2 第二章數列與級數 - 等差級數與等比級數一數列 : 一連串依序排列的數, 叫做數列數列中第一個數稱為第一項或首項, 第二個數稱為第二項, 依此類推 : () :(Ⅰ) 有限數列 : 項數是有限多項, 其中最後一項亦稱為末項例如 :,,,,3,,4, (Ⅱ) 無限數列 : 項數是無限多項例如 :,.4,.4,.44,.44,.44, () :(Ⅰ) 等差數列 : 相鄰兩項中, 後項減前項是一個固定的數例如 :,3,5,7,9,, (Ⅱ) 等比數列 : 相鄰兩項中, 後項除以前項是一個固定的數例如 :-,4,-8,6,-3,64, (Ⅲ) 調和數列 : 若每一項的倒數形成等差數列, 我們稱此數列為調和數列例如 :, 5, 8,, 4, : 我們可以把數列寫成下列形式 : ()a,a,a 3,,a ( 有限數列 ) ()a,a,a 3,,a, ( 無限數列 ) 上面的數列可以簡寫成 <a k >( 或 {a k }), 其中 a k 表數列的第 k 項, 亦稱為該數列的一般項上面的數列 () 因為是有限數列, 所以可以詳記為 <a k > 或 {a k } ; 數列 () 因為是無限數列, 所以可以詳記為 <a k > = k 或 {a k } ( 其中表無限大 ) 另外, 我們也可以用 <b k > <c k > 或 <u k > 等不同的符號來區分不同的數列例題 :. 寫出以下列各式為一般項的數列之前五項 : ()a k =3k+ ()b k =( 3 )k (3)c k =k (4)d k = 解 : As:() 4,7,0,3,6 () 3, 4 9, 8 7, 6 8, 3 43 (3),4,9,6,5 (4),,,, 高中數學 ( 一 )

44,.44, () :(Ⅰ) 等差數列 : 相鄰兩項中, 後項減前項是一個固定的數例如 :,3,5,7,9,, (Ⅱ) 等比數列 : 相鄰兩項中, 後項除以前項是一個固定的數例如 :-,4,-8,6,-3,64, (Ⅲ) 調和數列 : 若每一項的倒數形成等差數列, 我們稱此數

3 例題 :. 寫出下列數列的前五項 : ()<-k+0> ()<(-) k k > (3)< k + > 解 : As:() 8,6,4,,0 ()-,,-,,- (3), 3, 3 4, 4 5, 5 6 : 數列各項之間或隱含某一種規律性, 或難以找出它們的規律性, 上面的例題所介紹的數列, 其一般項 ( 第 k 項 ) 是用 k 的式子表示, 各項的出現是依循某種規律的還有一種數列, 給定首兩項的值及相鄰三項的關係式就可求出所要的項 ( 如例題 3.()), 它也是有規律的 ; 但也有一種數列, 各項的出現不易找出規律性, 一般項很難用式子來表示 ( 如例題 3.()) 例題 :3.() 設數列 <F k > 滿足 :F =F =, 且 F k+ =F k+ +F k (k N), 試求此數列的前十項 ( 此數列稱為費布那西數列 ) () 全體的質數由小到大依序排列, 可形成一個數列, 試求此數列的前十項解 : As:(),,,3,5,8,3,,34,55 (),3,5,7,,3,7,9,3,9 二等差數列與等差級數 : 給一個數列 <a k >, 如果相鄰兩項的後項減去前項是一個固定的數 d, 即 a -a =a 3 -a =a 4 -a 3 = =a -a -= =d, 此時稱數列 <a k > 為等差數列或算術數列 ( 記為 A.P.,arithmetic progressio),d 稱為公差, 若 a 為首項, 則 <a k > 可以寫成 a,a +d,a +d,a +3d, 由此可推得第 k 項 a k =a +(k-) d a k =a m +(k-m) d - 等差級數與等比級數

項 ) 是用 k 的式子表示, 各項的出現是依循某種規律的還有一種數列, 給定首兩項的值及相鄰三項的關係式就可求出所要的項 ( 如例題 3.

4 例題 :4.() 設 <a k > 是等差數列 :4,9,4,9,, 求一般項 a k () 設 <a k > 是等差數列, 且 a 0 =55,a 0 =5, 求 a 6 與一般項 a k (3) 設 a k =7k-, 求數列 <a k > 的公差 d 及首項 a 解 : As:() a k =-+5k () a 6 =7;a k =85-3k (3) d=7;a =5 若數列 <a k > 的一般項 a k =αk+β( 其中 α β 為常數 ), 則 <a k > 為等差數列, 且公差 d=α( 即 k 的係數 ) 例題 :5.() 一等差數列首項為, 公差為, 則 99 是數列的第幾項? () 已知等差數列 :3, 3,0 3,, 則 -8 3 是數列的第幾項? 解 : As:() 50 () 3 3 高中數學 ( 一 )

5 例題 :6. 依照下頁圖的方式, 用火柴拼成正方形 () 當正方形的個數是 0 時, 要用多少根火柴? () 要拼成個正方形, 需要多少根火柴? (3) 用 70 根火柴能拼成多少個正方形? 解 : As:() 3 () 3+ (3) 3 : 若 x y z 形成等差, 則 y 稱為 x z 的等差中項 ( 或算術中項 ) x + z, 且 y=x+z( 或 y= ) 例題 :7. 給定一個數列的首項 3 與末項 6, () 在 3 與 6 之間插入一個數 a, 使得 3 a 6 形成等差, 求公差 d 及 a () 在 3 與 6 之間插入九個數 a a 3 a 0, 使得 3 a a 3 a 0 6 形成等差, 求公差 d 及 a 8 解 : As:() 3 ; 9 3 () 0 ; 0 - 等差級數與等比級數 4

