命 题 3 逻 辑 的 研 究 推 理, 推 理 由 一 系 列 命 题 组 成 本 章 介 绍 命 题 的 基 本 概 念 和 种 类 3.1 语 句 及 其 赋 值 语 句 具 有 广 义 和 狭 义 和 两 种 含 义 广 义 语 句 即 语 言 学 规 定 的 语 句 : 合 乎 语 法 规

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1 数 学 中 的 逻 辑 学 Logic in Mathematics 华 东 师 范 大 学 数 学 系 羊 丹 平 1

2 命 题 3 逻 辑 的 研 究 推 理, 推 理 由 一 系 列 命 题 组 成 本 章 介 绍 命 题 的 基 本 概 念 和 种 类 3.1 语 句 及 其 赋 值 语 句 具 有 广 义 和 狭 义 和 两 种 含 义 广 义 语 句 即 语 言 学 规 定 的 语 句 : 合 乎 语 法 规 则 具 有 完 整 明 确 的 意 思, 由 某 种 语 言 的 词 语 和 词 组 组 成 的 语 言 单 位 包 括 陈 述 句 疑 问 句 祈 使 句 感 叹 句 四 种 类 型 语 句 是 表 达 思 维 的 载 体 在 形 式 逻 辑 体 系 下, 思 维 过 程 中 使 用 的 语 句 的 表 述 方 式 必 须 满 足 逻 辑 学 基 本 规 律 的 要 求 对 于 语 句 而 言, 排 中 律 和 无 矛 盾 律 的 表 述 为 : 排 中 律 : 语 句 明 确 表 述 或 肯 定 或 否 定 的 意 义 无 矛 盾 律 : 同 一 语 句 中 不 能 表 述 同 时 肯 定 和 否 定 基 于 排 中 律 和 无 矛 盾 律 的 要 求, 逻 辑 学 研 究 具 有 某 种 限 定 的 语 句 狭 义 语 句 一 种 语 句, 具 有 特 点 : 必 须 或 者 肯 定 或 者 否 定, 二 者 仅 居 其 一 狭 义 语 句 必 须 表 达 出 或 者 肯 定 或 者 否 定 的 明 确 意 义, 即 明 确 肯 定 或 否 定 存 在 某 种 状 态 和 发 生 某 个 行 为 这 种 语 句 只 包 括 陈 述 句 部 分 特 殊 的 疑 问 句 和 特 殊 的 感 叹 句 如 张 先 生 去 北 京 了 是 确 定 发 生 了 的 行 为 张 先 生 不 在 家 是 明 确 否 定 的 状 态 这 些 是 狭 义 语 句 一 般 疑 问 句 和 感 叹 句 不 表 示 或 者 肯 定 或 者 否 定 的 明 确 意 义, 因 而 不 是 狭 义 语 句 如 张 先 生 在 办 公 室 吗? 不 表 达 明 确 定 或 否 定 意 义, 不 是 一 个 狭 义 语 句 但 某 些 反 映 了 强 烈 的 确 定 意 义 的 特 殊 的 疑 问 句 以 及 特 殊 的 感 叹 句, 可 以 作 为 狭 义 语 句 处 理 如 反 讥 疑 问 句 : 难 道 闵 行 校 区 樱 桃 河 畔 景 色 不 美 吗? ( 该 句 真 实 表 达 的 含 义 是 闵 行 校 区 樱 桃 河 畔 景 色 美 ) 以 及 感 叹 句 大 海, 多 么 辽 阔 2

3 啊! 祈 使 句 也 不 是 狭 义 语 句 如 请 不 要 踩 踏 草 地! 这 是 祈 使 句, 并 未 表 达 踩 踏 或 未 踩 踏 的 明 确 意 义 狭 义 语 句 满 足 排 中 律 和 无 矛 盾 律 的 要 求 : 任 何 所 述 的 状 态 和 行 为 必 须 处 于 且 仅 处 于 肯 定 和 否 定 情 况 之 一 语 句 的 真 值 和 假 值 一 个 狭 义 语 句 所 表 达 的 明 确 意 义 是 否 正 确, 引 出 逻 辑 学 关 于 语 句 的 真 值 和 假 值 问 题, 统 称 为 真 值 问 题 什 么 是 语 句 的 真 与 假? 亚 里 士 多 德 提 出 的 说 法 : 说 是 者 为 是, 非 者 为 非, 是 真 的 ; 说 是 者 为 非, 非 者 为 是, 是 假 的 亚 里 士 多 德 说 法 的 解 读 : 者 指 语 句 者 字 前 面 的 是 与 非 与 后 面 的 是 与 非 是 两 个 不 同 的 概 念 前 者 是 语 句 中 表 达 的 状 态 和 行 为 的 肯 定 ( 是 ) 与 否 定 ( 非 ) 的 意 义, 后 者 是 实 际 情 况 或 经 推 理 证 明 确 认 的 语 句 表 述 的 状 态 和 行 为 肯 定 ( 是 ) 与 否 定 ( 非 ) 亚 里 士 多 德 关 于 语 句 真 假 的 含 义 为 : 语 句 中 肯 定 ( 否 定 ) 存 在 的 状 态 或 发 生 的 行 为 等, 真 实 情 形 也 为 肯 定 ( 否 定 ) 存 在 或 发 生, 则 该 语 句 取 值 为 真 语 句 中 肯 定 ( 否 定 ) 存 在 的 状 态 或 发 生 的 行 为 等, 真 实 情 形 却 为 否 定 ( 肯 定 ) 的, 则 该 语 句 取 值 为 假 某 语 句 取 真 值, 表 明 该 语 句 表 述 的 意 义 与 实 际 情 况 一 致 ( 是 者 为 是, 非 者 为 非 ); 某 语 句 取 假 值, 表 明 该 语 句 表 述 的 意 义 与 实 际 情 况 不 一 致 ( 是 者 为 非, 非 者 为 是 ) 确 定 一 个 语 句 的 真 假 不 是 逻 辑 学 的 任 务, 通 常 由 实 际 情 况 和 各 门 学 科 确 定 例 3.1 李 白 是 一 位 天 才 诗 人 和 李 白 不 是 一 位 伟 大 的 政 治 家 根 据 李 白 的 诗 作 和 史 书 记 载, 李 白 确 实 是 唐 代 天 才 诗 人 ( 是 者 为 是 ) 但 不 是 伟 大 的 政 治 家 ( 非 者 为 非 ), 因 此 上 述 二 语 句 均 取 值 为 真 例 3.2 李 白 不 是 一 位 天 才 诗 人 与 李 白 是 一 位 伟 大 的 政 治 家 3

4 根 据 史 书 记 载 : 李 白 确 实 是 天 才 的 诗 人 ( 非 者 为 是 ), 李 白 确 实 不 是 伟 大 的 政 治 家 ( 是 者 为 非 ), 因 此, 这 两 个 语 句 均 取 值 为 假 例 3.3 著 名 的 哥 德 巴 赫 猜 想 : 充 分 大 的 正 的 偶 数 都 可 以 表 示 成 两 个 正 的 素 数 之 和, 简 记 为 1+1 如 果 该 猜 想 取 真 值, 表 示 哥 德 巴 赫 猜 想 是 正 确 的 ; 如 果 该 猜 想 取 假 值, 表 示 哥 德 巴 赫 猜 想 是 不 正 确 的 数 百 年 来, 国 内 外 众 多 天 才 数 学 家 前 赴 后 继 地 试 图 证 明 哥 德 巴 赫 猜 想 取 真 值 例 3.4 金 山 是 山 字 面 上 看, 此 语 句 应 取 值 为 真 但 由 于 金 山 是 一 个 空 概 念 ( 外 延 为 空 类 ), 没 有 这 样 的 山, 此 语 句 实 际 是 不 真 实 的, 是 者 为 非, 因 此 这 个 语 句 应 取 值 为 假 类 似 语 句 有 孙 猴 ( 孙 悟 空 ) 是 猴, 永 动 机 是 机 器 等 本 例 子 提 醒 人 们 注 意 空 概 念 带 给 人 的 误 导 真 值 承 担 者 如 果 一 个 狭 义 语 句 能 够 取 真 或 假 值 ( 逻 辑 学 上 统 称 为 真 值 ), 称 该 语 句 可 以 作 为 真 值 承 担 者, 尽 管 很 多 情 形 人 们 不 知 道 该 语 句 取 何 值 例 如 李 白 是 一 位 天 才 诗 人 和 哥 德 巴 赫 猜 想 等 是 真 值 承 担 者 并 非 所 有 的 狭 义 语 句 都 能 够 取 真 值 或 假 值 例 3.5 海 战 问 题 : 明 天 发 生 海 战 明 天 海 战 是 否 发 生, 今 天 不 能 见 分 晓, 不 确 定 是 真 或 假 例 3.6 张 三 像 李 四 此 语 句 的 正 确 性 不 确 定 例 3.7 本 语 句 假 ( 悖 论 ) 设 本 语 句 为 A 则 上 述 语 句 等 同 于 A 假 注 意 到 : 本 语 句 指 整 个 语 句 本 语 句 假 ( 此 处 仅 有 这 一 个 完 整 的 语 句 ), 于 是 A 等 同 于 本 语 句 假 如 果 本 语 句 假 取 真 值, 即 本 语 句 假 是 真 实 的, 则 A 真 说 非 者 为 是, 是 假 的,A 应 取 假 值 如 果 语 句 本 语 句 假 取 假 值, 则 A 假 说 非 者 为 非, 是 真 的,A 应 取 真 值 所 以, 本 语 句 假 取 真 值 和 假 值 皆 不 可 4

5 例 3.8 明 信 片 问 题 : 一 张 明 信 片 的 A 面 写 有 一 句 话 : 本 明 信 片 背 面 那 句 话 是 真 的 另 一 面 (B) 的 那 句 话 是 : 本 明 信 片 背 面 那 句 话 是 假 的 在 这 个 问 题 中, 若 A 面 的 话 为 真 ( 假 ), 则 B 面 的 话 告 诉 人 们 A 面 的 话 为 假 ( 真 ) 无 论 从 那 句 话 出 发, 都 得 到 该 话 为 真 当 且 仅 当 该 话 为 假 从 而 两 个 语 句 无 法 取 真 假 值 3.2 命 题 判 断 和 陈 述 的 基 本 概 念 命 题 判 断 和 陈 述 是 思 维 过 程 中 的 重 要 形 式 和 组 成 部 分 命 题 判 断 和 陈 述 都 是 通 过 语 句 表 达 的, 但 语 句 不 一 定 都 是 命 题 判 断 和 陈 述 能 够 构 成 命 题 判 断 和 陈 述 的 语 句 必 须 满 足 形 式 逻 辑 的 排 中 律 和 无 矛 盾 律 思 维 的 目 的 是 判 别 是 非 和 得 出 真 假 作 为 思 维 的 一 种 重 要 形 式, 命 题 判 断 和 陈 述 等 均 需 具 有 可 判 别 的 特 质 对 于 语 句 的 赋 值 而 言, 排 中 律 表 述 为 : 排 中 律 : 在 同 一 思 维 过 程 中, 一 个 语 句 或 真 或 假, 必 居 其 一 无 矛 盾 律 表 述 为 : 无 矛 盾 律 : 在 同 一 思 维 过 程 中, 没 有 语 句 可 以 同 时 取 真 值 和 假 值 上 述 要 求 表 明 : 真 与 假 是 相 互 反 对 的 亚 里 士 多 德 关 于 语 句 真 值 的 界 定 满 足 形 式 逻 辑 的 排 中 律 和 无 矛 盾 律 的 要 求 : 适 用 于 形 式 逻 辑 思 考 的 语 句 必 须 处 于 且 仅 处 于 真 和 假 两 种 判 定 之 一 命 题 (Proposition) 具 有 下 述 两 个 特 征 的 语 句 : (1) 表 述 形 式 或 者 肯 定 或 者 否 定, 二 者 必 居 且 仅 居 其 一 (2) 表 达 含 义 或 者 为 真 或 者 为 假, 二 者 必 居 仅 居 其 一 判 断 (Judgment) 一 种 重 要 的 思 维 形 式, 即 对 思 维 对 象 是 否 具 有 某 种 性 质 或 某 种 关 系 的 断 定 对 象 无 不 具 有 一 定 的 属 性, 判 断 对 对 象 有 所 断 定, 就 是 肯 定 或 者 否 定 对 象 具 有 某 种 属 性 判 断 具 有 真 假 性 5

