微积分发展简史.doc

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1 微 积 分 发 展 简 史 一 微 积 分 思 想 萌 芽 微 积 分 的 思 想 萌 芽, 部 分 可 以 追 溯 到 古 代 在 古 代 希 腊 中 国 和 印 度 数 学 家 的 著 作 中, 已 不 乏 用 朴 素 的 极 限 思 想, 即 无 穷 小 过 程 计 算 特 别 形 状 的 面 积 体 积 和 曲 线 长 的 例 子 在 中 国, 公 元 前 5 世 纪, 战 国 时 期 名 家 的 代 表 作 庄 子 天 下 篇 中 记 载 了 惠 施 的 一 段 话 : 一 尺 之 棰, 日 取 其 半, 万 世 不 竭, 是 我 国 较 早 出 现 的 极 限 思 想 但 把 极 限 思 想 运 用 于 实 践, 即 利 用 极 限 思 想 解 决 实 际 问 题 的 典 范 却 是 魏 晋 时 期 的 数 学 家 刘 徽 他 的 割 圆 术 开 创 了 圆 周 率 研 究 的 新 纪 元 刘 徽 首 先 考 虑 圆 内 接 正 六 边 形 面 积, 接 着 是 正 十 二 边 形 面 积, 然 后 依 次 加 倍 边 数, 则 正 多 边 形 面 积 愈 来 愈 接 近 圆 面 积 用 他 的 话 说, 就 是 : 割 之 弥 细, 所 失 弥 少 割 之 又 割, 以 至 于 不 可 割, 则 与 圆 合 体, 而 无 所 失 矣 按 照 这 种 思 想, 他 从 圆 的 内 接 正 六 边 形 面 积 一 直 算 到 内 接 正 192 边 形 面 积, 得 到 圆 周 率 的 近 似 值 3.14 大 约 两 个 世 纪 之 后, 南 北 朝 时 期 的 著 名 科 学 家 祖 冲 之 ( 公 元 年 ) 祖 恒 父 子 推 进 和 发 展 了 刘 徽 的 数 学 思 想, 首 先 算 出 了 圆 周 率 介 于 与 之 间, 这 是 我 国 古 代 最 伟 大 的 成 就 之 一 其 次 明 确 提 出 了 下 面 的 原 理 : 幂 势 既 同, 则 积 不 容 异 我 们 称 之 为 祖 氏 原 理, 即 西 方 所 谓 的 卡 瓦 列 利 原 理 并 应 用 该 原 理 成 功 地 解 决 了 刘 徽 未 能 解 决 的 球 体 积 问 题 欧 洲 古 希 腊 时 期 也 有 极 限 思 想, 并 用 极 限 方 法 解 决 了 许 多 实 际 问 题 较 为 重 要 的 当 数 安 提 芬 (Antiphon,B.C420 年 左 右 ) 的 穷 竭 法 他 在 研 究 化 圆 为 方 问 题 时, 提 出 用 圆 内 接 正 多 边 形 的 面 积 穷 竭 圆 面 积, 从 而 求 出 圆 面 积 但 他 的 方 法 并 没 有 被 数 学 家 们 所 接 受 后 来, 安 提 芬 的 穷 竭 法 在 欧 多 克 斯 (Eudoxus,B.C409 -B.C356) 那 里 得 到 补 充 和 完 善 之 后, 阿 基 米 德 (Archimedes,B.C287-B.C212) 借 助 于 穷 竭 法 解 决 了 一 系 列 几 何 图 形 的 面 积 体 积 计 算 问 题 他 的 方 法 通 常 被 称 为 平 衡 法, 实 质 上 是 一 种 原 始 的 积 分 法 他 将 需 要 求 积 的 量 分 成 许 多 微 小 单 元, 再 利 用 另 一 组 容 易 计 算 总 和 的 微 小 单 元 来 进 行 比 较 但 他 的 两 组 微 小 单 元 的 比 较 是 借 助 于 力 学 上 的 杠 杆 平 衡 原 理 来 实 现 的 平 衡 法 体 现 了 近 代 积 分 法 的 基 本 思 想, 是 定 积 分 概 念 的 雏 形 与 积 分 学 相 比, 微 分 学 研 究 的 例 子 相 对 少 多 了 刺 激 微 分 学 发 展 的 主 要 科 学 问 题 是 求 曲 线 的 切 线 求 瞬 时 变 化 率 以 及 求 函 数 的 极 大 值 极 小 值 等 问 题 阿 基 米 德 阿 波 罗 尼 奥 斯 (Apollonius, c.bc262-c.bc190) 等 均 曾 作 过 尝 试, 但 他 们 都 是 基 于 静 态 的 观 点 古 代 与 中 世 纪 的 中 国 学 者 在 天 文 历 法 研 究 中 也 曾 涉 及 到 天 体 运 动 的 不 均 匀 性 及 有 关 的 极 大 极 小 值 问 题, 但 多 以 惯 用 的 数 值 手 段 ( 即 有 限 差 分 计 算 ) 来 处 理, 从 而 回 避 了 连 续 变 化 率 二 十 七 世 纪 微 积 分 的 酝 酿 微 积 分 思 想 真 正 的 迅 速 发 展 与 成 熟 是 在 16 世 纪 以 后 1400 年 至 1600 年 的 欧 洲 文 艺 复 兴, 使 得 整 个 欧 洲 全 面 觉 醒 一 方 面, 社 会 生 产 力 迅 速 提 高, 科 学 和 技 术 得 到 迅 猛 发 展 ; 另 一 方 面, 社 会 需 求 的 急 需 增 长, 也 为 科 学 研 究 提 出 了 大 量 的 问 题 这 一 时 期, 对 运 动 与 变 化 的 研 究 已 变 成 自 然 科 学 的 中 心 问 题, 以 常 量 为 主 要 研 究 对 象 的 古 典 数 学 已 不 能 满 足 要 求, 科 学 家 们 开 始 由 对 以 常 量 为 主 要 研 究

2 对 象 的 研 究 转 移 到 以 变 量 为 主 要 研 究 对 象 的 研 究 上 来, 自 然 科 学 开 始 迈 入 综 合 与 突 破 的 阶 段 微 积 分 的 创 立, 首 先 是 为 了 处 理 十 七 世 纪 的 一 系 列 主 要 的 科 学 问 题 有 四 种 主 要 类 型 的 科 学 问 题 : 第 一 类 是, 已 知 物 体 的 移 动 的 距 离 表 为 时 间 的 函 数 的 公 式, 求 物 体 在 任 意 时 刻 的 速 度 和 加 速 度 使 瞬 时 变 化 率 问 题 的 研 究 成 为 当 务 之 急 ; 第 二 类 是, 望 远 镜 的 光 程 设 计 使 得 求 曲 线 的 切 线 问 题 变 得 不 可 回 避 ; 第 三 类 是, 确 定 炮 弹 的 最 大 射 程 以 及 求 行 星 离 开 太 阳 的 最 远 和 最 近 距 离 等 涉 及 的 函 数 极 大 值 极 小 值 问 题 也 急 待 解 决 ; 第 四 类 问 题 是 求 行 星 沿 轨 道 运 动 的 路 程 行 星 矢 径 扫 过 的 面 积 以 及 物 体 重 心 与 引 力 等, 又 使 面 积 体 积 曲 线 长 重 心 和 引 力 等 微 积 分 基 本 问 题 的 计 算 被 重 新 研 究 在 17 世 纪 上 半 叶, 几 乎 所 有 的 科 学 大 师 都 致 力 于 寻 求 解 决 这 些 问 题 的 数 学 工 具 这 里 我 们 只 简 单 介 绍 在 微 积 分 酝 酿 阶 段 最 具 代 表 性 的 几 位 科 学 大 师 的 工 作 开 普 勒 (J.Kepler, ) 与 无 限 小 元 法 德 国 天 文 学 家 数 学 家 开 普 勒 在 1615 年 发 表 的 测 量 