我這個數學家在想些甚麼? 黃毅青 國立中山大學應用數學系教授 http://www.math.nsysu.edu.tw/~wong
傳說 清末某年孫中山先生晉見軍機大臣李鴻章, 意欲商談國是 時人稱中山先生為 孫大砲! 鴻章但覺耳中砲聲隆隆 - 天不怕, 地不怕, 最怕老廣講官話! 由於言語不通, 中山先生沒有說服李鴻章進行改革 於是只好推行革命, 由是產生中華民國, 建立共和
基本上 --- 聽懂黃毅青講話 就算會廣東話了
必也 正名乎! 解題 : 我這個數學家在想些甚麼? 白馬非馬! 馬 這個概念包含各種各樣的馬 : 有紅馬 黑馬 白馬 大馬 小馬 白馬 是 馬 中之一, 並不能等同全部的 馬 類此 : 我這個數學家 只代表我 黃毅青 這個數學家, 而不能等同所有的 數學家 今天我 黃毅青 這個數學家所講的, 只不過是 滿紙荒唐言, 一把辛酸淚
萬人景仰的數學家 Paul Erdős Paul Erdős (1913.03.26 1996.09.20) 匈牙利人, 發表論文 1417 篇 ( 第一篇論文發表於 1937), 合作者 498 人, 論文被引用次數 5534 資料來源 : 美國數學會 Mathscinet. 註 : 尤拉 Euler, 論文數第二, 近一千篇 Paul Erdős 認為數學 = 猜想與證明 Paul Erdős 證明的一個定理 : 只要平面上有足夠的點數, 就可以產生各種邊數的凸多邊形 在電影 美麗心靈 Beautiful Mind 中, 男主角 John Nash - 諾貝爾經濟學獎得主 發過神經的數學家 - 用過這招來逗小女生, 隨手將晚上的繁星圈出各種圖形 Paul Erdős 的一個猜想 : 別人已經證得任何 5=2 2 +1 點, 必能圈出一個凸 4 邊形 ; 他自己證得從任何 9=2 3 +1 點, 必能圈出一個凸 5 邊形 他猜想從任何 17=2 4 +1 點, 必能圈出一個凸 6 邊形, 他為此懸賞三百美元給提供正確證明之人
Paul Erdős 的凸多邊形
一個平凡的數學家 黃毅青 1962 年生於香港廣東人 ( 與國父同口音 ) 美國普渡 (Purdue) 大學數學系博士 (1991 年畢業 ) 國立中山大學應用數學系教授 (1991 年到校 ) 系主任 (2003-2006), 非線性分析及離散數學研究中心主任 (2007 年 -), 計算機及網路中心作業組組長 (2002-2003) 曾任 ( 香港 ) 高二導師 ( 二年 ) 電腦才藝班 ( 約廿班 ) 教師 家教約十人 曾受國立編譯館委託審查高中數學課本 發表數學論文 70 篇 H-Index = 7 Erdos no. 3 指導學生碩士班 :22 人, 博士班 :7 人, 博士後研究員 : 6 人 負責創辦之推廣教育課程 : 高雄區高中數學學習成績優異學生輔導實驗計畫 ( 中山大學數學資優班 ),1993 年獨立開辦 中等學校教師在職進修數學科第二專長學士學分班, 1998 年開辦
數學家在想些甚麼? 德國數學家 A. Pietsch: 如果每當妻子在打掃時, 她會抱怨丈夫總是坐著發呆, 總不幫忙家務, 而她的男人會說 : 我在思考問題, 那麼, 這個男人很可能就是數學家!
