一　序數

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1 單元 1 自然數和整數的基本性質 1.1. 自然數 (Natural Numbers) 上帝創造了自然數, 其餘的都是人創造出來的羅內克爾 (Leopold Kronecker, ) 從小開始, 我們接觸得最多的數, 很可能就是自然數了例如, 檯面上有 2 個橙羅素有 3 個妻子某地方的首長由 800 人投票產生今年是 2004 年等句子中出現的數 ( ) 都是自然數事實上, 從數學發展的歷史來看, 自然數也是最先出現的數系它是古時人類數數 (counting) 的工具從 1 隻老虎 2 棵樹或是 3 個人抽象化成自然數的過程是非常自然的, 這也是我們把這些數叫做自然數的原因因此, 數的認識這一單元就由自然數開始吧! 網上或電腦資源如果大家想知道羅內克爾這名句背後的意思, 可參考蔡聰明的闡釋 : 大家如果想知道關於自然數的歷史, 可參考以下網址, 裡面除了文字外, 還有聲音檔 : ( 數學故事廊 ) 頁 41 之 1

2 思考題 a) 你能舉出一些不是自然數的數嗎? b) 0 是否自然數? 為甚麼? c) 有人以下列的方式定義將自然數.. ( 方式 1) 自然數就是正整數 ( 方式 2) 自然數是 1, 2, 3, 4, 5, ( 方式 3) 自然數從 1 開始, 陸續加以 1, 便可得到任何一個自然數你對上述定義有甚麼看法? 進一步閱讀有人認為自然數要到皮亞諾公理 (Peano s axioms) 出現後才被嚴格界定所謂皮亞諾公理 (Peano s axioms), 就是指以下五個公理, 其中 1 後繼數是不定義項 (undefined terms) i) 1 是自然數 ; ii) 1 不是任何自然數的後繼數 (successor); iii) 若 n 是自然數則存在唯一的自然數 n, 使得 n 是 n 的後繼數 ; iv) 設自然數 m 和 n 的後繼數分別是 m 和 n 若 m = n, 則 m = n; v) 數學歸納法原理若自然數集 N 的任何子集 (subset)m 滿足下列兩項條件, 則 N = M.. 1) 1 M; 2) 若 a M, 則後繼者 a M 頁 41 之 2

3 網上或電腦資源大家如果有興趣知道多一些有關皮亞諾公理的內容, 可參閱 : 頁 41 之 3

4 1.2. 序數 (Ordinal Numbers) 與基數 (Cardinal Numbers) 的概念序數簡單而言, 表示物件的次序的數便是序數, 例如第一位第二位第三位等, 餘此類推例今天是暑假開始後的第 10 天 ( 第 10 天有日子次序的意思, 所以這 10 便是序數 ) 網上或電腦資源大家如果有興趣知道多一些有關序數的內容, 可參閱 : 基數基數的概念意指物件的數量, 例如一個人二個人三個人等例暑假已經過了十天 ( 十天是指已過去的日子總數, 因此這 10 便是基數 ) 頁 41 之 4

5 網上或電腦資源大家如果有興趣知道多一些有關序數的內容, 可參閱 : 在上述例子中可見, 同樣的數字 10, 在不同的陳述句中可以有不同的意思換句話說, 不看上下文, 單看數字是不能分辨某個數是屬於序數或基數的思考題 ) 試分辨以下句子中出現的自然數是序數還是基數.. a) 新界大埔露屏路 10 號 b) 第 42 屆奧運會 c) 十大中文金曲頒獎典禮 d) 創世紀第 1 章 2) 試分別舉出三個序數和基數的例子頁 41 之 5

