選擇權風險管理簡介 版權所有敬請尊重 簡介 近年來, 許多風險管理的焦點都與衍生性金融商品有關係 本講義之目的, 在於介紹衍生性商品的風險與基本的分析工具 在風險管理上, 一個最基本的問題就是投資組合或是金融衍生物在標的物或其他風險因子變動的時候, 它們的價值會受到甚麼影響, 這稱為敏感度分析 如果投資組合裏, 含有選擇權或其他衍生性商品, 則我們一定要借助模型的幫助, 才可以從事敏感度的分析與風險控管的工作, 無論你 ( 妳 ) 使用的模型是簡單或複雜 陽春或炫麗, 一個財務工程師離開不了模型 選擇權敏感度分析的參數通常用希臘字母來表示, 所以又稱為 Greeks 選擇權常用的敏感度分析參數有 5 項, 分別為 delta gamma vega theta 與 rho, 它們在選擇權的風險管理上是關鍵的角色, 我們簡述如下 : delta = 選擇權權利金相對於標的物價格變動之敏感度 gamma = delta 相對於標的物價格變動之敏感度 vega = 選擇權權利金相對於波動程度變動之敏感度 theta = 選擇權權利金相對於到期日變動之敏感度 rho = 選擇權權利金相對於對利率變動之敏感度 在數學上, 每一個敏感度的測度, 都是一階或二階的偏微分, 因此有幾點需要注意的地方 第一, 計算敏感度的測度須要模型, 並且這測度與使用的模型有關, 不同的模型所得到的值是會有差異的 第二, 敏感度的定義事實上是抽象的 它們都是假設其他的風險因子不變之下, 選擇權價格相對於某個風險因子微量改變的反應程度, 這與事實是不符的 例如 delta 是其他條件不變下, 選擇權價格相對於標的物價格變動的敏感度, 但是如果時間也不變, 股價當然也不會變, 因此這定義是抽象的 第三, 依偏微分的定義, 這些測量的工具只有在微量變動的時候才適用
以 Black-choles 模型為例, 歐式買權與賣權敏感度參數的封閉解是存在 的, 我們整理於下表 : F = 定義解釋歐式買權歐式賣權 F = F = F = F = r 選擇權價格相對於標的物價格變動之敏感度 選擇權 delta 相對於標的物價格變動之敏感度 選擇權價格相對於到期日變動之敏感度 選擇權價格相對於波動率變動之敏感度選擇權價格相對於無風險利率變動之敏感度 其中 F 表示買權或賣權,n(d ) = d = d / e N(d ) ln(/k) (r.5),d = d N(d ) n(d ) > n(d ) > n(d ) n(d ) rke r N(d )< + rke r N(d ) n(d )> n(d )> Ke r N(d ) Ke r N(d ) 如果標的物是發放連續股利率, 敏感度參數也一樣可以求得, 並且藉著對連續股 利率的不同解釋, 可以應用在股價指數選擇權 外匯選擇權與期貨選擇權 : 定義歐式買權歐式賣權 F e q N(d = ) e q [N(d )] q q F e n(d) e n(d ) = F = e q n(d ) rke r e q N(d ) n(d ) + rke r N(d ) + qn(d )e q + qn(d )e q F = e q n(d ) e q n(d ) F Ke r N(d = ) Ke r N(d ) r 其中 d = ln(/k) (r q.5),d = d 通常履約價格的變動的敏感度不在考慮之內, 因為契約的履約價格是固定的 但是在隱含波動率理論的研究上 C/K 或 P/K 是常用的工具
投資組合之敏感度參數 敏感度有一個很大的特色, 只要標的物是一樣, 則相同的測度可以相加總, 因此計算衍生性商品投資組合的敏感度其實非常方便 與個別的選擇權一樣, 投資組合的敏感度的分析, 是以整個投資組合為一個單位來解釋 假設 Greek i 表示第 i 個衍生物的某個敏感度測度,n i 是第 i 個衍生物持有的數量單位,V i 為單位價值, 投資組合內總共有 N 個衍生物, 價值 V = i n i V i 則投資組合的敏感度測度 Greek V 為以數量為權數的加權總合 : N Greek V = n i Greek i i 投資組合的敏感度參數為 : V ( 風險因子 ) N i n i V i ( 風險因子 ) N i n i Greek i 以上的公式可以用來計算投資組合的 delta, gamma, theta, vega, 與 rho 等 # 敏感度測度可以提供交易者做為採取不同策略的分析工具, 