力與能 Force and Energy Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National Taipei University of Technology ( 國立台北科技大學機械系 ) Homepage:
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1 力與能 Force and Energy Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National Taipei University of Technology ( 國立台北科技大學機械系 ) Homepage: chchting@ntut.edu.tw CCT Group 助教 : 吳穎彥 March 15, 2011 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 1 / 56http
2 課程大綱 1 力與能 2 力的分解與合成 3 共平面力的合成 4 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 5 位置向量與力的延伸 6 向量夾角 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 2 / 56http
3 參考文獻 R.C Hibbeler, Statics, Pearson Education Inc., 歐亞書局有限公司, ISBN= , Chapter 1, 2, J.L. Meriam and L.G. Kraige, Statics, John Wiley & Sons, Inc., 歐亞書局有限公司, ISBN= , Chapter 2, 5, 6, Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 3 / 56http
4 力與能 力與能 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 4 / 56http
5 力與能 牛頓三大運動定律 (Newton s Three Laws of Motion) 1 第一定律 (First Law): 物體受力平衡時, 靜者恆靜, 動者恆做等速度運動 ( v = const.) 2 第二定律 (Second Law): 物體 (m) 受力 ( F ) 時, 會在受力方向產生加速度 ( a), F = m a 3 第三定律 (Third Law): 物體受力 ( F ) 時, 會在受力點產生與受力方向相反之相同大小的力 ( F ) Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 5 / 56http
6 力與能 力與能 I 力 (Force): 可驅使物體做加速度運動, 其值為物體質量 (m) 與加速度 ( a) 的乘積 F = m a (1) F = ma (2) 力的大小無法直接判斷對物體的破壞能力大小 重力 (Gravitational Force): 具質量之物體間的吸引力, 特別指地球 (M e ) 對物體 (m) 之吸引力, 其方向指向地球, 也就是物體的重量 (W) W = G mm e r 2 (3) = m GM e r 2 (4) = mg (5) Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 6 / 56http
7 力與能 力與能 II 其中,r 為物體間的距離,G = m 3 /(kg s 2 ) 為萬有引力常數 壓力 (Pressure): 單位面積 (A) 之法線方向承受的力 (F), 壓力具備對物體的破壞性大小的能力 p = F A (6) 剪力 (Shear Force): 與物體受力面平行的力, 或與物體受力面之法線方向垂直的力稱之 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 7 / 56http
8 力與能 力與能 III 摩擦力 (Frictional Force): 抵抗不同物體之界面間的滑動行為之力稱之 物體與物體間欲造成彼此滑動 (Impending Motion) 或彼此運動 (Motion) 時的力, 有靜摩擦力 (F s ) 與動靜摩擦力 (F k ) 之分, 其大小為物體間界面之法線方向力 (N) 與摩擦係數 (µ s, µ k ) 的乘積 F s = µ s N (7) F k = µ k N (8) 黏度 (Viscosity): 分子相互之間的吸引力, 或者說, 分子相互之間的拉力稱之 扭力 (Torsion): 物體受力產生旋轉趨勢的物理量稱之, 扭力其實指的是扭矩, 為施力與力臂的乘積 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 8 / 56http
9 力與能 IV 力與能 位能 (Potential Energy): 物體在加速度力場下, 不同位置所受靜力 (F) 大小造成的內能 (U), 為靜力與絕對高度 (h) 之積 U = F h (9) 功 (Work): 物體受力 (F) 方向與因此造成的位移 (s) 之積稱之 W = F s (10) 動能 (Kinetic Energy): 運動 (v) 中物體 (m) 受力平衡時所產生的能稱之 W = 1 2 mv 2 (11) Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 9 / 56http
10 力與能 力與能 V 電位能 (Electric Potential Energy): 電荷 (q) 在電場下, 不同位置所受電場力 (E) 大小造成的內能 (U), 為電場力與絕對高度 (h) 之積 U = q E h (12) 電位差 (Electric Potential Difference): 電子在電場下, 兩不同位置所受電場力 (F) 大小造成的內能 (U) 差稱之 U = U 2 U 1 (13) = q E (h 2 h 1 ) (14) 電壓 (Voltage): 即電位差 (Electric Potential Difference) 功率 (Power): 單位時間 (t) 所產生的能量 (E) P = E t (15) 功率大小無法說明能量多寡 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 10 / 56http
11 力的分解與合成 力的分解與合成 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 11 / 56http
12 力的分解與合成 向量 (Vector) 與純量 (Scalar) 向量 ( F ): 具大小與方向 純量 (F): 僅有大小 hen-ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 12 / 56http
13 力的分解與合成 力的分解與合成 平行四邊形法 (Parallelogram Law): 以任一分力 ( F 1, F 2 ) 之方向箭號尖點為起點, 沿另一分力 ( F 2, F 1 ) 之方向畫出與 F2, F 1 同大小之線, 成為一平行四邊形 三角法 (Trigonometry): 以任一分力 ( F 1, F 2 ) 之方向箭號尖點為起點, 沿另一分力 ( F 2, F 1 ) 之方向畫出與 F2, F 1 同大小之力, 將分力 ( F 1, F 2 ) 之起點與沿另一分力 ( F 2, F 1 ) 之方向畫出與 F2, F 1 同大小之力的箭頭尖點連接而成三角形 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 13 / 56http
14 力的分解與合成 力的分解 F 任何一力 (F) 均可進行力的分解, 分解的方式為以力的向量起點為原點進行小於 ±90 的任意角度旋轉, 在旋轉角度方向上 (Fcosθ) 及與該旋轉角度方向之法線方向上 (Fsinθ) 進行投影, 即為分解之二力 將兩分力在原力方向上進行投影, 其和為原力, 兩分力的個別與原力方向之法線方向的投影大小相同 方向相反 F = Fcosθcosθ + Fsinθsinθ = F (cos 2 θ + sin 2 θ) (16) Fcosθsinθ = Fsinθcosθ (17) hen-ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 14 / 56http
15 力的合成 力的分解與合成 F F 任何兩個以上的力 (F 1, F 2,...) 均可進行力的合成, 合成的方式為相互以力的向量起點與終點在不進行旋轉的情況下進行連接, 再將最後連接完成之力的向量組合的起點與終點拉直線連接, 所連接成的直線以向量起點及向量終點為直線的向量方向, 此直線即為合成力 將所有力在合成力方向上進行投影, 其和為合成力, 所有力的個別與合成力方向之法線方向的投影大小合成相同 方向相反 F 1 sinθ 1 = F 2 sinθ 2 (18) Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 15 / 56http
16 向量相加 力的分解與合成 向量具備大小與方向, 向量相加時, 必須特別考慮方向的影響 R = A + B = B + A (19) hen-ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 16 / 56http
17 向量相減 力的分解與合成 向量具備大小與方向, 方向相反之向量, 其值大小加上負號 R = A B = A + ( B) (20) Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 17 / 56http
18 力的分解與合成 Cosine Law A b c Acosc B h B-Acosc a C A 2 = h 2 + (Acosc) 2 (21) C 2 = h 2 + (B Acosc) 2 (22) (21)-(22) A 2 C 2 = (Acosc) 2 (B Acosc) 2 (23) = B 2 + 2ABcosc (24) C 2 = A 2 + B 2 2ABcosc (25) C = A 2 + B 2 2ABcosc (26) Cosine Law: C = A 2 + B 2 2ABcosc Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 18 / 56http
19 Sine Law 力的分解與合成 h c = Asinb = Bsina (27) A b c C B a h b = Asinc = Csina (28) h a = Bsinc = Csinb (29) A = B sina sinb (30) A = C sina sinc (31) B = C sinb sinc (32) A = B sina sinb = C sinc (33) Sine Law: A sina = B sinb = C sinc Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 19 / 56http
20 Cosine and Sine Law 力的分解與合成 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 20 / 56http
21 力的分解與合成 平行四邊形幾何 α + β = 180 (34) α + (β γ) + γ = 180 (35) 平行線 平行線 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 21 / 56http
