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j 在整个全频带内幅度频率响应 H ( 为常数, 相位频率响应 ( 为频率的线性函数 但是, 这样的理想滤波器不符合因果规律, 是不可实现的 实际滤波器的频率响应无论在通带还是阻带都与理想状态有一定的误差, 不可能恒定, 并且过渡带也不可能锐截止, 但只要控制在一定范围同样能满足实际处理要求 一般, 数字滤波器的设计从规定滤波器幅度频率响应 H ( j 的技术指标开始, 而这些技术指标与上面提到的误差有关, 如图 4. 所示 滤波器的 主要性能指标 ( 以低通滤波器为例 如下 : ( 频带 : 包括通带 过渡带 阻带 ( 误差 : 通带和阻带误差 H ( j p p 过渡带 通带 阻带 0 p 图 4. 逼近理想低通滤波器的误差容限 通带 : 在通带内, 幅度频率响应以误差 逼近, 即 p j p H ( p p 4-3 j0 若 H (, 设通带允许的最大衰减为 p p 0 log H ( H ( j0 j p 0 log H ( j p 0 log( p 4-4 所谓 3dB 截止频率, 即滤波器幅频响应在通带截止频率 处的下降为 3dB, 即 j p H ( 0.707 阻带 : 在阻带内, 幅度频率响应趋于零, 误差小于, 即 p p 3 db 或 j H ( 4-5 设阻带允许的最小衰减为, 其计算公式如下 :

j0 H ( j 0 lg 0 lg H ( 0 lg( 4-6 j H ( 过渡带 : 位于通带与阻带之间, 宽度为 数字滤波器频率响应主要由幅频响应表示, 在滤波器设计中还使用幅频响应平方函数 相位响应和群延迟响应 ( 幅频响应平方函数设计一个滤波器, 需要根据具体的指标用一个系统函数来逼近, 如果不需要考虑相位, 可以采用幅频响应平方函数来设计, 其定义为 ( 相位响应设滤波器的频率响应如下 : j p j * j H ( H ( H ( 4-7 H ( j H ( j j( j j R[ H ( ] j Im[ H ( ] 4-8 则其对应的相位响应为 Im[ H ( ( rtn R[ H ( j j ] ] 4-9 (3 群延迟响应群延迟响应定义为相位对角频率的导数的负值, 即 d j ( ( 4-0 d 4. 无限脉冲响应数字滤波器的结构 无限脉冲响应 (IIR 数字滤波器的结构是递归型, 表明系统的输出不仅与现在和以前的 输入有关, 而且还与以前的输出有关, 即系统的输入与输出之间存在反馈 系统的结构并不 是唯一的, 同一系统可以用不同的系统结构来实现 4.. 直接 Ⅰ 型 一个 阶 IIR 数字滤波器的系统函数 M b 0 H ( H ( H ( 4- 其中 H ( 是由 H ( 和 H ( 级联构成 M H ( b 4-0 3

H ( 4-3 由此看出, H ( 称为全零点滤波器, 实现了系统的零点, 是系统的传输网络 ; H ( 称为 全极点滤波器, 实现了系统的极点, 是系统的反馈网络 x(n b 0 b b b M y(n b M 图 4. IIR 滤波器直接 Ⅰ 型结构从图中可知, 直接 Ⅰ 型系统需要 +M 级延迟单元和 +M 个乘法器 由于线性系统的特 性, 其结构还可以将 H ( 和 H ( 互换, 系统的特性保持不变 4.. 直接 Ⅱ 型 直接 Ⅰ 型需要 +M 级延迟单元, 为节省延迟单元, 可以将传输网络与反馈网络的延迟单 元合并, 这样的结构称为直接 Ⅱ 型, 如图 4.3 x (n y(n b 0 b b b M b M 图 4.3 IIR 滤波器直接 Ⅱ 型结构设 M, 从图中可知直接 Ⅱ 型系统结构需要 级延迟单元 在这种结构中, 输入 x(n 先通过全极点滤波器, 再通过系统的全零点滤波器 直接型滤波器的频率响应对系数的变化较灵敏, 在具体实现中因为处理器有限字长等因素而容易出现极点的漂移, 造成系统的不稳定现象, 在数字滤波器有限字长效应的运算中, 误差是所有结构中最大的 4

4..3 级联型 将系统函数 H ( 的分子 分母作因式分解, 表示为 M b 0 H ( M K ( p ( M ( q ( d q d 4-4 其中 b 均为实数, 在分解的因式中, K 为常数, p 分别为实数零点和实数极点, ( q q 与 ( d d 为共轭成对的复数合并成的二阶多项式, 将实数零点 和实数极点看成二阶多项式的特例, 则系统函数 H ( 可以采用二阶子系统表示 级联型的结构示意图如下 j j H ( K K H ( 4-5 x (n H ( H ( H j ( y(n ( 级联型结构 x(n K j j y(n j j (b 二阶子系统表示 IIR 级联结构 图 4.4 IIR 滤波器的级联结构 设 M, 且式 (4-5 中 为偶数, 则 j, 即 H ( 可分解为个二阶多项式的乘 积 当 为奇数, 式 (4-5 表示为 j 0 H ( KH ( H ( 4-6 其中 j, H ( 分解为个二阶多项式和一个单阶多项式 H 0 ( 的乘积 从图 4.4 可以看到, 若 p q 均小于 j, 只要 p q, 子系统 ( 就不会影响到子系统 H q (, 说明在级联结构中后一级子系统的输出不会反馈到前一级子系统中 H p 5

