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央豫经
7 years ago
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1 第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导

2 复习 : 凑微分

3 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos )

4 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f n d f ); ( ) ( ) ( d f d f ; 4 d f d f ); (ln ) (ln ) (ln 5 d f d f

5 常见凑微分公式 ); (sin ) (sin )cos (sin 6 d f d f ); ( ) ( ) ( 7 e d e f d e e f ); (tn ) (tn )sec (tn 8 d f d f ) (rctn ) (rctn 9 f d f d(rctn ) 完

7 第一类换元法 ( 凑微分法 ) 问题 e d? e C 观察从公式 u u e du e C, 令 u, 则有 e d( ) e C e d e C ' e ) e ( 解法可将微分 d 凑成 d () 的形式, 即 d d() e d e d() u u e du e u C e C e

8 第一类换元法 ( 凑微分法 ) e d e d() u u e du e u C e C 一般地, 设具有原函数即 f (u) F (u), 则 f [ ( )] ( ) d ( f ( u) du F( u) C, ) u 换元 f [ ( )] d( ) f ( u) du F( u) C u () 回代 F[ ( )] C,

9 定理设 f (u) 具有原函数, u () 可导, 则有换元公式 f [ ( )] ( ) d [ f ( u) du] u ( ) 第一类换元公式 ( 凑微分法 ) 说明使用此公式的关键在于将 g ( ) d 化为 f [ ( )] ( ) d

10 例 0 求不定积分 ( ) d 解利用凑微分公式 d d( b), 0 ( ) d 0 所以 ( ) ( ) d u 换元 u 回代 0 ( ) d( ) u 0 du u C ( ) C 完

11 例解求不定积分 d 注 : 一般情形 : d u 换元 u 回代 f b) d ( ) d d( ) du ln u C u ln C b u ( f ( u) du 完

12 例计算不定积分 e d 解 e 注 : 一般情形 : d u 换元 u 回代 f ( ) d e d( ) e u du e u C e ( ) d e C u f ( u) du 完

13 例 4 解计算不定积分 d d ( ) ( ) d ( ) d( ) ( ) C 注 : 对变量代换比较熟练后, 可省去书写中间变量的换元和回代过程完

14 例 5 解 ( ln 求不定积分 d ) d ( ln ) d(ln ) ln d( ln 注 : 一般情形 : lnu 换元 u ln 回代 f (ln du u ln ) ln u C ln C ln ) d f (ln ) d(ln )

15 例 6 求下列不定积分 () 解 () () e e d d; e d( ) e ( ) d ( ) tn d tn d tn d( ) sin d( ) cos e C;

16 例 6 求下列不定积分 () e d; ( ) tn d 解 () e d e ; C ( ) sin tn d d( cos ) d(cos cos ) ln cos C 注 : 一般情形 : f ( ) d f ( ) d( ) 完

17 例 7 解 () 求下列不定积分 ( ) d; ( ) d 8 5 原式 d d rctn C; 4 ( 4) 9 ( 4) d () d 原式 rctn 4 C

18 例 8 求下列不定积分解 ( ) d; e e e e e d e () 原式 d d ln( e ) C; sin ( ) d e e d d d( e ) e

19 例 8 求下列不定积分 sin ( ) d; ( ) e d sin 解 ( ) d d sin sin d cos 注 : 一般情形 : f ( e ) e f d f ( e ) d( e ); d f d C 完

20 例 9 解法一求不定积分 sin d 原式解法二原式解法三原式 sin d() sin cos (sin ) C; sin cos (cos ) C 注 : 一般情形 : f f (sin ) cos d (cos ) sin d d d cos C; sin d(sin ) cos d(cos ) f (sin ) d sin f (cos ) d(cos ) 完

21 例 0 求下列不定积分 ( ) sin d; 5 ( ) sin cos d 解 () sin d sin sin d ( cos ) d(cos ) d(cos ) cos d(cos ) cos cos C;

22 例 0 求下列不定积分 ( ) sin d; 5 ( ) sin cos d 4 解 () 原式 sin cos d(sin ) sin ( sin ) d(sin ) (sin 4 6 sin sin ) d(sin ) 5 7 C sin sin 5 sin 7 注 : 当被积函数是三角函数的乘积时, 折开奇次项去凑微分完

23 例求下列不定积分解 () () cos d; cos d () cos d cos 4 d ( d cos d ) d cos d() 4 sin C; 4

24 例求下列不定积分 () cos d; () cos 4 d 解 ( ) 4 cos d ( 4cos cos4) d 8 ( 4cos cos 4 ) 8 d d d [ cos ( ) cos 4 (4 )] 8 d 4 d sin sin 4 C 8 4 完

25 例解计算不定积分 d 由于所以 d d d ) ( ) ( d d, d ln C C ) ln (ln

26 例解求不定积分 d 原式 d ) )( ( d d 4 4 ) ( 8 ) ( 8 d d ) ( ) ( C 注 : 利用平方差公式进行根式有理化是化简积分计算的常用手段之一完

27 例 4 求下列不定积分解 () ( ) csc d; ( ) sec d csc d d d sin sin cos d tn cos d tn tn ln tn C

