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1 摇 摇 物理学家在星期一 星期三和星期五应用波动理论, 而在星期二 星期四和星 期六却应用粒子理论 威廉 亨利 布拉格爵士淤 奥古斯丁 简 菲涅耳( ) 是一名法国物理学家和法国政府土木工程师, 是波动光学 理论的主要创建者之一 他对光学的发展做出了突出的贡献, 包括19世纪应用于灯塔上的著名 的菲涅耳透镜 1815年因与拿破仑政见不同, 菲涅耳被软禁, 直到拿破仑的统治结束 在此期 间, 菲 涅 耳 提 出 了 把 波 动 光 学 理 论 转 化 为 数 学 理 论 的 想 法 ( 襂 INTERFOTO / Alamy ) 如果你没有掌握基本的实验技能, 你就不可能成为一位优秀的实验大师 ( If you cannot saw with a file or file with a saw, then you will be no good as an experimentalist. ) 奥古斯丁 简 菲涅耳 淤 语录选自 Alan Mackay, Dictionary of Scientific Quotes, 2nd Edition (Institute of Physics Publishing, Bristol, 1991), p. 37

2 第 1 章摇 光的波动性 1. 1 摇均匀介质中光的波动性 A. 平面电磁波 光的波动性与其光子的粒子性行为十分不同 光的波动性已通过诸如光的干涉和衍射现象得到很好的证明 光波是一种电磁波 (EM), 具有随时间变化的电场 E x 和磁场 B y 在空间传播过程中, 光波的电场 E x 和磁场 B y 始终相互垂直, 并且垂直于光波的传播方向 z 轴, 如图 1. 1 所示 最简单的行波是正弦波, 沿 z 轴传播, 其一般数学形式为 ( 沿着 z 轴传播的行波 )( ) 式中, E x 表示 t 时刻在 z 点处的电场 ; k = 2p / 姿是传播常数 (propagation constant) 淤, 姿为光波波长 ; 棕为光波角频率 ; E o 为光波的振幅 ; 准 o 为 t = 0 时刻 z = 0 处的光波初始相位常数 E x 的值是否为 0 取决于原点的选择 ( 棕 t - kz + 准 o) 表示光波的相位 (phase), 可用准表示 式 ( ) 描述的是一个在 xy 平面无限延伸的单色平面光波 ( monochromatic plane), 沿着正 z 轴方向传播, 如图 1. 2 所示 在任意垂直于光波传输方向 (z 轴 ) 的 xy 平面上, 根据式 ( ) 可知, 光波的相位准是常量, 即这一垂直面上光波的电场也是常数 在某一给定时刻, 这种光波相位恒相等的表面称为光波的波阵面 (wavefront) 从图 1. 2 可以看出, 平面波的波阵面显然垂直于光波传播方向的无限延伸的 xy 平面 图 1. 1 摇在均匀且各向同性介质中, 传播的电磁波有着时变的电场和磁场, 电场和磁场相互垂直, 且同时垂直于传播方向 z 轴 图中为一特定谐波或正弦电磁波在某一给定时间上的波形图 在经过啄 t 时间之后, 这列波上的一点, 如最大值点, 将在 z 方向上移动 v 啄 t 的距离根据电磁场理论, 由法拉第定律可知, 时变磁场产生时变的电场, 时变电场产生时变的磁场 并且, 时变电场产生具有相同频率的时变磁场 由电磁原理可知于, 式 ( ) 表示的传 淤 于 一些作者也把 k 称为波数 然而, 在光谱学中, 波数暗指 1 / 姿, 即波长的倒数 为了避免混淆, k 一般称为传播常数 麦克斯韦方程组明确地表述了电磁现象, 并给出了电场和磁场及它们的空间导数和时间导数之间的关系 我们仅需要用到麦克斯韦方程组中的几个结论, 而无须深入研究它们的推导过程 磁场 B 也被称为磁感应强度或者磁通量密度 在非磁性材料中, 磁场强度 H 和磁场 B 的关系为 B = 滋 oh, 其中, 滋 o 为介质的绝对磁导率

3 第 1 章摇 光的波动性 3 播电场 E x 总会伴随产生一个传播磁场 B y B y 的频率和传播常数 ( 棕和 k ) 分别与 Ex 的频率和传播常数相同 但是电场 E x 和磁场 B y 的振动方向相互垂直, 如图 1. 1 所示 由此可知, 磁场 B y 的传播方程与电场 E x 的传播方程类似 在绝缘体材料 ( 电导率滓 = 0 ) 中, 一般只需考虑用电场 E x 而不是磁场 B y 来描述光波的相互作用 正是由于电场替代晶体分子或离子中的电子, 使物体发生极化, 所以, 绝缘体材料中的光波传播一般只需考虑电场 E x 的作用 在实际应用中, 光场 (optical field) 一般指的就是电场 E x 然而, 因为电场和磁场相互关联, 具有密切的关系, 如图 1. 1 所示, 所以光场一般用电场 E x 表示 图 1. 2 摇 在一个给定的 xy 平面内, 一列沿 z 轴方向传播的平面电磁波在该平面 任意点上都有相同的 E x ( 或 B y ) 由此, 在给定的 xy 平面内所 有的电场分量都是等相的 这里的 xy 平面在 x 轴和 y 轴方向上无限延展 因为 cos 准 = Re[exp(j 准 )] ( Re 表示实数部分 ), 传输光波也可用指数形式表示, 而我们 需要计算的是复数结果中的实数部分, 所以式 ( ) 可表示为 或者摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 沿着 z 轴传播的行波 )( ) 式中, E c = E o exp(j 准 o) 为复数, 表示光波的振幅, 包含光波的初始相位常数信息准 o 注意, 在式 ( ) 中, expj( 棕 t - kz) 表示 e j( 棕 t-kz) 引入矢量 k 表示光波的传播方向 k 叫作波矢量 (wave vector)( 或者传播矢量, propagation vector), 其值为传播常数 (propagation constant), 有 k = 2p / 姿 从图 1. 2 可以看出, 波矢量 k 垂直于光波的等相面 考虑到电磁波沿任意的 k 方向传播, 如图 1. 3 所示, 则其在空间内的任意点 r 处的电场 E(r,t) 为摇摇摇摇摇 ( 三维空间内传播的行波, 波矢量为 k)( ) 摇摇由于点积 k r 是沿着如图 1. 3 所示的类似于 kz 的光波传播方向, 点积 k r 可通过画出垂直于波矢量 k 并经过矢量 r 端点的平面来表示 点积 k r 是波矢量 k 的大小与矢量 r 在 k 上的投影 r 忆的乘积, 即 k r = kr 忆 如果光的传播方向为 z 轴, k r 即为 kz 在一般情况下, k 在 x y z 轴方向上有分量 k x k y k z, 那么根据点积的定义有 k r = k x x + k y y + k z z 对给定的光波的相位准, 如在最大电场时, 由式 ( ) 可知, 平面光波时间和空间满足关系

4 4 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 在时间间隔啄 t 内, 这一给定相位 ( 即最大电场处 ) 在 z 方向上移动了啄 z 的距离 光波的相速度是啄 z / 啄 t, 所以相速度 ( phase velocity)v 满足 ( 相速度 )( ) 式中, v 为电磁波的频率, 有棕 = 2p v 在自由空间中, 电磁波的相速度 v 等于真空中的光速, 即 c 如图 1. 1 所示, 考虑在给定时刻同一光波中相距一定距离驻 z 的两点的相位差驻准 如果光波为满足式 ( ) 沿着 z 轴 图 1. 3 摇 沿着 k 方向上传播的平面电磁波 传播并且波矢量为 k 的平面光波, 由于两点的棕 t 相同, 则两点间的相位差就等于 k 驻 z 当两 点间的相位差为 0 或者 2p 的整数倍时, 这两点的相位相同 因此, 光波中两点间的相位差驻准 可表述为 k 驻 z 或者 2p 驻 z / 姿 B. 麦克斯韦波动方程和发散光波 考虑图 1. 2 中的平面电磁波, 其所有的等相面为 xy 平面, 都垂直于 z 轴 平行于 z 轴做该 平面电磁波的任一截面, 截面图如图 1. 4(a) 所示, 垂直于 z 轴的平行虚线是光波的波阵面 通常用相位差 2p 或间隔波长姿来表示相邻两波阵面, 如图 1. 4 所示 点 P 处垂直于波阵面的 矢量表示在点 P 处的光波传播方向 k 显然所有平面波的传播矢量相互平行, 平面波在传播过 程中不发散 平面波的振幅 E o 不随位置的变化而变化, 其在垂直于波矢量 k 的平面上所有的 点都是定值, 即与 x y 轴坐标无关 由于平面波的波阵面趋于无穷大, 平面波的能量也为无 穷大 图 1. 4(a) 中是理想平面波, 可用以分析许多光波现象 然而事实上, 由于光束横截面 积和能量有限, 垂直于波矢量 k 的平面波内的电场不会无限传播 理想的平面波需要面积无 穷大且能量无穷大的电磁波源 图 1. 4 摇 电磁波的几种可能的例子 (a) 一列完美的平面 波 ( b) 一列完美的球面波 ( c) 一束发散光束 现实生活中存在着各种电磁波 这些光波遵循特定的波动方程, 用以描述其电场的时空 依赖性 各向同性的线性电介质的相对介电常数 ( 着 r ) 在各个方向上相同, 与电场无关 该介 质中的电场 E 满足麦克斯韦电磁波动方程 (Maxwell 蒺 s EM wave equation):

5 第 1 章摇 光的波动性 5 摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 麦克斯韦波动方程 )( ) 式中, 滋 o 是绝对磁导率, 着 o 是绝对介电常数, 着 r 是介质的相对介电常数 式 ( ) 假定介质为各向同性介质 ( 稍后讨论 ), 介质的电导率为 0 使用初始条件和边界条件解式 ( ), 可以得到不同光场的时空特性 易知式 ( ) 描述的平面光波满足方程 ( ) 另外, 现实中还存在多种光波满足方程 ( ) 若光波从点光源发出, 在各向同性介质中传播, 并且振幅大小与到光源的距离 r 成反比, 则这种光波叫作球面波 (spherical wave) 距离光源 r 处的球面波场为 ( 球面波 )( ) 式中, A 是常量 把笛卡儿坐标系转化为球面坐标, 把式 ( ) 代入式 ( ), 可知式 ( ) 确实是麦克斯韦方程组的一个解 球面波的截面图如图 1. 4(b) 所示, 球面波的波阵面是以光源 O 为圆心的球面 在任意点处光波的波矢量 k 垂直于该点所在的波阵面, 如图 1. 4(b) 中的 P 点 在光波的传播过程中, 球面波的波矢量 k 是发散的, 并且光波的等相面变得越来越大 光发散 (optical divergence) 指的是光波在同一波阵面上不同方向的波矢量 k 有角分离 而球面波从光源向四周 360 毅的发散 很显然, 平面波和球面波是两种极端的光波 : 平面波的传播方向完全平行, 而球面波的传播完全发散 产生这两种电磁波的光源大小极端不同 : 产生平面波需要无穷大的面波源, 产生球面波则是无穷小的点光源 实际上, 不存在无穷大的面光源和无穷小的点光源, 光源的大小和能量均有限 图 1. 4( c) 中光波的传输符合现实中光的传播, 光束在传播过程中存在一些必然的发散 图 1. 4(c) 中光束的波阵面缓慢弯曲, 光波发散 在几何光学中, 光线垂直于光的等相面 ( 波阵面 ), 沿着波矢量的方向传播 由于波阵面弯曲, 图 1. 4(c) 中的光线相互缓慢的发散开 当光波传播到远离光源的一个很小的空间区域时, 即使是球面波, 该波的波阵面也近似于平面波的波阵面, 可以使用平面波的方法分析该光波, 这也就是许多光学分析偏好平面波的原因 图 1. 4(a) 表示的平面波可能是巨大球面波的一小部分 许多光束, 如激光器输出的光束, 可以假设是高斯光束 (Gaussian beams) 图 1. 5 表示的是高斯光束沿着 z 轴传播的情况 在高斯光束中, 仍然用 expj( 棕 t - kz) 描述光束的传播特性 不过, 高斯光束振幅变化不仅在垂直 z 轴的方向上, 而且在沿着 z 轴的方向上 其传播特性与如图 1. 4(c) 所示的光束相似 由于光源的大小能量范围有限, 高斯光束缓慢发散淤, 在垂直 z 轴的任意平面上, 高斯光束的光强 ( 单位时间单位面积光束能量 ) 满足高斯分布, 如图 1. 5(b) 和图 1. 5(c) 所示 在任意点 z 处, 高斯光束在垂直 z 轴的 xy 平面中横截面积为 p w 2 的圆形区域内, 如果此区域包含整个光束 86% 的能量, 则该圆的直径为高斯光束在此点的光束直径 (beam diameter) 2w 所以, 光束直径 2w 随着高斯光束沿 z 轴传播不断增大 如图 1. 5(a) 所示, 从 O 点输出的高斯光束的初始直径为有限值 2w o, 其波阵面平行 在沿着 z 轴传播过程中, 高斯光束波阵面弯曲, 光束缓慢发散 波阵面平行时高斯光束的初始直径 2w o 称作该光束的束腰 (waist) w o 称作束腰半径 (waist radius), 2w o 又称作光斑直径 (spot size) 在远离高斯光束光源处, 光束直径 2w 随着 z 轴呈直线增长 如图 1. 5 所示, 高斯光线光束直径 2w 随着 z 淤 发散由光束的自衍射引起, 即光束衍射限制 本文稍后也将介绍其性质 而且, 在 1. 4 节中, 光强大小也将被定量 定义 目前, 我们讨论的是单位面积单位时间内的辐射能量流

6 6 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 的增加在点 O 处形成 2 兹的夹角, 该夹角叫作高斯光束的光束发散角 (beam divergence) 高斯 光束的束腰直径越大, 光束发散角越小, 两者呈以下关系 : ( 高斯光束远场发散角 )( ) 图 1. 5 摇 (a) 高斯光束的波阵面 (b) 光束界面的光强 (c) 光强与轴线 z 方向上的径向距离 r 的关系曲线 高斯光束在发散角比较小时淤, 是麦克斯韦方程组的一个解, 光束强度沿着 z 轴缓慢衰落 假设利用球面镜反射使得高斯光束沿着原来的路线返回, 那么光束的传播方向是如图 1. 5(a) 所示光波传播的反方向, 为 - z 轴, 光束向 O 点会聚 在传播过程中, 高斯光束的波阵面将会变直, 直到 O 点时, 波阵面又变平行 这时, 高斯光束在 O 点依然有 2w o 的束腰直径 高斯光束再向 - z 轴传播, 光束发散, 如同其在 + z 方向上的传播状态 高斯光束反射传播如图 1. 6(a) 所示 从图 1. 6(a) 看出, 若使用透镜或者球面镜会聚高斯光束, 得到的并非是光点, 而是直径为 2w o 的光斑 可以由式 ( ) 中的发散关系得到高斯光束会聚的最小光斑直径 2w o 如图 1. 6(a) 所示, 高斯光束直径为 2 1 / 2 (2w o ) 的点到 O 点的距离为 z o, 那么该距离 z o 称为瑞利长度 (Rayleigh range), 可以表达为 ( 高斯光束的瑞利长度 )( ) 瑞利长度又称为景深 ( depth of focus) 2z o 叫作共焦参数 ( confocal parameter) 如果沿着 z 轴空间远离 O 点, 即 z >> z o, 则该空间称为远场区 (far 鄄 field region) 高斯光束的直径 2w 随着与 O 点距离 z 的增加而增加 高斯光束的直径为摇摇 ( 一定距离高斯光束的直径 ) ( a) 在远离瑞利范围, 即 z >> z o 处, 光传播到远场区, 光束的直径将随着 z 呈线性增长 : 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 一定距离 z 高斯光束的直径 )( b) 由式 ( ) 可知, 高斯光束的束腰半径 w o 半发散角兹的乘积为 w o 兹 = 姿 / p 也就是说, 高斯光束的束腰半径 w o 与半发散角兹的乘积只与光束的波长有关, 其乘积对给定波长来说是常量 乘积 w o 兹叫作高斯光束的光束参数乘积 (beam parameter product) 淤 这就是所谓的傍轴相似, 此时波阵面的法向即波矢量, 与 z 轴所成夹角很小

7 第 1 章摇 光的波动性 7 在光子学中, 高斯光束是一个十分重要的概念 所以, 人们定义一个特殊参量 M 2 因子 ( M 2 factor) 来比较实际输出的激光光束与理想高斯光束 M 2 因子是衡量实际激光光束相对于高斯光 束偏差的参数 M 2 = 1 表示理想的高斯光束波形 假设 2 兹 r 和 2w or 分别是实际激光光束的发散角和 束腰直径, 而 2 兹和 2w o 分别是理想高斯光束发散角和束腰直径, 那么 M 2 可以表示为淤 其中, 理想高斯光束满足 w o 兹 = 姿 / p (M 2 因子的定义 )( ) 图 1. 6 摇 (a) 高斯光束的定义 z o 区域被称为瑞利长度, 也被称作景深 (b) M 2 > 1 的实际光束与 M 2 = 1 的高斯光束的对比, 且两者束腰相等, 都为 2 w o 由式 ( ) 知, M 2 指的是实际光束的光束参数乘积与理想高斯光束的光束参数乘积的 比值 因此, M 2 能够衡量激光光束的光束质量 (beam quality) 对于许多激光器, 其光束质量 因子 M 2 大于 1 对于多模激光器, M 2 可能会高达 10 ~ 30 对稳态的 He 鄄 Ne 单模激光器, 其 M 2 近似等于 1 用 在 z 处的光束直径满足 : w or M 2 替代 w o, 可用高斯公式计算实际激光光束直径 例如, 实际激光光束 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 距离 z 处的光束直径 )( ) 在远离瑞利范围处, 有 2w r 得高斯光束的束腰半径等于激光光束的束腰半径, 即 w o 发散角将增大到兹 r = M 2 兹, 如图 1. 6(b) 所示 = M 2 (2w), 其中 2w 是理想高斯光束在该处的直径 如果使 = w or, 那么由式 ( ) 实际光束的 淤 有些作者定义 M 为 M = 兹 r / 兹 = w or / w o, 用来代替此处的 M 2 另外, 在这一点上, 读者不需要太过在意 多模冶和 单模冶的 问题, 而只需要在意从激光器中出输出激光的辐射类型

8 8 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 例 摇发散激光光束已知一个 He 鄄 Ne 激光器发出 633 nm, 束腰直径为 1 nm 的激光 假设该光束是高斯光束, 求光束的发散角 瑞利范围和在 25 m 处光束的直径 解 : 由式 ( ) 可知, 则其瑞利长度为 摇摇在 25 m 处光束的直径为 1. 2 摇折射率和色散 当一束电磁波在电介质中传播时, 电磁波中的振荡电场以光波频率来极化介质中的分子 事实上, 这种电磁波的传播可以被认为是介质中极化形式的传播 光波电场和感应分子偶极子相互耦合 相对介电常数用来表示介质极化的容易程度, 因而也表示了光波电场和感应电偶极子的相互作用程度 为了找出电磁波在电介质中的传播本性, 即光波的相速度, 必须求解在电介质中的麦克斯韦方程组 如果假设该介质是绝缘的 非磁性和各向同性 (isotropic) 的物质, 也就是说相对介电常数与电磁波的传播方向和光波电场无关, 那么求解过程就变得十分简单, 由此可推导得到如式 ( ) 所示的麦克斯韦波动方程 电磁波在真空中的传播方式仍然可以用类似的方式来描述, 但是需要给它设置一个新的相速度 v 和新的波长, 而这两个参数都取决于相对介电常数着 r 在相对介电常数为着 r 的电介质中, 相速度 v 可以表示为 ( 介质中光波的相速度 )( ) 值得注意的是, 由于其值与光波频率有关, 因此式 ( ) 中的相对介电常数与一定的工作频率相对应 光电器件中所涉及的典型频率包括红外光 ( 包括远红外 ) 可见光和紫外光波, 通常把这些频率称为光频段, 这个范围大致为 ~ Hz 对于在真空中传播的电磁波, 着 r = 1, v vacuum = 1 / ( 着 o 滋 o) 1 / 2 = c = 3 伊 10 8 ms -1, 即光在真空中的速度 而光在真空中的速度和在介质中速度的比值称为该介质的折射率 n( refractive index), 即 ( 折射率的定义 ) ( ) 如果 k 表示真空中光波的传播常数 ( k = 2p / 姿 ), 其中姿为真空中的波长, 那么在介质中有

9 第 1 章摇 光的波动性 9 k medium = nk, 且姿 medium = 姿 / n 淤从式 ( ) 可以直观地看出, 介质越致密, 则折射率越高, 光在其中的传播速度就越慢 应该注意到, 光波的频率自 ( 或者角频率棕 ) 是保持不变的 于在不同的方向上, 介质中的折射率并非一定相等 如在玻璃和液体这样的非晶体材料中, 由于材料在各个方向上的结构相同, 因此它们的折射率 n 与方向无关, 也就是说, 它们的折射率是各向同性 (isotropic) 的 然而, 在晶体材料中, 不同的方向上, 原子的排列和原子间的化学键各不相同 一般来说, 晶体具有非各向同性或者各向异性 (anisotropic) 的特性 受晶体结构的影响, 相对介电常数着 r 在晶体的不同方向上是不一样的 一般来说, 这意味着在晶体中传播的电磁波, 其折射率 n 的大小取决于沿着电场振荡方向 ( 即沿着极化方向 ) 的着 r 例如, 假设图 1. 1 中光波在某一特定晶体中沿着 z 轴方向传播, 并且光波的电场沿着 x 轴振荡, 如果沿 x 轴方向晶体的相对介电常数为着 rx, 那么 n x = ( 着 rx) 1 / 2 因此, 该电磁波以相速度 c / n x 传播 折射率 n 随不同光波传播方向和不同电场振荡方向的变化取决于特定的晶体结构 除了立方晶体 ( 如金刚石 ) 以外, 所有的晶体都表现出一定程度的光学各向异性, 而这也产生了许多光学上的重要应用, 这些将在第 6 章中讨论 特别地, 像非晶态固体如玻璃 液体及立方晶体, 它们都是光学各向同性 (optically isotropic) 材料, 其在所有方向上具有相同的折射率 一般来说, 相对介电常数着 r 或者说材料的介电常数与电磁波的频率有关 折射率 n 和相对介电常数着 r 的关系式为 n = ( 着 r) 1 / 2, 该关系式中的 n 和着 r 必须是在同一光频率下的 许多材料的相对介电常数在高频段和低频段下相差极大, 这是因为不同频率下材料的极化机制是不同的 盂在低频范围内呈现的所有极化机制都对着 r 有影响, 但是在光频段内, 只有电子极化才与振荡电场有关 表 1. 1 列出了各种不同材料在低频 (LF) 条件下的相对介电常数着 r(lf) 的值 ( 例如, 60 Hz 或 1 khz 的光波, 如在实验室中可以使用电容电桥测得 ) 然后, 将表中 [ 着 r(lf)] 1 / 2 的值与折射率 n 相对比 表 1. 1 摇低频 (LF) 情况下相对介电常数着 r(lf) 和折射率 n 材摇摇 料 着 r(lf) [ 着 r(lf)] 1 / 2 n( 波长姿处 ) 摇摇摇评摇摇述 Si ( 在 滋 m 处 ) 电子键极化达到了光学频段 Diamond ( 在 590 nm 处 ) 电子键极化达到了紫外光 GaAs ( 在 5 滋 m 处 ) 离子极化有助于着 r(lf) SiO ( 在 600 nm 处 ) 离子极化有助于着 r(lf) Water ( 在 600 nm 处 ) 偶极矩极化有助于着 r(lf), 着 r(lf) 的值非常大 对于硅晶和金刚石而言, 它们的 [ 着 r(lf)] 1 / 2 与折射率 n 十分接近 这两种物质都是共价晶体, 在低频和高频段下, 电子极化 ( 电子键极化 ) 是唯一的极化机制 电子极化涉及光电子相对于晶体正离子的位移 这一过程很容易使电场振荡达到光频段甚至是紫外光波频段 对砷化镓和二氧化硅而言, 它们的 [ 着 r(lf)] 1 / 2 值大于折射率 n, 这是因为在低频段, 这些固体材料都有一定程度的离子极化 它们的键合不再完全是共价键合, 还有一定程度的离 淤 于 盂 有时, 用 k o 和姿 o 来表示真空中光的传播常数和波长 ( 如下一节所示 ); 而在介质中, 则采用 k 和姿来表示 在不同的情况下, 这些参量都会明确定义, 以避免混淆 我们习惯于用波长来描述光波, 在可见光和红外光波波长范围, 光波波长的单位常用 nm( 或魡 ) 来表示 但是, 用频率替代波长来描述光波的方式具有一定的优点, 例如, 使用太赫兹 (THz) 而不是 nm 来描述光波 其中一个优点是 : 在介质中光波的频率自不会发生变化 ( 见 Roger A. Lewis, Am. J. Phys, 79, 341, ) 详情请见 Principles of Electronic Materials and Devices, 3rd Edition, S. O. Kasap (McGraw - Hill, 2006), 该书中第 7 章和第 9 章对着 r 的频率相关性和 n 的波长相关性进行了一个半定量分析

10 10 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 子键合成分, 这将有助于晶体在低于远红外波长以下的频率处发生极化 在水中的情况下, 相对介电常数着 r(lf) 主要取决于取向或者偶极子极化, 由于这种极化过程过于迟缓, 因此它不能响应光频段范围下电磁场的高频振荡 考虑折射率 n 的影响因素是很有意义的 相对介电常数与固体中每个分子 ( 或原子 ) 的极化率琢有关 ( 琢被定义为单位外加电磁场下的感应电偶极矩 ) 相对介电常数最简单的近似表达式为 式中, N 为单位体积的分子个数 因此, 折射率 n 随着原子浓度 ( 或密度 ) 和极化率的增大而 变大 例如, 一定材料的玻璃中, 密度越大, n 的值也会越大 由于着 r 与光波的频率或波长相关, 因此 n 被称为色散关系 (dispersion relation), 简称为色 散 有许多不同的理论和实验模型用来描述 n 与姿之间的关系 最简单的柯西色散方程如下 所示 : 淤 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 柯西色散方程的缩略形式 ) ( ) 式中, A B 和 C 是与材料相关的物理常量 一种更一般的柯西色散关系式为 摇摇摇摇摇摇 ( 光子能量的柯西色散方程 )( ) 式中, h 自为光子能量 ; n 0 n - 2 n 2 和 n 4 表示常量, 对金刚石 Si 和 Ge 材料, 它们的值列于 表 1. 2 中 一般柯西色散方程通常适用于比较宽的光子能量范围 表 1. 2 摇塞耳迈耶尔系数和柯西系数 塞耳迈耶尔公式 A 1 A 2 A 3 姿 1 ( 滋 m) 姿 2 ( 滋 m) 姿 3 ( 滋 m) SiO 2 ( 熔融石英 ) % SiO % GeO 2 摇 摇 摇 摇 摇 摇 GeO 蓝宝石 金刚石 柯西系数 hv(ev) 范围 n - 2 (ev 2 ) n 0 n 2 (ev - 2 ) n 4 (ev - 4 ) 金刚石 ~ 伊 伊 伊 10-4 硅 ~ 伊 伊 伊 10-2 锗 ~ 伊 伊 伊 10-1 摇摇来源 : 表中的塞耳迈耶尔系数综合了不同的来源 柯西系数源自 D. Y. Smith et al., J. Phys. CM, 13, 3883, 2001 另外一种广泛使用的色散关系式 ( 尤其应用于光纤通信中 ), 就是塞耳迈耶尔方程, 其表 达式如下 : 摇摇摇摇摇摇摇 ( 塞耳迈耶尔方程 )( ) 式中, A 1 A 2 A 3 和姿 1 姿 2 姿 3 被称为塞耳迈耶尔系数 (Sellmeier coefficients) 于 在塞耳迈耶尔 淤 于 对如式 ( ) 所示的色散关系而言, 其波长姿总是采用真空下光的波长 ( 给出介质中的实际波长是没有意义的 ) 也被称为塞耳迈耶尔 - 兹伯格公式