22 力的分解與合成 課堂練習 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 22 / 56http
23 力的分解與合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 22 / 56http
24 力的分解與合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 22 / 56http
25 力的分解與合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 22 / 56http
26 力的分解與合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 22 / 56http
27 力的分解與合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 22 / 56http
28 力的分解與合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 22 / 56http
29 力的分解與合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 22 / 56http
30 力的分解與合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 22 / 56http
31 共平面力的合成 共平面力的合成 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 23 / 56http
32 共平面力的合成 卡氏座標 (Cartesian Coordinate System) 共平面力的分解與合成都可基於卡氏座標, 將所有力均先行分解成 x 與 y 方向的分力, 再分別對 x 與 y 方向的分力進行力的合成 F = F x i + F y j (36) 其中, i 與 j 分別為 x 與 y 方向的單位向量 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 24 / 56http
33 共平面力的合成 共平面力的合成 F 1 = F 1x i + F1y j (37) F 2 = F 2x i + F2y j (38) F 3 = F 3x i F3y j (39) F R = F 1 + F 2 + F 3 (40) = F 1x i + F1y j F2x i + F2y j + F3x i F3y j (41) = (F 1x F 2x + F 3x) i + (F 1y + F 2y F 3y ) j (42) = (F Rx ) i + (F Ry ) j (43) F Rx = F x (44) F Ry = F y (45) F R = FRx 2 + F Ry 2 (46) θ = tan 1 F Ry F Rx (47) Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 25 / 56http
34 向量力的分解 共平面力的合成 F x = Fcosθ (48) F y = Fsinθ (49) F x F = a c (50) F x = F ( a c ) (51) F y F = b c (52) F y = F ( b c ) (53) hen-ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 26 / 56http
35 共平面力的合成 課堂練習 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 27 / 56http
36 共平面力的合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 27 / 56http
37 共平面力的合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 27 / 56http
38 共平面力的合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 27 / 56http
39 共平面力的合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 27 / 56http
40 共平面力的合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 27 / 56http
41 共平面力的合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 27 / 56http
42 共平面力的合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 27 / 56http
43 共平面力的合成 F 1x = F 1 cos(15 ) (54) F 1y = F 1 sin(15 ) (55) F 2x = F 2 sin(10 ) (56) F 2y = F 2 cos(10 ) (57) F Rx = F 1 cos(15 ) + F 2 sin(10 ) (58) F Ry = F 1 sin(15 ) + F 2 cos(10 ) (59) F R = FRx 2 + F Ry 2 (60) θ = F Ry (61) F Rx F 1 = F 1x i + F 1y j = F 1 cos(15 ) i + F 1 sin(15 ) j (62) F 2 = F 2x i + F 2y j = F 2 sin(10 ) i + F 2 cos(10 ) j (63) F R = (F 1x + F 2x ) i + (F 1y + F 2y ) j (64) = (F 1 cos(15 ) + F 2 sin(10 )) i + (F 1 sin(15 ) + F 2 cos(10 )) j (65) Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 28 / 56http
44 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 29 / 56http
45 右手定則 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 右手定則以張開之右手四指方向為 x 軸方向, 再依握拳時的方向指向 y 軸方向, 右手之大姆指指向 z 軸方向 A = A x + A y + A z (66) = A x i + A y j + A z k (67) 其中, i j 與 k 分別為 x y 與 z 方向的單位向量 hen-ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 30 / 56http
46 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 三維方向力分解可以正立方體為之, 其中, 三維方向力為正立方體之對角線方向 A z = Acosφ (68) A = Asinφ (69) A x = A cosθ = Asinφcosθ (70) A y = A sinθ = Asinφsinθ (71) A = Asinφcosθ i + Asinφsinθ j + Acosφ k (72) R = A + B (73) = (A x + B x) i + (A y + B y ) j + (A z + B z) k (74) F R = F (75) = F x i + Fy j + Fz k (76) Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 31 / 56http
47 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 三維合力 (Three Dimensional Force Resultant) 當討論作用在一質點上的立體空間上之多個方向的力量和, 稱之為三維合力 A = A x i + A y j + A z k (77) A = A 2 x + A 2 y (78) A = A 2 z + A 2 (79) = A 2 x + A 2 y + A 2 z (80) hen-ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 32 / 56http
48 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 三維合力 (Three Dimensional Force Resultant) cosα = A x A, cosβ = A y A, cosγ = A z A (81) cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = A2 x + A 2 y + A 2 z A 2 = 1 (82) A = Acosα i + Acosβ j + Acosγ k (83) Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 33 / 56http
49 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 三維力之方向向量 任何一力 ( A) 均包含力的大小 (A) 與力的方向 ( u A ) 兩元素 A = A x + A y + A z (84) = A x i + Ay j + Az k (85) = Acosα i + Acosβ j + Acosγ k (86) = A(cosα i + cosβ j + cosγ k) (87) = A u A (88) u A = A A = A(cosα i + cosβ j + cosγ k) A (89) (90) = cosα i + cosβ j + cosγ k (91) 其中, i j 與 k 分別為 x y 與 z 方向的單位向量, u A 為 A 力的方向 單位向量 hen-ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 34 / 56http
50 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 課堂練習 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 35 / 56http
51 解題技巧 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 x z y 求解三維方向力的合成之技巧乃先分別標出各點的卡氏座標表示, 再將各力以卡氏座標表示, 並依下列關係式進行加總 F 1 = OA F 1 (cosα 1 i + cosβ1 j + cosγ1 k) = F1 ( OA ) = F (x 1 0) i + (y 1 0) j + (z 1 0) k 1( (x1 0) 2 + (y 1 0) 2 + (z 1 0) 2 ) F 2 = OB F 2 (cosα 2 i + cosβ2 j + cosγ2 k) = F2 ( OB ) = F (x 2 0) i + (y 2 0) j + (z 2 0) k 2( (x2 0) 2 + (y 2 0) 2 + (z 2 0) 2 ) F = OC F (cosα i + cosβ j + cosγ k) = F ( OC ) = F ( (x 3 0) i + (y 3 0) j + (z 3 0) k (x3 0) 2 + (y 3 0) 2 + (z 3 0) 2 ) F = F1 + F 2 (92) cosα cosβ2 1 + cosγ2 1 = cosα cosβ2 2 + cosγ2 2 = cosα2 + cosβ 2 + cosγ 2 = 1 (93) Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 36 / 56http