6 例題 :8. 有一個三位數, 其各位數字依序成等差, 且和為, 若將其個位數字與百位數字交換, 所得之新數較原數大 396, 試求原三位數解 : As:579 : 給一個數列 <a k >, 用加號將各項連起來, 我們稱為級數 (series) 有限數列相加稱為有限級數, 無限數列相加稱為無限級數 ( 或無窮級數 ) 如果 <a k > 是等差數列, 用加號將各項連起來, 就叫做等差級數或算術級數例題 :9. 若 S 表等差數列 <a k > 前項的和, 試證 :S = [a +(-)d] = (a +a ) ( 其中 d 為公差 ) pf: 例題 :0.() 試求三位數中, 4 的倍數之總和 () 試求等差級數 (-8 ) 之和 (3) 設有一複數等差數列, 首項為 +i, 第二項為 3+i, 求此數列前五項之和 5 高中數學 ( 一 )

加號將各項連起來, 我們稱為級數 (series) 有限數列相加稱為有限級數, 無限數列相加稱為無限級數 ( 或無窮級數 ) 如果 <a k > 是等差數列, 用加號將各項連

7 解 : As:() 3300 () 56 (3) 5 例題 :. 有一等差數列, 首項為 34, 公差為 -5, 則由此數列所形成的級數前幾項的和最大? 此時最大值為何? 解 : As: 前 65 項 ;0660 例題 :. 設有一數列 <a k > 之前項和為 3 +4( 即 S =3 +4), 求 a 0 及一般項 a k 解 : As:a 0 =57;a k = 7, 若 k = 6k 3, 若 k 若數列 <a k > 之前項和為 S, 則 a =S 且 a k =S k -S k, 當 k - 等差級數與等比級數 6

8 例題 :3. 有兩個等差數列, 其前項之和的比為 (7+):(+3), 解 : As:65: 則兩數列的第 5 項之比為何? 假設兩個等差數列 <a k > <a' k > 的前項之和分別為 S S ', 則 a m :a' m =S m :S ' m 例題 :4. 設 <a k > 為一等差數列, 則下列數列何者亦為等差數列? (A)a,a 5,a 9,a 3,a 7 (B)3a +,3a +,3a 3 +,3a 4 +,3a 5 + (C)a +a +a 3,a 4 +a 5 +a 6,a 7 +a 8 +a 9,a 0 +a +a, a 3 +a 4 +a 5 (D)a,a,a 3,a 4,a 5 解 : As:(A)(B)(C) 7 高中數學 ( 一 )

9 例題 :5. 有一等差數列, 其前 0 項之和為 50, 前 30 項之和為 450, 則前 40 項之和為何? 解 : As:800 二等比數列與等比級數 : 給一個數列 <a k >, 如果相鄰兩項的後項除以前項是一個固定的數 a a3 a4 a r(r 0), 即 = = = = = = r, 此時稱數列 <a k > a a a3 a 為等比數列或幾何數列 ( 記為 G.P.,geometric progressio),r 稱為 a k =a m r k m 公比, 若 a 為首項, 則 <a k > 可以寫成 a,a r,a r,a r 3, 由此可推得第 k 項 a k =a r k 例題 :6. 設 <a k > 為一實數等比數列,r 為公比 : () 若 a =5,r=, 求 a 8 與一般項 a k () 若 a =-8,a 5 =3, 求 r 與一般項 a k (3) 若 a = 3,a 7=9, 求 r 與 a 6 解 : As:() 640;a k =5 k ()- 3 ;a k=43 (- 3 )k (3) ± 3;±3 3 - 等差級數與等比級數 8

10 例題 :7. 試求下列數列的一般項 a k : ()9,99,999,9999, ()7,77,777,7777, (3)0.9,0.99,0.999,0.9999, (4)0.4,0.44,0.444,0.4444, 解 : As:() 0 k - () 7 9 (0k -) (3) -0. k (4) 4 9 (-0.k ) 例題 :8. 妃妃在銀行存入 0 萬元, 準備存款 0 年, 有兩種計息方式 : (Ⅰ) 單利計息, 年利率 0 %, 每年計息一次 (Ⅱ) 複利計息, 年利率 8%, 每年計息一次試問 0 年後哪一種方式獲利較多?( 已知 ) 解 : As: 方式 (II) 獲利較多設本金為 P, 期利率為 r, 期數為, 則 () 單利本利和 =P(+ r) () 複利本利和 =P(+r) 9 高中數學 ( 一 )

妃妃在銀行存入 0 萬元, 準備存款 0 年, 有兩種計息方式 : (Ⅰ) 單利計息, 年利率 0 %, 每年計息一次 (Ⅱ) 複利計息, 年利率 8%, 每年計

11 : 若 x y z 形成等比, 則 y 稱為 x z 的等比中項 ( 或幾何中項 ), 且 y =xz( 或 y=± xz) 例題 :9.() 三數成等比數列, 其和為 7, 其積為 8, 試求此三數 () 三數成等比數列, 和是 39, 若將此三數依次減去後, 三數成等差數列, 求原來三數解 : As:(),,4 () 4,0,5 或 5,0,4 : 如果 <a k > 是等比數列, 用加號將各項連起來, 就叫做等比級數或幾何級數等比數列 <a k > 前項和 S =a +a r+a r + +a r, 則 a ( r ) () 當 r 時,S = ( 或 a ( r ) ) r r () 當 r= 時,S = a 例題 :0. 若 S 表等比數列 <a k > 前項的和, 試證 : a, r= S = a( r ) a( r ) ( 或 ), r r r pf: - 等差級數與等比級數 0

