图 1 无数次迭代之后得到的曲线叫 Koch 雪花, 把三条这样的曲线头尾相接组成一个封闭图形, 便得到了雪花图形, 即 Koch 雪花如图 2 图 2 [6] 1.2 无限长的曲线可能围住一块

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融纱程
7 years ago
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1 分形图形中的数学奥秘靳亚云 ( 山东大学物理学院, 山东济南,250100) 摘要 : 四种分形图形 Koch 曲线 Hilbert 曲线 Sierpinski 三角形和 Cantor 集, 均包含着某些数学上的规律或者与数学上的某些内容有紧密的联系 Koch 曲线的特性证明了无限长的曲线可能围住一块有限的面积 ;Hilbert 曲线可以填满整个平面 ;Sierpinski 三角形与杨辉三角 Hanoi 塔和随机运动有着密切的联系 ;Cantor 三分集的 Lebesgue 测度为 0, 却是一个有着不可数点的集合,Cantor 集中的元素两两相加可以遍历 [0,2] 关键词 :Koch 曲线 ;Hilbert 曲线 ;Sierpinski 三角形 ;Cantor 集 ; 分形中图分类号 :O 189 文献标识码 :A 非线性科学是近几十年在各门以非线性为特征的子学科研究基础上逐渐形成的复杂性 [1] 科学分形学作为非线性的一个活跃分支, 它研究的对象是非线性系统中产生的不光滑和不可微的几何形体分形是一种具有自相似特性的现象图像或者物理过程自相似性指客观事物具有自相似的层次结构, 局部与整体在形态功能信息时间空间等方面具有统 [2] 计意义上的相似性 [3] 分形既是一门科学, 又是一门艺术自然界中的美丽的雪花看似弯曲无规则的海岸 [4] [5] 线奇特诡异的麦田怪圈, 纷纷向我们昭示着分形艺术的魅力, 又饱含着无穷无尽的科学奥妙一些看似抽象费解的数学原理便隐藏在其中本文接下来会以从几个典型的分形图形引出其背后的数学奥秘 1 Koch 曲线 1.1 koch 曲线的构造构造步骤如下 : i. 画一个线段, 然后把它平分成三段, 去掉中间那一段并用两条等长的线段代替这样, 原来的一条线段就变成了四条小的线段 ii. 用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换为等边三角形的两边, 得到了 16 条更小的线段 iii. 继续对 16 条线段进行相同的操作, 并无限地迭代下去图 1 是这个图形前五次迭代的过程

2 图 1 无数次迭代之后得到的曲线叫 Koch 雪花, 把三条这样的曲线头尾相接组成一个封闭图形, 便得到了雪花图形, 即 Koch 雪花如图 2 图 2 [6] 1.2 无限长的曲线可能围住一块有限的面积从上面得到 Koch 曲线和 Koch 雪花的过程, 可以发现 : 整个线条的长度每一次都变成了原来的 4/3 如果最初的线段长为一个单位, 那么第一次操作后总长度变成了 4/3, 第二次操作后总长增加到 16/9, 第 n 次操作后长度为 ( 4 3 )n 毫无疑问, 操作无限进行下去, 这条曲线将达到无限长然而, 这个雪花一样的图形有着无限长的边界, 但是它的总面积却是有限的换句话说, 无限长的曲线围住了一块有限的面积这里给出一个简单的证明 : 三条曲线中每一条的第 n 次迭代前有 4 n 1 个长为 ( 1 3 )n 1 的线段, 迭代后多出的面积为 4 n 1 个边长为 ( 1 3 )n 的等边三角形把 4 n 1 扩大到 4 n, 再把所有边长为 ( 1 3 )n 的等边三角形扩大为同样边长的正方形, 因为无穷级数 4 9 n 显然收敛, 所以总面积是有限的 1.3 Hausdorff 维度分形图形有一种特殊的计算维度的方法我们可以看到, 在有限空间内就可以达到无限

