序 言 工 程 力 学 是 我 国 绝 大 部 分 高 等 院 校 工 科 专 业 必 修 的 基 础 课 程, 其 主 要 内 容 由 理 论 力 学 和 材 料 力 学 构 成 随 着 近 年 来 专 业 调 整 及 课 程 体 系 改 革 的 不 断 进 行, 课 堂 学 时 越 来 越 少

工 程 力 学 (I) 试 用 讲 义 中 国 石 油 大 学 ( 北 京 ) 机 械 与 储 运 工 程 学 院 安 全 工 程 系 011 年 8 月 1

序 言 工 程 力 学 是 我 国 绝 大 部 分 高 等 院 校 工 科 专 业 必 修 的 基 础 课 程, 其 主 要 内 容 由 理 论 力 学 和 材 料 力 学 构 成 随 着 近 年 来 专 业 调 整 及 课 程 体 系 改 革 的 不 断 进 行, 课 堂 学 时 越 来 越 少 各 院 校 不 得 不 根 据 不 同 专 业 的 需 要, 将 其 分 为 工 程 力 学 (I) 和 工 程 力 学 (II) 工 程 力 学 (I) 主 要 讲 授 理 论 力 学 的 静 力 学 部 分 和 材 料 力 学 的 主 要 内 容, 工 程 力 学 (II) 在 工 程 力 学 (I) 的 基 础 上 讲 授 理 论 力 学 的 运 动 学 动 力 学 部 分 以 及 材 料 力 学 中 因 学 时 不 够 的 原 因 未 能 放 在 工 程 力 学 (I) 中 的 其 它 内 容 相 应 出 版 的 教 材 很 多, 其 教 学 内 容 和 结 构 体 系 大 同 小 异 我 校 与 大 部 分 院 校 一 样, 大 部 分 专 业 作 为 对 工 程 力 学 知 识 的 基 本 要 求, 只 开 设 工 程 力 学 (I), 工 程 力 学 (II) 作 为 选 修 课 供 部 分 同 学 选 学 我 校 工 程 力 学 学 科 通 过 对 多 年 工 程 力 学 (I) 课 程 教 学 效 果 分 析 后 发 现, 现 有 教 学 方 法 和 大 部 分 教 材 的 内 容 编 排 存 在 简 单 罗 列 和 重 复 的 现 象, 既 占 用 学 时, 又 难 以 让 学 生 掌 握 工 程 结 构 强 度 分 析 的 一 般 方 法 其 主 要 原 因 是 教 材 体 系 与 实 际 工 程 结 构 强 度 分 析 方 法 和 过 程 有 一 定 差 异 近 年 来 不 少 高 校 的 工 程 力 学 同 行 们 不 断 地 在 教 学 方 法 手 段 及 教 材 等 方 面 进 行 改 革 探 索, 我 校 工 程 力 学 学 科 在 学 校 的 大 力 支 持 下 也 开 展 了 大 量 的 教 学 改 革 研 究, 本 教 材 就 是 我 校 在 工 程 力 学 教 学 中 所 进 行 的 教 学 改 革 的 成 果 的 体 现 本 教 材 的 主 要 特 点 如 下 : 1) 根 据 实 际 工 程 结 构 分 析 的 过 程 编 排 内 容 章 节, 即 从 力 学 建 模 ( 载 荷 与 约 束 ) 开 始, 经 内 力 分 析 应 力 分 析, 直 到 强 度 校 核 ( 设 计 ) ) 从 空 间 一 般 力 学 问 题 入 手, 既 避 免 了 从 平 面 到 空 间 的 简 单 重 复, 又 避 免 了 从 拉 伸 到 扭 转 剪 切 和 弯 曲 等 不 同 变 形 形 式 分 析 的 简 单 重 复 3) 考 虑 了 工 程 结 构 失 效 的 多 种 可 能 的 破 坏 形 式, 以 因 材 料 屈 服 引 起 的 强 度 破 坏 分 析 为 主, 并 单 独 介 绍 了 结 构 过 量 变 形 失 稳 和 断 裂 等 问 题

目 录 绪 论... 5 0.1 工 程 力 学 课 程 的 性 质 与 任 务... 5 0. 结 构 与 构 件... 5 0.3 结 构 的 安 全 与 破 坏 的 基 本 概 念... 7 0.4 工 程 结 构 分 析 的 基 本 方 法 与 过 程... 8 0.5 刚 体 与 变 形 体 的 概 念 与 基 本 假 设... 10 第 1 章 力 与 约 束... 11 1.1 力... 11 1.1.1 外 力 及 其 分 类... 11 1.1. 力 的 表 示 方 法... 11 1.1.3 静 力 学 公 理... 1 1.1.4 力 在 空 间 直 角 坐 标 轴 上 的 投 影... 15 1. 力 矩... 16 1..1 力 对 点 的 矩... 16 1.. 力 矩 的 性 质... 17 1..3 合 力 矩 定 理... 17 1..4 力 对 轴 之 矩... 18 1.3 力 偶... 0 1.3.1 力 偶 与 力 偶 矩... 0 1.3. 力 偶 的 性 质... 1.3.3 平 面 力 偶 的 等 效 定 理... 1.3.4 空 间 力 偶 系 的 合 成... 1.4 力 的 平 移 定 理... 4 1.5 自 由 度 约 束 与 约 束 反 力... 5 1.5.1 约 束 与 约 束 反 力 的 概 念... 5 1.5. 工 程 中 常 见 约 束 及 其 反 力... 6 1.6 构 件 受 力 图... 9 习 题... 31 第 章 空 间 力 系 分 析... 37.1 空 间 力 系 的 简 化... 37.1.1 力 系 等 效 与 平 衡 的 概 念... 37.1. 空 间 任 意 力 系 简 化 结 果 分 析... 39. 空 间 力 系 的 平 衡 方 程... 4..1 空 间 一 般 力 系 的 平 衡 方 程... 4.. 空 间 特 殊 力 系 的 平 衡 方 程... 45.3 桁 架 的 内 力 分 析... 50.3.1 桁 架 结 构... 50.3. 桁 架 内 力 分 析 的 结 点 法... 51.3.3 桁 架 内 力 分 析 的 截 面 法... 60.3.4 桁 架 内 力 分 析 的 联 合 法... 65.3.5 各 类 平 面 梁 式 桁 架 的 比 较... 67.4 重 心... 69 3

.4.1 重 心 的 概 念... 69.4. 重 心 坐 标 公 式... 70.4.3 确 定 物 体 重 心 的 方 法... 7 习 题... 78 第 3 章 考 虑 摩 擦 时 的 平 衡 问 题... 84 3.1 滑 动 摩 擦... 84 3.1.1 静 滑 动 摩 擦 力... 84 3.1. 最 大 静 滑 动 摩 擦 力... 85 3.1.3 动 滑 动 摩 擦 力... 85 3. 摩 擦 角 和 自 锁 现 象... 86 3..1 摩 擦 角... 86 3.. 自 锁 现 象... 87 3.3 考 虑 摩 擦 时 物 体 的 平 衡 问 题... 89 3.4 滚 动 摩 擦 的 概 念... 98 习 题... 101 4

绪 论 0.1 工 程 力 学 课 程 的 性 质 与 任 务 工 程 力 学 研 究 自 然 界 以 及 各 种 工 程 中 机 械 运 动 的 最 普 遍 最 基 本 的 规 律, 以 指 导 人 们 认 识 自 然 界, 正 确 从 事 工 程 技 术 工 作 工 程 力 学 研 究 两 大 类 机 械 运 动 : 一 是 研 究 物 体 的 运 动, 即 研 究 作 用 在 物 体 上 的 力 与 运 动 之 间 的 关 系 ; 二 是 研 究 物 体 的 变 形, 研 究 作 用 在 物 体 上 的 力 与 变 形 之 间 的 关 系 这 两 类 问 题 互 相 交 叉 渗 透 和 融 合 研 究 运 动 物 体 的 变 形 时, 必 须 首 先 分 析 运 动 ; 而 研 究 某 些 运 动 ( 如 振 动 ) 问 题 时, 也 必 须 考 虑 变 形 本 课 程 只 研 究 物 体 的 变 形 问 题 工 程 力 学 涉 及 众 多 的 力 学 学 科, 所 包 含 的 内 容 极 其 广 泛, 包 含 静 力 学 运 动 学 动 力 学 以 及 材 料 力 学 等 部 分 静 力 学 是 工 程 力 学 以 及 其 他 工 科 力 学 课 程 的 基 础, 其 主 要 研 究 物 体 在 力 系 作 用 下 的 平 衡 规 律, 包 括 物 体 的 受 力 分 析 力 系 的 等 效 替 换 ( 或 者 简 化 ) 以 及 建 立 各 种 力 系 的 平 衡 条 件 运 动 学 研 究 物 体 运 动 的 几 何 性 质, 包 括 运 动 轨 迹 运 动 方 程 速 度 和 加 速 度 等, 而 不 追 究 物 体 为 什 么 会 有 这 样 的 运 动 特 性 运 动 学 是 学 习 动 力 学 的 基 础, 同 时 也 为 分 析 机 构 的 运 动 提 供 必 要 的 基 础 动 力 学 研 究 物 体 的 机 械 运 动 与 作 用 力 之 间 的 关 系, 建 立 物 体 机 械 运 动 的 普 遍 规 律 材 料 力 学 研 究 构 件 在 外 力 的 作 用 下, 内 部 会 产 生 什 么 样 的 力, 这 些 力 是 怎 样 分 布 的, 会 导 致 构 件 有 怎 样 的 变 形, 以 及 这 些 变 形 对 构 件 的 正 常 工 作 会 产 生 什 么 样 的 影 响 由 此 可 见, 工 程 力 学 的 重 要 任 务 就 是 正 确 分 析 各 种 构 件 的 受 力 和 变 形, 为 工 程 结 构 的 安 全 设 计 和 安 全 校 核 提 供 力 学 原 理 的 指 导 和 方 法 因 此, 工 程 力 学 是 力 学 原 理 在 工 程 中 应 用 的 科 学 0. 结 构 与 构 件 工 程 结 构 分 析 的 对 象 是 结 构, 一 个 能 够 承 担 一 定 外 部 载 荷 ( 外 力 ) 的 系 统 称 为 结 构, 结 构 的 功 能 是 承 受 载 荷 组 成 结 构 的 元 件 称 为 构 件, 构 件 是 结 构 的 基 本 单 元 构 件 的 属 性 : 由 固 体 材 料 构 成 能 承 受 载 荷 可 变 形 工 程 上 常 用 的 构 件 有 不 同 的 形 式, 按 空 间 几 何 特 征 可 分 为 以 下 几 种 : 5

图 0-1 (1) 一 维 构 件, 指 空 间 一 个 方 向 的 尺 度 远 大 于 其 他 两 个 方 向 的 尺 度 的 构 件, 包 括 杆 轴 梁 等, 这 类 构 件 轴 线 可 以 是 直 的, 等 截 面 的, 也 可 能 是 弯 的, 各 截 面 不 相 等 的 如 下 图 0-1(a) 所 示 梁, 其 两 端 搁 在 墙 上, 其 截 面 尺 寸 远 小 于 长 度 图 0- 所 示 钻 机 井 架 和 底 座 基 本 就 是 由 杆 件 组 成 的 描 述 杆 件 的 两 个 主 要 几 何 要 素 为 横 截 面 和 轴 线, 横 截 面 是 指 垂 直 于 杆 长 度 方 向 的 截 面, 而 轴 线 则 为 杆 件 所 有 横 截 面 形 心 的 连 线, 两 者 相 互 垂 直 如 杆 的 轴 线 为 直 线, 称 为 直 杆 ; 如 杆 件 的 轴 线 为 曲 线, 则 称 为 曲 杆 横 截 面 大 小 和 形 状 不 变 的 杆 件, 称 为 等 截 面 杆 ; 反 之 称 为 变 截 面 杆, 包 括 截 面 突 变 和 渐 变 两 类 材 料 力 学 的 基 本 理 论 主 要 建 立 在 等 截 面 直 杆 的 基 础 上 图 0- () 二 维 构 件, 指 空 间 一 个 方 向 的 尺 度 远 小 于 其 他 两 个 方 向 的 尺 度 的 构 件, 包 括 板 和 壳 当 构 件 各 处 曲 率 为 零 时 成 为 板, 这 种 物 体 称 为 板, 建 筑 结 构 中 的 板 类 构 件 有 各 种 墙 板 楼 板 屋 面 板 等 当 构 件 且 至 少 有 一 个 方 向 的 曲 率 不 为 零, 这 种 物 体 称 为 壳 如 上 图 0-1(b) 所 示 油 气 储 运 所 用 的 管 道 和 储 罐 基 本 就 是 由 板 和 壳 所 构 成 的, 如 图 0-3 所 示 6

图 0-3 (3) 三 维 构 件, 指 空 间 三 个 方 向 具 有 相 同 等 级 的 尺 度 的 构 件, 这 种 构 件 称 为 块 体 如 上 图 0-1(c) 所 示 建 筑 结 构 中 的 块 体 构 件 有 砖 砌 块 柱 角 支 座 等 图 0-4 所 示 钻 机 大 钩 可 以 认 为 是 由 块 体 所 构 成 图 0-4 由 于 板 壳 和 块 体 的 力 学 分 析 相 对 复 杂, 因 此 本 课 程 主 要 研 究 一 维 构 件 的 受 力 和 变 形 对 于 板 壳 和 块 体 的 力 学 行 为 将 在 其 他 力 学 分 支 课 程 中 研 究 0.3 结 构 的 安 全 与 破 坏 的 基 本 概 念 工 程 实 际 中, 结 构 的 元 件 机 器 的 零 部 件, 统 称 为 构 件 如 建 筑 物 的 梁 和 柱 机 床 的 轴 等 构 件 在 工 作 时, 载 荷 过 大 会 使 其 丧 失 正 常 的 工 作 能 力, 这 种 现 象 称 为 失 效 或 破 坏 反 之, 承 受 必 要 的 载 荷 时 能 正 常 服 役 的 构 件, 我 们 称 之 为 处 于 安 全 状 态 构 件 失 效 的 原 因 往 往 是 由 于 构 件 的 材 料 尺 寸 约 束 形 式 等 与 构 件 所 受 载 荷 不 相 适 应 而 造 成 的, 此 外 还 由 于 构 件 的 腐 蚀 疲 劳 和 构 件 上 存 在 的 缺 陷 引 起 的 构 件 因 承 受 过 大 的 载 荷 引 起 的 常 见 破 坏 形 式 有 : 构 件 材 料 发 生 屈 服 破 坏, 构 件 产 生 过 大 的 变 形 或 失 去 稳 定 性, 构 件 的 疲 劳 断 裂 等 为 使 构 件 在 载 荷 作 用 下 能 正 常 工 作 而 不 破 坏, 也 不 发 生 过 大 的 变 形 和 不 丧 失 稳 定, 要 求 构 件 满 足 三 方 面 的 基 本 要 求 : 强 度 要 求 刚 度 要 求 稳 定 性 要 求 此 外, 还 有 一 些 特 殊 用 途 的 构 件 除 应 满 足 上 述 三 方 面 的 基 本 要 求 外, 还 应 有 一 些 特 殊 要 求, 如 输 气 管 道 还 应 满 足 韧 性 要 求, 以 保 证 管 道 一 旦 意 外 破 裂 时, 爆 破 缺 口 能 自 行 止 裂, 防 止 重 大 事 故 的 发 生 强 度 要 求 就 是 指 在 外 载 作 用 下, 构 件 应 有 足 够 的 抵 抗 破 坏 和 过 大 塑 性 变 形 的 能 力 例 如, 机 床 的 轴 不 可 折 断 管 道 和 储 罐 不 应 爆 破 钻 机 的 井 架 不 应 折 弯 等 7