6 陈 述 (Statement) 一 个 或 真 或 假 的 狭 义 语 句 在 国 内 的 形 式 逻 辑 书 籍 中, 命 题 判 断 与 陈 述 无 区 别 在 国 外 的 形 式 逻 辑 书 籍 中, 命 题 和 陈 述 是 有 区 别 的 (1) 陈 述 含 有 语 言 和 文 字 的 差 别, 如 中 文 英 文 法 文 等 等 不 同 语 言 文 字 同 一 命 题 可 用 不 同 的 的 语 言 或 文 字 来 表 述 不 同 语 言 和 文 字 的 语 法 差 异 会 导 致 逻 辑 处 理 上 的 差 异 (2) 即 使 同 种 语 言 或 文 字, 也 存 在 多 种 不 同 的 方 式 表 达 同 一 个 命 题 (3) 命 题 则 专 指 各 种 语 言 表 述 的 语 句 的 真 实 含 义 (Meaning) 换 言 之, 陈 述 是 多 样 性 的, 命 题 是 唯 一 性 的 这 种 区 别 的 好 处 是 剥 除 语 言 文 字 差 异 所 带 来 的 岐 义 性 命 题 通 常 用 小 写 英 文 字 母 表 示 : 如 a,b,c,d,. 二 值 逻 辑 从 命 题 的 定 义 我 们 可 以 看 出, 经 典 逻 辑 学 ( 数 理 逻 辑 学 ) 限 制 于 讨 论 语 句 内 仅 包 含 肯 定 和 否 定 两 种 选 择, 语 句 取 值 仅 真 与 假 两 种 可 能 的 问 题, 因 而 是 所 谓 二 值 逻 辑 这 种 二 值 性, 也 决 定 了 形 式 逻 辑 仅 适 用 于 确 定 性 问 题, 在 数 学 领 域, 适 用 于 确 定 性 数 学 等 价 的 命 题 ( 等 值 的 命 题 )(Equivalent proposition) 两 个 同 时 取 真 值, 也 同 时 取 假 值 的 命 题 称 为 等 价 ( 等 值 ) 的 命 题, 即 p 为 真, 则 q 为 真, 且 q 为 真, 则 p 为 真 如 果 两 个 命 题 p 和 q 等 价 ( 等 值 ), 记 为 p q, 例 如 : x 2 2x 1 0 和 x =1 例 如 : 三 条 对 应 边 相 等 的 两 个 三 角 形 是 全 等 三 角 形 和 两 边 一 夹 角 相 等 的 两 三 角 形 是 全 等 三 角 形 如 果 两 个 命 题 等 价 ( 等 值 ), 人 们 可 以 将 一 个 问 题 的 研 究, 转 移 到 对 等 价 ( 等 值 ) 的 命 题 的 研 究 许 多 情 形, 一 个 非 常 困 难 的 命 题 的 等 价 命 题, 可 能 具 有 更 清 晰 的 结 构, 拥 有 更 多 和 更 丰 富 的 分 析 工 具 近 几 十 年 来, 许 多 重 大 的 数 学 难 题, 如 费 6

7 马 大 道 理 庞 卡 来 猜 想 等 都 是 在 运 用 跨 学 科 领 域 对 等 价 命 题 采 用 新 的 理 论 和 方 法 进 行 研 究, 获 得 了 突 破 和 解 决 在 数 学 上, 等 价 思 想 是 被 极 其 普 遍 使 用 的 重 要 思 想 和 方 法 在 数 学 研 究 中, 人 们 经 常 抽 去 问 题 的 实 际 含 义, 仅 保 存 某 些 形 式 的 共 有 的 抽 象 的 特 性 例 如 高 等 代 数 中 研 究 的 各 种 抽 象 的 向 量 空 间 代 数 结 构 等 同 学 们 面 对 一 堆 抽 象 的 符 号 和 对 象 等 会 一 脸 疑 惑, 但 是, 一 旦 运 用 某 种 方 法 建 立 了 实 际 问 题 与 抽 象 问 题 的 等 价 关 系, 抽 象 的 数 学 的 作 用 就 会 爆 发 出 来, 展 现 出 数 学 的 强 大 力 量 这 就 是 数 学 的 魅 力 美 丽 和 威 力 反 对 的 命 题 (Contrary proposition) 两 个 不 能 同 时 取 真 值 的 命 题 称 为 反 对 的 命 题 例 如 最 典 型 的 两 个 命 题 来 自 典 故 或 成 语 矛 盾 卖 兵 器 的 吆 喝 : 我 的 矛 锐 不 可 挡, 我 的 盾 坚 不 可 摧 围 观 者 问 : 用 你 之 矛 攻 你 之 盾 若 何? 卖 者 面 赤 面 红 耳 赤, 无 言 以 对 在 这 个 例 子 中, 矛 锐 不 可 挡 和 盾 坚 不 可 摧 是 不 能 同 时 成 立 的 从 而 是 两 个 相 互 反 对 的 命 题 此 例 是 中 文 矛 盾 一 词 的 典 故 来 源 定 理 : 两 个 互 相 反 对 的 命 题 必 有 一 假 例 如 上 例 中, 矛 锐 不 可 挡 和 盾 坚 不 可 摧 中 至 少 有 一 个 是 假 的 定 理 : 在 同 一 思 维 过 程 中, 如 果 两 个 互 相 反 对 的 命 题 同 时 为 真, 则 违 反 无 反 对 律 证 明 : 设 在 同 一 思 维 过 程 中, 两 个 命 题 a 和 b 同 时 成 立 即 a 真 且 b 真 另 一 方 面, 如 果 a 和 b 是 互 相 反 对 的 命 题, 必 有 一 个 为 假 不 失 一 般 性, 设 a 假, 则 a 同 时 取 真 值 与 假 值, 无 反 对 律 不 成 立 上 述 定 理 表 明, 在 一 个 思 想 中, 如 果 同 时 成 立 两 个 互 相 反 对 的 命 题, 则 该 思 想 是 违 反 无 矛 盾 律 的 违 反 这 一 要 求 的 谬 误, 称 为 自 相 反 对 协 调, 就 是 不 自 相 7

8 反 对 无 反 对 律 要 求 思 想 的 协 调 性 无 反 对 律 认 为, 自 相 反 对 的 思 想 一 定 是 一 种 谬 误 矛 盾 的 命 题 (Contradictoy proposition) 两 个 不 能 同 取 真 值, 也 不 能 同 时 取 假 值 的 命 题 称 为 矛 盾 的 命 题 例 如 : x 2 定 理 : 两 个 互 相 矛 盾 的 命 题 必 有 一 真 一 假 2x 1 0和 x 1 矛 盾 的 命 题 一 定 是 反 对 的 命 题, 但 反 对 的 命 题 不 一 定 是 矛 盾 的 命 题 在 矛 盾 的 典 故 中, 两 个 命 题 是 反 对 命 题 ( 不 能 同 时 为 真 ), 不 是 矛 盾 命 题 ( 可 以 同 时 为 假 ) 我 的 矛 锐 不 可 挡 为 假 意 味 着 我 的 矛 刺 不 穿 某 个 盾, 我 的 盾 坚 不 可 摧 为 假 意 味 着 我 的 盾 挡 不 住 某 枝 矛 这 两 个 命 题 可 以 同 时 成 立 于 是, 我 的 矛 锐 不 可 挡 与 我 的 盾 坚 不 可 摧 可 以 同 时 为 假 因 此, 由 成 语 导 出 的 矛 盾 一 词 是 反 对 的 含 义 这 是 逻 辑 中 的 矛 盾 与 日 常 语 言 中 的 矛 盾 的 一 点 差 别 在 数 学 中, 例 如 反 证 法 中, 我 们 常 说 导 出 了 一 个 矛 盾 的 事 实, 实 际 上 通 常 是 说 导 出 一 个 反 对 的 事 实, 不 一 定 是 逻 辑 学 中 所 说 的 矛 盾 的 事 实 定 理 : 在 同 一 思 维 过 程 中, 如 果 两 个 互 相 矛 盾 的 命 题 同 时 成 立 或 同 时 不 成 立, 则 违 反 排 中 律 证 明 : 设 在 同 一 思 维 过 程 中, 两 个 命 题 a 和 b 同 时 为 真 ( 假 ) 则 a 真 ( 假 ) 且 b 真 ( 假 ), 从 而 b 不 能 为 假 ( 真 ) 如 果 a 和 b 是 互 相 矛 盾 的 命 题,a 真 ( 假 ) 则 b 不 能 为 真 ( 假 ) b 即 不 能 为 假 ( 真 ) 也 不 能 为 真 ( 假 ), 排 中 律 不 成 立 上 述 定 理 表 明, 在 同 一 思 维 过 程 中, 如 果 同 时 肯 定 或 同 时 否 定 两 个 互 相 矛 盾 的 命 题, 则 该 思 维 过 程 是 违 反 排 中 律 的 8

9 命 题 分 为 模 态 命 题 和 非 模 态 命 题 两 大 类 非 模 态 命 题 又 分 为 简 单 命 题 和 复 合 命 题 模 态 命 题 放 在 后 面 的 对 应 章 节 介 绍 下 面 分 别 介 绍 简 单 命 题 和 复 合 命 题 的 基 本 知 识 3.3 简 单 命 题 简 单 命 题 是 由 简 单 句 构 成 的 命 题 从 语 言 学 的 角 度, 一 个 简 单 句 含 有 主 语 谓 语 宾 语 和 表 语 及 其 它 修 饰 部 分 在 逻 辑 学 中, 相 应 组 成 部 分 有 逻 辑 学 专 用 词 汇 表 述 简 单 命 题 的 组 成 成 分 主 项 ( 主 词 )(Subject) 命 题 所 反 映 的 思 维 对 象 称 为 命 题 的 主 项 或 主 词, 常 用 S 表 示 ( 相 当 于 语 句 中 的 主 语 ) 谓 项 ( 谓 词 宾 词 )(Predicate) 命 题 所 反 映 的 思 维 对 象 具 有 或 不 具 有 某 种 属 性 的 概 念 称 为 谓 项 谓 词 或 宾 词, 常 用 P 表 示 ( 相 当 于 语 句 中 的 宾 语 和 表 语 ) 联 项 ( 联 词 系 词 )(Copula) 联 系 主 项 和 谓 项 的 概 念 称 为 联 项 联 词 或 系 词, 常 用 是 或 不 是 等 表 示 思 维 对 象 ( 主 项 ) 和 属 性 ( 谓 项 ) 间 肯 定 或 否 定 的 关 系 ( 相 当 于 语 句 中 的 谓 语 ( 动 词 或 系 动 词 )) 量 项 ( 量 词 )(Quantifier) 表 示 主 项 数 量 的 概 念 称 为 量 项 或 量 词 命 题 的 质 对 命 题 中 联 项 肯 定 和 否 定 的 专 称 联 项 是 表 示 命 题 的 质 是 肯 定 的 联 项 不 是 表 示 命 题 的 质 是 否 定 的 换 质 推 理 过 程 中 的 术 语 换 质 指 换 命 题 的 质 : 是 与 不 是 互 换 命 题 的 量 对 命 题 中 主 词 的 量 的 专 称 全 称 量 项 ( 全 称 量 词 ) 表 示 全 体 对 象 的 量 词 称 为 全 称 量 项, 用 所 有 全 部 一 切 任 意 一 个 等 来 表 示 9

