第五章导数和微分 1 导数的概念 一 导数的概念二 导函数三 导数的几何意义
一 导数的概念 1 导数的概念 1. 引言问题 1 瞬时速度设一质点作直线运动, 其运动规律为 s=s(t), 若 t 为某一确定的时刻,t 为邻近于 t 的时刻, 则 s( t) s( t ) t t 是质点在时间段 [t, t]( 或 [t,t ]) 上的平均速度, 若 t t 时平均速度 v 的极限存在, 则称极限 s ( t ) s ( t ) lim t t (1) t t 为质点在时刻 t 的瞬时速度.
问题 2 切线的斜率如图 5-1 所示, 曲线 y=f() 在其上一点 P(,y ) 处的切线 PT 是割线 PQ 当动点 Q 沿此曲线无限接近于点 P 时的极限位置, 由于割线 PQ 的斜率为 k f ( ) f ( ) 因此当 时如果 k 的极限存在, 则极限 f ( ) f ( ) k lim (2) 即为切线 PT 的斜率.
以后我们将会发现, 在计算诸如物质比热 电流强度 线密度等问题中, 尽管它们的物理背景各不相同, 但最终都归结于讨论形如 (2) 式的极限. 上述两个问题中, 前一个是运动学已知运动规律求速度的问题, 后一个是几何学已知曲线求它的切线的问题这两个问题与导数概念直接相联系的, 它们是由德国数学家莱布尼茨 (Leibniz) 和英国数学家牛顿 (Newton) 分别在研究几何学和物理学过程中建立起来的, 但是都可以归结为形如 (1) (2) 这种类型的极限.
2. 定义定义 1 设函数 y=f() 在点的某邻域内有定义, 若极限 lim f ( ) f ( ) 存在, 则称函数 f 在点 处可导, 并称该限为 (3) 函数 f 在点 处的导数, 记作 f ( ).
若令 改写为, y f ( ) f ( ) y lim lim f ( ) 所以, 导数表示的是函数增量 y 比值的极限, 我们称 f ( ) f ( ), 则 (3) 式可 为函数关于自变量的 平均变化率 ( 又称差商 ), 导数 f ( ) 为在 处关于 的变化率. 若 (3)( 或 (4)) 式极限不存在, 则称在点 处不可导. y y (4) 与自变量增量
几何 物理意义 若 y=f () 在点 可导, 则曲线在点 (, f ( )) 有不平行于 y 轴的切线, 且 f '( ) 是该切线斜率. 切线方程 y f ( ) = f '( )( ). =, 当 f '( ) = 1 法线方程 y f ( ) = ( ), ( f '( ) ). f '( ) =, 当 f '( ) =. 变速直线运动质点的瞬时速度 v(t ) = s'(t ).
问题 f( ) 若函数在点可导, 有何区别? 试问 f ( ) 与 ( f ( )) 解答 f ( ) f ( ) 是函数在点的导数值, 而 ( f ( )) f ( ) 是常数的导数.
3. 导数应用例题 2 例 1 求函数 f ( ) 在点 =1 处的导数, 并求曲线在点 (1,1) 处的切线方程. 分析根据前面讨论可知, 我们可以通过导数的意义先求出切线斜率, 再利用点斜式直线方程给出切线方程. 解由定义求得 f f f (1) lim lim 2 2 lim lim(2 ) 2 2 (1 ) (1) (1 ) 1 2 由此知道抛物线 y 在点 (1,1) 的切线斜率为 k f (1) 2, 所以切线方程为 y 1 2( 1) 即 y 2 1
f ( ) 例 2 证明函数在点处不可导. 分析要求证函数在一点处不可导, 根据定义只要能够说明 f ( ) f ( ) lim 或 lim lim 不存在即可. 证因为 y f ( ) f () 1, 1, 当 时极限不存在, f ( ) f ( ) 所以 f 在点 处不可导.