刚 度 要 求 就 是 指 在 外 载 作 用 下, 构 件 应 有 足 够 的 抵 抗 弹 性 变 形 的 能 力 例 如, 齿 轮 轴 若 变 形 过 大, 将 造 成 齿 轮 和 轴 承 的 不 均 匀 磨 损 引 起 噪 声 ; 机 床 主 轴 变 形 过 大, 将 影 响 加 工 精 度 稳 定 性 要 求 就 是 指 在 外 载 作 用 下, 构 件 应 有 足 够 的 保 持 原 有 平 衡 状 态 的 能 力, 如 内 燃 机 的 挺 杆 千 斤 顶 的 螺 杆 翻 斗 货 车 的 液 压 机 构 中 的 顶 杆 等, 应 始 终 维 持 原 有 的 直 线 平 衡 状 态, 保 证 不 被 压 弯 构 件 在 外 力 作 用 下 会 发 生 什 么 样 的 变 形, 是 否 能 安 全 可 靠 地 工 作 ( 不 发 生 过 分 的 变 形 没 有 裂 纹 破 损 甚 至 断 裂 等 ), 是 材 料 力 学 所 要 研 究 的 内 容 0.4 工 程 结 构 分 析 的 基 本 方 法 与 过 程 工 程 力 学 的 目 的 是 为 工 程 结 构 分 析 提 供 适 当 的 方 法, 一 般 采 用 演 绎 的 方 法 按 照 对 自 然 界 或 试 验 的 观 察, 由 观 察 的 现 象 而 建 立 概 念, 在 物 理 上 陈 述 物 质 运 动 的 规 律 ; 但 是 如 果 由 已 知 的 规 律, 利 用 理 论 分 析 导 出 一 些 推 论, 并 据 此 对 具 体 的 机 械 系 统 ( 或 力 学 系 统 ) 的 性 能 做 出 预 测 它 应 向 工 程 师 提 供 完 成 设 计 所 需 的 方 法 和 准 则 工 程 结 构 分 析 的 流 程 一 般 为 : 工 程 结 构 整 体 力 学 建 模 及 边 界 条 件 分 析 构 件 隔 离 体 分 析 构 件 截 面 内 力 分 析 构 件 截 面 应 力 分 析 截 面 危 险 点 应 力 状 态 及 强 度 分 析 图 0-5 工 程 结 构 分 析 过 程 研 究 一 个 实 际 工 程 结 构 或 构 件 的 力 学 行 为, 必 须 首 先 建 立 力 学 模 型 力 学 模 型 的 建 立 包 括 下 列 几 个 部 分 : 实 际 物 体 的 合 理 抽 象 与 简 化 形 成 物 体 模 型 例 如 质 点 就 是 一 个 物 体 模 型 当 所 研 究 的 物 体 运 动 范 围 远 远 超 过 其 本 身 的 几 何 尺 寸 时, 物 体 的 形 状 和 大 小 对 运 动 的 影 响 很 小, 这 时 可 以 将 其 抽 象 为 只 有 质 量 而 无 体 积 的 质 点 当 研 究 汽 车 的 运 动 规 律 时, 公 路 上 行 驶 的 汽 车 可 以 看 作 是 一 个 质 点 当 研 究 天 体 的 运 动 时, 星 球 可 以 简 化 为 质 点 以 后 我 们 将 会 遇 到 更 多 的 物 体 模 型, 如 直 杆 板 壳 等 实 际 工 作 状 态 的 合 理 抽 象 与 简 化 形 成 工 作 状 态 模 型 研 究 运 动 时 忽 略 物 体 本 身 极 小 的 变 形, 这 种 不 变 形 的 物 体 称 为 刚 体 ; 显 然, 刚 体 是 一 个 理 想 化 的 模 型 研 究 物 体 的 变 形 和 内 部 受 力 规 律 时, 则 必 须 考 虑 物 体 的 变 形, 这 种 可 变 形 的 物 体 称 为 变 形 体 8

实 际 工 作 环 境 的 合 理 抽 象 与 简 化 形 成 工 作 环 境 模 型 结 构 上 的 外 载 荷 可 以 近 似 地 简 化 为 集 中 载 荷 或 分 布 载 荷 ; 结 构 与 周 围 其 他 物 体 的 相 互 作 用 可 以 近 似 地 用 约 束 或 作 用 力 代 替 工 程 力 学 的 研 究 方 法 主 要 有 理 论 解 析 法 模 型 实 验 法 数 值 模 拟 法 理 论 解 析 法 : 在 工 程 力 学 发 展 的 过 程 中, 人 们 致 力 于 采 用 数 学 公 式 或 方 程 表 示 一 个 力 学 问 题, 然 后 求 解 这 些 方 程, 得 到 问 题 的 解 由 于 这 种 方 法 要 求 精 密 的 力 学 模 型, 因 此 在 理 论 解 析 方 法 中, 进 行 了 各 种 假 设 和 简 化 这 些 经 过 简 化 的 力 学 模 型 不 仅 能 够 很 好 地 描 述 实 际 工 程 问 题 的 本 质, 而 且 形 成 了 工 程 力 学 中 的 经 典 力 学 问 题, 成 为 检 验 新 的 问 题 新 的 研 究 方 法 的 标 准 例 如 对 于 直 杆 的 拉 ( 压 ) 扭 转 和 弯 曲 变 形, 分 别 采 用 不 同 的 假 设 和 简 化 模 型, 得 到 了 不 同 的 解 析 公 式 由 解 析 方 法 得 到 的 力 学 问 题 解 答, 一 般 称 为 解 析 解 模 型 实 验 法 : 将 实 际 工 程 结 构 接 一 定 的 比 例 做 成 实 验 模 型, 并 采 用 尽 可 能 逼 真 的 工 作 环 境, 进 行 力 学 性 能 的 实 验, 是 力 学 研 究 的 重 要 方 法 力 学 实 验 不 仅 能 够 提 供 力 学 问 题 的 真 实 解 答, 而 且 能 够 检 验 其 他 研 究 方 法 的 模 型 与 解 答 的 正 确 性 经 过 长 期 的 积 累, 有 些 工 程 力 学 实 验 已 经 发 展 成 为 标 准 的 实 验, 从 试 件 仪 器 数 据 获 取 等 都 有 相 应 的 规 范 有 些 新 的 力 学 问 题, 必 须 通 过 力 学 实 验 才 能 得 到 力 学 本 质 的 理 解 但 是 由 于 力 学 实 验 要 耗 费 很 大 的 人 力 物 力, 有 的 周 期 也 比 较 长, 因 此 对 于 新 的 力 学 实 验, 需 要 精 心 设 计 数 值 模 拟 法 : 现 代 计 算 技 术 与 计 算 机 的 应 用, 为 工 程 力 学 的 研 究 提 供 了 强 有 力 的 工 具 数 值 模 拟 法 的 实 质 是 采 用 数 值 分 析 技 术 求 解 工 程 力 学 的 基 本 方 程, 从 而 得 到 力 学 问 题 的 数 值 解 答 由 于 数 值 模 拟 法 的 快 速 发 展 和 成 功 应 用, 使 得 经 典 力 学 的 研 究 状 况 发 生 了 很 大 的 变 化 不 仅 极 大 地 扩 大 了 力 学 的 研 究 范 围, 而 且 更 加 逼 近 实 际 工 程 的 细 节 数 值 模 拟 方 法 已 经 成 为 工 程 力 学 中 解 决 复 杂 问 题 的 首 选 方 法 图 0-6(a) 是 管 道 跨 越 结 构 整 体 分 析, 图 0-6(b) 是 石 油 工 程 用 膨 胀 管 的 应 力 分 布 这 些 结 果 都 是 采 用 有 限 元 数 值 模 拟 技 术 得 到 的 (a) (b) 图 0-6 9

0.5 刚 体 与 变 形 体 的 概 念 与 基 本 假 设 刚 体 是 指 在 力 的 作 用 下, 其 内 部 任 意 两 点 之 间 的 距 离 始 终 保 持 不 变 的 物 体 刚 体 是 一 种 理 想 化 的 力 学 模 型 实 际 工 程 中, 构 件 在 外 载 作 用 下, 几 何 形 状 和 尺 寸 都 会 发 生 改 变, 这 种 变 化 称 为 变 形 发 生 形 状 和 尺 寸 改 变 的 构 件 就 称 为 变 形 体 工 程 实 际 中 的 构 件 受 力 后 的 变 形 一 般 都 很 小, 对 讨 论 力 的 运 动 效 应 影 响 甚 微, 可 以 忽 略 不 计, 故 抽 象 为 刚 体 这 样 可 使 问 题 的 研 究 大 为 简 化 但 在 实 际 处 理 工 程 问 题 时, 是 否 考 虑 构 件 的 变 形 需 根 据 具 体 情 况 而 定 在 静 力 学 运 动 学 和 动 力 学 中, 构 件 在 外 载 作 用 下 产 生 的 变 形 都 比 较 小, 几 乎 不 影 响 构 件 的 受 力 与 运 动, 因 而 可 以 忽 略 掉 这 种 变 形 因 此, 在 静 力 学 运 动 学 和 动 力 学 中, 可 以 将 变 形 体 简 化 为 刚 体 在 工 程 力 学 的 静 力 学 分 析 中 所 指 的 物 体 都 是 刚 体 而 材 料 力 学 部 分 是 研 究 作 用 在 物 体 上 的 力 与 变 形 规 律 这 时, 即 使 变 形 很 小, 也 不 能 忽 略, 因 而 材 料 力 学 的 研 究 对 象 是 变 形 体 但 是 在 研 究 变 形 问 题 过 程 中, 当 涉 及 平 衡 问 题 时, 大 都 分 情 况 下 仍 可 用 刚 体 模 型 对 于 工 程 力 学 所 研 究 的 变 形 体 有 以 下 基 本 假 设 : 一 连 续 性 假 设 本 课 程 的 研 究 不 考 虑 物 体 中 存 在 的 微 缺 陷, 这 样 在 表 示 物 体 的 受 力 变 形 等 物 理 量 时 可 用 坐 标 的 连 续 函 数 来 表 示 二 均 匀 及 各 向 同 性 假 设 物 体 内 部 各 点 材 料 的 力 学 特 征 相 同, 且 各 点 不 同 方 向 上 的 力 学 特 征 也 相 同 即 表 征 某 一 力 学 性 质 的 物 理 量 不 随 坐 标 的 选 择 而 变 化, 这 使 得 力 学 分 析 中 可 以 应 用 坐 标 变 换 三 小 变 形 假 设 物 体 的 变 形 与 原 有 几 何 尺 寸 相 比 均 为 小 量 这 样, 可 以 认 为 外 载 及 其 作 用 在 物 体 变 形 过 程 中 保 持 不 变 四 无 初 始 应 力 假 设 物 体 内 部 应 力 有 两 种, 一 是 由 于 加 工 引 起 的 残 余 应 力, 二 是 由 于 外 载 作 用 引 起 的 附 加 应 力, 本 课 程 只 考 虑 后 者 10

第 1 章 力 与 约 束 1.1 力 1.1.1 外 力 及 其 分 类 力 是 物 体 间 的 相 互 机 械 作 用, 这 种 作 用 使 物 体 的 运 动 状 态 或 形 状 发 生 变 化 例 如, 人 用 力 拉 车 可 使 车 的 速 度 增 大 ; 地 球 对 月 球 的 引 力 使 月 球 不 断 改 变 运 动 方 向 而 环 绕 地 球 运 转 ; 锻 锤 的 冲 击 力 使 锻 件 变 形 等 实 践 表 明, 力 对 物 体 的 作 用 效 应 决 定 于 以 下 三 个 要 素 : 力 的 大 小 ; 力 的 方 向 ; 力 的 作 用 点 当 这 三 个 要 素 中 的 任 何 一 个 改 变 时, 力 的 作 用 效 应 也 就 不 同 了 力 对 物 体 的 效 应 表 现 为 物 体 运 动 状 态 的 改 变 和 变 形 力 使 物 体 运 动 状 态 发 生 变 化 的 效 应 称 为 力 的 外 效 应, 而 力 使 物 体 产 生 变 形 效 应 称 为 力 的 内 效 应 外 力 是 相 对 内 力 而 言 的, 外 力 与 内 力 是 相 互 依 存 的 关 系 外 力 的 分 类 : (1) 按 分 布 情 况 可 分 为 体 积 力 和 表 面 力 作 用 在 物 体 整 个 体 积 上 的 力 称 为 体 积 力 体 积 力 包 括 重 力 惯 性 力 电 磁 力 等 仅 作 用 在 物 体 表 面 上 的 力 称 为 表 面 力, 表 面 力 可 以 是 分 布 力, 也 可 能 是 集 中 力 () 按 载 荷 随 时 间 变 化 的 情 况 分 为 静 载 荷 和 动 载 荷 在 静 载 荷 和 动 载 荷 作 用 下, 材 料 表 现 出 不 同 的 力 学 性 能 动 载 荷 分 为 交 变 载 荷 和 冲 击 载 荷 (3) 按 产 生 的 原 因 分 为 主 动 的 外 载 荷 和 被 动 的 约 束 反 力 1.1. 力 的 表 示 方 法 图 1-1 力 是 一 个 既 有 大 小 又 有 方 向 的 量, 称 为 矢 量 ( 或 称 向 量 ) 在 力 学 中, 矢 量 可 用 一 条 具 有 方 向 的 线 段 来 表 示, 如 图 1-1 所 示, 用 线 段 的 起 点 ( 或 终 点 ) 表 示 力 的 作 用 点 ; 用 线 段 的 方 位 和 箭 头 指 向 表 示 力 的 方 向, 用 线 段 的 长 度 ( 按 一 定 比 例 ) 表 示 力 的 大 小 通 过 力 的 作 用 点 沿 力 方 向 的 直 线, 称 为 力 的 作 用 线 在 本 书 中, 力 的 矢 量 用 黑 体 字 母 表 示 如, 而 力 的 大 小 ( 该 矢 量 的 模 ) 则 用 普 通 11

表 示 力 的 国 际 单 位 (SI) 是 牛 顿, 或 千 牛 顿, 其 代 号 为 牛 (N) 或 千 牛 (kn), 两 者 的 换 算 关 系 为 1kN 1000N 1.1.3 静 力 学 公 理 公 理 是 人 们 经 过 长 期 观 察 和 经 验 积 累 而 得 到 的 结 论, 它 已 经 在 大 量 实 践 中 得 到 验 证, 无 需 证 明 而 为 大 家 公 认, 静 力 学 公 理 是 人 们 关 于 力 基 本 性 质 的 概 括 和 总 结, 它 们 是 静 力 学 全 都 理 论 的 基 础 公 理 1 ( 二 力 平 衡 公 理 ) 作 用 于 刚 体 上 的 两 个 力, 使 刚 体 处 于 平 衡 的 必 要 和 充 分 条 件 是 : 这 两 个 力 的 大 小 相 等, 方 向 相 反, 并 作 用 于 同 一 直 线 上 如 图 1- 所 示, 即 1 - (1-1) 图 1- 这 个 公 理 揭 示 了 作 用 于 物 体 上 最 简 单 力 系 平 衡 时 所 必 须 满 足 的 条 件 对 于 刚 体 来 说, 这 个 条 件 是 既 必 要 又 充 分 的, 但 对 于 变 形 体, 这 个 条 件 是 不 充 分 的 例 如, 软 绳 受 两 个 等 值 反 向 的 拉 力 作 用 可 以 平 衡, 而 受 两 个 等 值 反 向 的 压 力 作 用 就 不 能 平 衡 只 受 两 个 力 作 用 并 处 于 平 衡 的 物 体 称 为 二 力 体, 如 果 物 体 是 个 杆 件, 也 称 二 力 杆 公 理 ( 加 减 平 衡 力 系 公 理 ) 在 作 用 于 刚 体 上 的 任 何 一 个 力 系 中, 加 上 或 减 去 任 意 一 个 平 衡 力 系, 并 不 改 变 原 力 系 对 刚 体 的 效 应 这 个 公 理 的 正 确 性 是 显 而 易 见 的, 因 为 平 衡 力 系 对 于 刚 体 的 平 衡 或 运 动 状 态 没 有 影 响 这 个 公 理 是 力 系 简 化 的 理 论 依 据 推 论 ( 力 的 可 传 性 原 理 ) 作 用 于 同 一 刚 体 上 的 力 可 沿 其 作 用 线 移 至 同 一 刚 体 的 任 一 点, 而 不 改 变 它 对 刚 体 的 作 用 效 应 证 明 : 设 力 作 用 于 刚 体 上 的 A 点, 如 图 1-3(a) 所 示 在 其 作 用 线 上 任 取 一 点 B, 并 在 B 点 加 上 一 对 平 衡 力 1, 并 使 1, 如 图 1-3(b) 所 示 由 于 力 和 1 也 是 一 对 平 衡 力 系, 故 可 减 去, 这 样 只 剩 下 一 个 力, 如 图 1-3(c) 所 示, 于 是, 原 来 的 这 个 力 与 力 系 ( 1

