第 9 章 簡單隨機抽樣與抽樣分配 1
1-1 統計學方法與應用 學習目的 1. 了解抽樣的意義以及為什麼要抽樣 2. 了解機率抽樣與非機率抽樣及其優缺點與使用時機 3. 知悉樣本大小 抽樣成本和抽樣誤差的關係 4. 了解樣本統計量 : 樣本平均數 樣本比例的抽樣分配的形狀及其平均數 變異數的計算 5. 了解中央極限定理及其應用 6. 利用 Excel 來做抽樣 2 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 2000
1-1 統計學方法與應用 本章結構 簡單隨機抽樣與抽樣分配 抽樣的重要性與抽樣誤差 簡單隨機抽樣的方法 樣本平均數的抽樣分配 中央極限定理 樣本平均數抽樣分配的應用 抽樣的重要性 抽樣誤差與非抽樣誤差 抽樣成本與抽樣誤差 抽樣單位與抽樣底冊 簡單隨機抽樣的方法 簡單隨機抽樣的實施方法 母體參數與樣本統計量 母體分配 樣本平均數的抽樣分配 抽樣誤差與非抽樣誤差 母體分配抽取方式與樣本平均數的抽樣分配 樣本平均數的平均數與變異數 樣本平均數的平均數與變異數的特性 抽樣分配與樣本大小的關係 常態母體樣本平均數的抽樣分配 樣本比例的抽樣分配 母體比例與樣本比例 樣本比例的抽樣分配 樣本比例的平均數與變異數 樣本比例抽樣分配的情形 樣本比例抽樣分配的應用 3
Concept 進行推論統計的三項重要因素 1. 樣本大小 ( 與抽樣成本有關 ) 2. 抽樣方法 ( 本章討論 ) 3. 推論方法 ( 第 10 章開始 ) 4
9.1 抽樣的重要性與抽樣誤差 9.1.1 抽樣的重要性 EX: 1. 行政院主計處 台灣地區人力資源調查 2. 2008 年總統大選的民意調查 3. 進口煤碳的抽樣燃燒檢驗 統計推論係利用樣本統計量去推論母體的特質, 而樣本是否具有代表性會受抽樣方法的影響, 因此抽樣方法非常重要 抽樣方法足以影響樣本的代表性, 進而導致不同的結果, 因此對抽樣方法必須講究. 5
Q: 等待太久會不耐煩而離去圖 9.1 等待看牙時間 ( 母體 ) 相 0.4 對 0.35 次數 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 10 20 30 40 50 60 x 候診時間 6
圖 9.2 等待看牙時間 ( 樣本 1) 超過 50 分鐘的患者超過 20% 0.4 相對 0.35 次 0.3 數 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 10 20 30 40 50 60 候診時間 7
圖 9.3 等待看牙時間 ( 樣本 2) 超過 50 分鐘的患者不到 10% 0.4 相對 0.35 次 0.3 數 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 10 20 30 40 50 60 候診時間 8
1-1 統計學方法與應用 9.1.2 抽樣誤差與非抽樣誤差 估計誤差 (error of estimation): 無論抽樣發法如何科學, 樣本統計量與母體參數之間總是會有一些誤差 抽樣誤差 (sampling error) 抽樣誤差是樣本統計量與相對應的母體參數間的差 異 此種差異來自抽樣過程的機遇 (chance), 抽樣方法 及推論方法的不同 非抽樣誤差 (non-sampling error) 非抽樣誤差主要來自調查時的執行與事後在記錄 整理 資料時所發生的錯誤 9
抽樣誤差 1. 選取樣本時, 機遇所造成, 即隨機抽樣誤差 (random sampling error) 可經由樣本數的多寡來控制 2. 鎖使用的抽樣方法所造成 機率抽樣法的抽樣誤差較小 非抽樣誤差 1. 處理誤差 (processing error) 處理資料時所犯的錯誤, 如計算錯誤, 輸入資料錯誤 多方審核 data 2. 回應誤差 (response error) 受訪對象不願成實回答或對問題不了解, 或不用心隨便回答 10
圖 9.4 抽樣誤差與非抽樣誤差 樣本統計量 母體參數 估計誤差 非抽樣誤差 抽樣誤差 回應誤差 處理誤差 抽樣方法 推論方法 樣本數 11
9.1.3 抽樣成本與抽樣誤差 圖 9.5 資料蒐集成本與抽樣誤差的關係 成本 ( 最小成本 ) 抽樣總成本 E 蒐集樣本成本 抽樣誤差成本 0 最適樣本數 樣本數 12
9.1.4 抽樣單位與抽樣底冊 抽樣單位 (sampling unit) 母體中的一個母體元素或一組母體元素 抽樣底冊 (sampling frame) 抽樣單位的名冊或一覽表 13
