平面直线型几何专题 吴哲 孙雪艳 06 年 月
目录 第 讲 等积变形 第 讲 一半模型 第 讲 等高 ( 等底 ) 模型 第 4 讲 鸟头模型 第 5 讲 风筝模型 第 6 讲 蝴蝶模型 第 7 讲 沙漏模型和金字塔模型 第 8 讲 燕尾模型
第 讲等积变形 知识点分析 定义 : 图形形状发生变化, 面积保持不变 比如 : 对称 平移 旋转等都是保持图形面积 常见类型 : () 同底等高 两平行线间的等积变形 ( 平行线间距离处处相等 ) 平行线 拉点 法 ( 可以在 L 上随便拉到任何地方 ) L L 若 L //L, 则 = 技巧 : 平行线的来源 平行四边形( 包括长方形和正方形 ) 和梯形 已知平行 并排摆放的正方形的同方向对角线 () 等底同高 若 为 中点, 则 =
() 等高等底 h h 若 = h = h, 则 = 本质 : 将三角形的面积关系转化成三角形底和高等对应的线段长度关系 典型例题 例 : 将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形, 可以怎么分? 你能想到多少种? 解题点拨 图中的点为中点 三等分点或四等分点
例 : 如图, 在梯形 中, 共有八个三角形, 其中面积相等的三角形共有 哪几对? M P Q N O 解题点拨 考察平行线间的等积变形, 梯形上下两个底平行以 MP 为底 : MPN= MPO 以 NO 为底 : NOM= NOP 等量减等量, 差相等 : MNQ= POQ 例 : 正方形 和正方形, 且正方形 边长为 0 厘米, 则 图中影面积为多少平方厘米? H 解题点拨 考察平行线间的等积变形, 并排摆放的正方形的同方向对角线平行 如图, 连接, 则 //, 以 为底, 与 面积相等, 同时减去 H, 得到 H 与 H 面积相等, 所以影部分面积就等于 的面积, 等于 0 0 =00 平方厘米 H
本题直接求影面积比较麻烦, 利用等积变形巧妙转化方便解题 例 4: 在梯形 中,O 平行于 如果三角形 O 的面积是 7 平方 厘米, 则三角形 的面积是 平方厘米 O 解题点拨 题中有多条平行线, 注意使用平行线间的等积变形 //O// O= O, O= O, O= O = O+ O+ O= O + O+ O=7+7=4 例 5: 如图, 已知三角形 面积为, 延长 至, 使 = ; 延长 至, 使 = ; 延长 至, 使 =, 求三角形 的面积 解题点拨 题中有多个中点 三等分点, 如图连接 :
=,= = = 又 = = =, = = 又 = = =, = = 又 = = = 所以三角形 的面积为 =++++++=0 例 6: 如图, 是三角形 一边上的中点, 两个长方形分别以 为顶点, 并且有一个公共顶点, 已知两块影部分的面积分别是 00 和 0, 则三角形 的面积是多少? 解题点拨 题中已知影部分的面积, 要求面积, 想办法转化 为 中点 = 又 和 分别将两个长方形平分面积所以影部分差的面积就是三角形 的 倍 ( 解题关键 ) 所以三角形 的面积为 (0-00) =0
第 讲一半模型 知识点分析 平行四边形的一半模型 ( 适用于长方形和正方形 ) 基础模型 : = 平行四边形 证明 : = 底 高, = 底 高, 所以 = 平行四边形 拓展 : 平行四边形 或 () () () 图 () 中为平行四边形内部的一条平行线, = 平行四边形 图 () 为内部任意一点, 相等于把图 () 中两个点变为一个点, + 下 = + 下 = 上左平行四边形 图 () 中为平行四边形内部一平行线, = 平行四边形
拓展 : () () () 图 () 为平行四边形到长方形的变化 图 () = = 正 长 图 () = = 正 长, 图 () 是图 () 的变形 梯形的一半模型 : = ( 取梯形腰上中点连接三角形 ) 梯形 证明 : 延长 交 的延长线于, 得到 =, =, 因为 为 的中点, 显然 也为 的中点, 容易得到 = = 拓展 : 在梯形中位线上任意选择一点, = 梯形 梯形 梯形
证明 : 如图, 将 K 点移动到 L 点 J H L K I =, JK JL HIK HIL 任意四边形的一半模型 : 基础模型 : =, 由梯形的一半模型得证 : = 梯形 任意四边形, 取上下两个边的中点连接, 则 = 证明 : 四边形 4 连按照如图连接, 则根据中点可以知道, =, = 4, 所以 拓展 : 将中点变为三等分点 = 四边形 证明
