44 數學傳播 28 卷 2 期民 93 年 6 月 (A 30 (1 1 = 15, 代表兩個連續自然數中有一個是偶數, 它與 30 不互質, 必須捨去, 於是 2 剩下 15 個奇數 ; { } (B 如果把 15 個奇
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- 讪 侯
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1 組合計數的方法兩則 李政豐 一. 前言 好幾次與高中數學老師, 談到二年級下學期的 排列組合教學, 彼此共同的感覺都是 : 學 生在接觸到 不盡相異物排列 重複排列 重複組合 的時候, 學習的困難就已經開始呈現, 當老師要把這些方法應用到 Laplace 古典機率定義的時候, 更大的教學障礙產生了 : 學了那麼 多種排列組合的方法, 學生卻沒有信心踏出第一步, 縱然有少部分學生能勇敢的按照自己的想 法, 把題目解完, 卻也沒有太大的把握它是對的 會有這種情況發生, 我感覺是因為排列組合與 機率的教學, 當計算的數目比較大時, 不太容易分析與實驗, 在學生的腦海裡缺少具體清楚的形 象, 於是過去解題的經驗能牢記在心的的機會不多, 加上參考書中琳瑯滿目的試題, 一個問題一 種對策, 把孩子們的思緒搞亂了, 重點在哪裡? 錯在什麼地方, 學生實在抓不住 於是 排列組 合與機率, 變成是高中學生心中的 最痛, 許多任教國文 英文 社會科的老師, 回憶起高中 生涯, 也有相同的感覺 會造成這種局面, 我感覺與高中數學的課程內容, 比較缺乏組合計數方 法的例題有關, 要改善這種情況, 就有待高中數學課程標準的修訂委員, 多在這裡傷點腦筋了 下面舉兩個實例, 用實驗 分析的策略, 來說明組合計數的方法, 在高中排列組合與機率的應用 二. 本文 我們先看看有關組合計數的兩個問題 問題 1: 不大於 30 而與 30 互質的自然數有幾個? 這個問題是眾所週知的 Euler φ 函數, 它的解答是 30 ( ( 1 ( = 如果我們直觀的從解答去考量 : 30 的標準分解式為
2 44 數學傳播 28 卷 2 期民 93 年 6 月 (A 30 (1 1 = 15, 代表兩個連續自然數中有一個是偶數, 它與 30 不互質, 必須捨去, 於是 2 剩下 15 個奇數 ; { } (B 如果把 15 個奇數, 按順序三個三個分一組, 共可分成五組 {1 3 5}, {7 9 11}, { }, { }, { } 30 (1 1 (1 1 = 10, 代表每一組當中, 3 個連續奇數, 必有一個是 3 的倍數, 2 3 它出現在每一組的最中間, 它與 30 不互質, 也必須捨去, 於是剩下與 2 3 皆互質的 10 個數, { } (C 如果我們把它按順序五個五個分一組, 共可分成兩組 { }, { } 30 (1 1 (1 1 (1 1 = 8, 代表每一組當中, 5 個數中必有一個是 5 的倍數, 它與 30 不互質, 也必須捨去, 故剩下 8 個數, 但是它出現的順序亂掉了, 第一組出現在第二個, 第二組出現在第四個 到底是什麼因素決定它出現的順序? 幕後的黑手是誰? 如果我們由集合的觀點去考量 : 令 S 代表由 1 到 30 的自然數所成的集合, n(s 代表集合 S 的元素個數 X = {n 1 n 30, 2 n} Y = {n 1 n 30, 3 n} Z = {n 1 n 30, 5 n} X Y Z 分別代表 X Y Z 的補集合 則由狄摩根定律 (DeMorgan s la n(x Y Z = n[(x Y Z ] = n(s n(x Y Z 就是代表不大於 30 而與 30 互質的自然數的個數 由排容原理 ; n(x Y Z = n(x + n(y + n(z (n(x Y + n(x Z + n(y Z +n(x Y Z
3 組合計數的方法兩則 45 故 n(x Y Z = n(s n(x Y Z = n(s n(x n(y n(z+n(x Y + n(x Z+n(Y Z n(x Y Z = = 30 ( = 30 ( 1 1 ( 1( 我們儼然看出幕後的黑手是誰, 原來它就是排容原理與狄摩根定律 縱然把題目改成 不大於 49 而與 30 互質的自然數有幾個?, 只用排容原理與狄摩根定律也容易算出來 問題 2: 白球 2 個, 黑球 2 個, 黃球 2 個, 紅球 2 個, 全部放在一個袋子中, 每次從中取一球, 問紅球先取完的機率是多少? 這個問題看來眼熟, 卻是難度頗高, 如果規定要寫出解法才算數, 我想絕大部分的高中學 生都解不出來 我們不妨先把球的顏色與數目減少, 試試看如何掌握它的計數法則 以下兩題 是在高中數學參考書 學校自編題庫 與高三模擬考試中常見的問題, 可惜每次碰到都是停留 在原始的階段, 三 四年來, 沒有看到進一步用組合計數的方法去研究與探討, 我個人覺得很可 惜 我一直想藉由實驗探索式的學習, 引導我的學生, 用玩遊戲的方式, 來研究這個組合計數的 問題 於是用 VB 設計了幾個程式, 實際上用亂數做做看! 引導問題 2-1: 白球 2 個, 紅球 2 個, 全部放在一個袋子中, 每次從中取一球, 問紅球先取完 的機率是多少?
4 46 數學傳播 28 卷 2 期民 93 年 6 月 解 : 若要考慮紅球先取完, 則取球的最後一個必定是白球, 如果從球的顏色來區分, 考慮不 盡相異物排列數, 那就有 : ( 紅, 紅, 白, 白, ( 紅, 白, 紅, 白, ( 白, 紅, 紅, 白 三種 (2 1+2! (2 1!2! 故所求機率為 p = (2!(2! = 1 4! 2 程式執行的結果如下, 如果學生夠仔細, 會發現最後出現的一定是白球 如果把問題改為 : 白球 個, 紅球 r 個, 全部放在一個袋子中, 每次從中取一球, 問紅球先取完的機率是 多少?, 仿照上面的解法, 我們也不難求得機率為 p = 這個解答很簡單 直觀 也很合理 ; ( 1+r! ( 1!r!! r! ( + r! = ( 1+r! ( 1!r! (+r!!r! = + r. 當白球的個數增多了, 亦即當自然數 1 > 2 1 時, 1 1 +r > 2 2 +r ( 用相減會大於 0, 就可證出來, 紅球先取完的機率就變大了 就變小了 當紅球的個數增多了, 亦即當自然數 r 1 > r 2 1 時, +r 1 < +r 2, 紅球先取完的機率 引導問題 2-2: 白球 2 個, 黑球 2 個, 紅球 2 個, 全部放在一個袋子中, 每次從中取一球, 問 紅球先取完的機率是多少?