9.2 簡單隨機抽樣 9.2.1 簡單隨機抽樣的方法 簡單隨機抽樣的意義 抽取樣本時, 若所有可能抽出的樣本被抽出的機率均相等, 則稱該抽樣方法為簡單隨機抽樣 (1) 有限母體的簡單隨機抽樣 抽樣母體全部有 N 個元素 ( 有限母體 ), 抽取 n 個樣本 a. 抽出不放回 b. 抽出放回 (2) 無限母體的的簡單隨機抽樣 隨機變數 X, 其母體為無限, 機率分配為 f(x) 14
1-1 統計學方法與應用 9.2.2 簡單隨機抽樣的實施方式 簡單隨機抽樣的實施方式 (1) 抽籤式 a. 抽出不放回, 直到抽取 n 個為止 b. 抽出放回的方式, 依序抽取 n 個 (2) 以亂數表抽取樣本 (3) 以電腦做隨機抽樣 15
表 9.1 亂數表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6824 7709 3937 3289 9545 0620 3904 5203 6590 8769 2 0237 7574 8607 1502 4776 0944 4946 1519 4834 2810 3 1336 8960 2192 7132 9267 4262 6070 7664 7690 3873 4 6840 3016 3991 8582 1813 0012 3781 8635 0286 3932 5 5577 7452 9477 7942 7328 0822 7876 6379 9014 6845 6 3495 3500 9497 8688 7764 0017 1221 5816 8840 8573 7 5163 5127 5955 7826 0982 3563 7783 1575 7738 9146 8 3746 5767 5137 3846 9113 3394 5172 3745 2574 5275 9 0596 6736 4273 7665 8229 6933 6510 0093 4091 4567 10 6553 4267 4071 3532 0593 3874 5368 5295 6303 2629 16
圖 9.6 數列對話方塊 17
圖 9.7 隨機抽樣對話方塊 18
1-1 統計學方法與應用 9.3 母體參數與樣本統計量 母體參數 母體參數是描述母體資料特性的統計測量數, 一般簡稱為參數或母數 參數是我們想要獲取的, 是統計的核心 樣本統計量 樣本統計量為樣本的實數函數 抽樣分配 樣本統計量為隨機樣本的函數, 而隨機樣本是由 n 個隨機變數 ( X 1, X 2, X n ) 所組成的, 故樣本統計量亦為一隨機變數, 其機率分配稱為抽樣分配 19
9.4 樣本平均數的抽樣分配 Concept 利用樣本統計量去推論母體參數值時, 使用的的樣本統計量是否能夠正確的估計母體參數? 先了解統計量的值可能出現的情況 統計量的機率分配 抽樣分配 (sampling distribution) 意義 : 樣本統計量的機率分配稱為抽樣分配 9.4.1 母體分配 (population distribution) 母體分配是母體元素的機率分配 20
1-1 統計學方法與應用 9.4.2 樣本平均數的抽樣分配 樣本平均數的抽樣分配 設母體為隨機變數 X, 其機率分配為 f (x), 若自母體中簡單 隨機抽取 n 個元素為一組樣本, 表為 ( X 1, X 2,..., X n ), 若令 X n i1 X n i, 則 X 為樣本平均數 其機率分配表為 f (x), 稱為樣本平均數的抽樣分配 21
假設中泰汽車公司有 5 個展示接待小姐, 月薪 ( 千元 ) 分別為 22 25 25 28 30 表 9.2 展示小姐的月薪的次數分配 x 22 1 25 2 28 1 30 1 N 5 f 22
表 9.3 展示小姐月薪的母體機率分配 x f ( x) 22 1/ 5 0. 2 25 2 / 5 0. 4 28 1/ 5 0. 2 30 1/ 5 0. 2 f (x) 1 23
母體平均數為 (2225 25 28 30) 5 26 變異數為 2 E ( X 2 ) [ E ( X )] 2 683.6 26 2 7.6 標準差為 σ=2.757 24
圖 9.8 展示小姐月薪的母體機率分配 f (x) 0.5 0.4 0.3 26, 2.757 0.2 0.1 0 20 22 24 25 26 28 30 x 32 25