酒 桶 的 新 立 体 几 何 中, 论 述 了 其 利 用 无 限 小 元 求 旋 转 体 体 积 的 积 分 法 他 的 无 限 小 元 法 的 要 旨 是 用 无 数 个 同 维 无 限 小 元 素 之 和 来 确 定 曲 边 形 的 面 积 和 旋 转 体 的 体 积, 如 他 认 为 球 的 体 积 是 无 数 个 顶 点 在 球 心 底 面 在 球 上 的 小 圆 锥 的 体 积 的 和 卡 瓦 列 里 (B.Cavalieri, ) 与 不 可 分 量 法 意 大 利 数 学 家 卡 瓦 列 里 在 其 著 作 用 新 方 法 推 进 的 连 续 的 不 可 分 量 的 几 何 学 (1635) 中 系 统 地 发 展 了 不 可 分 量 法 他 认 为 点 运 动 形 成 线, 线 运 动 形 成 面, 体 则 是 由 无 穷 多 个 平 行 平 面 组 成, 并 分 别 把 这 些 元 素 叫 做 线 面 和 体 的 不 可 分 量 他 建 立 了 一 条 关 于 这 些 不 可 分 量 的 一 般 原 理 ( 后 称 卡 瓦 列 里 原 理, 既 是 我 国 的 祖 原 理 ): 如 果 在 等 高 处 的 横 截 面 有 相 同 的 面 积, 两 个 有 同 高 的 立 体 有 相 同 的 体 积 利 用 这 个 原 理 他 建 立 了 等 价 于 下 列 积 分 : 的 基 本 结 果, 并 解 决 了 开 普 勒 的 旋 转 体 体 积 的 问 题 巴 罗 (I.Barrow, ) 与 微 分 三 角 形 巴 罗 是 英 国 的 数 学 家, 在 1669 年 出 版 的 著 作 几 何 讲 义 中, 他 利 用 微 分 三 角 形 ( 也 称 特 征 三 角 形 ) 求 出 了 曲 线 的 斜 率 他 的 方 法 的 实 质 是 把 切 线 看 作 割 线 的 极 限 位 置, 并 利 用 忽 略 高 阶 无 限 小 来 取 极 限 巴 罗 是 牛 顿 的 老 师, 英 国 剑 桥 大 学 的 第 一 任 卢 卡 斯 数 学 教 授, 也 是 英 国 皇 家 学 会 的 首 批 会 员 当 他 发 现 和 认 识 到 牛 顿 的 杰 出 才 能 时, 便 于 1669 年 辞 去 卢 卡 斯 教 授 的 职 位, 举 荐 自 己 的 学 生 当 时 才 27 岁 的 牛 顿 来 担 任 巴 罗 让 贤 已 成 为 科 学 史 上 的 佳 话 笛 卡 儿 (R. Descartes, ) 费 马 (P. de Fermat, ) 和 坐 标 方 法 笛 卡 儿 和 费 马 是 将 坐 标 方 法 引 进 微 分 学 问 题 研 究 的 前 锋 笛 卡 儿 在 几 何 学 中 提 出 的 求 切 线 的 圆 法 以 及 费 马 手 稿 中 给 出 的 求 极 大 值 与 极 小 值 的 方 法, 实 质 上 都 是 代 数 的 方 法 代 数 方 法 对 推 动 微 积 分 的 早 期 发 展 起 了 很 大 的 作 用, 牛 顿 就 是 以 笛 卡 儿 的 圆 法 为 起 点 而 踏 上 微 积 分 的 研 究 道 路

3 沃 利 斯 (J. Wallis, ) 的 无 穷 算 术 沃 利 斯 是 在 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 之 前, 将 分 析 方 法 引 入 微 积 分 贡 献 最 突 出 的 数 学 家 在 其 著 作 无 穷 算 术 中, 他 利 用 算 术 不 可 分 量 方 法 获 得 了 一 系 列 重 要 结 果 其 中 就 有 将 卡 瓦 列 里 的 幂 函 数 积 分 公 式 推 广 到 分 数 幂 情 形, 以 及 计 算 四 分 之 一 圆 的 面 积 等 17 世 纪 上 半 叶 一 系 列 先 驱 性 的 工 作, 沿 着 不 同 的 方 向 向 微 积 分 的 大 门 逼 近, 但 所 有 这 些 努 力 还 不 足 以 标 志 微 积 分 作 为 一 门 独 立 科 学 的 诞 生 前 驱 者 对 于 求 解 各 类 微 积 分 问 题 确 实 做 出 了 宝 贵 的 贡 献, 但 他 们 的 方 法 仍 缺 乏 足 够 的 一 般 性 虽 然 有 人 注 意 到 这 些 问 题 之 间 的 某 些 联 系, 但 没 有 人 将 这 些 联 系 作 为 一 般 规 律 明 确 提 出 来, 作 为 微 积 分 基 本 特 征 的 积 分 和 微 分 的 互 逆 关 系 也 没 有 引 起 足 够 的 重 视 因 此, 在 更 高 的 高 度 将 以 往 个 别 的 贡 献 和 分 散 的 努 力 综 合 为 统 一 的 理 论, 成 为 17 世 纪 中 叶 数 学 家 面 临 的 艰 巨 任 务 1. 牛 顿 的 流 数 术 三 微 积 分 的 创 立 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 的 工 作 牛 顿 (I.Newton, )1642 年 生 于 英 格 兰 伍 尔 索 普 村 的 一 个 农 民 家 庭, 少 年 时 成 绩 并 不 突 出, 但 却 酷 爱 读 书 17 岁 时, 牛 顿 被 他 的 母 亲 从 中 学 召 回 务 农, 后 来, 牛 顿 的 母 亲 在 牛 顿 就 读 的 格 兰 瑟 姆 中 学 校 长 史 托 克 斯 和 牛 顿 的 舅 父 埃 斯 库 的 竭 力 劝 说 下, 又 允 许 牛 顿 重 返 学 校 史 托 克 斯 的 劝 说 词 中 的 一 句 话 : 在 繁 杂 的 农 务 中 埋 没 这 样 一 位 天 才, 对 世 界 来 说 将 是 多 么 巨 大 的 损 失, 可 以 说 是 科 学 史 上 最 幸 运 的 预 言 1661 年 牛 顿 进 入 剑 桥 大 学 三 一 学 院, 受 教 于 巴 罗 对 牛 顿 的 数 学 思 想 影 响 最 深 的 要 数 笛 卡 儿 的 几 何 学 和 沃 利 斯 的 无 穷 算 术, 正 是 这 两 部 著 作 引 导 牛 顿 走 上 了 创 立 微 积 分 之 路 1665 年, 牛 顿 刚 结 束 他 的 大 学 课 程, 学 校 就 因 为 流 行 瘟 疫 而 关 闭, 牛 顿 离 校 返 乡 在 家 乡 躲 避 瘟 疫 的 两 年, 成 为 牛 顿 科 学 生 涯 中 的 黄 金 岁 月, 微 积 分 的 创 立 万 有 引 力 以 及 颜 色 理 论 的 发 现 等 都 是 牛 顿 在 这 两 年 完 成 的 牛 顿 于 1664 年 秋 开 始 研 究 微 积 分 问 题, 在 家 乡 躲 避 瘟 疫 期 间 取 得 了 突 破 性 进 展 1666 年 牛 顿 将 其 前 两 年 的 研 究 成 果 整 理 成 一 篇 总 结 性 论 文 流 数 简 论, 这 也 是 历 史 上 第 一 篇 系 统 的 微 积 分 文 献 在 简 论 中, 牛 顿 以 运 动 学 为 背 景 提 出 了 微 积 分 的 基 本 问 题, 发 明 了 正 流 数 术 ( 微 分 ); 从 确 定 面 积 的 变 化 率 入 手 通 过 反 微 分 计 算 面 积, 又 建 立 了 反 流 数 术 ; 并 将 面 积 计 算 与 求 切 线 问 题 的 互 逆 关 系 作 为 一 般 规 律 明 确 地 揭 示 出 来, 将 其 作 为 微 积 分 普 遍 算 法 的 基 础 论 述 了 微 积 分 基 本 定 理 微 积 分 基 本 定 理 也 称 为 牛 顿 莱 布 尼 茨 定 理, 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 各 自 独 立 地 发 现 了 这 一 定 理 微 积 分 基 本 定 理 是 微 积 分 中 最 重 要 的 定 理, 它 建 立 了 微 分 和 积 分 之 间 的 联 系, 指 出 微 分 和 积 分 互 为 逆 运 算 这 样, 牛 顿 就 以 正 反 流 数 术 亦 即 微 分 和 积 分, 将 自 古 以 来 求 解 无 穷 小 问 题 的 各 种 方 法 和 特 殊 技 巧 有 机 地 统 一 起 来 正 是 在 这 种 意 义 下, 我 们 说 牛 顿 创 立 了 微 积 分