11 第 1 章摇 光的波动性 11 系数已知的情况下, 式 ( ) 是一个非常实用的半经验公式, 用以计算不同波长情况下的 n 值 在感兴趣的典型波长范围内, n 和姿关系式中, 包含 A 4 及更高 A 系数的更高阶项可以忽略不计 例如, 对金刚石而言, 仅需要 A 1 和 A 2 项来表示折射率和姿的关系 塞耳迈耶尔系数在各光学数据手册中都有列出 例 摇塞耳迈耶尔方程和金刚石采用表 1. 2 中关于金刚石的塞耳迈耶尔系数, 计算 610 nm( 红光 ) 的光波在该晶体中的折射率, 保留小数点后三位, 并把计算结果与实验引用值 相比较 解 : 金刚石的塞耳迈耶尔色散关系式为 则 所得结果保留三位小数为 , 与实验值相等 例 摇柯西方程和金刚石采用表 1. 2 中所列出的金刚石的柯西系数, 计算波长为 610 nm 的光波在该晶体中的折射率 解 : 当姿 = 610 nm 时, 光波的光子能量为 摇摇将表 1. 2 中的系数代入金刚石的柯西色散方程中, 可以得到 摇摇该计算结果与例 中的结果略有不同 产生差异的一个原因在于, 表 1. 2 中所引用的柯西系数适用于较宽的波长范围, 因此参量的精度需要付出一定的代价 另外, 尽管两种色散关系式都有 4 个参量 : 塞耳迈耶尔方程中的 A 1 A 2 姿 1 姿 2 和柯西色散方程中的 n - 2 n 0 n 2 n 4, 但是其函数形式是不相同的 1. 3 摇群速度和群折射率 由于实际上不存在完美的单色光波, 因此需要考虑一组波长相差较小的光波, 它们沿着 z 轴方向传播 图 1. 7 显示了两个理想的谐振波, 这两个频率相差较小的棕 - 啄棕和棕 + 啄棕

12 12 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 的光波相互作用形成了一个周期性的波包络, 该波包络包含一个以平均频率为棕的振荡场, 并且该振荡场被另一个较慢变化的场 ( 频率为啄棕 ) 调幅 本书主要研究该波包络的传播速度 两个频率分别为棕 - 啄棕和棕 + 啄棕的正弦光波在介质中传播的传播常数分别为 k - 啄 k 和 k + 啄 k, 则它们的和为 摇摇利用三角恒等式 cosa + cosb = 2cos [ ] [ ] 1 2 (A - B) cos 1 2 (A + B), 可以得到 摇摇如图 1. 7 所示为一个频率为棕的正弦光波, 该光波的振幅由一个较慢变化的正弦场 ( 频率为啄棕 ) 调制 光波系统即调制的光波沿着 z 轴方向传播, 其调制速度取决于调制项 cos[( 啄棕 )t - ( 啄 k)z] 当 [( 啄棕 )t - ( 啄 k)z] = 2mp = 常数 (m 为整数 ) 时, 光场达到最大, 则此时光波包络传播速度为 或淤 ( 群速度 )( ) 图 1. 7 摇两列波长略有不同的光波沿着同式中, v g 为光波的群速度 (group velocity), 它决一方向传播, 产生了一个以群速定了沿着 z 轴方向传播的最大电场的传播速度传播且幅度不断变化的波包络度 群速度定义了振幅变化的包络速度, 群速度代表能量或信息的传播速度 如图 1. 7 所示, 最大电场点的传播速度为 v g, 而光波电场的 相位变化以相速度 v 传播 由两个频率略有不同的谐振波产生的波包络的变化周期为 2p / 啄棕 通过叠加多束这样的 频率略有不同而振幅相同的谐振波后, 可以产生一个单一非周期波包, 如图 1. 7 所示 该波包 络以群速度 v g 传播 在真空中有棕 = ck, 则光波的群速度为 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 真空中光波群速度 )( ) 在真空或空气中, 光波的群速度和相速度是相等的 对于介质中的电磁波而言, 式 ( ) 中的 k 表示介质中传播常数, 可以写成 k = 2p n / 姿 o, 其中姿 o 为自由空间波长 此时光波的群速度不一定等于大小取决于棕 / k 的相速度 v( 相速度大小 为 c / n) 另一方面, 群速度 v g = d 棕 / dk, 即取决于介质中传播常数的变化量啄 k 和频率的变化量啄棕的关系 考虑到折射率大小与波长相关, 故群速度 d 棕 / dk 并不一定与棕 / k 相等 假设折射率 n = n( 姿 o) 是 ( 自由空间 ) 波长姿 o 的函数, 类似于 1. 2 节中的一个表达式, 则该函数的斜率应该为 淤 通常使用微分表示如表达式啄 z / 啄 t 这样的微小变化, 并记作 dz / dt, 以后经常这样替换

13 第 1 章摇 光的波动性 13 dn / d 姿 o 如例 , 首先根据 dn 和 d 姿 o 求得 d 棕和 dk, 再运用式 ( ), 可以很容易地求得 群速度为 ( 介质中的群速度 )( ) 上式也可以表示为 ( 介质中的群速度 )( ) 其中, ( 群折射率 )( ) 摇摇 N g 被定义为介质的群折射率 ( group index of the medium) 式 ( ) 定义了介质的群折射率 N g, 并通过式 ( ) 描述了介质对群速度的影 响 在式 ( ) 和式 ( ) 中, 介质折射率的 斜率 dn / d 姿 o 十分重要 如果折射率保持恒定不变 且与波长无关 ( 至少在研究的波长范围内 ), 那么 就有 N g = n, 则光波的群速度和相速度相等 一般来说, 由于介电常数着 r 的大小取决于光频 率, 许多材料的折射率 n 和群折射率 N g 与光波波 长相关 因此, 其相速度 v 和群速度 v g 均与波长有 关, 把这样的介质称为色散介质 ( dispersive medium) 在光纤通信光纤设计过程中, 纯 SiO 2 ( 二氧化硅 ) 玻璃材料的折射率 n 和群折射率 N g 是十 图 1. 8 摇 纯 SiO 2 ( 二氧化硅 ) 玻璃材料的折射率 n 和群折射率 N g 与波长的关系曲线 分重要的参数 如图 1. 8 所示, 这两个参数都与光波波长相关 在 1300 nm 附近, 群折射率 N g 达 到最小值, 这意味着当波长接近 1300 nm 时, N g 与光波无关 因此, 1300 nm 附近波长的光波 以相同的群速度传播, 并且没有色散 在第 2 章将讨论, 这种现象对光纤中光信号的传播具有 重要意义 例 摇群速度 如图 1. 7 所示, 考虑两束频率相近的正弦光波, 即两光波的频率分别为棕 - 啄棕和棕 + 啄棕, 它们的传播常数分别为 k - 啄 k 和 k + 啄 k, 则合成波为 利用三角恒等式 cosa + cosb = 2cos [ ] [ ] 1 2 (A - B) cos 1 2 (A + B), 可以将上式变形为 如图 1. 7 所示, 上式表示一个频率为棕的正弦光波, 该光波的振幅由一个非常慢的正弦 变化的频率啄棕调制 光波系统即调制的光波沿着 z 轴方向传播, 其调制速度取决于调制项

14 14 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) cos[( 啄棕 )t - ( 啄 k)z] 当 [( 啄棕 )t - ( 啄 k)z] = 2mp = 常数 (m 为整数 ) 时, 光场达到最大, 则此 时光波包络传播速度为 如式 ( ) 所述, 这就是波的群速度, 它决定了沿着 z 轴的最大电场的传播速度 淤 例 摇群速度和折射率 已知棕 = 2pc / 姿 o, k = 2pn / 姿 o, 其中姿 o 为自由空间波长 根据 dn 和 d 姿 o 求得 d 棕和 dk 的表 达式, 再由此求得式 ( ) 的群速度 v g 解 : 2 对棕 = 2pc / 姿 o 微分可得 d 棕 = - (2 pc / 姿 o)d 姿 o, 再对 k = 2 pn / 姿 o 微分可得 将所得 d 棕和 dk 代入式 ( ) 可得 例 摇群速度和相速度一束光波在纯 SiO 2 ( 二氧化硅 ) 玻璃介质中传播 若光波波长为 1 滋 m, 该波长介质相对应的折射率为 , 那么光波传播过程中的相速度 群折射率 (N g ) 群速度 (v g ) 分别为多少? 解 : 相速度为 由图 1. 8, 在姿 = 1 滋 m 处, N g = , 则 光波的群速度比相速度小约 0. 9% 1. 4 摇磁场 辐照度和坡印廷矢量 尽管前面讨论了电磁波的电场分量 E x, 但是应该还记得在电磁波传播过程中, 磁场 ( 磁感应 ) 分量 B y 总是与 E x 息息相关的 事实上, 在各向同性的电介质中, 若电磁波的相速度为 v, 折射率为 n, 那么根据电磁学理论, 无论何时何地在电磁波中总会有 : 于 ( 电磁波的场 )( ) 淤 于 用正弦函数代替余弦函数来描述该光波, 也可以得到相同的结果, 这个问题被留作练习, 由读者自己完成 这实际上是电磁波的法拉第定律的一种表述, 用向量记法通常表示为棕 B = k 伊 E

15 第 1 章摇 光的波动性 15 式中, v = ( 着 o 着 r 滋 o) - 1 / 2, n = 着 1 / 2 r 因此, 在各向同性介质中传播的电磁波, 其电场和磁场密切 相关 当 E x 发生变化时, B y 也会随之变化, 其变化关系如式 ( ) 所示 如图 1. 9 所示, 当电磁波沿着波矢量 k 的方向 传播时, 该方向上会有能量流, 即光波携带着电磁 能 在电场强度为 E x 的一个小的空间区域内具有 能量密度, 即单位体积内的能量, 由 1 着 o 着 r E 2 x 表 2 示 同理, 磁场为 B y 的空间区域内能量密度为 1 滋 2 ob 2 y 由于电场 E x 和磁场 B y 相关, 如 式 ( ) 所示, 因此电场和磁场区域内能量密度 应该相等, 即 摇 ( 电磁波的能量密度 )( ) 图 1. 9 摇一列平面电磁波沿 k 方向传播, 并穿过与传播方向垂直的区域 A 在驻 t 时间内, 在圆柱形体积 Av 驻 t ( 虚线所示 ) 内的能量流过了区域 A 因此, 电磁波的总能量密度为着 o 着 re 2 x 假设在电磁波的传播路径上放置一个理想的 能量 计冶, 使 能量计冶的接收区 A 垂直于光波传播方向 经过一段时间间隔驻 t 后, 空间长度为 v 驻 t 的光波部分穿过该区域 A 也就是说, 在驻 t 时间内, 有体积为 Av 驻 t 的电磁波穿过了区域 A 这一部分体积的能量因而被 能量计冶接收 若定义 S 为单位面积内的电磁功率流, 那么 则 S = 单位时间每单位面积内的能量流 ( ) 在各向同性介质中, 能量流是沿着光波传播方向的 如果引入矢量 E 和 B 分别表示电磁 波中的电场和磁场, 那么光波沿着 E 伊 B 的方向传播, 因为该方向同时垂直于 E 和 B, 则如 式 ( ) 所示, 单位面积内电磁功率流可表示为 ( 坡印廷矢量 )( ) 式中, S 称为坡印廷矢量 (Poynting vector), 代表沿着 E 伊 B 方向 ( 传播方向 ) 上单位时间内单位 面积上的能量流 坡印廷矢量的大小, 即单位面积的功率流, 被称为辐照度 (irradiance) 淤 接收器位置处 ( 即 z = z 1 ) 电场 E x 呈正弦变化, 这意味着能量流也呈正弦变化 式 ( ) 中 的辐照度描述的是瞬时辐照度 (instantaneous irradiance) 如果将场表示为 E x = E o sin( 棕 t), 那么 可以通过求取在一个周期内 S 的平均值来计算平均辐照度 平均辐照度 (average irradiance) 为 又因为 v = c / n 且着 r = n 2, 可以将式 ( ) 表示为 ( 平均辐照度 ( 光强 ))( ) 摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 平均辐照度 ( 光强 )) ( ) 淤 尽管该大小严格意义上的术语应当是辐照度, 但是有很多专业人士仍然用光强度来描述单位面积内的功率流 许 多光电子的数据手册甚至直接用光强度来定义辐照度 另外, 坡印廷矢量是以一位英国的物理学家 John H. Poynt 鄄 ing ( ) 的名字来命名的, 他是英国伯明翰大学 ( 在那时被称为梅森科学学院 ) 的一名物理学教授

16 16 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 如果功率计的响应速度比电场振荡速度更快, 则可以测量瞬时辐照度 但是在光学频率范围内, 所有实际测量方法都只能测量平均辐照度 这是因为所有探测器的响应速度远低于光波频率 电磁波的辐照度取决于测量点到电磁波光源的距离 对理想平面波而言, 若发射源为 无限延伸的平面电磁波源冶, 则其辐照度与距离 r 无关 另一方面, 对球面波而言, 其辐照度随 1 / r 2 下降, 这是因为其电场正比于 1 / r 如图 所示, 假设 O 点光源处辐射光波总功率为 P o, 则与 O 点距离为 r 的点的辐照度 I 为 ( 球面波的辐照度 )( ) 图 摇 随着与光源距离的增加, 球面波的辐照度会随之下降, 这 是由于能量流通过的区域面积随着 r 2 的增大而成比例增加 对高斯光束, 其辐照度在光束横截面上呈高斯分布, 如图 1. 5(b) 和图 1. 5(c) 所示, 并且辐照度在沿着光传播方向 z 轴上逐渐减弱 在沿着 z 轴传播过程中, 光束功率扩散到一个渐渐增大的波阵面表面上 在与 O 点相距 z 的点 z 处, 若有一点与光轴的径向辐射距离为 r( 见图 1. 5 和图 1. 6), 则其辐照度 I 可表示为 ( 高斯光束的辐照度 )( ) 式中, w o 为束腰半径 ; w 为与 O 点相距 z 处的光束半径 ; I o 为光束辐照度的最大值, 即为 w = w o 且 z = 0 点处取得的辐照度值 因为 w 的值取决于 z 的大小, 且有 2w = 2w o [1 + (z / z o ) 2 ] 1 / 2, 所以辐照度 I 的大小也与 z 有关, 并随着 z 的增大而减小 对于远离瑞利长度的一点上, 即当 z >> z o 时, 光轴上的辐照度为摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 在光轴上高斯光束的辐照度 )( ) 上式表明, 光强度随距离的衰减过程类似于球面波, 当然, 其径向依赖关系仍然是服从高斯分布的 总辐射光功率 P o 是指光波携带的电磁功率, 可以通过对辐照度积分求得 对高斯光束而言, P o 和 I o 的关系式为摇摇摇摇摇摇摇 ( 高斯光束的总辐射光功率与辐照度的关系 )( ) 摇摇显而易见, 总辐射光功率等于光束 截面面积冶 pw 2 o 乘以辐照度最大值的一半

17 第 1 章摇 光的波动性 17 例 摇光照下的电场和磁场由 He 鄄 Ne 激光器发出的一束红光在某一点上测得的光强度 ( 辐照度 ) 为 1 mw cm - 2, 那么该光波的电场和磁场强度分别为多少? 若这束光在一个折射率 n = 的玻璃介质中, 而辐照度仍为 1 mw cm - 2 不变, 那么光波的电场和磁场强度又分别为多少? 解 : 由平均辐照度的定义式 ( ) 可知, 空气中的电场强度为 则 相应的磁场强度为 若在 n = 的玻璃介质中, 且光波辐照度不变, 则 且有 类似地, 有 例 摇高斯光束的功率和辐照度考虑一个工作波长为 633 nm, 输出功率为 5 mw 的 He 鄄 Ne 激光器, 其输出光斑大小为 1 mm 试找出光束的最大辐照度及在距离激光器 25 m 处的轴向 ( 即最大 ) 辐照度 解 : 5 mw 的值是指激光器的总输出光功率 P o, 而 633 nm 是指自由空间下激光器的输出波长姿 运用式 ( ), P o = (1 / 2)[I o (p w 2 o)], 有 摇摇由此可得 辐照度为 在例 中, 可以预先计算出瑞利长度为 z o = p w 2 o / 姿 = m 当 z = 25 m 时, 轴向

18 光电子学与光子学 原理与实践( 第二版) 摇 斯涅耳折射定律和全反射( TIR) 威理博 斯涅耳( 本名 Willebrord Snel van Royen, ) 是一名荷兰天文学家和数学家, 他 为莱顿大学的一名教授 他在 1621 年发现了折 射定律, 该折射定律于 1637 年被法国的勒内 笛卡儿发表 到底是笛卡儿曾经见过斯涅耳定律还 是自己独立论证的, 至今无人知晓 ( 源自 AIP Emilio Segre Visual Archives, Brittle Books Collection) 摇 摇 勒内 笛 卡 儿 ( ) 是 一 位 法 国 哲 学 家, 他也广泛涉猎于数学和科学领域 他被称 为 现代哲学之父冶 笛卡儿对笛卡儿坐标和解 析几何的发展有着巨大贡献 同样, 他在包括 反射和折射的光学领域上也做出了重要贡献 ( 源自网站 Georgios Kollidas / Shutterstock. com) 如图 所示, 考虑一束平面电磁光波, 它从折射率为 n1 的介质 1 向折射率为 n2 的介 质 2 传输 光波的波阵面用虚线表示, 且波矢量 k i 垂直于波阵面 当光波到达两个介质的分 界面时, 就在介质 2 中产生一个透射光波, 而在介质 1 中产生一个反射光波 这个透射波被称 为折射光( refracted light) 如图 所示, 光波与边界法线的夹角 兹 i 兹 t 和 兹 r 分别表示光波 的入射角 透射角和反射角 反射和透射波的波矢量分别表示为 k r 和 k t 由于入射的波和反 射的波在同一介质中传播, 所以 k r 和 k i 的大小相同, 即 k r = k i 基于相长干涉的基础理论可以知道, 只存在一个反射波, 其反射角等于入射角 沿着 A i 和 B i 方向上传播的两束光波的相位相同 当这两束光波反射形成光波 A r 和 B r 时, 两反射光 波的相位仍然必须相同, 否则它们将出现相消干涉并彼此相消 两束反射光波保持等相位的 唯一方式就是使 兹 r = 兹 i 其他所有角度都导致光波 A r 和 B r 相位不同, 从而发生相消干涉 折射波 A t 和 B t 在折射率为 n2 ( < n1 ) 的介质中传输, 折射率 n2 与 n1 不同, 因此 A t 和 B t 与 A i 和 B i 传播速度并不相同 当波阵面从介质 1 向介质 2 传播时, 考虑光波的一个波阵面 (如 AB, 可能对应于最大的电场) 会出现什么情况? 在波阵面 AB 上的点 A 和 B 处的光波的相 位总是相等的, 当 B i 的相位由 B 变到 B忆时, 波 A t 的相位 A 也来到了 A忆, 波阵面 AB 因而变成 了介质 2 中的波阵面 A忆B忆 除非 A忆和 B忆处的光波仍然是等相的, 否则介质中就不会有透射波 而波阵面上 A忆和 B忆两点只在一个特定的透射角 兹 t 上才满足相位相等 若光波 B i 从 B 相位点传播到 B忆相位点所需时间为 t, 则 BB忆 = v1 t = ct / n1 而在时间 t 内, 相位 A 也传至 A忆点, 且 AA忆 = v2 t = ct / n2 A忆和 B忆的相位相同, 类似于 A 和 B 的情况, 所以在 介质 1 中 AB 垂直于 k i,而在介质 2 中 A忆B忆垂直于 k t 由几何学知识, 有 AB忆 = BB忆 / sin 兹 i, AB忆 = AA忆 / sin兹 t, 则

19 第 1 章摇 光的波动性 19 或 ( 斯涅耳定律 )( ) 这就是斯涅耳定律 (Snell 蒺 s law), 淤它描述了入射角和折射角与介质的折射率之间的关系 图 摇 从较大折射率 (n 1 > n 2 ) 介质中传输的一束光在 两介质界面处发生折射和反射 ( 注意姿 t 稍大于姿 ) 如果考虑反射波, 则波阵面 AB 就变为了反射波的波阵面 A 义 B 忆 而在时间 t 内, 相位 B 移 动到了 B 忆处, 相位 A 移至 A 义处 由于它们必须依然等相以形成发射波, 所以 BB 忆必须等于 AA 义 假设波前 B 移至 B 忆 ( 或 A 至 A 义 ) 所花的时间为 t, 那么 BB 忆 = AA 义 = v 1 t, 由几何学知识可得 则有兹 i = 兹 r, 即入射角与反射角相等 当 n 1 > n 2 时, 很明显光波的透射角大于入射角, 如图 所示 当折射角兹 t 刚好等于 90 毅时, 此时的入射角被称为临界角 (critical angle) 兹 c, 临界角可由下式求得 [ 全反射 (TIR)]( ) 当入射角兹 i 大于兹 c 时, 只有反射波, 而透射波将不会存在 这种现象被称为全反射 (Total Internal Reflection, TIR) 入射角增大所产生的效应如图 所示 正是这种 TIR( 全反射 ) 现象使得光波被限制在一个由较小折射率介质所包围的电介质中传播 尽管根据斯涅耳定律, 淤 斯涅耳定律在法国被称为笛卡儿定律, 因为笛卡儿于 1637 年在他的 方法论 中首次发表出来

20 20 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 当兹 i > 兹 c 时会出现 sin 兹 t > 1, 此时兹 t 只是一个 虚构的冶折射角 然而, 在折射率较小介质中 存在一种倏逝波, 其振幅将随着进入第二介质的距离而以指数形式衰减, 将在下面进行讨论 倏逝波只在反射波形成 ( 并非出射 ) 的界面范围内存在 图 摇 光波从一光密介质传入光疏介质中 该列波可能会发生透射 ( 折射 ) 或者反射, 取决 于入射角与临界角兹 c 的大小比较, 其中临界角兹 c 的大小与折射率之比有关 (a) 兹 i < 兹 c,( b) 兹 i = 兹 c,( c) 兹 i > 兹 c 发生全内反射 [ 只在 ( a) 中画出了光波的波阵面 ] 斯涅耳定律也可以被看作是平行于界面的光波的 k 矢量在通过界面时是连续的, 即 k 矢量在界面两侧大小相等 在介质 n 1 中, 矢量 k i 平行于界面的分量为 k i sin 兹 i 或 kn 1 sin 兹 i, 其中 k i = kn 1, 而 k 表示波矢量在自由空间的大小 在介质 n 2 中, 矢量 k t 平行于界面的分量为 k t sin 兹 t 或 kn 2 sin 兹 t 如果矢量在界面切线方向上的分量保持不变, 即 kn 1 sin 兹 i = kn 2 sin 兹 t, 那么就可以得到式 ( ) 的斯涅耳定律 换句话说, 斯涅耳定律等于摇摇摇摇摇摇摇摇摇 nsin 兹 = 通过不同介质界面的常量 ( 斯涅耳定律 )( ) 描述折射和全反射的斯涅耳定律在许多光电子和电子器件中起着十分重要的作用 如图 所示, 棱镜是一种能使光束偏转的透明光学部件, 有两种基本类型 在折射棱镜 (refracting prism) 中, 光的偏转是由折射引起的 ; 而在反射棱镜 (reflecting prism) 中, 光的偏转却是由一次或多次的全反射所引起的 ( 某些棱镜如复合棱镜, 需要同时用到折射和全反射来实现它们所需要的光束偏转 ) 而偏转角啄不仅仅取决于光束在棱镜上的入射角 棱镜的材料 (n) 和几何形状, 还与入射光的波长及偏振状态有关 这是因为棱镜材料的折射率 n 通常与波长有关, 而且对于确定的材料而言 ( 如石英 方解石 ), 它也与光的偏振态 ( 电场的方向 ) 有关 图 摇 棱镜的基本类型 : 折射棱镜和反射棱镜 例 摇光束位移 光波的横向位移 (lateral displacement of light), 即光束位移 (beam displacement), 一般发生 在一束光波倾斜透过透明材料片如玻璃片时 当一束光入射到折射率为 n 的透明材料片时,

21 第 1 章摇 光的波动性 21 光波将从透明材料片的另一侧平行于入射光波传播方向透射出来, 但是出射光相对于入射光有一个位移 d, 这被称为横向位移, 如图 所示 根据透明材料片的厚度和入射角可以求得横向位移 d 玻璃片折射率 n = , 厚度 L = 10 mm( 原文中 L 误写为 d), 入射角为 45 毅, 那么位移 d 为多少? 解 : 位移 d = BC = ABsin ( 兹 i - 兹 t), 而 L / AB = cos 兹 t, 则联立这两个等式可得 摇摇展开 sin ( 兹 i - 兹 t ) = sin 兹 i cos 兹 t - cos 兹 i sin 兹 t, 由 cos 兹 t = 1 - sin 2 兹 t 和斯涅耳定律 nsin 兹 t = n o sin 兹 i, 则在顶表面有 图 摇 光倾斜通过一个透明板的横向位移 摇摇当入射角兹 i 抑 90 毅时, d 取得最大值, d = L 代入 n = , n o = 1, 兹 i = 45 毅及 L = 10 mm, 可求得 d = mm 如果材料折射率增加 1%, 即 n = , 则 d = , 此时 d 改变了 mm 即 43 滋 m, 这个变化可以通过使用 CCD 或 CMOS 光电二极管阵列以电子的方式测出 1. 6 摇菲涅耳方程 A. 振幅反射系数和透射系数 (r 和 t) 虽然光波波阵面的射线图示法有助于人们理解反射和折射, 但是在求解反射光波和折射 光波的振幅和相对相位时, 必须考虑光波的电场 光波的电场垂直于光波传播方向, 如 图 所示 可以把入射光波的电场 E i 分解为两个分量, 即平行于光波入射平面的分量 E i, 椅和垂直于光波入射平面的分量 E i, 彝 入射平面定义为入射光线与反射光线所在的平面, 图 中为对应于书纸的平面 淤 和垂直于入射平面的两个分量, 即 E r, 椅 E r, 彝和 E t, 椅 E t, 彝 同理, 对于反射光波和透射波, 可以同样将电场分解为平行 从图 中可以明显看出, 入射波 透射波和反射波都有一个沿 z 方向的波矢分量 ; 也就是 说, 它们都有一个 z 轴方向上的有效速度 电场 E i, 彝 E r, 彝和 E t, 彝都垂直于 z 方向, 这些波被称为 横向电场 (transverse electric field)(te) 波 另一方面, 具有电场 E i, 椅 E r, 椅和 E t, 椅的光波只有磁 场分量垂直于 z 轴方向, 因此它们被称为横向磁场 (transverse magnetic field)(tm) 波 用指数形式的行波分别表示入射波 反射波和透射波, 即 淤电场分量的定义一般依据两本书 : S. G. Lipson et al., Optical Physics, 3rd Edition ( Cambridge University Press, 1995) 和 Grant Fowles, Introduction to Modern Optics, 2nd Edition (Dover Publications, Inc., 1975), 它们对电场的定义十分清晰, 值得强烈推荐 大多数作者采用了不同的协定, 这也导致了后来方程中的符号有所不同 它们 [ 菲涅耳方程 ] 与衍生出此方程需用到的特定的电场方向密切相关 冶 Eugene Hecht, Optics, 4th Edition (Addison Wesley,Pearson Education, 2002), 第 115 页

