5 反三角函數的基本概念 ( 甲 ) 反函數的概念 (1) 反函數的定義 : 函數 f() g(), 設, 分別是 f() g() 定義域內任意元素, 如果 g(f())= 且 f(g())= 則稱 f() 與 g() 互為反函數,f() 的反函數記為 f 1 (), 即 g()=f 1 () 此時 f() g() 的定義域與值域互換, 即 f() 的定義域為 f 1 () 的值域,f() 的值域為 f 1 () 的定義域 例一 : 設 f()=, 定義域 =R, 值域 ={ 0}, 我們來討論 f() 的反函數 g(), 因為 f 4,0.5 f 0.5, f f, 所以 4 g, 0.5 g 0. 5, g, g 由對數的定義可知 g()=log, 定義域 ={ 0}, 值域 =R g 例二 : 設 f()=, 定義域 =R, 值域 ={ 0}, 觀察它的對應情形 1 f 1, 1 f 1, f 4, f 4,± f 9,± f, 當我們求它的反函數時, 會遭遇到一個問題, 到底 要對應回去 或是 呢? f 因為 f()= 是一個 對 1 的函數, 因此反函數定義時會遭遇到 1 對 無法形成函數, 這個情形與 (1) 的情形不同,f()= 是一個 1 對 1 的函數, 故直接對應回來就能定義反函數 ; 而 f()= 是一個 對 1 的函數, 我們要定義反函數時, 就要採取彈性的方法, 所謂彈性的方法就是限制原函數的定義域, 使得原函數在限制下的定義域是一個 1 對 1 的函數 當定義域限制成 { 0} 時, 可定義反 函數 f 1 ()=, 當定義域限制成 { 0} 時, 可定義反函數 f 1 ()= 例三 : 處理三角函數的情形, 與處理 f()= 的情形類似, 考慮 f()=sin, 因為 +k f 它是一個多對 1 的函數, 所以要處理正弦函數的反函數問題時, 要將定義域做適當的限制, 其它的 5 個三角函數也是用同樣的方法來處理 ~ 5 1~
( 乙 ) 反正弦函數 (1) 反正弦 sin 1 a 的定義 : 對於每一個實數 a [ 1,1], 在區間 [, ] 內, 都恰有一個實數, 使得 sin=a 這個唯一的實數, 就記為 sin 1 a( 有時也記為 arcsina), 讀做 arcsinea 例如 : 因為在 [, ] 內只有 6 使得 sin 6 = 1, 所以 sin 1 1 = 6 因為在 [, ] 內只有 4 使得 sin 4 =, 所以 sin 1 ( )= 4 注意 : (a)sin 5 6 = 1, 為什麼 sin 1 1 5 6 呢? (b)sin 1 4 有意義嗎? 為什麼? a 0 1 1 1 1 sin 1 a 結論 : sin 1 a=θ a [ 1,1],θ [, ] 且 sinθ = () 反正弦函數 : 1 =sin 1 由 =sin 的圖形可知定義域限制在 [, ] 內時,=sin 為一個 1 1 函數 (a) 定義反正弦函數 : 根據 sin 1 的定義, 可知我們限制 =sin 的定義域到 [, ], 此時 =sin 為 1 對 1 的函數, 因此可以定義反正弦函數 =f()=sin 1, 可知定義域 ={ 1 1}, 值域 ={ } (b) 反正弦函數的圖形 : 對於 a [, ], 點 (a,b) 在 =sin, 的圖形上 點 (b,a) 在 =sin 1 的圖形上 所以 =sin, [, ] 與 =sin 1 的圖形對稱於直線 = ~ 5 ~ = =sin 1 =sin
() 反正弦函數的性質 : 性質 1:=sin 1 圖形對稱原點, 為奇函數 sin 1 ( )= sin 1 (), 1 1 性質 : 若 1 1, 則 sin(sin 1 )= 性質 : 若, 則 sin 1 (sin)= 性質 4: 若 R, 則 sin 1 (sin), 例 sin 1 (sin 5 6 )=sin 1 ( 1 )= 6 5 6 [ 例題 1] 求下列各式的值 : (1) sin 1 (sin 5 ) () sin 1 sin 4 () sin 1 sin1 (4) sin 1 sin Ans:(1) 5 () ()1 (4) [ 例題 ] 求下列各式的值 : (1)sin sin 1 5 ()sin sin 1 ( 5 ) ()sin sin 1 1 (4)sin sin 1 Ans:(1) 5 () 5 ()1 (4) 無意義 ( 練習 1) 求下列各小題的值 : (1)sin 1 1=? ()sin 1 5 [ 利用三角函數值表 ] ()sin 1 =? (4)sin 1 (cos 5 6 )=?(5)sin(sin 1 )=? (6) sin 1 (sin10) (7) sin 1 sin 5 8 Ans:(1) () 約 0.41 弧度 () 無意義 (4) (5) (6) 10 (7) 8 ( 練習 ) 在 ABC 中, 若 BC=, CA=6, B=15, 求 A Ans: A=sin 1 1 ~ 5 ~