1 ) 以 及 力 相 互 等 效, 而 力 就 是 原 来 的 力, 只 是 作 用 点 已 移 到 了 B 点 图 1-3 由 此 可 见, 对 于 刚 体 来 说, 力 的 作 用 点 已 不 是 决 定 力 的 作 用 效 果 的 要 素, 它 已 被 力 作 用 线 所 代 替 因 此, 作 用 于 刚 体 上 的 力 的 三 要 素 是 : 力 的 大 小 方 向 和 作 用 线 由 此 看 出, 对 刚 体 而 言, 力 是 滑 动 矢 量 公 理 3 ( 力 的 平 行 四 边 形 法 则 ) 作 用 于 物 体 上 同 一 点 的 两 个 力 可 合 成 为 一 个 合 力, 此 合 力 也 作 用 于 该 点, 合 力 的 大 小 和 方 向 由 以 原 两 力 矢 为 邻 边 所 构 成 的 平 行 四 边 形 的 对 角 线 来 表 示 如 图 1-4(a) 所 示, 或 者 说, 合 力 矢 等 于 这 两 个 力 矢 的 几 何 和 ( 或 矢 量 和 ), 即 R 1 图 1-4 根 据 公 理 3 求 合 力 的 几 何 方 法 称 为 力 的 平 行 四 边 形 法 则 由 图 1-4(b) 可 见, 在 求 合 力 R 时, 实 际 上 不 必 作 出 整 个 平 行 四 边 形, 只 要 以 力 矢 1 的 末 端 B 作 为 力 矢 的 始 端 而 画 出, 即 两 分 力 矢 的 首 尾 相 连, 则 矢 量 AD 就 代 表 合 力 矢 R, 这 样 画 成 的 三 角 形 ABD 称 为 力 三 角 形 这 一 求 合 力 的 几 何 方 法 称 为 力 三 角 形 法 则 推 论 ( 三 力 平 衡 必 汇 交 定 理 ) 刚 体 仅 受 三 个 力 作 用 而 平 衡 时, 若 其 中 任 意 两 个 力 的 作 用 线 汇 交 于 一 点, 则 余 下 的 另 一 个 力 的 作 用 线 也 必 相 交 于 同 一 点, 且 这 三 个 力 的 作 用 线 在 同 一 平 面 内 证 明 : 设 有 互 相 平 衡 的 三 个 力 1 和 3 分 别 作 用 于 刚 体 的 A 1 A 和 A 3 三 点 上 ( 图 1-5), 13

已 知 力 1 和 的 作 用 线 交 于 B 点 将 力 1 和 移 到 交 点 B, 并 用 平 行 四 边 形 公 理 求 得 其 合 力 R 今 以 合 力 R 代 替 力 1 和 的 作 用, 根 据 已 知 条 件, 则 合 力 R 应 与 力 3 平 衡, 故 知 R 必 与 3 大 小 相 等 方 向 相 反 且 作 用 在 同 一 直 线 上 ( 公 理 1) 因 此, 力 3 的 作 用 线 必 与 力 R 的 作 用 线 重 合 而 且 通 过 B 点 并 且 这 三 个 力 在 同 一 平 面 内 图 1-5 公 理 4 ( 作 用 力 与 反 作 用 力 定 律 ) 两 物 体 间 的 相 互 作 用 力 与 反 作 用 力 总 是 同 时 存 在, 且 大 小 相 等 方 向 相 反 沿 着 同 一 直 线 分 别 作 用 在 两 个 物 体 上 公 理 4 是 牛 顿 第 三 定 律, 它 概 括 了 自 然 界 中 物 休 间 相 互 作 用 力 的 关 系, 表 明 一 切 力 总 是 成 对 出 现 的 已 知 作 用 力 则 可 得 知 反 作 用 力, 它 是 分 析 物 体 受 力 时 必 须 遵 循 的 原 则 必 须 强 调 指 出, 虽 然 作 用 力 与 反 作 用 力 大 小 相 等 方 向 相 反, 但 分 别 作 用 在 两 个 不 同 的 物 体 上 因 此 绝 不 可 认 为 这 两 个 力 相 互 平 衡 这 与 公 理 1 有 本 质 区 别, 不 能 混 同 图 1-6 在 图 1-6 所 示 的 吊 灯 装 置 中,G 为 灯 所 受 的 重 力,T 为 绳 给 灯 的 拉 力 由 于 这 两 个 力 都 作 用 在 灯 上, 而 使 灯 保 持 静 止, 所 以 它 们 不 是 作 用 力 与 反 作 用 力 的 关 系, 而 是 二 力 平 衡 至 于 拉 力 T 和 重 力 G 的 反 作 用 力 在 哪 里, 则 首 先 要 分 清 哪 个 是 受 力 物 体, 哪 个 是 施 力 物 体 力 T 是 绳 拉 灯 的 力, 则 力 T 的 反 作 用 力 是 灯 拉 绳 的 力 T, 该 力 作 用 于 绳 上, 与 力 T 等 值 反 向 共 线 力 G 是 地 球 吸 引 灯 的 力, 所 以 力 G 的 反 作 用 力 是 灯 吸 引 地 球 的 力 G, 该 力 作 用 于 地 球 上, 与 力 G 等 值 反 向 14

共 线 公 理 5 ( 刚 化 公 理 ) 若 变 形 体 在 某 个 力 系 作 用 下 处 于 平 衡 状 态, 则 将 此 物 体 变 成 刚 体 ( 刚 化 ) 时 其 平 衡 不 受 影 响 公 理 5 表 明, 对 已 知 处 于 平 衡 状 态 的 变 形 休, 可 以 应 用 刚 体 静 力 学 的 平 衡 理 论 然 而, 刚 体 平 衡 的 充 分 与 必 要 条 件, 对 于 变 形 体 的 平 衡, 只 是 必 要 条 件 而 不 是 充 分 条 件 1.1.4 力 在 空 间 直 角 坐 标 轴 上 的 投 影 力 在 空 间 直 角 坐 标 轴 上 的 投 影 有 三 个 分 量 图 1-7 为 方 便 讨 论, 将 空 间 直 角 坐 标 系 的 原 点 O 选 在 已 知 力 的 起 点, 图 1-7 所 示 为 直 接 投 影 法, 若 力 与 x y z 三 个 坐 标 轴 之 间 的 夹 角 ( 即 方 向 角 ) 为 α β γ, 则 力 在 各 坐 标 铀 上 的 投 影 为 x y z cos cos cos (1-) 若 把 力 沿 直 角 坐 标 轴 分 解, 可 分 解 为 三 个 分 力 x y z, 分 力 与 投 影 之 间 的 关 系 如 下 : x xi y y j z zk 因 此, 力 的 解 析 表 达 式 为 i j k (1-3) 显 然, 已 知 力 在 空 间 直 角 坐 标 轴 上 的 投 影 时, 该 力 的 大 小 与 方 向 便 可 确 定 反 之, 按 照 上 述 方 法, 也 可 将 x, y, z 合 成 为 当 已 知 力 与 某 个 坐 标 轴 ( 如 z 轴 ) 的 夹 角 为 γ, 与 xy 平 面 的 夹 角 为 α, 以 及 力 在 xy 面 上 的 投 影 与 x 轴 的 夹 角 φ 时, 图 1-8 所 示 为 二 次 投 影 法, 可 用 二 次 投 影 法 求 力 在 各 坐 标 轴 上 的 投 影 x y z 15

图 1-8 先 将 力 在 xy 面 上 投 影 : xy sin 再 将 矢 量 xy 在 x y 轴 上 投 影 这 样 力 在 各 坐 标 轴 上 的 投 影 为 x sin cos y sin sin z cos (1-4) 1. 力 矩 一 般 情 况 下, 力 对 物 体 作 用 可 以 产 生 移 动 和 转 动 两 种 效 应 力 的 移 动 效 应 取 决 于 力 的 大 小 和 方 向, 力 的 转 动 效 应 取 决 于 力 矩 的 大 小 和 转 向, 下 面 首 先 介 绍 力 对 点 的 矩 的 概 念 性 质 和 合 力 矩 定 理 1..1 力 对 点 的 矩 观 察 用 扳 手 拧 紧 螺 钉 时 ( 图 1-9), 作 用 于 扳 手 一 端 的 力 使 扳 手 绕 O 点 转 动 的 效 应 不 仅 与 力 的 大 小 有 关, 而 且 与 O 点 到 力 作 用 线 的 垂 直 距 离 d 有 关 因 此, 在 力 学 上 以 d 乘 积 作 为 度 量 力 使 物 体 绕 O 点 转 动 效 应 的 物 理 量, 这 个 量 称 为 力 对 O 点 之 矩, 简 称 力 矩, 以 符 号 m O () 表 示, 即 m O ( ) d (1-5) 图 1-9 16

其 中 O 点 称 为 力 矩 中 心, 简 称 矩 心 O 点 到 力 作 用 线 的 垂 直 距 离 d 称 为 力 臂, 通 常 规 定 : 力 使 物 体 绕 矩 心 做 逆 时 针 方 向 转 动 时 力 矩 为 正, 反 之 为 负 力 矩 的 国 际 单 位 是 牛 顿 米 或 千 牛 顿 米, 其 代 号 为 牛 米 (N m), 或 千 牛 米 (kn m) 1.. 力 矩 的 性 质 根 据 以 上 所 述, 不 难 得 出 下 述 力 矩 的 性 质 : (1) 力 对 于 O 点 之 矩 不 仅 取 决 于 的 大 小, 同 时 还 与 矩 心 的 位 置 有 关 () 力 对 于 任 一 点 之 矩, 不 因 该 力 的 作 用 点 沿 其 作 用 线 移 动 而 改 变 ( 因 为 力 及 力 臂 的 大 小 均 未 改 变 ) (3) 力 的 大 小 等 于 零 或 力 的 作 用 线 通 过 矩 心 时, 力 矩 等 于 零 (4) 互 为 平 衡 状 态 的 两 个 力 对 同 一 点 之 矩 的 代 数 和 等 于 零 最 后 指 出, 力 矩 的 概 念 前 面 虽 然 是 由 力 对 于 物 体 上 固 定 点 的 作 用 而 引 出 的, 实 际 上, 作 用 于 物 体 上 的 力 可 以 对 任 意 点 取 矩 1..3 合 力 矩 定 理 在 力 与 矩 心 所 构 成 的 平 面 中, 力 对 点 之 矩 只 取 决 于 力 矩 的 大 小 和 转 向, 因 此 在 平 面 内, 力 对 点 之 矩 是 一 个 代 数 量 但 在 空 间 问 题 中, 由 于 平 面 是 有 方 向 的, 因 此 如 图 1-10 所 示 力 矩 矢 量 表 达 的 右 手 螺 旋 法 则, 可 以 将 力 矩 看 成 是 一 个 空 间 矢 量, 其 矢 量 的 方 向 按 右 手 螺 旋 法 则 确 定, 当 右 手 四 指 的 方 向 为 力 矩 的 转 向 时, 大 拇 指 的 方 向 为 该 力 矩 的 矢 量 方 向 为 区 别 力 的 矢 量 与 力 矩 的 矢 量, 力 矩 的 矢 量 用 双 箭 头 表 示 图 1-10 当 需 要 求 空 间 多 个 力 的 合 力 对 一 点 的 力 矩 时, 有 以 下 合 力 矩 定 理 定 理 : 力 系 的 合 力 对 于 空 间 任 一 点 的 矩 等 于 所 有 各 分 力 对 于 同 一 点 的 矩 的 矢 量 和, 即 m O ( R) n i1 m O ( i ) (1-6) 在 计 算 力 矩 时, 若 力 臂 不 易 求 出, 常 将 力 分 解 为 两 个 易 定 力 臂 的 分 力 ( 通 常 是 正 交 分 解 ), 然 后 应 用 17

合 力 矩 定 理 计 算 力 矩 例 1-1 作 用 于 齿 轮 上 的 啮 合 力 Pn 1000N, 节 圆 直 径 D 160mm, 压 力 角 0( 图 1-11 (a)), 求 啮 合 力 P n 对 于 轮 心 O 之 矩 图 1-11 解 :(1) 应 用 力 矩 计 算 公 式 求 解 由 图 1-11(a) 中 几 何 关 系 可 知 力 臂 d D cos, 则 0. 16 ( P n ) -P n d -1000 cos0-75.( N m) m O () 应 用 合 力 矩 定 理 求 解 将 啮 合 力 P n 正 交 分 解 为 圆 周 力 P 和 径 向 力 P r ( 图 1-11(b)), 则 P P n cos ; Pr P n sin 根 据 合 力 矩 定 理, 则 m( P ) m( P) m O n O ( P ) ( P cos) 0. 16 1000cos0 75. (N m) O 在 工 程 中 齿 轮 的 圆 周 力 和 径 向 力, 常 常 是 分 别 给 出 的, 因 此 第 二 种 方 法 用 得 较 为 普 遍 r n D 0 1..4 力 对 轴 之 矩 前 面 我 们 定 义 了 力 对 一 点 的 矩, 以 度 量 力 使 物 体 在 空 间 绕 一 点 的 转 动 效 应 从 图 1-1(a) 中 可 以 看 到 平 面 上 物 体 绕 O 点 的 转 动, 实 际 上 就 是 在 空 间 绕 通 过 O 点 且 与 该 平 面 垂 直 的 轴 转 动, 如 图 1-1(b) 所 示 18

图 1-1 图 1-13 现 在 研 究 一 般 情 况 以 开 门 为 例, 如 图 1-13 所 示, 设 转 轴 为 z 轴, 力 作 用 于 A 点, 过 A 点 作 Oxy 面 ; 力 的 作 用 线 不 在 Oxy 平 面 内 为 讨 论 力 对 z 轴 的 力 矩, 将 力 分 解 为 两 个 力 : 分 力 z 平 行 与 z 轴, 分 力 xy 在 Oxy 面 内 由 经 验 可 知, 力 z 不 能 使 门 绕 z 轴 转 动, 使 门 转 动 的 是 分 力 xy, 它 对 z 轴 之 矩, 实 际 上 就 是 它 在 Oxy 平 面 内 对 O 点 之 矩 力 对 轴 之 矩, 等 于 力 在 垂 直 于 该 轴 的 平 面 上 的 分 力 对 轴 与 平 面 交 点 之 矩, 即 m z m h (1-7) O xy xy 式 中 的 正 负 号 表 示 力 使 物 体 绕 z 轴 的 转 动 方 向, 通 常 规 定 : 逆 z 轴 方 向 去 观 察, 力 xy 使 物 体 逆 时 针 方 向 转 动 为 正, 反 之 为 负 或 用 右 手 法 则 来 判 定 力 矩 的 正 负 : 以 四 指 的 弯 曲 方 向 表 示 力 xy 绕 z 轴 转 动 方 向, 则 拇 指 的 指 向 与 z 轴 一 致 时 为 正, 反 之 为 负 由 定 义 可 知, 当 力 与 轴 平 行 相 交 时, 力 对 轴 之 矩 为 零 在 空 间 问 题 中, 力 对 轴 之 矩 同 样 存 在 合 力 矩 定 理, 即 合 力 对 任 一 轴 之 矩, 等 于 各 个 分 力 对 同 一 轴 力 矩 的 代 数 和, 其 表 达 式 为 : m m (1-8) z R z i 例 1- 如 图 1-14 所 示, 已 知 手 柄 的 A 点 作 用 力 =500N 求 力 在 三 个 坐 标 轴 上 的 投 影 及 对 三 个 坐 标 轴 之 矩 ( 单 位 为 mm) 解 : 作 辅 助 坐 标 系 Ax y z, 如 图 1-14(b) 所 示 先 将 力 在 z 轴 和 Ax y 面 分 解, 在 Ax y 面 的 分 解 力 xy, 大 小 为 xy cos60, 方 向 如 图 再 将 力 xy 在 x 轴 和 y 轴 分 解, 各 个 分 力 方 向 如 图 1-14(b) 所 示 19