As:(),,4 () 4,0,5 或 5,0,4 : 如果 <a k > 是等比數列, 用加號將各項連起來, 就叫做等比級數或幾何級數等比數列 <a k > 前項和 S =a +a r+a

12 例題 :.() 若 = 0 3 5, 試求的所有正因數之和 () 試求下列各等比級數之和 :(Ⅰ) (Ⅱ) (3) 求 i 6 +i 7 +i 8 + +i 003 之和 ( 對照 -4 例題 7.(5)) (4) 設有一複數等比數列, 首項為 -i, 第二項為 3+i, 求此數列前六項之和解 : As:() ()(I) (II) (3)--i (4)-5+0i 高中數學 ( 一 )

- - 04 (Ⅱ) 3+6+6 3+ +486 (3) 求 i 6 +i 7 +i 8 + +i 003 之和 ( 對照 -4 例題

13 例題 :. 某乙參加銀行儲蓄存款, 年利率 6%, 複利計算, 每年計息一次若每年年初皆存入 0,000 元, 則第三年年底結算本利和共多少元?( 四捨五入取到個位 ) 解 : As:33,746 元例題 :3. 設 <a k > 為一等比數列, 則下列數列何者亦為等比數列? (A)a,a 5,a 9,a 3,a 7 (B)3a +,3a +,3a 3 +,3a 4 +,3a 5 + (C)a +a +a 3,a 4 +a 5 +a 6,a 7 +a 8 +a 9,a 0 +a +a, a 3 +a 4 +a 5 (D)a,a,a 3,a 4,a 5 解 : As:(A)(C)(D) - 等差級數與等比級數

14 例題 :4.<a k > 為 G.P., 若前項和 S =30, 前項和 S =4, 求 S 4 之值解 : As: 64 5 例題 :5. 下圖中有六個正方形 S S S 6,S k+ 內接 S k 於且 S k+ 的四個頂點正好是 S k 四條邊的中點 ( 其中 k= 3 4 5) 已知 S 的邊長為, 分別求這六個正方形周長總和及面積總和解 : As: 周長 =7(+ ); 面積 = 63 8 S S S 4 S 3 S 5 S 6 3 高中數學 ( 一 )

15 三算 - 幾不等式 - : a+ b a+ b 若 a b 0, 則 ab 且等號成立的充要條件是 a=b 其中 ( 等差中項 ) 稱為 a 與 b 的算術平均數, ab( 正等比中項 ) 稱為 a 與 b 的幾何平均數例題 :6. 試證上述的算 - 幾不等式 pf: a+ a + + a 算 - 幾不等式完整版 : 若 a a a 0, 則等號成立的充要條件是 a =a = =a aa a, 且例題 :7.() 設 a b 0 且 a+b=6, 求 ab 的最大值, 並求此時 a b 之值 () 設 x y>0 且 xy=, 求 x+3y 的最小值, 並求此時 x y 之值 (3) 設 a b c>0 且 a+b+c=6, 求 abc 的最大值, 並求此時 a b c 之值解 : As:() 64;a=8,b=8 () ;x=6,y= (3) 4;a=,b=,c= 求極值常用的方法 :() 配方法 () 算 - 幾不等式 - 等差級數與等比級數 4

16 例題 :8.() 用一堆木板製成 80 公尺長的柵欄, 去圍成一個矩形的院子, 院子的一側是房屋的牆, 不必用柵欄去圍 ( 如下圖 ), 請問院子面積的最大值為何? () 在坐標平面上,O 為原點, 若過點 P(9,4) 的直線 L 分別與 x y 軸的正向交於 A B 兩點, 試求 OAB 面積的最小值, 與此時直線 L 的方程式 (3) 一長方體的體積為 4, 試求其表面積的最小值 x y 解 : As:() 800 平方公尺 () 7; + = (3) 牆壁院子四符號 Σ, 即 5 高中數學 ( 一 ) 將數列 <a k > 的前項相加 :a +a +a 3 + +a, 這個有限級數可簡寫為 a k =a +a +a 3 + +a 其中符號 Σ( 讀作 sigma) 為希臘字母, 相當於英文字母 S, 表示和 (sum) 的意思換句話說, 的各項 a a a 3 a 依序相加的意思例如 : 4 ak =a +a +a 3 +a 4 (k 由到 4 之各項相加 ) 8 bk =b 3 +b 4 +b 5 +b 6 +b 7 +b 8 (k 由 3 到 8 之各項相加 ) k = 3 同樣地, 無窮級數亦可用符號 Σ 表示, 例如 : 如何將一個級數用 Σ 表示呢? 請看下面的例題 a a k k 就是 k= 3 所對應 =a +a +a 3 + +a + 那要 a k

4 3 9 8 8 牆壁院子四符號 Σ, 即 5 高中數學 ( 一 ) 將數列 <a k > 的前項相加 :a +a +a 3 + +a, 這個有限級數可簡寫為 a k =a +a +a 3 + +a 其中符號 Σ( 讀作 sigma) 為希臘字母, 相當於英文字母 S, 表示和 (sum) 的意思換句話

17 例題 :9. 試將下列級數用符號 Σ 表示 : () (3) () (-03) k 解 : As:() (3k + 4) () ( 4k + 7) (3) 6( ) 3 將級數用 Σ 表示的步驟 :() 把級數的一般項 a k 表示成 k 的式子 () 求出項數 k 之變動範圍例題 :30. 試計算下列有限級數的和 : () k () ( ) (3) k k + (4) ( ) 3 解 : As:() 55 () 00 0 (3) 6 (4)-8 = Σ 的運算性質 : () ( a ± b ) = a ± b () k k k k k= k= k= (3) c= c ( 其中 c 為常數 ) c ak = c ak ( 其中 c 為常數 ) k= k= - 等差級數與等比級數 6

