一 多重選擇題 ( 第 ~4 題每題 0 分 ). 一群數值的算術平均數, 具有下列何種特性? (A) 易受極端值的影響 (B) 適用於群內數值差異較大時 (C) 各數值具有相等的重要性 (D) 群內各項數值與其算術平均數之差的總和為零 (E) 高一時的學年成績總平均即是算術平均數 解答 (A)(C)(D). 就數值,,,,,,4,4,4,4,5,,00,00,00,,00 ( 共 00 個 00), 下列何者正確? (A) 算術平均數 = 50.5 (B) 幾何平均數 = 0 55 (D) 中位數 70 (E) 眾數 = 00 解答 (D)(E) (A) + + + + 00 = 5050 00 00 0 0 k k k = 算術平均數 = = 6 5050 5050 (log+ log + log + L+ log00) 00 850 = = 67 5050 (C) 中位數 (B) G = 5050 4 L 00 L 00 logg = (log + log + log + + 00log00) 5050 故 G = 0 (log+ log + log + L+ 00 log00) 5050 5050 (C)(D) + + + + 70 = 485 < < + + + + 7 = 556 中位數為 7 (E) 眾數 = 00. 下圖是某次期中考, 班上英文成績的累積次數分布曲線, 下列哪些是正確 的? (A) 70 至 80 之間的人數最多 (B) 全班人數共有 50 人 (C) 成績的中位數大 於 70 (D) 以 60 分為及格分數, 那麼不及格的人不超過 0 人 (E) 成績在 50 到 80 之間的人數超過全班的百分之六十 - -
解答 (A)(B)(D)(E) 70~80 之間, 人數有 5 人, 不及格人數有 50 = 8 人 50~80 之間, 人數有 4 = 4, 占全班 68% 4. 某次段考數學一科的成績普遍偏低, 因此, 老師給每人加 分, 下列哪一個平均數會因而增加 分? (A) 算術平均數 (B) 幾何平均數 (C) 中位數 (D) 眾數 解答 (A)(C)(D) 二 填充題 ( 第 ~ 題每題 0 分 ). 某次段考二年級數學科成績統計如下表分三層, 用分層隨機抽樣得到十個成 績為 54,47,58,76,6,7,70,8,85,0, 則二年級數學科平均成績 為分 成績 人數 80 以上 00 60~7 00 60 以下 00 解答 6.75 設 y, y, y 為第一 二 三層樣本的平均數 則 y = (8 + 85 + 0) = 86, y = (76 + 6 + 7 + 70) = 70 4 y = (54 + 47+ 58) = 5 N y = y + N y + N y N + N + N 00 86 + 00 70 + 00 5 = 00 + 00 + 00 7 = = 6.75 4 - -
. 某生第二次月考成績及上課時數如下表 : 科目國文英文數學物理化學歷史地理公民 成績 85 55 70 65 75 8 70 時數 6 6 6 則以上課時數為權數的平均成績為 解答 7.7 W = 85 6 + 55 6 + 70 6 + 65 + 75 + 8 + 70 + 6 + 6 + 6 + + + + + 68 = = 7.7 0. 某人騎單車由甲地到乙地共行 公里, 第 公里時速 5 公里 / 小時, 第 公里 時速 0 公里 / 小時, 第 公里時速 5 公里 / 小時, 則其平均時速為 公里 / 小時 0 解答 第 公里時速 5 公里 / 小時須花小時 ; 第 公里時速 0 公里 / 小時須花 5 0 小時 第 公里時速 5 公里 / 小時須花 5 平均時速 = 5 + + 0 5 0 = 公里 / 小時 小時 ; 故走了 公里費時 + + 小時 5 0 5 4. 張老師在計算班上 50 位同學的平均成績時, 重複寫了一個成績 60 分, 得 5 位學生平均成績為 55 分, 則該班 50 位學生的平均成績為分 解答 54. x + x + L+ x 5 50 + 745 故算術平均數 = = 54.( 分 ) 50 5. 某單位 65 名員工的日薪資料如下表 : 60 = 55 x + x + + x 50 = 55 5 60 = 745 日薪 ( 元 ) 550 650 750 850 50 050 50 人數 8 0 6 4 0 5 則日薪的算術平均數為, 中位數為, 眾數為 解答 77.7;750;750 - -