28 例 4 求下列不定积分 ( ) csc d; ( ) sec d 解 ( ) csc d tn ln tn C sin sin cos sin csc cot, cos sin csc d ln csc cot C;

29 例 4 求下列不定积分解 ( ) csc d; ( ) sec d () d d cos sec sin( d( ) ) ln csc( ) cot( ) C ln sec tn C 完

30 例 5 求下列不定积分 6 ( ) sec d; 5 ( ) tn sec d 解 () 6 sec d (sec ) sec d ( tn ) d(tn ) 4 ( tn tn ) d(tn ) 5 tn tn tn 5 C ;

31 5 例 5 求下列不定积分 ( ) tn sec d 解 ( ) tn 5 sec d 4 tn sec sec tnd (sec ) sec d sec (sec 6 4 sec sec ) d(sec ) 7 5 C sec 7 sec 5 sec 完

32 例 6 试用换元法求不定积分 d sin 解法一解法二原式原式 sin sin tn cos d d cos tn d C C d cos cos cos d 4 cos 4 完

33 例 7 求 cos cosd 解 cos cos cos cos Acos B cos d [cos( A B) cos( A B)], (cos cos5), (cos cos5) d cos d cos5d(5) 5 sin 0 sin5 C 完

34 sin cos d sin cos 例 8 用换元法求不定积分解原式 (sin cos ) d(sin cos ) (sin cos) C sin C 完

35 cos cos 例 9 试用换元法求不定积分 d 解原式 d sin sin sin sin d rcsin d(sin sin ) sin C 完

36 例 0 解试用换元法求不定积分 ln d 利用例的结果 : ln C d 得 d ln C ln 完 d ln ln ln 4 C

37 例解求不定积分 4 d 所以因为 d 原式 d ln C 完 d 4, d C ln

38 ln( ) d 例求不定积分解因为 [ln( )] 它与被积函数分母相同, 所以, 原式 ln( ) d[ln( )] [ln( )] C 完

39 内容小结第一类换元法 ( 凑微分法 ) 设 f (u) 具有原函数 F( u) u ( ) 则有换元公式, 可导, f [ ( )] ( ) d [ f ( u) du] u ( ) F( u) C 公式应用关键 : 将 g ( ) d 化为 f [ ( )] d( ) [ f ( )] ( ) d f [ F[ ( )] d[ ( )] C ( )] 当 0 时

40 第一类换元积分法常见的凑微分方式积分类型 f ( b) d f ( b) d( b) f ( ) d f ( ) d( ) f ( ) d f d ( ) 4 ( ) ( ) ( f d f d ) 5 f d ( ) f ( ) d ln 6 f (ln ) d f (ln ) d ln 7 f ( e ) e d f ( e ) de 8 ( 0) ( 0 ) f (sin ) cos d f (cos ) sin d f (sin ) d sin f (cos ) d cos 换元公式 u u u u b u u ln u e u sin u cos

41 第一类换元积分法 9 f (tn ) se d f (cot ) cse d sinm cosnd sinm sinnd cosm cosnd 0 sinm d cos m d sinm d ( m为奇数 ) f (tn ) d tn f (cot ) d cot cos m d ( m 为偶数 ) f (rctn ) d f (rctn ) d(rctn ) f (rcsin ) d f (rcsin ) d(rcsin ) u tn u cot 利用积化和差公式进行变换用公式 sin co co sin 进行变换化为倍角的三角函数降幂后再积分 u rctn u rcsin

42 课堂练习求下列不定积分 ( ) ; ( ) d () d e ; ( ) d; cos ( 4) d 求 f () 设 f (sin ) cos, 完

43 求下列不定积分 ( ) ; ( ) d () d e ; ( ) d; cos ( 4) d ( ) 解 () 原式 d ( ) ( ) d d( ) d( ) ( ) ( ) ( ) C

44 求下列不定积分 () d e ; ( ) d; cos ( 4) d 解

45 求下列不定积分 ( ) d; cos ( 4) d 解 () 解一原式 d cos tn () C d e ; d cos

46 求下列不定积分 ( ) d; cos ( 4) d 解 () 解二原式 cos d sin () d e ; cos ( cos )( cos d ) cos cos d d(sin ) sin sin d cot sin C

47 求下列不定积分 ; () d e 4) ( d 解, ) ( ) ( d e d e C e

48 求下列不定积分 ( 4) d 解 (4) 令, 原式则 d, t t dt t dt t t t 于是 dt rcsin t C rcsin C 完

49 设 f (sin ) cos, 求 f () 解令 u sin, 则 cos u, f ( u) u, f ( u) ( u) du 从而 f ( ) C u u C, 完

Successful ways to cultivate high quality personnel for exhibition industry

Successful ways to cultivate high quality personnel for exhibition industry 不定积分显然微分 ( 或导数 ) 逆运算的问题就是 : 找一个还函数 y = F (), F( ) f ( ) F( ) 的导数已知函数一不定积分的概念不定积分的定义 : 函数 f () 的原函数全体称为 f () 的不定积分记作 f ( ) d F( ) C 积分常数 F() 求