Outline 1. 簡介 2. ARCH 模型 3. GARCH 模型 4. 實例解析

ARCH/GARCH 模型設定 估計 檢定與實例分析 林金龍東華大學財務金融系 June 16, 2008

Outline 1. 簡介 2. ARCH 模型 3. GARCH 模型 4. 實例解析

從 IBM 報酬率 (62/7/3 to 97/12) 講起 Table: Summary Statistics for IBM (62/7/3 to 97/12) and simulated normal random variable IBM Normal nobs 8938 8938 Minimum -26.088000-4.929924 Maximum 12.171000 6.105701 1. Quartile -0.792750-0.954958 3. Quartile 0.831000 1.056795 Mean 0.039304 0.048533 Median 0.000000 0.043143 Variance 2.192760 2.168546 Stdev 1.480797 1.472598 Skewness -0.332869 0.023612 Kurtosis 15.207545-0.035536

20 15 10 5 0 5 10 Histogram of ibm Density 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 20 15 10 5 0 5 10 ibm Histogram of x Density 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 2000 4000 6000 8000 ibm 10 5 0 5 10 0 2000 4000 6000 8000 Index x 10 5 0 5 10

Series ibm Series x ACF 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 10 20 30 40 Lag 0 10 20 30 40 Series ibm * ibm ACF 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ACF 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag Series x * x ACF 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

簡介 財務時間數列資料的特性 I 1. 股票報酬率前後期間的關聯性很低或完全不相關, 但其平方項卻存在很強烈的序列相關 (autocorrelation), 亦即波動性具強烈的相關性 2. 股票報酬率具波動群聚性 (volatility clustering), 即大的衝擊伴隨大的衝擊出現, 小的衝擊跟著小的衝擊出現 3. 股票報酬率的分佈具厚尾 (fat tail) 的情況, 出現大幅升貶的機率大於常態分配下出現的機率 4. 股票報酬率發生波動時, 會漸漸回到其長期的水準值 (return to mean)

財務時間數列資料的特性 II 財務報酬率的時間序列資料的精確度高, 資料數量非常大, 可以不同的頻率衡量 資料頻率可由日資料提升到小時 10 分鐘 5 分鐘 1 分鐘, 甚至到含每一筆全市場所有交易的資料 對於不同頻率, 我們需注意下列事項 : 1. 資料的頻率愈高, 交易價格與交易值受到非經濟因素的影響愈大 ; 干擾多時, 資料的品質下降, 資訊所含有的訊息量不會隨著資料量作等比率增加 2. 當研究模型中含有總體經濟或公司營運資料時, 資料頻率較低, 財務變數可用的資料頻率會受到影響 3. 對不同的研究議題, 最適的頻率不同 4. 依時加總 (temporal aggregation) 會影響財務時間數列的特性 例如, 高頻資料的 ARCH (Autoregrssive Conditional Heteroscedasticity) 現像在低頻時可能會消失 ( 中央極限定理的應用 )

需要非線性模型 線性的常態時間數列模型無法解釋上述被觀察到的資料特性, 因此吸引了許多學者尋找非常態模型來分析財務時間資料的波動性 首先由 Engle(1982) 提出 ARCH 模型來配適財務時間數列資料, 接著由 Bollerslev(1986) 提出一般化的 ARCH 模型 (GARCH), 之後一連串的模型如 IGARCH,GARCH-M,EGARCH, GJR-GARCH 等被提出來重現財務資料的波動性

ARCH 模型 Engle(1982) 提出 ARCH 模型, 我們先以最簡單 ARCH(1) 模型說明如下 考慮報酬率 (r t ) 的模型如下 : r t = µ t + a t µ t 為 r t 的條件期望值,a t 為 t 期的干擾項 (innovation) 在 ARCH 模型下,a t 不存在序列線性相關, 但平方項卻彼此相關 對此 Robert Engle 教授頗有創意的將 a t 分解成成兩個項目相乘, 令 F t 1 代表過去資訊的集合, 則 亦即,h t 為 a t 的條件變異數 a t = h t ɛ t h t = α 0 + α 1 at 1 2 ɛ t iid N(0, 1) E(a 2 t F t 1 ) = E(h t ɛ 2 t F t ) = h t E(ɛ 2 t F t 1 ) = h t