4..4 并联型 将系统函数展开成部分分式之和, 表示为 M 0 H ( b K j 0 4-7 其中 K 为常数, 均为实数, ( 为共轭成对的复数合并成的二阶多项 式, 同样将实数零点和实数极点看成二阶多项式的特例, 则系统函数 H ( 可以采用二阶子系 统表示, 如下 : H ( K j 0 K j H ( 4-8 并联型的结构示意图如下 H ( x(n H ( y(n ( H j ( 并联型结构 0 x (n y(n 0 j j j j (b 二阶子系统表示 IIR 并联结构 图 4.5 IIR 滤波器的并联结构 设 M, 且式 (4-7 中 为偶数, 则 j, 即 H ( 可分解为常数 K 与个二阶 多项式之和 当 为奇数, 式 (4-8 表示为 6

j 0 H ( K H ( H ( 4-9 其中 j, H ( 分解为常数 K 一个单阶多项式 H 0 ( 与个二阶多项式的和 从图 4.5 可以看到, 子系统 H ( ( 其中 ~ j 之间为并行关系, 说明在并联结构中子系 统之间彼此独立 4..5 全通滤波器 全通滤波器也是一种 IIR 滤波器, 其特性是对于所有, 幅度频率响应是常数, 即 j H ( 4-0 * H ( 4- Z 全通滤波器系统函数的零点和极点关于单位圆 对称 对于(4- 式所示的一阶稳定全通 滤波器, 若 0, 系统的极点为, 则对应的零点为 * ; 对于稳定的二阶全通滤波器, 若 0, 系统的极点为一对共轭极点 与 * 共轭零点, 则对应的零点分别为 * 与, 也是一对 j Im[] j Im[] 0 * R[] 0 * * R[] ( 一阶全通滤波器的零点 极点分布 (b 二阶全通滤波器的零点 极点分布 图 4.6 全通滤波器的零点 极点的分布特性 全通滤波器与系统级联后, 不改变系统的幅度频率特性, 因此一般用于系统的相位校正 通过零点与极点相消, 使非稳定系统变成稳定系统 4.3 IIR 滤波器的特性 因为 IIR 模拟滤波器的设计方法已经很成熟, 所以, 无限脉冲响应 (IIR 数字滤波器的 设计一般基于模拟滤波器进行, 设计方法是利用已知的模拟滤波器系统函数, 通过一定的转 7

换得到 IIR 数字滤波器, 因此有必要掌握模拟滤波器的特性 常用的模拟滤波器有巴特沃兹 (Buttrworth 滤波器 切比雪夫 (Chbyhv 滤波器 椭圆 (Ellpt 滤波器等 4.3. 巴特沃兹滤波器 巴特沃兹滤波器的特点是幅度频率响应在通带内具有最大平坦的特性, 并且在通带和阻带内, 随着频率的增加而单调地下降 巴特沃兹滤波器的幅频响应平方函数如下 : H ( j 4- ( 其中, 为巴特沃兹滤波器的阶数, 是整数 ; 是通带有效截止频率 图 4.7 显示了不 同阶数 的巴特沃兹低通滤波器的幅频响应平方函数的特性 从图中看出, 当阶数 增加, 在通带内的幅度响应很平坦, 在阻带的衰减很大, 并且过渡带的带宽几乎为零, 接近理想低通滤波器的幅度响应曲线 所以阶数 的大小是影响幅度特性下降速度的主要因素 图 4.7 巴特沃兹低通滤波器的幅频响应平方函数 图 4.7 说明了巴特沃兹滤波器具有如下特性 : ( 对于所有的, H ( j ; 0 ( 对于所有的, H ( j, 即 H ( j 0. 707 ; (3 H ( j 是 的单调下降函数 ; (4 H ( j 随着阶次 的递增而更接近理想低通滤波器 阶数 的确定是由通带截止频率 阻带截止频率 通带最大衰减系数 和阻带 最小衰减系数 确定 当 p p 时, 此时幅频响应平方函数 H ( j p 4-3 p ( p 8

当 时, 此时幅频响应平方函数 设 0 处的幅度 H ( j0, 则 H ( j 4-4 ( 同理 由此可得 p p ( 0 0 4-5 ( 0 0 4-6 ( p 0 0 p 0 0 4-7 阶数 表示为 lg 0 0 p 0 0 / lg p 4-8 其中, 的值为整数 通常 取大于或等于式 (4-8 的整数 幅频响应平方函数还可以表示为 H ( j H ( j H *( j 4-9 用拉普拉斯变换表示为 H ( H ( 4-30 ( j 根据系统的稳定性特点, H ( 的极点全部在 的左半平面, 极点为 j (, 0,,, - 4-3 同样, H ( 极点为 j j j (, j,,, - 4-3 因此, 巴特沃兹滤波器的幅频响应平方函数有 个极点, 分别等角度地分布在 的圆上 归一化的三阶巴特沃兹低通滤波器如下 : 9

H ( 4-33 3 4.3. 切比雪夫滤波器 切比雪夫滤波器有两种类型 : 切比雪夫 Ⅰ 型滤波器, 其特点是在通带内有等波纹变化, 阻带内单调下降, 如图 4.8 所示 ; 切比雪夫 Ⅱ 型滤波器, 其特点是在通带内单调下降, 阻带 内有等波纹变化, 如图 4.9 所示 ( 4 阶 (b 3 阶 图 4.8 波纹系数为 0.5dB 的切比雪夫 Ⅰ 型低通滤波器的幅频响应平方函数 ( 4 阶 (b 5 阶 图 4.9 阻带衰减 0dB 的切比雪夫 Ⅱ 型低通滤波器的幅频响应平方函数 切比雪夫 Ⅰ 型滤波器的幅频响应平方函数为 H ( j 4-34 V ( 其中, 是小于 的正数, 是与通带波纹有关的参量, 值愈大, 通带的波纹愈大 ; 是通 带有效截止频率 ; V 是 阶切比雪夫多项式, 定义为 0

