平面圖形.docx1 平面圖形翰林版 ( 四 )2-1 1 平面幾何 幾何 : 源於 Geometry 一詞, 原為測量之意, 明朝時利瑪竇與徐光啟翻譯歐基里德的著作 幾何原本 後, 正式成為數學學科的名稱之一 ; 幾何學 主要在研究 空間 的各種性質, 如圖形的形狀 大小... 等等的學科 平面幾何 : 專門討論在平面上的圖形所相關的 性質理論等知識的數學稱為平面幾何 2 幾何基本元素 點 : 表示位置, 沒有大小的分別 通常我們用 大寫英文字母來表示一個點 說明 A B C 三點各代表不同的位置 A B C 線 1. 直線 : 以直尺畫出一條線通過平面上相異兩個點, 並向兩端無限延伸, 這樣的圖形稱為直線 說明 直線 AB 可記為 或 通過相異兩點的直線僅有一條 2. 射線 : 以平面上一點為起點, 用直尺畫出 一條線通過平面上另一個相異點並無限 延伸稱為射線 說明 射線 AB 可記為, 但 不可記為 3. 線段 : 以平面上一點為起點, 另一個相異 點為終點, 用直尺畫出一條連接兩點之間 的線稱為線段 說明 線段 AB 可記為 AB 或 BA
角 : 由兩條端點相同且不重疊的射線所形成的圖形, 共用的端點稱為該角的頂點 1. 直角 : 一個角的度數等於 90 o, 稱為直角 2. 銳角 : 一個角的度數小於 90 o, 稱為銳角 3. 鈍角 : 一個角的度數大於 90 o, 稱為鈍角 4. 平角 : 一個角的度數等於 180 o, 稱為平角 5. 周角 : 一個角的度數等於 360 o, 稱為周角 說明 右圖中, 以頂點 A 來來表示這個角, 可以記為 A, 也可以記為 BA C 或 CAB 平面圖形.docx2 角的關係 1. 餘角 : 兩個角的度數和等於 90 o, 稱這兩 個角為互餘, 這兩角互為餘角 說明 右圖中,AB 垂直 BC, 所以 ABD + CBD=90 o, ABD 和 CBD 互餘, ABD 是 CBD 的餘角, CBD 也是 ABD 的餘角 2. 補角 : 兩個角的度數和等於 180 o, 稱這兩 個角互補, 這兩角互為補角 同角的餘角會相等, 同角的補角會相等 說明 右圖中,A B C 成一直線, 所以 A CD + BCD=180 o, ACD 和 BCD 互補, ACD 是 BCD 的補角, BCD 也是 ACD 的補角 3. 對頂角 : 兩直線相交產生四個角, 其中不相鄰的兩個角, 稱為對頂角 4. 鄰角 : 兩直線相交產生四個角, 其中相鄰的兩個角, 稱為鄰角 兩直線相交, 對頂角會相等, 鄰角會互補 說明 右圖中, 1 和 3 為一組對頂角, 2 和 4 則也是一組對頂角, 而且 1= 3 2 = 4 1 和 4 為一組鄰角, 3 和 4 則也是一組鄰角, 而且 1 + 4 =180 o, 3 + 4=180 o 範例講解 Ex1. 已知 x 與 y 互餘 : (1). 設 x=35 o, 求 y=? (2). 設 y=67.5 o, 求 x=? (3). 設 x=a o, 求 y=? (4). 設 y=(90-b) o, 求 x=? Hw1. 已知 x 與 y 互補 : (1). 設 x=35 o, 求 y=? (2). 設 x=127 o, 求 y=? (3). 設 y=a o, 求 x=? (4). 設 y=(90-b) o, 求 x=?