6 1.3 從自然數到整數 (Integers) 只有自然數, 我們有很多有關數的概念都不能表達例如, 我原先有 3 匹馬, 死了 1 匹馬後, 餘下的 2 匹又給別人偷去, 我最後有多少匹馬呢? 要表達這時候馬的數目, 我們便需要零這一概念了不要小看這個零的概念, 它要等到公元五世紀, 才被印度人開創零這個概念和 0 這個符號自然數和零也不能充分表示它們四則運算後的結果, 例如, 我有 5 頭羊, 要送 7 頭羊給你, 我還欠 2 頭, 要表達欠 2 頭這一概念, 我們便需要負數的概念了從負數的誕生以至人類廣泛的接受負數的概念, 又是一段十分漫長的道路今天, 我們把自然數又叫作正整數 (positive integers), 它連同零和負整數 (negative integers) 合稱整數為了方面書寫, 我們習慣用以下符號表示數的集合 : N 自然數集 ( 由自然數所組成的集合, 即 {1, 2, 3, 4, }) Z 整數集 ( 由整數所組成的集合, 即 {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, }) Z + 正整數集 ( 由正整數所組成的集合, 它等同自然數集, 即 {1, 2, 3, 4, }) Z 負整數集 ( 由負整數所組成的集合, 即 { 1, 2, 3, 4, }) 我們可以把 2 是自然數說成為 2 屬於自然數集, 因此 2 是自然數可以寫作 : 2 N 同理, 3 不是自然數可寫作 : 3 N 頁 41 之 6

7 習作試判斷以下語句的真假 : a) 0 N b) 0.5 N c) 如果 a Z, 則 d) N = Z + e) π N a Z 網上或電腦資源如果對數的歷史感興趣, 可到以下網址瀏覽.. 進一步閱讀 Charles Seife 著, 吳蔓玲譯 (2001).. 零的故事 : 動搖哲學科學數學宗教的概念, 台北市, 商周出版頁 41 之 7

8 1.4 整除性 (Divisibility) 的概念定義設 a b Z 且 a 0 如果存在整數 q 使得 b = aq, 稱 b 可被 a 整除, 記作 a b, 且稱 b 是 a 的倍數 (multiple),a 是 b 的因數 (factor) 如果 b 不能被 a 整除, 則記作 a b 例可被 9 整除, 因為 63 = 9 7, 記作 9 63 例不能 9 整除, 因為沒有一個整數 q 能使 64 = 9q 成立, 記作 9 63 思考題 a) 當 a b 時, 使得 b = aq 的整數 q 是否唯一的? b) 試判斷下列語句的真假? i) 對任意整數 a,a 0; ii) iii) 對任意整數 a,1 a 和 1 a; 對任意整數 a,a a 和 a a; 頁 41 之 8

9 定理 a) 如果 a b 及 b c, 則 a c; b) 如果 a b 及 a c, 則 a (b + c) 及 a (b c); c) 如果 a b 及 a c, 則對任意整數 x y,a (bx + cy); d) 如果 a b 及 c d, 則 ac bd; e) 如果 a b 及 b a, 則 a = ± b; f) 如果 a = ± b, 則 a b 及 b a; g) a b 及 b a 當且僅當 (if and only if,iff) a = ± b; h) 如果 a b 及 a c, 則 a (b + c) 及 a (b c); 習作試判斷下列語句的真假? a) 如果 2 n 且 4 n, 則 8 n; b) 如果 3 n 且 7 n, 則 21 n; c) 如果 a n 且 b n, 則 ab n; d) 如果 a = 2b + 1 且 a 2n, 則 a n; e) 如果 n ab, 則 n a; f) 證明定理頁 41 之 9

10 1.5 整數的判定方法 (Divisibility Tests) 的整除性判定方法一個正整數能否被 2 整除, 只須考慮這個數的個位能否被 2 整除便可決定例要判斷能否被 2 整除, 只須考慮其個位數 8 能否被 2 整除便足夠了 [ 由於 = , 其中必可被 2 整除, 因此能否被 2 整除, 關鍵在於 8 可否被 2 整除基於 8 可被 2 整除 ( 即 2 8 ), 因此,12348 可被 2 整除 ] 例要判斷能否被 2 整除, 只須考慮 7 能否被 2 整除便足夠了 [ 由於 = , 其中必可被 2 整除, 因此能否被 2 整除, 關鍵在於 7 可否被 2 整除由於 7 不可被 2 整除 ( 即 2 7), 所以不可被 2 整除 ] 詳細證明如下.. 設 a 是一個 n 位的整數, 根據十進制的原則,n 可以下列的形式表示.. a = a n 1 10 n 1 + a n 2 10 n a a 0 ( 另一種常見的表示方式是 a = a n - 1an - 2 a1a0 ) 頁 41 之 10