=, 证明方法同上, 连接对角线即可 ( 略 ) 四边形 拓展 : 取三等分点连接 证明 =, 证明方法如图, 根据拓展 的结论可得 : 四边形 = 根据基础模型知道 : = 四, 所以 = 四边形 四四边形, 拓展 : 上面一条边三段长度比例为 ::, 下面一条边三段长度比例为 ::, 则 = 四边形 证明 证明 : 如图连接, 证法同拓展, 根据基础模型结论可得 : 四 = 四边形, 根 据拓展 的结论可得 = 四, 所以 = 四边形
拓展 4: 取各边三等分点, 连接得中心影, 则 = 9 四边形 证明 L K K L N M J I H 证明 : 如图, 由拓展 知 四 HKL=, 只需要证明 K 四边形 N 和 L M 分别是 L 和 KH 的三等分点就可以 如图连接,( 需要用到相似 ), 根据三等分点容易得到 L////J, 而且 L=, J=, 所以 L= J, 所以 LK = K, 得 到 K 是 L 的三等分点, 同理可以证明另外三个点也是三等分点, 所以 = 四 HKL, 所以 = 9 四边形 典型例题 例 :( ) 平行四边形草场分成了 四个三角形, 草匀速生长, 草场的草可供 40 头牛吃, 草场的草可供 0 头牛吃, 草场的草可供 00 头牛吃, 那么 草场呢? 解题点拨 由平行四边形一半模型可以知道 :+=+, 所以,=40+00-0=0 头 注意 : 草地面积和牛数使一一对应的
()(008 年 陈省身杯 国际青少年数学邀请赛六年级 ) 已知 为梯形的中 位线, 三角形 的面积为 5 平方厘米, 三角形 的面积占梯形总面积的 7 0, 求梯形 的面积? 5 解题点拨 由梯形的一半模型知道, + =, 所以梯形 梯 7 的面积 = 5 ( - ) 00cm 0 例 :( 三帆中学 006 年考题 ) 如图,P 为平行四边形 外一点, 已知三角形 P 的面积等于 7 平方厘米, 三角形 P 的面积是 平方厘米, 求平行四边形 的面积 P 解题点拨 过 P 做平行线构造平行四边形, 利用一半模型解题 P = P, = P, = - = ( 7- )8 = cm
例 :O 为长方形 内一点, = 5, =, 求 =? O O O O P 解题点拨 考察任意一点的一半模型和对角线的一半模型 O+ O= O+ O+ O=, 得 O= O O= 5- = 例 4:O 为平行四边形 内一点, 过点 O 做边的平行线, 已知 O= 8, 求 = OH O? O H 解题点拨 如图, 连接 O 与 O, 根据例 中的结论可以知道 : = =8 O O O, 又 = O H= O OH O= H= ( O O) = 6,, 所以, O H
例 5:( )(008 仁华考题 ) 正方形边长为 0, 四边形 H 的面积为 5, 求影 部分的面积是多少? H 解题点拨 一半模型的变形, 正方形中的两个三角形有重叠部分, 如果没有重 叠, 两个三角形面积和应为 0 0 =50, 重叠部分面积是 5, 所以影部分的 面积为 50-5 =40 () 四边形 中, H 是各边中点, 求影部分面积与四边形 PQR 的面积之比是多少? H R P Q = = 解题点拨 由任意四边形一半模型可知 : 四 四 H 四 所以 四 + 四 四 = H, 根 据 重叠等于未覆盖, 可以知道 =, 所以 : : = 四 P Q R 四 P Q R
例 6:(008 走美六年级初赛 ) 长方形 中, 影部分面积为 70,=8,=5, 求四边形 O 的面积? O 解题点拨 解法一: 一半模型三角形 和三角形 如果没有重叠的话, 面积和应该是长方形面积的一半 :8 5 =60, 实际面积是 50, 所以四边形 O 的面积是 60-50=0 解法二 : 梯形蝴蝶模型 ( 学习过蝴蝶模型的同学可以理解下 ) 在梯形 中, 根据蝴蝶模型可以知道 :, 所以 = 70 5 8 = 0 四 O
第 讲等高 ( 等底 ) 模型 知识点分析 基础知识 : 三角形面积 底 高 所以 : 三角形面积的大小, 取决于三角形底和高的乘积. 若底不变, 高越大 ( 小 ), 面积越大 ( 小 ); 若高不变, 底越大 ( 小 ), 面积越大 ( 小 ); 模型结论 : 两个三角形高相等, 面积比等于它们的底之比 ; : a : b 如图 两个三角形底相等, 面积比等于它们的高之比 ; 特殊 : 等底等高的两个三角形面积相等 ;( 注意平行线 ) a b 其他常用结论 : () 夹在一组平行线之间的等积变形, 如右上图 ; 反之, 如果, 则可知直线 平行于. () 等底等高的两个平行四边形面积相等 ( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ); () 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ; (4) 两个平行四边形高相等, 面积比等于它们的底之比 ; 两个平行四边形底相等, 面积比等于它们的高之比.
