气象牡式中为东西风速参数设为常数为南北风逮报学卷为地球自转角速度例为纬度为将上式线性化很易求得小振幅的线性的惯性波的波速为丽土式中习为基本西风为方向的波数由上式看出线性的

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威贾
5 years ago
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1 卷第第气期! 月年学象报 # 大气非线性波动方程的解刘式达刘式适北京大学地球物理系提要本文从非线性大气运动方程出发用比较简洁的方法求得大气非线性惯性波非线性波的周期解这些解反映非线性大气波动的特色重力内彼和非线性有限振幅的惯性波和重力内波振幅大的波传播越快大波长长的波传播越慢本文还分析这些解的某些可能的实际意义这些柞线性波的研究提供解非线性方程的新的途径波劝进行比较引作较为系统的概括在大气科学方面波作方程它可以与大家熟悉的线性方程年将这两方面的研究在山对斜压层结大气中的方程即修正的方程求得调制波的振幅满足比方程时求得其振幅满足所有这些研究都是采用多尺度扰动分析法选取适当的小参数和色散参数在非线性因子和色散因子平衡时求得合适的解对非线性方程的这些研究工作是很有意义的但得到的非线性方程程方程和比波认为其振幅满足邸在研究无界区域层结流体的非线性内波和非线性椭圆余弦波主研究寻得其振幅满足方程即振幅以和最早从事这方面工作的是在研究随机不均匀性对非线性波的影响时他们研究的是具有水平速度切变的正压方程即已经引起许多物理领域的重视叹而且波言最近十几年来关于非线性孤立波对于夭气预报和大气湍流的研究都有定的意义分析指出对而有限振幅的非线性例如方方程的解是熟知的而得到这些方程用比较复杂的方法本文在已知的大气线性波动的基础上加人非线性平流项分析非线性大气波动并用比较简洁的方法求得某些非线性波动的解非线性惯性波大气中的非线性惯性波主要是扰动在力的作用下形成的在局地坐标系中描写维非线性惯性波的方程组可以写为本文于年月日收到年月日收到修改稿

2 气象牡式中为东西风速参数设为常数为南北风逮报学卷为地球自转角速度例为纬度为将上式线性化很易求得小振幅的线性的惯性波的波速为丽土式中习为基本西风为方向的波数由上式看出线性的大气惯性波是色散波动解下面我们计人非线性平流项求的波设君雪雪代人到为非线性惯性波的波速在对舀微商积分时设为常数将劣得到其中代表对雪的微商之第式乘第式乘相加有尸丈设箫丈公七山则得到为与占无关的常数相当于振动的振幅于是可设其中是女的函数之任式都可得到代入到吸矛雪夕仙声乙雪飞矛两边积分得到式中为积分常数下十争的隐式解为便求得非线性惯性波方程代人到君丁之刃叹可拷十占省工劣仅管是隐式解言气妙但它具有非线性波的般特色这是由于存在位相差即振幅频率漂移的缘故不过其基本

3 期刘式达等大气非线性波动方程的解圆频率仍然为 f 为确定振幅刀我们可以直接去解方程组 4 这是 U 的非线性常微分方程令则 11 化为 U c Z U j 不犷 W 上式两边乘以 W 并对雪积分则得到不 F W W 介 W 雪 - 合护十 W 评 W Z 2 注意 W - c U 2 f Z U 0 W 三 U c 2 f Z w f Z 砰 f Z = o ; 2 f Z e 由 4 消去 V 得到 0 WZ 十 c C 为积分常数 W 专 2 十 C [ W 2 4 Z f W Z 8 Ze f w = A d W Z d 舀 2 = A 8 f Ze w 4 f Z w ; Z w d w 通杯 s f 平 4 Z f w = j 雪准 151llf1i18 尸夕 -I 厅才 nl 八卜 U d 矛 15 上式两边积分中通为积分常数并注意丫 r 则求得 B 岔 Ie 气 = 刀含十下是积分常数丫石浮泊万不砚声? 刀号 5 n _ l 2 夕丫夕杯刀连刀十 2 艺巫亚顶更三亘十车 l 十 B 4 些里其卜丫 A 十 4 气将 12 代人上式求得 11 的隐式解为多艾旦杯 A 4 尹 u cz Z _ f 万 ~ ~ ~ 毛矛 ~ 甲 5 多乙丫 A 十 4 c c 护劣万尸护 < 0 气万少通 4 Z cz 杯 _ ;_ f f ~ 尸写 l 1! - 罗火由 _ \ 乙 \ - 下甲 - 下乙 c e e 丫通 4 f Z e Z 2 式中 a = f B