10 特 称 量 项 ( 特 称 量 词 ) 表 示 全 部 对 象 中 至 少 有 一 个 对 象 的 量 词 称 为 特 称 量 项, 用 有 有 的 存 在 等 表 示 单 称 量 词 表 示 一 般 的 单 独 对 象 的 量 词, 常 用 这 个 一 个 表 示 词 项 主 项 和 谓 项 统 称 为 词 项 例 如 : 金 属 都 ( 部 分 ) 是 发 光 的 这 是 一 个 命 题, 其 中 金 属 是 主 项, 是 是 联 项, 都 ( 部 分 ) 是 量 项, 都 ( 部 分 ) 是 全 称 ( 特 称 ) 量 项, 发 光 的 是 谓 项 简 单 命 题 只 包 含 一 个 主 项 和 一 个 谓 项 的 命 题 简 单 命 题 由 主 项 谓 项 联 项 和 量 项 四 部 分 组 成 主 项 表 示 命 题 的 对 象 概 念 谓 项 表 示 主 项 具 有 或 不 具 有 的 性 质 概 念 联 项 反 映 命 题 的 质 的 差 异 量 项 表 示 主 项 和 谓 项 的 数 量, 反 映 命 题 的 量 的 差 别 简 单 命 题 分 为 直 言 命 题 和 关 系 命 题 直 言 命 题 ( 性 质 命 题 属 性 命 题 )(Categorical proposition) 一 类 简 单 命 题, 直 接 陈 述 事 物 具 有 或 不 具 有 某 种 属 性 的 命 题 基 本 结 构 是 : ( 量 词 )+ 主 项 + 联 项 + 谓 项 例 如 : 一 切 犯 罪 是 违 法 行 为 直 言 命 题 的 分 类 : 直 言 命 题 按 质 分 为 肯 定 命 题 和 否 定 命 题 ; 按 量 分 为 全 称 命 题 特 称 命 题 和 单 称 命 题 ; 按 质 和 量 结 合 起 来 分 为 六 种 基 本 形 式 : 全 称 肯 定 命 题 与 全 称 否 定 命 题, 特 称 肯 定 命 题 与 特 称 否 定 命 题, 单 称 肯 定 命 题 与 单 称 否 定 命 题 肯 定 命 题 (Affirmative proposition) 一 类 直 言 命 题, 指 断 定 事 物 具 有 某 种 性 质 的 命 题 形 式 结 构 为 : 10

11 S 是 P 其 中 S 之 前 可 以 加 上 适 当 量 词, 例 如 : 一 切 反 动 派 都 是 纸 老 虎 性 格 决 定 命 运 任 意 大 于 6 的 偶 数 都 是 两 个 素 数 的 和 否 定 命 题 (Negative proposition) 一 类 直 言 命 题, 指 断 定 事 物 不 具 有 某 种 性 质 的 命 题 形 式 结 构 为 : S 不 是 P 其 中 S 之 前 可 以 加 上 适 当 量 词 例 如 :2 不 是 奇 数 例 如 : 闭 区 间 上 所 有 无 界 函 数 不 是 该 闭 区 间 上 连 续 函 数 全 称 命 题 (Universal proposition) 一 类 简 单 命 题, 指 具 有 全 称 量 词 的 直 言 命 题 形 式 结 构 为 : 所 有 S 是 ( 不 是 )P 例 如 : 对 任 何 0 x, 成 立 s in x 0 特 称 命 题 (Particular proposition) 一 类 简 单 命 题, 指 具 有 特 称 量 词 的 直 言 命 题 形 式 结 构 为 : 有 S 是 ( 不 是 )P 例 如 : 有 些 正 实 数 的 平 方 根 是 ( 不 是 ) 有 理 数 单 称 命 题 一 类 简 单 命 题, 指 主 项 为 单 独 概 念 的 直 言 命 题 形 式 结 构 为 : 这 个 S 是 ( 不 是 )P 例 如 : 圆 周 率 不 是 有 理 数 11

12 全 称 肯 定 命 题 (A 命 题 SAP)(Universal affirmative proposition) 一 类 简 单 命 题, 指 断 定 某 类 事 物 的 全 部 都 具 有 某 种 性 质 的 命 题 形 式 结 构 为 : 所 有 S 是 P 全 称 肯 定 命 题 的 代 表 符 号 为 A, 又 称 为 A 型 命 题 (A 命 题 ), 简 记 为 :SAP 例 如 : 所 有 四 边 形 都 是 平 行 四 边 形 四 边 形 是 主 项, 平 行 四 边 形 是 谓 词, 是 联 词, 都 是 全 称 量 词 这 是 一 个 全 称 肯 定 命 题 特 称 肯 定 命 题 (I 命 题 SIP)(Particular affirmative proposition) 一 类 简 单 命 题, 指 断 定 某 类 事 物 中 有 的 ( 某 个 或 某 一 部 分 ) 具 有 某 种 性 质 的 命 题 形 式 结 构 为 : 有 S 是 P 特 称 肯 定 命 题 的 代 表 符 号 为 I, 又 称 为 I 型 命 题 (I 命 题 ), 简 记 为 :SIP 例 如 : 中 国 仍 有 不 少 家 庭 处 在 贫 困 线 下 存 在 x< +, 满 足 s in x =0 单 称 肯 定 命 题 一 类 简 单 命 题, 是 断 定 某 一 特 定 的 个 别 对 象 具 有 某 种 性 质 的 命 题 形 式 结 构 为 : 这 个 S 是 P 例 如 : 这 个 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 全 称 否 定 命 题 (E 命 题 SEP)(Universal negative proposition) 一 类 简 单 命 题, 指 断 定 某 类 事 物 的 全 部 都 不 具 有 某 种 性 质 的 命 题 形 式 结 构 为 : 所 有 S 都 不 是 P 全 称 肯 定 命 题 的 代 表 符 号 为 E, 又 称 为 E 型 命 题 (E 命 题 ), 简 记 为 :SEP 例 如 : 所 有 奇 数 都 不 能 被 二 整 除 12

13 特 称 否 定 命 题 (O 命 题 SOP)(Particular negative proposition) 一 类 简 单 命 题, 指 断 定 某 类 事 物 中 有 的 ( 某 个 或 某 一 部 分 ) 不 具 有 某 种 性 质 的 命 题 形 式 结 构 为 : 有 S 不 是 P 特 称 否 定 命 题 的 代 表 符 号 为 O, 又 称 为 O 型 命 题 (O 命 题 ), 简 记 为 :SOP 例 如 : 有 的 数 不 是 有 理 数 单 称 否 定 命 题 一 类 简 单 命 题, 是 断 定 某 一 特 定 的 个 别 对 象 不 具 有 某 种 性 质 的 命 题 例 如 :2 的 平 方 根 不 是 有 理 数 全 称 肯 定 命 题 与 对 应 全 称 否 定 命 题 是 反 对 的 命 题, 但 不 一 定 是 矛 盾 的 命 题 设 全 称 肯 定 命 题 A: 所 有 S 是 P 对 应 全 称 否 定 命 题 B: 所 有 S 不 是 P A 和 B 二 者 不 能 同 时 为 真, 于 是 A 和 B 是 反 对 的 所 有 S 是 P 为 假 是 有 S 不 是 P, 所 有 S 不 是 P 为 假 是 有 S 是 P, 有 S 不 是 P 与 有 S 是 P 可 以 同 时 成 立,A 和 B 二 者 可 以 同 时 为 假, 于 是 不 一 定 是 矛 盾 的 例 如 : 全 称 肯 定 命 题 : 小 王 和 小 赵 出 差 去 了 北 京 ( 二 人 同 时 去 了 北 京 ) 全 称 否 定 命 题 : 小 王 和 小 赵 没 出 差 去 北 京 ( 二 人 都 没 有 去 北 京 ) 二 命 题 不 可 同 时 为 真, 因 而 是 反 对 命 题 小 王 和 小 赵 出 差 去 了 北 京 为 假 意 为 小 王 和 小 赵 至 少 一 人 没 出 差 去 北 京 小 王 和 小 赵 没 出 差 去 北 京 为 假 意 为 小 王 和 小 赵 至 少 一 人 出 差 去 了 北 京 二 命 题 可 同 时 为 假, 因 而 不 是 矛 盾 命 题 特 称 肯 定 命 题 与 对 应 特 称 否 定 命 题 不 一 定 是 反 对 的 命 题 13

14 设 特 称 肯 定 命 题 A: 有 S 是 P 对 应 特 称 否 定 命 题 B: 有 S 不 是 P A 和 B 二 者 可 能 同 时 为 真, 于 是 A 和 B 不 一 定 是 反 对 命 题 例 如 特 称 肯 定 命 题 : 二 人 之 一 是 凶 手 特 称 否 定 命 题 : 二 人 之 一 不 是 凶 手 二 命 题 可 以 同 时 为 真, 因 而 不 是 反 对 命 题 单 称 肯 定 命 题 与 对 应 单 称 否 定 命 题 是 矛 盾 命 题 设 单 称 肯 定 命 题 A: 这 个 S 是 P 对 应 单 称 否 定 命 题 B: 这 个 S 不 是 P A 和 B 二 者 不 可 能 同 时 为 真, 于 是 A 和 B 是 反 对 命 题 这 个 S 是 P 为 假 是 这 个 S 不 是 P, 这 个 S 不 是 P 为 假 是 这 个 S 是 P A 和 B 也 不 可 能 同 时 为 假 因 而 A 和 B 是 矛 盾 的 简 单 命 题 的 上 述 特 性 需 要 特 别 注 意 关 系 命 题 一 类 简 单 命 题, 是 断 定 两 个 或 两 个 以 上 事 物 之 间 有 无 某 种 关 系 的 命 题 相 关 内 容 后 面 章 节 介 绍 3.4 复 合 命 题 复 合 命 题 包 含 多 个 命 题, 用 一 定 的 命 题 联 接 词 连 接 而 形 成 的 命 题 形 式 上 是 复 合 句 组 成 复 合 命 题 的 命 题 叫 做 该 复 合 命 题 的 支 命 题, 支 命 题 可 以 是 简 单 命 题, 也 可 以 是 一 个 复 合 命 题 基 本 的 复 合 命 题 通 常 分 为 四 类 : 否 命 题 联 言 命 题 选 言 命 题 假 言 命 题 (1) 负 命 题 ( 否 命 题 负 判 断 否 判 断 )(Negation) 负 命 题 是 否 定 一 个 命 题 而 得 到 的 命 题, 标 准 形 式 为 : p, not p p 称 为 原 命 题 读 作 并 非 p 否 p 非 p 有 些 逻 辑 书 上 也 采 用 : p 或 p, 表 示 负 命 题 14

