2. Greeks http:// aronge.net aronge@xmu.edu.cn
2.1 2
1 Delta Theta Time Vega Volatility RhoRate Gamma1Delta -3-
期权代码 50ETF 现货期权市价 Delta Gamma Vega Theta 50ETF102.25 2.257 0.0204 0.5729 7.6232 0.0017-0.0008 Delta0.5729 50ETF0.001 0.0005729 Vega0.0017 1% 0.0017 Theta 0.0008 10.0008 Gamma7.6232 50ETF0.001Delta0.001 7.62320.5805 0.001Delta0.001 7.62320.5653-4-
( Se - q ( T - t ) Xe - r ( T - t ) ) Fe - r ( T - t ) Xe - r ( T - t ) - = - t t ( ) max, 0 max, 0 ( Xe - r ( T - t ) S e - q ( T - t ) ) Xe - r ( T - t ) Fe - r ( T - t ) - = - t t ( ) max, 0 max, 0 ( S Xe - rt ( - t ) ) Fe -( r - q )( T - t ) Xe - rt ( - t ) - = - t t ( ) max, 0 max, 0 5
in the money, ITM out of the money, OTM At the Money, ATM t ( r-q)( T-t) X = Se = F ( r q)( T t) S = Xe - - - rt ( t), S = Xe - - t X Se rt ( -t) Fe -qt ( -t) = = t moneyness t æk ö ln æk ö ln K K ækö ækö F F t t,, ln çè ø çè ø, ln, S F S, çè ø èçf ø T - t s t t t t t t 1 ( T t) 2 + s - 2 T - t -6-
moneyness ln ln 0 S = Xe - - - t X Se ( r-q)( T-t) = = F, = t X = Se = Fe moneyness t t ( r q)( T t) t ( t) rt S Xe - - ( - ) - ( - ) rt t qt t æx ö ln æx ö ln X X æxö æxö F F t t,, ln çè ø èç ø, ln, S F S, çè ø èçf ø T - t s t t t t t 1,, ( T t) 2 + s - 2 T - t -7-
= 8
9
0 10
A 9.05 A 10 8 1 1 10% rt t 10% 1 S Xe e rt t 10% 1 S Xe e max, 0 max 905. 10, 0 0 max, 0 max 905. 8, 0 1. 81 1 2 11
2 1 2 2 3.81 1 S T 10 1 01. S T e ST. 10 2 12 21 2 01. S. T e ST. 8 3 81 12 21 1 2 12
01. 8S T 10 1 2e 221. 2 01. ST 8381. e, 2.21 4.21 1 2 01. ST 8 1 2e 221. 2 01. 381. e 421. 1 2 13
A 1 2 1 2 3 X3 12 1 3 1 3 2 3 14
15
A B T A B max S, X S T T Xe rtt 16
max S, X S T T t A B r T t c Xe S c S Xe r T t cmax SXe rtt, 0 17
A I Xe I rt t c max SIXe rtt, 0 18
C D T max S, C D X T Xe rtt X 19
C T D C t D rt t ps Xe rtt p Xe S rtt pmax Xe S, 0 20
D Xe rtt I rtt p max Xe IS, 0 21
22
-23-
剩余期限 :0-1 年 波动率 :0%-80% -24-
-25-
PCP -26-
PCP PCP rt t c I Xe p S t t t t qt t c Xe p Se rtt t t t PCP rt t rt t c Xe p Fe t t t c t pt Ft X e rtt c Xe p Fe p Fe I rt t r q T t rt t t t t t t t 27
2.2 28
DELTA 29
DeltaΔ Delta1 Delta = Delta 斜率 = 30
