光學 / Opcs Ch4 光的傳播 / The Propagaon of Lgh 成功大學物理學系 朱淑君
4.1 序言 Inroducon 本章藉由 種表述, 探討幾個基本現象 : 透射 (ransmsson) 反射 (reflecon) 及折射 (refracon) 波及光線 電磁理論 每次光與介質相遇均可視為 一串光子傳播通過懸浮於空中的陣列原子 並與之交互作用 其間的細節決定了 : 天空是藍色的 血是紅色的 角膜為何透光 手為何不透光 雪是白的而雨不是白的 本章的核心概念是散射 (scaerng), 即原子 分子藉由電子吸收光並即時再輻射出電磁輻射 透射 反射及折射均為次微觀尺度 (submcroscopc level) 下之散射現象在宏觀 (macroscopc) 下的展現 NCKU, Phys., 朱淑君
Ch 4, The Propagaon of Lgh 大綱 4 4. 瑞立散射 /Raylegh Scaerng 4.3 反射 /Reflecon 44 4.4 折射 /Refracon 4.5 費馬原理 /Ferma's Prncple 4.6 電磁手法 /The lecromagnec Approach 4.7 全內反射 /Toal Inernal Reflecon 4.8 金屬的光學性質 /Opcal Properes of Meals 4.1 Sokes 處理反射與折射的手法 /The Sokes Treamen of Reflecon and Refracon NCKU, Phys., 朱淑君 3
4. 瑞立散射 Raylegh Scaerng 無散射時, 光子是不受時間影響的 (Phoon are meless) x1: 若不發生散射, 狹窄光束傳播的側邊看不見光束 x: 最近的星雲 (1.7 X 1 5 光年 ) 經過 17 年後, 仍傳到地球 瑞立散射 (Raylegh scaerng) 成因 : 大氣分子 ( 氮氣 氧氣 等 ) 在可見光不發生共振, 因此各分子如同震盪子, 電子雲受到入射電磁波的驅動 ( 吸收光子 ), 做基態震動 (groundsae vbraon), 隨即輻射出同入射光頻率之電磁波 ( 光子 ), 如同各分子均散射出古典球面波, 朝各方向散出 NCKU, Phys., 朱淑君 4
特性 : 大氣分子在 UV 光發生共振, 因此越接近氣體分子共振頻率的入射光, 分子震盪響應越劇烈, 即 對入射光的散射程度 : 紫 > 藍 > 綠 > 黃 > 紅光 散射的頻譜含較多的藍色光 ( 白天的天空是藍色的成因 ) 散射光正比於 1/ 4, 即 4 Raylegh 於 1871 年利用分子震盪理論推論散射光此特性, 自此以後, 當散射粒子尺寸 </15 時, 稱為瑞立散射 Prob.4.1: 利用因次分析, 說明散射光強度反比於波長的四次方 令 o : 入射光震幅 os : 散射光震幅 ( 距離散射子 1, 又 (1) os os o 由 r 且散射光震幅應與散射體積 ( 散射多寡 ) 有關 : V o V o os K r r () 又 KV 應為無單位量 K之單位因次應為 長度 r 唯一未考量的量為波長 I I s K I I s 故 K r 處之震幅 ) NCKU, Phys., 朱淑君 5 4 4 or os V
實例 : 日出 日落時日落時, 太陽光偏紅 (un-scaer lgh), 平常的天空偏藍 (scaer lgh) 日落到 18 度以下才看不到太陽光 ( 之間所見的光為穿透大氣散射的光 ) 人眼所見之色彩也多成因於散射, 如 : 人眼的顏色 藍背鳥之藍色 及藍尾蜥蜴之藍尾 狒狒的藍屁股, 動物世界中的顏色多為藍色, 其次是綠色及少許的紫色 x: 松鶴的藍羽毛是羽支內的泡狀細胞的散射 鸚鵡的綠色則是混合了吸收的黃光及散射的藍光所致 來自一方向的太陽光散射後, 朝各方向散出 若無大氣層, 則白天的天空會如同月球的天空一般是黑色的 NCKU, Phys., 朱淑君 6
大氣層的散射 低處大氣層 : 密 均勻的大氣抑止光的橫向散射 中間大氣層 : 此處氣體的密度已足以抑制 Raylegh 散射, 然而在此大氣層的熱運動使大氣層局部產生快速的密度變化擾動, 在此一瞬間原子較多處產生的輻射多於其他處 M. Smoluchowsk (198) 及 A. nsen (191) 分別提出理論說明 由介質擾動得到的散射結果與 Raylegh 散射的結果相似 高處大氣層 : 發生 Raylegh 散射 ( 空氣密度較低 ) 散射與干涉的關係 密介質中, 散射波會發生干涉 : 密介質中大量靠在一起的原子或分子, 各自貢獻許多等量的散射電磁子波 (waveles), 電磁子波彼此間疊加並發生干涉 ( 疏介質中通常不會發生此現象 ) 通常光通過越密的介質, 其橫向散射越少 NCKU, Phys., 朱淑君 7
Raylegh 散射的干涉情形 橫向散射光 (Laerally scaer lgh) 分子內的散射源 (scaers) 通常距離在一個波長或以上 ( 疏介質 ), 且分子在空間中為亂數分佈, 因此朝側向散射出去的次子波 (secondary waveles) 彼此之間沒有特定的關係, 因此並不會有恆定的干涉圖案 任一瞬間, 某些子波彼此建設性干涉, 有些破壞性干涉, 疊加的子波的混亂變化, 把干涉的效應平均掉了 間距大且混亂分佈的散射源, 受到主波源 (Prmary wave) 驅動時, 輻射出去的子波, 除了向前傳播的子波外, 均彼此獨立, 因此橫向散射光不會受到干涉妨礙, 可向外散出 prmary 相角差大, lgh feld 非建設性疊加 用 Phasor 疊加各子波 : 各子波間的相角差大, 首尾相接, 相量和小 NCKU, Phys., 朱淑君 8
朝前傳播的光如圖, 各路徑到達前方 P 點的路徑幾乎相同, 由散射引起的路徑長變化非常小, 所有散射波包抵達 P 點時皆為或多或少的同相 (n-phase), 因此得到建設性干涉 右圖說明 : 主波源為平面波 AB 間距半波長 (b) 主波源在 A 引起 18 反相的子波 ()A (c) 發出之子波繼續往前走, 而主波源亦在 B 處引起 18 反相的子波 (c)(d) ()() 可看出向前傳的由 A B 發出的兩子波總是同相的 向前傳的散射波總是以建設性方式疊加 NCKU, Phys., 朱淑君 9
光通過密介質的情形 當散射源 (scaers) 發出的子波非常靠近時 ( 3 方塊內約三百萬個原子 ), 其抵達橫向 P 點時的相位不能再視為亂數分佈, 此時各子波間的干涉效應明顯 散射發出的子波在朝前傳的方向總是建設性干涉 在密 均勻介質中, 朝橫向或後方只有很少 ( 或完全沒有 ) 散射光 說明 : 右圖, 介質分子排列得非常緊密, 總 是可以找到成對的分子其散射波在橫 向上抵銷 (ex: 相距 / / 之 A, B 兩點 ) NCKU, Phys., 朱淑君 1
用相量說明 : 緊密排列的散射源所發出的子波橫向抵達空間中某點時, 有相同多的正電場與負電場因此合成的總擾動為 用相量首尾相接會形成很小的圓形, 其合成的相量總是非常小 干涉造成能量的重新分佈, 破壞性干涉處的能量被移至建設性干涉處處 散射的其他特性 : 越均勻 越密 越有序的介質越密越有序的介質, 則橫向破壞性干涉越完全, 則會有越少的非向前散射光,X: NCKU, Phys., 朱淑君 相同體積的液體內的液體分子數目是大氣壓氣體的約 1 倍, 然而其散射量只是大氣氣體的 5~5 倍, 就單一分子的散射量而言, 液體分子遠小於氣體 透明非晶向 (amorphous) 固體, 如玻璃及塑膠, 也會散射, 但量非常少 晶體如石英或雲母則散射量更少 (Noe: 材料內的缺陷, 如灰塵 氣泡 流動或不純, 均會造成散射 ) 11