拓展结论 : 拓展 : 图 (): 四边形 为正方形, 是各边中点,H 是是 上任意一点, 则 = 证明 : 连接 H H, 根据等高等底知 : =, =, =, 所以 4 5 6 = 图 (): 四边形 为正方形, 是各边三等分点,H 是是 上任意一 点, 则 = 正 ( 证明方法同上 ) 图 (): 四边形 为长方形, 是各边中点,H 是是 上任意一点, 则 = 长 ( 证明方法同上 ) 正 正 H H H () 6 5 4 () () 拓展 : () () () (4) 图 (): = 小正, 证明 : 根据平行, 可以移动到, = = 图 (): = 小正, 证明同上 ( 辅助线如图 ) 图 (): = 大正, 证明同上 ( 辅助线如图 ) 小正
图 (4): =, 证明 : 辅助线如图, 根据平行中正 =, =, 所以, = 典型例题 中正 例 : 如右图, 在 上, 垂直, 形 的面积是三角形 面积的几倍? 厘米, 厘米. 求三角 解题点拨 与 等高, 与 等高, 面积比等于对应的底边之比, : = :4, : = :4, 所以 ( + ): + : 4 即 : = : 4, 故三角形 的面积是三角形 面积的 4 倍 例 : 长方形 的面积为 6, 为各边中点, H 为 边上任意一点, 问影部分面积是多少? H 解题点拨 ( 法 ) 特殊点法. 由于 H 为 边上任意一点, 找 H 的特殊点, 把 H 点与 点 重合 ( 如图 ), 那么影部分的面积就是 角形的面积分别为长方形面积的 积的, 为 6.5. 8 4 8 8 与 的面积之和, 而这两个三 和 8 4, 所以影部分面积为长方形 面
(H) H ( 法 ) ( 法 ) ( 法 ) 等高等底模型. 连接 H H, 可以得到 : H H, H H H, H, 而 H H H 6, 即 H H H ( H H H ) 6 8 ; 又 H H H 影 ( 这个结论就是拓展 中的图 ) = ( ) ( ) 6 4.5. 8 所以影部分的面积是 : 8 8 4.5.5 影. 例 :( 第 6 届走美杯 5 年级决赛第 8 题 ) 央如图, 都是正方形边的中点, O 比 O 大 5 平方厘米 O 的面积为多少平方厘米? 长 O 解题点拨 O O 5cm, 又 是中点, 所以 O 是三角形 的中位线, 所以 O 为 的中点, 所以根据等高模型 : O= O= 5 = 7.5 平方厘米
例 4: 如图, 大长方形由面积是 平方厘米 4 平方厘米 6 平方厘米 48 平 方厘米的四个小长方形组合而成. 求影部分的面积. cm 6cm 4cm 48cm 解题点拨 cm M 6cm N 4cm 48cm 如图, 将大长方形的长的长度设为, 则 6 4 4, 4 48, 所 以 MN 所以, 影部分面积为 4. ( 4 6 48) 5(cm ) 例 5: 如右图, 正方形 的面积是, 正三角形 P 的面积是 5, 求影 P 的面积. P 解题点拨 本题难点在于如何做辅助线 连接 交 于 O 点, 并连接 PO. 如上图所示, 由三角形 P 是正三角形可得 PO////, 所以 PO= PO ( 同底等高 ), 所以有 :
PO PO PO PO P, 因为 O 4, 所 以 P 5. 例 6:(008 年第一届 学而思杯 综合素质测评六年级 ) 如图,=45,=, 三角形 被分为 9 个面积相等的小三角形, 求 I+K= H J I K 解题点拨 I 与 有关,K 与 有关, 只需要找出对应的比例关系就可以了 九个小三角形的面积一样, 每一个面积看做 份, 根据等高模型得 : : = : = :5, 所以 = 7 5=5, 同理 K: K= : = :, 所以 K=5 =0, KI KI 同理, : = : = :7, 所以 =45 9 7=5, I: I= : = :, 所以 I=5 5 =4 I I 所以 I+K=4+0=4 提示 :( ) 找边长比例关系时关注三角形的面积比, 面积比与小三角形的个数有关系 因为每个小三角形的面积一样 注意, 符合等高的条件才能用, 底边在一条直线上, 共顶点 () 多次用等高模型