图 1-14 根 据 分 力 和 投 影 的 关 系, 力 在 三 个 坐 标 轴 上 的 投 影 为 x x x xy xy cos45 cos60 cos45 176. 75N sin 45 cos60sin 45 176. 75N sin60 433. 01N 力 对 三 个 坐 标 轴 上 的 力 矩 为 m m m x y z m x m m y 176. 75 0. 35. 35N m m 176. 75 0. 05 8. 84N m z y x y y z 176. 75 0. 433. 01 0. 05 57N m 1.3 力 偶 1.3.1 力 偶 与 力 偶 矩 在 生 产 和 生 活 中, 常 常 看 到 物 体 同 时 受 到 大 小 相 等 方 向 相 反 作 用 线 相 互 平 行 的 两 个 力 的 作 用 例 如, 汽 车 司 机 转 动 方 向 盘, 钳 工 用 丝 锥 钻 孔 等 ( 图 1-15), 这 样 的 两 个 力 由 于 不 满 足 二 力 平 衡 条 件, 显 然 不 会 平 衡 在 力 学 上, 将 大 小 相 等 方 向 相 反 作 用 线 相 互 平 行 的 两 个 力 称 为 力 偶 以 符 号 (, ) 表 示, 力 偶 中 两 力 所 在 的 平 面 称 为 力 偶 作 用 面, 两 力 作 用 线 间 的 垂 直 距 离 d 称 为 力 偶 臂 0

图 1-15 设 有 (, ) 一 力 偶 作 用 于 刚 体 上 ( 图 1-16), 从 物 理 学 可 知, 它 们 可 以 合 成 为 一 个 合 力 R, 其 大 小 为 R 0 这 说 明 力 偶 不 可 能 合 成 为 一 合 力, 也 不 可 能 和 一 个 力 相 平 衡, 根 据 公 理 1, 力 偶 的 两 个 力 大 小 相 等, 方 向 相 反 但 不 共 线, 因 此 力 偶 本 身 又 不 平 衡, 力 偶 对 物 体 的 作 用 只 能 产 生 转 动 效 应 前 面 讲 过, 力 使 物 体 转 动 的 效 应 用 力 对 点 的 矩 度 量, 因 此 力 偶 的 转 动 效 应 自 然 可 以 用 力 偶 中 的 两 个 力 对 其 作 用 面 内 任 一 点 的 矩 的 代 数 和 来 度 量 矩 为 设 作 用 于 刚 体 上 的 力 偶 (, ) 的 力 偶 臂 为 d( 图 1-16), 则 该 力 偶 对 作 用 面 内 任 一 点 O 的 m O (, ) m ( ) m ( ) ( x d) x d O O 结 果 表 明, 力 偶 对 作 用 面 内 任 一 点 的 矩 恒 等 于 力 偶 中 一 个 力 的 大 小 和 力 偶 臀 的 乘 积 而 与 矩 心 的 位 置 无 关 乘 积 d 加 上 适 当 的 正 负 号 称 为 力 偶 矩, 以 符 号 m(, ) 或 m 表 示, 即 m(, ) m d (1-9) 力 偶 矩 的 正 负 号 规 定 和 力 矩 相 同, 即 力 偶 使 物 体 逆 时 针 转 向 为 正, 反 之 为 负 力 偶 矩 的 单 位 是 牛 顿 米 (N m) 或 千 牛 顿 米 (kn m) 由 图 1-16 可 见, 力 偶 矩 的 大 小 同 样 可 以 用 三 角 形 面 积 表 示, 即 m ABC (1-10) 平 面 力 偶 的 力 偶 矩 是 代 数 量, 它 只 与 力 偶 中 力 的 大 小 及 力 偶 臂 的 长 短 有 关 力 越 大, 力 偶 臂 越 长, 它 对 物 体 的 转 动 效 应 越 显 著 1

图 1-16 1.3. 力 偶 的 性 质 力 偶 是 两 个 具 有 特 殊 关 系 的 力 的 组 合, 下 面 简 述 力 偶 的 性 质 (1) 力 偶 既 没 有 合 力, 本 身 又 不 平 衡, 是 一 个 基 本 的 力 学 量 对 物 体 只 产 生 转 动 效 应, 力 偶 矩 恒 等 于 d () 力 偶 中 两 个 力 在 任 一 坐 标 轴 上 的 投 影 的 代 数 和 恒 为 零 (3) 力 偶 对 其 作 用 面 内 任 一 点 的 矩 恒 等 于 力 偶 矩, 即 力 偶 对 物 体 转 动 效 应 与 矩 心 无 关 1.3.3 平 面 力 偶 的 等 效 定 理 作 用 在 同 一 平 面 内 的 两 个 力 偶, 只 要 它 的 力 偶 矩 的 大 小 相 等 转 向 相 同, 则 该 两 个 力 偶 彼 此 等 效, 这 就 是 平 面 力 偶 的 等 效 定 理 力 偶 矩 是 决 定 力 偶 对 物 体 作 用 的 独 立 因 素 只 要 保 证 力 偶 矩 的 代 数 值 不 变, 任 何 一 个 力 偶 总 是 可 以 用 同 平 面 内 的 另 一 个 力 偶 代 替, 而 不 改 变 它 对 物 体 的 作 用 效 果 由 上 述 力 偶 等 效 定 理 的 推 证, 可 以 得 出 下 列 两 个 重 要 推 论 : (1) 力 偶 可 以 在 其 作 用 面 内 任 意 移 动, 而 不 影 响 它 对 刚 体 的 作 用 效 应 () 只 要 保 持 力 偶 矩 大 小 和 转 向 不 变, 可 以 任 意 改 变 力 偶 中 力 的 大 小 和 相 应 力 偶 臂 的 长 短, 而 不 改 变 它 对 刚 体 的 作 用 效 应 上 述 推 论 表 明, 在 研 究 同 一 平 面 内 有 关 力 偶 问 题 时, 只 需 考 虑 力 偶 矩 的 代 数 值, 而 不 必 研 究 其 中 力 的 大 小 和 力 偶 臂 的 长 短 1.3.4 空 间 力 偶 系 的 合 成 作 用 在 物 体 同 一 平 面 上 的 许 多 力 偶 称 为 平 面 力 偶 系 设 在 同 一 平 面 内 有 两 个 力 偶 ( 1, 1 ) 和, ), 它 们 的 力 偶 臂 各 为 d 1 和 d ( 图 1-17(a)), 其 力 偶 矩 分 别 为 m 1 和 m, 求 其 合 成 (

结 果 在 力 偶 的 作 用 平 面 内 任 取 一 线 段 AB d 图 1-17, 在 保 持 力 偶 矩 不 改 变 的 条 件 下 将 各 力 偶 的 力 偶 臂 都 化 为 d, 于 是 可 得 到 与 原 力 偶 系 等 效 的 两 个 力 偶 ( P1, P 1 ) 和 ( P, P ) 它 们 的 力 偶 矩 代 数 值 为 m1 P1 d, m P d 移 转 各 力 偶 使 它 们 的 臂 都 与 AB 重 合 ( 图 1-17(b)), 再 将 作 用 于 A B 两 点 的 各 力 分 别 合 成 得 ( 图 1-17(c)) R P 1 P, R P 1 P 可 见, 力 R 与 R 大 小 相 等, 方 向 相 反, 且 不 在 同 一 直 线 上, 它 们 构 成 一 力 偶 ( R, R), 这 就 是 这 两 个 已 知 力 偶 的 合 力 偶, 其 合 力 偶 矩 为 M Rd ( P ) 1 P d Pd 1 P d m1 m 若 作 用 在 同 平 面 内 有 n 个 力 偶, 可 以 按 照 上 述 方 法 合 成, 则 其 合 力 偶 矩 应 为 M m1 m m n mi (1-11) 由 此 可 知, 平 面 力 偶 系 的 合 成 结 果 还 是 一 个 合 力 偶, 合 力 偶 矩 等 于 力 偶 系 中 各 力 偶 矩 的 代 数 和 空 间 力 偶 系 的 合 成 与 空 间 力 矩 的 合 成 方 法 一 样, 首 先 按 右 手 法 则 将 每 一 个 力 偶 用 矢 量 表 达, 然 后 根 据 矢 量 合 成 的 方 法, 即 可 将 空 间 力 偶 系 进 行 合 成 例 1-3 四 轴 钻 床 在 水 平 放 置 的 工 件 上 同 时 钻 四 个 直 径 相 同 的 孔, 每 个 钻 头 的 主 切 削 力 在 水 平 面 内 组 成 一 个 力 偶, 各 力 偶 矩 的 大 小 为 m m m 15N m, 转 向 如 图 1-18 所 示, 求 工 件 受 1 3 m4 到 的 总 切 削 力 偶 矩 和 在 A B 处 固 定 工 件 的 螺 栓 上 所 受 的 水 平 力 3

图 1-18 解 : 作 用 于 工 件 上 的 力 偶 有 四 个, 各 力 偶 矩 的 大 小 相 等, 转 向 相 同, 且 在 同 一 平 面 内, 由 平 面 力 偶 系 的 合 成 理 论, 其 合 力 偶 矩 为 M m m m 4 ( 15) 60(N m) 1 3 m4 式 中, 负 号 表 示 合 力 偶 的 转 向 为 顺 时 针 方 向 转 动 欲 求 作 用 在 A B 处 的 水 平 力, 应 以 工 件 为 研 究 对 象, 受 力 分 析 如 图 1-16 所 示, 由 于 工 件 在 水 平 面 内 受 四 个 力 偶 和 两 个 螺 栓 的 水 平 反 力 的 作 用 下 而 平 衡 因 为 力 偶 只 能 与 力 偶 平 衡, 故 两 个 螺 栓 的 水 平 反 力 N A 和 N B 必 然 组 成 一 个 力 偶 由 平 面 力 偶 系 的 平 衡 方 程 m i 0, N A 0. m1 m m3 m4 0 从 而 解 得 所 以 N A m1 m m3 0. m 4 N A N B 15151515 300(N) 0. 1.4 力 的 平 移 定 理 定 理 : 可 以 将 作 用 在 刚 体 上 A 点 的 力 平 行 移 动 到 刚 体 上 任 意 一 点 B 处, 但 必 须 同 时 附 加 一 个 力 偶, 这 个 附 加 力 偶 的 矩 等 于 原 来 A 点 的 力 对 新 作 用 点 B 的 矩 证 明 : 设 一 力 作 用 于 A 点, 如 图 1-19(a) 所 示, 欲 将 它 平 移 至 任 一 点 B, 可 在 B 点 加 上 大 小 相 等 方 向 相 反 且 平 行 的 两 个 力 和, 并 使 ( 图 1-19(b)), 显 然 和 组 成 一 力 偶, 于 是 原 来 作 用 于 A 点 的 力, 现 在 可 以 由 作 用 于 B 点 的 力 和 一 个 力 偶 (, 4

) 来 代 替 ( 图 1-19(c)), 这 个 力 偶 称 为 附 加 力 偶, 其 矩 等 于 原 作 用 于 A 点 的 力 对 新 作 用 点 B 的 矩, 即 m d m B () 图 1-19 力 的 平 移 定 理 不 仅 是 力 系 简 化 的 依 据, 而 且 也 是 分 析 力 对 物 体 作 用 效 应 的 重 要 方 法, 它 揭 示 了 力 与 力 偶 的 关 系, 即 一 个 力 可 分 解 为 一 个 力 和 一 个 力 偶 例 如 用 丝 锥 攻 丝 时, 要 求 用 两 手 握 扳 手, 而 且 用 力 相 等, 尽 可 能 使 扳 手 只 受 力 偶 的 作 用 若 仅 用 一 只 手 加 力, 如 图 1-0(a) 所 示, 虽 然 扳 手 也 能 转 动, 但 却 容 易 折 断 丝 锥 这 可 由 力 的 平 移 定 理 解 释, 因 为 作 用 于 扳 手 B 端 的 力, 与 作 用 在 点 C 的 一 个 力 和 一 个 力 偶 矩 m d ( 图 1-0(b)) 等 效, 这 个 力 偶 使 丝 锥 转 动, 而 这 个 力 却 是 折 断 丝 锥 的 主 要 原 因 图 1-0 1.5 自 由 度 约 束 与 约 束 反 力 1.5.1 约 束 与 约 束 反 力 的 概 念 凡 位 移 不 受 任 何 限 制 可 以 在 空 间 任 意 运 动 的 物 体 称 为 自 由 体, 如 在 空 中 飞 行 的 飞 机 火 箭 等 在 空 间 坐 标 系 中, 物 体 的 运 动 可 以 用 其 自 由 度 来 表 达 完 全 自 由 体 的 自 由 度 为 6 个, 及 沿 3 个 坐 标 轴 的 平 动 和 绕 3 个 坐 标 轴 的 转 动 如 果 物 体 受 到 周 围 物 体 的 阻 碍 限 制 而 不 能 做 任 意 运 动, 则 此 物 体 称 为 非 自 由 体 或 被 约 束 体 在 力 学 中, 将 这 种 事 先 对 于 物 体 的 运 动 所 加 的 限 制 条 件 称 为 约 束 这 种 限 制 条 件 是 由 与 被 限 制 的 物 体 相 联 系 的 其 他 物 体 构 成 的 例 如, 书 放 在 光 滑 的 桌 面 上, 桌 面 就 是 书 的 约 束, 它 阻 碍 书 沿 铅 直 方 5

向 向 下 运 动 又 如 各 种 轴 承 对 转 轴 的 约 束, 吊 车 的 钢 索 对 于 重 物 的 约 束 等 既 然 约 束 阻 碍 着 物 体 的 运 动, 也 就 是 约 束 能 够 起 到 改 变 物 体 运 动 状 态 的 作 用, 所 以 约 束 对 物 体 的 作 用, 实 际 上 就 是 力, 这 种 力 称 为 约 束 反 力, 简 称 反 力 因 此, 约 束 反 力 的 方 向 必 与 该 约 束 所 能 够 阻 碍 的 物 体 运 动 方 向 相 反 约 束 反 力 的 作 用 点 就 是 物 体 上 与 作 为 约 束 的 物 体 相 接 触 的 点 约 束 或 约 束 反 力 的 个 数 是 与 物 体 被 约 束 的 自 由 度 数 量 是 对 应 的 约 束 反 力 的 大 小, 一 般 都 是 未 知 的, 在 静 力 学 中, 约 束 反 力 与 物 体 所 受 的 其 他 已 知 力 ( 主 动 力 ) 组 成 平 衡 力 系, 因 此 可 用 力 系 的 平 衡 条 件 求 出 约 束 反 力 1.5. 工 程 中 常 见 约 束 及 其 反 力 下 面 介 绍 几 种 在 工 程 实 际 中 常 遇 到 的 简 单 的 约 束 类 型 和 约 束 反 力 1. 具 有 光 滑 接 触 面 的 约 束 所 谓 光 滑 即 忽 略 摩 擦 具 有 光 滑 接 触 面 的 约 束 的 特 点 是 只 能 承 受 压 力, 不 能 承 受 拉 力, 只 能 限 制 物 体 沿 两 接 触 面 在 接 触 处 的 公 法 线 而 趋 向 支 承 接 触 面 的 运 动 因 此, 光 滑 接 触 面 对 物 体 的 约 束 反 力, 作 用 在 接 触 点 处, 方 向 沿 接 触 表 面 的 公 法 线, 并 指 向 受 力 物 体 即 约 束 反 力 为 压 力, 常 用 字 母 N 表 示 如 图 1-1 所 示 的 固 定 面 给 球 O 的 约 束 反 力 N A, 图 1- 所 示 的 直 杆 在 接 触 处 A B 两 点 的 约 束 反 力 N A 和 N B 图 1-1 图 1-. 柔 软 的 绳 索 类 约 束 工 程 实 际 中 的 绳 索 链 条 和 皮 带 等 均 属 于 绳 索 类 约 束, 由 于 柔 软 的 绳 索 类 约 束 只 能 承 受 拉 力, 只 能 限 制 物 体 沿 着 绳 索 伸 长 的 方 向 运 动 所 以 绳 索 类 约 束 对 物 体 的 约 束 反 力, 作 用 在 接 触 点, 方 向 沿 着 绳 索 背 离 物 体 即 柔 软 的 绳 索 类 的 约 束 反 力 恒 为 拉 力, 通 常 用 T 或 S 表 示, 如 图 1-3 所 示 6