15 负 命 题 的 取 值 负 命 题 的 真 值 与 原 命 题 的 真 值 相 反, 即 p 取 真 时, p 取 假 ;p 取 假 时, p 取 真 这 就 是 负 命 题 与 原 命 题 的 逻 辑 性 质 负 ( 否 ) 命 题 真 值 表 p p T F F T 其 中 :T-Ture, 表 示 真, F-False, 表 示 假 通 常 可 以 用 1 表 示 T, 用 0 表 示 F 真 值 表 反 映 了 一 个 复 合 命 题 取 值 与 其 支 命 题 取 值 的 关 系 一 个 命 题 对 应 一 张 真 值 表, 反 之, 一 张 真 值 表 全 体, 给 出 一 个 命 题 具 有 等 值 真 值 表 的 命 题 是 等 价 ( 等 值 ) 的 命 题 负 ( 否 ) 命 题 在 数 学 中 是 一 个 非 常 重 要 和 常 用 的 概 念 正 确 地 写 出 和 理 解 一 个 命 题 的 负 ( 否 ) 命 题, 可 以 加 深 对 该 命 题 的 更 加 深 刻 的 理 解, 特 别 是 在 数 学 的 推 理 论 证 ( 尤 其 是 反 证 法 ) 中, 负 ( 否 ) 命 题 发 挥 着 决 定 性 的 作 用 原 命 题 与 负 ( 否 ) 命 题 是 相 互 矛 盾 的 命 题 例 如 : 命 题 一 刮 风 就 下 雨 的 负 ( 否 ) 命 题 为 并 非 一 刮 风 就 下 雨 等 同 于 说 一 刮 风 就 下 雨 是 假 的, 或 一 刮 风 就 下 雨 之 说 不 成 立 含 义 为 : 有 时 刮 风 不 下 雨 特 别 注 意 : 负 ( 否 ) 命 题 与 否 定 命 题 是 两 个 不 同 的 概 念, 具 有 不 同 的 含 义 首 先, 否 定 命 题 仅 限 于 简 单 命 题, 对 于 简 单 命 题, 由 于 仅 含 一 个 联 项, 所 以, 容 易 通 过 换 质 确 定 新 的 有 意 义 的 命 题 对 于 复 合 命 题 而 言, 在 各 支 命 题 中 含 有 多 个 联 项, 可 能 不 能 通 过 换 质 获 得 有 意 义 的 新 命 题 而 对 任 意 命 题, 通 过 负 ( 否 ) 命 题 程 序, 总 可 以 获 得 有 意 义 的 新 命 题 15

16 其 次, 负 ( 否 ) 命 题 是 否 定 整 个 原 命 题, 否 定 词 放 在 命 题 前 面, 或 整 个 句 子 的 后 面 否 定 命 题 中 的 否 定 词 在 放 在 主 项 与 谓 项 之 间 第 三 负 ( 否 ) 命 题 与 相 应 否 定 命 题 取 真 假 值 没 有 必 然 的 关 系 例 如 : 有 的 数 是 有 理 数 对 应 否 命 题 是 没 有 数 是 有 理 数, 取 值 为 假 对 应 否 定 命 题 是 有 的 数 不 是 有 理 数, 取 值 为 真 二 者 取 值 不 同 例 如 : 存 在 自 然 数 是 无 理 数 对 应 否 命 题 是 所 有 自 然 数 是 有 理 数, 取 值 为 真 对 应 否 定 命 题 是 存 在 自 然 数 是 有 理 数, 取 值 亦 为 真 二 者 同 为 真 但 意 义 不 相 同 例 如 : 存 在 自 然 数 是 有 理 数 对 应 否 命 题 是 所 有 自 然 数 是 无 理 数, 取 值 为 假 对 应 否 定 命 题 是 存 在 自 然 数 是 无 理 数, 取 值 亦 为 假 二 者 同 为 假 但 意 义 不 相 同 例 如 : 所 有 实 数 是 无 理 数 对 应 否 命 题 是 有 实 数 是 有 理 数, 取 值 为 真 对 应 否 定 命 题 是 所 有 实 数 是 有 理 数, 取 值 为 假 二 者 取 值 不 相 同 ( 所 有 S 是 P) = 有 S 不 是 P ( 所 有 S 不 是 P) = 有 S 是 P 例 如 : 小 王 和 老 张 出 差 去 了 北 京 ( 二 人 同 时 去 了 北 京 ) ( 小 王 和 老 张 出 差 去 了 北 京 ) = 小 王 和 老 张 至 少 一 人 没 出 差 去 北 京 意 思 为 二 人 中 一 人 或 二 人 都 没 去 北 京 例 如 : 哥 德 巴 赫 猜 想 : 任 意 大 的 偶 数 可 以 表 示 为 两 个 素 数 之 和 偶 数 之 和 哥 德 巴 赫 猜 想 = 对 任 意 大 的 N, 存 在 一 个 大 于 N 的 偶 数 不 能 表 示 成 两 个 ( 有 S 是 P) = 所 有 S 不 是 P 16

17 ( 有 S 不 是 P) = 所 有 S 是 P 例 如 : 存 在 自 然 数 是 有 理 数 ( 存 在 自 然 数 是 有 理 数 ) = 所 有 自 然 数 是 无 理 数 ( 这 个 S 是 P) = 这 个 S 不 是 P ( 这 个 S 不 是 P) = 这 个 S 是 P 逻 辑 学 上 的 负 ( 否 ) 命 题 与 高 中 教 材 中 否 命 题 的 定 义 是 不 同 的 为 了 国 际 的 通 用 性, 请 大 家 坚 决 放 弃 掉 高 中 教 材 的 关 于 否 命 题 的 定 义 至 少 应 该 注 意 到 差 别, 正 确 理 解 否 命 题 的 真 实 含 义 这 一 点, 在 下 面 选 言 命 题 中 还 会 讲 到 双 否 律 : ( p) = p 证 明 : 只 需 证 明 两 端 对 应 的 命 题 同 时 取 真 值 或 假 值 设 ( p) 为 真, 则 由 负 命 题 的 定 义 得 p 为 假, 进 一 步 得 p 为 真 反 之, ( p) 为 假, 则 由 负 命 题 的 定 义 得 p 为 真, 进 一 步 得 p 为 假 证 毕 尽 管 命 题 p 与 命 题 ( p) 等 价, 但 它 们 从 不 同 的 观 点 考 察 同 一 个 问 题, 启 发 产 生 不 同 的 思 路 反 证 法 是 数 学 论 证 与 思 维 中 非 常 重 要 和 常 用 的 方 法 双 否 律 表 明 : 为 了 证 明 命 题 p 为 真, 只 需 证 明 p 假 例 如 : 哥 德 巴 赫 猜 想 的 一 个 证 明 思 路 是 证 明 非 哥 德 巴 赫 猜 想 为 假 非 哥 德 巴 赫 猜 想 为 : 存 在 无 穷 多 个 正 的 偶 数 不 能 表 示 成 两 个 素 数 之 和 定 义 不 能 表 示 为 两 个 素 数 之 和 的 偶 数 为 一 个 非 哥 德 巴 赫 数 若 证 明 非 哥 德 巴 赫 数 是 有 限 个, 则 非 哥 德 巴 赫 猜 想 为 假 从 而 哥 德 巴 赫 猜 想 正 确 (2) 联 言 ( 合 取 ) 命 题 (Conjunction) 17

18 联 言 ( 合 取 ) 连 接 词 : 合 取 并 且, and 数 理 逻 辑 记 号 : 联 言 ( 合 取 ) 命 题 由 联 言 连 接 词 连 接 的 复 合 命 题 表 示 由 联 言 连 接 词 连 接 的 各 分 支 命 题 同 时 为 真 时 取 值 为 真 的 命 题 联 言 支 联 言 命 题 的 支 命 题 称 为 联 言 支 联 言 一 词 是 中 文 意 译, 突 出 联 合 或 共 同 的 含 义, 更 生 活 化 一 些 ; 合 取 一 词 是 专 业 化 的 意 译, 更 专 业 化 一 些 标 准 形 式 : p q 读 作 p 联 言 q p 合 取 q p 且 q p 和 q p and q 联 言 ( 合 取 ) 命 题 可 以 包 含 任 意 多 个 支 命 题 的 情 形 : 如 p1 p2 p n 基 本 特 征 是 所 连 接 的 命 题 同 时 成 立 时 为 真 简 言 之 : 全 真 为 真, 见 假 为 假 联 言 命 题 真 值 表 p q p q T T T T F F F T F F F F 交 换 律 : p q q p 18

19 结 合 律 : (p q) r p (q r) = p q r 有 p 证 明 : 只 需 证 明 第 一 个 等 式 两 端, 全 真 才 真 设 (p q) r 为 真, 则 由 定 义 必 q 真 和 r 真 再 由 定 义 p q 真 得 必 有 p 真 和 q 真 于 是 p q 和 r 全 真 另 一 方 面, 若 p q 和 r 全 真, 则 p q 真 和 r 真, 进 一 步 得 (p q) r 为 真 于 是 得 证 (p q) r 全 真 才 真 类 似 可 得 p (q r) 全 真 才 真 证 毕 例 如 : 3 和 117 都 是 素 数 即 使 他 是 一 位 穷 人, 他 依 然 努 力 保 持 自 己 的 尊 严 鸟 宿 池 边 树, 僧 敲 月 下 门 (3) 选 言 ( 析 取 ) 命 题 (Disjunction) 选 言 ( 析 取 ) 连 接 词 : 或 者 析 取 or 数 理 逻 辑 记 号 : 选 言 命 题 分 为 两 类 : 可 兼 ( 相 容 ) 选 言 ( 析 取 ) 命 题 (Inclusive disjunction) 和 不 可 兼 ( 不 相 容 ) 选 言 ( 析 取 ) 命 题 (Exclusive disjunction) 通 常 可 兼 ( 相 容 ) 选 言 ( 析 取 ) 命 题 略 去 可 兼 ( 相 容 ) 一 词, 即 如 果 不 特 殊 说 明 或 界 定, 选 言 命 题 指 可 兼 ( 相 容 ) 选 言 ( 析 取 ) 命 题 选 言 ( 析 取 ) 命 题 : 由 相 容 选 言 连 接 词 连 接 的 复 合 命 题 表 示 由 相 容 选 言 连 接 词 连 接 的 各 分 支 命 题 至 少 一 个 为 真 时 取 值 为 真 的 命 题 选 言 支 选 言 命 题 的 支 命 题 称 为 选 言 ( 析 取 ) 支 选 言 一 词 是 中 文 意 译, 突 出 可 选 择 的 含 义, 更 生 活 化 一 些 ; 析 取 一 词 是 专 业 化 的 意 译, 更 专 业 化 一 些 标 准 形 式 : p q 19

20 读 作 p 或 者 q 或 者 p, 或 者 q p or q 选 言 命 题 可 以 包 含 任 意 多 个 支 命 题 的 情 形 : p p p 1 2 n 选 言 命 题 的 基 本 特 征 为 多 个 选 言 支 可 以 共 存, 断 言 几 种 情 况 至 少 有 一 种 存 在, 容 许 多 种 甚 至 全 部 情 况 同 时 存 在 相 容 ( 可 兼 ) 是 指 各 选 言 支 命 题 可 以 同 时 成 立 相 容 言 命 题 真 值 表 p q p q T T T T F T F T T F F F 简 言 之 : 见 真 即 真, 全 假 才 假 交 换 律 : p q = q p 结 合 律 : (p q) r = p (q r) = p q r 证 明 : 只 需 证 明 第 一 个 等 式 两 端, 全 假 才 假 设 (p q) r 为 假, 则 由 定 义 必 有 p q 假 和 r 假 再 由 定 义 p q 假 得 必 有 p 假 和 q 假 于 是 p q 和 r 全 假 另 一 方 面, 若 p q 和 r 全 假, 必 有 p q 假 和 r 假, 进 一 步 得 (p q) r 为 假 得 证 (p q) r 全 假 才 假 则 类 似 可 得 p (q r) 全 假 才 假 证 毕 例 如 : (a) 或 甲 作 案, 或 乙 作 案 ( 含 甲 乙 同 作 案 ) 20