數學家在作些甚麼? 大學之道 : 在明明德, 在親民, 在止於至善! 朱光潛 我們對於一棵古松的三種態度 實用的 科學的 美感的 數學家對於一個數學問題的三種態度 證明它對 證明它錯 證明它不能被證明對或錯! Godel 不完全性定理 : 任何一個包含整數的數學公理系統, 要麼有一個命題不能被證明對或錯 ( 不完全 ), 要麼有一個問題可以被證明又對又錯 ( 矛盾 )
老莊趣談黃毅青 1994 年 3 月 道可道非常道 老子 一書開章明義就說: 道 可道, 非常 道 ; 名 可名, 非常 名 換句話說, 道 和 名 是 老子 公理系統中的 不定義量 (undefined primitives) 我們知道一個公理系統中的 不定義量 的意義要由 公理 (axioms) 來確定 所謂 道法自然, 無 名, 萬物之始 ; 有 名, 萬物之母 等等, 都是在重申這是個公理系統而已 至於 玄之又玄, 眾妙之門, 就是說由這個公理系統, 道生一, 一生二, 二生三, 三生萬物, 逐步地發展出一套理論來
子非魚, 安知魚之樂? 莊子與惠子遊於濠梁之上 莊子曰 : 儵魚出遊從容, 是魚之樂也 惠子曰 : 子非魚, 安知魚之樂? 莊子曰 : 子非我, 安知我不知魚之樂? 惠子曰 : 我非子, 固不知子矣 ; 子固非魚也, 子之不知魚之樂, 全矣 莊子曰 : 請循其本, 子曰汝安知魚樂云者 ; 既已知吾知之而問我, 我知之濠上也 從數學的觀點來看, 任何命題最後都還原為 公理 的演譯 公理者, 公認不可解的道理也 因為不可解也就是不能再簡單化了, 所以就成了 公理 莊子最後一句話的意思是 : 在他們對話的系統中, 他的話是不會和公理相矛盾的 ; 至於這個系統的正確性, 卻是不能在這個系統中尋求答案的
皆夢也, 亦夢也 昔者莊周夢為胡蝶, 栩栩然胡蝶也, 自喻適志與! 不知周也 俄然覺, 則蘧蘧然周也 不知周之夢為胡蝶與? 胡蝶之夢為周與? 周與胡蝶, 則必有分矣 此之為物化 簡單說 : 我們只能意識到我們曾否做過夢, 但是在做夢時, 我們不可能知道自己正在做夢 一旦驚覺, 夢也就醒了 因此, 如果我們現在的現實卻是另一個 人 的夢境 ( 姑且稱之為 人 ), 那麼這個 人 也可能是 別人 的夢! 究竟誰是真正的做夢者, 卻是永遠 ( 在理論上 ) 不可知的! 莊子自己也知道這個道理 : 夢飲酒者, 旦而哭泣 ; 夢哭泣者, 旦而田獵 方其夢也, 不知其夢也 夢之中又占其夢焉, 覺而後知其夢也 且有大覺而後知其大夢也 而愚者自以為覺, 竊竊然知之 君乎, 牧乎, 固哉! 丘也與女, 皆夢也, 予謂女夢, 亦夢也 是其言也, 其名為弔詭, 萬世之後而一遇大聖, 知其解者, 是旦暮遇之也
數學家 物理學家和工程師 (1) 以下是我一位唸工程的朋友講的故事 某次數學家 物理學家和工程師住在同一所飯店 夜半失火 數學家醒來, 看見火勢不大, 自言自語說 : 這火可以救滅, 繼續睡覺 物理學家醒來, 看見火勢不大, 自言自語說 : 這火可以救滅, 我先規劃看要用多少水, 要怎樣取水, 救火的動線, 工程師醒來, 看見火勢不大, 馬上提水救火去了,
數學家 物理學家和工程師 (2) 以下是我自己的故事 某次數學家 物理學家和工程師住在同一所飯店 夜半聊天, 討論在這世上是否存在著一個最大的數 N. 工程師說 : 的確有! 我們的 PC 就只能處理 2 64 這個數字,Full HD TV 螢幕的解析度不就是 1920x1080, 超出了就歸零 物理學家說 : 我不大確定, 作個實驗好了 N>1 嗎? N>2 嗎? N>10,000,000 嗎? 我有點累 既然作了這樣多次可重覆的實驗皆表明直至現在還找不到比 N 大的數, 我想實驗表明 N 很可能就是世上最大的數了 數學家淡淡的說 :N+1>N!