图 1-3 3. 光 滑 铰 链 约 束 1) 圆 柱 铰 链 圆 柱 铰 链 ( 或 简 称 铰 链 ) 是 工 程 结 构 和 机 械 中 常 用 的 连 接 部 件, 它 的 构 造 是 视 为 由 圆 柱 销 钉 插 入 两 构 件 的 圆 柱 孔 而 构 成, 其 结 构 如 图 1-4(a) 所 示 如 果 销 钉 和 圆 孔 是 光 滑 的, 那 么 销 钉 只 能 阻 碍 两 构 件 在 垂 直 于 销 钉 轴 线 的 平 面 内 的 相 对 移 动, 而 不 能 阻 碍 两 构 件 绕 销 钉 轴 线 的 相 对 转 动 图 1-4 (c) 是 图 1-4(a) 的 简 化 图 形 由 于 圆 柱 销 钉 与 圆 柱 孔 是 光 滑 曲 面 接 触, 则 约 束 反 力 R 应 是 沿 接 触 线 上 的 一 点 到 圆 柱 销 钉 中 心 的 连 线 且 垂 直 于 轴 线, 如 图 1-4(b) 所 示 因 接 触 线 的 位 置 不 能 预 先 确 定, 因 而 约 束 反 力 R 的 方 向 也 不 能 预 先 确 定 所 以, 圆 柱 铰 链 的 约 束 反 力 作 用 在 垂 直 于 销 钉 轴 线 的 平 面 内, 通 过 圆 孔 中 心, 方 向 不 定 为 了 计 算 方 便, 在 受 力 分 析 中, 铰 链 的 约 束 反 力 通 常 由 沿 坐 标 轴 正 方 向 且 作 用 于 圆 孔 中 心 的 两 个 正 交 分 力 X A Y A ( 或 记 为 R x R y ) 来 表 示, 如 图 1-4(d) 所 示 ) 固 定 铰 支 座 由 圆 柱 铰 链 连 接 的 两 个 构 件 中, 如 果 其 中 一 个 构 件 被 固 定 在 基 础 或 静 止 的 机 架 上, 则 称 为 固 定 铰 支 座, 简 称 铰 支 座 如 图 1-5(a) 所 示, 固 定 铰 支 座 的 销 钉 对 构 件 的 约 束 与 圆 柱 铰 链 的 销 钉 对 构 件 的 约 束 完 全 相 同, 图 1-5(b) 为 固 定 铰 支 座 的 简 化 符 号, 其 约 束 反 力 也 常 用 一 对 正 交 分 力 X A 和 Y A 表 示, 见 图 1-5(c) 图 1-4 7

图 1-5 3) 活 动 铰 支 座 ( 辊 轴 支 座 ) 用 圆 柱 铰 链 连 接 两 个 构 件, 其 中 一 个 与 支 座 连 接 而 支 座 下 面 安 装 几 个 辊 轴 ( 滚 柱 ), 这 就 构 成 了 辊 轴 支 座, 如 图 1-6(a) 所 示, 图 1-6(b) 是 辊 轴 支 座 的 简 化 符 号 由 于 这 种 支 座 只 能 阻 止 物 体 沿 支 承 面 法 线 方 向 移 动, 不 能 阻 止 物 体 沿 支 承 面 移 动 和 绕 销 钉 的 轴 线 转 动, 故 常 称 活 动 铰 支 座 所 以, 活 动 铰 支 座 的 约 束 反 力 垂 直 于 支 承 面, 通 过 圆 孔 中 心, 通 常 为 压 力 常 用 字 母 N 或 R 表 示, 如 图 1-6(c) 所 示 图 1-7 所 示 为 一 固 定 球 铰 图 1-6 图 1-7 8

4) 轴 承 约 束 轴 承 根 据 其 对 轴 的 约 束 可 以 分 为 滑 动 轴 承 或 滚 动 轴 承 和 止 推 轴 承, 图 1-8 所 示 为 一 止 推 轴 承 5) 完 全 固 定 约 束 ( 如 图 1-9 所 示 ) 图 1-8 z M y M z y x M x 图 1-9 1.6 构 件 受 力 图 在 求 解 力 学 问 题 时, 首 先 要 确 定 物 体 受 了 几 个 力, 每 个 力 的 作 用 位 置 和 力 的 作 用 方 向, 这 个 分 析 过 程 称 为 物 体 的 受 力 分 析 物 体 的 受 力 可 分 为 两 类 : 一 类 是 主 动 力, 如 物 体 的 重 力 风 力 压 力 等 ; 另 一 类 是 约 束 对 物 体 的 约 束 反 力, 为 未 知 的 被 动 力 为 了 清 晰 和 便 于 计 算, 我 们 把 需 要 研 究 物 体 ( 受 力 体 ) 的 约 束 全 部 解 除, 并 把 它 从 周 围 的 物 体 ( 施 力 体 ) 中 分 离 出 来, 单 独 画 出 它 的 简 图, 这 个 步 骤 叫 做 取 研 究 对 象 或 取 分 离 体 ( 隔 离 体 ), 将 作 用 于 该 分 离 体 上 的 所 有 主 动 力 和 约 束 反 力 画 在 简 图 上, 这 种 表 示 物 体 受 力 的 简 图 称 为 受 力 图 恰 当 地 选 取 研 究 对 象, 正 确 地 画 出 受 力 图, 是 求 解 力 学 问 题 的 关 键 步 骤 下 面 给 出 画 受 力 图 的 主 要 步 骤 : (1) 根 据 题 意 要 求 确 定 研 究 对 象 研 究 对 象 可 以 是 一 个 物 体, 几 个 物 体 的 组 合, 或 整 个 物 体 系 统 () 取 分 离 体 将 已 选 定 的 研 究 对 象 的 约 束 全 部 解 除, 并 把 它 从 周 围 的 物 体 中 分 离 出 来, 画 出 其 简 图 9

(3) 画 上 主 动 力 在 分 离 体 上 画 出 研 究 对 象 所 受 的 全 部 主 动 力 (4) 认 清 约 束 类 型, 画 出 约 束 反 力 在 去 掉 约 束 的 地 方, 必 须 严 格 地 按 被 去 掉 约 束 类 型 及 其 特 性 画 出 约 束 反 力, 有 时 要 根 据 二 力 平 衡 共 线 三 力 平 衡 汇 交 等 平 衡 条 件 确 定 某 些 约 束 反 力 的 方 向 或 作 用 线 的 方 位 在 物 体 受 力 分 析 时, 必 须 明 确 每 一 个 力 都 是 哪 个 施 力 体 给 的, 当 几 个 物 体 相 互 接 触 时, 物 体 间 相 互 作 用 的 力, 应 按 照 作 用 力 与 反 作 用 力 定 律 来 分 析, 约 束 反 力 的 方 向 必 须 按 约 束 类 型 的 性 质 来 画, 不 能 单 凭 直 观 或 根 据 主 动 力 的 方 向 来 简 单 推 测 下 面 举 例 说 明 物 体 受 力 分 析 和 画 受 力 图 的 方 法 例 1-4 重 为 G 的 梯 子 AB, 搁 在 水 平 地 面 和 铅 直 墙 壁 上, 在 D 点 用 水 平 绳 DE 与 墙 相 连, 如 图 1-30(a) 所 示 若 略 去 摩 擦, 试 画 出 梯 子 的 受 力 图 图 1-30 解 : (1) 选 梯 子 AB 为 研 究 对 象 () 取 分 离 体 将 梯 子 AB 从 周 围 物 体 中 分 离 出 来, 单 独 画 出 (3) 画 上 主 动 力 梯 子 受 到 的 主 动 力 只 有 重 力 G, 作 用 于 重 心 C 点, 方 向 铅 直 向 下 (4) 认 清 约 束 类 型, 画 出 约 束 反 力 因 为 梯 子 在 A B D 三 处 分 别 解 除 了 墙 壁 地 面 绳 索 这 三 处 约 束, 而 这 三 处 的 约 束 类 型 分 别 为 光 滑 接 触 面 光 滑 接 触 面 柔 软 绳 索 约 束 因 此, 梯 子 的 约 束 反 力 N A 和 N B 应 分 别 垂 直 于 墙 壁 和 地 面 约 束 反 力 T 沿 绳 索 DE 的 方 向 图 1-30(b) 为 梯 子 的 受 力 图 例 1-5 已 知 结 构 如 图 1-31(a) 所 示,A 点 是 固 定 铰 支 座,AB 是 杆 BC 是 绳, 重 为 W 的 圆 球 O 放 在 杆 AB 与 墙 AC 之 间, 若 略 去 摩 擦 和 AB 杆 的 自 重, 试 画 出 圆 球 O 和 AB 杆 的 受 力 图 解 : (1) 以 圆 球 O 为 研 究 对 象, 画 出 分 离 体 图, 先 画 上 主 动 力 W, 根 据 约 束 类 型 D E 处 为 光 滑 接 触 面 约 束, 画 上 杆 对 球 的 约 束 反 力 N D 和 墙 对 球 的 约 束 反 力 N E, 其 受 力 图 如 图 1-31(b) 所 示 30

图 1-31 () 以 AB 杆 为 研 究 对 象, 画 出 分 离 体 图,A 处 为 固 定 铰 支 座 约 束, 画 上 约 束 反 力 为 一 对 正 交 分 力 X A Y A,B 处 受 绳 索 约 束, 画 上 拉 力 T B,D 处 为 光 滑 面 约 束, 画 上 法 向 反 力 N, 它 与 N D 是 作 用 力 与 反 作 用 力 的 关 系, 其 受 力 图 如 图 1-31(c) 所 示 D 杆 AB 的 受 力 图 还 可 以 画 成 图 1-31(d) 的 形 式 根 据 三 力 平 衡 必 汇 交 的 原 理, 力 T B 和 力 N D 相 交 于 点, 则 其 余 一 个 力 N A 必 然 变 于 点, 从 而 确 定 约 束 反 力 N A 的 方 位 必 沿 A 两 点 连 线 方 向, 如 图 1-31(d) 所 示 习 题 1-1 画 出 下 列 各 图 中 构 件 AB 或 ABC 的 受 力 图, 未 画 重 力 的 物 体 的 重 量 均 不 计, 所 有 接 触 处 均 为 光 滑 接 触 31

题 1-1 图 1- 画 出 下 列 每 个 标 注 字 符 的 物 体 ( 不 包 含 销 钉 支 座 基 础 ) 的 受 力 图 和 系 统 整 体 的 受 力 图 未 画 重 力 的 物 体 的 重 量 均 不 计, 所 有 接 触 处 均 为 光 滑 接 触 题 1- 图 3

1-3 计 算 下 列 各 图 中 力 对 点 O 的 矩 题 1-3 图 1-4 如 图 所 示, 刚 架 上 作 用 力, 求 力 对 点 A 和 B 的 力 矩 1-5 如 图 所 示, 两 水 池 由 闸 门 板 分 开, 此 板 与 水 平 面 成 60 角, 板 长 m, 板 的 上 部 沿 水 平 线 A A 与 池 壁 铰 接 左 池 水 面 与 A A 线 相 齐, 右 池 无 水 水 压 力 垂 直 于 板, 合 力 R 16.97kN, 作 用 于 C 点, 如 不 计 板 重, 求 能 拉 开 闸 门 板 的 最 小 铅 直 力 题 1-4 图 题 1-5 图 1-6 四 块 相 同 的 均 质 板, 各 重 P, 长 为 b, 叠 放 如 图 所 示 在 板 I 右 端 点 A 悬 挂 重 物 B, 其 重 为 P 欲 使 各 板 都 平 衡, 求 每 块 板 可 以 伸 出 的 最 大 距 离 1-7 手 柄 ABCE 位 于 平 面 Axy 内, 在 D 处 作 用 一 力, 它 在 垂 直 于 y 轴 的 平 面 内, 偏 离 铅 直 线 的 角 33

度 为 CD a, 杆 BC 平 行 于 x 轴, 杆 CE 平 行 于 y 轴, AB BC 1, 求 力 对 x,y,z 轴 的 矩 题 1-6 图 题 1-7 图 1-8 图 示 轴 AB 与 铅 直 线 成 β 角, 悬 臂 CD 与 轴 垂 直 地 固 定 在 轴 上, 其 长 为 a, 并 与 铅 直 面 zab 成 θ 角, 在 点 D 作 用 一 铅 直 向 下 的 力, 求 此 力 对 轴 AB 的 矩 1-9 水 平 圆 盘 的 半 径 为 R, 外 缘 C 处 作 用 有 力, 力 位 于 圆 盘 C 处 的 切 平 面 内, 且 与 C 处 圆 盘 切 线 夹 角 为 60, 其 他 尺 寸 如 图 所 示 求 力 对 x,y,z 轴 之 矩 题 1-8 图 题 1-9 图 1-10 图 示 为 自 动 焊 机 起 落 架,EH 为 提 升 起 落 架 的 钢 索 在 提 升 起 落 架 时, 导 致 A,D 将 沿 固 定 立 柱 滚 动 已 知 作 用 在 起 落 架 上 的 总 重 量 P 9kN, 尺 寸 如 图 所 示, 不 计 摩 擦 求 平 衡 时 钢 索 的 拉 力 和 导 轮 的 约 束 力 34

题 1-10 图 1-11 已 知 梁 AB 上 作 用 一 力 偶, 力 偶 矩 为 M, 梁 长 为 l, 梁 重 不 计 求 在 图 示 (a),(b),(c) 三 种 情 况 下, 支 座 A 和 B 的 约 束 力 题 1-11 图 1-1 在 图 示 结 构 中, 各 结 构 的 自 重 略 去 不 计 在 构 件 AB 上 作 用 一 力 偶 矩 为 M 的 力 偶, 求 支 座 A 和 C 的 约 束 力 1-13 两 齿 轮 的 半 径 分 别 为 r 1,r, 作 用 于 轮 I 上 的 主 动 力 偶 的 力 偶 矩 为 M 1, 齿 轮 压 力 角 为 θ, 不 计 两 齿 轮 的 重 量 求 使 两 轮 维 持 匀 速 转 动 时 齿 轮 II 的 阻 力 偶 之 矩 M 与 轴 承 O 1,O 的 约 束 力 的 大 小 和 方 向 题 1-1 图 35 题 1-13 图

1-14 四 连 杆 机 构 O 1 ABO 在 图 示 位 置 平 衡, O 1A 0.4m, O B 0.6m, 作 用 在 O 1 A 杆 上 的 力 偶 的 力 偶 矩 M 100N m, 各 杆 的 重 量 不 计 求 力 偶 矩 M 的 大 小 和 杆 AB 所 受 的 力 1 1-15 直 角 弯 杆 ABCD 与 直 杆 DE,EC 铰 接 如 图, 作 用 在 DE 杆 上 力 偶 的 力 偶 矩 M 40kN m, 不 计 各 杆 件 自 重, 不 考 虑 摩 擦, 尺 寸 如 图 求 支 座 A,B 处 的 约 束 力 和 EC 杆 受 力 题 1-14 图 题 1-15 图 1-16 在 图 示 结 构 中, 各 构 件 的 自 重 略 去 不 计, 在 构 件 BC 上 作 用 一 力 偶 矩 为 M 的 力 偶, 各 尺 寸 如 图 求 支 座 A 的 约 束 力 1-17 在 图 示 机 构 中, 在 曲 柄 OA 上 作 用 一 力 偶, 其 矩 为 M, 在 滑 块 D 上 作 用 一 水 平 力, 机 构 尺 寸 如 图 所 示, 各 杆 重 量 不 计 求 当 机 构 平 衡 时, 力 与 力 偶 矩 M 的 关 系 题 1-16 图 题 1-17 图 36