4 流 数 简 论 标 志 着 微 积 分 的 诞 生, 但 它 有 许 多 不 成 熟 的 地 方 1667 年, 牛 顿 回 到 剑 桥, 并 未 发 表 他 的 流 数 简 论 在 以 后 20 余 年 的 时 间 里, 牛 顿 始 终 不 渝 地 努 力 改 进 完 善 自 己 的 微 积 分 学 说, 先 后 完 成 三 篇 微 积 分 论 文 : 运 用 无 穷 多 项 方 程 的 分 析 学 ( 简 称 分 析 学,1669); 流 数 法 与 无 穷 级 数 ( 简 称 流 数 法,1671); 曲 线 求 积 术 (1691), 它 们 反 映 了 牛 顿 微 积 分 学 说 的 发 展 过 程 在 分 析 学 中, 牛 顿 回 避 了 流 数 简 论 中 的 运 动 学 背 景, 将 变 量 的 无 穷 小 增 量 叫 做 该 变 量 的 瞬, 看 成 是 静 止 的 无 限 小 量, 有 时 直 接 令 其 为 零, 带 有 浓 厚 的 不 可 分 量 色 彩 在 论 文 流 数 法 中, 牛 顿 又 恢 复 了 运 动 学 观 点 他 把 变 量 叫 做 流, 变 量 的 变 化 率 叫 做 流 数, 变 量 的 瞬 是 随 时 间 的 瞬 而 连 续 变 化 的 在 流 数 法 中, 牛 顿 更 清 楚 地 表 述 了 微 积 分 的 基 本 问 题 : 已 知 两 个 流 之 间 的 关 系, 求 他 们 的 流 数 之 间 的 关 系 ; 以 及 反 过 来 已 知 表 示 量 的 流 数 间 的 关 系 的 方 程, 求 流 之 间 的 关 系 在 流 数 法 和 分 析 学 中, 牛 顿 所 使 用 的 方 法 并 无 本 质 的 区 别, 都 是 以 无 限 小 量 作 为 微 积 分 算 法 的 论 证 基 础, 所 不 同 的 是 : 流 数 法 以 动 力 学 连 续 变 化 的 观 点 代 替 了 分 析 学 的 静 力 学 不 可 分 量 法 牛 顿 最 成 熟 的 微 积 分 著 述 曲 线 求 积 术, 对 于 微 积 分 的 基 础 在 观 念 上 发 生 了 新 的 变 革, 它 提 出 了 首 末 比 方 法 牛 顿 批 评 自 己 过 去 随 意 扔 掉 无 限 小 瞬 的 做 法, 他 说 在 数 学 中, 最 微 小 的 误 差 也 不 能 忽 略 在 这 里, 我 认 为 数 学 的 量 并 不 是 由 非 常 小 的 部 分 组 成 的, 而 是 用 连 续 的 运 动 来 描 述 的 在 此 基 础 上 牛 顿 定 义 了 流 数 概 念, 继 而 认 为 : 流 数 之 比 非 常 接 近 于 尽 可 能 小 的 等 时 间 间 隔 内 产 生 的 流 量 的 增 量 比, 确 切 地 说, 它 们 构 成 增 量 的 最 初 比, 并 借 助 于 几 何 解 释 把 流 数 理 解 为 增 量 消 逝 时 获 得 的 最 终 比 可 以 看 出, 牛 顿 的 所 谓 首 末 比 方 法 相 当 于 求 函 数 自 变 量 与 因 变 量 变 化 之 比 的 极 限, 它 成 为 极 限 方 法 的 先 导 牛 顿 对 于 发 表 自 己 的 科 学 著 作 持 非 常 谨 慎 的 态 度 1687 年, 牛 顿 出 版 了 他 的 力 学 巨 著 自 然 哲 学 的 数 学 原 理, 这 部 著 作 中 包 含 他 的 微 积 分 学 说, 也 是 牛 顿 微 积 分 学 说 的 最 早 的 公 开 表 述, 因 此 该 巨 著 成 为 数 学 史 上 划 时 代 的 著 作 而 他 的 微 积 分 论 文 直 到 18 世 纪 初 才 在 朋 友 的 再 三 催 促 下 相 继 发 表 2. 莱 布 尼 茨 的 微 积 分 工 作 莱 布 尼 茨 (W.Leibniz, ) 出 生 于 德 国 莱 比 锡 一 个 教 授 家 庭, 青 少 年 时 期 受 到 良 好 的 教 育 1672 年 至 1676 年, 莱 布 尼 茨 作 为 梅 因 茨 选 帝 侯 的 大 使 在 巴 黎 工 作 这 四 年 成 为 莱 布 尼 茨 科 学 生 涯 的 最 宝 贵 时 间, 微 积 分 的 创 立 等 许 多 重 大 的 成 就 都 是 在 这 一 时 期 完 成 或 奠 定 了 基 础 然 而, 这 位 博 学 多 才 的 时 代 巨 人, 由 于 官 场 的 失 意 与 牛 顿 关 于 微 积 分 优 先 权 争 论 的 困 绕 以 及 多 种 病 痛 的 折 磨, 晚 年 生 活 颇 为 凄 凉 据 说 莱 布 尼 茨 的 葬 礼 只 有 他 忠 实 的 秘 书 参 加 在 巴 黎 期 间, 莱 布 尼 茨 结 识 了 荷 兰 数 学 家 物 理 学 家 惠 更 斯 (C. Huygens, ), 在 惠 更 斯 的 私 人 影 响 下, 开 始 更 深 入 地 研 究 数 学, 研 究 笛 卡 儿 和 帕 斯 卡 (B. Pascal, ) 等 人 的 著 作 与 牛 顿 的 切 入 点 不 同, 莱 布 尼 茨 创 立 微 积 分 首 先 是 出 于 几 何 问 题 的 思 考, 尤 其 是 特 征 三 角 形 的 研 究 特 征 三 角 形 在 帕 斯 卡 和 巴 罗 等 人 的 著 作 中 都 曾 出 现 过 1684 年, 莱 布 尼 茨 整 理 概 括 自 己 1673 年 以 来 微 积 分 研 究 的 成 果, 在 教 师 学 报 上 发 表 了 第 一 篇 微 分 学 论 文 一 种 求

