 更谈不上真实性, 如图 6 唱 5(b) 所示事实上, 物体表面所呈现的颜色是由表面向视线方向辐射进入人眼中的光决定的颜色是可见光的一种视觉特性, 光谱分布表示了一束光中不同波长光所占的比例, 它是波长的函数, 它惟一决定了相应可见光的颜色比如, 由表面辐射而进入人眼的光中如果等量地包含了所有波长的可见光, 则物体表面将呈现白色灰色或黑色, 即非彩色否则物

163 计算机图形学 150 体表面将呈现彩色在光学物理中, 光亮度 ( luminance) 是一光谱量, 既可以表示光能大小, 又可以表示色彩组成, 它可以很方便地转换成颜色如果能建立一些数学模型来模拟物体表面的光照明物理现象, 然后按照数学模型计算物体表面向视线方向辐射进入人眼中的光亮度, 即可获得像素所对应的物体上的可见点的颜色, 这样绘制出来的图形具有较强的真实感, 如图 6 唱 5(a) 所示这些数学模型就称为明暗效应模型或者光照明模型当光照射到物体表面时, 光可能被吸收反射和透射, 被物体吸收的部分转化为热, 只有反射透射的光能够进入人眼产生视觉效果, 它们决定了物体所呈现的颜色如果物体是不透明的, 则透射光不存在, 物体的颜色仅由反射光决定这种情形正是简单光照模型需要考虑的, 简单光照模型只考察光源直接照射下物体表面的反射情况通常, 物体表面的反射光可以认为包含 3 个分量, 对环境光的反射, 对特定光源的漫反射和镜面反射下面的讨论假定光源为单个点光源图 6 唱 5 球的绘制对环境光的反射按理, 没有被光源直接照射的物体看起来应该是黑色的, 但是在实际场景中, 并不是这样的, 这是因为物体仍然接收到了来自周围环境 ( 如墙面 ) 散射的光因此环境光 (ambient light) 用来模拟光在物体间相互传播的效果环境光被认为在空间近似均匀分布, 即在任何位置任何方向上光亮度一样, 并且入射至物体表面后将向空间各个方向均匀反射出去物体对环境光的反射分量可以用式 (6 唱 1) 表示 : I =K a I a 0 K a 1 (6 唱 1) 其中, I a 是入射的环境光亮度,K a 是环境光漫反射系数, 它与物体表面性质有关如果简单光照模型中仅考虑环境光的反射分量, 则物体表面的亮度是一个恒定值, 没有明暗的自然过渡漫反射 (diffuse reflection) 漫反射分量表示特定光源在物体表面的反射光中那些向空间各个方向均匀反射出去的光, 见图 6 唱 6(a) 就向空间各个方向均匀反射出去这一性质而言, 漫反射和环境光反射是相同的, 不同之处在于漫反射分量大小与光的入射方向和

164 真实感图形的生成技术物体表面法矢夹角有关兰伯特 ( Lambert) 余弦定律指出 : 当点光源照射到一个漫反射体时, 其表面反射光亮度和光源入射角 ( 入射光线和表面法矢量的夹角 ) 的余弦成正比, 即 : I =K d I l cos(θ) 0 θ π 2, 0 K d 1 (6 唱 2) 其中, I l 是来自点光源的入射光亮度 K d 是漫反射系数, 与物体表面性质有关 θ 是入射光线和表面法矢量的夹角如果简单光照模型中考虑对环境光的反射分量和对特定光源的漫反射分量, 则物体表面的反射光亮度为 : I =K a I a +K d I l cos(θ) 0 θ π 2, 0 K a +K d 1 (6 唱 3) 第 6 章 151 通常称之为兰伯特反射光照模型上式中, 如果 θ> π 2, 则物体该处的表面不能被光源直接照射, 漫反射分量为 0, 物体表面的反射光亮度仅由环境光反射亮度决定对于许多粗糙无光泽的物体, 如粉笔黑板, 使用上式计算物体表面的反射光是可行的, 但是对于那些具有光滑的表面的物体, 如擦亮的金属光滑的塑料, 使用上式计算反射光亮度最终绘制出来的图像给人的感觉比较呆板, 没有表现出特有的光泽, 即所谓的高光图 6 唱 6 光学反射模型镜面反射 (specular reflection) 镜面反射分量表示特定光源在物体表面的反射光中那些遵循反射定律的光对于纯镜面, 入射光是严格按照光的反射定律反射出去, 即反射光和入射光对称地分布在表面法向的两侧, 如图 6 唱 6(b) 所示对于一般光滑表面, 表面

165 计算机图形学 152 可理解为由许多朝向不同的微小平面构成, 入射光经许多微小平面反射后形成的反射光不再是单向的, 而是分布于理想镜面反射方向的周围, 如图 6 唱 6(c) 所示通常采用余弦函数的幂次来模拟一般光滑表面的镜面反射光的空间分布 I =K s I l cos n (α) 0 α π (6 唱 4) 2 其中,I l 是来自点光源的入射光亮度 K s 是物体表面镜面反射系数, 严格地讲,K s 和入射角波长有关, 但是为了计算的方便, 实际使用时 K s 取为常量 α 为理想镜面反射方向与视线方向的夹角, 见图 6 唱 6(d) n 为镜面反射光的会聚指数上式表明, 当会聚指数 n 恒定时, 随视线与理想镜面反射方向夹角 α 增大, 进入观察者眼中的镜面反射光亮度越小当视线与理想镜面反射方向夹角 α 恒定时, 物体表面的镜面反射光的会聚指数 n 越大, 进入观察者眼中的镜面反射光亮度越小如果简单光照模型中考虑对环境光的反射分量对特定光源的漫反射分量和镜面反射分量, 则物体表面的反射光亮度为 : I =K a I a +K d I lcos(θ) +K si lcos n (α) (6 唱 5) 这就是通常人们所说的 Phong 光照模型利用上式计算像素所对应的物体上可见点的亮度最终生成的图像可以表现光滑物体应有的光泽, 即高光, 这是因为镜面反射分量的缘故, 并且和实际情况一样, 高光区域随视点方向而改变实际上光的亮度与传播距离的平方成反比, 因此当以上公式中的 I l 明确为光源处的光亮度, 则光线抵达物体表面时应该存在衰减的问题, 另外光线经物体表面反射进入观察者眼睛的过程中也应该存在衰减的问题, 这时可以考虑给特定光源引起的漫反射分量和镜面反射分量乘以一个衰减因子, 以取得远的物体看起来暗些的效果当场景的投影变 1 换采用透视投影时,Warnock 指出线性衰减因子 d, 1 而 Rommey 指出衰减因子可以取得 d p 比较真实的效果此时 Phong 光照模型可以进一步描述为 : I =K a I a + I l d p +K [K d cos(θ) +K s cos n (α)] (6 唱 6) 其中,d 是物体上当前考察点到视点的距离,K 是一个任意的常量,0 p 2 采用上式计算物体上可见点光亮度时, 通常是将光亮度转换成为光栅图形显示器采用的 RGB 三基色, 这时计算需要在 3 个基色上分别进行如果存在多个光源, 则将效果线性相加此时光照模型可以描述为 : I =K a I a m + j =1 I l j d p +K (K d cosθ j +K s cos n α j ) =K a r a g a + d p m 1 +K (K d cosθ j +K scos n α j) j =1 r l j g l j (6 唱 7) b a b lj

166 真实感图形的生成技术有了上面的简单光照模型后, 可以用于消隐算法中计算像素所对应的物体上可见点的亮度比如在 Z 缓冲器算法中, 将多边形变换到屏幕坐标后, 可以按照扫描线的次序处理多边形覆盖的每个像素, 如果当前像素经过深度测试为需要绘制, 则可以应用简单光照模型计算出这个像素所对应多边形上点的亮度作为像素的颜色, 在光照计算时需要用到多边形上点的法矢量, 如果多边形上点的法矢量总是取多边形的面法矢, 最终绘制出来的图像看起来呈多面体状, 不能展现以多边形方式近似的曲面本身的光滑性, 如图 6 唱 7(a), 这是因为平面上所有点的法向量都取为同一的面法矢量, 不同平面片之间法矢量不连续, 从而导致不连续的光亮度跳越第 6 章 153 图 6 唱 7 图像光照处理这个问题可以这样解决, 首先多边形的顶点法矢量不再简单地取为其所在多边形的面法矢, 而是取为共该顶点的所有多边形的面法矢的平均值, 其次多边形内部点的法矢量也不再简单地取为多边形的面法矢, 而是利用多边形顶点的法矢量通过双线性插值计算出结合 Z 缓冲器消隐算法, 这个过程可以这样进行, 先将多边形变换到屏幕坐标后, 以扫描线的方式处理多边形覆盖的每个像素, 如图 6 唱 8,P 1 P 2 P 3 是多边形顶点, 其法矢量视为已知, 等于共该点的所有多边形法矢量的平均值由 P 1 P 2 的法矢量可以线性插值计算出 A 点的法矢量, 由 P 1 P 3 的法矢量可以线性插值计算出 B 点的法矢量, 于是 P 点的法矢量可以由 A B 点处的法矢量线性插值计算出, 计算出 P 的法矢量后应用简单光照模型可以计算出 P 点的光亮度这种处理方法通常称之为多边形 Phong 明暗处理由于每个像素点需要插值计算出法向量, 并进行光照计算, 图 6 唱 8 对 P 点进行双线性插值 Phong 明暗处理需要较大的计算量, 一种简化的处理方法是先利用光照模型计算出多边形顶点处亮度, 当然光照计算时多边形顶点的法矢量仍然采用共顶点的所有多边形面法矢平均值, 然后在以扫描线的方式处理多边形覆盖

167 计算机图形学 154 的每个像素时, 不是对法向量进行双线性插值, 而是对亮度进行双线性插值, 直接获得像素的颜色, 如图 6 唱 8,P 1 P 2 P 3 是多边形顶点, 其亮度已经计算出可视为已知而 A 点的亮度可以由 P 1 P 2 点的亮度线性插值计算出,B 点的亮度可以由 P 1 P 3 点的亮度线性插值计算出, 于是 P 点的亮度可以由 A B 点的亮度线性插值计算出, 这种处理方法通常称之为多边形 Gouraud 明暗处理, 如图 6 唱 7(b) 以上两种多边形处理方法都可以克服用多边形表示的曲面光亮度不连续的现象 Gouraud 明暗处理计算量小, 但是因为颜色线性插值的缘故, 镜面反射形成的高光区域和表达曲面的多边形密切相关, 导致不容易产生正确的高光, 因此 Gouraud 明暗处理比较适用于兰伯特反射光照模型 Phong 明暗处理可以对曲面进行更好的局部逼近, 因而绘制的图像更逼真, 特别是具有真实的高光效果光线跟踪与辐射度方法介绍 1. 光线跟踪前面介绍的简单光照模型中, 在考察物体表面的入射光时, 主要考察了光源直接入射的光, 而将光在物体间往复反射折射引起的照明效果简化为环境光形式的入射光由于没有很好地模拟光的折射反射, 没有特别考察物体间的相互照明影响, 这使得简单光照模型在某些情况下绘制效果并不理想 Whitted 特别考察了光在物体间往复反射折射引起的照明效果 Whitted 认为物体表面向空间某方向 V 辐射的光亮度 I 由 3 个部分组成, 如图 6 唱 9 所示 (1) 光源直接入射的光引起的反射光亮度 I c, 即简单光照模型计算结果 ( 参见 6 畅 2 畅 1 节 ) (2) 沿 V 的镜面反射方向 r 来的源自其他物体反射的光 I s 投射在光滑表面引起的镜面反射光 (3) 沿 V 的规则透射方向 t 来的源自其他物图 6 唱 9 Whitted 光照模型示意图体反射的光 I t 投射在透明体表面引起的规则透射光即 : I =I c +K s I s +K t I t (6 唱 8) 其中, K s K t 分别为物体表面的镜面反射系数和透射系数由于 (2) (3) 项与周围环境物体的相互位置材质有关, 因此这种光照模型称为整体光照模型 Whitted 将光线投射技术发展为光线跟踪技术用于求解整体光照模型 (6 唱 8) 光线投射技术的基本原理很简单, 为计算屏幕像素 e 的颜色, 从视点 V 向投影面上与

168 真实感图形的生成技术像素 e 对应的点投射一光线, 该光线将依次与场景中的物体交于 P 1,P 2,,P n, 其中离视点最近的点 P 1 就是像素 e 所对应的场景中的可见点,P 1 点向 P 1 V 方向辐射的光亮度就是像素 e 的光亮度采用简单光照模型 ( 如 Phong 模型 ) 即可计算出 P 1 点向 P 1 V 方向辐射的光亮度, 按照这种方法可以计算出屏幕上每个像素所对应的光亮度从而生成真实感图像, 并且隐藏面已经被消除注意到在光线投射技术中, 按照简单光照模型计算出来的 P 1 点向 P 1 V 方向辐射的光亮度只包括光源直接入射的光引起的反射光亮度 I c, 如果按照 Whitted 整体光照模型 (6 唱 8),P 1 点向 P 1 V 方向辐射的光亮度还应该包括 (2),(3) 项, 即, 沿 P 1 V 的镜面反射方向 r 来的源自其他物体反射的光 I s 投射在光滑表面引起的镜面反射光 K s I s, 沿 P 1 V 的规则透射方向 t 来的源自其他物体反射的光 I t 投射在透明体表面引起的规则透射光 K t I t, 这里关键在于求出沿镜面反射方向和沿透射方向入射的其他物体的反射光强度 I s I t 为此, 从 P 1 点处沿 VP 1 的镜面反射方向 r 发出一根光线与景物首先交于 P 2, 从 P 1 点处沿 VP 1 的规则透射方向 t 发出一根光线与景物首先交于 P 3 ( 见图 6 唱 10), 则 P 2 向 P 1 反射的光强就是 I s,p 3 向 P 1 反射的光强就是 I t 如果能计算出 P 2 向 P 1 反射的光强 I s P 3 向 P 1 反射的光强 I t, 则 P 1 点向 P 1 V 方向辐射的光亮度就迎刃而解第 6 章 155 图 6 唱 10 Whitted 光照模型求解示意图 ( 光线追踪 ) 在求解 P 2 向 P 1 反射的光强 I s 和 P 3 向 P 1 反射的光强 I t 时, 按照 Whitted 整体光照模型 (6 唱 8), 它们也分别包括 3 项分量, 求解的关键在于求出沿相应镜面反射方向规则透射方向入射到 P 2 P 3 处其他物体的反射光亮度, 因此和求解 P 1 点向 P 1 V 方向反射的光亮度类似, 在 P 2 P 3 点分别沿相应镜面反射方向规则透射方向发出一条光线与景物求交, 欲求出交点处对 P 2 P 3 的反射光亮度, 如此追踪下去, 形成一个以交点为结点的二叉树, 每个结点处的反射光亮度不仅取决于光源对它的直接入射, 还取决于两个子结点处的反射光亮度根结点处的反射光亮度即为 P 1 点向 P 1 V 方向辐射的光亮度上述追踪过程实际上是自然界光照明物理过程的近似逆过程, 光线跟踪故此得名

169 计算机图形学 156 光线跟踪的过程不可能也不应该无限进行下去, 这是因为, 其一, 发出的光线有可能与所有的景物无交点 ; 其二, 考虑被跟踪光线经多次反射和透射后会衰减 ( 由于 K s K t 的作用 ), 跟踪到一定程度后, 当前被跟踪光线的亮度对显示像素的亮度贡献已经非常小, 可以忽略不计, 继续跟踪下去毫无意义, 只会耗费计算资源因此, 在实际进行光线追踪时可以规定以下 3 种中止条件 :1 如果发出的光线与所有的景物无交点, 则来自这条光线方向上的亮度视为 0, 不再细究 2 如果发出的光线所处的追踪深度已经超出预先指定的追踪深度, 则来自这条光线方向上的亮度视为 0, 不再深究下去 3 考察来自发出的光线方向上的亮度对显示像素亮度的贡献系数 ( 通常取当前光线的起点及其所有父结点处景物表面的镜面反射系数透射系数的累积 ), 如果贡献系数小于预先指定的贡献系数阈值, 则来自这条光线方向上的亮度视为 0, 不再深究其中 2 和 3 是对上面情形二的处理,2 的方式相对简单些光线跟踪过程实际上是一个递归的过程, 上述光线跟踪中止的条件就是递归中止的条件, 下面给出了光线跟踪的递归函数实现 Ray 唱 Tracing() 作为 Ray 唱 Tracing() 函数的使用示例, 还给出了 DrawImage() 函数, 该函数为每个像素调用光线跟踪函数 Ray 唱 Tracing () 以计算像素的颜色, 从而生成真实感图形 DrawImage() { for( 帧缓冲区中的每一个像素 e) { 计算像素 e 所对应的投影平面上的点 e, 从视点 V 向 e 发出一条光线, 方向记为 direction Ray 唱 Tracing(e,direction, 1.0,1,&I); 将像素 e 的颜色设置为 (I r,i g,i b ); } } Ray 唱 Tracing(startPoint,direction, weight,depth,i) / 倡 startpoint 为光线的起点倡 / / 倡 direction 为光线的方向倡 / / 倡 weight 为当前被追踪光线对最终总光强度的贡献系数倡 / / 倡 depth 为当前被追踪光线处在光线追踪树中的深度倡 / / 倡 I 是指针变量, 它所指向的内存单元将存放计算出来的当前被追踪光线的强度, 返回给调用者倡 / { / 倡 TREE_MAX_DEPTH 为预先指定的最大光线追踪树的深度倡 / / 倡 CONTRIBUTE_COEFFICIENT_THRESHOLD 为预先指定的光线强度贡献系数阈值倡 /

170 真实感图形的生成技术 if ((depth >TREE _ MAX _ DEPTH ) ( weight < CONTRIBUTE _ COEFFICIENT _ THRESHOLD)) { 倡 I =0; return; } 将起点为 startpoint 方向为 direction 的光线与场景中的所有物体表面求交 ; 如有交点, 记距离 startpoint 最近的交点 P 1, 记光线在相交物体上 P 1 处的反射方向和透射方向分别为 direction_r direction_t 相交物体表面的镜面反射系数和透射系数分别为 K s K t if( 无交点 ) { 倡 I =0; return; } else { 根据简单光照模型计算 P 1 处因光源直接照射引起的 ( 唱 1 倡 direction) 方向的反射光强度 I c ; Ray 唱 Tracing(P 1, direction_r, weight 倡 K s,depth +1,&I s ); Ray 唱 Tracing(P 1, direction_t, weight 倡 K t,depth +1,&I t ); 第 6 章 157 } } 倡 I =I c +K s I s +K t I t return; 光线跟踪算法生成的图形逼真程度高, 适合绘制表面光洁度高或具有透明表面和镜面的场景光线跟踪算法的两个主要缺点是, 耗时多和容易引起图形走样耗时多是因为它在计算每个像素的光亮度时, 需要进行多次的不同光线与所有景物求交计算光线在物体表面的反射方向和透射方向计算交点处的光源直接入射下的反射光亮度 I c, 这些计算都是比较费时的图形走样源于计算像素亮度时, 算法只从像素中心发出光线进行跟踪, 计算出来的亮度只能是物体表面特定点的亮度事实上, 一个像素区域对应投影面上一个区域, 进一步讲就是对应物体表面某个区域用物体表面某区域中的一个特定点的亮度来表示该区域的亮度, 即点采样, 当然有可能造成图形走样有关克服图形走样的技术在 6.5 节中介绍 2. 辐射度方法辐射度方法是继光线跟踪算法后, 真实感图形绘制技术的一个重要进展尽管光线跟踪算法成功地模拟了景物表面间的镜面反射规则透射及阴影等整体光照效果, 但由于

171 计算机图形学 158 光线跟踪算法的采样特性, 和简单光照模型的不完善性, 该方法难于模拟景物表面之间的多重漫反射效果, 因而不能反映色彩渗透现象 1984 年, 美国 Cornell 大学和日本广岛大学的学者分别将热辐射工程中的辐射度方法引入到计算机图形学中, 用辐射度方法成功地模拟了理想漫反射表面间的多重漫反射效果经过二十多年的发展, 辐射度方法模拟的场景越来越复杂, 图形效果越来越真实辐射度方法基于物理学的能量平衡原理, 它采用数值求解技术来近似每一个景物表面的辐射度分布由于场景中景物表面的辐射度分布与视点选取无关, 辐射度方法是一个视点独立 (view independent) 的算法, 使之可广泛应用于虚拟环境的漫游 ( walkthrough) 系统中在这里, 限于篇幅和教学的深度, 就不再详细介绍该方法了, 有兴趣的读者可以查阅相关的文献 6.3 物体表面细节的模拟利用前面介绍的消隐技术光照技术绘制出的场景图像, 由于视线方向上被其他物体遮挡的物体不予绘制, 并且较好地模拟了自然界中的光照现象, 因而具有较强的立体效果和光照效果在不考虑额外的技术手段下, 这时生成的图像能否较好地反映实际物体表面细节, 主要取决于在计算机中物体表面的几何描述和材质属性描述物体表面的细节可以分为两类一类是由物体表面颜色色彩明暗变化体现出来的细节, 如光滑瓷砖表面上装饰图案, 它主要取决于物体表面的材质属性另一类是由物体表面不规则的细小凹凸造成的细节, 如桔子表面的皱纹, 它主要取决于物体本身的几何形状要在计算机中对引起上述细节的材质属性几何形状进行描述不是一件容易的事如果只是追求看起来像就可以了, 在计算机图形学中, 物体表面细节可以通过纹理映射的方式生成根据将要生成的物体表面细节的分类不同, 纹理映射可以分为颜色纹理映射和几何纹理映射颜色纹理映射用来在光滑表面上产生花纹图案的效果, 几何纹理映射用来使物体表面产生凹凸不平的效果一般地讲, 利用纹理映射可以在不增加场景描述复杂度, 不显著增加计算量的前提下, 大幅度地提高图形的真实感颜色纹理映射技术颜色纹理映射要达到的目的是使绘制出来的物体表面具有花纹图案效果它的基本思想是, 首先给出期望在物体表面出现的花纹图案样式, 这可以通过纹理函数予以刻画纹理函数的定义域称为纹理定义域, 这个定义域一般可以取为一维二维三维, 则相应的纹理函数称为一维纹理函数二维纹理函数三维纹理函数纹理函数值一般可以理解为亮度值, 可以转换为 RGB 表示的颜色值形象地讲, 纹理函数定义了空间中沿直线分布的线纹理, 沿平面分布的面纹理, 或者是沿空间分布的体纹理其次, 为

172 真实感图形的生成技术了物体表面出现上述花纹图案样式, 需要在物体表面和花纹图案样式之间建立一种对应关系, 这种对应关系可以通过纹理函数的定义域与物体表面的定义域之间定义一种映射关系 ( 即映射函数 ) 建立这种对应关系一旦建立, 物体表面任何一点的花纹图案属性都可以通过纹理定义域中相应点的纹理函数值获得最后, 在绘制物体表面可见点时, 通过前面定义的对应关系可以获得该可见点处代表花纹图案属性的相应纹理函数值, 适当地使用该纹理函数值就可以使最终绘制出来的物体表面具有花纹图案的效果, 比如, 不考虑光照计算的情况下, 可以简单地将表示亮度的纹理函数值作为物体可见点的亮度, 即颜色在考虑光照计算的情况下, 可以将表示亮度的纹理函数值 ( 转化为颜色值后有 3 个分量 ) 作为光照模型中该点处物体的漫反射系数, 然后再通过光照模型计算出该可见点的亮度接下来, 以二维纹理映射为例, 对颜色纹理映射的上述 3 个主要步骤 : 纹理函数定义映射函数定义纹理映射的实施进行进一步的讨论 1. 纹理函数定义假设二维纹理函数定义在 ( u,v) 平面上二维纹理函数的定义域可以是整个 uv 平面但由于物体表面的范围总是有限的, 因而使用到的纹理范围也是有限的基于此, 并且考虑到规范性, 一般地二维纹理函数的定义域是单位正方形 (0 u 1,0 v 1) 如果考虑到后面进行映射时, 物体表面上某点可能会对应到二维纹理函数定义平面上单位正方形 (0 u 1,0 v 1) 外的某点, 则可以对纹理定义函数进行如下技术处理, 一种方法是将纹理定义函数在 uv 平面进行周期延拓, 使得单位正方形 (0 u 1,0 v 1) 内的花纹图案在 uv 平面上重复出现, 另一种方法就是截止,uv 平面上单位正方形 (0 u 1, 0 v 1) 外的点的纹理函数值简单地取为单位正方形相应边界上的纹理函数值理论上讲任何定义在单位正方形 (0 u 1,0 v 1) 上的函数都可以作为纹理函数比如 : g(u,v) = 0, u 8 + v 8 为偶数 (0 u 1,0 v 1) 1, u 8 + v 8 为奇数 x 表示不大于 x 的最大整数, 可以表示黑白相间的几何图案, 如图 6 唱 11 所示除了以函数表达式的形式给出纹理函数, 更多的是以数字图像的形式给出纹理函数, 这实际上是纹理函数的离散形式比如一幅 m n 的数字图像, 可以理解为纹理函数在单位正方形 (0 u 1,0 v 1) 内的 m n 个点的均匀采样而来, 单位正方形 (0 u 1,0 v 1) 内非采样点的纹理函数值可以通过周围 4 个采样点的纹理函数值双线性插值获得一般地讲以函数形式给出的纹理函数长处在于对花纹图案的几何特性进行刻画, 又其函数值的单分量特性, 因此常常用于灰度显示下的纹理映射以数字图像形式给出的纹理函数长处在于数字图像易获取, 且数字图像可以表达具有丰富色彩信息的花纹图案, 又其函数值可以蕴含 3 个颜色分量, 因此常常用于彩色显示下的纹理映射第 6 章 159

173 计算机图形学映射函数定义假设二维纹理函数定义在 (u,v) 平面上, 物体表面定义在正交坐标系 ( x,y,z) 中, 见图 6 唱 12, 经参数化后, 物体表面可以用参数方程 x =x(θ, 矱 ) y =y(θ, 矱 ) 表示 z =z(θ, 矱 ) 映射函数要解决的问题是, 在物体表面和花纹图案样式之间建立一种对应关系, 也就是在物体表面的参数空间 (θ, 矱 ) 和纹理空间 ( u, v) 间建立一种映射关系这个映射的逆映射 u =r(θ, 矱 ) v =s(θ, 矱 ), 通常要求 θ=f( u,v) 也是存在的矱 =g(u,v) 图 6 唱 11 黑白相间的几何图案图图 6 唱 12 映射函数的建立一种方便建立映射的方法是将上述映射关系假设为线性关系, 如 : θ =Au +B 矱 =Cv +D 然后利用预先指定的参数空间 (θ, 矱 ) 和纹理空间 ( u,v) 的若干个对应点对信息就可以将常量 A B C D 求出作为一个例子, 假设图 6 唱 12( b) 中物体的表面用参数方程表示为 : x =sinθsin 矱 0 θ π 2 y =cos 矱 z =cosθsin 矱 π 4 矱 π 2