Ans: 55,22.5,90-a,b Ans: 145,53,180-a,90+b 平面圖形.docx3 Ex2. Hw2. (1). A 的補角和 B 的餘角度數相同, 已知 (1). 1=75, 1 與 2 互餘, 2 與 3 A=108, 求 B 互補, 則 3 的對頂角是多少度? (2). 如圖, 若 1+ 2= (2). 已知 A 與 B 互補, B 與 C 互餘, 77 o, 2+ 3=147 o, 求 A- C 則 3+ 4=? (3). 設 A=(56+2m), 若 A 的補角是 24 (3). 若 1 與 2 互為補角, 若 1=, 則 m=? (8x+5), 2=(5x+45), 則 x=? Ans: 18 ;136 ; 10 Ans: 165 ; 90 ;50 Ex3. Hw3. (1). 如圖, AOB 是直角, 問 (1). 如圖, AOB 中共有 AOB 中共有幾個銳幾個銳角? 角? (2). 五條直線相交於一 (2). 如圖, 直線 L 1 L 2 L 3 相交於一點 M, 點, 可形成幾組對頂角? 共可形成多少組對頂角? Ans: 9;6 Ans: 6;20 Ex4. 在坐標平面上共有 5 個點, 其中沒有任 3 點 Hw4. 在一平面上有 5 條直線, 若這 5 條直線最多 共線, 則此 5 點共可決定多少條直線? 有 a 個交點, 最少有 b 個交點, 則 a+b=? Ans: 10 Ans: 10 3 平面圖形 三角形 : 平面上不共線的相異三點, 以線段依 次連接而成的圖形, 內角和為 360 o 說明 如右圖, 其中 A B C 為 ABC 的頂點,AB AC BC 為 ABC 的邊, A B C 為 ABC 的三個內角 1. 直角三角形 : 三角形中有一個內角為直角 的三角形 說明 如右圖,AB BC, B=90 o, ABC 是一個直角三角 形 2. 銳角三角形 : 三角形中所有內角都小於 說明 如右圖, A B
90 o 的三角形 平面圖形.docx4 C 都小於 90 o, ABC 是一個銳角三 角形 3. 鈍角三角形 : 三角形中有一個內角大於 90 o 的三角形 說明 如右圖, A 大於 90 o, ABC 是一個鈍角 三角形 4. 等腰三角形 : 有兩個邊相等的三角形 等腰三角形的底角相等 說明 如右圖,AB=AC, A BC 是一個等腰三角 形, 而且 B= C 5. 正三角形 : 三個邊都相等的三角形 正三角形的三個內角都相等 說明 如右圖,AB=AC=BC, ABC 是一個正三角形, 而且 A= B= C =60 o 四邊形 : 平面上相異四點中沒有任三點共線, 以線段依次連接而成的圖形, 內角和為 360 o 說明 如右圖, 四邊形 ABCD 中, 連接 AC BD 是四邊形的兩條對角線, 而且 A+ B+ C+ D =360 o 1. 正方形 : 四邊等長且四個角都是直角的四邊形 2. 矩形 : 四個角都是直角的四邊形, 也稱為長方形 說明 如右圖, 正方形 ABC D 中,AB=AD=BC= CD, 且 A= B= C = D=90 o 說明 如右圖, 矩形 ABCD 中, A= B= C= D=90 o, 且 AB=CD AD=BC 3. 平行四邊形 : 有兩組對邊平行的四邊形 說明 如右圖, 平行四邊形 A BCD 中,AD//BC AB// DC, 而且 AD=BC AB =DC 4. 梯形 : 有一組對邊平行的四邊形 說明 如右圖, 梯形 ABCD
平行的兩邊分別稱為上底及下底, 不平行 的兩邊稱為腰 平面圖形.docx5 中,AD//BC,AD 稱為上底,BC 為下底, AB DC 為梯形的腰 5. 菱形 : 四邊等長的四邊形 說明 如右圖, 菱形 ABCD 中,AB=AD=BC=CD, 且 A= C B= D 6. 鳶形 : 兩組鄰邊分別等長的四邊形 說明 如右圖, 鳶形 ABCD 中,AB=AD BC=CD, 且 A= C B= D 多邊形 1. 凸多邊形 : 多邊形的所有對角線都在圖形內部, 這樣的多邊形稱為凸多邊形 2. 凹多邊形 : 多邊形的對角線有任何一條在圖形外部, 這樣的多邊形稱為凹多邊形 3. 