22 22 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) ( 入射光波 )( ) ( 反射光波 )( ) ( 透射光波 )( ) 式中, r 为光波的位置矢量, 波矢量 k i k r 和 k t 分别表示入射波 反射波和透射波的传播方向, 而 E io E ro 和 E to 分别表示它们的振幅 任何相位变化, 如反射波和透射波相对于入射波相位的变化准 r 和准 t, 都会成为复振幅即 E ro 和 E to 的一部分 目标是根据 E io 求解出 E ro 和 E to 应该注意到, 类似的方程也可以用来表示入射波 反射波和透射波的磁场分量, 但这些磁场分量是垂直于相应的光波电场的 根据电磁波理论的要求, 任意位置处光波的电场和磁场都必须相互垂直 这意味着电磁波中的电场 E 椅会伴随有一个磁场 B 彝与之对应, 且 B 彝 = (n / c)e 椅 类似地, 电场 E 彝也会有一个磁场 B 椅与之对应, 且 B 椅 = (n / c)e 彝 两个十分有用的电磁学基本规则可用来决定两种电介质 ( 任意标注为介质 1 和介质 2) 交界面上电场和磁场的传播行为 这两种规则称为边界条件 (boundary conditions) 第一个边界条件为, 在介质 1 和介质 2 的交界面处边界面切线方向上的电场分量 E tangential 必须连续, 即边界 y = 0 处, 如图 所示, 有 ( 边界条件 )( ) 图 摇 光波从光密介质入射到光疏介质 入射面为纸平面, 且垂直于两介质的交界平面 电场垂直于光传播方向, 它可以被分解为垂直分量 ( 彝 ) 和平行分量 ( 椅 ) (a) 兹 i < 兹 c, 则部分光波透射到光疏介质中, 部分光波被反射回去 ( b) 兹 i > 兹 c, 则入射波会发生全内反射 在 n 2 介质中存在一个衰减的倏逝波 第二个规则是, 如果这两种介质是非磁性介质 ( 相对磁导率滋 r = 1), 那么在介质 1 和介质 2 的交界面上磁场的切向分量 B trangential 同样也应该是连续的, 即 ( 边界条件 )( ) 由上述 y = 0 处电场和磁场的边界条件及电场和磁场之间的关系, 可以根据入射波求解反射波和透射波 边界条件仅在反射角等于入射角, 即兹 r = 兹 i, 并且透射角与入射角满足斯涅耳定律, 即 n 1 sin 兹 1 = n 2 sin 兹 2 的条件下得到满足 将上述的边界条件应用于由介质 1 传播到介质 2 的电磁波中, 根据 n 1 n 2 及入射角兹 i, 可

23 第 1 章摇 光的波动性 23 以很容易地求得反射波和透射波的振幅 淤它们之间的关系被称为菲涅耳方程 (Fresnel 蒺 s equa 鄄 tions) 如果定义介质 2 对介质 1 的相对折射率为 n = n 2 / n 1, 那么电场分量 E 彝的反射和透射系数 (reflection and transmission coefficients) 分别为 ( 反射系数 )( a) ( 透射系数 )( b) 对于电场分量 E 椅, 同样可以求得相应的反射系数 ( reflection coefficient) r 椅和透射系数 (transmission coefficient)t 椅, 即 ( 反射系数 )( a) ( 透射系数 )( b) 而且, 上述系数满足以下关系 : ( 透射系数 )( ) 这些方程的意义在于, 可以根据系数 r 彝 r 椅 t 椅和 t 彝来确定反射波和透射波的振幅和相位 为方便起见, 将 E io 看作一个实数, 那么 r 彝和 t 彝的相位角对应于反射光波和折射光波相对于入射波的相位变化 (phase change) 例如, 如果 r 彝是一个复数, 那么可以将其表示为 r 彝 = r 彝 exp( - j 准彝 ), 其中 r 彝和准彝分别表示在垂直于入射面上反射波相对于入射波的相对振幅和相对相位 当然, 当 r 彝为实数时, 若为正数, 则反射光没有相移 ; 若为负数, 则表示反射光波的相移为 180 毅 ( 即 p ) 如同所有的波, 负号相当于 180 毅的相移 当且仅当 n < 1 ( 或者 n 2 < n 1 ) 且入射角兹 i > 兹 c( 临界角 ), 菲涅耳方程中的平方根下的项为负数时, 所得系数为复数 因此, 只有在全反射条件下才会发生非 0 毅或 180 毅的相位变化 正入射时, 菲涅耳方程可以大大简化 令兹 i = 0, 并代入式 ( ) 和式 ( ) 中, 可得到 ( 正入射 )( ) 图 1. 16(a) 显示了光波从 n 1 = 的光密介质传输到 n 2 = 的光疏介质的过程中, 根据菲涅耳方程得到的反射系数 r 彝和 r 椅的大小随入射角兹 i 的变化曲线 图 1. 16(b) 显示了反射波的相变准彝和准椅随入射角兹 i 的变化曲线 在此情况下由 sin 兹 c = n 2 / n 1 可得临界角兹 c 为 44 毅 很显然, 当光波接近正入射 ( 兹 i 较小 ) 时, 反射波没有发生相变 当 n 1 > n 2 时, 式 ( ) 中的反射系数是一个正值, 也就意味着反射波没有发生相变 这已由图 1. 16(b) 中的准彝和准椅验证 随着入射角的增大, r 椅逐渐减小, 最后当入射角约为 35 毅时减小到 0 将 r 椅 = 0 代入菲涅耳方程式 ( a), 可以求出这个特殊的入射角, 记为兹 p 当入射角等于兹 p 时, 反射波中的电场总是 淤 这些方程可以在任何电磁学教材中找到 由两个边界条件推导出这些公式的过程包含了大量的代数运算, 在此就 不一一赘述了 边界两侧的电场和磁场分量可以沿着界面切向分解, 因而用到边界条件 然后应用关系式 cos 兹 t = [1 - sin 兹 t] 1 / 2 来求得 cos 兹 t, 其中 sin 兹 t 的值由斯涅耳定律确定

24 24 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 垂直于入射平面的, 如图 所示 这个特殊的角也被称为偏振角 (polarization angle), 或者 称为布儒斯特角 (Brewster 蒺 s angle) 淤, 且由式 ( a) 可知 ( 布儒斯特偏振角 )( ) 图 摇 内反射 (a) 介质折射率分别为 n 1 = 和 n 2 = 时, 反射系数 r 彝和 r 椅大小与入射角 兹 i 的关系曲线 临界角为 44 毅 ( b ) 相应的相变大小准彝和准椅随入射角兹 i 的变化曲线 此时的反射波称为线偏振光 ( linearly polarized), 因为它所包含的电场振荡所在 的特定平面既垂直于入射平面也垂直于光 波传播方向 而另一方面, 非偏振光波 (unpolarized light) 的电场振动方向可以是 在垂直于光波传播方向的任意一个方向 上, 而线偏振光的电场振荡方向则被限定 在一个特定的平面内 大多数光源发出的 光都是非偏振光, 如钨丝灯和 LED 二极 管 于 非偏振光可以被看作是光波电场在 图 摇 当入射角等于布儒斯特角, 即兹 i = 兹 p 时, 反射 光中只存在垂直入射平面 ( 纸面 ) 振动场的分量 垂直于光波传播方向的任意随机方向上振荡的一组光或者电磁波的集合 当入射角大于兹 p 而小于兹 c 时, 由菲涅耳方程式 ( a) 可知, r 椅为一个负数, 这表示准椅产生一个 180 毅的相移, 如图 1. 16(b) 所示 从图 1. 16( a) 中还可以看到, r 彝和 r 椅的大小都会 随着兹 i 的增大而增大 但当入射角达到临界角之后 ( 图 中超过 44 毅 ), 即兹 i 逸兹 c 时, r 彝和 r 椅的大小相等, 因此, 此时反射波和入射波的振幅相等 入射波发生了全反射 (Total Internal 淤 于 它是以大卫 布儒斯特 ( ) 的名字来命名的, 大卫 布儒斯特是一名苏格兰物理学家 他曾经在苏格兰爱丁堡大学就读神学专业 从 1799 年开始, 他对光的偏振特性产生了极大的兴趣, 并将他的一些实验发表在包括 Philosophical Transactions of London 在内的一些学术期刊上 从钨丝灯或 LED 二极管发出的光, 即使有一些偏振, 也是小到可以忽略的

25 第 1 章摇 光的波动性 25 Reflection, TIR) 当兹 i > 兹 c, 光波发生全反射时, 由于 sin 兹 i > n, 式 ( ) 和式 ( ) 中根号下的项为负数, 因此解出来的结果全为复数, 则反射系数也变成诸如 r 彝 = 1 exp( - j 准彝 ) 和 r 椅 = 1 exp( - j 准椅 ) 这样的复数形式, 其相位角准彝和准椅取非 0 或非 180 毅的值 也就是说, 反射光波的分量 E 彝和 E 椅分别发生了准彝和准椅的相变 如图 1. 16(b) 所示, 相变的大小取决于入射角和 n 1 n 2 的大小 由求解 r 彝的式 ( ) 可知, 当兹 i > 兹 c 时, 有 r 彝 = 1, 而相变准彝可表示为摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 全反射时的相位变化 )( ) 对于 E 椅分量, 其相变准椅可表示为摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 全反射时的相位变化 )( ) 可以概括一下, 在内反射 (n 1 > n 2 ) 中, 当发生全发射时, 反射波的振幅与入射波相等, 但其相位发生了偏移, 且相变大小可由式 ( ) 和式 ( ) 决定 事实上, 如图 所示, 当兹 i > 兹 c 时, 准椅有一个额外的 p 相位变化, 准椅为负数, 这是由于反射光场 E r, 椅的方向选择不同 如果简单地将 E r, 椅反向, 则 p 相位变化可以忽略不计 [ 在许多教材中, 式 ( ) 中忽略 p 相位变化 ] 图 中考虑的是当 n 1 > n 2 时反射系数的情况 当光从折射率更高的一边入射到边界上, 即 n 1 > n 2 时, 这种反射称为内反射 (internal reflection), 并且在正入射下无相位变化 另一方面, 若光从折射率较低的一边入射, 即 n 1 < n 2 时, 此时发生的反射就被称为外反射 ( external reflec 鄄 tion) 因此, 外反射中光波被光密介质 ( 折射率较高的介质 ) 表面反射 外发射与内反射之间具有重要的区别 图 显示出, 在外反射过程 (n 1 = 1, n 2 = 1. 44) 中, 图 摇折射率分别为 n 1 = 和 n 2 = 时, 外反反射系数 r 彝和 r 椅的大小取决于入射角兹 i 射系数 r 彝和 r 椅的大小与入射角兹 i 的关系曲线正入射时, 两个反射系数都是负的, 这意味着在外反射中正入射下会有 180 毅的相移 而且, 在入射角等于由式 ( ) 所得的布儒斯特角 (Brewster angle) 兹 p 时, r 椅的值为 0 当入射角为兹 p 时, 反射波中只有偏振分量 E 彝 而无论在内反射 ( 当兹 i < 兹 c 时 ) 还是外反射中, 透射光波都不会发生相位变化 当兹 i > 兹 c 时, 透射光波会有怎样的变化呢? 根据边界条件可知, 介质 2 中肯定仍会存在一个电场, 否则不能满足边界条件 如图 所示, 当兹 i > 兹 c 时, 介质 2 中的电场会在接近边界面的地方沿 z 方向传播 这列波被称为倏逝波 (evanescent wave), 它沿着 z 轴传播, 并且其光场强度随着深入介质 2 中的传播距离的增大而减小, 有 ( 倏逝波 )( ) 式中, k iz = k i sin 兹 i 为入射光波沿 z 轴方向的波矢量, 琢 2 为电场深入到介质 2 中的衰减系数

26 26 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) (attenuation coefficient), 淤则有 ( 倏逝波的衰减 )( ) 式中, 姿为自由空间波长 根据式 ( ) 可知, 倏逝波沿 z 方向传播, 且振幅会随着光波从边界进入介质 2( 沿 y 轴 ) 的距离而呈指数衰减 当光波在介质 2 中的穿透深度 ( penetration depth)y = 1 / 琢 2 = 啄时, 倏逝波电场振幅变为原来的 e - 1 倍 当兹 i > 兹 c 时, 根据斯涅耳定律, 不难计算出倏逝波的确切大小 倏逝波沿边界 ( 即沿 z 轴 ) 的传播速度等于入射光波和反射光波在 z 轴分量的速度 在式 ( ) 和式 ( ) 中, 假设入射光波和反射光波都为无限宽的平面光波 如果将反射光波的波阵面无限延展, 则会与交界面相交割, 如图 所示 沿 z 轴方向传播的倏逝波可被看作是由在图 所示的交界面处的一系列波阵面引起的 倏逝波对光学波导中光波传播的研究十分重要, 如在光纤中 如果入射光波是一个窄的光束 ( 如从激光指示笔中发射 ), 则反射光波具有相同的截面 因此, 在两介质交界面处仍然是倏逝波, 但是该倏逝波会被限制在交界面处反射光束的横截面内 图 摇 当兹 i > 兹 c 时, 对于被反射的平面波, 在边界会产 生一个随进入 n 2 介质中的深度不断衰减的倏逝波 B. 光强 反射率和透射率 当光从折射率为 n 1 的介质入射到折射率为 n 2 的介质的交界面时, 经常需要计算反射光波和折 射光波的强度或者辐照度于 一些时候, 仅仅研究正入射 ( 兹 i = 0 毅 ) 的情况 例如, 激光二极管辐射 的光波在光学谐振腔的端面发生反射的情况, 此时谐振腔端面处的折射率会发生变化 一束光波在介质中以速度 v 传输, 介质的相对介电常数为着 r, 则光波的光强 I 可由电场振 幅 E o 定义为 ( 光波的强度或者辐照度 )( ) 1 这里的着 r 着 2 oe 2 o 表示光波在单位体积内的电场能量 当乘以速度 v 时, 它表示通过单位 面积传输能量的速率 由于 v = c / n, 着 r = n 2, 则光波光强正比于 ne 2 o 淤 于 一般情况下的衰减系数指的是辐照度的衰减, 但是在这里指的是电场的衰减 严格来说术语强度和辐照度与之前提到的注释是不一样的

27 第 1 章摇 光的波动性 27 反射率 (reflectance)r 表示反射光强度与入射光强度的比值, 可以分别定义平行于入射面和垂直于入射面的电场的两个分量的反射率 反射率 R 彝和 R 椅分别被定义为 ( 反射率 )( ) 尽管反射系数有时以复数形式来表示相位的变化, 但是光波的反射率必须为实数, 这是因为它所表征的是强度的变化 一个复数模的大小被定义为它与它的共轭复数的乘积 例如, 当 E ro, 椅为一个复数时, 有 式中, (E ro, 椅 ) * 表示 E ro, 椅的共轭复数 当光波正入射时, 由式 ( a) 和式 ( a) 可以得到简单的公式, 如下所示 : ( 正入射下的反射率 )( ) 由于玻璃介质的折射率大概为 1. 5, 这意味着在空气和玻璃的边界上, 通常会有 4% 的入射光被反射回去 类似于反射率的定义, 透射率 (transmittance)t 表示的是透射波的强度与入射波强度的比值 然而, 必须考虑到透射波是在不同的介质内传播, 并且由于折射的缘故, 透射光波传播方向与边界相关, 与入射波的方向不同 对正入射光波而言, 其入射和透射光束都是沿法线方向的, 且其透射率被定义为 ( ) 或 ( 正入射的透射率 )( ) 另外, 光的反射能量分量和透射能量分量之和必须等于 1, 即 R + T = 1 如图 所示, 当入射光以兹 i 角度入射时, 透射光与法线间的角度为兹 t 相应的透射率为摇摇摇 ( 斜入射条件下的透射率 )( ) 式 ( ) 中的两个透射率都是透射光强与相应偏振条件下的入射光强的比值 C. 古斯亨琴 (Goos 鄄 H 覿 nchen) 位移和光学隧道效应如图 1. 12(c) 所示, 一束光波从光密介质入射到光疏介质, 当入射角大于临界角 ( 兹 i > 兹 c) 时, 光波发生全反射 简单的光线轨迹分析给出的结果是, 反射光线在入射光线与界面的接触点处发生反射, 如图 1. 12(c) 所示 然而, 在验证入射光束和出射光束关系的更精密的光学实验中, 发现反射光波似乎在入射光与界面的交点处产生了一个横向移动, 如图 所示 虽然入射角和反射角仍然相等 ( 菲涅耳方程的一个推论 ), 但是反射光束有一个横向移动, 并且看起来好像是从光疏介质内的一个虚拟平面上反射回来的 这种横向移动被称作是古斯亨琴位移 (Goos 鄄 H 覿 nchen shift)

28 28 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 如图 1. 16(b) 所示, 考虑到反射光束发生了准的相变, 可以理解反射光束的横向移动, 且电场延伸到介质 2 中的穿透深度约为啄 = 1 / 琢 2 只有在全反射时, 光波的相位变化为非 0 或 180 毅 如图 所示, 反射光波沿着倏逝波的传播方向即 z 轴方向位移驻 z 淤可用来等效地表示反射光波的相位变化准和进入到介质 2 中的穿透深度 横向位移的大小跟入射角和穿透深度有关 可以把反射看作好像发生在一个与分界面距离为 d 的虚拟平面上 (d 与穿透深度啄并不相同 ), 于是根据简单的几何学规律, 可以将反射波的横向位移表示为驻 z = 2dtan 兹 i 然而, 实际 d 值的求解十分复杂, 但是其数量级跟穿透深度啄相同 所以, 对于姿 = 1 滋 m 的光波, 当以 85 毅的入射角入射到两介质都为玻璃 (n 1 = , n 2 = ) 的界面上时, 光波发生全反射, 有啄 = 滋 m, 这也就意味着驻 z 约为 18 滋 m 图 摇 在全内反射过程中, 反射光束似乎在界面上有一个大小为驻 z 的横向位移 它看起来就好像是光波从介质 2 中距界面深度为 d 的虚拟平面上反射回来 如图 所示, 当光波从光密介质 ( 介质 A) 传向与光疏介质 (B 介质 ) 的界面 AB 时, 若光波入射角大于临界角, 则光波会发生全反射 如果减小介质 B 的厚度 d, 如图 所示, 可以发现当 B 的厚度足够小时, 一束衰减的光束将从介质 B 的另一侧入射到介质 C 中 这种入射光波部分穿过介质的现象违背了简单的几何光学定律, 称为光学隧道效应 ( optical tunneling), 它是光的电磁波本性的一种重要的表现形式 光的隧道效应是由于倏逝波的电场穿过了介质 B, 并在消失之前达到了 BC 界面 光学隧道效应的现象如图 所示, 又被称为受抑全反射 (Frustrated Total Internal Reflection, FTIR): 在临近介质 C 的位置全反射受到了抑制 而介质 C 中的透射光波携带了部分光强, 这就使得反射波的光强有所减小 可以注意到, 倏逝波在介质 B 中就有所衰减, 而到达 BC 界面时只有一个有限的值, 并且在 BC 界面电场振荡激励产生透射光波 如图 所示, 受抑全反射效应可以应用在分光器中 一光束进入棱镜 A 并在直角三角形的斜边上发生全反射 ( 在玻璃空气界面有兹 i > 兹 c); 棱镜使光束发生偏转, 如图 1. 22(a) 所示 在如图 1. 22(b) 所示的立方分束棱镜中, 棱镜 A 和棱镜 C 被低折射率的薄膜 B 所分隔 一部分光能量穿过薄膜透射到 C 中, 并从立方分束棱镜中输出 在棱镜 A 的直角三角形斜面上发生的受抑全反射 (FTIR) 导致产生透射光, 因此将入射光分成了两个光束 而这两部分光的能量分配比则取决于薄膜 B 的厚度及其折射率大小 淤 实际上, 古斯 - 亨琴位移的分析过程十分复杂, 详情参见 J. E. Midwinter, Optical Fibers for Transmission ( John Wiley and Sons, 1979) 一书的第 3 章 图 中的 d 也不单指穿透深度啄 事实上, 在全反射中, 用 d 与驻 z 一样都表示 光波的确切相移

29 第 1 章摇 光的波动性 29 图 1. 21摇 当介质 B 非常薄时, 光场会穿过 AB 界面进入介质 B 中, 并到达 BC 界面, 所 以介质C中有透射光波 其作用机理是介质A中的入射光波透过介质B并进入 到介质 C 中 的 隧 道 效 应 介 质 B 中 的 倏 逝 波 的 最 大 电 场 E max 在 沿 着 y 方 向上衰减,且在BC界面上电场的大小有限,进而在介质C中激励产生透射波 图 1. 22摇 ( a) 一束光入射到玻璃棱镜的斜边上并发生全内反射; 棱镜使 光 束偏转 ( b) 两个棱镜被一个低折射率的薄膜隔开,构成了 一个立方分束棱镜 入射光束通过受抑全内反射被分成两束光 立方分束棱镜( 图片由 CVI Melles Griot 提供) 例 摇 光疏介质光的反射( 内反射) 一束光波在一折射率 n1 = 的光密介质中传播, 并入射到一折射率 n2 = 的光疏 介质中 假设该光束的自由空间波长 姿 为 1 滋m ( a) 发生全反射时的最小入射角是多少?

30 30 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) (b) 当入射角兹 i = 85 毅和 90 毅时, 反射波的相变分别为多少? (c) 当入射角兹 i = 85 毅和 90 毅时, 倏逝波在介质 2 中的穿透深度又分别为多少? 解 : (a) 全反射的临界角兹 c 由下式给出 : sin 兹 c = n 2 / n 1 = / , 则可得兹 c = 毅 (b) 由于入射角兹 i > 兹, 因此反射波会发生相移 其中 E c r, 彝的相变为准彝 当 n 1 = , n 2 = , 兹 i = 85 毅时, 有 则 E r, 彝的相变为 毅 对于分量 E r, 椅, 其相变为 则 摇 摇 从中可得准椅 = 毅 ( 注意, 如果将反射光场的方向反向, 则相变就变成了 毅 ) 同理, 可以在兹 i = 90 毅时重复上面的计算, 可得准彝 = 180 毅, 准椅 = 0 毅 需要注意的是, 当兹 i > 兹 c 时, 反射系数的大小不变, 等于 1, 只是相位发生变化 (c) 倏逝波穿入介质 2 的振幅为 忽略 z 方向的 expj( 棕 t - k z z) 项, 因为它只给出了光波沿着 z 方向的传播特性 当 y = 1 / 琢 2 = 啄 时, 场强降为原来的 e - 1, 称啄为穿透深度 衰减系数琢 2 为 摇摇即 则穿透深度啄 = 1 / 琢 2 = 1 / (1. 28 伊 10 6 m) = 7. 8 伊 10 7 m, 即 滋 m 当兹 i = 90 毅时, 重复上面的 计算可得, 琢 2 = 1. 5 伊 10 6 m - 1, 则啄 = 1 / 琢 2 = 滋 m 可以看出, 入射角越小, 穿透深度越深 这个结论对以后光波在光纤中的传播特性分析有着重要意义 例 摇正入射条件的反射及内反射和外反射考虑一束光波垂直入射到折射率为 1. 5 的玻璃介质与折射率为 1 的空气界面上的反射情况 (a) 若光从空气射入玻璃介质中, 则其反射系数及反射光强分别为多少? (b) 若光是从玻璃介质射入空气中, 则其反射系数及反射光强又分别为多少?

31 第 1 章摇 光的波动性 31 解 : (a) 光从空气向玻璃中传输, 且部分光从玻璃表面反射回来, 这属于外反射 由于 n 1 = 1, n 2 = 1. 5, 则 摇摇其结果为负值, 这意味着反射波发生了 180 毅的相移 光波的反射率 (R), 即反射功率的百 分比, 为 (b) 光从玻璃向空气中传输, 且部分光从玻璃空气界面反射回来, 这属于内反射 由于 n 1 = 1. 5, n 2 = 1, 则 摇摇结果为正, 即光波没有发生相移, 而反射率仍然是 或 4% 因此, 在 (a) 和 (b) 两种情 况下, 反射光强的大小是相同的 例 摇布儒斯特角下光波的反射和透射在空气中传播的光束入射到折射率为 的玻璃板上, 则布儒斯特角 ( 或偏振角 ) 为多少? 当入射角等于布儒斯特角时, 在偏振方向垂直于和平行于入射平面上的反射光和透射光的相对强度分别为多少? 解 : 假设光从空气中以偏振角兹 p 入射到玻璃表面 有 n 1 = 1, n 2 = 1. 5, n = n 2 / n 1 = 1. 5, 即 tan 兹 p = (n 2 / n 1 ) = 1. 5, 则兹 p = 毅 现在应用菲涅耳方程来求解反射和透射幅度 对于垂直偏振光波, 由式 ( a) 可得 摇摇另一方面, r 椅 = 0 而反射率 R 彝 = r 2 彝 = , R 椅 = r 2 椅 = 0, 因此, 反射光在入射面不存在平行偏振分量 注意到 r 彝的符号为负, 这也意味着它会产生一个大小为 p 的相变 由式 ( b) 和式 ( b) 可知, 透射系数分别为 和 注意到, 正如预期的, r 椅 + nt 椅 = 1, r 彝 + 1 = t 彝 为了求得每个偏振方向的透射率, 需要 求得折射角兹 t 由斯涅耳定律有, n 1 sin 兹 i = n 2 sin 兹 t, 即 1 伊 sin ( 毅 ) = 1. 5 伊 sin 兹 t, 可得 兹 t = 毅 则由式 ( ) 可得

32 32 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 很显然, 偏振方向平行于入射面的光的光强更大 注意, 在两个偏振方向上都有 R + T = 1 若一束光以 毅的入射角入射到玻璃板上被反射, 则其反射光是偏振光波, 其电场分量垂直于入射面 透射光波在入射面上有一个较大的电场, 即透射光波为部分偏振光 利用一叠玻璃板, 可以增大透射光的偏振程度 ( 这种堆叠式的起偏器是由 Dominique F. J. Arago 在 1812 年发明的 ) 1. 7 摇增透膜和介质镜 菲涅耳方程通常广泛应用于光电子学领域, 用以设计与制作光学涂层 ( 即薄膜 ) 以降低光波的反射和眩光效应 菲涅耳方程还可以应用于各种光学元器件中, 如介质镜和滤波器中 在本书 节薄膜光学中提供了它在薄膜涂层中的应用实例 在本节中, 将讨论两种实际的光电子学应用 : 增透膜和介质镜 A. 光电探测器和太阳能电池上的增透膜当一束光波入射到半导体表面时将会发生部分反射 在太阳能电池中, 透射光波的能量进入到半导体器件转化成电能, 因此太阳能电池中的部分反射是一个需要考虑的重要因素 当波长在 600 ~ 800 nm 范围内时, 硅的折射率大约为 3. 5 因此, n 1 ( 空气 ) = 1, n 2 (Si) 抑 3. 5 时光波的反射率为 这意味着 30% 的光能反射回空气中, 而不能转化为电能, 这大大降低了太阳能电池的转换效率 然而, 可以在半导体器件表面上涂覆一层电介质材料的薄膜层, 如 a 鄄 Si 1 - x N x :H ( 基于氮化硅 Si 3 N 4 的氢化非晶氮化硅, x 的值通常为 0. 4 ~ 0. 6) 是一种折射率介于两介质间的材料 如图 所示, 电介质薄膜, 也称为增透膜 [ antireflection ( AR) coating] 降低了反射光强 在此情况下, n 1 ( 空气 ) =1, n 2 ( 涂层 ) 抑 1. 9, 且 n 3 ( Si) = 图 摇增透膜 (AR) 降低反射光强的示意图 增透膜 3. 5 光束首先入射到空气 / 涂层的交界面的厚度 d 和折射率 n 2 使得光波 A 和光波 B 上, 一部分光波被反射, 如图 中 A 所具有 p 相差, 并发生相消干涉 光波不反射示 光波 A 经历了一次外反射, 因此反射光波 A 有 180 毅的相变 另外一部分光波透射进入到涂层中传输, 并在涂层 / 硅半导体交界面发生反射 该反射光波在图 中用反射光波 B 来表示 由于 n 3 > n 2, 反射光波 B 同样有 180 毅的相变 当光波 B 到达光波 A 的位置时, 光波 B 相对于光波 A 的总相位延迟对应于光波通过涂层厚