4. 可导与连续的关系 于是当 时, 是无穷小量, 则, 即 首先, 我们介绍有限增量公式. y 设 f( ) 在点 可导, 令 f '(, 由在 ) f ( ) 点可导, 可知 lim f ( ), 即, y 我们称 (5) 式为在点的有限增量公式, 此公式对仍旧成立. y lim[ f ( )] ( ) y f '( ) ( ) f ( ) 由公式 (5) 立即推得如下定理. (5)
定理 5.1 若函数 f 在点 可导, 则在点 连续. 注 1 可导仅是函数在该点连续的充分条件, 而不是必要条件, 如例 2 中的函数 f ( ) 在点 处连续, 但不可导. 注 2 其逆否命题为 : 若函数 f 在点 不连续, 则在点 不可导. 此命题可作为判断一个函数不可导的依据.
2 例 4 证明函数 f ( ) D( ) 仅在点 处可导, 其 中 D( ) 为狄利克雷函数. 证当 时, 由归结原理可得在处 f 不连续, 所以由定理 5.1 注 2, f 在 处不可导. 当时, 由于为有限函数, 由定义可得到 D f f f lim lim D. 综上可知, 仅在可导. 首页
5. 单侧导数若只讨论函数在点 的右邻域 ( 左邻域 ) 的上变化率, 我们需引进单侧导数的概念. 定义 2 设函数在点的某右邻域是有定义, 若右极限 y f f lim lim 存在, 则称该极限值为 f 在点 记作 f ( ) 的右导数,, 类似地, 我们可以定义左导数 f ( ) f ( ) f ( ) lim 右导数和左导数统称为单侧导数.
如同左 右极限与极限之间的关系, 我们有 定理 5.2 若函数 y f 在点 的某邻域内有定义, 则 f 存在的充要条件是 f ( ) 都存在, 且 f ( ) f ( ). 与 f ( )
1 cos,, 例 5 设 f 讨论 f 在,. 处的左 右导数与导数. 解由于 因此 f f 1 cos f f,, 1,, 1 cos () lim () lim 1 1 因为 f () f (), 所以 f 在处不可导.
问题试问函数在某点处不可导通常有几种情形? 解答 (1) 函数在该点不连续 ; (2) 函数在该点的左右导数中至少有一个不存在 ; (3) 函数在该点的左右导数都存在, 但是不相等. 首页
二 导函数在学习之前, 先给出这样一个问题, 供大家思考 : 问题 f ( ) ( ) 符号与是否有区别? 解答有区别. f 符号表示函数在点 处的右导数, ( ) 而是导函数的右极限. f ( ) f
若函数 f 在区间 I 上每一点都可导 ( 对区间端点, 仅考虑相应的单侧导数 ), 则 f 称为 I 上的可导函数, 此时对每一个 I都有 f 的一个导数 f '( ( ) 或单侧导数 ) 与之对应. 这样就定义了一个在 I 上的函数, 称为 f 在 I 上的导函数, 也简称为导数, 记作 f ', y ', dy 或, 即 d f ( ) f ( ) f '( ) lim, I
y 在物理学中导数也常用牛顿记号表示, 而 dy d 记号是莱布尼茨首先引用的. 作为一个整体, 也可把它理解为 目前我们把看 施加于的求导 运算, 待到学过 微分 之后, 我们将说明这个记号 实际上是一个 商. 相应上述各种表示导数的形式, d d y y dy d f 有时也写作 y ' d y, d
例 6 证明 (i) n n为正整数 ; (ii) n n 1, sin cos, cos sin ; (iii) log 1 log e a, a 1,, 1 特别 ln.