當 s < t, E(a t a s ) = E( h t ɛ t hs ɛ s ) = E(E( h t ɛ t hs ɛ s F s )) = E( h t hs E(ɛ t ɛ s F s )) = E( h t hs E(ɛ t ɛ s )) = 0 E(at 2 as 2 ) = E(h t ɛ 2 t h s ɛ 2 s ) = E(E(h t ɛ 2 t h s ɛ 2 s F s )) = Eh t h s (E(ɛ 2 t ɛ 2 s F s )) = E(h t h s E(ɛ 2 t ɛ 2 s )) = h t h s 0

ARCH(1) 模型 a t 本身不自我相關但平方項卻存在自我相關, 這與觀察的事實吻合 關於 ɛ t 分配, 除了常態分配外,t 分配,Generalized Error Distribution (GED) 等亦經常被使用 ARCH(1) 模型可以推演成 AR(1) 模型 令 η t = a 2 h t 則 E(η t F t 1 ) = E(a 2 t h t F t 1 ) = E(a 2 t F t 1 ) E(h t F t 1 ) = h t h t = 0 故 η t 為一鞅差 (martingale difference) 序列 將 h t = a 2 t η t 代入 ARCH(1) 模型, 可得 : a 2 t η t = α 0 + α 1 a 2 t 1 = a 2 t = α 0 + α 1 a 2 t 1 + η t 換言之,ARCH(1) 模型將殘差的平方設定成一 AR(1) 模型

ARCH(1) 模型的性質 a t 的動差 : E(a t ) = E[E(a t F t 1 )] = E[ h t E(ɛ t )] = 0 Var(a t ) = E(a 2 t ) = E[E(a 2 t F t 1 )] = E(α 0 +α 1 a 2 t 1) = α 0 +α 1 E(a 2 t 1) 因為 a t 為一 stationary process, 其 E(a t ) = 0, Var(a t ) = Var(a t 1 ) = E(a 2 t 1 ), 因此,V (a t ) = α 0 /(1 α 1 ) 在 ɛ t 為常態分配的假設下,F t 1 下 a t 的四階動差 : E(a 4 t F t 1 ) = 3E[a 2 t F t 1 ] 2 = 3(α 0 + α 1 a 2 t 1) 2 因此, E(a 4 t ) = 3E(α 0 + α 1 a 2 t 1) 2 = 3E[α 2 0 + 2α 0 α 1 a 2 t 1 + α 2 1a 4 t 1] a t 四階動差函數為 m 4 =E(a 4 t ): m 4 = 3[α 2 0 + 2α 0 α 1 Var(a t ) + α 2 1m 4 ] = 3α 2 0(1 + 2 α 1 1 α 1 ) + 3α 2 1m 4 = m 4 = 3α 2 0 (1 + α 1) (1 α 1 )(1 3α 2 1 )

由定義知,m 4 為正值, 而滿足 m 4 為正值的條件為 1 3α 2 1 > 0, i.e. 0 α2 1 < 1/3 由 m 4 與 Var(a t ) 的推導, 我們現在可以計算 a t 的峰態係數 (kurtosis), 即 γ 2 = E(a4 t ) [Var(a t )] 2 = 3 α 2 0 (1 + α 1) (1 α 1 )(1 3α 2 1 ) (1 α 1) 2 α 2 0 = 3 1 α2 1 1 3α 2 1 因為我們得出的峰態係數大於 3, 因此我們可以發現 a t 分配具有厚尾的性質 當 t-1 期的報酬率有大幅變動時,a 2 t 1 變大,h t 也增大,a 2 t 變大的機率大幅提升, 表現出波動群聚的特性 > 3

延伸接著我們將 ARCH(1) 模型擴展到 ARCH(q) 模型, 即 a t = h t ɛ t h t = α 0 + α 1 a 2 t 1 + + α q a 2 t q 相同的, 在 ARCH(q) 模型中,a 2 t 為其一 AR(q) 模型 令 η t = a 2 h t 則 E(η t F t 1 ) = E(a 2 t h t F t 1 ) = E(a 2 t F t 1 ) E(h t F t 1 ) = h t h t = 0 故 η t 為一鞅差序列 將 h t = a 2 t η t 代入 ARCH(q) 模型, 可得 : a 2 t = α 0 + α 1 a 2 t 1 + + α q a 2 t q + η t 當然,ARCH(q) 模型亦保留如 ARCH(1) 所得出的性質 : 厚尾與波動群聚性