21 (b) 或 甲 当 选 议 员, 或 乙 当 选 议 员 ( 含 甲 乙 同 当 选 ) (c) 在 有 界 闭 区 间 上 连 续 或 具 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点 或 单 调 的 函 数 是 黎 曼 可 积 的 (d) 物 质 形 态 或 者 是 气 体 或 者 是 液 体 或 者 是 固 体 或 者 是 等 离 子 体 或 者 是 波 色 - 爱 因 斯 坦 冷 凝 体, 或 者 是 费 米 冷 凝 体 不 可 兼 选 言 命 题 : 由 不 可 兼 选 言 连 接 词 连 接 的 复 合 命 题 表 示 由 不 可 兼 选 言 连 接 词 连 接 的 各 分 支 命 题 有 且 只 有 一 个 为 真 时 取 值 为 真 的 命 题, 不 容 许 多 种 情 况 同 时 存 在 逻 辑 符 号 为 : 有 些 逻 辑 书 上 用 符 号 : 不 可 兼 命 题 的 标 准 形 式 为 : p q 读 作 p 不 可 兼 析 取 q 要 么 p, 要 么 q p 或 者 q, 仅 居 其 一 不 可 兼 选 言 ( 命 题 ) 可 以 包 含 任 意 多 个 支 命 题 的 情 形 : p1 p2 p n 不 可 兼 选 言 命 题 的 基 本 特 征 为 多 个 选 言 支 可 以 共 存, 但 断 定 多 种 情 况 中 有 且 只 有 一 种 情 况 成 立, 不 可 兼 选 言 命 题 真 值 表 p q p q T T F T F T F T T F F F 21

22 简 言 之 : 一 真 才 真, 其 它 为 假 不 可 兼 选 言 命 题 的 等 价 形 式 : p q = (p q) ( (p q)) 含 义 为 :p 和 q 之 一 为 真 但 不 能 同 时 为 真 p q = (p ( q)) (( p) q) 含 义 为 : 或 者 p 真 q 假, 或 者 p 假 q 真 交 换 律 : p q = q p 对 于 不 可 兼 选 言 命 题, 结 合 律 不 成 立 例 如 考 虑 p1 p2 p 3 的 情 形 设 p 1 p2 和 p3全 真, 则 由 不 可 兼 选 言 命 题 的 定 义 可 得 p1 p2 p 3 为 假, 而 p 1 (p2 p 3) 为 真 这 说 明 不 可 兼 选 言 命 题 与 可 兼 选 言 命 题 有 本 质 的 不 同 在 研 究 选 言 命 题 的 推 理 逻 辑 时, 要 充 分 注 意 到 可 兼 与 不 可 兼 的 特 点 例 如 : (e) 该 案 为 一 人 所 为, 不 是 甲 作 案, 就 是 乙 作 案 ( 不 会 共 同 作 案 ) (f) 要 么 甲 当 选 总 统, 要 么 乙 当 选 总 统 ( 不 可 能 同 当 选 总 统 ) (g) 要 么 司 机 甲 撞 人, 要 么 司 机 乙 撞 人 ( 不 可 能 同 时 撞 一 人 ) (h) 一 个 仪 器 一 次 仅 能 通 过 一 个 信 号, 或 信 号 A 通 过, 或 信 号 B 通 过 ( 不 可 能 同 时 通 过 ) (i) 为 官 不 可 牟 利, 为 利 不 能 从 官 要 么 为 官, 要 么 牟 利 ( 不 可 兼 得 ) 对 比 (a) 和 (e), 同 是 判 断 谁 作 案, 但 (a) 不 排 除 共 同 作 案 的 可 能, 故 容 许 共 犯 的 情 况 发 生 而 (e) 已 经 断 定 一 人 作 案, 是 不 可 兼 选 言 命 题 类 似 的 比 较 (b) 和 (f), 议 员 可 以 多 人 当 选, 而 总 统 只 有 一 人 当 选, 故 尽 管 甲 乙 都 有 当 选 可 能, 但 (b) 是 可 兼 选 言 命 题,(f) 是 不 可 兼 选 言 命 题 22

23 在 (d) 中, 各 选 言 支 是 不 能 共 存 的 ( 自 然 不 可 兼 ), 但 (d) 不 是 不 可 兼 选 言 命 题, 或 者 不 必 作 为 不 可 兼 命 题 处 理, 可 兼 选 言 命 题 包 含 此 种 各 选 言 支 不 能 共 存 的 情 况 不 可 兼 选 言 命 题 的 本 质 和 意 义 是 在 各 支 命 题 可 共 存 情 况 下, 限 定 不 可 兼 在 实 际 应 用 中, 对 可 兼 或 不 可 兼 选 言 命 题 没 有 专 门 的 术 语, 基 本 取 决 于 语 境 通 常 会 使 用 仅 居 其 一 或 类 似 的 限 制 语, 有 时 通 过 条 件 隐 含 不 可 兼, 如 (f) (g) 和 (h) 要 根 据 具 体 情 况 具 体 分 析 确 定 有 些 中 文 逻 辑 书 中 用 或 者 表 示 可 兼, 要 么 表 示 不 可 兼, 以 示 区 别 案 例 : 某 单 位 挑 选 献 血 者 体 检 最 不 可 能 被 挑 上 的 是 2012 年 以 来 已 经 献 过 血 的, 或 是 在 献 血 体 检 中 不 合 格 的 人 下 面 几 位 报 名 者 最 有 可 能 被 选 上? A. 小 张 2013 年 献 过 血, 血 型 是 O 型, 医 用 价 值 最 高 B. 小 王 是 区 献 血 标 兵, 近 年 来 年 年 献 血, 坚 决 要 求 献 血 C. 小 刘 2013 年 要 求 献 血, 因 澳 抗 阳 性 体 检 不 合 格, 这 次 出 具 澳 抗 转 阴 的 证 明, 坚 决 要 求 献 血 D. 大 陈 最 近 一 次 献 血 是 2010 年, 他 因 工 伤 截 肢 也 坚 决 要 求 献 血 结 论 : 大 陈 最 可 能 被 选 上 (3) 假 言 命 题 ( 条 件 命 题 )(Hypothesis,Condition or the Condition) 假 言 命 题 ( 条 件 命 题 ): 由 条 件 关 系 连 接 词 连 接 的 两 个 命 题 p 和 q 形 成 的 复 合 命 题 标 准 形 式 为 : p 条 件 关 系 连 接 词 q p 称 为 命 题 的 前 件 (antecedent),q 称 为 命 题 的 后 件 (consequent) 设 p 和 q 是 两 个 命 题, 与 之 相 关 的 条 件 命 题 有 以 下 几 种 形 式 (A) 蕴 含 命 题 (Implication) 条 件 关 系 连 接 词 : 蕴 含, 如 果, 则 ; 一 旦, 必 有 数 理 逻 辑 记 号 : 23

24 蕴 含 命 题 指 形 式 为 如 果 p 为 真 则 q 为 真 的 复 合 命 题 标 准 形 式 为 : p q. If p, then q 读 作 如 果 p 则 q 有 p 必 有 q p 蕴 含 q p 推 出 q 下 面 考 察 蕴 含 命 题 的 真 值 表 从 蕴 含 命 题 的 原 意, 并 未 考 虑 p 为 假 时 q 取 何 值, 因 此, 需 补 充 定 义 p 为 假 时 q 的 值 从 蕴 含 命 题 的 原 意, p 为 假 时, 并 不 能 对 q 施 加 什 么 影 响, 所 以 此 时 q 或 真 或 假 都 是 可 以 成 立 的 形 式 逻 辑 中 规 定 :p q 取 假 值, 当 且 仅 当 p 真 而 q 假 蕴 含 命 题 真 值 表 p q p q T T T T F F F T T F F T 等 价 的 形 式 : p q = ( p) q 上 式 右 端 含 义 为 : p 和 q 全 假 才 假, 即 p 真 q 假 才 假 与 左 端 等 值 我 们 采 用 定 义 和 真 值 表 两 种 方 法 证 明 上 述 等 式 证 明 一 : ( p) q为 假 时, p 假 且 q 假, 即 p 真 且 q 假 而 p q 为 假, 当 且 仅 当 p 真 且 q 假 于 是 ( p) q与 p q 取 值 等 同 证 毕 证 明 二 : 采 用 真 值 表 法 证 明 作 出 真 值 表 如 下 : 24

25 p q p ( p) q p q T T F T T T F F F F F T T T T F F T T T ( p) q 与 p q 真 值 表 相 同, 所 以 二 命 题 等 值 证 毕 例 如 : 蕴 含 命 题 : 如 果 身 体 感 冒, 则 身 体 发 烧 ( 感 冒 必 发 烧 ) 蕴 含 命 题 等 价 的 命 题 : 或 者 不 感 冒, 或 者 发 烧 ( 感 冒 不 发 烧 假 ) (B) 反 命 题 (Inversion or the inverse) 反 命 题 指 形 式 为 " 如 果 非 p 则 非 q" 的 复 合 命 题 称 为 蕴 含 命 题 (A) 的 反 命 题 前 件 与 后 件 全 否, 但 角 色 或 地 位 未 变 ( 换 质 不 换 位 ) 标 准 形 式 为 : ( p) ( q). If p, then q. 读 作 如 果 非 p 则 非 q, 没 有 p 则 没 有 q, If p false, then q false. 等 价 的 形 式 : 反 命 题 真 值 表 p q ( p) ( q) T T T T F T F T F F F T 25

26 ( p) ( q) = p ( q) 例 如 : 原 命 题 : 如 果 身 体 感 冒, 则 身 体 发 烧 ( 感 冒 必 发 烧 ) 反 命 题 : 如 果 身 体 不 感 冒, 则 身 体 不 发 烧 ( 不 感 冒 必 不 发 烧 ) 反 命 题 等 价 的 命 题 : 或 者 身 体 感 冒 或 者 身 体 不 发 烧 ( 不 感 冒 且 发 烧 假 ) Inverse 的 含 义 是 位 置 方 向 顺 序 或 作 用 等 对 立 面 反 义 词 反 面 负 面 强 调 具 有 质 的 不 同, 具 有 换 质 的 含 义, 一 般 不 具 有 否 定 的 含 义 否 定 在 逻 辑 上 是 指 不 真 实 Inverse 不 能 翻 译 作 否, 尽 管 反 命 题 中 出 现 了 逻 辑 符 号 在 上 面 例 子 中, 如 果 身 体 感 冒, 则 身 体 发 烧 假 意 味 着 有 时 感 冒 不 发 烧 与 不 感 冒 不 发 烧 意 义 完 全 不 同, 一 点 对 原 问 题 的 否 定 意 味 都 没 有 一 般 讲, 反 问 题 不 是 原 问 题 的 负 ( 否 ) 命 题 数 十 年 来 中 国 的 逻 辑 学 书 籍 中 学 教 科 书 和 各 种 辞 典 中 使 用 否 命 题 命 名 ( p) ( q) 是 错 误 的, 因 为 否 命 题 已 另 有 定 义, 而 且 是 一 个 非 常 重 要 常 用 和 国 际 化 的 定 义 在 国 内 权 威 的 数 学 学 科 大 辞 典 数 学 辞 海 中, 关 于 否 命 题 词 条 有 两 种 不 同 的 定 义 方 式 : 逻 辑 学 中 的 负 ( 否 ) 命 题 和 辑 上 是 非 常 错 误 的, 误 导 了 数 代 中 国 学 子 (C) 逆 命 题 (Conversion or the converse) ( p) ( q), 这 在 逻 逆 命 题 指 形 式 为 如 果 q 则 p 的 复 合 命 题 称 为 蕴 含 命 题 (A) 的 逆 命 题 前 件 与 后 件 互 换 位 置 标 准 形 式 为 : q p. If q then p. 读 作 如 果 q 则 p 有 q 必 有 p q 蕴 含 p 26