52 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 36 / 56http
53 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 36 / 56http
54 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 36 / 56http
55 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 36 / 56http
56 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 36 / 56http
57 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 36 / 56http
58 三維 (Three Dimension) 方向力的合成 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 36 / 56http
59 位置向量與力的延伸 位置向量與力的延伸 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 37 / 56http
60 位置向量與力的延伸 位置向量 (Position Vector) 一個方向必須由兩個點或位置才能完成, 其中一個點為起點或起始位置, 另一個點為終點或終止位置, 方向向量乃由起點或起始位置指向終點或終止位置, 連接起點與終點的方向向量稱為位置向量 (Position Vector), 位置向量 (Position Vector) 包含兩點距離與單位向量 (Unit Vector) 或單位位置向量 (Unit Position Vector), 位置向量與兩點距離的比值即為單位向量 空間中任何一個位置均可以卡氏座標表達其位置 P(x,y,z), 位置向量 ( r) 乃對此位置的卡氏座標向量表達, 即自座標原點 O(0,0,0) 指向位置 P(x,y,z) 方向向量 : r = OP = (x 0) i + (y 0) j + (z 0) k = x i + y j + z k r = OP = (x 0) 2 + (y 0) 2 + (z 0) 2 其中, r r 為單位向量, OP 為原點 O(0, 0, 0) 座標到 P(x, y, z) 點座 標的方向向量, 或稱為位置向量,OP 則為連結原點 O(0, 0, 0) 座 標到 P(x, y, z) 點座標的距離, 或稱長度 hen-ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 38 / 56http
61 一維方向力 位置向量與力的延伸 任何一力 ( F ) 皆由力的大小 (F) 與方向 ( u) 所組成, 其中, 方向亦可稱為單位位置向量 (Unit Position Vector), 或單位向量 (Unit Vector) 一維方向力 : x OA F = F u = F OA (94) = F x i (95) F = F x (96) u = i (97) = OA OA = (x 1 0) i (x1 0) 2 (98) OA = (x 1 0) i (99) OA = (x 1 0) 2 (100) 其中, OA 為由原點 O(0) 座標到 A(x 1 ) 點座標的方向向量, 或稱為位置向 量,OA 則為連結原點 O(0) 座標到 A(x 1 ) 點座標的距離, 或稱長度 hen-ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 39 / 56http
62 二維方向力 位置向量與力的延伸 二維方向力 : y x F 1 = F 1 a (101) = F 1x i + F1y j (102) = F 1 cosθ 1 i + F1 sinθ 1 j (103) a = cosθ 1 i + sinθ1 j (104) a = = OA OA x 1 0 y 1 0 i + j (x1 0) 2 + (y 1 0) 2 (x1 0) 2 + (y 1 0) 2 (105) = x 1 y 1 i + j (106) x1 2 + y 1 2 x1 2 + y 1 2 其中, a 為單位向量, OA 為原點 O(0, 0) 座標到 A(x 1, y 1 ) 點座標的方向向量, 或稱為位置向 量,OA 則為連結原點 O(0, 0) 座標到 A(x 1, y 1 ) 點座標的距離, 或稱長度 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 40 / 56http
63 二維方向力 - Continued 位置向量與力的延伸 二維方向力 : y x F 2 = F 2 b (107) = F 2x i + F2y j (108) = F 2 cosθ 2 i + F2 sinθ 2 j (109) b = cosθ2 i + sinθ2 j (110) OB b = OB x 2 0 = y 2 0 i + j (x2 0) 2 + (y 2 0) 2 (x2 0) 2 + (y 2 0) 2 (111) = x 2 y 2 i + j (112) x2 2 + y 2 2 x2 2 + y 2 2 其中, b 為單位向量, OB 為原點 O(0, 0) 座標到 B(x 2, y 2 ) 點座標的方向向量, 或稱為位置向 量,OB 則為連結原點 O(0, 0) 座標到 B(x 2, y 2 ) 點座標的距離, 或稱長度 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 41 / 56http
64 二維方向力 - Continued 位置向量與力的延伸 二維方向力 : F = F u (113) y x = F 1 F 2 (114) = F 1 a F 2 b (115) = F 1x i + F1y j + F2x i F2y j (116) = F 1 cosθ 1 i + F1 sinθ 1 j + F2 cosθ 2 i F2 sinθ 2 j (117) = (F 1 cosθ 1 + F 2 cosθ 2 ) i + (F 1 sinθ 1 F 2 sinθ 2 ) j (118) u = = BA BA x 1 x 2 y 1 y 2 i + j (x1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (x1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (119) 其中, u 為單位向量, BA 為 B(x 2, y 2 ) 點座標到 A(x 1, y 1 ) 點座標的方向向量, 或稱為位置向 量,BA 則為連結 B(x 2, y 2 ) 點座標到 A(x 1, y 1 ) 點座標的距離, 或稱長度 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 42 / 56http
65 三維方向力 位置向量與力的延伸 三維方向力 : x z y F 1 = F 1 a (120) = F 1x i + F1y j + F1z k (121) = F 1 cosα 1 i + F1 cosβ 1 j + F1 cosγ 1 k (122) a = cosα 1 i + cosβ1 j + cosγ1 k (123) a = = OA OA = x 1 0 (x1 0) 2 + (y 1 0) 2 + (z 1 0) 2 i + y 1 0 (x1 0) 2 + (y 1 0) 2 + (z 1 0) 2 j z k (x1 0) 2 + (y 1 0) 2 + (z 1 0) 2 x 1 y 1 i + z 1 j + k (124) x1 2 + y z2 1 x1 2 + y z2 1 x1 2 + y z2 1 其中, a 為單位向量, OA 為原點 O(0, 0, 0) 座標到 A(x 1, y 1, z 1 ) 點座標的方向向量, 或稱為位置向 量,OA 則為連結原點 O(0, 0, 0) 座標到 A(x 1, y 1, z 1 ) 點座標的距離, 或稱長度 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 43 / 56http
66 三維方向力 - Continued 位置向量與力的延伸 三維方向力 : x z y F 2 = F 2 b (125) = F 2x i F2y j + F2z k (126) = F 2 cosα 2 i F2 cosβ 2 j + F2 cosγ 2 k (127) b = cosα2 i cosβ2 j + cosγ2 k (128) b = OB OB = x 2 0 (x2 0) 2 + (y 2 0) 2 + (z 2 0) 2 i + y 2 0 (x2 0) 2 + (y 2 0) 2 + (z 2 0) 2 j z k (x2 0) 2 + (y 2 0) 2 + (z 2 0) 2 = x 2 y 2 i + z 2 j + k (129) x2 2 + y z2 2 x2 2 + y z2 2 x2 2 + y z2 2 其中, b 為單位向量, OB 為原點 O(0, 0, 0) 座標到 B(x 2, y 2, z 2 ) 點座標的方向向量, 或稱為位置向 量,OB 則為連結原點 O(0, 0, 0) 座標到 B(x 2, y 2, z 2 ) 點座標的距離, 或稱長度 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 44 / 56http
67 三維方向力 - Continued 位置向量與力的延伸 三維方向力 : x z y F = F u (130) = F1 F 2 (131) = F 1 a F 2 b (132) = F 1x i + F1y j + F1z k F2x i + F2y j F2z k (133) = F 1 cosα 1 i + F1 cosβ 1 j + F1 cosγ 1 k F2 cosα 2 i + F2 cosβ 2 j F2 cosγ 2 k = (F 1 cosα 1 F 2 cosα 2 ) i + (F 1 cosβ 1 F 2 cosβ 2 ) j + (F 1 cosγ 1 F 2 cosγ 2 ) k u = BA BA = x 1 x 2 (x1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 i + y 1 y 2 (x1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 j z 1 z 2 + k (x1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 其中, u 為單位向量, BA 為 B(x 2, y 2, z 2 ) 點座標到 A(x 1, y 1, z 1 ) 點座標的方向向量, 或稱為位置向 量,BA 則為連結 B(x 2, y 2, z 2 ) 點座標到 A(x 1, y 1, z 1 ) 點座標的距離, 或稱長度 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 45 / 56http