第 4 讲鸟头模型 知识点分析. 共角三角形 : 有一个角相等或互补的两个三角形. 鸟头模型 : 共角三角形的面积比等于对应角 ( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比. 类型一 : 共角 ( 或等角 ) = () 共角 () 等角 () 证明 : 连接 利用等高模型 :,, 两个式子相乘得 : = () 证法如 (), 把三角形 旋转为图一的情况即可 类型二 : 补角 =
() 共线 + =80 () 不共线 + =80 () 证明 : 连接 利用等高模型 :,, 两个式子相乘得 : = () 证法如 (), 把三角形 旋转和三角形 共线即可. 鸟头模型本质 : 等高模型的两次运用, 所以结论中的面积比是两组线段比的乘积 ( 所以能用鸟头模型做的题目, 也能用等高模型做只是需要多次用 ) 4. 做题思路 : 第一步 : 找共角 ( 同角 等角或补角 ) 第二步 : 找夹边第三步 : 应用鸟头模型
典型例题 例 : 如图, 和 都是正方形, 求 与 的面积比 解题点拨 找共角 + = 80, 所以 = = : ( 注 :=,=) 结论 : 两个共顶点正方形所夹的两个三角形面积相等 例 : 如图所示, 在平行四边形 中, 为 的中点,, 三角形 ( 图中影部分 ) 的面积为 8 平方厘米. 平行四边形的面积是多少平方厘米? 解题点拨 考点: 鸟头模型和平行四边形一半模型 由条件知 : =, =, 根据鸟头模型 ; = = =, 所以 = 8 = 4 平方厘米, 平行四边形面积 =4 =48 平方厘米 例 :( 第四届迎春杯决赛 ) 已知.= 5,= 4,= 6, 那么 等 于多少?
5 4 解题点拨 三角形 位于中间, 不接触三角形 的任何一条边, 称为悬空 图形, 所以, 利用整体减空白的思想 根据条件可知 ::=:5,:=:4,:=: 所以根据鸟头模型 : 5 = = = = 6 5 6, 4 = = = =, = = = = 6 4 8 5 4 5 0 5 4 6 所以 = = = 6 8 5 0 0 0 0 例 4: 如图, 已知三角形 面积为, 延长 到, 使得 =, 延长 到, 使得 =, 延长 至, 使得 =, 求三角形 的面积? 解题点拨 根据条件将比例关系标记在图中, 考察互补鸟头 根据鸟头模型 : =, = 6 =, 因为 =, 所以 = + + 6+ 8= 8 4 8
例 5: 四边形 的面积是 0 平方米,=,=,=,H=, 求四边 形 H 的面积 H H 解题点拨 连接 因为 H+ H=80, 根据鸟头 : = =, = =, 所以 H H H + = + = 0= 0平方米 连接, 同理可证 : + H= 0平方米所以 四 H = 0+ 0+ 0= 50平方米 ( 易错点 : 忘记加 0) 例 6: 已知 =, 延长 到, 使 =, 延长 到, 使 =, 延长 至, 使得 =, 求三角形 的面积 解题点拨 由条件将比例标记在图中, 将复杂问题从整体上分步骤来求不同部分 与 等角
= = =, = = 与 共角 = = =, = = 4 与 互补 = = =, =6 =6 6 =+ 6 = 7
