9.9 空间距离 知识梳理 1. 点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离. 2. 直线与平面平行, 那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离. 3. 两个平面平行, 它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离. 4. 两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离. 5. 借助向量求距离 (1) 点面距离的向量公式平面 α 的法向量为 n, 点 P 是平面 α 外一点, 点 M 为平面 α 内任意一点, 则点 P 到平面 α 的 距离 d 就是在向量 n 方向射影的绝对值, 即 d=. (2) 线面 面面距离的向量公式平面 α 直线 l, 平面 α 的法向量为 n, 点 M α P l, 平面 α 与直线 l 间的距离 d 就是 在向量 n 方向射影的绝对值, 即 d=. 平面 α β, 平面 α 的法向量为 n, 点 M α P β, 平面 α 与平面 β 的距离 d 就是 在向量 n 方向射影的绝对值, 即 d=. (3) 异面直线的距离的向量公式 设向量 n 与两异面直线 a b 都垂直,M a P b, 则两异面直线 a b 间的距离 d 就是 在向量 n 方向射影的绝对值, 即 d=. 点击双基 1.ABCD 是边长为 2 的正方形, 以 BD 为棱把它折成直二面角 A BD C,E 是 CD 的中点, 则异面直线 AE BC 的距离为 A. B. C. D.1 解析 : 易证 CE 是异面直线 AE 与 BC 的公垂线段, 其长为所求. 易证 CE=1. 选 D. 答案 :D 2. 在 ABC 中,AB=15, BCA=120, 若 ABC 所在平面 α 外一点 P 到 A B C 的距离都是 14, 则 P 到 α 的距离是 A.13 B.11 C.9 D.7 解析 : 作 PO α 于点 O, 连结 OA OB OC, PA=PB=PC, OA=OB=OC. O 是 ABC 的外心. OA= = =5. 本文来自精品文库网 www.jingpinwenku.com
精品库我们的都是精品 _www.jingpinwenku.com PO= =11 为所求. 选 B. 答案 :B 3. 在棱长为 a 的正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中,M 是 AA 1 的中点, 则点 A 1 到平面 MBD 的距离是 A. a B. a C. a D. a 解析 :A 到面 MBD 的距离由等积变形可得. V A MBD =V B AMD. 易求 d= a. 答案 :D 4.A B 是直线 l 上的两点,AB=4,AC l 于 A,BD l 于 B,AC=BD=3, 又 AC 与 BD 成 60 的角, 则 C D 两点间的距离是. 解析 :CD=. 答案 :5 或 5. 设 PA Rt ABC 所在的平面 α, BAC=90,PB PC 分别与 α 成 45 和 30 角,PA=2, 则 PA 与 BC 的距离是 ; 点 P 到 BC 的距离是. 解析 : 作 AD BC 于点 D, PA 面 ABC, PA AD. AD 是 PA 与 BC 的公垂线. 易得 AB=2,AC=2,BC=4,AD=, 连结 PD, 则 PD BC,P 到 BC 的距离 PD=. 答案 : 典例剖析 例 1 设 A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8), 求 D 到平面 ABC 的距离. 解 : 设平面 ABC 的法向量 n=(x,y,z), n =0,n =0, 即令 z=-2, 则 n=(3,2,-2). cos n, =
点 D 到平面 ABC 的距离为 d,. d= cos n, = =. 思考讨论 求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外, 还可以借用平面的法向量求得, 方法是 : 求出平面的一个法向量 n 的坐标, 再求出已知点 P 与平面内任一点 M 构成的向量 么 P 到平面的距离 d= cos n,. 的坐标, 那 例 2 如图, 在棱长为 a 的正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中,M O O 1 分别是 A 1 B AC A 1 C 1 的中点, 且 OH O 1 B, 垂足为 H. (1) 求证 :MO 平面 BB 1 C 1 C; (2) 分别求 MO 与 OH 的长 ; (3)MO 与 OH 是否为异面直线 A 1 B 与 AC 的公垂线为什么求这两条异面直线间的距离. (1) 证明 : 连结 B 1 C, MO 是 AB 1 C 的中位线, MO B 1 C. B 1 C 平面 BB 1 C 1 C, MO 平面 BB 1 C 1 C. (2) 解 :MO= B 1 C= a, OH 是 Rt BOO 1 斜边上的高,BO= a, OH= a. (3) 解 :MO 不是 A 1 B 与 AC 的公垂线,MO B 1 C, AB 1 C 为正三角形, MO 与 AC 成 60 角. AC BD,AC OO 1, AC 面 BOO 1. OH 面 BOO 1, OH AC,OH A 1 C 1. OH O 1 B,A 1 C 1 O 1 B=O 1, OH 面 BA 1 C 1,OH A 1 B. OH 是异面直线 A 1 B 与 AC 的公垂线, 其长度即为这两条异面直线的距离. 特别提示 在立体几何的计算或证明中, 常需要计算直角三角形斜边上的高, 据面积关系得它等于直角边的积除以斜边, 应作为常识记熟并可直接应用. 立体几何问题求解, 总体上可分为几何法与代数法, 要注意选择最简方法求解. 本题 (3) 利用代数向量方法解答也比较简单. 例 3 如图所求, 已知四边形 ABCD EADM 和 MDCF 都是边长为 a 的正方形, 点 P Q 分别是 ED 和 AC 的中点.