3 长的分形曲线似乎已经超越了一维的境界, 但说它是二维图形又还不够 Hausdorff 维度就是专门用来处理这种分形图形的简单地说,Hausdorff 维度描述分形图形中整个图形的大小与一维大小的关系比如, 正方形是一个分形图形, 因为它可以分成四个一模一样的小正方形, 每一个小正方形的边长都是原来的 1/2 当然, 你也可以把正方形分成 9 个边长为 1/3 的小正方形事实上, 一个正方形可以分割为 a 2 个边长为 1 a 的小正方形那个指数 2 就是正方形的维度矩形三角形都是一样, 给你 a 2 个同样的形状才能拼成一个边长为 a 倍的相似形, 因此它们都是二维的我们把这里的边长理解为一维上的长度, 那个 1 a 则是两个相似形的相似比 1 如果一个自相似形包含自身 N 份, 每一份的一维大小都是原来的, 则这个相似形的 Hausdorff s 维度为 log(n)/log(s) 一个立方体可以分成 8 份, 每一份的一维长度都是原来的一半, 因此立方体的维度为 log(8)/log(2)=3 同样地, 一个 Koch 曲线包含四个小 Koch 曲线, 大小两个 1 Koch 曲线的相似比为, 因此 Koch 曲线的 Hausdorff 维度为 log(4)/log(3) 它约等于 1.26, 3 是一个介于 1 和 2 之间的实数 2 Hilbert 曲线 2.1 一条曲线可以填满整个平面 [7] 在介绍 Hilbert 曲线之前, 请读者先来思考一个问题 : 如何构造一条曲线使得它可以填满整个平面在这里我们仅仅说明存在一条填满单位正方形的曲线就够了, 因为将此单位正方形平铺在平面上就可以得到填满整个平面的曲线大多数人可能会想到下面这种构造方法 : 先画一条单位长的曲线, 然后把它变成一个几字形, 接着把每一条水平的小横线段变成一个几字形, 然后不断迭代下去, 最后得到的图形一定可以填满整个单位正方形如图三图 3 我们甚至可以递归地定义出一个描述此图形的函数 : 将定义域平均分成五份, 第二和第

4 四份对应两条竖直线段上的点, 并继续对剩下的三个区间重复进行这种操作这个函数虽然分布得有些不均匀, 但它确实是一个合法的函数最后的图形显然可以填充一个正方形, 但它是不是一条曲线我们无法确定而事实上, 稍作分析便会发现这条曲线是不符合函数连续性定义的我们知道, 函数连续性定义如下 : 函数 f(x) 在 x = c 处连续当且仅当对于一个任意小的正数 ε, 你总能找到一个正数 δ, 使得对于定义域上的所有满足 c δ < x < c + δ 的 x 都有 f(c) ε < f(x) < f(c) + ε 直观地说, 如果函数上有一点 P, 对于任意小的 ε,p 点左右一定范围内的点与 P 的纵坐标之差均小于 ε, 那么函数在 P 点处连续这样就保证了 P 点两旁的点与 P 无限接近, 也就是我们常说的连续这又被称作为 Epsilon-Delta 定义, 可以写成 ε δ 定义在拓扑学中, 也有类似于 ε δ 的连续性定义假如一个函数 f(t) 对应空间中的点, 对于任意小的正数 ε, 总能找到一个 δ 使得定义域 (t δ, t + δ) 对应的所有点与 f(t) 的距离都不超过 ε, 那么我们就说 f(t) 所对应的曲线在点 f(t) 处连续回到图 3, 考虑任何一个可以无限细分的地方 ( 比如 x = 1 处 ), 只要 ε < 1,δ 再小其范 2 2 围内也有一条竖线捅破 ε 的界线这就好像当 n 趋于无穷时 sin(nx) 根本不是一条确定的曲线一样, 因为某个特定的函数值根本不能汇聚到一点考虑到这一点, 我们能想到的很多可以填满平面的曲线都不是真正意义上的连续曲线为了避免这样的情况出现, 这条曲线必须先把自己周围填满再延伸出去, 而填满自己周围前又必须先填满更小规模的周围这让我们联想到分形图形 2.2 Hilbert 曲线的构造德国数学家 David Hilbert 发现了这样一种可以填满整个单位正方形的分形曲线, 他称它为 Hilbert 曲线我们来看一看这条曲线是怎么构造出来的首先, 我们把一个正方形分割为 4 个小正方形, 然后从左下角的那个小正方形开始, 画一条线经过所有小正方形, 最后到达右下角现在, 我们需要把这个正方形分成 16 个小正方形, 目标同样是从左下角出发遍历所有的格子最后到达右下角而在这之前我们已经得到了一个 2x2 方格的遍历方法, 我们正好可以用它把两个 2x2 的格子原封不动地放在上面两排, 右旋 90 度放在左下, 左旋 90 度放在右下, 然后再补三条线段把它们连起来现在我们得到了一种从左下到右下遍历 4x4 方格的方法, 而这又可以用于更大规模的图形中用刚才的方法把四个 4x4 的方格放到 8x8 的方格

