96 山东大学学报 ( 理学版 ) 第 45 卷设 (Ω,,P) 是完备的概率空间,(X, ) 是 Banach 空间,f=(f n ) n 0 是与的某个递增子 σ 代数序列 { n } n 0 适应的 X 值鞅,df n =f n -f n-1,n 0,f -1 0 若 0<p<, 定义极大

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1 第 45 卷第 5 期 Vol.45 No.5 山东大学学报 ( 理学版 ) JournalofShandongUniversity(NaturalScience) 2010 年 5 月 May2010 文章编号 : (2010) 向量值弱 Orlicz 鞅空间的弱原子分解朱永刚, 于林 ( 三峡大学理学院, 湖北宜昌 ) 摘要 : 定义了向量值弱 Orlicz 鞅空间和 3 种类型的弱原子, 了向量值弱 Orlicz 鞅空间上的一些弱原子分解定理, 并利用这些分解, 得到向量值弱 Orlicz 鞅空间之间的嵌入关系, 其结果与 Banach 空间的几何性质有密切关系关键词 :Banach 空间 ; 弱 Orlicz 鞅空间 ; 弱原子分解 ; 嵌入中图分类号 :O211 4 文献标志码 :A Weakatomicdecompositionsforvector valuedweakorlicz martingalespaces ZHUYong gang,yulin (ColegeofScience,ChinaThreeGorgesUniversity,Yichang443002,Hubei,China) Abstract:Somevector valuedweakorliczmartingalespacesandthreetypeweakatomicsaredefined,andtheprimary theoremsofweakatomicdecompositionsfortheseweakspacesareestablished.asanapplication,theembeddingrela tionshipsamongthesemartingalespacesarediscused,andtheresultsobtainedherearecloselyconnectedwiththegeo metricpropertiesofthebanachspace. Keywords:Banachspace;weakOrliczmartingalespaces;weakatomicdecomposion;embedding 1 定义和引理原子分解方法在调和分析和鞅论中有着重要的作用, 其基本思想是将所讨论的空间中的函数或鞅用一类具有很好性质的十分简单的函数或鞅经过线性组合生成, 这种把空间原子化的研究方法, 深刻影响了函数空间鞅空间与算子理论的研究最近,Weisz [1-2] 进一步研究了 Vilenkin 鞅的弱 Hardy 空间 wh p 上的弱原 [3] 子分解, 由此了弱形式的 Hardy Litlewood 不等式 2006 年, 侯友良定义了一些弱 Hardy 鞅空间和 3 种类型的弱原子, 它们与经典的 H p 鞅论中的 Hardy 鞅空间和原子形成对应, 然后了弱 Hardy 鞅空间上 [4] 的 3 个弱原子分解定理同时, 刘培德定义了一些 Banach 空间值鞅的弱 Hardy 空间的原子分解, 并指出其结果与 Banach 空间的凸性和光滑性有密切关系弱空间包括弱 L p 与它在调和分析和鞅论中的应用在最 [5] 近几年得到越来越多的关注刘培德首先引入了弱 Orlicz 空间, 并比较系统地研究了它在鞅论中的应用本文讨论了一类由满足 M Δ 条件的 N 函数生成的向量值弱 Orlicz 空间 wh Φ (X),w p H S (X),w Φ ph σ (X), Φ w p Q Φ (X) 和 wd Φ (X), 建立了弱原子分解定理, 并以此为工具讨论了它们之间的相互嵌入关系, 其结果与 Banach 空间的几何性质有密切联系收稿日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( ); 湖北省教育厅自然科学研究计划重点项目 (D ) 作者简介 : 朱永刚 (1977 ), 男, 讲师, 硕士, 主要研究鞅空间理论及其应用. zyg@ctgu.edu.cn 于林 (1965 ), 男, 教授, 博士. yulin@ctgu.edu.cn