18 解 : As:(B)(C)(D) 例題 :3. 下列選項何者正確?(A) a b = ( a ) ( b ) (B) k k k k k= k= k= c ak = c ak (c 為常數 ) (C) ( ak + bk) = ak + bk k= k= k= k= k= 6 6 (D) c = 6c(c 為常數 ) (E) 6 a b k k = k= 6 a b k k 例題 :3. 試證 : () k = = 6 (+) (+) pf: () k 3 = =[ (+)] 7 高中數學 ( 一 )

19 常用的 Σ 公式 : () k =++3+ += (+) () k = = 6 (+) (+) (3) k 3 = =[ (+)] ( 即 =(++3+ +) ) 例題 :33. 試分別求下列級數的和 : () ()+(+)+(++3)+ +(++ +0) (3) (4) 至第 00 項 (5) (6) 解 : As:() 76 () 0 (3) (4) 945 (5) (6) 0 - 等差級數與等比級數 8

試分別求下列級數的和 : ()4+7+0+ +00 ()+(+)+(++3)+ +(++ +0) (3) 4+3 5+4 6+ +0 03

20 9 高中數學 ( 一 )

21 例題 :34. 試分別求下列級數的和 :( 以表示 ) () (+) () (3-) (+3) (3) + (-)+3 (-)+ +(-) 3+(-) + (4) ( + ) 解 : As:() 3 (+)(+) () ( +5-) (3) 6 (+)(+) (4) ( 3 ) + + :,,,,,3,, 請你觀察規則, 在處填入適當的數 - 等差級數與等比級數 0

22 A 基礎題.<a k > 為等差數列, 已知 a 4 =-3, 公差 d=5, 若 a k =4, 試求 k 之值. 試用等差級數前項和的公式, 計算前個正奇數的和 ( 即 (-)) ( 以表示 ) 3. 已知等差數列 000,997,994,, 試求 : () 第 00 項為何? () 此數列前幾項的和為最大? 4. 設數列的首項之和為 S =5 +, 則 () a k = () 數列 <a k > 是何種數列? 5. 假設某鎮每年的人口數逐年成長, 且成一等比數列, 已知此鎮十年前有 5 萬人, 現在有 30 萬人, 那麼二十年後, 此鎮人口有幾萬人?( 求到小數點後第一位 ) 6. 某人參加銀行儲蓄存款, 年利率 9%, 複利計算, 若此人每年年初存入銀行 0000 元, 問第 0 年年底結算得本利和多少元?( 元以下四捨五入, ) 7. 設某數列前項的和為 3 - () 求一般項 ( 第 k 項 );() 請問此數列是否為等比數列? 8. 數列 a b 30 中, 前三數 a b 成等比數列, 後三數 a b 30 成等差數列, 求 a b 之值 9. 設 x y R 且 xy=6, 試求 4x +y 的最小值, 並求此時數對 (x,y) 0. 試利用公式 =[ (+)], 計算之值 B 進階題. 介於 0 與之間的自然數中,3 的倍數的總和為. 有一個共 0 項的等差數列 a,a,a 3,,a 0, 其和為 0, 且 a 7 = 7, 試問下列何者正確?(A) a +a 0 > 0 (B) a +a 00 <0 (C) a 3+a 99=0 (D) a 5 =5 (E) a <0 3. 在 5 與 3 之間插入個數, 使成等差數列, 已知個數的和是 90, 求之值 4. 設 <a k > <b k > 均為等差數列, 試問下列數列何者亦為等差數列? a (A)<a k +5> (B)<3a k -5> (C)<a k +b k > (D)<a k b k > (E)< k b > k 5. 等差級數前 0 項的和是 00, 前 30 項的和是 350, 求前 0 項的和? 6. 一正三角形 T 的邊長為 4 公分, 以 T 的各邊中點為頂點連成正三角形 T, 再以 T 的各邊中點為頂點連成正三角形 T 3, 如此繼續為之, 分別求 T T T 3 T 4 T 5 的周長總和及面積總和 7. 等比數列首項是 3, 末項是 384, 和是 765, 求公比與項數 8. 設 <a k > <b k > 均為等比數列, 試問下列數列何者亦為等比數列? (A)<3a k > (B)<a a k > (C)<a k +b k > (D)<a k b k > (E)< k b > k 9. 一實數等比級數, 前 0 項之和為, 前 30 項之和為 3, 求前 60 項之和 0. 某三正數成等差數列, 其和為 36, 若各項依序加上 4 43 後成等比數列, 求此三數. 設三數成等差數列其和為 4, 又此三數的平方和為 4, 求此三數. 將 00 公分長的線圍成一矩形, 試求其最大面積, 並求此時的長寬 3. 設 a>0, 試求 a+ a 的最小值, 並求此時的 a 值 4. 若一數列 <a k > 滿足 a +a +3a 3 + +a = (+), 則 a 00 = 高中數學 ( 一 )