( 丙 ) 反餘弦函數 (1) 反餘弦 cos 1 a 的定義 : 對於每一個 a, 1 a 1, 在區間 { 0 } 上都恰有一個實數 使得 cos=a 這個唯一的實數, 就記為 cos 1 a( 有時也記做 arccosa), 讀做 arc cosinea 例如 : 因為 0,cos =1, 所以 cos 1 1 = 注意 : 因為 0 5 6,cos5 6 =, 所以 cos 1 ( )= 5 6 (1)cos 5 =1, 為何 cos 1 1 5 呢? ()cos 1 是否有意義? a 0 1 1 1 1 cos 1 a sin 1 a sin 1 a+cos 1 a 結論 : cos 1 a=θ a [ 1,1],θ [0,] 且 cosθ = () 反餘弦函數 : 1 1 =cos 由 =cos 的圖形可知定義域限制在 [0,] 內時,=cos 為一個 1 1 函數 (a) 定義反餘弦函數 : 根據 cos 1 的定義, 可知我們限制 =cos 的定義域到 [0,], 此時 =cos 為 1 對 1 的函數, 因此可以定義反餘弦函數 =f()=cos 1, 可知定義域 ={ 1 1}, 值域 ={ 0 } =cos 1 =0 (b) 反餘弦函數的圖形 : 對於 a [0,], 點 (a,b) 在 =cos 的圖形上 點 (b,a) 在 =cos 1 的圖形上 =cos ~ 5 4~
所以 =cos, [0,] 與 =cos 1 的圖形對稱於直線 = () 反餘弦函數的性質 : 性質 1:=cos 1 圖形無對稱原點, 不為奇函數 cos 1 ( ) cos 1 性質 : 若 1 1, 則 cos (cos 1 )= 性質 : 若 0, 則 cos 1 (cos)= 性質 4: 若 R, 則 cos 1 (cos) 例 :cos 1 (cos 4 )=cos 1 ( 1 )= 4 性質 5:sin 1 +cos 1 = 性質 6: 若 1 a 1, 則 cos 1 ( a)= cos 1 a 例 :cos( 1 )= = = cos 1 1 [ 例題 ] 求下列各式的值 : (1)cos 1 cos 5 7 ()cos 1 (cos ) ()cos 1 cos4 Ans:(1) 5 7 () () 4 [ 例題 4] (1)cos(cos 1 ( 1)) () cos(cos 1 ( )) ()cos[cos 1 ( )] Ans:(1) 1 () 無意義 () ~ 5 5~
( 練習 ) 求下列各小題的值 : (1)cos 1 ()cos 1 ()cos 1 (cos1000) Ans:(1) 6 () 無意義 ()0 ( 練習 4) 求下列各小題的值 : (1)cos 1 (cos) ()cos 1 ( ) ()cos 1 (cos 4 ) Ans:(1)0 () 無意義 () ( 練習 5) 求下列各小題的值 : (1)cos 1 (cos1) ()cos 1 (cos) ()cos 1 (cos) (4)cos 1 (cos4) (5)cos 1 (cos5) (6)cos 1 (cos6) Ans:(1)1()() (4) 4(5) 5 (6) 6 ( 練習 6) 設 0, 且 cos= 1, 請問 =? Ans:=cos 1 1 或 cos 1 1 ( 丁 ) 反正切函數 (1) 反正切 tan 1 a 的意義 : 對於每一個實數 a, 在區間 (, ) 內, 都恰有一個實數, 使得 tan=a 這個唯一的實數, 就記為 tan 1 a( 有時也記為 arctana), 讀做 arctangenta 例如 : 因為在 (, ) 內只有 4 使得 tan 4 =1, 所以 tan 1 1= 4 因為在 (, ) 內只有 使得 tan =, 所以 tan 1 ( )= 注意 :tan 5 6 = 1, 為什麼 tan 1 ( 1 ) 5 6 呢? 結論 : tan 1 a=θ a R,θ (, ) 且 tanθ = () 反正切函數 : 由 =tan 的圖形可知限制定義域在 (, ) 時,=tan 是 1 1 的函數 ~ 5 6~
(a) 定義反正切函數 根據 tan 1 的定義, 可知我們限制 =tan 的定義域到 (, ), 此時 =tan 為 1 對 1 的函數, 因此可以定義反正切函數 =f()=tan 1, 可知定義域 =R, 值域 ={ << } (b) 反正切函數的圖形 : 對於 b (, ), 點 (a,b) 在 =tan, 的圖形上 點 (b,a) 在 =tan 1 的圖形上 所以 =tan, (, ) 與 =tan 1 的圖形對稱於直線 = () 反正切函數的性質 : =tan = =tan 1 性質 1:=tan 1 圖形對稱原點, 為奇函數 tan 1 ( )= tan 1 性質 : 若 R, 則 tan tan 1 = 性質 : 若 <<, 則 tan 1 tan= 性質 4: 若 R, 則 tan 1 tan 例如 :tan 1 (tan 4 )=tan 1 ( 1)= 4 4 [ 例題 5] 求下列各小題的值 : (1)tan 1 ( 1) ()tan 1 (tan 7 1 ) ()tan 1 (tan ) (4)tan(tan 1 (100)) Ans:(1) 4 () 5 1 () 無意義 (4)100 ( 練習 7) 求下列各小題的值 : (1)tan 1 ( ) ()tan 1 (tan00) ()tan 1 (tan 4 ) (4)tan(tan 1 1) Ans:(1) ()0 () 4 (4)1 ~ 5 7~