174 真实感图形的生成技术这实际上是球面在第 Ⅰ 象限内曲面片的一部分现在假定物体表面的参数空间 (θ, 矱 ) 和纹理空间 (u,v) 间的映射关系为 : θ=au +B 矱 =Cv +D, 并且假定纹理定义域 (0 u 1,0 v 1) 的 4 个角点映射到物体表面曲面片的相应角点, 见图 6 唱 12, 这相当已知了 4 组 (θ, 矱 ) 和 (u,v) 的对应关系, 比如其中一组是 u =0,v =0 对应 θ=0, 矱 = π 2, 将这几组对应关系代入假定的映射关系式 θ=au +B 中, 即可求出 A = π 矱 =Cv +D 2,B =0,C =-π 4,D =π 2, 至此, 纹理空间 ( u,v) 到物体第 6 章 161 表面的参数空间 (θ, 矱 ) 的映射确定为 θ= π 2 u 矱 =- π 4 v +π 2, 作为逆映射, 物体表面的参数空间 (θ, 矱 ) 到纹理空间 (u,v) 的映射为 u = θ π/2 v = π/2- 矱 π/4 3. 纹理映射的实施以纹理映射的方式实现物体表面细节的绘制, 必然要涉及到 3 个空间 : 纹理空间物空间图像空间, 以及两种映射 : 纹理空间与物空间之间的映射物空间与图像空间之间的映射但是以何种方式来组织这两种映射也反映了纹理映射实施技术手段不同, 由此产生的效果也有可能不同 Catmull 最早考虑光滑曲面片上的纹理映射问题, 他采用递归分割参数曲面片的方式对参数曲面进行子分, 直到每个子曲面片在屏幕上的投影区域只覆盖一个像素中心, 这时子曲面片中心处的参数值或像素中心处的参数值 ( 可在屏幕上采用双线性插值计算出 ) 将被映射到纹理空间, 纹理空间中相应点处的纹理函数值将被用作决定像素的亮度考虑子曲面片实际上对应纹理空间中的一个小区域, 上述以子曲面片中心点处的纹理值来描述整个子曲面片的纹理值, 即点采样, 极有可能导致严重的走样, 因此 Catmull 在进行曲面子分的同时也对纹理空间进行相应的子分, 每个子曲面片在纹理空间中总存在相应的纹理子区域, 当某个子曲面片在屏幕上的投影区域只覆盖一个像素中心时, 该子曲面片上的纹理属性值将取为纹理空间中对应纹理子区域的平均纹理值纵观 Catmull 纹理映射方法, 其实就是先将纹理从纹理空间映射到物空间 ( 曲面表面 ), 然后再将物体从物空间映射到图像空间, 在这种方法中无需使用从图像空间到物空间的变换, 因此 Catmull 纹理映射方法被认为是一种正向纹理映射技术在实现 Catmull 纹理映射方法时还应注意到细分生成的子曲面片在屏幕上的投影通常并不能精确地覆盖整个像素区域, 一般地一

175 计算机图形学 162 个像素区域将被多个子曲面片不重叠的投影覆盖, 因此像素的亮度应该由这几个子曲面片对该像素的亮度贡献共同决定与正向纹理映射技术不同的, 逆向纹理映射技术考虑将屏幕上的像素映射到物空间中物体表面上某点, 再从物空间映射到纹理空间, 从而获得像素所对应的物体表面上点的纹理属性, 然后将纹理属性值作为光照模型中的漫反射系数计算出物体表面上该点的亮度作为像素的亮度将屏幕上的像素映射到物空间中物体表面上某点可以这样进行, 在视坐标系下, 从视点 ( 即视坐标系原点 ) 向投影平面上对应于屏幕特定像素的点引射线, 然后将此射线与变换到视坐标系下的物体表面求交, 得视坐标系下的交点 P, 如果像素具有消除隐藏面 Z 缓冲器算法中的深度信息 ( 即视坐标系下的 Z 值 ) 则 P 点的计算更简单, 只要沿射线进行线性运算最后将 P 点从视坐标系变换到物空间即求出了屏幕上的像素所对应的物空间中物体表面上的点同样, 注意到屏幕上的像素实际上对应物体表面的一个小区域, 而不是一个点, 物体表面上的这个小区域将对应于纹理空间中的一个纹理子区域, 因而以纹理子区域的平均纹理属性值作为物体表面小区域的纹理属性值要比之前以点采样的方式获得的纹理属性值更合理多边形表达的物体采用 Z 缓存器消隐算法简单光照模型逆向纹理映射技术可以比较方便地实现具有立体效果光感表面细节的真实感图形绘制, 其过程可以描述为 : 首先将多边形投影到屏幕上, 对多边形占据的像素按行扫描, 对扫描到的每个像素按 Z 缓冲器消隐算法决定是否需要绘制, 如果需要绘制则利用消隐时计算出来的像素深度值计算当前像素对应多边形上点 M 的坐标值, 并将 M 的坐标值由视坐标系转换成物空间下表达, 此后利用纹理映射函数求出多边形上点 M 的纹理属性值, 然后将纹理属性值作为简单光照模型中的漫反射系数, 利用简单光照模型计算出物体表面上该 M 点的亮度作为像素的亮度以上的讨论是以二维纹理映射为例, 也就是纹理函数定义在二维平面上, 当纹理函数定义在三维空间中, 即通常所说的三维纹理或体纹理, 上面的讨论稍加推广也是适用的从某个角度看, 三维纹理可以理解为直接定义在景物空间中, 物体表面上的纹理就是它和三维体纹理的交因为体纹理本身的连续性, 因此由三维纹理映射产生物体表面纹理可以较好地解决表达复杂曲面的相邻曲面片之间的纹理衔接问题三维纹理映射研究的重点是如何构造三维纹理即纹理函数几何纹理映射技术前面介绍的颜色纹理映射技术主要用来在光滑表面上绘制指定的花纹图案如果试图采用颜色纹理映射的技术, 即对现实生活中的某个表面粗糙存在细小凹凸的物体拍摄一幅数字图像, 然后将它映射到指定的光滑物体表面上, 期望由此绘制出来的图像可以产生被映射表面的粗糙凹凸不平效果, 最后会发现结果并不能令人满意, 物体表面只是被绘制上了粗糙的花纹图案, 但看起来感觉仍然是光滑的

176 真实感图形的生成技术事实上, 粗糙表面不同于光滑表面之处在于粗糙表面的法矢量具有一个比较小的随机分量, 这使得其上的光线反射方向也具有一定的随机分量 Blinn 注意到这个问题, 于是想了一种办法用来扰动表面法矢, 表面法矢量的扰动导致表面光亮度的突变, 从而产生表面凹凸不平的真实感效果 Blinn 对表面法矢进行扰动的方法是, 在表面任一点处沿其法向附加一微小增量, 从而生成一张新的表面, 计算新生成的表面上点的法矢量以取代原表面上相应点的法矢量设表面的参数方程为 P =P ( u, v), 表面上任何一点的单位法矢量为 N ( u, v), N(u,v) = P u P v P u P v 纹理函数 F(u,v) 给出表面上每一点沿其法向的位移量, 则新生成的表面为 : P (u,v) =P(u,v) +F(u,v) N(u,v) 新表面的法向量可以由 P (u,v) 的两个偏导数叉乘得到 : N (u,v) =P u P v 其中, 抄 P (u,v) P u = 抄 u 抄 P (u,v) P v = 抄 v =P u =P v +F u N +F N u +F v N +F N v 由于纹理函数 F(u,v) 给出的位移量非常小, 所以上述两式的最后一项可略去这样新表面的法向量可近似地表示为 : N (u,v) =P u P v =(P u +F u N) (P v +F v N) =P u P v +F v (P u N) +F u (N P v )+F u F v (N N) (6 唱 9) = P u P v N +F v (P u N) +F u (N P v ) 上面最后一式中, P u P v N 是表面 P( u,v) 法向量, 第二项 F v ( P u N) 第三项 F u (N P v ) 所表示的向量均位于表面 P(u,v) 在 ( u,v) 处的切平面上, 将这两项先行加起来得到的向量仍然位于表面 P(u,v) 在 (u,v) 处的切平面上, 因此上面这个式子的几何意义是非常明显的, 即新表面 P (u,v) 上 (u,v) 处的法向量是由于表面 P( u,v) 在 (u,v) 处的法向量受到在该点处切平面上一个向量作用 ( 扰动 ) 而来的 Blinn 将计算出来的新表面 P (u,v) 上 (u,v) 处的法矢量作为表面 P(u,v) 上 ( u,v) 处的法矢量, 单位化后用于表面 P(u,v) 的光照计算, 因为这时表面 P(u,v) 的法向量已经被扰动过, 因此绘制出来的表面 P(u,v) 一般会呈现凹凸不平的真实感效果可以看出, 几何纹理映射和颜色纹理映射除了对纹理属性值的使用方式不同外, 其他的概念如纹理函数的定义映射函数的定义纹理映射的实施技术都是相通的比如, 在这里, 纹理函数也可理解为定义在 [0,1] [0,1] 上可以是以函数表达式的形式给出第 6 章 163

177 计算机图形学 164 也可以是以 m n 数字图像的形式给出, 这时可以认为给出了纹理函数在 [0,1] [0,1] 内的 m n 个点的均匀采样,[0,1] [0,1] 内非采样点的纹理函数值可以以双线性插值的方法得到当纹理函数以数字图像的形式给出, 这时可以认为图像中较暗的颜色表示较小的位移量, 而较亮的颜色表示较大的位移量式 (6 唱 9) 指出在应用纹理属性值 F( u,v) 计算物体表面上点的扰动后法矢量 N (u,v) 时需要用到 F( u,v) 的两个偏导数 F u,f v, 这时可采用有限差分法来确定环境映射技术环境映射技术首先由 Blinn 和 Newell 在 1976 年提出这种技术的提出是为了模拟光线追踪的效果, 确切地讲是模拟景物镜面反射效果, 现在看来, 虽然环境映射技术与光线追踪技术相比能力很有限, 但是相比而言需要非常少的计算花费, 使得环境映射技术还是一种很有用的技术, 在计算机图形学中广为应用环境映射技术从本质上讲是一种颜色映射技术它适用于这样的场景绘制, 其他的物体和光源离当前被绘制的物体比较远它使用的纹理图像是当前被绘制物体周边的景物图像, 这可以通过对真实场景拍照或由真实感图形绘制系统绘制而成为实现物体和纹理图像之间的对应关系, 环境映射采取两个阶段的纹理映射, 首先将纹理图像映射到一个简单的三维面上, 如平面球面圆柱面立方体表面, 这个三维面称为中介面, 然后再将结果映射到最终的三维物体表面在具体实现上可以采取逆向纹理映射技术, 从视点向像素所对应投影面上的点发出一根光线, 该光线与被绘制物体表面交于一点并反射出去, 反射出去的光线将与一个假想的中介面相交, 比如说该中介面是一个很大的球面, 并且球面的放置使得被绘制物体在球心处, 由于之前已经将纹理图像映射到这个球面的内表面, 由此可以获得像素所对应物体表面上点的纹理属性值一般地, 环境映射技术难以获得物体表面各入射点处精确的环境映照, 环境映射对远距离物体镜面反射的模拟比较有效 6.4 阴影的生成阴影是现实生活中一个很常见的光照现象, 在真实感图形学中, 通过阴影可以反映出物体之间的相互位置关系, 增加图形图像的立体效果, 极大地增强真实感阴影可以分为本影和半影本影是指物体表面上那些没有被任何光源直接照射到的部分, 半影是指物体表面上那些被某些特定光源或特定光源的一部分直接照射到, 但不是被所有光源直接照射到的部分如图 6 唱 13 所示, 显然单个点光源照明只能形成本影, 线面光源或多个点光源照明才能形成半影

178 真实感图形的生成技术第 6 章 165 图 6 唱 13 面光源照明形成本影和半影物体表面上阴影区域的形成实际上是因为其他物体对光源的遮挡, 使得物体表面上某些区域不能被光源直接照射或者这些区域只能被光源的少量光线照射到, 从而物体表面上这些区域显得比较暗, 因此可以说物体表面上的阴影区域只不过是物体表面上亮度比较暗的区域而已由于在视线方向可能存在物体相互遮挡, 因此物体表面上的阴影区域可能可见, 也可能不可见, 还可能是部分可见在进行场景绘制时, 往往是先利用消隐技术确定物体表面的可见部分或者是像素所对应的物体表面上的可见点, 然后应用光照模型计算物体表面上可见点的亮度, 这时如果根据光源是否可以直接照射到物体表面上当前可见点来取舍光源的照明效果, 则绘制出来的图像具有阴影的效果判断光源是否可以直接照射到物体表面上当前可见点只需要从该点出发向光源发一射线, 如果射线抵达光源前与场景中其他物体表面相交, 则光源不能直接照射到当前点按照这种思路, 光线投射算法和光线追踪算法都可以用于阴影的生成对光线投射算法而言, 如果光源不能直接照射到像素所对应的物体表面上的可见点, 则物体表面上当前可见点的亮度只包含环境光反射项对光线追踪算法而言, 如果光源不能直接照射到当前追踪到的物体表面上的点, 则该点反射的光亮度只包括简单光照模型中的环境光反射项来自其他物体经当前表面镜面反射的光亮度以及来自其他物体经当前表面规则透射的光亮度由于计算的复杂性, 一般应用中只考虑单个光源下本影生成下面介绍的两种阴影生成算法都是在相应消隐算法基础上, 以不同的策略来判断光源是否可以直接照射像素所对应的物体上的可见点, 以便合适地计算该可见点亮度使最终绘制出来的图像具有阴影的效果影域多边形方法以下的讨论假设物体以多边形的形式表达在物空间中, 按照阴影的定义, 若光源照射到的物体表面是不透明的, 那么在该表面后面就会形成一个三维的阴影区域, 任何包含于阴影区域内的物体表面必然是阴影区域用视景体 ( 四棱台或长方体 ) 对上述三维阴

179 计算机图形学 166 影区域进行裁剪, 那么裁剪后得到的三维阴影域就会变成封闭多面体, 称之为影域多面体组成影域多面体的多边形称为影域多边形通过这种方法得到物体的影域多面体后, 可以利用它们来确定场景中的阴影区域, 对于场景中的物体, 只要与这些影域多面体进行三维布尔交运算, 计算出的交集就可以被定为物体表面的阴影区域该算法中涉及大量的复杂三维布尔运算, 物体必须与场景中的每一个相对光源可见的面的影域多面体进行求交运算, 算法的计算复杂度是相当可观的如何有效地判定一个物体表面是否包含在影域多面体之内是算法实施的关键 Crow 于 1977 年提出了基于扫描线隐藏面消除的算法来生成阴影他的做法是将影域多边形作为假想的面和景物多边形一起参加扫描和排序, 对于每一条扫描线, 可以计算出扫描水平面和影域多面体及景物多边形的交线, 其中与影域多面体的交线是封闭多边形, 与景物多边形的交线是一条线段, 利用该线段和封闭多边形在视线方向上的相互遮挡关系, 可以很方便地确定在该扫描线上景物表面是否是阴影区域由于这个阴影生成算法只要在传统的扫描线隐藏面消除算法基础上对扫描线内循环部分稍加改进即可实现, 因而它获得了广泛的应用 Z 缓冲方法众所周知,Z 缓冲器消除隐藏面算法中有两个缓冲器, 一是帧缓冲器, 另一是 Z 缓冲器消隐完成时,Z 缓冲器中存放的是离视点最近的景物点的深度值如果这时的视点恰好在光源处, 则 Z 缓冲器中存放的就是离光源最近的景物点的深度值这时对场景中任何一个景物点, 要判断光源是否可以直接照射到它, 等价于视点能否看到它这只需进行深度测试, 即将景物点在上述观察坐标系下的 Z 值和 Z 缓冲器中相应的深度值进行比较, 如果前者小则说明光源不能直接照射到景物点上面说明的是一种特殊位置 ( 即视点在光源位置处 ) 下的 Z 缓冲器中的深度信息用来判断光源是否可以直接照射到景物点而一般情况下进行场景的绘制, 视点并不在光源处, 为了采用上述方法判断光源是否可以直接照射到景物点, 进而绘制出具有阴影效果的图形, 可以采取以下两个步骤予以实现 : 第一步, 以光源为视点, 场景中心为观察参考点建立光源坐标系, 利用 Z 缓冲器消隐算法对景物进行消隐, 在消隐过程中无须考虑帧缓冲区的赋值, 消隐完成后,Z 缓冲器 ( 称为阴影缓冲器 ) 中存储的是离光源最近的景物点的深度值第二步, 按照真正需要的视点视线方向用 Z 缓冲器消隐算法计算画面在计算每一个像素所对应景物点的亮度时, 为生成阴影效果, 需要判断光源是否可以直接照射到该景物点这时将景物点变换到光源坐标系, 并求出与景物点相对应的阴影缓冲器单元, 比较景物点在光源坐标系下的 Z 值和相应阴影缓冲器单元中的深度值, 如果前者小, 则说明光源不能直接照射到景物点, 该景物点处于阴影中, 此后在景物点的光亮度计算中舍去光源的照明效果如果场景中存在多个光源, 上述 Z 缓冲器方法用于阴影的生成仍是可行的, 只需要

180 真实感图形的生成技术为每个光源建立一个阴影缓冲器, 然后在计算景物点亮度时逐一判断各个光源是否可以直接照射到该景物点, 从而取舍各个光源的照明效果第 6 章 6.5 图形反走样技术 167 在光栅显示器上显示直线段或曲线段时, 显示出来的直线段曲线段总是或多或少地呈现锯齿状究其原因在于直线段曲线段本身是连续的, 而光栅设备是离散的, 即它只有有限个像素, 为了用这有限个像素表示连续的直线段曲线段就必须对直线段曲线段进行采样, 最终在光栅显示器上表示直线段或曲线段的只是一个个离散的有一定面积的像素这种用离散量表示连续量引起的失真现象称之为走样 ( aliasing) 用于减少或消除这种失真现象的技术称为反走样 ( antialiasing) 光栅图形的走样现象除了锯齿状的边界外, 还有图形细节失真 ( 图形中的那些比像素更窄的细节变宽 ), 狭小图形遗失等现象一般地, 只要在生成图形时采用点采样技术, 都会导致图形走样现象发生因此从根本上说, 反走样的方法有两种, 一种是提高采样率, 也即提高屏幕分辨率由于屏幕分辨率的提高受光栅显示器硬件条件的诸多限制, 因此通常的办法是以高于显示分辨率的精度对画面进行计算, 然后以某种方式取平均获得低分辨率的显示图像另一种方法是把像素看成一个区域, 而不是一个点, 进行区域采样下面对真实感图形生成过程中可能遇到的图形走样问题进行简单的讨论 Z 缓冲器消隐算法的基本思想是在像素级上以近物取代远物它首先对多边形进行扫描转换, 然后对多边形所覆盖的每个像素进行深度测试, 这时像素的深度一般取的是像素中心所对应多边形上点在观察坐标系下的 Z 值, 即点采样然而像素实际上是一块屏幕区域, 它对应投影平面上一块区域, 进而对应场景中的一个区域, 如果场景在这个区域中包含多边形 A 的边界以及比多边形 A 相距视点稍远的另一个多边形 B 的内部区域, 此时像素的内容为图 6 唱 14, 在对多边形 A 扫描转换时,Z 缓冲器中该像素的深度记为像素中心对应多边形 A 上点在观察坐标系下的 Z 值, 在对多边形 B 扫描转换时, 该像素中心对应多边形 B 上点在观察坐标系下的 Z 值小于 Z 缓冲器中该像素的深度, 因而该像素的颜色完全由像素中心对应多边形 A 上点的颜色决定当多边形 A B 落在该像素区域内的部分实际亮度不一致时, 仅用像素中心对应多边形 A 上点处的亮度来代替整个像素的亮度就会产生图形走样现象解决上述问题, 一个理想的办法是求出像素内各可见物体所占据的面积, 然后对这些物体的光亮度进行面积加权平均比如图 6 唱 14 中,B 占据约 3/5 的面积, 而 A 占据 2/5 的面积, 则像素的颜色应取为 C = 3 5 C B C A 为求出像素内各可见物体所占据的面积和进行最终的对这些物体的光亮度进行面积加权平均, 必须在对每个多边形扫描转换时, 在所覆盖的像素上不应该笼统地记录像素的深度值和颜色值, 而是

181 计算机图形学 168 应该更细化地记录如当前多边形在像素内实际覆盖位置多边形颜色多边形标志多边形在像素内的最大和最小深度值等信息, 由于一个像素将会被多个多边形扫描转换时遇到, 因此每个像素将对应一个由保存上述信息的节点构成的链表 Z 缓冲器算法就是一个基于上述思路设计的用于减少消隐时图像失真的反走样算法关于 Z 缓冲器算法详细的技术细节请参考更深入的图形学著作前面介绍的光线追踪算法是一种典型的点采样技术, 它从视点向像素中心对应投影平面上的点发出采样光线, 忽略了像素实际对应物体表面上一个区域, 更糟糕的是有可能对应场景中多个物体表面的一部分, 当物体表面上这个区域的亮度变化大, 或多个物体表面的相应部分的亮度不一致, 仅以用像素中心发出的光线采样获得的亮度来代图 6 唱 14 点采样的图形走样替整个像素的亮度 ( 或者说像素所对应场景区域的亮度 ) 就会产生图形走样现象为改善点采样时造成的图形走样现象, 可以使用像素递归细分技术先将像素细分为 4 个子像素, 分别对 4 个子像素进行光线追踪, 如果 4 个子像素上追踪得到的光亮度大致相等, 则对 4 个子像素的光亮度取平均作为原像素的光亮度, 否则, 对每个子像素进一步细分为 4 个更小的子像素, 对更小的子像素进行光线追踪, 继续下去, 直至在某一级别上的 4 个子像素光亮度大致相等, 然后求 4 个子像素光亮度的平均值作为上一级别相应子像素的亮度, 如此回溯下去, 可以求得最初像素的光亮度这实质上就是以高于显示分辨率的精度对画面进行计算, 然后以某种方式取平均获得低分辨率的显示图像在实际应用时可以从像素的 4 个角点发出光线计算出光亮度作为子像素的光亮度, 这时在像素递归细分过程中由于许多的采样光线是相同的, 因而可以节省很大的计算量纹理映射过程中出现的图形走样主要是指在获取像素所对应物体表面上区域的纹理属性值时采取点采样的方式造成的图形走样, 即简单地以像素中心所对应的物体表面上的位置作为纹理检索条件, 以检索到的该位置处的纹理属性值作为像素所对应物体表面上区域的纹理属性值事实上按照纹理映射关系, 像素所对应物体表面上的区域映射到纹理空间中也应该是一个区域, 而不是一个点, 因此以纹理空间中对应的纹理子区域中的平均纹理属性值作为像素所对应物体表面区域的纹理属性值有助于减轻图形走样 6.6 用 OpenGL 生成真实感图形利用 OpenGL 提供的函数可以方便地实现图形绘制过程中的隐藏面消除, 以及物体表面亮度的光照计算, 还可以实现纹理映射, 从而生成具有真实感的图形

182 真实感图形的生成技术 OpenGL 中隐藏面的消除采用的是 Z 缓冲器算法 OpenGL 在实现基本图元 ( 如点线段三角形多边形 ) 的绘制时, 图元所覆盖的每个像素的颜色是否由当前图元决定, 取决于当前图元在像素处的深度和 Z 缓冲器中相应位置处深度值的比较 OpenGL 提供 glenable(gl_depth_test ) 和 gldisable(gl_depth_test ) 形式的函数调用来打开和禁止深度测试当深度测试表明像素的颜色应该由当前图元决定, 为了获得真实感图形, 此时就要根据场景中的光照条件计算像素所对应的当前图元上点的亮度 OpenGL 提供 glenable(gl _LIGHTING) 和 gldisable(gl_lighting) 形式的函数调用来打开和禁止光照计算, 如果光照计算被禁止, 则像素的颜色简单地取为指定的前景色如果允许进行光照计算, 则 OpenGL 内部将根据场景中的光源物体视点的位置, 按照一定的光照模型, 计算出像素所对应的当前图元上点的亮度只有对 OpenGL 所采用的光照模型有所了解, 才能在利用 OpenGL 相关函数设置光源物体材质等属性时有的放矢, 使 OpenGL 渲染出来的图像具有期望的效果 OpenGL 进行光照计算时采用的光照模型属于简单光照模型, 它只考虑光源直接照射下物体表面的反射, 不考虑光在物体间的反射和光的透射 OpenGL 进行光照计算时不考虑物体对光的可能遮挡, 因此阴影不会自动产生 OpenGL 认为物体表面的反射光包含 3 个分量 : 物体本身发出的光, 对环境光的反射, 对特定光源的反射 1 物体本身发出的光 OpenGL 认为物体本身是可以发光的, 但是这种光只会对物体本身的亮度产生影响, 它不能像光源那样影响其他物体的光亮度物体本身发出的光记为 I emit 2 对环境光的反射这里的环境光指的是全局环境光, 它不依赖于任何特定光源全局环境光概念的提出使得即使场景中没有任何光源, 观察者也可以看到物体假设全局环境光亮度 I global, 物体表面的环境光反射系数为 K a, 则物体对全局环境光的反射为 K a I global 3 对特定光源的反射 OpenGL 认为特定光源的存在会或多或少的增强场景中环境光的亮度, 使得物体即使不能被特定光源照射到, 如物体背向光源, 看起来也将比无特定光源时亮些又由于特定光源的存在, 物体表面将会产生漫反射和镜面反射因此 OpenGL 根据光源对场景照明起到的几种贡献, 将特定光源的光亮度分为 3 种分量, 分别是环境光分量 I a, 漫反射光分量 I d, 镜面光分量 I s, 物体表面对特定光源的反射光亮度可以用下式表示 : I =K a I a +K d I d cos(θ) +K s I s cos n (α) (6 唱 10) 等号右边的 3 项依次是物体表面对特定光源的环境光反射项漫反射项镜面反射项 K a K d K s 分别是物体表面的环境光反射系数漫反射系数镜面反射系数 θ,α 的含义见图 6 唱 15 n 为物体表面对镜面反射光的会聚指数第 6 章 169

183 计算机图形学 D:\10-24\ 新建文件夹 \ 计算机图形学 ( 普通高等院校计算机专业 ( 本科 ) 实用教程系列 )\0 170 图 6 唱 15 入射角 θ 视线和反射光线夹角 α 示意图 6 唱 16 聚光灯在 OpenGL 中, 光源被定义为聚光灯, 如图 6 唱 16, 定义一个聚光灯需要指定光源的位置 ( 即锥顶 ), 聚光灯的方向 ( 即圆锥轴的方向 ), 聚光灯的散射角 ( 即圆锥中轴和边的夹角 0, π 2 ) 聚光灯将光的发射形状调整为圆锥形, 此时空间光强度分布可以用聚光灯光强分布系数 C spotlight 乘以锥顶处聚光灯光强给出, 其中 0 如果空间点不在聚光灯的光锥内 C spotlight = cos k 矱如果空间点在聚光灯的光锥内 ( 其中 k 是聚光指数, 矱为光锥顶点向空间点连线与光锥中轴夹角 ) 1 特别地, 如果把点光源看成聚光灯另外, 光沿直线传播时能量会衰减,OpenGL 实现中将光沿直线传播时的衰减因子定义为 1, 其中 K K c +K l d +K q d 2 c K l K q 分别为常量线性二次的衰减系数,d 为光的传播距离前面提到的环境光分量 I a 漫反射光分量 I d 和镜面光分量 I s 是聚光灯 ( 点光源作为聚光灯特例 ) 在光源处的光亮度分解, 考虑到聚光灯光强度空间分布和光沿直线传播的衰减性, 物体表面对特定光源的反射光亮度可在式 (6 唱 10) 的基础上修改为 : 1 I = C spotlight (K K c +K ld +K q d 2 a I a +K d I d cosθ +K s I s cos n α) (6 唱 11) 这里 d 为光源到物体表面的距离综合以上 3 个分量, 在 OpenGL 中, 物体表面的反射光亮度为 : I =I emit +K a I global 1 + C spotlight ( K K c +K l d +K q d 2 a I a +K d I d cosθ +K si scos n α) (6 唱 12) 如果场景中存在多个聚光灯, 则物体表面的反射光亮度为 : 1 I =I emit +K a I global + C spotlight (K 所有聚光灯 K c +K l d +K q d 2 a I a +K d I d cosθ +K s I s cos n α) (6 唱 13)