V o( ro ( x, ( x oh( roh ( x, x x 4-35 令 x /, 当 0 时, V ( x ; 当 时, ( x x ; 当 时, V 3 V ( x ( x ; 当 3 时, ( x 4( x 3( x ; ; 由此 阶切比雪夫多项式为 V V ( x x x V ( x V ( 4-36 从式 (4-35 得出, 当阶数 为偶数, 在 x 0 处, V ( 0, 则 H ( j0 ; 当阶 数 为奇数, 在 x 0 处, V ( 0 0, 则 H ( j0 图 4.8( (b 分别给出阶数 取偶 数和奇数的两种情况下滤波器的幅频响应特性 对切比雪夫 Ⅰ 滤波器的幅频响应平方函数 H ( j 来说, 当 x 时, H ( j 在 与 之间波动 ; 当 x 时, H ( j ; 当 x 时, H ( j 随 的增加而单调下 降, 迅速趋于零, 见图 4.8 在具有相同阶数 的情况下, 切比雪夫滤波器与巴特沃兹滤波 器相比, 具有较窄的过渡带, 如图 4.0 图 4.0 切比雪夫 Ⅰ 型滤波器与巴特沃兹滤波器过渡带的比较 4.3.3 椭圆滤波器 椭圆滤波器的特点是幅度频率响应在通带和阻带内均为等波纹的, 且与上述两种滤波器 相比, 过渡带的下降斜度更大 一般来说, 对于指定的滤波器指标 ( 阶数与波纹, 椭圆滤 波器能以最低的阶数实现 椭圆滤波器的幅频响应平方函数如下 : H ( j 4-37 U ( 其中, U (x 是 Jobn 椭圆函数, 实际设计中该函数需要查表计算 图 4. 分别显示

了 =4 和 =3 阶的椭圆滤波器, ( 4 阶 (b 3 阶 图 4. 通带波纹 0.3dB 阻带波纹 0dB 的椭圆低通滤波器幅频响应平方函数 4.4 模拟滤波器到数字滤波器的转换 模拟滤波器到数字滤波器的转换有很多的方法, 其中最重要的有两种 : 脉冲响应不变法 和双线性变换法 从模拟滤波器转换成一个可实现的数字滤波器, 必须满足以下条件 : ( 为了保持模拟滤波器的频率特性, 平面的 j 轴到 平面的单位圆的映射应该一一 对应 ; ( 为了保持模拟滤波器的因果稳定性, 左半平面的极点映射到 平面的单位圆内 由于模拟滤波器的设计方法已经很成熟, 而且许多模拟滤波器有现成简单的公式 图表 可以利用, 所以设计无限脉冲响应数字滤波器的方法是 : 根据所要求的数字滤波器的技术指 标, 先设计相应的模拟滤波器, 然后再将模拟滤波器经过一定的转换, 得到满足预定指标的 数字滤波器 4.4. 脉冲响应不变法 应 h (t 脉冲响应不变法就是使数字滤波器的单位脉冲响应 h (n 等于模拟滤波器的单位冲激响 的采样, 即 h( n h ( t h ( nt tnt 4-38 其中, T 为模数转换的采样周期 设模拟滤波器的系统函数如下 : H ( b M M b b 0 0 4-39 若 M, 即分子的阶数小于分母的阶数, 系统函数可以展开成部分分式, A H ( 4-40

对于因果稳定的模拟滤波器, 其单位冲激响应 对模拟滤波器的单位冲激响应 h (t h ( t A u( t 4-4 t 进行采样, 得 h( n h ( nt A u( nt A u( n 4-4 nt 两边求 变换得数字滤波器的系统函数 H ( 如下 : nt H ( A T 4-43 由此得出模拟滤波器的极点 映射为数字滤波器的极点 比较式(4-40 与式 (4-43, H ( 与 H ( 的关系 的部分分式中对应的系数是不变的 从采样定理可知, 采样信号 hˆ ( t 的频谱 Hˆ ( j 与原连续时间信号 h (t 的频谱 ( j T H Hˆ ( j T k H ( j jk 4-44 此式说明, 采样信号的频谱 Hˆ ( j 是原信号频谱 ( j 按周期 H 的延拓 从拉 T 普拉斯变换与 变换的关系已知, 模拟角频率 与数字角频率 的关系为 T, 平面的 k 每一条 ( k 为整数 的水平带状区域, 都重叠映射到 平面上, 因此, 平面到 平面是 T 一对多的映射对应关系 将 T 代入式 (4-4, 得到数字滤波器的频率响应 H ( 与模 拟滤波器的频率响应 H ( j 的关系 j H ( j T k H ( j jk T T T k k H ( j T 4-45 若原模拟信号 H ( j 的频带不是限于 之间, 则会在 的奇数倍附近产生频率混 T T 叠, 如图 4.(b, 从而映射到 Z 平面上, 在 的奇数倍附近产生混叠, 如图 4.( 这说明脉冲响应不变法设计得到的 IIR 数字滤波器的频率响应是模拟滤波器的频率响应的周 期延拓 ( 原始连续时间信号的频谱 (b 采样信号的频谱 3

( 脉冲响应不变法的频率混叠现象 图 4. 脉冲响应不变法对应频率响应的转换 如果不考虑频谱混叠现象, 脉冲响应不变法的优点是模拟频率到数字频率的转换是线性 的, 即 T, 用该方法设计的数字滤波器将很好的重现原型模拟滤波器的频率特性 ; 此 外, 数字滤波器单位脉冲响应的数学表示近似原型的模拟滤波器单位冲激响应, 因此时域特 性逼近好 但是缺点是会产生频谱混叠现象, 只适合带限滤波器, 如低通 带通滤波器的设 计, 不适合高通 带阻滤波器的设计, 因为混叠对高频段影响较大 在实际应用中, 需要对脉冲响应不变法作一点修正, 当, 由式 (4-45 得 H ( j T H ( j T 4-46 若采样周期 T 很小, 数字滤波器的频率响应会有太大的增益 因此为使数字滤波器的频 率响应的增益不随采样周期 T 而变化, 令 则 h n T h ( nt 4-47 ( 当, 有 H ( T A T 4-48 H ( j T H ( j 4-49 T 同样, 阶跃响应不变法设计 IIR 滤波器类似于脉冲响应不变法, 阶跃响应不变法仍然有 幅度频率响应的周期延拓现象, 要求模拟滤波器是带限的 具体推导这里就不再论述 例 4-: 若模拟滤波器的系统函数为 4 H ( 4-5 5 试用脉冲响应不变法求相应的数字滤波器的系统函数 ( 设采样周期为 T 将系统函数 H ( 用部分分式法展开 4 8 H ( ( 4-5 5 3 0.5 4