() 算術平均數 x 850 因數值較大, 可利用平移縮小變換 :y = 00, 得 ( ) 8 + ( ) 0 + ( ) 6 + 0 4 + 0 + 5 + M y = 65 故 M x = 00M y + 850 = 77.7 () 中位數 4 = 65 有 65 位員工, 其日薪依次排列, 最中間者為第 位, 故中位數為 750 () 眾數 人數最多的一組其日薪為 750 元, 故眾數 = 750 6. 有 0 位學生英文成績的次數分布表如下 : 分數 40~50 50~60 60~70 70~80 80~0 人數 5 5 5 則成績的算術平均數 =, 中位數 = 解答 66;66 組別人數組中點 x y = x 65 0 以下累積次數 40~50 45 50~60 5 55 7 60~70 5 65 0 Me 70~80 5 75 7 80~0 85 0 ( ) + ( ) 5 + 0 5 + 5 + () M y = = 0 0 M x = 0M y + 65 = 0 0 + 65 = 66 0 = = 0 中位數 Me 落在 60~70 之間 Me 60 0 7 () 利用比例 : = 70 60 7 Me = 60 + 0 5 = 66 7. 某校九位學生數學抽考分數分別為 0,40,60,50,70,80,60,0,60, 則此九個分數的平均值為, 中位數為 若使用簡單隨 機抽樣法, 從這九個分數中取出三個, 則所取出三個分數的中位數等於 60 分的取法有種 解答 60;60;46-4 -
0 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 0 () 算術平均數 = = 60 () 將九個分數由小而大依次排列得 0,40,50,60,60,60,70,80,0 第 5 個分數為中位數 中位數 = 60 () 依隨機抽樣取出三個, 最中間一個為 60, 取法分成三類 一個 60, 另二個必有一個大於 60, 一個小於 60 取法有 C C C = 7 二個 60, 另一個任選 取法有 C C 6 = 8 三個均為 60 取法有 C = 故所有取法有 7 + 8 + = 46 種 8. 某射擊小組有六人, 今各射擊 5 發, 各人命中數分別為 4 4 4 發, 若 a 表其算術平均數,b 表其眾數,c 表其中位數,d 表其幾何平均數, 則 a,b,c 與 d 之大小關係為 解答 b > c > a > d 由小至大排序 :,,,4,4,4 + + + 4 + 4 + 4 算術平均數 a = =, 眾數 b = 4 6 中位數 c = + 4 =.5, 幾何平均數 d = 6... 4. 4. 4 = 6 6 b > c > a > d. 某班段考的數學成績經統計後, 得到平均分數為 48 分, 而且最高分也只有 60 分, 因此老師決定將每人的成績乘以.5 後, 再加 0 分, 求經此調整後, 平 均分數為分 解答 8 平均分數 = 48.5 + 0 = 8 0. 有 0 筆資料 :,4,0,5,40,5,4,,5,40, 令 A = (x ) + (x 4) + (x 0) + (x 5) + (x 40) + (x 5) + (x 4) + (x ) + (x 5) + (x 40), 當 A = 0 時, () x 表此 0 筆資料的 () 此時,x 之值為 解答 () 算術平均數 () 4-5 -
A = 0 時,x = 0 ( + 4 + 0 + 5 + 40 + 5 + 4 + + 5 + 40) = 4. 在國際跳水比賽中, 幾位裁判各給運動員一個成績 為了避免偏激裁判影響 運動員成績, 規定要把所有裁判所給同一運動員的成績中, 最高和最低成績 各去掉一個, 再以其餘成績的算術平均數做為該運動員的成績 假設某次比 賽中, 七位裁判給熊選手的成績分別是,86,80,84,,78,84, 則熊 選手該次成績為 解答 85. 在,86,80,84,,78,84 中, 除去端點 與 78 86 + 80 + 84 + + 84 得 = 85. 為所求 5 ( 最高與最低各去掉一個 ). 表中為 50 名學童身高 ( 公分 ) 的次數分布表 ( 不含上限 ): 組 別 次數 7.5~8.5 7 8.5~.5 4.5~0.5 0.5~.5 0 合 計 50 () 身高在公分以下的學生占總人數之一半 () 身高在公分以上的學生占總人數之五分之二 解答 () 0.6 () 04.4 () = 50, = 5,(.5,),(0.5,40),(x,5) 三點共線 0.5.5 x.5 = 40 5 0 4 x.5 = x = 0.6 () 50 5 = 0,(.5,),(0.5,40),(y,0) 三點共線 0.5.5 y.5 = 40 0 0 y.5 = y = 04.4. 某校高二有甲 乙 丙三個班, 甲班 40 人, 乙班 50 人, 丙班 60 人, 第二 次月考國文成績, 甲班平均 75 分, 乙班平均 70 分, 丙班平均 65 分, 則該 校高二全體學生國文平均成績為分 解答 6. 高二全體總分為 75 40 + 70 50 + 65 60 = 0400-6 -