投資人可以依自己的意願, 在投資組合 ( 或選擇權 ) 的部位上採取量身訂作的 delta, theta, vega, 與 rho 以反應各人的喜好 決策 例如一階的敏感度測度為, 表示投資組合 ( 或選擇權 ) 對於該風險因子是中性的, 風險因子的變動只要不太大, 投資組合的價值是不變的 ( 對該因子免疫 ) 二階的敏感度測度, 最重要的是 gamma, 它是在採取避險策略時非常重要的工具, 我們以後將會仔細討論 例題 : 若保持投資組合總部位的 delta 為, 表示採取中性的部位 ; 保持 delta 為負表示看跌, 此時市場如果下跌, 投資組合的價值會上漲 ; 保持 delta 為正 表示看漲, 如果市場上揚, 投資組合的價值也會上漲 例題 : 假設投資人對未來股價的漲跌方向並不確定, 但是預期波動率會增加, 則 可以設計投資組合總部位的 delta 為, 對標的物採取中性的部位, 並且保持 vega 為正 只要波動率增加, 無論是漲或跌, 投資組合的價值都會增加 3
3 敏感度參數 Delta 定義 :delta 參數表示選擇權價格相對於現貨價格變動之敏感度 以 Black-choles 模型為例, 買權與賣權的 delta 分別為 : C C = = N(d ) P = C 買權的 delta, < C <, 因為 N(d ) 是累積常態分配, 介於 [,] 之間 ; 而賣權的 delta, < p < 關於敏感度參數 delta, 我們以幾個例子來 說明它的特色與性質 例題 : 銀行存款 股票 遠期契約與期貨的 delta 各為多少? 銀行存款不受股價的影響,delta 為 ; 股價漲 $, 股票本身也漲 $, 所以股票的 delta 總是為 ; 以 ( 無發放股利 ) 股票為標的之遠期契約與期貨, 我們已經討論過, 其 delta 分別為 與 e r*,* 為期貨到期日 # 例題 : 假設在 t 時股價為 $6, 買權價格為 $3.5; 過了一陣子, 在 t (t >t ) 時股價仍為 $6, 買權由於時間價值的遞減, 價格為 $3. 請問此時買權的 delta 為多少? 此時選擇權的 delta 為 C/, 這是它的定義 而 delta 與模型有關, 如果你 ( 妳 ) 使用 Black-choles 模型,delta 為 N(d ), 可以由當時市場上的資料 股價 到期日 波動率 利率等來求得, 如果你 ( 妳 ) 使用不同的模型, 則 delta 值也不盡相同 可能有人想以 ($3.$3.5)/($6$6) 來估計, 但是卻發現 行不通 事實上, 這種算法又叫做修正的 (modified)delta, 乃是以實際的選 擇權價格與股價的變動來估算 C/, 這也是模型, 但不是好模型, 應該少用 # 例題 : 為什麼 delta 又稱為相當的股數 (share equivalent)? 假設買權的 delta =.7, 這表示股票每上漲 元, 選擇權上漲約.7 元, 4
換句話說, 選擇權就好像是.7 股的股票一樣, 所以 delta 又稱為相當的股數 (shareequivalent) 對於賣選擇權的交易者, 他 ( 她 ) 所面臨的風險就好像是持有 delta 單位的股票, 因此有許多交易所以此做為賣出選擇權所須繳交的保證金 # 例題 :delta 是選擇權報酬函式上的斜率 這是根據 delta 的定義,C/ 而來, 並且這斜率是小於 請注意, 這斜率隨著股價 到期日 波動率 利率等變動也會變動 在其他條件一樣之下, 考慮 delta 隨股價的變化, 我們可以觀察到, 斜率變動的速率是不一樣的 ; 價平的時候, 選擇權的斜率變化速度最大, 越是往深價內或深價外移動, 斜率幾乎固定不變 # 報酬 函式 斜率 max[, K] 圖 : 報酬函式之斜率與 delta 例題 : 為什麼 delta 又稱為避險比率 (hedge ratio)? 假設買權 delta =.7, 並且是採取空頭的部位, 股價上漲 $, 大約將損失 $.7 換言之, 如果你 ( 妳 ) 想要規避賣買權因股價變動的風險, 可以買進.7 股的標的股票, 則這一漲一跌使得總部位對於股價微量的變動是免疫的 (immunized) 由於投資人在避險時必須買進 delta 單位的股數, 所以 delta 又稱為避險比率 (hedgeratio) 賣權的例子也是相似, 買賣權可以買進 delta 股的標的股票來規避價格變動的風險 ; 賣賣權可以賣空 delta 股的標的股票來避險 # 5