11 即 a 0 a 1 a 3.. a 的個位 a 的十位 a 的百位餘此類推而且對於所有 i,a i 為整數且 0 a i 9 及 a n 1 0 ( 例 = ) a = n 2 n 3 10 (10 an a a1 ) + a n ( Q 10 = 2 5, 即 2 10) 若 2 a 0, 則根據定理 1.4.1b, 可得 2 a; 若 2 a 0, 則根據定理 1.4.1h, 可得 2 a; 換句話說,2 a 當且僅當 2 a 0 思考題試判斷下列正整數能否被 2 整除.. a) 58a 2, ( 即伍仟八佰 a 拾二 ), 其中 a 為 0 至 9 之間的整數 ; b) abc 7, 其中 a b c 為 0 至 9 之間的整數且 a 0; c) 所有個位為 0 的整數均能被 2 整除 ; d) 對任意的正整數 n,10 n 1 必可被 3 整除頁 41 之 11

12 的整除性判定方法一個正整數能否被 3 整除, 只須考慮這個數的位值之和能否被 3 整除便可決定例要判斷 5718 能否被 3 整除, 我們只須考慮能否被 3 整除便可以了 [ 由於 = 21, 且 3 21, 所以理由是 = = 5 ( ) + 7 (99 + 1) + 1 (9 + 1) + 8 = ( ) + ( ) 其中必可被 3 整除,5718 能否被 3 整除的關鍵在於可否被 3 整除 ] 詳細證明如下.. 設 a 是一個 n 位的整數, 根據十進制的原則,n 可以下列的形式表示.. a = a n 1 10 n 1 + a n 2 10 n a a 0 ( 其中對於所有 i,a i 為 0 至 9 之間的整數且 a n 1 0) a = (a n 1 + a n a 1 + a 0) + n 1 n 2 (10-1) a n (10-1) a n (10-1) a ( 根據 1.4.1, 這是 3 的倍數 ) 若 3 (a n 1 + a n a 1 + a 0), 則根據定理 1.4.1b, 可得 3 a; 若 3 (a n 1 + a n a 1 + a 0), 則根據定理 1.4.1h, 可得 3 a; 頁 41 之 12

13 換句話說,3 a 當且僅當 3 (a n 1 + a n a 1 + a 0) 思考題試判斷能否同時被 2 及 3 所整除其他數的整除性判定方法利用上兩節討論過的方法, 我們不難把 2 和 3 的整除性判定方法推廣到其他數的判定方法.. a) 2 a 當且僅當 2 a 0, 參考 b) 3 a 當且僅當 3 (a n 1 + a n a 1 + a 0), 參考 c) 4 a 當且僅當 4 a 1 a 0 ( 即 4 a a0 ) d) 5 a 當且僅當 5 a 0 e) 6 a 當且僅當 2 a 及 3 a f) 8 a 當且僅當 8 g) 9 a 當且僅當 9 (a n 1 + a n a 1 + a 0) h) 10 a 當且僅當 a 0 = 0 i) 11 a 當且僅當 11 [a 0 a 1 + a 2 a ( 1) n 1 a n 1 ] 詳細解釋如下.. 頁 41 之 13

14 c) 4 a 當且僅當 4 (10 a 1 + a 0) Q a = (10 a 1 + a 0) + n 3 n (10 an a a2 ) n - 3 ( Q 100 = 4 25), 即 4 100) 因此, 若 4 (10 a 1 + a 0), 則根據定理 1.4.1b, 可得 4 a; 若 4 (10 a 1 + a 0), 則根據定理 1.4.1h, 可得 4 a; 換句話說,4 a 當且僅當 4 (10 a 1 + a 0) d) 5 a 當且僅當 5 a 0 和解釋 2 的整除性判斷方法相似, 只須把 2 改為 5 便可以了, 大家不妨試試 e) 6 a 當且僅當 2 a 及 3 a ( ) 由於 2 a, 故可知存在 m Z, 使得 a = 2m 同時, 由於 3 a, 故可知 3 2m 由於 3 3m, 因此 3 3m 2 m ( 根據定理 1.4.1b) 即 3 m 故可知存在 n Z, 使得 m = 3n 因此 a = 2m = 2 (3n) = 6n 所以 6 a ( ) 由於 2 6 及 6 a, 根據定理 1.4.1a, 可知 2 a 此外, 由於 3 6 及 6 a, 根據定理 1.4.1a, 可知 3 a 因此當 6 a, 可知 2 a 及 3 a 頁 41 之 14