23 5. 數列,,, 3, 3, 3 3, 4, 4, 3 4, 4 4, 5, 5,, 試求 : () 第 5 項 () 前 5 項之總和 6. 試利用公式 (+), k = 3 6 (+) (+), k =[ (+)], 求下列各式的和 :() () kk ( + 3) 7. 下圖表示矩形垛的疊法 : 0 () 橘子收成時, 農人將它們堆成一正方形垛, 每一層都是正方形, 最底層有 65 個橘子, 最上層有一個橘子, 則此正方形垛總共有個橘子 () 某水果販將橘子堆成長方形垛, 若最底層長邊有 0 個橘子, 短邊有 5 個橘子, 則此長方形垛最多有個橘子 (3) 將橘子疊成一長方形垛, 由上面數來第一層有個橘子, 第二層有 6 個橘子, 第三層有個橘子, 依此堆法, 堆 0 層, 則第 0 層有個橘子, 此長方形垛總共有個橘子 C 思考題 8. 有二等差數列, 其前項和的比為 (7+):(4+7), 求此二數列的第項之比 9. 有二等差數列, 其第項的比為 (+3):(3+), 則此二數列的前 9 項和之比為何? 30. 設三數成等比數列其和為 8, 又此三數的平方和為 336, 求此三數 3. 已知直線 L 通過點 (, 3), 試求 L 與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形面積之最小值 ; 並求此時直線之方程式 3. 一長方體的表面積為 54, 試求其體積的最大值, 並求此時的長寬高 33. 若 x y 0 且 x+y=6, 試求 xy 的最大值, 並求此時 x y 之值 34. 已知調和數列 <a > 的首項為 5, 第 5 項為 0, 試求 a 7 = ( 註 : 若 < a > 為等差數列, 則 <a > 稱為調和數列 ) 35. 大於之奇數, 依下列方式分組 (3,5), (7,9,), (3,5,7,9), (,3,5,7,9),, 則 () 第組中第一個數為 () 第組中所有數之和為試求下列各式之值 :() = ( + ) () (3) [ ] ( 其中 [ ] 為高斯函數 ) = + + = 37. 求下列級數前項的和 :() ;() ( 提示 : 參考例題 7) 38. 試分別求下列級數的和 ( 以表示 ): () (+3) () +3 (-)+5 (-)+ +(-3) +(-) (3) ( k) 答案 : () 703 () () 0k-3 () 等差萬人元 - 等差級數與等比級數

24 a = 5 7.() a k = 3 k a = 6 () 是 8. 或 5 b = ;( 3, 3) 或 (- 3,- 3) b = (C)(E) 3. =0 4.(A)(B)(C) ; 公比, 項數 8 8.(A)(B)(D)(E) ,,. 3,8,3 或 3,8,3. 65; 長 = 寬 =5 3. ; () () () 30 () () 555 () :3 9. 3: ,8,6 或 6,8,4 3. ; x y + = 3. 7; 長 = 寬 = 高 = ;x=,y= () ++ ()(+) 3 (3) 40; () () 5 (3) () 9 (0 -)- () [-( 0 ) ] 38.() 3 (+)(+5) () 3 (+)(-) (3) + 3 高中數學 ( 一 )

25 一數列的極限 - 無窮等比級數與循環小數 : 給定一個無窮數列 <a >, 如果當越來越大時,a 會趨近於某一個定數 α, 也就是說 : 只要足夠大時,a 與某個定數 α 的差距 a -α 就可以任意地小, 此時我們稱數列 <a > 的極限是 α, 並且簡記為 lim a =α 或當時,a α 代表趨近或趨向, 符號代表無限大 ( 無限大 ) 不是一個數, 只是一個概念的符號例如 :() 設 a =, 當越來越大時,a 會越來越接近 0( 也就是趨近於 0), 記為 lim =0 () 設 a =-, 當越來越大時,a 會趨近於, 記為 lim( ) = 例題 :. 試判斷下列各數列之極限?()< ( ) > ()< > 解 : As:() 0 () : () : 若無窮數列 <a > 的極限存在, 則數列 <a > 稱為收斂數列 () : 不收斂的數列稱做發散數列, 若數列 <a > 為發散數列, 表示數列 <a > 的極限不存在, 所以記號 lim a 沒有意義例如 :() 設 a =(-), 數列 <a >:-,,-,,-,, 在 - 與之間跳動, 所以數列 <a > 不會趨近於某一個固定的數, 因此數列 <a > 發散 () 設 a =, 數列 <a >:,4,8,6,3,64, 趨向 ( 正 ) 無限大, 所以數列 <a > 不會趨近於某一個固定的數, 因此數列 <a > 發散 (3) 設 a =-3, 數列 <a >:-3,-9,-7,-8, 趨向負無限大, 所以數列 <a > 不會趨近於某一個固定的數, 因此數列 <a > 發散例題 :. 試判斷下面的數列何者為收斂數列? 何者為發散數列? 如果為收斂數列, 請求出它的極限 ()a = ()b = + (3)c = (4)d =+(-) k + (5)e k = k - 無窮等比級數與循環小數 4

26 解 : As:() 收斂數列 ;0 () 收斂數列 ; (3) 收斂數列 ; (4) 發散數列 (5) 發散數列 r : 無窮數列 <r > 是否為收斂數列, 完全視 r 的大小而定 : () 若 r <, 則 lim r =0 ( 注意 : 若註明為等比數列, 則 r 0) () 若 r=, 則 lim r = (3) 若 r=- 或 r >, 則數列 <r > 極限不存在例題 :3. 試判斷下面的數列是否收斂? 若收斂, 試求出它的極限 ()a =0.8 ()b =(- ) (3)c =(-) (4)d =( 3 ) (5)e =(-) (6)f =-0. 解 : As:() 是 ;0 () 是 ;0 (3) 否 (4) 否 (5) 否 (6) 是 ; 5 高中數學 ( 一 ) 數列 <r > 是收斂數列的充要條件為 -<r 例題 :4. 設 x R, 若 <(3x+) > 為收斂數列, 求 x 的範圍