高二全體國文成績平均為 0400 (40 + 50 + 60) = 6 6. 4. 某次數學競賽, 某校七位同學得分數分別為 7,40,8,5,4,, 分, 今在此七個分數中任取出三個, 已知其中一個為 8 分, 試求此三數之 中位數為 分的機率為 解答 5 由小至大排序 :7,,5,8,,40,4 6 在此 7 個分數中任取 個, 已知一個為 8, 取法共 C 種 使三數之中位數為, 取法有 (8,,40),(8,,4) 種 機率 = 6 C = 5 5. 設 f (x) = ( x ), 則 = () 當 x = 時,f (x) 有最小值 () f (x) 之最小值為 解答 () () 0 + + + L+ () 算術平均數 = 45 () f (x) 之最小值 = 時,f (x) 有最小值 = ( ) + ( ) + ( ) + 4( 4) + 5( 5) + 6( 6) + 7( 7) + 8( 8) + ( ) = 0 6. 某班月考的數學成績統計表如下, 試求下列各值 ( 若有小數, 小數點以下取 一位, 第二位四捨五入 ) 分數 0~0 0~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~0 0~00 人數 6 4 () 算術平均數 = () 中位數 = () 眾數在這一組內 解答 () 7. () 74.75 () 70~80-7 -
x 65 成績 x 人數以下累積次數 d = 0 d f 0~0 5 4 4 0~40 5 40~50 45 4 4 50~60 55 7 60~70 65 8 0 0 70~80 75 6 4 6 80~0 85 4 48 8 0~00 5 50 6 合計 50 6 6 7 () 算術平均數 = 65 + 0. = 7. () 中位數 = 70 + 0. = 74.75 50 6 () 眾數在 70~80 組內 7. 某人旅行 0 公里 ; 在前 0 公里中, 時速 00 公里, 後 0 公里中, 時速 5 公里 ; 問平均速率為多少公里? 解答 40 s 0 v = = = 40 t 0 0 + 00 5 8.a,b,c,d,e,f,g,h, 八人之數學成績, 若把變量起點平移至 e, 其得分 如下表 : 學生 a b c d e f g h 合計 x x e 4 6 7 5 0 6 設八人的真正平均分數為 76 分, 試求 h 之得分是 解答 75 6 76 + + = 75 8. 某公司有甲 乙 丙三工廠, 甲工廠有員工 0 人, 每人每月薪水 000 元 ; 乙工廠有員工 00 人, 每人每月薪水 8000 元 ; 丙工廠有員工 0 人, 每人每月薪水 40000 元 ; 試求該公司平均每一員工之薪水為元 解答 860 000 0 + 8000 00 + 40000 0 算術平均數 = = 860 0 + 00 + 0 0. 大明開設一公司, 連續三年的成長率依序為 0%,0%,60%, 則此公司 - 8 -
三年的年成長率平均值為 解答 0% 6 + r = = 0 0 0 0 r = 0 = 0%. 設變數 X = x,x,,x, 且變數 Y = X + 5, 若 x = 4, 則 y = 解答 77 當 Y = X + 5 時, y = X + 5 = x + 5 = 4 + 5 = 77.5 個數,4,8,8, 的幾何平均數為 解答 6.6,4,8,8, 的幾何平均數 = 5 4 8 8 = 5 4 = 4 5 6 6.6.5 個學生參加投籃遊戲, 每個人投籃 0 次, 他們的進球數依序為 7,4, 6,,,7,4,4,,,5,4,5,,4,,4,,8,5,4,4,,4, 6, 則這群學生進球數的眾數為 解答 4 眾數為 4 4. 有 0 個同學參加某科的學力測驗, 成績排序後, 其結果為 6,7,76, 78,84,86,8,0,,8, 則它們的中位數為 解答 85 84 + 86 中位數 = = 85 5. 小明在某個階段中,5 次平時成績的記錄是 7,85,68,0,88, 求這 5 次 成績的算術平均數 解答 80.6 7 + 85 + 68 + 0 + 88 7,85,68,0,88 的算術平均數 x = = 80.6 5 6. 某次考試, 甲班 0 人平均 75 分, 乙班 5 人平均 7 分, 丙班 5 人平均 80 分, 則此三班合併的平均分數為 解答 75.7 分 - -