4 气象学报 40 卷若取 A = O 则上式化为以 t = e s i n 留 l 止 t 己落 r ~ a \ C C 与 20 第式比较即有 D = 丫 A 4 f ZeZ Z f 在 A = O 时上式说明大的惯性波 c 非线性惯性波的另特色是振幅随波速波传播也越快的增加而增加因此 2 0 振幅越三非线性重力内波中其 N 大气中重力内波主要是在稳定层结下的扰动在重力作用下形成的描写非线性重力内波的方程组可以写为 d 叮山九 - 必汀中 R 为东西风速为气体常数 { d d d 如 = o d d 协 \ 价 \ _ 而下个苏份歹厂为垂直刃速度厉为平均温度必为重力位势为垂直减温率厂誉厂厂劣在夕坐标系为绝热垂直减温率 2 1 扩喜万万万是 Bru nt v ais * 频司为静力稳定度参数设为常数将 21 线性化很易求得小振幅的线性的重力内波的色散关系为 e v k = 丽士 e = 丫苛丽式中丽为基本西风而言重力内波的传播速度下面分别是夕方向上的波数我们求非线性重力内波方程组 2 1 的波动解 = U 卯 = D 将上式代入到 2 1 得到必 = 必甲 v k U U k 中为圆频率与 3 类似即是相对于基本气流设甲 = k x 夕 v t { 铭 = 0 v 杯 l k U 中叮 = U 其中分别代表对切的阶微商及阶微商 k 24 的第式积分次有取积分常数为零上式化为升 v k U U = k 中并代人到第三式消去十 k U 巾 = k 2 U 2 5 以 2 2 代入上式改写为

5 期刘式达等大气非线性波动方程的解若令万 U U U c 巾中 v 上刃 0 端 U 少则 2 6 又可改写为 fu 亡 U e V = 0 U e V e o U = 在形式上与 4 类似 2 但这里声是对沪的微商 8 之第式乘 U 第式乘 V 相加有 U c U Z V Z 0 设 U c 铸则得到为与势无关的常数其中 0 是两边积分得到的函数代表振动的振幅代入到 2 8 之任式都可得到式中 a 为积分常数将 3 3 代入到 31 告 D U Z 十 V Z D Z 于是可设 U = D s i n o U c d o d 中 = e ; D s in o e d c o d 切 co s o a - 求得 U 的隐式解为丁 U 价 _ _ 以 f 代入到戈群朴以代人刽 = 万之厂 l ese 必 2 甲 k 朴 t V Dsin 中十 a 碑十 v a 与 C 中 D co s c 癸 c 十 V c 十 a 3 4 r 丁 D s i n U _ 贝求得毋相的隐式解为丁 c o s c 切十 V 十 a 十 d ; 3 5 对 U 中解改写为舫劣夕 D s i n e o 沪 e V e a { 协 x x 夕心 0 D e o s e 中 e 十 V a d 甲 n 气 0 沪 f 百这就是非线性重力内波方程 2 1 的隐式解 c 而且基本圆频率仍是 k 基本波速仍是与惯性波样为确定振幅 D 与惯性波样癸 = k 劣夕可直接解方程组它同样具有振幅和频率漂移从 28 消去 V 并

