4 市場模型 : 簡單迴歸之應用 本章重點 : 簡單線性迴歸模型估計量之性質 迴歸模型係數之檢定 市場模型之 OLS 估計結果 市場模型之檢定 ( 楊奕農, 國貿系 )
前言 本章將接續前一章, 利用台灣股市鋼鐵類股指數報酬和大盤報酬為例, 示範估計簡單線性迴歸模型, 並檢定其殘差 檢定的結果發現這個迴歸模型符合迴歸模型所要求之基本假設, 這個模型其實就是在財務計量上常見的的 市場模型 (marke model) 因此本章將接著運用這個模型來說明迴歸係數之性質與相關之統計檢定與推論 ( 楊奕農, 國貿系 )
4. 簡單迴歸係數之統計性質 以 OLS 所估計出簡單迴歸模型之係數估計量 b 估計量 ( 簡單迴歸模型之自變數係數估計量 ) bˆ Σ(y y)(x Σ(x x) x) (3...7a) b 估計量 ( 簡單迴歸模型之常數項估計量 ) bˆ y bˆ x (3...8a) ( 楊奕農, 國貿系 )
BLUE 估計量及估計量的不偏性質 在模型設定正確, 且符合迴歸假設 ()-(4) 的前提之下 OLS 估計得到的係數是 BLUE 估計量, 因此可知 bˆ bˆ 是不偏估計量 E (bˆ ) b E (bˆ ) b 不偏估計量也是服從某種隨機分配的變數 bˆ bˆ 雖然是不偏的估計量, 但是它們也是服從某種隨機分配的變數 ( 例如若迴歸假設 (5) 也成立的話, 則可以用數學證明 bˆ bˆ 都是服從常態分配的變數 ) ( 楊奕農, 國貿系 ) 3
4.. 簡單迴歸係數之統計性質 假設真實 ( 但未知 ) 的迴歸模型 : y b + b x + u (3...3) 其中 u 服從常配分配, 其均數為 0, 變異數為 σ, 即 u ~ N(0, σ ) 迴歸假設 (5) : 殘差為常態分配成立, 則可以用數學證明 bˆ bˆ 都是服從常態分配的變數 ( 楊奕農, 國貿系 ) 4
樣本所估計之 OLS 模型估計量亦服從常態分配 根據抽樣之樣本所估計之 OLS 模型,b 和 b 估計量亦服從常態分配 bˆ ~ N b, T σ (x x x) (4..) bˆ ~ N b, σ (x x) (4..) 由 (4..) 和 (4..) 兩式可看出估計量變異數的特性 () bˆ bˆ 的變異數都將隨著未知的 u 之變異數 σ 變大而增加 () bˆ bˆ 的變異數都將隨著 x 之變異程度變大而減少 ( 楊奕農, 國貿系 ) 5
估計量變異數愈大對估計值的影響 - 估計值不精確的機率變大 假設有兩組樣本所估計之兩個估計量 bˆ A ~ N(, ) bˆ B ~ N(, ) 所估計出來 bˆ 較大的 4 ( 偏誤 4 ) 的機率, 對變異數較大的 bˆ B 而言是 0.4 N(, ) N(, 4) 0.35 0.3 b A ~N(, ) 0.5 0. b B ~N(, ) 出現 4 的機率 0.5 0. 0.05 0-8 -6-4 - 0 4 6 8 0-6 -4-0 4 6 8 0 bˆ ( 楊奕農, 國貿系 ) 6
估計量的變異數隨著 x 之變異程度變大而減少 bˆ ~ N b, T σ (x x x) (4..) bˆ ~ N b, σ (x x) (4..) 從公式中可知 bˆ bˆ 的變異數都將隨著 x 之變異程度變大而減少, 所以樣本中的 x 觀察值變異程度愈大, 有助於估計值出現在更靠近真實 ( 未知 ) 的值 因此在取樣時, 研究者會希望樣本數愈多愈好的原因之一, 因為樣本數愈多, 所獲得的 x 觀察值愈多, 則 Σ ( x x) 就可能愈大 ( 楊奕農, 國貿系 ) 7
估計量的變異數隨著未知的 u 之變異數 σ 變大而增加 其實在實務上 u 的變異數 σ 也是未知的, 我們也需要估計它 根據前人的證明, 迴歸中未知母體 u 的變異數 σ 之不偏估計量如下 σˆ û T n (4..3) T 為樣本總數, n 為迴歸模型中待估的參數數目 由此也可以推知, 當樣本總數 T 愈大時, ˆσ 也會愈小, 故有助於取得更精確的 bˆ bˆ 估計值 ( 楊奕農, 國貿系 ) 8