ΔBSM Δ Δ = N(d 1 ) Δ Δ = -N(-d 1 )=N(d 1 )-1 q Δ Δ = e q(t t) N(d 1 ) q Δ Δ = -e q(t t) N(-d 1 )=e q(t t) (N(d 1 )-1) 31
DeltaI 0<Δ<1 1<Δ<0 实值看涨 实值看跌 虚值看涨 平价看涨. 平价看跌. 虚值看跌 32
DeltaII Delta DeltaDelta1 rt t c p ct Xe pt St 1 S S 33
Gamma Delta Delta Delta DeltaSGamma Delta 34
DeltaIII Delta ATMDelta >> 看涨期权 Delta 与期限的关系 看跌期权的 Delta 与期限的关系 1.20 1.00 0.00-0.20 0 2 4 6 Delta 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 0 2 4 6 期权期限 虚值期权平价期权实值期权 Delta -0.40-0.60-0.80-1.00-1.20 实值期权平价期权虚值期权期权期限 35
36
剩余期限 :0-1 年 波动率 :0%-80% 37
Charm/Delta decay/delta bleed Delta Delta1-1 Delta010 Delta DeltaCharm/Delta decay/delta é qt bleed ( t) N( d1) æ ù - - r q d ö ê ç - 2 ú ( ) ú call : -e - -qn d ê S çs T - t 2( T - t) ë è ø é -qt ( -t) N( d1) æ r q d ö - 2 put : -e - + qn d ê S çès T - t 2( T - t) ë ø 1 ( ) ú 1 ú û ù ú ú û 38
DeltaIV Delta Delta >> Delta 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 看涨期权 Delta 与波动率的关系 0% 50% 100% 150% 波动率 虚值期权平价期权实值期权 Delta 0.00-0.20-0.40-0.60-0.80-1.00-1.20 看跌期权价格 Delta 与波动率的关系 0% 50% 100% 150% 实值期权平价期权虚值期权波动率 39
Time decay 剩余期限 :0-1 年 波动率 :0%-80% 40
Vanna Delta 0Delta1-1 Delta0 DeltaVanna ( ) ( ) qt t -e - - N d s s 1 41
Delta// 42
Delta// 43
Delta 头寸 Delta 值 Examples 现货多头 1 现货空头 -1 5 单位现货空头 :5 (-1)=-5 期货多头 1 4 单位期货多头 :4 1=4 期货空头 -1 欧式看涨期权多头 ( 无红利 ) 欧式看涨期权空头 ( 无红利 ) 欧式看跌期权多头 ( 无红利 ) 欧式看跌期权空头 ( 无红利 ) 投资组合 0<Δ<1-1<Δ<0-1<Δ<0 wi 0<Δ<1 i 4 单位看涨多头, 每单位 Delta 为 0.5:4 0.5=2 2 单位看跌多头, 每单位 Delta 为 -0.5:2 (-0.5)=-1 5 (-1)+4 1+4 0.5+2 (-0.5)=0 44
Δ Δ 0 Δ Δ 0 Δ Δ Rebalancing 45
Delta OTC 100000 300 000 49 50 5% 20% 20 46
Δ S = 49; X = 50; r = 0:05; = 0:20; T-t = 0.3846 14.1 47
Delta 1 周次 股价 Delta 购买的股数 成本 ( 千元 ) 累计成本 ( 千元 ) 利息 ( 千元 ) 0 49.00 0.522 52,200 2,557.8 2,557.8 2.5 1 48.12 0.458 (6,400) (308.0) 2,252.3 2.2 2 47.37 0.400 (5,800) (274.7) 1,979.8 1.9..................... 19 55.87 1.000 1,000 55.9 5,258.2 5.1 20 57.25 1.000 0 0 5263.3 48
Delta 2 周次 股价 Delta 购买的股数 成本 ( 千元 ) 累计成本 ( 千元 ) 利息 ( 千元 ) 0 49.00 0.522 52,200 2,557.8 2,557.8 2.5 1 49.75 0.568 4,600 228.9 2,789.2 2.7 2 52.00 0.705 13,700 712.4 3,504.3 3.4..................... 19 46.63 0.007 (17,600) (820.7) 290.0 0.3 20 48.12 0.000 (700) (33.7) 256.6 49