第 4 讲风筝模型 知识点分析 风筝模型在任意的一个凸四边形内, 连接两条对角线, 分为四个三角形, 如 图所示 : s s O s 4 s 结论 : : O :O : O:O 证明 : : 4 : O : O =k k k 4 k k ( ) k 4 ( ) : ( ) k O : O 4 也就是 : : O :O 同理可证 : : O:O 备注 : 风筝模型又称羊肉串模型, 理解为一块肉戳了一根签字分成两块肉, 两块肉的面积比即为所用签子的长度比 风筝模型在几何题目中经常出现在凸四边形中, 模型运用的关键是两条对角线, 找到对角线模型也就明显了, 但题目中一般只给出一条对角线, 这就要求同学们连接另一条对角线即可
典型例题 例 : 与 相交于 O 点 ;O O O O 分别为 4, 请填空 : : ; : ; : ; 4 : ; 0 4 解题点拨 根据等高模型可得: : O : O, 4: O:O 根据风筝模型可得 : : =O:O ; : =O:O 例 : 如图, 已知 5, 7, 5, 6, 线段 将图形分成两部分, 左边部分面积是 8, 右边部分面积是 65, 那么三角形 的面积是. 解题点拨 连接,. 根据题意可知, 5 7 5 7 ; 7 5 6 8 ; 5,, 7 7, 8 7, 8 5 65; 7 8 ; 8 7 8 7
可得 40. 故三角形 的面积是 40. 例 : 如图, 长方形 中, : :, : :, 三角形 的面积为 平方厘米, 求长方形 的面积. 解题点拨 连接, 因为 : : : : 所以 ( ) 5 0 因为 长方形 长方形. 长方形, : : 5:, 所以 5 0 0 平方厘米, 所以 平方厘米. 因为 方形 的面积是 7 平方厘米. 长方形, 所以长 6 例 4: 如图, 为正方形, 90, 5,, 则影部分面积 为多少? 5 5
解题点拨 题目中给出的条件是无法直接求出影部分面积. 由于 90, 也就是在正方形 的外部有一个直 角三角形, 联想到弦图 构造弦图 如图 : 欲求影三角形 的面积, 需要求出 :, 根据风筝模型 : : : 5 ( 5) : 40:9 根据等高模型, 40 40 5 00 40 9 49 例 5: 如右图, 已知三角形 的面积是 90, 是 中点, 是 边上三等 分点,K M N 是 边四等分点. 回答下列问题. N P M K Q ) 三角形 NK 的面积是.: ) NP : P 的比值是. ) 图中影部分的面积是多少? 解题点拨 () 如图 所示 : 只看 NK 模型可得 : 假设 份 N MN MK K 4 份. NK 90 0. 6 () 连接 N 和, 和 如图, 根据风筝模型, NP : P :, 如图, 可得 4 M M MN NP : P MN : M M : M :. M, 连接 和 M, 根据等高 () 整体减空白的思想, 需要求出 Q : QK ( 求 ), 连接 K, 如图 4. Q : QK :, 而等高模型,, M MK MQK M M MK
所以 Q : QK : :, M MK MQK MK 90 5 ; 6 同样 MPN NM 90 5 6, 所以 0 5 5 0. N M 图 K P 图 N M Q K P 图 N M K P 图 4 N M Q K
第 5 讲蝴蝶模型 知识点分析 任意四边形蝴蝶模型, 如图所示 : s s O s 4 结论 : 4 证明 : 根据等高模型可得 : 4 O O 交叉相乘 : 4 梯形蝴蝶模型 s a 4 O b 结论 : 4 4 a b : : ( 统一份数比 ) a b ab ab : : : 4 : : : ( 统一份数比 ) 做题技巧 : 在题目中遇到平行线和对角线, 想到蝴蝶模型和结论, 如果图形不完 整, 手动连辅助线.
