2014 提升中小學補救教學成效之理論與實務研討論壇壹緒論一研究動機一次的巡視中, 發現我們以為很簡單的的算式, 很多人都寫了一樣的答案, 別以為他們寫對了, 因為從老師的臉色中就知道 ; 他們的答案竟然都是 2, 這讓身為導師的我們不禁慌了, 為什麼解釋很多遍的算式,

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梗添荆
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1 國小四年級低成就學生學習四則運算教材及其迷思概念之研究國小四年級低成就學生學習四則運算教材及其迷思概念之研究方建良 1 黃秀霜 2 臺南市仁德區德南國民小學教師國立臺南大學校長 2 1 中文摘要本研究旨在探討國小四年級數學低成就學生在學習四則運算單元之教材脈絡以及學習上可能產生之迷思概念, 針對學生的錯誤類型與學習困難的地方提出相關建議本研究針對臺南市仁德區某國小之四年級數學低成就學生為對象, 除進行國小四年級四則運算內容教材分析外, 藉由評量試卷以及訪談瞭解學生的背景知識為具備九九乘法的能力, 兩位數乘以一位數兩位數除以一位數以及兩位數的加減法均沒有太大的問題本研究發現結果在四則運算教材內容部份有 ( 一 ) 各版本在四則運算符號類別題數分布平均 ( 二 ) 各版本引入括號先算的方式多樣 ( 三 ) 整數四則的引入順序, 並無固定模式在四年級學生進行四則運算學習易發生錯誤類型部份有 ( 一 ) 單純計算錯誤 ( 二 ) 運算規則運用能力不足 ( 三 ) 應用題型中列式能力不足 ( 四 ) 擬題能力不足 ( 五 ) 兩步驟問題的併式紀錄錯誤等情況根據研究結果, 研究者提出下列相關建議 :( 一 ) 做四則運算的題目, 老師要訓練學生想選擇該種算則的理由 ( 二 ) 應給學童在課堂上發表或解釋的機會以了解其解題策略 ( 三 ) 教師可以嘗試不同的策略, 來提升教學的成效關鍵字 : 四則運算迷思概念 183

2 2014 提升中小學補救教學成效之理論與實務研討論壇壹緒論一研究動機一次的巡視中, 發現我們以為很簡單的的算式, 很多人都寫了一樣的答案, 別以為他們寫對了, 因為從老師的臉色中就知道 ; 他們的答案竟然都是 2, 這讓身為導師的我們不禁慌了, 為什麼解釋很多遍的算式, 學生們是怎麼解也不會解輪到讓學生發表以 36-( 23-3)? 的佈題時, 有位學生是這樣說的.. 姊姊有 36 元, 買鉛筆盒花了 23 元, 買橡皮擦花了 3 元, 請問還剩下多少元? 當下就決定, 與同學年的老師合作, 針對學生的錯誤類型與學習困難的地方做一探討, 並找出合適的學習與解決方法, 於是一連串地行動就此展開了國外的研究估計大約有 6% 的國中小學生有嚴重數學成就上的缺陷 (Fleischner & Marzola,1988) 而國內中小學的學生數學成就低落, 學生學習數學的挫折也是普遍存在 ( 吳元良,1996) 由於低成就學生在學業上有長期的挫敗經驗, 通常具有比較消極的學習態度較低的自我概念, 也比較少積極的拓展自己的人際關係, 因而在心理適應上較一般學生有較多的困難基於此, 如何找出一套適合國小學生的補救教學方案, 以改善數學低成就學生的學習表現, 乃是相當重要的課題透過本次的行動研究, 期待能以實際的教學觀察與訪談, 瞭解學生學習過程中產生了哪些困難和限制, 探討其產生的原因最後, 希望藉由研究過程的省思與研究的發現, 提出一些建議, 以提供進行四則運算教學的教師做參考二研究目的與問題本研究之目的在於探討民國 92 年所公布並經 97 年微調之九年一貫課程綱要所編寫的教科書, 並且通過教育部審定通過之數學教科書中整數四則單元希望藉由教科書分析來幫助現場老師解讀教科書, 探討國小四年級學生在學習四則運算單元之教材脈絡以及學習上可能產生之迷思概念, 並針對教材安排提供建議根據上述的研究動機與研究目的, 具體而言, 本研究欲探討的問題是.. ( 一 ) 國小數學領域教科書中, 與整數四則單元相關之能力指標連結與教材脈絡情況? ( 二 ) 四年級學生在學習四則運算時易發生的錯誤類型為何? 184