5 中, 我们就得到了一条经过所有 64 个小方格的曲线不断地这样做下去, 无限多次地迭代后, 每个方格都变得无穷小, 最后的图形显然经过了方格上所有的点, 它就是我们所说的 Hilbert 曲线如图 4 图 4 下图是一个迭代了 n 多次后的图形, 大致上反映出 Hilbert 曲线的样子如图 5 图 5 根据上面这种方法, 我们可以构造出函数 f(t) 使它能映射到单位正方形中的所有点 Hilbert 曲线完全符合 ε-δ 定义 2.3 Hilbert 曲线的 Hausdorff 维度与意义 Hilbert 曲线是一条经典的分形曲线它违背了很多常理比如, 把 Hilbert 曲线平铺在整个平面上, 它就成了一条填满整个平面的曲线两条 Hilbert 曲线对接可以形成一个封闭曲线, 而这个封闭曲线竟然没有内部空间可以计算,Hilbert 曲线的 Hausdorff 维度等于 log(4)/log(2) 这再一次说明了它可以填满整个平面 Hilbert 曲线的价值在于建立一维空间与二维空间一一对应的关系 Hilbert 曲线可以看作是一个一维空间到二维空间的映射, 也就是说我们证明了直线上的点和平面上的点一样多 Hilbert 曲线也是一种遍历二维格点的方法, 它同样可以用来证明自然数和有理数一样多

操作, 并且无限地递归下去如图 6 图 6 每一次迭代后整个图形的面积都会减小到原来的 3/4, 因此最终得到的图形面积显然为 0 这也就是说,Sierpinski 三角形其实是一条曲线, 它的 Hausdorff 维度介于 1 和 2 之间 [8] 3.

6 3. Sierpinski 三角形 3.1 Sierpinski 三角形的构造和之前介绍的两种图形一样,Sierpinski 三角形也是一种分形图形, 它是递归地构造的最常见的构造方法如上图所示 : 把一个三角形分成四等份, 挖掉中间那一份, 然后继续对另外三个三角形进行这样的操作, 并且无限地递归下去如图 6 图 6 每一次迭代后整个图形的面积都会减小到原来的 3/4, 因此最终得到的图形面积显然为 0 这也就是说,Sierpinski 三角形其实是一条曲线, 它的 Hausdorff 维度介于 1 和 2 之间 [8] 3.2 随机运动与 Sierpinski 三角形这种随机运动可以这样设想, 从平面某一点 z 0 开始, 选择一个 ( 随机选择 ) 方向游动一段距离并停止, 再选择另一方向游动一段距离并停止取一个等边三角形, 它的三个顶点用数字表示, 然后将一个骰子的三点分别改为这样, 一个骰子只有三种数字从 Z 0 出发, 若掷骰子的数为 2, 则沿 Z 0 和顶点 2 的连线游动一半距离到达 Z 1 再投掷骰子的数为 1, 则沿 Z 1 和三角形顶点 1 的连线游动一半距离到达 Z 2 骰子不断地随机游动, 在三角形内产生很多点 :Z 1, Z 2, Z 3, Z 4,, Z n 最后出现了具有自相似性结构的的 Sierpinski 三角形如图 Sierpinski 三角形与杨辉三角图 7