33 第 1 章摇 光的波动性 33 度 d 两次产生的相位变化 则相位差等于 k c (2d), 其中 k c = 2p / 姿 c 为涂层中光波传播常数, 而姿 c 是指光波在涂层中的波长 由于姿 c = 姿 / n 2 ( 姿为自由空间下光波波长 ), 则光波 A 与 B 的相位差驻准为 (2p n 2 / 姿 )(2d) 为了降低反射光波强度, A 和 B 必须干涉相消, 因此这要求两光波的相位差为 p 或者 p 的奇数倍 mp, 其中 m = 1, 3, 5 为奇数 因此 ( 增透膜 )( ) 因此, 涂层的厚度应当等于涂层中四分之一光波波长的奇数倍, 其大小与波长有关 为了使光波 A 和光波 B 的干涉相消效果最佳, 则两光波的振幅大小必须相当 ( 事实上, 必须考虑 节中光学薄膜专题描述的光波的多次反射 ) 也就是说, 需要满足以下等式 : n 2 = (n 1 n 3 ) 1 / 2 而当 n 2 = (n 1 n 3 ) 1 / 2 时, 空气和涂层间的反射系数等于涂层和半导体间的反射系数 在这种情况下, 得到折射率 n 2 等于 (3. 5) 1 / 2, 即 因此, 在硅太阳能电池中, a 鄄 Si 1 - x N x :H 是一种不错的增透 (AR) 膜材料 通过在薄膜沉积中改变材料的组分参数 x, 涂层的折射率也可以改变 设光的波长等于 600 nm, 则涂层厚度 d = (600 nm) / (4 伊 1. 9) = nm, 或者 79 nm 的奇数倍 一旦 AR 层的参数满足了式 ( ), 不难计算出相应 AR 层的最小反射率 然而, 必须考虑由于薄膜中的多次反射引起的所有反射光波, 如光波 C D 等 而且, 需要适当计算光波的振幅, 即每个光波在反射时乘以合适的反射系数并且在透射时乘以合适的透射系数 把所有的反射光波相加, 即 A + B + C + D +, 然后对总的反射光场平方后, 可以得到总的反射光强 一旦完成以上所有步骤, 可以得到最小反射率 R min 为 ( 最小和最大反射率 )( ) 摇摇显然, 最好的选择是 n 2 = (n 1 n 3 ) 1 / 2 当然, 只有在满足方程式 ( ) 的某个波长下, R 才能取得最小值 R min 例 摇光探测器的增透膜考虑光通信中用于 1310 nm 波长的一个 InGaAs 光探测器, 其中掺杂 InGaAS 材料的折射率为 若没有镀上 AR 膜, 试问该表面上的光波反射率为多少? 镀制在 InGaAs 材料上的 AR 膜的理想折射率为多少? 若一种 AR 膜材料的折射率为 1. 85, 其厚度应该为多少? 其反射率又为多少? 解 : 设空气中, n 1 = 1, 增透 AR 膜的折射率为 n 2, 而 InGaAs 的折射率 n 3 = 若没有 AR 膜, 则光波的反射率为 摇摇理想 AR 膜应该满足式 ( ), 且其折射率 n 2 = (n 1 n 3 ) 1 / 2 = 由式 ( ) 可得, AR 膜的厚度为 摇摇由式 ( ) 可得, 镀有 AR 膜时的最小反射率为

34 34 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) = 0. 07% ( 非常小 ) B. 介质镜和布拉格反射器介质镜 (dielectric mirror) 是由两种折射率 (n 1 和 n 2 ) 的介质膜交替堆叠而成的一种复合膜, 图 1. 24(a) 给出了其示意图, n 1 大于 n 2 常将 n 1 n 2 分别写作 n 1 = n H ( 高 ) 和 n 2 = n L ( 低 ), 以表示图中所示的 n H n L 的堆叠 每一层介质膜的厚度均为光波波长的四分之一, 即姿 layer / 4, 姿 layer 为光在该介质膜中的波长, 或等于姿 o / n, 姿 o 为在介质镜反射的入射光波在自由空间下的波长, 而 n 为介质膜的折射率 由界面上反射回来的反射波干涉相长, 并产生了一系列的反射光波带, 其波长中心为姿 o, 如图 1. 24(b) 所示 如果有足够数量的介质膜, 波长为姿 o 的光波的反射率将接近 1 由于 n H ( 高折射率 ) 和 n 2 = n L ( 低折射率 ) 的薄膜层是成对出现的, 因此把这样的薄膜对 ( 双层膜 ) 的总数记作 N 随着 N 的增大, 光波反射率也相应增大 这些膜层是通过真空淀积技术镀在适当的衬底上的, 如图 1. 24(a) 所示, 介质镜通常也被称为四分之一波长介质堆栈 (quarter 鄄 wave dielectric stack) 图 1. 24(b) 表示了在不同折射率比 n 1 / n 2 及不同的 N 的情况下, 三种介质镜的反射率与波长的典型关系曲线 图中介质镜被设计用于反射 滋 m 的光波 摇 (a) 由许多高低相间的折射率薄膜层组成的介质镜原理示意图 若折射率层的厚度 d 1 和 d 2 都为所在层内波长的四分之一, 即 d 1 = 姿 / 4 n 1, d 2 = 姿 / 4 n 2 ( 其中姿为自由空间波长 ), 则反射波 A,B,C,D 等都将干涉相长 这里假定介质镜是镀在折射率为 n 3 的衬底上 ( b ) 三种不同介质镜的反射率, 其基本参数分别为 N = 10,n 1 / n 2 = / 1. 46;N = 10,n 1 / n 2 = / 1. 46;N = 6, n 1 / n 2 = / 1. 46,n 3 = [ 注意,n( TiO 2 ) = 2. 35,n( Si 3 N 4 ) = 1. 95,n( SiO 2 ) = ]

35 第 1 章摇 光的波动性 35 由式 ( ) 知, 介质膜 1 中的光波入射到 1-2 界面被反射时, 反射系数 r 12 的大小应该为 r 12 = (n 1 - n 2 ) / (n 1 + n 2 ), 该值为正数, 表示无相位变化 而介质膜 2 中的光在 2-1 界面上反射的反射系数 r 21 为 r 21 = (n 2 - n 1 ) / (n 2 + n 1 ), 即为 - r 12, 是一个负数, 说明光波有 p 的相变 由此可知, 在通过介质镜的过程中, 反射系数的符号会交替改变 考虑两束任意的光波 B 和 C 在两个相邻的界面反射, 这两束光波已有 p 的相位差, 因为它们的反射发生在不同的界面上 另外, 光波 B 在到达光波 C( 原文误为 B) 处之前, 传输了一个额外的距离, 该距离为 ( 姿 2 / 4) ( 介质膜厚度 d 2 ) 的两倍, 这样光波 B 经历了一个对应于光程差 2( 姿 2 / 4) 或姿 2 / 2 的相变, 即为 p 则 B 和 C 之间的相位差为 p + p, 即 2p 因而光波 B 和光波 C 同相位, 则干涉相长 类似的也能得到, 光波 C 与波光 D 也是干涉相长的, 以此类推, 所有从两个连续界面反射的波都将相干相长 从而, 当经过一定层数的介质膜后 ( 层数多少取决于 n 1 / n 2 的比值 ), 透射光强度将变得非常小, 而反射光强度将接近于入射光的 100%, 如图 1. 24(b) 所示 介质镜在光电子领域应用广泛, 例如, 应用在固体激光器中的垂直腔面发射激光器中 由于介质镜的折射率是周期变化的 ( 周期为 d 1 + d 2 ), 类似于衍射光栅, 因此介质镜有时也被称为布拉格反射镜 ( Bragg reflector) 淤如果将介质镜中的高低折射率层互相交换, 即使 n 1 = n L, n 2 = n H, 可以得到相同的结果, 这方面的结论作为练习留待读者自己解答 如图 1. 24( b) 所示, 若成对的双层介质膜的数目足够大, 则介质镜的反射率在一定波带范围驻姿内几乎为 1 相反, 在同一波带范围驻姿内, 透射率几乎为 0 这种透射率接近等于零的波长范围被称为反射带宽 (reflectance bandwidth), 或者说是透射光的阻带 (stop band) 在本书 节将提及, 图 1. 24(a) 中的介质镜是一个一维的光子晶体, 具有一个确定的阻带, 在如图 1. 24( a) 所示的多层介质结构中的这个阻带内光不能沿 z 轴方向传播 各种介质镜, 它们由在耐热玻璃或者微从图 1. 24(b) 的反射光谱中可以得到两个常用晶玻璃衬底上生长的四分之一波长介的观测结果 反射率 R 随介质镜所用到的双层膜的质膜堆栈构成 ( 图片由 Newport 提供 ) 数量 N 的增大而增大 ; R 也随折射率的比值 n 1 / n 2 的增大而增大, 或者换句话说, R 随折射率比值的增大而增大 当介质膜层数非常大时, 介质镜的带宽驻姿随折射率比值的增大而增大 膜层对的数目为 N 的介质镜的最大反射率 R N 由下式给出 ( 介质镜的最大反射率 )( ) 当 2N 足够大 ( 反射率接近 100% ) 时, 带宽驻姿可表示为 ( 反射带宽 )( ) 摇摇显然, 如图 1. 24(b) 所示, 反射带宽的值将随着折射率比值的增大而增大 如果将折射率 淤 正如人们将在后面看到的, 折射率的周期变化实际上就形成了一个衍射光栅, 如果周期合适的话, 在某一特定方向 上能级衍射或反射光波 介质镜也被称为一维布拉格光栅结构 而且, 在 N 很大的情况下, 它也是一个一维的光 子晶体

36 36 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 高的介质膜与折射率低的介质膜交换位置, 以使折射率高的介质膜位于靠近空气层一侧, 则在 高反射率的介质镜中, 其反射率及带宽大小的变化都是微乎其微的 例 摇介质镜考虑膜层厚度均为四分之一波长的一个介质镜, 其介质膜分别由折射率 n H = 的 Ta 2 O 5 和 n L = 的 SiO 2 交替构成, 该介质镜反射光波的中心波长为 850 nm 假设其衬底为折射率 n s = 的派热克斯高耐火玻璃, 而外部介质是 n 0 = 1 的空气层 试计算出当双层膜数 N 分别为 4 和 12 时, 该介质镜的最大反射率是多少? 如果用 n H = 的 TiO 2 替换 Ta 2 O 5, 结果又将如何? 若这两种介质堆栈膜系均处于高反射条件下时 ( 介质膜层对的数目非常大时 ), 其反射光谱的带宽为多少? 假设用硅片作为衬底, 则最大反射率又将为多少? 解 : 将 n 0 = 1, n 1 = n H = 1. 78, n 2 = n L = 1. 55, n 3 = n s = 1. 47, N = 4 代入式 ( ) 中 这样, 对于 4 对介质膜层的介质镜, 其最大反射率 R 4 为 再取 N = 12, 重复上述计算, 可以得到 R 12 = 90. 6% 如果采用 TiO 2 替换 Ta 2 O 5, 则 n 1 = n H = 2. 49, 将得到 R 4 = 94. 0%, R 12 = 100% ( 保留两位小数 ) 很显然, 折射率比对反射率来说非常重要 采用 TiO 2 鄄 SiO 2 堆栈膜系时, 只要 4 组双层膜就可以得到与 12 对 Ta 2 O 5 鄄 SiO 2 的膜层大致相当的反射率 如果将 12 对堆栈膜系中的 n H 和 n L 交换位置, 即 n 1 = n L, n 2 = n H, 则 Ta 2 O 5 鄄 SiO 2 膜系的反射率将降至 80. 8%, 而 TiO 2 鄄 SiO 2 膜系却不受影响, 因为几乎全部的光波都已被反射回空气中了 只能比较 无限冶介质堆栈 ( 其 R 抑 100% ) 的带宽驻姿 对于 TiO 2 鄄 SiO 2 堆栈, 由式 ( ) 得 摇摇另一方面, 对于 Ta 2 O 5 鄄 SiO 2 的无限介质堆栈, 可以求得其驻姿 = nm 这和人们所预期的一样, 折射率比越小的介质堆栈, 其驻姿越窄 如果将衬底替换成硅片, 即 n 3 = n s = 3. 50, 同理可以求得 4 对介质堆栈的 Ta 2 O 5 鄄 SiO 2 膜系的反射率为 68. 5%, 这比替换前的反射率要高, 这是因为在衬底界面 n L 到 n s 的折射率发生了很大的变化, 促进了光的进一步反射 1. 8 摇光的吸收和复折射率 通常当一束光通过某一介质时, 光波在其传播方向上会有所衰减, 如图 所示 光的吸收和色散都会引起某个传播方向上光功率的衰减, 对这两种影响因素需要加以区分 在光吸收 (absorption) 过程中, 电磁波传播过程的能量损耗是由于光能转化为了其他形式的能量 例如, 介质中的分子极化或者光场引起的杂质离子局部振动过程中所发生的晶格振动 ( 温度升高 ) 在绝缘体和半导体中, 电子从价带激励到导带或者从杂质激励到导带的过程, 也需要从传播的辐射能中吸收能量 此外, 在电导率有限的介质中, 自由电子在辐射光场作用下发生漂

37 第 1 章摇 光的波动性 37 移, 这一过程也将消耗辐射能 由于这些电子受到晶格振动 ( 或杂质 ) 的散射, 电子把从电磁 波中获取的能量转换为晶格振动 当然, 还存在其他的能量损耗方式 在所有情况下, 传播过 程中光波的部分能量被吸收并转化为其他形式的能量 另一方面, 散射 (scattering) 是指传播电磁波的能量偏离原传播方向并重新在其他各个方 向上形成次级电磁光波传播的现象 ( 将在本章后面讨论 ) 而衰减系数 ( attenuation coefficient) 琢被定义为光波沿传播方向 z 轴传播单位距离时辐照度 I 的减小比例, 即 ( 衰减系数的定义 )( ) 摇摇当辐照度减小时, di / dz 为负数, 则此时衰减系数为一个正值 如果波的衰减仅仅是由于 光吸收所引起的, 则此时琢也被称为吸收系数 (absorption coefficient) 有必要考虑一束单色光波在介质中的传播情况, 单色光 波具有如下形式 摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 无损传播 )( ) 摇摇由于光波沿 z 轴方向传播, 则式 ( ) 中的电场 E 平行 于 x 轴或者 y 轴 当光波穿过介质时, 介质分子被极化 这种 极化效应是由介质的相对介电常数着 r 来体现的 如果极化过 程中光波没有损耗, 则相对介电常数着 r 应该为一个实数, 且 1 / 2 相应的折射率 n = 着 r 也为一个实数 然而, 在极化过程中光 图 摇 介质中行波的衰减 导致光波振幅下降 波总有一些损耗 例如, 当离子晶体中的离子通过交变电场而偏移热平衡位置时, 电子发生振 荡, 电场的部分能量耦合并转化为晶格振动 ( 被称为声子 ) 通过描述整个介质的复相对介电 常数 (complex relative permittivity)( 或介质常数, dielectric constant) 着 r, 通常可以计算出这些光 辐射能损耗 复相对介电常数为 ( 复相对介电常数 )( ) 式中, 实部着忆 r 决定了介质中忽略辐射能损耗的极化过程, 而虚部着义 r 则描述了介质中的光波损 耗 淤 对一个无损的介质, 显然有着 r = 着忆 r 而损耗着义 r 与波的频率有关, 且损耗峰值通常在与光 波吸收过程相关的某些特定固有 ( 或共振 ) 频率处 在介质中传播并由于光吸收造成辐射能衰减的一束电磁波, 通常可以采用复传播常数 (complex propagation constant)k 来表示, 即 ( 复传播常数 )( ) 式中, k 忆和 k 义分别为实部和虚部 若将式 ( ) 代入式 ( ) 中, 可以得到下式 : ( 传播衰减 )( ) 当沿 z 方向传播时, 光波振幅呈指数形式衰减 复传播常数的实部 (real)k 忆 ( 波矢量 ) 描述 了光波的传播特性 ( 例如, 相速度 v = 棕 / k 忆 ) 而虚部 (imaginary)k 义则描述了光波沿 z 方向的衰 减速率 在 z 方向任意点上, 光波的辐照度 I 为 淤 参见 S. O. Kasap, Principles of Electronic Materials and Devices, 3rd Edition (McGraw 鄄 Hill, 2006) 一书第 7 章 另外, 一 些课本用着 r = 着忆 r + j 着义 r 来代替式 ( ), 其虚部为正值, 但是后者通常指一个具有 exp( - j 棕 t) 形式的与时间相关的 外加电场

38 38 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 则辐照度随距离的变化率为 ( 虚部 k 忆 )( ) 式中, 负号代表衰减 显然, 琢 = 2k 义 假设 k o 为真空中光波的传播常数 由于平面波在自由空间中不存在损耗, 则传播常数必为实数 而实部为 n 且虚部为 K 的复折射率 (complex refractive index) N 被定义为介质中复传播常数与自由空间传播常数之比, 即 ( 复折射率 )( ) 即 实部 n 很简单, 一般称为介质折射率 (refractive index), 而虚部 K 称为消光系数 (refractive index) 在没有衰减的情况下 : 当光波无损耗时, 折射率 n 与相对介电常数着 r 的关系为 n = 着 情况下这个关系依然成立, 但必须使用复折射率和复相对介电常数, 即 1 / 2 r 其实, 在有损耗存在的 ( 复折射率 )( ) 等式两边同时取平方, 就可以直接将 n 和 K 与着忆 r 和着义 r 联系起来 最后的结果为 ( 复折射率 )( ) 材料的光学性质一般通过与频率相关的 n 和 K 或者着忆 r 和着义 r 来表述 很显然, 运用式 ( ) 可以通过一组特性参数求取另一组特性参数 图 显示了当电磁波转移到介质中 的能量达到最大时, 红外光波区域内的 CdTe 材料的复折射率实部 ( n) 和虚部 ( K) 随波长 的变化曲线, 图中突出了共振吸收现象附近 复折射率的行为 在低频段, 离子和电子极 化都影响折射率 n( 抑 3. 3); 然而在高频段, 只有电子极化影响折射率 n( 抑 2. 6) 消光 系数在约 72 滋 m 波长处达到峰值, 此时电磁 波振荡被有效耦合到晶格振动中, 即晶体中 Cd 2 + 和 Te 2 - 的离子链的振动, 淤因此能量由 电磁波转移到了晶格振动中 这种能量转移 到晶格振动中的吸收被称为晶格吸收或剩余 射线吸收 ( lattice or Reststrahlen absorption) 可以注意到, K 有一个明显的峰值, 而 n 相 图 摇 应有一个最大点 一个最小点和一个转折点 ( 一个 S 形曲线 ) CdTe 材料在红外光波区域 内随波长变化的光学性质 淤 在物理学上, 这些被称为光学声子 电磁波将与光学声子相互作用, 并将自身能量转移到这些声子上

39 第 1 章摇 光的波动性 39 如果知道介质材料的相对介电常数实部着忆 r 与频率的关系, 那么就可以确定其虚部着义 r 与频率的关系, 反之亦然 这似乎是非同寻常的, 但如果在知道实部或者虚部与尽可能宽的频率范围 [ 理想上是从 DC( 直流, 频率为 0) 到无穷大 ] 的相关性并且材料是线性的 ( 即其相对介电常数与外加电场无关 ), 则情况确实如此, 其极化响应一定与外加电场呈线性关系 淤描述相对介电常数实部和虚部之间的关系被称为克拉莫克若尼关系式 (Kramers 鄄 Kronig relations), 其中包含了积分变换 如果着忆 r( 棕 ) 和着义 r( 棕 ) 分别表示实部和虚部与频率的关系, 则其中任意一个与频率的关系式都可以由另一个求得 类似地, 在一个尽可能宽的频率范围内, 如果知道 n ( 或 K) 与波长的关系, 则都可以由 n - K 的克拉莫克若尼关系式得到 K( 或 n) 与波长的关系 需要指出的是, 在前面推导出的反射系数和透射系数都是基于实折射率的, 也就是忽略了损耗 如果简单地用复折射率 N 来代替 n, 则仍可以采用上述的反射系数和透射系数 例如, 考虑一束光波从自由空间正入射 ( 兹 i = 90 毅 ) 到某一介质中, 此时反射系数为 ( 反射系数 )( ) 而其反射率为 ( 反射率 )( ) 摇摇当消光系数 K = 0 时, 上式变为一般形式的反射率公式 光学特性参数 n 和 K 由测得的材料表面的反射率决定, 而这又与材料的极化过程及光波入射角度有关 ( 基于菲涅耳方程 ) 例 摇 InP 材料的复折射率一个磷化铟 (InP) 晶体在 620 nm 波长 ( 光子能量为 2 ev) 下的折射率 ( 实部 )n 为 , 其消光系数 K 为 计算在此波长下 InP 的吸收系数琢及在空气 InP 晶体界面间的反射率 解 : 吸收系数为 摇摇反射率 R 为 例 摇共振吸收频率下 CdTe 材料的反射率碲化镉 (CdTe) 是一种广泛应用的光学材料, 如应用于透镜 光楔 棱镜 分光镜 增透膜和光学窗口中, 其工作波长通常可达到 25 滋 m 的红外光波范围 CdTe 作为光学材料也被应用于低功率 CO 2 激光器中 图 描述了 CdTe 在红外区域的折射率 n 和消光系数 K 分别计算该材料在剩余射线峰值 50 滋 m 和 100 滋 m 波长处的吸收系数琢和反射率 R 从这些计算结果中可得到什么结论? 淤 此外, 材料系统应该为无源系统, 没有能量源

40 40 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 解 : 在剩余射线峰值处, 姿抑 70 滋 m, K 抑 6, n 抑 4, 则相应的自由空间传播系数为 由式 ( ) 可知吸收系数琢为 2k 义, 则 这意味着吸收深度 1 / 琢约为 滋 m 反射率为 在姿 = 50 滋 m 处, 首先从图 中可以看出 K 抑 0. 02, n 抑 2 重复上述的计算, 可以得到琢抑 伊 10 3 m - 1, R = 即 11% 可以看出, 波长从此处向剩余射线峰值处接近时, 其反射率从 11% 急速上升到了 74% 在姿 = 100 滋 m 处, 首先从图 中可以看出 K 抑 0. 06, n 抑 3. 5 重复上述的计算, 可以得到琢 = 7. 5 伊 10 3 m - 1, R = 即 31%, 其反射率又小于峰值处反射率, 则反射率 R 在剩余射线峰值附近处取得最大值 对于那些体内能够强烈吸收某一特定波长光波的样品材料而言, 当光入射到样品表面时, 该波长光波也能够被强烈反射 1. 9 摇时间相干性和空间相干性 当用理想正弦波来描述一束电磁波的行波时, 如 ( 正弦光波 )( ) 式中已明确定义了角频率棕 o = 2p 自 o 和传播常数 k o, 由于正弦函数是随着自变量的变化而周期性扩展的, 因此可以假定行波在整个空间内无限延展并且一直存在, 如图 1. 27(a) 所示 由于波上的所有点都是可以预测的, 称这样的一列正弦波为完全相干光波, 因此完全相干 ( perfect coherence) 可以被理解为意指这列波上任一点的相位都可以从其他点的相位推导出来 时间相干性衡量的是给定的某个空间位置上有一定时间间隔的两点 ( 如 P 和 Q) 的相干程度, 也就是说, 两者中的任一个都可由另一个确定 对于如图 1. 27(a) 所示的理想正弦波, 在给定的位置上, 任意时间间隔分离的任意两点如 P 和 Q 总是相干的, 这是因为在任意时间间隔上, 一个点 Q 的相位都可以通过另一点 P 的相位推导出 任何一个时间相关的任意函数 f(t) 都可以用不同频率 振幅和相位的理想正弦光波的和来表示 而函数 f(t) 的光谱 (spectrum) 表示的是构成这个函数的各正弦振荡的幅度 所有具有适当振幅和相位的理想正弦波叠加就构成了 f(t) 在数学处理上, f(t) 的光谱其实可以由 f(t) 的傅里叶变换求得 淤仅需要一个给定频率为自 o = 棕 o / 2p 的正弦波来构成式 ( ) 所述的函数即可, 如图 1. 27(a) 所示 理想正弦波是现实中不存在的理想化光波, 实际上, 一列光波只能在一个有限的时间段 淤 f(t) 的傅里叶变换需要将 f(t) exp( - j2p 自 t) 对时间积分, 并构造自变量为自的函数 F( 自 ) F( 自 ) 被称为 f( t) 的光谱 (spectrum), 描述的是重构 f(t) 函数的理想谐波 ( 如正弦波 ) F( 自 ) 给定了这些谐波的振幅和相位

41 第 1 章摇 光的波动性 41 驻 t 内存在, 对应于如图 1. 27(b) 所示的一个长度 l = c 驻 t 的有限波列 这里的持续时间驻 t 可能是辐射发射过程 激光输出的调制过程或者一些其他过程的结果 ( 事实上, 其光波振幅在驻 t 时间内并不是恒定不变的 ) 很显然, 在波列上, 只有在持续时间驻 t 或者空间幅度 l = c 驻 t 以内的点才相互关联 也就是说, 这列波的相干时间为驻 t, 相干长度为 l = c 驻 t 由于这列波并不是完全的正弦波, 在其光谱中包含了许多不同的频率 通过合适的计算, 发现构成这个有限波列的大部分有效频率如所预期的都位于以自 o 为中心的驻自范围内, 如图 1. 27(b) 所示 宽度驻自为波列的频谱宽度, 其大小取决于时间相干长度驻 t 在截断正弦波这种特殊情况下, 驻自 = 2 / 驻 t 图 摇 (a) 一列完全相干的正弦波, 且其频率确定为自 o (b) 一列持续时间为驻 t, 长度为 l 的有限 波列 其频谱展宽为驻自 = 2 / 驻 t, 其相干时间为驻 t, 相干长度为 l ( c) 白光实际上没有相干性 一般而言, 发出的光波不会是完全的截断正弦波, 而且驻自和驻 t 之间的确切关系取决于该振动的包络函数, 而这又与振动产生或发射的方式有关 例如, 如果使振动的包络函数为高斯函数, 如图 所示, 则这列波就被称为高斯波包, 那么傅里叶变换也将会是一个中心频率在振荡频率自 o 处的高斯函数 通常情况下, 相干长度和相干时间涉及各个高斯包络的某些适当宽度 如图 所示, 若驻自和驻 t 分别为频域和时域的半高宽 (FWHM), 那么近似有淤 ( 光谱宽度和相干时间 )( ) 摇摇式 ( ) 常被称为带宽定理 (bandwidth theorem) 尽管高斯包络在表示有限长度光包络上是有用的, 但是由于高斯函数是时间连续的, 因此仍需要对其进行适当的截断, 以表示出更加实际的光脉冲 这种截断并不会限制式 ( ) 的应用, 因为这个式子本来就是适用于任何波包络的一种近似计算式 尽管式 ( ) 中的精确关系式依赖于波包络的形状, 但是在计算各种不同波包络的驻自和驻 t 的近似关系时该式仍被广泛运用 淤 FWHM 为高斯函数的最大值半高处的两点间宽度 ( 见附录 A) 事实上, 运用傅里叶变换可以推导得到高斯波列的带 宽定理为驻自驻 t = 0. 88