3 國小四年級低成就學生學習四則運算教材及其迷思概念之研究三名詞釋義 ( 一 ) 整數四則運算在國小階段, 整數是指正整數的計數與計算, 整數四則包含了四種運算法則, 加減乘除, 計算單元中, 所包含的題型有一步驟兩步驟和三步驟的混合計算問題, 而本研究將針對兩步驟進行探討 ( 二 ) 教材脈絡在整數四則運算中, 包含了括號分配律結合律由左而右計算括號先算先乘除後加減的概念, 而在這麼多的概念當中, 並無一定的規則要從哪一種概念教起, 所以在各版本中, 就會有引入的順序問題, 而如何將子概念串連成一個整體就是教材的脈絡貳文獻探討一學生的認知發展與先備經驗表 1 課程綱要的能力指標與應有的先備經驗表年級 97 年版課程綱要學生應有的先備知識一 1-n-06 能做一位數之連加連減與加減混 1. 一位數連加連減與加減合計算混合計算 1-a-01 能在具體情境中, 認識兩邊數量一 2. 等號等價意義樣多的意義 2-n-05 能做連加連減與加減混合計算 2-n-09 能在具體情境中, 解決兩步驟問題 1. 解決加減 ( 與乘 ) 兩步二 ( 加減與乘, 不含併式 ) 驟問題, 但不用併式記錄問 2-a-01 能用 < = 與 > 表示數量大小關題係, 並在具體情境中認識遞移律 ( 同 2. 等號的等價意義與遞移性 2-n-03) 三 3-n-06 能在具體情境中, 解決兩步驟問題 1. 解決加減與除兩步驟問 ( 加減與除, 不含併式 ) 題, 但不用併式記錄問題四 4-n-03 能在具體情境中, 解決兩步驟問 1. 用併式記錄兩步驟問題, 題, 並學習併式的記法 ( 包括連乘連除並進行解題乘除混合 ) 2. 知道四則運算順序 4-n-04 能作整數四則混合計算 ( 兩步驟 ) 3. 結合律先乘再除與先除 4-a-01 能在具體情境中, 理解乘法結合再乘的結果相同連除兩數律先乘再除與先除再乘的結果相同, 也相當於除以此兩數之積理解連除兩數相當於除以此兩數之積 185

4 2014 提升中小學補救教學成效之理論與實務研討論壇五 5-n-01 能在具體情境中, 解決三步驟問題 5-n-02 能熟練整數四則混合計算 5-a-01 能在具體情境中, 理解乘法對加法的分配律, 並運用於簡化心算 5-a-02 能熟練運用四則運算的性質, 做整數四則混合計算 1. 解決三步驟問題 2. 分配律的應用 3. 熟練四則運算順序與四則性質由此看來, 在此單元之前, 學生已經有了豐富且多元的兩步驟問題解題經驗 ; 一年級處理加減法二年級處理加減與乘三年級處理加減與除, 目前還未接觸到的兩步驟問題只剩下乘除混合的情形了許多研究 ( 陳嘉皇,2008;Baroody & Ginsburg, 1983;Jones, 2009) 都顯示, 高年級的學生都未必有等號的等價意義, 但就能力指標來看, 學生應該已經具備這項能力了, 學生真的接受等號的等價意義了? 認識了多少? 認識得多深? 值得研究者再做深思與探討進入四年級整數四則單元, 學生要面對併式這個新的紀錄方式, 並了解在併式中運算的順序, 以及四則性質的認識, 五年級的學習目標則延續四年級, 要能熟練運算順序的規約, 並應用四則的各種性質, 範圍也從四年級的兩步驟擴充至三步驟以上二整數四則的數概念探討 ( 一 ) 從相關研究中看整數四則的錯誤類型運算順序的部份則有研究者指出, 學生在學習四則之初, 均使用括號區分運算順序, 學生往往只專注括號的部份要先算, 卻忽略括號前後的運算, 以及先乘除後加減的規則這樣的教學方式會弱化先乘除後加減的觀念, 產生算則的錯誤使用 ( 沈明勳左太政與劉嘉茹,2009; 劉天民,1993) 從四則運算的相關研究中提到, 陳博文 (1996) 探討國小六年級學童四則運算的能力發現, 六年級的學童在運算符號中對於整數除法小數計算分數計算和四則混合計算的表現比較困難, 同時還發現到先前的錯誤會延伸到其他同類型的計算, 相對的會影響到往後的學習陳國雄 (2006) 對於國小四年級學童整數四則運算問題的研究中發現, 加 ( 減 ) 乘和加 ( 減 ) 除的題目對於學生較為困難, 特別是乘減兩步驟問題和減除的兩步驟問題, 而所推究的原因有可能是對於題意不完全了解, 無法組織題意來進行問題轉譯, 雖然此研究有提到括號和先乘除後加減兩個規則的誤用, 卻未明確的表示學生對於括號和先乘除後加減這兩個規則是否會產生混淆, 不了解順序 186

