循环中的秘密

Secrets i Cyclic Decials Abstract Suose is a ositive iteger. Whe the rie uber factorizatio of cotais rie uber other tha a 5, the uit fractio ca be reresete as a ifiite cyclic ecial. By the ai of couter, the cycles a the istributio of igits i the cycles for a large uber of uit fractios ( is a rie uber)were ivestigate. Soe roerties a theores o the cycles of cyclic ecials were iuce a rove. At the e of the aer, we ut forwar the cocet of erfect rie uber, as well as soe relate oe robles a cojectures. 摘要 : 循环小数中的秘密 设 为正整数, 且 的质因数分解不仅仅含有 或 5 的因子时, 单位分数 循环小数借助计算器, 在考察了大量单位分数 可表示为无限 ( 为素数 ) 后, 本文归纳并证明了有关循 环小数循环节的若干性质和定理另外, 考察了素数单位分数循环节与数码分布的情形后, 本 文提出了完美素数的概念以及与之相关的一些问题和猜想 关键词 : 质数 ( 素数 ), 单位分数, 循环, 整除. 问题引入 经常使用计算器, 偶尔也会注意到一些奇妙的现象如 0.4857 7 = & &, 0.8574 7 = & &, 3 0.4587 7 = & &, 4 0.5748 7 = & &, 0.7485 7 = & &, 6 0.8574 7 = & & 分母为 7 的分数, 化为循环小数后, 为什么循环节的长度都是 6? 为什么每一循环节的数字只是排列顺序不同而 已? 分数化为循环小数过程中, 到底掩藏着怎样的规律 秘密 带着这些疑问, 我们详细分析了更多的分数 ( 循环小数 ), 终于归纳和发现了循环中的一些. 问题分析

. 数论中的有关结论 整除与同余 对于整数 abc,,, 且 c 0, 若 b 是 c 的倍数, 称 c 整除 b, 记作 c b 若 c ( a b), 则 称 ab, 关于模 c 同余, 记作 a b(o c) ( ab, ) 表示整数 a 和 b 的最大正公约数,[ ab, ] 表示 整数 a 和 b 的最小正公倍数, 若 ( ab, ) =, 称 a 和 b 是互素的 设 abc,,, 为整数, 为正整数, 为素数, 则有如下性质和定理 定理.. 若 ( ab, ) = 且 a bc, 则 a c; 定理.. 若 a b(o ), c (o ), 则且 ac b(o ) ; 定理..3 若 a b(o ) 且 ( =, ), 则 a b(o ) ; 定理..4 每个大于 的正整数都可分解为素数的乘积, 而且不计因数的顺序时, 这种表 示是唯一的 = α α L α 其中 是素数, α 是正整数, i =,, L i i 定理..5 如果素数 不能整除 a, 则 a (o ) (Ferat s 费尔玛定理 ) 证明 : 考虑 = a, = a, = 3 a, L, = ( ) a, 因为 ( a, ) = 3 所以,, L, 被 除的余数各不相同, 恰好为,, 3, L, 的一个排列, 由定理.. 知, L L ( )(o ) 即 a ( )! = ( )!(o ) 又 (( )!, ) =, 由定理..3 知 a (o ). 一些记号的说明, 在下文中表示某个素数 ( 特别说明的地方除外 );,, 表示循环小数中循环节的长度, ( ) 表示分母为 的循环小数中循环节的长处 ; 将单位分数化为循环小数, 记为 0. aaa 3 a = & L &, 其中 a i 为 0~9 这 0 个数码之一 ; 利用无穷等比数列所有项之和公式, 可在分数与循环小数之间转化如 :

其中 3 aaa 3 a 0. aaa 3 a = = L & L & 0 aaa L a 表示一个正整数, 可能为 0;.3 问题的描述 a 当 7 时, 循环节长度 ( ) 是从小数点后第一位开始, 各数码重复出现所需最小个数 如, 化成循环小数后有多种表示, 0.4857 0.4857 0.48574857 7 7 = & & = & & = & & 我们统一考虑其循环节为 4857, 从小数点后第一位开始, 循环节长度为 6 本文主要研究如下几个问题 : 化成小数后的循环节长度有何规律? 化成小数后的循环节长度有何规律? 化成小数后, 其循环节中各数码的分布有无规律? 3. 问题研究 3. 有限小数 定理 3. 有素数 或 5 单位分数 化成小数后为有限小数的充要条件是 的素数分解表示形式中仅含 aaa 3 a 证明 : 设 0. aaa 3 a = = L L, 则 aaa 3L a 0 =, 即 0, 0 而 0 = 5, 故 也只能为 5 (, N,0, ) 即 的素数分解表示形式中仅含有素数 或 5 反之, 容易验证 3. 形如 5 是有限小数 的分数 ( 为素数, 7) 为研究一般形式的分数化为循环小数的情形, 先考虑素数单位分数并有如下引理 : 引理 : 是 / 的循环节长度当且仅当 是满足 (0 ) 的最小正整数 引理 : 如果正整数 a,, 满足 a (0 ) 且, 则 a (0 ) 3