184 真实感图形的生成技术为减小计算量同时又保证物体表面光亮度连续, OpenGL 在绘制多边形时采用 Gouraud 明暗处理方法, 即, 利用式 (6 唱 13) 计算出多边形顶点的光亮度, 多边形内部点的光亮度由顶点的光亮度插值计算出如果追求最小的计算量,OpenGL 还可以将整个多边形的亮度简单地取为某个特定顶点的光亮度以上两种多边形亮度计算方式可以分别通过 glshademodel(gl_smooth) 和 glshademodel(gl_ FLAT) 形式的函数调用来设置 OpenGL 实现光照计算时将在 R G B 这 3 个颜色分量上分别进行, 此时式 (6 唱 13) 可以写成 : r g b = r emit g emit b emit +K a r global g global b global + 所有聚光灯 K c 1 C +K l d +K q d 2 spotlight 第 6 章 171 K a g a r a +K d r d g d cosθ +K s r s g s n cos α (6 唱 14) b a b d b s OpenGL 实现中认为 K a K d K s 作为物体表面的环境光反射系数漫反射系数镜面反射系 k a r k d r k sr 数, 可以分别用 3 个分量表示, 如 K a = k a g k a b,k d = k d g k d b,k s = k s g k s b, 此时式 (6 唱 14) 进一步写成 : r g b = r emit g emit b emit + k a r k a g k a b 磗 r global g global b global + 所有聚光灯 K c 1 C +K l d +K q d 2 spotlight k a r r a k d r r d k s r r s k a g 磗 g a + k d g 磗 g d cosθ + k s g 磗 g s n cos α (6 唱 15) k a b b a k d b b d k s b b s a 1 b 1 a 1 b 1 这里磗运算符定义为两个向量的对应分量相乘, 即 a 2 磗 b 2 = a 2 b 2 式 (6 唱 15) 就 a 3 b 3 a 3 b 3 是 OpenGL 实现时采用的光照计算公式 OpenGL 的光照环境设置方法根据式 (6 唱 15), 知道 OpenGL 在进行光照计算时需要用到特定光源 ( 聚光灯 ) 的如下

185 计算机图形学属性 : r a r d r s 172 光源的环境光分量 g a b a, 光源漫反射光分量 g d b d, 光源的镜面光分量 g s b s, 以及聚光灯的位置方向散射角聚光指数 k, 还有光线沿直线传播时的常量线性二次的衰减系数 K c K l K q 因此 OpenGL 提供了一组函数用于设置光源的上述各个属性这组函数具有统一的函数声明 : void gllight 倡 (GLenum light, GLenum pname, TYPE param), 其中,light 表示当前被设置的光源的标识, 可以取符号常量 GL_LIGHT0 GL_LIGHT1 GL_LIGHT7;pname 表示将要对光源的哪个属性进行设置, 可以取代表光源属性的相应符号常量, 见表 6 唱 1;Param 是 pname 所标识属性项的期望值 gllight 倡实际上可以是 gllighti gllightf gllightiv gllightfv, 与此对应, 函数声明中的参数类型 TYPE 应为 int float int 倡 float 倡表 6 唱 1 代表光源属性的符号常量及其含义符号常量 GL_AMBIENT GL_DIFFUSE GL_SPECULAR GL_POSITION GL_SPOT_DIRECTION GL_SPOT_CUTOFF GL_SPOT_EXPONENT GL_CONSTANT_ATTENUATION GL_LINEAR_ATTENUATION GL_QUADRATIC_ATTENUATION 符号常量所代表的光源属性项光源的环境光分量光源的漫反射光分量光源的镜面光分量光源的位置聚光灯方向聚光灯的散射角聚光灯的聚光指数光源沿直线传播时的常量衰减系数 K c 光源沿直线传播时的线性衰减系数 K l 光源沿直线传播时的二次衰减系数 K q 下面的代码展示了如何使用 gllight 倡 () 来定义光源 GL_LIGHT0 的各个属性 : GLfloat light_ambient[] ={ 0.2, 0.2, 0.2, 1.0 }; GLfloat light_diffuse[] ={ 1.0, 1.0, 1.0, 1.0 }; GLfloat light_specular[] ={ 1.0, 1.0, 1.0, 1.0 }; GLfloat light_position[] ={ -2.0, 2.0, 1.0, 1.0 }; GLfloat spot_direction[] ={ -1.0, -1.0, 0.0 };

186 真实感图形的生成技术 gllightfv(gl_light0, GL_AMBIENT, light_ambient); gllightfv(gl_light0, GL_DIFFUSE, light_diffuse); gllightfv(gl_light0, GL_SPECULAR, light_specular); gllightfv(gl_light0, GL_POSITION, light_position); gllightfv(gl_light0, GL_SPOT_DIRECTION, spot_direction); gllightf(gl_light0, GL_SPOT_CUTOFF, 45.0); gllightf(gl_light0, GL_SPOT_EXPONENT, 2.0); 第 6 章 173 gllightf(gl_light0, GL_CONSTANT_ATTENUATION, 1.5); gllightf(gl_light0, GL_LINEAR_ATTENUATION, 0.5); gllightf(gl_light0, GL_QUADRATIC_ATTENUATION, 0.2); 根据式 (6 唱 15), 知道 OpenGL 在进行光照计算时还需要用到全局环境光 r global g global, 因 b global 此 OpenGL 也提供相应的函数用于设置这个属性下面的代码展示了全局环境光的设置方法 : GLfloat lmodel_ambient[] ={ 0.2, 0.2, 0.2, 1.0 }; gllightmodelfv(gl_light_model_ambient, lmodel_ambient);/ 倡设置全局环境光倡 / 通过上述介绍的函数可以设置特定光源的各个属性以及全局环境光, 但是要使 OpenGL 真正进行光照计算还必须使用命令 glenable(gl_lighting) 显式启用光照计算, 相对应的,glDisable(GL_LIGHTING) 是取消光照计算启用光照计算后, 要使已经定义好的某个光源 GL_LIGHTi 真正参与光照计算, 还必须使用命令 glenable( GL_LIGHTi) 显式打开它, 与此对应的,glDisable ( GL_LITHTi) 表示将光源 GL_LIGHTi 关闭, 不参与光照计算 OpenGL 的物体材料特性的设置根据式 (6 唱 15), 知道 OpenGL 在进行光照计算时需要用到物体表面材质的环境光反 k a r k d r k s r 射系数 k a g 漫反射系数 k d g 镜面反射系数 k sg 镜面反射光的会聚指数 n, 以及物 k a b k d b k sb r emit 体表面材质的发射光 g emit 因此 OpenGL 提供了一组函数用于设置物体表面材质的上 b emit

187 计算机图形学 174 述各个属性这组函数具有统一的函数声明 : void glmaterial 倡 (GLenum face, GLenum pname, TYPE param); 其中,face 表示材质应该贴到物体的哪个表面, 可以取符号常量 GL_FRONT GL_BACK 或 GL_FRONT_AND_BACK;pname 表示材质特性, 可以取标识材质特性的符号常量, 见表 6 唱 2;Param 是 pname 所标识材质特性的期望值 glmaterial 倡实际上可以是 glmateriali glmaterialf glmaterialiv glmaterialfv, 与此对应, 函数声明中的参数类型 TYPE 应为 int float int 倡 float 倡表 6 唱 2 标识材质特性的符号常量及其含义符号常量 GL_AMBIENT GL_DIFFUSE GL_SPECULAR GL_SHININESS GL_EMISSION 符号常量所对应的材质特性环境光反射系数漫反射系数镜面反射系数镜面反射光的会聚指数材质的发射光下面的代码展示了如何使用 glmaterial 倡 () 来定义材质的各个属性 : GLfloat mat_ambient[] ={ 0.7, 0.7, 0.7, 1.0 }; GLfloat mat_diffuse[] ={ 0.1, 0.5, 0.8, 1.0 }; GLfloat mat_specular[] ={ 1.0, 1.0, 1.0, 1.0 }; GLfloat high_shininess[] ={ }; GLfloat mat_emission[] ={0.3, 0.2, 0.2, 0.0}; glmaterialfv(gl_front, GL_AMBIENT, mat_ambient); glmaterialfv(gl_front, GL_DIFFUSE, mat_diffuse); glmaterialfv(gl_front, GL_SPECULAR, mat_specular); glmaterialfv(gl_front, GL_SHININESS, high_shininess); glmaterialfv(gl_front, GL_EMISSION, mat_emission); OpenGL 的纹理映射方法 OpenGL 支持一维二维颜色纹理映射, 某些特定的 OpenGL 实现还支持三维四维纹理映射在 6 畅 3 节中指出, 实现纹理映射的两个基础工作是定义纹理函数和定义映射函数, 这两个工作的完成意味着在数学上保证了物体表面上任何一点都对应着一个纹理属性值, 余下的工作就是如何具体应用映射函数实现纹理映射一般地,OpenGL 支持一维和二维纹理函数的定义在 OpenGL 中纹理函数是以数字图像的形式定义的, 这实际上是纹理函数的离散表达一幅 m n 的数字图像可以理解

188 真实感图形的生成技术为纹理函数在其定义域 [0,1] [0,1] 内进行 m n 个点的均匀采样而来用户可以通过 glteximage2d() 命令来定义二维纹理 ( 函数 ), 用 glteximage1d() 来定义一维纹理 ( 函数 ) 定义二维纹理的函数声明为 : void glteximage2d ( GLenum target, GLint level, GLint components, GLsizei width, GLsizei height, GLint border, GLenum format, GLenum type, const GLvoid 倡 pixels) 简要说明如下,target 必须取为 GL_TEXTURE_2D, 这个参数实际上是为 OpenGL 将来扩展预留的 ; level 表示纹理图像多分辨率层数, 通常取为 0;components 可以取为 1 至 4 的整数, 用来确定每个纹理元素的 RGBA 分量中哪几个将在纹理映射中真正被使用, 之所以可以这样统一处理, 是因为无论用户最初提供何种格式 ( 由 format 参数决定 ) 的图像数据,OpenGL 内部都将转化为 RGBA 的格式来表示每个纹理元素这里 1 的含义是使用 R 分量,2 表示使用 R 和 A 分量,3 表示使用 R G B 分量,4 表示使用 RGBA 全部分量 ; width 用于指定图像的宽 ; height 用于指定图像的高 ; border 表示图像的边界, 必须是 0 或 1 OpenGL 要求图像的宽高都必须是 2 k +2 border 形式的数 pixels 指向内存中用户给出的图像数据,type 表示 pixels 所指向的用户图像数据在内存中的格式 format 表示用户给出的图像数据本身的逻辑格式 format 和 type 只能是 OpenGL 可以识别的格式, 因此它们的取值是 OpenGL 规定的常量值 OpenGL 将按照 type 所标识的格式去读取 pixels 所指向的存放用户图像数据的内存区域, 并按照 format 所标识的逻辑格式去理解这些数据, 数据解读出来后,OpenGL 还要将每个图像像素的数据转化为 RGBA 形式, 由此定义了一个二维纹理更详细的说明参见相关的 OpenGL 技术文档 OpenGL 提供了两种方式来建立物体表面上点和纹理空间的对应关系, 一种方式是在绘制 OpenGL 基本图元 ( 如线段三角形多边形 ) 时在 glvertex 倡命令之前调用 gltexcoord 倡命令明确地给出当前顶点所对应的纹理坐标, 如 : glbegin(gl_polygon); gltexcoord2f(0.0, 0.0); glvertex3f( -2.0, -1.0, 0.0); gltexcoord2f(0.0, 3.0); glvertex3f( -2.0, 1.0, 0.0); gltexcoord2f(3.0, 3.0); glvertex3f(0.0, 1.0, 0.0); gltexcoord2f(3.0, 0.0); glvertex3f(0.0, -1.0, 0.0); glend(); 而图元内部点的纹理坐标则利用顶点处的纹理坐标采用线性插值的方法计算出来, 这一点和多边形 Gouraud 明暗处理时内部点的颜色由顶点的颜色线性插值出用的方法是一样的以这种方式定义物体表面上点和纹理空间的对应关系实际上是以离散的形式给出了映射函数另一种方式是 OpenGL 内部定义了几种类型的纹理映射函数, 用户可以通过第 6 章 175

189 计算机图形学 176 gltexgen 倡 () 函数来选择希望使用的纹理映射函数类型, 并且可以为所选类型的纹理映射函数指定系数由于二维纹理有两个坐标, 分别称为 s 方向和 t 方向, 因此用户可以分别为这两个方向指定不同的纹理映射函数的类型和纹理映射函数的系数以这种方式定义物体表面上点和纹理空间的对应关系实际上就是直接给出了连续形式的纹理映射函数由于无须为基本图元的每个顶点指定纹理坐标, 在 OpenGL 中这种方式也称为自动纹理坐标生成至于希望 OpenGL 采用哪种方式实现物体表面上点和纹理空间的对应关系, 用户可以明确地指示采用自动纹理坐标生成 : glenable(gl_texture_gen_s) glenable(gl_texture_gen_t), 或者是不采用自动纹理坐标生成 : gldisable(gl_texture_gen_s) gldisable (GL_TEXTURE_GEN_T) OpenGL 采用逆向纹理映射技术来具体实现纹理映射当一个基本的 OpenGL 图元 ( 如线段三角形多边形 ) 被光栅化时,OpenGL 将为它所占据的每个像素计算纹理坐标, 由于二维纹理是定义在 [0,1] [0,1] 上的, 换句话说, 每个方向 (t 方向或 s 方向 ) 上的纹理坐标是限制在 [0,1] 上的, 在应用前面指定的映射函数计算纹理坐标时, 很有可能得到的纹理坐标的某分量不在 [0,1] 上,OpenGL 提供了两种方式处理纹理坐标值不在 [0,1] 内的情形, 一种是截断, 另一种是重复截断是指如果纹理坐标值不在 [0,1] 内, 则简单地将其截断, 即如果 s >1, 则令 s =1, 如果 s <0, 则令 s =0, 这样使得纹理图像的边界值扩展到图元中那些纹理坐标不在 [0,1] 范围内的区域中 ; 重复是指如果纹理坐标值不在 [0,1] 内, 则将纹理坐标值的整数部分舍弃, 只使用小数部分, 这样使得纹理图像在图元表面重复出现用户可以用如下的函数调用形式来指示 OpenGL 采用何种方式来处理纹理坐标越界的问题 : gltexparameterf(gl_texture_2d,gl_texture_wrap_s, GL_ CLAMP); gltexparameterf(gl_texture_2d,gl_texture_wrap_s, GL_ REPEAT); 上述函数调用分别是指定纹理坐标中 s 坐标采取截断处理方式和采取重复处理方式, 第二个参数也可以取 GL_TEXTURE_WRAP_T, 则表示指定纹理坐标 t 的处理方式 OpenGL 考虑到, 在对一个基本图元如多边形进行光栅化时, 一个屏幕像素实际上对应物体表面上一个区域, 而不是一个点, 进而对应于纹理空间中一个区域, 这个区域可能只是纹理空间中某个纹素的一部分, 称为放大的情形, 如图 6 唱 17( a); 也有可能是占据纹理空间中多个纹素, 称为缩小的情形, 如图 6 唱 17(b) 针对这些情况,OpenGL 提供了多种滤波方法来计算像素对应的纹理属性值, 而且对放大和缩小情形可以设置不同的滤波方法最简单的滤波方法是点采样, 即选择离纹理坐标最近的纹素的属性值通常点采样的方法很难给出满意的结果, 因此 OpenGL 又提供了插值的方法, 对于放大的情形,

190 真实感图形的生成技术 OpenGL 1.1 只支持线性插值 ; 对于缩小的情形,OpenGL 1.1 支持多种滤波方法用户可以用如下的函数调用形式来分别指示 OpenGL 在处理放大和缩小情形时采取何种滤波方式来计算纹理属性值 : gltexparameteri(gl_texture_2d,gl_texture_mag_filter,gl_nearest); gltexparameteri(gl_texture_2d,gl_texture_min_filter,gl_nearest); 第 6 章 177 其中, 第三个参数还可以是 OpenGL 允许的用于标识滤波方法的其他符号常量图 6 唱 17 像素和它所对应的纹理区域在 6.3 节中指出, 获得物体表面点的纹理属性值后, 可以将纹理属性值看成亮度值直接作为物体表面上该点的亮度, 也可以将纹理属性值作为简单光照模型中物体该点处的漫反射系数用于该点处的光照计算在 OpenGL 中又是如何利用检索到的纹理属性值 ( 颜色 ) 计算出像素最终的颜色呢? 实际上,OpenGL 提供了多种方式利用检索到的纹理属性值计算像素最终的颜色, 每一种方式都可以用于产生特定的效果最为常用的是调制 (modulate) 方式, 这时纹理属性值起一个调制作用, 它将用于调制 ( 通常是分量相乘 ) 像素最初的颜色 ( 不使用纹理时像素应有的颜色 ) 以产生最终的颜色比如多边形是以白光照射, 白光照射产生的物体表面的亮度接着由相应纹理属性值调制, 通常这样可以绘制出一个具有光照效果贴有纹理的表面还有几种其他的方式, 分别是贴花 ( decal) 方式融合 ( blend) 方式替代 ( replace) 方式用户可以通过如下的函数调用形式来指示 OpenGL 采用上述哪种方式来利用检索到的纹理属性值计算像素最终的颜色 : gltexenvf(gl_texture_env,gl_texture_env_mode,gl_ MODULATE); 这个函数的最后一个参数正是用于指定期望的处理方式, 它还可以是 GL _ DECAL, GL_BLEND, 或 GL_REPLACE 最后需要指出, 由于 OpenGL 是基于状态机模型的, 因此要利用 OpenGL 实现物体表面 ( 比如多边形 ) 上的纹理映射, 必须在绘制物体之前, 先利用 OpenGL 命令定义以上提到的相应的参数或设置相应的属性, 比如定义纹理函数定义映射关系指定纹理坐标的截

191 计算机图形学断还是重复处理方式等等还有一点需要注意的就是在绘制物体前应该调用 glenable (GL_TEXTURE_2D) 打开纹理映射开关, 使 OpenGL 在绘制物体时真正进行纹理映射 178 习题 6.1 采用 Z 缓冲算法实现两个三角形之间的消隐, 第一个三角形的顶点为 : (1,0,0), (0,2,0) 和 (0,0,1); 第二个三角形的顶点为 : (0,0,0),(1,0,1) 和 (0,2,1) 6.2 用 Gouraud 明暗处理方法生成一个圆球的真实感显示图 6.3 使用 OpenGL 绘制 4 个茶壶 ( 调用 OpenGL 函数生成 ), 通过设置 OpenGL 材质, 使 4 个茶壶分别呈现出塑料金属石膏和瓷器的特性 6.4 使用 OpenGL 绘制一个各个面都贴有不同纹理图形的正方体 6.5 使用 OpenGL 绘制一个圆柱形的罐头盒, 罐头盒柱面上贴有彩色包装纸纹理, 顶底不用贴纹理要求设置材质特性, 使罐头盒柱面呈现包装纸的光反射特性, 顶底呈现金属反光特性

192 第 7 章曲线与曲面曲线曲面的计算机辅助设计源于 20 世纪 60 年代的飞机和汽车工业较早出现的有美国波音公司的 Ferguson 于 1963 年提出的用于飞机设计的参数三次方程, 法国雷诺汽车公司的 Bézier 于 1962 年提出的以逼近为基础的曲线曲面设计系统 UNISURF, 此前 de Casteljau 大约于 1959 年在法国另一家汽车公司雪铁龙的 CAD 系统中有同样的设计, 但因为保密的原因而没有公布 Coons 于 1964 年提出了一类布尔和形式的曲面这些早期的曲线曲面设计方法在计算效率局部可修改性绘图过程的几何意义等方面不理想 Bézier 方法出现以后,Forrest Gordon 等人对 Bézier 方法作了深入研究, 揭示了 Bézier 方法与 Bernstein 多项式的关系 Bézier 方法具有明确的几何意义, 在设计过程中具有很强的可操作性, 至今仍有 CAD 软件中保留 Bézier 曲线曲面功能但 Bézier 方法是整体计算, 修改一点会影响到整体 20 世纪 70 年代出现了 B 样条曲线曲面 1972 年,deBoor 和 Cox 分别给出 B 样条的标准算法 B 样条曲线曲面具有 Bézier 方法的优点, 克服了 Bézier 方法的缺点但均匀 B 样条曲线曲面未考虑型值点的分布对参数化的影响, 当弦长差异较大时, 弦长较长的曲线段比较平坦, 而弦长较短的曲线段则臌涨, 甚至于因过冲而产生扭结于是 1975 年以后,Riesenfeld 等人研究了非均匀 B 样条曲线曲面, 美国锡拉丘兹大学的 Versprille 研究了有理 B 样条曲线曲面,20 世纪 80 年代末 90 年代初,Piegl 和 Tiller 等人对有理 B 样条曲线曲面进行了深入的研究, 并形成非均匀有理 B 样条 ( non 唱 uniform rational b 唱 spline,nurbs) 1991 年国际标准组织 (ISO) 正式颁布了产品数据交换的国际标准 STEP,NURBS 是工业产品几何定义惟一的一种自由型曲线曲面整个曲线曲面设计方法的发展史表明了曲线曲面设计方法的要求 : (1) 避免高次多项式函数可能引起的过多拐点, 曲线曲面设计宜采用低次多项式函数进行组合 ; 组合曲线曲面在公共连接处满足一定的连续性 ; (2) 绘图过程具有明确的几何意义, 且操作方便 ; (3) 具有几何不变性 ; (4) 具有局部修改性, 修改其中一点, 不影响全局, 只有很小范围内的形状受到影响

193 计算机图形学 7.1 曲线曲面入门曲线曲面的表示形式 1. 曲线的表示形式平面曲线的直角坐标表示形式为 : y =f(x) 或 F(x,y) =0 其参数方程则为 : x =x( t) y =y( t) (7 唱 1) 平面上一点的位置可用自原点到该点的矢量表示 : r =r(t) (7 唱 2) 式 (7 唱 2) 称为曲线的矢量方程, 其坐标分量表示式 (7 唱 1) 是曲线的参数方程三维空间曲线的参数方程为 : x =x( t) y =y( t) (7 唱 3) z =z( t) 矢量方程为 : r =r(t) =r(x(t),y(t),z(t)) (7 唱 4) 如图 7 唱 1, 三维空间曲线可理解为一个动点的轨迹, 位置矢量 r 随时间 t 变化的关系就是一条空间曲线用 s 表示曲线的弧长, 以弧长为参数的曲线方程称为自然参数方程以弧长为参数的曲线, 其切矢为单位矢量, 记为 t(s) 切矢 t( s) 对弧长 s 求导, 所得导矢 dt( s)/ds 与切矢相垂直, 称为曲率矢量, 如图 7 唱 2, 其单位矢量称为曲线的单位主法矢, 记为 n( s), 其模长称为曲线的曲率, 记为 k( s) 曲率的倒数称为曲线的曲率半径, 记为 ρ( s) 与 t 和 n 相互垂直的单位矢量称为副法矢, 记为 b(s) 图 7 唱 1 空间曲线由 t 和 n 张成的平面称为密切平面 ; 由 n 和 b 张成的平面称为法平面 ; 由 t 和 b 张成的平面称为从切面

194 曲线与曲面第 7 章 181 图 7 唱 2 曲线特性分析 2. 曲面的表示形式一般曲面可表示为 : 其参数表达式为 : z =f(x,y) 或 F(x,y,z) =0 x =x( u,v) y =y( u,v) z =z( u,v) 曲面的矢量方程为 : r =r(u,v) =r(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) (7 唱 5) 参数 u v 的变化区间常取为单位正方形, 即 u,v [0,1] x,y,z 都是 u 和 v 二元可微函数当 (u,v) 在区间 [0,1] 之间变化时, 与其对应的点 ( x,y,z) 就在空间形成一张曲面 ( 见图 7 唱 3) 由微分学可知,r 对 u 和 v 的一阶偏导数为 : 抄 r 抄 u =r r(u +Δu,v) -r(u,v) u (u,v) =lim Δu 0 Δu 抄 r 抄 v =r r(u,v +Δv) -r(u,v) v(u,v) =lim Δv 0 Δv 一阶偏导数 r u (u,v) 和 r v(u,v) 继续对 u,v 求偏导数, 得到 4 个二阶偏导数 : 抄抄 u 抄抄 v 抄 r 抄 u 抄 r 抄 u 2 = 抄 r 抄 u 2 =r uu 2 = 抄 r 抄 u 抄 v =r uv

195 计算机图形学 182 图 7 唱 3 空间曲面抄抄 u 抄抄 v 抄 r 抄 v 抄 r 抄 v 2 抄 r = 抄 v 抄 u =r vu 2 抄 r = 抄 v 2 其中, r uv 和 r vu 称为二阶混合偏导数, 在二阶连续时, 两者相同如图 7 唱 3, 曲面上一点的切矢 r u 和 r v 所张成的平面称为曲面在该点的切平面曲面上所有过该点的曲线在此点的切矢都位于切平面内切平面的法矢就是曲面在该点的法矢曲线曲面的光滑连接给定一段曲线, 如在整个参数定义域内处处 k 次连续可微, 则称该曲线为 C k 参数连续给定两段内部 C k 连续的参数曲线 r 1 ( u 1 ),u 1 [0,1] 和 r 2 ( u 2 ),u 2 [0,1], 两段曲线在公共连接点处不同阶次的连续性对应于不同的要求 1. 位置连续曲线段 r 1 (u 1 ) 的末端与曲线段 r 2 (u 2 ) 的首端达到位置连续的条件为 : r 1 (1) =r 2 (0) =r vv 位置连续是 C 0 连续 2. 斜率连续曲线段 r 1 (u 1 ) 的末端与曲线段 r 2 (u 2 ) 的首端达到斜率连续的条件为 : r 1 (1) =k r 2 (0) 若 k =1, 说明曲线段 r 1 (u 1 ) 的末端切矢与曲线段 r 2 ( u 2 ) 的首端切矢方向相同模长相等, 称为 C 1 连续若 k 1, 则说明两段曲线在公共连接点处切矢方向相同, 但模长不相等, 这种情况是几何连续的, 称为 G 1 连续

196 曲线与曲面 3. 曲率连续两曲线段曲率连续应满足 :(1) 位置连续 ; (2) 斜率连续 ;(3) 曲率相等且主法线方向一致曲率连续的条件为 : r 2 (0) =αr 1 (1) +βr 1 (1), 满足该条件, 称为 G 2 连续 ; 几何意义是 : 曲线段 r 2 (u 2 ) 首端的二阶导矢应处在由曲线段 r 1 (u 1 ) 末端的二阶导矢和一阶导矢所张成的平面内若 r 2 (0) =r 1 (1), 称为 C 2 连续对于曲面片, 若两个曲面片在公共连接线上处处满足上述各类连续性条件, 则两个曲面片之间有同样的结论三次样条函数 1. 物理背景 7.2 三次样条曲线曲面样条 (spline) 函数是 Schoenberg 于 1946 年提出的, 国外 20 世纪 60 年代广泛研究, 国内 20 世纪 70 年代开始样条是富有弹性的细木条或有机玻璃条早期船舶汽车飞机放样时用压铁压在样条的一系列型值点上, 调整压铁达到设计要求后绘制其曲线, 称为样条曲线 y(x) 由材料力学可知, 1 R(x) = d 2 y /dx 2 M( x) = [1 +(dy /dx) 2 ] 3/2 EI R( x) 为梁的曲率半径,M(x) 为作用在梁上的弯矩,E 为材料的弹性模量,I 为梁横截面的惯性矩在梁弯曲不大的情况下,y 虫 1, 上式简化为 : y (x) ~M(x),y(x) 是 x 的三次多项式, 这就是插值三次样条函数的物理背景物理样条的性质 : (1) 样条是物质连续的, 相当于函数 C 0 连续 ; (2) 样条在压铁两侧斜率相同, 相当于函数 C 1 连续 ; (3) 样条在压铁两侧曲率相同, 相当于函数 C 2 连续 2. 三次样条函数的数学定义在区间 [a,b] 上给定一个分割 Δ: a =x 1 <x 2 < <x n =b, 则称在区间 [a,b] 上满足下列条件的函数 S(x) 为三次样条函数 : 第 7 章 183