例題 : 價平 價內 與價外的選擇權隨著到期日的逼近,delta 各有甚麼樣的 變化? 我們可以將 delta 視為選擇權的生命指標, 並以此來解釋它隨股價 到期日改變的各種變化 深價內買權的 delta 趨近於 +, 這表示這支買權非常活絡, 標的物漲 $, 買權也約漲 $; 深價外買權的 delta 趨近於, 這表示擁有選擇權就如同一張廢紙一樣, 標的股價變動, 但衍生物卻不動 ; 價平買權 delta 約為.5, 這表示選擇權介於死與活之間 隨著到期日的接近, 價內選擇權的 delta 增加, 表示存活的機率增加, 但是價外選擇權的存活機率卻變小了, 因此 delta 也減少 我們可以檢視買權 delta 的 3D 圖來驗證 :.8 Call Delta.6.4..8.6.4. 4 6 8 圖 : 買權之 delta 6
Delta 中性避險 考慮一個賣出買權的部位 如果不採取任何避險措施則必須承受賣買權的風險 如果是作市者賣出買權, 可以在上市的衍生性商品採取相反的部位, 此時可以賺取價差 但是買權若是在 OC 市場交易, 通常是量身訂作的, 因此要採取相反的部位可能並不容易, 或者非常的昂貴 此時可以採取 delta 中性的避險策略 Delta 中性避險的目的是希望投資組合的部位能夠對標的物的漲跌免疫, 其原則是保持投資組合的 delta 為, 此時, 投資組合稱為 delta 中性 然而 delta 並非固定不變的, 它隨著股票 時間 波動率等改變而改變, 因此必須採取動態調整的策略 隨時保持買進的股票單位等於選擇權的 delta, 則這投資組合 ( 選擇權 + 股票 ) 的淨部位在瞬間都是無風險的, 理論上如果我們能連續調整股票的部位, 則將賺取無風險的利率做為報酬 例題 : 假設 = $, = 35%, r = 5% 考慮賣出 張歐式買權 ( 每張控制, 股 ) 的部位, 其 K = $95,C = $9.35, = 週 採用 delta 避險策略, 每週再調整其部位, 請分析其損益與避險的表現 到期日 股價 Delta Delta 之變化 股票交易 成本 累積成本..68 68 68 68 9 95.75.5739 -.8-8 -3639 5797 8 85.44.584 -.355-355 -6959 366 7 95.4.5476.89 89 7489 58593 6 89.97.3634 -.84-84 -6573 453 5 96.83.68.447 447 3699 657467 4 93.66.4766 -.34-34 -33 534996 3.53.7733.967 967 9867 833778.9.895.7 7 633 9553 5.59.9868.963 963 665 57796 4.8..3 3 59 73943 @ 579,7 = 68,e.5(/5) 3,639 採取 delta 中性避險的策略, 在到期日時的損益為 : 避險損益 = 選擇權權利金與利息收入 累積避險成本 + 履約之收入 關於避險的表現 (hedge performance), 在到期日時可以計算如下 : hp = 累積避險成本 履約收入 選擇權權利金與利息選擇權權利金與利息 7
選擇權權利金收入 賣出 張買權的權利金收入 :$9.35, = $93,5 此權利金收入可得 週的無風險利率 : $93,5 e.5(/5) = $94,43 累積避險成本 :$,73,943 履約之收入 在選擇權到期日, 公司所擁有的, 股將以每股 $95 的義務賣出 : $95, = $95, delta 避險的淨損益 :$94,43$,73,943+$95,=$9,539 73943 95 9443 避險的表現 : 9443 = 3.3%# 討論 以上 delta 動態避險的例子, 有幾點應該注意的地方 : 仔細觀察股票的買賣時機, 我們可以發現如果股價下跌,delta 值減少, 則賣出股票 ; 反之, 如果股價上漲,delta 值增加, 則買進股票, 換言之,delta 避險是一種買高賣低的策略, 這常常令人困惑 請注意, 這是避險措施, 股價漲, 賣買權有被履約的風險, 因此買進股票 ; 股價跌, 則買權是價外的機率增加, 因此無須保有股票在手 假若標的股票表現良好, 最終之 delta, 這時賣方剛好有股票在手可以交割 