5 國小四年級低成就學生學習四則運算教材及其迷思概念之研究劉天民 (1993) 是以學生做為研究樣本, 分析整數與分數四則運算之錯誤類型, 發現學生進行分數加減計算時, 會誤用乘法的運算性質, 而且對於整數運算規則並不熟悉, 最常忽略了先乘除後加減的規則, 另外當有括號的計算時, 容易將括號先算的情形混淆而吳惠貞 (2006) 發現學童將先乘除後加減解釋為先算加法再算減法先算乘法再算除法的問題也是值得在後續研究中加以澄清的以下將相關整數四則相關錯誤類型研究整理成表 2 表 2 學生在整數四則單元的錯誤類型相關研究表研究者 ( 出版年 ) Knuth& Stephens(2006) 陳國雄(2006) 吳惠貞 (2006) 洪志峰(2007) Quintero(1984) 陳國雄(2006) 吳惠貞 (2006) 洪志峰(2007) Quintero(1984) 劉天民(1993) 陳國雄 (2006) 吳惠貞(2006) 洪志峰(2007) 沈明勳左太政與劉嘉茹 (2009) 陳國雄 (2006) 吳惠貞 (2006) 研究結果不會併式算式表徵不完整 1. 運算錯誤 2. 不理解題意 3. 看錯題目數值 1. 四則運算的順序錯誤 2. 錯誤使用運算規則 1. 誤用乘法結合律 2. 不會使用括號逐次減項紀錄錯誤 ( 不知道等號等價的意義 ) ( 二 ) 四則運算數概念探討在成人的世界中, 解四則混合計算時, 有下列約定俗成的共識 ( 謝堅,1994).. 1. 由左往右依次運算 2. 括號內的先算 3. 先乘除後加減但是我們為什麼要形成這些共識呢? 這些共識對我們的學習造成了什麼樣的困難? 在 82 年版的數學課程中, 四則混合計算問題是用來記錄多步驟情境問題的題意或解題計劃的, 是另一種形式的多步驟情境問題 ( 謝堅,1994) 而所謂的兩步驟問題是指必須使用兩次運算才能解決的一個問題, 兩步驟問題的題意與解題所蘊含的活動並不相同但是為什麼要形成那些解題的共識呢? 當一個數學式子在產生併式時, 人們先形成由左往右依次運算的共識, 但是當步驟越來越多或運算次序發生混淆時, 為了要區別先算什麼, 後算什麼, 才使用括號來區別先算的部分, 形成先算括號 187

6 2014 提升中小學補救教學成效之理論與實務研討論壇部分的共識, 當問題更複雜, 使用相同或不同的括號數越來越多時, 為了要減少用括號的次數與種類, 人們發現先乘除後加減可以省略的括號數最多, 所以又形成先乘除後加減的共識 ( 謝堅,1994) 如果我們要將一個多步驟的計算問題簡化, 甚至是簡寫成一個式子, 那必定會牽涉到哪一個運算先算, 哪一個後算? 延續了先前的共識, 我們有了下列的步驟順序.. 1. 當式子只有加法和減法 ( 或者只有乘法和除法 ) 時, 我們約定由左邊開始算, 算出來的結果再變成後面運算式子的被加數或被減數 ( 被乘數或被除數 ) 2. 當式子中, 乘除的運算和加減的運算互相混合時, 我們約定乘除先算, 再算加減 3. 當式子中, 有乘除的運算和加減的運算相混時, 為了要先處理加減運算的問題 ( 如表 3 中打者 ), 或者部分的加減問題和乘除問題 ( 如表 3 中打者 ), 要先處理後面的運算時, 我們必須用一個符號加以區別, 以打破先乘除後加減和由左而右的習慣這個符號, 我們習慣是以 () 表示之 4. 當式子中, 有加減乘除的運算以及括號時, 我們約定括號內的運算先做, 然後乘除運算比加減運算先, 最後才是由左至右運算表 3 兩步驟四則問題的題型表在 82 年版的實驗課程中, 將所謂的兩步驟問題分為五類, 第一類是兩數的和 ( 差 ) 與第三數的和 ( 差 ) 第二類是兩數的積與第三數的和( 差 ) 第三類是兩數的商與第三數的和 ( 差 ) 第四類是兩數的和( 差 ) 與第三數的積 ( 商 ) 以及第三數乘 ( 除 ) 以兩數的和 ( 差 ) 的積 ( 商 ) 第五類是兩數的商乘( 除 ) 以第三數的積 ( 商 ) 以及兩數的積 ( 商 ) 除以第三數的商而九年一貫版本的數學課程在四則運算部分的內涵, 大致沿用 82 年版實驗課程的原則而在九年一貫課程暫行綱要中, 也明確的列出了相關的能力指標, 茲詳列如下.. N-2-14 能在情境中, 理解乘法交換律等號的對稱性 < = > 的遞移性加法和乘法的結合律與分配律, 以及乘法和除法的相互關係 188