27 解 : As:- 3 <x 0 : 設 c 為實數常數, 若 lim () lim c=c () lim( ca ) = cα = c lim a a =α, lim b =β, 則 (3) lim( a ± b ) = α ± β = lim a ± lim b (4) lim( a b ) = αβ = (lim a )(lim b ) a (5) lim b α lim a = = ( 其中每一項 b 皆不等於 0 且 β 0) β lim b 例題 :5. 已知 lim =0, lim =0, 試判斷下面的數列是否收斂如果收斂, 試求出它們的極限 ()a =3- ()b =+ (3)c =(3- )(+ ) + (4)d = (5)e = 解 : As:() 是 ;3 () 是 ; (3) 是 ;6 (4) 是 ; 3 (5) 是 ; 無窮等比級數與循環小數 6

28 例題 :6. 試求下列各極限 :( k N) () lim () lim (4) lim + k k (5) lim( ) 98 + k k+ k 4 + (3) lim 3 3 k + 5 (6) lim k 4 k + 解 : As:() () 3 (3) 0 (4) 不存在 (5)- (6) 4 設 P()=a s s +a s s + +a +a 0 與 Q()=b t t +b t t + +b +b 0 皆為的多項式, 其中 N 且 a s b t 0 P ( ) () 若 s<t( 分子次數 < 分母次數 ), 則 lim = 0 Q ( ) P ( ) as () 若 s=t( 分子次數 = 分母次數 ), 則 lim = = 最高次係數相除 Q ( ) bt P ( ) (3) 若 s>t( 分子次數 > 分母次數 ), 則 lim 不存在 Q ( ) 例題 :7. 試求下列各數列的極限 :( N) ()a = ()b = a (4)d = ( 請利用 : + m a =a m ) + 3 (3)c = 高中數學 ( 一 )

29 解 : As:() 0 () 5 4 (3) 3 (4) 0 將次方中的常數提出, 然後分子分母同除底數最大之數二無窮等比級數以 < ( ) > 為例, 我們如何求級數之值呢? 我們觀察 : 4 8 S = = 3 S = + = = ( ) S 3 = + + = = ( ) S 4 = = = ( ) [ ( ) ] S = = = ( ) 4 8 這些值形成一個新數列 : S,S,S 3,,S, 因此我們就將定為數列 <S 4 8 > 的極限, 我們可以發現, 當越大時,S = ( ) 就越趨近, 所以 = lim S = lim[ ( ) ] = 4 8 例題 :8. 設無窮等比級數 + 3 +( 3 ) + +( 3 ) + 的和為 S, 若其前項的和為 S, 試求 : ()S ()S (3) 滿足 S -S < 3000 的最小正整數 - 無窮等比級數與循環小數 8

30 解 : As:() 3 [-( 3 ) ] () 3 (3) 8 : 對一般的無窮級數 ak =a +a + +a +, 其求和的步驟如下 : () 先求前項的和 S = ak =a +a + +a () 再觀察數列 <S > 是否會收斂 (Ⅰ) 若 <S > 收斂於 S, 則 a = lim( ak) = lim S =S k k= k= 此時稱 ak 為收斂級數,S 稱為此無窮級數的和 (Ⅱ) 若 <S > 是發散數列, 此時稱 ak 為發散級數, 它的和不存在例題 :9. 設 a 0, 試討論無窮等比級數解 : As: 略 k ar =a+ar+ar + +ar + 之值 9 高中數學 ( 一 ) 設 a 0, 無窮級數 (Ⅰ) 當 r < 時, 則 ar k ar =a+ar+ar + +ar +, 則 k ( 注意 : 若註明為等比級數, 則 r 0) k (Ⅱ) 當 r 時, 則 ar 為發散級數 k a 為收斂級數, 且 ar = r

31 3 k 例題 :0.() 試求無窮等比級數 ( ) 之值 5 () 試求下列無窮等比級數的和 : (Ⅰ) (- ) + (Ⅱ) (- 3 ) + (3) 若一皮球自離地 0 公尺高處落下, 首次反彈高度為 5 公尺, 且以後每次反彈高度為前次反彈高度的 4, 求此球到靜止前所經過的路徑長度與所花的時間? (h= gt,g=0 m/s ) 解 : As:() 3 ()(I) 3 (II) 不存在 (3) 00 3 公尺 ;6 秒例題 :. 設無窮等比級數 ( 3 x) k 為收斂級數, 試求 x 的範圍 ( 與例題 4 做比較 ) 解 : As:0<x< 3, 但 x 3 - 無窮等比級數與循環小數 30

32 例題 :. 如下頁圖, 一邊長為的正方形 ABCD, 其內切圓面積為 S, 又圓 S 之內接正方形 A B C D 之內切圓面積為 S, 仿此繼續得各正方形內切圓之面積為 S 3 S 4 S 5 S, 求 S = 解 : As:π A A A D D D B B B C C C : 你覺得 0.9= 和誰比較大呢? 其實這和無窮等比級數有關喔! 個 = = = 0 = 所以 0.9= ( 亦可參考例題 3.(6)) 每一個循環小數都可表成收斂的無窮等比級數之和, 所以循環小數都可以化成分數 ( 有理數 ) 例題 :3. 將下列循環小數化成最簡分數 :() 0.57 () 解 : As:() 9 33 ( ) () 650 ( ) 3 高中數學 ( 一 )