典型例题 例 : 如图, 四边形被两条对角线分成 4 个三角形, 其中三个三角形的面积已知, 求 :⑴ 三角形 的面积 ;⑵ :? 解题点拨 ⑴ 根据蝴蝶定理,, 那么 6 ; ⑵ 根据蝴蝶定理, : : 6 :. 例 : 梯形 的对角线 与 交于点 O, 已知梯形上底为, 且三角形 O 的面积等于三角形 O 面积的, 求三角形 O 与三角形 O 的面积之比. O 解题点拨 : 根据梯形蝴蝶定理, : ab : b :, 可以求出 a: b :, O O 再根据梯形蝴蝶定理, : a : b : 4:9. O O 例 : 是平行四边形 的 边上的一点, 相交于点, 已知三角形 的面积是 6, 三角形 的面积是 4, 求四边形 的面积为多少? 6 4 9 6 6 4? 解题点拨 : 如图, 在平行线中的蝴蝶中, 蝴蝶翅膀相等都为 6, 而顶上的三角 形为 6 6 4=9,? 处的三角形面积为 9+6-6-4=5 从而所求四边形面积为 5=6=.
例 4: 如图面积为 平方厘米的正方形 中,, 是 边上的三等分点, 求 影部分的面积. 解题点拨 : 因为, 是 边上的三等分点, 所以 : :, 设 O 份, 根据梯形蝴蝶定理可以知道 O O 份, O 9 份, ( ) 份, 因此正方形的面积为 4 4 ( ) 4 份, 影 6, 所以 : 6: 4 : 4 所以 影 平方厘米. 影正方形, 例 5:(008 年走美杯 4 年级决赛 ) 正方形 的边长为 6, 是 的中点 ( 如 图 ) 四边形 O 的面积为 O O O 解题点拨 : 连结,, 即 O O O 6 6, 6 9, 所以 O 6 9 5 O
例 6: 如图所示, 是梯形, 积是 7. 那么影 面积是多少? 面积是.8, 的面积是 9, 的面 解题点拨 : 根据梯形蝴蝶定理, 可以得到, 而 ( 等积变换 ), 所以可得 9 9, 7 并且.8., 而 : : 9: 7 :, 所以影 的面积是 : 4. 4 4.8.
第 7 讲沙漏模型与金字塔模型 知识点分析 沙漏模型和金字塔模型又称相似模型, 这两个模型都是在相似三角形内 相似三角形, 就是形状相同, 大小不同的三角形 相似三角形的性质 : 对应角相等 ; 对应边成比例, 且等于它们的相似比 ; 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方 沙漏模型 金字塔模型 结论 : ; : : 证明方法同梯形中的蝴蝶模型, 相似模型模型其实就是梯形蝴蝶模型的变形 其中, 金字塔模型是梯形蝴蝶模型去掉两个翅膀, 金字塔模型是沙漏模型旋转 80 度后得图形 典型例题 例 : 如图, 已知在平行四边形 中, 6, 0, 4, 那么 的 长度是多少? 解题点拨 图中有一个沙漏, 也有金字塔, 但我们用沙漏就能解决问题, 因为
4 平行于, 所以 : : 4:6 : 4, 所以 0 8. 4 例 : 如图 : MN 平行, MPN : P 4:9, M 4 cm, 求 M 的长度 M N P 解题点拨 在沙漏模型中, 因为 MPN : P 4:9, 所以 MN : :, 在金字 塔模型中有 : M 6 4 cm M : MN : :, 因为 M 4 cm, 4 6 cm, 所以 例 : 如图, 中,, 4 平方厘米. 那么 的面积是平方厘米. 4, 与 平行, O 的面积是 O 解题点拨 因为,, 与 平行, 4 4 根据相似模型可知 : : 4, O : O : 4, 4 4平方厘米, 则 4 5 平方厘米, O O 5 又因为 : : :, 所以 5 ( 平方厘米 ). 例 4: 如图是一个正方形, 其中所标数值的单位是厘米. 问 : 影部分的面积是 多少平方厘米?