2 96 山东大学学报 ( 理学版 ) 第 45 卷设 (Ω,,P) 是完备的概率空间,(X, ) 是 Banach 空间,f=(f n ) n 0 是与的某个递增子 σ 代数序列 { n } n 0 适应的 X 值鞅,df n =f n -f n-1,n 0,f -1 0 若 0<p<, 定义极大算子均方算子条件均方算子如下 : σ (p) n S (p) n f n = m n f m,f = n 0 f n ; (f)= n df p [ m ] 1/p ;S (p) (f)= S (p) n (f); m=0 n 0 (f)= n p [ E m-1 df m ] 1/p ;σ (p) (f)= n (f) m=0 n 0 σ(p) 用 Λ 表示非负的递增的随机变量序列的集合, 其中 λ=(λ n ) n 0 Λ 满足 λ =lim n λ n, 称鞅 f=(f n ) n 0 在 L p 中有可料的控制是指存在序列 λ=(λ n ) n 0 Λ, 使得 f n λ n-1,λ L p 设 Φ 是一个 Young 函数, 即 Φ 在 [0, ) 是凸的和非减的,Φ(0)=0,lim Φ(x)= 若存在一个常数 x C 使得 Φ(2t) CΦ(t), t>0, 则称 Φ Δ 2, 实际上, 它也等价于对 a>1, 存在一个常数 C a, 使得 Φ(at) C a Φ(t), t>0 一个好的 Young 函数 Φ, 称为 N 函数, 是一个连续的 Young 函数, 满足 Φ(x)=0 当且仅 Φ(x) 当 x=0,lim x 0 x =0,lim Φ(x) x x =+ 关于 N 函数的进一步性质参见文献 [6] 考虑所有可测函数的集合并且 wl Φ ={f: c>0,φ(ct)p( f >t)<, t>0}, { } f wlφ =infc>0:φ t c P( f >t) 1, t >0 称 wl Φ 为弱 Orlicz 空间文献 [9] 表明是一个拟 Banach 空间, 当 Φ(t)=t p 时,wL Φ =wl p 定义向量值弱 Orlicz 鞅空间如下 : wh Φ (X)={f=(f n ) n 0 : f whφ (X)= f wlφ < }, w p H S Φ (X)={f=(f n) n 0 : f wp H S Φ (X) = S (p) (f) wlφ < }, w p H σ Φ (X)={f=(f n) n 0 : f wp H σ Φ (X) = σ (p) (f) wlφ < }, w p Q Φ (X)={f=(f n ) n 0 : (λ n ) n 0 Λ,s.t.S (p) n (f) λ n-1,λ wl Φ }, = inf (λ n ) Λ λ wlφ, wd Φ (X)={f=(f n ) n 0 : (λ n ) n 0 Λ,s.t. f n λ n-1,λ wl Φ }, f wdφ = inf (λ n ) Λ λ wlφ 注 1 在上述定义中, 将 wlφ 换成 Lp 就得到熟知的 Hardy 鞅空间, 见文献 [7] 定义 1 设 1 p<, 一向量值可测函数 a 称为是第 1 类弱原子 ( 相应地, 第 2 类弱原子, 第 3 类弱原子 ), 若存在一个停时 τ( 称为与 a 相联系的停时 ), 使得 (ⅰ)a n =E(a n )=0, n τ; (ⅱ) σ (p) (a) < ( 相应地,(ⅱ) S (p) (a) <,(ⅱ) a < ) 这三类弱原子分别简单地记为 w 1 原子,w 2 原子,w 3 原子为简便计, 本文中用 Z 表示整数集,N 表示非负整数集,C p,c Φ 表示仅依赖于 p,φ 的常数, 但是允许在不同的上下文表示不同的值另外, 有时用 E n 表示关于 n 的条件期望引理 1 [8] 设 Φ 是一个 Young 函数, 则 (1)Φ(λt) λφ(t), λ 1; (2) 当 p< 时, λ 1, 有 Φ(λt) λ p Φ(t) 引理 2 [5] 设 X 是 Banach 空间,10, 有 f wlφ C S (p) (f) wlφ 成立 ; (3) 对于任意的 X 中的鞅 f=(f n ), 存在常数 C>0, 有 f wlφ C σ (p) (f) wlφ 成立