一向下傳播之平面波, 入射在規則排列的原子上 各散射的子波朝各方向散射並疊加形成次波源 (secondary wave) 向下傳播的平面波 NCKU, Phys., 朱淑君 1
當粒子的尺寸增加 ( 相較於波長 ), 則長波長的散射比例會增加 (1869 John Tyndall 實驗發現 ) 說明 : 當粒子的尺寸接近波長時, 原子不再輻射出子波, 散射消失, 此現象先發生在短波長處, 因此散射光譜偏向紅光譜 198 Gusav Me 利用理論分析球狀物體的散射 ( 米散射 ), 發現 : 粒子尺寸 時 : 散射與波長有些微的關係當 粒子尺寸 時 : 散射與波長無關 ( 粒子遠大於波長尺寸時, 粒子含有許多原子, 當光線入射時, 原子的數目足以形成一般的反射與折射, 因而與特定的波長無關 ) NCKU, Phys., 朱淑君 Raylegh scaerng 對應 Me scaerng 於粒子很小的情形 x: 牛奶 脂肪球 蛋白質 白雲 大水滴 大粒子將整個白光都散射掉的結果 陰天雲偏灰色 : 因雲層較厚, 透過的陽光較少 13
透射及折射率 折射率之由來 : 光通過均勻 (homogeneous) 介質, 是一連串的散射及再散射的過程, 而每個散射過程均對光場引入了相位移 (phase shf), 而使得光場通過介質的相速 v p 非光速, 因而定義介質的折射率為 n=c/v p 1 ( 即使光子只會以 c 的速率傳播 ) 說明 : 入射之主波源 (prmary wave) 在介質中引發散射造成的次波源 (secondary wave), 形成介質中最後觀測到的電場擾動 透射波 (ransmed wave) 主波源與次波源在原子間均以光速 c 傳播 ( 折射 ) 透射光場表現出的相速可能小於 等於 甚或大於光速 c, 起因於次波源及主波源間的相位關係 次波源與主波源間有相位延遲 (Phase lag), 成因有二 : (1) 入射電磁場驅動電子雲產生震盪時, 當電磁場的頻率增加時, 電子雲的震盪會延遲 () 當散射子波合成為次波源時, 其相位較震盪延遲了 9 14 NCKU, Phys., 朱淑君
說明 : 入射電磁場驅動電子雲產生震盪時, 當電磁場的頻率增加時, 震盪會延遲 (Prob.4-4: Forced Oscllaon) 小 ( ) ) ( q x m d dx m d x d m e e e e ( 驅策力 ) ( 恢復力 ) ( 阻尼力 ) 小 大 ( 驅策力 ) ( 阻尼力 ) ( 恢復力 ) ) ( ) ( e x x e x x e 令入射電磁場 : 電子位移函數 : e e e m q e x e x x 代入原方程式得 : 由, 由 / 當 >, 自 / 1 @...(@) e e e q x e m q x 兩邊取當, 自 / 當入射光頻率自 增加到共振頻率 時, 震盪之相位延遲 由 增加到 9 當 >> 時, 震 an cos @ 1/ e e e q x m x 兩邊取盪之相位延遲 18 ( 半波長 ) NCKU, Phys., 朱淑君 15 an sn @ 1 e e e m q x m 兩邊取實 虛部
例證 : 散射子波合成為次波源時, 其相位較震盪延遲了 9 x: Prob.4-5 光源 S 及觀測點 P 相距 y, 其間插入厚 y 折射率 x: Prob.4 5 光源 S 及觀測點 P 相距 y 其間插入厚 y 折射率 n 的板子 S P n ) / ( ) ( k 令無板子時, 觀測點 P 之光場為 : y S P 1 1 ) / ( exp ) ( exp u y c n y k y k n c y ky 插入板子時, 引入相位延遲 1 1 ) / ( exp P y c y n c y P 點所見之光場為 :...! 1 1 1 exp x u x x e x c y n 又當 1 1 1 exp 1 y y c y n c y n y c 若次波源與主波源間 NCKU, Phys., 朱淑君 16 1 1 1 u u u P e c y n c y n Prmary wave Secondary wave 次波源與主波源間有 / 的相位延遲
說明 : 兩相位延遲之綜合效應 當 < : ~9 )= ~18 時相位延遲 1( )+ 相位延遲 (9 延遲 9 當 > 時 : 相位延遲 1 (9 ~18 )+ 相位延遲 (9 )= 18 ~7 相當於領先 18 ~9 ( 右半座標 ) x qe m e 1 1/ 1 an 相位落後 = 相位超前 (36 -) NCKU, Phys., 朱淑君 17
Lag Lead 主波源及次波源疊加 : 由其次波源的震幅及相對相位決定最後的透射波 @ 當次波源落後主 Lead 波源 透射波落後 free space wave 一定程度 @ 當次波源超前主波源 透射波超前 free space wave 一定程度 Lag @ 特例 : 當 = 時, 此時主波源與次波源成 18 反相, 因此造成合成波的震幅衰減, 但不影響合成波的相位變化電磁波通過介質時, 散射一再地發生, 因此光逐漸被延遲或超前 NCKU, Phys., 朱淑君 18
相位的變化對應於於相速的改變波速之定義為等相位面的傳播速度, 則相位的延遲或落後必對應於波速的變化 S P S P n=1 n=n n 光自 SP 點, 令自由空間中觀測點 P 之光場為 P ()= cos(), 當 P 點有介質環繞時, 引入相位偏移 (phase shf) P P ()= cos(- P ) P 隨著光傳播的距離增大而變大 P : phase P : phase lag 真空中的 P點較介質中晚 / 看到波 lead 真空中的 P點較介質中早 / 看到波 P P v c v c 大多數的情況 :v<c n>1 少數情況 :v>c n>1 (ex: x-ray 通過一般介質, 自然頻率 在紫外光 >> n<1, v>c ) NCKU, Phys., 朱淑君 19
折射率曲線 << : 次波源非常小, 與 主波源間相位差近乎 9, 因此折射光的延遲非常小 n>1, n~1 << : 當 接近 時, 此時次波源的震幅及相位延遲均變大, 因而減緩折射光的速度 n 逐漸上升, n>1 = : 到此轉換點 (urnng pon) 時, 折射波感受到的相位延遲逐漸變小 因此其隨頻率的折射率變化 dn/d< = : 位於材料的吸收帶中間附近, 此時透射波的的震幅減小, 但仍維持相同的相位及速率 n=1 v=c @ 當 > 後, 全部的情節顛倒 > : 此時震幅很大的次波源相位超前主波源, 因此透射波的相位領先入射波 v>c n<1 = : 到此轉換點後,dn/d>, 透射波感受到的相位領先逐漸變小 >> : 次波源的震幅非常小, 透射波領先主波源的相位有限 n~1 NCKU, Phys., 朱淑君
光於介質中傳播之嚴格解 :wald-oseen xncon Theorem 電子震盪產生的電磁波有兩項, 其中一項抵銷了介質中的主波源, 另一項 ( 或說剩餘的擾動 ) 為透射波, 以速率 v=c/n 通過介電質 (Ref: Prncple of Opcs, Born & wolf) 結論 : 折射率的起因源自於原子吸收 輻射過程時, 散射光相位的超前或延遲, ( 但光始終以光速 c 傳播 ) NCKU, Phys., 朱淑君 1
4.3 反射 Reflecon 反射 (Reflecon) 當光入射透明介質時, 光看見的是成陣列緊密排列的散射源 (scaer) 可見光 :~5nm 固體原子間距 : d ~.nm 當光穿透介質時, 除了向前傳播方向之外, 各方向因散射產生的子波源均相互抵銷 光透過不連續面 (ex: ar-->glass) 時, 會有部分光向後散射, 稱此現象為反射 x: 當兩介質間變化越平緩時, 反射光量越少 NCKU, Phys., 朱淑君
