試題詳解與分析第壹部分 : 選擇題 ( 單選題多選題及選填題共占 76 分 ) 一單選題 (1 分 ) 說明.. 第 1 題至第題, 每題 5 個選項, 其中只有 1 個是正確的選項, 畫記在答案卡解答

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舰晋灶吴
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1 100 年數學乙考科指考試題關鍵解析前言民國 98 年起, 數學乙考科測驗範圍限縮了大部分, 僅觸及大學管理學院與商學院所用的部分, 排列組合與機率統計搖身一變成出題的主角, 但題目平易重觀念今年的數學乙試題如往年, 重視基本觀念, 計算簡單, 試題內容都是高中教材重要的概念下表是數學乙試題因應九五課綱, 九十八年宣佈的指定科目數學乙測驗內容各冊分配情形 : 冊別單元名稱題型單選題多選題選填題非選擇題第一多項式 A 8 冊第二指數與對數 5 8 冊第排列組合 6 四機率與統計 ( I ) 冊 1 3, 4, 6 B 38 選機率與統計 (II) 1 6 修矩陣 C 二 0 (I) 不等式 D 一 0 註 : 選填題 C 用坐標觀念解之更便利配分數學乙考科 1

綱, 九十八年宣佈的指定科目數學乙測驗內容各冊分配情形 : 冊別單元名稱題型單選題多選題選填題非選擇題第一多項式 A 8 冊第二指數與對數 5 8 冊第排列

2 試題詳解與分析第壹部分 : 選擇題 ( 單選題多選題及選填題共占 76 分 ) 一單選題 (1 分 ) 說明.. 第 1 題至第題, 每題 5 個選項, 其中只有 1 個是正確的選項, 畫記在答案卡解答欄各題答對得 6 分, 未作答答錯或畫記多於 1 個選項者, 該題以零分計算 1. 符號 P (C) 代表事件 C 發生的機率, 符號 P ( C D ) 代表在事件 D 發生的條件下, 事件 C 發生的機率今設 A, B 為樣本空間中的兩個事件, 已知 P ( A )=P ( B )=0.6 請選出正確的選項 (1) P ( A B )=1 () P ( A B )=0. (3) P ( A B )=1 (4) P ( A B )=P ( B A ) (5) A, B 是獨立事件答案 (4) 概念中心機率的性質條件機率命題出處南一版數學第四冊 3- 機率的性質選修數學 (I)1-1 條件機率獨立事件與貝氏定理試題解析 A, B 為樣本空間 S 的個事件 A B 不一定是 S P ( A B ), P ( A B ) 不能求 (4) P ( A B )= P ( A B ) P (B) = P ( A B ) P (A). 如圖, 平面上五個大小相同的圓圈用四根長度相同的線段連接 =P ( B A ), 故選 (4) 成十字形, 其中任意兩相鄰線段均互相垂直今欲將其中兩個圓圈著上藍色, 其他圓圈著上紅色, 並規定在著好色之後將圖形繞十字形的中心旋轉產生的各種著色法均視為同一種, 試問共有幾種著色法? (1) 3 () 6 (3) 10 (4) 0 (5) 3 答案 (1) 概念中心環狀排列命題出處南一版數學第四冊 -3 排列試題解析兩個圓圈著藍色三個圓圈著紅色 : 若中央著紅色 : 若中央著藍色 : 共有 3 種著色法, 故選 (1) 100 年指考試題關鍵解析

符號 P (C) 代表事件 C 發生的機率, 符號 P ( C D ) 代表在事件 D 發生的條件下, 事件 C 發生的機率今設 A, B 為樣本空間中的兩個事件, 已知 P ( A )=P ( B )=0.6 請選出正確的選項 (1) P ( A B )=1 () P ( A B )=0.