條件殘差的分配 除了常態分配外,Student-t distribution 與 Generalized Error Distribtuion(GED) 為常用的分配, 他們機率分配的尾部均較常態為厚, 能產生較多的極端值 Student-t distribution f (z; v) = = Γ( v+1 2 ) 1 π(v 2)Γ( v 2 ) (1 + z2 v 2 ) v+1 2 1 1 v 2B(1/2, v/2) (1 + z2 v 2 ) v+1 2 式中 v > 2 為 z 的自由度, 決定機率分配的形狀 (shape parameter), B(a, b) = Γ(a)Γ(b)/Γ(a + b) 為 beta 函數 四個動差為 E(z) = 0, Var(Z) = v/(v 2), γ 1 = 0, γ 2 = µ 4 3 = 6 µ 2 v 4 2

GED f (z; v) = v λ v 2 1+1/v Γ(1/v) e 1/2 λ v = ( 2 2/v Γ(1/v) ) 1/2 Γ(3/v) z λv v 式中 0 < v 四個動差為 E(z) = 0, V (z) = 1, γ 1 = 0, γ 2 = µ 4 3 = Γ(1/v)Γ(5/v) 3 µ 2 Γ(3/v) 2 2

Student t: nu=2.5 GED: nu=1 dstd(x, nu = 2.5) 0.0 0.4 0.8 4 2 0 2 4 x Student t: nu=5 dstd(x, nu = 5) 0.0 0.4 0.8 4 2 0 2 4 x Student t: nu=10 dstd(x, nu = 10) 0.0 0.4 0.8 dged(x, nu = 1) 0.0 0.4 0.8 4 2 0 2 4 x GED: nu=2 dged(x, nu = 2) 0.0 0.4 0.8 4 2 0 2 4 x GED: nu=10 dged(x, nu = 10) 0.0 0.4 0.8 4 2 0 2 4 x 4 2 0 2 4 x

估計 有兩種方法可以用來估計 ARCH 模型, 即最小平方法與最大概似函數法, 分別討論如下 : 1. 最小平方法 (OLS) 首先我們可以先配適酬率的迴歸模型, 以最小平方法求得殘差, 將當期殘差的平方對常數與前期殘差的平方進行 OLS 的參數估計 (α 0,, α q ) 用 OLS 法所估計出來的參數為 BLUE, 具一致性, 但因為 ARCH 模型並非線性模型, 因此 OLS 之估計參數不具效率 (inefficient), 即其變異數並非為最小, 所以 MLE 的估計法是為佳的 2. 最大概似函數估計法 (MLE) 我們由 ɛ t = at ht 的機率密度函數導出 r t 的概似函數, 便可以利用最大概似法進行參數估計 如前所述,ɛ t 可為常態 t- 分配 GED 或其他分配

ARCH 檢定 Robert Engle 教授導出 ARCH 的 LM 檢定, 因計算簡單廣被採用, 為促成 ARCH 廣泛流行原因之一 要檢定某一數列是否為一 ARCH(q) 模型可表示成 : 檢定步驟 : h t = α 0 + α 1 at 1 2 + + α q at q 2 H 0 : α 1 = = α q = 0 H a = α i 0 for any i 1. 作均值迴歸 ( 如 MA(1)+weekend effect), 計算殘差 â t 2. 以 â 2 t 對常數項,â 2 t 1,, â2 t q 作迴歸並計算 TR 2, 式中 T 為樣本大小,R 2 為判定係數 3. 若虛無假設成立 ( 即沒有 ARCH) 則 TR 2 服從 χ 2 (q) 分配

數值分析 由於最大概似值法沒有明確的分析解, 必需以數值分析得解, 常用的 algorithms 為 1. SQP: Sequential Quadratic Programming algorithm 2. NLMINB: 3. BFGS:

預測 由 ARCH 模型, 可以 AR 模型表現出來, 因此其 forecasting 正如 AR 模型一般, 在 t 期的資訊集合 (F t ) 下, 可以導出一期預測如下 ( 以 ARCH(1) 為例 ): h t (1) = α 0 + α 1 a 2 t 二期預測 : h t (2) = α 0 + α 1 h t (1). 將此預期公式一般化, h t (l) = α 0 + α 1 h t (l 1), l > 1

ARCH 模型所遭遇的問題 對 ARCH(q) 模型進行估計, 所遭遇的最大問題是, 當落後期數 (q) 太長時, 會產生太多參數需要估計, 但因樣本數有限, 故會造成我們在進行參數估計與檢定的估計精密度與檢力降低的麻煩 在線性 AR(q) 模型中, 若落後期數太長, 即高階的 AR 模型, 我們可以利用 ARMA 模型來進行配適, 以減少因樣本數有限下, 造成太多參數估計與檢定上的問題 而在 ARCH(q) 模型下, 我們亦可以利用相同的概念來解決 ARCH(q) 模型估計所造成的問題, 因此 Bollerslev(1986) 提出一般化的 ARCH 模型 (GARCH) 可以用來解決此一問題

GARCH 模型 GARCH(1,1) 模型, 設定如下 : a t = h t ɛ t, h t = E(a 2 t F t 1 ) = α 0 + α 1 a 2 t 1 + β 1 h t 1 ɛ t iid N(0, 1) 為符合弱穩定性質, 需限制 0 α 1, β 1 1, α 1 + β 1 < 1 相同的, 我們可以將其擴展成 GARCH(p,q) 模型, 設定如下 : a t = h t ɛ t, h t = α 0 + p α i at i 2 + i=1 q β j h t j, ɛ t (0, 1) j=1

GARCH 模型中,a 2 t 為一 ARMA 模型, 以 GARCH(1,1) 為例, 說明如下 : 代入 h t, 得 η t = a 2 t h t h t = a 2 t η t h t = α 0 + α 1 at 1 2 + β 1 h t 1 at 2 η t = α 0 + α 1 at 1 2 + β 1 (at 1 2 η t 1 ) a 2 t = α 0 + (α 1 + β 1 )a 2 t 1 + η t β 1 η t 1, E(η t F t 1 ) = 0, η t 為一鞅差數列, 故 a 2 t 的模型為 ARMA(1,1) 為一 ARMA(1,1) 模型

對於 GARCH(p,q) 模型, 令 m = max(p, q), h t = α 0 + a 2 t = α 0 + = α 0 + q α i at i 2 + i=1 q α i at i 2 + i=1 p β j h t j j=1 q β i at i 2 i=1 m (α i + β j )at i 2 i=1 p β j η t j + η t j=1 p β j η t j + η t where α i = 0 for i = q + 1,, m, β j = 0 for j = p + 1,, m 亦即,a 2 t 的模型為 ARMA(m, p) j=1

性質 與 ARCH 模型相同的,GARCH 模型也可以導出報酬率分配具厚尾的特性, 以 GARCH(1,1) 為例, 若 則 1 2α 2 1 (α 1 + β 1 ) 2 > 0 γ 2 = E(a4 t ) [Var(a t )] 2 = 3[1 (α 1 + β 1 ) 2 ] 1 (α 1 + β 1 ) 2 2α 2 1 其亦可表現波動群聚性的性質 > 3,

估計 估計程序仍以 MLE 法進行估計, 估計過程如前所述

預測我們仍以 GARCH(1,1) 為例, 說明其預測 : 一期預測 : h t (1) = α 0 + α 1 a 2 t 1 + β 1 h t 二期預測 : 將上述預期公式一般化, h t (2) = α 0 + (α 1 + β 1 )h t (1) h t (l) = α 0 + (α 1 + β 1 )h t (l 1), l > 1 此公式與在 ARMA(1,1) 模型中,AR 部分的係數為 1-(α 1 + β 1 ) 的例子相同, 將上述的一般化公式, 反覆代疊, 可得出下式 : h t (l) = α 0[1 (α 1 + β 1 ) l 1 ] 1 α 1 β 1 + (α 1 + β 1 ) l 1 h t (1) 因此, α 0 h t (l), as l, 1 α 1 β 1 我們可以發現, 當預測期數夠大, 則 GARCH(1,1) 模型的預測值會收斂到 Var(a t )