x x = + x + x + + 75 0 + 7 5 + 80 5 = = 75.7 0 + 5 + 5 7. 若 f (x) = x, 則當 x = 時,f (x) 有最小值 = = 解答 當 x = 7 時,f (x) 有最小值 8 f (x) = = x = x + x + x + 4 x 4 + 5 x 5 + 6 x 6 + 7 x 7 + 8 x 8 + x = x + x + x + 44 44 個 + L { + L { + L { + L { + L { + 4 個 5 個 6 個 7 個 8 個 x + x + x 4444 4444 個 x + x + + x 44444 44444 一組變量 x : {,,,,,, {,,, 4, 4, 4, 4 5, 44 L, 5 6, 44 L, 6 個 個 7,,, 44 L, 7 8, 44 L, 8, 44 L, 7個 8個 個 個 個 共 + + + 4 + + = 45 個數值 其中位數 Me 在第 個 Me = 7 故當 x = Me = 7 時,f (x) 有最小值 f (7) = 7 = 7 + 7 + 7 + 4 7 4 + 5 7 5 + 6 7 = 6 + 7 7 7 + 8 7 8 + 7 = 6 + 0 + + + 0 + 6 + 0 + 8 + 8 = 8 8. 用 0,,,,4 中不同的數, 填入圖中的 4 個格子 ( 每格一個數 ), 然後將這四個數相加, 其和為 S 如果將每一種填法的數字和分別記為 S,S, S,,S 那麼這 個和的算術平均數為, 又中位數為 4個 5個 6個 解答 () 8 () 8 () 用 0,,,,4 填入 4 格內, 有 5 4 = 0 種方法 ( 數字不重 - 0 -
複 ) 所以 S,S,S,,S 共有 0 個, 其中每個相同的數字和 S 有 4! = 4 種 排列法 所以不同的數字和只有 5 個, 即 0 + + + = 6,0 + + + 4 = 7 0 + + + 4 = 8,0 + + + 4 =, + + + 4 = 0 ( 6 + 7 + 8 + + 0) 4 40 所以 S,S,S,,S 0 的算術平均數 x = = = 8 0 5 () 將 S,S,S,,S 0 等 0 個數字和, 依由小而大的順序排列之 6, 6, 6,,,,, 444 L, 6 7, 7, 7, 4 444 L, 7 8,,, 8 8 4 44 L, 8,,, 4 44 L, 4 4個 0, 0, 0, L, 0 44444 4個 4個 4個 則中位數是第 60 個及 6 個的算術平均數, 即 Me =. 設 f (x) = x, 則 () 當 x = = 解答 () 7 () 8 4個 (8 + 8) = 8 時,f (x) 有最小值 () f (x) 之最小值為 () 共 + + + + = 45 個絕對值 中位數 = 7 當 x = 7 時,f (x) 有最小值 () f (x) 之最小值 = 7 = 6 + 0 + + + 0 + 6 + 0 + 8 + 8 = 8 = 0. 表中為 50 名學童身高 ( 公分 ) 的次數分布表 ( 不含上限 ), 問 組 別 次 數 7.5~8.5 7 8.5~.5 4.5~0.5 0.5~.5 0 合 計 50 () 身高在公分以下的學生占總人數之一半 () 身高在公分以上的學生占總人數之五分之二 解答 () 0.6 () 04.4 () = 50, = 5,(.5,),(0.5,40),(x,5) 三點共線 0.5.5 x.5 = 40 5 0 4 x.5 = x = 0.6 - -
() 50 5 = 0,(.5,),(0.5,40),(y,0) 三點共線 0.5.5 y.5 = 40 0 0 y.5 = y = 04.4 4 5 6 7 8 0.,0,0,0,0,,0,0,0,0 的算術平均數為 0 0, 中位數為 解答, 0 0 55 算術平均數為 ( + + + 0) =00 = 0 0 0 5 6 中位數 = (0 + ) = 0 0. 某個週休二日, 張老師帶學生去旅遊, 在行程中, 有某段時間的行車記錄如 下 ; 先以時速 00 公里的速度走了 00 公里之後, 再以時速 80 公里的速度 走了 40 公里 由此可推算這段時間內的平均速度為 80 解答 00 40 總時間 + = ( 小時 ), 總距離 = 00 + 40 = 40( 公里 ) 00 80 40 80 平均速度 = = ( 公里 / 小時 ) 三 證明題 ( 第 ~4 題每題 0 分 ). 設 個變量 x,x,,x 的算術平均數 M,p 表任意實數, ( ) ( ) () 試證 x M x p () 設 x 為實數, 求 ( x k) 的最小值 解答 () 見詳解 () 4 ( ) () x M = [( x p) + ( p M )] = [( x p) + (p M)(x p) + (p M) ] = ( x p) + (p M) ( x p) + ( p M ) k = - -
