专题 第 10 卷 第 9 期 2014 年 9 月 人博弈 但通过一些扩展 比如 可能是 J 或 K 单纯地选择下注 手利用则关注于发现对手中 扩充牌堆和增加玩家数量 就可 将会带来不必要的损失 而坚持 的漏洞并给出针对性的 以 以很容易地将其变换为多人博弈 选择不下注也会放过赢得奖池的 便在博弈

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1 第 10 卷 第 9 期 2014 年 9 月 扑克游戏中的不完美信息博弈 胡裕靖 高 阳 南京大学 关键词 扑克游戏 博弈论 纳什均衡 扑克游戏与不完美 信息博弈 世界冠军卡斯帕罗夫 而扑克游 择跟注 (call) 或弃牌 (fold) 戏中目前还没有计算机程序能与 ⅰ 若 P1 选 择 跟 注 则 摊 牌 高水平选手一较高下 归结起来 并由点数高的玩家获得奖池 扑克游戏是生活中一种常见 求解不完美信息扩展式博弈的主 中的 $4 的娱乐游戏形式 它以简洁的规 要难点在于如何处理其隐含的信 则 丰富的玩法和结果的不确定 息 随机性以及多玩家的特性 性 受到各年龄段人群的喜爱 同围棋 象棋等游戏相比 扑克 为便于理解 本文以 Kuhn Poker 为例进行讨论 Kuhn Poker 游戏的最大特点是其信息的不完 是德州扑克 (Texas Hold em) 的一 全可见性 即每一位参与游戏的 种简化形式 其规则如下 玩家只能了解到整个游戏的部分 1. 两个玩家 编号分别为 P1 和 P2 信息 在博弈论和人工智能领域 中 扑 克 游 戏 是 一 类 重 要 的 研 究对象 它是不完美信息扩展式 博弈 (extensive-form game with imperfect information) 的一种具 [1] 体形式 所谓扩展式博弈 是 指博弈中玩家的决策是按顺序进 行的 与扑克游戏不同 围棋 象棋等游戏则属于完美信息扩展 式博弈 (extensive-form game with perfect information) 这两种博弈 虽然仅一字之差 但其求解难度 却相去甚远 以国际象棋为例 2. 一副牌仅包含 J,Q,K 三张牌 不考虑花色 ⅱ若 P1 选择弃牌 则直接由 P2 获得奖池中的 $3 B.若 P1 选择下注 则 P2 可选 择弃牌或跟注 a) 若 P2 选择弃牌 则直接由 P1 获得奖池中的 $3 b) 若 P2 选 择 跟 注 则 摊 牌 并由点数高的玩家获得奖池 中的 $4 在以上规则中 过牌可以理 3. 开局时 P1 和 P2 分别被随 解为不下注 跟注是指某个玩家 机分配到一张牌 而剩下一 在对方投下赌注后 也投下相同 张牌不会被公开 数量的赌注 弃牌则是某个玩家 4. P1 和 P2 各投下 1 美元盲注 (ante $1) 这时奖池 (pot) 中 共有 $2 5. 首先由 P1 决策 选择过牌 (check) 或下注 (bet $1) A.若 P1 选择过牌 则 P2 可选 择过牌或下注 直接认输 而此时不会摊牌 在 Kuhn Poker 中 隐含信息 对于每个玩家来说是指对方的底 牌 只有当所有玩家完成相应的 决策之后 才能对他们手中的牌 进行比较 这就要求玩家根据自 己的底牌非常谨慎地投注 Kuhn a) 若 P2 选 择 过 牌 则 摊 牌 Poker 的随机性则体现在其发牌 已经有很多能够与世界顶尖选手 并由点数高的玩家获得奖池 的过程中 玩家所得到的底牌可 一较高下的计算机程序 比如深 中的 $2 能 是 三 张 牌 中 的 任 意 一 张 尽 蓝 (Deep Blue) 打败了国际象棋 b) 若 P2 选择下注 则 P1 可选 管 Kuhn Poker 是相对简单的两 37