5 組合計數的方法兩則 47 解 : 剛開始, 我們當然是先作實驗排排看, 到底哪些是符合條件的不盡相異物排列, ( 紅, 紅, 黑, 黑, 白, 白, ( 紅, 白, 紅, 黑, 黑, 白, ( 紅, 黑, 白, 紅, 白, 黑,... 等, 都算是 紅球先取完的不盡相異物排列 有了具體的概念後, 才考慮分類, 嘗試用加法原理來計算 : 例如 : 將紅球的位置排在第一第 二 第一第三 第一第四 第二第三 第二第四第三第四, 共六類, 再把 2 個白球 2 個黑球安插進 去, 務必使得它滿足紅球先取完的要求條件 可是當球數增多了, 不僅僅分類不容易, 連安插進 去使得紅球先取完的方法也不簡單, 而且像本題, 所有的不盡相異物排列數已經有 6! 2!2!2! = 90 種, 我們只用加法原理, 很難一個一個的去檢驗, 哪些是符合條件的不盡相異物排列? 因此這個 方法就變成複雜 麻煩又毫無頭緒, 於是這個分類計數的方法又不靈光了, 到底是什麼因素決定 它的計數法則? 真正的幕後黑手又是誰? 百思不得一解 山窮水盡疑無路, 柳暗花明又一村 我 們不禁又聯想到 排容原理與狄摩根定律, 這兩個經常幫我們化混沌為明朗的工具 為了使計算式子變得簡單, 我們想定義一些集合與函數 ; 令 X 代表紅球比白球先取完的不盡相異物排列所成的集合 ( 不管黑球的順序 Y 代表紅球比黑球先取完的不盡相異物排列所成的集合 ( 不管白球的順序 則 X Y 代表紅球比黑球 白球都先取完的不盡相異物排列所成的集合 X Y 代表 ( 紅球 比黑球先取完 或 ( 紅球比白球先取完 的不盡相異物排列所成的集合 定義函數 ; F(2W, 2B, 2R; R 為 : 2 個白球 (2W, 2 個黑球 (2B, 2 個紅球 (2R, 全部放在一個袋子 中, 每次從中任取一球不放回, 將所取出的球, 依序排成一列, 其中 紅球先取完的不盡相異物排列個數 其實, 在只有三種色球時, n(x Y = F(2W, 2B, 2R; R, 就是我們要計算的目標, 但是 X Y X Y, 卻是讓我們很難具體實驗操作, 不易理解的集合 n(x Y = n(x + n(y n(x Y (A [ 甲 ] n(x 要如何計算? X 代表紅球比白球先取完的不盡相異物排列所成的集合 ( 不管黑球的位置及黑球與其他 色球的相關順序
6 48 數學傳播 28 卷 2 期民 93 年 6 月 (1 如果只考慮 白球 2 個, 紅球 2 個, 紅球比白球先取完的不盡相異物排列, 由於最後所取的 一定是白球, 則有 (2 1+2! (2 1!2! = 3 種不盡相異物排列的方法 (2 如果將上面的每一種方法, 把兩個黑球安插進去, 則有 6! 4!2! 種方法, 例如 ( 紅, 紅, 白, 白, 黑, 黑, ( 紅, 紅, 白, 黑, 白, 黑, ( 紅, 黑, 紅, 白, 白, 黑, ( 紅, 黑, 黑, 紅, 白, 白,... 等等 不論兩黑球安插在哪個位置, ( 紅, 紅, 白, 白 的順序是固定的, 只有一種, 因此分母要除以 4! (3 n(x = (2 1+2! (2 1!2! 6! 4!2! = 45, 同理可得 n(y = 45 [ 乙 ] n(x Y 要如何計算? X Y 代表 ( 紅球比黑球先取完 或 ( 紅球比白球先取完 的不盡相異物排列所成的集合 當球數增多的時候, n(x Y 實在難以計算 正面不易, 我就由反面來想 ; (X Y = X Y, 代表 ( 黑球比紅球先取完 且 ( 白球比紅球先取完, 亦即最後一個取完的一定是紅球, 這下子就 簡單多了 把甲 乙的結果代入 (A 式, n(x Y = ( 所有不盡相異物排列數 n[(x Y ] = ( 所有不盡相異物排列數 n(x Y = 6! ( (2 1! 2!2!2! 2!2!(2 1! n(x Y = n(x + n(y n(x Y 6! ( (2 1! ( ! = 6! ( ! + 6! 2!2!2! 2!2!(2 1! (2 1!2! 4!2! (2 1!2! 4!2! n(x Y 得到 n(x Y = = 30 亦即, 先前所定義的函數 F(2W, 2B, 2R; R = n(x Y = 30 因此引導問題 (2-2 的機率 p = 302!2!2! 6! = 1 3 這也很合理, 各色球數相同, 所以佔 1 3 程式執行的結果如下
7 組合計數的方法兩則 49 我們想把上面甲 乙 丙的結果作一般化, 把問題改為 : 白球 個, 黑球 個, 紅球 r 個, 全部放在一個袋子中, 每次從中取一球, 問紅球先取完的機率是多少? 解 : 我們可仿照前面組合計數的方法來計算紅球先取完的不盡相異物排列數 n(x Y = F(W, B, rr; R n(x Y = n(x + n(y n(x Y ( 所有不盡相異物排列數 n(x Y = n(x + n(y n(x Y n(x Y = n(x + n(y ( 所有不盡相異物排列數 n(x Y 再計算紅球先取完的機率 F(W, B, rr; R ( 1 + r! ( + + r! ( 1 + r! = + ( 1!r! ( + r!! ( 1!r! ( ( + + r! ( + + (r 1!!!r!!!(r 1! = ( r + + r + r + + r p = F(W, B, rr; R!! r! ( + + r! ( + + r!!!r! ( + + r! ( + r!! F(W, B, rr; R = (++r!!!r! (B
8 50 數學傳播 28 卷 2 期民 93 年 6 月 化簡之得到 p = r( 1 +r +r ++r 如果利用移項, 換一下它們的位置 r r = + r + + r p 這個結果, 雖不像問題 (2-1 (2-2 的結果, 那麼容易解讀, 但是隱隱約約的可以看出 等號右 邊是排容原理, 等號左邊是狄摩根定律, 可見這兩隻幕後黑手的影響力有多大 回歸主題 問題 2: 白球 2 個, 黑球 2 個, 黃球 2 個, 紅球 2 個, 全部放在一個袋子中, 每次從中取一球, 問紅球先取完的機率是多少? 解 : 令 則 由 X : 紅球比白球先取完之不盡相異物排列所成的集合 Y : 紅球比黑球先取完之不盡相異物排列所成的集合 Z : 紅球比黃球先取完之不盡相異物排列所成的集合 X Y : 紅球比白球 黑球都先取完之不盡相異物排列所成的集合, X Z : 紅球比白球 黃球都先取完之不盡相異物排列所成的集合, Y Z : 紅球比黑球 黃球都先取完之不盡相異物排列所成的集合, X Y Z : 紅球比白球 黑球 黃球都先取完之不盡相異物排列所成的集合 X Y Z : ( 紅球比白球先取完 或 ( 紅球比黑球先取完 或 ( 紅球比黃球先取完 之不盡相異物排列所成的集合 n(x Y Z = n(x + n(y + n(z (n(x Y + n(x Z + n(y Z +n(x Y Z (1 n(x = n(y = n(z = (2 1+2! = 1260 (2+2!2!2! (2 1+2! 其中代表 : 白球 2 個紅球 2 個, 一次取一球, 紅球先取完之不盡相異物排列數 (2 1!2! ( ! 代表 : 針對上面的每一種排列順序, 要把黑球 2 個 黃球 2 個安插進去的方法數 (2+2!2!2! 由 (B 式 F(W, B, rr; R = ( 1 + 但是, 當有四種色球的時候 ; (2 1!2! ( ! + r + + r + r ( + + r! + + r!!r!
9 組合計數的方法兩則 51 (2 n(x Y = F(W, B, rr; R ( (2+2+2!2! = = 840 其中, F(W, B, rr; R 代表 : 恰有白球 2 個 黑球 2 個 紅球 2 個的時候, 每次取一球, 紅球先取完的不盡相異物排列數 ( (2+2+2!2! : 代表針對上面的每一種排列順序, 要把黃球 2 個, 安插進去的方法數 (3 n(x Y Z = 所有不盡相異物排列數 n(x Y Z 其中 ( ! 2!2!2!(2 1! = ( ! 2!2!2!2! 把 (1 (2 (3 的值, 代入排容原理 ( ! 2!2!2!(2 1! 代表最後一個是紅球的不盡相異物排列數 = = 1890 n(x Y Z = n(x + n(y + n(z (n(x Y + n(x Z + n(y Z +n(x Y Z 1890 = ( n(x Y Z 得 n(x Y Z = 630, 同時也得到另一個函數值 F(2W, 2B, 2Y, 2R; R = 630 F(2W, 2B, 2Y, 2R; R 代表恰有 2 個白球 2 個黑球 2 個黃球 2 個紅球時, 每次取出一球不放 回, 其中紅球先取完的不盡相異物排列數 於是問題 (2 的答案 : p = 6302!2!2!2! 8! = 1 4, 這個答案也十分合理 程式執行結果如下
10 52 數學傳播 28 卷 2 期民 93 年 6 月 三. 四種色球的一般化的結果 問題 : 白球 個, 黑球 個, 黃球 y 個, 紅球 r 個, 全部放在一個袋子中, 每次從中取一 球, 紅球先取完的機率是多少? 則 解 : 分別令 X 為紅球比白球先取完之不盡相異物排列所成的集合, Y 為紅球比黑球先取完之不盡相異物排列所成的集合, Z 為紅球比黃球先取完之不盡相異物排列所成的集合 X Y : 紅球比白球 黑球都先取完之不盡相異物排列所成的集合 X Z : 紅球比白球 黃球都先取完之不盡相異物排列所成的集合 Y Z : 紅球比黑球 黃球都先取完之不盡相異物排列所成的集合 X Y Z : 紅球比白球 黑球 黃球都先取完之不盡相異物排列所成的集合 X Y Z : ( 紅球比白球先取完 或 ( 紅球比黑球先取完 或 ( 紅球比黃球先取完 之不盡相異物排列所成的集合 在恰有四種色球時, 令 p 為所求機率, 則 p ( + + y + r!!!y!r! 由 (B 式 = F(W, B, yy, rr, R = n(x Y Z, n(x Y Z = n(x + n(y + n(z (n(x Y + n(x Z + n(y Z +n(x Y Z ( 1 + r! ( + + y + r! n(x = ( 1!r! ( + r!!y! ( 1 + r! ( + + y + r! n(y = ( 1!r! ( + r!!y! (y 1 + r! ( + + y + r! n(z = (y 1!r! (y + r!!! F(W, B, rr; R = ( r + + r + (C = ( + + y + r! + r!!y!r! = ( + + y + r! + r!!y!r! = y ( + + y + r! y + r!!y!r! r ( + + r! + + r!!r!