5 极 大 值 与 极 小 值 以 及 求 切 线 的 新 方 法 ( 简 称 新 方 法 ), 它 包 含 了 微 分 记 号 以 及 函 数 和 差 积 商 乘 幂 与 方 根 的 微 分 法 则, 还 包 含 了 微 分 法 在 求 极 值 拐 点 以 及 光 学 等 方 面 的 广 泛 应 用 1686 年, 莱 布 尼 茨 又 发 表 了 他 的 第 一 篇 积 分 学 论 文, 这 篇 论 文 初 步 论 述 了 积 分 或 求 积 问 题 与 微 分 或 切 线 问 题 的 互 逆 关 系, 包 含 积 分 符 号 并 给 出 了 摆 线 方 程 莱 布 尼 茨 对 微 积 分 学 基 础 的 解 释 和 牛 顿 一 样 也 是 含 混 不 清 的, 有 时 他 的 是 有 穷 量, 有 时 又 是 小 于 任 何 指 定 的 量 然 而 不 是 零 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 都 是 他 们 时 代 的 巨 人, 两 位 学 者 也 从 未 怀 疑 过 对 方 的 科 学 才 能 就 微 积 分 的 创 立 而 言, 尽 管 二 者 在 背 景 方 法 和 形 式 上 存 在 差 异 各 有 特 色, 但 二 者 的 功 绩 是 相 当 的 然 而, 一 个 局 外 人 的 一 本 小 册 子 却 引 起 了 科 学 史 上 最 不 幸 的 一 章 : 微 积 分 发 明 优 先 权 的 争 论 瑞 士 数 学 家 德 丢 勒 在 这 本 小 册 子 中 认 为, 莱 布 尼 茨 的 微 积 分 工 作 从 牛 顿 那 里 有 所 借 鉴, 进 一 步 莱 布 尼 茨 又 被 英 国 数 学 家 指 责 为 剽 窃 者 这 样 就 造 成 了 支 持 莱 布 尼 茨 的 欧 陆 数 学 家 和 支 持 牛 顿 的 英 国 数 学 家 两 派 的 不 和, 甚 至 互 相 尖 锐 地 攻 击 对 方 这 件 事 的 结 果, 使 得 两 派 数 学 家 在 数 学 的 发 展 上 分 道 扬 镳, 停 止 了 思 想 交 换 在 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 二 人 死 后 很 久, 事 情 终 于 得 到 澄 清, 调 查 证 实 两 人 确 实 是 相 互 独 立 地 完 成 了 微 积 分 的 发 明, 就 发 明 时 间 而 言, 牛 顿 早 于 莱 布 尼 茨 ; 就 发 表 时 间 而 言, 莱 布 尼 茨 先 于 牛 顿 虽 然 牛 顿 在 微 积 分 应 用 方 面 的 辉 煌 成 就 极 大 地 促 进 了 科 学 的 发 展, 但 这 场 发 明 优 先 权 的 争 论 却 极 大 地 影 响 了 英 国 数 学 的 发 展, 由 于 英 国 数 学 家 固 守 牛 顿 的 传 统 近 一 个 世 纪, 从 而 使 自 己 逐 渐 远 离 分 析 的 主 流, 落 在 欧 陆 数 学 家 的 后 面 3.18 世 纪 微 积 分 的 发 展 在 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 之 后, 从 17 世 纪 到 18 世 纪 的 过 渡 时 期, 法 国 数 学 家 罗 尔 (M.Rolle, ) 在 其 论 文 任 意 次 方 程 一 个 解 法 的 证 明 中 给 出 了 微 分 学 的 一 个 重 要 定 理, 也 就 是 我 们 现 在 所 说 的 罗 尔 微 分 中 值 定 理 微 积 分 的 两 个 重 要 奠 基 者 是 伯 努 利 兄 弟 雅 各 布 (Jacob Bernoulli, ) 和 约 翰 (John Bernoulli, ), 他 们 的 工 作 构 成 了 现 今 初 等 微 积 分 的 大 部 分 内 容 其 中, 0 约 翰 给 出 了 求 型 的 待 定 型 极 限 的 一 个 定 理, 这 个 定 理 后 由 约 翰 的 学 生 罗 比 达 0 (L Hospital, ) 编 入 其 微 积 分 著 作 无 穷 小 分 析, 现 在 通 称 为 罗 比 达 法 则 18 世 纪, 微 积 分 得 到 进 一 步 深 入 发 展 1715 年 数 学 家 泰 勒 (B. Taylor, ) 在 著 作 正 的 和 反 的 增 量 方 法 中 陈 述 了 他 获 得 的 著 名 定 理, 即 现 在 以 他 的 名 字 命 名 的 泰 勒 定 理 雅 各 布 法 尼 亚 诺 (G. C. Fagnano, ) 欧 拉 (L. Eular, ) 拉 格 朗 日 (J. L. Lagrange, ) 和 勒 让 德 (A.M. Legendre, ) 等 数 学 家 在 考 虑 无 理 函 数 的 积 分 时, 发 现 一 些 积 分 既 不 能 用 初 等 函 数, 也 不 能 用 初 等 超 越 函 数 表 示 出 来, 这 就 是 我 们 现 在 所 说 的 椭 圆 积 分, 他 们 还 就 特 殊 类 型 的 椭 圆 积 分 积 累 了 大 量 的 结 果

6 18 世 纪 的 数 学 家 还 将 微 积 分 算 法 推 广 到 多 元 函 数 而 建 立 了 偏 导 数 理 论 和 多 重 积 分 理 论 这 方 面 的 贡 献 主 要 应 归 功 于 尼 古 拉 伯 努 利 (Nicholas Bernoulli, ) 欧 拉 和 拉 格 朗 日 等 数 学 家 另 外, 函 数 概 念 在 18 世 纪 进 一 步 深 化, 微 积 分 被 看 作 是 建 立 在 微 分 基 础 上 的 函 数 理 论, 将 函 数 放 在 中 心 地 位, 是 18 世 纪 微 积 分 发 展 的 一 个 历 史 性 转 折 在 这 方 面, 贡 献 最 突 出 的 当 数 欧 拉 他 明 确 区 分 了 代 数 函 数 与 超 越 函 数 显 函 数 与 隐 函 数 单 值 函 数 与 多 值 函 数 等, 并 在 无 限 小 分 析 引 论 中 明 确 宣 布 : 数 学 分 析 是 关 于 函 数 的 科 学 而 18 世 纪 微 积 分 最 重 大 的 进 步 也 是 由 欧 拉 作 出 的 他 的 无 限 小 分 析 引 论 (1748) 微 分 学 原 理 (1755) 与 积 分 学 原 理 (1768~1770) 都 是 微 积 分 史 上 里 程 碑 式 的 著 作, 在 很 长 时 间 内 被 当 作 标 准 教 材 而 广 泛 使 用 四 微 积 分 中 注 入 严 密 性 微 积 分 学 创 立 以 后, 由 于 运 算 的 完 整 性 和 应 用 的 广 泛 性, 使 微 积 分 学 成 了 研 究 自 然 科 学 的 有 力 工 具 但 微 积 分 学 中 的 许 多 概 念 都 没 有 精 确 的 定 义, 特 别 是 对 微 积 分 的 基 础 无 穷 小 概 念 的 解 释 不 明 确, 在 运 算 中 时 而 为 零, 时 而 非 零, 出 现 了 逻 辑 上 的 困 境 正 因 为 如 此, 这 一 学 说 从 一 开 始 就 受 到 多 方 面 的 怀 疑 和 批 评 最 令 人 震 撼 的 抨 击 是 来 自 英 国 克 罗 因 的 主 教 伯 克 莱 他 认 为 当 时 的 数 学 家 以 归 纳 代 替 了 演 绎, 没 有 为 他 们 的 方 法 提 供 合 法 性 证 明 伯 克 莱 集 中 攻 击 了 微 积 分 中 关 于 无 限 小 量 的 混 乱 假 设, 他 说 : 这 些 消 失 的 增 量 究 竟 是 什 么? 它 们 既 不 是 有 限 量, 也 不 是 无 限 小, 又 不 是 零, 难 道 我 们 不 能 称 它 们 为 消 失 量 的 鬼 魂 吗? 