第 章 空 间 力 系 分 析.1 空 间 力 系 的 简 化.1.1 力 系 等 效 与 平 衡 的 概 念 一 个 物 体 所 受 的 力 往 往 有 好 几 个, 同 时 作 用 在 同 一 物 体 上 的 一 群 力 称 为 力 系, 作 用 于 物 体 上 的 力 系 如 果 可 以 用 另 一 个 适 当 的 力 系 来 代 替 而 作 用 效 应 相 同, 那 么 这 两 个 力 系 互 称 等 效 力 系 平 衡 是 指 物 体 相 对 于 周 围 物 体 ( 惯 性 参 考 系 ) 保 持 其 静 止 或 做 匀 速 直 线 运 动 的 状 态 显 然, 平 衡 是 机 械 运 动 的 特 殊 形 式 在 工 程 实 际 中, 一 般 取 固 连 于 地 球 的 参 考 系 作 为 惯 性 参 考 系 这 样, 平 衡 就 是 指 物 体 相 对 于 地 球 静 止 或 做 匀 速 直 线 运 动 要 使 物 体 保 持 平 衡, 作 用 于 物 体 上 的 力 系 就 要 满 足 一 定 的 条 件, 这 些 条 件 称 为 力 系 的 平 衡 条 件 这 种 力 系 称 为 平 衡 力 系 力 系 的 平 衡 条 件 就 是 物 体 在 平 衡 状 态 时, 作 用 于 物 体 上 的 力 系 所 应 满 足 的 条 件 利 用 力 系 的 平 衡 条 件, 可 通 过 某 些 已 知 力 和 结 构 的 几 何 尺 寸, 求 出 未 知 力 的 大 小 和 作 用 方 位 根 据 力 的 平 移 定 理, 对 空 间 任 意 力 系 进 行 简 化 如 图 -1 所 示, 设 物 体 上 作 用 一 空 间 力 系 1... n, 在 物 体 上 任 选 一 点 O 为 简 化 中 心 将 诸 力 分 别 平 移 到 点 O, 得 一 汇 交 于 点 O 的 空 间 汇 交 力 系 1 ' '... n ', i '= i ; 和 一 个 附 加 的 空 间 力 偶 系, 附 加 力 偶 的 力 偶 矩 等 于 原 力 对 简 化 中 心 的 矩 以 M 1 M M n 分 别 表 示 各 附 加 力 偶 的 力 偶 矩 矢, 以 M o ( 1 ) M o ( )... M o ( n ) 分 别 表 示 各 原 力 对 简 化 中 心 的 矩 矢, 则 错 误! 未 找 到 引 用 源 z z z 1 M 0 1 ' M 1 A R ' O M ' O y O y y i ' x x M i x n (a) (b) (c) 图 -1 作 用 于 点 O 的 空 间 汇 交 力 系 可 合 成 一 力 R ' ( 图 -1c), 此 力 的 作 用 线 通 过 点 O, 其 大 小 和 方 向 等 于 力 系 的 主 矢, 即 37

n n n n n R i = i xi yi zi i1 i1 i1 i1 i1 (-1) ' ' i j k R ' 称 为 原 力 系 的 主 矢, 主 矢 与 简 化 中 心 的 位 置 无 关 主 矢 的 大 小 和 方 向 余 弦 分 别 为 ' R ' cos R, i ' cos R, j ' cos R, k X Y Z X ' R Y ' R Z ' R (-) 空 间 分 布 的 力 偶 系 可 合 成 为 一 力 偶 ( 图 -1c) 以 M o 表 示 其 力 偶 矩 矢, 它 等 于 各 附 加 力 偶 矩 矢 的 矢 量 和, 又 等 力 对 于 点 O 之 矩 的 矢 量 和, 即 原 力 系 对 点 O 的 主 矩 由 力 矩 的 解 析 表 达 n n n (-3) M M M r o i o i i i i1 i1 i1 o i j k M r x y z x y z z y x z y x y z i z x j x y k n n n o i i i i zi i i i i i i i i1 i1 i1 (-4) (-5) M y Z z Y i X Z x j x Y X y k 式 (-5) 中, 单 位 矢 量 i j k 前 的 系 数, 即 主 矩 M O 沿 x y z 轴 的 投 影, 也 等 于 力 系 各 力 对 x y z 轴 之 矩 的 代 数 和 M M 则 此 力 系 对 点 O 的 主 矩 的 大 小 和 方 向 余 弦 为 x M y z M o M x M y M z Mx cos M o,i M o M y cos M o, j M o Mz cos M o,k M o (-6) 38

下 面 通 过 作 用 在 飞 机 上 的 力 系 说 明 空 间 力 系 简 化 结 果 的 实 际 意 义 飞 机 在 飞 行 时 受 到 重 力 升 力 推 力 和 阻 力 等 力 组 成 的 空 间 任 意 力 系 的 作 用 通 过 其 重 心 O 作 直 角 坐 标 系 Oxyz, 如 图 - 所 示 将 力 系 向 飞 机 的 重 心 O 简 化, 可 得 一 力 R ' 和 一 力 偶, 力 偶 矩 矢 为 M O 如 果 将 这 力 和 力 偶 矩 矢 向 上 述 三 坐 标 轴 分 解, 则 得 到 三 个 作 于 重 心 O 的 正 交 分 力 Rx ' Ry ' Rz ' 和 三 个 绕 坐 标 轴 的 力 偶 M Ox M Oy M Oz 可 以 看 出 它 们 的 意 义 是 : ' Rx 有 效 推 进 力 ' Ry 有 效 升 力 ' Rz 侧 向 力 M ox 滚 转 力 矩 M oy 偏 航 力 矩 M oz 俯 仰 力 矩 图 -.1. 空 间 任 意 力 系 简 化 结 果 分 析 空 间 任 意 力 系 向 一 点 简 化 可 能 出 现 下 列 四 种 情 况 : (1) 主 矢 R' =0, 主 矩 M o 0 () 主 矢 R' 0, 主 矩 M o =0 (3) 主 矢 R' 0, 主 矩 M o 0 (4) 主 矢 R' =0, 主 矩 M o =0 现 分 别 加 以 讨 论 一 空 间 任 意 力 系 简 化 为 一 合 力 偶 的 情 形 当 空 间 任 意 力 系 向 任 一 点 简 化 时, 若 主 矢 R '=0, 主 矩 M o 0, 这 时 得 一 力 偶 显 然, 这 力 偶 与 原 力 系 等 效, 即 原 力 系 合 成 为 一 合 力 偶, 这 合 力 偶 矩 矢 等 于 原 力 系 对 简 化 中 心 的 主 矩 由 于 力 偶 矩 矢 与 矩 心 位 置 无 关, 因 此, 在 这 种 情 况 下, 主 矩 与 简 化 中 心 的 位 置 无 关 二 空 间 任 意 力 系 简 化 为 一 合 力 的 情 形 39

当 空 间 任 意 力 系 向 任 一 点 简 化 时, 若 主 矢 R ' 0, 而 主 矩 M o =0, 这 时 得 一 力 显 然, 这 力 与 原 力 系 等 效, 即 原 力 系 合 成 为 一 合 力, 合 力 的 作 用 线 通 过 简 化 中 心 O, 其 大 小 和 方 向 等 于 原 力 系 的 主 矢 Mo O R = R O h O R R = O O R (a) (b) (c) 图 -3 若 空 间 任 意 力 系 向 一 点 简 化 的 结 果 为 主 矢 R ' 0, 又 主 矩 M o 0, 且 R ' M O ( 图 -3a) 这 时, 力 R ' 和 力 偶 矩 矢 为 M O 的 力 偶 ( R ', R ) 在 同 一 平 面 内 ( 图 -3b), 面 力 系 简 化 结 果 那 样, 可 将 力 R ' 与 力 偶 ( R '', R ) 进 一 步 合 成, 得 作 用 于 点 O' 的 一 个 力 R ( 图 -3c), 即 为 原 力 系 的 合 力, 其 大 小 和 方 向 等 于 原 力 系 的 主 矢, 即 R i 其 作 用 线 离 简 化 中 心 O 的 距 离 为 d M o (-7) R 由 图 -3b 可 知, 力 偶 ( R '', R ) 的 矩 M O 等 于 合 力 R 对 点 O 的 矩, 即 又 根 据 式 (-3) 有 故 得 关 系 式 M M O O O R O M M O R O M M (-8) 即 空 间 任 意 力 系 的 合 力 对 于 任 一 点 的 矩 等 于 各 分 力 对 同 一 点 的 矩 的 矢 量 和 这 就 是 空 间 任 意 力 系 的 合 力 矩 定 理 根 据 力 对 点 的 矩 与 力 对 轴 的 矩 的 关 系, 把 上 式 投 影 到 通 过 点 O 的 任 一 轴 上, 可 得 M M (-9) Z R Z 即 空 间 任 意 力 系 的 合 力 对 于 任 一 轴 的 矩 等 于 各 分 力 对 同 一 轴 的 矩 的 代 数 和 40

三 空 间 任 意 力 系 简 化 为 力 螺 旋 的 情 形 空 间 任 意 力 系 向 一 点 简 化 后, 可 能 出 现 主 矢 和 主 矩 都 不 等 于 零 的 情 形, 即 R 0,M o 0 一 般 情 况 下, 该 主 矢 和 主 矩 两 个 矢 量 是 成 一 定 夹 角 相 交, 同 时 两 者 既 不 平 行, 又 不 垂 直, 如 图 -4a 所 示 此 时 可 将 M o 分 解 为 两 个 分 力 偶 M o '' 和 M o ', 它 们 分 别 垂 直 于 R ' 和 平 行 于 R ' 如 图 -4b 所 示, 则 M o '' 和 R ' 可 用 作 用 于 点 O' 的 力 R 来 代 替 由 于 力 偶 矩 矢 是 自 由 矢 量, 故 可 将 M o ' 平 行 移 动, 使 之 与 R 共 线 这 样 便 得 一 力 螺 旋, 其 中 心 轴 不 在 简 化 中 心 O, 而 是 通 过 另 一 点 O', 如 图 -4c 所 示 O O' 点 间 的 距 离 为 '' M O M O sin ' ' R R d (-10) 这 时 简 化 后 得 到 的 新 的 主 矢 R 与 主 矩 矢 量 中 与 主 矢 平 行 的 分 量 M o 一 起 构 成 不 能 再 继 续 简 化 的 最 终 力 系 图 -4 当 R ' M o 时, 这 种 简 化 结 果 称 为 力 螺 旋, 如 图 -5 所 示 所 谓 力 螺 旋 就 是 由 一 力 和 一 力 偶 组 成 的 力 系, 其 中 的 力 垂 直 于 力 偶 的 作 用 面 例 如, 钻 孔 时 的 钻 头 对 工 件 的 作 用 以 及 拧 木 螺 钉 时 螺 丝 刀 对 螺 钉 的 作 用 都 是 力 螺 旋 M O R R R R O = O = O (a) M O (b) 图 -5 力 螺 旋 是 由 静 力 学 的 两 个 基 本 要 素 力 和 力 偶 组 成 的 最 简 单 的 力 系, 不 能 再 进 一 步 合 成 力 偶 的 转 向 和 力 的 指 向 符 合 右 手 螺 旋 规 则 的 称 为 右 螺 旋 ( 图 -5a), 否 则 称 为 左 螺 旋 ( 图 -5b) 41

力 螺 旋 的 力 作 用 线 称 为 该 力 螺 旋 的 中 心 轴 在 上 述 情 形 下, 中 心 轴 通 过 简 化 中 心 可 见, 一 般 情 形 下 空 间 任 意 力 系 可 合 成 为 力 螺 旋 四 空 间 任 意 力 系 简 化 为 平 衡 的 情 形 当 空 间 任 意 力 系 向 任 一 点 简 化 时, 若 主 矢 R '=0, 主 矩 M O =0, 这 是 空 间 任 意 力 系 平 衡 的 情 形, 将 在 下 节 详 细 讨 论. 空 间 力 系 的 平 衡 方 程..1 空 间 一 般 力 系 的 平 衡 方 程 空 间 任 意 力 系 处 于 平 衡 的 必 要 和 充 分 条 件 是 : 该 力 系 的 主 矢 和 对 于 任 一 点 的 主 矩 都 等 于 零, 即 : M ' R O 0 0 根 据 式 (-) 和 (-6), 可 将 上 述 条 件 写 成 空 间 任 意 力 系 的 平 衡 方 程 X 0 M x 0 Y 0 M y 0 Z 0 M z 0 (-11) (-1) 于 是 得 结 论 : 空 间 任 意 力 系 平 衡 的 必 要 和 充 分 条 件 是 : 所 有 各 力 在 三 个 坐 标 轴 中 每 一 个 轴 上 的 投 影 的 代 数 和 等 于 零, 以 及 这 些 力 对 每 一 个 坐 标 轴 的 矩 的 代 数 和 也 等 于 零 例 -1 在 图 -6a 中, 皮 带 的 拉 力 = 1, 曲 柄 上 作 用 有 铅 垂 力 =000N 已 知 皮 带 轮 的 直 径 D=400mm, 曲 柄 长 R=300mm, 皮 带 1 和 皮 带 与 铅 垂 线 间 夹 角 分 别 为 α 和 β,α=30, β=60 ( 参 见 图 -6b), 其 它 尺 寸 如 图 所 示 求 皮 带 拉 力 和 轴 承 反 力 图 -6 解 : 以 整 个 轴 为 研 究 对 象 在 轴 上 作 用 的 力 有 : 皮 带 拉 力 1 ; 作 用 在 曲 柄 上 的 力 ; 轴 承 反 力 Ax Az Bx 和 Bz 轴 受 空 间 任 意 力 系 作 用, 选 坐 标 轴 如 图 所 示, 列 出 平 衡 方 4

程 : X 0, sin30 sin 60 0 Y 0, 0 0 1 Z 0, cos 30 cos 60 0 1 Ax Bx Az Bz 1 M 0, cos 30 00 cos 60 00 00 400 0 x D M y 0, R 1 0 1 M 0, sin30 00 sin 60 00 400 0 z Bx Bz 又 有 1 联 立 上 述 方 程, 解 得 1 3000N, 6000N 1004N, 9397N Ax Az 3348N, 1799N Bx 此 题 中, 平 衡 方 程 Y 0 成 为 恒 等 式, 独 立 的 平 衡 方 程 只 有 5 个 ; 在 题 设 条 件 = 1 之 下, 才 能 解 出 上 述 6 个 末 如 量 空 间 任 意 力 系 有 6 个 独 立 的 平 衡 方 程, 可 求 解 6 个 未 知 量, 但 其 平 衡 方 程 不 局 限 于 式 (-1) 所 示 的 形 式 为 使 解 题 简 便, 每 个 方 程 中 最 好 只 包 含 一 个 未 知 量 为 此, 我 们 在 选 投 影 轴 时 应 尽 量 与 其 余 未 知 力 垂 直 ; 在 选 取 矩 的 轴 时 应 尽 量 与 其 余 的 未 知 力 平 行 或 相 交 投 影 轴 不 必 相 互 垂 直, 取 矩 的 轴 也 不 必 与 投 影 轴 重 合, 力 矩 方 程 的 数 目 可 取 3 个 至 6 个 例 - 如 图 -7 所 示 均 质 长 方 板 由 六 根 直 杆 支 持 于 水 平 位 置, 直 杆 两 端 各 用 球 铰 链 与 板 和 地 面 连 接 板 重 为 P 在 A 处 作 用 一 水 平 力, 且 =P 求 各 杆 的 内 力 Bz 43