11 在有四種色球的時候 組合計數的方法兩則 53 ( + + y + r! n(x Y = F(W, B, rr; R ( + + r!y! = ( r + + r + r ( + + y + r! + + r!!y!r! F(W, yy, rr; R = ( r + y y + r + r ( + y + r! + y + r!y!r! ( + + y + r! n(x Z = F(W, yy, rr; R ( + y + r!! = ( r + y y + r + r ( + + y + r! + y + r!!y!r! F(B, yy, rr; R = ( r + y y + r + r ( + y + r! + y + r!y!r! ( + + y + r! n(y Z = F(B, yy, rr; R ( + y + r!! = ( r + y y + r + r ( + + y + r! + y + r!!y!r! n(x Y Z = 所有不盡相異物排列數 n(x Y Z ( + + y + r! ( + + y + r 1! =!!y!r!!!y!(r 1! = ( r ( + + y + r! y + r!!y!r! n(x Y Z = n(x Y Z (n(x + n(y + n(z + (n(x Y + (X Z + n(y Z = ( r ( + + y + r! y + r!!y!r! ( + r (++y+r! +!!y!r! + r (++y+r! + y!!y!r! y + r (++y+r!!!y!r! + ( r + + r + r ( + + y + r! + + r!!y!r! + ( r + y y + r + r ( + + y + r! + y + r!!y!r! + ( r + y y + r + r ( + + y + r!. + y + r!!y!r! 所求機率為 p = n(x Y Z (++y+r!!!y!r!.
12 54 數學傳播 28 卷 2 期民 93 年 6 月 即 P = ( 1 r ( + + y + r + ( 1 + +r + + ( r + +r + y y + r + + r + + r + y y + r r ( r +r + r, + y + r 移項後, ( r y + r = + r + + r + y y + r ( r + + r + r + + r ( r + y y + r + r ( y + r + r + y y+r + y y + r + r +y+r r + P + y + r 等號左邊看得見 狄摩根定律, 等號右邊是 雙重的狄摩根定律與排容原理, 在操縱著它的結 構 若將上式化簡, 則得到 p = r + + r + y y + r + 1 r( + + r y + r y + r r ( y + r 四. 五種色球的一般化的結果 問題 : 白球 個, 黑球 個, 黃球 y 個, 綠球 g 個, 紅球 r 個, 全部放在一個袋子中, 每 次從中取一球不放回, 紅球先取完的機率是多少? 分別令 則 n(x Y Z U X 為紅球比白球先取完之不盡相異物排列所成的集合, Y 為紅球比黑球先取完之不盡相異物排列所成的集合, Z 為紅球比黃球先取完之不盡相異物排列所成的集合, U 為紅球比綠球先取完之不盡相異物排列所成的集合 = (n(x + n(y + n(z + n(u (n(x Y + n(x Z + n(x U + n(y Z + n(y U + n(z U +(n(x Y Z + n(x Y U + n(x Z U + n(y Z U n(x Y Z U
13 組合計數的方法兩則 55 其中 n(x Y Z U = 全部不盡相異物排列 n(x Y Z U ( + + y + g + r! ( + + y + g + r 1! =!!y!g!r!!!y!g!(r 1! (r + 1! ( + + y + g + r! n(x = r!( 1! (r +!!y!g! [ ( n(x Y = 1+ +r + ] +r + r (++r! (++y+g+r! ++r!!r! (++r!y!g! n(x Y Z = ( 2 + +r + +r + y y+r + r ++r + r +y+r + r +y+r r (( + + y + r! ( + + y + g + r! + + y + r!!y!r! ( + + y + r!g! 其他的集合元素個數, 仿照上面四列的式子代入排容原理之後, 再提出共同因式 ( r ( ( + + y + g + r! y + g + r!!y!g!r! [ = + r + + r + y y + r + g g + r ( r + + r + r + + r ( r + y y + r + r ( y + r + r + g g + r + r + g + r ( r + y y + r + r ( y + r + r + g g + r + r + g + r ( 1 + y y + r + g g + r + r y + g + r + ( 2 + +r + +r + y y+r + r ++r + r +y+r + r +y+r r ++y+r + ( 2 + +r + +r + g g+r + r ++r + r +g+r + r +g+r r ++g+r + ( 2 + +r + y y+r + g g+r + r +y+r + r +g+r + r y+g+r r +y+g+r + ( 2 + +r + y y+r + g g+r + r +y+r + r +g+r + r y+g+r r ] +y+g+r ( ( + + y + g + r! n(x Y Z U.!!y!g!r! 移項整理, 得
14 56 數學傳播 28 卷 2 期民 93 年 6 月 = n(x Y Z U [ r + + r + y y + r + g g + r +r ( r y + r g + r y + r g + r + 1 r ( y + r g + r y + g + r + 1 +r ( y + g + r 於是所求機率 [ p = r + + r + ] ( ( + + y + g + r!!!y!g!r! y y + r + g g + r + y + g + r y + g + r +r ( r y + r g + r y + r g + r + 1 r ( y + r g + r y + g + r + 1 +r ( 1 ] + + y + g + r + y + g + r y + g + r 五. 綜合整理與比較 如果把這些問題的機率按照常數 簡單的分式 到複雜的分式加以排列 (1 白球 個, 紅球 r 個 兩種色球時 p = (2 白球 個, 黑球 個, 紅球 r 個 三種色球時 p = r. + r + + r + 1 r(. + + r (3 白球 個, 黑球 個, 黃球 y 個, 紅球 r 個 四種色球時 p = r + + r + 1 r( + + y + r. y y + r + 1 r( + + r y + r y + r (4 白球 個, 黑球 個, 黃球 y 個, 綠球 g 個, 紅球 r 個 五種色球時 p = r + + r + y y + r + g g + r
15 組合計數的方法兩則 57 +r ( r y + r g + r y + r g + r + 1 r ( y + r g + r y + g + r + 1 +r ( y + g + r 我們似乎可以提出 m 種色球的一般化機率公式 ; + y + g + r y + g + r 問題 : 當有 m 種色球, 顏色是 c 1 的色球有 n 1 個, 顏色是 c 2 的色球有 n 2 個,... 顏色 是 c m 1 的色球有 n m 1 個, 顏色是 c m ( 紅色 的色球有 r 個, 全部放在一個袋子中, 從中每 次隨機取出一球不放回, 紅球先取完的機率是 : 符號說明 : p = (m 2 + m 1 i=1 m 1 n i n i + r + r i=2 ( 1 i ( A ( M i 1. t(a + r 1. 上式中 M = {n 1, n 2, n 3, n 4,...,n m 1 }, 它是前面 m 1 種色球的個數所成的集合, 縱 然有兩種以上不同色球的數目相同, 在 M 集合中, 當 (k j 我們仍然必須把 n k, n j 看 成是不同的元素 2. ( M 是代表由集合 M 中取出 i 個元素出來的部分集合 i 3. 如果 A = {n 1, n 2, n 3,...,n i }, 則 t(a = n 1 + n 2 + n n i 從上面的機率, 我們隱約看到了不同層次的數學規則, 也讓我們領略到 : 在解題過程中由 複雜 麻煩 毫無頭緒, 到實驗 探索 找出理路的學習歷程 藉著化混沌為明朗的兩個工具 : 排容原理與狄摩根定律, 使我們在排列組合與機率的教學活動中, 得到組合計數方法的一點 樂趣 六. 結語 一個平凡的問題, 也含有深奧的道理, 只有透徹而深入的了解, 才算是掌握 克服了它 原 先我們用保利龍球作了一個三種色球時, 計算不盡相異物排列數的模型教具, 想從機率實驗中, 寄望能找到一個遞迴關係式, 想藉著遞迴定義的演算法則, 來求得一般化的機率公式, 但卻不幸 失敗了 機率與不盡相異物排列數, 畢竟有一重隔閡, 不容易從機率實驗中看出支配全局的主角 直 到把目標轉回到不盡相異物排列數的計算, 發現到決定組合計數方法的兩個定理, 居然是 排容 原理與狄摩根定律, 整個問題才真正的豁然開朗 再利用不盡相異物排列數來計算所求的機率,
16 58 數學傳播 28 卷 2 期民 93 年 6 月 也就水到渠成 在這個研究過程中, 我感覺到學習組合數學的充實與快樂 也由衷的感謝國立交 通大學應用數學系黃大原教授 陳明璋教授以及國立花蓮師院數理教育系袁媛教授給我的指導 參考文獻 1. 新竹女中數學題庫 2. 九十二年台北市聯合模擬考試數學試題 3. 屠規彰 (1981, 組合計數的方法及其應用, 科學出版社, 中國北京 4. George E. Andres (1973, Numer Theory, Pennsylvania State University. 5. Sheldon Ross (1980, A First Course in Proaility, University of California, Berkeley. 本文作者任教於國立竹南高中
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1 2 3 4 5 6 7 8 公式 2 4 2 1 能 整除 因此後玩 者贏 且關鍵數 字為3 的倍數 3 0 3 1 不能整除 所 以先拿餘數 2 關鍵數字是 4的倍 數 2 先玩者贏 4 0 4 1 能整除 因此 後玩者贏 且 關鍵數字為 5 的倍數 5 0 5 1 不能整除 所 以先拿餘數 2 關鍵 數字是 6的倍 數 2 先玩者贏 7 0 6 1 能整除 因此 後玩者贏 且 關鍵數字為7
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第 2 章神奇的質數 2.1.1 什麼是質數 1 1 1 打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 1 1 0 10 2 3 5 7 4 6 8 9 10 4 10000 1229 1000 168 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131
0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1
0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0
106 學年第二學期選修扶助課程優先名單 班級 座號 學號 科目 國文 國文 國文 國文 國文 國文 國