增加樣本總數可能有助於取得更精確的估計值 樣本總數 T 愈大, 則 x 之變異程度就可能愈大 bˆ ~ N b, T σ (x x x) 樣本總數 T 愈大, ˆσ 也會愈小 σˆ bˆ û ~ N b T n, σ (x x) 但增加樣本總數可能造成的問題 結構轉變 增加樣本總數 T 並非計量上的萬靈丹 特別像是財務資料多半都是時間序列資料, 當樣本總數 T 增加, 隱含著樣本時間拉長, 此時要小心母體是否發生結構性轉變的問題 ( 迴歸式未知的母體係數發生改變 ), 未注意此問題可能造成統計決策或推論錯誤 ( 楊奕農, 國貿系 ) 9
4.. 迴歸係數之檢定 檢驗 OLS 所估計的係數是否顯著異於未知的母體係數 符合 OLS 所需的假設之下 ( 含殘差常態假設 ), 前人已證明 分配如下 bˆ 是常態 bˆ ~ N b, σ (x x) 檢定 bˆ 是否異於未知的母體值 b 之虛無假設 H 0 b (4..4) : bˆ ( 楊奕農, 國貿系 ) 0
σ 已知情況下之檢定統計量 因為 bˆ b 都是常態分配, 若 σ 已知則可透過 Z 檢定來判斷 Z bˆ b var(b σ 未知情況下之檢定統計量 ) ~ N(0, ) 不過通常 σ 是未知的, 此時可應用 統計量進行檢定 bˆ b ~ (T ) σˆ (x x) (4..5) ( 楊奕農, 國貿系 )
另一種檢定 bˆ 是否異於 b 之統計量形式 把 (4..5) 統計量公式的分母以更簡潔的形式表示如下 bˆ b se(bˆ ~ (T ) ) (4..6) se(bˆ ) 為 bˆ 的 標準誤 (sandard error) 如下 se(bˆ ) σˆ Σ(x x) ( 楊奕農, 國貿系 )
檢定 bˆ 是否異於未知的母體值 b 之虛無假設 迴歸模型中常數項 b 的檢定也是利用 統計量, 形式和以上 b 的檢定完全相同 H 0 b (4..7) : bˆ σ 已知情況下之檢定統計量 因為 bˆ b 都是常態分配, 所以可透過以下的 Z 檢定來判斷 Z bˆ b var(b ) ~ N(0, ) ( 楊奕農, 國貿系 ) 3
σ 未知情況下之檢定統計量 和檢定 b 估計值相似, 由於 σ 通常是未知的, 此時可應用 統計量進行檢定 T bˆ σˆ b ~ (T ) (x x x) (4..8) ( 楊奕農, 國貿系 ) 4
bˆ 和 bˆ 檢定之檢定統計量 bˆ 和 bˆ 檢定之差異僅在於標準誤 (sandard error) 的不同, 所以 (4..8) 式另一個常見的表達形式和 (4..6) 完全相同 bˆ b se(bˆ ~ (T ) ) 因此可將 bˆ 和 bˆ 檢定之檢定統計量整合為一個較為容易記住的形式 bˆ i bi se(bˆ ) i ~ (T n) for i,,n 是迴歸式中待估參數的數目 ( 此例 n ) (4..9) (4..0) ( 楊奕農, 國貿系 ) 5
如何設定檢定中未知的母體參數值 根據經濟或財務相關理論, 有時它們是一個確定的數字 ( 例如 b ) 此時的虛無假設如下 : bˆ H 0 如果 se( bˆ ) 0.076, 即可將所估計得到的 bˆ, 代入 (4..0) 式計算 bˆ ~ (T ) 0.076 ( 楊奕農, 國貿系 ) 6
如何設定檢定中未知的母體參數值 ( 續 ) 有時母體理論值 b 等於多少不是重點, 我們關切的是 b 的正負符號 此時的虛無假設如下 然後進行 檢定 H0 : bˆ 0 bˆ ~ 0.076 (T ) 當然直接進行單尾的虛無假設 H0: bˆ 的 檢定也是可以的 0 或 H0: bˆ 0 來進行你想要 ( 楊奕農, 國貿系 ) 7