3 二多選題 (3 分 ) 說明.. 第 3 題至第 6 題, 每題有 4 個選項, 其中至少有 1 個是正確的選項, 選出正確選項, 畫記在答案卡解答欄各題之選項獨立判定所有選項均答對者, 得 8 分 ; 答錯 1 個選項者, 得 4 分 ; 所有選項均未作答或答錯多於 1 個選項者, 該題以零分計算 3. 某種疾病有甲乙丙三種檢測方法若受檢者檢測反應為陽性, 以符號 + 表示, 反之則記為 - 一個受檢者接受三種檢測方法呈現之結果共有 A 1,, A 8 八種不同的可能情況, 例如事件 A 1 表示該受檢者以三種方法檢測反應皆為陽性, 其餘類推 ( 如下表 ): A 1 A A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 方法甲方法乙方法丙以 P ( A 1 ),, P ( A 8 ) 分別代表事件 A 1,, A 8 發生之機率請問下列哪些選項是正確的? (1) P ( A 1 A )=P ( A 1 )+P ( A ) () 以方法乙檢測結果為陽性的機率是 P ( A 1 )+P ( A )+P ( A 4 )+P ( A 6 ) (3) 以方法甲與方法乙檢測, 結果一致的機率是 P ( A 1 )+P ( A ) (4) 以方法甲乙丙檢測, 結果一致的機率是 P ( A 1 ) 答案 (1)() 概念中心機率的性質命題出處南一版數學第四冊 3- 機率的性質試題解析八種可能的情況是互斥 (1) P ( A 1 A )=P ( A 1 )+P ( A )-P ( A 1 A ) =P ( A 1 )+P ( A ) () 方法乙 P ( 受檢者結果為陽性 )=P ( A 1 A A 4 A 6 ) (3) 方法甲方法乙 =P ( A 1 )+P ( A )+P ( A 4 )+P ( A 6 ) P ( 受檢者結果一致 )=P ( A 1 A A 7 A 8 ) =P ( A 1 )+P ( A )+P ( A 7 )+P ( A 8 ) (4) 方法甲方法乙方法丙 P ( 受檢者結果一致 )=P ( A 1 A 8 ) 故選 (1)() =P ( A 1 )+P ( A 8 ) 數學乙考科 3

4 4. 某訓練班招收 100 名學員, 以報到先後順序賦予 1 到 100 號的學號開訓一個月之後, 班主任計畫從 100 位學員中抽出 50 位來參加時事測驗他擬定了四個抽籤方案 : 方案一 : 在 1 到 50 號中, 隨機抽出 5 位學員 ; 同時在 51 到 100 號中, 也隨機抽出 5 位學員, 共 50 位學員參加測驗方案二 : 在 1 到 60 號中, 隨機抽出 3 位學員 ; 同時在 61 到 100 號中, 也隨機抽出 18 位學員, 共 50 位學員參加測驗方案三 : 將 100 位學員平均分成 50 組 ; 在每組人中, 隨機抽出 1 人, 共 50 位學員參加測驗方案四 : 擲一粒公正的骰子 : 如果出現的點數是偶數, 則由學號是偶數的學員參加測驗 ; 反之, 則由學號是奇數的學員參加測驗請選出正確的選項 (1) 方案一中, 每位學員被抽中的機率相等 () 方案二中, 每位學員被抽中的機率相等 (3) 方案三中, 每位學員被抽中的機率相等 (4) 方案四中, 每位學員被抽中的機率相等答案 (1)(3)(4) 概念中心機率的定義命題出處南一版數學第四冊 3- 機率的性質 C 1 1.C 49 4 試題解析 (1) 1~50: 每位學員被抽中的機率為 C 50 = = 1 C 1 1.C ~100: 每位學員被抽中的機率為 C 50 = = 1 C 1 1.C () 1~60: 每位學員被抽中的機率為 C 60 = = 8 15 C 1 1.C ~100: 每位學員被抽中的機率為 C 40 = = 9 0 (3) 每組人, 隨機抽出 1 人, 每位學員被抽中的機率均為 C 1 1 C 1 = 1 (4) 學號是偶數的學員被抽中的機率為 C 3 1 C 6 1 = 1, 學號是奇數的學員被抽中的機率為故選 (1)(3)(4) C 3 1 C 6 1 = 1 5. 設 (π, r ) 為函數 y=log x 圖形上之一點, 其中 π 為圓周率,r 為一實數請問下列哪些選項是正確的? (1) ( r,π) 為函數 y= x 圖形上之一點 1 () ( -r,π) 為函數 y=( ) x 圖形上之一點 1 (3) ( π, r ) 為函數 y=log 1 / x 圖形上之一點 (4) ( r, π) 為函數 y=4 x 圖形上之一點年指考試題關鍵解析