7 國小四年級低成就學生學習四則運算教材及其迷思概念之研究 N-2-16 能知道先乘除後加減的約定, 並能用來列式及簡化計算式子由此可看出, 新課程的內容仍是非常重視這方面能力的培養, 而研究者所採行的康軒版數學課本第八冊中所涵蓋的內容, 大致與其能力指標相符, 內容包含有.. 1. 兩步驟問題的併式紀錄例如..將 23-18=5;5 3=15; 兩個式子併成 (23-18) 3=15 2. 兩步驟問題的併式與和差積商與定數的大小比較例如.. (12+3) 利用逐次減項的方式解決兩步驟問題並記錄解題過程例如.. 12 (3+2)=? 學生會先解出 3+2=5; 再利用 12 5=60; 最後解出答案為利用已知的併式來佈題例如..以研究動機中的式子為例, 請以 36-(23-3)=? 寫出符合這個算式的題目, 並求出正確答案在九年一貫 K 版的第八冊數學課本中, 並沒有出現所謂的多步驟問題, 而是多以兩步驟的問題情境為主在先前的整數四則運算教材部份, 一年級進行兩步驟的加減問題, 但是只強調解題的方法, 並不要求學童使用算式記錄解題活動與結果二年級進行兩步驟的加減乘問題, 除了強調解題的方法外, 還要求學童使用算式記錄解題的過程與結果, 但並不要求學童使用一個併式記錄解題活動與結果三年級進行兩步驟的四則問題, 並讓學童嘗試合併一式, 但不硬性要求到了四年級則進行簡易的整數四則運算 ( 謝堅,1996) 所以就整個流程看來, 教材的設計應該是符合學生的學習能力發展, 至於學生易發生困難及迷思之處, 則有待更進一步的研究來探討参研究方法本研究以國小四年級數學領域四年級學生迷思概念探討需求為導向, 以協助教師有效建構學生基本的四則運算數概念研究者將進行各版本間四則運算教材之內容脈絡作一剖析, 並就學生易發生的迷思概念作探討, 透過研討省思辨證分析與修正, 以改進數學領域補救教學之實務以下分別就研究方法與架構研究流程研究對象研究工具及研究設計與資料處理做一說明 189

8 2014 提升中小學補救教學成效之理論與實務研討論壇一研究方法與架構 ( 一 ) 研究方法本研究主要是針對國小數學科審定版教科書的整數四則教材相關單元進行研究, 所採取的研究方法是以文件分析法為主另由本研究的目的可知, 研究者欲透過整個研究的實施過程, 深入瞭解教學情境中的互動情形, 並探討學生之迷思概念為能讓研究者於整個研究中蒐集到更詳細更深入的資料, 因而採用個案研究法以進行研究, 以下即針對個案研究法進行探討所謂個案研究 (case study), 是指採用各種方法收集有效的完整資料, 對單一的個人或社會做縝密而深入研究的一種方法 ( 郭生玉,1990) 而其特徵包含了以下幾點.. 1. 個案研究是以單一的個人和社會單位為研究對象, 至於本研究之個案為四個學童所組成的小組 2. 個案研究資料的蒐集是採用多種的方法, 而資料的範圍包含很廣, 至於本研究的資料蒐集是由參與觀察訪談以及相關文獻的蒐集等等 3. 個案研究是一種縝密而深入的研究, 至於本研究主要是透過上述蒐集方式進行資料的蒐集且對個案作更深入的探討 4. 基於上述的觀點, 為期本研究能獲得更多更詳細的資料並對個案做更深入的探究, 故採個案研究法 ( 二 ) 研究架構依據研究目的, 提出了本研究之研究架構, 如圖 1 所示.. 圖 1 研究架構圖二研究流程與實施步驟本研究之研究流程與實施步驟, 依序說明如下.. 190

9 國小四年級低成就學生學習四則運算教材及其迷思概念之研究 ( 一 ) 研究流程本研究之研究流程, 如圖 2 所示圖 2 研究流程圖本研究依據上述的研究流程與補救教學實施過程, 將各個不同階段做詳細的說明, 茲分述如下.. 1. 準備階段 (1) 蒐集並閱讀相關文獻研究者自教學中 (102 年 3 月初 ) 發現問題時, 即立刻進行相關教學資料的蒐集, 透過閱讀與反思, 於 102 年 3 月中時, 與其他研究者 ( 教師 ) 討論並確定研究意願與主題 (2) 準備研究工作研究者透過文獻, 經過研究群的討論, 並於實際的課堂中蒐集學生亦發生的錯誤類型, 藉以完整的瞭解學童的迷思概念與學習困難 (3) 設計評量活動研究者依據文獻中瞭解學童迷思概念與教材分析結果, 且於 102 年 11 月期間, 編製前測試卷並選取前測對象 191

10 2014 提升中小學補救教學成效之理論與實務研討論壇 (4) 選取受試對象研究者透過月考成績選取該年段成績約 75% 以下之學生約 80 名學生進行迷思概念探究測試 2. 實施階段 (1) 實施迷思概念探究測試研究者於月考後進行迷思概念探究測試, 並從中蒐集資料並予以分析 (2) 資料的蒐集分析教學的進行中, 由另兩位觀察者進行錄音錄影的資料蒐集工作, 並在觀察過程中撰寫現場筆記以成觀察紀錄 (3) 分析資料並完成研究報告的撰寫研究者透過所蒐集的資料以及測驗成果, 分析歸納, 並於期間完成整個研究報告的撰寫三研究對象本研究第一部份所分析的對象是教育部審核通過之九年一貫課程的國民小學數學 102 學年度上下學期第七八冊之教科書 ( 含各版本 ) 第二部份所分析的對象是臺南市仁德區某國小四年級 102 學年度第一學期期中考數學評量成績與全班總平均成績 75% 以下之學生四研究工具依據研究目的與實際需要, 本研究所使用之研究工具包括研究者研究者自行設計之四則運算學習活動與相關測驗試題 ( 例如 : 前測試題 ), 另外, 錄音錄影工具及筆記, 茲將研究工具分述如下.. ( 一 ) 研究者在質性研究中, 研究者就是工具 (the researcher is the instrument)( 吳芝儀李奉儒譯, 民 84; 甄曉蘭, 民 85) 本研究共有三位研究者, 以下簡稱 R1 R2 及 R3 R1 是現職的國小老師, 研究個案即是 R1 自己班上的學生,R1 的角色屬於參與的觀察者 (participant as observer), 是以一種局內人的角色來觀察個案的行為, 也是本研究中主要的資料收集者 192