反射成因 右圖, 將一個均勻玻璃沿垂直光傳播方向切斷並 分離, 則右方方塊表面處會產生反射波 (beam-i) 因為右方方塊表面處的散射源 (scaer) 是不對稱的, 因此其向後散射的光無法被抵銷 原先與之相鄰區域內的散射源, 如今落在左方的玻璃內, 當 兩塊材料相鄰時, 此區域內散射子向後方散射的光與 beam-i 應為 18 反相, 故相互抵銷 左方玻璃的前端處的散射源向後散射的光, 形成了另一反射波 beam-ii Noe: 介面處只有厚度 ~/ 的薄層內的原子震盪能有效地產生反射 / / ( 此外的其他部分均能找到成對的散射源, 兩者散射波彼此抵銷 ) x: 光垂直入射 ar-glass 介面時, 無論玻璃厚薄, 均只有 4% 左右的光會經由表面 / 厚度區域內的不成對散射源反射 NCKU, Phys., 朱淑君 3
內反射 (nernal reflecon) 外反射 (exernal reflecon) 外反射 (exernal reflecon): n <n, 光自疏介質入密介質 x: beam-i 內反射 (nernal reflecon): n > n, 光自密介質入疏介質 x: beam-ii @Noe: 內反射與外反射間有 18 的相位差 圖中, 當兩塊玻璃逐漸靠近至合而為一時, 反射光逐漸減小到完全消失 Q: 白光照射鏡面時, 見到的反射光是由散射造成的, 為何不是藍色的? Ans : 反射光是由厚 / 的表面區域內的散射源造成的, 雖然散射量正比於 4, 長波長散射量少, 但是長波長的散射範圍比較大, 因次有較多的散射源的作用, 綜合的結果為 : 可穿透的介質對各波長的反射相同, 並不會顯露各色光顏色 NCKU, Phys., 朱淑君 4
反射定律 (The Law of Reflecon) 說明 : 平面波入射一平坦密介質平坦密介質 (ex: glass), 假設周 圍是空氣, 當平面波入射到介面時, 一個接著一個 提供散射源能量 考慮反射波的形成 : 入射介質中 的每個散射源的輻射光可看成半圓形的子波前, 由於入射波長 遠大於介質的分子距 (>>d) 反射波前 只在單一方向上是建設性干涉, 即反射光束 (refleced beam) Noe: 例外 : 當入射光波長變短 (ex: x-ray 入射一般介質 ), 或 d>, 此時介質如同繞射光柵 (dffracon grang) 一般, 會產生不止一道反射光束 反射光束的方向 ( 波前 ) 可由距離散射源等相位處決定 NCKU, Phys., 朱淑君 5
證明反射定律 ( 第一部份 ): = r 定義 : 入射角 (angle of ncdence : ) 入射波 ( 前 ) 與平面的夾角 反射角 (angle of reflecanc e) : 反射波 ( 前 ) 與平面的夾角 證明 : AB 落在入射波前上 CD 落在出射波前上 自 A 點發出的子波抵達 C 點時應與由 B 點發出的抵達 D 點的子波同相 (n-phase) AC BD v Δ 波前與光行進方向垂直 兩直角三角形 ABC DCA 共用斜邊 AD AD BD sn AC sn θ AC BD r or NCKU, Phys., 朱淑君 @ xample: 垂直入射 (normally ncdence): 掠射 (glancng ncdence): 6
加入光線 (Ray) 的概念 由來 : 需繪出許多波前才能描述光的行進 用較簡便的光線來形象化光的行進 稱謂 : 拉丁文中對直線的一束光線表示為 rad, 英文中成了 ray 光線的定義 : 空間中的光線對應著 輻射能 (radan energy) 的流動 用法 : 入射角 反射角 r 改由 用光線與平面法線的夾角 測量 反射定律的第二部分入射光線 平面的垂線 反射光線三者落在同一平面上平面上, 稱之為 入射平面 (Plane-of-ncdence) NCKU, Phys., 朱淑君 7
鏡反射 (specular reflecon) 漫反射 (Dffuse reflecon) 鏡反射 (specular reflecon): 圖 (a) 表面的不平整度 << 波長, 一道光束入射時, 只會產生單一條反射光束 漫反射 (Dffuse reflecon): 圖 (b) 表面的不平整度接近波長尺度, 儘管每一條光線都滿足 = r, 但整個反射光束會散開來 @Noe: 此兩種狀況皆為極端的情形, 一般的反射介於兩者之間 NCKU, Phys., 朱淑君 8
折射 (Refracon) 4.4 折射 Refracon 折射 : 光以入射角不為 入射透明介質時, 介面形成了不均勻, 介面處的原子將光朝後散射成為反射波 朝前散射成了透射波 (ransmed wave), 這種入射光於介面彎曲或轉向的現象, 如牛頓所稱 -- 折射 折射光的傳播 : 介面上每個受激發的分子散射出子波 (waveles) 進入介質中, 並以光速 c 傳播, 這些子波的結 合稱為 次波源 (secondary wave) 次波源與未受到散射的主波源結合形成了 透 射波 (ransmed wave) 光通過介質時, 不斷重複上述的現象 折射光的特性 : 光通過介質形成的單一淨光場 (ne feld)-- 透射波, 通常傳播速率 v <c -- 介面上的原子散射了較慢的子波 slow wavele 進入介質中, 與剩餘的主波源結合而成為較慢的透射波 slow ransmed wave NCKU, Phys., 朱淑君 9
折射定理 (The Law of refracon) 說明 : 各波前為等相位面, 透射材料內的淨光場的相位受到透射材料的延遲, 因此被向後拉 波前在介面上的彎折起因於兩介質折射率的改變 證明 : 折射定律 ( 第一部份 ):n sn = n sn 定義 : 折射角 (angle of refracon), --- 折射波 ( 前 ) 與平面的夾角 證明 經過時間, 位於同一波前上的 B 點以速率 v 傳播到 D 點 BD= v A 點以速率 v 傳播到 點 A = v 光傳播方向與波前垂直 兩直角三角形 AD ADB 共用斜邊 AD BD A (BD= v ) v v AD sn sn (A = v ) sn θ sn θ NCKU, Phys., 朱淑君 3 ( 折射定律的第一部份, 又稱司乃耳定律 Snell s law)
利用 光線 概念表示 入射角 及折射角 均改用光線與法線的夾角表示 折射定律的第二部分 : 入射光線 平面的垂線 折射光線三者落在同一平平面上 入射 反射 折射光線均落在同一平面上 ( 入射平面 ), 或說 : 各波的傳播向量 k k r 及 k 共平面 (coplanar) NCKU, Phys., 朱淑君 31
改寫 Snell s Law Type 1, 令 相對折射率 (relave ndex of refracon) n =n /n, 則 Snell s Law 可表為 : sn sn θ θ Type, 令為平面的單位法向量, 方向由向入射面朝向出射面,Snell s Law 可表 為 : Type3: Prob.4-9, Snell s Law 可表為 : n NCKU, Phys., 朱淑君 說明 : 如圖取平面的單位法向量 n ˆ ˆ k n k uˆ n ; 外積 uˆ 由 A B C B A C C A B n kˆ n ˆ ˆ ˆ n k n k u n n kˆ n cos n n cos uˆ n 3