圖 9.9 樣本平均數的抽樣分配 所有可能樣本 所有樣本平均數 母體 N 抽樣 x x n x x n S 1 1 1 x 1 S 2 S N C n x x 1 2 x Nn C x n x n x n x n 26
表 9.4 樣本平均數的機率分配 x f (x) x 1 x 2 x Cn N 1/ C n N N 1/ C n N 1/ C n X 的平均數與變異數 E (X ) V ( X ) 27
抽出不放回 圖 9.10 展示小姐月薪的抽樣 母體樣本空間 A=22 B=25 C=25 D=28 E=30 (ABC) (ABD) (ABE) (ACD) (ACE) (ADE) (BCD) (BCE) (BDE) (CDE) 定義 X : 樣本組的平均數 X X 1 X 2 X 3 3 28
表 9.5 展示小姐月薪的樣本平均數 樣本 樣本平均數 x ( ABC) ( 22, 25, 25) 24 ( ABD) ( 22, 25, 28) 25 ( ABE) ( 22, 25, 30) 25.6667 ( ACD ) ( 22, 25, 28 ) 25 ( ACE) ( 22, 25, 30) 25.66667 ( ADE) ( 22, 28, 30) 26.66667 ( BCD) ( 25, 25, 28) 26 ( BCE) ( 25, 25, 30) 26.66667 ( BDE) ( 25, 28, 30) 27.66667 ( CDE) ( 25, 28, 30) 27.66667 29
表 9.6 展示小姐月薪的抽樣分配 x 2 x f (x) 2 x f ( x) 24 576 1/10 0. 10 57.6 25 625 2 /10 0. 20 125 25.66667 659.7779489 2 /10 0. 20 131.7555898 26 676 1/10 0. 10 67.6 26.66667 711.1112889 2 /10 0. 20 142.2222578 27.66667 765.4446289 2 /10 0. 20 159.0999258 f (x) 1. 00 677.2667733 30
圖 9.11 展示小姐月薪的抽樣分配圖 f (x) 0.5 0.4 0.3 E ( X ) 26, V ( X ) 1.2668 0.2 0.1 0 20 22 24 25 26 26.67 28 27.67 30 32 25.67 x 31
9.4.3 抽樣誤差與非抽樣誤差 抽樣誤差 = EX9.3 從中泰展示小姐薪資的母體中抽到樣本 (ACD), 問該樣本組的平均數與母體平均數有否誤差? 如有, 誤差為多少? Solution: X X ( 22 25 28) / 3 25 已知母體平均數 μ=26, 故抽樣誤差為 抽樣誤差 = X 25 26 1 假定樣本 (ACD) 中的 25 被誤記為 24, 其平均數為 X ( 22 24 28) / 3 24.66 誤差 = X 24.66 26 1.34 抽樣誤差 =1 千元 非抽樣誤差 =0.34 千元 32
9.4.4 母體分配, 抽取方式與 X 的抽樣分配 Ex 9.4 6 個秘書, 年資分別為 1,2,3,4,5,6 年, 若抽 2 位來推估母體平均數, 高估或低估的機率為何? 估中的機率為何? 圖 9.12 秘書小姐年資的機率分配圖 f 0.30 ( x ) 0.25 0.20 0. 1 6 6 7 0.15 0.10 0.05 0.00 3.5, 2 2.917 0 1 2 3 4 5 6 7 x 33
表 9.7 秘書小姐年資的樣本平均數 樣本樣本平均數樣本樣本平均數 (1,2) 1.5 (2,6) 4.0 (1,3) 2.0 (3,4) 3.5 (1,4) 2.5 (3,5) 4.0 (1,5) 3.0 (3,6) 4.5 (1,6) 3.5 (4,5) 4.5 (2,3) 2.5 (4,6) 5.0 (2,4) 3.0 (5,6) 5.5 (2,5) 3.5 34
表 9.8 秘書小姐的年資的抽樣分配 x f (x) 1.5 1/15 2.0 1/15 2.5 2/15 3.0 2/15 3.5 3/15 4.0 2/15 4.5 2/15 5.0 1/15 5.5 1/15 35
樣本平均數的平均數 E ( X ) x f ( x ) 3. 5 樣本平均數的變異數 V ( X ) x 2 f ( x) (3.5) 2 13.416 12.25 1.166 見下圖 為一對稱分配, 樣本平均數等於母體平均數 3.5 年, 變異數等於 1.166, 小於母體變異數 2.917 36