假若標的股票表現不佳, 最終之 delta, 賣方手上亦無股票 這樣的避險策略來自於衍生性金融商品理論的推導, 它比掩護的買權更科學 掩護的買權是在賣出買權時順便買進股票以備履約,delta 避險則不一樣, 股票漲, 被履約的機率增加, 所以買 一些 股票在手, 股價跌, 則賣掉 一些, 這些被調整的部位是小於一個單位的, 是經過設計的, 與掩護的買權在一開始就買進一單位的股票不一樣 事實上由買權賣權平價理論, 我們知道掩護的買權與陽春的賣賣權報酬函式是同一型態的, 因此並無避險的效果 此外還有一個避險的方法稱為停損策略 (stop-lossstrategy), 其操作如下 : 當標的股價要超越履約價格的時候, 則立刻買進 ; 當標的股價要低於履約價格的時候, 則立刻賣出 與前者相比, 此策略投機的成份更多 停損策略主要的盲點在於必須設立停損點, 而這是很主觀的 如果停損點很接近履約價格, 買賣的次數增多, 成本也增加 ; 如果停損點與履約價格有一段距離, 則買賣的現貨價格與履約價格之價差, 又是多出的成本 另一方面, 停損策略標的物的買賣是一個單位, 而 delta 避險的買賣僅僅是部分的標的, 如果標的股票在履約價格附近不斷盤旋, 成本也增加 8
避險實際的損益基本上取決於避險時期內股價之軌跡, 以及再調整的頻率等因素, 因此淨損益可能為正或負 delta 避險是衍生性金融商品連續時間理論下的基本應用, 理論上如果我們能夠連續的調整股票的部位, 並且市場還境也與模型的假設一樣, 最後的損益應該是, 但結果會有誤差, 有時是賺錢有時是賠錢, 避險效果無法達到百分之百 這主要的困難在於市場並非如同模型所描繪的一樣, 一點都沒有 斑點瑕疵, 例如 : 交易成本是再調整次數少的主要實際考量因素 ; 市場可能對賣空標的物有限制 ; 借貸並非無限制, 借貸的利率也是不一樣 ; 再調整是不連續的 ; 利率也非固定的, 利率增加持有標的物的成本也增加標的物價格如果有跳躍的情形, 則 delta 避險也較困難 因為 delta 的效用只在價格改變很小的時候才適用, 並且此跳躍的情形也非基本的模型所考慮到的 ; 參數的估算也是誤差的來源, 選擇權的敏感度參數的準確度與波動率的估算的準確性有關係, 因為這些參數通常是波動率的函式 波動率改變, 敏感度參數也改變, 避險的策略也受到影響 ; 即使採用更複雜的模型來避險, 通常須要估計的參數更多, 結果未必較理想 所以避險是一種藝術 例題 : 如果是採用期貨來避險, 應該如何來調整部位? 因為期貨的 delta = e (rq)*, 其中 * 為期貨的到期日 因此,e (rq)* 單位的期貨與 單位股票的敏感度是一樣的, 所以必須乘以 e (rq)* 來得到期貨的買賣單位 # 例題 : 在以上避險的例題中, 投資人賣出選擇權並進行 delta 中性避險 假設 投資人擁有股票, 為了讓股票規避價格波動的風險, 則應該如何進行? 投資人持有股票, 也可以利用 delta 中性的觀念來避險, 原則上還是一樣, 隨時保持整個投資組合的 delta 為 股票的 delta 是, 那麼投資人應該買進多少單位的選擇權呢? 假設投資人以買進 x 單位的賣權來避險, 則由 +x p =, 我們可以解 x = p, 並且隨時調整 x 來執行動態避險 如果 是投資組合, 則以上的步驟稱為投資組合保險 (portfolio insurance) # 9
4 敏感度參數 Gamma 定義 :Gamma 是標的物價格微量變動時, 選擇權 delta 的敏感度 以 Black-choles 模型為例, 買權與賣權的 gamma 如下 : C = = C P = = P n(d = ) 在其他條件相同之下, 買權的 gamma 與賣權的 gamma 是一樣的, 並且多頭部位的 gamma 總是正的 這表示標的物的價格增加, 買權與賣權的 delta( 報酬函式上的斜率 ) 也隨著增加, 標的物的價格減少, 買權與賣權的 delta( 報酬函式上的斜率 ) 也隨著減少 因為 gamma 是描繪 delta 的變化率,delta 與 gamma 的關係就好像選擇權價格變動的速度與加速度一般 gamma 也是選擇權報酬曲度 (curveture, convexity) 的一個測度 gamma 是正的表示選擇權報酬函式的曲度是正的 ( 或凸性,convexity);gamma 是負表示選擇權報酬函式的曲度是負的 ( 或凹性, concave);gamma 是 表示選擇權報酬函式沒有曲度, 完全是線性的 例題 : 銀行存款 股票 遠期契約與期貨的 gamma 各為多少? 