201 01 511018 國文 201 03 511081 國文 201 05 511104 國文 201 14 511416 國文 201 21 511621 國文 201 28 512179 國文 201 30 512192 國文 201 35 511517 國文 201 01 511018 英文 201 03 511081 英文 201 05 511104 英文 201 07 511140
... 03... 10 2... 15...20... 26... 30... 34
99 ... 03... 10 2... 15...20... 26... 30... 34 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 認知概念發展教具 概念類 1. 理解概念 2. 空間概念 3. 速度概念 4. 專注力 5. 記憶力 6. 數概念 理解概念 空間概念 認知概念發展教具
戒菸實務個案自助手冊105年Ver.2
本計劃經費來自 品健康福利捐支應 衛生福利部國民健康署 我 名字 為了 以下理由 1. 2. 3. 4. 5. 決定從 年 月 日起 簽署人 (簽章) 見證人 (簽章) 年 月 日 a 準備戒 V 環境的準備 排除讓自己想吸 自己戒 的環境 V 心理的準備 瞭解自己的吸 的環境 建立能提醒 行為 強化戒 決心 V 身體的準備 評估身體的尼古丁依賴度 必要時找尋 藥物降低戒 戒 的難度
n 123n2n1nn n P n k n P abc 123 x abcxx P C 5 3 oooxx C
2 1 2 1 2 3 n 123n2n1nn n P n k n P 5 3 5 53 5 2 60 abc 123 x abcxx 5 2 60 P 5 3 5 53 5 2 60 C 5 3 oooxx C 5 3 5 32 3 4 n 5 6 4 壹歷史與生活 2 2 2 4 3 10311095 1919 3 361 16481722 17681813 C n m nn1nm1 mm1 21
第二節 研究方法 本論文第一章 緒論 說明研究動機與目的 研究方法及研究的範圍及限制 並對 飲食散文的義界 作一觀念的釐清 第二章 文獻探討 就將本研究的理 論建構中的概念作釐清 分別為 現代文學 飲食文學的重要論著 等兩個部 分來描述目前文獻的研究成果 並探討其不足待補述的地方 本研究以 文化研 究 為主要研究基礎 統攝整個研究架構 在不同章節裡 佐以相關研究方法進 行論述 茲圖示如下 研究方法
中華民國第 四 十 七 屆中小學科學展覽會
中華民國第四十七屆中小學科學展覽會作品說明書 高中組生物 ( 生命科學 ) 科 040718 光鮮外表下的神秘面紗 - 探討草莓果實生長及其生殖 學校名稱 : 國立鳳新高級中學 作者 : 高二簡溥辰 指導老師 : 王美玲 高二謝宜芬 高二歐盈佛 高二陳柏維 關鍵詞 : 草莓 (Fagaria sp. ) 果實發育 (fruit develop) 萌芽 (germination) ~
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
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北 年 度 領 參 II 北 III 陸 錄 參 錄 IV V 1 2 3 4 參 錄 5 6 參 錄 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 2 1 2 28 29 (三) 教學方法 躍華小學語文課程中的第一個板塊 教科書教學採用單元整體教學的思 路 教授一個主題單元時 可以把教學過程分成幾個模塊 自學模塊 字詞
CU0594.pdf
8 SOHO 1 3 003 SOHO SOHO Coder Programmer HTML CSS PHP JavaScrip 009 LECTURE 1-1 1 048 PART 2 LECTURE 1-1 1 049 SOHO Landing Page Landing 050 PART 2 LECTURE 1-1 1 SEO SEO P.093 SEO SEO SEO SEO SEO 051
46 2011 11 467 數位遊戲式學習系統 7 2011 11 467 47 3 DBGameSys 48 2011 11 467 正規化資料模組 如何配置並儲存電子化資料 以 便減少資料被重覆儲存的程序 DBGameSys的主要功能模組包 學習者 審核評分模組 含 正規化資料模組 審核評分 模組 高分列表模組3大區塊 系統資料庫 在正規化資料模組的執行 高分列表模組 過程中 先要求學習者瀏覽遊戲
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1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 8 15 9 10 11 12 13 16 14 17 18 19 20 21 22 15 23 2.3 不同的分析角度 以上種種對影響健康因素的分析 其實來自不同的學說和理論 它們從不同角度分析 健康 建立對健康及影響健康因素的不同理解 這些角度包括 1 生物 2 社 會 3 心理 4 靈性 5 生態及
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平 安 证 券 有 限 责 任 公 司 关 于 推 荐 深 圳 市 前 海 圆 舟 网 络 科 技 股 份 有 限 公 司 进 入 全 国 中 小 企 业 股 份 转 让 系 统 挂 牌 并 公 开 转 让 的 推 荐 报 告 根 据 中 国 证 券 监 督 管 理 委 员 会 ( 以 下 简 称 证 监 会 ) 发 布 的 非 上 市 公 众 公 司 监 督 管 理 办 法, 以 及 全 国 中
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兴 业 证 券 股 份 有 限 公 司 关 于 推 荐 上 海 新 联 纬 讯 科 技 发 展 股 份 有 限 公 司 进 入 全 国 中 小 企 业 股 份 转 让 系 统 挂 牌 公 开 转 让 的 推 荐 报 告 二 零 一 六 年 六 月 兴 业 证 券 股 份 有 限 公 司 关 于 推 荐 上 海 新 联 纬 讯 科 技 发 展 股 份 有 限 公 司 进 入 全 国 中 小 企 业 股
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Excel - - Excel - -4-5 840 提示 Excel - Excel -- Excel (=) Excel ch0.xlsx H5 =D5+E5+F5+G5 (=) = - Excel 00 ( 0 ) 智慧標籤 相關說明提示 -5 -- Excel 4 5 6 7 8 + - * / % ^ = < >= & 9 0 (:) (,) ( ) Chapter - :,
1970 新技術的應用 X = 20 + B 13B δ13c X 1 X
凡發生過的必留下痕跡 同位素分析的考古應用? 如何考古 06 2013 9 489 經由人骨中碳和氮同位素的分析, 提供考古學家另一個探討古代攝食系統的途徑 另外, 可以藉由鍶同位素分析了解人群的來源與遷移過程 1970 新技術的應用 13 15 13 12 15 14 13 15 13 12 15 13 15 13 X = 20 + B 13B δ13c X 1 X 2013 9 489 07 δ
73 二 課程簡介
72 處 變 如何不驚? 談如何修讀 這門課 / 一 前言 73 二 課程簡介 74 Robert T. Golembiewski 三 教科書的研讀訣竅 75 76 cross reference 四 課程製作不易, 且成本昂貴, 一定要看 11 00 11 30 19 00 19 30 20 30 21 00 77 idea 1 78 五 輔助教材 是新知來源, 又是考試的範圍 六 面授教學提供解惑的機會,
以易經中簡易 變易 不易之原則探求遞迴數列之例 2 n 2
1000021 h t t p : / / w w w. k n s i. c o m. t w 248 30 407 40 813 2722F (02)2299-9006 (02)2299-9110. 100 KANG SI 第一期 vol.1 P.2 P.6 P.10 GGBGeoGebra P.13 1 以易經中簡易 變易 不易之原則探求遞迴數列之例 2 n 2 一 解決過程 : n 二 分析思考路徑
6寸PDF生成工具
内容简介 类别 传统武侠 问世间 情为何物 直将生死相许 几多缠绵 几多爱恨 几多悲欢在心间 生是偶然 死是宿命 为何总由上天摆布 我命由我不由天 拔剑长啸 抬首处 骂一声 贼老天 誓不与你甘休 驭长剑 驾彩虹 信手挥洒 却看天地间 谁是真英雄 作家介绍 枪手1号 男 我看过很多的网络小说 可以说网上有名的小说我基本全看了 但也有些看不下去 之所以动笔写小说 只是因为我喜欢写作 构思严谨 文笔流利是我追求的目标
基本對稱多項式的 選取重組還原公式 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 動機 : 設有 5 個變數 abcde,,,,, 每次從中選取出 3 個變數來作 2 次的基本對稱多 項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 : 5 3 e( abc,, ) + e( abd,, ) + e
基本對稱多項式的 選取重組還原公式 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 動機 : 設有 5 個變數 bcde,,,,, 每次從中選取出 個變數來作 次的基本對稱多 項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 : 5 e( bc,, ) + e( bd,, ) + e( be,, ) + e( cd,, ) + e( ce,, ) + e( de,, ) + e(,, bcd) + e(
9-2
第九章遺傳 第一節孟德爾的遺傳 豌豆 9-1 9-2 立人高中專用生物教材遺傳 9- 1 1 1 1 1 1 = 2 2 2 1 2 9- 9-5 立人高中專用生物教材遺傳 9-6 立人高中專用生物教材遺傳 9-7 立人高中專用生物教材遺傳 第二節半顯性與複對偶基因遺傳 ( 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 ( 9-8 立人高中專用生物教材遺傳 ( 9-9 立人高中專用生物教材遺傳 第三節二項式定理與多基因遺傳
第一篇文概說第七章公文的用語及標點符號公本篇內容 第一章 緒論 第二章 公文的意義 第三章 公文與高 普 特各類考試 第四章 公文程式之意義及演變 第五章 公文之分類及其行文系統 第六章 公文之結構與行款 第一篇 第一章緒論 003 第一章緒論 等 等 004 最新應用公文 第一篇 第二章公文的意義 005 第二章公文的意義 第一節 一 須為公務員製作之文書 二 須為公務員 職務上 製作之文書 006
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前言 Excel Excel - v - 財務管理與投資分析 -Excel 建模活用範例集 5 相關 平衡 敏感 - vi - 前言 模擬 If-Then 規劃 ERP BI - vii - 財務管理與投資分析 -Excel 建模活用範例集 ERP + BI + ERP BI Excel 88 Excel 1. Excel Excel 2. Excel 3. Excel - viii - 前言 1.