15 f) 8 a 當且僅當 8 (a a a 0) Q a = (a a a 0) + n 4 n (10 a n a a 3 ) n - ( Q 1000 = 8 125, 即 ) 因此, 若 8 (a a a 0), 則根據定理 1.4.1b, 可得 8 a; 若 8 (a a a 0), 則根據定理 1.4.1h, 可得 8 a; 換句話說,8 a 當且僅當 8 (a a a 0) g) 9 a 當且僅當 9 (a n 1 + a n a 1 + a 0) 可參考 3 的整除性判斷方法的解釋 h) 10 a 當且僅當 a 0 = 0 可參考 2 的整除性判斷方法的解釋 i) 11 a 當且僅當 11 [a 0 a 1 + a 2 a ( 1) n 1 a n 1 ] 例要判斷能否被 11 整除, 我們只須考慮能否被 11 整除便可以了 [ 由於 = 11, 且 11 11, 所以理由是 = 頁 41 之 15

16 = 9 (10 4 1) + 5 ( ) + 8 (10 2 1) + 7 ( ) + ( ) 其中 ( = 9999 ) (=1001) ( =99) (=11) 必可被 11 整除, 故關鍵在於可否被 11 整除詳細證明如下.. ( 奇偶位差法 ) Q a = [a 0 a 1 + a 2 a ( 1) n 1 a n 1 ] + [(10 + 1) a 1 + (10 2 1) a 2 + ( ) a (10 n 1 ( 1) n 1 ) a n 1 ] = [a 0 a 1 + a 2 a ( 1) n 1 a n 1 ] + (10 + 1) [a 1 + (10 1) a 2 + ( ) a (10 n 2 10 n ( 1) n 2 ) a n 1 ] = [a 0 a 1 + a 2 a ( 1) n 1 a n 1 ] + 11 的倍數因此, 若 11 [a 0 a 1 + a 2 a ( 1) n 1 a n 1 ], 則根據定理 1.4.1b, 可得 11 a; 若 11 [a 0 a 1 + a 2 a ( 1) n 1 a n 1 ], 則根據定理 1.4.1h, 可得 11 a; 除以上方法外, 我們還有一個叫做割減法的整除性判斷方法 : 頁 41 之 16

17 割減法..把一個正整數割去尾位數字, 再從留下來的正整數中減去所割去數字的特定倍數如此重複地割減下去, 假如最後得出的整數是除數的倍數, 則該數能被除數整除不然, 則該數不是除數的倍數 7 的割減法..把一個正整數割去尾位數字, 再從留下來的正整數中減去所割去數字的 2 倍如此重複地割減下去, 假如最後得出的整數是 7 的倍數, 則該數能被 7 整除不然, 該數便不是 7 的倍數例要判斷 3759 能否被 7 整除, 我們只可以利用割減法 : ) = ) = 由於 21 可被 7 整除, 因此,3759 能被 7 整除 11 的割減法..除了奇偶差位法, 我們也可利用割減法判定某正整數是否可被 11 整除把一個正整數割去尾位數字, 再從留下來的整數中減去所割去數字如此重複地割減下去, 假如最後得出的整數是 11 的倍數, 則給出的正整數能被 11 整除不然, 該數便不是 11 的倍數頁 41 之 17

18 例要判斷能否被 11 整除, 我們可利用割減法 : ) ) ) ) 8 0 由於 0 ( 或上一步的 88) 是 11 的倍數, 因此,95876 能夠被 11 整除思考題割減法是否可應用於其他數的整除性判斷方法上? 為甚麼? 網上或電腦資源想知其他數的整除性判定方法, 可瀏覽下列網頁 : 頁 41 之 18