68 位置向量與力的延伸 位置向量 (Position Vector) 與力的延伸 如果空間中兩個位置 A(x A, y A, z A ) 及 B(x B, y B, z B ), 其個別位置向量 r A 及 r B 為 r A = x A i + ya j + za k (134) r B = x B i + yb j + zb k (135) 則由 A 點指向 B 點之連結兩個位置點的位置向量 r 為 r = AB (136) = r B r A (137) = (x B i + yb j + zb k) (xa i + ya j + za k) (138) = (x B x A ) i + (y B y A ) j + (z B z A ) k (139) r = AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2 其中, r r 為單位向量, AB 為 A(x A, y A, z A ) 點座標 到 B(x B, y B, z B ) 點座標的方向向量, 或稱為位置向量,AB 則為 連結 A(x A, y A, z A ) 點座標到 B(x B, y B, z B ) 點座標的距離, 或稱長 度 hen-ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 46 / 56http
69 力的延伸 位置向量與力的延伸 F = F u (140) = F ( r r ) (141) = F ( (x B x A ) i + (y B y A ) j + (z B z A ) k (xb x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2 ) (142) Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 47 / 56http
70 位置向量與力的延伸 課堂練習 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 48 / 56http
71 解題技巧 位置向量與力的延伸 x z y 求解位置向量與力的延伸之技巧乃先分別標出各點的卡氏座標表示, 再將個別連接兩點的位置向量以卡氏座標表示, 並依下列關係式進行表達 AB = (x 2 x 1 ) i + (y 2 y 1 ) j + (z 2 z 1 ) k (143) AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 (144) F = AB F ( AB ) = F ( (x 2 x 1 ) i + (y 2 y 1 ) j + (z 2 z 1 ) k (x2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) ) 2 (145) 其中, AB 為 A 點指向 B 點之位置向量,AB 為 A 點到 B 點之距離 hen-ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 49 / 56http
72 位置向量與力的延伸 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 49 / 56http
73 位置向量與力的延伸 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 49 / 56http
74 位置向量與力的延伸 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 49 / 56http
75 位置向量與力的延伸 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 49 / 56http
76 位置向量與力的延伸 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 49 / 56http
77 位置向量與力的延伸 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 49 / 56http
78 位置向量與力的延伸 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 49 / 56http
79 位置向量與力的延伸 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 49 / 56http
80 向量夾角 向量夾角 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 50 / 56http
81 向量夾角 向量夾角 (Dot Product) Laws of Operation: 1 Commutative Law( 替換 ): A B = B A A B = ABcosθ (146) = (A x i + Ay j + Az k) (Bx i + By j + Bz k) (147) = A xb x( i i) + A xb y ( i j) + A xb z( i k) +A y B x( j i) + A y B y ( j j) + A zb y ( k j) +A zb x( k i) + A zb y ( k j) + A zb z( k k)(148) = A xb x + A y B y + A zb z (149) θ = cos 1 ( A B AB ), 0 θ 180 (150) 2 Multiplication by a Scalar( 純量積 ): a( A B) = (a A) B = A (a B) 3 Distribution Law( 分配 ): A ( B + D) = ( A B) + ( A D) Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 51 / 56http
82 Dot Product 向量夾角 任何一力 ( F ) 皆由力的大小 (F) 與單位向量 ( r r ) 所組成, 數學運算 Dot Product 乃在表達力 ( F ) 在與一位置向量 ( r) 夾角 (θ) 之方向上的分力 (F r ) 與位置向量之長度乘積大小 r F = rfcosθ (151) F r = r r F = Fcosθ (152) ( r r F )( r r ) = Fcosθ( r r ) (153) 其中, r r 為單位向量 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 52 / 56http
83 向量夾角 課堂練習 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 53 / 56http
84 解題技巧 向量夾角 x z y 求解位置向量與力的夾角之技巧乃先分別標出各點的卡氏座標表示, 再將個別連接兩點的位置向量以卡氏座標表示, 並依下列關係式進行表達 AB = (x 2 x 1 ) i + (y 2 y 1 ) j + (z 2 z 1 ) k (154) AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 (155) BC = (x 3 x 2 ) i + (y 3 y 2 ) j + (z 3 z 2 ) k (156) BC = (x 3 x 2 ) 2 + (y 3 y 2 ) 2 + (z 3 z 2 ) 2 (157) BC F = F ( BC ) = F ( (x 3 x 2 ) i + (y 3 y 2 ) j + (z 3 z 2 ) k (x3 x 2 ) 2 + (y 3 y 2 ) 2 + (z 3 z 2 ) 2 ) (158) F AB = F ABcosθ (159) Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 54 / 56http
85 向量夾角 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 54 / 56http
86 向量夾角 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 54 / 56http
87 向量夾角 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 54 / 56http
88 向量夾角 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 54 / 56http
89 向量夾角 Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition Russell C. Hibbeler Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 54 / 56http
90 向量夾角 結論 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 55 / 56http
91 結論 向量夾角 靜力學主要用來分析結構的力平衡問題, 力的平衡分析則可透過向量合成與分解的方式來進行 所有力均可以卡氏座標進行表示, 透過力透過的卡氏座標表答方式再進行力的合成, 可解決並求得所有向量力的合成力, 對於較為簡單的二維向量力的合成, 則可使用 Cosine 與 Sine 定律快速求解 另外, 任何一力 ( F ) 皆由力的大小 (F) 與單位向量 ( r r ) 或方向所組成, 一個方向必須由兩個點或位置才能完成, 其中一個點為起點或起始位置, 另一個點為終點或終止位置, 方向向量乃由起點或起始位置指向終點或終止位置, 連接起點與終點的方向向量稱為位置向量 (Position Vector), 位置向量 (Position Vector) 包含兩點距離與單位向量 (Unit Vector) 或單位位置向量 (Unit Position Vector), 位置向量與兩點距離的比值即為單位向量 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 力與能 Taipei ForceUniversity and Energy of Technology ( 國立台北科技大學機械系 March 15, 2011 ) Homepage: 56 / 56http
(p.29). (a) F Qq r 2 ()() N (b) Q 2 r 2 F ( 2 )() Q 0 5 C 2. (a) F (b) F 3. 7 (p.42). (a) T (b) F (c) T 2. (a) A (b) (c) 4. (a) 4 (b) (
20 (p.7). (a) T (b) T (c) T (d) F 2. B 3. 3 (p.4). D 2. C D A B D B D B D 3. (a) F (b) F (c) T 4. 2 (p.0) 4 (p.23). (a) B (b) A P 2. (a) F (b) T 3. 4. 5. 6. (a) (b).6 0 9.6 0 9 0 0. (a) X Y (b) X Y Z 2.