男人的大腦 女人的大腦
46 2014 6 498 男女大乾坤 男女的戀愛行為 男人的大腦 女人的大腦 2014 6 498 47 48 2014 6 498 女人的戀愛行為 70 900 男人的戀愛行為 8 2014 6 498 49 50 2014 6 498 對於愛與性的混淆 男女所面臨的問題 和我一樣喜歡做愛除了我, 不可以看別人相信我, 沒有問題現在, 和我做愛知道如何引燃我從不傷害我 朋友關係和性 嫉妒和占有欲
381 課業輔導學習輔導 20 第二節 中學生的學習輔導 Skinner Skinner Skinner Bandura Bandura (381) 學習輔導.indd /5/31 2:44:13 PM
學習輔導 課業輔導 381 19 學習輔導 五至七章重點整理 第五章 在學學生的學習輔導 / 第一節 中學生的學習特徵 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. (381)019-030 學習輔導.indd 19 2007/5/31 2:44:08 PM 381 課業輔導學習輔導 20 第二節 中學生的學習輔導 Skinner Skinner Skinner
Chapter 3 Camera Raw Step negative clarity +25 ] P / Step 4 0 ( 下一頁 ) Camera Raw Chapter 3 089
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Photoshop CC Camera Raw Photoshop Camera Raw Step 1 3 1 2 3 SCOTT KELBY Step 2 B Camera Raw 088 Chapter 3 Camera Raw Chapter 3 Camera Raw Step 3-4 -100 negative clarity +25 ] P / -75-50 Step 4 0 ( 下一頁
Middle East Respiratory Syndrome Coronavirus, MERS-CoV WHO Qatar 2013 MERS MERS 耗費巨大的社會成本 MERS V
54 2015 1 505 新興的中東呼吸症候群 冠狀病毒 Those who cannot remember the past are condemned to repeat it. 忘記過去的人, 注定要重蹈覆轍 2012 4 Zarqa 13 2 2012 9 WHO Middle East Respiratory Syndrome Coronavirus, MERS 11 MERS 9 2
子學習3 電子學習的定位 傳統電子學習 與 新世代電子學習 SAMS 台上講者從左至右 : 吳薇薇女士 羅陸慧英教授 佘孟先生 李芳樂教授 從 電子銀行服務 到 電子學習 題追3 專蹤電
鄭燕祥教授演講座座無虛席專題追蹤電子學習電子學習如何提升 學與教 模式? 學與教博覽 2010 論壇直擊報道 整理 : 蘇家輝 2 學與教博覽 2010 於本年 7 月 15 日至 17 日假灣仔會議展覽中心舉行, 其中 電子學習提升 學與教 模式 論壇邀請了多位學者 專家和官員就相關話題發表意見, 當中不乏具啟發性的觀點, 值得老師參考和細思 子學習3 電子學習的定位 傳統電子學習 與 新世代電子學習
生物科 左營高中 / 許惠紋 一 前言 二 試題特色 號稱五年來最難題目 2. 高二 高三課程出題比例高 康熹 97 指考科目. 生物科
97 指定科目考試生物趨勢分析 2 97 指定科目考試生物解析大揭密 5 康熹生物科 試題 答案依據大考中心公布內容 本刊物內容同步刊載於 http://www.knsi.com.tw 970038 248 30 (02) 2299-9006 (02) 2299-9110 0800-313-688 97 7 16 生物科 左營高中 / 許惠紋 一 前言 二 試題特色 10.5 1 6 2 1.5 3
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台灣喜宴文化與陶瓷餐具設計開發 廖素慧 林長弘 林秀娟 摘 要 喜宴文化它包括了生活風俗習慣 禮教的 禁忌與料理 飲食的結合 可以看到民族的思 想行為以及社會的結構模式 是生活文化的濃 縮 它的過程對於一對新人在人生旅程開始 時 得到關愛與祝福也給予責任 所以喜宴的 禮教約束 是人生很重要的一個過程 好的飲 食禮教約束可以產生良性的人生觀 從喜宴的 食物料理與新開發餐具的造形與裝飾美感等的 結合來做一個開始
新 闻 学 46 7 新 闻 传 播 学 院 广 告 学 28 4 广 播 电 视 学 23 3 新 闻 学 广 告 学 100 15 1). 级 学 生 申 请 准 入 需 修 完 或 正 在 修 2 门 专 业 准 入 课 程 并 取 得 相 应 学 分 ;2). 级 学 生 申 请 准 入 需
文 学 院 汉 语 言 文 学 100 15 汉 语 言 文 学 75 11 1. 级 学 生 申 请 准 入 需 至 少 完 成 本 专 业 准 入 课 程 12 个 学 分 ; 级 学 生 申 请 准 入 需 至 少 完 成 本 专 业 准 入 课 程 15 个 学 分 ; 2. 原 专 业 学 分 绩 在 4.0 以 上 2. 符 合 准 入 条 件 的 学 生 需 参 加 学 院 组 织 的
縣 94 學年度 上 學期 區 國民中學 Q 年級 R 領域教學計畫表 設計者：
高雄市立茄萣國中國中 103 學年度第一學期八年級 英文補救教學彈性學習課程計畫表 一 教材來源 : 二 教學節數 : 每週 (1) 節, 學期共 ( 20 ) 節 三 各單元內涵分析 : 週次 第一週 第二週 第三週 第四週 9/1 9/5 9/8 9/12 9/15 9/19 9/22 9/26 Lesson1 ( 一 ) Lesson1 ( 一 ) Lesson2 ( 二 ) Lesson2
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1 壹 研究動機 一般而言 傳統大三弦琴碼的擺放位置 圖 1 大約在琴鼓下方 由下往 上三分之一的地方 約 8.5 公分 但是這種擺法 學生在初學大三弦時 左手 常伴隨著指距較大 音準較難以掌握的困擾 為解決這個技巧上的問題 必須不 斷練習將手指指距撐開 並在琴桿上做記號來加以輔助 圖 1 傳統琴碼三分之一的擺放位置 8.5 公分 目前 北京中央音樂學院談龍建教授 採取將琴碼位置 往上移至 五度音
東華人文學報 第二期
東華人文學報 第二期 2000 年 7 月 頁 125-142 東華大學人文社會科學學院 戲曲 關目 義涵之探討 提要 關鍵詞 : 戲曲 關目 情節 故事 表演 勞逸均衡 冷熱調劑 元刊雜劇三十種 曲論 125 戲曲 關目 義涵之探討前言 1 一 關目 之原意與 元刊三十種雜劇 的 關目 126 2 3 4 5 6 127 7 8 9 128 10 129 11 二 明清曲論中 關目 的義涵 12
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...2...3...4...6...6...8...11...14...18...19...20...22...22...23...25...26...27...28...29...29...29 4-1 - ( ) 88 37 88 37 200121 2003 4 18 [2003]48 1.5 4-2 - ( ) 25 1 1 100032 2004 09 17 [1998]12 ( ) (
章節
試題 求 ( )7 展開式中 8 的係數 編碼 05 難易 易 出處 康熹自命題 解答 8 67 ( )7 7 7 7 ( ) 7 7 7 ( ) 7 7 7 3 ( ) 0 0 () 3 5 係數 7 5 ( ) 7 5 8 () 3 8 8 係數 7 ( )7 ( 3 ) 67 [a (b c) ] 6 展開式中 a 3 b c 係數? 0 編碼 055 難易 易 出處 康熹自命題 解答 300
( )... 5 ( ) ( )
2016 大學校院招收大陸地區學生聯合招生委員會 71005 臺南市永康區南臺街 1 號 E-mail:rusen@stust.edu.tw WEB:http://rusen.stust.edu.tw TEL:+886-6-2435163 FAX:+886-6-2435165 2 0 1 6 0 1 1 9 2016... 2... 3... 5 ( )... 5 ( )... 5 1... 6 2...