銀行存款的 delta 恆為, 故 gamma 也是 ; 股票的 delta 為, 取偏微 / = ; 同理, 以股票為標的的遠期契約與期貨 gamma 都是 以上的金融資產, 其報酬函式都是線性的, 曲度為, 所以 gamma 都是 # 例題 : 選擇權的價格也可以當成是具有凸性特徵所付出的價值 多頭部位的選擇權 ( 買權或賣權 ) 報酬函式是凸性的, 空頭部位的選擇權 ( 買權或賣權 ) 報酬函式是凹性的 金融商品若具有凸性, 對投資人較有利, 這表示此商品價值增加的時候以加速度增加, 減少的時候以減速度減少 例如, 在多頭的市場, 買權的價格會隨著飆漲 ( 報酬函式上斜率漸增 ), 但在空頭市場, 買權的價格會下跌, 但是速度漸減 ( 報酬函式上斜率漸減 ); 反之, 金融商品若具有凹性, 對投資人較不利 陽春的買買權或買賣權部位,gamma 都是正的, 此時沒有所謂的 gamma 風險, 只有凸性的好處 由於凹性的部位是不好的, 因此必須有權利金
來補償, 選擇權的價格也可以當成是凸性價值 從這個角度來看, 買賣遠期契約 或期貨時的初始價值是, 主要是因為它們的報酬函式是線性的, 不具凸性特徵 # 例題 : 價平 價內 與價外的選擇權隨著到期日的逼近,gamma 各有甚麼樣的 變化? 隨到期日的接近, 價平選擇權的 gamma 增加 ; 深價內選擇權, 此時 delta, 選擇權越來越像股票, 所以 gamma 減少 ; 深價外選擇權, 此時 delta, 選擇權即將壽終正寢, 因此 gamma 也減少 例如, 在選擇權只剩一天到期時, 價平選擇權有非常高的 gamma, 因為此時的價平選擇權不是即將成為價內 () 就是價外 ( ), 因此 gamma 非常的大, 表示選擇權不確定性非常之大 ; 深價內選擇權, 如同股票一樣,gamma 幾乎為 ; 深價外的選擇權對價格已經不敏感, 所以 gamma 幾乎為 檢驗 gamma 的 3D 圖, 可以幫助我們理解以上的敘述 :..5 Gamma..5.5 3 4 5 6 7 8 9 圖 : 買權與賣權之 gamma
例題 :gamma 是 delta 避險困難度的指標 gamma 很小表示 delta 值很穩定, 因此避險的動作不用太頻繁 ;gamma 很大表示 delta 變化很大, 必須隨時調整標的資產的部位,delta 避險較為困難 因此, 市場的波動如果很大, 財務工程師應該將焦點放在 gamma 上, 這是第一所要考慮的風險 # 例題 : 我們也可以將敏感度的分析應用在選擇權投資組合的策略上 以多頭價差 (Bull pread) 的策略為例, 它的組成是 :C(K ) C(K ), 其中 K < K 由於買權的 delta 與 gamma 都是正的, 這一買一賣的策略可以減少投資組合的 delta 與 gamma 因此價差的交易策略, 風險相對也很小 下圖為多頭價差策略的 delta 與 gamma3d 圖 : Bull pread Delta Bull pread Gamma.8.7.6.5.4.3....5..5 -.5 -. -.5.5 5.5 5 圖 : 多頭價差之 delta 與 gamma 例題 : 跨式策略 (straddle strategy) 由相同履約價格的買權與賣權組成 : C(K) + P(K) 由於買權與賣權的 gamma 都是正的, 此策略可以用來增加 gamma 投資組合的部位如果 gamma 是正的, 其報酬函式呈凸性 gamma 越大, 報酬函式越凸 此時, 無論標的物是大漲或是大跌, 投資組合的價值都是增加的 但是如果標的物在原地附近逗留, 將有損失 我們可以觀察比較跨式策略與陽春買權的 delta 與 gamma:
Call Delta traddle Delta.8.5.6.4. -.5 -.5 5.5 5 圖 : 買權與跨式策略之 delta 比較 Call Gamma traddle Gamma..4.35.5.3.5...5.5..5.5 5.5 5 圖 : 買權與跨式策略之 gamma 比較 3
