信号与系统 Signls n Sysms 第三章连续时间信号与系统的频域分析 Chpr 3 h rquny Domin Anlysis of Coninuous Signl n Sysm 控制系网络课程平台 :hp://www.s.zu.u.n/lss/signl_sysm/ 浙江大学控制科学与工程学系
本章主要内容 连续时间 LI 系统的特征函数 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3 非周期信号的表示 : 连续时间信号的傅里叶变换 4 周期信号的傅里叶变换 5 傅里叶变换的性质 6 连续时间 LI 系统的频域分析
非周期信号的表示 : 连续时间信号的傅里叶变换 非周期信号的 ourir 变换的导出 连续时间 ourir 变换的收敛 典型连续时间信号的 ourir 变换对 3
非周期信号的 ourir 变换的导出 周期信号 周期,ω 非周期信号 k k k k k k 在频率上无限靠近 k 的 ω 域由离散变为连续 傅里叶变换 k 3 ourir rnsform 方法 : ω ω 3ω 将非周期信号看成周期信号的 时的极限, 来研究 时的周期信号的傅里叶级数表示式的极限情况 ω 4
非周期信号的 ourir 变换的导出 ~ 周期延拓 - - - 有限长度非周期信号 由周期信号的 ourir 级数 : k k ~ k k k = if > k ~ k k k = for <, n = for, k 定义 k 的包络线 : k 周期信号, = < ~ ~ k k k k k k 5
非周期信号的 ourir 变换的导出 3 ~ k k k ~ k k k k lim ~ lim k k 非周期信号的 ourir 变换 : 的频谱 ; 不同频率复指数信 号组成成分的相对度量 的傅里叶变换 频谱密度 k k ω ω k k kω k+ω ω 复指数信号的线性组合 ; 复指数信号出现在连续频率上加权 幅度 为 ωω/π 绝对度量 6
记 : 非周期信号的 ourir 变换的导出 4 非周期信号幅度谱相位谱 { k } 与 ω 的区别 : * 对周期信号 : 复指数信号出现在成谐波关系的一组离散点 kω 上, 复指数信号的幅度为 { k } 绝对复幅度 --S * 对非周期信号 : 复指数信号出现在连续频率点 ω 上, 其绝对复幅度 周期信号 为 ωω/π, 相对复幅度为 ω -- k k k k k S: s k k k k k 幅度谱系数 θ k 相位谱系数 7
非周期信号的 ourir 变换的导出 5 S 与 的对比 k k k k 为谐波信号 k 的 绝对 幅度 S: 将周期信号 分解为一系列具有离散频率的谐波信号之和 为 的 相对 幅度 : 将非周期信号 分解为具有连续频率的纯虚指数信号 之和 N 3 称为周期信号 的有限项 S N k kn k W ˆ W 称为 的有限频宽的 I 8
非周期信号的 ourir 变换的导出小结 关于 与 I 的反变换 的总结 : : I: I 又称为信号 的频谱 是关于实频率变量 的复函数, 可以表示为 称为信号 的幅度谱 称为信号 的相位谱 9
连续时间傅里叶变换的收敛 与傅里叶级数收敛条件类似, 连续时间傅里叶变换收敛的条件为 : 收敛条件 : 若 能量有限, 则 与 在能量上无 差别, 但不能保证在时域上处处相等 ˆ 收敛条件 : 狄里赫利条件. 绝对可积. 在任何有限区间内, 只有有限个最大值和最小值 3. 在任何有限区间内, 只有有限个不连续点, 并且在每个不连续点上信号都必须是有限值
连续时间傅里叶变换的收敛 ourir 变换存在的定义 :?? 只要 ourir 变换积分的无穷大值可以用函数 如冲激函数 δ 表 示, 且代入 ourir 反变换式使积分收敛于原信号, 则认为这样的信号存 在 ourir 变换 周期信号不满足条件, 但可以表示为复指数信号的线性组合 周期信号 ourir 反变换存在 有限频宽来近似原信号 : 吉布斯现象 周期信号 ourir 变换存在 W ˆ W
典型连续时间信号的傅里叶变换对 单边指数信号 u 解 : u rg ω π/ φω / ω ω -π/ 实信号 幅度谱偶对称 相位谱奇对称 S: 时域信号 : 实 偶, k k 奇
典型连续时间信号的傅里叶变换对 双边指数信号 解 : 实 偶信号 实 偶函数 实偶信号 / ω / ω S: 时域信号 : 实 偶 频谱 : 实 偶 3
典型连续时间信号的傅里叶变换对 3 3 单位冲激信号 δ 解 : 讨论 求 对偶? 4
典型连续时间信号的傅里叶变换对 4 4 单位冲激偶信号 δ' 解 : 备注 : 上述过程说明, 不仅可以利用傅里叶变换式求 ω, 还可以 利用傅里叶反变换式求 ω P P 微分性质 5
典型连续时间信号的傅里叶变换对 5-5 矩形窗函数 ls sin sin 解 : - 实偶 os 实偶 sin 抽样函数 参见 P4 = sin sin 4 = - 时域扩展, 频域压缩 互反关系? 6