42 42 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 图 摇 一个频率为自 o 的正弦型高斯波包络和时间高斯包络 ( 振幅变化 ) 其两个半极大值点 间的相干时间为驻 t 其频谱是服从高斯分布的, 中心振荡频率为自 o, 展宽驻自抑 1 / 驻 t 事实上, 相干性和频谱宽度是密切相关的 例如, 从钠灯中发出的 589 nm 波长橙光 ( 两条光谱 D 线在一起 ) 的频谱宽度为驻自抑 5 伊 Hz, 这也就意味着其相干时间为驻 t 抑 2 伊 s, 即 2 ps, 而其相干长度则为 6 伊 10-4 m( 即 mm) 另外, 多模氦氖激光器发出红光的频谱宽度约为 1 伊 10 9 Hz, 相应的, 其相干长度为 30 cm 此外, 连续单模激光器往往有着非常窄的频谱线宽, 并且其发射辐射的相干长度可以达到几百米 激光器发射的光波一般有很大的相干长度, 因而广泛应用于波的干涉的研究和应用上, 如干涉测量 全息技术和激光多普勒测速 假设站在空间内某一点上测量电场与时间的关系, 如图 1. 27(c) 所示, 图中信号的零交叉点随机产生 在此 波形冶上给出一点 P, 不能由此推断出任意另一点 Q 的 相位冶或信号 因此, 时间上分离的两点 P 和 Q 不会以任何形式相关联, 除非 P 和 Q 是同一点 ( 或者时间间隔极短, 两点非常靠近 ) 在这种 白色冶光信号中不具有相干性, 因此该信号本质上代表着白噪声 ; 通常其光谱分布在一个很宽的频率范围内 类似于理想正弦波信号, 白光也是一种理想化光波, 它假定所有光频率都存在于白光光束中 然而, 从原子中发出的辐射一般有一个中心频率和一个确切的频谱宽度, 也就是说, 光波存在一定程度的相干性 现实生活中的光波介于图 1. 27( a) 和图 1. 27( c) 之间 两列波的相干性与这两列波的相关程度有关 图 1. 29(a) 中的波 A 和波 B 有着相同的频率自 o, 但是它们只在时间间隔驻 t 内同时存在, 因此它们也只能在这段时间内相互干涉 因此, 在这个时间间隔驻 t 内, 这两列波存在相互的时间相干性 (mutual temporal coherence) 例如, 当两个相干长度为 l 的完全相同的波列在不同的光学路径传播时, 就会出现这种情况 : 当这两列光波到达目的地时, 它们仅能在大小为 c 驻 t 的空间范围内相互干涉 由于干涉现象只发生在具有互相干性的光波上, 因此诸如杨氏双缝干涉的干涉实验可以用来测量光波间的互相干性 空间相干性 (spatial coherence) 描述了从某一光源的不同位置发出的光波的相干程度, 如图 1. 29(b) 所示 如果从光源的 P 和 Q 两点发出的光波具有相同的相位, 则 P 和 Q 光波空间相干 空间相干的光源的整个辐射表面发出的光波应当都具有相同的相位 但是, 这些光波也许只有局部的时间相干性 从空间相干光源发出的一束光波在光束横截面上会表现出一定的空间相干性, 也就是说, 光束中光波在相干长度 c 驻 t 范围内是同相的, 其中驻 t 为相干时间 大多数非相干光束所包含的波, 彼此间的相关性非常小 如图 1. 29( c) 中的非相干光束包含的波 ( 光束横截面上 ) 将在任意时间发生随机的相变 ( 但需要注意的是, 在一个很短的时间段内, 可能会存在一点时间相干性 ) 相干性的定量分析需要基于相干函数的数学知识来完成, 可在更高级的教科书中找到

43 第 1 章摇 光的波动性 43 图 摇 (a) 两列波只在时间间隔驻 t 内相互干涉 (b) 空间相干性是 指同一光源上不同点发射光波的相干性 ( c ) 非相干光束 例 摇 LED 灯的相干长度发光二极管 (LED) 发出的光看起来好像有着一个确定的颜色或者波长 然而, 它们却有着比激光更大的频谱宽度 例如, 一红色 LED 灯发出的 650 nm 波长光波的谱线宽度为 22 nm 试求出该辐射的相干时间和相干长度 解 : 频率和波长的关系为自 = c / 姿, 则对波长微分可以由波长宽度驻自得到频率宽度驻姿, 即 则 因此, 相干时间为 摇摇相干长度为 上述的超短相干长度解释了 LED 不能应用于干涉测量中 摇波的叠加和干涉 光的干涉是两个或多个电磁波以电场矢量相加形式的叠加 假设这些波近似为单色波, 并且有相同的频率 如图 1. 29(a) 所示, 只有在空间某一点相互作用呈现出相互时间相干性

44 44 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 时, 这两列光波才会发生干涉现象 实际上, 干涉现象可被用来检验波的互相干性 当两频率相同 电场分别为 E 1 和 E 2 的波发生干涉时, 它们产生的合电场 E 等于单个电场分量 (individual fields) 的叠加, 即 E = E 1 + E 2 如图 所示, 考虑分别从源 O 1 和 O 2 发出的两束线偏振平面波, 则在任意一相干点 P 的电场为 ( ) 式中, r 1 和 r 2 分别是从 O 1 和 O 2 到点 P 的距离 这些光波具有相同的角频率棕和传播常数 k 根据光波的形成过程, 两列光波之间具有一个恒定的相位差准 2 - 准 1 在点 P 的合电场是这两个波电场的叠加, 即 E = E 1 + E 2 其电场强度取决于 E E 对于时间的平均值, 即 E E, 因此 摇摇很明显, 干涉效应由上式的 2 E 1 E 2 项来确定 假设 E o1 和 E o2 相互平行, 并且振幅分别是 E o1 和 E o2, 可以对上面的公式进一步简化 相干波的光场强度分别是 I 1 = 1 2 c 着 oe 2 o1 和 I 2 = 1 2 c 着 oe 2 o2 因此, 合成光场强度由各分量光场强度 I 1 I 2 及附加的第三项 I 21 相加得出, 即 其中最后一项通常被写为 2(I 1 I 2 ) 1 / 2 cos 啄 = I 21, 啄表示相位差, 为 ( 干涉 )( ) 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 多束相干光波的干涉 )( ) 由于采用的是近似于单色的波, 准 2 - 准 1 恒定不变, 因此干涉只受到 k(r 2 - r 1 ) 项的影响, 该项表示两列波间由于存在光程差而导致的相位差 如果移动点 P, 由于两列光波的光程差 发生了变化, 相位差 k(r 2 - r 1 ) 相应改变, 因此干涉现象自然也会跟着改变 图 摇 两列频率相同且分别从源 O 1 和 O 2 发出的相干波的干涉 检验了 点 P 处的相干结果, 合电场 E 取决于由光程差 k(r 2 - r 1 ) 决定的相位角 假设 ( 准 2 - 准 1) = 0, 两列波是由空间相干光源发出的 如果光程差 k(r 2 - r 1 ) 是 0 2p 或者 2p 的整数倍, 即 2mp, 其中 m = 0, 依 1, 依 2,, 则此时干涉光场强度 I 达到最大值, 这种干涉被称为相长干涉 (constructive interference) 如果光程差 k(r 2 - r 1 ) 是 p 3 p 或者 p 的奇数倍, 即 (2m + 1)p, 则这些波将会发生 180 毅相差, 此时干涉光场强度达到最小值, 这种干涉被称为相消干涉 (destructive interference) 图 同时给出了相长干涉和相消干涉的光强 最大干涉光强度和最小干涉光强度分别为

45 第 1 章摇 光的波动性 45 ( 相长干涉和相消干涉 )( ) 如果干涉光束的光场强度相同, 则 I max = 4I 1 和 I min = 0 需要强调的是, 考虑的是具有时间和空间相干性的两列近似单色波的相干现象 如果两列波没有任何相干性, 即它们是不相干的, 就不能像上面那样简单地把电场进行叠加, 用探测器可检测出 P 点在响应时间内的平均光强值, 它的光场强度是单个光场强度的简单叠加, 即摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 两束非相干光束叠加的辐照度 )( ) 最著名的一个干涉实验是杨氏双缝实验, 该实验产生干涉条纹 现在的杨氏双缝实验中, 从一个激光器发出的一束相干光同时入射到两条平行的狭缝 S 1 和 S 2 上 干涉光波投射在远离狭缝的屏幕上, 如图 所示 结果在干涉屏上得到了明区和暗区相间的干涉图样, 分别对应于光强最强的值 I max 和光强最弱的值 I min 由于双狭缝 S 1 和 S 2 受到相同波阵面的激发, 它们产生出相干波, 取准 2 - 准 1 = 0 考虑屏幕上距离 y 处的一点 P P 点的相位差为 k(r 2 - r 1 ) 在 y 轴上移动 P 点, 啄 = k(r 2 - r 1 ) 跟着改变, 则光照强度也会随着距离 y 的变化从最小变到最大, 遵从公式 ( ), 并产生亮带和暗带或者条纹 当啄 = 2mp 时, 干涉最强 ; 当啄 = (2m + 1) p 时, 干涉最弱, 其中 m = 0, 依 1, 依 2 不难看出, 如果屏幕足够远, 则 (r 2 - r 1 ) 抑 (s / L)y, 其中 L 是狭缝到屏幕的距离, s 是狭缝的间距, 因此啄与 y 成正比 假设从 S 1 和 S 2 发出的光强度相同, I 1 + I 2 = I o, 光的亮度 ( 强度 ) 随 y 在屏幕上周期性变化如下 : I = I o {1 + cos[(s / L)]ky} ( 干涉 )( ) 图 摇 杨氏双缝实验 一个相干 ( 近似单色 ) 准直激光束同时入射到间距 为 s 的狭缝 S 1 和 S 2 上 由两条狭缝发出的光波干涉而在屏幕上 产生亮和暗相间的光斑条纹 假设屏幕在远离狭缝的距离 L 处 (L >> s) 图 显示出在屏幕上产生的周期性的干涉图样, 通常称为杨氏干涉条纹 (Young 蒺 s inter 鄄 ference fringes) 如果进一步完善, 不仅需要考虑从 S 1 和 S 2 处发出的波的相干长度, 还需要考虑由于狭缝宽度有限而产生的衍射现象 ( 见 节衍射 ) 摇多波干涉和光学谐振腔 电谐振器, 如并联电感电容 (LC) 电路只允许电振荡存在于共振频率 f o ( 由 L 和 C 的值确 定 ) 附近的一个窄带频率内 因此, 这样的 LC 电路可以在相同频率下存储能量 这样的 LC

46 光电子学与光子学 原理与实践( 第二版) 46 电路相当于一个谐振频率 f o 处的滤波器, 这也是为何可以调频收听到人们喜爱的广播电台的 原因 在光领域中, 光谐振器( optical resonator) 与电谐振器相对应, 并且只能在一定的频率 ( 波长) 下存储能量或过滤光波 查尔斯 法 布 里 ( , 左) 和 阿 尔 弗 雷 德 珀 罗 ( , 右), 他们是最先构造出相干光学谐振腔的法国物理学家 (珀罗: 天体物 理学 期刊, 1926 年 11 月, 第 64 卷, 第 208 页, 图片源自美国天文学会 法 布里: 图片源自美国国会图书馆版画和摄影部, 华盛顿, DC 20540, 美国) 如图 1. 32( a) 所示, 当两平面反射镜完全对齐平行时, 它们之间形成一个自由空间, 两平 面镜 M1 和 M2 之间反射的光波在腔内相长或者相消干涉 从 M1 向右传播的反射光波会与来 自于 M2 向左传播的反射光波发生干扰 如图 1. 32( b) 所示, 其结果是在谐振腔中产生一系列 允许的静止的或者固定不变的电磁驻波( stationary or standing EM waves) ( 就像吉他弦两个固定 点之间因振动拉伸而产生的驻波) 由于在反射镜( 假设金属镀了膜) 处的电场为 0, FP 谐振 腔长 L 只能等于半波长 姿 / 2 的整数倍 m, 则 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 ( 法布里 珀罗谐振腔模式) ( ) 对于满足方程( ) 的每个特定的 姿, 对应给定的 m 值, 记作 姿 m, m 被定义为谐振腔 的模式( cavity mode), 如图 1. 32( b) 所示 正如光频率与波长的关系由公式 自 = c / 姿 确定一样, 这些模式的相应频率 自 m 就是该腔的谐振频率( resonant frequencies), 即 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 ( 光学谐振腔的频率) ( ) 式中, 自 f 指 m = 1 时对应的谐振腔的最低频率, 即基模模式频率 同时, 相邻模式的频率间隔 为 驻自 m = 自 m 自 m = 自 f, 它被称为自由光谱范围( free spectral range) 图 1. 32( c) 显示出了腔内 允许模式的光强随频率的变化函数 如果腔镜中光波没有损耗, 即反射镜完全反射, 那么由方 程( ) 中确定的频率 自 m 处的峰值函数曲线会变得非常尖锐 如果反射镜并不是完全反 射, 而是使得一些辐射逃离反射镜腔, 则模式的峰值不那么尖锐, 而具有一个有限的宽度, 如 图 1. 32( c) 所示 很明显, 这种简单的光学谐振腔只会 存储冶 一定频率下的辐射能量, 它被称 为法布里 珀罗光学谐振腔( Fabry鄄Perot optical resonator) 光谐振器不一定由如图 1. 32( a) 所

47 第 1 章摇 光的波动性 47 示的两个反射镜及它们中间的自由空间组成 它可以是固体介质, 如一个电介质 ( 如玻璃 ) 板 或棒, 只要其端部可以被用来反射光波即可 固体的端部甚至可以镀膜或电介质反射镜, 用以 增强光波反射率 光谐振器也称为标准具 (etalons) 图 摇 法布里珀罗光学谐振腔及其性能示意图 (a) 反射波干涉 (b) 只有特定 波长的电磁驻波 ( 模式 ) 在谐振腔内允许存在 ( c) 各种模式下光强与频率 的函数 R 是反射镜的反射率, 并且较低的 R 意味着腔中具有较高的损耗 考虑任意一列波, 如某一时刻向右传播的 A 光波, 如图 1. 32(a) 所示 传播一个来回后, 这列波会再次向右行进, 但是已经变成了另一列波 B, 由于反射的 A 和 B 光波相位不同且由于反射损耗两者的振幅也不同 如果反射镜 M 1 和 M 2 具有相同幅度的反射系数 r, 那么 B 光波与 A 光波相比, 一个回程的相位差为 k(2l) 及振幅为原来幅度的 r 2 ( 两次反射 ) 倍 当 A B 两波发生干涉时, 结果为 摇摇当然, A, B 也会继续传播并同时也会被来回反射两次, 在一个来回后, 它将会再次向右传 播, 现在就会有三列光波发生干涉等 在无数次来回后, 经过无限次干涉后的合成场 E cavity 为 这个几何级数的总和可以被表示为 如果知道谐振腔中的场, 则可以由此计算光强度 I cavity 邑 E 2 cavity 再进一步, 可以令 R = r 2, 进一步简化表达式 经过数学运算化简之后, 最终表达式为 ( 腔内光强 )( ) 式中, I o 邑 A 2 表示光波的最初强度 当式 ( ) 分母中的 sin 2 (kl) 为 0 时, 腔内光强取最大值 I max, 对应 kl 等于 mp, 其中 m 为整数 因此, 光强对 k 的函数曲线, 或等价于光强度对频谱的曲线 当 kl = mp 时, 曲线达到峰值, 如图 1. 32(c) 所示 这些峰值位于 k = k m 处, 满足 k m L = mp, 由此可以直接推导出式 ( ) 和式 ( ) 对于那些谐振的 k m 值, 由式 ( ) 可以得到 ( 腔内最大光强 )( ) 较小的镜面反射率 R 意味着在腔内会产生更多的辐射损耗, 这会影响在腔内的光强分布

48 48 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 从式 ( ) 可以看出, 较小的 R 值可以导致更宽的模式峰值, 并且腔内光强最大值和最小值间的差异变小, 如图 1. 32(c) 所示 法布里珀罗标准具的谱宽 (spectral width) 淤啄自 m 是单个模式光强的半高宽度 (FWHM), 如图 1. 32(c) 所示 当 R > 0. 6 时, 可以用一种简单的方式来计算, 具体方程如下 : ( 光谱宽度和精细度 )( ) 式中, F 称为谐振器的精细度 (finesse), 会随着损耗的降低 (R 增大 ) 而增大 大精细度的谐振腔具有更尖锐的模式峰值 所谓的精细度就是频率模式间隔 ( 驻自 m) 与谱宽 ( 啄自 m) 的比值 像定义 LC 振荡器的品质因数 (Q) 那样, 可以类似地定义一个光学谐振腔的品质因数 (Q), 具体如下 : 摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 品质因子 Q 和精细度 )( ) 摇摇 Q 因子是谐振腔频率选择性的一个衡量指标 Q 因子越高, 谐振器频率选择性越强, 或者谱宽越窄 它也能够衡量每一振荡周期内消耗单位能量 ( 因为损耗, 比如来自于镜面反射 ) 时谐振器的储能情况 法布里珀罗光学谐振腔广泛应用在激光器 干涉滤光器和光谱分析等方面 如图 所示, 考虑一束光入射到法布里珀罗光学谐振腔中 光学谐振腔是由部分透射和部分反射的镜片组成的 部分入射光束进入腔内 只有部分特殊腔模式允许在腔内存在, 因为其他的波长会导致相消干涉 因此, 如果入射光有一个波长对应于其中一个模式, 它就可以在谐振腔内持续振荡, 并产生透射光束 输出光是腔内光强度的一部分, 正比于式 ( ) 商用干涉滤波器一般基于这一原理, 但这些商用滤波器一般串联使用两个由介质镜形成的光学谐振腔 ( 四分之一波长层组成的堆栈 ), 该结构比图 更加复杂 更进一步, 调整光学谐振腔长 L, 获得一个可调谐振腔, 从而能够获得不同的波长 图 摇 通过法布里珀罗光学谐振腔透射的光波 式 ( ) 描述了在腔中的辐射强度 如上所述, 图 的透射辐射强度可以被计算出来, 考虑每一次波长反射到右边的镜面上, 它的一部分能量被透射, 当 kl = mp 时, 透射光波能够发生相长干涉并产生持续的透射光束 直观地说, 如果 I incident 表示入射光强度, 则 (1 - R) 部分的入射光波将透射进入腔内, 并产生式 ( ) 中的 I cavity 另外, I cavity 的 (1 - R) 部分光波将离开光腔, 产生透射光波 I transmitted, 则 淤 谱宽也被称为条纹宽度, m 也被称为条纹级数

49 第 1 章摇 光的波动性 摇 摇 摇 摇 摇 摇 49 ( 模式透射光强度) ( ) 摇 摇 就如图 所示的波长而言, 无论什么时候, 只需要 kl = mp, I cavity 将会再次达到最大值 淤 左边: 熔融石英标准具 右边: 带有 3 个微晶玻璃垫片且频率为 10 GHz的空气楔标准具 ( 图片由Light Machinery有限公司提供) 上面的想法很容易被扩展到折射率为 n 的介质, 利用 nk 代替 k 或者 姿 / n 代替 姿, 其中 k 和 姿 分别是自由空间光波的传播常数和波长 式( ) 和式( ) 变成 摇 摇 摇 摇 摇 ( 介质中的法布里 珀罗谐振腔模式) ( ) 摇 摇 摇 摇 摇 摇 ( 谐振腔共振频率) ( ) 更进一步, 如果入射光波( 入射角 兹) 不是垂直入射到标准具, 则可以将 k 分解到沿着腔轴 的传播方向, 即用 kcos兹 代替上面讨论的 k 值 假设图 1. 32( a) 中的两面镜子有同样的反射率 R 设 R1 和 R2 分别为平面镜 M1 和 M2 的 反射率, 那么可以继续使用以上的方程, 只是把光波反射率变为几何平均反射率, 即 R = ( R1 R2 ) 1 / 2 例 摇 半导体法布里 珀罗谐振腔的模式和谱宽 考虑一个由半导体材料构成的法布里 珀罗谐振腔, 在其端部有两面平面镜( 通过在半导 体晶格端面镀膜而形成反射镜) 半导体长度即腔长为 250 滋m, 端面镜子反射率为 0. 9 试计 算最接近于自由空间 1310 nm 的光波波长的腔内模式 试计算该 FP 谐振腔的模式间隔 精细 度 模式光谱宽度( 频率和波长上) 及 Q 因子 解: 腔内的光辐射波长是 姿 / n, 其中 n 为介质的折射率, 此处为 3. 6, 姿 为自由空间波长 利 用方程( ), 则 1310 nm 光波的模式数目为 淤 在方程( )中, 右边乘以 I incident 的项是熟知的艾里函数

50 50 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 摇摇由于 m 必须是一个整数 (1374), 因此实际模式波长是 因此, 在实际应用中, 该 FP 谐振腔的模式波长为 1310 nm 模式频率是自 m = c / 姿 m, 因此由方程 ( ) 知, 模式间隔为 则, 精细度是 每个模式的谱宽是 模式谱宽啄自 m 对应于一定波长的光谱波长宽度啄姿 m 模式波长姿 m = 1310 nm 对应的模式 频率为自 m = c / 姿 m = 伊 由于姿 1 = c / 自 m, 可以换一种表达方式来描述姿 m 和自 m 的微小 变化, 即 Q 因子是 像这样的光学谐振腔被运用在所谓的法布里珀罗半导体二极管中, 这在第 4 章中将会进 一步讨论 摇衍射原理 A. 夫琅和费衍射 波的一个重要特性是, 它们表现出衍射效应, 例如, 声波可以在角落处发生弯曲 ( 偏转绕过角落 ), 光束可以类似于 弯曲冶通过周围的障碍物 ( 虽然弯曲程度十分小 ) 如图 所示为一个准直光束穿过圆孔 ( 圆形开口在一个不透明的屏幕上 ) 的例子 透过光波被发现是发散的, 并且输出光强图案为明暗相间的环, 称为艾里环图案淤 就说透过光束发生了衍射并且其光强图案被称为衍射图案 ( diffraction pattern) 显然, 衍射图案并不对应于圆孔的几何阴影 衍射现象一般分为两大类 对于夫琅和费衍射 (Fraunhofer diffraction), 于入射光束是平面光波 ( 准直光束 ), 并且光强度图案 ( 通过放置一个感光屏幕等 ) 的观察或检测点位于远离圆孔的位置, 因而接收到的光波近似为平面波 在圆孔和感光屏幕之间插入一个透镜, 可使衍射图案的 淤 于 乔治 艾里爵士 ( ), 年期间, 任英国皇家天文学家 约瑟夫 冯 夫琅和费 ( ), 德国物理学家, 他同样发现了太阳光谱中由于氢吸收产生的各种暗线

51 第 1 章摇 光的波动性 51 屏接近圆孔 对于菲涅耳衍射 (Fresnel diffraction), 入射光束和接收光波不是平面波, 而是有显著弯曲的波阵面曲率 通常, 光源和接受屏幕都接近于圆孔, 因此光波的波阵面是弯曲的 夫琅和费衍射是目前为止最重要的衍射方式, 并且它在数学上更容易处理 衍射可以被理解为从遮挡圆孔处发生多波长的干涉项 淤将考虑一束平面光波入射到一维长度为 a 的狭缝上, 依据惠更斯菲涅耳原理于, 在给定时刻内, 波阵面上每个未遮蔽的点都可以作为球状次波的波源 ( 具有与光波源相同的频率 ) 在该波阵面外的任意点处光场的振幅都等于这些子波的叠加 ( 考虑其振幅和相对相位 ) 图 1. 35(a) 和 (b) 形象地说明了这图 摇准直光束入射到一个小圆孔上并发生衍射, 一点, 当平面波到达狭缝时, 狭缝上的点成为相并且透过圆孔的光强度图案是带有圆亮干球面次波的光源 这些球面波发生干涉形成环 ( 称为艾里环 ) 的衍射图案 如果屏幕远新的波阵面 ( 新的波阵面是这些次波波阵面的包离圆孔, 这将是一个夫琅和费衍射图案络线 ) 这些球面波不仅能够在如图 1. 35(a) 所示的前进方向上发生相长干涉, 也能在如图 1. 35(b) 所示的其他合适方向上相长干涉 因此, 在观察屏上可以发现明暗相间的条纹 ( 圆孔时为明暗相间的圆环 ) 图 摇 (a) 惠更斯菲涅耳原理指出, 一个狭缝内的每个点可看作是一个产生次级 波 ( 球面波 ) 的光源 球形波阵面被姿分离 新的波阵面是由所有球形波阵 面组成的包络 ( b ) 另一种可能的衍射波的波阵面在与 z 方向成兹角处 通常把宽度 a 的狭缝均分为 N 份 (N 十分大 ), 则相干点光源的大小为啄 y = a / N( 很明显啄 y 非常小, 可以近似看作是一点 ), 如图 1. 36( a) 所示 由于狭缝 a 被一束平面光波均匀入射, 狭缝上每点的光强 ( 振幅 ) 应当正比于 a / N = 啄 y, 且每点是一个球面光波光源 在光波正传输方向 ( 兹 = 0) 上, 次级光波相位相同, 构成一个沿着 z 轴传播的前向光波 然而, 在与 z 轴成兹角度的一些方向上, 次级光波同样具有相同相位, 则在该方向上产生了衍射光波 光屏上一点接收光波的强度应当等于狭缝全部点辐射的次级光波传输到该点的强度的总和 由于光屏 淤 于 没有人能够定义出让所有人满意的干涉和衍射的区别冶 [ R. P. 费曼, R. B. 顿, 和 M. 金沙, 费曼物理学讲义 (Addison Wesley 出版社, 1963)] 尤金 赫克特. 光学 ( 第 4 版 )(Pearson Education, 2002 年 ), 第 10 章, 第 444 页

52 52 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 远离狭缝, 因此到达光屏的光波几乎相互平行 ( 或者透镜可以用于聚焦衍射平行光线, 以形成衍射图案 ) 考虑一个任意的方向角兹, 并考虑一束任意点光源处辐射的光波 (Y) 的相位, 其与 y = 0 处的点光源 (A) 相距 y, 如图 1. 36(a) 所示 如果 k 是传播常数, k = 2p / 姿, Y 光波相对于 A 光波的相位差为 kysin 兹 因此, 来自 y 点处的点光源发射波有一个场啄 E, 即 ( ) 图 摇 ( a) 狭缝沿着 y 方向有一个有限的宽度 a, 但是在 x 轴方向非常长, 所以可以看成是一个一维的狭缝 狭缝等分成 N 个点光源, 并各占啄 y 长度, 且由于狭缝被平面电磁波激励, 因此点光源辐射光波振幅正比于啄 y ( b) 在远离狭缝的屏幕上接收到的光的强度分布为衍射图案 注意, 这个缝隙在 x 方向非常长, 因此该方向上没有衍射 入射波覆盖整个狭缝 ( c) 使用激光点光源照射单缝而产生的一种典型衍射图案 由于激光点光源光束在 x 轴上的尺寸有限, 远小于狭缝宽度, 因此图中图案不同于 ( b) 中图案 从 y = 0 到 y = a 位置处的所有点光源辐射的光波, 在屏幕上一点 P 处发生干涉, 与狭缝成角兹, 并且屏幕上 P 点处产生的合成场是点光源辐射光波的总和 因为屏幕离狭缝比较远, 所以屏幕上点到狭缝上任意点的距离相等 这意味着, 来自狭缝的所有球面波到达屏幕上一点时, 相位变化相同, 并且振幅减少量也会相同 对于所有来自同一个狭缝的光波, 屏幕上简单的电场量啄 E 均相同 因此, 屏幕上 P 点处的合成场 E( 兹 ) 是 ( ) 式中, C 是一个常量 对方程 ( ) 进行积分可以得到 摇摇屏幕上 P 点处的光强 I 正比于 E 兹 2, 因此有 摇摇 ( 单缝衍射方程 )( ) 式中, C 忆是一个常量 ; 茁是为了方便而新设的一个表示兹的变量 ; sinc( sink 冶 ) 表示一个函数, 定义为 sinc( 茁 ) = sin( 茁 ) / ( 茁 )