33 循環小數化成分數的法則 : () 分母 : 小數點後幾位循環就寫幾個 9, 幾位不循環就寫幾個 0 () 分子 : 整個小數部分所成數字減掉不循環部分所成數字例如 :()0. 3 = () = (3) = 例題 :4. 試求無窮級數之值解 : As: 8 33 ( 4 99 ) 無窮級數的運算規則 : 設 α β R, 若 a k = α 且 b k = β, 則 ( a ± b ) = α ± β = a ± b k k k k k= k= k= 例題 :5. 試求下列無窮級數之和 : () () 解 : As:() () : 有甲乙兩人, 分別從 A B 兩地相向同時出發, 甲的速率是每小時 3 公里, 乙的速率是每小時 7 公里,A B 兩地相距 0 公里出發的同時, 一隻停在甲鼻子上的蜜蜂也同時往乙的方向飛, 遇到乙之後再往回飛, 遇到甲又再度轉向, 如此往返於甲乙之間, 直到甲乙相遇, 若已知蜜蜂的速率是每小時 5 公里, 請問整個過程蜜蜂共飛多遠的距離? - 無窮等比級數與循環小數 3

34 A 基礎題. 設 <a > 為一無窮數列, 判斷下列何者為收斂數列? (A) a =+ (B) a =0.33 (C) a =3.33 (D) a =3-3 (E) a =( 0 00 ). 求下列各極限值 : () lim 6 ;() lim ;(3) lim 5 + ;(4) +- lim 判斷下列各無窮等比級數的斂散性, 若為收斂, 試求其和 : 9 () ( ) ;(B) ;(C) ( 3) ;(4) ( ) = 0 = = = 5 x 4. 若 ( ) 為收斂級數, 求 x 之範圍 = x y 5. 右圖中, OA =, AA = 3, AA 3 =( ( 3 ) A 3 ), AA 3 A 3 4 =( ( A 6 3 )3 3 )3,, 如此繼續進行, 若 A 之坐標為 (x, y ) A 3 4 A 5, 當時, 求 A 之坐標 x B 進階題設無窮等比級數的和為 S, 其前項的和為 S 8 8, 試求 : () S () S (3) 使 S -S < 000 成立的最小正整數 7. 有一無窮等比級數之和為 6, 其各項平方和為 8, 試求其首項及公比 a b a b a b 8. 設 a 與 b 均為實數, 若 =3, 則 a+b= 4 + ( 3) 3 9. 試求下列各式的值 :() ;() + = 6 = 5 0. 試求無窮級數之和. 如右圖, BAC=60, 圓 S 與圓 S 相外切, 圓 S 3 與圓 S B 相外切, 依此類推, 且 AB AC 為所有圓的外公切線, S 的半徑 () S 的半徑 () 若圖中無限多個圓 S S S 的面積和.... S 3 S S A C 為 450π, 試求 S S S 的圓周總和. 設 0. a 0.0b 0.00 c 成等比,a b c 是自然數且 <a<b<c<9, 求 a b c 之值 C 思考題 3. 試求無窮級數之和 4. 設 T T T 3 為一群多邊形, 其作法如下 :T 為邊長等於的正三角形, 以 T 每一邊中間三分之一的線段為一邊向外作正三角形, 然後將該三分之一線段抹去, 所得的多邊形為 T +,= 3 ( 如下頁圖所示 ) 令 a 表 T 之周長, 請計算 T 3 之面積及之和 a = O A 33 高中數學 ( 一 )

35 T T T 試求之值 = 4 6. 若數列 <a > 之定義為 a =6,a =a +a +a 3 + +a ( N, ), 試求 ak 7. 計算的和 k= k+ + k 答案 :.(A)(B)(D).() 0 () 3 (3) 0 (4) 3.() 收斂級數 ; 3 () 收斂級數 ; (3) 發散級數 (4) 收斂級數 ; ; <x< () 5 3 () () 3 7 () ( 9 3, ) 6.() 7 [-( 8 ) ] () 4 7 (3) 4.() 3 () 60π. a= b=4 c= 無窮等比級數與循環小數 34

36 一歸納法 -3 數學歸納法 : 對一些個別的事物詳加觀察記錄, 探討這些個別事物的共同特性, 然後將所得結果推廣到其他未經觀察的同類事物中, 從中概括出同類事物一項普遍性的結論例如 :() 自然現象向上扔一塊石子, 石子會掉下來 ; 扔一個球, 球也會掉下來 ; 跳高選手用力往上一躍, 不管跳多高仍會掉下來 ; 牛頓在果樹下沈思, 看到蘋果掉落地面, 由種種物體落地的經驗可以歸納出 : 任何物體往上拋擲, 都會落下地面 () 哥德巴赫猜想觀察下面的式子 : 4=+;6=3+3; 8=3+5;0=3+7=5+5; =5+7;4=3+=7+7; 由此可歸納出 ; 任何大於的偶數, 都是兩個質數的和這就是德國數學家哥德巴赫 (C. Goldbach, ) 提出的猜想, 雖然利用電腦我們已經驗證至 0 4 為止哥德巴赫猜想仍然是成立的, 但至今仍無人能證明或推翻這個猜想 (3) 費瑪猜想法國數學家費瑪 (P. de Fermat,60 665) 曾考慮下面的數列 <F > =< ( ) +>, 當 = 3 4 時, 前四項分別為 ( F = ) += +=5, ( F = ) += 4 +=7, ( F 3 = 3 ) += 8 +=57, ( F 4 = 4 ) += 6 +=65537, 都是質數, 因而歸納出下面的猜想 :<F > 的各項都是質數大約過了一百餘年後, 瑞士數學家尤拉 (L. Euler, ) 才發現 ( 第五項 F 5 = 5 ) += 3 += = 不是質數雖然費瑪猜想被尤拉舉出的一個反例推翻了, 但人們為了紀念費瑪, 仍稱數列 < ( ) +> 為費瑪數列, 而型如 ( ) + 的質數叫做費瑪質數歸納法依被歸納的對象是部分對象或全部對象而分別稱為不完全歸納法與完全歸納法二歸納臆測歸納法是人類探索宇宙常用的一種方法, 透過觀察 ( 記錄比對 ) 歸納出結論, 並在這個結論上進一步提出概括性的敘述, 形成臆測 ( 或稱猜想 ), 這種歸納臆測的方法往往提供發現真理的契機, 故觀察歸納臆測驗證始終是人類發現問題解決問題的一個重要過程例題 :. 設是任意自然數, 試就 = 3, 列表觀察 5 與 3 +4 哪一個較大, 再歸納臆測 35 高中數學 ( 一 )