正多邊形 : 多邊形的各邊都相等, 每個內角也都相等, 這樣的多邊形稱為正多邊形 說明 下列三個多邊形都是正凸多邊形 下列是一個凹多邊形 圓形與扇形 1. 圓 : 平面上到一固定點等距離的所有點所形成的圖形, 這個固定點稱為圓心, 圓通常以圓心來命名 弦 : 連接圓上任意兩點所成的線段稱為圓的弦 說明 如右圖,AB 是圓 O 的一條弦,EF 是直徑是圓 O 中最大的弦,OE=OF 都是半徑 直徑 : 如果一弦通過圓心, 此弦稱為 圓的直徑, 直徑將圓分為兩個半圓, 是圓 O 中最大的弦 半徑 : 圓心到圓周上任一點所連成的線段, 稱為圓的半徑 說明 如右圖, 弦 AB 將圓周分 弧 : 一弦將圓周分成兩部分, 這兩部為兩個弧, 這兩個弧有
分都稱為弧, 小於半圓的弧稱為劣弧, 大於半圓的弧稱為優弧 2. 弓形 : 圓上一弦與其所對的弧所圍成的圖形 3. 扇形 : 圓的兩半徑及一弧所圍成的圖形 圓心角 : 扇形中兩半徑的夾角稱為圓心角 平面圖形.docx6 (相同的端點 劣弧以 AB 表示, 而優弧則 (在其上多取一點 C, 以 ACB 表示 說明 如右圖, 一弦將圓分成 兩個弓形 說明 如右圖, 圓心角 AOB=60 o,ao=10 扇形面積 = π 6 2 = π 36=6π AB = 2π 6 扇形面積 = 圓心角的度數 圓的面積 = 2π 6=2π 圓心角的度數 2 = π 半徑 所對弧長 = 圓心角的度數 圓的周長 圓心角的度數 = 2π 半徑 範例講解 Ex5. 如圖,A B C 三點在同一直線上,D B E 三點也在同一直線上, 且 ADC 和 ECD 都是直角, DBC 為鈍角, 以 A B C D E 五點為頂點, 所構成的三角形中, 哪些是直角三角形? 哪些是鈍角三角形? 哪些是銳角三角形? Ans: ADC ECD 為直角三角形, BD C 為鈍角三角形, ABD EBC 為銳角三角形 Hw5. 圖為一中間橋墩垂直地面, 兩旁鋼索均等距的斜張橋, 請問圖中共有那些銳角三角形? Ans: ACE ABF ABE ACF
Ex6. 以平面上相異四點為三角形的頂點, 最多可 以構成多少個三角形? Hw6. 如圖中, 共有多少個三角 形? 平面圖形.docx7 Ans: 4 Ans: 8 Ex7. ABC 中, 若 B= C- A, 則 ABC 為何種三角形? Ans: 直角三角形 Hw7. ABC 中, A 及 B 均為銳角, 則下列敘述何者正確? (A) ABC 為銳角三角形 (B) ABC 為直角三角形 (C) ABC 為鈍角三角形 (D) 以上皆有可能 Ans: D Ex8. Hw8. (1). 等腰 ABC 之頂角 C=40, 求 A=? (1). 等腰 ABC 之底角 A=50, 求 C=? (2). 等腰直角三角形之底角的外角為多少 (2). 直角三角形之一內角為 30, 則另一內角度? 的外角為多少度? (3). 等腰三角形中一內角為 80, 則底角的度 (3). ABC 中 A= B+ C, 求 A 是多少數為多少度? 度? Ans: 70;135;80 或 50 Ans: 80;1120;90 Ex9. 如圖,ĀD 與 BC 相交於 O 點, OAB= 67, AOB=27, ODC=43, 求 B 及 C Hw9. 如圖, 若 A=60, B=55, C=70, 求 D=? Ans: 86,110 Ans: 45 Ex10. 如圖中, 共有多少個 平行四邊形? Hw10. 如圖為方格紙的一部分, 則其中 大 小正方形的個數共有幾個? Ans: 36 個 Ans: 30 Ex11. 求六邊形的內外角和及對角線個數? Hw11. 求九邊形的內外角和及對角線個數? Ans: 720,360,9 Ans: 1260,360,54 Ex12. 請根據如表回答下列問題 : A. 四邊等長 B. 兩組對邊等長 C. 兩組鄰邊等長 D. 兩組對邊平行 E. 只有一組對邊平行 F. 四個直角 (1). 正方形具備的性質有 : (2). 長方形具備的性質有 : Hw12. 就各種四邊形的性質回答下列問題 : 甲 : 長方形乙 : 正方形丙 : 平行四邊形丁 : 菱形戊 : 鳶形 (1). 哪些四邊形的對邊等長, 且平行? (2). 哪些四邊形的對邊不等長也不平行?