图 -7 解 : 取 长 方 体 刚 板 为 研 究 对 象, 各 支 杆 均 为 二 力 杆, 设 它 们 均 受 拉 力 板 的 受 力 图 如 图 -7 所 示 列 平 衡 方 程 : a M AB 0, 6 a P 0 (a) P 解 得 6 ( 压 力 ) 5 M 0, 0 (b) AE 4 M 0, 0 (c) AC 将 6 a a M E 0, P 6 a 1 b 0 a b P 代 入 式 (d), 得 1 =0 b M 0, P b b 0 由 G 得 =1.5P b M 0, P b cos 45b 0 由 BC 3 (d) (e) (f) 得 3 P ( 压 力 ) 44

.. 空 间 特 殊 力 系 的 平 衡 方 程 从 空 间 一 般 力 系 的 平 衡 方 程, 式 (-1) 可 以 导 出 特 殊 力 系 的 平 衡 方 程, 如 平 面 一 般 力 系 空 间 平 行 力 系 空 间 汇 交 力 系 空 间 力 偶 系 等 的 平 衡 方 程 一 平 面 一 般 力 系 的 平 衡 方 程 平 面 力 系 平 衡 的 必 要 与 充 分 条 件 是 : 力 系 的 主 矢 量 和 力 系 对 简 化 中 心 的 主 矩 同 时 都 为 零 由 式 (-8) 并 根 据 主 矢 量 和 主 矩 的 解 析, 可 得 平 面 力 系 的 平 衡 方 程 表 达 式 R ' X ii Yi j 0 M O M O i 0 平 衡 方 程 的 三 种 表 达 形 式 : (1) 基 本 形 式 X i 0 Yi 0 MOi 此 组 方 程 中 两 个 投 影 坐 标 轴 x 轴 y 轴 可 以 任 意 选 择 但 两 轴 不 能 相 互 平 行, 取 矩 式 中 的 矩 心 可 以 任 意 选 择 但 应 注 意 该 组 方 程 只 有 三 个 独 立 方 程, 只 能 求 解 三 个 未 知 数 () 二 矩 式 M A 0 M B 0 X 0 条 件 :x 轴 不 垂 直 AB 连 线 (3) 三 矩 式 M A 0 M B 0 M C 0 条 件 :A B C 不 共 线 三 组 平 衡 方 程 式 都 可 用 来 解 决 平 面 力 系 的 平 衡 问 题 究 竟 选 用 哪 一 组 形 式 要 视 具 体 情 况 确 定, 以 简 便 易 算 快 捷 为 前 提 但 无 论 采 用 哪 一 种 平 衡 方 程 式 形 式 都 只 能 求 出 三 个 未 知 数 或 建 立 三 个 未 知 数 之 间 的 关 系 解 题 时 一 般 说 来, 应 力 求 所 写 出 的 每 一 个 方 程 式 中 只 含 一 个 未 知 数 二 空 间 平 行 力 系 的 平 衡 方 程 0 45

设 物 体 受 一 空 间 平 行 力 系 1... n 作 用, 如 图 -8 所 示 建 立 坐 标 系 Oxyz, 使 z 轴 与 诸 力 平 行, 则 各 力 在 x 轴 和 y 轴 上 的 投 影 都 等 于 零, 各 力 对 z 轴 的 矩 也 都 等 于 零, 因 而 方 程 X 0 Y 0 程 只 有 三 个, 即 M 0 均 自 然 满 足, 不 为 方 程 ; 故 空 间 平 行 力 系 的 平 衡 方 Z z 3 n O y x 1 图 -8 Z 0 Mx 0 (-13) M 0 y 例 -3 图 -9 所 示 的 三 轮 小 车, 自 重 P=8kN, 作 用 于 点 E, 载 荷 P 1 =10kN, 作 用 于 点 C 求 小 车 静 止 时 地 面 对 车 轮 的 反 力 图 -9 解 : 以 小 车 为 研 究 对 象, 受 力 如 图 -9 所 示 其 中 P 和 P 1 是 主 动 力, A B 和 C 为 地 面 的 约 束 反 力, 此 5 个 力 相 互 平 行, 组 成 空 间 平 行 力 系 取 坐 标 系 Oxyz 如 图 -9 所 示, 列 出 三 个 平 衡 方 程 : 46

Z 0, P P 0 (a) 1 A B D 1 M 0, 0. P 1. P 0 (b) x 1 M 0, 0. 8P 0. 6P 0. 6 1. 0 (c) y D B 由 式 (b) 解 得 D =5.8kN 代 入 式 (c), 解 出 B =7.777kN 代 入 式 (a), 解 出 A =4.43kN 三 空 间 汇 交 力 系 的 平 衡 方 程 空 间 汇 交 力 系 的 合 力 等 于 各 分 力 的 矢 量 和, 合 力 的 作 用 线 通 过 汇 交 点 合 力 矢 为 D R 1 n i i1 n... (-14) 由 x y z Xi Yj Zk 可 得 R X ii Yi j Zik (-15) 其 中 X i Y i Z i 为 合 R 沿 x y z 轴 投 影 由 此 可 得 合 力 的 大 小 和 方 向 余 弦 为 R X Y Z X cos R,i R Y cos R, j R Z cos R,k R (-16) 例 -4 在 刚 体 上 作 用 有 四 个 汇 交 力, 它 们 在 坐 标 轴 上 的 投 影 如 下 表 所 示, 试 求 这 四 个 力 的 合 力 的 大 小 和 方 向 表 -1 1 3 4 单 位 X 1 0 kn Y 10 15-5 10 kn Z 3 4 1 - kn 解 : 由 上 表 得 X 1 0 5kN 47

代 入 式 (-16) 得 合 力 的 大 小 和 方 向 余 弦 为 由 此 得 夹 角 : Y 10 15 5 10 kn30 Z 3 4 1 6kN 5 30 6 31kN R 5 31 cos,i, cos, j, R R 30 31, i 8043',, j 1436',, 7850 R R k ' R cos,k 由 于 一 般 空 间 汇 交 力 系 合 成 为 一 个 合 力, 因 此, 空 间 汇 交 力 系 平 衡 的 必 要 和 充 分 条 件 为 : 该 力 系 的 合 力 等 于 零, 即 R 6 31 R 1 n i i1 n... (-17) 由 式 (-16) 可 知, 为 使 合 力 R 为 零, 必 须 同 时 满 足 : n i1 n i1 n i1 X i i i 0 Y 0 (-18) Z 0 于 是 可 得 结 论, 空 间 汇 交 力 系 平 衡 的 必 要 和 充 分 条 件 为 : 该 力 系 中 所 有 各 力 在 三 个 坐 标 轴 上 的 投 影 的 代 数 和 分 别 等 于 零 式 (-18) 称 为 空 间 汇 交 力 系 的 平 衡 方 程 应 用 解 析 法 求 解 空 间 汇 交 力 系 的 平 衡 问 题 的 步 骤, 与 平 面 汇 交 力 系 问 题 相 同, 只 不 过 需 列 出 三 个 平 衡 方 程, 可 求 解 三 个 未 知 量 例 -5 如 图 -10a 所 示, 用 起 重 杆 吊 起 重 物 起 重 杆 的 A 端 用 球 铰 链 固 定 在 地 面 上, 而 B 端 则 用 绳 CB 和 DB 拉 住, 两 绳 分 别 系 在 墙 上 的 点 C 和 D, 连 线 CD 平 行 于 x 轴 已 知 : CE=EB=DE,α=30,CDB 平 面 与 水 平 面 间 的 夹 角 EB=30 ( 参 见 图 -10b), 物 重 P=l0kN 如 起 重 杆 的 重 量 不 计, 试 求 起 重 杆 所 受 的 压 力 和 绳 子 的 拉 力 48

图 -10 解 : 取 起 重 杆 AB 与 重 物 为 研 究 对 象, 其 上 受 有 主 动 力 P,B 处 受 绳 拉 力 1 与 ; 球 铰 链 A 的 约 束 反 力 方 向 一 般 不 能 预 先 确 定, 可 用 三 个 正 交 分 力 表 示 本 题 中, 由 于 杆 重 不 计, 又 只 在 A B 两 端 受 力, 所 以 起 重 杆 AB 为 二 力 构 件, 球 铰 A 对 AB 杆 的 反 力 A 必 沿 A B 连 线 P, 1, 和 A 四 个 力 汇 交 于 点 B, 为 一 空 间 汇 交 力 系 取 坐 标 轴 如 图 所 示 由 已 知 条 件 知 : CBE= DBE=45, 列 平 衡 方 程 X 0, sin 45 sin 45 0 1 Y 0, sin30 cos 45cos 30 cos 45cos 30 0 A 1 Z 0, cos 30 cos 45sin30 cos 45sin30 P 0 A 1 求 解 上 面 的 三 个 平 衡 方 程, 得 1= 3. 54kN 8. 66kN A A 为 正 值, 说 明 图 中 所 设 A 的 方 向 正 确, 杆 AB 受 压 力 四 空 间 力 偶 系 的 平 衡 方 程 空 间 力 偶 系 的 合 成 与 平 衡 条 件 可 以 证 明, 任 意 个 空 间 分 布 的 力 偶 可 合 成 为 一 个 合 力 偶, 合 力 偶 矩 矢 等 于 各 分 力 偶 矩 矢 的 矢 量 和, 即 1 由 于 空 间 力 偶 系 可 以 用 一 个 合 力 偶 来 代 替, 因 此, 空 间 力 偶 系 平 衡 的 必 要 和 充 分 条 件 是 : 49 n n M M M... M M (-19) i1 i

该 力 偶 系 的 合 力 偶 矩 等 于 零, 亦 即 所 有 力 偶 矩 矢 的 矢 量 和 等 于 零, 即 即 欲 使 上 式 成 立, 必 须 同 时 满 足 n M i 0 (-0) i1 M M M M 0 ix iy iz n i1 n i1 n i1 M M M ix iy iz 0 0 0 上 述 三 个 独 立 的 平 衡 方 程 可 求 解 三 个 未 知 量 (-1).3 桁 架 的 内 力 分 析.3.1 桁 架 结 构 如 图 -11 所 示, 一 些 杆 轴 交 于 一 点 的 工 程 结 构 经 合 理 抽 象 简 化 后, 其 计 算 简 图 可 简 化 成 只 受 结 点 荷 载 作 用 的 直 杆 铰 结 体 系, 这 样 的 体 系 称 为 桁 架 结 构, 其 受 力 特 性 是 结 构 内 力 只 有 轴 力, 没 有 弯 矩 和 剪 力 桁 架 结 构 有 多 种 分 类, 简 化 后 简 图 中 各 杆 件 轴 线 位 于 同 一 平 面 的 称 为 平 面 桁 架, 否 则 为 空 间 桁 架 图 -11(a) 所 示 桁 架 为 平 面 桁 架 ; 图 -11(b) 中 所 示 为 空 间 桁 架 (a) 屋 架 示 意 图 图 -11 桁 架 结 构 实 例 根 据 结 构 几 何 组 成 方 式, 桁 架 可 以 分 成 三 类 : (b) 网 架 示 意 图 (1) 简 单 桁 架 : 由 基 础 或 基 本 三 角 形, 通 过 依 次 加 二 元 体 所 组 成 的 桁 架 ( 图 -1(a)) () 联 合 桁 架 : 由 几 个 简 单 桁 架 按 二 三 刚 片 组 成 规 则 构 造 的 静 定 结 构 ( 图 -1(b)) 50

赘 述 (3) 复 杂 桁 架 : 除 这 两 类 以 外 的 其 他 桁 架 ( 图 -1(c)) 桁 架 还 可 按 外 形 特 点 进 行 分 类, 有 平 行 弦 梯 形 抛 物 线 形 折 线 形 桁 架 等, 这 里 不 再 (a) 简 单 桁 架 (b) 联 合 桁 架 (c) 复 杂 桁 架 图 -1 桁 架 组 成 分 类.3. 桁 架 内 力 分 析 的 结 点 法 截 取 桁 架 的 结 点 为 隔 离 体, 利 用 平 衡 方 程 计 算 各 杆 内 力 的 方 法 称 为 结 点 法 根 据 桁 架 结 构 的 定 义, 结 点 法 求 解 时, 结 点 均 承 受 汇 交 力 系 作 用, 为 了 避 免 解 联 立 方 程, 应 从 未 知 力 不 超 过 两 个 的 结 点 开 始, 依 次 计 算 由 于 简 单 桁 架 是 从 一 个 基 本 铰 接 三 角 形 开 始, 通 过 依 次 增 加 二 元 体 组 成 的 因 此, 其 最 后 一 个 结 点 只 包 含 两 根 杆 件 可 见 由 整 体 平 衡 条 件 求 出 支 反 力 后, 遵 循 按 结 构 几 何 组 成 相 反 顺 序 的 求 解 基 本 原 则, 从 最 后 组 建 的 结 点 开 始, 依 次 回 溯 过 去, 即 可 顺 利 地 利 用 汇 交 力 系 的 两 个 平 衡 方 程 依 次 求 出 所 有 杆 件 的 内 力 设 某 杆 件 长 度 为 l, 其 水 平 投 影 长 度 和 竖 向 投 影 长 度 分 别 为 l x l y, 则 杆 件 轴 力 N 及 其 分 力 X 和 Y 组 成 的 三 角 形, 与 杆 长 及 投 影 组 成 的 三 角 形 相 似 ( 图 -13), 故 有 N x y l l l x y 51

图 -13 这 时, 可 以 先 以 分 力 X 或 Y 作 为 未 知 量 优 先 求 解 求 出 分 力 后, 再 利 用 上 述 比 例 关 系 即 可 求 出 另 一 个 分 力 和 轴 力 由 于 往 往 几 何 尺 寸 是 已 知 的, 这 样 求 解 可 避 免 列 投 影 方 程 时 的 三 角 函 数 计 算, 可 减 少 计 算 工 作 量 下 面 举 例 说 明 结 点 法 的 应 用 例 -6 试 用 结 点 法 分 析 图 -14(a) 所 示 桁 架 各 杆 件 的 内 力 解 法 一 :(1) 由 整 体 平 衡 条 件 求 支 座 反 力 图 -14 5

由 x =0, 得 Ax =0 由 M B 0 Ay 1m 80kN 3m 60kN 6m 40kN 9m 0 得 80kN ( ) Ay 由 y =0, 得 By =100kN( ) () 截 取 各 结 点 求 解 杆 件 内 力 按 照 结 构 几 何 组 成 相 反 顺 序 先 取 A 结 点, 然 后, 依 次 取 C G D H E 结 点 作 为 隔 离 体 进 行 求 解 由 图 -14(a) 中 尺 寸 可 知,sinα=4/5,cosα= 3/5 结 点 A: 隔 离 体 如 图 -14(b) 所 示, 列 y =0 再 列 x =0 sin α 80kN 0, 得 100kN NA 53 NA cos α 0, 得 60kN NA NAC 结 点 C: 隔 离 体 如 图 -14 (c) 所 示, 列 x =0 再 列 y =0 NAC 60kN 0, 得 60kN NCD NCD 40kN 0, 得 40kN NC 结 点 : 隔 离 体 如 图 -14 (d) 所 示, 列 y =0 再 列 x =0 sinα 40kN-100kN sinα 0, 得 50kN ND cos α 100kN cos α 0, 得 90kN NG ND 结 点 G: 隔 离 体 如 图 -14 (e) 所 示, 很 明 显 NC y 0, 得 NGD 0 x 0, 得 NGH 90kN 结 点 D: 隔 离 体 如 图 -14 (f) 所 示, 列 y =0 再 列 x =0 sinα 50kN sinα 60kN 0, 得 5kN NDH cos α 50kN cos α 60kN 0, 得 75kN NDE NDH ND NG NDH NDE