[ 例題 6] 求下列各小題的值 : (1)sin[sin 1 1 10 +cos 1 ( 5 )] ()cos[1 tan 1 5 ] Ans:(1) 10 () 5 6 ( 練習 8) 試求 cos[tan 1 ( 4 1 )+sin 1 1 ]=? Ans:6 65 ( 練習 9) 試求 sin[ 1 cos 1 ( 0 )]=? Ans: 6 ~ 5 8~
綜合練習 (1) 求下列各式的值 : (a)sin(sin 1 4 ) (b)sin 1 (sin) (c)cos(cos 1 ) (d)cos 1 (cos) (e)tan(tan 1 ) (f)tan 1 (tan) () 下列有關反函數的敘述那些是正確的? (A)sin 1 sin 4 =4 (E)cos 1 (cos )= (B)tan 1 tan4=4 (C)cos[cos 1 ]= (D)sin(cos 1 1 )= () 有關 f ()=sin -1,-1 1 的敘述, 何者正確? (A) f () 為一對一函數 (B) f () 的反函數為正弦函數 - 1 (E) f () 的值域為 { - } (C) f () 為遞增函數 (D) f () 之定義域為 { 1} (4) 有關 f ()=cos -1,-1 1 的敘述, 何者正確? (A) f () 為一對一函數 (B) f () 的反函數為餘弦函數 - 1 (E) f () 的值域為 { - } (C) f () 為遞增函數 (D) f () 之定義域為 { 1} (5) 計算下列各小題 : (a)tan[sin 1 4 5 +cos 1 5 1 ] (b)cos[ sin 1 ( 4 5 )] (c)cos[ tan 1 ( 4 )] (d)sin[sin 1 4 5 +cos 1 5 1 ] (e)cos[sin 1 4 5 ] (6) 解下列方程式 : (a)cos 1 =sin 1 1 (b)cos 1 = sin 1 5 (c)cos 1 7 5 =tan 1 (+) (7) 化簡 tan -1 +tan -1 = (8) 比較 a=sin 1 sin1,b=cos 1 cos,c=tan 1 tan, 的大小 (9) 試比較 a=sin 1 ( 4 ),b=cos 1 5 6,c=tan 1 ( 1 ) 之大小 (10) 設 a,b 為方程式 +=0 的二根, 試求 tan(tan 1 a+tan 1 b) 之值 ~ 5 9~
(11) 解方程式 cos=,0 進階問題 (1) 解方程式 :cos+sin+1=0, 其中 0 (1) (a) 證明 : 1,sin 1 +cos 1 = (b) 解方程式 4cos 1 +sin 1 = 4 (1) (a) 4 (b) (c) 無意義 (d) (e) (f)0 綜合練習解答 () (D)(E) () (A)(C)(D)(E) (4) (A)(D) (5) (a) 56 (b) 7 5 (c) 117 15 (d) 56 65 (e) 1 50 (4 7) (6) (a) (b) 8 5 (c)1 7 [ 提示 :(a) 令 α=cos 1 = sin 1 1 cosα= 且 sinα= 1, 0 α = ] (7) 4 [ 提示 : 令 α= tan -1,β= tan -1,tanα=,tanβ=, 計算 tan(α+β)= tanα+tanβ 之值 ] 1 tanαtanβ (8) c<a<b[ 提示 :a=sin 1 sin1=1,b=cos 1 cos=,c=tan 1 tan= ] (9) b>c>a (10) [ 提示 : 令 tan 1 a=α,tan 1 b=β tanα=a,tanβ=b 所以 tan(α+β)= tanα+tanβ 1 tanαtanβ = a+b 1 ab = ] ~ 5 10~
(11) cos 1 或 cos 1 [ 提示 : =cos 1 是一個解, 且 < cos 1 <, 但是在 0 的範圍內, 還有其他的解, 如圖這個解為 cos 1 ] =cos 1 = cos 1 (1) 或 +sin 1 ( 4 ) 或 sin 1 ( 4 )[ 提示 : 原方程式 (1 sin )+sin+1=0 4sin sin =0 sin=1 或 4 因為 0 所以 = 或 +sin 1 ( 4 ) 或 sin 1 ( 4 )] (1) 6+ 4 [ 提示 :(a) 令 sin 1 =θ, 欲證明 cos 1 = θ cos( θ)=] ~ 5 11~