精品库我们的都是精品 _www.jingpinwenku.com 求 :(1) 与所成的角 ; (2)P 点到平面 EFB 的距离 ; (3) 异面直线 PM 与 FQ 的距离. 解 : 建立空间直角坐标系, 使得 D(0,0,0) A(a,0,0) B(a,a,0) C(0,a,0) M(0,0,a) E(a,0,a) F(0,a,a), 则由中点坐标公式得 P(,0, ) Q(,,0). (1) =(-,0, ), =(,-,-a), =(- ) +0+ (-a)=- a 2, 且 = a, = a. cos, = = =-. 故得两向量所成的角为 150. (2) 设 n=(x,y,z) 是平面 EFB 的单位法向量, 即 n =1,n 平面 EFB, n,n. 又 =(-a,a,0), =(0,a,-a), 即有得其中的一组解 n=(,, ), =(,0, ). 设所求距离为 d, 则 d= n = a. (3) 设 e=(x 1,y 1,z 1 ) 是两异面直线的公垂线上的单位方向向量, 则由 =(-,0
, ), =(,-,-a), 得求得其中的一个 e=(,-, ), 而 =(0,a,0). 设所求距离为 m, 则 m= e = - a = a. 例 4 如图, 已知二面角 α PQ β 为 60, 点 A 和点 B 分别在平面 α 和平面 β 内, 点 C 在棱 PQ 上, ACP= BCP=30,CA=C B=a. (1) 求证 :AB PQ; (2) 求点 B 到平面 α 的距离 ; (3) 设 R 是线段 CA 上的一点, 直线 BR 与平面 α 所成的角为 45, 求线段 CR 的长度. (1) 证明 : 在平面 β 内作 BD PQ 于 D, 连结 AD. ACP= BCP=30,CA=CB=a,CD 公用, ACD BCD. ADC= BDC=90, 即 AD PQ. 于是 PQ 平面 ABD, 则 AB PQ. (2) 解 : 由 (1) 知, ADB 是二面角 α PQ β 的平面角, ADB=60. 又 PQ 平面 ABD, α 平面 ABD. 过 B 作 BE AD 于点 E, 则 BE 即为 B 到平面 α 的距离. BE=BD sin60 =BC sin30 sin60 = a. (3) 解 : 连结 ER, BE α, BRE 是 BR 与 α 所成的角, 即 BRE=45, 则有 BR= = a. 易知 ABD 为正三角形,AB=AD=BD= a. 在 ABC 中, 由余弦定理得 cos BCA=. 在 BCR 中, 设 CR=x, 由余弦定理得 ( a) 2 =x 2 +a 2-2ax, 求得 x 1 =,x 2 = ( 舍去, CR<AC=a), 故 CR=. 闯关训练夯实基础 1. 平面 α 内的 MON=60,PO 是 α 的斜线,PO=3, POM= PON=45, 那么点 P 到平面 α 的距离是 A. B. C.