价格过程 期权多头 复制组合 S 0 期权费 累计净成本 = 期权费 S 1 期权价格涨跌 与期权价格涨跌一致 S 2 期权价格涨跌 与期权价格涨跌一致 S 3 期权价格涨跌 与期权价格涨跌一致 S 4 期权价格涨跌 与期权价格涨跌一致.... 到期日 期权到期回报 与期权到期回报一致 50
Delta Δ Δ = e r(t t) e r(t t) F ( t) -rt- H = e H A 51
Delta GammaVega Delta Delta Δ Δ 52
GAMMA 55
Gamma ( Γ) Gamma1Delta Gamma = = Gammadelta Gamma C 1 C 0 C 2 S 2 S 0 S 1 56
Gamma 交易 0.6 0.5 1 0.5 1 0.55-0.5 +0.5 0.05 0.6 1 1 0.55-0.6 +0.6 +0.05 0.5 1 1 1 0.55 0.48-0.5 0.5 0.5 +0.05 +0.02 Delta straddle 57
BSM G = t -05. d 2 1 S s 2p( T - t) t t e Gamma St = Xe æ 3 ö 2 - r s ç + 2 t T-t çè ø ( ) 58
GammaI DeltaDelta 2 2 rt t c p ct Xe pt S 2 2 S S Gamma>0Gamma<0 C 1 C 1 C 0 C 0 C 2 C 2 S 2 S 0 S 1 S 2 S 0 S 1 59
GammaII Gamma Delta St = Xe æ 3 ö 2 ( ) - r s ç + T-t çè 2 ø 60
Speed Gamma Gamma Gamma GammaSpeed æ d ö 1 G 1 ç + çè s T - t ø S 61
GammaDelta GammaDelta Gamma>0 Gamma0 DeltaDelta Gamma<0Gamma0 DeltaDelta GammaDelta GammaDelta Pin risk Gamma 62
GammaIIIIV Gamma Gamma Gamma 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 期权 Gamma 与期限的关系 S<X S=X S>X 0 1 2 3 4 期权期限 63
Gamma and Maturity Gamma 64
Colour/Gamma decay/gamma bleed Gamma Gamma Gamma Gamma GammaColour/Gamma decay/gamma bleed ( ) æ r q d1 1 dd ö - - 1 2 G q + + èç s T - t 2( T - t) ø 65
Gamma and Volatility Gamma 66
Zomma Gamma Gamma Gamma Gamma GammaZomma ædd - 1ö 1 2 G ç çè s ø 67
Gamma// 最高点比平价点低 68
Gamma 头寸 Gamma 值 Examples 现货多头 0 5 单位现货多头 :5 0=0 现货空头 0 期货多头 0 期货空头 0 4 单位期货空头 :4 0=0 欧式看涨期权多头 ( 无红利 ) >0 欧式看涨期权空头 ( 无红利 ) <0 欧式看跌期权多头 ( 无红利 ) 欧式看跌期权空头 ( 无红利 ) 投资组合 >0 <0 wi i 4 单位看涨多头, 每单位 Gamma 为 0.12: 4 0.12=0.48 4 单位看跌空头, 每单位 Gamma 为 -0.12: 4 (-0.12)=-0.48 5 0+4 0+4 0.12+4 (-0.12)=0 69
Gamma Gamma Γ Γ Γ Δ Γ ΓΔ ΔΓ 70
THETA 71
Theta (Θ) Theta1 ThetaΘ= Θ (time decay) Θ 72
BSM -05. d Q=- S se t -rxe 2 2p( T - t) 2 1 -rt ( -t) N( d ) 2-05. d 2 1 S se t -rt ( -t) Q=- + rxe é1 N( d ) ù ê ë - 2 ú û 2 2p( T - t) 73
Theta Theta Theta deltatheta Gamma q 1 S 2 s G 2 2 t t t 74
Theta Theta Theta Theta 75
ThetaI Theta 1 2 2 q s S G r f SD t t t t t t Theta 2 76