3 第 5 期朱永刚, 等 : 向量值弱 Orlicz 鞅空间的弱原子分解 97 2 弱原子分解定理 1 设 10 为某一常数, Φ(2 k )P(τ k < )< 当 f=(f n ) n 0 w p H σ (X) Φ 时, f n = E n a k, n N, (1) f wp H σ ~inf Φ(2 k )P(τ k < ), (2) Φ 这里的 inf 是对 f 的所有如上的分解取得的设 f=(f n ) n 0 w p H σ (X), Φ 注意到 σ (p) n+1(f) 关于 n 可测, 对任意, 定义停时 τ k =inf{n 0:σ (p) n+1(f)>2 k }(infφ= ), 则 τ k (k ) 令 f (τ k ) =(f n τk ) n 0 为停止鞅, 则 (f (τ k+1 ) n )= [ n χ(m τ k+1)df m - n χ(m τ k)df m] m=0 m=0 n (χ(m τ k+1 )-χ(m τ k ))df m =f n, (3) m=0 其中 χ A 表示集 A 的特征函数令 a k n=f (τ k+1 ) n (,n N), 则对每个固定的,a k =(a k n) n 0 是鞅由于 σ (p) (f (τ k ) )=σ (p) (τ k )(f) 2 k, 所以 σ (p) (a k n)= n=1e n-1 da k p ( n ) 1/p = n=1e n-1 df (τ k+1 ) n -df (τ k n ) = p 1 p σ (p) (f (τ k+1 ) n )+σ (p) (f (τ k ) n ) (2 k+1 +2 k )=3 2 k (4) 由 X 的 p 一致光滑性, 得到 a k n p C p σ (p) (a k n) p C p 3 2 k <, 故 a k =(a k n) n 0 是 L p 有界的因为 p 一致光滑空间具有 Randon Nikodym 性质, 故 a k n 几乎处处收敛, 仍以 a k 为其极限, 则 E n a k =a k n, n 0 由 a k n 的定义知, 当 n τ k 时,a k n=0 由上已得 σ (p) (a k ) A 2 k, 即说明 a k 是 w 1 原子, 并且故式 (1) 得证 a k n= (f (τ k+1 ) n )=f n 由于 f w p H σ Φ (X), 令 σ (p) f wlφ =a, 则 t>0,φ {σ (p) (f)>2 k }, 那么 Φ(2 k )P(τ k < )= Φ(2 k )P(σ (p) (f)>2 k )= t a P(σ(p) (f)>t) 1, 由 τ k 的定义知,{τ k < }= Φ a 2k a P(σ(p) (f)>2 k ) C a Φ 2k a P(σ(p) (f)>2 k ) C a <, (5) 说明 Φ(2 k )P(τ k < )< 反过来, 设对每个 f=(f n ) n 0 都存在一列 w 1 原子 (a k ), 对任意固定的 y>0, 选取 j Z, 使得 2 j y< 2 j+1,f= a k = j-1 k=- a k + a k, 令 g= j-1 k=j k=- a k,h= a k, 则 f=g+h 由于 k=j σ (p) (a k )= ( ( E n ((σ (p) (a k )-σ (p) n (a k )) p ) 1 p ) ) n 0 E n (σ (p) (f (τ k+1 ) n )-σ (p) n (f (τ k+1 ( ( n )) ) p) ) + E n (σ (p) (f (τ k ) n )-σ (p) n (f (τ k ( ( n )) ) p ) ) n k k =A 2 k, 由 σ (p) (f) 算子的次线性性得所以 σ (p) (g) j-1 p 1 n 0 P(σ (p) (f)>2ay) P(σ (p) (g)>ay)+p(σ (p) (h)>ay), k=- σ(p) (a k ) A 2 j Ay, 因此 P(σ (p) (g)>ay)=0 显然, 在 {τ k = } 上,σ (p) (a k )=0 p 1