一些數學家的死 約在公元前 470 BC, 古希臘數學家希帕索斯 Hippasus of Metapontum 因證明存在著無理數 2, 並且違背對畢達哥拉斯學派的誓言, 對外公開了這個秘密, 被同派的人掉到大海裡淹死了 發現了不完全性定理的哥德爾 Kurt Gődel, 晚年在妻子死後, 懷疑一切, 懷疑自己的成就, 精神錯亂 他在公元 1978 年, 不吃餓死 發明直角座標系統的笛卡兒, 喜歡睡覺, 喜歡在床上想數學 50 歲的他應瑞典女王之邀, 到冰冷的瑞典當年青女王的數學老師 ; 每週三次, 早上 5 點被叫起床去為女王講課 不到幾個月, 在 1650 年, 他因睡眠不足, 感染肺炎而死
浪漫的死 伽羅華 Galois(1811-1832) 是偉大的代數學家 他證明了 5 次以上的多項式方程沒有公式解 是沒有, 不是不會 他在 20 歲的一個晚上完成了這個超越當時 50 年以上的定理 ( 連高斯 Guass 都看不懂!) 他當晚一直嚷著 沒有時間 第二天清晨, 他和情敵一對一地槍戰, 如願的死在情人的情人的槍下 以上偉大的定理, 就是他的遺言
感傷的死 解出費馬最後定理 (Fermat s Last Theorem) 的關鍵人物之一的谷山豐 Yutaka Taniyama 為何自殺? 費馬最後定理 : 當 n > 2 時, 方程 x n + y n = z n 沒有非零的整數解 在 1953 年, 谷山豐從東京大學畢業了 他仍然待在東京大學, 當上副教授 他的研究興趣是代數數論 在 1955 年, 他提出了兩個重要的猜想, 這成了證明費馬最後定理的關鍵, 最後被 Wiles 所證明, 從而解決了懸疑三百年的費馬最後定理 他應該會有很好的前途 ; 但他卻在 1958 年 11 月 17 日自殺了, 享年 31 歲又 5 日 在他的遺書中, 他細心和清楚地交代了他的微積分和線性代數課的教學進度 他恐怕他的死會造成同事們的困擾 他為什麼自殺? 他說 : 我自己不完全理解我要殺死我自己的原因, 我不瞭解我自己 但是, 它不是一個特定事件的原因, 也不是一個特別的事情 大約一月以後, 他的未婚妻也自殺了 她說 : 我們說過要同生共死的! 他既然死了, 我只好跟隨
數學家也可以很現實 著名的洛必達 (L Hospital) 法則其實是用錢買來的! 用現代的話說 : 洛必達資助伯努利 (Bernoulli ) 兄弟作數學研究, 其成果遂以資助人名義發表 洛必達, 法國數學家 1661 年出生於法國的貴族家庭,1704 年 2 月 2 日卒於巴黎 他曾受襲侯爵銜, 並在軍隊中擔任騎兵軍官, 後來因為視力不佳而退出軍隊, 轉向學術方面加以研究 他自少已十分聰穎,15 歲時, 已能解出數學家 B 帕斯卡提出的擺線難題 在 1691 年前後, 洛必達曾跟約翰 伯努利學習微積分 後來與其他的數學家, 在長期通信的過程中, 啟發了許多的新思想, 解決了約翰伯努利提出的 最速降線 等問題, 影響到微積分學說的創立與發展 他最重要的著作是 闡明曲線的無窮小分析 1696, 這本書是世界上第一本系統的微積分學教科書, 他由一組定義和公理出發, 全面地闡述變量 無窮小量 切線 微分等概念, 這對傳播新創建的微積分理論起了很大的作用 在書中第九章記載著約翰 伯努利在 1694 年 7 月 22 日告訴他的一個著名定理 : 洛必達法則, 即求一個分式當分子和分母都趨於零時的極限的法則 後人誤以為是他的發明, 故 洛必達法則 之名沿用至今 洛必達還寫作過幾何, 代數及力學方面的文章 他亦計劃寫作一本關於積分學的教科書, 但由於他過早去世, 因此這本積分學教科書未能完成 而遺留的手稿於 1720 年巴黎出版, 名為 圓錐曲線分析論
對的重要還是有用的重要 我從前寫過一篇短文, 大意是鼓勵學生讀數學 有位學者批評我的文章說 : 這比錯誤的東西還糟糕! 因為它根本沒用! 我常常想, 錯的東西怎可能會有用!
數學和應用數學 我從前上應用數學系的微積分課時, 有位同學課後跟我抱怨 : 老師你騙我們! 我大吃一驚, 極度害怕同學會在學期末給我難看的教學評鑑分數! 我先行認錯道歉, 再問原由 同學說 : 你為甚麼都在講定理的證明? 我們是應用數學系啊! 我問 : 那又怎樣? 同學說 : 純數系教證明, 應數系教應用 ; 我們就是依據這個選填志願, 才分發到中山應數系的啊! 我說 : 真的對不起! 不過, 您們總要先學會數學, 才可以應用數學吧! 唸應用數學事實上比唸 ( 純 ) 數學更難! 那學期 ( 以及其他學期 ) 我的教學評鑑成績都不好
數學有甚麼用? 有鄰居問我 : 數學有甚麼用? 我回答 : 沒有甚麼用 有朋友問我 : 數學有甚麼用? 我回答 : 有一點點用 有長官問我 : 數學有甚麼用? 我回答 : 有用有用, 可以作經濟規劃, 可以幫忙管理, 可以提昇科技, 可以淨化人心 有學生問我 : 數學有甚麼用? 我回答 : 你學得還不夠! 你再多學十年八年, 我才可以和你說清楚 你知道現在流行用量子場論 ( 其實這是物理學 ) 作金融投資嗎?( 其實我自己也不會!) 多看點書吧! 有同行問我 ; 他們才不會這樣無聊!