7 图 8 杨辉三角如图 8 其中, 用灰色的衬底标注奇数, 用黑色的衬底标注偶数, 容易发现, 杨辉三角前四行的可以组成一个二阶的 Sierpinski 三角形由于它的第四行全是奇数, 奇数与奇数之和等于偶数, 那么第五行中除了首尾两项为 1 外其余项都是偶数而偶数与偶数之和还是偶数, 因此中间那一排连续的偶数不断地两两相加必然得到一个全是偶数项的倒三角同时, 第五行首尾的两个 1 将分别产生两个和杨辉三角前四行一样的二阶 Sierpinski 三角形这正好组成了一个三阶的 Sierpinski 三角形显然它的最末行仍然均为奇数, 那么对于更大规模的杨辉三角, 结论将继续成立 3.4 Sierpinski 三角形与 Hanoi 塔我们将二阶 Hanoi 塔先画出来, 如图 9: 图 9 如果把三阶的 Hanoi 塔表示成无向图的话, 得到的结果就是三阶的 Sierpinski 三角形下面的这张图说明了这一点把二阶 Hanoi 塔对应的无向图复制两份放在下面, 然后在不同的柱子上为每个子图的每个状态添加一个更大的盘子新的图中原来可以互相转移的状态现在仍然可以转移, 同时还出现了三个新的转移关系将三个子图连接在了一起重新调整一下各个节点的位置, 我们可以得到一个三阶的 Sierpinski 三角形

8 图 10 显然对于更大规模的 Hanoi 塔, 结论同样成立 4. Cantor 集 4.1 Cantor 集的形成康托集合是闭区间 [0,1] 的子集, 它的定义如下 : 给定区间 [0,1], 把这个区间分成三段, 去掉中间那一端 ( 即去掉 (1/3,2/3)), 然后把剩下的两段中每一段都按照刚才的方法再进行操作, 然后再分, 再分, 就这样一直挖洞挖下去在第二次操作后, 剩下的区间是 [0,1/9] [2/9,1/3] [2/3,7/9] [8/9,1], 再操作一次后区间将由 8 段构成依次类推如图 Cantor 集无限小却无限大的集合 [9] 图 11

9 n 次操作后, 区间的总长度为 ( 2 3 )n, 当 n 趋于无穷时, 区间长度趋于 0 但是这并不能说明这个区间里没有任何元素事实上, 我们可以找到至少一个元素比如, 下图中绿色的点表示三等分点, 如果 P 满足 AP/AB=A'P/A'B' 的话, 那么 P 点始终以比例相同的位置留在某一段上, 这样的话即使无限地分下去也不会把它挖掉图 12 P 点的坐标可以通过解这个方程得到 :x/1=(x-2/9)/(1/9) 解出来 x 为 1/4 因此, 1/4 属于康托集合当然, 除了 1/4 之外还有很多点在这个集合内, 我们只是找到了其中一个事实上, 康托集合内的元素有无穷多个假如我们把所有 0 到 1 的数用三进制表示, 那么我们发现, 去掉的部分都是三进制小数里有数字 1 的比如, 第一次操作时,1/3 和 2/3 的三进制分别是 0.1 和 0.2, 我们去掉的是所有从 0.1 到 0.2 的数 ( 不包含端点, 因为 0.1 也可以写成 ) 第二次操作就去掉了百分位有 1 的那些数, 依此类推因此, 只要一个位于 0 和 1 之间的三进制小数能够只用 0 和 2 写出, 那么它就属于康托集合, 因为它永远不会被去掉刚才的 1/4 转化为三进制是 , 因此它属于这个集合显然, 这样的数有无穷多个, 比如三进制等于十进制的 1/13, 因此它也属于康托集合同样, 康托集合里不存在孤点, 因为在它的左右可以找出无数个属于康托集合的数应用对角线方法, 这个集合里的元素居然还是不可数的事实上, 我们可以建立康托集合与闭区间 [0,1] 的一一对应关系用以下方法可以把康托集合里的所有数与 [0,1] 的所有实数对应起来 : 将康托集合内的任意一个转化为三进制小数后, 把每一个数字除以 2, 再当成是二进制小数转化回来由于这些三进制小数里只含 0 和 2, 因此康托集合里的每个数都恰好能转化为一个 [0,1] 之间的二进制小数 ; 同样地, 二进制小数里的每个 1 变成 2 后也能得到一个康托集合里的数

图 13 设 f 为定义域在康托集合内的函数, 定义 f(x) 为按照上面的转化方法 x 所对应的二进制小数, 显然这个函数的值域就是 [0,1] 比如 1/3 的三进制为 0.0222..., 而二进制 0.01111...=0.