6 气象学报 40 卷令得到它与 13 形式相似为 u 劣式中 A 所以 W W W 下 1 r 名 1 厂性 _ 0 1 I L 2 C o 均为常数护 W W 三 U 2 e e 名 W e e 合 = 0 我们立刻求得大气重力内波的非线性方程 21 关于 e s n 若取 A 0 则上式化为刀 i l 丝 k 万石万下汤花矛六绝 k 夕 v t 止乙竺卫匕巴乙 a \ C 艺 C o C 气万万夕 v t ~ 匕止 a \ C 已 5 9 与 36 之第式比较有 D 丫通 ez 遵若 2e0 在 A = 0 时波上式也说明波传播越快起主要作用大气非线性重力内波的振幅与波速 c 成正比若把振幅比拟为系统的强度因此像夏天积雨云这样的小尺度系统它应是强度越强移速越快这也是定性地与实际致的的隐式解振幅越大的重力内重力内波四非线性 R o ss by 波般认为波主要是由于 R os s b y 参数夕 d f d y 的作用所形成的在坐标系中描写 R os sb y 波的方程组个涡度方程另个是连续性方程可以写为 d d r d d \ \ 其中丽丽十 } 七月社月小 da 刃 y 公分别为东西风速和南北风速将涡度方程线性化这就是 R os sb y 公式下面其中 k 分别是十丽火丽少脚钊 42 刀取为常数求得小振幅的线性的 R os sb y 波的色散关系为 c v k = 石刀 k Z 其中丽为墓本西风为方向的波数我们求非线性 R os sb y 波方程 42 的波动解将上式代人到 42 得到 = 面 U 0 公 = V 方向上的波数 fk 丽 k U V = k 劣护设 l y 十刀 V o 为圆频率为波速 4 4 k U I V 尹 = 其中代表对 e 的微商 U 得到对上式之第式积分次有 U l k v 取积分常数为零并代入到第式消去

7 5 2 期刘式达等大气非线性波动方程的解 k k 丽十 IV V 刀 V 这是 V 的非线性方程设 k 葱十 IV 传 0 则有这是 V 的非线性常微分方程若去掉分母中的 IV 项 ; 蔽仁谎而 V 诬这相当于假定南北无限宽这就是线性 R os sb y 波所满足的常微分方程 v 式表征振动要求 k 云 < 而且 r 0 且下面我们求解柞线性方程 47 首先在 l 月 t ; 尸 7 ~ ; 弋 - 刃 F 凡气 p 托林刀 k v k 砚我们若把刀 k v k 石十 IV 视为夕的已知函数时 v k 砚十 I V < 上式应转化为线性振动的要求即 v k 面 < 0 对 47 两边同乘以 Z V 并对 0 ZF 丁 F F 飞 r V V 积分 U 则上式化为由于这里 V 表示 V 对 e 的阶微商 1 这就是 R oss b y 公式 43 注意 V 若 l 气只 U 七 L v R 公么 = 尸乙乙 0 则 47 表征振动要求护 k 葱 ~ ; ; ~ ~ 月 n { 吸梦月材十乙 F - } 十 U 4 8 则上 C 为积分常数则得到典拳竺立互 l! * ; } 飞 L 乙式中 B 为积分常数考虑 49 和 50 上式可改写为 v 宾攀万叫竺全 I n 1 十终飞 L 乙 \ p R 肠 5 3 A 为任意常数对叹 5 2 Lb3 暇确求解儿半龙小叫形四 _ Z V 但右特 ln 吸 1 十 r 飞共万 \ y 作几 _ ia yl or 展汁 _ I n 吸 1 十 - 代入到 5 3 取到包含 V 的项为止 I V \ I V I I V \ - - 纪私 V R 肠乙 \ V R 助 I V \ ~ = 1 十毛石 V R 牡则 53 蜕化为 5 4 将上式对 0 微商两次 V 23 设 V 铸刀 l k v k 丽 2 V 3 刀 k k 面即得到下列著名的 K dv 方程 V Z A 5 5