2 专题 第 10 卷 第 9 期 2014 年 9 月 人博弈 但通过一些扩展 比如 可能是 J 或 K 单纯地选择下注 手利用则关注于发现对手中 扩充牌堆和增加玩家数量 就可 将会带来不必要的损失 而坚持 的漏洞并给出针对性的 以 以很容易地将其变换为多人博弈 选择不下注也会放过赢得奖池的 便在博弈中获取更大的收益 的形式 为了表述更直观 可以 机会 在这种情况下 P1 较好的 将 Kuhn Poker 画成博弈树 (game 应当是分别以一定的概率选 择下注和不 Kuhn Poker <J,Q> 过牌 过牌 2 下注 发牌 <Q,K> 1 博弈终止 下注 弃牌 3 跟注 4 玩家2 跟注 图1 Kuhn Poker的博弈树 纳什均衡 是约翰 福布 略和混合策 斯 纳什于 1950 年在文章 n 人 略的概念 博弈中的均衡点 [2] 提出的 也 在不完 是博弈论中最基本的概念 简单 美信息扩展 来讲 纳什均衡是包含所有玩家 式 博 弈 中 策 略 的 策 略 组 在 这 个 策 略 组 某个玩家的 中 每个玩家的都是对其他 是一个 所有玩家的最佳反应 (best 从博弈状态 response) 对某个玩家来讲 针 到动作集的映射 即指定玩家在 对其他所有玩家的联合的最 点分别表示玩家 1 和玩家 2 的决 每个决策节点上执行什么动作 佳反应是指能够使该玩家的博弈 策节点 菱形节点表示发牌的过 当玩家的给每一个决策节点 收益最大化的 例如 在 剪 程 <J,Q> 表示分别将 J 和 Q 分 指定一个确定的动作时 我们称 刀石头布 游戏中 剪刀 的 配到玩家 1 和玩家 2 手中 三角 这样的为纯 相应的 最佳反应是 石头 石头 的 形节点表示博弈的终止节点 博 混合是指玩家的给每个 弈的结果在该节点上产生 决策节点指定一个动作集上的概 最佳反应是 布 表1 囚徒困境博弈中的纳什均 衡 图 1 所展现的博弈树对于博 率分布 即分别以一定的概率执 弈中的任意一方都不是完全可见 行各个动作 在不完美信息扩 的 每一个玩家所掌握的信息仅 展式博弈中 由于有不可知的隐 嫌犯B 嫌犯A 承认 否认 包含自己被分配的底牌和博弈过 含信息存在 采用混合往往 承认 (7,7) (0,10) 程中的决策序列 这也就要求玩 会取得更好的效果 否认 (10,0) (1,1) 家在博弈中必须仅仅依靠自己能 在扑克这一类博弈的 够观察到的信息和当前的决策序 研 究 中 核 心 的 技 术 问 题 是 由于扩展式博弈中的表 列来进行决策 计 算 有 效 的 博 弈 策 略 其 示相对复杂 所以用一个正则式 假设玩家 P1 分配到的牌为 中 关 键 性 问 题 主 要 是 均 博弈 (normal-form game) 来更加直 配到什么牌 P1 的牌都不可能大 ing) 和 对 手 利 用 (opponent 展示了著名的囚徒困境 (prison- 博弈的纳什均衡 (Nash equi- 中 嫌犯 A 和嫌犯 B 被分别审讯 J 在这种情况下 不管对方分 过对方 所以对 P1 来讲 最好 的选择是不下注 即选择过牌或 衡 计 算 (equilibrium comput- exploitation) 均衡计算是指计算 观地解释纳什均衡的概念 表 1 ers dilemma) 博弈 在这个博弈 弃牌 如果 P1 被分配到的牌是 Q librium) 它是所有玩家都处于绝 而他们的招供情况将共同决定他 对理性条件下的博弈最优解 对 们的刑期 这个博弈的纯纳 情况就复杂了 由于对方的底牌 38 纳什均衡 引出了纯策 玩家1 弃牌 tree) 图 1 中 正方形和圆形节 下 注 这 就 均衡计算