53 第 1 章摇 光的波动性 53 如果根据方程 ( ) 作出接收屏上关于兹的函数图像, 则会看到光波的衍射强度图案, 如图 1. 36(b) 所示 首先, 注意到衍射图案上分别有明区和暗区, 对应于波从狭缝孔中射出时发生的相长干涉和相消干涉 其次, 中心明亮的区域比孔的宽度 a 要宽, 这意味着传输光束是发散的 由方程 ( ) 可知, 零光强点的位置在于 ( 零光强点 )( ) 对第一个零光强点, 角度兹 o 对应于 m = 依 1, 由兹 o = 依姿 / a 给出, 其中假设发散角很小 ( 通常情况是这样 ), 近似地取 sin 兹 o 抑兹 o 因此, 衍射光波的发散角驻兹等于 ( 宽度 a 单缝的光波衍射 )( ) 若衍射狭缝缝宽 a = 100 滋 m( 大约一页纸的厚度 ), 则 1300 nm 光波的发散角驻兹 = 1. 5 毅 从图 1. 36(b) 可以明显看出, 已知兹 o 和屏幕到狭缝的距离 R, 运用几何学, 由式 ( ) 容易计算出衍射图案中央亮区的宽度 c 二维孔径如矩形孔和圆形孔的衍射图案计算起来更加复杂, 但是计算原理相同, 都是基于二维孔径中所有点光源发生多波长干涉的原理 矩形孔的衍射图案如图 所示 这涉及两个独立单缝衍射函数 (sinc) 的叠加, 一个沿着横轴单缝的缝宽 a, 另一个沿着纵轴单缝的缝宽 b( 为什么横轴上的衍射图案较宽呢 ) 图 摇左边是二维 a 伊 b 的矩形孔, 右边给出了衍射图案 (b 为 a 的两倍 ) 如图 所示, 圆形孔的衍射图案为艾里环 (Airy rings), 通过沿着 z 轴旋转图 1. 36(b) 的衍射强度图案可以粗略得出 类似于单缝的分析, 可以把圆形孔中每点发射的光波叠加, 并通过考虑它们到达屏幕上点的相对相位求解屏幕上的实际衍射光强图案 其结果是, 衍射图案是第一类贝塞尔函数, 淤而不是一种简单旋转的 sinc 函数 中央白色亮斑称为艾里斑 ( Airy disk), 其半径对应于第一个暗环的半径 仍然可以利用图 1. 36( a) 和图 1. 36( b) 来分析圆形孔衍射的发生过程, 只是用圆形孔代替狭缝, 此时 a 是圆形孔的直径, 记为 D 第一个暗圆环的角位置为兹 o, 如图 1. 36(b) 所示, 由圆形孔直径 D 和波长姿所决定的, 且有 ( 艾里斑的角半径 )( ) 从孔中心到艾里斑圆周的发散角是 2 兹 o 如果 R 是屏幕到圆形孔之间的距离, 那么艾里斑的半径 ( 接近于 b) 可以通过图 1. 36(b) 中的几何关系计算出, 其中 b / R = tan 兹 o 抑兹 o 如果要利用一个透镜把衍射光聚焦到屏幕上, 透镜的焦距 f 应满足 R = f 淤 贝塞尔函数是一种特殊的数学函数, 可以在数学手册中查询 它们通常应用于各种工程问题中

54 光电子学与光子学 原理与实践( 第二版) 54 高斯光束是值得人们关注的一点 假设现在研究一个束腰为 2wo 的高斯光束, 且光束束腰 等于圆形孔的尺寸 D, 则该高斯光束的远场半发散角 兹 满足 兹 = (2 / p ) (姿 / D) 或者 ( 姿 / D) [ 见方程( ) ] 高斯光束的发散角小于圆形孔衍射光波的发散角 这种差异是由于圆形 孔被平面光波照射而使每点辐射光波强度相同 如果改变圆形孔中辐射光强分布以符合高斯 函数分布, 则会看到 衍射光束冶 应当是高斯光束 高斯光束是一种自衍射光束, 且在给定的 光束直径下发散角最小 摇 摇 摇 摇 远离圆形孔的衍射图案 远离方形孔的衍射图案 例 摇 成像系统的分辨能力 若两个相邻的点光源通过孔径直径为 D 的成像系统( 甚至可以是一个透镜) 时, 考虑会发 生什么情况? 这两个光源在孔径处有一个角间距 驻兹 通过小孔点光源 S1 和 S2 分别产生衍射 图案, 如图 所示 随着点光源之间的距离变得越来越近, 它们的角度间隔变得越来越窄, 衍射图样重叠区域增大 根据瑞利判据( Rayleigh criterion), 当其中一个衍射图案的最大点与 另一个衍射图案的最小点重合时, 这两点恰好可分辨 瑞利判据由以下条件得出: ( 分辨率的角度限制) ( ) 图 1. 38摇 成像系统的分辨率受衍射效应限制 随着点光源 S1 和 S2 间距越来越近, 最终 艾里图案重叠的区域不断增大,以至于衍射图案无法分辨 瑞利判据给出了两个 点光源被确定时最小的角间隔( 示意图中显示的旁瓣实际上比中央峰值小得多) 人眼的瞳孔直径约为 2 mm 在 550 nm 的绿光下, 试问人眼观察两点最小的角间隔是多少? 如果两个对象距离眼睛 30 cm, 则它们的最小间隔是多少? 点光源在人眼上所成的像是衍射图 案, 是光波动在该介质上的体现 如果人眼介质折射率为 n抑1. 33(水波), 则方程( )为

55 第 1 章摇 光的波动性 55 可以求出 它们的最小间隔 s 是 其大小大约是一根头发丝 ( 或者一页纸 ) 的厚度 两点光源通过小圆孔时所成的像 (a) 两点光源的距离足够远, 使其衍射图案被完全分辨 (b) 两 个图像接近瑞利分辨极限 (c) 一个图像的第一暗环恰好通过另一个图像的艾里斑中心 ( 近似地 ) B. 衍射光栅最简单的衍射光栅 (diffraction grating) 是指在一个不透明屏幕上刻上一系列周期性的狭缝的光学器件, 如图 1. 39(a) 所示 入射光束在特定方向发生衍射, 其衍射方向依赖于波长姿和光栅特性 图 1. 39(b) 显示了一个通过有限个狭缝的典型衍射光强度图案 沿着特定的方向 ( 兹 ) 有 强的衍射光束冶, 图中已经标出了其相应的位置 : 零级 ( 中心 ), 处于零级左 右边的一级, 以此类推 如果狭缝数量无限, 则衍射光束具有相同的强度 事实上, 任何折射率的周期性变化将被视为一个衍射光栅, 将在后面讨论其他的光栅类型 在夫琅和费衍射中, 假设观察屏相距较远, 或者用一个透镜把平行的衍射光束聚焦到观测屏上面 ( 观察者眼中透镜自然具有该性能 ) 假定入射光束是平面波, 因此狭缝成为相干光 ( 同步 ) 源 假设每个狭缝的宽度 a 比它们之间的间距 d 小得多, 如图 1. 39(a) 所示 来自两个相邻狭缝并且发射角为兹的两束光波具有不同的相位, 并且相位差对应的光程差为 dsin 兹 很明显, 当该光程差等于整个波长的整数倍时, 一对狭缝中发射的光波相长干涉, 有 ( 光栅方程 )( ) 这是著名的光栅方程 (grating equation), 也称为布拉格淤衍射条件 (Bragg diffraction condition) m 值定义为光波衍射级次, m = 0 对应于 0 级衍射光波, m = 依 1 对应于依 1 级, 以此类推 如果图 1. 39(a) 中的光栅处于折射率为 n 的介质中, 即入射和衍射光束全部处于相同折射率 n 的介质 淤 威廉 劳伦斯 布拉格 ( ), 出生于澳大利亚的英国物理学家, 年仅 25 岁时因其 著名的方程冶与他的父 亲威廉 亨利 布拉格一起获得诺贝尔奖

56 56 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 中, 则方程 ( ) 中的波长应该表示为姿 / n, 其中姿是自由空间波长, 则方程 ( ) 即为 dsin 兹 = m 姿 / n 实际衍射光束的强度取决于更加复杂的条件, 它涉及所有观测到的光波的叠加过程, 同时还要考虑单个狭缝的衍射效应 如图 1. 39(a) 所示, 由于 a 远小于 d, 所以衍射光束的振幅被单个狭缝的衍射振幅调制, 后者基本上被散射了, 如图 1. 39(b) 所示 明显可以看出, 衍射光栅提供了一种入射光波偏转的方法, 并且入射光的偏转程度主要依赖于光波波长, 这也是衍射光栅应用于光谱分析的原因 图 摇 (a) 在一个不透明的屏上带有 N 条狭缝的衍射光栅 狭缝周期为 d, 狭缝宽度为 a, 有 a << d ( b ) 衍射光图案 在特定方向 ( 示意图 ) 具有明显不同的 ( 衍射 ) 光束 (c) 红光激光棒点光源产生的闪耀光束通过衍射光栅形成的衍射图案 激光光束有限的尺寸导致产生了光状图案 ( 光波波长为 670 nm 的红光, 光栅每英寸有 200 条狭缝 ) 如图 1. 40(a) 所示的光栅是一个透射型光栅 (transmission grating), 入射和衍射光束在光栅的两侧 通常, 玻璃板上的平行细槽可以作为透射光栅, 如图 1. 40(a) 所示 反射型光栅 (reflection grating) 中入射光束和衍射光束在光栅的同侧, 如图 1. 40(b) 所示 光栅表面有一个周期性的反射结构, 在金属薄膜上很容易通过刻蚀平行细槽等方法形成 反射光栅未刻蚀的表面成为同步次波光源, 辐射光波沿着一定方向干涉形成零级 一级等衍射光束 透射型光栅通常区分为两种光栅 : 透射幅度可调制的振幅光栅和所谓折射率可调制而无任何损耗的相位光栅 当入射光束并非垂直入射到衍射光栅上时, 方程 ( ) 必须修改 如果兹 i 是光波对光栅法线的入射角, 则第 m 个模式的衍射角兹 m 由下式给出 ( 光栅方程 )( ) 上述方程同样可以应用于透射和反射光栅上, 只是当兹 i 和兹 m 在法线两侧时两者都为正, 如图 1. 40(b) 所示淤 考虑到光栅有 N 条狭缝, 狭缝宽度为 a( 十分狭窄 ), d 是前面提到过的光栅周期, 探测器在远离光栅的 L 处 周期性狭缝产生了衍射光束, 每个狭缝的衍射峰值连起来形成了衍射强度包络线, 如图 1. 39(b) 所示 如果平面波正入射到光栅中, 则在接收屏幕上 淤 对于透射光栅, 有的书中使用 d(sin 兹 m + sin 兹 i) = m 姿, 但是相对于法线方向, 入射侧角度为正, 而衍射侧角度为负 它是一种约定好的符号规则

57 第 1 章摇 光的波动性 57 沿 y 方向的衍射强度分布为 ( 光栅衍射图案 )( ) 式中, k y 是指散射波矢量, 被定义为 k y = (2p / 姿 )(y / L) = (2p / 姿 )sin 兹 ; I o 是沿着兹 = 0 方向上 的最大衍射强度 第二个平方项表示不同的狭缝光波干涉引起的振幅振荡 第一个平方项是 衍射图案的包络线, 并且是单缝的衍射图案 图 摇 (a) 在玻璃板上刻蚀规则周期性平行划痕作为透射光栅 ( 假设玻璃板非常薄 ) (b) 反射光栅 入射光束产生各种 衍射冶光束 零级衍射光束即为正常反射光束, 其中反射角等于入射角 一个衍射光栅的分辨能力 ( resolvance) 或分辨本领 ( resolving power) R 代表着它分离出相邻两波长的能力 如果根据瑞利判据可知 ( 姿 1 波长光波的最大光强分布点与姿 2 波长光波的第一个最小光强分布点重合 ), 姿 2 - 姿 1 = 驻姿是衍射光栅能够分辨的最小波长间隔, 且光波波长姿为驻姿间隔内光波的平均波长 (1 / 2) ( 姿 2 + 姿 1), 则衍射光栅的分辨本领 ( resolving power) 被定义为 ( 分辨本领 )( ) 摇摇波长间隔驻姿也被称为光谱分辨率 如果光栅的 N 个刻槽被照射了, 衍射级次为 m, 那么理论上分辨本领可以简单地由公式 R = mn 给出 由于衍射光栅的分辨本领表示波长的分离能力, 因此分辨本领也被称为色分辨本领 (chromatic resolving power) 由于衍射光栅能够根据不同波长来使光发生偏转, 因此它被广泛应用在光谱学方面 在这种应用中, 没有发生衍射的零级光波不是人们希望的, 因为它们浪费了一部分入射光强度 ( 见图 1. 40) 可不可以把零级衍射光波能量转移到更高级次中呢? 罗伯特 威廉 伍德 (1910) 通过在玻璃板上刻画可控形状的凹槽实现了该想法, 如图 1. 41( a) 所示, 其中各个刻槽表面与玻璃板表面形成的夹角呈周期性分布, 空间周期为 d 方程 ( ) 中的衍射条件是基于光栅平面的法线, 然而一级反射光波对应于从平行表面反射的光波, 其角度为酌 因此, 适当地选择可以使能量激发 闪耀冶到更高级次 ( 通常选 m = 1) 上面 大多数现代的衍射光栅都是这种类型 假设入射光波相对于光栅法线的夹角为兹 i, 镜面反射方向相对于表面法线的角度为 ( 酌 + 兹 i), 而相对于光栅法线的夹角为 ( 酌 + 兹 i) + 酌 ( 酌 + 兹 i) + 酌角度的反射应该发生在衍射角兹 m 处, 即 ( 闪耀角度 ) ( )

58 光电子学与光子学 原理与实践( 第二版) 58 图 1. 41摇 ( a) 一种闪耀光栅 表面已被切割成具有周期 d 的三角形凹槽 三角形凹槽的一边与衍射光 栅平面成酌角 当光波垂直入射时,衍射角必须为2 酌,使 镜 面 反 射 光 束 与 衍 射 光 束 重 合 ( b) 当入射光不是垂直入射时,只有当( 酌 + 兹 i ) + 酌 = 兹 m 时,镜面反射光束才与衍射光束重合 威廉 劳伦斯 布拉格( ), 出生于澳大利亚的英国物理学家, 因其 著名的方程冶,曾与他的父亲威廉 亨利 布拉格一起获得诺贝 尔奖, 当 时 他 年 仅2 5 岁 ( 来 源 : SSPL 盖 蒂 图 片 ) 在 科 学 上, 获 得 某 个 方面的事实并不是最重要的,最重要的是获得思考它们的新方法 冶 例 摇 一种反射型光栅 如图 ( a) 所示, 考虑一种反射光栅, 它的周期 d 为 10 滋m 假 设 准 直 光 波 波 长 为 1550 nm, 并以 45毅角入射到光栅上, 试求相应的衍射光波 如果使用具有同样周期的闪耀光栅, 则光栅的闪耀角 酌 应该为多少? 如果光栅周期减小到 2 滋m, 则衍射光束会发生怎样的变化? 解: 若在方程( ) 中取 m = 0, 将得到零级衍射光束, 且衍射角为 45毅, 如图 ( a) 所 示 通用的布拉格衍射条件为 因此 和

59 第 1 章摇 光的波动性 59 解这两个方程, 则当 m = 1 时, 兹 m = 毅 ; 当 m = - 1 时, 兹 m = 毅 图 摇 在一个反射光栅上, 一束光以 45 毅角入射到光栅表 面 ( a) 光栅周期为 10 滋 m ( b) 光栅周期为 2 滋 m 考虑图 1. 41(b), 当 2 酌 = 兹 m - 兹 i 时, 来自沟槽表面的常规反射光波与 m th 衍射级次的光束 重合, 因此 摇摇假设把 d 减小到 2 滋 m, 重新计算, 可以发现, 当 m = - 1 时, 兹 m = 毅, 且 m = + 1 的衍射光束为虚像不存在 另外, 当 m = - 2 时, 二级衍射光束衍射角度为兹 m = 毅, 两者都显示在图 1. 42(b) 中 作为留下来的习题, 请证明 : 若增大光波入射角, 如果在第一个光栅上的入射角兹 i = 85 毅, 则 m = - 1 时衍射光波的衍射角度从 毅上升到 毅, 而另一个衍射峰值 (m = 1) 消失 选学专题 摇干涉仪 干涉仪 (interferometer) 是一种利用光的干涉现象产生干涉条纹 ( 如明暗相间的条纹或环 ) 的光学仪器, 它可以用来测量光波的波长 物体表面平坦度或微小间距 一束近单色光波被分成两列相干光波, 沿两条不同的路径传输, 之后两列波又被聚到了一起, 在屏幕上干涉 ( 或在探测器阵列中 ), 其结果如图 所示的杨氏干涉条纹中的干涉图案 在某些干涉仪中, 所得到的干涉强度是在某一个位置测量的结果, 当改变其中一个光波传播路径的长度时, 干涉强度可以得到监控 即使传播路径发生微小变化, 光波光程 ( 距离乘以折射率 nl) 的变化也会导致衍射图案或者条纹发生可测量到的漂移, 并且漂移量可用来推导 nl 的大小 现在有多种类型的干涉仪 法布里珀罗干涉仪 (Fabry 鄄 Perot interferometer) 是一种基于法布里珀罗谐振腔的干涉仪, 如图 所示, 当用一束宽单色光源照射时, 干涉仪可以产生圆环干涉图案 ( 亮环和暗环 ) 谐振器由两个平行平面玻璃板构成, 彼此相对并且玻璃板间距可调节 一个压电换能器装在两块玻璃板之间, 能够微小改变两板间距 玻璃板的内表面镀了膜, 以增强腔内的反射 ( 内表

60 60 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 面也可以使用电介质反射镜 ), 进入光腔中的光波将在腔内进行多次反射 透射光波 A B C 等被一个透镜聚焦到屏幕 P 点处 如果 A B C 等具有相同的相位, 则点 P 是一个明亮的点 假设 L 是玻璃板的间距, 空腔内折射光线与玻璃板法线的夹角为兹, k = 2p n / 姿是空腔内光波的传播常数 ( 姿是自由空间波长 ), n 为介质腔内部介质的折射率 可以看到 A 和 B 相位差是 2kLcos 兹, 当 A 和 B 发生相长干涉时, 相位差必须等于 2mp, 其中 m 是整数 已知, 对于正入射光, 相位差等于 2kL 因此, 如果 ( ) 则 P 点为亮点, 并且所有具有相同兹角度的类似点都处在以标准具的轴线为中心的同一圆环上 很明显, 干涉图案由明暗相间的圆环构成 干涉条纹的直径取决于光波波长和标准具两板间的光程差 nl( 折射率伊距离 ) 干涉仪可用于光谱分析领域, 如对光源波长的测量 图 摇 法布里珀罗干涉仪 图 摇 马赫曾德尔干涉仪 如图 所示为一个马赫曾德尔 干涉仪 ( Mach 鄄 Zehnder interferometer), 一 束相干光在点 O 处被光分束器分成了两 束光波 然后, 这两束光波分别被反射镜 M 1 和 M 2 反射到第二个光分束器 C 上, 并在 C 处合并成一束被探测器 D 接收的 输出光 在 C 处的合成场依赖于沿不同 路径 OAC 和 OBC 传输光波的相位差 把 样品放置在其中一个光路上, 如 OAC, 可以很容易监测到折射率 n 的变化或者样品的长度 d 如果, k o = 2p / 姿是真空中的传播常数, k = 2p n / 姿是样品中的传播常数, 则 C 点处光波的相位差椎是淤 摇摇由于样品的加入而导致相位角的变化驻椎等于 因此, 探测信号的改变表示 nd 的改变 另一方面, 如果能以某种方式调制 n 或 d 的大小, 则 可以调制探测器处的光波强度 通信领域应用的马赫曾德尔调制器主要依赖于外加电场来改 变适当晶体的折射率 n( 即电光效应, 这将在本书后面讨论 ) 淤 OAC 表示从 O 到 A 到 C 的路径

61 第 1 章摇 光的波动性 摇薄膜光学 薄膜中光波的多次反射 人们对衬底 ( 如半导体晶体 ) 上透明材料组成的薄膜涂层 ( 称为光学镀膜 ) 的光波反射和透射十分感兴趣, 甚至包括对用作增透膜透镜的玻璃感兴趣 最简单的例子如图 所示, 光波从折射率为 n 1 的介质内入射到折射率为 n 2 的薄膜层中, 且衬底折射率为 n 3 光波在薄膜中多次反射, 这类似于法布里珀罗光学谐振腔, 即存在多束光波的干涉现象 图 摇光波从折射率为 n 1 的介质内入射到折射率为 n 2 的薄膜层中, 且衬底折射率为 n 3 假设膜层厚度为 d 为简单起见, 假设光波正入射 两次透过膜层 d 后光波的相位变化为准 = 2 伊 (2p / 姿 )n 2 d, 其中姿为自由空间光波波长 考虑到光波两次穿越膜层的相位差, 光波波函数需乘以 exp( - j 准 ), 则 n 1 - n 2 - n 3 系统中光波反射系数和透射系数为 ( a) 和 ( b) 其中, 有 ( c) 第一束被反射的光是 A 1 = A 0 伊 r, 第二束反射光波为 A 2 = A 0 伊 t 1 伊 t 忆 1 伊 r 2 伊 e - j 准, 以此类推 反射光束的振幅是 即为 ( ) 上式为一个几何级数 利用式 ( c) 和式 ( ), 可以方便地求得总反射系数 ( 薄膜的反射系数 )( ) 类似地, 可以叠加透射光波的振幅

62 62 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 即 ( ) 这是一个几何级数叠加, 有 ( 薄膜的透射系数 )( ) 式 ( ) 和式 ( ) 描述了反射波和透射波 反射率和透射率为摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 薄膜反射率和透射率 )( ) 图 1. 46(a) 显示了反射率 R 和透射率 T 关于准的函数曲线, 其中 n 1 < n 2 < n 3 很明显, 当准 = p 伊奇数或者准 = 2(2p / 姿 )n 2 d = p (2m + 1) 时, R 取得最小值, T 取得最大值, 其中 m = 0, 1, 2, 变形后, 由后者可知摇摇摇摇摇摇 ( 最小反射率对应的厚度 )( ) 这正是当 n 2 介于 n 1 和 n 3 之间时, 薄膜反射率达到最小并且透射率达到最大时对应的厚度条件 R 和 T 随着准的振荡图案 ( 如波长扫描时 ) 有时可以认为是波长的干涉条纹 (interference fringes) 图 摇 (a) 对于衬底上的薄膜来说, 反射率 R 和透射率 T 随准 = 2n 2 d / 姿的变化曲线, 其 中 n 1 = 1( 空气 ),n 2 = 2. 5,n 3 = 3. 5, 并且 n 1 < n 2 < n 3 (b) 对于衬底上的薄膜来说,R 和 T 随准 = 2n 2 d / 姿的变化曲线, 其中 n 1 = 1( 空气 ),n 2 = 3. 5,n 3 = 2. 5, 且有 n 2 > n 3 > n 1 图 1. 46(b) 表示通过在低折射率衬底上的高折射率材料薄膜层的反射率和透射率随准的变化曲线, 满足 n 1 < n 3 < n 2, 如在玻璃衬底上的半导体材料薄膜 需要注意上述两种情况的区别, 特别是反射率最大和最小位置的不同 ( 为什么有区别 ) 当然了, 相位变化准与 d n 2 和姿这三个因素有关 图 中在那些特殊准值处, 反射率的最大值和最小值可以利用式 ( ) 和式 ( ) 求得 当 n 1 < n 2 < n 3 时, 如图 1. 46(a) 所示, 有摇摇摇摇摇 ( 最大和最小反射率 )( ) 并且光波透射率由 R + T = 1 求取 当 n 1 < n 3 < n 2 时, 只需互换 R max 和 R min 的表达式即可 虽然 R max 的大小看起来与 n 2 无关, 但是由于当准 = 2(2p / 姿 ) n 2 d = p (2m) [ 即准 = p 伊 ( 偶数 )] 时, R 达到最大值 R max, 因此折射率 n 2 的确决定了光波的最大反射率 在透射光谱的测量上, 一种分光计被用来记录通过样品后光波透射率随波长的变化函数

63 第 1 章摇 光的波动性 63 关系 如果样品是在衬底上的薄膜, 那么光波在薄膜上发生多次反射和干涉, 因此测得的透射 率有最大值和最小值, 如图 所示, 光波波长 ( 准值 ) 被扫描 已知衬底折射率 n 3, 最大值 和最小值的位置可用来求 n 和 d 的值 例 摇光学薄膜考虑一个折射率 n 3 = 3. 5 的半导体器件, 有一层透明光学薄膜 ( 电介质薄膜 ) 镀在该半导体上, n 2 = 2. 5 n 1 = 1( 空气 ) 如果薄膜的厚度是 160 nm, 试求光波的最大 最小反射率和透射率, 以及在可见光波范围内对应的光波波长 ( 假设光波正入射 ) 解 : 本例题的示意图如图 1. 46(a) 所示 最小反射率 R min 发生在准 = p 或者 p 的奇数倍处, 最大反射率 R max 发生在准 = 2p 或者 2p 的整数倍处 从式 ( ) 可以得到 和 相应的透射率为 和 摇摇没有镀膜层时, 反射率是 31%, 即为最大反射率 给出公式准 = 2(2p / 姿 )n 2 d 并且 d = 160 nm 事实上, 最小反射率对应于准 = ( 奇数 ) 伊 p, 选择准 = 3 p ( 通过反复试验得到 ), 可以得到最小波长姿 min 该波长在可见光范围 当准 = 4 p 时, 在可见光情况下, 最大反射率为 摇平板内光波多次反射和非相干波 薄膜中光波能够发生干涉, 这是由于光波的相干长度远大于薄膜厚度, 从而光波表现出互相干性 可以把光波的电场叠加, 得到光波的明暗相间的干涉条纹 如果薄膜不能表现出任何干涉现象, 则可以认为膜太厚, 这是由于光波的相干长度小于膜的厚度 当光波透过透明 ( 或者半透明 ) 平板或者光源为非相干光源时, 这种情况很容易产生 在这种情况下, 不能通过光波电场相加获取反射光照度和透射辐照度 总的反射率和透射率与光波在平板中的往返相位变化准无关, 将不会出现如图 所示的现象, 应当利用公式 ( ) 求解 考虑一束具有单位光强度的光束, 其透射通过折射率为 n 1 的介质中折射率为 n 2 的厚平板, 如图 所示 第一次入射到平板中的透射光强度为 (1 - R), 则第一次透过平板输出的光强度

64 64 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 为 (1 - R) 伊 (1 - R) 或者 (1 - R) 2 然而, 如图 所示的平板内光波存在内反射, 从而第二次 透过平板输出的光强度为 (1 - R) 伊 R 伊 R 伊 (1 - R) = R 2 (1 - R) 2, 因此透过平板输出的光强度为 或者摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 厚平板或者非相干光束的透射率 )( ) 把 R 随折射率变化的函数代入到上式, 则有摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 厚平板或者非相干光束的透射率 )( ) 图 摇 通过某种材料制成的厚平板的透射和反射光波, 光波不存在干涉 摇摇例如, 对于空气 (n 1 = 1) 中的平板玻璃折射率 n 2 = 1. 60, T plate = 89. 9%, 而通过一次 n 1 - n 2 界面的光波透射率为 94. 7%, 总反射率为 1 - T plate, 从而 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ( 厚平板或者非相干光束的透射率 )( ) 摇摇确定折射率最简单的方法之一是测得式 ( ) 的透射率 T plate, 由此可以计算出折射率 摇光的散射 当光束在含有微小颗粒的介质或者不均匀介质 ( 如介质折射率局部发生变化 ) 中传播时, 光束的一部分能量会偏离光波传播方向传输, 即一些能量被散射了 散射 ( scattering) 是指电磁光波的一部分能量在偏离原来光波传播方向的任意方向传播, 重新定向形成了二次电磁光波, 如图 1. 48(a) 所示 有几种不同的散射形式, 且一般依据散射颗粒直径与散射光波波长的大小比较来分类 在瑞利散射 (Rayleigh scattering) 中, 散射粒子的大小或者介质中微粒分布的不均匀性程度远小于光波波长 与原始光波成兹角度的散射光波强度取决于散射的过程, 瑞利散射情况如图 1. 48(b) 所示, 其散射是非球对称的