8 气象学报 4 0 卷 5 5 改写为 F 十 - - R 叹 p 2 刀 l t; 犷 F - 尸 r R - 林 R 气梦尺少 u 5 6 其中是 V 的三次多项式 F - 2 刀 I n 石而下丽 r 尸 v v 万为保证 V 是有界的周期函数的三个根必须是分立的单实根因而 57 改写为 F = V > 这个非线性方程是可以准确求解的 V V 卜 v 喜 k 丽 2 刀 l 三次方程 P V = 0 k 石 V Z B l 不妨设它的三个根为 V 砚 0 它们满足尸丁刀 l V V V V V r 括气护 R 解它的解是 V Z 杯毛面不头砰 V! V V Z V l V Z 2 Vl V 杯雨兴卿 3 y 其中武表 ac o bi 椭圆余弦函数在这个意义上我们称由 R oss by 波为 R o ssb y 椭圆余弦 C n o idal 波其中由 a co bi 椭圆余弦函数的性质可知 R os sb y 椭圆余弦波的波长为只 2 掩杯 62 表征的非线性 6 吞 v 吞丽 2 刀 lf F 3 尤 6 3 人 L 叭 = 万 2 l O 1 下共 = = 书共共 4 ; 丫 1 S l 饥 n ; 6 4 是第种完全椭圆积分模数满足 m 2 V v l V V Z 而 R s os by 椭圆余弦波的振幅为 V V I V Z 66 考虑到三次代数方程 59 的根与系数的关系有 F l 十 F Z 十犷 3 从而求得 R os s by 椭圆余弦波的色散关系为普 v k 五 - 久 U 67

9 叩期刘式达等大气非线性波动方程的解 = 万又 r 十厂上式与 43 不同若取 v ; 价 2 若取 V ; = V 2 十它不包含刀 V 2 V 2 器 Fl 十犷 z r 3 但含有振幅的因素 3 介 4 则求得云 l k 价 2 ; V = 不 l 舟 2 亡例如无论 70 都说明 R os sb y 椭圆余弦波不但波长越长的波幅越大的波的切断另文详细阐述波速也越小甚至倒退阻塞系统往往不动向西倒退的天气事实 70 则求得 3 ; 71 波速越小这些都更能解释我们经常见到的振幅大关于 R os sb y 椭圆余弦波而且振波长长我们将五讨论题本文用比较简洁的方法求得某些非线性波动方程的解但是很初步的线性方程的某些方法的某些结论们将另文阐述本文初稿完成后不过本文的目的还在于探讨解非线性方程的可能性在此基础上进步比较非线性波与线性波这些解虽然说明些问并提供解非从而得到非线性作用关于大气中的椭圆余弦波 c no id al w ave 和孤立波 s o litary w av e 承学报审稿同志提出若干宝贵意见对本文定稿有不少帮助谨此致谢我 [1 S eo tt 2 L o n g 3 B en n e y 4 R e d e k o P P 5 K a w a h ara 6 M as l o w e & R e d e k o p P 7 W hie h a m 仓 B 8 C 五 r i sti e 9 R o d e k 叩 p 10 W e id m a n 11 F u 参考文献云 a 万 h 乙 P h y s 4 5 尸 l 玄 d ee 卫无琳 a 几 e C c p 82 名 c 玄巾邵 u 凡 a A 邢 o c 扣 P u 价 0 5 S oe o 脱 a 胡

10 气象学报 40 卷 T H E S O L U T IO N O F T H E N O N L IN E A R 即 V A V E E Q U A T IO N IN A T M O S P H E R E L iu Sh i d a a n d L i u S h i k u o D 印 a rt e 砚 oi G 心即 h c a 舜 g U 初 er a ty A b s t r a e t I n t h i s P a P e r

导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数反函数隐函数以

导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数反函数隐函数以 2015 年考研数学二考试大纲考试科目 : 高等数学线性代数考试形式和试卷结构一试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟. 二答题方式答题方式为闭卷笔试. 三试卷内容结构高等教学约 78% 线性代数约 22% 四试卷