x 0 0 0 x x 0 0 x 0 解题点拨 : 如上图所示, 连接. 设 的面积为 x, 显然 的面积均为 x, 则 的面积 为 x, 0 0 00 即 x 00 400, 那么正方形内空白部分的面积为 4x. 400 800 所以原题中影部分面积为 0 0 ( 平方厘米 ). 例 5: 如下图, 均为各边的三等分点, 线段 和 把三角形 分成四部分, 如果四边形 O 的面积是 4 平方厘米, 求三角形 的面积. 解题点拨 : 设三角形以 为底的高为 h, 由于 : :, 所以 : : ; 所以三角形 O 以 为底的高是 h h; 9 又因为三角形 以 为底的高是 h, 所以三角形 O 的面积与三角形 的面积之比 h: h :, 9 所以三角形 的面积为 4 8( 平方厘米 ),
而三角形 的面积占三角形 的 4, 9 4 所以三角形 的面积是 8 40.5 ( 平方厘米 ). 9 例 6: 边长为 8 厘米和 厘米的两个正方形并放在一起, 那么图中影三角形的 面积是多少平方厘米? M N O H 解题点拨 : 给图形标注字母, 按顺时针方向标注, 大正方形为, 小正方 形为 MN, 分别交, 于 OH, 两点, O O 0 5, H O O 5 O 8, H 5, 9 40 HO 7 9 9 7 6. 40 40 HO
第 8 讲燕尾模型 知识点分析 燕尾模型其实就是将风筝模型的凸四边形通过向上翻折形成一个凹四边形而成 如图所示 : 在 的边 上取分点, 连接, 在 上任取一点, 连接另外两个顶点形成燕尾模型 4 结论 : : : 证明 : : 4 ( ) :( 4 ) k 4k 两式相减后得结论 ( ) k 4 k 所以 : : : 做题中, 找到顶点和分点即可应用燕尾模型, 将面积比转化为线段比
典型例题 例 : 如右图, 三角形 中, : :, : 5: 4, 求 :. O 解题点拨 根据燕尾定理得 : : : 0:5 O O : : 5: 4 0:8 O O ( 都有 O 的面积要统一, 所以找最小公倍数 ) 所以 : 5:8 : O O 例 : 如图, 三角形 被分成 6 个三角形, 已知其中 4 个三角形的面积, 问三角 形 的面积是多少? 84 40 O 5 0 解题点拨 : 设 O x, 由题意知 : 4: 根据燕尾定理, 得 O : O O : O 4:, 所以 O (84 x) 6 x 4 4, 再根据 O : O O : O, 列方程 (84 x) : (40 0) (6 x 5) :5 4 解得 x 56 O :5 (56 84) : (40 0), 所以 O 70 所以三角形 的面积是 84 40 0 5 56 70 5
例 :(009 年五年级希望杯初赛 ) 如图, 三角形 的面积是, 是 的中 点, 点 在 上, 且 : :, 与 交于点. 则四边形 的面积 等于. 解题点拨 方法一 : 连接, 根据燕尾定理,,, 设 份, 则 份, 份, 份, 如图所标 所以 5 5 方法二 : 连接, 由题目条件可得到,, 所以,, 5 而. 所以则四边形 的面积等于. 例 4: 角形 中, 是直角, 已知,,, M M, 那么三 角形 MN ( 影部分 ) 的面积为多少? M M N N 解题点拨 : 连接 N. 的面积为 根据燕尾定理, N : N : :;
同理 N : N M : M : 设 MN 面积为 份, 则 MN 的面积也是 份, 所以 N 的面积是 份, 而 N 的面积就是 4 份, N 也是 4 份, 这样 的面积为 4 4 0 份, 所以 MN 的面积为 0 0.. 例 5: 已知四边形, H 为正方形, : :8, a 与 b 是两个正方形的 边长, 求 a: b? 甲 乙 a 甲 O a M 甲 O 乙 乙 H b N H b 解题点拨 : 观察图形, 感觉影部分像蝴蝶定理, 但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走, 注意到题目条件中给出了两个正方形的边长, 有边长就可以利用比例, 再发现在连接辅助线后可以利用燕尾, 那么我们就用燕尾定理来求解连接 O, 根据燕尾定理 : O : O a : b, O : O a : b 所以 a b O : O :, 作 OM ON, OM : ON a : b 甲 乙 a b : : :8 a: b :
例 6:(008 年六年级学而思杯 ) 三角形 中, : : : :, 且三角形 的面积是, 则三角形 的面积为, 三角形 的面积为, 三角形 HI 的面积为. H I H I 解题点拨 : 连接 H I. 由于 : :, 所以 5, 故 ; 5 5 根据燕尾定理, : : :, : : :, 所 以 4 9 : : 4:6:9, 则, ; 9 9 那么 4 8 ; 5 5 9 95 同样分析可得 9 H, 则 : H : 4 H, : 9 9 : : 4:9, 所以 : H: H 4:5:0, 同样分析可得 : I : I 0:5: 4, 所以 I 5 5, 0 0 5 5 HI 5 5 I. 9 9 5 9.