模拟滤波器的极点 0. 5, 因此, 相应数字滤波器的系统函数为 8 H ( ( 3 4-53 0.5T T 4.4. 双线性变换法 脉冲响应不变法, 由于是 平面到 平面多值映射的对应关系, 导致数字滤波器会发生 频谱混叠现象, 因此只适合带限滤波器的设计 为了克服多值映射的关系, 采用双线性变换 方法 首先将整个 平面压缩到 平面的一条带状区域 ; 再通过一定的变换将此带状区域映 射到 平面上, 这样就保证了 平面到 平面的单值映射关系, 可以消除频率混叠现象, 如 图 4.3 所示 j tn( T T j T j Im[] 0 0 0 R[] T ( 平面 (b 平面 ( 平面 双线性变换映射的步骤如下 : 图 4.3 平面到 平面的双线性变换映射 ( 将 平面的 j 轴 ( : ~ 映射到 平面的 j 轴 ( : ~ 上, 对应 T T 关系式为 根据欧拉公式, 式 (4-54 为 T n( T tn( 4-54 T o( 设 j, j, 则 jt j T jt j 4-55 jt jt j T T 4-56 T 5

( 平面的 j 轴 ( : ~ 带状区域映射到 平面的单位圆上, 对应关系式为 T T 即 T 4-57 T 将此式代入式 (4-56, 得到 平面到 平面的映射关系为 4-58 或 4-59 为使模拟滤波器的频率与数字滤波器的频率有对应关系, 一般引入待定系数, 使得 因此, 4-60 T tn( 4-6 待定系数 的选择, 通常采用在低频处, 平面与 平面近似有, 即 代入式 (4-6 得 T tn( T 4-6 4-63 T 因此, T tn( tn( T T 4-64 这样, 模拟滤波器与数字滤波器有了确切的对应关系 下面分析模拟滤波器与双线性变换后数字滤波器在幅度频率特性上的逼近情况 设采样周期 T, 由式 (4-64 可知, 双线性变换法中, 平面到 平面是单值映射, 二者的映射关系如图 4.4 图 4.4 双线性变换法中, 数字角频率 与模拟角频率 的映射关系 6

从图中看到, 在低频处, 与 的对应关系近似为线性的, 在高频处, 与 的对应关系存在严重的非线性 说明在双线性变换法中, 数字滤波器的低频特性近似模拟滤波器的低频特性 ; 而数字滤波器的高频特性有严重失真 下面通过实例说明双线性变换法的变换过程及在高频处产生的失真 设采样周期 T, 一个模拟微分器的转换过程如下 : 图 4.5 双线性变换将理想微分器转换到数字频域 由图中看到, 一个模拟微分滤波器的幅频特性 ( j H 与模拟频率 的关系是一条直 线, 若其中的模拟频率 3 按照线性关系变换得到的数字频率分别为,, 3 3 但是, 经过双线性变换后转换后的数字频率分别为 3 tn (, tn (, 3 tn ( 4-65 显然 与 是非线性关系, 因此得到的数字滤波器的幅频特性 H ( 与数字频率 的 关系也是非线性的, 尤其在高频的非线性是很严重的, 因此, 如果不做任何处理, 一个模拟 微分滤波器经双线性变换法后是不能转换为数字微分滤波器的 为了使设计的数字滤波器频率等于原来要求的 3, 需要先将数字频率 加以 预畸变, 如图 4.6, 即 tn 4-66 T j 7

得到模拟频率, 并利用 来设计对应的模拟滤波器 图 4.6 双线性变换的频率非线性预畸变图 4.6 显示了利用双线性变换法设计数字带通滤波器的频率变换 首先将数字带通滤波 器的截止频率 进行预畸变, 得到模拟频率, 利用 设计模拟带通滤波器 ( j, 再 用双线性变换法得到数字带通滤波器 H ( 下面比较脉冲响应不变法和双线性变换法设 计的数字低通滤波器频响特性差异 j H 例 4-: 试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法将下面的模拟低通滤波器转换为数字滤波 器 R V C V o 图 4.7 模拟低通滤波器 由图中所示的电路可得该滤波器的传输函数为 8

模拟低通滤波器的频率响应如下 : H RC ( 4-67 RC ( H ( RC j 4-68 ( RC 设采样周期为 T, 则采用脉冲响应不变法转换的数字滤波器的传输函数为 其系统的频率响应特性如下 : H( RC 4-69 T RC j H ( RC 4-70 T RC 用双线性变换法转换的数字滤波器的传输函数为 j H ( T RC RC 4-7 其系统的频率响应特性 H ( j T RC j j RC 4-7 设 00 RC, T 0. 0, 则两种设计方法得到的滤波器频响特性如图 4.8 ( 与脉冲响应不变法变换后的对比 (b 与双线性法变换后的对比 图 4.8 模拟低通滤波器频率特性与数字低通滤波器频率特性的对比 9

脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器, 其频率特性曲线在 处出现上扬, 并且随 着采样周期 T 的增加而愈加明显, 这一现象说明实际模拟低通滤波器的阻带衰减不为零, 在 模数转换过程中引起频率混叠 由图中计算可知, 当 0 时, H ( j, 经脉冲响应不变 j0 j 法转换到数字频域, H (. 6, 说明 H ( 的值是由 H ( H ( H ( j0 j0 j4 等 叠加而成的 若 T 增加, 频率混叠现象将更加严重 双线性变换法设计的数字低通滤波器, 其频率特性曲线在 处 H ( 0, 这种 与 非线性变换关系消除了频率混叠现象, 但是其频率特性曲线与原模拟低通滤波器频率特性 曲线相比, 有较大失真, 因此双线性变换法只适合分段常数滤波器的设计 ; 相比之下脉冲响 应不变法的频率特性曲线较接近原模拟低通滤波器频率特性曲线, 因为在脉冲响应不变法中 T, 与 是线性转换的 j 4.5 IIR 滤波器设计的频率变换方法 从模拟滤波器到数字滤波器的转换, 双线性变换法适合任意滤波器的设计 基于双线性变换法设计的数字滤波器, 可以有以下两种方法 ( 从模拟低通滤波器原型到各种数字滤波器首先设计一个截止频率归一化的模拟滤波器原型, 利用频率变换方法, 设计符合技术指标要求的低通 高通 带通和带阻数字滤波器 模拟归一化原型 模拟 模拟频带变换 模拟低通 高通 带 数字化 数字低通 高通 带 通 带阻 通 带阻 图 4.9 从模拟低通滤波器原型到各种数字滤波器 ( 从数字低通滤波器原型到各种数字滤波器 首先给定一个数字低通滤波器原型 H p (, 通过一定的变换关系, 设计得到所要求的各 种数字滤波器 数字低通滤波器 原型 H p ( 数字 数字频带变换 数字低通 高通 带通 带阻 图 4.0 从数字低通滤波器原型到各种数字滤波器 0

4.5. 模拟低通滤波器到各种数字滤波器的变换 模拟低通滤波器原型设计数字滤波器的具体步骤如下 ( 根据数字滤波器的性能指标, 确定各截止频率 ; ( 将 预畸变, 得到模拟滤波器的各对应截止频率 ; (3 根据得到的各截止频率, 设计一个归一化频率的模拟滤波器的原型 H ( ; (4 采用双线性变换的映射方法, 将模拟滤波器的原型 H ( 转换为对应的数字滤波器转 移函数 H ( 模拟低通 数字低通变换 频率 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃兹低通滤波器, 其 3dB 截止频率为 f 4kH f kh, 采样 首先确定数字截止频率 f / f 0. 5 将数字截止频率 进行预畸变, 得到模拟 滤波器截止频率 tn( T T 三阶归一化频率巴特沃兹模拟低通滤波器的传输函数如式 (4-33, 以 代替归一化频 率, 则三阶巴特沃兹模拟低通滤波器的传输函数为 H ( 4-73 3 ( ( ( 将 T 代入上式, 得 H ( 4-74 T T T 3 ( ( ( 将双线性变换的关系式 T 代入, 得到数字低通滤波器的传输函数如下 : ( H ( 4-75 3 3 ( ( ( 3 例 4-3: 用双线性变换法设计一个巴特沃兹数字低通滤波器, 通带和阻带都是频率的单调下 降函数, 而无起伏 ; 频率在 0.5 处的幅度衰减为 3.0dB ; 在 0.75 处的幅度衰减至少为 5 db ( 设 T, 对频率进行预畸处理 p 当通带截止频率 p 0. 5 时, p tn( T

当阻带截止频率 0. 75 时, tn( 4. 88 T ( 根据 p 的要求设计模拟低通滤波器 通带满足的条件 3.0dB 0 lg H ( j 0 p 阻带满足的条件 0 lg H ( j4.88 5dB 根据式 (4-8, 将 代入得到滤波器的阶数应该满足 所以选 p 0.30.5 lg[(0 /(0 ].94 4-75 lg( / 4.88 (3 由通带来确定模拟滤波器的归一化截止频率 查表得二阶巴特沃兹滤波器的系统函数为 (4 利用双线性变换实现数字低通滤波器 p 4-76 0.30 0. (0 p (0 4 H ( 4-77 ( ( 4 4 H ( H ( 4-78 4 ( ( 模拟低通 数字高通变换 模拟低通滤波器到模拟高通滤波器的转换, 是将 变量进行倒量变换 在双线性变换法 中将 用代替, 就可得到数字高通滤波器 即 T 4-79 由于倒量变换不影响模拟滤波器的稳定关系, 因此不会影响双线性变换后的稳定条件 将 j, j 代入式 (4-64, 得 因为截止频率没有负数, 因此 T tg( 4-80 T tg( 4-8 由此看出 j 轴仍然映射在单位圆上, 只是方向颠倒了, 即当 0 映射 ; 映 射 0 变换曲线如图 4., 通过这样的变换关系, 可以实现模拟低通滤波器到数字高通

滤波器的转换 图 4. 高通变换 3 模拟低通 数字带通变换 设数字带通滤波器的中心频率为 0 带通变换是将模拟低通滤波器的 0 映射到数字 0 频域的 0 上, 而将 映射到高低频端 0 和 上 同样将 的原点映射到, 将 j 点映射到, 满足这个要求的双线性变换为 j j 0 ( ( ( ( j0 o 0 4-8 当 j 时, j j j j 0 j j o0 ( o0 o o j j n 4-83 则模拟低通和数字带通滤波器频率之间的关系为 o0 o 4-84 n 其关系曲线如图 4. 图中可以看到 0 点映射在 0 上, 而 映射在 0 两端 因而满足带通变换的要求, 同时, 这一变换也满足稳定性要求 3

