大纲 大纲 问题研讨 问题分析 问题引入

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1 化工汪广义

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3 问题引入 一. 问题引入 在生活中, 诸如斗地主, 同花顺, 德州扑克等等扑克牌游戏总是离普通的日常生活不远这些游戏经常会被拿来做赌博的媒介虽然这些扑克牌游戏有这个不是很光彩的一面, 但是这些游戏是参与者以数学 心理学进行博弈而且这类问题在分析时对数学建模工具的要求较低, 最终在选题时我选择了对一种扑克牌游戏 : 同花顺进行建模分析

4 问题引入 (1) 同花顺规则介绍 由于其它规则对数学分析过程无影响, 因此主要介绍同花顺游戏的胜负判定规则 同花顺胜负判定 : 牌型比较 > 数字比较 > 花式比较牌型比较 : 同花顺 > 铁支 > 葫芦 > 同花 > 顺子 > 三条 > 两对 > 对子 > 散牌数字比较 :A>K>Q>J>10>9>8 花式比较 : 黑桃 > 红桃 > 草花 > 方片

5 问题引入 (2) 牌型说明 : 同花顺 : 同一种花色的顺子, 比如全部是黑桃的 A,K,Q,J,10 但 8 和 A 之间不算顺子铁支 : 四张同样大小的牌, 比如 4 个 A ( 某些规则中将同花顺细分出了更高的大顺 ) 葫芦 :3 张一样的带 2 张一样的, 比如 3 个 A 带 1 个 8 大家都是 3 带 2 时, 比较三个头的大小同花 :5 张牌为一种花式, 如果大家都是同花, 比最大的一张牌, 如果大小还一样就比这张牌的花式顺子 :5 张牌是顺子但不同花, 如果大家都是顺子, 比最大的一张牌, 如果大小还一样就比这张牌的花式三条 : 指有三个头, 如果大家都是三条, 比三条的大小两对 : 指有两个对子, 如果大家都是两对, 比大对子的大小, 如果大对子也一样, 比小对子的大小, 如果还是一样, 比大对子中的最大花式对子 : 指有一个对子, 如果大家都是对子, 比对子的大小, 如果对子也一样, 比这个对子中的最大花色散牌 : 没有上面说的任何情况, 比最大一张牌的大小, 如果大小一样, 比这张牌的花色

6 问题引入 (3) 数学解释 : 同花顺的用数学知识简单解释就是数学中离散型随机变量问题, 应用概率统计知识对参与者手中的四张牌进行比较人为地规定了不同的排列组合之间的胜负关系

7 问题分析 二. 问题分析 可以将同花顺比赛简化成一个较简单的问题 : (1) 某玩家采取一种策略 : 当原始的牌型构成一个顺子或更高的牌型时, 则放弃换牌的机会 ; 否则, 除保留对子或三张相同点数的牌外, 将手中其余的牌放弃, 由机器再次随机分配奖金分配表如下所示 : 根据已知规则和策略, 找出可能出现有奖牌型的频率与概率, 并求出能获奖奖金的期望

8 问题分析 牌型 奖金 ( 元 ) 同花大顺 (10 到 A) 800 同花顺 50 四张相同点数的牌 25 满堂红 ( 三张同点加一对 ) 8 同花 5 顺子 4 三张相同点数的牌 3 两对 2 一对高分对 (J 及以上 ) 1 其它 0

9 问题分析 1. 具体思路 : 该问题属于离散型随机变量问题, 先用概率统计知识求出原始牌型的概率, 再对原始数据做相关比较, 当原始的牌型构成一个顺子或更高的牌型时, 则放弃换牌的机会 ; 否则, 除保留对子或三张相同点数的牌外, 将手中其余的牌放弃所以在其基础上再分为三种情况分析 : 不换牌, 换部分牌, 牌全换, 分析得相关数据同时考虑会重复的相关牌型, 综合考虑对应各种情况, 求其对应的概率与期望

10 问题分析 2. 模型假设 : 1 每次发牌都是独立随机事件且发牌不出现任何失误 2 一副牌中包含去除大小王的其它 52 张牌 3 玩家每次都有足够的赌注 4 玩家每次选择都严格按策略进行, 不包含主观意愿, 不出现失误 5 因地方风俗原因, 令 A2345 不为顺子, 为最小顺子

11 问题分析 2. 符号定义 : X n : 对应牌型获得奖金的金额 初次抽牌牌型 概率 同花大顺 P1 同花顺 P2 四张相同点数的牌 P3 满堂红 P4 同花 P5 顺子 P6 三张相同点数的牌 P7 两对 P8 一对高分对 P9 其它 P10 其它 中扣除小对 P10'

12 问题分析 2. 符号定义 : 换了 i 张牌的牌型同花大顺同花顺四张相同点数的牌满堂红同花顺子三张相同点数的牌两对一对高分对其它 概率 T1i T2i T3i T4i T5i T6i T7i T8i T9i T10i