11 國小四年級低成就學生學習四則運算教材及其迷思概念之研究 R2 是同一年級的教師, 透過 R1 所觀察的資料對個案做瞭解, 因為 R1 是個案的導師, 研究者參與得愈多, 可能觀察得愈少 ( 黃瑞琴, 民 90), 為避免這樣的情形發生, 討論時 R2 會將所觀察到的看法心得和 R1 做充分的討論, 作為下次觀察訪談的參考 R3 是教育工作者, 從事行政工作多年, 在本研究中, 主要扮演討論者與諮詢者的角色本研究乃透過觀察晤談來探究低成就學生有關四則運算的概念, 藉由錄音錄影與現場筆記的方式來收集資料, 採分析的歸納 (Induction) 和恆常比較法 (constant comparative method) 來從事資料分析 ( 二 ) 錄音錄影工具及筆記進行教學及訪談時, 研究者會將訪談內容用錄音機或錄影機紀錄下來, 作為日後資料整理分析之用在進行之前, 先檢查電池錄音帶錄音機錄影帶錄影機有無問題, 以確保訪談過程可以順利進行訪談時亦要隨時做筆記, 紀錄重要詞彙及關鍵字, 做為再深入瞭解的參考 ( 三 ) 迷思概念探究相關測驗試題本研究所採用做為迷思概念探究測驗的研究工具為自編的試卷 ( 附錄一 ), 試卷內容主要是依據九年一貫課程綱要數學領域中四則運算相關的數概念為主, 且輔以研究對象學校所採用的數學課本習作及教師手冊綜合編製而成, 另亦針對前測試卷進行內容效度分析 ( 附錄二 ) 五資料處理與分析本研究乃透過觀察晤談及迷思概念探究測驗試題來探究低成就學生有關四則運算的概念, 本研究多採分析的歸納來從事資料分析, 研究者透過錄音錄影與現場筆記的方式來收集資料, 將收集到的資料予以分類編碼, 待新資料進來後加以比較, 決定重新修正或放棄, 直到沒有新的訊息出現將本研究之資料處理與分析的步驟, 說明如下.. ( 一 ) 研究資料的整理與編碼因本研究採多項策略對所研究的個案收集資料, 資料量勢必會比較大, 所以研究者會將每次觀察及晤談所得的資料盡快轉譯成文字資料, 並將學生做答類型的部分, 依研究主題, 逐題將學生的想法分類整理成表, 儘可能的將學生的想法整理列出資料編碼方式如下 :R1 代表研究者 1;R2 代表研究者 2;S16 代表研究個案,16 為個案在班上的座號訪 S16,99/04/01, 表 99 年 4 月 1 日訪談個案學生 193

12 2014 提升中小學補救教學成效之理論與實務研討論壇 ( 二 ) 反覆閱讀研究資料除了閱讀文獻外, 研究者對個案所觀察訪談的資料會不斷的出現, 必須反覆的閱讀所收集到的資料, 並適時的紀錄閱讀之後的心得, 作為下次訪談及撰寫報告的參考 ( 三 ) 撰寫研究報告對所有的研究資料做全面的整理與分析過程中如果有遺漏或是需要在確認, 研究者需要再次的進行訪談, 以求資料的正確性肆研究結果本研究針對四年級數學學習低成就學生進行四則運算學習後, 容易發生錯誤類型結果整理如下一單純計算錯誤 ( 一 ) 運算符號混淆研究結果顯示, 學生經常會誤置運算符號致運算結果錯誤, 最常見的有加減號互換加乘號互換乘除號互換以及除減號互換等以下圖 3 為例, 個案學生誤將加法誤作為減法運算圖 3 減法誤用運算示意圖 ( 二 ) 運算錯誤學生易犯之計算錯誤類型中最常發生就是看錯數字或是計算錯誤, 其中研究者發現約四成之四年級學生有除法上的學習困難按本研究 80 份樣本試卷, 計有 36 位學生發生除法計算錯誤情形, 以下再就研究結果分成數字錯置以及除法運算困難兩種類型探討 194

13 國小四年級低成就學生學習四則運算教材及其迷思概念之研究 1. 單純數字誤植導致運算錯誤圖4 圖6 個位數字加法運算錯誤圖圖8 圖5 十位數字加法運算錯誤圖括號先算但加法運算錯誤圖圖7 減法運算錯誤圖數字誤植導致運算錯誤圖圖9 乘法運算錯誤圖 2.除法能力導致運算錯誤圖 10 除法運算錯誤圖圖 12 除法運算錯誤圖圖 11 除法運算結果誤用錯誤圖圖 13 三位數除以一位數能力不足導致運算錯誤圖 195