典型连续时间信号的傅里叶变换对 5-7 对偶?.4 S sin sin sin os sin os = 抽样函数的频谱 参见 P99 矩形波 Sin. sin ls ls sin 讨论 : 若已知 ls ω ω ω -ω 求 抽样函数 参见 P4 sin sin
典型连续时间信号的傅里叶变换对 6 8 6 符号函数 sgn - R,, u u - lim lim 时域信号 : 实 奇频谱 : 纯虚 奇 S:
典型连续时间信号的傅里叶变换对 7 7 阶跃函数 u 不满足绝对可积条件, 但 存在 u sgn 参见 P. 式 -34 sgn u 启发 : 利用典型信号的傅里叶变换对的组合, 可求出函数的傅里叶变换 需要有傅里叶变换的性质? sgn 9
典型连续时间信号的傅里叶变换对小结 小结 : u sin ls u ls sin 单边指数信号双边指数信号 冲激信号 δ 及 冲激偶函数 δ 抽样函数 S 矩形窗函数阶跃函数 u
问题需要答案 : 典型连续时间信号的傅里叶变换对小结 时域信号 : 实 k 偶对称, k 奇对称 时域信号 : 实 偶 时域信号 : 实 奇 频谱 : 实 偶 频谱 : 纯虚 奇 对偶性? 常数 δ. 函数 sin 矩形波 ls ls Sin. sin
输入函数 k LI 系统 输出 k k 本章主要内容 k 特征函数 s LI H s k 特征值或系统函数 传递函数 s 连续时间 LI 系统的特征函数 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3 非周期信号的表示 : 连续时间信号的傅里叶变换 4 周期信号的傅里叶变换 5 傅里叶变换的性质 6 连续时间 LI 系统的频域分析 k, k k 变换对 k k
周期信号的傅里叶变换 周期信号不满足 的收敛条件, 但可以用复指数信号表示, 所以周期信号的傅里叶变换存在, 用冲激串信号表示, 并使 反变换收敛 考虑 : 某一函数 即 : k k k k k ~ k k k k k k k k 频域为冲激函数的线性组合 周期信号的 公式 结论 : 一个傅里叶级数系数为 { k } 的周期信号的傅里叶变换可以看成是成谐波关系的频率上的一串冲激串, 且发生于第 k 次谐波频率 kω 上冲激函数的面积是 π k 3
周期信号的傅里叶变换 例 3-8P 求周期方波的 ourir 变换. 解 :ourir 级数系数 k k sin k, k -/ - / sin k sin k k k k k k k k k k 当 =4 时 k sin k k sin k k k k sin k k k sin ω π ω 4
周期信号的傅里叶变换 3 例 3-8P 周期方波的 ourir 变换. p 解 : 另一角度看周期信号的 矩形窗函数 ls sin sin -/ - / 周期延拓 k sin k k k sin k k ω 与 k 相比相差一比例因子 ---- 参见 3-4 - ω π 且样值信号变冲激信号 ---- 参见图 3-3 ω 5
周期信号的傅里叶变换 4 例 3-9P 正弦 余弦信号的频谱 解 : os 已知 : sin os sin π ω π ω π/ -ω ω =osω ω -ω π/ ω =sinω ω 时域信号 : 实 偶频谱 : 实 偶时域信号 : 实 奇频谱 : 纯虚 奇
周期信号的傅里叶变换 5 例 3- P3 周期冲激串的 ourir 变换解 : 先求 ourir 级数系数 k k k k k k k k k k k δ ω π/ - -π/ π/ ω 时域冲激时间间隔增大 / 减小 频域冲激之间的间隔减小 / 增大 即 : 时域和频域之间具有相反的关系 7
本章主要内容 连续时间 LI 系统的特征函数 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3 非周期信号的表示 : 连续时间信号的傅里叶变换 4 周期信号的傅里叶变换 5 傅里叶变换的性质 6 连续时间 LI 系统的频域分析
典型连续时间信号的傅里叶变换对小结 问题需要答案 : 时域信号 : 实 k 偶对称, k 奇对称 时域信号 : 实 偶 频谱 : 实 偶 时域信号 : 实 奇 频谱 : 纯虚 奇 对偶性? 常数 δ. 函数 sin 矩形波 ls ls Sin. sin 性质? 微分性质 积分性质 9
作用 :* 更加深刻地了解信号时域与频域之间的关系 线性 * 简化 ourir 变换与反变换的求取 傅里叶变换的性质 证明 : 变换对 所以, 是线性变换 该性质可推广至任意信号的线性组合 周期信号 ourir 级数 : A By A Bb s s s k y bk k k 3
傅里叶变换的性质 - 3 时移特性 证明 : 方法一 方法二 : 周期信号 ourir 级数 : k s k k s 该性质说明 : 信号在时间轴上的移位, 不改变它的傅里叶变换的幅度谱, 只引入了一个线性相位移 - 做变量替代 l :