= ( x p) + (p M)( p ) + (p M) x = ( x p) + (p M)(M p) + (p M) = ( x p) (p M) x p ( (p M) 0) ( ) () x k = (x ) + (x ) + + (x ) k = ( ) = ( x) + ( x) + + ( x) = x x,x =,,,, 且由 () ( x x) ( x M ), 其中 x 為任意實數 + + + + M = x 之平均數 = = ( x ) ( x M ) k k = ( ) = = ( ) + ( ) + + ( ) 7 5 = ( + + + + + ) 4 4 4 4 4 4 = ( + + 5 + 7 + + ) = 86 = 4 ( x k) 的最小值 = 4 k = k f. 設 x,x,,x k 為 k 個實數,f,f,,f k 為 k 個正整數, 且 =,M k = f x, 證明 : 如果每個 x 都乘以 a 之後再加上一定數 b 得 y, 即 y = ax + b, =,,,, 則 個 y 的算術平均數為 am + b 解答 見詳解 證明 y = ax + b, 則 個 y 的算術平均數 k y = ( ax + b) f k k k = ( af x + bf ) = ( af x + bf ) k k k k = ( a fx + b f) = a ( fx ) + b( f) = am + b. 有一組資料數值依次為 x,x,x,,x, 若 Me 為其中位數, 試證 : x Me p,p 表任意實數 x - -
解答 見詳解 證明 不失一般性, 令 x x x x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x, 則中位數 Me = x 5 x Me = x x5 = (x 5 x ) + (x 5 x ) + (x 5 x ) + (x 5 x 4 ) + (x 5 x 5 ) + (x 6 x 5 ) + (x 7 x 5 ) + (x 8 x 5 ) + (x x 5 ) = x 6 + x 7 + x 8 + x x x x x 4 x p = x p + x p + x p + x 4 p + x 5 p + x 6 p + x 7 p + x 8 p + x p = x + p + x + p + x + p + x 4 + p + x 5 p + x 6 p + x 7 p + x 8 p + x p x x + x 8 x + x 7 x + x 6 x 4 + x 5 p ( a + b a + b ) = x + x 8 + x 7 + x 6 x x x x 4 + x 5 p x p x Me x5 p 0, p R 故 x p Me x 4. 設 a,b 為二變量 x, 則對任意實數 p, x Me x p 之 解答 見詳解 證明 a,b 二變量 Me = a + b 恆成立, 試證 a + b a + b a b b a x Me = a + b = + = a b 對任意實數 p, x p = a p + b p = a p + p b (a p) + (p b) = a b 故 x p x Me, 對任意實數 p 恆成立 四 計算題 ( 第 ~ 題每題 0 分 ). 設有 個數值資料的次數分布表為 - 4 -
數值 x 5 76 0 7 個數 f 試求其算術平均數 解答 4.4 設平移值 A =, 組距 h = 7, 由下表 數值 x 5 76 0 7 總計 個數 f x A 4 7 0 7 4 x A h 0 x f ( A ) h 4 0 4 h 得算術平均數 x = A + 5 f ( x A h 7 ) = + 4.4. 某電子公司 80 個員工的薪資所得次數分布表如下 :( 單位 : 仟元 ) 組別 人數 0 0 0 0 0 0 0 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 0 0 00 00 0 0 0 總計 5 6 6 54 6 0 4 80 試求其算術平均數 解答 40.7( 仟元 )= 4070 元 x A 設平移值 A = 45, 組距 h = 0,d =, 則其次數分布表如下 h - 5 -