4..3 迴歸模型估計結果說明 估計模型 r_wir b + b r_wi 迴歸模型估計結果應注意之資訊 ( 以 grel 為例 ). 樣本範圍. 估計所得之係數與相關統計數據 3. 其他迴歸相關資訊 ( 楊奕農, 國貿系 ) 8
樣本範圍 此例樣本是從 000:0 至 006: 包含 84 個觀察值 ( 即用來估計的樣本數目 ) ( 楊奕農, 國貿系 ) 9
估計所得之係數與相關統計數據 Variable Coefficien SdError T-Sa P-value 分別是指迴歸式等號右邊之變數 ( 含常數項 ) 估計係數 標準誤 統計值 以及 p 值 常數項之估計值 bˆ 0.0766754 其標準誤 se( bˆ ) 0.0830969 虛無假設 H 0 : b 0 之 T 統計值 0.93 bˆ / se( bˆ ) 0.93 (P-VALUE 則是虛無假設 H 0 : b 0 之 P 值 ( 楊奕農, 國貿系 ) 0
估計所得之係數與相關統計數據 ( 續 ) (3) r_wi 變數的迴歸係數是 0.5864 其標準誤 se( bˆ ) 0.0830969 標準誤 (sandard error),se( bˆ ) 0.077 虛無假設 H 0 : b 0 的 統計值 5.447 是, 即 bˆ /se( bˆ ) 0.93 ( 楊奕農, 國貿系 )
其他迴歸相關資訊概覽 Mean of dependen variable 應變數之平均數 Sandard deviaion of dep. var. 應變數之標準差 Sandard error of residuals 殘差的標準誤 Sum of squared residuals ( 或 error sum of squares,sse) 殘差平方和 Toal sum of squares (SST) 總變異 Unadjused R-squared ( 判定係數或 R, 讀作 R sqaure) Adjused R-squared ( 調整後之判定係數或 Adj R ) Degrees of freedom 自由度 Durbin-Wason saisic (DW 統計量 ) Firs-order auocorrelaion coeff. 殘差的一階自我相關係數 Log Likelihood 最大概似值 Akaike informaion crierion (AIC) Schwarz Bayesian crierion (BIC or SBC) Hannan-Quinn crierion (HQC) ( 楊奕農, 國貿系 )
Mean of dependen variable 應變數之平均數 應變數之平均數之計算公式 y T T y T 表示樣本數, 範例中應變數 r_wir 之平均數約為 0.007 ( 楊奕農, 國貿系 ) 3
Sandard deviaion of dep. var. 應變數之標準差 應變數之標準差計算公式 σ y T (y (T ) y) T 為樣本數, y 為 y 的平均數, 範例中應變數 r_wir 之標準差約為 0.0883 ( 楊奕農, 國貿系 ) 4
Sandard error of residuals 殘差的標準誤 殘差標準誤之計算公式如下 s e T e (T k) T 為樣本數,k 為模型參數個數 範例中之模型估計所得殘差的標準誤約為 0.076 ( 楊奕農, 國貿系 ) 5
Sum of squared residuals(ssr) 殘差平方和 殘差平方和, 簡稱 SSR ( 亦可表示為 error sum of squares,sse) 範例中的 SSR0.4756 SSR T (y ŷ ) ( 楊奕農, 國貿系 ) 6