图 4. 带通变换 在设计数字带通滤波器时, 一般只给出上下边带的截止频率 作为设计要求, 因 此在应用以上变换时, 首先从上下边带参数换算到模拟频域的两个参数, 即 o 0 o n o 0 o n 4-85 由于 和 是一对镜像频率, 即, 将其代入式 (4-85 得 o 0 n( 4-86 n n 同时 也是模拟低通滤波器的截止频率, 所以 o0 o 4-87 n 有了式 (4-86 和式 (4-87 就可以实现模拟低通到数字带通的变换了 4 模拟低通 数字带阻变换和模拟滤波器的带阻变换一样, 将带通的频率关系倒置就可以得到带阻变换, 即 4

4-88 o 0 n 4-89 o o 0 其计算方法同带通是一致的 4.5. 数字低通滤波器到其它滤波器的变换 从数字低通滤波器原型到各种数字滤波器的频率变换, 也称为 平面变换法 若有一个 数字低通滤波器的原型 H p (, 通过一定的变换, 设计出各种不同的数字滤波器传输函数 H (, 这种变换方法是将 H p ( 的 平面映射到 H ( 的 平面, 是直接在数字频域上进行的 为区分变换前后的两个不同的 平面, 将变换前 H p ( 的 平面定义为 u 平面 由于在传输 函数中 u 都是以负幂形式出现的, 则 u 平面到 平面的映射关系为 这样一来, 数字滤波器的原型变换可以表达为 u G( 4-90 H 4-9 ( H p ( u u G( 变换的原则是 : 一个因果稳定的数字低通滤波器 H p (, 经变换后仍然为一个因果稳定的数 字滤波器 H ( 因此, 应该遵循以下几点 : ( 频率响应要满足一定的变换要求, 频率轴应该对应, 即 u 平面的单位圆必须映射到 平面的单位圆上 ; ( 因果稳定系统的要求, u 平面的单位圆内部必须映射到 平面的单位圆内部 ; (3 传输函数 ( u 是 u 的有理函数, G ( 也必须是 H p 设 u 平面的单位圆为 j 其中 ( 是 G( j, 平面的单位圆为 j j j j, 由式 (4-90 得 j( 的有理函数 G( G( 4-9 的相位函数, u 平面的单位圆必须映射到 平面的单位圆上可知 j G ( 4-93 说明 G ( 在单位圆上的幅度必须恒等于, 这样的函数是全通函数 全通函数可以表示为 G ( 4-94 其中 是 G ( 的极点, 可以为实数, 也可以是共扼复数, 但必须保证极点在单位圆内, 即, 才能保证变换的稳定性不改变 数字低通 数字低通 5

j 从数字低通 H ( 到数字低通 G ( 的变换中, 只有截止频率不同, 因而 从 0 变化 p j 到, 对应的 也是从 0 变化到, 全通函数的相位变化量为, 即变换函数为一阶全通 函数, 并且满足 G ( 和 G (, 因此 其中 为实数, 且 将 变换关系为 u j G ( 4-95 和 j 代入上式, 可以得到 u 平面映射到 平面的频率 从中得到 j j 4-96 j ( n rtn[ ] 4-97 ( o 与 的关系如图 4.3, 除 0 外, 在其它 情况下, 频率变换关系都是非线性关系 从图 中可以看到, 当 0 时, 此变换表示频率压缩, 当 0 时, 此变换表示频率扩张 但是对 于幅度响应为分段常数的滤波器, 变换后仍然可得类似的频率响应 图 4.3 数字低通 数字低通变换的频率非线性关系 设数字低通滤波器原型的截止频率为, 变换后对应数字低通滤波器的截止频率为, 代入式 (4-96 可得 这样就确定了整个变换函数 n( 4-98 n( 数字低通 数字高通数字低通滤波器变换到数字高通滤波器, 需要把 变换成, 即旋转变换, 将数字低通滤波器的原型的频率响应在单位圆上旋转 当 为实数时, 有 6

7 ( ( ( G 4-99 旋转变换后, j j, 式 (4-99 变为 j j j 4-00 由此得到参数 o( o( 4-0 如表 4. 所示 表 4. 由截止频率为 的数字低通滤波器变换成各种类型数字滤波器变换类型 ( G 变换参数低通 低通 n( n( 低通 高通 o( o( 低通 带通 k k k k k k k k o( o( ( tg tg k 低通 带阻 k k k k k k o( o( ( tg tg k 3 数字低通 数字带通若带通的中心频率为 0, 它应该对应于数字低通滤波器原型的通带中心, 即 0 点 当带通的频率由 0 时, 表示由通带走向阻带, 因此对应的 由 0 同样, 当带通频率由 0 0 时, 表示由通带走向另一边阻带, 对应的 由 0, 对应于低通原型的镜像部

分 这样当 由 0 时, 必须相应变化, 即全通函数的阶数为, 这样, * G ( * 4-0 代入式 (4-0, 参 将带通的上 下截止频率 与其对应的低通原型截止频率 数 就可以确定, 如表 4. 4 数字低通 数字带阻 由数字低通滤波器原型到带阻变换同样可以通过旋转变换来完成, 而且全通函数的阶数 仍然是, 具体的变换参数如表 4. 4.6 IIR 滤波器实现与系数量化效应 在具体 IIR 滤波器设计与应用中, 还需要考虑滤波器的实现方法以及实现过程中的有限 字长及系数量化效应 4.6. IIR 滤波器的实现 滤波器的实现主要有两种手段, 即硬件实现方法和软件实现方法 硬件实现依据 4. 节介绍的不同类型设计滤波器结构, 采用延迟单元和放大器完成 软件实现则依据滤波器的差分方程设计相应程序完成 滤波器软件既有直接在计算机系统中运行的, 也有在数字信号处理器 (DSP 等微处理器上运行的 例如, 设一个 IIR 滤波器的系统函数如下 : M b 0 H ( 4-03 则其相应的 C 程序软件如下 : vod r(doubl x[],doubl [],doubl b[],nt M,nt,doubl y,nt n { doubl y=0,yb=0; for(nt j=0;j<=m;j++ yb+=b[j]*x[n-j]; for(nt =;<=;++ y+=[]*y[n-]; y=y+yb; } 无论是硬件实现还是软件实现, 滤波器特性都会受到处理器有限字长和系数量化效应的影响而与理论设计值存在差异, 这些差异太大时会使滤波器变得不可应用 当然这里要指出, 8