4 98 山东大学学报 ( 理学版 ) 第 45 卷又因为 σ (p) (h) k=j σ(p) (a k ), 故 {σ (p) (h)>0} k=j{τ k < } 考虑到 2 j y<2 j+1, 当 k j 时,Φ ( y 2) Φ(2k ), 因此, Φ( y ) 2 P(σ(p) (f)>2ay) 2 P(σ(p) (h)>ay) 2 P(σ(p) (h)>0) 2 k=j P(τ k < ) 2 Φ(2 k )P(τ k < ) k=j Φ-1 (2 k ) C Φ Φ(2 k )P(τ k < )<, (6) 即 σ (p) (f) wl Φ, 这表明 f w p H σ (X) 再综合 Φ (5) 和 (6) 即得于是式 (2) 得证 Φ(2 k )P(τ k < ) f wp H σ C Φ (X) Φ Φ(2 k )P(τ k < ) 定理 2 设 10 为某一常数,λ 为 w p Q Φ (X) 定义中的序列, Φ(2 k )P(τ k < )< 当 f=(f n ) n 0 w p Q Φ (X) 时, ~inf Φ(2 k )P(τ k < ), (8) 这里的 inf 是对 f 的所有如上的分解取得的对任意定义停时则 τ k (k ) 令 a k n=f (τ k+1 ) 所以设 f=(f n ) n 0 w p Q Φ (X), 非负的递增的适应序列 λ=(λ n ) n 0 使得 n S (p) n λ n-1,λ wl Φ, τ k =inf{n 0:λ n >2 k }(infφ= ),, 则对每个固定的,a k =(a k n) n 0 是鞅, 由于 S (p) (f (τ k ) )=S (p) τ k (f) λ τk -1 2 k, S (p) (a k )= i=0 da k p ( i ) 1 p = df (τ k+1 ) i -df (τ k i p ) 1 p S (p) (f (τ k+1 ) )+S (p) (f (τ k ) ) 3 2 k i=0 类似于定理 1 的,a k 是 w 2 原子并且式 (8) 得证, 且 λ (a k ) A 2 k 由 τ k 的定义知,{τ k < }={λ >2 k }, 那么 Φ(2 k )P(τ k < )= Φ(2 k )P(λ >2 k ) λ wlφ < (9) 反过来, 设存在一列 w 2 原子 (a k ) 使得式 (7) 成立, 且 Φ(2 k )P(τ k < )<, 令 M= Φ(2 k )P(τ k < ), 又令 λ n = χ(τ k n) S (p) (a k ) (n N), 则 (λ n ) n 0 是非负的递增的适应序列在 {τ k >n} 上,S (p) n+1(a k )=0, 因此 S (p) n+1(f) S (p) n+1(a k )= χ(τ k n)s (p) n+1(a k ) χ(τ k n) S (p) (a k ) =λ n 对任意固定的 y>0, 选取 j Z, 使得 2 j y<2 j+1, 记 λ (1) = j-1 χ(τ k n) S (p) (a k ),λ (2) = χ(τ k n) S (p) (a k ), k=- k=j 则 λ =λ (1) +λ(2)

5 第 5 期朱永刚, 等 : 向量值弱 Orlicz 鞅空间的弱原子分解 99 由于 λ (1) j-1 k=- S(p) (a k ) j-1 A2 k Ay, 因此 P(λ (1) >Ay)=0; 由于当 τ k n 时,a k n=e n a k =0, k=- 故 S (p) (a k ) 在 {τ k = } 上为 0 于是{λ (2) >0} k=j{τ k < }, 从而 2 P(λ >2Aλ) 由上式可得 2 P(λ(1) 2 P(λ(2) >Aλ)+ >0) 2 P(λ(2) 2 k=j >Aλ)= MΦ -1 (2 k ) C Φ M 2 P(λ(2) >Aλ) λ wlφ C Φ M=C Φ Φ(2 k )P(τ k < )< (10) 这表明 f w p Q Φ (X) 再综合(9) 和 (10) 即得于是式 (8) 得证 Φ(2 k )P(τ k < ) (X) C Φ Φ(2 k )P(τ k < ), 定理 3 设 X 是具有 Radon Nikodym 性质的 Banach 空间,Φ Δ 2, 那么 f=(f n ) n 0 wd Φ (X) 当且仅当存在一列 w 3 原子 (a k ) 和与之相联系的停时 (τ k ) 使得 f n = E n a k, n N, (11) 且 λ (a k ) A 2 k 其中 A>0 为某一常数,λ 为 wd Φ (X) 定义中的序列, Φ(2 k )P(τ k < )< 当 f=(f n ) n 0 wd Φ (X) 时, f wdφ ~inf Φ(2 k )P(τ k < ), (12) 这里的 inf 是对 f 的所有如上的分解取得的设 f=(f n ) n 0 wd Φ (X), 则存在非负的递增的适应序列 λ=(λ n ) n 0 使得 f n λ n-1,λ wl Φ, 同定理 2 的一样定义 τ k 和 a k n, 对任意, 可以得到 a k 3 2 k <, 由于 X 具有 Radon Ni kodym 性质,a k 是 w 3 原子, 并且式 (11) 得证, 同样易得 Φ(2 k )P(τ k < )= Φ(2 k )P(λ >2 k ) λ wlφ < (13) 反过来, 设存在一列 w 3 原子 (a k ) 使得式 (11) 成立, 且 Φ(2 k )P(τ k < )<, 令 M= Φ(2 k )P(τ k < ), 又令 λ n = χ(τ k n) a k (n N), 则 (λ n ) n 0 是非负的递增的适应随机变量序列在 {τ k >n} 上,a k n+1=0, 因此 f n+1 f n+1 a k n+1 = χ(τ k n)s (p) n+1(a k ) χ(τ k n) a k =λ n 对任意固定的 y>0, 同定理 2 的可得 λ wlφ c Φ M=c Φ Φ(2 k )P(τ k < )<, (14) 这表明 f wd Φ (X) 再综合(13) 和 (14) 即得式 (12), 证毕 3 嵌入关系定理 4 设 X 是 Banach 空间,10 使得每个 X 值鞅 f=(f n ) n 0 成立 f whφ (X) C f wp H σ ; (15) Φ (X) (3) 存在常数 C>0 使得每个 X 值鞅 f=(f n ) n 0 成立