3 第 10 卷 第 9 期 2014 年 9 月 什均衡仅有一组 即 承认 玩家下注的大小是一个连续的数 承认 这是因为当嫌犯 A 选择 承认时 嫌犯 B 的最佳反应是选 值 因而 计算纳什均衡涉及在 巨大的状态空间和动作空间中的 择承认 反过来 当嫌犯 B 选择 搜索 其难度可想而知 选择承认 线性规划求解 承认时 嫌犯 A 的最佳反应也是 纳什均衡的计算 计算博弈的纳什均衡是 博弈论乃至计算理论中的最基本 法得到有效的实际应用 虚拟遗憾最小化 由于计算扑克这类大规模 博弈的精确纳什均衡的复杂度太 高 最近 10 年 相关的研究工 对于计算不完美信息扩展式 作开始转向求解更加容易计算的 博 弈 的 纳 什 均 衡 策 略 20 世 纪 近似纳什均衡 (approximate Nash 90 年代中期就有了一些开拓性的 工作 科勒 (Koller) 等人在 1996 equilibrium) 具有代表性的方法 之一是虚拟遗憾最小化 (counter- 问题之一 同时也是一个难题 年提出采用线性规划的方法来计 factual regret minimization)[5] 直 最近的研究表明 计算正则式博 观上 遗憾可以理解为 做了某 弈纳什均衡是 PPAD-complete 问 算 两人零和博弈 的纳什均衡 [4] 由于两人零和博弈的极 件事情之后 所得到的实际结果 题 其难度介于 P 和 NP 之间 大极小点就是纳什均衡 科 与最理想结果之间的差值 例 而对于扑克游戏这类不完美信息 勒等人巧妙地将博弈树转换为效 如 在 石头剪刀布 游戏中 扩展式博弈 计算纳什均衡的难 用矩阵和约束矩阵 并根据这两 如果 A 出 石头 B 出 布 度则更大 这主要体现在这类博 个矩阵建立了相应的优化目标和 那么 A 就输掉了游戏 这时 A 弈的表示更加复杂 且涉及 约束条件 利用线性规划的方法 可以回过头来想 如果我出 剪 [3] 刀 就好了 这种 A 出 剪刀 对随机事件和隐含信息的处理 求出相应的解 以图 1 中的 Kuhn Poker 为例 计 在科勒等人提出的方法中 所得到的理想结果与出 石头 算该博弈的纳什均衡要求 线性规划的问题规模与博弈树的 得到的实际结果之差就是遗憾 1. 玩 家 1 必 须 在 其 底 牌 为 大小呈线性关系 这使得博弈的 遗憾最小化是一种学习最优 纳什均衡能够在多项式时间 的方法 津克威赫 (Zinkevich) 等 内被计算出来 实验表明 目前 人将此概念引入到博弈均衡求解 J,Q,K 时 分别考虑其决策节点 1 和 4 上的动作概率分布 2. 玩 家 2 必 须 在 其 底 牌 为 J,Q,K 时 分别考虑其决策节点 2 和 3 上的动作概率分布 3. 由于发牌阶段的随机性和 对手底牌的未知性 玩家 1 和 2 最好的线 性规划求 解方法能 够求解叶 最多为 108 底牌的所有可能性 例如 玩家 级别的不 1 底牌为 Q 时 对手的底牌可能 完美信息 然而 计算不完美信息扩展 估值 扩展式博 效用值 遗憾值 计算 遗憾值 更新 收敛即停止 节点数量 需要在每个决策节点上考虑对手 是 J 也可能是 K 初始化 近似纳什 均衡 图2 虚拟遗憾最小化方法的过程 弈 然 而 式博弈的纳什均衡的最大挑战在 现实生活中大多数博弈的叶节点 中 提出了虚拟遗憾最小化方法 于通常具有很大的状态空间和动 数量都远远高于这个规模 也就 虚拟遗憾可以看作遗憾这个概念 作空间 例如 德州扑克中单个 是说 尽管科勒等人的方法具有 的具体形式 玩家的底牌有 1225 种可能 并且 多项式时间的复杂度 但它仍无 虚拟遗憾最小化方法的过程 39