5 敏感度參數 heta 定義 :theta 參數表示選擇權價格相對於到期日流逝之敏感度 以 Black-choles 模型為例, 買權與賣權的 theta 分別為 : C n(d C = = ) P n(d P = = ) rke r N(d ) + rke r N(d ) 選擇權的 theta 通常是定義為負的, 因為隨著時間的流逝, 選擇權的時間價值通常也減少 多頭部位的選擇權, 無論是買權還是賣權,gamma 是正的, 但 theta 通常是負的 ;gamma 是正的時候, 對投資人是有好處的, 因此這種現象又稱為 theta pays for gamma 例題 :theta = 3.5, 此表示如果. 年 ( 或.5 交易日 ) 流逝掉, 選 擇權的價值將下跌.3.5 =.35 例題 : 價平 價內 與價外的選擇權隨著到期日的逼近,theta 各有甚麼樣的 變化? 對於價平選擇權, 其權利金價值全部為時間價值 ( 即內含價值 = ), 因此受到時間流逝的影響最大,theta 也最大 選擇權權愈偏向價內或價外, 其 theta 愈小, 因此時我們比較確定該權證是否將被履約 因此,theta 與接近價平的選擇權較有關聯 就到期日長的選擇權而言, 日子過一天, 時間價值的流失相對也較小, 因此在選擇權剛發行上市時, 時間的流逝效應並不大 但是就到期日短的選擇權, 時間的流逝佔時間價值的百分比相對也大, 因此,theta 與短期的選擇權較有關聯 以上的敘述可以很容易的從 theta 的 3D 圖觀察出來 : 4
- Call heta - -3-4 Put heta - - -3-4 -5-5.5 5.5 5 圖 : 買權與賣權之 theta 例題 :theta 值有可能是正的嗎? 正的 theta 值有什麼含義? 多頭部位的選擇權 theta 通常都是負的 但是, 深價內的賣權其 theta 有可能是正的 ; 這可以由於深價內的賣權具有負的時間價值來分析, 這表示隨時間的流逝, 負的時間價值也趨近於, 因此 theta 為正 # 例題 : 為什麼 theta 風險常常被忽略掉? 選擇權因時間流逝的價值變化, 在避險上通常被忽略 這有兩個主要的原因 : 第一, 到期日總是嚴格遞減, 時間是一直流逝的, 我們無法贖回光陰, 它並非一個隨機變數, 第二, 一般而言, 相同部位的 gamma 與 theta 正負符號是相反的, 並且大小也相當 譬如說,theta 是最低點的時候,gamma 正是處於最高點的時機 ( 請參考 gamma 與 theta 之 3D 圖 ) 因此對 gamma 風險的控管, 即是同時對 theta 風險的控管 # 5
6 敏感度參數 Vega 定義 :Vega 參數表示選擇權價格相對於波動率微量變動之敏感度 以 Black-choles 模型為例, 在其他條件相同下, 買權與賣權的 vega 是一樣的 : = C = P = n(d ) 買買權或買賣權的 vega 都是正的, 因為波動率增加, 買權與賣權的價值都增加 vega 是衡量波動率改變, 選擇權價格的敏感度 由於 Black-choles 模型是假設固定的波動率,vega 的觀念與 Black-choles 模型的假設是自相矛盾的, 但另一方面, 如果能夠規避 vega 風險, 這表示選擇權的價格對於波動率參數估算的準確性在微量的變動範圍內是免疫的 如果我們能夠控制 vega 風險, 則避險的誤差將減少 例題 : 銀行存款 股票 遠期契約與期貨的 vega 各為多少? 銀行存款不受股價波動率的影響,vega 為 ; 波動率上升, 報酬漲跌幅都變大, 由於波動率對股價未來的影響是對稱的, 因此股票的 vega 為 ; 同理, 遠期契約與期貨的 vega 都是 與 gamma 一樣,vega 只與具有非線性報酬函式的衍生性商品有關 # 例題 : 價平 價內 與價外的選擇權隨著到期日的逼近,vega 各有甚麼樣的變 化? 價平的選擇權的 vega 為最大, 越往價內, 則選擇權越像股票,vega 也變小 ; 越往價外, 則選擇權幾乎是死掉的, 波動率的改變也救不太起來, 所以 vega 越往價外越小 從到期日這一面來觀察, 到期日越近,vega 也越小, 表示波動率的影響越小 ; 反之, 到期日越遠,vega 越大 波動性與時間的關聯性高, 波動描述資產報酬的不確定, 要波動率產生影響, 市場必需有時間來產生波動 以上的敘述, 我們可以由 vega 的 3D 圖觀察得知 : Kamal (998) 指出避險實際損益的誤差分配與 vega 有關, p&l = (/N), 其中 N 是避險的 次數 6