引理 3: a, a,, 是正整数满足 a (0 ), a (0 ) 如果 是最小的, 且 a a, 那么, 定理 3. 化成循环小数后, 其循环节长度 满足 ( ) aaa 3 a 证明 : 根据定义, = L, 所以 (0 ), 即 0 (o ) 0 且 是所有满足 (0 ) 中 的最小正整数 又 (0, ) =, 根据定理..5 知 0 (o ), 即 (0 ) 若 ( ), 可设 = + t(, t N, t < ) 因为 0 (o ), 所以 0 + t t 0 (o ), 即 (0 t ) 这与循环节的定义 是满足条件的最小正整数矛盾, 故必有 ( ) 从附录 中可清楚地看到这个结果 3.3 形如 定理 3.3 的分数 ( 为素数, 7, 为大于 的自然数 ) 设 的循环节长度, 的循环节长度记为, 则 = 证明 : 当 = 时, 命题成立, 假设 时命题成立, 有 ; =, 即 (0 ) + + 时, 由定义知 (0 + ), 显然 (0 + ) 根据的最小性和定理 3. 的证明可得, +, 不妨设 = (, N + ) 则只需证明 = 即可 ( ) ( ) 因为 0 + 0 (0 ) (0 0 = = + + L+ 0 + ) 因为 (0 + ) 但 ( 0 ), 故有 ( ) ( ) (0 0 + + + 0 ) L +, 即 ( ) 0 ( ) + 0 0 + L + + = 0(o ) 又由 0 (o ) 以及引理 得 ( ) 0 ( ) + 0 + L + 0 + = (o ), 因此 = 0(o ), 由于 是最小的, 即 4

得 = 由归纳假设知, 命题成立 如, 7 化成小数后的循环节为 4, 7 3 的循环节为 94, 的循环节为 素数 3 是个 的循环节还是, 3 3 3 的循环节为 3, 一般的有的循环节为 3 3 例外, 3 的循环节为, 3.4 形如 的分数 ( q 为不同素数 ) q 定理 3.4 设 q 为大于 5 的不同素数, 的循环节为, 的循环节为 q 循环节为 = [, ] 证明 : 根据定义, (0 ), q (0 ), q (0 ) 所以 (0 ), q (0 ) 由, 的最小性知,, [, ] 再根据 的最小性知, = [, ]反之, 由引理 可得 q (0 ), 则 的 q 如, 的循环节为 6, 的循环节为 6, 则 = 的循环节为 6; 再如的循环节为 7 3 73 9 3 6, 的循环节为 3, 则 = 的循环节为 6 37 3 37 48 3.5 一般形式的单位分数 综合前面的论述, 可得一般情况下的循环小数循环节的公式 定理 3.5 设正整数 的素数分解形式为 = α 5 β 3 γ α α L α, 则分数化成循环 小数后的循环节长度 ( ) = [3 γ, α, α, L, α ] 其中, ( i =,, L) 分别为素单位分数 i i 的循环节长度, γ λ = 是, 公式为 ( ) = [ α, α, L, α ] 当 素数,5 的出现只是使得 不 再是纯循环小数, 即不是从小数点后第一位开始循环, 但不影响循环节的长度 如, 6830 = 5 3 7, 3,, 的循环节分别为,,6, 而的循环 7 6830 节也恰好是 6 4. 其他思考 4. 数码的分布 5