197 计算机图形学 184 (1) 在每个子区间 [x i -1,x i ](i =1,2,,n) 上为三次多项式 ; (2) 在整个区间 [a,b] 上具有直到二阶连续的导数, 即在内节点 x i 处, S ( k) (x - i ) =S ( k) (x + i ) i =2,3,,n -1, k =0,1,2 对于给定的一组型值点 ( x i,y i )(i =1,2,,n), 若上述 S( x) 为三次样条函数,S( x) 还满足插值条件 : S(x i ) =y i 则称 S(x) 为插值三次样条函数插值三次样条函数有两种常用的表达方式, 一种是用型值点处的一阶导数表示的 m 关系式 ; 一种是用型值点处二阶导数表示的 M 关系式本书重点介绍 m 关系式 3. 用型值点处的一阶导数表示插值三次样条函数 m 关系式如图 7 唱 4, 给定一组型值点 (x i,y i )(i =1, 2,,n),m i 为 ( x i,y i ) 处的斜率第 i 段样条函数可表示为 : y i (x) =a i +b i x +c i x 2 +d i x 3 i =1,2,,n (7 唱 6) 图 7 唱 4 型值点和斜率该段曲线的首端通过 (x i -1,y i -1 ), 斜率为 m i -1, 末端通过 ( x i,y i ), 斜率为 m i, 这些条件可表达为 : y(x i -1 ) =y i -1 y(x i ) =y i y (x i -1 ) =m i -1 (7 唱 7) 式中, i =1,2,,n 将式 (7 唱 7) 展开得 : y (x i ) =m i y(x i -1 ) =a i +b i x i -1 +c i x 2 i -1 +d i x 3 i -1 =y i -1 y(x i ) =a i +b i x i +c i x 2 i +d i x 3 i =y i y (x i -1 ) =b i +2 c i x i d i x 2 i -1 =m i -1 (7 唱 8) 式中, i =1,2,,n y (x i ) =b i +2 c i x i +3 d i x 2 i =m i

198 令 h i =x i -x i -1, 解方程组得 : ( m ixi -1 +m i -1 xi )xi xi -1 a i =- h 2 i m i -1 xi(xi +2 xi -1 ) +m ixi -1 (2xi +xi -1 ) b i = h 2 i c i =- m i (x i +2 x i -1 ) +m i -1 (2x i +x i -1 ) h 2 i d i = m i +m i -1 h 2 i 其中, i =1,2,,n - 2(y i -y i -1 ) h 3 i 将所求系数代入样条函数表达式, 并计算得 : y(x) =m i -1 (x i -x) 2 (x -x i -1 ) h 2 i +y i -1 ( x i -x) 2 [2(x -x i -1 ) +h i ] h 3 i y (x) =m i -1 (x i -x)(2x i -1 +x i -3 x) h 2 i + yi x2 i -1 (3x i -x i -1 ) +y i -1 x 2 i (x i -3 x i -1 ) h 3 i 6(yi -yi -1 )xi x i -1 - h 3 i + 3(y i -y i -1 )(x i +x i -1 ) h 3 i -m i (x -x i -1 ) 2 ( x i -x) h 2 i 曲线与曲面 (x -x i -1 ) 2 [2(x i -x) +h i ] +y i h 3 i (7 唱 9) -m i (x -x i -1 )(2x i +x i -1-3 x) h 2 i + 6(y i -y i -1 ) (x h 3 i -x)(x -x i -1 ) (7 唱 10) i 2x i +x i -1-3 x 2x i -1 +x i -3 x y (x) =-2m i -1-2 m h 2 i i h 2 i 6(y i -y i -1 ) + (x i +x i -1-2 x) (7 唱 11) h 3 i 其中, x i -1 x x i (i =1,2,,n) 式 (7 唱 9) 至 (7 唱 11) 为插值三次样条函数的基本公式只要求解出型值点处的斜率 m i(i =0,1,2,,n), 就可以应用上述公式计算插值三次样条函数的函数值一阶导数和二阶导数对于式 (7 唱 9), 以 (x i -1 +h i ) 代替 x i, 并按 (x -x i -1 ) 的幂次整理成如下矩阵表达式 : 第 7 章 185

199 计算机图形学 y i y(x) =[1 (x -x i -1 ) (x -x i -1 ) 2 (x -x i -1 ) 3 ] - 3 h 2 i 3 h 2 i - 2 h i - 1 h i y i m i -1 2 h 3 i - 2 h 3 i 1 h 2 i 1 h 2 i m i 其中, x i -1 x x i (i =1,2,,n) 若令 h i =1, t =x -x i -1,0 t 1, 则得到均匀参数插值三次样条美国波音公司的 Ferguson 于 1963 年用于飞机设计的参数三次方程即是均匀参数插值三次样条曲线, 见下式 p(0) p(1) p(t) =[1 t t 2 t 3 ] p (0) p (1) 其中, p(t) 表示位置矢量,p (t) 表示切矢由上述样条函数公式可以看出, 构造插值三次样条时除已经给定的型值点外, 还必须得到型值点处的切矢为了计算型值点处的切矢 m i (i =0,1,2,,n), 可以利用前后二曲线在型值点处的二阶导数连续的条件 : y i (x - i ) =y i +1 (x + i ) i =1,2,,n -1 对式 (7 唱 11) 作相应的运算并简化, 得到 : h i +1 h i +h i +1 m i m i + h i h i +h i +1 m i +1 =3 h i +1 h i +h i +1 y i -y i -1 h i + h i h i +h i +1 y i +1 -y i h i +1 (7 唱 12) 其中, i =1,2,,n -1 令 λ i = h i +1 h i +h i +1 μ i =1 -λ i y C i =3 i -y i -1 y i +1 -y i λ i +μ i h i h i +1 i =1,2,,n -1 则式 (7 唱 12) 变为 : λ i m i m i +μ i m i +1 =C i 其中 i =1,2,,n -1 ( 7 唱 13) 式 (7 唱 13) 称为三次样条函数的 m 连续性方程

200 曲线与曲面今欲求 n +1 个未知量 m i (i =0,1,2,,n), 但只有 n -1 个方程, 需要补充两个方程才能求解可在整条曲线的首末端点指定端点条件 (1) 在首末端指定一阶导数在两端指定一阶导数 y 0 和 y n, 补充方程为 : (2) 在首末端指定二阶导数在两端指定二阶导数 y 0 和 y n, 补充方程为 : 将式 (7 唱 15) 展开并整理, 得 : y 1 (x 0 ) =m 0 =y 0 y n (x n ) =m n =y n (7 唱 14) y 1 (x 0 ) =y 0 y n (x n ) =y n (7 唱 15) 2m 0 +m 1 = 3(y 1 -y 0 ) h 1 - h 1 2 y 0 m n m n = 3(y n -y n -1 ) h n + h n 2 y n (7 唱 16) 当曲线两端比较平坦时, 可以取二阶导数 y 0 和 y n 为 0, 亦即自由端点条件, 此时式 (7 唱 16) 简化为 : 2m 0 +m 1 = 3(y 1 -y 0 ) h 1 m n m n = 3(y (7 唱 17) n -y n -1 ) h n 式中 (3) 综合两类端点条件的补充方程为了综合考虑上述两类端点条件, 可利用如下的表达式 : 2m 0 +μ 0 m 1 =C 0 λ n m n m n =C n (7 唱 18) 第 7 章 187 C 0 =(4 -μ 0 )μ 0 y 1 -y 0 h 1 - h1 6 y 0 +2 ( 1 -μ 0 )y 0 C n =(4 -λ n )μ n y n -y n -1 h n 当 μ 0 =λn =1, 相当于在两端指定二阶导数 ; μ 0 =λn =0, 相当于在两端指定一阶导数 ; + h n 6 y n +2(1 -λ n )y n

201 计算机图形学 188 μ 0 =1,λn =0, 相当于在首端指定二阶导数, 末端指定一阶导数 ; μ 0 =0,λn =1, 相当于在首端指定一阶导数, 末端指定二阶导数综合式 (7 唱 13) 和式 (7 唱 18), 得如下方程组 : 2 μ 0 m 0 C 0 λ 1 2 μ 1 m 1 C 1 λ 2 2 μ 2 筹 m 2 = C 2 (7 唱 19) λ n -1 2 μ n -1 λ n 2 m n -1 m n C n -1 式 (7 唱 19) 的系数矩阵为三对角带状矩阵, 可用追赶法求解插值三次样条函数的计算步骤 : 1 获得型值点 ; 2 指定端点条件 ; 3 计算 μ i,λ i,c i ; 4 追赶法求解切矢 ; 5 用式 (7 唱 19) 逐段逐点计算插值三次样条曲线一阶导数和二阶导数三次样条曲线应用三次样条函数方法, 可以构造三次参数样条曲线给定一组型值点 P i (x i, y i, z i ), i =0,1,,n, 构造 3 个关于参数 u 的插值三次样条函数 : x =x(u), y =y(u), z =z(u) 它们插值于点集 (u i,x i),(u i,y i) 和 (u i,z i ), 三者合并得到三次参数样条曲线 : P(u) =[x(u) y(u) z(u)] 参数 u 有多种选择, 采用累加弧长是最直观的但由于在得到曲线之前, 无法计算弧长因此实际应用中多采用累加弦长作为参数构造样条曲线, 并称其为累加弦长参数样条曲线, 简称参数样条曲线用 u i 代表各型值点的弦长参数, 则 : =0 u 0 u k k = i =1 其中, k =1,2,,n 由此, 得到参数及型值点的数据表 : (x i -x i -1 ) 2 +( y i -y i -1 ) 2 +( z i -z i -1 ) 2 C n

202 u u 0 u 1 u 2 u n x x 0 x 1 x 2 x n y y 0 y 1 y 2 y n 曲线与曲面第 7 章 189 z z 0 z 1 z 2 z n 分别构造 3 个插值样条函数 : x =x(u),y =y(u),z =z(u), 得到分段三次多项式函数组合的参数样条曲线, 该曲线是二阶连续的, 具有连续的斜率和曲率三次插值样条函数在实际应用中很难给出数据点处的切矢采用不同的方法计算切矢, 生成的曲线不相同这说明该方法还不是纯几何的方法, 根据给定的数据点, 还没有惟一地确定曲线绘图过程中几何意义还不够明显而且切矢计算是整体求解, 改变一点, 所有切矢计算结果都跟着变化, 正所谓牵一发而动全身, 不具备局部修改性所以,CAGD(computer aided geometry design) 后来又发展出若干种更优化的曲线三次样条曲面参数样条曲面是参数样条曲线方法向曲面的直接推广但参数样条曲面与参数样条曲线不完全一致, 单条曲线不论型值点是否匀称, 均可用参数样条方法构造较好的插值曲线而参数样条曲面不同, 因为同一方向的所有曲线的参数化需综合考虑, 型值点分布匀称时 ( 图 7 唱 5) 易于实现 ; 当型值点分布不匀称 ( 图 7 唱 6) 时, 难于参数化, 参数样条曲面不适宜必须寻找其他几何意义明确局部修改性良好的曲线曲面构造方法图 7 唱 5 型值点分布匀称情形图 7 唱 6 型值点分布不匀称情形 Bézier 曲线 7.3 Bézier 曲线和曲面 Bézier 曲线是法国雷诺汽车公司的工程师 Bézier 于 1962 年提出,1972 年在 UNISURF 系统中正式投入使用 Bézier 曲线采用一组特殊的基函数, 使得基函数的系数具有明确的几何意义其曲线方程为 :

203 计算机图形学 190 n p(t) = a i f i (t) 0 t 1 i =0 其中从 a 0 到 a n 首尾相连的折线称为 Bézier 控制多边形 ( 图 7 唱 7) n f i (t) = (-1) i +j C j C i -1 n j -1 tj j =i 当 n =3 时,Bézier 基函数为 : f 0 (t) =1 i =0,1,,n f 1 (t) =3t -3 t 2 +t 3 f 2 (t) =3t 2-2 t 3 图 7 唱 7 边矢量定义的控制多边形及生成 Bézier 曲线 f 3 (t) =t 3 英国的 Forest 于 1972 年将上述 Bézier 曲线中的控制多边形顶点改为绝对矢量的 Bernstein 基表示形式 : n p(t) = d i B i,n (t) i =1 0 t 1 当 n =3 时, B i,n (t) =C i n t i (1 -t) n -i B 0,3(t) =(1 -t) 3 i =0,1,,n B 1,3(t) =3t(1 -t) 2 B 2,3 (t) =3t 2 (1 -t) B 3,3(t) =t 3 Bézier 基函数曲线如图 7 唱 8 所示, 而 Bernstein 基函数曲线如图 7 唱 9 所示 D:\10-24\ 新建文件夹 \ 计算机图形学 ( 普通高等院校计算机专业 ( 本科 ) 实用图 7 唱 8 Bézier 基函数 (n =3) 图 7 唱 9 Bernstein 基函数 (n =3)

204 曲线与曲面三次 Bézier 曲线的矩阵表示形式为 : p(t) =[1 t t 2 t 3 ] d 0 d 1 d 2 d 3 第 7 章 191 单一的 Bézier 曲线不能满足描述复杂形状的要求, 必须采用组合的 Bézier 曲线 Bézier 曲线的优点是具有明确的几何意义, 给定数据点的控制多边形确定曲线的形状, 在设计过程中具有很强的可操作性但 Bézier 曲线是整体计算, 修改一点会影响到整体, 这是 Bézier 曲线的不足之处对于局部参数的 Bézier 曲线, 当弦长差异较大时, 同样存在 Ferguson 曲线的问题连接点处的公共切矢可能使得弦长较长的那段曲线过分平坦, 弦长较短的那段曲线则鼓得厉害, 甚至出现尖点或二重点在参数连续的前提下, 可采用整体参数的方法, 采用非均匀的参数分割, 为曲线形状控制提供了额外的手段参数连续是对曲线光顺性的过分要求, 在组合曲线的连接点处, 参数连续不仅要求切矢具有共同的切矢方向, 而且要求切矢模长相等几何连续只要求在连接点处切矢方向相同, 切矢模长可以不相等, 由此产生了不同控制手段的多种曲线, 如 Gamma(γ) 样条曲线 Beta(β) 样条曲线等, 给曲线设计提供了更大的灵活性 Bézier 曲面 1.Bézier 曲面片的定义如图 7 唱 10,r ij 表示要生成 Bézier 曲面片的控制顶点的位置矢量根据线动成面的思想, 首先生成 4 条 v 向的三次 Bezier 曲线 : 3 r i ( v) = r ij B j,3 (v) i =0,1,2,3 j =0 再沿 u 向生成三次 Bézier 曲线 : 3 倡 r( u) = r i (v )B i,3 ( u) i =0 倡 r i(v ) 表示 v 向曲线参数 v 取一定值时曲线上点的位置矢量将 u,v 向曲线方程合并得 : 匙 r 3 (u,v) = i =0 图 7 唱 r i (v)b i,3 (u) = B i,3 (u)r(i,j)b j,3 (v) i =0 j =0 Bézier 曲面片

205 计算机图形学匙 r 匙 00 r 匙 01 r 匙 02 r 03 B 0,3(v) 192 =( B 0,3 (u) B 1,3 (u) B 2,3 (u) B 3,3 (u)) 匙 r 匙 r 匙 r 匙 10 r 匙 20 r 匙 30 r 匙 11 r 匙 21 r 匙 31 r 匙 12 r 13 匙 22 r 23 匙 32 r 33 B 1,3 (v) B 2,3 (v) B 3,3 (v) =( 1 uu 2 u 3 ) 匙 r 匙 r 匙 r 匙 r 匙 00 r 匙 10 r 匙 20 r 匙 30 r 匙 01 r 匙 11 r 匙 21 r 匙 31 r 匙 02 r 03 匙 12 r 13 匙 22 r 23 匙 32 r C 0 连续的 Bézier 组合曲面 ( 位置连续 ) 用 Bézier 曲面片组合曲面时, 曲面拼合处位置连续, 即要求 : r 1 (1,v) =r 2 (0,v) ( 其中上标表示曲面片 1 或曲面片 2) [1111]AM 1 A T =[ ]AM 2 A T [ ] 匙 r 匙 r 匙 r 匙 r 匙 00 r 匙 10 r 匙 20 r 匙 30 r 匙 01 r 匙 11 r 匙 21 r 匙 31 r 匙 02 r 03 匙 12 r 13 匙 22 r 23 匙 32 r v v 2 v 3 =[ ] 匙 r 匙 r 匙 r 匙 r 匙 00 r 匙 10 r 匙 20 r 匙 30 r 匙 01 r 匙 11 r 匙 21 r 匙 31 r 匙 02 r 03 匙 12 r 13 匙 22 r 23 匙 32 r 33 2 匙 r 匙 00 r 匙 01 r 匙 02 r 03 1 [ ] 匙 r 匙 r 匙 10 r 匙 20 r 匙 11 r 匙 21 r 匙 12 r 13 匙 22 r 23 匙 r 匙 30 r 匙 31 r 匙 32 r 33 匙 r 匙 00 r 匙 01 r 匙 02 r 03 2 =[ ] 匙 r 匙 r 匙 10 r 匙 20 r 匙 11 r 匙 21 r 匙 12 r 13 匙 22 r 23 匙 r 匙 30 r 匙 31 r 匙 32 r 33 即 : r 1 3 i =r 2 0 i, 图 7 唱 11 为两张 Bézier 曲面片 C 0 连续的示意图

206 曲线与曲面第 7 章 193 图 7 唱 11 两张 Bézier 曲面片 C 0 连续的示意图 3.C 1 连续的 Bézier 组合曲面 ( 导矢连续 ) 若要得到跨界一阶导矢的连续性, 对于 0 v 1, 曲面片 1 在 u =1 的切平面和曲面片 2 在 u =0 处的切平面重合, 曲面的法矢在跨界处连续, 即 : r 2 u (0,v) r 2 v (0,v) =λ(v)r 1 u (1,v) r 1 v (1,v) 其中,λ(v) 是考虑法矢模长的不连续因为 r 2 v (0,v) =r 1 v (1,v), 令 r 2 u (0,v) =λ(v)r 1 u (1,v), 组合曲面所有等 v 线的梯度连续用矩阵表示为 : [ ]Ar 2 A T [V] =λ(v)[ ]Ar 1 A T [V] 取 λ(v) =λ, 得 :(r 2 1 i -r 2 0 i )=λ( r 1 3 i -r 1 2 i ), 表明跨界的四对棱边必须共线图 7 唱 12 为两张 Bézier 曲面片 C 1 连续的示意图图 7 唱 12 两张 Bézier 曲面片 C 1 连续的示意图要求跨界切矢的比值不变是非常苛刻的限制, 为了更自由地进行曲面的拼合, 可采用如下的较宽松的条件 : r 2 u (0,v) =λ(v)r 1 u (1,v) +μ(v) r 1 v (1,v) 要求 r 2 u (0,v) 位于 r 1 u (1,v) 和 r 1 v (1,v) 的平面内矩阵表示为 :

207 计算机图形学 v [ ] AM 2 A T v 2 v 3 1 =λ(v)[ ]AM 1 A T v +μ(v)[ ]AMA T v 2 v 3 要求两边都展开为 v 的三次多项式, 则 λ(v) =λ( 任意正常数 )μ(v) =μ 0 多项式对应 v 的幂次的系数相等, 得到如下 4 个等式 : r r 2 00 =λ(r r 1 20 ) +μ 0 (r r 1 30) r r 2 01 =λ(r r 1 21 ) μ 0 (2r r r 1 30) μ 1 (r r 1 30 ) 0 1 2v 3v 2 +μ 1 v r r 2 02 =λ(r r 1 22 ) μ 0 ( r r r 1 31) μ 1 (r r 1 31 ) r r 2 03 =λ(r r 1 23 ) +(μ 0 +μ 1 )(r r 1 32) 选择不同的系数 λ,μ 0,μ 1, 可以得到不同的连续条件 7.4 B 样条曲线和曲面 B 样条曲线具有 Bézier 曲线的一切优点, 克服了 Bézier 曲线不具有局部修正的缺点它是 Schocenberg 于 1946 年提出的,1972 年,deBoor 和 Cox 分别给出 B 样条的递推定义作为 CAGD 中的一种形状描述的数学方法是 Gordon 和 Riesenfeld 于 1974 年在研究 Bézier 曲线的基础上给出的 B 样条曲线方程为 : n p(u) = d i N i,k (u) (7 唱 20) i =1 其中, d i (i =0,1,,n) 为控制顶点, 基函数 N i,k (u) 采用 deboor 和 Cox 给出的递推定义, K 次规范 B 样条基函数具体定义如下 :

208 N i,0 (u) = 1 u i u <u i +1 0 其他曲线与曲面第 7 章 N i,k (u) = u -u i N i,k -1 (u) + u i +K +1 -u N i +1,K -1 (u) u i +K -u i -u i +1 规定 0 0 =0 u i +K +1 其中, u i (i =0,1,,n) 是对应于给定数据点的节点参数均匀 B 样条曲线 (7 唱 21) 195 当 K =3, 且采用均匀参数化时, 由式 (7 唱 20) 和式 (7 唱 21) 得到三次均匀 B 样条曲线段 : S( t) = 1 6 [1 t t2 t 3 ] d i d i +1 d i +2 d i +3 其中,0 t = u -u i 1, i =0,1,,n -3 u i +1 -u i 在分段连接点处 B 样条曲线的值和导矢量为 : S i -1 (1) =S i (0) = 1 6 (d i +4 d i +1 +d i +2 ) S i -1 (1) =S i (0) = 1 2 (d i +2 -d i ) (7 唱 22) S i -1 (1) =S i (0) =d i +2-2 d i +1 +d i 式 (7 唱 22) 所描述的 B 样条曲线段的几何特性如图 7 唱 13 所示图 7 唱 13 三次均匀 B 样条曲线段的几何特性曲线段首点位于以 d i d i +1 和 d i +1 d i +2 为邻边的平行四边形的 1/6 处 ; 其切矢与 d i d i +2

209 计算机图形学 196 平行, 模为长度的 1/2; 首点二阶导矢是以 d i +1 d i 和 d i +1 d i +2 为邻边的平行四边形的对角线曲线段末点有类似的结论由图 7 唱 13 可以看出 : (1) 当 d i,d i +1 和 d i +2 三点共线时, 曲线段起点 S i (0) 处二阶导数 S i (0) 为 0,S i (0) 可能为拐点 ( 如图 7 唱 14); 图 7 唱 14 三顶点共线情形图 7 唱 15 二顶点重合情形 (2) 当 d i,d i +1,d i +2 和 d i +3 四点共线时, 其所定义的曲线段退化为直线段 ; (3) 当 d i +1 和 d i +2 二顶点重合时, 曲线段起点 S i (0) 和末点 S i (1) 分别与 d i d i +1 和 d i +1 d i +2 相切, 且端点曲率为 0( 如图 7 唱 15); (4) 当 d i +1, d i +2 和 d i +3 三顶点重合时, 则曲线段在重点处出现尖点, 重点与前点和后点在尖点前后各形成一段直线段 ( 如图 7 唱 16) 曲线的上述退化情形在实际设计中很有用, 如图 7 唱 17 是应用曲线退化情形设计的尖点和直线段对于三次均匀 B 样条曲线, 计算对应于参数 [ u i, u i +1 ] 这段曲线上的一点, 要用到 N i -3, 3 (u) N i -2, 3 (u) N i -1, 3 (u) N i,3 (u) 4 个基函数, 涉及 u i -3 到 u i +4 共 8 个节点的参数值 ( 如图 7 唱 18) B 样条曲线的基函数是局部支撑的, 修改一个数据点, 在修改处影响最大, 对其两侧的影响快速衰减, 其影响范围只有前后各 K 段曲线, 对曲线的其他部分没有影响这是计算机辅助几何设计所需要的局部修改性均匀 B 样条曲线未考虑曲线数据点的分布对参数化的影响, 当曲线弦长差异较大时, 弦长较长的曲线段比较平坦 ( 如图 7 唱 19( a)), 而弦长较短的曲线段则鼓胀, 甚至于因过冲而产生扭结 ( 如图 7 唱 19(b)) 这些问题在后面讲述的非均匀 B 样条曲线会有所改善均匀 B 样条曲面 B 样条曲线是由一个特征多边形定义的,B 样条曲面则由一组特征多边形构成的网格定义的如图 7 唱 20, 给定 16 个顶点 d ij (i =1,2,3,4, j =1,2,3,4) 构成的特征网格, 可以定义一张曲面片

210 曲线与曲面第 7 章 197 图 7 唱 16 三顶点重合情形图 7 唱 17 利用曲线退化绘制的曲线实例图 7 唱 18 三次均匀 B 样条曲线所用的基函数图 7 唱 19 均匀 B 样条曲线生成的实例首先用 d i1 d i2 d i3 d i4 ( i =1,2,3,4 ) 沿 v 向构建 4 条曲线 C 1 C 2 C 3 和 C 4 ( 图中虚线表示 ), 然后让参数 v 在 [0,1] 之间取值, 对应于 v k 曲线 C 1 C 2 C 3 和 C 4 上可得到 V 1 k V 2 k V 3 k 和 V 4 k 4 个点, 该 4 个点构成 u 向的一个特征多边形, 定义一条新的曲线 P( u,v k ), 当参数 v k 在 [0,1] 之间取不同值时, P ( u, v k ) 沿箭头方向扫描, 即得到由给定特征网格 d ij (i =1,2,3,4, j =1,2,3,4) 定义的双三次均匀 B 样条曲面片 P(u,v) 双三次均匀 B 样条曲面片 P(u,v) 可表示为 :

211 计算机图形学 198 图 7 唱 20 特征网格及其定义的双三次均匀 B 样条曲面片 P(u,v) =(1 uu 2 u 3 ) d 11 d 12 d 13 d 14 d 21 d 22 d 23 d 24 d 31 d 32 d 33 d 34 d 41 d 42 d 43 d 为了使生成的曲面片通过特征网格的 4 个角点, 可采用 B 样条曲线重节点的方法, 即在 v 向和 u 向构建曲线时, 分别在特征多边形的端点处作重节点处理, 则生成的曲线过端点, 双向计算后得到的曲面通过特征网格的 4 个角点上述过程叙述的是给定特征网格, 定义一张曲面实际应用中, 还需要根据给定的曲面反求特征网格的顶点, 以便进行新的设计这部分内容将在后面相关章节介绍曲线反求控制多边形顶点的基础上简要介绍 v v 2 v 3