19 進一步閱讀有關其他數 ( 例如 ) 的整除性判定方法, 可參閱 Shirali, S. (2001). First steps in number theory: A primer on divisibility. Hyderguda: Universities Press 頁 41 之 19

20 1.6 最大公因數和最小公倍數因數和倍數定義設 a b Z, 如果 a b, 則 a 為 b 的因數及 b 為 a 的倍數例由於 2 18, 所以 2 為 18 的因數及 18 為 2 的倍數思考題試判斷以下語句的真假.. a) 3 是 3 的因數和倍數 b) 8 是 64 的因數 c) 如果 a 是 b 的倍數, 則 a b d) 對任何整數 a,a 必是 1 的倍數 e) 0 是任何整數的倍數定義設 a b Z, 如果 d a 及 d b, 則稱 d 為 a 和 b 的公因數 (common factor or common divisor) 同理, 設 a 1 a 2 a n Z, 如果 d a 1,d a 2,,d a n, 稱 d 是 a 1 頁 41 之 20

21 a 2 a n 的公因數如果 a 1 a 2 a n 不全為 0, 我們把 a 1 a 2 a n 的公因數中最大的稱為 a 1 a 2 a n 的最大公因數 (the Greatest Common Divisor,GCD), 記作 gcd (a 1, a 2,, a n ) 或 (a 1, a 2,, a n ) 例和 4 都是 12 和 28 的公因數, 而 4 是它們之中最大的, 故 4 是 12 和 28 的最大公因數, 記作 gcd (12, 18) = 4( 或 (12, 18) = 4) 例 gcd (2004, 2005) = 1 思考題試判斷以下語句的真假.. a) gcd ( 12, 18) = 4 b) gcd (a, gcd (b, c)) = gcd (gcd (a, b), c) c) 對任意的整數 a,gcd (a, a) = a d) gcd (0, 8) = 0 e) gcd (0, 0) = 0 f) 對任意的正整數 a b,gcd (a, b) = gcd (a, b) 定義設 a b Z, 如果 a m 及 b m, 則稱 m 為 a 和 b 的公倍數 (common multiple) 頁 41 之 21

22 同理, 設 a 1 a 2 a n Z, 如果 a 1 m,a 2 m,,a n m, 稱 m 是 a 1 a 2 a n 的公倍數設 a b Z, 我們把 a b 的正公倍數中最小的稱為 a 和 b 的最小公倍數 (the Least Common Multiple,LCM), 記作 lcm (a, b) 或 [a, b] 例 a) lcm (20, 30) = 60 b) lcm (10, 10) = 10 思考題 a) 如何定義 a 1 a 2 a n 的最小公倍數? b) 證明..設 a b Z, 如果 a b 則 lcm (a,b) = b c) 設 a b 為任意非零整數, 試判斷以下語句的真假.. i) lcm (a, a) = a ii) lcm (a, b) = lcm ( a, b) iii) lcm (a, b) 1 iv) 如果 c 為 a 和 b 的公倍數且 c > 0, 則 lcm (a, b) c v) lcm (4a, 4b) = 4 lcm (a, b) 頁 41 之 22

23 1.6.2 最大公因數的計算方法從小學的數學課程中, 我們已學習了利用列舉法質因數分解法及短除法計算兩個或以上的數的最大公因數以下先讓我們藉著計算 8 12 和 16 的最大公因數來重溫這幾個方法.. a) 列舉法 8 的正因數有的正因數有的正因數有 Q 8 12 和 16 的公因數是 1 2 4, 而 4 是其中最大的數 8 12 和 16 的最大公因數是 4 b) 質因數分解法 8 = = = = = = 2 4 Q 2 2 在各質因數分解式中都有出現 2 2 = 4 是 8 12 和 16 的最大公因數 c) 短除法 Q 2 2 同時能整除 8 12 和 16 頁 41 之 23