伯 克 莱 的 许 多 批 评 切 中 要 害, 客 观 上 揭 露 了 早 期 微 积 分 的 逻 辑 缺 陷, 引 起 了 当 时 不 少 数 学 家 的 恐 慌 这 也 就 是 我 们 所 说 的 数 学 发 展 史 上 的 第 二 次 危 机 多 方 面 的 批 评 和 攻 击 没 有 使 数 学 家 们 放 弃 微 积 分, 相 反 却 激 起 了 数 学 家 们 为 建 立 微 积 分 的 严 格 而 努 力 从 而 也 掀 起 了 微 积 分 乃 至 整 个 分 析 的 严 格 化 运 动 18 世 纪, 欧 陆 数 学 家 们 力 图 以 代 数 化 的 途 径 来 克 服 微 积 分 基 础 的 困 难, 这 方 面 的 主 要 代 表 人 物 是 达 朗 贝 尔 (d Alembert, ) 欧 拉 和 拉 格 朗 日 达 朗 贝 尔 定 性 地 给 出 了 极 限 的 定 义, 并 将 它 作 为 微 积 分 的 基 础, 他 认 为 微 分 运 算 仅 仅 在 于 从 代 数 上 确 定 我 们 已 通 过 线 段 来 表 达 的 比 的 极 限 ; 欧 拉 提 出 了 关 于 无 限 小 的 不 同 阶 的 理 论 ; 拉 格 朗 日 也 承 认 微 积 分 可 以 在 极 限 理 论 的 基 础 上 建 立 起 来, 但 他 主 张 用 泰 勒 级 数 来 定 义 导 数, 并 由 此 给 出 我 们 现 在 所 谓 的 拉 格 朗 日 中 值 定 理 欧 拉 和 拉 格 朗 日 在 分 析 中 引 入 了 形 式 化 观 点, 而 达 朗 贝 尔 的 极 限 观 点 则 为 微 积 分 的 严 格 化 提 供 了 合 理 内 核 微 积 分 的 严 格 化 工 作 经 过 近 一 个 世 纪 的 尝 试, 到 19 世 纪 初 已 开 始 见 成 效 首 先 是 捷 克 数 学 家 波 尔 察 诺 (B. Bolzano, )1817 年 发 表 的 论 文 纯 粹 分 析 证 明, 其 中 包 含 了 函 数 连 续 性 导 数 等 概 念 的 合 适 定 义 有 界 实 数 集 的 确 界 存 在 性 定 理 序 列 收 敛 的 条 件 以 及 连 续 函 数 中 值 定 理 的 证 明 等 内 容 然 而, 波 尔 察 诺 的 工 作 长 期 淹 没 无 闻, 没 有 引 起 数 学 家 们 的 注 意 19 世 纪 分 析 的 严 密 性 真 正 有 影 响 的 先 驱 则 是 伟 大 的 法 国 数 学 家 柯 西 (A-L. Cauchy, ) 柯 西 关 于 分 析 基 础 的 最 具 代 表 性 的 著 作 是 他 的 分 析 教 程

7 (1821) 无 穷 小 计 算 教 程 (1823) 以 及 微 分 计 算 教 程 (1829), 它 们 以 分 析 的 严 格 化 为 目 标, 对 微 积 分 的 一 系 列 基 本 概 念 给 出 了 明 确 的 定 义, 在 此 基 础 上, 柯 西 严 格 地 表 述 并 证 明 了 微 积 分 基 本 定 理 中 值 定 理 等 一 系 列 重 要 定 理, 定 义 了 级 数 的 收 敛 性, 研 究 了 级 数 收 敛 的 条 件 等, 他 的 许 多 定 义 和 论 述 已 经 非 常 接 近 于 微 积 分 的 现 代 形 式 柯 西 的 工 作 在 一 定 程 度 上 澄 清 了 微 积 分 基 础 问 题 上 长 期 存 在 的 混 乱, 向 分 析 的 全 面 严 格 化 迈 出 了 关 键 的 一 步 柯 西 的 研 究 结 果 一 开 始 就 引 起 了 科 学 界 的 很 大 轰 动, 就 连 柯 西 自 己 也 认 为 他 已 经 把 分 析 的 严 格 化 进 行 到 底 了 然 而, 柯 西 的 理 论 只 能 说 是 比 较 严 格, 不 久 人 们 便 发 现 柯 西 的 理 论 实 际 上 也 存 在 漏 洞 比 如 柯 西 定 义 极 限 为 : 当 同 一 变 量 逐 次 所 取 的 值 无 限 趋 向 于 一 个 固 定 的 值, 最 终 使 它 的 值 与 该 定 值 的 差 可 以 随 意 小, 那 么 这 个 定 值 就 称 为 所 有 其 它 值 的 极 限, 其 中 无 限 趋 向 于 可 以 随 意 小 等 语 言 只 是 极 限 概 念 的 直 觉 的 定 性 的 描 述, 缺 乏 定 量 的 分 析, 这 种 语 言 在 其 它 概 念 和 结 论 中 也 多 次 出 现 另 外, 微 积 分 计 算 是 在 实 数 领 域 中 进 行 的, 但 到 19 世 纪 中 叶, 实 数 仍 没 有 明 确 的 定 义, 对 实 数 系 仍 缺 乏 充 分 的 理 解, 而 在 微 积 分 的 计 算 中, 数 学 家 们 却 依 靠 了 假 设 : 任 何 无 理 数 都 能 用 有 理 数 来 任 意 逼 近 当 时, 还 有 一 个 普 遍 持 有 的 错 误 观 念 就 是 认 为 凡 是 连 续 函 数 都 是 可 微 的 基 于 此, 柯 西 时 代 就 不 可 能 真 正 为 微 积 分 奠 定 牢 固 的 基 础 所 有 这 些 问 题 都 摆 在 当 时 的 数 学 家 们 面 前 另 一 位 为 微 积 分 的 严 密 性 做 出 卓 越 贡 献 的 是 德 国 数 学 家 魏 尔 斯 特 拉 斯 (W. Weierstrass, ), 他 曾 在 波 恩 大 学 学 习 法 律 和 财 政, 后 因 转 学 数 学 而 未 完 成 博 士 工 作, 得 到 许 可 当 了 一 名 中 学 教 员 魏 尔 斯 特 拉 斯 是 一 个 有 条 理 而 又 苦 干 的 人, 在 中 学 教 书 的 同 时, 他 以 惊 人 的 毅 力 进 行 数 学 研 究 由 于 他 在 数 学 上 做 出 的 突 出 成 就,1864 年 他 被 聘 为 柏 林 大 学 教 授 魏 尔 斯 特 拉 斯 定 量 地 给 出 了 极 限 概 念 的 ε δ 定 义 魏 斯 特 拉 斯 用 他 创 造 的 一 套 数 学 语 言 重 新 定 义 了 微 积 分 中 的 一 系 列 重 要 概 念, 特 别 地, 他 引 进 的 一 致 收 敛 性 概 念 消 除 了 以 往 微 积 分 中 不 断 出 现 的 各 种 异 议 和 混 乱 另 外, 魏 尔 斯 特 拉 斯 认 为 实 数 是 全 部 分 析 的 本 源, 要 使 分 析 严 格 化, 就 首 先 要 使 实 数 系 本 身 严 格 化 而 实 数 又 可 按 照 严 密 的 推 理 归 结 为 整 数 ( 有 理 数 ) 因 此, 分 析 的 所 有 概 念 便 可 由 整 数 导 出 这 就 是 魏 尔 斯 特 拉 斯 所 倡 导 的 分 析 算 术 化 纲 领 基 于 魏 尔 斯 特 拉 斯 在 分 析 严 格 化 方 面 的 贡 献, 在 数 学 史 上, 他 获 得 了 现 代 分 析 之 父 的 称 号 1857 年, 魏 尔 斯 特 拉 斯 在 课 堂 上 给 出 了 第 一 个 严 格 的 实 数 定 义, 但 他 没 有 发 表 1872 年, 戴 德 金 (R. Dedekind, ) 康 托 尔 (B. Cantor, ) 几 乎 同 时 发 表 了 他 们 的 实 数 理 论, 并 用 各 自 的 实 数 定 义 严 格 地 证 明 了 实 数 系 的 完 备 性 这 标 志 着 由 魏 尔 斯 特 拉 斯 倡 导 的 分 析 算 术 化 运 动 大 致 宣 告 完 成 五 微 积 分 的 应 用 与 新 分 支 的 形 成 18 世 纪 的 数 学 家 们 一 方 面 努 力 探 索 在 微 积 分 中 注 入 严 密 性 的 途 径, 一 方 面 又 不 顾 基 础 问 题 的 困 难 而 大 胆 前 进, 极 大 地 扩 展 了 微 积 分 的 应 用 范 围, 尤 其 是 与 力 学 的 有 机 结 合, 其 紧 密 程 度 是 数 学 史 上 任 何 时 期 都 无 法 比 拟 的, 它 已 成 为 18 世 纪 数 学 的 鲜 明 特 征 之 一 微 积 分 的 这 种 广 泛 应 用 成 为 新 思 想 的 源 泉, 从 而 也 使 数 学 本 身 大 大 受 益, 一 系 列 新 的 数 学 分 支 在 18 世 纪 逐 渐 成 长 起 来