212 7.5 非均匀有理 B 样条曲线曲面非均匀 B 样条曲线曲面曲线与曲面第 7 章非均匀 B 样条基函数考虑曲线弦长的影响, 则曲线的基函数不再具有同样的格式, 必须根据给定数据点进行弦长参数化, 然后根据基函数的定义式 (7 唱 21) 用如下的递归函数计算基函数 N i,k ( u) 的值 : //k 次规范 B 样条基函数 //i =0,1,,n 表示控制顶点次序 //U[i](i =0,1,,n) 是对应于给定数据点的节点参数 double BsplineFunction (int i, int k,double u) { double sigama1,sigama2; if(k ==0) { if((u[i] <=u) && (u <U[i +1])) return 1; else return 0; } else { if((u[i +k] -U[i]) <1e -10) sigama1 =0.0; else sigama1 =( t -U[i])/(U[i +k] -U[i]); if((u[i +k +1] -U[i +1]) <1e -10) sigama2 =0; else sigama2 =( U[i +k +1] -u)/(u[i +k +1] -U[i +1]); return sigama1 倡 BsplineFunction ( i, k - 1, u ) + sigama2 倡 BsplineFunction (i +1,k -1,u); } } 非均匀 B 样条的节点参数可采用 Hartley 唱 Judd 方法, 即所画曲线段对应的控制多边形的长度与总控制多边形的长度之比确定节点参数 :

213 计算机图形学 200 u i -u i -1 = n +1 s =K +1 i -1 l j j =i -K s -1 l j j =s -K i =k +1,k +2,,n 计算出节点参数后, 就可以用上述递归函数计算基函数 N i,k ( u) 的值得到基函数的值, 即可以用如下的曲线方程计算各段曲线上的点 : i +3 p(u) = d j N j,k (u) j =i 其中, u [u i +3,u i +4 ] 炒 [u 3,u n +3 ], i =0,1,,n -1 非均匀 B 样条曲线考虑了弦长的影响, 曲线不会因为节点分布不均匀而产生过冲和扭结, 如图 7 唱 21 是用同样的数据点生成的均匀 B 样条曲线和非均匀 B 样条曲线由图中可以看出, 非均匀 B 样条曲线比均匀 B 样条曲线具有更好的光顺性图 7 唱 21 非均匀 B 样条曲线比 B 样条曲线更符合数据点的分布 2. 非均匀 B 样条曲线的实现根据非均匀 B 样条曲线方程, 计算曲线上的点需要对应参数区间上的基函数的值和控制多边形的顶点基函数的值根据给定数据点的参数化进行计算控制多边形的顶点依据曲线是否通过给定数据点确定, 若生成的曲线不通过给定数据点, 则给定数据点就是控制多边形顶点 ; 若生成的曲线通过给定数据点, 则首先必须根据给定数据点反求控制多边形的顶点, 然后再代入曲线方程 (1) 不过点三次非均匀 B 样条曲线给定数据点 d i (i =0,1,,n -1 ) 就是控制多边形的顶点不过点三次非均匀 B 样条开口和闭合曲线需分别处理 1 开口曲线的处理对于开口曲线,n 个数据点只画 n -3 段曲线, 需 n -2 个节点参数而计算 [ U i, U i +1 ] 上的一点, 要用到除它们之外的前 3 个和后 3 个节点参数, 所以在首尾各添加 3 个节点参数, 一共需要 n +4 个节点参数值为使曲线过给定数据的首末点 ( 如图 7 唱 22), 令

214 曲线与曲面 U 0 =U 1 =U 2 =0;U n +1 =U n +2 =U n +3 =1 ; 全部节点参数为 : U 0 =U 1 =U 2 =0 ; U K,U K +1,, U n ;U n +1 =U n +2 =U n +3 =1;U K =0;U i, i =K +1, K +2,, n 用 Hartley 唱 Judd 方法, 即所画曲线段对应的控制多边形的长度与总控制多边形的长度之比确定节点参数 : i -1 l j j =i -K u i -u i -1 = n +1 s -1 i =k +1,k +2,,n l j s =K +1 j =s -K 第 7 章 201 图 7 唱 22 不过点非均匀 B 样条曲线图 7 唱 23 不过点闭合非均匀 B 样条曲线计算出节点参数后, 就可以用上述递归函数计算基函数 N i,k ( u) 的值, 得到基函数的值, 就可以代入曲线方程计算各段曲线上的点 2 闭合曲线的处理与开口曲线不同, 闭合曲线为使曲线首末点闭合, 控制多边形顶点链表需循环重叠使用图 7 唱 23 是 4 个控制多边形顶点的重叠使用生成闭合曲线的情形对于闭合曲线,n 个数据点画 n 段曲线, 需 n +1 个节点参数曲线 ; 首尾通过循环重叠各添加 3 个节点参数, 共 n +7 个节点参数由于不过点闭合曲线, 不通过控制多边形的首末点, 全部节点参数为 : U 0 =0 <U 1 <U 2 <U K <U K +1 < <U n +3 <U n +4 <U n +5 <U n +6 =1 各节点的参数采用 Hartley 唱 Judd 方法, 从记录控制顶点的链表首点的前 3 点开始计算计算出节点参数后, 就可以计算基函数 N i,k ( u) 的值, 然后用曲线方程计算各段曲线上的点 (2) 过点三次非均匀 B 样条曲线过点三次非均匀 B 样条曲线也分为开口和闭合两种情形给定的数据点 P i ( i =0, 1,,n -1 ) 是曲线上的点由曲线方程知, 必须先计算出节点参数, 再计算基函数 N i,k (u) 的值, 代入曲线方程, 才能反算出控制多边形的顶点 1 开口曲线的处理如图 7 唱 24,n 个曲线上的数据点 P i, 需反求出 n +2 个控制顶点 d i, 画 n -1 段曲线, 需 n 个节点参数 ; 为使曲线过首末点, 在曲线首端重 3 段曲线首段的长度, 在曲线的末端重 3

215 计算机图形学 202 段曲线末段的长度, 首尾各添加 3 个节点参数, 一共需要 n +6 个节点参数值所有节点参数为 : U 0 =0 <U 1 <U 2 <U K <U K +1 < <U n +2 <U n +3 <U n +4 <U n +5 =1 U i =U i -1 + l i -1 L 图 7 唱 24 过点开口三次非均匀 B 样条曲线其中, i =1, 2,,n +5 ; L 为包含附加段在内的总长根据节点矢量计算基函数 N i,k (u) 的值, 代入曲线方程可以计算 n 个已知的曲线上的点, 得如下方程 : i +3 p(u i +3 ) = d jn j,k (u i +3 ) =p i j =i 其中, u [u i +3,u i +4 ] 炒 [u 3,u n +2 ],i =0,1,,n -1 写成矩阵形式如下 : 对于开口曲线,d 0 =P 0, d n +1 =P n -1, 上述方程组是追赶法能够求解的三对角方程求出 d 0,d 1,,d n,d n +1 共 n +2 个控制顶点, 即可以画出 n -1 曲线 2 闭合曲线的处理如图 7 唱 25 是过点闭合三次非均匀 B 样条曲线示例给定 n 个曲线上的数据点 P i, 反求出 n 个控制顶点 d i, 画 n 段曲线, 需 n +1 个节点参数 ; 首尾通过节点循环重叠各添加 3 个节点参数, 一共需要 n +7 个节点参数值计算节点参数时, 从记录曲线上点的链表表头的前 3 点开始计算, 所有节点参数为 :

216 曲线与曲面 U 0 =0 <U 1 <U 2 <U K <U K +1 < <U n +3 <U n +4 <U n +5 <U n +6 =1 U i =U i -1 + l i -1 L 其中, i =1,2,,n +6, L 为包含重叠段在内的总长根据节点矢量计算基函数 N i,k ( u) 的值, 代入曲线方程可以计算 n 个已知的曲线上的点, 得如下方程 : i +3 p(u i +3 ) = d j N j,k (u i +3 ) =p i j =i 其中,u [u i +3,u i +4 ] 炒 [u 3,u n +3 ],i =0,1,,n -1 对于闭合曲线, 控制多边形的首末点不再已知, 所以图 7 唱 25 过点闭合三次非上述方程组不是追赶法能够求解的三对角方程用均匀 B 样条曲线迭代法求出 d 0,d 1,,d n -1 共 n 个控制顶点, 通过链表循环画出 n 段曲线第 7 章非均匀三次 B 样条曲面非均匀三次 B 样条曲面的生成过程与均匀 B 样条曲面相同根据线动成面的思路, 首先沿一参数方向生成曲线, 然后让另一参数在 [0,1] 范围内变化, 在已生成的曲线上取点构成新的控制多边形, 生成曲面上的一条线, 随着 v 的变化, 所生成的曲线构成一张曲面应用非均匀 B 样条生成曲面有一定的局限性, 当同一参数方向各型值点的分布规律接近时, 所生成的非均匀 B 样条曲面结果比较满意

217 计算机图形学有理 B 样条曲线 204 非均匀 B 样条考虑节点分布不匀称的影响, 但与所有已介绍的计算曲线一样, 非均匀 B 样条不能精确表达二次曲线曲面, 采用有理 B 样条, 可以统一表达自由曲线曲面和二次曲线曲面有理 B 样条曲线的表达式为 : P(u) = 其中,ω i (i =0,1,,n) 称为权因子 n ω i d i N i,k (u) i =0 n ω i N i,k (u) i =0 N i,k (u) 是式 (7 唱 21) 中定义的 B 样条基函数当基函数为二次均匀 B 样条基函数时, 可得二次有理 B 样条曲线表达式 : 令 ω = 1 2 [1 u u2 ] 达式 : P(u) = (1 -u) 2 ω 0 d 0 +(1 +2u -2 u 2 )ω 1 d 1 +u 2 ω 2 d 2 (1 -u) 2 ω 0 +(1 +2u -2 u 2 )ω 1 +u 2 ω 2 (7 唱 23) ω 0 ω 1 ω 2 ωp(u) = 1 2 [1 u u2 ] 图 7 唱 26 所示为二次有理 B 样条曲线的示例, 则二次有理 B 样条曲线可写成如下的矩阵表 ω 0 d 0 ω 1 d 1 (7 唱 24) ω 2 d 2 图 7 唱 26 二次有理 B 样条曲线及其控制多边形由式 (7 唱 24) 可推导出 :

218 曲线与曲面 P 0 =P(0) = ω 0 d 0 +ω 1 d 1 ω 0 +ω 1 P 1 =P(1) = ω 1 d 1 +ω 2 d 2 ω 1 +ω 2 第 7 章 205 P 0 =P (0) = 4ω 1 ω 0 +ω 1 (V 1 -P 0 ) P 1 =P (1) = 4ω 1 ω 1 +ω 2 (P 1 -V 1 ) 由式中可以看出, 比值 ω 0 /ω 1 ω 1 /ω 2 确定曲线段首末点在 d 0 d 1 和 d 1 d 2 的位置, 首末端点的切矢与其所在的边的方向一致权因子可以调节曲线形状, 正权因子将曲线引向顶点, 负因子作用相反 ω 0 ω 2 是二次有理 B 样条曲线的参数变换不变量, 其值决定二次曲线的分类 : ω 2 0 ω 0 ω 2 ω 2 0 >1 =1 <1 椭圆抛物线双曲线 ω 0 若令 ω = 1 6 [1 u u2 u 3 ] ω 1 ω 2, 则三次有理 B 样条曲线可写成 ω 3 如下的矩阵表达式 : ωp(u) = 1 6 [1 u u2 u 3 ] ω 0 d 0 ω 1 d 1 ω 2 d 2 ω 3 d 非均匀有理 B 样条曲线曲面有理 B 样条曲线采用非均匀的基函数, 则称为非均匀有理 B 样条曲线 ( non 唱 uniform rational b 唱 spline,nurbs) 曲线非均匀有理 B 样条曲线的表达式为 : P(u) = 其中,ω i(i =0,1,,n) 称为权因子 n ω i d i N i,k (u) i =0 n ω i N i,k (u) i =0

219 计算机图形学 206 NURBS 曲线在有理 B 样条曲线的基础上, 考虑了节点分布不匀称对基函数的影响, 同时能够精确地描述二次圆锥曲线目前已纳入到产品形状定义的工业标准之中很多软件或程序具有生成 NURBS 曲线和曲面的功能下节介绍用 OpenGL 生成 NURBS 曲线和曲面 7.6 用 OpenGL 生成曲线和曲面用 OpenGL 生成 NURBS 曲线在 OpenGL 中,GLU 函数库提供了一个 NURBS 接口用户需要提供的数据包括控制点节点等数据, 控制点描述曲线的大致形状, 节点控制 B 样条函数的形状绘制一条 NURBS 曲线的步骤如下 : 1 提供控制点序列和节点序列 ; 2 创建一个 NURBS 对象, 设置 NURBS 对象属性 ; 3 绘制曲线创建一个 NURBS 对象, 用如下两条语句 : GLUnurbsObj 倡 thenurbs; thenurbs =glunewnurbsrender( ); 创建对象后, 用如下函数设置 NURBS 对象属性 : void glunurbsproperty(glunurbsobj 倡 nobj,glenum property,glfloat value); nobj 是 glunewnurbsrender( ) 函数创建的 NURBS 对象 property 是 OpenGL 的常量, 属性值 value 详见 OpenGL 专著有关说明曲线的绘制是在 glubegincurve( )/gluendcurve( ) 函数对中完成绘制曲线的函数为 : void glunurbscurve (GLUnurbsObj 倡 nobj,glint nknots,glfloat 倡 knot, GLint stride, GLfloat 倡 ctlarray, GLint order, GLenum type); 参数含义在下面程序实现中解释用 OpenGL 绘制一条 NURBS 曲线 : 在视口类中添加成员函数 DrawNurbsCurve(), 具体实现如下 : void CView DrawNurbsCurve( ) { GLfloat controlpoints[7][3] ={{ -1.5f, -0.5f, 0.0f},{-1.0f, 1.0f, 0.

220 曲线与曲面 0f}, {-0.5f, -0.5f, 0.0f}, {0.0f, -2.0f, 0. 0f}, { 0.5f, -0.5f, 0.0f}, {1.0f, 1.0f, 0.0f}, {1.5f, -0.5f, 0.0f} };// 给定控制点 GLfloat knots[14] ={ 0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f }; // 节点 glcolor3f (0.0f, 0.0f, 1.0f); GLUnurbsObj 倡 thenurb; // 创建 NURBS 对象 thenurb =glunewnurbsrenderer( ); 第 7 章 207 } glunurbsproperty (thenurb, GLU_SAMPLING_TOLERANCE, 10.0); // 属性 //GLU_SAMPLING_TOLERANCE 表示边缘最大像素长度 glnewlist(1, GL_COMPILE); glubegincurve(thenurb); glunurbscurve(thenurb, / 倡 NURBS 曲线对象倡 / 14, / 倡参数区间节点数目 = 控制点数 +NURBS 曲线阶数倡 / knots, / 倡节点倡 / 3, / 倡曲线控制点之间的偏移量倡 / (float 倡 )controlpoints, / 倡控制点倡 / 7, / 倡曲线阶数倡 / GL_MAP1_VERTEX_3); / 倡曲线类型倡 / gluendcurve(thenurb); glendlist(); glcalllist(1); 如图 7 唱 27 是生成的 NURBS 曲线用 OpenGL 生成 NURBS 曲面 NURBS 曲面的绘制与 NURBS 曲线的绘制过程是一致的但曲面是二维参数曲面, 需定义两个节点序列绘制一张 NURBS 曲面的步骤如下 : 1 给定控制点序列和节点序列 ; 2 给出或自动生成法矢序列 ; 3 创建 NURBS 对象并确定属性 ; 4 进行光照 ;

221 计算机图形学 208 图 7 唱 27 OpenGL 绘制的 NURBS 曲线 5 激活各种所需功能 ; 6 绘制曲面 ; 7 挂起各种已用功能绘制 NURBS 曲面的函数是 : void glunurbssurface (GLUnurbsObj 倡 nobj, GLint sknot _ count, GLint 倡 sknot, GLint tknot_count,glint 倡 tknot,glint s_stride, GLint t_stride, Glfloat 倡 ctlarray, GLint sorder, GLint torder, GLenum type); 参数含义在下面程序实现中解释在视口类中添加成员函数 DrawNurbsSurface(), 具体实现如下 : void CView NurbsSurface() { GLfloat controlpoints[4][4][3] ={ {{ -0.5f, -1.0f,1.0f},{-0.2f, -1.0f,0.5f}, {0.2f, -1.0f,0.0f},{1.0f, - 1.0f, 0.5f}}, {{ -0.5f,-0.5f,1.0f},{ -0.2f, -0.5f,0.5f},{0.2f,-0.5f,0.0f},{1.0f, -0. 5f,0.5f}}, {{ -0.5f,0.5f,1.0f},{ -0.2f,0.5f,0.5f},{0.2f,0.5f,0.0f},{1.0f,0.5f,0. 5f}}, {{ -0.5f,1.0f,1.0f},{ -0.2f,1.0f,0.5f},{0.2f,1.0f,0.0f},{1.0f,1.0f,0.

222 曲线与曲面 5f}} };// 给定控制多面体的顶点 GLfloat sknots[8] ={0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f}; // 参数 s 的节点 GLfloat tknots[8] ={0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f}; // 参数 t 的节点 Lighting(); // 光照函数, 见后面定义 gldepthfunc(gl_less); glenable(gl_auto_normal); // 自动计算法矢 glenable(gl_normalize); // 法矢规范化 GLUnurbsObj 倡 thenurb; thenurb =glunewnurbsrenderer(); // 创建 NURBS 对象及属性 glunurbsproperty (thenurb, GLU_SAMPLING_TOLERANCE, 25.0); // 属性 glunurbsproperty(thenurb, GLU_DISPLAY_MODE, GLU_FILL); // 绘制 glnewlist (1, GL_COMPILE); glubeginsurface(thenurb); glunurbssurface(thenurb, 8, sknots, / 倡 s 向节点数目与节点倡 / 8, tknots, / 倡 t 向节点数目与节点倡 / 3, / 倡倡 / 12, / 倡倡 / (float 倡 )controlpoints, / 倡控制多面体的顶点倡 / 4, 4, / 倡两参数方向曲面的阶数倡 / GL_MAP2_VERTEX_3); / 倡倡 / gluendsurface(thenurb); glendlist(); glpushmatrix(); glscalef(1.2f,1.2f,1.2f); glrotatef(45.0f,1.0f,0.0f,0.0f); glrotatef(30.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f); glcalllist (1); glpopmatrix(); gldisable(gl_auto_normal); gldisable(gl_normalize); gldisable(gl_lighting); } void CView Lighting() 第 7 章 209

223 计算机图形学 210 { } GLfloat lightamb[] ={ 0.2f, 0.2f, 0.2f, 1.0f }; GLfloat lightpos[] ={ 1.0f, 1.0f, 2.0f, 1.0f }; GLfloat matdiffuse[] ={ 0.0f, 0.7f, 0.7f, 1.0f }; GLfloat matspecular[] ={ 1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f }; GLfloat matshininess[] ={ 60.0f }; glenable(gl_lighting); glenable(gl_light0); gllightfv( GL_LIGHT0, GL_AMBIENT, lightamb); gllightfv(gl_light0, GL_POSITION, lightpos); glmaterialfv(gl_front, GL_DIFFUSE, matdiffuse); glmaterialfv(gl_front, GL_SPECULAR, matspecular); glmaterialfv(gl_front, GL_SHININESS, matshininess); 如图 7 唱 28 是生成的 NURBS 曲面图 7 唱 28 OpenGL 绘制的 NURBS 曲面用 OpenGL 生成裁剪 NURBS 曲面 OpenGL 提供了对曲面进行剪切的功能利用这个功能可以生成包含空洞的曲面剪切区域由一条闭合曲线定义内部边界节点按顺时针方向给出, 边界右侧是被剪切的区域剪切曲线可由 glupwlcurve( ) 和 glunurbscurve( ) 或其组合定义 glupwlcurve( ) 的定义如下 : void glupwlcurve (GLUnurbsObj 倡 nobj,glint count,glfloat 倡 ctlarray, GLint stride, GLenum type); 参数含义在下面程序实现中解释

224 曲线与曲面在视口类中添加成员函数 NurbsSufacTrim(), 具体实现如下 : void CView NurbsSufacTrim() { GLfloat controlpoints[4][4][3] ={ {{ -0.5f,-1.0f,1.0f},{ -0.2f, -1.0f,0.5f},{0.2f, -1.0f,0.0f},{1.0f, -1. 0f,0.5f}}, {{ -0.5f,-0.5f,1.0f},{ -0.2f, -0.5f,0.5f},{0.2f,-0.5f,0.0f},{1.0f, -0. 5f,0.5f}}, {{ -0.5f, 0.5f, 1.0f}, { -0.2f, 0.5f, 0.5f}, {0.2f, 0.5f, 0.0f}, {1.0f, 0. 5f, 0.5f}}, {{ -0.5f, 1.0f, 1.0f}, { -0.2f, 1.0f, 0.5f}, {0.2f, 1.0f, 0.0f}, {1.0f, 1. 0f, 0.5f}} };// 给定控制多面体顶点 GLfloat sknots[8] ={0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f}; 节点 GLfloat tknots[8] ={0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f}; 节点 GLfloat edgepoint[5][2] ={{0.0f, 0.0f}, {1.0f, 0.0f}, {1.0f, 1.0f}, {0. 0f, 1.0f}, {0.0f, 0.0f} };// 外边界 : 逆时针 GLfloat pwlpoint[5][2] ={{0.75f, 0.75f}, {0.75f, 0.25f}, {0.25f, 0.25f},{0. 25f,0.75f}, {0.75f, 0.75f} };// 内边界 : 顺时针 Lighting(); // 光照 gldepthfunc(gl_less); glenable(gl_auto_normal); glenable(gl_normalize); GLUnurbsObj 倡 thenurb; thenurb =glunewnurbsrenderer(); // 创建 NURBS 对象及属性 glunurbsproperty (thenurb, GLU_SAMPLING_TOLERANCE, 25.0); // 属性 glunurbsproperty(thenurb, GLU_DISPLAY_MODE, GLU_FILL); // 绘制 glnewlist (1, GL_COMPILE); glubeginsurface(thenurb); glunurbssurface(thenurb, 8, sknots, 8, tknots, 3, // // 第 7 章 211

225 计算机图形学 , (float 倡 )controlpoints, 4, 4, GL_MAP2_VERTEX_3); glubegintrim ( thenurb); glupwlcurve (thenurb, 5, / 倡剪切曲线顶点数倡 / (float 倡 )edgepoint, / 倡剪切曲线顶点倡 / 2, / 倡倡 / GLU_MAP1_TRIM_2); gluendtrim (thenurb); glubegintrim ( thenurb); glupwlcurve (thenurb, 5, (float 倡 )pwlpoint, 2, GLU_MAP1_TRIM_2); gluendtrim (thenurb); gluendsurface(thenurb); glendlist(); / 倡倡 / } glpushmatrix(); glscalef(1.2f,1.2f,1.2f); glrotatef(10.0f,1.0f,0.0f,0.0f); glrotatef(30.0f,0.0f,0.0f,1.0f); glcalllist (1); glpopmatrix(); gldisable(gl_auto_normal); gldisable(gl_normalize); gldisable(gl_lighting); 如图 7 唱 29 是生成的 NURBS 曲面习题 7.1 依据曲线曲面设计方法的发展历程, 分析曲线曲面设计的要求 7.2 图示三次均匀 B 样条曲线控制顶点与曲线首末点及一阶导矢二阶导矢的关系 7.3 自行设计一个二次曲线 ( 圆椭圆抛物线或双曲线 ) 方程, 根据方程, 不均匀地采集一定数量已知二次曲线上的点, 设计程序过采样点画三次均匀 B 样条曲线和非均匀 B 样条曲线, 并与已知曲线比较

226 曲线与曲面第 7 章 213 图 7 唱 29 OpenGL 绘制的 NURBS 剪切曲面 7.4 自行设计一个椭球方程, 从椭球面上采集样点作为控制顶点, 利用 OpenGL 函数库编程绘制 NURBS 曲面 7.5 在 VC 环境下, 基于 OpenGL 编制交互式生成与编辑 NURBS 曲线的程序要求曲线的编辑功能包括增加删除和移动曲线控制点 7.6 在 VC 环境下, 基于 OpenGL 编制交互式生成与编辑 NURBS 曲面的程序要求能够设置曲面控制点阵个数生成初始点阵编辑节点位置等功能

227 第 8 章几何建模客观世界中的物体都是三维的, 真实地描述和显示客观世界中的三维物体是计算机图形学研究的主要内容对于规则的人造物体, 基于欧氏几何的几何模型能够较好地描述物体的几何信息和拓扑信息而对于树木花草河流山川火焰云雾等自然对象, 采用传统的几何模型很难描述, 基于分形几何的建模方法目前只能定性描述自然对象, 精确描述自然对象的建模方法尚处于发展之中, 本章重点介绍成熟的规则几何建模方法 8.1 概述几何模型描述物体的几何信息和拓扑信息几何信息是指物体在欧氏空间中的形状位置和大小, 拓扑信息则是指物体各分量的数目及其相互间的连接关系线框模型是计算机图形学较早采用的几何模型线框模型中物体只通过顶点和棱边来描述, 虽然所占的存储空间较少, 但没有包含全部的信息, 定义的物体存在多义性如图 8 唱 1 所示的长方体可以理解为图 8 唱 2 中的两种情形此外, 线框模型不能处理物体的侧影轮廓线, 也不能生成剖切图消隐图明暗色彩图等, 其应用范围很有限图 8 唱 1 线框模型表示的长方体图 8 唱 2 长方体线框模型的歧义表面模型是用面的集合来表示物体, 常用于表面不能用简单的数学模型进行描述的物体, 如汽车飞机船舶的一些外表面图 8 唱 3 和图 8 唱 4 是表面模型表示的物体表面模型能够表示外表面信息, 闭合表面表示的物体打孔时会出现如图 8 唱 4 所示的空洞, 即孔的四周没有内壁空壳表示的物体模型无法计算和分析物体的整体性

228 几何建模第 8 章 215 图 8 唱 3 表面模型表示的管状物体图 8 唱 4 表面模型表示的带孔平板质, 如体积重量转矩动量等实体模型能完整表示物体的所有形状信息, 并能够赋予颜色材料等特性, 满足物性计算有限元分析等应用的要求经过最近 20 多年的发展, 三维实体建模方法逐渐成熟, 在 CAD /CAM 影视动画游戏等众多领域得到应用常用的三维实体模型有体素构造表示法边界表示法和空间单元表示法等基本体素 8.2 体素构造表示法体素是可以用有限个尺寸参数定位和定形的体, 常用 3 种形式定义 : (1) 从实际形体中选择出来, 可用一些确定的尺寸参数控制最终位置和形状的一组单元如长方形圆柱体圆锥体圆环体球体等 (2) 由参数定义的一条 ( 或一组 ) 截面轮廓线沿一条 ( 或一组 ) 空间参数曲线作扫描运动而产生的形体 (3) 用代数半空间定义的形体, 在此半空间中点集可定义为 :{(x,y,z) f( x,y,z) 0}, 此处的 f 应该是不可约多项式, 多项式系数可以是形状参数半空间定义法只适用正则形体目前在一般的造型系统中, 通常给出一些基本体素, 这些体素的大小形状位置和方位均由操作者给定几个参数来确定随后系统对有关的参数进行验证, 确定其有效性如果各种基本体素都是由系统定义的有效实体, 并且组合算子也都是正则化的, 那么得出的实体模型就是有效的实体正则集合运算根据点集拓扑学的原理,Tilove 给出了正则集的定义正则的几何形体是由其内部点的闭包构成, 即由内部点和边界两部分组成对于几何造型中的形体, 规定正则形体是三维欧氏空间中的正则集合, 因此可以将正则几何体描述如下 : 假设 G 是三维欧氏空间