13 2. 符号定义 : 当换了牌以后, 结合原有的顺子等不换牌的情况下出现特定牌型的总概率 : 牌型同花大顺同花顺四张相同点数的牌满堂红同花顺子三张相同点数的牌两对一对高分对其它 概率 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10

14 1. 模型的求解 : 1.1 玩家第一次抽牌后对应的概率求解 : 同花大顺 (10 到 A) 同花顺 四张相同点数的牌 满堂红 ( 三张同点加一对 )

15 同花 顺子 三张相同点数的牌 两对

16 一对高分对 (J 及以上 ) 其它 对初次摸牌的其它牌型进行具体分类 : 其它牌型中扣除小对 ( 杂牌 ) 的概率 : 其它牌型中小对 ( 低分对 ) 的概率 :

17 换牌前期望 = 净收益期望 -1= 玩家换牌对应的概率求解 : 换 5 张后杂牌中扣除小对后还能换成 : 同花大顺 ; 同花顺 ; 四条 ; 三带一对 ; 同花 ; 顺子 ; 三带二杂牌 ; 二对对子 ; 一个高分对子, 现分情况一一讨论 : (1) 换五张牌后为同花大顺换五张牌后同花大顺的可能分 A B 两种情况讨论 : A: 换牌前的五张牌中不含 10,J, Q, K, A. 换牌后构成同花大顺的概率 : 2 C C C C C C C C C C C C A1 [ C5C4C4C4C32C28 C5 C4C4C4C4C ] C C

18 B: 换牌前的五张牌中可能含有 10,J,Q,K,A. 换牌后构成同花大顺的概率 : (1) 五张牌中含有 1 张时 : (2) 五张牌中含有 2 张且 2 张牌同花色时 : (3) 五张牌中含有 2 张且 2 张牌不同花色时 : (4) 五张牌中含有 3 张且 3 张牌同花色时 : (5) 五张牌中含有 3 张且 2 张牌同花色时 :

19 (6) 五张牌中含有 3 张且 3 张牌不同花色时 : (7) 五张牌中含有 4 张且 4 张牌同花色时 : (8) 五张牌中含有 4 张且构成 2 种花色时 : (9) 五张牌中含有 4 张且构成 3 种花色时 : (10) 五张牌中含有 4 张且构成 4 种花色时 : T15 A1 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10

20 类似方法求解换五张牌后剩下牌种的概率得如下 : 换牌后对应为高分对的情况 : A. 当换牌前含 J Q K A 中一张时的概率

21 换牌后为高分对的概率 B 当换牌前含 J Q K A 中二张时的概率 换牌后对应为高分对的概率 C 当换牌前含 J Q K A 中三张时的概率

22 换牌后对应为高分对的概率 D 当换牌前含 J Q K A 中四张时的概率 换牌后对应为高分对的概率 E 当换牌前不含 J Q K A 四张时的概率

23 T 15 换牌后对应为高分对的概率 换五张牌后同花顺的种类为 x, 顺子的种类有 y, 同花的种类有 z, 计算得 : y=7.9505x x=8

24 对应概率 3.3 玩家换牌后对应的总概率 :

25

26 计算的总概率如图所示 牌型 奖金 ( 元 ) 总概率 Q 同花大顺 e-006 同花顺 e-005 四张相同 满堂红 同花 顺子 三张相同 两对 一对高分对 其它 综合以上分析该对策模型的期望值为 : E=800Q1+50Q2+25Q3+8Q4+5Q5+4Q6+3Q7+2Q8+Q9 代入数据计算得 :E=0.8293

27 问题研讨 建模优化 对已给出的上述建模方式进行分析, 还有进一步优化的空间当某些情况下是不应该完全给出策略规律进行选择的 1. 同花大顺 同花顺 四张相同点数的牌 满堂红显然是不应该换牌的 2. 无奖金的杂牌任何情况下显然是应该换牌的 3 同花 : 若有 4 张是顺牌而且点数是 10,J,Q,K,A 五种里的其中 4 个点数的话我们可以尝试选择换其中一张不顺的牌 : (1) 如果刚好是 10,J,Q,K 这 4 种点数 (2) 如果是 10,J,Q,K,A 五种点数里除 10,J,Q,K 这种点数组合外的其他情况 :

28 问题分析 因为期望值在这种情况下有明显提高, 所以在这种情况下应该选则换一张的策略 模型评价 模型的优点 : (1) 在对问题的计算求解过程中, 针对抽奖获奖概率, 给出了对应牌型期望的一般性的结果方便大家了解该游戏的得失 (2) 再对原策略进行完善, 可使中奖期望值不断提高, 并对原结果进行比较, 得出最优方案 模型的不足 : 在换牌的策略中, 只考虑了期望大小的比较没有加入对换牌风险的分析计算过程简单但是繁琐

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