10 图 13 设 f 为定义域在康托集合内的函数, 定义 f(x) 为按照上面的转化方法 x 所对应的二进制小数, 显然这个函数的值域就是 [0,1] 比如 1/3 的三进制为 , 而二进制 =0.1 即十进制的 1/2, 因此 f(1/3)=1/2 我们发现,2/3 的三进制为 0.2, 而 0.1 的十进制也是 1/2 于是 f(1/3)=f(2/3) 类似地, 那些被挖去的区间的两个端点对应的函数值都相同现在, 我们把这个函数的定义域也扩展到 [0,1]: 让康托集合里的那些被挖去的区间里的点的函数值与该区间对应的端点相同 ( 在函数图象上看相当于把函数值相等的点用横线段连起来 ) 于是, f(1/2)=f(1/3)=f(2/3)=1/2,f(1/8)=f(1/9)=f(2/9)=1/4 这个函数一定是上升函数, 它在长度为 1 的区间里从 0 增长到了 1 同时, 这个函数也是一个连续函数, 因为康托集合与 [0,1] 的所有实数一一对应这个函数是一个阶梯状的函数, 但是它不是分段的, 是连续的它是无穷多个横线段组成的一个连续函数, 除端点无意义以外导数值都是 0 或者说, 这个函数在不变之中上升 4.3 元素两两相加可以遍历 [0,2] [10] 我们在平面直角坐标系上构造出点集 C C, 原问题就可以等价于, 对于任意一个实数 a [0, 2], 直线 x + y = a 都将经过这个平面点集中的至少一个点如图 14 图 14 注意到,C C 也可以用下面的这个方法来构造先把 [0, 1] [0, 1] 分成九个小正方形,

11 挖去中间的五个小正方形, 剩下四个小正方形注意到直线 x + y = a 是一条 45 度倾斜的直线, 它不管摆在哪儿都会穿过至少一个角上的小正方形我们继续对每个剩下的小正方形做分割 - 擦除操作, 让每个小正方形也只剩下四个角刚才那条直线也就会穿过它所经过的那个小正方形的其中一个角如此进行下去, 我们将会得到单位正方形的其中一角的其中一角的其中一角的其中一角最后就会收敛到一个点这个点显然既属于直线 x + y = a, 又属于平面点集 C C 因此, 只要 0 a 2, 在 C 中总有两个数, 他们的和恰好是 a 参考文献 : [1] 陈力, 邵瑞. 分形理论及其在物理学中的应用 [J]. 皖西学院学报, 2006, 22(2): [2] 李进保. 自然界的自相似性与分形 [J]. 焦作矿业学院学报, 1994, 13(2): [3] 姚云霞. 用程序实现 Koch 雪花曲线的渐变 [J]. 陇东学院学报, 2010, 21(005): [4] 刘孝贤, 赵青. 基于分形的中国沿海省区海岸线复杂程度分析 [J]. [5] 临杰. 破译麦田圈的奇特密码 [J]. 新科幻 ( 文摘版 ), 2012 (6). [6] matrix67. 神奇的分形艺术 ( 一 ): 无限长的曲线可能围住一块有限的面积 [EB/OL]. 2007[ ]. [7] matrix67. 神奇的分形艺术 ( 二 ): 一条连续的曲线可以填满整个平面 [EB/OL]. 2007[ ]. [8] 刘式达, 刘式适. 孤波和湍流 [M]. 上海科技教育出版社, [9] matrix67. 无限小却无限大的集合 & 阶梯状的连续函数 [EB/OL]. 2007[ ]. [10] matrix67. 无限小却无限大的集合 & 阶梯状的连续函数 [EB/OL]. 2011[ ].

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附件晋陕豫黄河金三角区域合作规划 2014 年 4 月目录前言... 1 第一章合作背景... 2 第一节发展基础... 2 第二节重大意义... 3 第二章总体思路... 3 第一节指导思想... 3 第二节基本原则... 4 第三节战略定位... 5 第四节发展目

图 1 无 数 次 迭 代 之 后 得 到 的 曲 线 叫 Koch 雪 花, 把 三 条 这 样 的 曲 线 头 尾 相 接 组 成 一 个 封 闭 图 形, 便 得 到 了 雪 花 图 形, 即 Koch 雪 花 如 图 2 图 2 [6] 1.2 无 限 长 的 曲 线 可 能 围 住 一 块

图 1 无数次迭代之后得到的曲线叫 Koch 雪花, 把三条这样的曲线头尾相接组成一个封闭图形, 便得到了雪花图形, 即 Koch 雪花如图 2 图 2 [6] 1.2 无限长的曲线可能围住一块