8 1. 常 微 分 方 程 与 动 力 系 统 常 微 分 方 程 是 伴 随 着 微 积 分 一 起 发 展 起 来 的 从 17 世 纪 末 开 始, 摆 的 运 动 弹 性 理 论 以 及 天 体 力 学 等 实 际 问 题 的 研 究 引 出 了 一 系 列 常 微 分 方 程, 这 些 问 题 在 当 时 以 挑 战 的 形 式 被 提 出 而 在 数 学 家 之 间 引 起 激 烈 的 争 论 牛 顿 莱 布 尼 茨 和 伯 努 利 兄 弟 等 都 曾 讨 论 过 低 阶 常 微 分 方 程, 到 1740 年 左 右, 几 乎 所 有 的 求 解 一 阶 方 程 的 初 等 方 法 都 已 经 知 道 1728 年, 欧 拉 的 一 篇 论 文 引 进 了 著 名 的 指 数 代 换 将 二 阶 常 微 分 方 程 化 为 一 阶 方 程, 开 始 了 对 二 阶 常 微 分 方 程 的 系 统 研 究 1743 年, 欧 拉 给 出 了 高 阶 常 系 数 线 性 齐 次 方 程 的 完 整 解 法, 这 是 高 阶 常 微 分 方 程 的 重 要 突 破 年 间, 拉 格 朗 日 用 参 数 变 易 法 解 出 了 一 般 高 阶 变 系 数 非 齐 次 常 微 分 方 程, 这 一 工 作 是 18 世 纪 常 微 分 方 程 求 解 的 最 高 成 就 在 18 世 纪, 常 微 分 方 程 已 成 为 有 自 己 的 目 标 和 方 向 的 新 数 学 分 支 18 世 纪, 在 处 理 更 为 复 杂 的 物 理 现 象 时 得 到 了 偏 微 分 方 程, 到 了 19 世 纪, 数 学 家 们 求 解 偏 微 分 方 程 的 努 力 导 致 求 解 常 微 分 方 程 的 问 题, 且 所 得 到 的 常 微 分 方 程 大 都 是 陌 生 的 对 这 些 微 分 方 程, 数 学 家 们 便 采 用 无 穷 级 数 解, 即 现 在 所 谓 的 特 殊 函 数 或 高 级 超 越 函 数 对 世 纪 建 立 起 来 的 众 多 的 微 分 方 程, 数 学 家 们 求 显 式 解 的 努 力 往 往 归 于 失 败, 这 种 情 况 促 使 他 们 转 向 证 明 解 的 存 在 性, 这 也 是 微 分 方 程 发 展 史 上 的 一 个 重 要 转 折 点 最 先 考 虑 微 分 方 程 解 的 存 在 性 问 题 的 数 学 家 是 柯 西,18 世 纪 20 年 代, 他 给 出 了 常 微 分 方 程 的 第 一 个 存 在 性 定 理 19 世 纪 后 半 叶, 常 微 分 方 程 的 研 究 在 两 个 大 的 方 向 上 开 拓 了 新 局 面 第 一 个 方 向 是 与 奇 点 问 题 相 联 系 的 常 微 分 方 程 解 析 理 论, 它 是 由 柯 西 开 创 的 柯 西 之 后, 解 析 理 论 的 重 点 向 大 范 围 转 移, 到 庞 加 莱 (J.H.Poincare, ) 与 克 莱 因 (F.Klein, ) 的 自 守 函 数 理 论 而 臻 于 颠 峰 庞 加 莱 在 年 间 建 立 了 这 类 函 数 的 一 般 理 论 另 一 个 崭 新 的 方 向, 也 可 以 说 是 微 分 方 程 发 展 史 上 的 又 一 个 转 折 点, 就 是 定 性 理 论, 它 完 全 是 庞 加 莱 的 独 创 庞 加 莱 由 对 三 体 问 题 的 研 究 而 被 引 导 到 常 微 分 方 程 定 性 理 论 的 创 立 他 在 研 究 过 程 中 发 现 微 分 方 程 的 奇 点 起 着 关 键 作 用, 在 讨 论 各 种 奇 点 附 近 的 性 状 的 同 时, 还 发 现 了 一 些 与 描 述 满 足 微 分 方 程 的 解 曲 线 有 关 的 重 要 的 闭 曲 线 如 极 限 环 无 接 触 环 等 在 数 学 科 学 中, 极 限 环 具 有 重 要 意 义, 科 学 技 术 和 实 际 社 会 活 动 也 都 强 烈 要 求 对 极 限 环 进 行 研 究 庞 加 莱 关 于 在 奇 点 附 近 积 分 曲 线 随 时 间 变 化 的 定 性 研 究, 在 1892 年 以 后 被 俄 国 数 学 家 李 亚 普 诺 夫 发 展 到 高 维 一 般 情 形 而 形 成 专 门 的 运 动 稳 定 性 分 支, 他 提 出 的 李 亚 普 诺 夫 函 数 和 李 亚 普 诺 夫 指 数 概 念 意 义 极 为 重 要 李 亚 普 诺 夫 的 工 作 使 微 分 方 程 的 发 展 呈 现 出 一 个 全 新 的 局 面 庞 加 莱 关 于 常 微 分 方 程 定 性 理 论 的 一 系 列 课 题, 成 为 微 分 动 力 系 统 的 出 发 点 美 国 数 学 家 伯 克 霍 夫 (D.Birkhoff, ) 从 1912 年 起 以 三 体 问 题 为 背 景, 扩 展 了 动 力 系 统 的 研 究,1937 年, 庞 特 里 亚 金 提 出 结 构 稳 定 性 概 念, 要 求 在 微 小 扰 动 下 保 持 相 图 不 变, 使 动 力 系 统 的 研 究 向 大 范 围 转 化 动 力 系 统 的 研 究 由 于 拓 扑 方 法 和 分 析 方 法 的 有 力 结 合 而 取 得 了 重 要 进 步, 借 助 于 现 代 计 算 机 模 拟