4 专 题 第 10 卷 第 9 期 2014 年 9 月 大 致 可 以 概 括 为 图 2 中 的 4 个 步 骤 : 初 始 化 策 略 评 估 策 略 计 算 策 略 遗 憾 值 更 新 策 略 后 3 个 步 骤 是 反 复 迭 代 的 过 程, 其 大 致 思 想 是 : 对 策 略 进 行 评 估 之 后, 根 据 当 前 策 略 的 效 用 值 来 计 算 策 略 的 遗 憾, 然 后 再 对 策 略 中 产 生 遗 憾 的 地 方 进 行 改 进 经 过 反 复 迭 代 后, 虚 拟 遗 憾 最 小 化 方 法 最 终 可 以 输 出 博 弈 的 近 似 纳 什 均 衡 策 略 与 线 性 规 划 的 方 法 相 比, 虚 拟 遗 憾 最 小 化 方 法 能 够 求 解 叶 节 点 数 量 为 的 博 弈 的 均 衡 解, 其 计 算 能 力 提 高 了 倍 而 虚 拟 遗 憾 最 小 化 方 法 的 一 些 扩 展 工 作 ( 比 如 基 于 蒙 特 卡 洛 采 样 的 虚 拟 遗 憾 最 小 化 方 法 ) 则 能 够 胜 任 更 大 规 模 的 博 弈 均 衡 计 算 值 得 一 提 的 是, 本 节 中 所 介 绍 的 两 种 均 衡 计 算 方 法 都 是 针 对 两 人 零 和 的 不 完 美 信 息 扩 展 式 博 弈 所 提 出 的 就 目 前 而 言, 还 没 有 能 够 计 算 多 人 博 弈 均 衡 的 有 效 方 法 其 难 度 一 方 面 体 现 在 博 弈 的 规 模 会 变 得 更 大, 另 一 方 面 则 是 玩 家 之 间 的 关 系 变 得 更 加 复 杂 在 多 于 两 人 的 博 弈 中, 玩 家 之 间 不 再 是 简 单 的 竞 争 关 系 ( 比 如 斗 地 主 这 种 游 戏 ), 这 使 得 零 和 博 弈 中 一 些 可 以 简 化 均 衡 计 算 的 良 好 性 质 在 多 人 博 弈 中 不 复 存 在 对 手 利 用 纳 什 均 衡 刻 画 的 是 博 弈 各 方 都 处 于 绝 对 理 性 条 件 下 博 弈 的 稳 定 状 态, 并 要 求 每 一 个 玩 家 都 坚 持 相 应 的 策 略 而 不 改 变 然 而, 在 现 实 生 活 的 博 弈 中, 对 手 的 行 为 是 无 法 预 知 和 控 制 的 当 对 手 采 用 的 策 略 并 不 属 于 纳 什 均 衡 的 一 部 分 时, 单 方 面 采 用 纳 什 均 衡 进 行 博 弈 不 一 定 能 够 使 玩 家 收 益 最 大 化 在 Kuhn Poker 中, 如 果 玩 家 1 的 底 牌 是 J, 理 性 的 做 法 是 不 进 行 任 何 下 注 或 跟 注 ( 即 在 节 点 1 选 择 过 牌, 在 节 点 4 选 择 弃 牌 ) 假 设 玩 家 1 是 理 性 的, 那 么 玩 家 2 必 须 采 用 纳 什 均 衡 中 对 应 的 策 略 才 能 使 博 弈 收 益 最 大 化 但 假 如 玩 家 1 不 够 理 性, 他 在 底 牌 是 J 的 情 况 下 仍 然 疯 狂 下 注 ( 即 在 节 点 1 选 择 下 注, 在 节 点 4 选 择 跟 注 ), 那 么 玩 家 2 可 以 利 用 这 一 点, 将 博 弈 尽 可 能 地 引 向 下 注 较 多 的 情 形 ( 比 如 在 节 点 2 选 择 下 注, 引 导 玩 家 1 跟 注 ) 而 玩 家 2 的 这 种 非 纳 什 均 衡 策 略 反 而 会 使 其 获 得 比 纳 什 均 衡 更 高 的 收 益 在 博 弈 论 中, 这 种 发 现 对 手 非 理 性 的 行 为 并 采 取 反 制 措 施 的 过 程 被 称 作 对 手 利 用, 其 相 关 的 技 术 问 题 包 括 建 立 对 手 的 策 略 模 型 最 佳 反 应 的 计 算 安 全 利 用 等 对 手 建 模 能 够 对 对 手 策 略 中 的 漏 洞 进 行 利 用 的 前 提 是 要 了 解 对 手 的 策 略 然 而, 在 实 际 的 