1 2 3 1950 1973 1950 3.10 3.26 4.1 4.13 4.21 4.29 1951 3.12 3.28 4.6 4.15 5.4 1952 3.16 4.1 4.4 4.18 4.14 5.6 5.10 5.12 1953 3.10 3.24 4.5 4.15 4.23 4.26 5.9 5.19 1954 3.13 3.29 4.5 4.19 4.29
1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1
1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法 主題 1 二元一次聯立方程式 列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式 二元一次方程組 二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700
研究一：n人以『剪刀、石頭、布』猜拳法猜拳一次，決定一人勝
嘉 義 市 第 三 十 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 猜 拳 決 勝 負 的 最 佳 策 略 探 討 科 別 : 數 學 科 組 別 : 國 小 組 關 鍵 詞 : 剪 刀 石 頭 布 黑 白 猜 編 號 : 壹 摘 要 在 玩 遊 戲 時 往 往 需 要 運 用 猜 拳 剪 刀 石 頭 布 或 黑 白 猜 來 決 勝 負 或 是 分 組, 但 人 數 一 多, 便 無 法
6-1-1極限的概念
選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了
基本數學核心能力測驗_行為觀察記錄紙_G2版本
基本數學數學核心能力測驗 G2 行為觀察記錄記錄紙 學校 : 班級 : 姓名 : 日期 : 記錄者 : ~ 學生作答時, 請他 ( 她 ) 將雙手皆置於桌面 ~ 認識數字 ( 三 ): 數列 ( 共 1 頁 ) 注意事項 逐題觀察並作底下記錄, 等分測驗做完後, 每一個策略任選一題問 這一題你是怎麼算的? ( 如果只運用一種策略, 則再任選 2-3 題訪問 ) 利用學生的回答來作為 自己觀察記錄的證據
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全國高級中等學校 106 學年度商業類科學生技藝競賽 程式設計 職種 學科 試卷 選手證號碼 ( 崗位編號 ): 姓名 : 注意事項 : 請將答案劃記於答案卡, 未依規定劃記者不予計分 試題說明 :( 選擇題共 25 題每題 4 分, 答錯不倒扣, 共 100 分 ) ( )1. 執行以下 Visual Basic 程式片段, 其結果為何?(A) 15 (B) 12 (C) 7 (D) 3 Dim
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物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f
理性真的普遍嗎 注意力的爭奪戰 科學發展 2012 年 12 月,480 期 13
12 科學發展 2012 年 12 月,480 期 你可能不知道的媒體影響 劉正山若用 選戰 的角度來看選舉和參與選舉, 你大腦裡情感的作用一定大過理性的作用, 便會很習慣地拿各種媒體或別人的觀點來使自己的選擇合理化 2012 理性真的普遍嗎 注意力的爭奪戰 科學發展 2012 年 12 月,480 期 13 14 科學發展 2012 年 12 月,480 期 agendasetting 報紙和網路新聞的頭版空間有限,
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1 1.1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.10.11. 12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22. 23.24.25.26.27.28.29.30. 1.2 1.3 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10) (11)(12)(13) 1.4 2457 1.5 () 2.1 1.2.3.4.5.6.7. 8.9.10.11.12. 1
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Taipei International Cup Mathematics and Mental Arithmetic Competition 2019 (Simulation test) / 2019 年台北國際盃數學心算競賽 ( 模擬試題 ) 加減心算共 60 題 ( 每題 2 分 ) 60 Questions each 2 points 幼稚園中班 ( 第一節 ) / K2 Set 1 限時三分鐘
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下 象 棋 暗 棋 一 象 棋 是 什 麼? 象 棋 是 中 國 老 祖 先 發 明 的, 下 象 棋 可 以 讓 頭 腦 變 聰 明, 所 以 象 棋 是 益 智 遊 戲 象 棋 的 棋 子 有 二 種 顏 色 : 黑 色 和 紅 色 請 你 數 一 數, 總 共 有 多 少 個 棋 子? - 1 - 休 閒 教 育 領 域 教 材 範 例 紅 色 的 棋 子 有 16 個 黑 色 的 棋 子 也
專題研究 大陸中央與地方關係改革現狀與問題 政治學研究 毛澤東思想研究 台聲. 新視角
第 6 卷第 1 期中華民國 97 年 1 月 大陸中央與地方關係改革 現狀與問題 Current Situations and Problems of the Central-Local Relation Reforms in China 林文軒 (Lin, Wen-Hsuan) 中國文化大學中山學術所博士生 1 摘要 關鍵詞 : 權力下放 職能轉換 地方主義 部門利益 壹 前言 1 76 吉首大學學報
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練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
中國大陸輔助警察制度的問題與法制化研究 以 蘇州市警務輔助人員管理辦法 為例 專題研究 壹 前言 一 文職雇員
PROSPECT EXPLORATION 第 10 卷第 9 期中華民國 101 年 9 月 中國大陸輔助警察制度的問題與法制化研究 以 蘇州市警務輔助人員管理辦法 為例 A Research on the Issue Concerning Assistant Police in Mainland China and its Regulation: Suzhou as an Example 陳銘聰
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國立臺灣師範大學 National Taiwan Normal University 2011 春季班赴外交換生手冊 Outbound Exchange Student Handbook 國立臺灣師範大學國際事務處 Office of International Affairs 國立臺灣師範大學國際事務處 Office of International Affairs Tel:+886-2-7734-1282
目錄
2013 年度 企業社會責任報告 目錄 1 4 2 5 3 6 3.1 6 3.2 7 3.3 7 4 8 4.1 8 4.2 2013 9 4.3 10 5 15 5.1 15 5.2 16 5.3 18 6 19 6.1 19 6.2 20 6.3 21 6.4 22 6.5 23 6.6 24 6.7 24 6.8 24 7 25 7.1 25 7.2 26 7.3 27 7.4 27 7.5
國中數學基本學習內容補救教材 第二冊
五 -1 單 元 五 比 與 比 例 式 主 題 1 比 與 比 值 及 其 應 用 一 比 : 兩 個 數 量 以 : 區 隔, 藉 以 呈 現 兩 個 數 量 的 關 係 稱 為 比 例 如 : 一 年 四 班 有 15 個 男 生,18 個 女 生, 則 男 生 人 數 : 女 生 人 數 =15:18 練 習 大 小 兩 個 正 方 形 的 邊 長 各 為 3 公 分 與 2 公 分, 請
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8 第 章 機 率 - 樣 本 空 間 與 事 件 列 出 擲 一 粒 骰 子 所 出 現 點 數 的 樣 本 空 間, 並 以 集 合 表 示 下 列 各 事 件 : A 是 出 現 點 數 為 偶 數 的 事 件, B 是 出 現 點 數 為 奇 數 的 事 件, C 是 出 現 點 數 大 於 的 事 件 骰 子 出 現 的 點 數 可 能 是,,, 4,5, 6, 因 此 出 現 點 數 的
有你真好文山融合之愛 ( ) 孩子的另一扇門 ( 特生 / 郁絜爸爸 ) 3 82
(4) 屬於家長的感動 回首來時路點點滴滴 ( 特生 / 禮綸爸爸 ) 81 有你真好文山融合之愛 ( ) 孩子的另一扇門 ( 特生 / 郁絜爸爸 ) 3 82 儲存愛的能量 ~ 為 1 比 1 特教加油 ( 特生 / 承恩爸爸 ) 9 4 7 5 83 有你真好文山融合之愛 ADHD( ) 4 4 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 84 28 1 28 1 1 1 1
第一章 緒論
8.doc 9483 175-203 中共地方政府 較大的市 建制與地位之探討 摘要 關鍵詞 : 較大的市 設區的市 行政區劃 地級市 地方政府 地方立法 175 壹 前言 1 2 貳 較大的市 設置的背景與意義 1949 10 176 1950 1954 9 20 53 1955 6 9 20 1959 9 17 9 3 1978 177 33 4 5 6 80 7 1976 1979 7 1 20
2015 大學校院招收大陸地區學生聯合招生委員會 71005 臺南市永康區南臺街 1 號 E-mail:rusen@mail.stust.edu.tw WEB:http://rusen.stust.edu.tw TEL:+886-6-2435163 FAX:+886-6-2435165 2 0 1 5 年 0 5 月 2 0 日 2015... 2... 3... 4... 6... 6... 7....