37 解 : As: 略三數學歸納法有一天, 小明走在街上, 看到唱片行外一堆人排隊等簽名, 一問之下才知道是周董簽唱會, 難怪 people moutai people sea, 看不到盡頭耶! 可是他發現一件奇怪的事, 排第一個是個女的耶, 而且如果前面那個是女的, 緊接著的下一個也是女的喔! 你覺得小明會看到何種現象呢? : 設 P() 表與自然數有關的敘述如果 pf: () 當 = 0 時,P( 0 ) 成立 ( 0 是某一個固定的自然數 ) ( 此步驟稱為起始步驟 ) () 假設當 =k(k 0 ) 時,P(k) 成立, 且可由此推導出當 =k+ 時,P(k+) 也成立 ( 此步驟稱為遞推步驟, 其中假設當 =k(k 0 ) 時,P(k) 成立稱為歸納假設 ) 則對一切自然數 0, 敘述 P() 都成立例題 :. 設為任意自然數, 試歸納出的公式 ( 以表示 ), 並以數學歸納法加以證明 -3 數學歸納法 36

38 數學歸納法的兩個內涵 : () 從 =,,3, 簡單的事例中歸納出規律 () 用數學歸納法的理論來證明規律的一般性數學歸納法好比依序排列的骨牌, 第一步驟使得第 0 塊骨牌倒下, 第二步驟說明當第 k 塊倒下時, 必定使得第 k+ 塊也倒下 ; 所以從第 0 塊以後的骨牌都會倒下例題 :3. 試證 : 對一切自然數, ( + )(+ ) = 6 pf: 例題 :4. 試證 : 對一切自然數,0 - 與 0 + 皆為的倍數 pf: ( 對照 - 的 P. 中的倍數檢驗法 ) 37 高中數學 ( 一 )

39 例題 :5. 是否可找到一個質數 p, 使得對一切自然數, 為 p 的倍數? pf: 用數學歸納法證明之例題 :6. 試證例題歸納出的結果 pf: : 有個人的身分證字號很有趣, 由到 9 的九個數字都出現, 而且從左邊算起, 前兩位數可被整除, 前三位數可被 3 整除, 前四位數可被 4 整除,, 前九位數 ( 即整個號碼 ) 可被 9 整除, 請問他的身分證字號為何? -3 數學歸納法 38

40 A 基礎題. 當 N, 試證 :++3+ +(-)++(-)+ +3++=. 當 N,(+)(+) 必為 6 的倍數, 試證之 3.() 對所有的正整數, 試證 : (I) x -=(x-)(x +x +x 3 + +x+) (II) x +=(x+)(x -x 3 +x 4 - -x+) () 試利用 () 重新證明例題 4 B 進階題 4.() 試證明, 若為自然數, 則恆能被 8 整除 () 試證明, 若為自然數, 則恆能被 64 整除 6. 試證 : 不論是任何正整數, 的個位數字都是設 N, 試證 : + + N 3 6 C 思考題 7. 已知數列 <F k > 滿足 F =,F =,F k =F k +F k (k N,k 3) 試證 :() 對所有的正整數,F = + [( 5 ) ( 5 ) ] ( 對照 - 例題 3.()) 5 F 5 () lim = ( 這個值恰好等於黃金比, 請參考 3-5 第 6 題 ) F + 8.() 設 N, 試證 : () 設 N 且 4, 試證 : 9.() 設 x -, 試證 : 對所有的正整數,(+x) +x ( 此式稱為伯努利不等式 (Beroulli iequality)) a+ b a + b () 設 N,a b>0, 試證 : ( ) 0.() 對所有的正整數, 試證 : () 設 N, 試證 < 4 + 答案 :. 略. 略 3.()(I) 略 (II) 略 () 略 4.() 略 () 略 5. 略 6. 略 7.() 略 () 略 8.() 略 () 略 9.() 略 () 略 0.() 略 () 略 39 高中數學 ( 一 )

41 附表希臘字母表大寫小寫英文拼音中文讀音 Α α alpha 阿耳法 Β β beta 貝塔 Γ γ gamma 伽馬 δ delta 德耳塔 Ε ε epsilo 厄普西隆 Ζ ζ zeta 截塔 Η η eta 愛塔 Θ θ, ϑ theta 西塔 Ι ι iota 育塔 Κ κ kappa 卡帕 Λ λ lambda 蘭姆達 Μ µ mu 繆 Ν ν u 紐 Ξ ξ xi 克西 Ο ο omicro 奧美克隆 Π π pi 派愛 Ρ ρ rho 洛 Σ σ sigma 西格馬 Τ τ tau 套 Υ υ upsilo 宇普西隆 Φ φ, ϕ phi 斐 Χ χ chi 喜 Ψ ψ,ψ psi 潑西 Ω ω omega 奧米伽附表 40

6-1-1極限的概念

6-1-1極限的概念選修數學 (I-4 多項式函數的極限與導數 - 導數與切線斜率定義. f ( 在的導數 : f ( h 對實函數 f ( 若極限存在 h h 則稱 f ( 在點可微分而此極限值稱為 f ( 在的導數以 f ( 表示 f ( f ( 函數 f ( 在的導數也可以表成 f ( 註 : 為了

目 次

目次