229 计算机图形学 216 中的一个有界区域, 且 G =bg ig, 其中 bg 是 G 的 n -1 维边界,iG 是 G 的内部 G 的补空间 cg 称为 G 的外部, 此时正则形体 G 必须满足以下的条件 : (1) bg 将 ig 和 cg 分为两个互不连通的子空间 ; (2) bg 中的任意一点可以使 ig 和 bg 连通 ; (3) bg 中任意一点存在切平面, 其法矢指向 cg 的子空间 ; (4) bg 是二维流形对于正则形体集合, 可以定义正则集合算子假设 <OP > 是集合运算算子 ( 交并差 ) 如果 R 3 中任意两个正则形体 A B 作集合运算 : R =A <OP >B 运算结果 R 仍然是 R 3 倡中的正则形体, 则称 <OP > 为正则集合算子, 正则并正则交正则差分别记为, 倡倡,- 几何建模中的集合运算实质上是对集合中的成员进行分类的问题,Tilove 给出了集合成员分类问题的定义及判定方法 Tilove 对分类问题的定义为 : 设 S 为待分类元素组成的集合,G 是一正则集合, 则 S 相对于 G 的分类函数为 : C(S,G) ={S in G,S out G,S on G} (8 唱 1) 其中 : S in G =S ig S out G =S cg S on G =S bg 如果 S 是形体的表面,G 是一正则形体, 则定义 S 相对于 G 的分类函数时, 需要考虑 S 的法向量记 -S 为 S 的反向面形体表面 S 上一点 P 相对于外侧的法向量为 N p (S), 相反方向的法向量为 -N p (S), 则式 (8 唱 1) 中的 S on G 可分为两种情况 : S on G ={S shared (bg),s shared(-bg)} 其中 : S shared (bg) ={P P S,P bg,n p (S) =N p (bg)} S shared (-bg) ={P P S,P bg,n p (S) =-N p (bg)} 于是 S 相对于 G 的分类函数 C(S,G) 可写成 : C(S,G) ={S in G,S out G,S shared (bg), S shared (-bg)} 由此, 正则集合运算定义的形体边界可表达为 : 倡 b(a B) ={ba out B, bb out A, ba shared (bb)} 倡 b(a B) ={ba in B, bb in A, ba shared (bb)} 倡 b(a - B) ={ba out B, -(bb in A), ba shared (-bb)} 图 8 唱 5 是两几何形体通过交并差运算构造的新实体

230 几何建模第 8 章 217 图 8 唱 5 几何形体的交并差运算物体的 CSG 树表示在许多情况下, 一个复杂物体可由一些比较简单规则的物体经过布尔运算而得到因而, 这个复杂的物体可描述为一棵树这棵树的终端结点为基本体素 ( 如立方体圆柱圆锥 ), 而中间结点为正则集合运算结点这棵树叫做 CSG 树, 如图 8 唱 6 所示 CSG 树只定义了它所表示物体的构造方式, 既不反映物体的面边顶点等有关边界信息, 也不显式说明三维点集与所表示的物体在实际空间的一一对应关系因此, 这种表示又被称为物体的隐式模型或过程模型用 CSG 树表示一个复杂形体十分简洁, 但 CSG 树不能显式地表示形体的边界, 无法直接显示 CSG 树表示的形体, 但采用光线投射算法能够对物体进行快速的光栅处理图 8 唱 6 形体的 CSG 表示物体的边界表示法 8.3 边界表示法三维物体可以通过描述它的边界来表示, 如此表示三维物体的方法称为边界表示法

231 计算机图形学所谓边界就是物体内部点与外部点的分界面显然, 定义了物体的边界, 该物体也就被惟一地定义了图 8 唱 7 为边界表示法的一个例子 218 图 8 唱 7 物体的边界表示要用实体的边界信息表示一个实体, 必须同时表示出实体边界的拓扑和几何信息物体的拓扑信息指物体上所有的顶点棱边表面间是怎样连接的就多面体而言, 其顶点棱边表面之间的连接关系可以用 9 种不同的形式予以描述如图 8 唱 8 所示其中, 每一种关系都可由其他一种关系经过适当的运算导出究竟采用哪种关系或哪几种关系取决于边界表示所支持的各种运算, 以及存储空间的限制例如, 若边界表示要支持从边查找共享该边的多边形的运算, 则数据结构中最好包括拓扑关系 e {f} 数据结构中保存的拓扑关系越多, 对多面体的操作越方便, 但是占用的存储空间也就越大因此要根据实际情况选择拓扑关系, 以提高系统的整体效率边界表示法中最为典型的数据结构是翼边结构翼边结构是美国斯坦福大学的 B.G.Baugart 等人于 1972 年提出来的, 它是一个多面体表达模式在表面棱边顶点组成的形体三要素中, 翼边结构以边为核心来组织数据, 如图 8 唱 9 所示棱边的数据结构中包含 2 个点指针, 分别指向该边的起点和终点, 棱边被看作一个有向线段当一个形体正好是多面体时, 其棱边为直线段, 由它的起点和终点惟一确定 ; 当形体为曲面体时, 其棱边可能为一曲线段, 这时, 必须增添一指针指向所在的曲线的数据在翼边结构中还设有 2 个指针, 分别指向棱边所邻接的两个表面上的环由这种边环关系就能确定棱边与相邻面之间的拓扑关系为了能从棱边出发搜索到它所在的任一闭环上的其他棱边, 数据结

232 几何建模第 8 章 219 图 8 唱 8 顶点棱边表面之间的拓扑关系构中又增设了 4 个指向下边其中右下边表示该棱边在右面环中沿逆时针方向所连接的下一条棱边, 而左上边则为棱边在右面环中沿逆时针方向所连接的下一条棱边, 右上边和左下边同样如此边界表示的另一种比较典型的数据结构是半边数据结构它是作为一种多面体的表示方法在 20 世纪 80 年代提出来的在构成多面体的三要素 ( 顶点边体 ) 中, 半边数据结构以边为核心为了方便表达拓扑关系, 它将一条边表示成拓扑意义上的方向相反的两条半边, 所以称为半边数据结构, 如图 8 唱 10 所示半边数据结构在拓扑上分为 5 个层次, 即体面环半边顶点, 每层拓扑元素所包含图 8 唱 9 翼边结构的主要属性如图 8 唱 11 所示非流形结构的边界表示法在几何造型系统中, 一般要求实体是正则几何形体但在实际使用中, 常常会遇到非流形结构的实体, 如一个锥与另一表面单点接触, 两个或

233 计算机图形学 220 图 8 唱 10 半边结构图 8 唱 11 半边数据结构的层次关系两个以上的面交于同一条边, 具有悬挂边或悬挂面实体等, 这些都不能在一个二维流形建模系统中加以处理为了表示这些非流形结构的实体,1986 年 Weiler 提出了辐射边 ( radial edge) 数据结构, 如图 8 唱 12 所示辐射边结构的形体模型由几何信息 (geometry) 和拓扑信息 (topology) 两部分组成几何信息有面 ( face) 环 ( loop) 边 ( edge) 和点 (vertex); 拓扑信息有模型 ( model) 区域 ( region) 外壳 (shell) 面引用 ( face use) 环引用 ( loop use) 边引用 (edge use) 和点引用 (vertex use) 这里点是三维空间的一个位置, 边可以是直线边或曲线边, 边的端点可以重合环是由首尾相接的一些边组成, 而且最后一条边的终点与第一条边的起点重合 ; 环也可以是一个孤立点外壳是一些点边环面的集合 ; 外壳所含的面集有可能围成封闭的三维区域, 从而构成一个实体 ; 外壳还可以表示图 8 唱 12 辐射边数据结构任意的一张曲面或若干个曲面构成的面组 ; 外壳还可以是一条边或一个孤立点外壳中的环和边有时被称为线框环和线框边, 这是因为它们可以用于表示形体的线框图区域由一组外壳组成, 而模型由区域组成

234 8.4 其他表示方法几何建模第 8 章扫描法 221 扫描法的基本思想非常简单 : 一个在空间移动的几何集合, 可扫描出一个实体扫描法可表示为运动的物体加上轨迹仅仅当二维的几何集合体表示正确时, 才能得到正确的扫描体常用的扫描方式有 : 平移式旋转式和广义式平移扫描法若扫描是沿垂直于二维的集合进行的, 即为平移扫描旋转扫描法若扫描是绕某一轴线旋转某一角度, 即为旋转扫描广义扫描法如果使二维几何集合沿一条空间曲线的集合扫描, 则可以形成一个复杂的几何体平移式的扫描将一平面区域沿某矢量方向移动一给定的距离, 产生一个柱体, 如图 8 唱 13 所示常用的立方体和圆柱体等基本体即可以用此法生成但是它的适用范围只限于具有平移对称性的一些实体旋转式的扫描将一平面区域绕一轴线旋转, 产生一个旋转体, 一个矩形如以它的一边为轴旋转后产生一个圆柱体类似地, 可以产生圆锥圆台球圆环等, 如图 8 唱 14 所示它只限于具有旋转对称性的实体广义扫描将一平面区域沿任意的空间轨迹线移动, 生成一个三维物体, 如图 8 唱 15 所示广义的扫描的造型能力很强, 完全包含平移式和旋转式扫描但是由于广义扫描的几何造型算法十分复杂, 因此平移式和旋转式扫描仍然从广义扫描中独立出来, 单独处理图 8 唱 13 平移式扫描扫描法简单可靠, 使用方便, 是实体造型系统常用的建模方法立方体网格模型立方体网格模型是将包含实体的空间分割成均匀的小立方体, 建立一个三维数组, 使数组中的每一个元素 p[i][j][k] 与 ( i,j,k) 的小立方体相对应当该立方体被物体所占据时,p[i][j][k] 的值为 1, 否则为 0 这样数组就惟一地表示了包含于立方体之内的所有物体

235 计算机图形学 D \10 24\ 新建文件夹 \ 计算机图形 222 图 8 唱 14 旋转式扫描图 8 唱 15 广义式扫描采用这种模型, 可以表示任何实体, 而且很容易实现实体的集合运算以及体积计算但是这种方法不是一种精确的表示法, 其近似程度完全取决于分割的精度, 与几何体的复杂程度无关另外, 更重要的是要存储全部的有关信息需要大量的存储空间八叉树模型八叉树表示是一种层次结构, 首先在空间中定义一个能够包含所表示物体的立方体立方体的 3 条棱边分别与 x,y,z 轴平行, 边长为 2 n 若立方体内空间完全由所表示的物体所占据, 则物体可用这个立方体予以表示, 否则将立方体等分为 8 个小块, 每块仍为一个小立方体, 其边长为原边长的 1/2 将这 8 个立方体依次编号为 0,1,2,,7, 如图 8 唱 16 所示如果子立方体单元已经一致, 即为满 ( 该立方体充满形体, 则标识为 FULL ) 或为空 ( 没有形体在其中, 则标识为 EMPTY ), 则该子立方体停止分解 ; 否则, 该立方体进一步分解依此方式, 物体在计算机内可表示为一棵八叉树凡是标识为 FULL 或 EMPTY 的立方体均为终端结点, 而标识为 PARTIAL 的立方体为非终端结点最后, 分割生成的每一小立方体的边长为 1 个单位时, 分割即终止此时应将每一标识为 PARTIAL 的小立方体重新标识为 FULL 三维物体的八叉树表示如图 8 唱 16 所示物体之间的集合运算在八叉树表示中具有十分简单的形式由定义可知, 两物体的并就是这两个物体一共占有的空间, 而物体之间的交即它们共同占有的空间由于物体的八叉树表示就是它内部所有的大大小小的立方体组成, 因此对物体执行并交差运算时, 只需要同时遍历参加集合运算的两物体相应的八叉树, 就可以获得拼合体的八叉树, 而无需进行复杂的求交运算用八叉树表示的实体, 很容易计算实体的整体性质, 如质量体积等八叉树中每一层节点的体积都是已知的, 只要遍历一次即可获得整个实体的体积容易实现隐藏线和隐藏面的消除消隐算法的关键是按其距离视点的远近排序, 而

236 几何建模第 8 章 223 图 8 唱 16 三维物体的八叉树表示在八叉树表示中, 各节点之间的排序的关系是简单且固定的, 使得计算比较容易采用八叉树表示的实体, 通常是不能精确地表示一个实体的, 并且对八叉树表示的实体做任意的几何变换也比较困难采用八叉树表示的最大缺点是所需要的存储容量较大四面体网格模型四面体网格模型是将包含实体的空间分割成四面体单元的集合, 与六面体网格模型相比, 四面体网格模型可以以边界面片为四面体的一个面, 模型精度高, 能够构建复杂形体的网格模型, 在复杂对象的科学计算和工程分析中具有重要的应用但四面体网格模型数据结构复杂, 实现复杂空间域边界一致的四面体剖分是近年来的研究热点, 相关理论和算法正日渐成熟如图 8 唱 17 和图 8 唱 18 是四面体网格剖分的实例图 8 唱 17 零件的表面网格图图 8 唱 18 零件的实体网格消隐图

237 计算机图形学 8.5 几何建模方法的应用与发展 224 不同的几何建模方法可以满足不同的应用需求, 对计算机软硬件的要求也不同在计算机图形学发展的早期, 计算机软硬件加速性能有限, 只能采用线框模型表达不太复杂的对象, 计算机图形学的应用也处于初级阶段随着计算机软硬件的快速发展, 计算机的运算速度内存容量以及图形运算的软硬件加速, 为复杂对象的计算机表达创造了条件, 即使如此, 目前计算机软硬件条件要实现三维实体的真实感实时动态显示仍有一定的困难, 所以在计算机图形学的应用过程中要根据实际需求采用合适的几何模型, 如复杂物体动态真实感显示有困难, 可在旋转平移或缩放过程中显示线框模型, 选定参数后可用静态的真实感图片表示设计结果目前常用的 CAD 软件一般都包含线框模型面模型体模型, 根据需要, 可灵活使用近年来, 参数化设计与基于特征的造型方法不断发展, 并在 UG ProE 等大型 CAD 软件中得到实用此外, 基于体元的体绘制方法是计算机图形学最新的发展分支, 在 CT 核磁共振等规则数据的处理中获得了应用体绘制的方法简化了物体的建模过程, 它的出现大大丰富了传统计算机图形学的研究内容, 未来会在更多的领域获得应用习题 8.1 试比较线框模型和实体模型的优缺点 8.2 叙述自然对象和人造对象在计算机中表达的难易程度 8.3 给出在翼边结构中遍历环中所有边的算法 8.4 结合应用专业方向, 叙述实际应用中对三维建模的要求 8.5 思考如何利用 OpenGL 的颜色缓冲深度缓冲模板实现两个几何体的交并与差的结果显示 8.6 设计一个利用 OpenGL 交互式地生成球长方体等简单集合体的程序, 通过定义简单几何体之间交并与差的关系, 将其集合运算结果用 8.5 中的方式显示出来, 实现一个简单的 CSG 树三维建模软件 8.7 设计一个利用 OpenGL 交互式地在空间面上生成曲线, 实现用平移旋转等扫描转换方法生成曲面的功能 8.8 设计一个多面体边界表示法的数据结构, 实现一个交互式地在长方体表面增加方孔的程序

238 第 9 章计算机图形学相关的研究领域图是工程师的语言计算机图形学自诞生后在众多领域得到了应用, 尤其是随着计算机软硬件技术的快速发展, 计算机图形学的应用范围不断拓宽, 应用水平不断提高计算机图形学在应用过程中与专业知识相结合, 衍生出很多新的学科, 如计算机动画 CAD /CAE /CAPP /CAM /CIMS 仿真可视化虚拟现实以及逆向工程等, 这些基于计算机图形学的应用学科在现代社会中发挥着重要作用, 很多学科还在快速发展之中本章介绍其中部分学科概述 9.1 计算机辅助设计与制造计算机辅助设计 ( computer aided design, CAD) 和计算机辅助制造 ( computer aided manufacturing,cam), 是指以计算机为主要技术手段来生成和运用各种数字信息与图形信息, 以进行产品设计和制造计算机辅助设计包括的内容很多, 如概念设计优化设计有限元分析计算机仿真计算机辅助绘图和计算机辅助设计过程管理等计算机辅助制造 (CAM) 是指计算机在产品制造方面有关应用的总称 CAM 有广义和狭义之分, 广义 CAM 一般是指计算机辅助进行的从毛坯到产品制造过程中的间接和直接的所有活动, 包括工艺准备生产作业计划和物料作业计划的运行控制生产控制及质量控制等狭义 CAM 通常仅指数控程序的编制数控编程是对所有采用数控的设备, 如数控机床数控检测仪器和数控机器人等进行程序设计, 包括刀具路径的规划刀位文件的生成刀具轨迹仿真以及数控代码 ( 又称 NC 代码 ) 的生成等一般来说, 狭义的概念采用得比较广泛 CAD /CAM 最早源于航空工业和汽车工业,20 世纪 80 年代伴随计算机软硬件技术水平的提高,CAD /CAM 快速发展进入 20 世纪 90 年代, 由于数据库和网络技术的发展, CAD /CAM 已发展成为集市场信息设计加工原材料质量保证和销售服务于一体的计算机集成制造系统 (computer integrated manufacture system,cims)

239 计算机图形学 226 在工业化国家如美国日本和欧洲,CAD /CAM 已广泛应用于设计与制造的各个领域, 如飞机航空航天汽车船舶建筑和集成电路中, 很多产品实现了 100% 的计算机绘图 CAD 系统的销售额每年以 30% ~40% 的速度递增, 各种 CAD /CAM 软件的功能越来越完善, 越来越强大国内于 20 世纪 70 年代末开始 CAD /CAM 技术的大力推广应用工作, 并且已经取得了可喜的成绩 CAD /CAM 技术在我国的应用方兴未艾 CAD /CAM 系统的组成与功能 CAD /CAM 系统由硬件和软件两部分组成硬件由计算机及其外围设备和网络组成计算机分为大型机中 / 小型机工作站和微机四大类目前应用较多的是 CAD 工作站, 国内主要是微机和工作站外围设备包括鼠标键盘扫描仪显示器打印机绘图仪拷贝机和数控加工中心等设备网络可以实现资源共享, 先进的 CAD /CAM 系统都是以网络的形式出现的, 特别是在并行工程环境中, 为了进行产品的并行设计, 网络更是必不可少的 CAD /CAM 系统的软件分为两大类 : 支撑软件和应用软件支撑软件包括操作系统程序设计语言及其编辑系统数据库管理系统 ( 对数据的输入输出分类存储检索进行管理 ) 和图形支撑软件应用软件是指用户针对本领域任务设计的程序包, 包括图形处理几何造型有限元分析优化设计动态仿真数控加工检测与质量控制等软件 CAD /CAM 系统应具备几何造型物性计算有限元分析优化设计图形显示与处理运动分析与仿真数控加工和信息管理等功能 CAD /CAM 技术的研究热点 1. 参数化设计用 CAD 方法开发产品时, 建模速度是决定整个产品开发效率的关键产品开发初期, 零件形状和尺寸有一定模糊性, 要在装配验证性能分析和数控编程之后才能确定这就希望零件模型具有易于修改的柔性参数化设计方法就是将模型中的定量信息变量化, 使之成为可以调整的参数对于变量化参数赋予不同数值, 就可得到不同大小和形状的零件模型在 CAD 中要实现参数化设计, 参数化模型的建立是关键参数化模型表示了零件图形的几何约束和工程约束几何约束包括结构约束和尺寸约束结构约束是指几何元素之间的拓扑约束关系, 如平行垂直相切对称等 ; 尺寸约束则是通过尺寸标注表示的约束, 如距离尺寸角度尺寸半径尺寸等工程约束是指尺寸之间的约束关系, 通过定义尺寸变量及它们之间在数值上和逻辑上的关系来表示参数化设计可以大大提高模型的生成和修改的速度, 在产品的系列设计相似设计及专用 CAD 系统开发方面都具有较大的应用价值目前, 参数化设计中的参数化建模方法

240 计算机图形学相关的研究领域主要有变量几何法和基于结构生成历程的方法, 前者主要用于平面模型的建立, 而后者更适合于三维实体或曲面模型 2. 智能 CAD 智能 CAD 是指通过运用专家系统人工神经网络等技术使作业过程具有某种程度人工智能的 CAD 系统专家系统是能在某个特定领域内, 用人类专家的知识经验和能力去解决该领域中复杂困难问题的计算机程序系统专家系统在 CAD 作业中适时给出智能化提示, 告诉设计人员下一步该做什么, 当前设计存在的问题, 建议解决问题的几何途径 ; 或模拟人的智慧, 根据出现的问题提出合理的解决方案专家系统是基于知识的系统, 知识工程是专家系统技术的基础专家系统通常由知识库推理机知识获取系统解释机构和一些界面组成人工神经网络在工程设计中的应用正在不断地发展, 基于神经网络的专家系统在知识获取并行推理适应性学习联想推理以及容错能力方面明显优于传统的专家系统 3. 基于特征的设计特征设计是用易于识别的包含加工信息的几何单元, 如孔槽倒角等, 来取代以往设计中所用的纯几何描述, 如直线圆弧等特征是构造零件的最基本的单元要素, 它既反映零件的几何信息, 又反映零件的加工工艺特征信息对基于特征的设计系统, 孔是一个特征, 具有直径长度公差表面粗糙度和位置等属性, 并包括它在装配图中的情况每一个特征基本上对应一组加工制造方法特征的语义, 使设计人员和工艺人员对同一特征有相同的理解, 并且特征定义显式地包含了所有几何和非几何信息因此, 基于特征的设计更适合于 CAD /CAM 的集成和 CIMS 中的建模需要 4. 相关性设计相关性设计为设计工作提供了极大的方便用户无论是在什么地方进行修改, 系统会自动地更新与修改有关的内容例如, 当用户在左视图上对某个尺寸进行修改, 主视图俯视图和三维模型中相应的尺寸和形状会随之改变反之, 在三维模型设计中的修改, 同样会在三视图中得到改变 5.NURBS 几何构型技术采用非均匀有理 B 样条 ( NURBS) 技术可以使系统在描述自由曲线曲面以及精确的二次曲线曲面时, 能够采用统一的算法和表示方法用 NURBS 技术构造的曲面易于生成修改和存储, 为系统提高对曲面的构造能力和编辑修改能力打下了基础 6. 装配设计和管理装配设计是指系统能够同时完成产品或装配部件的设计, 而不是个别零件的设计第 9 章 227

241 计算机图形学 228 由于涉及到许多零件的装配关系, 装配设计需要考虑的因素复杂, 具有装配设计功能的系统需要采用的技术和手段也较多, 如前面提及的特征设计参数化设计相关性设计等对于具有装配设计功能的系统还应能够提供有关装配方面的管理能力, 如装配零件逻辑关系装配件干涉检查生成装配材料明细表零件装配关系展开图测算装配件的运动学及动力学特性等 7.CAD /CAM 系统的网络化与集成化网络技术是计算机技术和通信技术相互渗透密切结合的产物, 在计算机应用和信息传输中起着越来越重要的作用通过网络可以实现资源共享和协调合作, 发挥更大的效能 CAD /CAM 系统中所需的所有公共信息, 如图形数据零件及编码等可存储在服务器的公共数据库中, 而各工作站可以通过网络共享其中的数据, 进行各自的设计工作工作站之间也可以通过网络交换相互所需的中间和最后处理结果基于数据库网络技术, 企业可将 CAD /CAM 系统与市场信息原材料产品数据管理及市场销售等管理信息系统集成在一起形成 CIMS 系统, 共享信息和资源, 达到经济上最合理技术上最先进的最优化方案 8. 面向对象的设计方法面向对象方法是分析问题和解决问题的新方法其基本出发点就是尽可能按照人类认识世界的方法和思维方式来分析和解决问题在 CAD /CAM 系统中, 所定义的对象可以是用来描述几何模型, 如点线圆平面折线曲线曲面和体素等, 也可以是用来描述加工过程的零件模型加工特征刀具类型和刀位指令等应用实例图 9 唱 1 和图 9 唱 2 是桥梁和汽车的计算机辅助设计的效果图图 9 唱 1 杭州湾大桥海中平台

242 计算机图形学相关的研究领域第 9 章 229 图 9 唱 2 汽车设计模型 9.2 计算机动画概述动画是运动中的艺术, 是一系列图形图像的顺序显示所产生的视觉效果计算机动画是指用绘制程序生成一系列的景物画面, 通过足够快的速度显示一系列的单个帧以产生活动的感觉一般来说, 动画播放速度要在 15 帧 /s 以上, 电影业的标准是 24 帧 /s, 欧洲 PAL 制式视频标准是 25 帧 /s, 而美国的 NTSC 制式是 30 帧 /s 计算机动画技术最初是应影视业发展的要求而产生的在计算机动画产生之前, 法国人 Emile Cohl 于 1908 年开创了电影动画卡通 (cartoon) 1928 年 Walt Disney 电影制片厂开始制作动画片, 塑造了米老鼠唐老鸭等家喻户晓的卡通形象卡通动画制作的过程是 : 设计故事情节, 写出文学剧本和画面剧本, 进行任务造型和景物创作, 规划设计对白与音响, 设计关键帧, 画出中间帧, 手稿图动作测试, 描线和上色, 检查和拍摄以及后期制作等动画每秒要播放 24 张一部 10min 的美术电影, 要画数以千万张原画, 而且每幅要反复 3~5 次工序才能完成然后描线上色检查摄制, 约需要 4 个月的时间, 如果是精品, 需要 1 年的时间才能完成动画制作工艺繁多, 劳动强度大, 制作周期长计算机动画是计算机和艺术的结合它综合运用计算机图形学物理学机械学心理学美学生命科学及人工智能等学科或领域的知识来研究客观存在或高度抽象的物体的运动表现形式随着计算机图形学和硬件技术的快速发展, 人们已经可以用计算机生成高质量的图像, 计算机动画不再是陌生的名词它已渗透到人们生活的各个角落在枟侏罗纪公园枠和枟终结者枠等优秀电影中, 人们可充分体会到计算机动画技术的魅力计算机动画不仅可应用于商业广告电视片头影视特技动画片和游艺场所, 还可用于教育军事飞行模拟和科研

243 计算机图形学 230 计算机动画可分为计算机辅助动画和计算机生成动画, 也就是通常说的二维动画和三维动画 1963 年 Bell 实验室的 Edward E.Zajac 制作了一个有关地球卫星在太空运行的线框图形的动画, 被认为是第一部数字计算机动画作品计算机三维彩色逼真动画是从 20 世纪 70 年代中期开始的, 并首先用于军事, 如飞行模拟 Evans Sutherland 的飞行模拟器有助于训练飞机驾驶员, 使他们不用离开地面就能进行起飞和着陆的练习, 其中显示屏上的跑道地平线建筑物以及空中其他飞过的飞机形象都是由计算机动画实现的从这个时候开始, 制作计算机动画的公司纷纷出现, 大量的电视节目片头和电视广告采用这个新技术好莱坞制作的枟星球大战枠, 迪斯尼制作的枟 TRON 枠中使用了由计算机生成的动画画面, 代替了实际模型制作和拍摄反映当代计算机动画最高水平的代表作是枟终结者 Ⅱ 枠和枟侏罗纪公园枠, 超现实而又十分逼真的视觉形象使人们获得梦幻般的极大享受, 创造了较高的票房收入枟侏罗纪公园枠将 1 亿 4000 万年前的恐龙和现代人的生活情景糅合在一起, 电影中最激动人心的 6min 动画使用了 75 台 SGI 工作站, 利用 Alias 软件建立恐龙线框模型, 利用 Softimage 软件将恐龙的线框模型以适当的姿势和动作运动起来, 再用 Colorbrust 和 RenderMan 为恐龙的线框模型蒙皮上色打灯光生成阴影, 并插入影片的实拍镜头之中计算机动画可创造出五彩缤纷的三维世界, 色光影纹理质感都十分逼真, 可以产生不同材料的质感或特殊的表面效果, 如金属木纹大理石以及透明的质感在加速匀速减速方面可以计算得很准确, 超过手工动画丰富创作手段, 突出反映主题计算机动画所生成的是一个虚拟的世界, 画面中的物体并不需真正去建造, 物体虚拟摄像机的运动也不会受到什么限制, 动画师几乎可以随心所欲地编织他的虚幻世界枟狮子王枠枟玩具总动员枠是优秀的计算机动画影片, 其中枟玩具总动员枠是纯三维动画影片将三维动画与实景合成是最新的三维动画特技枟终结者枠枟侏罗纪公园枠枟真实的谎言枠枟龙卷风枠枟独立日枠及枟泰坦尼克枠等都采用这种技术, 是好莱坞近年来卖座片模式中的经典在国内,1990 年第 11 届亚运会影视节目的片头是计算机动画 1992 年 4 月, 北京科教电影制片厂与北方工业大学合作, 摄制了一部计算机二维三维结合的科普美术品枟相似枠 ( 长 10min), 是我国第一部计算机动画影片计算机动画已有三十多年的历史, 其中经历了从二维到三维, 从线框图到逼真感图像, 从逐帧动画到实时动画的发展过程, 一年一度的 SIGGRAPH 每年展出很多计算机动画作品目前的三维动画, 由于受计算机运算速度图形处理功能以及图形计算方法的限制, 还未实现高度逼真感高分辨率的三维实时动画三维动画中的景物造型动作控制与调试还是一件相当麻烦的事情, 人体动作模仿脸部表情还不太成功