14 2014 提升中小學補救教學成效之理論與實務研討論壇二運算規則 ( 由左而右括號先算先乘除後加減 ) 運用能力不足國小階段之教材鮮少利用開放式問題甚至是逆推式問題讓學生進行嘗試, 以置於學生往往面臨到相關問題不是不知所措而無從下手就是隨意作答, 以本題目而言答對率僅 5%(80 份樣本僅 4 位學生答對 ), 以下為學生答題之錯誤態樣題目 : 在下面式子的中, 填上 + - 或的符號, 讓計算結果和等號右邊的答案相等 ( 有些式子要加上 ( ) 才會成立呵!) =2 圖 14 最常見錯誤類型 ( 湊 6/2 型 ) 圖 15 常見錯誤類型圖 16 常見錯誤類型 ( 湊 6/2 型 ) 圖 17 4 位答對學生解題類型三應用題型中列式能力不足學生習慣看到應用題中有和共等字眼, 往往沒看清楚題目意思, 就直接列出家法的運算式子並將數字加起來作答以本例而言仍有 13 位 (16.25%) 學生會發生此誤列算式情況產生, 以下為題目及學生錯誤態樣題目 : 有 182 顆蘋果和 126 顆梨子, 平分到 7 個籃子裡, 每個籃子裡的蘋果比梨子多幾顆? 圖 18 應用題型中列式能力不足導致錯誤 196

15 國小四年級低成就學生學習四則運算教材及其迷思概念之研究四擬題能力不足擬題能力原屬高階能力, 學生往往除須具備生活經驗外還需對學習之概念有透徹之理解, 進而運用自己的語文能力來完成, 所以擬題也可以是一種多元能力的結合成果展現出乎研究者意外的是答對率竟比前述錯誤態樣二 ( 運算規則運用能力不足 ) 還高, 有高達 23 位 (28.75%) 學生 ( 本研究樣本學生為各班月考成績 75% 以下學生 ) 完成, 顯見學生語文能力之成長並與數學的學習經驗結合是有模式可循題目 : 用下面的算式編一個數學問題, 並算出答案 53 (28 4)=(ˉˉ) 圖 19 語意尚表示不清圖 20 單位混淆但已具備基本概念圖 21 具備用文字表達數學概念之能力五兩步驟問題的併式紀錄錯誤一般這類型之錯誤態樣又可分為列式錯誤及計算錯誤, 本探討以列式錯誤為主學生在轉換題意的過程中往往因為記憶暫停的誤差及算式表達上出現誤差題目 : 算一算, 選選看書維有 160 元, 文豪有 90 元, 吉祥比文豪少 15 元, 那麼書維的錢比吉祥多幾元? (1)160-(90-15)=(ˉˉ) (2)(160-90)-15=(ˉˉ) 表 4 學生於兩步驟問題併式紀錄答對率答對答錯學生數學生答對比率 77.5% 22.5% 197

16 2014 提升中小學補救教學成效之理論與實務研討論壇圖 22 兩步驟問題的併式紀錄錯誤態樣圖 23 兩步驟問題的併式紀錄錯誤態樣圖 24 未完成多步驟解題過程伍結論與建議本研究希望能讓透過審定版教科書之教材探討, 透過學生迷思概念探討輔助學生突破學習上的困難本章節先根據研究目的和研究結果與討論做為本研究的結論, 並且對發現的問題提出相關建議, 以便能夠提供編輯者或研究者做為參考一結論 ( 一 ) 四年級四則運算與課程綱要間之連結 1. 四年級四則運算內涵與綱要之教學重點本主題內涵主要是讓學生孰悉以十以及萬進位記數法進行大數的命名及說讀聽寫做, 大數的位值單位換算以及大數的大小比較讓學生能熟練四位數以上整數的加法直式計算減法直式計算較大位數的乘法與除法直式計算以及能熟練大數的複名數加減法直式計算能在具體情境中, 解決整數兩步驟問題與四則混合計算, 並學習併式的記法與計算 2. 四年級四則運算內涵與綱要之評量應注意事項本主題內涵之評量重點應以學生十進位記數法轉換成萬進位記數法紀錄應以位址概念養成為評量基礎三年級學生應熟練四位數以內的加減直式計算以及三位數乘以一位數的直式計算三位數除以一位數的直式計算而四年級之學童則應熟練整數的加減直式計算, 熟練較大位數字的乘除直式計算, 處理所有兩步驟問題的併式紀錄以及兩步驟整數混合計算問題 198