CIP / 005 ISBN X Ⅰ Ⅱ Ⅲ - - Ⅳ G CIP ISBN X/G http / /cbs pku edu cn pku edu
CIP / 005 ISBN 7-30-08496-X Ⅰ Ⅱ Ⅲ - - Ⅳ G634 603 CIP 004 353 ISBN 7-30-08496-X/G 380 0087 http / /cbs pku edu cn 67505 58874083 67656 xxjs@pup pku edu cn 675490 787 09 6 4 75 383 005 005 9 00 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
x y 7 xy = 1 b c a b = x x = 1. 1 x + 17 + x 15 = 16 x + 17 x 15 + 17 15 x + 17 - x 15 = (x x ) ( ). x + 17 + x 15 x + y + 9 x + 4 y = 10 x + 9 y + 4 = 4xy. 9 4 ( x + ) + ( y + ) = 10 x y 9 ( x + )( ).
2 23 (b) 4. (a) B X = µ 0I = (4π 10 7 )(1.5) X 2π(0.045) = 6.67 μt B Y = µ 0I = (4π 10 7 )(1.5) Y 2π(0.015) = 20 μt (b) B X = µ 0I = (4π 10 7 )(2) X 2
23 (b) 1 (p. 192) 1. (a) F (b) F 2. (a) C C B B B A (b) 2 (p. 196) 1. (a) T (b) F (c) T 2. (a) W 4. 3 (p. 205) 1. A A 2. (a) F (b) T 3. 4. (a) (b) Z 3. (a) 2 23 (b) 4. (a) B X = µ 0I = (4π 10 7 )(1.5)
1
相對內容大綱 : 高考課程大網第一章第 3 節 參考 : 高級程度物理第一冊第七章 6.0 6. 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.0 6. 6.0 CD 6. P ( x, y (pola coodinate P (,θ ( 6.. P θ OP x B s θ P θ (angula position θ θ [ θ ](angula displacement θ
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設 計 與 應 用 科 技 溫 習 精 要 第 1 級 設 計 與 應 用 科 技 總 溫 習 本 科 學 習 課 程 必 修 部 份 : 考 試 卷 一 ( 科 技 設 計 與 社 會 ) (S1 - 設 計 與 創 新 / S2 - 科 技 原 理 / S3 - 價 值 與 影 響 ) 選 =============================================================================================
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( 20 010010) 787 1092 1/32 498.50 4 980 2004 9 1 2004 9 1 1 1 000 ISBN 7-204-05940-9/R 019 1880.00 ( 20.00 ) I...1...3...4...6... 11...14...18...22...26...29...31...38...45...49...56...57...59...61...67
常见病防治（二）.doc
( 20 010010) 787 1092 1/32 498.50 4 980 2004 9 1 2004 9 1 1 1 000 ISBN 7-204-05940-9/R 019 1880.00 ( 20.00 ) ...1...9...17...25...34...41...49...54...55...55...57...64...65...67...68...69...69...70...71
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, 5, ;,,,,,, ; ; 4,,, ; () 1345, 2,,,,,,,, 2014 2 1 1 11 1 111 1 112 2 113 Cramer 3 12 3 121 3 122 4 123 4 13 5 131 5 132 13 133 13 134 Cramer 14 135 16 14 17 15 20 16 () 27 2 30 21 31 211 31 212 31 213
四川省教育厅
四 川 省 教 育 厅 四 川 省 体 育 局 川 教 函 2015 727 号 四 川 省 教 育 厅 四 川 省 体 育 局 关 于 举 办 2016 年 四 川 省 中 学 生 篮 球 比 赛 和 排 球 乒 乓 球 羽 毛 球 田 径 锦 标 赛 的 通 知 各 市 ( 州 ) 教 育 局 体 育 局 有 关 学 校 : 为 推 动 我 省 篮 球 排 球 乒 乓 球 运 动 的 发 展,
( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
1 3 8 1 S 8 sini = n. ( 1` ) sinr n = c υ sini = n sinr 1 3 n 1 υ1 υ =, n1 =. υ υ 1 υ1 c / υ n 1 n1 = = = =. υ c / υ n n 1 1 1 sini n = n 1 =, sinr n1 60 n = 3 sin90 1 = =, sinc sinc n sin C = 1. n 3
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. Fluid Statics 1. 流體靜力學 (Fluid Statics): 係探討流體處於靜止狀態或流體內彼此無相對運動情況下之流體受力狀況 因無相對速度, 故無 du 速度梯度, 亦即無剪力, 流體受力主要為 dy 壓力與重力. 流體靜壓力之等向性 (Isotropic) 取一個很小的 element d dy d 因靜止 F = 0 : ( 力平衡 ) ( ) F = 因 ds sinθ
西安美术学院福建公安高等专科.doc
...1...1 ( )...6... 11...13...14...16...21...22...36...37...38...39...43...44...46...48...48...51 I ( )...53...56...59...62...62...80...82...86...87 ( )...90...93...97 ( )...99... 106... 107... 118 ( )...
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95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 趨 勢 分 析 95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 解 析 大 公 開 4 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 趨 勢 分 析 1 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 解 析 大 公 開 13 發 行 人 : 李 枝 昌 執 行 編 輯 : 蔡 孟 秀 張 龍 慧 美 術 編 輯 : 蔡 雅 真 發 行 所 : 康 熹 文 化 事 業 股
C = C + C C = + + C C C C 1 2 3
C = C + C 1 2 3 1 1 1 1 + C = + + C C C C 1 2 3 17 Q = Q = Q C = Q U C 1 1 2 3 C 1 C 2 C 3 U = 1 1 1 U 1 U 2 U 3 = + + C C C 1 2 3 1) A B U A U B U U = AB A B AB G G R = R U = U U = 0 U = 4 B C BC CB C
1 s = v t + at, 0 v = v + at 0. 1 3.0 36 s = v t + at a 0 1 F ma a s v t at s 0 F f 1 a m = mgsin θ µ mg cosθ g sinθ µ cosmθ 1 s = v t + at 0 1 v tsinθ µ cosθ 0 1 1 1.0 5.0 9.8 50 0 04 3.. 5 57
微积分 授课讲义
2018 10 aiwanjun@sjtu.edu.cn 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω
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Taylor f( ), ; f ( ) cos( + α ), ; f( ) + si, ; f( ) e si, ; f ( ) ta, ; f( ) l(cos ), 6 ;, ( ) e, f, si l, f ( ),, f( ) + +,. f( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( 8 8 + + + + + ( 9 6 7 8 + + + + +( ) 9 8
Paperless Printer, Job 4
三角函數 (Trigonomtric function 包含以下六個 : 正弦函數 :sin 餘弦函數 :cosin 符號 :sin 符號 :cos 正切函數 :tangnt 餘切函數 :cotangnt 符號 :tan 符號 :cot 正割函數 :scant 餘割函數 :coscant 符號 :sc 符號 :csc 銳角三角函數 : 一直角三角形, 鄰邊為 X, 對邊為, 斜邊為 Z, 斜邊和鄰邊夾角為
肝病养生.doc
( 20 010010) 787 1092 1/32 498.50 4 980 2004 9 1 2004 9 1 1 1 000 ISBN 7-204-05940-9/R 019 1880.00 ( 20.00 ) ...1...2...3...4...6...7...8...9... 11... 11...14...16...18...19...20...21...22...24...25 I
EC(2003-04)18 第 2 頁 (c) 刪 除 以 下 常 額 職 位 2 個 顧 問 醫 生 職 位 第 4 / 第 3 / 第 2 點 ) ( 145,150 元 至 149,600 元 /127,900 元 至 135,550 元 /113,520 元 至 120,553 元 ) (
EC(2003-04)18 財 務 委 員 會 人 事 編 制 小 組 委 員 會 討 論 文 件 2004 年 2 月 11 日 總 目 37 生 署 分 目 000 運 作 開 支 請 各 委 員 向 財 務 委 員 會 提 出 下 述 建 議, 以 便 在 生 署 設 立 生 防 護 中 心 (a) 由 2004 年 4 月 1 日 起 開 設 以 下 新 職 系 和 職 級 生 防 護 中
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( 20 010010) 787 1092 1/32 460.25 4 000 2004 8 1 2004 8 1 1 1 000 ISBN 7-204-05942-5/D 120 1920.00 ( 16.00 ) ...1...7... 13... 16... 19... 26... 30... 34 18... 38... 42... 44... 47... 51 I ... 53... 55
经典案例（三）
( 20 010010) 7871092 1/32 460.25 4 000 2004 8 1 2004 8 1 11 000 ISBN 7-204-05942-5/D120 1920.00 ( 16.00 ) ...1...5... 10... 15... 20... 22... 28.. 35... 39... 44... 52... 55... 57... 65 I .. 74... 86...
