重 力 項少龍老師 項少龍老師
主題一 : 重力 一 牛頓萬有引力定律. 牛頓萬有引力定律 : 宇宙間的任何兩個質點間都具有相互吸引之力 ( 萬有引力 ), 且其大小與兩質點質量的乘積成正比, 而與其間距離的平方成反比 F F F G. 思考 : G 為萬有引力常數 (6.67 0 - Nt /k ), 經英國科學家卡文迪西利用扭秤實驗測出 經由微積分推導, 萬有引力定律亦適用於兩均勻球體 ( 球殼 ) 外部 二 重力與重力加速度. 重力 : 當兩物受萬有引力而互相吸引, 且其中一物體為星球時, 我們常稱此萬有引力 為重力 ( F W ). 重力場 : 重力的作用範圍 ( 作用空間 ) 3. 重力場強度 : 物體單位質量所受重力, 又稱為重力加速度 4. 思考 : F F GM / GM 星球外一點, 且距球心 處之重力場強度 F GM e / e GM e 地表附近之重力場強度 : 9.8 / s (W ) e ( e 為地球半徑 )
三 萬有引力與天體運行. 衛星運動 : 衛星以其所受萬有引力作為向心力, 而產生近似於等速率圓周之運動 v M F. 思考 : 衛星軌道的平面恆通過地心, 且衛星離地面高度愈高, 速度愈慢, 環繞地球一周所需時間 ( 週期 ) 愈長 若衛星週期與地球自轉週期相同, 且似靜止於空中某處, 則稱同步衛星 ( 同步衛星軌道面必與赤道面重合 ) 3. 牛頓定律與克卜勒定律 : 克卜勒三大定律一開始是由天文觀測歸納得出 但後來藉由牛頓第二定律以及牛頓萬有引力定律亦可理論推導出克卜勒三大定律 實驗歸納方式得出定律與演繹推導方式得出定律為研究科學之兩種重要方式
<~/~ 獵殺新物理 >. 設地球半徑為, 則 () 欲使某物重量僅為在地面時的 半徑為地球 需移至多高處? () 若移至, 密度與地球相同的某星球表面, 則此時其重量為在地面時的若干?. 某行星繞太陽公轉的橢圓軌道如圖所示, 則下列哪些確? (A) B 點所受萬有引力與 D 點一樣大 (B) A 點所受萬有引力與 C 點一樣大 (C) C 點加速度最大 (D) A 點加速度最大 3. 一個密度均勻的星球, 分裂為 8 個密度不變, 質量相等的星球 則每個星球表面的重力 加速度變為原來的多少?(A) /8 (B) / (C) (D) 8 86 學測 4. 兩質點間的萬有引力與其質量的乘積成正比, 而與其距離的平方成反比 小君想從萬 有引力常數 G 地球表面的重力加速度 和地球半徑 去估算地球的質量 M, 她寫 出的正確計算式應為下列何者? (A) M (B) M G (C) M G (D) G M (E) G M G <00 學測 > 5. 一人造衛星以圓形軌道上環繞地球運動, 則下列敘述何者正確? (A) 人造衛星在不同軌道半徑運行時, 速率相同 (B) 人造衛星軌道半徑越大, 繞行一週時間越長 (C) 人造衛星軌道中心必通過地心 (D) 向心力產生加速度, 使運動方向改變 3
6. 一太空船在半徑為 4 的圓形軌道上環繞地球運動 ( 為地球的半徑 ), 則質量為 80 k 的太空人在船內所受到的地球引力為若干公斤重? 為何我們稱船內的太空人處於失重 狀態? 7. 我國在 004 年 5 月發射的福 ( 華 ) 衛二號人造衛星, 屬低軌道衛星, 每日繞地球運行十多圈, 兩次經過台灣海峽上空 下列有關該衛星在軌道運行的敘述, 何者錯誤?(A) 該衛星繞地球轉速比地球自轉快 (B) 該衛星利用太陽能繞地球運行, 與地心引力無關 (C) 由於低軌道運行, 該衛星可能受有空氣阻力的作用 (D) 運行多年後, 該衛星的軌道有可能愈來愈 接近地面 94 學測 8. 在大氣中飛行的民航飛機, 與在太空中沿圓形軌道運行的人造衛星, 都受到地球重力的作用 下列有關民航飛機與人造衛星的敘述, 何者正確? (A) 飛機在空中飛行時, 機上乘客受到的地球重力為零 (B) 人造衛星內的裝備受到的地球重力為零, 因此是處於無重量的狀態 (C) 人造衛星在圓形軌道上等速率前進時, 可以不須耗用燃料提供前行的動力 (D) 飛機在空中等速率前行時, 若飛行高度不變, 則不須耗用燃料提供前行的動力 9 學測 9. 