平面圖形.docx8 (3). 平行四邊形具備的性質有 : (4). 鳶形具備的性質有 : (5). 菱形具備的性質有 : (6). 梯形具備的性質有 : Ans: A B C D F; B D F; B D; C; A B C D; E Ans: 甲 乙 丙 丁 ; 戊 Ex13. 在一圓上, 任意取相異 5 點, 則此 5 點共 Hw13. 一圓有相異 5 點, 問此 5 點共可連成幾個 可決定幾條弦? 弧? Ans: 10 Ans: 20 Ex13. (1). 如圖, 有一扇形,OA =8 公分, AOB=135, 則 AB (為多少公分? (2). 有一扇形, 已知其半徑為 15 公分, 弧長為 12π 公分, 求其圓心角及此扇形的面積 (3). 已知圓 O 上 A B 兩點將圓分成優 劣兩弧 若兩弧的度數比為 8:1, 則劣弧所對圓心角 AOB=? Hw12. (1). 半徑為 10 公分的扇形, 面積是 10π 平方公分, 那麼它的圓心角是多少度? (2). 有一個鐘擺的擺長為 9 公分, 鐘擺從最左端擺到最右端, 經過的面積為 18π 平方公分 那麼鐘擺在最左端與在最右端所夾的角度是多少度? (3). 設 A B 兩點把圓 O 分成大 小兩弧, 若大弧的度數比小弧度數的 3 倍多 60, 則 AOB=? Ans: 144,90π; 6π;40 Ans: 36; 80 ;75 Ex14. 鐘面上, 在 10 點 30 分時, 分針和時針的 Hw14. 有一個鐘擺的擺長為 9 公分, 鐘擺從最左夾角是多少度? 端擺到最右端, 經過的面積為 18π 平方公分 那麼鐘擺在最左端與在最右端所夾的角度是多少度? Ans: 135 Ans: 80 綜合應用 Ex15. 如圖, 1+ 2+ 3 + 4+ 5=? Hw15. 如圖, 求 A+ B+ C+ D+ E+ F=? Ans: 180 Ans: 360
平面圖形.docx9 Ex16. 如圖,ABCD 為正方形, 邊長 AB=8 公分, 且灰色 區域為兩扇形重疊之部 分, 請計算灰色區域的面 積與周長 Hw16. 如圖, 長方形長為 8 公 分, 寬為 6 公分, 圖中 扇形是以 A 為圓心, AP 為半徑, 則斜線部 分面積為多少平方公 分? Ans: 32π-64,8π Ans: 48-9π Ex17. 如圖, 有一半徑為 2 公分的圓 形時鐘圖片, 其中每個刻度間的 弧長均相等 若小明依鐘面 11 時和 1 時的位置, 畫一直線, 則斜線區域面 積為多少平方公分? Hw17. 正方形 ABCD 每邊長為 2, 以 A 為圓心, AB 為半 徑在正方形 ABCD 內部畫 一弧 BD, 則此弧與對角線 面積為何? Ans: 3 2 π- 3 Ans: π-2 BD 所定的弓形 Ex18. 如圖, 有一個邊長為 6 公分的正方形 ABCD, 在此正方形的兩邊上放置兩個邊長為 6 公分的正三角形 ( ADE 與 FDC) 請問當 ADE 以 D 為圓心順時針旋轉至與 FDC 完全重合時,E 點所經過的路線長為多少? Ans: 7π Hw18. 如圖, 有一個邊長為 24 公分的正 ABC, 在 ABC 的兩邊上放置兩個邊長為 24 公分的正方形 (ABDE 與 AFGC) 請問當正方形 ABDE 以 A 為圓心順時針轉至與 AFGC 完全重合時,B 點所經過的路線長為多少公分? Ans: 28π Ex19. 如圖, ( AB ( BC ( DE ( EF ( AGD ( BGE ( BHE ( CHF 皆為直徑為 2 的半圓, 求灰色部分的面積為 何? Ans: 8 Hw19. 在正方形內作四個弓形如圖, 弧度為 90, 半徑長為 4, 以各邊為弦, 則四個弓形面積和為多少平方公分? 四個弓形的弧長和為多少平方公分? Ans: 16π-32,8π
Ex20. 如右圖, 草地上有一堵高牆, 一條牛拴在 B 點, 繩子長 12 公尺, 問這條牛能吃到草的面積共有多少平方公尺? Ans: 42π 平面圖形.docx10 Ex20. 如右圖, 草地上有一封閉的正方體高牆 ( 內部不能進去 ), 一條牛拴在正方體一邊的中點上, 已知正方體的邊長 6 公尺, 拴牛的繩子長 12 公尺, 問這條牛能吃到草的面積有多少平方公尺? Ans: 117π