17 國小四年級低成就學生學習四則運算教材及其迷思概念之研究 3. 整數四則運算規則就研究結果而言, 本研究發現以四則運算為主題之課程中所呈現之運算歸則可總結成以下, 然以下之規則為同價並無所謂優先順序 (1) 逐次減項 (2) 由左算到右 (3) 先乘除後加減 (4) 括號先算綜括言之, 以目前國小四年級四則運算主題之課程內涵分佈言之, 根據研究結果顯現教材的編排綱要聯結均有其脈絡並符合能力指標 ( 二 ) 四年級學生進行四則運算學習易發生錯誤類型部份 1. 單純計算錯誤常見的計算錯誤態樣有運算符號混淆, 其中包括加減號互換加乘號互換乘除號互換以及除減號互換等另學生在運算過程中亦常犯看錯數字或是計算錯誤, 其中研究者發現約四成之四年級學生有除法上的學習困難 2. 運算規則運用能力不足國小階段之教材鮮少利用開放式問題甚至是逆推式問題讓學生進行嘗試, 以致於學生往往面臨到相關問題不是不知所措而無從下手就是隨意作答 3. 應用題型中列式能力不足學生習慣看到應用題中有和共等字眼, 往往沒看清楚題目意思, 就直接列出家法的運算式子並將數字加起來作答 4. 擬題能力不足擬題也可以是一種多元能力的結合成果展現, 但部分學生仍有無法將運算數概念轉換成語文敘述表達出來 5. 兩步驟問題的併式紀錄錯誤這部分從 77.5% 的答對率看來, 部分學生仍會因為數字置換上的誤差或運算錯誤造成困境二建議根據研究結果, 研究者分別對數學教科書整數四則單元之內容設計和學習困境兩方面提出相關建議 ( 一 ) 教科書中的文字敘述需要再加以修正在先乘除後加減的教材分析中, 如果使用先乘除, 後加減, 容易讓 199

18 2014 提升中小學補救教學成效之理論與實務研討論壇學生產生迷思, 不知道要先乘還是先除或著先加還是先減, 可以修改成先乘或除 0, 後加或減, 以減少學生的對於運算規則的誤解, 來提高正確解題的效果 ( 二 ) 針對學生學習困境給教師之建議 1. 做四則運算的題目, 老師要訓練學生想選擇該種算則的理由做四則運算的題目, 老師要訓練學生想選擇該種算則的理由, 不要只是會算出答案就滿足了, 因為真正懂得運算的道理, 以至於能應用類推, 比硬記一些算式法則, 卻無法理解題意要來得重要許多 2. 應給學童在課堂上發表或解釋的機會以了解其解題策略從所蒐集到的資料以及透過訪談可發現, 學童在不完全了解括號相關法則時, 他們會產生自己的法則或解釋為了避免類似以訛傳訛的情況發生, 老師應給學童在課堂上發表或解釋的機會, 而不是一昧的要求學童練習, 透過學童的討論, 他們才能了解是否他們的解題策略是適當的 3. 教師可以嘗試不同的策略, 來提升教學的成效在本研究發現到, 對於整數四則的單元教材脈絡並無單一的教學策略, 教師可以嘗試不同的策略, 來提升教學的成效, 並且從本研究瞭解到整數四則的各種題型, 當教師教學完後, 能夠視學生的情況進行挑選不同類型和困難度的題型, 來進行補充教學, 相信對於學生的學生會更加有幫助 200

19 國小四年級低成就學生學習四則運算教材及其迷思概念之研究參考文獻古明峰 (1999) 加減法文字題語意結構問題難度及解題關係之探討國立新竹師範學院學報,12,1-25 古欣怡 (2010) 一位四年級教師進行整數四則教學之行動研究國立新竹教育大學數理教育研究所碩士論文, 未出版, 新竹市呂玉琴 (1988): 如何讓國小學生發表其數學解題策略研習資訊,15(2), 呂玉琴 ( 譯 ) (1988) 加減法文字題的分類解題策略及影響因素國民教育, 8(28), 李金葉 (2007) 國小數學領域教科書角概念教材之內容分析國立臺中教育大學, 未出版, 臺中李盈萩 (2007) 國小一年級數學教科書分析之比較研究國立臺北市立教育大學, 未出版, 臺北吳元良 (1996) 不同數學課程性別社經地位的國小學生在數學態度及成就上比較之研究屏東師範學院國民教育研究所碩士論文, 未出版, 屏東市沈明勳 (2013) 應用眼動追蹤技術探討數學解題歷程之表徵轉換模式高雄師範大學博士論文, 未出版, 高雄周珮儀 (2005) 我國教科書研究的分析課程與教學季刊,8(4), 教育部 (2010) 國民中小學九年一貫課程綱要臺北..教育部陳嘉皇 (2008) 國小學童等號概念解釋與解題策略初探, 臺灣數學教師電子期刊,13,34-46 黃瑞琴 (2001) 質的教育研究方法臺北: 心理出版社楊龍立 (1998) 建構教學的研究臺北市立師院學院學報第 29 期頁劉錫麒 (1993) 數學思考教學研究臺北..師大書苑謝堅 (1994) 新課程對四則運算教材的處理國民小學數學科新課程概說( 中年級 ) 臺灣省國民學校教師研習會 p 謝堅 (1996) 實驗課程中四則運算教材的設計國民小學數學科新課程概說( 高年級 ) 臺灣省國民學校教師研習會 p