65 第 1 章摇 光的波动性 65 考虑一束传播光波碰撞到一个尺寸远小于光波波长的分子 晶体中的杂质或者较小的电 介质颗粒( 或者区域) 光波电场极化微小颗粒, 由于电子远轻于带正电的原子核, 电子分离 分离的电子与光波电场耦合并发生振荡( 类似于交流电子极化) 电荷上下振荡或感应偶极子 振荡, 围绕分子辐射电磁光波, 如图 1. 48( a) 所示 应该记得, 振荡的电荷类似于交变电流, 不断辐射电磁波( 类似于天线) 所有过程的净效应是, 部分入射光波沿着不同方向上再次辐 射, 而原始方向上的光强减弱( 可以认为, 在这个过程中颗粒通过电子极化吸收部分电磁能 量, 然后电磁能量沿着不同方向再次辐射) 有人可能认为, 从散射分子中发出的散射波会构 成球面波, 但是情况通常并非如此, 因为再次发射的辐射取决于分子在不同方向上的形状和极化 程度 我们假设颗粒尺寸较小, 因此任何时刻通过颗粒的电场在空间上无变化, 且颗粒极化振荡 方向沿着电场振荡方向 只需要散射区域(不管是非均匀性 小的颗粒 分子或者晶体中的缺陷) 的尺寸远小于入射光波的波长 姿, 散射过程就可以统称为瑞利散射(Rayleigh scattering) 通常颗 粒的尺寸小于光波波长的十分之一 图 1. 48摇 ( a) 瑞利散射涉及一个微小电介质颗粒或比光波波长小得多的区域的极化过程 光波电场 促 使 颗 粒 中 偶 极 子 振 荡 ( 通 过 极 化 ),并 导 致 其 沿 着 多 个 冶 方 向 发 射 光 辐 射, 因 此 一 部分光能量偏离了入射光波的方向 ( b) 瑞利散射中散射光波强度和散射光波与原始光 波传播方向x轴的夹角兹的极坐标图( 在极坐标曲线中,径向距离OP表示散射辐射强度) 瑞利勋爵( 约翰 威廉 斯特拉特) 是一个英国物理学家 ( ) 和诺贝尔奖得主 (1904), 他在声学和光学波物理方面做出了许多重要贡献 1871 年, 他提出了光在微小颗 粒中散射的理论, 散射大约取决于 1 / 姿4 之后, 在 1899 年发表的一篇论文中,他明确解释了 天空是蓝色的原因 大约在同一时期, 路德维希 洛伦兹独立地提出了小电介质颗粒的光波 散射理论, 其论文在丹麦发表(1890 年) 淤 ( 图片由玛丽 埃文斯图片库 / 艾拉米提供) 淤 强烈推荐 Pedro Lilienfeld 的 蓝天史冶, 光学与光子学新闻, 15(6), 32,2004; 它也提供了原始的参考文献

66 66 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 在玻璃介质中光波传输的瑞利散射是光子学的一个热门研究方向, 因为瑞利散射导致了光纤中传播光脉冲的衰减 玻璃结构中的折射率围绕其平均折射率有较小的随机空间变化 因此, 玻璃的相对介电常数和极化程度会有局部波动, 这表现为玻璃具有一定的非均匀性 这种相对介电常数波动引起的电介质非均匀是本征玻璃结构的一部分 由于光纤是从冷凝的液体中拉丝而成的, 因此液体冷凝变为固体结构过程中光纤的组成和结构会随机热力学波动 因而, 玻璃光纤的相对介电常数有较小的波动, 这导致瑞利散射 小的非均匀区域类似于小的电介质颗粒的作用, 能够沿着不同方向散射光波 我们无法完全消除玻璃中的瑞利散射, 因为瑞利散射是玻璃固有结构的一部分 很明显, 散射过程与分子或者电介质颗粒的极化程度有关 我们知道, 散射过程涉及了大部分紫外频率光波的能量, 因为该频段处由电子极化并二次电磁光波辐射引起的电介质光能损耗达到了最大 因此, 随着光频率的增加, 散射变得更加严重 换句话说, 光波波长增大可以减小散射 散射辐射的强度正比于 1 / 姿 4 例如, 蓝光比红光的波长短, 因此在空气分子中被散射的程度更大 直接观察太阳呈现黄色是因为直射光波中蓝光比红光被更多散射 当我们从任何方向观察天空 ( 除了太阳 ) 时, 眼睛接收到的散射光总是蓝色的 因此, 天空是蓝色的 当太阳升起或者落下的时候, 来自太阳的光线要经历最长的距离穿过大气层, 大部分蓝光都被散射掉, 这也解释了此时观察到的太阳为红色的原因 如图 所示, 含有小的颗粒物 ( 或不均匀性 ) 介质中的光波传播时光束强度会减弱, 原因是光束在颗粒物位置发生了瑞利散射 介质内部距离辐射接收面 z 处的光强度为 ( 由散射导致的光波衰减 )( ) 式中, 琢 R 表示瑞利散射引起的衰减系数 琢 R 的大小依赖于散射颗粒浓度 N 其颗粒半径 a 光波波长姿及散射球体区域的折射率 n 与介质折射率 n o 之间的失配程度 ( 瑞利散射衰减系数 )( ) 图 摇 当一束光波通过有着微小颗粒的介质时, 光波会发生 散射, 传播方向上能量发生损耗, 这束光开始衰减 一般产品说明书上会标明方程 ( ) 中影响琢 R 的相关参量 米氏散射 (Mie scattering) 是指在散射体的尺寸等于或者大于入射光波波长条件下发生的散射现象 例如, 溶液中长有机分子的光散射或者大气中各种颗粒污染物 ( 如烟雾 ), 包括灰尘颗粒的光散射是米氏散射 米氏散射要求散射体的折射率与周围介质显著不同 这种散射

67 第 1 章摇 光的波动性 67 大小取决于散射颗粒直径与光波波长的比值, 并且沿着光传播方向的散射比较大 米氏散射对波长的依赖性比瑞利散射弱 来自于悬浮在液体中的各种颗粒物的光散射, 通常被称作混浊度 (turbidity) 例如, 悬浮在水中的微小固体颗粒会散射出光线, 并会使水质看起来浑浊 往往通过测量水的混浊度来监测水中含有的颗粒物, 即水的质量 摇光子晶体 如图 所示的介质镜 ( 或布拉格反射镜 ) 是一种由高低折射率材料周期性相间排列的堆栈 图 中折射率 n 周期性变化的一维结构表示的是一类最简单的周期性结构光学材料, 称之为光子晶体 (photonic crystals) 光子晶体是指一种折射率 n 周期性调制的材料, 就像如图 所示的那样, 因此该结构能够影响在其中传播的光波并将光波限制在光子晶体中 这种周期性结构可以是一维 (1D) 二维 (2D) 或者三维 (3D) 的, 图 中分别是 1D 2D 和 3D 简单光子晶体的结构图例 事实上还存在一些具有良好光学性质的十分复杂的光子晶体结构 介质镜 ( 或者布拉格反射镜 ) 可以看作是一种最简单的一维光子晶体 淤这种影响光波传播的结构需衍射光波, 即周期性变化的程度必须与波长尺度相同 由图 明显看出, 一维光子晶体内存在一个能够反射光波的频带 与其相反, 一维光子晶体存在一个阻带 (stop band), 即该频带的光波不能透射通过电介质堆栈 在折射率变化的方向 ( 即图 中 z 轴方向上 ) 存在一个不能通过该周期性结构的频率带宽, 该频带被称作光学带隙 (optical bandgap) 或者光子带隙 (photonic bandgap) 在图 中, 折射率 n 的周期性变化通常被认为无限期延伸, 而实际上, 光子晶体具有有限的尺寸, 如介质镜具有一定数目的层, 并不是无限大 正常晶体中, 如图 所示的周期性结构有一个晶胞 (unit cell), 不断重复的晶胞构成了整个晶格 即整个的晶体结构 对于图 1. 50(a) 中的一维晶体来说, 两个相邻层 (n 1 和 n 2 ) 形成了晶胞 我们可以把晶胞沿着 z 轴移动撰的距离, 即一个周期 ( 或周期性 ), 周期性多次重复就生成整个一维光子晶体 光子晶体的周期性意味着在 z 点 z 依撰点 z 依 2 撰点等处晶体的性能相同, 也就是说, 一维光子晶体在沿着 z 轴方向上具有平移对称性 沿着 z 轴方向传播并且允许透过周期性结构的电磁光波一般称为光子晶体的模式 (mode) 这些电磁波具有特定的波形, 必须与周期性结构匹配, 又称为布洛赫波 (Bloch waves) 例如, 布洛赫波的电场 E x 的形式为 E x ( z,t) = A( z) exp( - jkz), 表示沿着 z 轴传播的行波, 其中 A(z) 是具有相同的结构周期性的振幅函数, 即 A(z) 沿着 z 轴的周期为撰 A(z) 的大小取决于折射率周期函数 n(z) 正如我们将在第 3 章提及的半导体晶体中电子运动同样可以用布洛赫波 ( 电子波函数 ) 来描述 正如介质镜的情况下, 一维的光子晶体存在一个频带, 在该频率带宽内的光波不能沿着 z 轴传播 在折射率为 n 的均匀介质中, 频率棕和传播常数 k 的关系很简单, 即 c / n = 棕 / k, 其中 k 是介质中的传播常数 介质中的色散行为 ( 即棕与 k 的关系 ) 是斜率为 c / n 的直线 图 1. 50(a) 中一维光子晶体沿着 z 轴的色散特性曲线如图 1. 51(a) 所示 我们从中可以得到一 淤 光在这种一维折射率 n 周期性变化结构中的传播过程早已被大家熟知, 其具体讨论可以追溯到 1887 年瑞利勋爵早期的工作 雅布鲁维奇 艾利曾经建议只把带有大介质折射率差的二维和三维周期性结构称为 光子晶体冶 ( 雅布鲁维奇 艾利, 光子晶体 : 名字中有什么含义? 冶, 光学. 光子学. 新闻, 18,12,2007) 因此, 图 1. 50(a) 中的介质镜经常被作为最简单的一维光子晶体来阐述 光子带隙冶的概念, 特别是阻带的概念

68 光电子学与光子学 原理与实践( 第二版) 68 维光子晶体的一些重要特性 在低频率处( 长波长), 光波类似于在均匀介质中以恒定的相速 度(虚直线)传播 正如我们所预期的, 在 驻棕 = 棕2 - 棕1 频带内( S1 和 S2 之间) 的光波不能沿着 z 轴透射通过光子晶体, 即 驻棕 为光子晶体沿着 z 轴的光子带隙( photonic bandgap) 棕 相对于 k 的变化曲线是一个 k 的周期函数, 周期为 2p / 撰 点 P 等同于点 P忆, 因为 k = k忆 + (2p / 撰) 只 需考虑 k 在 - p / L 与p / L 之间变化的情况 该区域被称为第一布里渊区(first Brillouin zone) 图 1. 50摇 光子晶体 ( a) 一维 ( b) 二维和( c) 三维 D 表示维数 灰色和白色区 域 具有不同的折射率, 其大小尺寸不必一样 撰是光子晶体的周期 ( a) 中 的 一 维 光 子 晶 体 是 众 所 周 知 的 布 拉 格 反 射 器 ( 电 介 质 堆 栈 ) 图 1. 51( a) 中, 在低频率或长波长( k 值比较小) 条件下, 波长远大于折射率 n 的变化, 以 至于光波基本上是在平均折射率 n av 中传播的, 如果 n1 和 n2 层的厚度相同, 则平均折射率 n av 等于( n1 + n2 ) / 2 在这种结构中传播的光波类似于在有效折射率等于 n av 的均匀介质中传播 该区域内, 光波的相速度是 棕 / k, 也可以表示为 c / n av, 它的群速度( 即 棕 相对于 k 的斜率特性) 也等于 c / n av ( 忽略波长对 n1 和 n2 的依赖性) 随着波长减小( 棕 增加), 来自边界的部分反射 光波变得十分重要并在传播过程中发生干涉 在足够小的波长处, 光波衍射十分重要, 因为部 分反射波相互之间发生干涉, 增大了光波反射 最终, 临界波长( 对应于 棕1 ) 处, 光波完全衍 射或者被反射回来 一个后向传播( 在 - z 方向) 的波经历同样的反射 这些正向或者后向传 播的衍射光波在这种结构中产生了驻波 确实, 只有驻波才能在该结构中存在, 而其他光波不 能自由传播 加州大学伯克利分校的雅布鲁维奇 艾利与多伦多大 学的史蒂夫 约翰( 将在本章后面提及) 在光子晶体 方面做出了开创性的工作 雅 布 鲁 维 奇 艾 利 曾 经 建议只把带有大介质( 折射率) 差的二维和三维周期 性结构称为 光子晶体冶 ( 雅布鲁维奇 艾利, 光子 晶体: 名 字 中 有 什 么 含 义?冶, 光 学. 光 子 学. 新 闻, 18, 12, 2007) 他们最原始的论文于 1987 年发表在 物理评论快报 上面 根据雅布鲁维奇 艾利的观点, 光子晶体是光的半导体 冶(源自雅布鲁维奇 艾利)

69 第 1 章摇 光的波动性 69 图 摇 (a) 在光波沿着一维光子晶体的 z 轴传播情况下棕相对于 k 变化的色散关系 光子晶体 中存在允许模式和禁止模式 禁止模式发生在被称为光子带隙的频率带宽处 (b ) 相对应于 ( a ) 的一维光子晶体, 对应点 S 1 和 S 2 处棕 1 和棕 2 驻波的剖析图 如图 1. 51(b) 所示, 考虑两个连续晶胞 C 和 D 的反射光波发生相长干涉并产生反向衍射 ( 反射 ) 光波的情况 为了完全反射, 来自两个连续晶胞的反射光波必须同相位 这意味着 C 和 D 点的相位差 (2p / 姿 )(2n 1 d 1 + 2n 2 d 2 ) 必须等于 2mp, 其中 m = 1, 2, 为整数 如果定义 n av = (n 1 d 1 + n 2 d 2 ) / 撰, 且 k = n av (2p / 姿 ), 则当 2k 撰 = 2mp ( 即 k = mp / 撰 ) 时, 光波完全反射 这些 k 表示的是不能传播的光波的波矢量或者传播常数, 光波受到了一维布拉格反射 那些衍射光波的情况如何呢? 在这种结构中, 沿着 z 轴和 - z 轴的衍射光波形成了驻波 若把两种相反方向传播的反射光波分别记作 Aexp(jkz) 和 Aexp( - jkz), 则两者相加为 Aexp(jkz) 依 Aexp( - jkz), 这表明存在 S 1 和 S 2 两种可能的波方程 其中, S 1 点处能量高度集中于高折射率 n 2 层, 因此具有较低的频率棕 1 S 2 点处能量高度集中于 n 1 层, 因此具有较高的频率棕 2, 如图 1. 51(b) 所示 棕 2 - 棕 1 频率带宽内不能透射光波, 这就是人们所知的光子带隙 ( Photonic Bandgap, PBG) 光子带隙驻棕 = 棕 2 - 棕 1 随着折射率差驻 n = n 2 - n 1 线性增长 很明显, 一维晶体对沿着 z 轴传播的光波表现出光子带隙特性 而且沿着 x 和 y 方向传播的光波不存在光子带隙, 因为它在这些方向上折射率 n 没有发生周期性变化 由于可以解出沿着 x y 和 z 轴方向上的任意 k 矢量, 因此一维光子晶体内传播的光波不存在净光子带隙 一维晶体的光子带隙被称作伪光子带隙 (pseudo PBG) 以上理论可以很容易地扩展到二维和三维周期性结构中 再者说, 理论上在二维光子晶体中没有完全的光子带隙 在三维周期性结构情况下, 沿着 x y 和 z 方向上将会有光子带隙, 对应于不同极化方向上的电场 如图 所示, 如果三维结构的折射率差和周期性在任意方向对光的所有偏振态都形成光子带隙重叠, 则重复频率范围驻棕在任意方向对光的所有偏振态都形成了全光子带隙 (full photonic bandgap), 即所有驻棕频率范围的光波不能通过该结构, 因此该结构具有全光子带隙 (full photonic bandgap) 已经证明, 并不是所有的三维周期性结构都具有全光子带隙, 只有某些特定三维周期结构具有全光子带隙 如图 1. 52(b) 所示的这种结构为木桩周期性结构, 晶胞拥有四层棒, 每层棒相互平行, 并且层与层之间互相成 90 毅 图 1. 52(c) 为该

70 光电子学与光子学 原理与实践( 第二版) 70 木桩光子晶体的电子扫描图像 这种木桩光子晶体的反射率(即 1 透射率) 如图 1. 52(d) 所示 很明显, 光子晶体的光子带隙(即阻带)有一个频率范围或波长范围 驻姿 约等于 3 滋m 反射或者 透射带宽的宽度和位置取决于光子晶体的结构, 即光子晶体的周期 晶胞结构和折射率差 一 些蝴蝶和昆虫的颜色并非来自于染料或者着色剂, 而是与它们适当的周期性结构的光子晶体 效应相关 图 1. 52摇 (a)沿着 x 轴 y 轴和 z 轴方向的所有偏振态光波的重叠光子带隙, 形成了一个全光子带隙 驻棕(一个直 观的说明) ( b) 一种木桩光子晶体的晶胞,该光子晶体总共有4 层,图中分别标为1 ~ 4,每一块 后面都有一根平行的 棒冶,相邻层相互成直角 值得注意的是,第3层是第1层的平移,第2层则是 第 4 层的平移 ( c) 一个基于多晶硅材料的木桩光子晶体的电子扫描( SEM) 图像;杆与杆的间距在 微米量级( 感谢桑迪亚国家实验室) ( d) 木桩光子晶体的光学反射光谱,光子带隙范围是1. 5 ~ 2 滋m 这种光子晶体类似于如图( c) 所示的5层三维光子晶体,其中d = 滋m( 来源:反射率 谱的绘制使用的数据来自S - Y. Lin and J. G. Fleming,J. Light Wave Technol.,17,1944,1999 中图3 ) 摇 一个由多孔硅结构构成的三维光子晶体的电 子扫描(SEM)图像, 晶格结构接近于简单立 方结构, 正方硅的晶胞沿边缘处连接以构成 立方晶格 该三维光子晶体有一个光子带 隙, 波长中心在 5 滋m 处, 带宽为 1. 9 滋m ( 源自马克斯 普朗克微结构物理研究所) 一种基于木桩结构的三维光子晶体电子扫描 ( SEM) 图像 棒由多晶硅构成 尽管图中显 示有 5 层, 但晶胞仅有 4 层, 这 4 层从底层开 始 该晶体结构通常在微米量级 在只有几 层的类似结构中, 两棒间距为 d = 滋m, 桑迪 亚 的 研 究 者 们 研 制 出 了 一 种 驻姿 = 0. 8 滋m 中心波长在 1. 6 滋m 附 近 符 合 通 信 带宽的光子带隙 ( 源自桑迪亚国家实验室)

71 第 1 章摇 光的波动性 71 摇摇类似于半导体晶体, 光子晶体的缺陷具有重要的应用意义 一般晶体中的点缺陷和线缺陷同样出现在光子晶体中, 如图 所示 这些缺陷有意引入光子晶体结构中, 以赋予其特定的光学特性 缺陷中断了光子晶体周期的连续性 例如, 如果移动一个晶胞而改变光子晶体周期, 则可以得到所谓的点缺陷 ( point defect) 这种空隙可以作为一个光腔, 在光腔内可以捕捉光辐射, 如图 所示 当然, 可以移除一组晶胞, 或者改变几个晶胞的折射率, 这样可以得到光学微腔, 还能够在光子带隙内引入不同频率的局域电磁模式, 还可以在一个非常小的腔体积内紧紧地限制光的模式 我们也可以提高局部折射率, 这被归类为点缺陷 图 摇光子晶体中的点缺陷和线缺陷示意图 一个点缺陷起一个光腔的作用, 捕捉辐射 线缺陷允许光沿着线缺陷传播 由于这种结构有一个完全光子带隙, 光不能在晶格体内传播 传播光的频率位于带隙中, 即阻带中当一长排晶胞消失或者晶体内一条线上的折射率保持在一个常数时, 就形成了线缺陷 这种折射率为常数的一条线缺陷允许光子带隙中的电磁模式传播 由于电磁波能够在线缺陷中或者沿着线缺陷传播, 因此线缺陷起到了光波导 ( optical wave guide) 的作用, 如图 所示, 引导辐射沿该路径传播 电磁波不能在没有缺陷的光子晶体区域中传播, 因为在该区域内光波频率处在光子晶体的阻带中 光子晶体的一种重要特性是, 它能够抑制或阻止自发辐射, 可以通过一种由半导体制成的光子晶体来直观理解这种效应 在自发辐射过程中电子从导带自发跃迁到价带, 并且辐射出一个能量为 h 棕的光子 ( 对应于禁带宽度 E g ) 但若光子频率 h 棕落入到光子晶体的带隙中, 则光子不容许在这种结构中传播或者 存在冶 因此, 光子晶体可以阻止光子被辐射 光子没地方可以去 光子晶体还表现出所谓的超棱镜效应 在适当条件下, 相比于具有同样平均折射率的同质棱镜, 棱镜状光子晶体的色散能量大大增强 这是因为布里渊区域边缘附近光子晶体的棕 - k 曲线曲率较大, 如图 1. 51(a) 所示 后者可以被看作折射率随光波波长急剧变化

72 光电子学与光子学 原理与实践( 第二版) 72 约翰 萨基弗, 来自于多伦多大学, 跟随艾利 雅布鲁维奇( 前面章节提到过) 在光 子晶体领域的发展进行了开创性工作 约翰 萨基弗证明了类似于捕获电子的方 式, 可以把光波局部限制在半导体陷阱中 光子晶体的缺陷能够限制或者局域化 电磁波; 这些效应在量子计算和集成光子学方面有重要的应用 ( 源自约翰 萨基弗) 习题 1. 1摇 麦克斯韦波动方程和平面波 ( a) 考虑一束传播的正弦光波, 具有 E x = E o cos ( 棕t - kz + 准 o ), 也可以写为 E x = E o cos [ k( vt - z) + 准 o ], 其中 v = 棕 / k 为光波速度 试证明光波满足麦克斯韦波动方程, 并且 v = 1 / ( 滋 o 着 o 着 r ) 1 / 2 ( b) 考虑一束任意形式的传播波函数, 甚至是一个非常短的 delta 脉冲光波, 具有 E x = f[ k( vt - z) ], 其 中 f 表示任意函数, 即函数可以记作 E x = f( 准), 准 = k( vt - z) 试证明该光波函数满足麦克斯韦波动 方程, 并试求光波的速度 请问哪些因素决定了 f 函数的形式 1. 2摇 电导率有限并且较小的介质中光束传播摇 考虑在各向同性介质中传播的电磁波, 已知介质的电介质常 数为 着 r 有限电导率为 滓, 并且光波沿着 z 传播过程中, 与 z 轴垂直的电场变化遵循以下方程 ( P1. 1) 试证明一种可能的解是一种平面光波, 该平面波的振幅沿着 z 轴呈指数形式衰减, 即光波方程为 E = E o exp( - 琢忆z) exp[ j( 棕t - kz) ] 其中 exp( - 琢忆z) 项导致光波振幅包络沿着 z 轴衰减, 而 exp[ j( 棕t - kz) ] 项是行波部分 试证明在 琢 十分小的介质中, 光波速度及电场的衰减系数为 其中 n 表示折射率( n = 着1r / 2 ) 请问光强衰减的衰减系数 琢 为多少? ( 高电导率的金属除外) 1. 3摇 点光源 摇 距离 1 W 点光源 1 m 和 2 m 处测量的辐照度的大小分别是多少? 1. 4摇 高斯光束摇 一种 633 nm He鄄Ne 激光器的光斑直径为 0. 8 mm 假设输出光束为高斯光束, 请问光束发散 角为多大? 请问光束的瑞利范围及 10 m 处的光束宽度为多大? 1. 5摇 在带有球面反射镜谐振腔中的高斯光束 摇 考虑由两个相对平行放置的球面镜光学谐振组成的光学谐振 腔, 如图 所示 该光学谐振腔被称为球面反射镜谐振器, 一般广泛应用于气体激光器中 有时, 其中一个反射镜是平面镜 两个球面镜和它们之间的空间形成了一个光学谐振器, 因为只有某些具有 特定频率的光波才能够存在于该光学谐振腔中 球面镜光学谐振腔中的光辐射是一种高斯光束 在该 光学谐振腔中存在的实际或特殊的高斯光束传输到镜面时的波阵面与球面镜 的 曲 率 匹 配 考 虑 如 图 1. 54所示的对称光学谐振器, 两侧球面镜有相同的曲率半径 R 当一束波起始于 A 处, 它的波阵面与 镜片曲率相同 在光学谐振腔的中部高斯光束有最小的宽度, 并且在 B 处波阵面再一次与该处镜片曲 率相同 由于光波具有合适的光学特性, 即与镜片曲率匹配, 因此光学谐振腔中这种光波可以自我复制

73 第 1 章摇 光的波动性 73 ( 因而可以在腔内存在 ), 在两镜片间传播 在沿着 z 轴方向上距离 z 处高斯光束的波阵面的曲率半径 R 可以表示为 考虑共焦对称光学谐振腔, 两镜之间的距离 L = R 图 摇 两个球面镜间光波的来回反射 光学谐振腔中包含一个高斯光 束 这个特殊的光学谐振腔是对称共焦腔, 两个焦点在 F 处重合 (a) 证明光腔的腔长 L 为 2z o, 即为瑞利长度的两倍 这也是后者被称为共焦长 (confocal length) 的原因 (b) 证明该光束的束腰 2w o 完全由反射镜的曲率半径 R 决定, 由下式表示 : (c) 如果光腔的腔长 L = R = 50 cm, 波长姿 = 633 nm, 那么该光束在中心和反射镜处的束腰为多少? 1. 6 摇柯西色散方程摇应用柯西系数和一般柯西色散方程, 当入射光波波长有两个数量级变化时, 如波长为 200 滋 m 和 2 滋 m 的光波, 试计算硅晶的折射率, 从中得到的结论是什么? 1. 7 摇柯西色散方程摇应用柯西系数和一般柯西色散方程, 计算熔融石英 ( SiO 2 ) 和二氧化锗 ( GeO 2 ) 在 1550 nm 波长处的折射率 试问哪一个折射率大? 为什么? 1. 8 摇塞耳迈耶尔色散方程摇纯二氧化硅 (SiO 2 ) 和 86. 5% SiO 2 鄄 13. 5% TeO 2 材料的塞耳迈耶尔色散系数均可由表 1. 2 查出 使用计算机或者计算器编写一段程序, 或者使用数学软件包甚至电子表格程序 ( 如 Excel), 分别画出纯二氧化硅 (SiO 2 ) 和 86. 5% SiO 2 鄄 13. 5% GeO 2 材料的折射率随入射光波波长在 0. 5 ~ 1. 8 滋 m 范围变化的函数曲线 求取这两种材料的群折射率 N g 随波长的变化函数, 并在同一图中画出 试分别求取这两种材料的材料色散 ( 定义为群速度对光波波长的微分 ) 等于 0 时的光波波长 1. 9 摇对硒化锌的柯西色散关系摇 ZnSe 是一种 II - VI 族半导体材料, 广泛应用于各种光学领域中, 如光学窗口 ( 尤其是高功率的激光窗口 ) 透镜和棱镜 透光范围为 ~ 19 滋 m 波长在 1 ~ 11 滋 m 范围时, 该材料的柯西色散关系式为 其中姿的单位为滋 m 请问系数 n - 2 n 0 n 2 和 n 4 是多少? 5 滋 m 光波波长处, ZnSe 材料的折射率 n 为多少? 群折射率 N g 为多少? 摇折射率 反射和布儒斯特角 (a) 考虑自由空间波长为 1300 nm 的光波, 其在纯二氧化硅材料中传播 试计算在这个介质中光波的相速度和群速度 群速度总是比相速度大吗? (b) 当光波从纯二氧化硅介质入射到二氧化硅 - 空气界面时, 光波的布儒斯特角 ( 偏振角兹 p ) 为多大? 全反射的临界角兹 c 又为多少? 偏振角入射时, 光波会产生怎样的现象? (c) 当光波从纯二氧化硅介质入射到二氧化硅 - 空气界面时, 光波的正入射反射系数和反射率分别为多少? (d) 当光波从空气介质入射到空气 - 二氧化硅界面时, 光波的正入射反射系数和反射率分别为多少? 这些结果和 (c) 中结果相比如何? 从中能得出什么结论?