福衛三號衛星系統的衛星繞行於距離地面約 800 公里高度的軌道上, 假設衛星作等速率圓周運動, 則下列有關此衛星繞地球運轉的敘述, 哪些正確? 99 學測 (A) 萬有引力作為衛星繞地球運轉所需的向心力 (B) 衛星的加速度沿其軌道切線方向, 並與其切線速度同向 (C) 衛星的加速度沿其軌道切線方向, 並與其切線速度反向 (D) 衛星的加速度方向和衛星與地心之連線方向平行, 且為指向地心方向 (E) 衛星的加速度方向和衛星與地心之連線方向平行, 且為指離地心方向 0. 已知地球的平均半徑約為火星的.9, 地球的質量約為火星的 9.3 若忽略空氣阻力, 而將同一小球以相同的初速度分別於火星表面與地球表面鉛直上拋, 則小球在空中運動的時間, 在火星上約為地球上的多少? (A) 0.0 (B) 0.38 (C).0 (D).6 (E) 4.9 <0 學測 > 4
G. 在牛頓萬有引力定律中, 兩球體間的引力可寫為 F 為距離 若將力的單位表為牛頓時, 則式中係數 G 的單位應寫為, 其中 為質量,. 設某星的半徑為 0, 且該星表面的重力加速度為 0, 萬有引力常數為 G 試推算該星之 質量約為若干? 3. 某人在地球表面某處秤得其重量為 W, 若地球質量不變, 但半徑變為, 則該人在表面相同處重量變為 W W W (A)W (B)4W (C) (D) (E) 4 8 4. 已知一火箭質量為 M 重量為 W, 自地面向上發射, 當距地面 H 高度時, 其質量剩下 原來的 /4, 且重量變為原來的 /64, 則 H 為地球半徑之幾? 5. 有兩星球其質量比為 9:4, 則在兩者連線上受到萬有引力合力為 0 的位置, 距此兩星球 距離比為何? (A) 7 : 8 (B)3 3 : (C) 3 : (D) 9 : 4 (E) : 6. 八個密度相同, 大小相等的小星球, 因萬有引力而聚集成一個密度不變的大星球, 則 大星球表面之重力加速度為小星球表面之若干? 5
7. 質量分別為 3 的 A B C 三球, 距離如圖所示, 求 B 球受 A C 兩球萬有 引力的總和為若干? 3 A B C 8. 繞地球等速率運行的太空梭中, 下列敘述何者錯誤? (A) 太空人不受重力故漂浮在太空 艙中 (B) 太空梭繞地球運行的向心力為地球所提供 (C) 地球也受到太空艙的吸引力 (D) 太空梭繞地球運行為一變速度運動 (E) 太空梭在不同的軌道上運行時, 速率大小不同 9. 洲際通訊衛星繞地球赤道運轉, 其週期與地球自轉相同, 此種衛星稱為同步衛星 相對地, 由地面看此衛星好像是懸在高空中靜止不動 下列有關同步衛星的敘述, 何者正確? (A) 它的位置太高, 不受地心引力的作用, 所以它能懸在高空中靜止不動 (B) 它所受的太陽引力恰等於地球對它的引力 (C) 它所受的月亮引力恰等於地球對它的引力 (D) 它所受的地心引力, 恰等於它繞地球作等速率圓周運動所需的向心力 87 學測 0. 四個質量均為 的質點各別置於一邊長為 d 之正方形的四個 頂點上, 試求任一質點所受之引力合大小為何?. 某星質量約為地球質量的十分之一, 而半徑約為地球半徑的一半, 則在地表重 50 公斤重 的物體在該星表面時受重力為多少公斤重? 6
. 設地球半徑為, 某火箭重量為在地球表面上的三分之一, 則此時火箭離地多高? ( 設火箭質量不變 ) 3. 右圖中,A C 兩球體質量比為 3:,B D 質量比為 3:, 距 離比 : :, 則 A B 間與 C D 間萬有引力比為 4. 密度相同, 但半徑比為 3: 的兩個球如圖並排 已知小球的質量為 M, 則 (A) 大球的質量為 9M (B) 大球的質量為 7M (C) 若將大球與小球球心的距離增加為 4, 則兩球間的引力減為原來的 /4 3 O O ' (D) 若將大球與小球球心的距離增加為 4, 則兩球間的引力減為原來的 /6 7