20 2014 提升中小學補救教學成效之理論與實務研討論壇 Baroody, A. J., Ginsburg, H. P., & Waxman, B. (1983). Children s use of mathematical structure. Journal for Research in Mathe-matics Education, 14(3), Fleischner,J.E. & Marzola, E.S.(1988),Arithmetic. In K.A.Kavale,S.R.Forness, & M. B.Bender(Eds),Handbook of learning disabilities(vol.Ⅱ).. Methods and intervention(p89-110), Boston,MA.. College-Hill Publication. Robertson, M. J., & Jones, J. G. (2009). Exploring academic library users' preferences of delivery methods for library instruction: Webpage, digital game, and other modalities. Reference & User Services Quarterly, 48(3),

21 國小四年級低成就學生學習四則運算教材及其迷思概念之研究 A Study on " Arithmetic " Learning Predicaments of FourthGraders Chian-Liang Fang Hsiu-Shuang Huang Abstract The study aimed to explore the fourth grade students may be learning arithmetic unit s misconceptions. By fourth grade arithmetic textbook content analysis with assessment papers and interviews. We can understand the students' background knowledge have multiplication table ability. They also can calculate to the value of two-digit s number multiply one-digit s number, divided double-digit digits s number by one-digit s number. Even though they have no problems about two-digit s number addition and subtraction. The study found that results in arithmetic textbook content has(1) The arithmetic symbols s problem evenly distributed for each version. (2) A variety of ways introduces "the number of parenthesis can first count " in each version.(3)the content s introduction sequence of integer s count has no fixed pattern. In fourth grade students easy to solve arithmetic problems wrong type have(1)calculation error.(2)lack of the ability to use arithmetic rules. (3)Lack of the ability to write correct formula in application questions.(4)can t state questions by formula. (5)The record is error in two-step problems and so on. Based on the findings,we made the following suggestions:(1)when the students do arithmetic topics, teachers should train students thinking choose the kind of reason. (2)The teacher should give students the opportunity to explain or publication in the classroom.(3) The teacher can try different methods to enhance the effectiveness in this course. Keywords: four fundamental operations of arithmetic, misconceptions 203

22 2014 提升中小學補救教學成效之理論與實務研討論壇附錄一一填填看 1.5 =15; 6=42;3 7= 2. 如果 14 3=42, 那麼 14 30=,140 30=,140 30= 3. 在下面式子的中, 填上 + - 或的符號, 讓計算結果和等號右邊的答案相等 ( 有些式子要加上 ( ) 才會成立呵!) =2 二勾選題 4. 算一算, 選選看書維有 160 元, 文豪有 90 元, 吉祥比文豪少 15 元, 那麼書維的錢比吉祥多幾元? (1)160-(90-15)=(ˉˉˉ) (1)(160-90)-15=(ˉˉˉ) 5. 算算看, 兩邊算式答案相同的, 在裡打, 不同的打 (1)(9 3)+(8 3) (9+8) 3 (2)(42-3) 3 42-(3 3) (3)(16 8) 2 16 (8 2) 三寫寫看 6. 把兩個算式合併成一個答案必須和 { } 的數字相同 120 6= ={5} 204

23 國小四年級低成就學生學習四則運算教材及其迷思概念之研究 7. 算算看 (1)126 (6+3)=( ) (2)84+(92 4)=( ) (3)172-(84+36)=( ) (4)54-(63-27)=( ) (5)(126 9)-(72 9)=( ) 四算算看, 再把問題和結果用一個算式記下來 8. 哥哥每天存 15 元, 弟弟每天存 12 元, 一星期後兩人共存多少元? 9. 用下面的算式編一個數學問題, 並算出答案 53 (28 4)=(ˉˉ) 10. 有 182 顆蘋果和 126 顆梨子, 平分到 7 個籃子裡, 每個籃子裡的蘋果比梨子多幾顆? 205

24 2014 提升中小學補救教學成效之理論與實務研討論壇附錄二四年級四則運算評量試題雙向細目表概念九九乘法乘數或被能利用先兩步驟問利用逐次利用已知兩步驟問的計算乘數為乘除後加題的併式減項的方的併式來題的併式題號 10 的倍減的約定與和差積式解決兩佈題紀錄數之應用來列式及商與定數步驟問題簡化計算的大小比並記錄解式子較題過程

基本數學核心能力測驗_行為觀察記錄紙_G2版本

基本數學核心能力測驗_行為觀察記錄紙_G2版本基本數學數學核心能力測驗 G2 行為觀察記錄記錄紙學校 : 班級 : 姓名 : 日期 : 記錄者 : ~ 學生作答時, 請他 ( 她 ) 將雙手皆置於桌面 ~ 認識數字 ( 三 ): 數列 ( 共 1 頁 ) 注意事項逐題觀察並作底下記錄, 等分測驗做完後, 每一個策略任選一題問這一題你是怎麼算的? ( 如果只運用一種策略, 則再任選 2-3 題訪問 ) 利用學生的回答來作為自己觀察記錄的證據