IGARCH ARCH/GARCH 家族成員廣大, 在此僅再介紹常用的兩種模型 :IGARCH 與 GARCH-M, 其他重要成員將由蔡院士教授 IGARCH 我們知道在 GARCH(1,1) 模型中, 要求 α 1 + β 1 < 1, 但實證上發現,α 1 + β 1 1, 即 a 2 t 可能不穩定, 因此 IGARCH 模型被提出 以 IGARCH(1,1) 為例, 如下所示 : 由 h t = α 0 + α 1 a 2 t 1 + β 1 h t 1 因為 α 1 + β 1 = 1 = α 1 = 1 β 1 代入上式, = h t = α 0 + β 1 h t 1 + (1 β 1 )a 2 t 1 我們亦可得出 IGARCH 模型的多期預期如下式, h t (l) = h t (1) + (l 1)α 0, l 1 當 α 0 = 0, 則模型對未來的預測均為一期預測值 此一特例也在 RiskMetrics 中被用來計算風險值 (Value at Risk)

GARCH-M GARCH-M 模型設定如下 : r t = µ t + ch t + a t a t = h t ɛ t h t = α 0 + α 1 a 2 t 1 + β 1 h t 1 GARCH-M 模型將風險考慮進入報酬中, 式中的參數 c, 我們稱其為風險溢酬係數 (risk premium parameter) 在此模型中, 藉由 h t 導入 mean equation 中, 導出報酬率間彼此存在相關性, 因此風險溢酬係數的存在, 也反映出歷史報酬具相關性的理由

實例解析本節分析台股指數報酬率 台積電 (2330) 聯電 (2303), 台塑 (1301) 與中鋼 (2002) 的股價報酬率, 資料期間為 2004 年 1 月 2 日至 2007 年 5 月 31 日, 共計 843 個樣本點 基本統計分析與時間數列圖 Table: Summary Statistics for 7 returns series: 2004/01/02 2007/05/31 TAIEX TSMC(2330) UMC(2303) FPG(1301) ChinaSteel (2002) nobs 842 842 842 842 842 Minimum -6.678855-6.988353-6.970509-6.862745-6.764706 Maximum 5.568419 6.730769 6.993007 5.539359 6.666667 1. Quartile -0.505078-1.041215-1.052079-0.641731-0.636437 3. Quartile 0.646495 1.062623 1.008202 0.788180 0.810616 Mean 0.041640 0.054265-0.014862 0.055302 0.096739 Median 0.038483 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 Variance 1.227673 3.265195 3.652541 1.567385 1.819927 Stdev 1.108004 1.806985 1.911162 1.251953 1.349047 Skewness -0.515363-0.009321 0.163251-0.247341 0.142604 Kurtosis 4.682377 1.253273 1.816449 4.322230 3.302884

taiex 5500 6500 7500 0 200 400 600 800 Index s2330 40 50 60 70 0 200 400 600 800 Index s2303 20 25 30

taiex 5500 6500 7500 0 200 400 600 800 Index s1301 45 55 65 0 200 400 600 800 Index s2002 25 30 35 40

TAIEX return: 2004/01/03 ~ 2007/05/31 r9999 6 2 2 4 6 0 200 400 600 800 Index TSMC (2330) return: 2004/01/03 ~ 2007/05/31 r2330 6 2 2 4 6 0 200 400 600 800 Index UMC (2303) return: 2004/01/03 ~ 2007/05/31 r2303 6 2 2 4 6

Taiex return: 2004/01/03 ~ 2007/05/31 r9999 6 2 2 4 6 0 200 400 600 800 Index FPG (1301) return: 2004/01/03 ~ 2007/05/31 r1301 6 2 2 4 6 0 200 400 600 800 Index ChinaSteel (2002) return: 2004/01/03 ~ 2007/05/31 r2002 6 2 2 4 6