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CIP ) / :,2006.2 ISBN 7-80702 - 113-6..........G.206 CIP (2006)080133 :8501168mm 1/ 32 : 120 :2000 2006 3 1 : 5000 ISBN 7-80702 - 113-6/ G206 : 348.00 (16 ) ,?, :,,,,,,,,,!,?,,,,,,?,, ,,,,,,,,,,,,,,,!,!,!
4. 5. 6. 17(1)(6)(e) 2
39A ( ) 2. 着 1996 ( ) 39A(1) 2(1) 39A 16(3)(bc) 3. 4.2 4. 5. 6. 17(1)(6)(e) 2 7. 1 8. 4.6 9. 17(1)(6)(e) 3 10. 11. 2004 ( ) 12. 13. 14. 4 15 15. (a) (i) (ii) (iii) (b) (i) (ii) 1 (iii) (iv) 1 5 (c) 16.
數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量
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國 立 宜 蘭 大 學 104 學 年 度 轉 學 招 生 錄 取 名 單 ZA1. 日 間 學 制 電 機 工 程 學 系 二 年 級 104ZA20058 林 佐 正 取 生 104ZA20064 梁 元 瀚 正 取 生 104ZA20047 盛 宏 淵 正 取 生 104ZA21001 李 湘 台 正 取 生 104ZA20032 蔡 明 憲 正 取 生 104ZA20055 賴 亮 杰 正
: : : ( CIP ) : ( ) /. :, ISBN :. G7. 4 CIP ( 00 ) 005 : : ( ) : : ( 0 : 0004) : : : / 6 : 7 ( ) : 408 () : 00
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修 訂 普 通 高 級 中 學 課 程 綱 要 數 學 Q&A 97.01.27 定 稿 一 關 於 數 學 課 程 綱 要 之 修 訂 理 念 Q1: 本 次 數 學 科 綱 要 修 訂 之 理 念 為 何? A1: 本 次 高 中 數 學 課 綱 之 修 訂 理 念, 包 括 揭 櫫 數 學 為 基 礎 學 科 的 重 要 性, 釐 清 高 中 數 學 核 心 內 容 的 定 位, 以 及 提
報告大綱 期末報告程序表 2 報告要求 3 報告範例 hen-ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National 影像顯示科技報告 Taipei University of Technology ( 國立台北科技大學機械系 June
影像顯示科技報告 Chen-Ching Ting ( 丁振卿 ) Mechanical Engineering, National Taipei University of Technology ( 國立台北科技大學機械系 ) Homepage: http://cct.me.ntut.edu.tw/ E-mail: chchting@ntut.edu.tw June 16, 2007 Chen-Ching
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1993 79 2010 9 80 180,000 (a) (b) 81 20031,230 2009 10,610 43 2003 2009 1,200 1,000 924 1,061 800 717 600 530 440 400 333 200 123 0 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 500 2003 15,238 2009 31,4532003 2009
bnbqw.PDF
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Microsoft Word - 08 单元一儿童文学理论
单 元 ( 一 ) 儿 童 文 学 理 论 内 容 提 要 : 本 单 元 共 分 成 三 个 小 课 目, 即 儿 童 文 学 的 基 本 理 论 儿 童 文 学 创 作 和 儿 童 文 学 的 鉴 赏 与 阅 读 指 导 儿 童 文 学 的 基 本 理 论 内 容 包 括 儿 童 文 学 的 基 本 含 义 儿 童 文 学 读 者 儿 童 文 学 与 儿 童 年 龄 特 征 和 儿 童 文 学
Microsoft Word - 發布版---規範_全文_.doc
建 築 物 無 障 礙 設 施 設 計 規 範 內 政 部 97 年 4 年 10 日 台 內 營 字 第 0970802190 號 令 訂 定, 自 97 年 7 月 1 日 生 效 內 政 部 97 年 12 年 19 日 台 內 營 字 第 0970809360 號 令 修 正 內 政 部 101 年 11 年 16 日 台 內 營 字 第 1010810415 號 令 修 正 目 錄 第 一
概 述 随 着 中 国 高 等 教 育 数 量 扩 张 目 标 的 逐 步 实 现, 提 高 教 育 质 量 的 重 要 性 日 益 凸 显 发 布 高 校 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告, 是 高 等 学 校 建 立 健 全 就 业 状 况 反 馈 机 制 引 导 高 校 优 化 招
I 概 述 随 着 中 国 高 等 教 育 数 量 扩 张 目 标 的 逐 步 实 现, 提 高 教 育 质 量 的 重 要 性 日 益 凸 显 发 布 高 校 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告, 是 高 等 学 校 建 立 健 全 就 业 状 况 反 馈 机 制 引 导 高 校 优 化 招 生 和 专 业 结 构 改 进 人 才 培 养 模 式 及 时 回 应 社 会 关 切 的 一 项
鱼类丰产养殖技术（二）.doc
...1...1...4...15...18...19...24...26...31...35...39...48...57...60...62...66...68...72 I ...73...88...91...92... 100... 104... 144... 146... 146... 147... 148... 148... 148... 149... 149... 150... 151...
疾病诊治实务（一）
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名人养生.doc
I...1...3...4...6... 11...14...18...22...26...29...31...38...45...49...56...57...59...61...67 ...72...73...75...77...80...83...85...91...92...93...95...96...97... 103... 107... 109... 110... 112... 118...