折射特性 n n :, 線 光入射較高折射率的介質時光線會偏向法線 n n: 光入射較低折射率的介質時, 光線會偏離法線 光通過介面 ( 折射 ) 的三大改變 改變方向 : 波前在不同介質的傳播速率不同, 而使得波方向偏轉 改變光橫截面寬度 : A A D AB cos cos 疏 密偏向法線密 疏偏離法線 改變光波長 : A NCKU, Phys., 朱淑君 光通過介質時頻率不變 v c / v n c Noe: 由於光的波長在通過介質時會改變, 因此對各不同色光通常用 頻率 或 真空中的波長 來表示 A 33
入射光具高功率時, 透射光的頻率可能改變 當入射光場強遠小於分子的凝聚力時 : 入射頻率 的光驅動分子作相同頻率的 SHM 當入射光場強非常大時 (ex: hgh power laser) 以頻率 的光入射介質可能表現出非線性現象, 而導致產生的折射光 (or 反射光 ) 為入射波之諧波 (harmonc,, 3,.) x: 市售非線性晶體 KDP ADP 入射 694.3nm 的光, 出射 347.15nm 的光 ( 倍頻 ) 波前連續性 (wavefron connuy) 落在介面上的任一點, 在入射波 反射波 透射波應為一致的, 稱之 介面上任一點三波之相位是一致的 Prob.4-6: 利用 波前的連續性 證明 Snell s Law B Proof: AC 介面上單位長度的波數目應相同 A C c n / AD / sn sn v BC BC/sn NCKU, Phys., 朱淑君 AD/sn n sn n sn ( 消去 c/) D 34
惠更斯原理 (Huygens Prncple) Q: 如何決定波前 扭曲後的新波前? 惠更斯原理 (Huygens prncple) 傳播的波前 () 上的每一點均可以看成球面次子波, 之後任一時刻的波前 ( ) 即為所有次子波源疊加之包波 (envelope) NCKU, Phys., 朱淑君 35
光波繞射的發展 : 1818, Augusn Jean Fresnel 融合波動說及干涉之觀念並對於惠更斯公式之次子波加入振幅 相位的假設, 得到所謂 Huygens-Fresnel 繞射公式, 能夠精確計算許多繞射圖案之分佈 188, Gusav Krchhoff 由波動方程式為起點, 以數學方法推導 Huygens-Fresnel 公式, 建立了繞射理論的數學基礎, 而從推導的過程中也可以看出繞射實際 上是光之波動性質的必然結果 Sommerfeld 修改 Krchhoff 之推導過程, 免除其 邊界條件的矛盾, 得到所謂的 Raylegh-Sommerfeld 繞射公式 : q NCKU, Phys., 朱淑君 36
4.5 費馬原理 Ferma's Prncple 發展 Hero: 於 15 S.C..~ A.D. 5 間發表了 變化原理 (varaon prncple) 光自一點 S 到 P 點經過反射面走的是最短的路徑 說明 : 反射定律 SA S' A SB S' B 又 AS ' P 任兩邊長合大於第三邊長 S' A AP 同 SA AP S' B BP SB BP SB BP 為最短路徑 ( ) ( r Ferma: 於 1657 年提出了 最小時間原理 (Prncple of leas me) 光於兩點之間的路徑為光束通過需時最少的路徑 同時涵蓋反射及折射的情況下 折射時, 光的路徑非最短空間路徑 (mnmum spaal pah) 於近代, 修正 Ferma 原理為 : 光自一點 S 到 P 點走的路徑為光程長 (opcal pah lengh, OPL) 相較其他路徑變化為穩定的路徑 NCKU, Phys., 朱淑君 37
利用 Ferma s prncple 證明 Snell s Law 引入變數 x, 寫下 SP 的時間函數 (x) h x n n b 求 mn, 發生在 d/dx= 處 : a a-x x sn 1/ h x 代入上式得 : a x sn 1/ b a x sn sn c c n n n sn n sn (Snell' s Law) NCKU, Phys., 朱淑君 38
再述 Ferma s Prncple 自點 S 點 P 的路徑為具最小光程長的路徑 說明 : 考慮一多層 (m 層 ) 介質, 各層折射率皆不同 光自 SP 所需時間為 : S s 1 s n 1 n s l n l 代入 :v =c/n @Noe:, 稱為 空間路程長 (spaal pah lengh), 稱為 光程長, (opcal pah lengh, OPL) s m n m P 若介質為非均勻 (nhomogeneous) 介質, 折射率為位置函數 n(s), 則 OPL 為 : NCKU, Phys., 朱淑君 39
Noe: 光經過路徑歷時 : =OPL/c 光速 c 為常數 需時最短路徑等於具光程長最小的路徑 OPL 為光在介質中的路徑 所等效於光在真空中的距離大小 兩者應對應相同數目的波長數 : 費馬原理與海市蜃樓 (Ferma and Mrages) x 1: 太陽低於水平面以下時, 仍能見到太陽 NCKU, Phys., 朱淑君 光走需時最短路徑, OPL 最短, 滿足 Snell s Law 疏往密 折向 Normal 4
x : 以接近水平的角度看路面, 似乎地面上有水一般 說明 : 實驗得氣體折射率與大氣密度間的關係 : ( n 1) P 定壓力 P 由理想氣體定律 (Ideal gas law) 得 : 1 T T 越接近地面越熱, 密度越小 NCKU, Phys., 朱淑君 ( n 1) 1 T 所看到的像為遠處景象, 經由地面如同鏡面反射一般得到上面的像 此種像永遠離觀測者非常遠 ( 接近掠射的角度 ), 當你靠近時便消失 41
x 3: 聲波的傳播也走需時最短的路徑 說明 : 聲波速率與溫度的關係 : v T 又 v, 當 T上升 v上升 頻率 不變 上升 相當於 n下降 NCKU, Phys., 朱淑君 4
費馬原理的近代闡述 : (1) 引入相位及疊加概念, 補充 Ferma s prncple 不完整處 Ferma s Prncple 指出光走需時最短 (or OPL 最短 ) 的路徑, 若定出光程長為光線位置的函數 :OPL(x), Ferma s Prncple 即指出路徑發生在 OPL 函數有穩定值 (saonary value) 處, 即 d OPL OPL(x) 函數可能為 : 有極大 有極小 或有轉折點 dx 三種 OPL 曲線皆有斜率為 處 相較於其他路徑, 光自 S P 通過的路徑 O 其 OPL 函數隨位置的變化是穩定的 選擇 O 點附近的其他路徑,OPL 差異不大 選擇 O 點附近的其他路徑,OPL 差異很大 O NCKU, Phys., 朱淑君 43
光通過均勻介質自 SP 路徑有許多選擇, Why O 路徑? 路徑 O: 自 SP 各光線的光程差差不多因此各光線抵達 P 點皆為同相 干涉 路徑 O : 自 SP 各光線的光程差差異大 x: 說明反射 因此各光線抵達 P 點時, 各光場 因不同相而各自相消 球面波掃過整個鏡面時, 只有光線群 -I ( 走 = r 路徑 ) 其 OPL 是穩定的 OPL, 這些子波抵達 P 點時接近同相而能建設性疊 加 ( 顯示 ) 而光線群 -II 到 P 點 的光場彼此因不同相而相消 NCKU, Phys., 朱淑君 O O 44