圖 9.13 秘書小姐的年資抽樣分配圖 f (x) 0.30 0.25 E( X ) 3.5, 2 X 1.166 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 x 37
EX9.5 設擲骰子 2 次 ( 等於抽取樣本數為 2 的樣本 ), 令 Xi 表示第 i 次骰子出現的點數, i=1,2. 則樣本平均數為 X 1 X 2 問的機率分配, 平均數與變異數為何? X Solution: 此時母體為一均等分配 f(x)=1/6, x=1,2,,6 並知母體平均數為 E ( X ) xf ( x) 3.5 母體變異數為 ( 2 2 V ( X) x ) f ( x) 2. 917 X 2 38
圖 9.14 擲骰子出現點數的機率分配圖 f 0.30 (x) 0.25 0.20 0.1667 0.15 3.5, 2 2.917 0.10 0.05 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 x 39
表 9.9 擲骰子兩次的樣本平均數的抽樣分配 樣本 x f (x) (1,1) 1 1/36 (1,2)(2,1) 3/2 2/36 (1,3)(3,1)(2,2) 4/2 3/36 (1,4)(4,1)(2,3)(3,2) 5/2 4/36 (1,5)(5,1)(2,4)(4,2) (3,3) 6/2 5/36 (1,6)(6,1)(2,5)(5,2)(3,4)(4,3) 7/2 6/36 (2,6)(6,2)(3,5)(5,3)(4,4) 8/2 5/36 (3,6)(6,3)(4,5)(5,4) 9/2 4/36 (4,6)(6,4)(5,5) 10/2 3/36 (5,6)(6,5) 11/2 2/36 (6,6) 12/2 1/36 40
圖 9.15 擲骰子兩次樣本平均數的抽樣分配圖 f (x) 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 E( X ) 3.5, 2 X 1.458 0.00 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 x 41
表 9.10 三個抽樣分配的比較 母體分配母體平均數母體變異數 抽取方式 X 平均數 X 變異數 X 的分配 偏態分配 26 7.6 抽出不放回 26 1.373 雙峰分配 均等分配 3.5 2.917 抽出不放回 3.5 1.166 對稱分配 均等分配 3.5 2.917 抽出放回 3.5 1.458 對稱分配 42
1-1 統計學方法與應用 9.4.5 樣本平均數的平均數與變異數 X 抽樣分配的平均數與變異數 X 抽樣分配的平均數與變異數稱為 X 的平均數與變異 數 以符號 X 或 E (X ) 及 X 或 V ( X ) 2 分別表示 X 抽樣分配的平均數 X 抽樣分配的平均數等於母體平均數, 即 E ( X ) X 43
1-1 無限母體樣本平均數的變異數 ( 2 X ) 與標準差 ( X ) n X V X 2 2 ) ( n X X 抽樣分配的變異數與標準差 44 n X 有限母體抽出不放回樣本平均數的變異數 ( 2 X ) 與標準差 ( X ) 1 ) ( 2 2 N n N n X V X 1 ) ( N n N n X V X
9.4.6 樣本平均數的平均數與變異數的特性 1. X 的抽樣分配以母體平均數 μ 為中心, 無論樣本數大小, 母體有限或無限, 抽出放回或不放回, X 的抽樣分配的平均數為 μ. 45 2. 2 X 的抽樣分配的變異數受到母體變異數 ( ), 樣本數 (n) 以及母體為有限或無限的影響 a. 當母體變異數越大, X 的抽樣分配的變異數亦大 b. 當樣本數 n 增加時, V (X ) 愈小, 抽樣分配愈集中於母體 平均數 μ. 2 n, V( X) 0 n X 的機率分配收斂到母體平 均數 μ
大數法則 (law of large numbers) 大數法則 lim n P( X ) 1 亦即當樣本數夠大時, X 會趨近於 的機率為 1 46
圖 9.16 大數法則 f ( x) n 100 n 50 n 5 x 47
c. 母體為有限, 且樣本數相對於母體元素個數不是很小 (n/n >0.05), 則 X 的抽樣分配的變異數必須乘上有限母體修正因子 (N-n)/(N-1) d. 有限母體的情況下, 若且樣本數相對於母體元素個數很小 (n/n <=0.05), 或抽樣時採抽出放回的方式, X 抽樣分配的變異數與無限母體相同 3. 母體隨機變數 X 的機率分配比 X 的抽樣分配分散度大見下圖 48