27 逆 命 题 真 值 表 p q q p T T T T F T F T F F F T 等 价 的 形 式 : q p ( q) p 定 理 : 逆 命 题 与 反 命 题 等 价 ( 等 值 ) q p ( p) ( q) 例 如 : 原 命 题 : 如 果 身 体 感 冒, 则 身 体 发 烧 ( 感 冒 必 发 烧 ) 逆 命 题 : 如 果 身 体 发 烧, 则 身 体 感 冒 ( 发 烧 必 感 冒 ) 反 命 题 : 如 果 身 体 不 感 冒, 则 身 体 不 发 烧 ( 不 感 冒 必 不 发 烧 ) 逆 命 题 的 等 价 命 题 : 或 者 身 体 感 冒 或 者 身 体 不 发 烧 (D) 逆 反 命 题 (Contraposition or the contrapositive) 逆 反 命 题 : 形 式 为 如 果 非 q 则 非 p 的 复 合 命 题 称 为 蕴 含 命 题 (A) 的 逆 反 命 题 ( 反 命 题 的 逆 命 题 或 逆 命 题 的 反 命 题 ) 前 件 与 后 件 全 否 且 角 色 互 变 ( 换 质 亦 换 位 ) 标 准 形 式 为 : ( q ) ( p ) If q then p. 读 作 如 果 非 q 则 非 p 没 有 q 必 没 有 p If q false then p false 注 :Contraposition 的 数 学 含 义 是 换 质 位 27

28 逆 反 命 题 真 值 表 p q ( q ) ( p ) T T T T F F F T T F F T 定 理 : 蕴 含 命 题 与 相 应 逆 反 命 题 等 价 (( q) ( p)) (p q) 例 如 : 原 命 题 : 如 果 身 体 感 冒, 则 身 体 发 烧 ( 感 冒 必 发 烧 ) 考 方 式 号, 则 逆 反 命 题 : 如 果 身 体 不 发 烧, 则 身 体 不 感 冒 ( 不 发 烧 必 不 感 冒 ) 尽 管 蕴 含 命 题 与 逆 反 命 题 是 等 价 的, 但 给 出 了 关 于 一 个 命 题 的 两 个 不 同 的 思 例 如 : 如 果 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 有 界 闭 区 间 [ ab], 上 的 连 续 函 数 且 在 两 端 点 异 f ( x ) 在 [ ab], 内 至 少 一 点 取 值 为 零 对 应 的 逆 反 命 题 为 : 如 果 f ( x ) 不 在 [ ab, ] 内 取 值 为 零, 则 或 区 间 [ ab, ] 无 界, 或 函 数 f ( x ) 不 在 整 个 区 间 [ ab], 上 连 续, 或 在 两 端 点 同 号 这 个 思 考 方 式, 会 促 使 我 们 思 考 每 一 条 件 的 作 用 逆 反 命 题 是 反 证 法 的 逻 辑 基 础 和 根 据 在 数 学 论 证 中 经 常 使 用 反 证 法 反 证 法 基 本 步 骤 如 下 28

29 求 证 : 如 果 p 真 则 q 真 ( p q ) 证 明 ( 反 证 法 ): 第 一 步 : 假 设 q 假 第 二 步 : q 假 推 出 p 假 ( q ) ( p ) 第 三 步 : 与 p 真 矛 盾 假 设 不 成 立, 必 有 q 为 真 例 如 : 试 证 明 : x A ( B C) x (A B) (A C) 令 命 题 p 为 : x A ( B C) ; 命 题 q 为 : x (A B) (A C) 则 上 题 为 : p q 证 法 一 : 采 用 直 接 证 法 设 p 真, 即 x A ( B C), 则 x A 且 x B C, 后 者 导 出 x B或 x C 如 果 x B, 则 x A B; 如 果 x C, 则 x A C; 总 之, x (A B) (A C), 即 q 为 真 证 法 二 : 采 用 反 证 法 设 对 任 意 x, 假 设 x (A B) (A C),( 假 设 q 为 真 ) 则 x A B且 x A C, 于 是, 存 在 两 种 可 能 :(a) x A ;(b) x A, 但 x B 且 x C 从 而 x B C 无 论 何 种 情 形, 都 有 x A ( B C) (( q ) ( p )) 与 条 件 x A (B C) 矛 盾 于 是 假 设 x (A B) (A C) 不 成 立, 必 有 x (A B) (A C) 在 实 际 运 用 反 证 法 的 过 程 中, 略 去 逻 辑 学 的 语 言 (E) 等 价 命 题 (Equivalence or the biconditional) 等 价 命 题 指 形 式 为 " 当 且 仅 当 p 真 时 q 真 " 的 复 合 命 题 即 p 和 q 同 时 为 真, 同 时 为 假 标 准 形 式 为 : p q If and only if p then q. 读 作 当 且 仅 当 q, 则 p 等 价 命 题 真 值 表 29

30 p q p q T T T T F F F T F F F T 两 个 命 题 等 价, 当 且 仅 当 两 个 命 题 同 真 同 假 等 价 形 式 : 定 理 : p q = (p q) (( p) ( q)) 等 价 的 命 题 与 等 价 命 题 是 不 同 的 概 念 等 价 命 题 是 关 于 两 个 命 题 是 否 等 价 的 一 个 复 合 命 题 等 价 的 命 题 是 两 个 命 题 之 间 的 关 系, 不 是 一 个 命 题 例 如 : 等 价 命 题 : 当 且 仅 当 身 体 感 冒 时, 身 体 发 烧 等 价 命 题 的 等 价 形 式 : 或 者 感 冒 同 时 发 烧, 或 者 不 感 冒 同 时 不 发 烧 注 释 : 在 英 文 中,inverse converse negative 是 有 本 质 区 别 的 (a) 词 义 上 的 差 别 : Inverse 的 含 义 是 位 置 方 向 顺 序 或 作 用 等 对 立 面 反 义 词 反 面 负 面 强 调 具 有 质 的 不 同 具 有 换 质 的 含 义 Converse 的 含 义 是 反 转 的 反 向 的 逆 向 的 相 反 的 具 有 换 位 的 含 义 Negative 的 含 义 是 否 定 的 负 的 在 日 常 生 活 中, 交 换 地 使 用 词 汇 inverse 和 converse 并 非 罕 见 的 现 象 但 是, 从 技 术 的 标 准, 它 们 不 是 同 义 词 在 逻 辑 学 数 学 和 统 计 学 中, 两 个 词 描 述 了 两 个 有 区 别 类 型 的 关 系 (b) 逻 辑 上 的 差 别 30

31 反 命 题 (inverse) 由 换 质 得 到, 逆 命 题 (converse) 由 换 位 得 到 逆 命 题 总 是 可 以 自 动 对 应 一 个 原 蕴 含 命 题 ( 交 换 条 件 与 结 论 的 位 置 即 可 ) 但 反 命 题 并 不 一 定 自 动 对 应 一 个 原 蕴 含 命 题 即 换 位 总 是 可 以 的 且 唯 一 的, 换 质 则 不 同 一 个 命 题 可 能 是 多 个 命 题 的 反 命 题 3 x 8 命 题 A: 如 果 x 2 则 命 题 B: 如 果 x 2 则 x i( f( x ) f(2 x )) 8, 这 里 f ( x ) 是 任 意 实 函 数 显 而 易 见, 命 题 B 的 反 命 题 是 命 题 A 但 命 题 B 是 一 族 命 题 (F) 数 学 上 常 用 命 题 充 分 条 件 命 题 (Sufficient condition) 充 分 条 件 命 题 是 指 形 式 为 如 果 p, 那 么 q 形 式 的 命 题 充 分 条 件 命 题 即 为 蕴 含 命 题 前 件 p 为 后 件 q 成 立 的 充 分 条 件, 后 件 q 是 前 件 p 的 必 然 结 果 充 分 条 件 的 特 征 : 有 条 件 必 有 结 论, 但 没 有 该 条 件 也 可 能 有 结 论, 即 有 结 论 不 一 定 有 条 件 如 感 冒 引 起 发 烧, 但 发 烧 不 一 定 由 感 冒 引 起, 可 以 另 有 它 因 例 如 : 命 题 如 果 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 有 界 闭 区 间 [ ab, ] 上 的 连 续 函 数 且 在 两 端 点 异 号, 则 f ( x ) 在 [ ab], 内 至 少 一 点 取 值 为 零 则 条 件 有 界 闭 区 间 连 续 和 两 端 异 号 是 函 数 在 区 间 内 取 到 零 值 的 充 分 条 件 例 如 : 设 A B 和 C 是 三 个 集 合, 若 x A ( B C) x ( A B)( A C) 成 立, x A ( B C) 是 x ( A B)( A C) 的 充 分 条 件 案 例 : 小 张 承 诺 : 如 果 天 不 下 雨, 我 一 定 去 听 音 乐 会 31

32 以 下 哪 项 为 真, 说 明 小 张 没 有 兑 现 承 诺? (1) 天 没 下 雨, 小 张 没 去 听 音 乐 会 (2) 天 下 雨, 小 张 去 听 了 音 乐 会 (3) 天 下 雨, 小 张 没 去 听 音 乐 会 A. 仅 仅 (1); B. 仅 仅 (2);C. 仅 仅 (3);D. 仅 仅 (1) 和 (2) 解 答 : 题 干 是 充 分 条 件 选 项 (2) 和 (3) 中, 条 件 均 不 成 立, 结 果 如 何, 与 承 诺 无 关 只 有 (1) 是 条 件 成 立, 结 果 未 发 生, 小 张 没 有 兑 现 承 诺 正 确 选 项 是 A 必 要 条 件 命 题 (Necessary condition) 必 要 条 件 命 题 是 指 形 式 为 没 有 p 则 没 有 q 的 命 题, 即 前 件 p 成 立 是 后 件 q 成 立 的 必 备 条 件, 简 称 p 是 q 的 必 要 条 件 必 要 条 件 的 特 征 : 没 有 条 件 ( 前 件 )p 一 定 没 有 结 论 ( 结 论 )q, 但 有 条 件 ( 前 件 )p 不 一 定 有 结 论 ( 后 件 )q ( p) ( q) 由 定 义 可 见, 必 要 条 件 命 题 是 相 应 充 分 条 件 命 题 的 反 命 题 必 要 条 件 命 题 的 另 一 说 法 是 条 件 成 立 p 是 结 论 q 成 立 的 前 提 即 有 q 必 有 p 或 者 有 p 才 有 q 必 要 条 件 的 另 一 特 征 : 有 结 论 q 一 定 有 条 件 p, 有 条 件 p 是 有 结 论 q 的 前 提 换 言 之,q 为 真 必 有 p 为 真, 即 必 要 条 件 命 题 的 基 本 形 式 为 : p q 逻 辑 符 号 读 作 逆 蕴 含 或 反 蕴 含 由 定 义 可 见, 必 要 条 件 命 题 是 相 应 充 分 条 件 命 题 的 逆 命 题 必 要 条 件 命 题 等 价 于 反 命 题 和 逆 命 题 32