6 100 山东大学学报 ( 理学版 ) 第 45 卷 f whφ (X) C (X) (16) (1) (2) 假设 X 是 p 一致可光滑空间, 由定理 1 知, 当 f=(f n ) n 0 w p H σ Φ (X) 时, 存在一列 w 1 原子 (a k ) 和与之相联系的停时 (τ k ) 使得 f n = E n a k, n N 且 σ (p) (a k )<A 2 k, Φ(2 k )P(τ k < )< 对任意固定的 y>0, 选取 j Z, 使得 2 j y<2 j+1, 同定理 1, 给出鞅 g 和 h, 由于 g p j-1 k=- ak p C p j-1 P(f >2y) P(g >y)+p(h >y) k=- σ(p) (a k ) p, 有 Φ(y)P(g >y) Φ(y)y -p g j-1 另一方面, Φ( y ) k=- Φ(y)y-p a k p j-1 k=- Φ(y)y-p σ (p) (a k ) p j-1 A 2 k Φ(y)y -p C p < k=- 2 P(h >y) 2 P(h >0) 2 k=j P(h >0) 2 k=j C Φ Φ(2 k )P(τ k < )<, 所以 f wh Φ (X), 这说明 w p H σ (X) wh (X), Φ Φ 故 f whφ (X) C f wp H σ Φ (X) P(τ k < ) (2) (1) 设鞅 f=(f n ) n 0 满足 E(S (p) (f) p )<, 由 H older 不等式得,E(σ (p) (f) p )<, 由式 (15) 有 f wlφ = f whφ C σ (p) (f) wlφ C σ (p) (f) <, 则 f < a.e., 这就说明 X 同构于 p 一致可光滑空间 (1) (3) 利用定理 2, 类似于 (1) (2), 可得 (1) (3) 利用条件中的不等式, 类似于 (2) (1) 可得 (3) (1) 定理 5 设 X 是 Banach 空间,10 使得每个 X 值鞅 f=(f n ) n 0 成立参考文献 : f whφ (X) C f wdφ (X) 结合定理 3, 类似于定理 4, 此处从略 [1]WEISZF.BoundedoperatorsonweakHardyspacesandapplications[J].ActaMathHungar:SerA,1998,80: [2]WEISZF.WeakmartingaleHardyspaces[J].ProbMathStat,1998,18: [3] 侯友良, 任颜波. 弱 Hardy 鞅空间与鞅的弱原子分解 [J]. 中国科学 :A 辑,2006,36(6): [4]MAT,LIUPD.AtomicdecompositionsofweakHardyspacesofB Valuedmartingales[J].WuhanUniversityJournalof NatureScience,2006,11(3): [5]YULin.Orlicznorm inequalitiesforoperator valuedmartingaletransforms[j].siatisticsandprobabilityleters,2008,78 (4): [6]RAOM M,RENZD.TheoryofOrliczspaces[M].NewYork:MercelDekker,1991. [7]WEISZF.MartingaleHardyspacesandtheirapplicationsinFourieranalysis[M]//LectureNotesinMath:Vol1568.New York:Springer Verlag,1994. [8] 龙瑞麟.H p 鞅论 [M]. 北京 : 北京大学出版社,1989. ( 编辑 : 李晓红 )

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第 35 卷第期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近赵晓娣, 孙渭滨宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik

96 山东大学学报 ( 理学版 ) 第 45 卷 设 (Ω,,P) 是完备的概率空间,(X, ) 是 Banach 空间,f=(f n ) n 0 是与 的某个递增子 σ 代数序列 { n } n 0 适应的 X 值鞅,df n =f n -f n-1,n 0,f -1 0 若 0<p<, 定义极大

96 山东大学学报 ( 理学版 ) 第 45 卷设 (Ω,,P) 是完备的概率空间,(X, ) 是 Banach 空间,f=(f n ) n 0 是与的某个递增子 σ 代数序列 { n } n 0 适应的 X 值鞅,df n =f n -f n-1,n 0,f -1 0 若 0<p<, 定义极大