证 n (ⅰ) 对于 y, 由于 n n y C C C 因此 1 n1 2 n2 n n1 n n n y y lim lim C C C C n. 1 n1 n1 n 1 n1 2 n2 n n1 n n n
(ⅱ) 下面证第一个等式, 类似地可证第二个等式, 由于 2sin cos sin sin 2 2 sin 2 cos 2 2 cos (, ) 以及是上的连续函数, 因此得到 sin (sin )' lim 2 lim cos cos 2 2
(iii) 由于 log a ( ) loga 1 log a (1 ) 1 log a (1 ) 所以 1 1 (log )' lim log (1 ) log a a a 若, 且以 e 为底的自然对数常写作, a e 则由上式有 ( ln ) ' 1 e ln
三 导数的几何意义 1. 几何意义问题若函数在某一点不可导, 则曲线在该点不存在切线这种说法对不对? 解答不对. 函数在某一点不可导, 它的导数可能是无限大, 即曲线在该点可能存在与 轴垂直的切线.
f ( ) f ( ) lim 我们已经知 f ( ) 在点的切线斜率 k, 正是割线斜率在时的极限, 即 k 由导数的定义 k f ( ), 所以曲线 y f ( ) 在点 (, y ) 的切线方程是 y y f ( )( ) (7) 这就是说 : 函数 f 在点 的导数 (, y ) 在点处的切线斜率. f ( ) 是曲线 y f ( )
若 表示这条切线与 轴正向的夹角, f ( ) tan 从而 f ( ) 意味着切线与 轴正向的夹角为锐角 ; f ( ) 意味着切线与 轴正向的夹角为钝角 ; f ( ) 表示切线与 轴平行 ( 图 5 2).
例 7 求曲线在点处的切线方程与法线方程 解由于 y 2 2 3 3, f ( ) lim (3 3 ) 3. 2 2 2 所以根据 (7) 式, 曲线在点 P 的切线方程为 y y 3 ( ). 2 由解析几何知道, 若切线斜率为 k, 则法线斜率为 1, k 从而过点的法线方程为 1 y ( )( p ( ) 3 2 3 若, 则法线方程为. 首页
2. 极值 ( 点 ) 定义 定义 3 若函数 f 在点 的某邻域 U 有 ( ) f ( ) f ( ),( f ( ) f ( )) U( ) 则称函数 f 在点 取得极大 ( 小 ) 值. 内对一切 (9) 是函数 f 的 极大 ( 小 ) 值点. 极大值 极小值统称为极值, 极 大值点 极小值点统称为极值点. 首页
设函数 f 如图 5-4 所示, 它在点处取极大 2 值, 在点处取极小值., 1 3
例 8 证明 : 若 f ( ), 则存在 对任何 (, 有, ) (1) 证因为 所以由保号性可知, 存在正数, 对一切 有 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim, f ( ) f ( ), (, ) 从而不难推得, 当 时,(1) 式成立.
用类似的方法可讨论, f ( ), f ( ) 和 f ( ) 的情况. 例如, 若 f ( ), 则存在, 对任何 (, ) 有 f ( ) f ( ). 注例 8 告诉我们 : 若 f '( ) 存在且不为零, 不是 f ( ) 的极点. 则
3. 费马定理 定理 5.3 ( 费马定理 ) 设函数 f 在点 的某邻域内有定义, 且在点 可导. 若 点为 f 的极值点, 则必有 对于函数 不是极值点. f ( ). 注几何意义 : 若函数 f( ) 在极值点 可导, 那么在该点的切线平行于 轴. 我们称满足 f ( ) 方程的点为稳定点. f 3 ( ), 或 是稳定点, 但却
4. 导函数介值性定理定理 5.4 ( 达布 Darbou) 若函数 f 在 [ a, b ] 上可导, 且 f ' ( a) f ' ( b), f ' ( a), f ' ( b) k 为介于之间任一实数, 则至少存在 ( a, b) f '( ) 一点, 使得. k
证 设 F a F b, ' ( ) 1 2 F( ) F( a), F( ) F( b) 1 2 1 2 因为 F 在 [a.b] 上可导, 所以连续, 根据最大最小值定理 ( 定理 4.6), 存在一点 [ a, b], 使 F 在点取得最在值, 由 (11) 式, 可知, 这就说明是 F 的极大值点, 由费马定理得 F '( ), 即 f '( ) k, ( a, b), 由例 8, 分别存在 U ( a), U ( b) 且使得 有时称上述定理为导函数的介值定理. (11)