74 74 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 摇斯涅耳定律和光束横向位移摇已知一块玻璃板厚度为 2 mm, 折射率为 , 激光光波入射角为 40 毅 该激光通过玻璃板时, 试求光波的横向位移 摇斯涅耳定律和光束横向位移摇一位工程师想要利用光通过玻璃板时的横向位移现象设计一台折射仪 ( 测量折射率的仪器 ) 最初的实验中他利用了一块厚度为 L 的平板, 当入射角兹 i 改变时测量激光光束的位移, 如通过旋转 ( 倾斜 ) 样品 对于兹 i = 40 毅, 他测量的位移是 0. 6 mm; 当兹 i = 80 毅时, 他测量的位移是 mm 请问平板的折射率和厚度分别为多少? ( 提示 : 需要解一个含有折射率 n 的非线性数学方程 ) 摇斯涅耳定律和棱镜摇考虑如图 所示的棱镜, 顶角琢 = 60 毅, 棱镜折射率为 n, 并处在空气中 (a) 在界面 A 处 ( 入射角和透射角分别为兹 i 和兹 t) 和 B 处 ( 入射角和透射角分别为兹忆 i 和兹忆 t) 的斯涅耳定律分别是什么? (b) 总的偏转角度啄 = 啄 1 + 啄 2, 其中啄 1 = 兹 i - 兹 t, 啄 2 = 兹忆 t - 兹忆 i 现在, 茁 + 兹忆 i + 兹 t = 180 毅, 琢 + 茁 = 180 毅 试求光束 45 毅入射该棱镜时, 光束的偏振角度为多大 已知有三种不同颜色的光束 : 蓝色, n = , 姿 = nm; 黄色, n = , 姿 = nm; 红色, n = , 姿 = nm 当把出射光线投射到 1 m 远的屏幕上时, 屏幕上的光线间隔为多少? 图 摇 一束光波通过棱镜后的偏转角度为啄, 入射角为兹 i, 棱镜的顶角为琢 摇费马最少时间原理摇费马最少时间原理可以简单陈述为 : 当光通过一个点传播到另一个点时, 必有一个最小时间路径 如图 所示, 光波从折射率为 n 1 的介质点 A 处传播到折射率为 n 2 的相邻介质点 B 处, 光程 AOB 在 O 点的折射满足斯涅耳定律 只有当折射角兹 t 和入射角兹 i 满足斯涅耳定律时, 从 A 到 B 的光程 AOB 才最小 从 A 到 B 画一条直线与 x 轴交于点 O 忆 AO 忆 B 是参考直线, 把 x 与 y 的坐标原点放在 O 忆处 不利用斯涅耳定律, 沿着 x 轴方向改变点 O 的位置 (OO 忆标记为可变的 x), 直到 AOB 行程时间最小, 从而得出斯涅耳定律 光从 A 通过 O 点传播到 B 所花费的时间 t 可表示为 (P1. 2) 图 摇 考虑一束光波从 A( x 1, y 1 ) 传播到 B ( x 2, y 2 ), 光束传输通过与 O 忆点相距 x 的 O 点 从 A 点到 B 点的最小时间原理要求 O 点处的入射光和反射光遵循斯涅耳定律

75 第 1 章摇 光的波动性 75 入射角和反射角分别由如下公式给出: ( P1. 3) 摇 摇 与方程( P1. 2) 不同, 对 x 进行微分, 找到了 最小时间冶 的条件, 然后方程( P1. 3) 在此条件下得出 斯涅耳定律 皮埃尔 德 费马( ), 法国数学家, 他在现代微积分 数论 解 析几何和概率论方面做出了重要贡献 ( 图片由玛丽 埃文斯图片库提供) 1. 15摇 增透( AR) 膜 ( a) 考虑三个平坦的且界面相互平行的电介质材料, 其折射率分别为 n1 n2 和 n3 如果 n2 = [ n1 n3 ] 1 / 2, 请证明正入射时折射率层 n1 和 n2 界面处的反射系数等于折射率层 n2 和 n3 界面处的反射系数 试 问这个结果有什么意义? ( b) 对于一个工作波长为 900 nm 的 Si 光电二极管, 考虑两种可能的增透膜:折射率为 1. 5 的 SiO2 材料 和折射率为 2. 3 的 TiO2 材料, 选择哪种材料? 该增透膜的厚度为多大? 其中 Si 的折射率为 3. 5 为什么这样选择? ( c) 考虑设计一个 Ge 光电二极管, 工作波长为 1200 nm 如果锗的折射率大约为 4. 0, 那么最佳增透膜 的折射率和厚度为多少? 1. 16摇 单层和多层 V鄄增透膜摇 一个单层增透膜的折射率为 n2, 其衬底折射率为 n3 (n3 > n2 > n1 ), 如图 1. 57(a) 所示 若 A B 等反射光波全部发生相消干涉, 则正入射时最小反射率为 摇 摇 当 n2 = ( n1 n3 ) 1 / 2 时, R min = 0 单层增透膜不一定能够选取到最好的材料 如图 1. 57( b) 所示的双 层增透膜可以在指定波长获得较低或更尖锐的反射率, 如图 1. 57( c) 所示 图 1. 57摇 ( a) 单层 AR 膜 ( b) 双层 AR 膜和( c) 一定波长范围内它的 V 形反射光谱

76 76 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 摇摇为了减小 n 1 - n 4 界面处光波的反射, n 2 和 n 3 层放置在 n 1 和 n 4 介质之间, 并且这两层的厚度分别 为该层波长 ( 分别是姿 / n 2 和姿 / n 3 ) 的四分之一 光波正入射时, A B C 光波的最小反射率为 摇摇双层增透膜的反射率随波长的变化特性图形通常呈 V 形, 所以这样的薄膜也被称为 V 形膜 (a) 试证明当 (n 2 / n 3 ) 2 = n 1 / n 4 时, 双层增透膜的反射光波消失 (b) 考虑一种应用于光电探测器的 InGaAs 半导体晶体, 其折射率为 3. 8 在没有任何 AR 膜情况下, 该晶体的反射率为多少? (c) 当 InGaAs 晶体镀上 Si 3 N 4 的 AR 薄膜时, 晶体的反射率为多少? 请问表 1. 3 中哪种材料是 InGaAs 晶体的 AR 膜? 表 1. 3 摇在可见光波范围内的典型的 AR 材料及它们的近似折射率大小 MgF 2 SiO 2 Al 2 O 3 CeF 3 Sb 2 O 3 Si 3 N 4 SiO ZrO 2 ZnS TiO 2 CdS n ~ (d) 为获得 V 形增透膜, 请问会选取哪两种材料? 提示 : 增透膜的选择也取决于增透膜的沉积技术及其对增透膜和半导体界面状态的影响 Si 1 - x N x 是器件常用的一种增透膜, 因为它是优良的无源介质膜层, 其沉积技术已经非常成熟, 并且它的折射率随着成分 (x) 的改变而改变 摇单 双和三层增透膜摇图 展示了无镀膜 单层 (1) 双层 (2) 和三层增透膜 (3) 的玻璃的反射率 膜层的详细信息表示在图名中 在单层和双层下的增透膜的每一层厚度为姿 / 4, 其中姿为每一层的波长 三层增透膜的三个膜层厚度分别为姿 / 4 姿 / 2 和姿 / 4 请问可以利用干涉原理定性解释该选择结果吗? 单 双和三层增透膜分别有什么应用? 图 摇 在镀膜和没有镀增透膜的情况下, 折射率 n =1. 52 的玻璃板反射率分别随波长变化的情况 ( 1) 单层增透膜厚度为四分之一波长 ( 姿 / 4) 的 MgF 2 材料,n = 1. 38;(2) 双层增透膜厚度均为四分之一波长 ( 姿 / 4) 的 MgF 2 和 Al 2 O 3 材料,Al 2 O 3 材料的 n = 1. 69;(3) 三层增透膜中厚度为姿 / 4 的 MgF 2 厚度为姿 / 2 的 ZrO 2 材料 ( n = ) 和厚度为姿 / 4 的 CeF 3 材料 (n = 1. 64) ( 来源 : 数据来自图 2. 2,S. Chattopadhyay, 科学. 工程,R,69,1,2010) 摇玻璃玻璃和空气玻璃界面上光波的反射摇在折射率为 n 1 = 的玻璃介质中传输的一束光波入射到折射率 n 2 = 的光疏玻璃介质中 假设该光线的自由空间波长为 850 nm (a) 对于光波全反射来说, 最小入射角为多少? (b) 当入射角兹 i = 85 毅和兹 i = 90 毅时, 反射波的相位变化分别为多少? (c) 当入射角兹 i = 85 毅和兹 i = 90 毅时, 倏逝波到介质 2 的渗透深度为多少? (d) 当玻璃介质 (n = ) 中的光波入射到玻璃空气界面时, 正入射 ( 兹 i = 0 毅 ) 光波的反射系数和反射

77 第 1 章摇 光的波动性 77 率分别为多少? (e) 当光束通过空气入射到空气玻璃 (n = ) 界面时, 正入射 ( 兹 i = 0 毅 ) 的反射系数和反射率分别为多少? 试比较与 (d) 中结果的区别, 从中得出了怎样的结论? 摇介质镜摇考虑一种介质镜, 其由厚度为四分之一波长的 GaAs 层和厚度为四分之一波长的 AlAs 层构成, 两种材料在工作波长 1500 nm 处的折射率分别是 n H = 和 n L = 该 GaAs 鄄 AlAs 介质镜位于一个垂直腔表面发射激光器内, 工作波长为 1. 5 滋 m 介质镜的衬底为 GaAs 材料, 折射率 n 3 = n 衬底 = 光从折射率为 n 0 = 的另一个半导体材料 GaAlAs 中入射到该介质镜中 试问介质镜膜层的对数 N 为多少时, 光波反射率大于 95%? 并求出反射光波的带宽 摇全反射 (TIR) 和水空气界面上光波的偏振 (a) 若水的折射率为 1. 33, 光从空气中入射并在水的表面反射时, 偏振角 ( 布儒斯特角 ) 为多少? (b) 考虑海中潜水员用手电筒指向水面照射时, 在水面处的反射临界角为多少? 摇半导体半导体界面上光波的反射和透射摇自由空间波长姿 = 890 nm 的光波从 GaAs 晶体中入射到 Al 鄄 GaAs 中 GaAs 和 AlGaAs 材料的折射率分别为 和 (a) 考虑正入射时, 光波的反射系数和透射系数及反射率 透射率分别为多少? ( 从 GaAs 入射到 Al 鄄 GaAs) (b) 对于 (a) 中的光波, 若由 GaAs 材料入射到 GaAs 鄄 AlGaAs 界面上, 其布儒斯特角 ( 偏振角为兹 p ) 和全内反射的临界角兹 c 为多少? (c) 当入射角为兹 i = 79 毅时, 反射波的反射系数和相位改变分别为多少? (d) 当入射角为兹 i = 79 毅和兹 i = 89 毅时, 介质 2 中倏逝波的渗透深度为多少? 从中得到的结论是什么? 摇全反射光波相位变化摇考虑在折射率为 的半导体介质 ( GaAs) 中传播的一束 870 nm 波长的光波, 其入射到折射率为 的另一个半导体介质 AlGaAs 中, 入射角度为 80 毅 请问光波会发生全反射吗? 试计算反射电场的垂直分量和平行分量的相位变化 摇菲涅耳方程摇菲涅耳方程有时可表示为 和 摇摇试证明上面的公式可以推导出如式 ( ) 和式 ( ) 所示的菲涅耳方程 摇摇利用菲涅耳方程, 试求正入射时光波的反射系数和透射系数, 且证明 式中, n = n 2 / n 摇菲涅耳方程摇考虑一束在折射率为 n 1 = 的玻璃介质中传播的光波, 其入射到玻璃空气界面上 仅利用菲涅耳方程, 即式 ( a) 和式 ( b), 当入射角度分别为兹 i = 25 毅和兹 i = 50 毅时, 试求光波的反射系数 r 彝和 r 椅及反射率 R 彝和 R 椅 当兹 i = 50 毅时, 由反射系数的表达式 r = r exp( - j 准 ), 试求相位变化准彝和准椅 试比较由式 ( ) 和式 ( ) 表示的反射系数 r 彝和 r 椅计算出的准彝和准椅的区别 摇 Goos 鄄 Haenchen 相移摇在折射率为 n 1 = 的玻璃介质 1 中传播的光线入射到折射率较小 (n 2 =1. 430) 的光疏介质 2 中 假设该光线的自由空间波长为 850 nm, 入射角兹 i = 85 毅 请估计该反射光波垂直分量

78 78 光电子学与光子学 原理与实践 ( 第二版 ) 的横向 Goos 鄄 Haenchen 相移 当介质 2 折射率为 n 2 = 1( 空气 ), 重新计算该 Goos 鄄 Haenchen 相移 结论是什么? 其中, 假设介质 2 中虚拟反射面到界面的距离 d 约等于光波的渗透深度 注意到 d 的大小取决于光的偏振态, 即电场方向, 但处理过程中忽略了其相关性 摇倏逝波摇平面光波在折射率为 n 1 的光密介质 (1) 和折射率为 n 2 的光疏介质 (2) 界面上发生全反射, 伴随着倏逝波在边界附近的介质 2 中传输 试求倏逝波的函数形式, 并讨论倏逝波的大小随进入介质 2 中传播距离的变化情况 摇全反射 TIR 和虚全反射 FTIR (a) 考虑图 中在介质 B 内的电场分量, 试解释如何通过两个高折射率介质间的薄层来调节透射光的量 ( b) 若分束器立方体由折射率为 n 1 = 1. 6 的玻璃和折射率 n 2 = 1. 3 的液体薄膜制成, 试问两介质界面的全反射临界角为多大? 能够利用 45 毅角的棱镜实现光波正入射吗? (c) 如图 1. 59(a) 所示, 请解释光波为什么能够在两个不同介质之间的材料层传播, 并且三种材料的折射率 n 1 n 2 和 n 3 需要满足怎样的关系? 反射光有损耗吗? (d) 考虑如图 1. 59(b) 所示排列的棱镜耦合器 试解释该耦合器的这种排列方式如何把外来激光耦合到玻璃衬底表面上的薄层, 并且使光束在薄层中沿着衬底表面传播 请问调节耦合器的间距有何目的? 图 摇 (a) 光沿着光波导传播 (b) 通过棱镜把激光光束 耦合到薄膜层中 ( 光波导 ), 光波沿着薄膜层传播 摇复折射率和复介电常量摇由复相对介电常数着 r = 着 r1 - j 着 r2, 可以定义材料的复折射率 N = n - jk 为 试证 : 摇 复折射率摇 光子能量为 1. 5 ev 的光波对 Ge 晶体进行光谱椭偏测量, 发现晶体复相对介电常数的实部 和虚部分别是 和 试求晶体的复折射率 晶体在该波长光波的反射率和吸收系数为多少? 请问计算值是否匹配实验值 : n = K = R = 和琢 = 伊 10 6 m - 1? 摇 复折射率摇 图 展示了 CdTe 材料在红外波段的消光系数 K 计算在 60 滋 m 和 80 滋 m 光波作用下, CdTe 材料的吸收系数琢和反射率 R 摇 红外区域光波材料折射率和衰减 剩余射线吸收摇 如图 所示, 由于晶格吸收, CdTe 晶体材料 的折射率 n 和消光系数 K 都为红外光波波长姿的函数, 被称为剩余射线吸收 这是由于光波的电场诱 导晶体的离子极化 由于电场诱导正离子 (Cd 2 + ) 和负离子 (Te 2 - ) 在平衡位置振动, 晶体内的相对介电 常数着 r 为 (P1. 4)

79 第 1 章摇 光的波动性 79 式中, 着 rl 和着 rh 分别表示低频和高频 ( 低于红外峰值和高于红外峰值的频率 ) 对应的相对介电常数 ; 酌是 损耗系数, 表示电磁光波能量转换为晶格振动 ( 声子 ) 能量的比率 ; 棕 T 是横向光学晶格振动频率, 与晶 体中离子键性质相关 表 1. 4 提供了 CdTe 和 GaAs 材料的典型参数 方程 (P1. 4) 可应用于求取由于剩 余射线吸收红外区域晶体的折射率 n 和消光系数 K 的近似值 ( a) 考虑 CdTe 晶体材料, 波长范围为 40 ~ 90 滋 m, 试画出材料的 n 和 K 关于波长姿的变化曲线, 并同图 中的实验结果比较 ( 比较峰值位 置和消光峰值的宽度 ) (b) 考虑 GaAs 晶体材料, 波长范围为 30 ~ 50 滋 m, 试画出材料的 n 和 K 关于波 长姿的变化曲线 (c) 当波长姿 = 滋 m 时, 试计算 GaAs 材料的 n 和 K 值, 并同实验值 n = 和 K = 比较 ( 画图时, K 坐标可能需要取对数 ) 表 1. 4 摇 CdTe 和 GaAs 材料的离子极化共振参数 着 rl 着 rh 棕 T(rad s - 1 ) 酌 (rad s - 1 ) CdTe 伊 伊 GaAs 伊 伊 摇 相干长度摇 一种单模激光器发出的连续激光辐射的光谱宽度为 1 MHz 试求该激光器的相干时间和相 干长度 摇 光谱宽度和相干性 (a) 假设从光源中辐射光波的频谱中心为自 o, 频谱宽度为驻自 辐射光谱的中心波长为姿 o, 光谱宽度为 驻姿 很明显, 姿 o = c / 自 o 由于驻姿 << 姿 o, 且驻自 << 自 o, 由姿 = c / 自, 证明线宽驻姿和相干长度 l c 分别为 (b)he 鄄 Ne 激光器的中心波长为姿 o = nm, 频谱宽度驻自抑 1. 5 GHz, 试求线宽驻姿, 并求出光波的相干时间和相干长度 摇相干长度摇试求出以下光源的相干长度 : (a)1550 nm 的 LED 光源, 光谱宽度为 150 nm; (b) 半导体激光二极管, 发出的光波波长为 1550 nm, 光谱宽度为 3 nm; (c) 量子阱半导体激光二极管, 发出的光波波长为 1550 nm, 光谱宽度为 0. 1 nm; (d) 多模 He 鄄 Ne 激光器, 频谱宽度为 1. 5 GHz; (e) 专门设计的单模稳态 He 鄄 Ne 激光器, 频谱宽度为 100 MHz 摇法布里珀罗光学谐振腔摇考虑两个相同反射镜之间形成的光学谐振腔, 腔长为 50 cm 且介质的折射率为 1 每个反射镜的反射率均为 请问波长最接近 nm 的模式数为多少? 最接近 nm 的实际模式波长为多少? 模式的频率间隔和波长间隔分别为多少? 光学谐振腔的精细度 F 和品质因子 Q 为多少? 摇红宝石晶体构成的法布里珀罗光学谐振腔摇考虑一个直径为 1 cm 长度为 10 cm 的红宝石晶体 折射率为 端面已被镀银, 每个端面的光波反射率分别为 和 该光学谐振腔在 nm 波长处最接近的模式数目为多少? 最接近 nm 的光学谐振腔的实际模式波长为多少? 频率和波长的模式间隔是多少? 腔的精细度 F 和品质因子 Q 是多少? 摇法布里珀罗光学谐振腔的光谱宽度摇考虑一个长度为 40 cm 的光学谐振腔 假设折射率为 1, 利用式 ( ), 画出四种不同反射率 R = 和 0. 6 对应的接近于 nm 的光波峰值 求出不同反射率情况下光谱宽度啄姿 m 精细度 F 和品质因子 Q 式 ( ) 预测啄姿 m 的值是否精确? ( 可以使用作图软件解答这个问题 ) 摇衍射摇波长为 600 nm 的准直光入射到一个直径为 200 滋 m 的圆孔中 试求出射光波的发散角 离圆孔 10 m 处透射光波的直径为多少? 如果圆孔变为 200 滋 m 宽的狭缝, 透射光束的发散角为多少? 摇衍射强度摇考虑一个均匀照射且直径为 D 的圆孔上的衍射 远场的衍射图案由第一类一阶贝塞尔函数的 J 1 给出, 与中央轴线方向成兹 i 角度的 P 点光强为

80 光电子学与光子学 原理与实践( 第二版) 80 式中, I o 为最大强度; 酌 = (1 / 2) kdsin 兹 是变量, 表示屏幕上的发散角 兹 和波长( k = 2p / 姿) 及圆孔孔径 D 有关 J1 ( 姿) 可以由如下公式计算出 式中, 琢 是一个积分变量 利用数值积分, 或者一个合适的数学软件程序, 试画出 酌 = 0 ~ 8 时, J1 ( 姿) / 姿 随 酌 的函数变化曲线, 并证明零交点发生在 酌 = 和 处, 最大值在 酌 = 0 和 处取得 第一亮 环( 酌 = 5. 14) 和艾里斑中心( 酌 = 0) 的强度之比为多少? ( 中心强度计算时, 可以用一个非常小的 酌 代 替零) 利用在 酌 = 处第一个零点, 试证明式( ), 即 sin兹 o = 1. 22姿 / D,其中, 如图 1. 36( b) 所定义, 兹 o 表示第一暗环的发散角 乔治 拜德尔 艾利( ), 英国人 乔治 艾利开 始在剑桥大学任天文学教授, 后来成为英格兰格林尼治皇家 天文台的皇家天文学家 ( 图片由玛丽 埃文斯图片库提供) 1. 40摇 布拉格衍射 摇 在半导体表面上制作了一个周期为 0. 5 滋m 的反射光栅 如果一束波长为 滋m 的光 波以 88毅角度入射到该光栅上, 试求光栅的衍射光束 1. 41摇 应用于 WDM 的衍射光栅 摇 考虑一个透射型衍射光栅 假设需要利用该光栅分离 1550 nm 波段不同 波长的 WDM 信号( WDM 表示波分复用), 衍射光栅周期为 2 滋m 入射光波相对于衍射光栅法线夹 角为 0毅 试问 1550 nm 和 1540 nm 的两束光波透过该光栅后的角间隔为多大? 如何增大光波的角 间隔? 1. 42摇 单色仪摇 如图 所示, 考虑一束光入射到反射型衍射光栅上 每个入射波长产生一束拥有不同衍射 角的衍射波 可以放置一个狭缝, 只允许波长 姿 m 的光波通过光电探测器 衍射光束包括入射光波衍 射之后分离( 或者散开) 的波长 但只有波长为 姿 m 的光波衍射正好能够透过狭缝并到达光电探测器 设狭缝宽度 s = 0. 1 mm 且狭缝到光栅的距离 R = 5 cm 假设狭缝放置的位置使得入射光束满足 兹 i + 兹 m = p / 2 光栅波纹周期为 1 滋m ( a) 当旋转光栅使得 兹 i 从 1毅变化为 40毅时, 试求光电探测器能够捕捉到的波长范围为多少? ( b) 假设入射角 兹 i = 15毅, 请问能够探测到的波长为多少? 试求该单色仪的分辨率, 即通过狭缝的波长 范围 如何提高分辨率? 减小狭缝宽度 s 有什么优点和缺点?

81 第 1 章摇 光的波动性 81 图 摇 基于衍射光栅的单色仪 摇薄膜光学摇考虑一束光波入射到衬底薄膜上, 为简化起见假设光波正入射 (a) 考虑空气中的肥皂薄膜, n 1 = n 3 = 1, n 2 = 如果肥皂薄膜厚度为 d = 1 滋 m, 请画出光波反射率随光波波长在 ~ 滋 m 范围内的变化曲线, 该范围涵盖了可见光波段, 从中可得出怎样的结论? (b)mgf 2 薄膜一般应用于降低玻璃片的光反射 ( 眩光 ) 已知 n 1 = 1 n 2 = 和 n 3 = 1. 60( 玻璃的折射率取决于玻璃的类型, 但这里 的取值比较合理 ) 对于厚度为 0. 1 滋 m 的薄膜, 画出波长在 ~ 滋 m 范围内反射率随波长的变化曲线, 从中可得出怎样的结论? 摇薄膜光学摇考虑一个折射率 n 3 = 的玻璃衬底, 上面覆盖了一层折射率为 n 2 = 的透明光学薄膜 ( 电介质膜 ), 空气的折射率为 n 1 = 1 如果薄膜厚度为 500 nm, 对应于可见光波范围内光波垂直入射 ( 假定为正入射 ) 到薄膜界面上, 试求光波的最小 最大反射率和透射率及对应的光波波长 需要指出的是, 薄膜 n 2 并不是增透膜, 并且当 n 1 < n 3 < n 2 时, 有 摇薄膜光学摇考虑一束光入射到衬底的薄膜上, 假设为简单的正入射 对于以下情况, 当光波相位变化在准 = - 4p ~ 4p 之间变动时, 试分别画出光波反射率 R 和折射率 T 随相位变化准的函数曲线 (a) 空气中的肥皂薄膜, n 1 = n 3 = 1, n 2 = 如果肥皂薄膜厚度为 d = 1 滋 m, 请问可见光范围内最大和最小反射率为多少? (b) 为减少眩光, 在玻璃板上涂上一层 MgF 2 薄膜, 其中 n 1 = 1 n 2 = 和 n 3 = 1. 70( 玻璃折射率 n 取决于玻璃的类型, 但这里 1. 7 为一个合理值 ) 若 550 nm 光波的反射率最小, 试求薄膜 MgF 2 的厚度 (c) 玻璃上镀有半导体薄膜, 其中 n 1 = 1 n 2 = 3. 5 和 n 3 = 摇玻璃板的透射率摇考虑一束光波的透射率, 它透射一个折射率为 n 并且部分透明的玻璃板, 在玻璃板中光波会发生衰减 ( 被吸收或者散射 ) 假设玻璃板位于折射率为 n o 的介质中 在 n - n o 界面上玻璃板的反射率为 R, 衰减系数为琢 (a) 试证明 : (b) 如果 T 表示位于折射率为 n o 的介质中的玻璃板 ( 折射率为 n) 的透射率 试证明, 若不考虑玻璃板 中的任何光波吸收 ( 如果忽略玻璃板中光波损耗 ), 有 (c) 如果处于空气中的玻璃板透射率测量值为 %, 则该玻璃板的折射率为多少? 这是一个测量折 射率的好方法吗?

82 光电子学与光子学 原理与实践( 第二版) 摇 散射摇 考虑瑞利散射 如果入射光是非偏振光波, 则距离光源 r 并且与原始光波成 兹 角的散射光波的 强度 I s 可以表示为 摇 摇 在距离散射光源固定距离 r 处, 试画出光强度 I s 随着角度 兹 变化的极坐标图 在极坐标图中, 径向坐标 [图 1. 48(b)中的 OP]是 I s 在 xy 平面构造等高线图, 一条等高线代表一个恒定的强度 如果需要保持 I s 恒 定, 则必须改变 r 和 兹 或者 x 和 y 的大小 注意, x = rcos兹, y = rsin兹, 兹 = arctan(y / x), r = (x2 + y2 ) 1 / 摇 一维光子晶体( 布拉格反射镜) 摇 图 1. 50( a) 中的一维光子晶体实质上是一个布拉格反射器, 它具有如 图 1. 51( a) 所示的光波色散性质 正入射时, 所有偏振态光波的阻带 驻棕 为( R. H. Lipson and C. Lu, Eur. J. Phys., 30, S33, 2009) 式中, 驻棕 是阻带, 棕 o 是图 中所定义的中心频率, n2 和 n1 分别是高折射率和低折射率 若光子晶 体结构满足 n2 = 4 n1 = 1. 5 和 n1 d1 = n2 d2 = 姿 / 4, 且 d1 = 2 滋m, 试求最低截止带宽(阻带)(光子能量形式 的量纲为 ev, 波长形式的量纲为 nm) 1. 49摇 光子晶体摇 光子晶体中的一些概念来自于结晶, 如一个晶胞 光子晶体中晶胞与真实晶体中晶胞有什么 区别? 请问光子晶体的晶胞尺寸上有什么限制? 折射率是一个微观还是宏观概念? 折射率上需要哪些假设? 一种扫描式法布里 珀罗干涉仪( 型号 SA200), 作为光谱分析仪, 其自由 光谱范围为 1. 5 GHz, 典型精细度为 250, 频谱宽度( 分辨率) 为 7. 5 MHz 谐振腔腔长为 5 cm 它使用两个凹反射镜来代替两个平面反射镜以形成 光学谐振腔 一个压电换能器用于改变腔的长度和谐振频率 通过同轴 电缆加载到压电换能器上的扫描斜升电压用以扫描频率 (感谢 Thorlabs) 这是一个可调谐大孔径(80 mm)标准具, 末端带有两个平板充当反射器 末 端平面平坦, 不平坦度小于 1 / 110 个光波波长 该器件需要三个压电换能 器, 压电换能器使得末端平板倾斜, 从而确保平板完全对齐 (源自轻工机械)