精品库我们的都是精品 _www.jingpinwenku.com D. 解析 :cos POM=cos POH cos MOH, = cos POH. cos POH=. sin POH=. PH=PO sin POH=3 =. 答案 :A 2. 正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 a,e 是 CC 1 的中点, 则 E 到 A 1 B 的距离是 A. a B. a C. a D. a 解析 : 连结 A 1 E BE, 过 E 作 EH A 1 B 于 H, 在 A 1 BE 中易求 EH= a. 答案 :D 3. 已知 l 1 l 2 是两条异面直线,α β γ 是三个互相平行的平面,l 1 l 2 分别交 α β γ 于 A B C 和 D E F,AB=4,BC=12,DF=10, 又 l 1 与 α 成 30 角, 则 β 与 γ 的距离是 ;DE=. 解析 : 由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得 β 与 γ 间距离为 6. 由面面平行 的性质定理可得 =, =, 即 =. DE=2.5. 答案 :6 2.5 4.(B) 已知正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1, 则直线 DA 1 与 AC 间的距离为. 解析 : 设 n=λ +μ + 是 A 1 D 和 AC 的公垂线段上的向量, 则 n =(λ +
μ + ) ( - )=μ-1=0, μ=1. 又 n =(λ +μ + ) ( + )=λ+μ=0, λ=-1. n=- + +. 故所求距离为 d= = AA 1 = =. 答案 : 5.ABCD 是正方形, 边长为 7 cm,mn AB 且交 BC 于点 M, 交 DA 于点 N, 若 AN=3 cm, 沿 MN 把正方形折成如图所示的二面角 A MN D, 大小为 60, 求图中异面直线 MN 与 BD 间的距离. 解 : 由题意易证 MN 平面 ABD,MN 与 BD 的距离可转化为点 N 到平面 ABD 的距离, 作 NE AD, 易证 NE 平面 ABD, 故可求 NE=. 6. 已知正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 的边长为 a,e F 分别是棱 A 1 B 1 CD 的中点. (1) 证明 : 截面 C 1 EAF 平面 ABC 1. (2) 求点 B 到截面 C 1 EAF 的距离. (1) 证明 : 连结 EF AC 1 和 BC 1, 易知四边形 EB 1 CF 是平行四边形, 从而 EF B 1 C, 直线 B 1 C BC 1 且 B 1 C AB, 则直线 B 1 C 平面 ABC 1, 得 EF 平面 ABC 1. 而 EF 平面 C 1 EAF, 得平面 C 1 EAF 平面 ABC 1. (2) 解 : 在平面 ABC 1 内, 过 B 作 BH, 使 BH AC 1,H 为垂足, 则 BH 的长就是点 B 到平面 C 1EAF 的距离, 在直角三角形中,BH= = =. 培养能力 7. 已知直线 l 上有两定点 A B, 线段 AC l,bd l,ac=bd=a 且 AC 与 BD 成 120 角, 求 AB 与 CD 间的距离.
精品库我们的都是精品 _www.jingpinwenku.com 解法一 : 在面 ABC 内过 B 作 BE l 于 B, 且 BE=AC, 则 ABEC 为矩形. AB CE. AB 平面 CDE. 则 AB 与 CD 的距离即为 B 到 DE 的距离. 过 B 作 BF DE 于 F, 易求 BF= a. 解法二 : 建系如图, 则 A(0,0,b),C(- a, a,a),d(a,0,0), 设 AB 与 CD 的公垂线的一个方向向量 n=(x,y,z), 利用 n =0,n =0, 求出 n, 则 d= = a. 8.(2003 年东城区一模题 ) 如图, 正三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 各棱长都等于 a,e 是 BB 1 的中点. (1) 求直线 C 1 B 与平面 A 1 ABB 1 所成角的正弦值 ; (2) 求证 : 平面 AEC 1 平面 ACC 1 A 1 ; (3) 求点 C 1 到平面 AEC 的距离. (1) 解 : 取 A 1 B 1 中点 M, 连结 C 1 M,BM. 三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 是正三棱柱, C 1 M A 1 B 1,C 1 M BB 1. C 1 M 平面 A 1 ABB 1. C 1 BM 为直线 C 1 B 与平面 A 1 ABB 1 所成的角.