() 修正 Ferma s Prncple 的錯誤 : 光走 OPL 穩定的路徑 ( 非最短 ) Noe: 光走的路徑其 OPL 不總是最小的 (a) xample 1: 光在 3D 中空橢球面鏡的傳播 S P 均置於橢球的焦點上,Q Q 無論落在球面上的任一點皆滿足 = r, 各路徑之 OPL 均相等, 非最短 xample : 圖 (c) 中, 對各面 (I) 橢球面 (II) 鏡面 (III) 較橢球面更彎曲的鏡面, 光線皆走 SQP 路徑 (OPL 穩定的路徑滿足 (b) NCKU, Phys., 朱淑君 = r ), 然 SQP 路徑在各面中各為 : (c) II (I) 橢球面 : 為 equal OPL (II) 鏡面 : 為 mnmum OPL (III) 較橢球面更彎曲的鏡面 : 為 maxmum OPL III I 45
補充 : 考慮極化及磁化之 Maxwell s equaons 及邊界條件 Maxwell s eqs 修正微分式 : 積分式 : B S d B dl 微分式積分式 D J H J B f A f A c ds D J dl H ds dl B D f A V f A c ds B dv ds D A Boundary condons 1 f f D D n K H H n 1 1 ˆ ˆ NCKU, Phys., 朱淑君 46 n n B B 1
4.6 電磁手法 The lecromagnec Approach 證明反射定律及折射定律 令入射波為線偏振平面波, 則邊界上 的入射 反射 透射波分別表示為 : 其中, o 是時間變化下的常數, 其 方向為電磁波偏振方向 r, 為 反射波 透射波相對入射波的相常數, 隨 O 定義的位置而改變 邊界條件 (Boundary condon): 邊界上平行表面的電場分量 是連續的 即介面任一邊平行表面的電場分量總和 1 = 另一邊的電場分量總和 ˆ 可得 在平面上的分量 u n or NCKU, Phys., 朱淑君 47
上式對任一時間 及平面上任一點皆成立 : r 必與時間 及位置 y 有相同的函數相依性 (funcon dependence): 若令平面為 y=b, 則 對任意時間上式皆成立 ( 回想 : 介質內電子受到頻率為 的入射波驅動, 散射波頻率總是 ) 取 (*) 式前兩項 : (*) ( r, 隨 O 定義的位置而改變, 只是平面波的不同位置 ) 此式表示代表位置向量 r 的末端所掃出垂直於向量 (k k r ) 的平面 又此平面為 y=b 介面 (k k r ) 表面 無落在介面上的分量 : NCKU, Phys., 朱淑君 48
由 uˆ n k uˆ n k r 因入射 反射波在同一介質中 : k =k r 得反射定律第一部份 : 又 k - k // u ˆ k k u ˆ 三向量共平面 ( 入射平面 ) 又 r n r n 取 (*) 式首 尾兩項 : 此式表示垂直於向量 (k k ) 的平面 又此平面為 y=b 介面 (k k ) 表面 無落在介面上的分量 : uˆ k - k ˆ u k u k n 又 k=n/c 且 = 因 因 k NCKU, Phys., 朱淑君 ˆ n n (Snell s Law, 折射定律第一部份 ) - k // u ˆ k k u ˆ 三向量共平面 ( 入射平面 ) n n Noe: r, 僅受 O 定義的位置而改變, 自此以後取其為 以簡化運算 49
The Fresnel equaon The Fresnel equaon 探討入射波 反射波 透射波三者之震幅 o or o 間的關係 具任意偏振方向的入射波均能用偏振態垂直 偏振態平行入射平面的兩個入射波表示, 故分別討論之 偏振態垂直入射平面 T-polarzed wave 偏振態平行入射平面 TM-polarzed wave NCKU, Phys., 朱淑君 5
證明 : 入射平面 (T-polarzed 令 : or s-polarzed wave) 令 o k H k B r k ˆ 1 ˆ 1 cos 入射波 : p ) r r or r r k k v H k v B 1 1 cos or 反射波 : r r r r r r r r r r k k v H k v B cos ˆ 1 or ˆ 1 透射波 : 介面電磁波滿足邊界條件 k v H k v B ˆ 1 or ˆ 1 介面電磁波滿足邊界條件 ; ) ( 1 介電材料, 無面電流 H H ( 如圖, 令某一瞬間三電場均為出紙面方向 ) NCKU, Phys., 朱淑君 51 ) (Noe : ) ( 1 表示沿平面的分量介電材料, 無面電流 H H
μ 代入 : r μ ( 如圖, 令某一瞬間三電場均為出紙面方向 ) 合併兩式, 解 or / o o / o : 代入上式, 且 v=c/n, 消去 C : o or cos or = o - o 代入上式且 v=c/n, 消去 C: o o NCKU, Phys., 朱淑君 5
Noe: 大多數介電質非磁性材料 ( 得 : ), 消去式中透磁係數 分別為震幅反射係數 (amplude reflecon coeffcen) 及震幅透射係數 (amplude ransmsson coeffcen) 證明 :B 入射平面時 [ 即 // 入射平面 ] (TM-polarzed or p-polarzed 同 T 偏振態之證明假設入射波 wave) 反射波 透射波 介面電磁波滿足邊界條件 1 ; H1 H (Noe : 表示沿平面的分量 ) ( 如圖, 令某一瞬間三磁場均為出紙面方向 ) NCKU, Phys., 朱淑君 53
合併兩式, 解 or/ o o/ o: cos 由 (a) 式得 : o o cos n n cos o or o cos or (a) (v=c/n) or 代入 (b) n n o or o (b) 由 (a) 式得 : n o or cos cos o o cos cos n o o 代入 (b) NCKU, Phys., 朱淑君 Noe: 大多數介電質非磁性材料 ( ), 消去式中透磁係數得 54
可利用 Snell s Law 簡化 Fresnel s eqs 為 : (Prob. 4-39) NCKU, Phys., 朱淑君 Noe:Fresnel s equaons 的推導過程中, 初始假設之入射 反射 透射波的電場 磁場方向是任意假定的 ( 本書的初始假設為同相 ), Fresnel s equaons 中的 - 代表實際上的 or 或 o 與假設方向相反, 文獻中並無統一的用法, 使用時需配合推導時初始假設之電場方向 55
Fresnel s eqs 之說明 震幅係數 (Amplude coeffcens) 當入射角 = 時, 此時無入射平面之定義, 兩情形下的反射情況應相同 Noe: 此處的 - 僅為方向不同, 由初始電場方向的假設衍生, 稍後解釋 外反射 (xernal reflecon):n <n r : ( > ) 因 > :sn( - )> r < n = n : r n n n =9 :cos = r 1 n n cos cos NCKU, Phys., 朱淑君 56 外反射 n <n
r // : NCKU, Phys., 朱淑君 = : r // / > // / + =9 : 此時 an( + )=+,r r // 當任意偏振光以此角度入射時, r TM, 反射波只有 T wave,, 故稱此時的入射角為偏振角 (Polarzaon angle, p ) > : 過了 p, 此時 + >9, 此時 an( + )<, 故 r // =9 : cos = n cos r n cos 1 外反射 n <n 57
& // : > > = : =9 : cos = = // = 外反射 n <n 內反射 (nernal reflecon):n >n ( < ) r : r 為複數 因 < :sn( - )< r > 當 = c : =9,cos = n cos r 1 ( 全反射 n cos NCKU, Phys., 朱淑君 ) 內反射 n >n 58