8 6 4 Vega 8 6 4.8.6.4. 4 6 8 圖 : 買權與賣權之 vega 例題 :vega 與 gamma 之間有甚麼樣的關係? gamma 與 vega 相關程度很大, 我們以 Black-choles 模型之下的歐式的選 n(d ) 擇權為例,gamma=,vega= n(d ); 所以 vega=gamma 以股票為例, 股票的 gamma 是, 所以 vega 也是 在 與 固定下,gamma 大的部位, 其 vega 也大, 因此相對於波動率改變的敏感度也較大 事實上, 衍生性金融商品的部門, 通常比較不關心標的物的漲跌方向, 而是 gamma 與 vega 風險 # 例題 : 買波動率 (long volatility) 與賣波動率 (short volatility) 是甚 麼意思? 買波動率與賣波動率是以 vega 為準則的交易策略 如果對未來波動率看漲, 可 以構建 vega 為正的投資組合, 反之, 則持有負 vega 的投資組合 # 7
7 敏感度參數 Rho 定義 :rho 參數表示選擇權價格相對於無風險利率變動之敏感度 以 Black-choles 模型為例, 買權與賣權的 rho 分別為 : C = P = C = Ke r N(d ) r P = Ke r N(d ) r 買權的 rho 大於, 因為利率增加, 買權的價值也增加 ; 賣權的 rho 則小於 外匯選擇權, 因為模型裏有本國與外國的無風險利率, 所以會有兩個 rhos 通常選擇權到期日小於 年的情況下, 無風險利率是固定的假設是可以接受的, 這時候利率的風險通常是可以忽略的 例題 : 假設 rho = 8.878, 這表示無風險利率上揚 %, 選擇權的價值約上漲.8.878 = $.8878 例題 : 我們可以檢視 rho 的 3D 圖 : 5 4-3 - Call Rho Put Rho -3-4 -5.5 5.5 5 圖 : 買權與賣權之 rho 8
8 投資組合避險策略 考慮一個以相同標的股票選擇權所組成的投資組合, 價值為 V, 且 V 是 4 個 參數的函式 :V = V(,t,,r), 則投資組合價值 V 的變量 V 可以應用泰勒展 開式來表示 3 : V = V V + () V V V + + t + r + t r 根據敏感度的定義, 上式可以改寫為以 delta gamma vega theta 與 rho 4 來表示的公式 : V = + () + t + r + 因此投資組合價格的風險, 可以拆解為 delta 風險 gamma 風險 vega 風險 theta 風險與 rho 風險 財務工程師可以根據需要, 買賣適當的標的資產與選擇權來規避不同的風險 原則上, 每一種風險, 你 ( 妳 ) 須要一種金融商品來避險, 但是並非每一種商品都可以用來規避所有的風險, 例如股票就不能用來規避 gamma 與 vega 風險 如果有多種的金融商品存在, 則避險工具的選擇也並非唯一, 此時可以應用最優化 (optimization) 的方法, 來選擇避險的金融商品 delta-gamma 中性 在市場巨幅變動的時刻, 通常採取 delta 中性的部位是不夠的, 標的物漲跌幅大,gamma 又是負的時候,() 項是不能忽略的, 此時大幅的漲跌都會導致投資組合的損失 因此財務工程師可以設計 delta-gamma 中性的策略 要保持 delta 中性, 調整標的物的部位即可 ; 但是, 要同時保持 delta 與 gamma 中性, 比較不容易, 因為必須同時交易同一標的物的其他非線性的衍生物, 而這些商品可能不存在 vega- 中性 保持投資組合的 vega 為, 可以規避波動率變化的風險 由於 vega 是選 3 () 被保留主要是因為 是隨機項 4 theta 的定義是 :V/t, 公式中有一負號 9