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嘉 義 地 區 客 家 禮 俗 研 究 第 一 章 前 言 嘉 義 地 區 的 客 家 族 群 約 略 可 分 為 福 佬 客 詔 安 客 與 北 部 客 等 三 種 類 別, 其 分 佈 區 域 以 海 線 地 區 平 原 地 形 沿 山 地 區 為 主 有 相 當 多 的 北 部 客 家 人, 是 二 次 大 戰 末 期 和 戰 後 初 期 才 移 民 嘉 義, 是 什 麼 因 素 令 許 多
05301930
國 立 中 正 大 學 法 學 系 碩 士 論 文 河 川 砂 石 法 規 範 之 探 討 - 以 採 取 土 石 及 挖 掘 河 川 認 定 基 準 為 主 指 導 教 授 : 盧 映 潔 博 士 研 究 生 : 王 瑞 德 中 華 民 國 一 百 零 一 年 五 月 目 錄 第 一 章 緒 論... 1 第 一 節 研 究 動 機... 1 第 二 節 研 究 目 的... 3 第 三 節 研
中老年保健必读（十）.doc
...1...2...3...4...5...6...8...9... 11 - -...13...15...17...18...20...22...23...25...26...28 I II...30...32...34...35...38...40...42...44...46...47...48...50...52...53 X...55...56...57...58...60...61...63...65
23 29 15.6% 23 29 26.2% 3 25 2 15 1 5 1,542 12,336 14,53 16,165 18,934 22,698 25,125 25 2 15 1 5 5,557 7,48 8,877 11, 13,732 17,283 22,485 23 24 25 26
4, 197823 2916.3%29 335, 23 29.5% 23 29 16.3% 14 35 33,535 14 135 13 125 1,292 1,3 1,38 1,314 1,321 1,328 1,335 3 25 2 15 1 5 1. 1.1 13,582 15,988 1.4 18,322 11.6 11.9 21,192 24,953 3,67 9. 8.7 12 1 8
海淀区、房山区（四）
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穨ecr1_c.PDF
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穨2005_-c.PDF
2005 10 1 1 1 2 2 3 5 4 6 2 7 3 11 4 1 13 2 13 3 14 4 14 5 15 6 16 7 16 8 17 9 18 10 18 2005 10 1 1. 1.1 2 1.2 / / 1.3 69(2) 70(2) 1.4 1.5 1.6 2005 10 1 2. 2.1 2.2 485 20(8) (a) (i) (ii) (iii) (iv) 571
北京理工大学.doc
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东城区（下）
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果树高产栽培技术（一）.doc
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第一節 研究動機與目的
中 國 文 化 大 學 中 國 文 學 研 究 所 碩 士 論 文 華 嚴 一 真 法 界 思 想 研 究 指 導 教 授 : 王 俊 彥 研 究 生 : 許 瑞 菁 中 華 民 國 98 年 12 月 自 序 在 佛 教 經 典 中 最 初 接 觸 的 是 佛 說 無 量 壽 經, 此 經 乃 大 方 廣 佛 華 嚴 經 的 精 華 版 綱 要 版 為 了 瞭 解 經 義, 深 知 宇 宙 運
水力发电（九）
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中国古代文学家（八）.doc
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景观植物（一）
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教 学 管 理 文 件 汇 编 目 录 教 育 法 规 和 指 导 性 文 件 1. 中 华 人 民 共 和 国 高 等 教 育 法 1 2. 中 华 人 民 共 和 国 教 师 法 8 3. 普 通 高 等 学 校 学 生 管 理 规 定 12 4. 高 等 学 校 学 生 行 为 准 则 18 5. 中 华 人 民 共 和 国 学 位 条 例 19 6. 高 等 学 校 教 学 管 理 要 点
园林植物卷（三）.doc
I II III IV 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 84k 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
厨房小知识_一_
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中南财经大学（七）.doc
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赵飞燕外传、四美艳史演义
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厨房小知识（五）
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最新监察执法全书（十八）.doc
.............. I ..................................................... II .......................................... III ... 2003......... IV ,
园林植物卷（十二）.doc
... 1... 4... 8... 8... 9... 9...11... 13... 15... 20... 23... 30... 31... 36... 39... 40... 43 I ... 47... 52... 57... 60 1... 65 2... 71 (3)... 78... 81... 87... 89... 91... 94... 95... 97 ( )... 100...
华东师范大学.doc
...1...3...4...5...6...7 ( )...9 ( )...10...16...19...21...22...23...27...27...31...31 I II...33...34 ( )...36 () ( )...44 () ( ) ( )...49 ( )...54...56...60 ( )...64...70...81...89 2004...95...97...99...
國立中山大學學位論文典藏
I...1...1...4...4...6...6...13...24...29...44...44...45...46...47...48...50...50...56...60...64...68...73...73...85...92...99...105...113...121...127 ...127...131...135...142...145...148 II III IV 1 2
乳业竞争_一_
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最新执法工作手册（十）.doc
......................................... I ......... 2003....................................... II III............................................................ IV..............................................................
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最新执法工作手册（十六）
............................................. I ................................... II ........................... 2001......... III IV......................................... ........................
中国政法大学（六）.doc
...1...6...8 2004... 11...15 2003...16...20...29...32...34...38...39...42...43...44...48 I ...53...58...61...63...71...75...77...79...83...91...94...95...98... 100... 102... 102... 105... 106... 107...
胎儿健康成长.doc
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第三章
第 三 章 :2017 年 行 政 長 官 產 生 辦 法 - 可 考 慮 的 議 題 行 政 長 官 的 憲 制 及 法 律 地 位 3.01 基 本 法 第 四 十 三 條 規 定 : 香 港 特 別 行 政 區 行 政 長 官 是 香 港 特 別 行 政 區 的 首 長, 代 表 香 港 特 別 行 政 區 香 港 特 別 行 政 區 行 政 長 官 依 照 本 法 的 規 定 對 中 央 人
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3 4 5 7 8 9..10..15..16..19..52 -3,402,247-699,783-1,611,620 1,790,627 : - - -7,493 - -1,687 2,863 1,176 2,863 - -148,617 - - 12,131 51,325 - -12,131-2,165 14-2,157 8-3,393,968-794,198-1,620,094 1,781,367