9 又 引 发 具 有 异 常 复 杂 性 的 混 沌 分 叉 分 形 理 论 这 方 面 的 研 究 涉 及 到 众 多 的 数 学 分 支 2. 偏 微 分 方 程 微 积 分 对 力 学 问 题 的 应 用 引 导 出 另 一 门 新 的 数 学 分 支 偏 微 分 方 程,1747 年, 达 朗 贝 尔 发 表 的 论 文 张 紧 的 弦 振 动 时 形 成 的 曲 线 的 研 究 被 看 作 是 偏 微 分 方 程 论 的 开 端 论 文 中, 达 朗 贝 尔 明 确 导 出 了 弦 的 振 动 所 满 足 的 偏 微 分 方 程, 并 给 出 了 其 通 解 1749 年, 欧 拉 发 表 的 论 文 论 弦 的 振 动 讨 论 了 同 样 的 问 题, 并 沿 用 达 朗 贝 尔 的 方 法, 引 进 了 初 始 形 状 为 正 弦 级 数 的 特 解 18 世 纪, 计 算 两 个 物 体 之 间 的 引 力 问 题, 引 出 另 一 类 重 要 的 偏 微 分 方 程 位 势 方 程, 它 是 1785 年 拉 普 拉 斯 (P.S.Laplace, ) 在 论 文 球 状 物 体 的 引 力 理 论 与 行 星 形 状 中 导 出 的, 现 在 通 常 称 为 拉 普 拉 斯 方 程 随 着 物 理 学 所 研 究 的 现 象 从 力 学 向 电 学 以 及 电 磁 学 的 扩 展, 到 19 世 纪, 偏 微 分 方 程 的 求 解 成 为 数 学 家 和 物 理 学 家 关 注 的 重 心 1822 年, 法 国 数 学 家 傅 立 叶 (J.Fourier, ) 发 表 的 论 文 热 的 解 析 理 论, 研 究 了 吸 热 或 放 热 物 体 内 部 任 何 点 处 的 温 度 变 化 随 时 间 和 空 间 的 变 化 规 律, 导 出 了 三 维 空 间 的 热 传 导 方 程 : 傅 立 叶 解 决 了 特 殊 条 件 下 的 热 传 导 问 题, 也 就 是 满 足 边 界 条 件 和 初 始 条 件 的 偏 微 分 方 程 的 求 解 并 且 得 到 结 论 : 可 以 将 区 间 上 的 任 何 函 数 表 示 为 我 们 通 常 所 称 的 傅 立 叶 级 数 但 他 没 有 给 出 任 何 完 全 的 证 明 英 国 数 学 家 格 林 (G.Green, )19 世 纪 是 研 究 偏 微 分 方 程 中 位 势 方 程 的 重 要 代 表 人 物 他 用 奇 异 点 方 法 研 究 了 位 势 方 程, 并 在 1828 年 出 版 的 小 册 子 关 于 数 学 分 析 应 用 于 电 磁 学 理 论 的 一 篇 论 文 中 建 立 了 许 多 对 于 推 动 位 势 理 论 的 进 一 步 发 展 极 为 关 键 的 定 理 和 概 念, 其 中 以 格 林 公 式 和 作 为 一 种 带 奇 异 性 的 特 殊 位 势 的 格 林 函 数 概 念 影 响 最 为 深 远 19 世 纪 导 出 的 著 名 偏 微 分 方 程 还 有 麦 克 斯 韦 电 磁 场 方 程 粘 性 流 体 运 动 的 纳 维 司 托 克 斯 方 程 以 及 弹 性 介 质 的 柯 西 方 程 等, 所 有 这 些 方 程 都 不 存 在 普 遍 解 法 和 常 微 分 方 程 一 样, 求 偏 微 分 方 程 显 式 解 的 失 败, 促 使 数 学 家 们 考 虑 偏 微 分 方 程 解 的 存 在 性 问 题 柯 西 也 是 研 究 偏 微 分 方 程 解 的 存 在 性 的 第 一 人 柯 西 的 工 作 后 被 俄 国 女 数 学 家 柯 瓦 列 夫 斯 卡 娅 发 展 为 非 常 一 般 的 形 式, 现 代 文 献 中 称 有 关 的 偏 微 分 方 程 解 的 存 在 唯 一 性 定 理 为 柯 西 柯 瓦 列 夫 斯 卡 娅 定 理 柯 瓦 列 夫 斯 卡 娅 是 历 史 上 第 一 位 女 数 学 博 士, 历 史 上 为 数 不 多 的 杰 出 女 数 学 家 之 一, 也 是 历 史 上 第 一 位 女 科 学 院 院 士, 为 此 俄 国 科 学 院 还 专 门 修 改 了 院 章 中 不 接 纳 女 性 院 士 的 规 定 3. 变 分 法

10 变 分 法 起 源 于 最 速 降 线 和 其 它 一 些 类 似 的 问 题 最 速 降 线 问 题 最 早 是 约 翰 伯 努 利 1696 年 6 月 在 教 师 学 报 上 提 出 来 向 其 他 数 学 家 挑 战 的 问 题 提 出 后 半 年 没 有 回 音,1697 年 元 旦 他 发 表 公 告 再 次 向 全 世 界 最 有 才 能 的 数 学 家 挑 战 牛 顿 莱 布 尼 茨 罗 比 达 和 伯 努 利 兄 弟 几 乎 同 时 得 到 了 正 确 答 案, 所 有 这 些 解 法 都 发 表 在 1697 年 5 月 的 教 师 学 报 上 他 们 的 这 些 工 作 与 同 时 期 出 现 的 等 周 问 题 测 地 线 问 题 等 一 道 标 志 着 一 门 新 数 学 分 支 变 分 法 的 诞 生 变 分 法 处 理 的 是 一 个 与 通 常 函 数 有 本 质 区 别 的 变 量 的 极 大 或 极 小 值 问 题 1744 年 欧 拉 在 著 作 求 某 种 具 有 极 大 或 极 小 性 质 的 曲 线 的 技 巧 一 书 中, 给 出 了 一 般 的 处 理 方 法, 奠 定 了 变 分 法 的 独 立 基 础 1760 年, 拉 哥 朗 日 的 论 确 定 不 定 积 分 式 的 极 大 和 极 小 值 的 一 个 新 方 法 在 纯 分 析 的 基 础 上 建 立 了 变 分 法 他 还 第 一 次 成 功 地 处 理 了 端 点 变 动 的 极 值 曲 线 问 题 和 重 积 分 情 形, 研 究 了 被 积 函 数 中 含 有 高 阶 导 数 的 变 分 问 题 19 世 纪, 起 源 于 动 力 学 的 最 小 作 用 原 理 刺 激 了 变 分 法 的 进 一 步 发 展, 这 一 时 期, 雅 可 比 魏 尔 斯 特 拉 斯 以 及 希 尔 伯 特 等 都 为 变 分 法 作 出 了 重 要 贡 献 在 18 世 纪, 微 分 方 程 变 分 法 等 一 些 新 的 分 支 和 微 积 分 本 身 一 起, 形 成 了 被 称 之 为 分 析 的 广 大 领 域 4. 分 析 的 扩 展 与 更 高 的 抽 象 复 变 函 数 论 19 世 纪 分 析 的 严 格 化 成 为 这 个 时 代 的 特 点, 但 是, 加 固 基 础 的 工 作 并 没 有 影 响 到 19 世 纪 的 分 析 学 家 们 进 一 步 拓 广 自 己 的 领 域 在 18 世 纪, 达 朗 贝 尔 和 欧 拉 等 数 学 家 在 他 们 的 工 作 中 已 经 大 量 使 用 复 数 和 复 变 量, 并 由 此 发 现 了 复 函 数 的 一 些 重 要 性 质 直 到 19 世 纪 初, 复 数 的 合 法 性 仍 是 一 个 未 解 决 的 问 题 复 分 析 真 正 成 为 现 代 分 析 的 一 个 研 究 领 域, 主 要 是 19 世 纪 通 过 柯 西 黎 曼 (B.Riemann, ) 和 魏 尔 斯 特 拉 斯 等 人 的 工 作 建 立 和 发 展 起 来 的 1825 年, 柯 西 出 版 的 小 册 子 关 于 积 分 限 为 虚 数 的 定 积 分 的 报 告 可 以 看 作 是 复 分 析 发 展 史 上 的 一 个 里 程 碑, 其 后 他 又 发 表 了 一 系 列 关 于 复 变 函 数 的 论 文, 得 到 了 复 变 函 数 的 许 多 重 要 结 果 1851 年, 黎 曼 的 博 士 论 文 单 复 变 函 数 的 一 般 理 论 的 基 础 是 复 变 函 数 论 的 一 篇 基 本 论 文, 其 中 最 主 要 的 特 征 是 它 的 几 何 观 点, 这 里 黎 曼 引 入 了 一 个 全 新 的 几 何 概 念, 即 黎 曼 曲 面 这 篇 论 文 不 仅 包 含 了 现 代 复 变 函 数 论 主 要 部 分 的 萌 芽, 而 且 开 启 了 拓 扑 学 的 系 统 研 究, 