組別 組中點 x 次數 f x A x A d = h f d 0~0 5 5 40 4 0 0~0 5 6 0 78 0~0 5 6 0 0~40 5 54 0 54 40~50 45 6 0 0 0 50~60 55 0 60~70 65 0 44 70~80 75 0 0 0 80~0 85 4 40 4 6 0~00 5 50 5 5 00~0 05 60 6 6 0~0 5 70 7 總計 80 0 f d = ( 0) + ( 78) + ( ) + ( 54) + 0 + + 44 + 0 + 6 + 5 + 6 + = 0 h 故算術平均數 x = A + f ( 0 00 = 45 + ( 0) = 45 80 80 x A h ) = A + f d h 40.7( 仟元 )= 4070 元. 甲 乙兩生上學期各科成績及每週上課時數如下表 : 科目 國文 英文 數學 物理 化學 生物 每週上課時數 6 5 6 甲生成績 65 84 7 8 76 8 乙生成績 7 6 84 7 68 86 () 試求甲 乙兩生之學期成績總平均 () 甲 乙兩生誰的成績較佳 解答 () 甲生平均分數為 75.6, 乙生平均分數為 7.64 () 甲生成績較佳 6 65 + 5 84 + 6 7 + 8+ 76 + 8 () 甲生之平均分數 M 為 6 + 5 + 6 + + + 75.6 6 7 + 5 6 + 6 84 + 7+ 68 + 86 乙生之平均分數 M 為 6 + 5 + 6 + + + () M > M 甲生成績較佳 4. 某班 50 位學生第二次月考數學成績的次數分布表如下 : 成績 0~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~0 0~00 總計人數 7 0 8 8 4 50 87 = = 5 84 = = 7.64 5-6 -
試利用以下累積次數分布表求中位數 解答 Me = 7.8 50 位同學數學成績的次數分布如下 組別 次數 f 以下累積次數 0~40 40~50 50~60 7 0 60~70 0 0 = C Me 70~80 8 8 80~0 8 46 0~00 4 50 總計 50 次數 = 50 L = 70,U = 80,C = 0,f = 8 C 故中位數 Me = L + f = 5 中位數 Me 位在第五組 70~80 這一組內 (U L ) = 70 + 7.8 5. 某校高二丙班 50 名同學之體重分布如下表 : 5 0 5 (80 70) = 70 + 0 8 8 體重 ( 公斤 ) 人數 f 組中點 x x A (x A) f 5~40 4 7.5 40~45 4.5 45~50 0 47.5 50~55 8 5.5 55~60 57.5 60~65 6.5 試求其體重之算術平均數 解答 4.5 取 A = 47.5, 則體重之算術平均數 M 為 A + k f (x A) = 47.5 + [4 ( 0) + ( 5) + 0 0 + 8 5 + 0 + 5] 50 = 47.5 + 00 = 4.5( 公斤 ) 50-7 -
6. 試就某麵包店自星期一到星期日, 每天各賣出,,7,5, 0,5,7 個麵包, 求此麵包店平均每天賣出多少個麵包? 解答 7 個 設平移值 A = 5, 則 x 7 5 0 5 7 總計 x A 4 0 47 0 5 0 48 56 算術平均數 x = A + 7 ( 4 0 + 47 0 5 + 0 + 48) = 5 8 = 7 ( 個 ) 7. 某班 40 位同學的身高如下表, 求中位數 身高 55~60 60~65 65~70 70~75 75~80 80~85 (cm) 人數 8 4 解答 68.85 中位數在 65~70 這一組,Me = 65 + 0 0 5 = 68.85 8. 某計程車司機根據過去兩個月的經驗, 發現載客人數的分布如下表 : 載客人數次數 00 400 50 4 50 () 此司機下次載客人數是 人的機率是多少? () 平均載客人數是多少? () 載客人數最有可能是幾人? (4) 載客 人以上 ( 含 人 ) 的機率是多少? 解答 () 0. ().5 () (4) 0.4 00 () 下次載客人數是 人的機率為 = 0. 000 00 + 400 + 50 + 4 50 () 平均載客人數是 000 () 最有可能的載客人數是 人 (4) 載客 人以上 ( 含 人 ) 的機率是 50 +50 = 0.4 000. 下表資料為 00 名工人, 每日工資的分布, 計算其 : 50 = =.5( 人 ) 000-8 -
每日工資 人數 0~0 0 0~0 0~40 40~50 50~60 8 合 計 00 () 算術平均數 () 中位數 () 眾數 解答 () 4.5 () 4.6 () 0~40 組中點以下 x 組別 f A x A x d = 累積 (A = 5) h f d 0~0 5 0 0 0 0 0~0 5 0 0~40 5 7 0 0 0 40~50 45 0 50~60 55 8 00 0 6 總計 00 5 h () M = A + f d () k 0 = 5 + ( 5) = 4.5 00 = 50 Me 在 0~40 間 C Me = L + f () 眾數落在 0~40 這一組 50 (U L ) = 0 + (40 0) = 4.6 0. 下表為高二某班上次月考的數學成績次數分布表 ( 不含上限 ): - -