在 Rt BMC 1 中,C 1 M= a,bc 1 = a, sin C 1 BM= =. (2) 证明 : 取 A 1 C 1 的中点 D 1,AC 1 的中点 F, 连结 B 1 D 1 EF D 1 F. 则有 D 1 F AA 1,B 1 E AA 1. D 1 F B 1 E. 则四边形 D 1 FEB 1 是平行四边形, EF B 1 D 1. 由于三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 是正三棱柱, B 1 D 1 A 1 C 1. 又平面 A 1 B 1 C 1 平面 ACC 1 A 1 于 A 1 C 1, 且 B 1 D 1 平面 A 1 B 1 C 1, B 1 D 1 平面 ACC 1 A 1. EF 平面 ACC 1 A 1. EF 平面 AEC 1, 则平面 AEC 1 平面 ACC 1 A 1. (3) 由 (2) 知,EF 平面 AC 1, 则 EF 是三棱锥 E ACC 1 的高. 由三棱柱各棱长都等于 a, 则 EC=AE=EC 1 = a,ac 1 = a. EF= = a. V =V, 设三棱锥 V 的高为 h, 则 h 为点 C 1 到平面 AEC 的距离. 则 S h= S EF, 即 a 2 h= a 2 a. h= a, 即点 C 1 到平面 AEC 的距离是 a. 探究创新 9.(2003 年南京质量检测题 ) 如图, 正三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 的底面边长为 a, 点 M 在边 BC 上, AMC 1 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形.
精品库我们的都是精品 _www.jingpinwenku.com (1) 求证 : 点 M 为边 BC 的中点 ; (2) 求点 C 到平面 AMC 1 的距离. (1) 证明 : AMC 1 为以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形, AM C 1 M 且 AM=C 1 M. ABC A 1 B 1 C 1 是正三棱柱, CC 1 底面 ABC. C 1 M 在底面内的射影为 CM,AM CM. 底面 ABC 为边长为 a 的正三角形, 点 M 为 BC 边的中点. (2) 解 : 过点 C 作 CH MC 1, 由 (1) 知 AM C 1 M 且 AM CM, AM 平面 C 1 CM. CH AM, CH 平面 C 1 AM, 由 (1) 知,AM=C 1 M= a,cm= a 且 CC 1 BC. CC 1 = = a. CH= = = a. 点 C 到平面 AMC 1 的距离为 a. 思悟小结求空间距离的方法可分为直接法 转化法 向量法. 1. 直接法是直接作出垂线, 再通过解三角形求出距离. 2. 转化法则是把点面距离转化为线面距离, 或把线面距离转化为面面距离, 再转化为点面距离. 3. 向量法是把距离求解转化为向量运算. 教师下载中心教学点睛首先要让学生理解点到平面的距离 异面直线的距离以及线面距离及面面距离, 而后结合
题目向学生总结求距离的常用方法, 如 : 直接法 转化法 向量法. 对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况. 拓展题例 例 1 线段 AB 与平面 α 平行,α 的斜线 A 1 A B 1 B 与 α 所成的角分别为 30 和 60, 且 A 1 AB= B 1 B A=90,AB=6,A 1 B 1 =10, 求 AB 与平面 α 的距离. 解 : 如图, 作 AG α 于点 G,BH α 于点 H, 连结 A 1 G B 1 H GH, 因为 A 1 A AB,A 1 G G H. 同理,B 1 H GH. 作 B 1 C A 1 G 于点 C, 则 B 1 C=GH=AB=6, AA 1 G=30, BB 1 H=60. 设 B 1 H=x, 则 CG=B 1 H=x,AG=BH= x,a 1 G=3x=x+A 1 C=x+8. 所以 x=4,ag=bh=4. 当 A 1 B 1 分居平面 AH 两侧时, 类似可得 AG=BH=2. 例 2 (2003 年烟台诊断性测试 ) 如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,E F 分别是 AB PD 的中 点. (1) 求证 :AF 平面 PCE; (2) 若二面角 P CD B 为 45, 求证 : 平面 PCE 平面 PCD; (3) 在 (2) 的条件下, 若 AD=2,CD=2, 求 F 到平面 PCE 的距离. (1) 证明 : 如下图, 取 PC 的中点为 M, 连结 EM FM. 由 FM CD AE CD AF EM
精品库我们的都是精品 _www.jingpinwenku.com EM AF 面 PCE 面 PCE (2) 证明 : 则 PDA 为二面角 P CD B 的平面角. PDA=45, 故 PAD 为等腰 Rt. (3) 作 FH PC, 即 FH 为点 F 到面 PCE 的距离. 由 AD=2 可得 PD=2, 又由 CD=2, 则有 PC= =4. 又由 Rt PHF Rt PDC, 则 = = = =1. 平面直角坐标系 学案 2008 年 12 月高考理科综合 ( 化学 ) 试题探究 (1) 2007 年全国名校中考语文预测试题 8 固体废弃物污染及其防治( 湘 ) () 教案 函数的奇偶性 教案 灯下漫笔 学案 基本计数原理() 教案
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