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全國國高級中中等學校 105 學年度商商業類學學生技藝藝競賽 程式式設計 職職種 學學科 試試卷 崗位位編號 : 姓名 : 注意事項 : 請將答案案劃記於答案案卡, 未依依規定劃記者者不予計分分 試題說明 :( 選擇題每每題 4 分, 共 100 分 ) ( )1. 執行以下 Visual Basic 程式片段, 其結果為何?(A) 15 Dim i As Byte i = &HFC Console.WriteLine(Not
龍騰100-B5-習作-CH3.doc
8 第 章 不 等 式 不 等 式 - 絕 對 不 等 式. 已 知 正 數 a, b 滿 足 a+ b = 8, 求 ab 的 最 大 值 及 此 時 a, b 的 值. a+ b 解 : 由 算 幾 不 等 式 可 知 a ( b). 8 將 a+ b = 8代 入 上 式, 得 將 兩 邊 平 方, 整 理 得 ab. ab, 因 為 當 a = b時, 等 號 才 成 立, 且 a+ b =
攜手拼出圓滿的幸福 2
國立台灣師範大學家庭教育研究與發展中心編撰教育部出版中華民國 96 年 9 月 攜手拼出圓滿的幸福 2 國立台灣師範大學 家庭教育研究與發展中心主任 林育瑋 3 目錄 幸福拼圖 序文...p.2 引言 能和心愛的人共度一生, 就是最大的幸福!...p.6 幸福方程式 : 我 + 你 = 幸福關鍵一 我...p.10 關鍵一 你...p.20 關鍵一 +...p.28 如果你還想知道更多撇步 附錄一...p.48
表二 105 年國中教育會考英語科閱讀與聽力答對題數對應整體能力等級加標示對照表 閱讀答 對題數 聽力答對題數 待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強
表一 105 年國中教育會考國文科 社會科與自然科能力等級加標示與答對題數對照表 國文社會自然 A++ 46-48 60-63 51-54 A+ 42-48 44-45 54-63 58-59 46-54 49-50 A 42-43 54-57 46-48 B++ 37-41 45-53 37-45 B+ 20-41 31-36 24-53 38-44 20-45 30-36 B 20-30 24-37
東華人文學報 第二期
東華人文學報 第二期 2000 年 7 月 頁 69-82 東華大學人文社會科學學院 百回本 西遊記 之 敘事矛盾 孫悟空到底贏了誰的 瞌睡蟲 提要 關鍵字 : 西遊記 敘事矛盾 瞌睡蟲 天王 69 百回本 西遊記 之 敘事矛盾 孫悟空到底贏了誰的 瞌睡蟲 一 引言 兩種不同形態之 瞌睡蟲 70 二 兩種異說與兩種假設 71 72 73 74 75 76 三 內證上的思索 77 78 79 四 由完美之作看敘事矛盾
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80 2B NO.99352001 102-E8 第壹部分 : 選擇題 ( 占 80 分 ) 72 1 說明 : 第 1 題至第 n 題, 每題有 4 個選項, 其中只有一個是正確或最適當的選項, 請畫記在 答案卡之 選擇題答案區 各題答對者, 得 2 分 ; 答錯 未作答或畫記多於一個選 項者, 該題以零分計算 1 1873 C. Douglas 1923 Thomas Barclay A B
中華民國 第49屆中小學科學展覽會
中華民國第 49 屆中小學科學展覽會 作品說明書 高中組生活與應用科學科 040814 太陽能光控節能窗簾 學校名稱 : 基隆市私立二信高級中學 作者 : 指導老師 : 高二許栢豪 王永富 高二林宸漢 高二謝誌倫 高二許硯鈞 關鍵詞 : 太陽能 光控電路 窗簾 CO2 1 6 1900 1 3 84 580 CO2 1-1 2003 CO2 4.57 CO2 1.43 1-2 1-1 CO2 1-2
AutoCAD 用戶如何使用 ArchiCAD
AutoCAD 用戶如何使用 ArchiCAD AutoCAD用戶如何使用ArchiCAD ( 中文版 ) 由 Scott MacKenzie, Simon Gilbert, Geoffrey Moore Langdon, David Byrnes, Ralph Grabowski 編寫 龍庭資訊有限公司 1/73 - 2. 3. 4. -
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第 四 章 - 試 分 別 說 明 組 合 邏 輯 電 路 與 序 向 邏 輯 電 路 之 定 義 解 : 組 合 邏 輯 電 路 由 基 本 邏 輯 閘 所 組 成 的 此 種 邏 輯 電 路 之 輸 出 為 電 路 所 有 輸 入 的 組 合 因 此 輸 出 狀 態 可 完 全 由 目 前 之 輸 入 來 決 定 而 組 合 邏 輯 電 路 之 示 意 圖 如 圖 所 a 示 ; 而 序 向 邏
6 2012 8476你猜得到它是什麼嗎 它就是 高分子! 生活中的高分子 有種物質的重要性不亞於我們所呼吸的空氣, 不管身在何處, 都有它的存在, 它甚至就隱藏在人體裡面! 人類若失去了它, 就得回到遠古時代, 甚至可能終止生命 高分子是什麼 高分子是由千個 甚至萬個以上的原子所組成, 呈現柔軟的特性 日常生活中使用的塑膠袋就是由高分子製造的, 人體組成中的 DNA 也是一種高分子 2012 8476
Microsoft Word - 3-1樣本空éŒfiè‹⁄争件.docx
第三章機率 3 1 樣本空間與事件 ( 甲 ) 隨機試驗 隨機現象 : 我們生活的世界上, 充滿著不確定性 從擲硬幣 丟骰子 玩撲克牌等簡單的機會遊戲, 到複雜的社會現象 ; 從嬰兒誕生, 到世間萬物的繁衍生息 ; 從天氣變化到大自然的千變萬化, 這其中充滿著隨機的現象 自然現象與社會現象, 大致上分成兩種, 例如上拋的物體一定會落下, 無論是什麼形狀的三角形, 它的兩邊之和總是大於第三邊, 這些現象用比較科學的語言來表達,
愛滋實務與治理的政治 - 綜合論壇 以及面對這一連串以 責任 為架構衍生出來的愛滋政策如何造就了台灣現在的愛滋處境
愛滋治理與在地行動 愛滋實務與治理的政治 - 綜合論壇 王蘋 ( 主持人 ) 張正學 愛滋 ( )15 愛滋 185 愛滋實務與治理的政治 - 綜合論壇 以及面對這一連串以 責任 為架構衍生出來的愛滋政策如何造就了台灣現在的愛滋處境 2011 186 愛滋治理與在地行動 責任 (MSM) MSM 2011 2 187 愛滋實務與治理的政治 - 綜合論壇 粗糙的年齡劃分 ISO( ) ( :. )!!
第 6. 節 不 定 積 分 的 基 本 公 式 我 們 可 以 把 已 經 知 道 反 導 函 數 之 所 有 函 數 都 視 為 不 定 積 分 的 基 本 公 式 基 本 公 式 涵 蓋 的 範 圍 愈 大, 我 們 求 解 積 分 就 愈 容 易, 但 有 記 憶 不 易 的 情 事 研 讀
第 6. 節 反 導 函 數 與 不 定 積 分 定 義 6.. 反 導 函 數 說 明 : 第 六 章 求 積 分 的 方 法 若 F( ) f ( ), Df, 則 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 (antierivative) () 當 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 時, 則 F( ) C,C 為 常 數, 亦 為 f( ) 之 反 導 函 數 故 若 反 導 函
Microsoft Word - 結案報告.doc
2 3 4 5 ~ 6 1. 2. 3. 4. 7 ~ 8 9 ~ 10 11 12 13 14 15 96年原住民族電視節目增製計畫 結案報告 五 執行方式 一 甄試過程照片 16 17 18 夣 19 20 21 22 23 24 25 96年原住民族電視節目增製計畫 結案報告 26 27 28 . 29 30 31 32 33 . 34 . 35 96年原住民族電視節目增製計畫 結案報告 (
AASS HK Brochure r6 OP-web-Single page w 2 pages table
WWW.AASS.COM.HK AASS 2 3 4-5 5-11 12-20 21-22 23 24-25 26 1 2 AASS Geneva France Neuchatel 納沙泰爾 Lausanne Montreux Le Bouveret France Basel Bern Zurich Lucerne Brig 布里格 Italy Lugano 盧加諾 Germany St Gallen
老年性生理學和老年的性生活 老 和 第四年齡 概念 有不一致, 讀者可自參考, 本書不再多引
第一章導言第一章 導 言 1-1 人一生的年齡變化和老年的概念 1994 0 14 15 6465 20 WHO 44 45 59 60 74 1 1 有人把 65-74 歲稱為 青老年,75-84 歲稱為 中老年,85 歲以上稱為 老老年 ( 鈕則誠,2006); 有人把 65-74 歲稱為 年輕老人期 (the youngold),75-84 歲稱為 中度老人期 (moderately),85
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給 愛 尋 根 究 底 的 青 少 年 紅 斑 狼 瘡 冷 知 識 鳴 謝 給 愛 尋 根 究 底 的 青 少 年 紅 斑 狼 瘡 冷 知 識 ~ Hospital for Special Surgery 2003 For Inquiring Teens With LUPUS ~ Our Thoughts, Issues & Concerns Nichole Niles 為 什 麼 會 有 這 本
C C C C YY AA D 試題分析 公民與社會考科 新竹女中 蔡相廷老師 試題分析 壹 前言 : 命題特色概述 103 1, 貳 試題分布與命題重點 L2 L6 2 L8 4 L6 2
新竹女中 / 蔡相廷老師臺南一中 / 廖翠雰老師 試題. 答案 依據大考中心公布內容 發行人 / 陳炳亨總召集 / 周耀琨總編輯 / 蔣海燕編審 / 許明俊校對 / 何秀云 蔡宛諭 葉俊甫美編 / 黃素美 本書內容同步刊載於翰林我的網 出版 / 民國一 三年七月發行所 / 7 0 2 4 8 臺南市新樂路 76 號編輯部 / 7 0 2 5 2 臺南市新忠路 8-1 號電話 /(06)2619621#