TAIEX return: 2004/01/03 ~ 2007/05/31 TAIEX ratio Return 0 200 400 600 800 6 2 2 4 6 Histogram of r9999 r9999 Density 6 4 2 0 2 4 6 0.0 0.2 0.4 3 2 1 0 1 2 3 6 2 2 4 6 Normal QQ Plot Normal Quantiles Empirical Quantiles 0 5 10 15 20 25 30 0.0 0.4 0.8 Lag ACF Series r9999 * r9999 0.0 0.4 0.8 ACF Series r9999 0.10 0.00 0.10 Partial ACF Series r9999

TSMC return: 2004/01/03 ~ 2007/05/31 TAIEX ratio Return 0 200 400 600 800 6 2 2 6 Histogram of r2330 r2330 Density 6 4 2 0 2 4 6 0.00 0.15 0.30 3 2 1 0 1 2 3 6 2 2 4 6 Normal QQ Plot Normal Quantiles Empirical Quantiles 0 5 10 15 20 25 30 0.0 0.4 0.8 Lag ACF Series r9999 * r9999 0.0 0.4 0.8 ACF Series r9999 0.10 0.00 0.10 Partial ACF Series r9999

UMC return: 2004/01/03 ~ 2007/05/31 TAIEX ratio Return 0 200 400 600 800 6 2 2 6 Histogram of r2303 r2303 Density 6 4 2 0 2 4 6 0.00 0.10 0.20 0.30 3 2 1 0 1 2 3 6 2 2 6 Normal QQ Plot Normal Quantiles Empirical Quantiles 0 5 10 15 20 25 30 0.0 0.4 0.8 Lag ACF Series r2303 * r2303 0.0 0.4 0.8 ACF Series r2303 0.06 0.00 0.06 Partial ACF Series r2303

FPG return: 2004/01/03 ~ 2007/05/31 TAIEX ratio Return 0 200 400 600 800 6 2 2 4 6 Histogram of r1301 r1301 Density 6 4 2 0 2 4 6 0.0 0.2 0.4 3 2 1 0 1 2 3 6 2 2 4 6 Normal QQ Plot Normal Quantiles Empirical Quantiles 0 5 10 15 20 25 30 0.0 0.4 0.8 Lag ACF Series r1301 * r1301 0.0 0.4 0.8 ACF Series r1301 0.05 0.00 0.05 Partial ACF Series r1301

ChinaSteel return: 2004/01/03 ~ 2007/05/31 TAIEX ratio Return 0 200 400 600 800 6 2 2 6 Histogram of r2002 r2002 Density 6 4 2 0 2 4 6 0.0 0.2 0.4 3 2 1 0 1 2 3 6 2 2 6 Normal QQ Plot Normal Quantiles Empirical Quantiles 0 5 10 15 20 25 30 0.0 0.4 0.8 Lag ACF Series r2002 * r2002 0.0 0.4 0.8 ACF Series r2002 0.05 0.05 Partial ACF Series r2002

Table: 估計結果 TAIEX Normal GED Student-t Est. Std. t value Est. Std. t value Est. Std. t val mu 0.06926 0.03453 2.006 0.059596 0.031243 1.908 0.07921 0.03108 2.548 ma1 0.05774 0.03848 1.501 0.005283 0.033033-0.160 0.01393 0.03356 0.415 omega 0.02275 0.01117 2.038 0.021212 0.011626 1.825 0.02110 0.01089 1.938 alpha1 0.06411 0.01520 4.217 0.046226 0.014760 3.132 0.04081 0.01351 3.019 beta1 0.91626 0.02031 45.116 0.933847 0.020511 45.529 0.93984 0.01882 49.92 shape 1.241157 0.087060 14.256 5.51457 1.09918 5.017 TSMC (2330) Normal GED Student-t Est. Std. t value Est. Std. t Est. Std. t mu 0.09460 0.05605 1.688 0.06690 0.05468 1.223 0.07107 0.05490 1.294 ma1-0.02085 0.03827-0.545-0.02821 0.03440-0.820-0.02812 0.03649-0.77 omega 0.07318 0.04284 1.708 0.05932 0.04410 1.345 0.04435 0.03750 1.183 alpha1 0.04917 0.01606 3.063 0.04112 0.01621 2.537 0.03716 0.01460 2.546 beta1 0.92770 0.02502 37.085 0.93988 0.02587 36.333 0.94862 0.02260 41.96 shape 1.51483 0.11144 13.593 9.63397 2.99999 3.211 UMC (2301) Normal GED Student-t Est. Std. t Est. Std. t Est. Std. t mu 0.02739 0.06116 0.448-0.0002794 0.0108879-0.026-0.022895 0.054461-0.42 ma1 0.05226 0.03832 1.364-0.0005409 0.0148908-0.036 0.004409 0.037400 0.118 omega 0.05236 0.02816 1.859 0.0403314 0.0300015 1.344 0.035627 0.028378 1.255 alpha1 0.05579 0.01415 3.944 0.0564466 0.0165535 3.410 0.055797 0.016132 3.459 beta1 0.93031 0.01692 54.974 0.9336378 0.0187817 49.710 0.936581 0.017907 52.30 shape 1.2959402 0.0911139 14.223 5.907890 1.232798 4.792 FPG (1301) Normal GED Student-t Est. Std. t Est. Std. t Est. Std. t mu 0.066511 0.036888 1.803 0.0004475 0.0089726 0.050 0.045690 0.034468 1.326 ma1 0.024028 0.038275 0.628 0.0001907 0.0074253 0.026 0.005991 0.036898 0.162 omega 0.013360 0.008113 1.647 0.0239100 0.0166536 1.436 0.030736 0.019243 1.597