Toal sum of squares (TSS) 總變異 TSS 並沒有列示在估計結果中, 但有些重要的迴歸統計資訊會使用到這個統計量 根據下列公式可以很容易地計算出 TSS 計算出 TSS 後, 便可以進一步算出衡量模型配適度的重要指標 R TSS T (y y) ( 楊奕農, 國貿系 ) 7
R-squared ( 判定係數或 R, 讀作 R sqaure) R SSR TSS 根據 SSR 和 SST 可計算出 R, 這是一個衡量模型配適度常用的指標 從公式中可以看出,R 介於 0 和 之間, 若 SSR 愈小, 則 R 愈接近, 表示以目前模型考量的自變數對應變數的解釋能力愈好, 即模型的配適度 (goodness of fi) 愈高 範例中的 R 0.65669 ( 楊奕農, 國貿系 ) 8
Adjused R-squared ( 調整後之判定係數或 Adj R ) 由於 R 容易受到自變數個數的影響, 隨著模型所包含的自變數個數增加, R 有上升的現象 (Pindyck and Rubinfeld, 998), 因此調整後的 R 即是考量樣本數及參數個數對原本的 R 進行調整 Adj R SSR /(T TSS /(T k) ) T 為樣本數,k 為迴歸估計式中所估計之參數個數 從公式中可以看出, 若 SSR 不變, 參數增加反而會使調整後的 R 有上升的現象 (k 上升使 SSR/(T-k) 也上升 ), 除非增加變數後使 SSR 大幅下降, 調整後的 R 才會提高 範例中的 Adjused R 0.5674 ( 楊奕農, 國貿系 ) 9
Degrees of freedom 自由度 檢定迴歸係數的顯著程度時會用使用此自由度 Degrees of freedomt-k 其中 T 為樣本數,k 為迴歸估計式中所估計之參數個數此範例中估計模型之自由度 T-k 84-8 ( 楊奕農, 國貿系 ) 30
Durbin-Wason saisic (DW 統計量 ) DW 統計量由 Durbin 和 Wason 提出, 用來衡量殘差一階自我相關的程度 DW T (ê T ( ρ) ê ê ) ρ 表示 e 和 e - 的相關係數, 介於 - 和 之間 若 e 和 e - 的相關程度很低, ρ 接近 0, 則 DW 會趨近於 範例的 DW 值約等於.058, 似乎很接近, 表示殘差可能無一階自我相關, 但是必須透過檢定才能確認是否有顯著的一階自我相關 ( 楊奕農, 國貿系 ) 3
Firs-order auocorrelaion coeff. 殘差一階自我相關係數 由殘差 期和 - 期序列所計算出的相關係數, 即一階自我相關係數, 公式即為 cor(ê, ê ), 也就是之前在介紹 Q 統計量時所提到的 ρ() 範例的殘差與前一期殘差之相關係數約為 -0.03, 同樣地我們必須透過檢定才能確認殘差間是否有顯著的相關 ( 楊奕農, 國貿系 ) 3
Log Likelihood 最大概似值 T ( + ln(π) ln(t)) T ln(ssr) ln 表示取自然對數,π 為圓周率,T 為樣本數,SSR 為殘差平方和 範例的最大概似值約為 98. 透過最大概似值可以計算出 AIC SBC 及 HQC 等統計量, 三個指標皆可用來比較不同模型用來估計某一組樣本的配適程度 ( 楊奕農, 國貿系 ) 33
AIC SBC 及 HQC 指標 Akaike informaion crierion (AIC) AIC + k Schwarz Bayesian crierion (BIC or SBC) BIC + k ln(t) Hannan-Quinn crierion (HQC) HQC + k ln(ln(t)) 這三個指標不同之處在於 SBC 及 HQC 同時以樣本數 (T) 以及模型所估計的參數個數 (k) 進行調整, 也就是考量了自由度 範例的 AIC 為 -9.4,SBC 為 -87.38,HQC 則為 -90.87 ( 楊奕農, 國貿系 ) 34