博 弈 中, 对 手 的 策 略 肯 定 是 未 知 的 这 就 要 求 我 们 必 须 通 过 博 弈 过 程 中 的 统 计 信 息, 学 习 对 手 的 策 略 模 型, 术 语 称 为 对 手 建 模 (opponent modeling) 比 较 容 易 想 到 的 对 手 建 模 方 法 是 维 护 一 个 对 手 策 略 的 经 验 模 型, 将 对 手 在 每 一 个 决 策 节 点 上 各 个 动 作 的 执 行 频 率 当 作 其 策 略 中 的 执 行 概 率 假 设 在 Kuhn Poker 中, 玩 家 1 已 经 观 察 到 玩 家 2 在 节 点 2 上 的 200 次 决 策 结 果 其 中, 玩 家 2 选 择 过 牌 和 下 注 的 次 数 分 别 为 50 和 150 那 么 按 照 上 述 方 法, 玩 家 1 将 认 为 玩 家 2 在 节 点 2 上 的 策 略 是 以 0.25 的 概 率 选 择 过 牌, 以 0.75 的 概 率 选 择 下 注 然 而, 简 单 的 方 法 未 必 行 之 有 效, 该 方 法 的 不 足 在 于 : 1. 它 必 须 建 立 在 大 量 观 察 的 基 础 之 上, 无 法 适 应 对 手 策 略 的 变 化, 而 现 实 生 活 中 的 博 弈 也 不 可 能 重 复 若 干 次 来 满 足 学 习 策 略 模 型 的 需 要 2. 该 方 法 无 法 防 止 被 对 手 欺 骗 狡 猾 的 玩 家 往 往 会 故 意 采 用 一 些 简 单 的 策 略 来 让 对 方 学 习, 然 后 突 然 改 变 其 博 弈 策 略, 让 人 猝 不 及 防 因 此, 在 利 用 对 手 的 同 时, 也 可 能 会 被 对 手 利 用 针 对 这 些 不 足, 相 关 研 究 者 提 出 了 一 些 更 加 精 确 的 对 手 建 模 方 法 其 基 本 思 想 是 在 对 手 建 模 中 引 入 纳 什 均 衡, 并 在 均 衡 策 略 的 使 用 与 对 手 建 模 之 间 找 到 一 个 折 中 点 约 翰 逊 (Johanson) 等 人 基 于 这 个 思 路, 分 别 在 2007 年 和 2009 年 提 出 了 两 种 类 似 的 对 手 建 模 方 法 [6,7] 其 精 髓 在 于 用 一 个 概 率 p 描 述 经 验 模 型 就 是 对 手 的 实 际 策 略 的 置 信 度, 如 图 3 所 示 40

5 第 10 卷 第 9 期 2014 年 9 月 当 p 0 时 代表完全无法 DBBR(Deviation-Based Best Re- 程中送上了礼物 指我方获得了 信任所观察到的经验模型 sponse) 该方法首先假设对手 超过当前期望的效用值 那么 这时将假设对手使用的是纳 使用的是纳什均衡 然后根 我方可以利用这个礼物来进行有 什均衡 据博弈过程中所观察到的对手行 限 次 数 的 冒 险 即 使 用 针 对 对 当 p 1 时 可以百分百确 为快速地修正模型 由于调 手的最佳反应来进行博弈 信所观察到的经验模型等同 整的幅度是有限的 所以 DBBR 以获取更多的效用值 如图 4 所 于对手实际的 所建立的对手模型不会完全 示 这些算法在博弈过程中会 当 0 p 1 时 对手 偏离纳什均衡 这也使得该 不断地在纳什均衡与最佳反应 模型将被看作纳什均衡与经 方法最终计算出的对策具有一定 之间进行切换 如果当前的收 验模型的混合体 的战略性 益低于预期的安全收益 就采 与之相应 我们的对策也就 是关于这个对手模型的最佳 [8] 对手利用的安全性 用 安 全 的 策 略 即 纳 什 均 衡 进行博弈 如果当前收益超过 反应 它能够在一定程度上 上述对手建模方法虽然可以 