244 计算机图形学相关的研究领域目前, 计算机动画已进入实用阶段, 国际上涌现了许多优秀的动画软件用于图形工作站上成熟的商品化动画软件主要有美国的 WaveFront 加拿大的 SoftImage 和 Alias 法国的 Tdi 等 ; 用于微机上的有 3DStudio 一些动画领域新的研究成果得到了迅速的应用, 如粒子系统群体运动 FFD 变形技术动力学模型关节运动及二维 morphing 技术等都可从这些优秀软件中见到这些动画软件由于各自的特色和优势, 都拥有广阔的市场, 并都在不断推陈出新, 逐步完善和改进分类计算机动画的分类方法很多, 按不同的动画生成技术可以将计算机动画分为 : 关键帧动画变形物体的动画过程动画关节动画和人体动画, 以及基于物理的动画等 1. 关键帧动画关键帧的概念源于传统的卡通动画在早期的卡通动画的制作步骤中, 熟练的动画设计师设计卡通片的关键画面, 即关键帧然后由一般的动画设计师设计中间帧对于计算机动画, 中间帧是由计算机通过插值计算的方法来完成的 2. 变形物体的动画变形动画把一种形状或物体变成另一种不同的形状或物体, 而中间过程则通过形状或物体的起始状态和结束状态进行插值计算电影枟终结者枠中机械杀手 T 唱 1000 由液体变为金属人, 由金属人变为影片中的其他角色大部分变形方法与物体的表示有密切的关系, 如通过移动物体的顶点或控制顶点来对物体进行变形为了使变形方法能很好地结合到造型和动画系统中, 近 10 年来, 人们提出了许多与物体表示无关的变形方法对于多边形表示的物体, 物体的变形可通过移动其多边形顶点来达到但是, 多边形的顶点以某种内在的连接关系相关联, 不恰当地移动很容易导致三维走样问题, 比如原来共面的多边形变成了不共面的参数曲面表示的物体可较好地克服上述问题移动控制顶点仅仅改变了基函数的系数, 曲面仍然是光滑的, 所以参数曲面表示的物体可处理任意复杂的变形多边形和参数曲面表示各有其优缺点 3. 过程动画过程动画指的是用一个过程去控制物体的动画过程动画经常牵涉到物体的变形, 但与前面所讨论的柔性物体的动画不一样在柔性物体的动画中, 物体的变形是任意的, 可由动画师任意控制的 ; 在过程动画中, 物体的变形则基于一定的数学模型或物理规律 Reeves 的粒子系统是过程动画的较早工作, 粒子系统已经成功地模拟了电影枟 Star Trek: The Wrath of Khan 枠中的一系列特技镜头如草叶随风的飘动粒子系统还可用来模拟由风引起的泡沫和溅水的动画 Reed 等人用粒子系统成功地模拟了闪电在生物界, 许多动物, 如鸟鱼等以某种群体的方式运动这种运动既有随机性, 又有一定的规律性最近, 布料动画成了人们感兴趣的研究课题布料动画的一个特殊应用领域为时装设计, 第 9 章 231

245 计算机图形学 232 近几年, 研究者们更多地用基于物理的方法去模拟基于弹性理论,Terzopoulos 等人提出了一种控制变形曲面运动的方法, 并用来模拟旗帜的飘动和地毯的坠落过程 4. 关节动画和人体动画关节动画能够模拟运动的传递关系, 解决一般机械传动系统运动的演示问题基于人体的动画是最复杂的动画, 人体具有 200 个以上的自由度和非常复杂的运动, 人的形状不规则, 人的肌肉随着人体的运动而变形, 人体的运动不是简单的刚体运动, 人的个性表情等千变万化, 受生理和心理等多方面因素的影响可以说, 人体动画是计算机动画中最富挑战性的课题之一正向或逆向运动学是设置关节动画的有效方法通过对关节旋转角设置关键帧, 得到关联各个肢体的位置, 这种方法一般称为正向运动学方法对于一个具有多年经验的专家级动画师, 能够用正向运动学方法生成非常逼真的运动但对于一个普通的动画师来说, 通过设置各个关节的关键帧来产生逼真的运动是非常困难的一种实用的解决方法是通过实时输入设备记录真人各关节的空间运动数据由于生成的运动基本上是真人运动的复制品, 因而效果非常逼真, 且能生成许多复杂的运动逆运动学方法在一定程度上减轻了正运动学方法的繁琐工作, 用户指定末端关节的位置, 计算机自动计算出各中间关节的位置把运动学和动力学相结合能够产生更加逼真的动画与运动学相比, 动力学方法能生成更复杂和逼真的运动, 并且需指定的参数相对较少但动力学方法的计算量相当大, 且很难控制动力学方法中另一重要问题是运动的控制, 在动作设计中, 用动作传感器将演示的每个动作姿势通过传感器传送到计算机上的图像中, 来实现理想的动作姿势, 也可以用关键帧方法或任务骨骼造型动画法来实现一连串的动作在脸部表情的动画模拟方面, 较早的方法有用数字化仪将人脸的各种表情输入到计算机中, 然后用这些表情的线性组合来产生新的脸部表情该方法的缺点是缺乏灵活性, 不能模拟表情的细微变化, 并且与表情库有很大关系 1987 年,Waters 提出了一个脸部表情动画模拟方法该方法由一个参数肌肉模型组成, 人的脸用多边形网格来表示, 并用肌肉向量来控制人脸的变形 5. 基于物理模型的动画技术基于物理的动画称为运动动画, 其运动对象要符合物理规律基于物理的动画一般采用实时动画绘制技术, 即当前显示的画面是实时计算并绘制的一般运动动画 ( 即刚体运动动画 ) 要符合运动学和动力学规律, 并满足几何约束运动约束和力约束等条件运动动画的一个重要部分是碰撞检测, 目前已有很多碰撞检测方法, 如半径法包围盒法和标准平面方程法等基于物理模型的动画技术是 20 世纪 80 年代后期发展起来的一种新技术尽管该技术比传统动画技术的计算复杂度要高得多, 但它能逼真地模拟各种自然物理现象, 这是基

246 计算机图形学相关的研究领域于几何的传统动画生成技术所无法比拟的基于物理模型的动画技术考虑了物体在真实世界中的属性, 如质量转动惯矩弹性和摩擦力等, 并采用动力学原理来自动产生物体的运动当场景中的物体受到外力作用时, 牛顿力学可用来自动生成物体在各个时间点的位置方向及其形状此时, 动画师不必关心物体运动过程的细节, 只需确定物体运动所需的一些物理属性及一些约束关系, 如质量外力等在刚体运动模拟方面, 研究重点主要集中在采用牛顿动力学的各种方程来模拟刚体系统的运动由于在真实的刚体运动中任意两个刚体不会相互贯穿, 因而在运动过程模拟时, 必须进行碰撞检测和碰撞响应在真实物理世界中, 许多物体并非完全是刚体, 它们在运动过程中会产生一定的形变由于基于几何的变形是人为给定的, 因而变形过程缺乏真实性 1986 年,Weil 首次将基于物理模型的柔性物体引入到计算机动画中 Miller 用质点唱弹簧系统模拟了蛇和虫子这类无腿动物的蠕动动画 Tu 等人提出了一种模拟鱼的行为的动画玻璃和陶瓷类物体的破裂模拟是动画中的一个复杂问题 Norton 等人提出了一个基于三维质点表示的破裂动画模拟方法由于求解物理模型采用数值计算, 因而计算量非常大双缓存实现帧动画实现动画时一般至少需要一个帧缓存器, 并在缓存器中存储和操作像素数据帧缓存是由缓存组成的逻辑集, 这些缓存包括颜色缓存深度缓存累积缓存和模板缓存为了实现平滑动画以及消除画面的闪烁感, 可以采用双缓存技术这种技术的原理是 : 程序把帧存看成是两个视频缓存, 在任意时刻, 只有两者中的一个内容才能被显示出来当前可见视频缓存称为前台视频缓存, 不可见的正在画的视频缓存称为后台视频缓存当后台视频缓存中的内容被要求显示时, 视频交换机制就会将它复制至前台视频缓存显示硬件则不断读出视频缓存中的内容, 并把结果显示在屏幕上双缓存技术可以生成平滑的动画, 最好把一幅完全画好的图像显示一定的时间, 然后提供下一幅画面, 视频图像按此方式交替出现, 从一幅图像变化到下一幅图像, 由于时间极短, 人眼不会感觉到这种变化通过关键帧技术设计流畅的动画, 帧与帧之间画面过渡不要太大, 否则就会引起画面跳跃, 出现不连续的现象第 9 章可视化发展历程 9.3 可视化随着计算机科学与技术的迅猛发展, 科学计算与工程分析中处理的数据量越来越大仅超级计算机在近十年中从十亿次到千亿次万亿次的计算机也已诞生, 其产生数据的能

247 计算机图形学 234 力提高了 3 个数量级以上地球卫星宇宙飞船天文望远镜 CT 扫描仪及核磁共振仪等先进仪器所产生的数据与日俱增与产生数据的手段及速度相比, 人类理解数据的手段速度滞后很多, 大量数据被积压, 许多时效性很强的数据因未得到及时处理而浪费, 造成很大损失由于数据理解手段的落后, 数据处理过程中很多信息被丢失, 数据中蕴涵的特性未能被准确充分地显示出来为了解决这一问题,1986 年 2 月, 美国国家科学基金会 (NSF) 的高级科学计算部门召开了关于图形图像处理和工作站的讨论会, 与会成员一致认为 : 要把先进的图形图像软硬技术应用于大型科学与工程计算, 将数据转换为图形 ( 像 ), 利用人类的视觉功能提高数据处理速度和准确度 1987 年 2 月, 美国国家科学基金会正式组织召开了科学计算可视化 ( Visualization in Scientific Computation) 专题讨论会, 与会人员包括学术界企业界和政府代表, 年底发表了讨论会的总结报告, 标志着科学计算可视化作为一门新兴学科宣告诞生 B.H.McCormick 等人在报告中认为 : 科学计算可视化对科学生产力和重大科学突破将产生巨大影响, 这种影响可与巨型机的影响相比拟因此科学计算可视化诞生后很快成为科学技术研究的有力工具, 在众多领域引起了广泛的研究视觉信息是人类最主要的信息来源医学和心理学研究表明, 人类日常生活中接受的信息 80% 来自视觉, 而 50% 的脑神经细胞与视觉相连可视化技术的本质是将数据转换为图形或图像, 利用人类视觉功能提高人类理解数据的能力事实上, 人类很早就开始用图来表达信息, 只是在计算机图形学诞生之前是人工绘图, 表达的是外表信息或简单的统计数据计算机发明后首先用于科学计算和工程分析, 计算机图形图像技术是 20 世纪年代才发展起来的计算机技术, 早期计算机图形学主要用于形状表达, 随着其应用和研究水平的提高, 计算机图形学可以对物体内部深层次进行表达, 在流场温度场应力场电磁场声场等不可见数据场的分析与显示方面得到应用, 进入可视不可视 (see the unseen) 阶段, 实现了计算机计算和显示功能的结合, 这种功能组合为科学计算可视化技术的诞生奠定了基础科学计算可视化 (visualization in scientific computation ) 综合利用计算机图形学图像处理计算机视觉计算机辅助设计等多门学科, 将数据转换成图形及图像并进行交互处理, 利用人的视觉功能提高人的理解数据的能力进入 20 世纪 90 年代, 世界各国投入了大量的人力物力财力, 有计划有组织地开展了可视化技术的研究可视化技术在计算流体力学有限元分析生物医学分子模型构造地学空间科学天体物理及气象预报等众多领域获得了成功应用, 促进了数学物理化学等基础科学的发展, 在生命信息社会信息的研究中亦发挥了重要作用由于涉及领域很宽, 出现了数据可视化 (data visualization) 信息可视化 ( information visualization) 等术语, 信息可视化丰富了可视化的研究内容, 表明可视化技术已从空间数据向非空间数据拓展现在大多用可视化 (visualization) 来涵盖这一领域的理论和应用研究

248 计算机图形学相关的研究领域可视化技术利用人类的视觉功能提高人类处理数据的能力, 拓宽了人类理解数据认识世界的思路, 促进了各种表达手段的发展随着多媒体技术虚拟现实 ( VR) 技术的发展, 人类将综合利用视觉听觉触觉嗅觉来提高数据处理的速度和准确度可视化的研究内容第 9 章 235 可视化的研究内容包括可视化工具和应用两方面, 汇总如表 9 唱 1 可视化技术的应用研究领域很宽, 随着可视化研究和应用水平的提高, 其应用范围将发生变化, 事实上目前可视化技术在社会科学生命科学中已有应用表 9 唱 1 可视化研究内容硬件平台研究可视化计算机体系结构可视化输入 / 输出设备 ( 包括人唱机交互设备 ) 高速网络应用可视化研究内容可视化工具研究参考模型研究软件系统研究数据处理模块映射模块绘制模块显示模块可视化软件系统结构函数库与标准化人唱机交互功能远程可视化支撑软件可视化应用研究自然科学领域工程技术领域分子构模医学图像脑结构与功能空间探索天体物理地球科学等计算流体力学有限元分析 CAD /CAM 等根据科学计算处理的对象, 可视化可分为标量矢量及张量等不同类别数据场的可视化以及多维标量数据的信息可视化可视化过程一般分为数据预处理映射绘制和显示 4 步 1. 数据预处理原始数据预处理部分涉及的操作 : 数据格式及其标准化数据变换技术数据压缩和解压缩针对不同的可视化方法和内容, 需要对原始数据做变换处理, 以满足可视化要求对原始数据进行变换处理的操作主要包括 : 数据规范化处理滤波处理平滑处理网格重新划分几何变换分割与边缘检测特征检测增强和提取查色表操纵和特征映射, 等等 2. 映射映射模块是完成将数值数据转变成几何数据的功能, 因此映射功能实质上完成的是

249 计算机图形学 236 数据建模功能, 是可视化技术的核心可视化处理的数据类型随着应用领域的不同而不同, 因此对不同类型的应用数据应采用不同的映射技术 3. 绘制绘制功能完成将几何数据转换成图像的过程, 计算机图形学中真实感成像包括两部分 : 物体的精确图形表示和场景中光照效果的适当物理描述物体的精确图形表示包括几何体建模技术扫描转换技术反走样技术和隐藏面消除技术一个完整精确的图形描述通常需要综合应用这些技术, 同时, 还要考虑用户对图形表示的需要, 不能把图形模型建得过于简单, 也不能过于复杂光照效果包括光的反射透明性表面纹理和阴影光照效果由描述物体表面各点光强的光照模型来表示为可见物体建立光照效果模型是一个非常复杂的过程, 大多数软件都采用由物体表面光强度的物理公式推导出来的简化光照模型 4. 显示显示模块的功能是将绘制模块生成的图像数据, 按用户指定的要求进行输出显示模块除了完成图像信息输出功能外, 用户的反馈信息也是通过显示模块传送到其他软件层中, 以实现人机交互人机交互是可视化的一项重要指标, 许多可视化要求实现动态调整映射关系, 通过改变视图遍历数据, 视图缩放等操作可视化方法三维数据场的可视化方法主要有面绘制和体绘制两类面绘制 ( surface based method) 是指体表面的重建, 也即由三维数据中抽取出等值面, 然后再由传统的图形学技术实现表面绘制除了等值面, 基于传统图形学的可视化方法还可以采用等值线或流线表示二维数据场或三维数据场的截面, 面绘制可以有效地绘制三维体的表面, 但缺乏内部信息的表达体绘制 (volume rendering) 以体素作为基本单元, 直接由切片数据集生成三维体的图像, 也称直接体绘制, 能够表示对象体的内部信息, 但计算量大, 包括数据的采样重构重采样组合绘制等操作体绘制主要是针对体数据的可视化方法体数据是对有限空间的一组离散采样, 每个采样点上的采样值可以是一种或多种, 其结果是以有限个采样来描述场空间体数据是真正的三维实体, 它含有物体内部信息体视化的任务就是要揭示物体内部复杂的结构, 与传统计算机图形学的主要差异在于对象的表示模型不同, 一个是有限个离散采样, 一个是连续的几何描述, 由此导致对物体的处理操作变换分析和显示方法的截然不同体数据的来源最早源于 X 射线透视设备 1973 年英国 EMI 公司推出的商品化 CT (computer tomography) 机及后来出现的超声扫描核磁共振等设备为体视化的研究和发展提供了必要的物质基础 20 世纪 70 年代 CT 切片厚度即切片之间间距比较大, 主要采用轮廓连接或从平面轮

250 计算机图形学相关的研究领域廓重构形体,Keppel 在 1975 年提出用三角片拟合物体表面, 该方法需要解决断层图像轮廓提取层之间轮廓对应和物体表面的拟合等问题 1979 年,Herman 和 Liu 提出了立方块方法, 用物体边界处体素的表面拼接起来代表物体表面, 体视化 ( volume visualization) 的基本思想已经初步建成体绘制首先对每个体素赋以透明度和颜色值, 再根据各体素所在点的灰度梯度及光照模型计算出相应体素的光照强度, 最后计算出全部采样点对屏幕像素的贡献, 即像素的光照强度, 生成结果图像体素主要有两种模型, 一种定义为采样点的中心, 就是体素的中心的一个立方体, 另一种定义成由相邻的 8 个三维采样点所围成的立方体体光照模型来源于物理光学模型体光照模型可分成吸收发射单多散射和混合等多种模型实际应用的体光照模型是由一种或多种光照模型组成的体绘制主要有基于图像空间对象空间频域空间 3 种方法体视化孕育着计算机图形学的一场革命正如 20 世纪 70 年代光栅图形取代矢量图形有效地解决了二维面片的显示问题, 当前体视化正在逐渐代替传统图形学更好地解决三维物体或数据场内部的显示问题从硬件上看, 设计和制造大容量存储器已经不是一件困难的事情, 用于体数据操作显示的体视化专用并行处理硬件也在发展之中可视化应用可视化能够帮助研究人员理解计算与实验中获得的大量数据, 是继计算模型实验之后的又一强有力的科研工具, 其应用范围几乎涉及现代科学与工程技术的所有领域, 不仅在物理化学数学地学材料科学等自然科学, 而且在生命科学社会科学以及计算流体力学有限元分析 CAD /CAM 等工程技术中获得了广泛的应用, 要完整列举可视化的应用领域是很困难的, 下面列举可视化在几种典型数据场分析中的应用 1. 流场可视化流场可视化是可视化的重要应用领域, 在航空航天飞行器汽车船舶的设计以及气象预报海洋研究中发挥了重要作用计算流体力学是对流体运动的仿真, 描述流场中的各种物理量的分布情况, 如压力密度等标量和速度等矢量, 并用不同颜色的等值线 ( 面 ) 或不同深浅的同种颜色填充网格来表示标量的数值差别, 以带箭头的线段来描绘矢量的方向, 对冲击波涡流驻点等各种流场结构, 可视化技术实时交互地变化画面大小并提供动态显示, 以使分析者看清流场中各种现象的细节并作进一步分析在飞行器汽车船舶等产品的设计过程中, 流场可视化侧重于研究物体在流场中的各种性能 ; 在气象海洋等领域, 流场可视化侧重于揭示流体自身的运动规律以气象观测数据为例, 一方面, 可视化可将大量的数据转换为图像, 在屏幕上显示出某一时刻的等压面等温面漩涡云层的位置及运动暴雨区的位置及其强度风力的大小及方向等, 使预报人员能对未来的天气作出准确的分析和预测另一方面, 根据全球的气象监测数据和计算结果, 可将不同时期全球的气温分布气压分布雨量分布及风力风向等以图像形第 9 章 237

251 计算机图形学 238 式表示出来, 从而对全球的气象情况及其变化趋势进行研究和预测 2. 温度场可视化温度场是常见的数据场之一温度场可视化在气象飞机座舱设计金属凝固模拟等领域中应用较多其中金属凝固模拟是材料科学中的一个新兴研究方向, 通过温度场的可视化, 可以了解铸件的凝固状态晶体组织残留应力以及缩孔等, 这在大型铸件和连铸钢坯中尤为重要 3. 应力场可视化应力场是 CAD /CAM 领域中涉及最多的数据场应力场可视化在机械产品设计建筑结构和地基分析水利工程中的大坝计算以及地壳演变模拟等方面发挥了重要的作用 4. 电磁场可视化电磁场可视化在雷达飞机隐身与反隐身以及电器设计中具有很高的应用价值隐形飞机在现代战争中具有重要的地位, 综合考虑材料外形等因素, 应用可视化技术, 可以显示出隐形飞机对电磁波的反射情况, 这对飞机的隐身与反隐身至关重要图 9 唱 3 是电磁场可视化应用实例 5. 声场可视化声场对日常生活影响较大, 声场可视化主要应用于音响效果设计噪声控制等可视化技术在上述肉眼不可见数据场中的应用集中体现了可视化可视不可见 ( see the 图 9 唱 3 电磁场可视化实例 unseen) 的特长除此, 可视化在虚拟现实 ( VR) 医学图像处理地理信息系统等新兴领域中亦有重要的应用 6. 医学应用掌握人体内部的结构是医学中最基本的要求目前广泛应用的计算机断层扫描与核磁共振技术, 只能提供人体内部的二维图像, 不能构思病灶的立体形象, 从而给治疗带来了困难美国国家医学图书馆 1991 年采用可视化技术, 将人体每隔 0.33 ~1mm 进行扫描切片 ( 剖面 ), 然后将获得的一系列二维图像在计算机上重构出人体的三维形体在此基础上医生可在计算机上从各个不同角度或任意截取某一部位放大, 进行观察, 以便选择最佳的实施方案, 从而大大提高手术的质量同时还可以方便地在计算机上预先实现矫形手术放射治疗等计算机模拟及手术规划我国也开展了相应的研究工作图 9 唱 4 是医学 CT 数据的可视化图例

252 计算机图形学相关的研究领域第 9 章 239 图 9 唱 4 可视化在医学中的应用实例 7. 生物高分子高分子合成可产生新的物质, 这是计算化学和生物工程中的重要研究课题可视化技术可使研究者通过直观的交互方法增添或删除某类分子或分子个数以控制合成物质的性质, 从而缩短设计新物质的周期在高技术研究中数值模拟与可视化技术更具有不可替代的作用高技术研究需要试验, 但试验需要花费大量的人力物力, 且要受到很多客观条件的制约所以大量的试验是在计算机上通过数据模拟进行的少量的必要的实际试验只在为校正数值模拟使用参数和检验数据模拟的方法而进行 8. 地质矿产资源的可视化油气资源地下水及其他重要矿产资源是国家经济发展的基础由于地质勘探数据量大分布不规则且数据域内包含复杂断层的特点, 早在 20 世纪 70 年代就开始大量应用计算机技术以油气资源勘探为例, 石油勘探开发数据的处理是制定油气开发方案预测油气资源的基础在石油勘探开发过程中获得数据的重要手段是地震和测井, 一个区块的地震数据一般有几十兆, 区块中每口井的测井数据多达十万个点, 每个点有孔隙度渗透率饱和度等多达 150 种参数, 且有时上千口井需一起计算, 数据量极大, 数据分布又极不均衡, 且地下的地质构造极为复杂, 因此石油勘探开发数据的处理复杂度高运算量大为了提高分析和判断的准确性, 迫切需要将计算机的数值计算和图形显示技术应用于石油勘探领域可视化技术可以显示各种方法获得的地质数据, 并以此来推断地下的地质构造及地质属性的分布状况, 从而确定石油富集区的位置形态及石油的储量图 9 唱 5 是地质构造及井迹的可视化显示

253 计算机图形学 240 图 9 唱 5 地质构造及井迹的可视化 9.4 虚拟现实概论虚拟现实 (virtual reality,vr), 又称虚拟环境同步环境人造空间人工现实模拟器技术, 是计算机软硬件技术传感技术机器人技术人工智能及心理学等高速发展的结晶, 是一种计算机和电子技术创造的新世界, 是一个看似真实的模拟环境 1965 年 Ivan Sutherland 博士在一篇题为最终显示器 ( The Ultimate Display) 的文章中首次提出了虚拟现实的基本思想, 提到了一个头盔显示系统, 并提到这种虚拟环境应使用户感受到视觉听觉触觉 1968 年开发出第一个计算机图形驱动的头盔显示器 ( helmet mounted display,hmd) 及与之匹配的头部位置跟踪系统在一个完整的头盔显示系统中, 用户不仅可以看到三维物体的线框图, 还可以确定三维物体在空间的位置并能通过头部运动从不同视觉观察三维场景的线框图在当时的计算机图形技术水平下,Ivan Sutherland 取得的成就是非凡的目前在大多数虚拟现实系统中都能看到 HMD 因而, 许多人认为 Ivan Sutherland 不仅是计算机图形学之父, 而且还是虚拟现实技术之父虚拟现实是一门涉及众多学科的新技术它集先进的计算机传感与测量仿真和微电子技术于一体在计算机技术中, 又特别依赖于计算机图形学人工智能网络技术人机接口技术及计算机仿真技术而这些技术的发展带动了虚拟现实技术的进步, 也推动了其在教育医疗娱乐科技工业制造建筑和商业等领域中的广泛应用