傅里叶变换的性质 3 3 频移特性 证明 : 同理 : 实际应用 : os sin os os 乘以 同理 : sin, 相当 于频谱沿频率轴移位 -- 频谱搬移功能 3
傅里叶变换的共轭及对称性小结 若 为实信号, 即 = 若 : 若 : R[ ] Im[ ] R[ ] R[ ] Im[ ] Im[ ] 幅度谱偶对称相位谱奇对称 实部偶对称虚部奇对称 若 为实偶信号, 即 = 且 -= 实偶 = -= 实偶 3 若 为实奇信号, 即 = 且 -=- 实 = 虚 奇 -=- 奇 4 R{ } Im{ } o R{ } o Im{ 33 }
傅里叶变换的性质 5-5 微分与积分 微分 : n n 推广 积分 : 频域上分析微分方程表 示的系统例 3-P7 求 =u 的 ourir 变换 解 : 由积分产生的 u u 直流分量 应用微分性质可以得到 δ 的 ourir 变换 u u n δ 函数仅在 = 时有值 34
积分性质 傅里叶变换的性质 5- n n n 例 3-3 求下列图示信号 的 ourir 变换 解 : 首先对 求导数, 得 g G G sin os sin os - 求导 - sin sin os - - - - sin g G os g 35
例 3-5 P8 求符号函数 sgn 的 ourir 变换 解 : sgn u u O { u } 方法一 : u 由实信号的共轭对称性得 : 虚部由函数的奇部贡献 同样利用共轭对称性得 : 方法二 : sgn u 傅里叶变换的性质 5-5 - sgn u 利用线性性质得 : sgn O - { u } { u u } u u Ev{ u } u 36
傅里叶变换的性质 6-6 时间与频率的尺度变换 证明 : 说明 : 时域压缩 频域扩展时域扩展 频域压缩 或 : 37 不同域存在互反关系从定义出发, 做变量替代
傅里叶变换的性质 7- 说明 : 可以通过 的正变换值来求 的反变换 7 对偶性 回顾 若 为偶函数, 则 - ls sin sin sin =, A= sin W sin W.4 W W W W = W W sin ls W -W W 38
傅里叶变换的性质 7-7 对偶性 若 为偶函数, 则 例如 : 频域微分性质 : 对偶性 微分性质 证明 : 对偶性 尺度变换 =- 39
频域微分性质 : 傅里叶变换的性质 7-3 7 对偶性 频域积分特性 : 例 3-7 P 求 的 ourir 变换 解 : 已知 = 解 : 已知 对偶性质 例 3-8 P 求 ω 的 ourir 反变换 u u 频域微分 v uv vu, u u u 推广 u n n! u n 4
傅里叶变换的性质 7-4 重要对偶关系式 ls sin sin ls 熟悉常用信号的变换对, 利用对偶关系往往可简化 变换 4
傅里叶变换的性质 8-8 帕斯瓦尔定理 Prsvl s Rlion 能量守恒 信号在时域拥有的总能量 = 频谱在单位频率内能量 / 的总和 证明 : * * * * * * 对于周期信号 : k k k k k k 周期信号平均功率 = 各谐波频率分量平均功率之和 4
例 3-9 已知 ω 和 ω. 求 解 : E D E ω - -.5.5 ω - ω.5.5 / 4.5.5 傅里叶变换的性质 8- ω 5 8 43
傅里叶变换的性质 9-9 时域卷积性质 H h * H h 证明 : 书上从卷积的含义 系统的分析 出发证明的, 这里从 定义推导 * * H H h h h h 对于周期信号 : k k b h k k s b h 频域系统分析时域卷积频域相乘 44 时移性质
傅里叶变换的性质 9- 例 3- Wi sin W h sin y h? H Y -W i W i = -W W -W o W o W o =minw i, W - 注意到 : 在此应用时域卷积性 质会使问题的求解变得容易 y Wo sin 45
调制性质 频域卷积 对偶性质 对偶性质 * 4 4 * 一个信号被另一个信号相乘, 可以理解为用一个信号去调制另一个信号的振幅 调制性质 * 证明 : 可以直接用定义证明, 也可以用对偶性证明 时域反褶 频域反褶 傅里叶变换的性质 - 对偶性质 * 卷积性质 46
傅里叶变换的性质小结 - 线性性质 : 时移特性 : 3 频移特性 4 共轭性质 : 共轭对称性 : * * * * 推论 : 若 为实数, 则 R{ω} 是 ω 的偶函数, Im{ω} 是 ω 的奇函数 推论 : 若 为实且偶函数, 则频谱为实值偶函数推论 3: 若 为实且奇函数, 则频谱为纯虚且奇函数 推论 4: 若实函数 = + o R{ } o Im{ } 47
傅里叶变换的性质小结 - 5 微分与积分 6 时间与频率的尺度变换 7 对偶性 8 帕斯瓦尔定理 * h H 9 时域卷积性质 * 调制性质 频域卷积 时域反褶 频域反褶 48
傅里叶变换的性质小结 -3 重要对偶关系式 ls sin sin ls 熟悉常用信号的变换对, 利用对偶关系往往可简化 变换 49