市場模型 (marke model) 4.. 何謂市場模型 在財務計量文獻中, 市場模型 (marke model) 係用來探討個別資產 ( 或組合 ) 報酬率和市場組合 (marke porfolio) 之間的關係 市場組合之定義 市場組合係指一組充分風險分散之多角化投資的資產組合 (well diversified porfolio), 當研究的資產對象是股票, 在實證上經常是用股票市場的大盤指數來當做替代變數 (proxy) ( 楊奕農, 國貿系 ) 35
迴歸方程式表示市場模型 令 r i 為 i 資產在 時間的報酬, 而 r im 為市場組合在 時間的報酬 其中 u ~ iid(0, ) σ i r + i αi + βirim u (3.3.) 市場模型的迴歸方程式其實就是一簡單線性迴歸式 y b + b x + u 即令 r i y,r m x, α i b, 而 β i b (3.3.) 式在財務計量的文獻中慣用已久, 其中 β i 就被慣稱為貝它係數 ( 楊奕農, 國貿系 ) 36
風險分散的概念 4.. 風險分散與系統風險 雞蛋不要放在同一個籃子裡 這種分散投資標的 ( 或稱多角化投資 ) 可以降低風險的觀念其實起源甚早, 甚至可溯至 7 世紀 (Perold, 004) 風險分散的例子 假設有 A B 兩檔股票, 在兩種景氣情況下 ( 假設發生的機率各為一半 ) 的報酬率如表 3.3. 並假設有一基金型股票之成份為 A B 兩種股票各 50% ( 楊奕農, 國貿系 ) 37
風險分散的例子 ( 續 ) ( 練習計算 var(r)) 表 3.3. 多角化投資與風險分散之說明 股票 報酬率 R (%) 期望報酬變異數 (%) (%) 景氣情況 景氣情況 E(R) var(r) (Pr 0.5) (Pr 0.5) A 5 5 0? B 5 5 0? C : Porfolio (0.5A+0.5B) 0 0 0? Noe: V(R i ) E [ (R i E(R i ) ] 0.5 ( 5-0) + 0.5 ( 5-0) 5, i A, B COV(R A, R B ) E [R A E(R A )] [R B E(R B )] 0.5 (5-0)(5-0) + 0.5 (5-0)(5-0) -5 相關係數 ρ AB COV(R A, R B ) / [V (R A )V(R B )] 0.5 ( 楊奕農, 國貿系 ) 38
A B C 三種股票期望報酬計算方式 期望報酬的計算方式 R i,j 代表股票 i 在 j 景氣情況下之報酬率 E(R i ) ΣPr j R i,j A B C 股的期望報酬 E(R A ) Pr R A, + Pr R A, 0.5 5 + 0.5 5 0 E(R B ) Pr R B, + Pr R B, 0.5 5 + 0.5 5 0 E(R C ) Pr R C, + Pr R C, 0.5 0 + 0.5 0 0 ( 楊奕農, 國貿系 ) 39
A B C 三種股票期望報酬之風險計算方式 i 股票報酬之變異數的計算方式 var(r i ) E[R i E(R i )] ΣPr j (R i,j E(R i )) A B C 三種股票期望報酬之風險分別為 var(r A ) 0.5 (5-0) + 0.5 (5-0) 5 var(r B ) 0.5 (5-0) + 0.5 (5-0) 5 var(r C ) 0.5 (0-0) + 0.5 (0-0) 0 ( 楊奕農, 國貿系 ) 40