圖 9.17 X 的機率分配與 X 的抽樣分配 f ( x) f ( x) x x 49
EX9.7 設 X 代表國中生的身高, 其母體平均數為 160 公分, 標準差為 10 公分, 現自所有國中生隨機抽取 10 個人, 則該 10 個人的平均身高 ( 樣本平均數 ) 的平均數與變異數為何? Solution: 樣本平均數與變異數如下 E ( X ) 160 V ( X ) 2 n 100 10 10 EX 9.8 注意有限母體 50
9.4.7 抽樣分配與樣本大小的關係已知電源開關使用次數的平均數為 15000 次, 標準差為 1000, 現抽取樣本為 n=1,2,8,16,32, 樣本平均數的平均數與標準差為何? 表 9.11 樣本數不同的抽樣分配 樣本數 E ( X ) / X n 1 15,000 1000/1=1000 n 2 15,000 1000 / 2 707. 11 n 8 15,000 1000 / 8 353. 55 n 16 15,000 1000 / 16 250. 00 n 32 15,000 1000 / 32 176. 78 n 51
圖 9.18 樣本大小不同的抽樣分配 f( x) 2.5E-3 2.0E-3 1.5E-3 1.0E-3 5.0E-4 0.0E+0 12000 13000 14000 15000 16000 17000 18000 x 52
1-1 統計學方法與應用 9.4.8 常態母體樣本平均數的抽樣分配 常態母體 X 的抽樣分配 若母體為常態分配, 平均數為, 標準差為, 則不論樣本數為何, 樣本平均數 X 的抽樣分配亦為常態分配, 其平均數和標準差分別為 : 2 X, X X ~ N(, ) n n 53
EX9.9 高雄市計程車通常每天耗用的燃料費為一常態分配, 平均數為 313 元, 標準差為 101 元 1. 在高雄市隨機抽取一輛計程車, 其每天耗用的燃料費超過 400 元的機率為多少? 2. 某家計程車行有 8 輛計程車, 則 8 輛計程車每天平均的燃料費為多少元? 其鵬均值超過 400 元的機率為何? Solution 1. 2. X~N(313, 101 2 ) 400313 P( X 400) P ( Z ) P ( Z 0.86) 0.1949 101 X ~ 101 N(313, 8 2 ) 400 313 P( X 400) P ( Z ) P ( Z 2.44) 0.0119 101/ 8 54
9.5 中央極限定理 (Central limit theorem) 中央極限定理 ( 非常態母體的抽樣分配 ) 無論母體為何種分配, 其平均數為 μ, 變異數為 自母體簡單隨機抽取 n 個為一組樣本, 若樣本數 n 夠大 ( 一般認為 ), 則樣本平均數的抽樣分配會趨近於常態分配, 即 2 X ~ 2 N(, ) n 55
1-1 統計學方法與應用 樣本平均數抽樣分配的形狀 應用中央極限定理的注意事項 一般而言, 不論母體為何種分配, 當 n 30 態分配 時, X 漸趨於常 中央極限定理可適用於樣本統計量為隨機樣本 X, X,, X ) 線性函數的情況 ( 1 2 n 若母體為非常態分配雖是大樣本, 則其抽樣分配不是常態分配, 而是近似常態分配 中央極限定理僅適用於大樣本 56
母體分配 圖 9.19 中央極限定理 母體分配 x x 57
圖 9.19 中央極限定理 ( 續 ) 抽樣分配 抽樣分配 n =5 n =5 x x n =10 n =10 58 x x
圖 9.19 中央極限定理 ( 續 ) 抽樣分配 抽樣分配 n =30 n =30 x x n =50 n =50. 59 x u x
表 9.12 X 的抽樣分配 樣本母體分配抽樣分配大樣本母體為常態分配 ( n 30) X ~ N (, 2 ) n 母體非常態分配 X ~ N (, 2 ) n 小樣本母體為常態分配 2 ( n 30) X ~ N (, 2 ) n 母體非常態分配 X的分配決定於母體分配 60 註 : 若母體為有限母體, 且 n N 若母體為有限母體, 且 n 配, 因 ( X 1,, X n ) 不獨立 0. 05, 則 2 N n V( X) n N 1 / N 0. 05, 則 X 不一定為常態分