24 2 2 = 4 是 8 12 和 16 的最大公因數例計算和的最大公因數由於 128 = = = 2 16 Q 2 7 在各質因數分解式中出現 2 7 = 128 是和的最大公因數題中給出的三個數都不小, 但利用質因數分解法, 我們很容易便求出它們的最大公因數利用其他的方法, 所需的時間及功夫可能更多問題是, 很多時候我們不容易找出一個數的質因數分解, 而且三個方法中應該選用那一個, 也並不容易決定幸好, 除了以上三個方法外, 我們還有另一個方法, 它比以上三個方法都更簡單和快捷, 這就是歐幾里德算法了 (Euclidean Algorithm, 亦又名輾轉相除法 ) 顧名思義, 輾轉相除法是由一系列除法所組成例如要計算 114 和 33 的最大公因數, 我們首先把細的一個數 ( 即 33) 除較大的一個數 ( 即 114), 得出的餘數是 15, 即 114 = 然後, 把這個餘數 15 除剛才的除數 ( 即 33), 求得的餘數是 3, 即 33 = 餘此類推, 我們把 3 除 15, 今次我們得到的餘數為 0, 計算便頁 41 之 24

25 到此為止同時, 最大公因數便是之前最後出現的餘數 3 了用直式表達, 便是由於餘數是 0, 所以不能繼續運算因此,gcd (114, 33) = 3 例求 gcd (1240, 452) 解..步驟..第一步 = 第二步 = 第三步 = 第四步 = 第五步 = 第六步.. 12 = 第七步.. 8 = 因此,gcd (1240, 452) = 4 頁 41 之 25

26 直式即,gcd (1240, 452) = 4 習作 a) 試用輾轉相除法找出 gcd (44, 14) b) 試用輾轉相除法找出 gcd (14, 124) 思考題你能解釋上述輾轉相除法為甚麼能幫我們計算出最大公因數嗎? [ 提示..設 a b q r Z, 如果 b = aq + r, 其中 0 r a, 頁 41 之 26

27 則 gcd (b, a) = gcd (a, r)] 網上或電腦資源以下網頁包含了其他有關歐幾里德算法 (Euclidean Algorithm) 的說明最小公因數的計算方法上一節提及的列舉法質因數分解法及短除法也能協助我們計算最小公倍數例計算的最小公倍數 a) 列舉法 4 的倍數為的倍數為的倍數為由於最早出現的公倍數為 216, 所以的最小公倍數為 216 頁 41 之 27

28 b) 質因數分解法 4 = 2 2 = = = = = 所以的最小公倍數的質因數為 ( 即 ) = 216 c) 短除法 ( 由於 1 不是 3 的倍數, 所以只需放置在下一行 ) 由於除了 1 外, 沒有任何正整數能整除 1 2 和 3 所以我們可把最左邊的一行及最下的一行的數字相乘以計算最小公倍數, 即 = 216 有一點我們須注意的是 : 這與計算最大公因數的短除法略有不同, 當同一行的數字中, 即使不是全部數都有大於 1 的公因數 ( 例如 ) 時, 短除法仍可以繼續下去, 因為 6 和 27 之間仍有公因數 3, 可把它抽出, 並放置於左邊頁 41 之 28

29 思考題有一小學生計算的最小公倍數時, 寫出以下短除法直式因此,lcm (20, 40, 10) = 2 10 = 20 你對這個計算法有些甚麼意見? 除了利用上述的方法外, 我們還可利用最大公因數和最小公倍數兩者的關係 lcm (a,b) gcd (a,b) = ab 來計算最小公倍數例計算 lcm (42,27) 解..第一步..先計算 gcd (42, 27) gcd (42, 27) = gcd (27, 15) (Q 42 = ) = gcd (15, 12) (Q 27 = ) = gcd (12, 3) (Q 15 = ) = 3 頁 41 之 29

30 第二步.. Q lcm (42, 27) gcd (42, 27) = lcm (42, 27) 3 = 1134 lcm (42,27) = lcm (42,27) = 378 例計算 lcm (2004, 2003) 解..第一步..先計算 gcd (2004, 2003) gcd (2004, 2003) = gcd (2003, 1) (Q 2004 = ) = 1 第二步.. Q lcm (2004, 2003) gcd (2004, 2003) = lcm (2004, 2003) 1 = lcm (2004, 2003) = 習作 a) 試計算 lcm (452, 74) b) 試計算 lcm (12457, 2141) 頁 41 之 30