安全收益 则说明不使用纳什 利用对手中的弱点 同时又 有效避免欺骗问题 但由于它们 均衡也是安全的 可以使用针 能借助纳什均衡的理性假设减小 在一定程度上偏离了纳什均衡策 对对手模型的最佳反应来 被对手欺骗的几率 略 所以也存在被对手反过来利 进行博弈 用 的 可 能 性 这就引出了一 p =1 经验模型 个有趣的问题 对手 模型 纳什均衡 p =0 最佳反应计算 混合模型 我方的对策 0<p <1 图3 约翰逊等人所使用的对手建模方法示意图 大于安全阈值 采用纳什 均衡 小于安全阈值 是否存在一种 扑克这类不完美信息扩展 博 弈 方 式 使 式博弈以其随机性 信息不完全 得在利用对手 可见性 博弈规模大等特征 成 的 同 时 保 证 为博弈论和人工智能领域的重 不会被对手所 要研究对象 同时 扑克也为这 利 用 这 也 是 些研究提供了良好的实验和应用 所 谓 的 安 全 平台 最近 10 年 有关不完美 利 用 (safe op- ponent exploita- 采用最佳 反应 tion) 问题 针对这个 算 对手利用等方面取得了丰硕 的成果 然而 这仅仅是一个开 始 还有更多的问题亟待解决 例如 如何计算多于两人博弈的 里德与桑道姆 均衡解 如何处理多人博弈中玩 给出了肯定的 家之间复杂的利益关系 可以确 答 案 并 提 出 信的是 这一研究领域正处于蓬 了多个能够安全地利用对手 勃发展的阶段 并在可预见的未 大于安全阈值 图4 安全利用算法示意图 的 思 想 甘 兹 弗 里 德 (Ganz- 信息扩展式博弈的研究在均衡计 问 题 甘 兹 弗 小于安全阈值 同样是基于偏离纳什均衡 结语 [9] 弱点的算法 主要思想是 在 来继续发展壮大 或许在不久之 fried) 与 桑 道 姆 (Sandholm) 提 我方使用纳什均衡进行博弈 后 扑克游戏中的计算机程序也 出了另一种对手建模的方法 的情况下 如果对手在博弈的过 将战胜人类 41

6 专题 第 10 卷 第 9 期 2014 年 9 月 CCF 14位专家莅临青海大学研讨学科建设 7 月 11~12 日 CCF 常务理事 中科院计算所所长孙凝晖等 14 位专家莅临青海大学 参加青海 大学计算机学科建设研讨会 青海大学校长王光谦 书记俞红贤主持研讨会 计算机系主任史元春教 授作了题为 青海大学计算机系学科建设规划 的报告 青海大学计算机系在清华大学对口支援下于 2007 年成立 目前仅有本科教育 2013 年 4 月起 CCF 常务理事 清华大学教授史元春兼任该系主任 重点开展学科建设 该系今年申报的计算机技术 专业硕士点日前已得到教育部批复 标志着该系发展进入一个新的阶段 研讨会上 与会领导和专家讨论热烈 充分肯定了计算机系结合青海大学科研需求 面向西部信 息化建设和人才需要提出的建设目标和三个重点建设的学科方向 会议期间 与会专家还为该系全体 师生作了学术报告 包括 CCF 常务理事 华中科技大学金海教授的 云安全的挑战 CCF 常务理事 北京邮电大学马华东教授的 物联网专业国际化人才培养的思考与实践 CCF 高级会员 香港大学 王卓立教授的 面向大数据, 云计算平台建设的新视角与新技术 孙凝晖的 计算机为什么越来越快 CCF 杰出会员 国防科学技术大学肖侬教授的 高性能计算中心的发展 CCF 常务理事 山东大学 陈宝权教授的 城市计算 CCF 理事 兰州大学胡斌教授的 非侵入式 可适应性脑机接口 以及 CCF 杰出会员 清华大学杨士强教授的 高校青年教师成长之路 专家们的报告高屋建瓴 从实践出发又兼具前瞻性 与会师生深受裨益 胡裕靖 南京大学博士生 主要研究方向为强 化学习和博弈论 h u y u j i n g.y u j i n g. hu@gmail.com 高 阳 C C F高级会员 