ThetaII time decaytheta 77
ThetaIII Theta 78
Theta// 79
Theta// 80
VEGA 81
Vega Vega1 Vega = BSM n BSM S T Vega = -t e -05. d Long vega= Long vol/vega is cheap/vol is cheap 2p 2 1 82
VegaGammaTheta Vega condensed future gamma revenue VegaGamma 2-05. d1 e S T -t e t G =, Vega = t t S s 2p( T - t) 2p Vega =GS T -t t t 2 s t t t t ( ) -05. d 2 1 83
VegaI VegaVega rt t c p ct Xe pt St Vega>0Vega<0 84
VegaII Vega Vega St = Xe æ 2 ö s - r - T-t ç 2 çè ø ( ) 85
Vannadelta=0.15call 86
Vega III Vega VegaVeta 87
Vega// 88
VegaIV Vega Vega0 Vega 10%) VegaVolga/Vomma/Vega convexity/vega Gamma 89
Vega Vega VannaVega VolgaVega VetaVega 90
Vega 头寸 Vega 值 Examples 现货多头 0 5 单位现货多头 :5 0=0 现货空头 0 期货多头 0 期货空头 0 4 单位期货空头 :4 0=0 欧式看涨期权多头 ( 无红利 ) >0 欧式看涨期权空头 ( 无红利 ) <0 欧式看跌期权多头 ( 无红利 ) >0 欧式看跌期权空头 ( 无红利 ) <0 4 单位看涨多头, 每单位 Vega 为 0.12: 4 0.12=0.48 4 单位看跌空头, 每单位 Vega 为 -0.12: 4 (-0.12)=-0.48 投资组合 i wv i 5 0+4 0+4 0.12+4 (-0.12)=0 91
VegaDelta BSPeter Carr2005Henrard 2001 delta 1 ( ) ( ) ( ) T é f 2 rt ( t) 2 s f s ù h h u h 2 RV e - - ê - + -s S G ë úû ò du t Vega Gamma 92
Vega Vega Vega Vega Vega Vega VegaΔΓ Δ Γ Vega 93
RHO 94
Rho Rho1 Rho Rho = Rho 95
Rho Rho ( ) ( t) -rt- ( ) = XT-te Nd 2 Rho ( ) ( t) -rt - é ( ) 1ù 2 = XT-te ênd - ë úû Rho Rho ( T ) = -t F t 96
97
Delta Gamma Theta Vega 看涨多头 + + - + 看涨空头 - - + - 看跌多头 - + - + 看跌空头 + - + - 98
希腊字母 正 负 Delta 希望标的价格上涨 希望标的价格下跌 Gamma 希望股票价格大幅变动 希望股票价格小幅变动 Vega 希望隐含波动率上升 希望隐含波动率下降 Theta 时间流逝是有利的 时间流逝是不利的 Rho 希望利率上升 希望利率下降 99
希腊字母看涨期权看跌期权 Delta 1 Theta. 2 2. 2 2 Rho 1 Gamma Vega. 2. 2 100
ITM ATM OTM Gamma Theta ( 长期不一定仍是 ATM) ( 长期不一定仍是 ATM) Vega Rho 最大 短期 长期 Gamma 大 Theta 绝对值 大 Vega 大 Rho 大 101
ThetaGamma Vegagammatheta GammaDelta 2 f f 1 2 2 f rst s St rf 2 t t S 2 S 1 1 q s S G r f SD q s S G rf 2 2 2 2 2 2 t t t t t t t t t t GammaVega Gamma RVVega IV 102
II 1 DP» Delta D S + Gamma ( D S ) 2 + Theta D t + Vega D s + Rho Dr 2 t t t t t t t t t Delta GammaTheta S S Gamma Gamma 103
S σ T-t Delta Vega Theta Delta Gamma Vanna Charm Gamma Speed Zomma Colour Vega Vanna Volga Veta 104
Any Questions? 105
The End. 106