人, 共 50 位學員參加測驗方案四 : 擲一粒公正的骰子 : 如果出現的點數是偶數, 則由學號是偶數的學員參加測驗 ; 反之, 則由學號是奇數的學員參加測驗請選出正確的選項 (1) 方案一中, 每位學員被抽中的機率相等 () 方案二中, 每

5 答案 (1)()(3) 概念中心指數與對數的互換性質的應用命題出處南一版數學第二冊 1-1 指數 1-3 對數試題解析點 (π, r ) 是 y=log x 圖形上的一點 log π=r r =π π=( 1 )-r log 1 π=-r log 1 1 π =r (4) 4 r = r =( r ) =π 點 ( r, π) 不在 y=4 x 圖形上故選 (1)()(3) 6. 某校數學複習考有 400 位同學參加, 評分後校方將此 400 位同學依總分由高到低排序 : 前 100 人為 A 組, 次 100 人為 B 組, 再次 100 人為 C 組, 最後 100 人為 D 組校方進一步逐題分析同學答題情形, 將各組在填充第一題 ( 考排列組合 ) 和填充第二題 ( 考空間概念 ) 的答對率列表如下 : A 組 B 組 C 組 D 組第一題答對率 100% 80% 70% 0% 第二題答對率 100% 80% 30% 0% 請選出正確的選項 (1) 第一題答錯的同學, 不可能屬於 B 組 () 從第二題答錯的同學中隨機抽出一人, 此人屬於 B 組的機率大於 0.5 (3) 全體同學第一題的答對率比全體同學第二題的答對率高 15% (4) 從 C 組同學中隨機抽出一人, 此人第一二題都答對的機率不可能大於 0.3 答案 (3)(4) 概念中心機率的性質條件機率命題出處南一版選修數學 (I)1-1 條件機率獨立事件與貝氏定理數學第四冊 3- 機率的性質試題解析 (1) 第一題答錯者, 不可能屬於 A 組, 其他組都有可能 () 第二題答錯 B:0 人,C:70 人,D:100 人, 共 190 人任抽 1 人, 屬於 B 組的機率為 (3) 全體同學第一題的答對率 = 第二題的答對率 = (4) C 組 = 19 <0.5 = 7 40 =67.5% = 1 40 =5.5% 對於事件 A, B, 得 P ( A B ) P ( A ), P ( A B ) P ( B ) P ( 第一二題都答對 ) 不大於 P ( 第一題答對 ) P ( 第二題答對 ) P ( 第一二題都答對 ) 0.3 故選 (3)(4) 數學乙考科 5

某校數學複習考有 400 位同學參加, 評分後校方將此 400 位同學依總分由高到低排序 : 前 100 人為 A 組, 次 100 人為 B 組, 再次 100 人為 C 組, 最後 100 人為 D 組校方進一步逐題分析同學答題情形, 將各組在填充第一題 ( 考排列組合