r 為複數 r // : = : r // < // + =9 : 此時 an( + )=+,r // 當任意偏振光以此角度入射時, r TM, 反射波只有 T wave, 內反射 n >n, 故稱此時的入射角為偏振角 (Polarzaon angle, p ) n 當 = c : =9 cos,cos = r 1 ( 全反射 ) n cos & // : NCKU, Phys., 朱淑君 = : > c : 發生全反射,4-7 節另外討論 59
( r) 1... 對光以任意角度入射均成立 證明 : (Prob. 4-5) // r // 1... 只對光垂直入射時成立 Proof: 由邊界條件 1 = T 偏振波入射時, o or o 滿足 : 同除 [ o ] 得 : 即 : ( r ) 1 對光以任意入射角度均成立 TM 偏振波入射時, o or o 滿足 : NCKU, Phys., 朱淑君 or o cos cos 同除 o cos 得 : 1 // r// 1 cos cos o o // // 唯獨當 = 時 : = r 1 只對光垂直入射時成立 6
相位偏移 (Phase shf) 外反射 n <n // 外反射 n <n r 為複數 內反射 n >n // 內反射 n >n NCKU, Phys., 朱淑君 61
r 相位偏移 : 推導時預設 or o 與 o 同相由 外反射,n >n : > r < or 與 o 反向 相當於引入了 = 的相位偏移 外反射 ( 電磁波由低折射率入射高折射率介質時, 垂直於入射平面的電場分量,T 部分, 於反射時引入了 的相位偏移 ) 內反射,n <n : < r > 當 < c ( 未發生全反射 ) 時 or 與 o 同向 相位偏移 = 內反射 NCKU, Phys., 朱淑君 6
& // 相位偏移 : > > 外反射, n >n : = // = 內反射,n <n : 當 < c ( 未發生全反射 ) 時, = // = r // 相位偏移 : Noe: 共平面的電場如何定義同相 反相? 同向 兩電場同相 入射平面上的兩電場, 若兩電場垂直平面的分量 反向 兩電場反相 伴隨著兩電場的兩磁場方向也隨之同 反相 (ex: 右下圖 ) NCKU, Phys., 朱淑君 TM wave 63
// 說明 r // 相位偏移 : r // 當 n cos -n cos > // = 當 n cos - n cos < // = 外反射 // = 情形 : sn cos n cos n cos n sn cos sn cos sn cos sn sn 外反射 n 內反射 n cos n :, sn sn 需 cos 需 cos / :, sn / n // = 情形 : 恰相反 外反射 n n : / 內反射 n n : / // 內反射 NCKU, Phys., 朱淑君 64
Noe: =9 + :r r // = 反射波之 [ or ] // = 任意偏振態的電磁波以此入射角 ( = p ) 入射, 反射波只有 T 分量 [ or ] ( 反射光成線偏振光 ) r // 相位偏移總結 : // // 外反射 內反射 r // p時 : // 時 : p or p 時 : // p 時 : // p ' 時 : or p' c 時 : // c 時 : r// 為複數, // : ~ 9 NCKU, Phys., 朱淑君 65
內反射時, 兩偏振態間的相對相位偏移 (Relave phase shf): 內全反射時, 兩偏振態間的相對相位延遲非 此特性可應用來設計改變光偏振態的光學元件 (ex: The Fresnel rhomb) Ch8 解釋 NCKU, Phys., 朱淑君 66
根據實際相位變化情況所繪製的反射時電場 磁場的變化關係圖 : 外反射 n <n 外反射 內反射 內反射 n >n NCKU, Phys., 朱淑君 67
反射係數 (Reflecance) 及透射係數 (ransmance) 回想 : 各向同性 (soropc) 均勻(homogeneous) 介質中, 單位面積傳遞的光功率 波映亭向量 (Poynng vecor): S v ε B 單位面積單位時間平均傳遞的光能量 通量密度 (radan flux densy) : vε I S T Noe: 各向同性 (soropc) 均勻 (homogeneous) 介質中 S // k 如圖所示 : 入射 反射 透射光束截面積為 : A cos A cos r A cos 入射 反射 透射光束之平均光功率為 : I A cos I r A cos r I A cos NCKU, Phys., 朱淑君 68
定義 反射係數 (Reflecance), R: 反射光與入射光之 ( 平均 ) 光功率之比 反射係數 (Reflecance), R 反射光與入射光之 ( 平均 ) 光功率之比 / v / v r ε ε r r r r 透射係數 (Transmance), T: 透射光與入射光之 ( 平均 ) 光功率之比 cos cos cos / v n n ε cos cos cos / v n n ε 1 v v 介電質通常非磁性材料 n ε ε Noe: Why T? 有兩個因素 : v 介質通常非磁性材料 c y 個, 因兩介質的折射率差異, 造成能量入射介質 能量出射介質中的電磁波波速不同 v v I ε S T NCKU, Phys., 朱淑君能量出射介質中的電磁波波速不同 入射 出射光束的橫截面積大小不同 69
能量守恆 (nergy conservaon): 當無損耗時, 單位時間內流入 流出面積流出面積 A 的能量應相同 n o cos n or cos n o cos I S T vε 同除 ( 無損耗 ) 即 ( 無損耗 ) 常將 T TM 偏振態分開表示 : NCKU, Phys., 朱淑君 7
當 = 時 :cos = cos = R T r n 此時入射平面的定義是不明確的, 因此 T wave 與 TM wave 之區隔消失 4% 的反射 曝光投影系統 x: 一般玻璃 n~1.5,ar-glass 介面約有 4% 的光反射掉 複雜透鏡系統 (>1 片透鏡 ) 需考量降低反射 鍍抗反射膜 n 光自空氣入射介質 光自空氣入射介質 透射係數 反射係數 R 隨介質 T 隨介質折射率 介質層數 N 折射率 n 增加而增加 增加而降低 (ex: 透明膠帶卷 ) R R NCKU, Phys., 朱淑君 71 n N
4.7 全內反射 Toal Inernal Reflecon 全內反射 (Toal nernal reflecon) n >n < 密介質入疏介質, 光線偏離法線, 當 增加 增加 臨界角 (crcal angle), c : 當 =9 時, 稱此時的入射角為 臨界角 n sn c =n sn9 當 > c 時 : 所有入射能量全部返回入射介質中射介質中, 此過程稱之為 全內反射 (Toal nernal reflecon) @Noe: 當 增加, 反射光束逐漸增強 不同於金屬面反射會引入損耗, 全內反射時 ( 當 > c 時 ), 可將入射光能量近似 1% 全部返回介質中 NCKU, Phys., 朱淑君 7
說明全內反射兩各向同性 均勻的介質會改變光速至 v 及 v v=c/n n >n 時, v >v 圖 (a): 經時間 CB= v A= v B 兩點同相, 落在同一透射波前上 圖 (b): 當入射角 增加時, 透射波的斜率增加 ( 對應更大的透射角 ) 圖 (c): 當入射角 增加到 AD=AB=v 時, 此時由 A 點發出的子波唯有沿表面傳才與 C 發出的子波同相 由 ABC 知此時之入射角 ( 臨界角, c ) 為 : v n snc n v n 給定兩介質時 ( 給定 n 時 ), 當光以 c 入射時, 散射子波唯獨沿介面傳播才是建設性干涉, 產生之擾動稱為表面波 (surface wave) NCKU, Phys., 朱淑君 73