EX 9.10 民國 89 年有 5,179 家紡織廠, 銷售額平均 4.6 百萬, 標準差 11.5 百萬 圖 9.20 紡織業平均銷售額的抽樣分配 f ( x ) X 1.15 X 4.6 x 61
Q: 隨機抽取 50 及 100 家, 問的平均數與標準差及抽樣分配的形狀為何? Solution: 1. 50 家 X 4.6 X 11.5 X n 50 1.63 2. 100 家 X 4.6 11.5 X n 100 1.15 62
樣本和的抽樣分配 令 S 為隨機樣本的和, S X X... 1 2 X n 樣本和的平均數為樣本和的變異數 E( S) E ( X E ( X 1 1 X 2... X )... E ( X 1. 若為無限母體, 或有限母體抽出放回 V n 2 ( S) V ( X 1 X 2... X ) n n n ) ) n 2. 若為有限母體抽出不放回 V ( S) n 2 N N n 1 63
9.6 樣本平均數抽樣分配的應用 EX9.14 根據調查資料得知, 搭乘台鐵的乘客數雖逐年增加, 但每人平均乘車公里數卻反而逐年下降. 91 年每人平均乘車公里數為 55.1 公里, 較 72 年最高峰時的 65.5 公里減少 10.4 公里. 若每人平均乘車公里數的標準差為 20 公里, 問 1. 隨機抽取 300 位乘客為一組樣本, 其其平均乘車公里數介於 52 及 55 公里間的機率為何? 2. 續題 1, 平均乘車公里數超過 60 公里的機率為何? 64
圖 9.21 台鐵乘客平均乘車公里數的機率 f (x) X 1.15 X 55.1 60 x 0 4.26 Z 65
Solution: 1. 令 X 表示乘客平均乘車公里數, 因樣本夠大 (n=300>30) 所以根據中央極限定理, 平均乘車公里數為常態分配, 其平均數與標準差為 2. X 55.1 X n 20 1.15 300 52 55.1 55 55.1 P( 52X 55) P ( Z ) P ( 2.70 Z 0.09) 0.4606 1.15 1.15 60 55.1 P( X 60) P ( Z ) P ( Z 4.26) 0 1.15 66
1-1 統計學方法與應用 9.7 樣本比例的抽樣分配 母體比例 p K / N N: 母體個數,K: 母體中 A 類別的個數 樣本比例 k pˆ n n X i1 n 樣本比例的平均數 E( p )ˆ ˆ i p p 67
圖 9.22 品質管制圖 上限管制值 352.25 350 ml 下限管制值 347.75 樣本 68
圖 9.23 點二項分配 f ( x) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 x 69
9.7.2 樣本比例的抽樣分配 樣本比例為自點二項母體抽出的樣本平均數, 該樣本比 例的機率分配表為 f ( p)ˆ, 即為樣本比例的抽樣分配 70
表 9.13 母體比例 姓氏林小姐洪小姐戴小姐葉小姐呂小姐 修讀會計學讀過 Y 沒讀過 N 讀過 Y 沒讀過 N 讀過 Y 71
表 9.14 樣本比例的抽樣分配 pˆ f (p)ˆ 0.33 3/10=0.3 0.67 6/10=0.6 1.00 1/10=0.1 f (p)ˆ 1. 00 72
圖 9.24 樣本比例的抽樣分配 f 0.8 ( p)ˆ 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 E( p)ˆ p 0.6 p 2 0.04 0 0.33 0.66 0.67 0.99 1.00 1.33 1.32 pˆ 73
1-1 統計學方法與應用 9.7.3 樣本比例的平均數與變異數 樣本比例的變異數與標準差 無限母體 V ( p)ˆ 2ˆ p pq n ˆ p 2ˆ p pq n 有限母體 2 pq V ( p)ˆ pˆ n N N n 1 74 p ˆ pq n N N n 1
9.7.4 樣本比例抽樣分配的形狀 大樣本 (np>5 及 nq>5) 樣本比例的抽樣分配 依據中央極限定理, 當大樣本時, pˆ~ N ( p, pq n 小樣本比例的抽樣分配 無限母體 pˆ ~ 二項分配 (p, pq/n) ) pˆ 的抽樣分配會趨近於常態分配 有限母體 (n/n >=0.05) pˆ ~ 超幾何分配 p, pq n N N n 1 75
9.7.5 樣本比例抽樣分配的應用 See EX 9.18 76
圖 9.25 樣本平均數的抽樣 77
表 9.15 100 組樣本平均數 78
表 9.16 樣本平均數的抽樣分配 79
圖 9.26 直方圖 80