學數學的方法 史記如是說 秦時楚國遺民常思復國, 日夜勤練武功 項羽終日游手好閒, 不與同儕受訓 其叔父項梁責之 對曰 : 吾不學則矣, 要學則必學萬人敵! 萬人敵者, 兵法是也! 倚天屠龍記如是說 張三豐要教張無忌練太極劍 他要他要重意不重劍, 意在劍先 不要拘泥劍式, 應依劍意隨時自創新招 看再多, 背再多, 比得上圖書館嗎? 算得再快, 算得再準, 比得上計算機嗎?
黃毅青平常講甚麼數學? 孟子見梁惠王 王曰 : 子不遠千里而來, 將有利於吾國乎? 子曰 : 王何必曰利, 亦有仁義而已矣!
拓樸學導讀 撰寫..黃毅青日期.. 1998 年 02 月修訂參考書.. 拓樸學奇趣, 巴爾佳斯基及葉弗來莫維契著, 亞東書局,1991.
一個應用的例子
分子的手性 ( 或稱 對掌性 chirality)
手性的拓樸定義 設 P 是三維歐氏空間 R 3 的多面體 設 r : R 3 R 3 為關於某個平面的反射 如果存在一個保定向的同胚映射 h : R 3 R 3, 使得 h(p)=r(p), 我們稱 P 為無手性的 ; 否則稱 P 為有手性
8 字結是拓樸無手性的
三葉結是拓樸有手性的
莫比烏斯 Mobius 梯的故事 20 世紀 80 年代起, 化學家們開始人工合成一些原本在自然界中不存在的化合物, 并希望從中找出具有新功能的材料 他們的思路之一, 就是合成一些空間結構不那麼平凡的分子 由美國 Colorado 大學的 Walba 所領導的一群化學家們, 就是這樣創造出具有莫比烏斯結構的分子來的
他們先合成出兩條一模一樣的原子鏈, 然後使兩條鏈中某些對應位置上的原子互相連結 ( 即產生一個化學鍵 ) 這樣得到一些梯子形狀的分子 最後, 使梯子兩端黏合起來 這些反應都得通過催化劑來完成
Walba 認為 : 反應產生的分子的形狀應該大部份是環狀, 而有少部份是莫比烏斯梯 但是, 這要如何去證明的確產生了少部份的莫比烏斯梯狀的分子呢? 觀察微觀結構的實驗方法一般是用電子顯微鏡 譬如,DNA 螺旋結構的觀察就是先在 DNA 分子上塗上某些 發光 的物質, 然後才能用電子顯微鏡來看 對于實驗做出來的梯狀分子而言, 很不幸, 由于它們分子體積太小了, 不能塗上 發光 的物質來用電子顯微鏡來作觀察
後來,Walba 採用了 手性 他們直覺覺得莫比烏斯梯是拓樸有手性的, 用核磁共震的辦法, 的確能夠証明反應中產生的小部份分子表現出拓樸有手性 於是, 他們便推斷實驗結果確實含有少量莫比烏斯梯狀的分子 自然科學的證明方法往往如此 但是數學跟自然科學還是有區別的, 不能從理性上嚴格證明的東西, 數學上便不能承認 那幾位化學家只是 覺得 莫比烏斯梯拓樸有手性, 并以此解釋了他們的實驗結果 但是究竟是不是數學上真的如此? 他們向數學家求援了
Simon 定理 (1986) 對於標準的有 n 條橫檔的莫比烏斯梯 Mn, 有 : 當 n 2 時, Mn 可以變形為平面圖, 從而是其自身的鏡像, 所以是拓樸無手性的 當 n = 3 時,Mn 雖然不能變形為平面圖, 仍可以在空間中連續變形成其自身的鏡像, 所以也是拓樸無手性的 但是如果限定橫檔變成橫檔, 側邊變成側邊的話, 則不行 當 n 4 時, Mn 連續變形成其自身的鏡像
人人皆可成為數學家
天才與鍛鍊 (1982.10)
~ The End ~ 謝謝聽講 中山應數 http://www.math.nsysu.edu.tw