6 三選填題 ( 分 ) 說明.. 第 A 至第 D 題為選填題, 請在答案卡的解答欄之列號 ( 7-15 ) 中標示答案每一題完全答對得 8 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 設 f (x)=x 5 -x 3 +x -x-4,g (x)=x 4 +x 3 +x +3x+,h (x) 為 f (x) 與 g (x) 的最高公因式且最高次項係數為 1, 則 h (1) 與 h () 的乘積為 7 8 答案 48 概念中心求最高公因式命題出處南一版數學第一冊 3-3 最高公因式與最低公倍式試題解析利用輾轉相除法 h (x)=x 3 +x+ h (1).h ()=4.1=48 B. 為講解信賴區間與信心水準, 數學老師請全班 40 位同學使用老師提供的亂數表模擬投擲均勻銅板 16 次模擬的過程如下 : 隨機指定給每位同學亂數表的某一列, 該列從左到右有 16 個數字 ; 如果數字為 0, 1,, 3, 4 時, 對應投擲銅板得到正面 ; 而數字為 5, 6, 7, 8,9 時, 對應投擲得到反面某同學拿到的一列數字依序為 : 該同學計算銅板出現正面的機率在 95% 信心水準下的信賴區間 : p - p ( 1-p ) n, p + p ( 1-p ) n 則該同學所得到的結果中, p ( 1-p ) n = ( 化為最簡根式 ) 答案概念中心信賴區間命題出處南一版數學第四冊 3-6 信賴區間與信心水準解讀試題解析該同學計算銅板出現正面 9 次反面 7 次, 出現正面 :p = 9 16 p ( 1-p ) n = = 年指考試題關鍵解析

公倍式試題解析利用輾轉相除法 1-1 1+0-1+--4 1+1+1+3+ -1-1 1+1+1+3+ -1--1-4-4-1-1-1-3-1+0+1+ 1+0+1+ 1+0+1+ -1+0-1- 0 h (x)=x 3 +x+ h (1).h ()=4.1=48 B.

7 C. 坐標平面上有一面積為 40 的凸四邊形, 其四個頂點的坐標按逆時針方向依序為 ( 0, 0 ) ( 4, ) ( x, x ) 及 (, 6 ), 則 x= 11 1 答案 10 概念中心面積與二階行列式命題出處南一版選修數學 (I)-4 行列式數學第三冊 -6 一次方程組試題解析作簡圖如右, 凸四邊形的面積 40=( OPC )+( 梯形 PQBC )+( 梯形 QRAB )-( ORA ) = 1 x ( x- )+ +x ( 4-x ) =4x x=10 另法 OA=( 4, ),OC=(, 6 ), AB =( x-4, x- ), AC =(-, 4 ) 凸四邊形的面積 40=( OAC )+( ABC ) = x-4 x- - 4 =10+ x-5 x-5=±15 x=10 或 x=-5 ( 不合 ) 註 : 可用三階行列式求之 D. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上由點 A ( 0, 30 ) B ( 18, 7 ) C ( 0, 0 ) D (, 3 ) 所圍成的平行四邊形及其內部已知目標函數 ax+by ( 其中 a, b 為常數 ) 在 D 點有最小值 48, 則此目標函數在同個可行解區域的最大值為答案 43 概念中心線性規劃命題出處南一版選修數學 (I)3-3 線性規劃試題解析頂點 A ( 0, 30 ) B ( 18, 7 ) C ( 0, 0 ) D (, 3 ) ax+by 30b 18a+7b 0a a+3b 由題意 :a+3b=48 30b a+3b 又 18a+7b a+3b 0a a+3b a 7b,a+3b 0,6a b ( 18a+7b )-30b=18a-3b=3 ( 6a-b ) 0, ( 18a+7b )-0a=7b-a 0 最大值為 18a+7b=9 ( a+3b )=9 48=43 數學乙考科 7