南 京大学教授 主要 研究方向为机器学 习和人工智能 gaoy@nju.edu.cn 参考文献 [1] Osborne M., and Rubinstein A. A course in game theory. Cambridge: MIT Press [2] Nash John. Equilibrium points in n-person games. Proceedings of the National Academy of Sciences,1950,36(1):48~ [3] Daskalakis C., Goldberg P., a n d P a p a d i m i t r i o u C.. T h e Complexity of Computing a Nash Equilibrium. SIAM Journal o n C o m p u t i n g, 2008,39(1): 195~259. [4] Koller D., Megiddo N., and von Stengel B. Efficient Computation of Equilibria for Extensive TwoP e r s o n G a m e s. G a m e s a n d Economic Behavior,1996,14(2): 247~259. [5] Zinkevich M., Johanson M., Bowling M., and et al.. Regret minimization in games with i n c o m p l e t e i n f o r m a t i o n. Advances in Neural Information P r o c e s s i n g S y s t e m s, 2008, 20:1729~1736. [6] M.Johanson and M.Bowling. Data biased robust counter strategies. Proceedings of the 12th International Conference on Artificial Intelligence a n d S t a t i s t i c s (A I S TAT S), 2009,264~271. [7] M. Johanson, M. Zinkevich, and M. Bowling. Computing robust counter-strategies. Advances in Neural Information Processing Systems, 2007, 20:721~728. [8] Ganzfried S., and Sandholm T. Game theory-based opponent modeling in large imperfectinformation games. Proceedings o f t h e 10t h I n t e r n a t i o n a l Conference on Autonomous Agents and Mutli-Agent Systems (AAMAS), 2011,533~540. [9] S. Ganzfried and T. Sandholm. Safe opponent exploitation. Proceedings of the 13th ACM Conference on Electronic Commerce (ACM-EC), 2012, 587~604.

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