31 思考題證明..若 gcd (a, b) = 1, 則 lcm(a, b) = ab 進一步閱讀欲知 lcm (a, b) gcd (a, b) = ab 的證明, 可參閱基礎數學引論, 頁最大公因數和最小公倍數的應用例最大公因數如果把一塊長 350cm 闊 125cm 的長方形銅片切割成若干塊完整的小正方形銅片, 問小正方形銅片的最大面積是多少? 共可切割成多少塊? 解和 125 的最大公因數 = 小正方形銅片的最大面積 = = 625cm 2 小正方形銅片的數目 = 14 5 = 70 塊頁 41 之 31

32 例最小公倍數現有兩種木板, 它們的形狀分別是長為 14cm, 闊為 12cm 的長方形及邊長為 10cm 的正方形每一類形的木板都能密鋪整個地板問地板的最小面積是多少? 解..由於兩種木板均能密鋪整個地板, 所以地板的其中一條邊的長度須為 14 和 10 的公倍數 ; 同時, 地板的闊度則須為 12 和 10 的公倍數要計算地板的最小面積, 我們只須計算地板的最小長度和最小闊度 : lcm (14, 10) = = 70 地板的最小長度為 70 cm lcm (12, 10) = = 60 地板的最小闊度為 60 cm 因此, 地板的最小面積是 = 4200cm 2 頁 41 之 32

33 1.7 質數 (Prime Numbers) 質數定義質數是恰好有兩個正因數的正整數例由於 7 恰好有 1 和 7 兩個正因數, 因此 7 是質數由於 1 只有 1 這個正因數, 而 4 則有 1 2 和 4 這 3 個正因數, 因此 1 和 4 都不是質數思考題試判斷以下質數的定義方式是否正確.. a) 一個正整數, 除了 1 和它自己外, 再沒有其他正整數能把它整除的話, 它便是一個質數 b) 質數是恰好有兩個因數的正整數 c) 除了 1 以外, 任何一個整數, 若只能被 1 和它自己整除, 則它是質數思考題和負數可以是質數嗎? 為甚麼? 頁 41 之 33

34 定義合成數 (composite numbers) 是有兩個以上正因數的正整數例由於 14 有和 14 這 4 個正因數, 所以它是合成數思考題 a) 試判斷下列語句的真假, 並作解釋.. i) 設 a 為任意整數, 如果 p 是質數, 則 p a 或 gcd (p, a) = 1; ii) iii) 設 a b d 為任意整數如果 d ab 則 d a 或 d b; 設 a,b 為任意整數而 p 是質數如果 p ab 且 p a, 則 p b; iv) 任何大於 1 的整數必有質因數 b) 我們知道, 把大於 1 的整數 ( 例如 8) 分解成質因數的和, 方式可能超過 1 種, 例如.. 8 = = = 但把大於 1 的整數分解成質因數的積, 方法是否同樣不只一個呢? c) 質數的數量是否有無限多? 為甚麼? d) 要判斷一個正整數是否質數時, 我們是否只須檢查所有不大於 p 的質數是否能整除 p 便可以呢? 頁 41 之 34

35 e) 你認為所有質數均是奇數嗎? 愛氐篩法 (Sieve of Eratosthenes) 自質數的概念出現後, 不少數學家開始研究並嘗試找出質數的分佈特性很久以前, 古希臘數學家厄拉多塞 (Eratosthenes of Cyrene, B.C.) 便發明了一個篩選質數的方法愛氐篩法 (Sieve of Eratosthenes), 其運算原則如下.. 寫出 1 至 n 的所有整數, 先畫去 1, 然後在 2 上打一圓圈, 再畫去所有 2 的倍數下一個未打圓圈又未被畫去的質數字是 3, 把它打圓圈, 再畫去所有它的倍數依此重複下去, 直到所有小於或等於 n 的質數都打了圓圈及該質數之倍數被畫去為止最後, 表中打了圓圈及未被畫去的那些數字正好是不大於 n 的質數了例找出 1 至 71 之間的所有質數並判斷 71 是否質數由於 , 所以小於 8 的質數為和 7 透過愛氐篩法得出下表.. 第一步..先將 1 畫去, 然後括著 2 及畫去 2 的倍數頁 41 之 35