0 200 400 600 800 1 2 3 4 5 6 Conditional variance for TAIEX with normal error Index g9999.norm.h 3 2 1 0 1 2 3 4 2 0 2 Normal Q Q Plot Theoretical Quantiles Sample Quantiles 0 200 400 600 800 1 2 3 4 5 Conditional variance for TAIEX with GED error Index g9999.ged.h 4 2 0 2 4 2 0 2 g9999.ged.z rged(nobs, nu = g9999.ged.df) 1 2 3 4 5 6 Conditional variance for TAIEX with Student t erro g9999.norm.h 4 0 2 4 rt(nobs, df = g9999.std.df)

0 200 400 600 800 2 4 6 8 10 Conditional variance for UMC with normal error Index g2303.norm.h 3 2 1 0 1 2 3 2 0 2 4 Normal Q Q Plot Theoretical Quantiles Sample Quantiles 0 200 400 600 800 2 4 6 8 10 Conditional variance for UMC with GED error Index g2303.ged.h 2 0 2 4 4 2 0 2 4 g2303.ged.z rged(nobs, nu = g2303.ged.df) 2 4 6 8 10 Conditional variance for UMC with Student t error g2303.norm.h 4 0 2 4 6 rt(nobs, df = g2303.std.df)

0 200 400 600 800 2 4 6 8 Conditional variance for FPG with normal error Index g1301.norm.h 3 2 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 Normal Q Q Plot Theoretical Quantiles Sample Quantiles 0 200 400 600 800 2 4 6 8 Conditional variance for FPG with GED error Index g1301.ged.h 4 2 0 2 4 4 2 0 2 4 g1301.ged.z rged(nobs, nu = g1301.ged.df) 2 4 6 8 Conditional variance for FPG with Student t error g1301.norm.h 4 0 2 4 6 rt(nobs, df = g1301.std.df)

0 200 400 600 800 2 4 6 8 10 Conditional variance for ChinaSteel with normal erro Index g2002.norm.h 3 2 1 0 1 2 3 4 0 2 4 Normal Q Q Plot Theoretical Quantiles Sample Quantiles 0 200 400 600 800 2 4 6 8 10 Conditional variance for ChinaSteel with GED error Index g2002.ged.h 4 2 0 2 4 2 0 2 g2002.ged.z rged(nobs, nu = g2002.ged.df) 2 4 6 8 10 Conditional variance for ChinaSTeel with Student t er g2002.norm.h 5 0 5 rt(nobs, df = g2002.std.df)

參考文獻 Tsay, R. S. (2005) Analysis of Financial Time Series, 2nd Edition, New York:John Wiley & Sons, Inc.. Gourierous, C. (1987), ARCH models and financial applications Zivot,E. and J.Wang (2003), Modeling Financial Time Series With S-PLUS, New York:Springer-Verlag, Inc..