X-ray 之全反射 X-ray glass ar 疏介質入密介質 X-ray 在一般介質的折射率 n<1 ( 非常接近 1, n-1 <1-4 ), 當 x-ray 自空氣入進入介質 (ex: glass) 時, 此時透射光線會些微的偏離法線 誤稱 : 全外反射 (oal exernal reflecon) 對一般光線而言, n ar <n glass n <n,x-ray 發生全反射則稱為全 外 反射 仍為全內反射 : 對 x-ray 而言, n ar >n glass n >n ( 即便玻璃密度比空氣大 ),x-ray 發生全反射的過程仍屬於內反射 (nernal reflecon) X-ray 的全反射 : n <1, 但 n ~1 sn c ~1, c ~ 9 193 年, A. H. Compon 利用波長.18nm 的 x-ray 照射玻璃, 約在與表面差 1 分 (1/6 度 ~.167 ) 時發生全反射, 可推出 x-ray 於玻璃中的折射率為 : NCKU, Phys., 朱淑君 n =n =sn c = sn(9 -.167 )~1-4.x1-6 74
消逝波 (The evanescen) Q: 發生全反射時, o or 非完全反相, 若無透射波, 則無法滿足邊界條件 1 = 全反射時, 介面有透射波 內反射 內反射 改寫震幅反射係數 :(Prob. 4-75) cos n cos n cos 1 NCKU, Phys., 朱淑君 75
當 > c 時,sn > n r r // 均為複數, 但仍滿足 : r *r = r // *r // = R =1 (Prob. 4-76) 表示即便有透射波的存在, 就平均而言, 並沒有將能量帶過介面 消逝波 (evanescen wave) 表示式 : 透射波可表示成 其中 : NCKU, Phys., 朱淑君 k k sn x k 1/ sn y k cos k 1 當 > c 時, sn > n 代入得消逝波之表示式為 : n sn k k y 1 n 1/ Noe: y 指數項取 - 號, + 號無物理意義 表示了一震幅沿 +y 方向成指數衰減 往 +x 方向傳之波 76
圖示 : 透射波與消逝波 < c > c 等相位面 e -y 衰減 vanescen zone 等震幅面 波行進方向 y y x NCKU, Phys., 朱淑君 77 x 波前 (y-z plane) 與等震幅面 (x-z plane) 平面相互垂直
Noe: 波前 (y-z plane) 與等震幅面 (x-z plane) 平面相互垂直, 為非均勻波 (nhomogeneous wave) 震幅沿 +y 方向成指數快速衰減 此波僅能穿透介質數個波長, 又稱 邊界波 (boundary wave) 能量守恆 : 實際上, 能量在介面處來回往返, 導致就平均而言, 流過介面到透射介質的通量為 ( 需更複雜的計算 ) 如圖所示, 全反射時, 反射 入射光射光 非完全反相, 無法完全相消 由邊界 條件 連續, 得知疏介質中必有同 入射光頻率 之電場震盪, 且其沿介面有分量 即消逝波 已由實驗確認消逝波之頻率 內反射 NCKU, Phys., 朱淑君 消逝波有 x 分量, 又其 k 沿 x 方向 非完全的橫波 內反射 78
應用 : 受抑全內反射 (Frusraed oal nernal reflecon, FTIR) 說明 : 原先光自玻璃中以 > c 入射空氣, 此時 glass 發生全反射 當另一塊玻璃貼著介面時, 則光可 ar 穿透介面 ( 由全反射 無反射 ) glass x: 手持玻璃杯時可以看見明顯的指紋, 因指紋隆起處破壞全內反射 x: 指紋辨識系統 NCKU, Phys., 朱淑君 79
受抑全內反射 (Frusraed oal nernal reflecon), FTIR : 當消逝波有可觀的震幅通過疏介質間隙進入鄰近較高折射率介質中時, 能量能流過間隙, 此現象稱之為 FTIR x: 右圖 當消逝波通過空氣間隙時, 仍有足夠的電場強度去驅策 抑制介質 (frusraed medum) 中的電子, 而 能在該介質中產生波, 使得能量得以流過介面 應用 : 分光鏡 (Beam-spler) 分光鏡利用薄 低折射率的介質做出精準的間隙, 可依需求控制反射 透射的比例 寬度代表震幅 NCKU, Phys., 朱淑君 8
4.8 金屬的光學性質 Opcal Properes of Meals 金屬的最大特色便是具有大量的自由電子 (free elecrons), 或稱傳導電子 (conducon elecrons) 自由電子不同於束縛電子(bound elecrons) 能夠在材料內傳播 歐姆定律 (Ohm s Law): 為導體於定溫下測得的實驗結果 外加電場於導體時, 電場對導體內自由電子施力, 因而產生電流流動 面電流密度 (curren per un area) J 與 間的比例係數稱之為介質的 導電率 (conducvy) 導電率比較 : 介電質 (Delecrc): 無自由電子 = 金屬 (meal): 為有限值 非零 完美導體 (perfec conducor): = NCKU, Phys., 朱淑君 此意味著, 以諧和波驅策完美導體中的自由電子時, 電子會完全隨著電場變化 無恢復力 (resorng force) 無自然頻率 無吸收 只會再輻射 Noe: 真實的金屬中, 傳導電子會與熱震動的晶格或介質中的缺陷發生碰撞, 電磁能因而不可逆的轉為焦耳熱 ( 有吸收 ) 導體對電磁輻射的吸收是導電率 的函數 81
金屬中的波 (wave n meal) 金屬中的波動方程式 : 證明 : B B H J f D f B D Isoropc, homogeneous 介質 非空間的函數 B B J f B f D 若導體不帶電荷 = NCKU, Phys., 朱淑君 8
Noe: 右式中, 相當於震盪模型中的阻尼項 由於時變電場產生電壓差值, 因而產生電流 當材料本身有阻抗 ( 電阻 ) 時, 電流流過時, 電磁能因而轉為熱能而被金屬吸收 可將金屬中的波動方程式改寫為無損耗的波動方程式 : ~ 只需將電容率 (permvy) 改用複數表示 得到複數折射率 : 其中 n R, n I 均為實數, 複數折射率的虛部項 n I 對應於金屬對光的吸收 好處 : 僅需將折射率以複數折射率到光波於金屬中的行為表現 代入一般波動方程式之解, 可得 NCKU, Phys., 朱淑君 83
x: 導體中的諧和波的表示式 : 介電質中沿 y 方向傳播的諧和波 : 金屬中沿 y 方向傳播的諧和波 : 代入 : k n~ c Complex form: Real form: 表示朝 +y 方向以相速 v p =c/n R 傳播之電場擾動,n R 如同在一般介質中的折射率 震幅 :, 隨傳播距離成指數衰減 幅照度 (rradance) or 通量密度 (flux densy): 稱為吸收係數 (absorpon coeffcen) 或衰減係數 (aenuaon coeffcen): NCKU, Phys., 朱淑君 I 為入射光於金屬表面處的幅照度值 84