36 除了 1, 代表 2 的倍數第二步..括著 3 及畫去 3 的倍數除了 1, 代表 2 或 3 的倍數第三步..括著 5 及畫去 5 的倍數頁 41 之 36

37 除了 1, 代表 2 或 3 或 5 的倍數第四步..括著 7 及畫去 7 的倍數除了 1, 代表 2 或 3 或 5 或 7 的倍數頁 41 之 37

38 根據愛氐篩法的原則, 表中打了圓圈及未被畫去的那些數字正好是不大於 n 的質數, 所以不大於 71 的質數為 2,3,5,7,11,13, 17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67 和 71 因此得知 71 是質數從上述例子可見, 愛氐篩法可用來尋找不大於 n 的所有質數, 同時間接判斷 n 是否質數雖然它的效率不高, 但現在仍有不少軟件是利用愛氐篩法尋找特定範圍內的質數及其數量的網上或電腦資源這網頁展示了 50 之內的質數的愛氐篩, 但留意其表沒有打圓圈的便是質數習作 a) 試判斷以下語句的真假, 並作解釋.. i) 所有偶數都是合成數 ; ii) 所有質數都是奇數 ; iii) 一個自然數不是質數, 便是合成數 ; iv) 兩個質數的和必是合成數 ; v) 沒有最大的質數 b) 試判斷下列整數是否質數 i) 1 ii) 11 頁 41 之 38

39 iii) 111 iv) 1111 v) 2003 c) 試利用愛氐篩法找出之間的所有質數思考題 a) 尋找生成質數的公式是不少數學家的夢想在 17 世紀, 歐拉 (Leonhard Euler) 嘗試利用單變量整係數的簡單多項式構造質數, 其中很有名的例子是.. x 2 + x + 41 i) 利用計算機 ( 或 Maple 等軟件 ), 檢驗當 m = 時,m 2 + m + 41 是否都為質數 ii) 你認為由 m 2 + m + 41 所構造出來的數值均是質數嗎? 為甚麼? iii) 把多項式改為 m 2 79m , 由它所構造出來的數值均是質數嗎? 為甚麼? b) 有學生認為最大的質數為 9973, 他的證明如下.. 設 n > 9973, 若 n 是偶數, 則 n 一定不是質數若 n 是奇數, 則 n +1 n 1 和必是整數 2 2 由於 n = 2 n + 1 n = k 2 l 2 (k = = (k + l)(k l) n +1,l = 2 n 1 ) 2 頁 41 之 39

40 所以,n 為合成數你對這證明有甚麼意見? c) 對一個任意的正整數 ( 例 360), 你有沒有快速的方法可以找出它的正因數的數目及其總和? 網上或電腦資源網頁內提供了一個尋找質數的軟件, 並附加安裝指示互質 (Relatively Prime) 定義如果 gcd (a, b) = 1, 則稱 a 和 b 為互質例由於 gcd (3, 5) = 1, 所以 3 和 5 是互質另外,gcd (4, 12) = 4, 所以 4 和 12 不是互質習作試判斷以下的一對數字是否互質.. a) 1 10 b) 3 6 c) 頁 41 之 40

41 d) 7 7 思考題試判斷以下語句的真假.. a) 如果 a 和 b 是互質, 則 a 和 b 都是質數 b) 如果 a 和 b 都是質數, 則 a 和 b 是互質 c) 如果 a 和 b 是互質, 則 a 或 b 是質數 d) 兩個連續的正整數必然是互質的頁 41 之 41

單元6　小數及循環小數的性質

單元6　小數及循環小數的性質單元 6 小數及循環小數的性質 6 小數 (decials) 的概念小數 (decials) 雖然是小學數學課程中的一個課題, 但它的很多有趣特性, 大家在小學都不一定有機會接觸到現在就讓我們從小數的定義及分類開始吧! 定義 6 一個小數的整數部份如果為 0, 則它稱為純小數 (pure decials); 一個小數的整數部份如果不是 0, 則它稱為混小數或帶小數 (ixed decials)

一 序數

一　序數