持有基金型 C 股的期望報酬及風險 將資金單獨投資在 A 或 B 股, 其期望報酬和風險都相同, E(R A ) E(R B ) 0 var(r A ) var(r B ) 5 可是如果將投資分散, 例如持有基金型的 C 股, 則以此例的數據來看, 期望報酬和 A B 相同, 不過風險 ( 變異數 ) 在此例竟可降為 0 E(R C ) 0 var(r C ) 0 ( 楊奕農, 國貿系 ) 4
完美 風險分散投資組成之條件 A B 兩資產報酬的共變異數 cov (R A, R B ) E [R A E(R A )] [R B E(R B )] 0.5 (5-0)(5-0) + 0.5 (5-0)(5-0) 5 A B 兩資產報酬的相關係數 ρ AB cov(r var(r A A,R B ) ) var(r B ) 5 5 5 換言之, 要有像例子中這麼好的風險分散績效, 必須找到報酬變動方向完全負相關的資產, 即兩資產報酬對景氣變動之反應方向必需恰為完全相反 ( 楊奕農, 國貿系 ) 4
任一資產之總風險由下列兩種風險組成 馬可維茲 (Markowiz) 早就提出多角化投資所可以降低的風險其實是有限的 後來學者進一步將任一資產之總風險之觀念區分成 總風險 系統風險 + 非系統風險 系統風險與非系統風險 系統風險 (sysemaic risk) - 對所有 ( 或大部份 ) 資產價值影響方向一致的風險因素, 其影響將遍及整個市場, 故又稱為市場風險 (marke risk) 非系統風險 - 是只影響特定資產的風險因素, 故又稱為獨特風險 (specific risk) 只有非系統風險才是可以利用多角化投資的原理來分散風險 ( 楊奕農, 國貿系 ) 43
貝它係數之意涵 市場模型如下 r_wir α + β r_wi 貝它係數 β i 可以用來衡量資產 i 的 系統風險 大小 在市場模型的應用時, 也可以說貝它係數是衡量 i 個股報酬受到大盤報酬變動影響的程度 貝它係數大於 或小於 之意涵 貝它係數 > 的股票或資產組合是屬於 積極型 的股票 ; 而貝它係數 > 的股票或資產組合是屬於 保守型 的股票或資產組合 ( 楊奕農, 國貿系 ) 44
貝它係數之檢定 歸迴式 r _ wir α + β r _ wi 估計結果的表達方式 ( 括號中為標準差 ) r _ wir 0.0077 + 0.5864 (0.0083) (0.077) r _ wi ( 楊奕農, 國貿系 ) 45
判斷鋼鐵類股是 積極型 或 保守型 的資產組合 (I) 第一種方式 H 0 : β β ˆ βˆ β se( β) 0.5864 0.077 3.84 這是雙尾檢定 ( 因為 3.84 是負值 ), 所以看左尾臨界值.9893 <.9893, 故檢定結果為 拒絕虛無假設 : H 0 : β 換言之 β < (why???) ( 楊奕農, 國貿系 ) 46
.5.4.3. 拒絕域..0 0.05 非拒絕域 機率 α 0.05 ˆ 3.84 β L.9893 左尾臨界值 R.9893 右尾臨界值 圖.. 雙尾檢定的臨界值判斷 ( 顯著水準 0.05) ( 楊奕農, 國貿系 ) 47
判斷鋼鐵類股是 積極型 或 保守型 的資產組合 (II) 第二種方式 H 0 : β < H : β β ˆ βˆ β se( β) 0.5864 0.077 3.84 這是右 ( 單 ) 尾檢定 ( 因為 3.84 是負值 ), 必定落在右尾臨界值之左方 ( 所以其實不須查表了!) 故檢定結果為 無法拒絕虛無假設 : H 0 : β < ( 楊奕農, 國貿系 ) 48
.5.4.3 β< β. 拒絕域..0 非拒絕域 機率 α 0.05 ˆ 3.84 β R.6637 右尾臨界值 圖..3 右尾檢定的臨界值判斷 ( 顯著水準 0.05) ( 楊奕農, 國貿系 ) 49
R,adj R Log likelihood AIC, SBC 4.4 配適度 (Goodness of Fi) ( 楊奕農, 國貿系 ) 5