C3特教班學習領域課程計畫
臺南市安南區土城國民小學 105 學年度第一學期資源班班領域教學進度表 ( 學習領域課程計畫表 ) 領域 : 社會技巧領域組別 :M/3 教學者 : 陳鴻佳老師每周教學節數 :1 節 1. 能加強多元性別互動技巧 (2-b-4) 2. 能加強學校基本適應技巧 (3-b-1) 3. 能加強社區基本適應技巧 (3-b-2) 第一週 8/29-9/3 第二週 9/4-9/10 第三週 9/11-9/17
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數學傳播 卷 期, pp. 44-71 排容原理 張福春 洪偉誠 1. 前言 在組合數學中, 常需討論有關集合元素個數的問題, 而重複計數卻是造成結果錯誤的一大主因, 故需再進一步討論所有可能重複的情況, 此時 排容原理 是一個能夠解決關於多個具有某些性質的非互斥集合其交集與聯集計數問題的有效方法, 能輕易的將重複計數的困擾排除 排容原理是一個很容易使用的計數方法, 而它最早被使用的歷史可追溯到早期的一些手稿中,
一年二班 A081. 生活實業家 音樂教室三 一年二班 A071. 民主審議與公民行動 5F 多功七 一年二班 F191. 插畫設計與版畫創意 4F 圖書館 一年二班 A081. 生活實業家 音樂教室三 一年二班 C091. 打開潘朵拉的盒
107 學年度第一學期高一跨班 / 跨校選修課程 - 選課結果 班級 座號 科目 教室 一年一班 01 107A051. 探索生命世界的數學祕密 你我都是公民科學家 生物實驗室 一年一班 02 107F181. 動畫設計與邏輯思考 4F 圖書館 一年一班 03 107B111. 中崙趴趴 GO 廟宇篇 6F 多功能群組教室 一年一班 04 107B111. 中崙趴趴 GO 廟宇篇 6F 多功能群組教室
章節
試 題 阿 財 每 年 年 初 存 入 銀 行 0000 元, 年 利 率 %, 每 年 計 息 一 次, () 若 依 單 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 多 少? () 若 依 複 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 約 為 多 少?( 近 似 值 :0 0 計 ) 編 碼 0044 難 易 中 出 處 高 雄 中 學 段 考 題 解 答 ()000 元
的友誼 而且無論外貌怎樣改變 自信心是自己給自己的 發自內心 的自我認同感是無法改變的 只要自我認同才能得真正的心靈富足 而不是單純的改變外表 不同的整容公司亦會利用現今社會的價值觀來作宣傳 誇大整容 後的效果 又用明星效應 令消費者認為整容真的能變成明星一樣 整容這個風氣是由人們的價值觀造成的 有人指出 我們要接納 整容後的人以及香港社會應對此持更開放的態度 但相反地 為什麼 不能接納那些我們認為不
寫 作 背 景 導 讀 [98] L Lyman Frank Baum 1856-1919 1882 1886 1900 1939
![寫 作 背 景 導 讀 [98] L Lyman Frank Baum 1856-1919 1882 1886 1900 1939](/thumbs/42/22918361.jpg "寫 作 背 景 導 讀 [98] L Lyman Frank Baum 1856-1919 1882 1886 1900 1939")
綠 野 仙 蹤 繪 本 創 意 教 案 教 案 設 計 / 朱 秀 芳 老 師 28 寫 作 背 景 導 讀 [98] L Lyman Frank Baum 1856-1919 1882 1886 1900 1939 故 事 簡 介 綠 野 仙 蹤 心 得 分 享 [99] 處 處 有 仙 蹤 繪 本 創 意 教 案 設 計 者 : 朱 秀 芳 適 用 年 級 : 授 課 時 間 :200 教 學
56 數學傳播 25 卷 3 期民 90 年 9 月 的數學期刊 Annals of Mathematics 都還有關於循環小數的論文 ([3, p177]) 物理學家 Richard P Feynman 對於 1/243 的循環小數表示式感到十分驚奇 ([8]): 1/243=
![56 數學傳播 25 卷 3 期民 90 年 9 月 的數學期刊 Annals of Mathematics 都還有關於循環小數的論文 ([3, p177]) 物理學家 Richard P Feynman 對於 1/243 的循環小數表示式感到十分驚奇 ([8]): 1/243=](/thumbs/53/32339196.jpg "56 數學傳播 25 卷 3 期民 90 年 9 月 的數學期刊 Annals of Mathematics 都還有關於循環小數的論文 ([3, p177]) 物理學家 Richard P Feynman 對於 1/243 的循環小數表示式感到十分驚奇 ([8]): 1/243=")
循環小數 康明昌 ( 一 ) 學過中學數學的人都知道如何把循環小數化成有理數 至於把有理數化成循環小數更是小學生都會的題目 例如, 1/7 = 0142 857 (6 位循環節 ), 1/13 = 0076 923 (6 位循環節 ), 1/17 = 00588 2352 9411 7647 (16 位循環節 ), 1/73 = 00136 9863 (8 位循環節 ), 1/97 = 00103
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
09 F9 128 peer to peer, P2P file transfer protocol bittorrent 10 P2P P2P GNU/ Linux P2P CC 單機版的智慧財產權 vs. 人權戰爭 1980 DVD content
當智慧財產 侵犯人權? 智慧財產與人權 Kickstarter The Matrix The Matrix Avatar Eywa 12 2013 4 484 09 F9 128 peer to peer, P2P file transfer protocol bittorrent 10 P2P P2P GNU/ Linux P2P CC 單機版的智慧財產權 vs. 人權戰爭 1980 DVD content
1 式子的運算 19 例 1 解 符號的簡記 ( 乘法 ) 1x 4x x 5 1xx 4x4x x 5 5 x 5 x 5x 除以一個不為 0 的數就是乘以該數的倒數 P5 1 1 x x 5 5 x 4 x 4 x 可視為 x 1x4 x 1 4 x4x x x 4 x x x
7 1 x y 基會試題 9 I 8 18 1 符號的簡記 x 第三章一元一次方程式 -1 xyz 1 4 x 4x x x 1500 x 1500x 4 y y x15 15x 15x x1.5 1.5x 1.5x x x x x 4 7 以符號代表數 式子的運算 1.. 4 7 x 4 7. x 4x 7 7-a-017-a-0 15x 15x 15x 1x 1x 1 1 x 簡記成 x (-1)
东 北 三 省 大 豆 产 业 发 展 研 究 表 性 农 作 物 改 革 开 放 前, 我 国 大 豆 产 量 和 出 口 量 雄 居 世 界 首 位, 东 北 三 省 大 豆 产 量 和 出 口 量 更 为 中 国 之 最, 尤 以 品 质 优 良 著 名 近 年 来, 随 着 转 基 因 大
东 北 蓝 皮 书 10 东 北 三 省 大 豆 产 业 发 展 研 究 程 遥 摘 要 : 关 键 词 : 大 豆 是 我 国 重 要 的 传 统 种 植 作 物, 东 北 三 省 是 我 国 最 大 的 大 豆 主 产 区 近 年 来 却 随 着 外 国 转 基 因 大 豆 的 大 量 进 口, 种 植 面 积 连 年 以 10% 以 上 的 速 度 递 减, 形 势 相 当 严 峻 国 家 如
第七章 1984 與 重裝任務 文本中的極權世界與烏托邦 1984 George Orwell, 一 喬治 歐威爾的 1984 George Orwell, Indian i
人權影像 : 從電影文本理解公民社會 1984 摘要 1 1984 George Orwell, 1903-1950 1948 1984 1984 1984 1 98 第七章 1984 與 重裝任務 文本中的極權世界與烏托邦 1984 George Orwell, 1903-1950 1984 1984 一 喬治 歐威爾的 1984 George Orwell, 1903-1950 1984 40
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95/04/11~95/05/26 (30 ) - 1 - -------------------------------------3 -------------------------------5 ( )-----------6 -------------------------------8 ------------------------------22 ------------------------------30
二年二班 C164. 閱來閱愛你 6F 多功四 二年二班 C134.The Kaleidoscope 世界行旅 - 英文悅讀 / 樂寫 / 享說 204 教室 二年二班 A014. 中崙趴趴 GO~ 職人篇 4F 圖書館 二年二班 B084. 數理研究
班級 座號 科目 教室 二年一班 01 106B124. 機電整合 3F 電腦教室 2 二年一班 02 106B084. 數理研究 207 教室 二年一班 03 106B074. 超地理學之科學風水 209 教室 二年一班 04 106A014. 中崙趴趴 GO~ 職人篇 4F 圖書館 二年一班 05 106A024. 舞動漢字 - 點捺裡的生命藝術 206 教室 二年一班 06 106B064.
Microsoft Word - 9.1.专业特色.doc
9. 专 业 特 色 江 西 理 工 大 学 通 信 工 程 专 业 具 有 : 教 育 国 际 化 试 点 服 务 有 色 稀 土 行 业 与 服 务 地 方 工 科 教 育 工 程 化 三 个 鲜 明 特 色 有 关 特 色 的 详 细 描 述 与 过 程 保 障 措 施 见 9.1.1~9.1.3 节, 特 色 实 施 效 果 见 9.1. 节 与 表 9.1-7 9.1 专 业 特 色 实