并 为 黎 曼 自 己 的 微 分 几 何 研 究 铺 平 了 道 路 当 柯 西 在 由 解 析 式 表 示 的 函 数 的 导 数 和 积 分 的 基 础 上 建 立 函 数 论 的 同 时, 魏 尔 斯 特 拉 斯 却 为 复 变 函 数 开 辟 了 一 条 新 的 研 究 途 径, 他 在 幂 级 数 的 基 础 上 建 立 起 解 析 函 数 的 理 论, 并 建 立 起 解 析 开 拓 的 方 法 后 来, 柯 西 黎 曼 和 魏 尔 斯 特 拉 斯 的 思 想 被 融 合 在 一 起, 三 种 传 统 得 到 统 一 20 世 纪, 单 复 变 函 数 论 由 于 新 工 具 的 引 入 取 得 了 长 足 的 进 展, 并 由 单 变 量 推 广 到 多 变 量 的 情 形 20 世 纪 下 半 叶, 由 于 综 合 运 用 拓 扑 学 微 分 几 何 偏 微 分 方 程 论 以 及 抽 象 代 数 等 领 域 的 概 念 与 方 法, 多 复 变 函 数 论 的 研 究 取 得 了 重 大 突 破 1953 年, 中 国 数 学 家 华 罗 庚 建 立 了 多 个 复 变 数 典 型 域 上 的 调 和 分 析 理 论,

11 并 揭 示 了 其 与 微 分 几 何 群 表 示 论 微 分 方 程 以 及 群 上 调 和 分 析 等 领 域 的 深 刻 联 系, 形 成 了 中 国 数 学 家 在 多 复 变 函 数 论 研 究 方 面 的 特 色 微 分 几 何 18 世 纪, 分 析 方 法 应 用 于 几 何 开 拓 了 一 个 崭 新 的 几 何 分 支 微 分 几 何 欧 拉 是 微 分 几 何 的 重 要 奠 基 人, 他 的 关 于 曲 面 上 曲 线 的 研 究 (1760) 被 公 认 为 是 微 分 几 何 史 上 的 一 个 里 程 碑 而 蒙 日 (G.Monge, ) 的 工 作 使 18 世 纪 微 分 几 何 的 发 展 臻 于 颠 峰 1795 年, 他 发 表 的 关 于 分 析 的 几 何 应 用 的 活 页 论 文 是 第 一 部 系 统 论 述 微 分 几 何 的 著 述, 极 大 地 推 进 了 克 莱 洛 (A.C.Clairaut, ) 和 欧 拉 的 空 间 曲 线 与 曲 面 理 论, 其 最 大 特 点 是 与 微 分 方 程 的 紧 密 结 合 古 典 微 分 几 何 多 是 局 部 性 即 小 范 围 的 到 了 20 世 纪, 微 分 几 何 开 始 经 历 从 局 部 到 整 体 的 转 移, 整 体 微 分 几 何 成 为 研 究 的 重 心 中 国 数 学 家 陈 省 身 在 这 方 面 做 了 奠 基 性 的 贡 献, 并 因 此 获 得 1984 年 的 沃 尔 夫 奖 另 一 位 中 国 数 学 家 丘 成 桐 也 因 为 解 决 了 微 分 几 何 领 域 里 著 名 的 卡 拉 比 猜 想 解 决 了 一 系 列 与 非 线 性 微 分 方 程 有 关 的 其 它 几 何 问 题, 以 及 证 明 了 广 义 相 对 论 中 的 正 质 量 猜 想 等 杰 出 工 作, 而 荣 获 1982 年 的 菲 尔 兹 奖 实 变 函 数 论 19 世 纪 末, 分 析 的 严 格 化 迫 使 许 多 数 学 家 认 真 考 虑 所 谓 的 病 态 函 数, 特 别 是 不 连 续 函 数 和 不 可 微 函 数, 并 研 究 这 样 一 个 问 题 : 积 分 的 概 念 可 以 怎 样 推 广 到 更 广 泛 的 函 数 类 上 去 1902 年, 法 国 数 学 家 勒 贝 格 (H-L.Lebesgue, ) 在 其 发 表 的 论 文 积 分, 长 度 与 面 积 中 利 用 以 集 合 论 为 基 础 的 测 度 概 念 而 建 立 了 所 谓 的 勒 贝 格 积 分, 使 一 些 原 先 在 黎 曼 意 义 下 不 可 积 的 函 数 按 勒 贝 格 的 意 义 变 得 可 积 在 勒 贝 格 积 分 的 基 础 上 进 一 步 推 广 导 数 等 其 它 微 积 分 基 本 概 念, 并 重 建 微 积 分 基 本 定 理 等 微 积 分 的 基 本 事 实, 从 而 形 成 了 一 门 新 的 数 学 分 支 实 变 函 数 论 实 变 函 数 论 是 普 通 微 积 分 的 推 广, 它 使 微 积 分 的 适 用 范 围 大 大 扩 展, 引 起 数 学 分 析 的 深 刻 变 化 作 为 分 水 岭, 人 们 往 往 把 勒 贝 格 以 前 的 分 析 学 称 为 经 典 分 析, 而 把 由 勒 贝 格 积 分 引 出 的 实 变 函 数 论 为 基 础 而 开 拓 出 来 的 分 析 学 称 为 现 代 分 析 泛 函 分 析 数 学 中 许 多 领 域 处 理 的 都 是 作 用 在 函 数 上 的 变 换 或 算 子, 也 就 是 所 谓 的 泛 函 泛 函 分 析 的 抽 象 理 论 是 19 世 纪 末 20 世 纪 初 由 意 大 利 数 学 家 和 法 国 数 学 家 阿 达 马 (J-S.Hadamard, ) 在 变 分 法 的 研 究 中 开 始 的, 而 第 一 个 为 此 做 出 卓 越 成 果 的 是 法 国 数 学 家 弗 雷 歇 (M-R.Frechet, ), 在 1906 年 的 博 士 论 文 中, 弗 雷 歇 给 出 了 泛 函 分 析 的 一 些 基 本 概 念, 并 在 将 普 通 的 微 积 分 演 算 推 广 到 函 数 空 间 方 面 做 了 大 量 先 驱 性 工 作, 因 此, 弗 雷 歇 是 本 世 纪 抽 象 泛 函 分 析 理 论 的 奠 基 人 之 一 20 世 纪 初 数 学 家 希 尔 伯 特 里 斯 (F.Riesz) 以 及 费 舍 尔 (E.Fisher) 等 都 为 泛 函 分 析 的 发 展 做 出 了 重 要 贡 献 而 抽 象 空 间 理 论 与 泛 函 分 析 在 20 世 纪 上 半 叶 的 巨 大 发 展 则 是 由 波 兰 数 学 家 巴 拿 赫 (S.Banach, ) 推 进 的,1922 年, 他 提 出 了 比 希 尔 伯 特 空 间 更 一 般 的 赋 范 空 间 巴 拿 赫 空 间, 极 大 地 拓 广 了 泛 函 分 析 的 疆 域 巴 拿 赫 还 建 立 了 巴 拿 赫 空 间 上 的 线 性 算 子 理 论, 证 明 了 一 批 泛 函 分 析 基 础 的 重 要 定 理 巴 拿 赫 无 疑 也 是 现 代 泛 函 分 析 的 奠 基 人 泛 函 分 析 有 力 地 推 动 了

12 其 它 分 析 分 支 的 发 展, 使 整 个 分 析 领 域 的 面 貌 发 生 了 巨 大 变 化 泛 函 分 析 的 观 点 与 方 法 还 广 泛 地 渗 透 到 其 它 科 学 和 技 术 领 域 微 积 分 的 创 立, 由 于 运 算 的 完 整 性 和 应 用 的 广 泛 性, 使 其 成 为 研 究 自 然 科 学 的 有 力 工 具, 被 誉 为 人 类 精 神 的 最 高 胜 利 自 18 世 纪 以 来, 微 积 分 在 被 广 泛 应 用 的 同 时, 也 得 到 了 不 断 发 展 和 完 善, 内 容 越 来 越 丰 富