目前大部分 DSP 等微处理器的字长都在 6 位以上, 并具有浮点处理功能, 因此有限字长和 量化效应的影响在应用中已经不象从前那样突出 4.6. 系数量化效应 当 IIR 滤波器实现时, 如果定点处理器的字长不足或滤波器系数不能精确表示, 则具体 实现的滤波器特性会发生变化 设一个稳定的 IIR 滤波器系统函数如下 : 其极点为 H ( 4-04.8 0.83 0.9945839053 0.874788609468 当 (4-04 式滤波器系数用有限 Q 比特位量化时, 这两个系数的量化值如下 : q q Q trunt(.8 0.5 Q Q trunt( 0.83 0.5 Q 4-05 由于系数发生变化, 因此滤波器的极点也会发生变化, 甚至漂移到单位圆之外, 使系统不稳定 表 4. 说明了各量化比特数下系数值和系统的稳定性, 从中可以看到, 当量化位在 0 比特以下时系数变化使得滤波器不能稳定, 也就是说实现这个滤波器, 从稳定性来讲量化位必须达到 0 比特 表 4. 系数量化效应 量化比特 q q 稳定性 8 -.85 0.85 非 9 -.85 0.85 非 0 -.8534375 0.83476565 是 -.807875 0.898885 是 -.807875 0.898885 是 即便滤波器能够稳定, 但量化导致的系数漂移仍然可能使滤波器频率响应出现变化 例如, 设一个窄带滤波器的系统函数如下 : H ( 4-06 0.7 0.965 9

假如用 4 比特量化, 则根据 (4-05 式计算得到 因此,4 比特量化系数实现的滤波器系统函数为 q 0.875 q 0. 9375 H q ( 4-07 0.875 0.9375 显然, 滤波器的极点也会由于系数的变化而发生变化 对于 (4-06 式的滤波器可以计算出 它的极点是 : p, p 0.085 j 0.957775 而 (4-07 式 4 比特量化系数后实现的滤波器, 它的极点是 p, p q q 0.09375 j 0.98709375 显然, 量化系数后实现的滤波器仍然稳定, 但是, 由于原来的极点靠近单位圆, 因此, 很少 的变化就导致滤波器的频率响应发生较大的变化, 系数量化后滤波器频率响应的峰值高度大 约为原来的 0.6, 如图 4.4 图 4.4 系数量化前后滤波器频响变化 4.7 IIR 滤波器应用 无限脉冲响应 (IIR 滤波器由于其本身自有的零 - 极点结构, 能以较低的阶数实现系统 另外, 实现 IIR 滤波器所用的存储单元少, 运算量少, 具有较高的性价比, 缺点是相位具有非线性 因此,IIR 滤波器一般应用在可以忽略相位线性要求的领域, 在自动控制 信号处理 医学以及航空等领域有着广泛的应用 4.7. 小循环阻抗容积信号处理 医学信号处理中, 小循环阻抗容积图是反映每一心动周期中肺静脉和肺动脉的血液容积 变化的综合波 但在数据获取过程中, 呼吸干扰会严重削弱小循环阻抗容积信号, 且引起信 号基线的漂移, 因此需要对它作滤波器处理 由于 IIR 滤波器的相位的非线性, 使得滤波后 30

小循环阻抗容积信号失真, 因此采用 IIR 零相移递归滤波器 G ( H ( H ( 设计方法是 采用椭圆高通滤波器, 经双线性变换得到数字高通滤波器 由于椭圆滤波器具有最佳的幅度响应, 对于同样的通带和阻带要求, 椭圆滤波器比切比雪夫和巴特沃斯滤波器所需要的阶数都低, 且在过渡带内的特性曲线有较好的陡度, 这些优点非常适合消除与小循环阻抗信号频谱接近的呼吸干扰 设计通带波纹参数为 0. 阻带波纹参数 40dB 通带边界频率 H 阻带边界频率 0.7H 的高通椭圆滤波器 对小循环阻抗信号进行滤波处理, 并对滤除前后的小循环阻抗信号进行频谱分析, 对屏气和自由呼吸状态下的处理进行比较 屏气状态下的处理情况如图 4.5 从图可知, 在屏气状态时, 呼吸干扰在屏气不严时, 产生低幅度的基线漂移, 经过 IIR 滤波消除后, 基线平稳, 与参照信号的时相关系正常 ( 屏气状态的时域信号 ( 滤波后屏气状态的时域信号 (b 屏气状态的频谱 (d 滤波后屏气状态的频谱 图 4.5 滤波前后屏气状态的信号比较 自由呼吸状态下的信号如图 4.6 在自由呼吸时, 较大的呼吸干扰被消除, 而且相位没 有失真, 保障了与参照信号心电和心音在时相关系上有严格的同步 3

( 自由呼吸状态的时域信号 ( 滤波后的自由呼吸状态时域信号 (b 自由呼吸状态的频谱 (d 滤波后自由呼吸状态的频谱 图 4.6 滤波前后自由呼吸状态的信号比较 该方法采用 IIR 滤波器, 不仅具有较陡的过渡带, 而且采用零相移方法, 避免了 IIR 滤 波器非线性相位带来的数据失真 4.7. DTMF 双音频信号的合成 IIR 滤波器的一个典型应用是作为双音频电话的双音频信号 (DTMF:Dul Ton Mult-Frquny 发生器 标准的双音频电话按键布局和对应的双音频率如图 4.7 例如, 按键 5 对应的频率分别为 770H 和 336H 实际设计中, 首先设计产生单一频率音频信号的滤波器, 当按键按下时产生一个脉冲信号激励该滤波器, 使其输出一个频率为 0 的单频信号 此时, 根据 Y ( H ( X ( H ( 可知, 滤波器的频率响应应该与单频正弦信号的频谱一致, 这样的滤波器系统函数为 : n( 0 H ( 4-08 o( 0 3