分數 ( 分 ) 人數 f 0~0 4 0~40 6 40~50 50~60 60~70 8 70~80 6 80~0 0~00 總 計 5 () 求算術平均數 ( 計算到小數第一位 ) () 試作以下累積次數分布曲線 圖 () 求中位數 (4) 眾數在哪一組? 解答 () 54.8 () 見詳解 () 5.8 (4) 落在 50~60 這一組 分數 x A 人數組中點 x A d =, 以下 f x ( 取 A = 55) h f d 累積 h = 0 0~0 4 5 0 4 0~40 6 5 0 0 40~50 45 0 50~60 55 0 0 0 60~70 8 65 0 8 4 70~80 6 75 0 47 80~0 85 0 6 4 0~00 5 40 4 8 5 總計 5 h () M = A + () k f 0 d = 55 + ( ) = 54.8 5-0 -
() = 5.5 中位數落在 50~60 這一組 5 Me 50 = 60 50 Me = 5.8 (4) 眾數落在 50~60 這一組. 某公司去年的銷售金額比前年成長 0%, 而今年的銷售金額比去年衰退 0 %, 求這兩年的平均成長率 解答 衰退.0% 設前年的銷售金額為 a, 並設這兩年都有相同的成長率 r( 平均成長率 ) 則去年的銷售金額為 a( + r), 而今年的銷售金額是 a( + r) ( + r) 則它與兩年成長率分別為 0% 與 0% 時, 今年的銷售金額相等, 即 a( + r) = a( + 0%)( 0%) ( + r) = ( + 0%)( 0%) + r = (.)(0.8) r = 0. 6 = 0.78 = 0.00 故每年減少銷售金額.0%, 即兩年平均成長率衰退.0%. 設有 個數值之算術平均數為 55, 後來發覺其中 60 一數必須剔除, 試 求剔除 60 一數後所餘 0 個數值之算術平均數 解答 54.75 因 個數值之算術平均數為 55, 所以, 此 個數值的總和為 55 = 55 今剔除 60, 所餘 0 個數值的總和為 55 60 = 05 05 故所餘 0 個數值的算術平均數為 = 54.75 0. 下列是某農場內 50 個成熟的南瓜的重量樣本資料 : ( 單位 : 英磅 ) 組限 0.0~0.5 0.5~.0.0~.5.5~.0.0~.5.5~.0 個數 4 8 0 6 試求下列各量數的值 : () 算術平均數 () 中位數 () 眾數 解答 ().6 ().6 ().65 () - -
組限 組中點次數以下累積次數 0.0~0.5 0.5 4 4 0.5~.0 0.75 8.0~.5.5.5~.0.75 4.0~.5.5 0 44.5~.0.75 6 50 算術平均數為 (0.5 4 + 0.75 8 +.5 +.75 +.5 0 +.75 6) 50 = (4 + 86 + 0.5 + 5.75 +.5 + 76.5) = 580 =.6 50 50 () 中位數為第 5 個數與第 6 個數的算術平均數, 而這兩個數都在.5~.0 這一組 而為該組之第 4 個數與第 5 個數, 故中位數為 0. 5 0. 5 0. 5 [(.5 + ) + (.5 + 4)] =.5 +.5.6 () 眾數組為.5~.0 這一組, 眾數組與前一組次數差為 = 4 故眾數為.5 + 4 0.5.65 4. 有 0 位學生的身高如下 ( 單位 : 公分 ): 57 8 85 8 7 84 86 8 77 80 試求此組資料的算術平均數 中位數 解答 80,8.5 () 算術平均數為 (57 + 8 + 85 + 8 + 7 + 84 + 86 + 8 + 77 + 80) = 80 () 將此 0 位學生的身高度量由小排到大為 57,77,7,80,8,8,84,85,86,8 居中兩數為 8 與 8, 故中位數為 (8 + 8) = 8.5 5. 下表是某國中儀隊 8 位學生的身高分組及各組人數表 : - -