擇權特有的風險測度, 我們只能靠買賣相同標的物的不同選擇權來避險 delta-gamma-vega 中性 事實上, 衍生性金融商品的部門, 通常調整標的物的部位來採取 delta 中性的避險策略, 因此比較不關心標的物的漲跌方向, 而是 gamma 與 vega 風險 但是, 要保持 gamma 中性與 vega 中性, 比較不容易, 因為股票的 gamma 與 vega 都是, 所以只能交易同一標的物不同的非線性衍生物, 然而這些商品可能不存在 vega-gamma 中性 要使 vega-gamma 中性, 我們無法藉由買賣標的物來進行, 因為 vega 與 gamma 是非線性衍生物的特徵, 必須買賣兩種 ( 以上 ) 的選擇權 例題 : 考慮一衍生性商品的投資組合部位, 假設市場上存在同一標的物的兩支選 擇權, 它們的敏感度參數如下表 : delta gamma vega 投資組合 V V V 第一支選擇權 第二支選擇權 請問要保持投資組合分別為 delta 中性 gamma 中性 delta-gamma 中性 vega 中性 vega-gamma 中性與 delta-gamma-vega 中性, 則在標的股 兩 支選擇權上的部位各為多少? 若採取 delta 中性, 只要買賣標的物即可, 我們可以解 n ( 標的物單位 ): V + n = 若採取 gamma 中性, 必須買賣選擇權, 以第一支為例, 我們可以解 n ( 單位 ): V + n = 若採取 delta-gamma 中性, 可以買賣標的物與選擇權, 例如 : V + n + n =
V + n = 同學也可以嘗試其它的組合, 例如買賣兩支選擇權 若採取 vega 中性, 我們可以解 n : V + n = 若採取 vega-gamma 中性, 此時至少要有兩支選擇權, 我們可以解 n 與 n : V + n + n = V + n + n = 若採取 delta-gamma-vega 中性, 則標的物也要加進來, 我們必須解 n n 與 n : V + n + n + n = V + n + n = V + n + n = # 例題 : 假設投資組合部位與選擇權的敏感度參數如下表 : delta gamma vega 投資組合 5 45, 77, 第一支選擇權.4.55.8 第二支選擇權.56.63.77 若要採取 delta-gamma-vega 中性的策略, 則在原有的投資組合部位, 必須增 加 ( 減少 ) 標的物與選擇權各多少單位? 解以下的聯立方程式 : 5 +.4n +.56n + n = 45, +.55n +.63n = 77, +.8n +.77n = n = 8669 n = 344 n =-5488
9 結論 選擇權敏感度參數測量風險因子微量變動時, 選擇權價格的變化量 在選擇權的敏感度參數中,delta gamma 與 vega 是最重要的參數 投資組合如果要規避價格波動的風險, 可以保持 delta 中性, 但這只適用於價格的波動很小的時候 ; 當價格變動較大的時候,gamma 風險是風險控管的焦點, 此時惟有利用市場上同一標的物的衍生性商品, 才能達到避險的果效 ; 如果要進一步規避 vega 風險, 則必須同時交易買賣兩種以上的衍生性商品 由避險參數是隨著市場 時間等一直在變動, 理論上我們必須隨時動態的調整組合部位才能完全規避風險, 務實上則只能以間斷的方式來執行 此外由於模型與真實的市場環境會有出入, 故避險總是有誤差, 與訂價相對而言, 避險是一種藝術 最後, 我們將選擇權 期貨 遠期契約與股票的敏感度參數, 在 Black-choles 模型的假設之下, 整理於下表, 以供同學們參考 定義 F = F F F F = = = = r 買權 ( 股利率 =) N(d ) n(d ) n(d ) n(d ) Ke r N(d ) rke r N(d ) 賣權 ( 股利率 =) N(d ) n(d ) n(d ) n(d ) Ke r N(d ) + rke r N(d ) 買權 ( 股利率 =q) e q N(d ) q e n(d ) e n(d ) e q n(d ) Ke r N(d ) rke r N(d ) + qn(d )e q 賣權 ( 股利率 =q) e q [N(d )] q e n(d ) e n(d ) e q n(d ) Ke r N(d ) + rke r N(d ) + qn(d )e q 期貨 ( 股利率 =) e r* re r* *e r* 期貨 ( 股利率 =q) e (rq)* (rq)e (rq)* *e (rq)* 遠期契約 rke r* *Ke r* ( 股利率 =) 遠期契約 e q* rke r* *Ke r* ( 股利率 =q) 股票 ln(/k) (r q.5) 其中 d =,d = d * 是期貨 / 遠期契約到期日, 為選擇權到期日