相应的差分方程如下 : y n o( y( n y( n n( x( n 4-09 ( 0 0 09 H 336 H 477 H 697 H 770 H 3 4 5 6 85 H 94 H 7 8 9 * 0 # 设采样频率 图 4.7 双音频电话键盘的频率分配 f 8kH, 输出频率 f 0 09H 的滤波器对应的角频率为 0. 305 根据 (4-08 和 (4-09 式, 相应的滤波器系统函数和差分方程如下 : 0, 0.83 H ( 4-0.64 y ( n.64y( n y( n 0.83x( n 4- 图 4.8 显示了该滤波器的幅频响应, 表现为频率 0 0. 305 处的一个脉冲, 与单频正 弦信号的频谱一致 图 4.8 单频信号 IIR 滤波器幅频响应 图 4.9 是 (4-0 和 (4- 式表示的滤波器系统的单位脉冲响应, 由此可知, 所设 计的滤波器能够满足实际应用需要 进一步设计输出频率为 并将两个滤波器并联起来, 则就可以实现按键 7 的双音频信号的输出 f 85H 的正弦信号滤波器, 33

图 4.9 单频信号 IIR 滤波器脉冲响应 习 题 4-. 对于系统函数 H ( 3 4 8 试用一阶系统的级联, 画出该系统可能实现的流图 4- 一线性时不变因果系统, 其系统函数为 H ( ( 5 3 ( 对应每种形式画出系统实现的信号流图 ( 直接 Ⅰ 型 ( 直接 Ⅱ 型 4 (3 用一阶和二阶直接 Ⅱ 型节的级联型 (4 用一阶和二阶直接 Ⅱ 型节的并联型 3 4-3 已知模拟滤波器的传输函数 H (, 试用脉冲响应不变法将 H ( 转换成 ( ( 3 数字传输函数 H ( ( 设采样周期 T 0. 5 34

4-4 若模拟滤波器的传输函数为 H (, 试用脉冲响应不变法将 H ( 转 b 换成数字传输函数 H ( ( 设采样周期 T 4-5 用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃兹数字低通滤波器, 采样频率 f. kh, 截止 频率为 f 400H 4-6 用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃兹数字高通滤波器, 采样频率 f 6kH 频率为 f. 5kH, 截止 4-7 用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃兹数字带通滤波器, 采样频率 f 70H, 上 下边带的截止频率分别为 f 60H f 300H 4-8 设计一个一阶数字低通滤波器, 3 db 截止频率为 0. 5, 将双线性变换应用于模拟 巴特沃兹滤波器 4-9 试用双线性变换法设计一低通数字滤波器, 并满足 : 通带和阻带都是频率的单调下降 函数, 而且无起伏 ; 频率在 0.5 处的衰减为 3.0dB ; 在 0.75 处的幅度衰减至少为 5 db 4-0 一个数字系统的采样频率 f 000H, 已知该系统受到频率为 00 H 的噪声干扰, 试 设计一个陷波滤波器去除该噪声, 要求 3 db 的带边频率为 95 H 和 05 H, 阻带衰减不小于 4 db 实验四 IIR 滤波器的设计 一 实验目的 ( 掌握双线性变换法及脉冲响应不变法设计 IIR 数字滤波器的具体设计方法及原理 熟悉双线性变换法及脉冲响应不变法设计低通 高通和带通 IIR 数字滤波器的计算机编程 ( 观察双线性变换法及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性, 了解双线性变换法及脉冲响应不变法的特点 (3 熟悉 Buttrworth 滤波器 Chbyhv 滤波器和椭圆滤波器的频率特性 35

二 实验内容 j IIR 滤波器是无限脉冲响应滤波器, 具有相位非线性的特点, 从 H ( H (, 主要有 两种设计方法, 即脉冲响应不变法 ( 对频带有限的滤波器可采用 和双线性变换法 ( 适用于 任意滤波器 使用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器的基本设计步骤是 : 首先确定相关的技术参数 ; 其次, 设计模拟滤波器 (Buttrworth 滤波器, 得到其传输函数 H ( ; 第三, 将模拟滤波器的 H (, 从 平面转换到 平面, 得到数字滤波器系统函数 H ( ; 最后通过对 H ( 的处理, 输出幅频特性等曲线图 设采样周期 T 50 ( f 4kH, 分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计一个 三阶巴特沃兹低通滤波器, 其 3dB 截止频率为 用双线性变换法设计 ( 采用 Buttrworth 滤波器 ( 模拟低通滤波器到数字低通滤波器 f kh 具体技术指标 : 通带和阻带都是频率的单调下降函数, 而无起伏 ; 频率在 0.5 处的幅度 衰减为 3.0dB ; 在 0.75 处的幅度衰减至少为 5 db ( 模拟低通滤波器到数字高通滤波器 具体技术指标 : 通带截止频率 ( 3dB 处 为 f 3kH, 阻带上限截止频率 f t kh, 通带衰减不大于 3 db, 阻带衰减不小于 4 db, 抽样频率 f 0kH 三 思考题. 脉冲响应不变法和双线性变换法在设计 IIR 滤波器方面各自优点是什么?. 模拟低通滤波器经脉冲响应不变法和双线性变换法转换后, 幅频特性如何变化? 四 实验要求 ( 简述实验目的和原理 ( 按实验内容顺序给出实验结果 (3 回答思考题 36