254 9.4.2 虚拟现实技术的原理与特征计算机图形学相关的研究领域虚拟现实技术起源于可视化, 是多媒体技术的延伸, 反映了人机关系的演化过程, 是一种多维信息的人机界面它在计算机中构造出一种具有三维世界效果的模拟环境 ( 如飞机驾驶舱操作现场等 ), 同时还可以通过各种传感设备, 使用户投入到该环境中, 实现用户与该环境进行直接交互操作, 并产生与现实世界中相同的反馈信息, 使人们得到与在现实世界中同样的感受虚拟现实系统实际上是一种先进的人机接口它是利用计算机以及专用硬件和软件去仿真各种现实境界, 通过计算机和信息技术构造虚拟自然环境, 将用户和计算机结合成一个整体用户置身于模仿真实世界而创建的三维电子环境中, 通过各种技术模拟直接进入到虚拟环境去接受和影响环境中各种感觉刺激, 与虚拟环境的人及事物进行思想和行为的交流用户可以利用人类本能的方式与计算机信息交流, 人的语言眼神手势都可以为计算机所识别, 而人则可以用听觉视觉触觉来感受计算机信息, 如同现实环境中人与人交流一样的感受和交互对话, 达到与计算机进行直观自然的交互虚拟现实系统是相当逼真的三维视听触摸和感觉的虚拟空间环境, 虚拟三维可以随需要而变换, 交替更迭用户不再是被动性地观看, 而是融合在其中, 交互性地体验和感受虚拟现实世界中广泛的三维多媒体内容作为一门具有多媒体交互共享模式的新兴技术, 虚拟现实技术以其独特的优势, 在各个领域的应用越来越广当人们需要构造当前不存在的环境和人类不可能到达的环境或构造虚拟环境以代替耗资巨大的现实环境时, 虚拟现实技术是必不可少的虚拟现实技术具有以下 4 个重要特征 : (1) 多感知性 (multi 唱 sensory): 就是说, 除了一般计算机技术所具有的视觉感知外, 还有听觉感知力觉感知触觉感知运动感知, 将来甚至还会包括味觉感知嗅觉感知 ; (2) 存在感 (presence) 又称临场感 (immersion): 是指用户感到作为主角存在于模拟环境中的真实程度 ; (3) 交互性 (interaction): 指用户对模拟环境内物体的可操作程度和从环境中得到反馈信息的自然程度 ( 包括实时性 ); (4) 自主性 (autonomy): 指虚拟环境中的物体依据物理定律动作的程度根据虚拟现实的概念和技术上的特征, 可以用系统的存在感交互性和自主性来评价虚拟现实系统的性能虚拟现实系统的组成 VR 是一个十分复杂的系统, 涉及的技术包括图形图像处理语音处理与音响模式识别人工智能智能接口传感器实时分布系统数据库并行处理系统建模与仿真系第 9 章 241

255 计算机图形学 242 统集成及跟踪定位等 VR 的技术组成如图 9 唱 6 所示从图中可以看出, 典型的虚拟现实系统的基本组成包括 : (1) 效果产生器 : 完成人与虚拟环境交互的硬件接口装置 ; (2) 实景仿真器 : 系统的核心部分, 由计算机软件系统软件开发工具等组成 ; (3) 应用系统 : 面向具体问题的软件部分, 描述仿真的具体内容 ; (4) 几何构造系统 : 提供描述仿真对象的物理特性的信息图 9 唱 6 VR 系统的组成通常虚拟现实系统分为 : 桌面投入增强现实临境逆向和分布式等几种类型桌面虚拟现实系统是利用个人计算机或工作站进行仿真, 以计算机屏幕作为观察虚拟境界的一个窗口, 成本较低, 但投入性差投入系统是通过各种硬件和软件, 把周围的现实环境屏蔽掉, 完全被虚拟境界包围一个典型的 VR 系统有一个微型计算机或工作站, 带有图形加速器, 对虚拟环境的模型及图形进行实时分析和处理 HMD 由两个小型的液晶显视 ( liquid crystal display, LCD)TV 屏幕和立体声耳机组成, 给用户以视觉和听觉感受, 实际是用户浸入虚拟环境的视觉与听觉接口追踪控制器对操作者的头和手进行定位定向用户旋转时, 视景也跟

256 计算机图形学相关的研究领域着旋转三维音响可从耳机里听到用户戴上数据手套或三维鼠标可以与 VR 世界进行交流, 这实际上是一个与三维视景进行相互作用的接口虚拟现实的硬件系统包括 : 高性能计算机虚拟现实发生器声音合成器 3D 声音定域器语音识别器数据手套鼠标器跟踪球操纵杆头盔式显示器护目镜及数据服等软件系统一般包括虚拟现实环境构造程序和有关数据库等构造程序用来设计虚拟境界的景和物, 提供建模功能虚拟现实工具包可将三维物体与虚拟境界组合起来, 并赋予某些特性, 其中的程序库和模块化方法可以开发各种虚拟现实程序虚拟环境产生器是 VR 系统的主要部分, 其目的是为用户产生虚拟环境并实现运行管理它由应用系统和计算机系统两部分构成应用系统中的仿真管理器负责虚拟现实系统管理, 实现仿真过程的任务进程资源对象等所对应的场景事件运动等之间的协调, 使用户如同进入真实环境中 ; 用户应用系统用于定义对虚拟现实系统进行操作的内容 ( 如仿真动态逻辑结构以及仿真对象与用户间的交互关系 ); 三维几何造型系统按照应用要求对仿真对象的物理属性进行建模效果产生器主要包括头盔显示器位置与方向跟踪器三维声音处理器及触觉力反馈装置等头盔显示器的主要功能是使用户增加沉浸感 ; 位置与方向跟踪器用来跟踪头部的位置及方向, 并将感知信息送入计算机 ( 事实上, 数据手套也属于位置跟踪设备, 用来监视手的位置和方向手指的曲折 ); 三维声音处理器包括声音合成三维声音定域和语音识别, 用来构成动态声学环境, 这对增强沉浸感和构想是十分重要的 ; 触觉力反馈装置用来测量虚拟物体的反作用力, 从而实现力反馈目前, 常见的触觉力反馈装置有键盘鼠标空间球以及游戏杆触觉识别装置进展缓慢, 是目前 VR 需要着重解决的一个难题在虚拟现实系统中, 为了使人与计算机能够融洽地交互, 让人沉浸到计算机所创造的虚拟环境中去, 必须配备相应的硬件设备 1. 跟踪系统跟踪系统的任务是要实时检测出虚拟现实系统中人的头身体和手的位置与指向, 以便把这些数据反馈给控制系统, 生成随视线变化的图像 (1) 电磁跟踪系统 : 电磁跟踪系统由励磁源磁接收器和计算模块组成励磁源由 3 个磁场方向相互垂直的交流电流产生的双极磁源构成, 磁接收器由 3 套分别测试 3 个励磁源的方向上相互垂直的线圈组成, 经 3 次测量, 可以测得 9 个数据, 由此可确定被测目标的 6 个参数, 即空间坐标 x y z 和旋转角 α β γ (2) 声学跟踪系统 : 利用不同声源的声音到达某一特定地点的时间差相位差及声压差, 可以进行定位与跟踪与电磁跟踪法相似, 超声波式传感器也有发射器接收器和电子部件组成实现声音的位置跟踪, 可以采用声波飞行时间测量法和相位相干测量法 (3) 光学跟踪系统 : 光学跟踪系统使用从普通的视频摄像机到 x -y 平面光敏二极第 9 章 243

257 计算机图形学 244 管的阵列, 利用周围光或者由位置器控制的光源发出的光在图像投影平面不同时刻或不同位置上的投影, 计算得到被跟踪对象的方位光学跟踪系统可以被描述为固定的传感器或者图像处理器 2. 触觉系统触觉系统在虚拟现实系统中, 产生沉浸效果的关键因素是用户能用手或身体的其他能动部分去操作虚拟物体, 并在操作同时能够感觉到虚拟物体的反作用力力学反馈手套是最常用的触觉系统, 它使用 2 只手套, 在第一只手套的下部安装 20 个压敏元件, 当戴上手套时, 用户感觉到压敏元件随着手的用力产生的阻力, 压敏元件输出经模数转换后, 传送给主机处理第二只手套有 20 个空气室, 由 20 个空气泵来控制膨胀和收缩, 从而对用户施加力感 3. 音频系统听觉环境系统由语音与音响合成设备识别设备和声源定位设备所构成, 通过听觉通道提供的辅助信息可以加强用户对环境的感知为了能产生逼真的环境音, 人们已开始尝试使用 4 声道系统, 采用空间声音合成方法, 通过由不同方向到达左右耳道的声音测试得到响应 4. 图像生成和显示系统在 VR 环境中, 图像生成和显示技术显得特别重要由计算机生成视景的工作主要包括 : (1) 计算生成真实感的图形, 其图形具有颜色光照立体感和运动感 ; (2) 计算生成或直接从图像库中取得已经压缩且有真实感的背景图像 ; (3) 经过扫描变换将图形和背景图像统一安排在同一坐标系中 5. 可视化显示设备为了生成一个具有沉浸感的虚拟现实环境, 必须集成上述 4 种技术头盔式显示器 HMD 是该项技术的结晶, 它不仅综合了上述技术的精华, 而且还结合人类对视觉感知的生理特点其显示屏幕被设置在一个特制头盔的前部, 把计算机生成的图像分别送到头盔显示器的 2 个屏幕, 以产生一幅立体图像, 当人的头或身体转动时, 计算机图像生成系统送出的相应图像也跟着发生变化仿真多媒体与虚拟现实之间的关系从 VR 系统的组成可以看出,VR 系统也是一类仿真系统, 而且与多媒体紧密相关仅由视觉和听觉媒体组合而成的媒体称为狭义多媒体, 常见的形式有文字图形图像声音动画和视频等 ; 而把视觉听觉触觉嗅觉味觉等全部组合称为广义多媒体按此定义, 一般应用软件中所说的多媒体都是狭义多媒体一般意义上的仿真是指通过对给定模型进行计算, 最后给出一系列的数据, 这就是数

258 计算机图形学相关的研究领域字仿真 ; 为数字仿真过程及结果增加文本提示图形图像动画表现, 使仿真过程更加直观, 结果更容易理解, 并能验证仿真过程是否正确, 这便是可视化仿真 ; 在可视化仿真的基础上再加入声音, 就可以得到视觉和听觉媒体组合, 便成为多媒体仿真多媒体仿真不仅包括了数字仿真和可视化仿真的全部功能, 而且还具有视听功能然而, 系统中并未强调三维动画交互功能, 不支持触觉嗅觉味觉如果在多媒体仿真的基础上再加上这些功能, 就得到了 VR 仿真系统, 它们的关系如图 9 唱 7 所示由图可见,VR 系统是一个综合系统第 9 章 245 图 9 唱 7 数字可视化和多媒体仿真与 VR 的关系图 VR 是一种可以创建和体验虚拟世界的计算机系统, 虚拟世界是全体虚拟环境或给定仿真对象的全体, 而虚拟环境是由计算机和电子技术生成的通过视觉听觉触觉等作用于用户, 使之产生身临其境的感觉因此, 可将虚拟现实技术视为交互式仿真技术的高级形式它与传统的一般交互式仿真的主要区别如下 : 人机交互的自然性 : 传统的仿真环境一直是以计算机为中心, 用户借助于键盘鼠标或专用设备发出操作信息, 其交互特征是人适应计算机 VR 强调的是计算机适应人, 形成和谐的人机环境它是通过计算机识别人的位姿手势甚至可以人机会话在 VR 技术中, 头盔数据手套数据衣等成为人机交互的基本手段信息处理的多维性 : VR 基于多维信息, 包括声音图形图像位姿力反馈触觉等, 而不是仅仅基于数字信息虚拟环境的真实性 : 理想的 VR 应达到人在虚拟环境中如同在真实环境中的感觉, 即除了三维视景感觉外, 还具有自动定位的听觉触觉力觉运动等感知, 甚至具有味觉嗅觉等智能性 : 在 VR 中计算机系统除了计算功能外, 还能表现出具有知识智能等功能应用领域 : 仿真的目的一般归结为决策问题, 而决策分为宏观决策和微观决策

259 计算机图形学 246 目前,VR 系统的应用均属于微观决策问题大多数学者认为 VR 系统不适用宏观决策问题, 虽然有些 VR 系统规模很大, 但所涉及的都是局部决策, 因此也属于微观决策问题一类仿真技术最先应用于控制系统中在信息技术和计算机技术为先导的态势下, 仿真技术已渗透到多个领域, 并已取得明显的经济效益和社会效益但 VR 技术目前应用最多的是娱乐方面, 尽管人们预言 VR 将在不少领域得到应用, 但大多数 VR 系统只有视觉和听觉的感受, 极少涉及嗅觉味觉触觉, 实际应用还不多虚拟现实技术应用 VR 技术在教育医疗娱乐科技工业制造建筑和商业等领域中具有广阔的应用前景, 但目前尚处于初级阶段, 表 9 唱 2 列举了当前虚拟现实技术的一些应用领域表 9 唱 2 虚拟现实的应用领域用途医学教育艺术商业景观模拟科学视觉化军事太空机械人工业娱乐外科手术远程遥控手术身体复健虚拟超音波影像药物合成虚拟天文馆远距离教学虚拟博物馆音乐电传会议电话网络管理空中交通管制建筑设计室内设计地形地图数学物理化学生物考古天文, 虚拟风洞试验, 分子结构分析飞行模拟军事演习武器操控太空训练太空载具驾驶模拟机械人辅助设计机械人操作模拟远程操控电脑辅助设计电脑游戏虚拟现实技术应用于产品设计中, 可为设计人员提供形象直观的设计环境, 提高设计人员的设计效率和质量, 属于一种可控制的无破坏性的耗费小的并允许多次重复的试验手段, 能降低风险, 及早发现设计缺陷汽车飞机的风洞试验是汽车飞机设计的关键环节, 采用虚拟技术建立虚拟风洞, 可以降低汽车飞机的设计和调试成本, 缩短设计周期图 9 唱 8 和图 9 唱 9 是汽车的风洞试验及美国航空与航天局 (NASA) 的虚拟风洞

260 计算机图形学相关的研究领域第 9 章 247 图 9 唱 8 汽车风洞试验图 9 唱 9 美国 NASA AMES 研究中心的虚拟风洞概述 9.5 逆向工程逆向工程 (reverse engineering,re), 也称为反求工程或反向工程, 是一个相对概念, 它是相对于由设计思路产品的一般产品开发过程而言的逆向工程是由已有产品回溯产品设计思路的过程根据产品对象的不同, 逆向工程的理论和方法也不尽相同在软件行业中, 逆向工程是指利用反汇编反编译等工具将已有软件的目标代码还原为汇编代码 ( 源代码程序 ), 其过程与一般由高级语言源代码汇编源代码目标代码的软件开发顺序正好相反在制造领域中, 逆向工程是在没有设计图纸或者设计图纸不完整以及没有 CAD 模型的情况下, 利用各种数字化技术 CG /CAD 技术, 根据实物测量数据重构其计算机模型, 运用现代设计理论方法对模型进行再设计, 并与现代快速制造技术有机结合, 最终制造出产品的过程如图 9 唱 10 是传统的正向设计和现代逆向设计过程的比较逆向工程技术是对传统设计制造技术的拓宽和丰富制造领域的逆向工程是以三维测量表面重构为核心, 集光电测量计算机图像 / 图形处理计算机辅助设计 / 制造快速原型 / 模具数控等技术为一体的高新技术, 是现代产品设计与开发的先进手段, 在占国民生产总值 50% 以上的制造业中具有重要的作用 20 世纪 80 年代初美国 3M 公司 UVP 公司以及日本名古屋工业研究所开始研发逆向工程技术和设备目前美国英国德国日本以色列法国意大利韩国中国台湾等国家和地区已有商品化的逆向工程设备和软件系统美国在其国内建立了集测量设计快速成型快速模具数控加工于一体的逆向工程系统应用中心, 为中小企业提供技术服务,

261 计算机图形学 248 图 9 唱 10 正向设计与逆向设计工程系统图有效地提高了中小企业的竞争力, 促进了生产力的发展逆向工程作为一种现代产品开发手段, 能够大幅度缩短产品的开发周期, 使企业适应小批量多品种的生产要求, 在激烈的市场竞争中占据抢先投放市场的优势在现代工业中, 从航空航天汽车船舶到家电服装和玩具等各行各业, 逆向工程技术广泛应用于复杂造型的叶片壳体设计实物仿形服装加工模特制造医学诊断假肢制造机器人视觉在线检测和质量控制中国是最大的发展中国家, 消化吸收国外先进产品技术并进行改进是主要的产品设计手段, 逆向工程技术为产品的仿制和改进提供了方便快捷的工具, 在国家科技部的支持与倡导下于深圳武汉天津宁波西北建立了 5 个 RP&M 生产力促进中心, 各级地方政府及一些企业高校科研院所也成立了同样的服务机构, 为中小企业提供产品设计和快速原型 / 模具制造等技术服务, 对缩短与发达国家的差距具有特殊的意义逆向工程发展的源动力是基于已有产品设计新产品, 从而达到缩短开发周期的目的产品的开发很少是全新设计, 借鉴已有产品是快捷实用的方法, 也是很早就产生的自然想法制造业逆向工程是一个产品开发集成系统, 其核心是三维形状的数字化和表面重构随着计算机及计算机科学的诞生和发展, 文字声音二维图像相继实现了数字化, 信息社会的数字化特征越来越明显, 三维形状数字化能够在计算机中更客观更自然地表达三维实体, 但由于三维形状数字化涉及的相关技术难度较大, 一直到 20 世纪 90 年代快速测量三维打印快速成型等技术和设备日渐成熟, 逆向工程作为三维形状数字化产业的一部分才初步形成逆向工程的核心三维测量和表面重构是逆向工程技术的核心测量设备是逆向工程的核心硬件按测量方式分类, 测量设备分为接触式和非接触式两种接触式是传统的测量方式, 测量过程中探头与模型表面接触, 其典型代表是机械三坐标测量仪 (CMM) 这种测量技术已发展得比较成熟, 其突出优点是精度高 ( 可达 ±0.5μm), 但由于机械式测量结构存在的固

262 计算机图形学相关的研究领域有缺陷, 难以实现快速测量随着机器视觉技术和光电技术的发展, 非接触式的光电测量技术发展迅速, 这种测量方法测量速度快, 自动化程度高, 常见的方法有激光三角测量法莫尔条纹技术断层扫描技术等设备有三维激光数字化仪自动断层扫描仪工业 CT 和 MRI 等表 9 唱 3 列出了逆向工程中常用的测量方法的原理及特点表 9 唱 4 大致列举了各种测量设备特性的比较接触式非接触式 ( 光学测量超声波测量和电磁测量等 ) 表 9 唱 3 常用测量方法的原理与特点种类原理特点三坐标测量机 (CMM) 层析法基于光学三角形原理的激光扫描法基于相位偏移测量原理的莫尔条纹法基于工业 CT 断层扫描图像法采用触发式接触测量头, 一次采样只能获取一个点的三维坐标值将零件原型填充后, 采用逐层铣削和逐层扫描相结合的方法获取原型不同位置截面的内外轮廓数据根据光学三角形测量原理, 以激光作为光源, 其结构模式可以分为点线, 将其投射到被测物体表面, 采用 CCD 接收反射光, 根据光点或光刀成像的偏移, 通过被测物体基平面像点像距等之间的关系计算物体的深度信息将光栅条纹投射到被测物体表面, 光栅条纹受物体表面形状的调制, 其条纹间的相位关系会发生变化, 数字图像处理的方法解析出光栅条纹图像的相位变化量来获取被测物体表面的三维信息对被测物体进行断层截面扫描, 以 X 射线的衰减系数为依据, 经处理重建断层截面图像, 根据不同位置的断层图像可建立物体的三维信息测量精度高, 可达微米级, 但效率低, 对一些软质表面无法进行测量, 价格较高能测量任意复杂零件的内外轮廓, 测量速度精度中等, 价格中等, 破坏被测件测量速度较快, 可达点 /s 以上, 精度中等, 价格低倾斜度大的面棱边处测量误差大, 反光特性不合适的材料表面需喷涂基于投影面获取数据, 比基于点线获取数据的速度快, 一般测量精度达几十微米, 要小于 10μm, 光栅制作有难度类似于医学 CT, 可以测量物体的内部结构和形状, 属无损测量, 但造价高, 目前实用设备的精度约为 0.1mm 第 9 章 249 表 9 唱 4 各种测量设备的比较机械三坐标测量仪接触式外表面形状精度高软体难以测量手动成本低, 自动成本高 MRI /CT 非接触式内外表面精度低材料有限制成本高三维激光数字化仪非接触式外表面形状精度高材料不限成本中等层析数字化测量机破坏式内外表面精度高材料不限成本中等

263 计算机图形学 250 经过测量, 物体表面形状离散为数据点集, 有关线面的特征全部消失, 由离散数据点重构物体的 CAD 模型需经过离散点网格化特征提取表面分片曲面生成等步骤网格化是为了建立离散点之间的拓扑关系, 但由离散点拼合物体表面网格时存在多义性, 要设计全自动的算法存在难度, 由设计人员根据被测实物进行交互拼接是目前比较实用的方法 ; 有了物体表面的网格模型, 根据应用需要, 选用合适的曲面生成算法构建物体的曲面模型, 并通过数据接口导入 ProE UG 等常用的 CAD 软件进行后续的处理逆向工程的应用 1. 应用对象和范围广义地讲, 自然界中的一切自然对象都是逆向工程的应用对象人类利用一切手段研究揭示自然规律是一项浩大的逆向工程逆向工程方法和思想在产品设计中早有应用, 近年来随着数字化快速测量和快速制造设备的发展, 逆向工程在现代产品设计中的作用越来越大表 9 唱 5 大致列举了逆向工程目前的应用对象和范围表 9 唱 5 逆向工程的应用对象和范围应用对象应用内容有图纸委托加工的模具或产品原型用测量数据和数据处理软件检测模具或产品原型人工对象无图纸未提供图纸的外部引进产品以往产品图纸丢失手工制作原型修复损坏部件, 基于外部产品进行仿制或改进设计基于以往产品进行改进设计陶瓷玻璃器皿雕塑等多为手工制作原型, 通过测量, 可在计算机中建立 CAD 模型, 进行批量生产 ; 文物工艺品珠宝的复制和修复人体服装 / 鞋帽 CAD 设计 ; 人造肢关节镶牙法医鉴定等 ; 用于医学研究的人体模型, 如美国测量的夏娃 / 亚当构建地貌模型, 用于建筑水利交通军事矿藏勘探自然对象天然无图纸地貌化石古代生物的外形恢复鱼构建 CAD 模型, 研究其规律, 用于船舰的设计仿真鸟蜻蜓等构建 CAD 模型, 研究其规律, 用于飞行物的设计仿真由表 9 唱 5 中可以看出, 逆向工程分原形复制 ( copy ) 再设计 ( redesign ) 仿真 (simulation) 3 个应用层次复制和再设计都基于原型的形状, 复制是逆向工程应用的原始境界, 而基于现有产品进行再设计是目前逆向工程在产品设计中的主要应用服装 CAD 人造肢关节和镶牙等是逆向工程在自然对象中的应用, 与人造对象不同, 自然物

264 计算机图形学相关的研究领域天生没有图纸和 CAD 模型, 将自然物表达于计算机有两类应用, 一类是基于形状的, 如服装 / 鞋帽 CAD 人造假肢等 ; 另一类是脱离形状的仿真研究, 如将鱼和鸟表达于计算机, 通过研究鱼和鸟的运动规律, 可以为船舶和飞机的设计提供帮助, 这一类的应用是逆向工程的高级境界, 也可以说是最高境界, 因此揭示自然世界的规律并利用自然规律为人类服务是一项浩大的逆向工程, 从这一角度看, 逆向工程不仅是一种现代产品开发的手段, 而且是人类科学研究活动的目的 2. 逆向产品开发过程产品设计一般有全新设计和基于已有产品设计两大类全新设计即正向设计, 是由设计思路产品的过程, 全新设计在产品设计中所占比例很少基于已有产品进行产品设计在产品设计中占很大比例, 设计师在进行产品设计时都或多或少地借鉴了原型, 这种原型可以是同类产品, 也可以是自然对象即使在全新设计过程中也存在利用原型的做法, 因为新产品设计很难一次成功, 设计师会根据初步设计的原型反复修改, 修改的过程即是基于原型进行的由此可见, 研究基于已有产品进行产品设计的方法和技术具有重要的意义近年来随着数字化测量和制造设备的发展, 逆向产品开发能够越来越来多地利用原型中的数据和特征, 产品设计和原型制作的周期越来越短, 在降低设计成本的同时, 提高了产品投放市场的速度, 适应时新多变的市场, 有力地增强企业的竞争力 3. 应用实例逆向产品开发过程包括测量表面重构再设计产品原型 / 模具制造等主要步骤图 9 唱 11 中风扇叶片的数据是激光线扫描仪测量的, 共点数据点经重构表面, 通过标准 CAD 数据接口将测量的数据点云和重构表面输入到 UG 中, 在 UG 中完成规则形体倒角加强筋分型面的构造, 最后生成风扇叶片的实体 CAD 模型, 它是在日本 CMET 公司 SoupⅡ 激光快速成型机上用树脂制作的原型图 9 唱 12 是一全牙列石膏模型的三维层析测量及数据处理过程三维层析测量机工作流程包括填充切层扫描提取轮廓重构等操作采用铣削断层 + 扫描的方法与医学 CT 相类似, 层析方法的最大特点是可以测量任意复杂的内外腔形状图 9 唱 13 是陶瓷娃娃的测量数据点云图与真实感图图 9 唱 14 是电钻枪的激光扫描测量数据和处理结果设计是制造业的灵魂, 创新设计是提高企业产品竞争力的主要手段将逆向工程应用于现代产品设计, 能使产品开发周期平均缩短 60%, 大大降低了产品开发成本将逆向工程与已有的计算机辅助设计 (CAD) 计算机辅助工艺规划 ( CAPP) 计算机辅助制造 (CAM) 以及产品数据管理 ( PDM) 等技术有机地组合在一起, 能够有效地提高产品设计与制造水平, 对缩小发展中国家与发达国家之间的差距具有重要的意义第 9 章 251

265 计算机图形学 252 图 9 唱 11 逆向产品开发实例图 9 唱 12 一全牙列石膏模型的三维层析测量和数据处理过程

266 计算机图形学相关的研究领域第 9 章 253 图 9 唱 13 陶瓷娃娃测量数据及处理结果 ( 总点数 ) 图 9 唱 14 电钻枪的测量数据和处理结果 ( 点数 ) 习题 9.1 分析动画仿真虚拟现实之间的关系 9.2 结合自己所学专业, 叙述计算机图形学在本专业的应用

267 参考文献 1 Donald Hearn, M Pauline Baker 著畅计算机图形学畅北京 : 清华大学出版社, 孙家广, 杨长贵编著畅计算机图形学畅北京 : 清华大学出版社, 唐荣锡等著畅计算机图形学教程 ( 修订版 ) 畅北京 : 科学出版社, 唐泽圣等著畅计算机图形学基础畅北京 : 清华大学出版社, 彭群生, 鲍虎军, 金小刚编著畅计算机真实感图形的算法基础畅北京 : 科学出版社, David F Rogers 著畅计算机图形学的算法基础畅石教英, 彭群生等译畅北京 : 机械工业出版社, 向世明编著畅 Visual C ++ 数字图像与图形处理畅北京 : 电子工业出版社, 向世明编著畅 OpenGL 编程与实例畅北京 : 电子工业出版社, 侯俊杰著畅深入浅出 MFC( 第二版 ) 畅武汉 : 华中科技大学出版社, 詹海生, 李广鑫, 马志欣编著畅基于 ACIS 的几何造型技术与系统开发畅北京 : 清华大学出版社, 朱心雄等著畅自由曲线曲面造型技术畅北京 : 科学出版社, 管伟光编著畅体视化技术及其应用畅北京 : 电子工业出版社, 唐泽圣等著畅三维数据场可视化畅北京 : 清华大学出版社, 金涛, 童水光等编著畅逆向工程技术畅北京 : 机械工业出版社,2003

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ebook50-11 11 Wi n d o w s C A D 53 M F C 54 55 56 57 58 M F C 11.1 53 11-1 11-1 MFC M F C C D C Wi n d o w s Wi n d o w s 4 11 199 1. 1) W M _ PA I N T p W n d C W n d C D C * p D C = p W n d GetDC( ); 2) p W n