膚深 (skn deph) or 穿透深度 (peneraon deph): 透射光之通量密度 I 衰減至 e -1 ~1/.7~1/3 1/3 時的深度 = 1/ Noe: 1 ( 紫外光 ) 1/ 光在金屬的穿透深度很小,ex: 銅 NCKU, Phys., 朱淑君 nm. 6nm 1 nm( 紅外光 ) 1/ 6nm 此為金屬通常皆為不透明之因 但若將金屬做成薄膜時, 可成為部分透光 金屬的光澤來自於其高反射率, 由於入射光不能有效地穿透介質, 只有表面少數的電子能感受到傳透波, 即使此處電子能發生強吸收, 但對整體入射光而言, 只有少部分的能量被金屬吸收, 大部分的能量均成為反射波 (85~95%) 大多數的金屬看起來是淡灰色 ( 如 : 鋁 錫 鋼 ), 由於此時金屬幾乎將所有的入射光皆反射 (85~95%) 無論其波長為何 因此金屬為無色的 導體中的電磁波如同 FTIR 中的表面波 (surface wave) 一般, 皆非完全的橫波 兩例中, 皆有沿傳播方向電場分量 ( 需更複雜的計算 ) 85
金屬的色散關係式 (Dsperson Relaon) 模型 : 可將導體看成一個許多驅策的 (Drvng) 減幅的 (Damped) 震盪系統的集合 其中包含了部分自由電子及部分束縛電子的作用 然而自由電子為決定金屬的光學特性的主因 金屬的色散關係式 : @ 說明 : 回想束縛電子震盪位移 x 相對於外加電場 之關係為 : qe / me x ( ) ( ) NCKU, Phys., 朱淑君 對自由電子而言, 無恢復力 =, 可以明顯看出電子的位移與驅動力 q e () 為 18 反相 : qe / me x( ) ( ) 自由電子之震盪與入射光反相, 其再輻射之子波 (wavele) 會抵消入射波 因而得到快速衰減之透射波 e 86
束縛電子與自由電子之震盪情形 : ( 驅策力 ) qe / me 束縛電子 : x( ) ( ) q e / m e 自由電子 : x ( ) ( ) NCKU, Phys., 朱淑君 87
假設導體內移動電子所感受到的平均電場即外加電場, 將介電質的色散關係式延伸可得到金屬的色散關係式為 : 式中第一項為自由電子之貢獻 其中 N 為單位體積的原子數目, 每個原子有 f e 個自由電子 式中第二項為束縛電子之貢獻 若金屬有特定的顏色, 表示金屬除自由電子之作用外, 原子尚經由束縛電子選擇性吸收特定頻率的光 [Noe: 金屬對一頻率的光有強吸收時, 並未真的吸收大量該頻率之入射光, 而是選擇性的反射掉該頻率的光 ] x: 銅及金呈現淡紅色的原因是 n I () 隨入射波長增加而增加, 因此對長波長的光反射較強 NCKU, Phys., 朱淑君 88
高頻時的色散關係式 : 高頻時 (>> e ) e 可忽略, 若忽略束縛電子的影響, 可得色散關係式為 : >> e 反映著當入射高頻光至金屬時, 自由電子在發生一次碰撞之間已經歷過多次震盪 金屬內的自由電子與正電荷可看成電漿 (plasma), 其密度以電漿頻率 (plasma frequency), p, 震盪 p 可看成一臨界值, 入射光角頻率為, 當 : NCKU, Phys., 朱淑君 p Nqe < p 時 : 折射率為複數 透射波成指數衰減 反射入射光 > p 時 : 折射率為實數 導體是透明的, 此時 n<1 v<c 地球上方電離層, 具有許多自由電子, 該處特性非常像金屬中的自由電子 < p 時 : 入射光被反射 > p 時 : 入射光可穿透 x: 若自月球傳至地球之訊號, 低頻會被電離層反射 而高頻訊號則可穿透 ; m e 1/ 89
金屬的反射 (Reflecon from a Meal) 反射係數 (Reflecance), R=I r /I, 當光垂直入射金屬時, 取入設介質 透設金屬代入垂直入射時的反射率公式 (eq4.47) 可得 : n 1 R ni nr ni 1 n n 1 n n 1 R I R I 說明 : 當 n I 時 : 材料的導電率, 回到介電質之情形 此時, 衰減係數 =, 介質之折射率 n =n R 當折射率為純虛數時 : 此時,R=1% (An Impossble case) 當 n I 很大時 : 相較於 n I, n R 很小時, 此時有較高的反射率 Noe: 兩材料相比, 即便 n I 較小的材料仍可能有較大的反射率 固態鈉 ( Sodum :) nr.4 ni.4 R. 9 固態錫 ( n: ) nr 1.5 ni 5.3 R.8 單晶鎵 ( gallum :) nr 3.7 ni 5.4 R.7 NCKU, Phys., 朱淑君 9
下圖為光入射吸收介質時, 典型的 R R // 曲線 : x: 金 -- R( o )=.5 銀 -- R( o )=.9 對所有的金屬而言,R(9 )=1 如同介電質一般,TM wave 在特定入射角有最小的反射率, 此角度稱為 prncple angle-of-ncdence, 但此時 R // NCKU, Phys., 朱淑君 91
下圖為蒸鍍之金屬薄膜對不同波長之反射係數 (Reflecance), R 金對綠光下的波長均有很好的穿透性 ( 顏色偏紅 ) 銀對所有可見光範圍均為高反射 對紫外以下的波長為透明的 NCKU, Phys., 朱淑君 9
4.1 Sokes 處理反射與折射的手法 The Sokes Treamen of Reflecon and Refracon 反射與透射的表示 :Fg(a) r: 反射光震幅與入射光震幅之比 1 由定義 : : 透射光震幅與入射光震幅之比 反射光震幅 or o r 令入射光震幅為 o 透射光震幅 o o 若無能量損失 ( 無吸收 ), 則當光波反向時, 應得到相同情形 :Fg(b) 1 自介質 1入射反射波 應得到原入射波 自介質 入射透射波 NCKU, Phys., 朱淑君 93
由圖 (c) 入射反射波 ( o )r 及入射透射波 ( o ) 各得到一透射波及一反射波 以 r 表示自介質 入射介質 1 時之震幅反射係數 震幅透射係數 對照 (b)(c) 兩圖知 : ( 介質 1 得到原入射光 ) ( 介質 無電磁場擾動 ) 消去 o 得 : ( 稱 Soke s relaons) r r 均與入射角度有關,Soke s relaons, 可表示為 : 1 1 NCKU, Phys., 朱淑君 其中 1, 滿足 94
Noe: 表示內反射與外反射間有 -phase-shf 表示內反射與外反射間有 phase shf ( 1, 為滿足 Snell s Law 的一對角度 ) 上述討論中均未定義 n 1, n 間的關係 n 1 > n n 1 < n 均適用 1 1 1 1 sn sn ' 1 r r : 光由 Noe: 符號 是提醒角度 為與 滿足 Snell s Law 的對角度 1 // 1 1 // 1 an an ' 1 r r : 光由 NCKU, Phys., 朱淑君 Noe: 符號 是提醒角度 為與 1 滿足 Snell s Law 的一對角度 95
圖片說明 : 內反射與外反射間有 -phase-shf 當 = p 時 = p, 此時亦成立 但當 > c 時, 無透射波, 此時 Soke s relaons 不適用 // 內反射 內反射 // 外反射 外反射 r // NCKU, Phys., 朱淑君 96
: 外反射時 : r r// 均為 phase shf 迷思概念常誤認為 內反射時 : r r // 均為 phase shf 正確 : 是內 外反射間有 -phase-shf [ ] ( 1 與 為滿足 Snell s Law 的一對角度 ) NCKU, Phys., 朱淑君 97
Homework 4, 5, 11, 15, 19,, 3, 9, 35, 38, 39, 4, 43, 44, 45, 48, 5, 56, 6, 64, 66, 7, 73, 75, 76 ( 共 5 題 ) NCKU, Phys., 朱淑君 98