身高 人數 55.5~58.5 58.5~6.5 6.5~64.5 64.5~67.5 67.5~70.5 8 70.5~7.5 7.5~76.5 () 試求此儀隊學生身高的算術平均數 () 試問此儀隊學生身高的中位數落在哪一組? 解答 () 66.557 () 64.5~67.5 組 () 平均數為 (57 + 60 + 6 + 66 + 6 8 + 7 + 75 ) 8 = (57 + 480 + 48 + 44 + 5 + 56 + 75) = 466 = 66.557( 公 8 8 分 ) () 中位數落在 64.5~67.5 組 6. 老師要 5 位同學各用捲尺量教室講臺的長度, 結果 5 位同學量出數據如下 ( 單位 : 公尺 ):.5,.5,.5,4.5,.5 () 試分別以平均數 中位數 眾數算出講臺長度的估計值 () 像這樣的問題, 您認為平均數 中位數 眾數, 何者做為講臺長度的估計 值較有意義, 為什麼? 解答 ().78,.5,.5 () 見詳解 () 平均數 =.5+.5+.5+4.5+.5 5 =.78( 公尺 ) 中位數 =.5( 公尺 ), 眾數 =.5( 公尺 ) () 此題以眾數當估計值較合理, 因為講臺長度是固定的, 測量結果 4.5 顯 然是因 看錯 刻度所造成, 如果以平均數為講臺長度的估計值, 則由於這 一筆資料偏差造成 高估, 因此對本題而言, 平均數不是好的估計值, 而 且有三人同樣量出.5, 所以, 以眾數當做講臺長度估計值較可靠 7. 下圖是某班的第二次段考數學成績統計, 求 - -
() 算術平均數 () 中位數 ( 取到小數點後第一位, 第二位以下四捨五 入 ) 解答 () 7.4 () 74. 分數 x f 以上累 x 75 d = 積次數 0 d f 40~50 45 5 50 5 50~60 55 5 45 0 60~70 65 8 40 8 70~80 75 7 0 0 80~0 85 0 5 0 0~00 5 5 5 0 合計 50 () 75 + 0 50 = 7.4 () 70 + 0 7 7 74. 8. 某校三年級學生 0 人參加模擬考試, 其成績分布如下 : 成績 0~0 0~0 0~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~0 0~00 人數 5 0 5 0 4 求中位數 解答 6 中位數在 60~70 的這一組裡成績在 60 分以下的累積次數有 54 人, 在 70 分以下有 84 人所以, 第 60 個人的成績, 由內插法求之, 如下 - 4 -
60 54 Me 60 6 =, 所以,Me = 60 + 0 = 6 84 54 70 60 0. 某校 80 個學生參加學力測驗, 其成績分布如下 : 成績 人數 50~55 55~60 60~65 0 65~70 70~75 75~80 0 80~85 7 85~0 0~5 5 5~00 總計 80 () 求算術平均數 () 求中位數 () 求眾數組 解答 () 75.4 () 76 () 75~80 成績分布如下 : 由下表的資料可知 成績 人數 f 組中點 x x Af (x A) 累積次數 50~55 5.5 5 5 55~60 57.5 0 40 60~65 0 6.5 5 50 65~70 67.5 0 0 4 70~75 7.5 5 60 6 75~80 0 77.5 0 0 56 80~85 7 8.5 5 5 6 85~0 87.5 0 0 7 0~5 5.5 5 75 77 5~00 7.5 0 60 80 合計 80 5 5 () 算術平均數 x = 77.5 + 80 = 75.4 () 中位數在 75~80 這一組, 利用內插法求之 - 5 -
40 6 Me 75 4 =, 所以,Me = 75 + 5 = 76 56 6 80 75 0 () 眾數組 :75~80 0. 設有一組變量 x =,,,4,5,,, 試求一點 k 使 x k 值, 又此最小值為何值? 解答 k = 50 時, 最小值 450 有最小 x k = k + k + k + + k 變量 x :,,,4,5,,50,5,, 的中位數 Me = 50 當 k = Me = 50 時, x k 有最小值, 其值為 50 + 50 + 50 + + 4 50 + 50 50 + 5 50 + 5 50 + + 50 4. 50 = ( + + + + 4) =. = 450. 甲 乙兩人的五次數學考試成績如下表, 試問哪一位的成績較優? 請寫出理 由 一 二 三 四 五 甲 78 70 8 7 乙 75 6 5 70 77 () 以成績的平均數來比較 () 以成績的中位數來比較 () 以成績高的次數來比較 (4) 以五次成績中最高分數來比較 解答 () 甲 () 甲 () 甲 (4) 乙 () 甲的平均成績是 (78 + + 70 + 8 + 7) = 80( 分 ) 5 乙的平均成績是 (75 + 6 + 5 + 70 + 77) = 76( 分 ) 5 所以, 以平均成績而言, 甲成績較好 () 甲成績的中位數是 7 分, 乙成績的中位數是 75 分 所以, 以中位數而言, 甲成績較好 () 甲比乙成績高的有第一次 第二次 第四次 第五次共 4 次 所以, 以成績高的次數比較, 也是甲成績較好 (4) 甲五次中最高分是 分, 乙五次中最高分是 5 分 所以, 以五次最高分比較, 則乙的成績較好 - 6 -