南華大學數位論文
南 華 大 學 哲 學 與 生 命 教 育 學 系 碩 士 論 文 呂 氏 春 秋 音 樂 思 想 研 究 研 究 生 : 何 貞 宜 指 導 教 授 : 陳 章 錫 博 士 中 華 民 國 一 百 零 一 年 六 月 六 日 誌 謝 論 文 得 以 完 成, 最 重 要 的, 是 要 感 謝 我 的 指 導 教 授 陳 章 錫 博 士, 老 師 總 是 不 辭 辛 勞 仔 細 閱 讀 我 的 拙
Microsoft Word - 3.3.1 - 一年級散文教案.doc
光 明 英 來 學 校 ( 中 國 文 學 之 旅 --- 散 文 小 說 教 學 ) 一 年 級 : 成 語 ( 主 題 : 勤 學 ) 節 數 : 六 教 節 ( 每 課 題 一 教 節 ) 課 題 : 守 株 待 兔 半 途 而 廢 愚 公 移 山 鐵 杵 磨 針 孟 母 三 遷 教 學 目 的 : 1. 透 過 活 動, 學 生 能 說 出 成 語 背 後 的 含 意 2. 學 生 能 指
第３２回独立行政法人評価委員会日本貿易保険部会 資料1-1 平成22年度財務諸表等
1 12,403 2,892 264,553 19,517 238,008 10,132 989 36 9,869 2,218 250 122 ( 126 108 1,563 278 159 260 478 35,563 1,073 74 190,283 104,352 140,658 20,349 16,733 21,607 (21,607) 58,689 303,699 339,262 339,262
1. 本文首段的主要作用是 A. 指出 異蛇 的藥用功效 說明 永之人爭奔走焉 的原因 B. 突出 異蛇 的毒性 為下文 幾死者數矣 作鋪墊 C. 交代以蛇賦稅的背景 引起下文蔣氏有關捕蛇的敘述 2. 本文首段從三方面突出蛇的 異 下列哪一項不屬其中之一 A. 顏色之異 B. 動作之異 C. 毒性之
1. 本文首段的主要作用是 A. 指出 異蛇 的藥用功效 說明 永之人爭奔走焉 的原因 B. 突出 異蛇 的毒性 為下文 幾死者數矣 作鋪墊 C. 交代以蛇賦稅的背景 引起下文蔣氏有關捕蛇的敘述 2. 本文首段從三方面突出蛇的 異 下列哪一項不屬其中之一 A. 顏色之異 B. 動作之異 C. 毒性之異 3. 太醫以王命聚之 中的 以 字與下列哪一項的 以 意思相同 A. 以齧人 B. 而吾以捕蛇獨存
項 訴 求 在 考 慮 到 整 體 的 財 政 承 擔 以 及 資 源 分 配 的 公 平 性 下, 政 府 採 取 了 較 簡 單 直 接 的 一 次 性 減 稅 和 增 加 免 稅 額 方 式, 以 回 應 中 產 家 庭 的 不 同 訴 求 ( 三 ) 取 消 外 傭 徵 費 6. 行 政 長
2013 年 1 月 23 日 的 立 法 會 會 議 葛 珮 帆 議 員 就 幫 助 中 產 動 議 的 議 案 ( 經 單 仲 偕 議 員 及 莫 乃 光 議 員 修 正 ) 進 度 報 告 在 2013 年 1 月 23 日 的 立 法 會 會 議 上, 由 葛 珮 帆 議 員 就 幫 助 中 產 動 議 的 議 案, 經 單 仲 偕 議 員 及 莫 乃 光 議 員 修 正 後 獲 得 通 過
(f) (g) (h) (ii) (iii) (a) (b) (c) (d) 208
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前 言 學 習, 可 以 為 個 創 造 未 來 ; 教 育, 能 夠 為 社 會 開 拓 明 對 個 而 言, 教 育 可 以 幫 助 每 個 發 展 潛 能 建 構 知 識 及 提 升 個 素 質 ; 它 賦 予 每 個 掌 握 前 途 和 開 拓 未 來 的 能 力 對 社 會 而 言, 教 育 不 單 可 以 培 育 才, 而 且 具 有 ㆒ 個 更 深 層 的 意 義, 它 給 予 社 會
1 5 0.005 20 1969 11 AB 2 2 2 = ( 6, 370, 005) ( 6, 370, 000) 24 ( ) πd h 2 4 5 100 1 3 1000 30 110 1 273 1 3 1 3 300 8 0 6 65 67 1 600,000 7 1700 4 0 0 1 130 #
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- B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =
2 160 1985 20 32 50 L.V.Bertallanfy 60 J.M C.W 1982 24 1982 307 1986 35 1984 12 1985 5 1985 121 1988.5 1988.5 1952 1952 1982 193 1987.4 35 1983 1985.10 1986.2 1986
考 纲 解 读 14 浙 江 省 普 通 高 考 语 文 科 考 纲 研 读 吴 美 琴 今 年 的 考 试 说 明, 我 用 了 八 个 字 进 行 概 括, 那 就 是 稳 中 微 调, 关 注 生 活 稳 中 微 调 :14 年 的 语 文 考 试 说 明 是 近 几 年 来 调 整 幅 度
14 年 第 1 期 ( 总 第 87 期 ) 目 录 考 纲 解 读 语 文 吴 美 琴 (1) 数 学 王 芳 (3) 英 语 王 文 伟 (8) 物 理 季 倬 (1) 浙 江 省 义 乌 中 学 信 息 科 研 处 主 办 化 学 杨 军 (14) 生 物 吴 贵 忠 (16) 政 治 王 雪 娟 (17) 历 史 陈 旭 明 (7) 总 编 : 方 维 华 主 编 : 陈 平 执 行 主
广西师范学院（下）
3888.00 ( 16.00 ) ...1 ()...1...4... 11...14...15...17...32...43...44...46...47...58...59...60...62 I II...63...64...65...69...72...73...74...76...81...83...84 ( )...85...90 ( )...96... 102... 107...111...
2 1 = 1 2 AOB AOB = 2 2 AB CD CD AB O AB CD O AOC = BOC = 1 2 AOB AOC = BOC = 1 2 AOB OA = OB = = AOC BOD SAS = OA = OB = 1 2 c = a + b - 1 2 4 ab = a + b 2 2 2 2 1.
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(III) 4. T,T T d l d T Q Q ~ T~, d~, k~ T d T Q k d T Q Q Q T a ~ T b ~ k ~ k ~ k T d T k T l T T k T d T a d l T T b a a b b T T k Q k, s h h d s + ) k, ( l d d T Q Q d T T k Q d T T Q ) ( + s d T T k
中医疗法（上）.doc
( 20 010010) 787 1092 1/32 498.50 4 980 2004 9 1 2004 9 1 1 1 000 ISBN 7-204-05940-9/R 019 1880.00 ( 20.00 ) ...1...1...1...2...4...5...7...13...15...17...18...19...21...23...24...24...26...26...27 I ...28...29...30...30...31...32...33...34...35...36...37...39...40...41...42...43...43...45...46...47...47...48
論鄭玄對《禮記‧月令》的考辨
19997 183-196 論 鄭 玄 對 禮 記 月 令 的 考 辨 183 論 鄭 玄 對 禮 記 月 令 的 考 辨 一 問 題 的 背 景 20b 8a 1 472 24 20a 33 7a 2 3 1 35 60 64 472 240241 2 1a 3 19b 184 4 5 二 鄭 玄 考 辨 月 令 成 書 時 代 及 來 源 的 論 證 65 4 20b 282 5 235244
戲劇研究 創刊號 詞之雅化 實為 折子戲 源生之三個重要背景 歷代戲曲劇種如先秦至唐代之 戲曲小戲 宋金雜劇院本 北曲雜劇四折每折作獨立性演出 乃至明清民間 小戲與南雜劇之一折短劇 均實為折子戲之 先驅 則明正德至嘉靖間北劇南 戲選本之 摘套 與 散齣 迎神賽社禮節傳簿 中之 零折散齣 均可 視之為
戲 劇 研 究 200 年1月 創刊號 頁1 2 論說 折子戲 曾永義 世新大學講座教授 緒論 折子戲 這一戲曲名詞 大家耳熟能詳 但如果進一步思考 1. 折子戲 之名始於何時 2. 折子戲 之詞彙結構如何形成 3.如果把 折子戲 當作一生命體 那麼其源生 形成 成熟與衰老的不同 階段 各自如何 其源生 形成的背景如何 其成熟興盛和衰老頹廢的原因又是 如何 4.當折子戲成熟之時 折子戲本身具有何等樣的周延義涵
2017/ / , / , GDP 2017/2018 7, / / / % 96.4% 94.1% % 78.4%
2017/2018 20042014/2015 29,6732017/201845,210 2017 GDP 2017/20187,789 2014/2015 2015/20162016/2017 96.1%96.4%94.1%20132017 77.4%78.4% 2015831 336.32016831378.6 2017831460.92015831 62.82016831109.8 2017831151.6
lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),
2016 11 14 1 15 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x), 0 0. 2 15 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15
2011-论文选集-2.cdr
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