33 这 再 次 表 明, 反 命 题 并 无 否 定 原 充 分 条 件 命 题 的 含 义, 而 是 换 一 个 角 度, 进 一 步 探 究 结 论 成 立 的 充 分 条 件 是 否 又 是 结 论 成 立 的 必 要 条 件 深 化 对 条 件 和 结 果 的 认 识 从 意 义 上 讲, 将 Inverse proposition 译 为 否 命 题 实 在 是 大 错 特 错 和 极 大 的 误 导 尽 管 反 命 题 和 逆 命 题 是 等 价 的 命 题, 但 它 们 从 两 个 不 同 的 角 度, 阐 述 必 要 条 件 一 个 从 正 面, 一 个 从 反 面, 拓 宽 了 证 明 必 要 条 件 的 思 路 例 如 : 设 A B 和 C 是 三 个 集 合, 试 用 两 个 不 同 的 方 法 证 明 : x A ( B C) 是 x ( A B) (A C) 的 必 要 条 件 证 法 一 ( 反 命 题 法 ): 设 x A ( B C), 则 或 x A, 或 x B且 x C 如 果 x A, 则 x A B 和 x A C ; 如 果 x B 且 x C, 则 亦 有 x A B 和 x A C; 无 论 何 种 情 况, 都 有 x ( A B) ( A C), 即 x A ( B C) x ( A B)( A C) 等 同 于 ( x A (B C)) ( x (A B) (A C))) 得 证 x A ( B C) 是 x (A B) (A C) 的 必 要 条 件 证 法 二 ( 逆 命 题 法 ): 设 x (A B) (A C), 则 x (A B) 从 而 x A 且 x B, 或 x (A C) 从 而 x A 且 x C 总 有 x A 且 x B C, 进 而 x A ( B C), 即 x (A B) (A C) x A ( B C) 得 证 x A ( B C) 是 x (A B) (A C) 的 必 要 条 件 (3) 案 例 : 在 中 国, 只 有 富 士 山 连 锁 店 经 营 日 式 快 餐 如 果 上 述 命 题 为 真, 以 下 哪 项 不 可 能 为 真? (1) 苏 州 的 富 士 山 连 锁 店 不 经 营 日 式 快 餐 (2) 杭 州 的 樱 花 连 锁 店 经 营 日 式 快 餐 (3) 温 州 的 富 士 山 连 锁 店 经 营 韩 式 快 餐 A. 仅 仅 (1);B. 仅 仅 (2); C. 仅 仅 (1) 和 (2);D. 仅 仅 (2) 和 33

34 解 答 : 题 干 是 一 个 必 要 条 件 (2) 中 必 要 条 件 不 存 在, 可 以 为 真 (1) 中 必 要 条 件 存 在, 但 作 为 必 要 条 件, 餐 厅 可 以 不 经 营 日 式 快 餐 (1) 依 然 可 以 为 真 只 有 (2), 必 要 条 件 不 成 立, 餐 厅 不 可 以 经 营 日 式 快 餐 (2) 不 成 立 正 确 选 项 :B. 充 分 必 要 条 件 命 题 (Sufficient and necessary condition) 充 分 必 要 条 件 命 题 指 形 如 当 且 仅 当 p 才 q 命 题 前 件 p 即 是 后 件 q 的 充 分 条 件, 也 是 必 要 条 件 特 征 为 : 有 前 件 p 必 有 后 件 q, 无 前 件 p 必 无 后 件 q 充 分 必 要 命 题 即 为 等 价 命 题 充 分 条 件 与 必 要 条 件 的 关 系 : (1) 如 果 p 是 q 的 充 分 条 件, 则 q 是 p 的 必 要 条 件 (2) 如 果 p 是 q 的 必 要 条 件, 则 q 是 p 的 充 分 条 件 案 例 : 只 有 认 识 错 误, 才 能 改 正 错 误 以 下 哪 项 没 有 准 确 表 达 上 述 命 题 的 含 义? A. 除 非 认 识 错 误, 否 则 不 能 改 正 错 误 B. 如 果 不 认 识 错 误, 那 么 不 能 改 正 错 误 C. 如 果 改 正 了 错 误, 说 明 已 经 认 识 了 错 误 D. 只 要 认 识 错 误, 就 一 定 改 正 了 错 误 结 论 : 题 干 是 必 要 条 件 命 题 A B 和 C 均 表 达 了 必 要 条 件 的 含 义 仅 D 是 充 分 条 件 D 没 有 准 确 表 达 原 命 题 的 含 义 (5) 复 合 命 题 的 负 ( 否 ) 命 题 负 ( 否 ) 命 题 在 理 论 和 应 用 占 有 重 要 的 地 位 正 确 的 写 出 复 杂 命 题 具 有 重 要 的 意 义 和 假 值 本 节 讨 论 上 述 几 个 基 本 复 合 命 题 的 负 ( 否 ) 命 题 基 于 这 些 基 本 负 ( 否 ) 命 题 及 相 应 规 则, 可 以 得 到 更 加 复 杂 命 题 的 负 ( 否 ) 命 题 (A) 联 言 ( 合 取 ) 命 题 的 负 ( 否 ) 命 题 34

35 摩 根 (De Morgan) 律 : (p q) ( p) ( q) 证 明 一 : 充 分 性 设 (p q) 取 真 值 按 照 负 命 题 的 定 义, p q 为 假, 从 而 p 和 q 至 少 一 个 为 假 于 是 p 与 q 中 至 少 一 个 为 真, 对 应 着 ( p) ( q) 为 真 设 ( p q) 取 假 值, 则 p q 为 真, 从 而 p 和 q 同 时 为 真 于 是 p 与 q 同 时 为 假, 对 应 着 ( p) ( q) 为 假 得 证 : (p q) ( p) ( q) 必 要 性 设 ( p) ( q) 取 真 值, 则 p 与 q 中 至 少 一 个 为 真 于 是 p 和 q 至 少 一 个 为 假, 对 应 着 p q 为 假, 即 (p q) 为 真 设 ( p) ( q) 取 假 值, 则 p 与 q 中 同 时 为 假 于 是 p 和 q 同 时 为 真, 对 应 着 p q 为 真, 即 (p q) 为 假 得 证 : ( p) ( q) (p q) 证 毕 证 法 二 : 利 用 真 值 表 方 法 证 明 写 出 真 值 表 : p q p q p q (p q) ( p) ( q) T T F F T F F T F F T F T T F T T F F T T F F T T F T T 上 表 看 出 (p q) 与 ( p ) ( q) 等 值 从 而 是 等 值 ( 等 价 ) 命 题 证 毕 (B) 选 言 命 题 的 负 ( 否 ) 命 题 可 兼 选 言 命 题 的 负 ( 否 ) 命 题 证 明 留 作 习 题 摩 根 律 : (p q) ( p) ( q) 不 可 兼 析 取 ( 选 言 ) 命 题 的 负 ( 否 ) 命 题 35

36 (p q) = (( p) ( q)) (p q) 例 : 总 经 理 : 我 主 张 小 王 和 小 李 两 人 中 至 少 提 拔 一 人 董 事 长 : 我 不 同 意 以 下 哪 项 最 能 准 确 地 表 述 了 董 事 长 的 实 际 意 思? A 小 王 和 小 李 两 人 都 得 提 拔 B 小 王 和 小 李 两 人 都 不 提 拔 C 如 果 提 拔 小 王, 那 么 不 提 拔 小 李 D 如 果 提 拔 小 李, 那 么 不 提 拔 小 王 解 : 设 提 拔 小 王 为 p, 提 拔 小 李 为 q 则 总 经 理 的 意 见 为 p q, 董 事 长 的 意 思 是 (p q) ( p) ( q) 于 是 最 能 准 确 地 表 述 了 董 事 长 的 实 际 意 思 的 是 B (C) 蕴 含 命 题 的 负 ( 否 ) 命 题 命 题 p 蕴 含 q 的 否 命 题 为 并 非 p 蕴 含 q 标 准 形 式 为 : (p q) 等 价 的 形 式 : (p q) p ( q) 有 时 p 发 生 但 q 不 发 生 证 明 一 : 充 分 性 设 (p q) 取 真 值, 则 p q 取 假 值, 即 p 取 真 值,q 取 假 值 于 是 p 和 q 同 时 取 真 值, 对 应 着 p ( q) 取 真 值 设 (p q) 取 假 值, 则 p q 取 真 值 两 种 情 形 :(a) 即 p 取 真 值,q 取 真 值 (b) p 取 假 值 在 情 形 (a), 即 p 取 真 值, q 取 假 值, 对 应 着 p ( q) 取 假 值 ; 在 情 形 (b),p 取 假 值, 也 对 应 着 p ( q) 取 假 值 得 证 : (p q) p ( q) 36

37 必 要 性 设 p ( q) 取 真 值 则 p 和 q 同 时 取 真 值, 于 是 q 取 假 值, 对 应 着 p q 取 假 值, 即 (p q) 取 真 值 设 p ( q) 取 假 值, 则 p 和 q 至 少 一 个 取 假 值 如 果 p 取 假 值, 对 应 着 p q 取 真 值, 即 (p q) 取 假 值 如 果 q 取 假 值, 即 q 取 真 值, 也 对 应 着 p q 取 真 值, 依 然 有 (p q) 取 假 值 得 证 : (p q) p ( q) 证 毕 证 明 二 : 采 用 真 值 表 法 证 明 作 出 真 值 表 如 下 : p q q p q (p q) p ( q) T T F T F F T F T F T T F T F T F F F F T T F F 比 较 真 值 表 即 得 (p q) 与 p ( q) 等 值 证 毕 证 毕 证 明 三 : 注 意 到 : p q ( p) q 由 摩 根 律 得 : (p q) (( p) q) ( p) ( q) p ( q) 例 如 : 如 果 身 体 感 冒 则 身 体 发 烧 其 否 命 题 为 : 并 非 感 冒 必 发 烧 等 同 于 有 时 感 冒 不 发 烧 (D) 反 命 题 的 负 ( 否 ) 命 题 反 命 题 非 p 蕴 含 非 q 的 否 命 题 为 : 并 非 非 p 蕴 含 非 q 标 准 形 式 为 : 等 价 的 形 式 : (( p) ( q)) (( p) ( q)) ( p) q 37

38 读 作 非 p 但 q 真 即 有 时 没 有 条 件 p, 依 然 有 结 果 q p 不 是 q 的 必 要 条 件 对 照 一 下 反 命 题 的 含 义 :p 是 q 的 必 要 条 件 例 如 : 原 命 题 : 一 刮 风 就 下 雨 反 命 题 : 不 刮 风 不 下 雨 反 命 题 的 否 命 题 : 有 时 不 刮 风 也 下 雨 (E) 逆 命 题 的 负 ( 否 ) 命 题 命 题 p 蕴 含 q 的 逆 命 题 q 蕴 含 p 的 否 命 题 为 并 非 q 蕴 含 p 标 准 形 式 为 : 等 价 形 式 : (q p) (q p) q ( p) 由 于 逆 命 题 和 反 命 题 等 价, 所 以 它 们 相 应 的 负 ( 否 ) 命 题 是 相 同 的 请 用 三 种 方 式 自 己 证 明 (F) 逆 反 命 题 的 负 ( 否 ) 命 题 命 题 p 蕴 含 q 的 逆 反 命 题 非 q 蕴 含 非 p 的 的 否 命 题 为 并 非 非 q 蕴 含 非 p 标 准 形 式 为 : 等 价 的 形 式 : (( q) ( p)) (( q) ( p)) p ( q) 证 明 : 注 意 到 逆 反 命 题 与 原 蕴 含 命 题 等 价 即 得 结 论 证 毕 (G) 等 价 命 题 的 负 ( 否 ) 命 题 等 价 命 题 p 等 价 于 q 的 否 命 题 为 并 非 p 等 价 于 q 标 准 形 式 为 : 等 价 形 式 : (p q) 38