=( OPC )+( 梯形 PQBC )+( 梯形 QRAB )-( ORA ) = 1 x+6..6+ ( x- )+ +x ( 4-

8 第貳部分 : 非選擇題 ( 占 4 分 ) 說明.. 本大題共有二題計算證明題, 答案務必寫在答案卷上, 並於題號欄標明題號 ( 一二 ) 與子題號 ( (1) () ), 同時必須寫出演算過程或理由, 否則將予扣分務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫, 且不得使用鉛筆每題配分標於題末 1. 設 a, b 為實數已知坐標平面上滿足聯立不等式 x+y 0 x+y 6 x-y 0 y ax-b 的區域是一個菱形 (1) 試求此菱形之邊長 ( 4 分 ) () 試求 a, b ( 8 分 ) 答案 (1) 5 ;() a=,b=3 10 概念中心二元一次不等式命題出處南一版選修數學 (I)3- 條件不等式試題解析菱形的對邊平行四邊等長 (1) x-y=0 與 y=ax-b 平行 a= () 作圖如右, 又 y ax-b, 即 x-y-b 0 由右圖知 x-y-b 0 含有 ( 0, 0 ) b>0 x+y=0 x-y-b=0 交點 B ( OA = OB b 3, - b 3 ) +4 = ( b 3 ) +( - b 3 ) b =90 b=3 10 得 (1) 菱形之邊長 = OA = 0 = 5 () a=,b= 年指考試題關鍵解析

9 . 設 A= a b c d 為二階實係數方陣 (1) 當 A 為轉移矩陣時, 試敘述實數 a b c d 須滿足的條件 ( 6 分 ) () 試證 : 當 A 為轉移矩陣時,A 也是轉移矩陣 ( 式中 A 代表 A 與 A 的乘積 ) ( 6 分 ) 答案見解析概念中心轉移矩陣命題出處南一版選修數學 (I)- 矩陣的乘法及其意義試題解析 (1) a b c d 為轉移矩陣 1 0 a, b, c, d 1 a+c=1,b+d=1 () A 為轉移矩陣時,a, b, c, d 滿足 (1) 之條件 A = a b c d a b c d = a +bc ab+bd ca+dc cb+d ( a +bc )+( ca+dc )=a ( a+c )+( b+d ) c=a+c=1 ( ab+bd )+( cb+d )=( a+c ) b+( b+d ) d=b+d=1 又 a +bc 0, ca+dc 0 0 a +bc 1, 0 ca+dc 1 ab+bd 0, cb+d 0 0 ab+bd 1, 0 cb+d 1 A 也是轉移矩陣結論指考科目數學考科的測驗目標 : 除了概念性知識程序性知識及解決問題的能力外, 也著重解決問題中閱讀表達連結以及推理分析論證的能力今年, 數學乙考了一題有關轉移矩陣的證明, 很多人大感意外因為很多同學, 以致於任教的老師常忽視數學乙也要加強分析與論證簡易的證明不可偏廢, 老師要提醒同學平日著重觀念的建立, 試題分析的加強, 耐性地閱讀, 了解題目的內涵, 這樣才能幫助解題順利數學乙考科 9

)=a ( a+c )+( b+d ) c=a+c=1 ( ab+bd )+( cb+d )=( a+c ) b+( b+d ) d=b+d=1 又 a +bc 0, ca+dc 0 0 a +bc 1, 0 ca+dc 1 ab+bd 0, cb+d 0 0 ab+bd 1, 0 cb+d 1 A 也是轉移矩陣結論指考科目數學考科的測驗目標 : 除了

6-1-1極限的概念

6-1-1極限的概念選修數學 (I-4 多項式函數的極限與導數 - 導數與切線斜率定義. f ( 在的導數 : f ( h 對實函數 f ( 若極限存在 h h 則稱 f ( 在點可微分而此極限值稱為 f ( 在的導數以 f ( 表示 f ( f ( 函數 f ( 在的導數也可以表成 f ( 註 : 為了

試 題 詳 解 與 分 析 第 壹 部 分 : 選 擇 題 ( 單 選 題 多 選 題 及 選 填 題 共 占 76 分 ) 一 單 選 題 (1 分 ) 說 明.. 第 1 題 至 第 題, 每 題 5 個 選 項, 其 中 只 有 1 個 是 正 確 的 選 項, 畫 記 在 答 案 卡 解 答

試題詳解與分析第壹部分 : 選擇題 ( 單選題多選題及選填題共占 76 分 ) 一單選題 (1 分 ) 說明.. 第 1 題至第題, 每題 5 個選項, 其中只有 1 個是正確的選項, 畫記在答案卡解答