<~*~ 試題簡答 >. () ( ) (). (A)(C) 3. (B) 4. (A) 5. (B)(C)(D) 6. 5kw 7. (B) 8. (C) 9. (A)(D) 0. (D). Nt k. 6. 7. G 0 0 4G. 0 ( kw ). ( 3 ) 3. 3. (D) 4. 3 5. (C) ( ) 8. (A) 9. (D) 0. 9 8 4. (B)(D) G d ( + ) <~,~ 試題解析 > F G. () 由題 F ' F GM GM + h h ( ) ( + h) GM () F 4 3 G ( ρ π ) 3 M h F ' F GM. (A)(B) F A < B D < C A > B D > C (C)(D) F a C > D B > A C > D B > A F G M 3. 8 4 V π 3 8 ( ) 3 ( ) 3 8
GM 4. 由題 F M G d 5. (A) 由 K.3. L 可知, 不同,T 亦不同, 速率不同 (B) 3 T ( ) (C) 由萬有引力當 F c ( 向心力 ) (D) ac 轉彎 6. 80 k F ' < 80kw 80kw 4 F 6 GM 4 F ' F 80 5kw 6 6 重量, 分為實重 ( 物體實際受到之萬有引力 ) 與視重 ( 彈簧秤或磅秤所得之秤重讀數 ), 太空 船運行時仍受萬有引力 ( 仍有實重 ), 但所受萬有引力皆用作運轉時所受向心力, 故此時 彈簧秤或磅秤不會有讀數, 稱為失重 ( 失去視重 ) 7. (B) F 當向心力 低軌道 有 ai 阻力 總能 軌道半徑 Ek 增增補 ( 高二 ) 總能 U 減多 8. (A) 仍受重力 (B) 應為失重狀態 (C) 可利用慣性 (D) 有空氣阻力耗能 9. 地球與衛星間之萬有引力為衛星作等速率圓周運動所需之向心力, 方向指向圓心 v0 0. t升?.6 0.39 ɺ 約 0.39 0.39 9.3 G M ( ).9 3.6 9
F( Nt) ( ). F G G ( k) ( k), G Nt 之單位 k. 由題 : GM F GM 0 0 0 00 M G GM 3. 由 F, 故 F 4 ' W 4 M GM 地 ( ) ( ) 4. 由題 : 4 GM M ( + H ) 64 地 + H 4 H 3, 故 3 5. 9M a 4M b 設此處為萬有引力, 合力為 0 G 由題知 : (9 M ) G (4 M ) 9 3 a b a b 4 6. 由題知 : 八個星球合而為一, 故大星球總質量變為原來之 8, 另外, 八個星球合而為 3 3 一, 且密度不變, 故大星球體積亦變為原來之 8, 且因 V V 知大星球半徑 變為原來之 3 F GM 8, 故由, 故 變為 8 7. 對 B 球 : G( )( ) G(3 )( ) FAB F CB G 6 G 合力 4 (6 G G ) ( ) 8. (A) 受重力當向心力, 其餘皆正確, 故選 (A) 0
9. (A) 受重力當向心力 (B)(C) 地球引力與月球太陽無關 故選 (D) 0. F F ' F F G G 所求 F + F ' + d ( d) G ( + ) d 5 0 GM. 由 F, 故 F ( ) ' 50 0( kw) 5 GM GM. 由題 : ( + h) 3 + h 3 h ( 3 ) 3. 由題設 A 3, c, B 3 M, D M,, 3 3M 9 GM M GM FAB 9 故 FAB G, F CD G, ( ) 4 F 8 CD 4. (A)(B) 由題知, 半徑比為 3:, 體積比為 7:, 且因兩球密度相同, 故質量比亦為 7:( 大球質量為 7M) GM (C)(D) 由 F (4) 6