39 (p q) p q 即 等 价 命 题 的 负 ( 否 ) 命 题 与 不 可 兼 选 言 命 题 等 价 留 给 读 者 自 证 39

40 第 三 章 习 题 1 判 断 下 列 断 定 的 真 假 (1) 有 真 假 的 句 子 就 是 命 题 (2) 如 果 p 是 q 充 分 条 件, 那 么 q 就 是 p 的 必 要 条 件 (3) 如 果 p 不 是 q 的 充 分 条 件, 那 么 q 就 不 是 p 的 必 要 条 件 (4) 否 定 一 个 选 言 命 题, 等 于 肯 定 一 个 联 言 命 题 ; 否 定 一 个 联 言 命 题, 等 于 肯 定 一 个 选 言 命 题 (5) 否 定 p 是 q 的 充 分 条 件, 就 等 于 肯 定 p 是 q 的 必 要 条 件 2 选 择 正 确 答 案 ( 可 多 选 ) (1) 命 题 的 真 值 是 指 ( ) A 真 命 题 的 值 B 命 题 的 真 假 二 值 (2) 可 兼 选 言 命 题 和 不 可 兼 选 言 命 题 的 共 同 之 处 是 ( ) A 都 断 定 至 少 有 一 个 选 言 支 是 真 的 B 如 果 其 选 言 支 都 是 假 的, 则 自 身 是 假 的 C 如 果 至 少 有 一 个 选 言 支 是 真 的, 则 自 身 是 真 的 (3) 如 果 p 是 q 的 充 分 条 件, 则 ( ) A q 一 定 是 p 的 必 要 条 件 B p 一 定 不 是 q 的 必 要 条 件 C q 可 能 是 p 的 充 分 条 件 (4) 以 下 的 等 值 式 中, 正 确 的 是 ( ) A ( 要 么 p, 要 么 q) ((p ( q) (( p) q)). B (p q) (p ( q)). C ( 只 有 p 才 q) ( p q). D (p q) ( 要 么 p, 要 么 q) 3 指 出 下 列 各 题 中,A 是 B 的 什 么 条 件 ( 充 分 条 件 必 要 条 件 充 要 条 件 或 不 构 成 条 件 关 系 ) 40

41 (1)A 认 识 错 误 ; B 改 正 错 误 (2)A 有 作 案 行 为 ;B 有 作 案 动 机 (3)A 吸 烟 成 瘾 ;B 患 肺 癌 (4)A 同 位 角 相 等 ;B 两 直 线 平 行 (5)A x 不 等 于 y;b y 小 于 x 4 写 出 下 列 命 题 的 负 命 题 ( 不 要 用 并 非 A 的 简 单 形 式 ) (1) 这 个 商 店 的 商 品 不 但 价 廉, 而 且 物 美 (2) 昨 晚 是 小 张 或 小 李 值 班 (3) 人 有 多 大 胆, 地 有 多 高 产 (4) 只 有 经 济 发 达 地 区, 才 有 环 境 治 理 问 题 (5) 要 么 老 张 当 选 代 表, 要 么 老 李 当 选 代 表 (6) 当 且 仅 当 衣 食 足, 才 能 知 荣 辱 (7) 只 要 认 识 字 母, 就 能 学 好 外 语 (8) 孩 子 每 天 吃 巧 克 力, 身 体 才 能 长 好 5. 判 断 下 面 结 论 是 否 成 立, 给 出 T 或 F 并 说 明 理 由 如 果 是 F, 给 出 正 确 答 案 (1) 与 或 者 你 出 局, 或 者 我 出 局 等 值 的 负 命 题 是 并 非 你 我 都 不 出 局 (2) 与 你 不 行, 我 也 不 行 等 值 的 负 命 题 是 并 非 或 者 你 行, 或 者 我 行 (3) 与 并 非 明 天 后 天 都 不 去 等 价 的 析 取 命 题 是 或 者 明 天 去, 或 者 后 天 去 (4) 与 并 非 你 去 或 者 我 不 去 等 价 的 合 取 命 题 是 虽 然 你 不 去 但 我 去 6. 设 p q 和 r 是 命 题, 用 文 字 和 真 值 表 法 两 种 方 法 证 明 : (1) (p q) ( p) ( q). (2) p q (p ( q)) (( p) q). (3) 蕴 含 命 题 与 其 逆 反 命 题 等 价 (4) 蕴 含 命 题 的 反 命 题 与 逆 命 题 等 价 7. 设 A B 和 C 是 三 个 集 合 41

42 (1) 用 蕴 含 和 逆 反 命 题 两 种 方 方 式 证 明 : x A ( B C) 是 x (A B) (A C) 的 充 分 条 件 (2) 用 反 命 题 和 逆 命 题 两 种 方 法 证 明 : x A ( B C) 是 x (A B) (A C) 的 必 要 条 件 9. 总 经 理 : 我 主 张 小 王 和 小 李 两 人 中 最 多 提 拔 一 人 董 事 长 : 我 不 同 意 以 下 哪 项 最 能 准 确 地 表 述 了 董 事 长 的 实 际 意 思? A 小 王 和 小 李 两 人 都 得 提 拔 B 小 王 和 小 李 两 人 都 不 提 拔 C 如 果 提 拔 小 王, 那 么 不 提 拔 小 李 D 如 果 提 拔 小 李, 那 么 不 提 拔 小 王 10. 逻 辑 学 家 说 : 如 果 2+2=5, 则 地 球 是 方 的 以 下 哪 项 和 逻 辑 学 家 所 说 的 同 真? 说 明 理 由 (1) 如 果 地 球 是 方 的, 则 2+2=5 (2) 如 果 地 球 是 圆 的, 则 (3)2+2 5 或 者 地 球 是 方 的 (4)2+2=5 或 者 地 球 是 方 的 11. 设 x 是 实 数 考 虑 下 述 命 题 : 如 果 x 1 题, 并 说 明 其 与 该 命 题 等 价 2, 则 x 1 0 写 出 该 问 题 的 逆 反 命 12. 某 高 校 外 语 系 排 课,5 位 教 师 每 人 只 授 一 门 外 语 课, 并 且 满 足 以 下 条 件 : (1) 如 果 钱 教 德 语, 则 孙 不 教 俄 语 ; (2) 或 李 教 德 语, 或 钱 教 德 语 ; (3) 如 果 孙 不 教 俄 语, 则 赵 不 教 法 语 ; (4) 或 赵 教 法 语, 或 周 不 教 英 语 下 面 四 项 仅 一 项 为 真 请 问 : 哪 项 为 真 时, 可 得 出 李 教 德 语 的 结 论 A. 孙 不 教 俄 语 ;B. 钱 教 德 语 ; C. 周 教 英 语 ;D. 赵 不 教 法 语 42

43 13. 某 商 场 被 盗, 甲 乙 丙 三 人 涉 嫌 被 拘 审, 警 方 经 调 查 得 到 以 下 事 实 : (1) 罪 犯 是 带 赃 物 坐 车 逃 走 的 ; (2) 不 伙 同 甲, 丙 不 会 作 案 ; (3) 乙 不 会 开 车 ; (4) 罪 犯 就 是 三 人 中 的 一 人 或 一 伙 试 问 : 甲 是 否 作 案? 14. A B C D 四 位 同 学 在 某 课 程 考 试 后 预 测 成 绩 : A: 我 看 这 次 考 试 我 们 都 及 格 B: 有 人 不 及 格 C:D 及 格 D: 如 果 我 及 格, 那 么 我 们 都 及 格 成 绩 公 布 后, 证 明 只 有 一 个 人 预 测 错 误, 试 问 谁 预 测 错 误? 是 否 都 及 格? 为 什 么? 15 甲 乙 丙 丁 四 位 实 习 医 生, 对 A B C D 四 位 病 人 作 出 如 下 诊 断 : A 甲 诊 断 为 细 菌 性 痢 疾, 乙 诊 断 为 霍 乱 B 乙 诊 断 为 肺 炎, 丙 诊 断 为 气 管 炎 C 丙 诊 断 为 疟 疾, 丁 诊 断 为 脑 炎 D 丁 诊 断 为 胃 癌, 甲 诊 断 为 胃 溃 疡 经 主 治 医 生 复 诊 : 判 明 实 习 医 生 对 每 一 位 病 人, 只 有 一 种 诊 断 正 确 ; 有 一 位 实 习 医 生 的 诊 断 全 对 ; 有 一 位 实 习 医 生 的 诊 断 全 错 ; 丙 不 全 对 经 化 验, 确 诊 A 患 细 菌 性 痢 疾,C 患 疟 疾 试 问 :B D 患 何 病? 全 对 者 为 谁? 全 错 者 为 谁? 16 A B C D E F G H 八 位 猎 人 打 猎 经 一 番 追 逐, 其 中 某 一 猎 人 的 一 支 箭 射 中 一 只 鹿 大 家 决 定 先 不 看 箭 上 姓 氏, 猜 测 谁 射 中 的 A: 鹿 死 H 和 F 手 B: 若 箭 射 中 鹿 首, 则 是 鹿 死 我 手 C: 鹿 死 G 手 D: 即 使 箭 射 中 鹿 首, 也 并 非 鹿 死 B 手 E:A 猜 错 43

44 F: 并 非 鹿 死 H 和 我 手 G: 并 非 鹿 死 C 手 H: 并 非 A 猜 错 猜 毕, 大 家 拔 箭 检 查, 发 现 三 人 猜 中, 试 推 断 鹿 死 谁 手? 谁 猜 中? 另 设 五 人 猜 中, 则 鹿 死 谁 手? 谁 猜 中? 17 古 代 有 一 人 家 嫁 女, 父 母 订 规 据 猜 匣 选 婿 设 金 银 铜 三 个 匣 子, 分 别 刻 有 三 句 话, 其 中 只 有 一 个 匣 子 内 放 有 女 儿 肖 像 求 婚 者 通 过 这 三 句 话, 猜 测 肖 像 放 在 哪 个 匣 子 内 三 个 匣 子 上 刻 的 三 句 话 是 : 金 匣 : 肖 像 不 在 此 匣 内 银 匣 : 肖 像 在 金 匣 内, 铜 匣 : 肖 像 不 在 此 匣 内 以 上 三 句 话 只 有 一 项 为 真 问 肖 像 在 哪 个 匣 子 中? 为 什 么? 18 在 侦 破 某 金 库 被 盗 案 件 时, 调 查 人 员 发 该 金 库 5 名 工 作 人 员 进 金 库 的 情 况 是 : (1) 当 A 进 去 时,B 也 进 去 ; (2)D 或 E 至 少 有 一 个 进 去 ; (3)B 或 C 有 且 只 有 一 个 能 进 去 ; (4) 当 且 仅 当 D 进 去 时 C 进 去 ; (5) 如 果 E 进 去, 则 A 和 D 也 进 去 请 问 :5 人 到 底 谁 可 能 进 去 过? 谁 没 进 去 过? 19 根 据 下 面 真 语 句, 判 断 是 谁 谋 害 了 张 先 生 (1)A B C 三 人 中 至 少 有 一 人 (2) 如 果 张 先 生 生 前 未 服 过 麻 醉 剂, 则 不 是 C (3) 如 果 张 先 生 生 前 服 过 麻 醉 剂, 则 不 是 A (4) 如 果 A 参 与 谋 杀, 那 么 B 也 参 与 (5) 如 果 作 案 在 落 雨 前, 则 是 A 谋 害 的 (6) 如 果 作 案 不 在 落 雨 前, 张 先 生 临 死 前 搏 斗 过 (7) 张 先 生 临 死 前 搏 斗 过, 就 不 是 B 谋 害 的 44

45 (8) 经 过 法 医 解 剖 化 验, 张 先 生 死 前 服 过 麻 醉 剂 20 某 排 球 队 有 A B C D E F G P Q R S T 等 12 名 队 员 在 某 场 比 赛 中, 上 场 队 员 的 挑 选 有 以 下 的 原 则 : (1) 如 果 P 不 上 场, 则 S 不 上 场 ; (2) 只 有 D 不 上 场,G 才 上 场 ; (3)A 和 C 要 么 都 上 场, 要 么 都 不 上 场 ; (4) 当 且 仅 当 D 上 场,R 才 不 上 场 ; (5) 只 有 R 不 上 场,C 才 不 上 场 ; (6)A 和 P 两 人 中, 只 能 上 场 一 人 ; (7) 如 果 S 不 上 场, 则 T 和 Q 也 不 上 场 ; (8)R 和 F 两 人 中 也 只 能 上 场 一 个 (9)G 上 场 从 上 述 条 件 可 推 出 谁 上 场, 谁 不 上 场? 45