我们在详细列举素数单位分数时发现, 前几个分数,,,,,, 的循环节中 7 3 7 9 3 9 数码 0~9 出现的次数恰好成对称分布即 0 出现的次数与 9 出现的次数相同, 出现的次数与 8 出现的次数相同, 和 7,3 和 6,4 和 5 出现的次数也都成对相同详见附录 在列出了更多的素单位分数的数码分布后, 发现这并不是始终如此, 3 就不符合我们将 素单位分数 化成小数后的一个循环节中数码分布对称, 且循环节为 的素数称为完美素 数, 附录 中标记 * 的即为完美素数如 6,8 就是超完美素数提出如下问题和猜想 完美素数是否与费玛素数, 梅森素数那样有其它很好的性质? 完美素数是否有无穷多个? 它们的分布情况如何? i () 我们猜想完美素数的数码分布随着数值的增大将趋于平均, 即 li = 0. * * * 其中 表示完美素数, i = 0,,, L 9, i () 为数码 i 出现的次数 4. 循环节的分段表示 对有些循环小数, 我们发现可以截取一段然后用倍乘叠加得到整个循环小数 如 0.4857 7 = & &, 截取长度为 的一段 4, 乘以 得 8, 再乘 得 56, 再乘 得, 产生了进位, 将 加到前面一段并将其改写为 57, 再乘 得 4, 取后两位得 4, 重复可得 4, 8,57,4,, 连起来也就是 0.4857 7 = & & 0.058835947647 7 = & &, 截取长度为 0 的第 段 05883594, 乘 得第 段 76470588, 再乘 得第 3 段 359476, 再乘 得第 4 段 47058835, 再乘 得第 5 段 94764704, 再乘 得第 6 段 88359408, 产生了进位, 将 加到前一段, 并将第 5 段改为 94764705, 再乘 得 8835940, 取后 0 位作为第 6 段 8835940, 再乘 得 764705880, 又产生了进位, 同理将第 6 段改为 883594, 再乘 得 76470588, 将后 0 位作为第 7 段 76470588, 乘 得 5947644, 将第 7 段改为 764705883, 乘 得 5947646, 取后 0 位作为第 8 段 5947646, 乘 得 0588359, 将第 8 段该为 5947647, 乘 得 05883594, 将后 0 位作为第 9 段 05883594,, 将每一段连起来就得 7 我们发现, 很多循环小数都有上述奇妙的现象 为什么会有如此奇妙的性质? 5. 参考文献.[ 美 ]R 柯朗 H 罗宾著, 左平张饴慈译 : 什么是数学 上海 : 复旦大学出版社,005.5. 罗增儒 : 数学竞赛导论 西安 : 陕西师范大学出版社,00,7 6

6. 附录 附录 :00 以内素数单位分数 与数码 0~9 分布 - 0 3 4 5 6 7 8 9 对称 7 3 7 9 3 9 3 37 4 43 47 53 59 6 67 7 73 6 0 0 0 0 6 是 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是 0 0 0 0 6 是 6 6 是 * 8 8 是 * 3 3 是 * 8 3 3 3 3 3 3 3 3 8 是 * 30 4 4 6 4 4 0 30 否 36 0 0 0 0 0 0 0 3 否 40 8 0 8 8 8 0 0 0 0 8 5 否 4 4 6 0 6 0 6 4 否 46 4 5 5 4 5 5 4 5 5 4 46 是 * 5 4 4 8 4 4 4 4 4 4 3 否 58 5 6 6 6 6 6 6 6 6 5 58 是 * 60 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 60 是 * 66 6 4 0 4 0 0 4 0 6 33 否 70 8 0 6 6 8 8 4 6 35 否 7 9 9 0 8 0 0 8 0 9 9 9 否 7

- 0 3 4 5 6 7 8 9 对称 79 83 89 97 0 03 07 09 3 7 3 37 39 49 5 57 63 67 73 79 8 78 6 8 0 6 6 6 6 8 0 9 否 8 8 0 6 6 0 6 0 6 8 4 否 88 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 44 是 96 9 0 0 9 0 0 9 0 0 9 96 是 * 00 50 0 0 0 0 0 0 0 0 50 4 是 0 5 6 5 3 3 5 6 5 34 是 06 0 0 8 0 0 0 53 否 08 0 0 08 是 * 3 是 * 6 8 9 9 8 4 是 30 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 30 是 * 36 34 0 34 0 0 0 0 34 0 34 8 是 38 9 5 5 9 46 是 48 4 5 5 5 5 5 5 5 5 4 48 是 * 50 6 8 4 8 8 6 4 75 否 56 8 4 0 4 4 0 4 8 78 是 6 6 0 6 0 8 0 6 8 否 66 6 7 7 6 7 7 6 7 7 6 66 是 * 7 0 6 6 0 4 4 6 43 否 78 7 8 8 8 8 8 8 8 8 7 78 是 * 80 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 80 是 * 8

- 0 3 4 5 6 7 8 9 对称 9 93 97 99 90 30 0 8 8 0 0 6 8 8 95 否 9 9 9 9 0 9 9 0 9 9 9 9 是 * 96 8 4 6 8 8 6 4 8 98 是 98 4 6 8 8 4 8 4 99 否 附录 :TI 计算器程序 程序 : 判断一个正整数是否为素数 程序 : 计算单位分数 小数点后前 位 程序 3: 统计 小数点后前 位中数码 0~9 出现的次数 9