结 点 H: 隔 离 体 如 图 -14 (g) 所 示, 列 x =0 再 列 y =0 cos α 90kN 5kN cos α 0, 得 15kN NHB NHB 5kN sin α sin α 0, 得 80kN NHE NHB 结 点 E: 隔 离 体 如 图 -14 (h) 所 示, 列 x =0 75kN 0, 得 75kN NEB 在 该 隔 离 体 上, 竖 直 方 向 的 两 个 力 都 已 经 在 前 面 分 别 求 出, 这 时 可 以 利 用 这 两 个 力 是 否 满 足 平 衡 条 件 来 校 核 前 面 的 计 算 结 构 是 否 正 确 很 明 显 NEB 80kN 80kN 0 y 平 衡 条 件 满 足, 计 算 正 确 因 为 B 结 点 的 力 也 都 已 求 出, 还 可 以 利 用 B 结 点 的 力 是 否 满 足 平 衡 方 程 进 一 步 来 校 核 计 算 是 否 正 确, 如 图 -14 (i) 所 示 很 明 显, 各 力 满 足 平 衡 条 件, 表 明 计 算 结 果 正 确 解 法 二 :(1) 求 支 座 反 力, 同 解 法 一 () 截 取 各 结 点 作 为 隔 离 体, 求 解 杆 件 内 力 与 解 法 一 不 同 的 是 利 用 平 衡 方 程 时 先 求 出 某 个 未 知 力 的 分 力 ( 水 平 的 或 竖 向 的 ), 然 后 根 据 比 例 关 系, 再 求 出 该 未 知 力 及 其 另 一 个 分 力 具 体 步 骤 如 下 : 结 点 A: 隔 离 体 如 图 -14 (j) 所 示, 列 y =0 NHE Y 80kN 0, 得 Y 80kN NA NA 由 比 例 关 系 再 列 x =0 XNA Y 3 4 NA Y 5 4 NA NA, 得, 得 3 X NA 80 60 kn 4 5 NA 80 100 kn 4 NAC X 0, 得 60kN NA 结 点 C: 隔 离 体 如 图 -14 (k) 所 示, 由 NAC x 0, NCD 60kN y 0, NC 40kN 54

结 点 : 隔 离 体 如 图 -14 (l) 所 示, 列 y =0 Y 40kN 80kN 0, 得 Y 40kN ND ND 由 比 例 关 系 再 列 x =0 XND YND, 得 3 4 ND YND, 得 5 4 3 X ND 40 4 30 kn 5 ND 40 4 50 kn NG X 60kN 0, 得 90kN ND 此 后, 依 次 取 结 点 G,D,H,E 为 隔 离 体, 直 到 求 出 全 部 内 力 NG 例 -7 试 用 结 点 法 分 析 圈 -15(a) 所 示 桁 架 各 杆 件 的 内 力 解 :(1) 由 整 体 平 衡 条 件 求 得 支 座 反 力, 1 8 40kN 1x 0 y y () 按 组 成 相 反 顺 序 的 原 则 从 l 结 点 开 始 依 次 求 解 杆 件 轴 力 结 点 1: 隔 离 体 如 图 -15(b) 所 示, 列 y =0 55

图 -15 YN 13 40kN 10kN 0, 得 YN 13 30kN 由 比 例 关 系 Y, 得 N13 5Y N 13 30 kn=- 5 67. 08 kn 1 N13 N13 5 XN13 YN13, 得 XN13 YN 13 60kN 1 再 列 x =0 N1 XN13 0, 得 1 60kN N 结 点 : 隔 离 体 如 图 -15(c) 所 示, 列 x =0 N 5 60kN 0, 得 N 5 60kN 列 y 0, 得 N 3 0 结 点 3: 隔 离 体 如 图 -15(d) 所 示 在 这 个 结 点 上, 两 个 未 知 内 力 N35 已 和 N34 对 水 平 轴 都 有 倾 角 α 列 水 平 或 竖 向 投 影 方 程, 都 需 解 联 立 方 程 为 了 避 免 解 联 立 方 程 可 采 用 如 下 两 种 途 径 1 选 取 与 其 中 一 个 未 知 轴 力 方 向 垂 直 的 方 向 作 为 投 影 轴 结 点 上 所 有 力 向 这 个 轴 投 影 时, 该 未 知 内 力 的 投 影 为 零 如 图 -15 (d), 选 与 N34 垂 直 方 向 (m-m 线 ) 作 为 投 影 轴, 列 mm =0 N 35 sin α 0kN cos α 0 得 N 35 0kN cos α 0kN cosα 0kN sin α sinα cosα sinα 0kN 10 5kN. 36kN 1 5 再 列 x =0 56

cos α 30 5kN cos α cos α 0, N34 N35 N 35 0 5kN 44. 7kN 将 汇 交 于 该 结 点 的 两 个 未 知 轴 力, 分 别 沿 杆 件 向 外 移 一 段 距 离 将 其 分 开 然 后, 以 其 中 一 个 未 知 轴 力 所 在 位 置 为 矩 心, 这 样 力 矩 平 衡 方 程 中 就 只 含 另 一 个 未 知 力 了 如 图 -15 (e) 所 示, 将 未 知 轴 力 N34 N35 和 已 知 力 N13 分 别 滑 移 到 结 点 4 5 和 1( 这 样 做 是 为 了 使 各 力 力 臂 为 已 知 其 实, 移 到 其 他 力 臂 易 求 位 置 也 是 可 以 的 ), 取 结 点 5 为 矩 心 可 求 N34 为 了 避 免 计 算 力 臂, 将 N34 和 N13 沿 水 平 和 竖 直 方 向 分 解, 列 M 5 =0 X N 34 m 30kN 4m 0kN m 0, X N 34 40kN 由 比 例 关 系 XN34 YN34, 得 YN 34 0kN 1 X, 得 N 34 0 5kN 44. 7kN N34 N34 5 再 列 x =0 X 60 X 0, 得 X 35 0kN N35 N34 N 由 比 例 关 系 XN35 YN35, 得 YN 35 10kN 1 X, 得 N 35 10 5kN. 36kN N35 N35 5 结 点 4: 隔 离 体 如 图 -15(f) 所 示, 列 x =0 X N 46 40kN 0, 得 X N 46 40kN 由 比 例 关 系 XN46 YN46, 得 YN 46 0kN 1 X, 得 N 46 0 5kN 44. 7kN N46 N46 5 再 列 y =0 0kN-0kN Y 0, 得 45 0kN N45 N46 N 至 此, 桁 架 左 半 边 各 杆 轴 力 均 已 求 出 继 续 取 5 6 结 点 为 隔 离 体, 进 行 计 算, 可 求 得 57

剩 余 杆 件 的 轴 力 最 后 利 用 结 点 7 和 结 点 8 的 平 衡 条 件 校 核 各 杆 轴 力 示 意 图 -15(g) 在 用 结 点 法 进 行 计 算 时, 注 意 以 下 两 点, 还 可 使 计 算 过 程 得 到 简 化 (1) 对 称 性 杆 件 轴 线 对 某 轴 线 对 称, 结 构 的 支 座 也 对 同 一 条 轴 对 称 的 静 定 结 构, 称 为 对 称 结 构 对 称 结 构 在 对 称 或 反 对 称 的 荷 载 作 用 下, 结 构 的 内 力 及 反 力 必 然 对 称 或 反 对 称, 这 种 性 质 称 为 对 称 性 因 此, 只 要 计 算 对 称 轴 一 侧 的 杆 件 内 力, 另 一 侧 杆 件 的 内 力 可 由 对 称 性 直 接 得 到 例 题 -6 中 水 平 反 力 为 零, 为 对 称 结 构 所 以 只 需 要 计 算 其 中 一 半 杆 件 的 轴 力, 另 一 半 可 利 用 对 称 性 得 到 () 结 点 单 杆 与 零 杆 仅 截 取 某 结 点 为 隔 离 体, 并 且 结 点 连 接 的 全 部 杆 件 内 力 未 知, 对 于 仅 用 一 个 平 衡 方 程 就 可 求 出 内 力 的 杆 件, 称 为 结 点 单 杆 利 用 这 个 概 念, 根 据 荷 载 状 况 可 判 断 此 杆 内 力 是 否 为 零 零 内 力 杆 简 称 零 杆 图 -16 给 出 了 一 些 零 杆 情 形 图 -16 (a) 所 示 情 况 结 点 连 接 两 个 杆 件 且 无 荷 载 作 用, 两 杆 都 是 零 杆 ; 图 -16 (b) 所 示 情 况 结 点 连 接 三 个 杆 件 且 无 荷 载 作 用, 其 中 两 个 杆 件 轴 线 重 合, 则 非 共 线 的 单 杆 为 零 杆 ; 图 -16 (c) 所 示 情 况 结 点 连 接 两 个 杆 件 且 有 荷 载 作 用, 但 荷 载 作 用 线 与 其 中 一 个 杆 件 轴 线 重 合, 故 另 一 个 杆 件 为 零 杆 图 -16 例 -8 试 求 图 -17(a) 所 示 桁 架 各 杆 件 的 轴 力 解 : 应 用 上 述 有 关 零 杆 判 断 的 结 论, 因 结 点 上 无 荷 载 作 用, 则 单 杆 为 零 杆, 故 图 -17 (a) 中 加 上 符 号 的 杆 件 均 为 单 杆 去 掉 零 杆 后, 得 图 -17(b) 所 示 简 化 体 系, 在 该 体 系 上 可 继 续 判 断 出 图 示 零 杆, 依 此 类 推 ( 图 -17(c) (d) (e) (f)) 得 到 图 -17(f) 所 示 体 系 取 C 结 点 为 隔 离 体, 很 容 易 求 出 NCB sinθ P, tanθ P NCA P cot θ 58

图 -17 例 -9 试 判 断 图 -18(a) 所 示 桁 架 中 的 零 杆 解 : 取 C 结 点 为 隔 离 体 (C 结 点 的 特 点 为 结 点 由 4 根 杆 件 构 成, 其 中 两 根 杆 件 共 线, 另 外 两 根 杆 件 分 别 在 同 侧 与 共 线 的 两 根 杆 件 有 相 等 的 夹 角 ), 列 y =0, 得 NDC (a) NEC 图 -18 因 为 C 结 点 的 构 造 像 英 文 字 母 K, 所 以, 有 时 也 称 具 有 这 个 性 质 的 结 点 为 K 结 点 图 -18 (a) 所 示 桁 架 的 水 平 支 座 反 力 为 零, 是 对 称 结 构 根 据 对 称 结 构 内 力 的 性 质, 得 NDC (b) NEC 由 式 (a) 和 式 (b) 得 NDC 0 59 NEC

去 掉 零 杆 后, 得 图 -18 (b) 所 示 体 系, 继 续 去 掉 图 中 零 杆 得 图 -18 (c) 所 示 体 系 由 此, 可 以 很 方 便 地 求 出 剩 余 杆 件 的 轴 力 由 C 结 点 的 平 衡 可 以 总 结 出 另 一 种 零 杆 的 情 况 即 当 K 结 点 位 于 承 受 对 称 荷 载 的 对 称 结 构 的 对 称 轴 上 时, 两 根 斜 杆 均 为 零 杆.3.3 桁 架 内 力 分 析 的 截 面 法 利 用 结 点 法 可 以 求 解 任 意 静 定 桁 架 的 内 力, 但 对 于 简 单 桁 架 必 须 按 照 组 成 相 反 顺 序 逐 步 求 解 实 际 工 作 中, 如 果 只 需 确 定 少 数 杆 件 的 内 力 或 用 结 点 法 必 须 求 解 联 立 方 程 时 ( 如 联 合 桁 架 ), 一 般 不 用 结 点 法, 而 采 用 截 面 法 所 谓 截 面 法, 就 是 适 当 选 择 包 含 需 求 轴 力 杆 的 截 面, 以 桁 架 的 某 一 局 部 为 隔 离 体, 由 平 衡 方 程 求 所 需 杆 件 轴 力 的 方 法 平 面 桁 架 截 面 法 所 取 隔 离 体 ( 荷 载 支 座 反 力 和 截 断 杆 轴 力 构 成 平 面 任 意 力 系 ) 的 独 立 平 衡 方 程 数 为 3, 因 此 一 般 情 形 下 截 断 的 杆 件 未 知 轴 力 数 应 该 不 大 于 3 例 -10 试 求 图 -19(a) 所 示 折 线 型 桁 架 指 定 杆 D CE ED 和 E 的 轴 力 图 -19 解 :(1) 由 整 体 平 衡 条 件 求 得 支 座 反 力 3, 0 Ay Ly P () 取 隔 离 体 求 杆 件 截 面 内 力 用 截 面 Ⅰ-Ⅰ 将 杆 CE ED 和 D 切 断, 取 图 -19(b) 所 示 隔 离 体 列 M E = 0 Ax 60

5 ND 0. 75d p d p d 0, 得 16p ND 5. 33 3 p 列 x =0 X NCE 0, 得 ND 16p X NCE 5. 33 3 p 由 比 例 关 系 得 YNCE XNCE, 得 0. 5d d NCE 0. 5d d X d NCE 4 Y 1. 33 3 NCE p p, 得 55. NCE p 列 y =0 5 NDE YNCE p p 0, 得 1 0. 17 6 NDE p p 用 截 面 Ⅱ-Ⅱ 将 杆 EG E D 截 开, 取 图 -19(c) 所 示 隔 离 体 取 EG 杆 与 D 杆 的 交 心 O 为 矩 心 则 O=4d 列 M O = 0 5 YNE 4d p 3d p d p d 0 5 得 YNE p 0. 65p 8 由 比 例 关 系 NE YNE. d 0. 75d d 0 75, 得 1. 04 NE p 从 上 述 截 面 法 求 解 过 程 可 以 看 出, 为 使 计 算 尽 可 能 简 单 方 便, 一 方 面 要 选 取 合 适 的 隔 离 体 ; 另 一 方 面, 要 考 虑 如 何 列 平 衡 方 程 使 一 个 方 程 只 包 含 一 个 未 知 量, 以 及 是 否 需 要 将 轴 力 进 行 分 解 等 需 要 指 出 的 是, 应 用 截 面 法 时 同 样 可 以 利 用 对 称 性, 同 样 存 在 单 杆, 在 一 定 荷 载 下 可 直 接 判 断 出 零 杆 ( 一 ) 对 称 性 对 于 对 称 平 面 桁 架, 利 用 对 称 性 可 只 取 对 称 轴 一 侧 的 结 构 作 为 计 算 简 图, 此 时 对 称 轴 位 置 可 以 用 支 座 表 示 如 图 -0(a) 所 示 桁 架 结 构 在 竖 向 荷 载 作 用 时, 由 于 水 平 支 杆 反 力 为 零, 此 时 可 当 作 对 称 结 构, 利 用 对 称 性 来 求 解 61

图 -0 对 称 结 构 在 对 称 和 反 对 称 荷 载 下 取 半 结 构 示 意 图 1 称 荷 载 的 情 况 图 -0 (a) 所 示 桁 架 结 构 承 受 对 称 荷 载 时, 对 称 轴 处 的 水 平 位 移 ( 是 反 对 称 位 移 ) 等 于 零 竖 向 位 移 ( 是 对 称 位 移 ) 不 等 于 零, 因 此 对 称 轴 处 的 每 个 铰 接 结 点 都 相 当 于 连 接 一 个 水 平 链 杆 的 支 座, 此 时 原 结 构 就 相 当 于 变 成 了 左 右 两 部 分 结 构, 由 于 左 右 两 半 结 构 的 内 力 具 有 对 称 性, 所 以 只 需 求 解 其 中 一 半 结 构, 图 -0(b) 所 示 为 对 称 荷 载 作 用 时 选 取 的 左 侧 半 结 构 反 对 称 荷 载 的 情 况 当 图 -0 (a) 所 示 桁 架 承 受 反 对 称 荷 载 时, 对 称 轴 处 竖 向 位 移 ( 对 称 位 移 ) 等 于 零 水 平 位 移 ( 反 对 称 位 移 ) 不 等 于 零, 对 称 轴 处 的 铰 接 结 点 相 当 于 连 接 一 个 坚 向 链 杆 的 支 座, 在 对 称 轴 上 的 杆 件 轴 力 为 零 与 对 称 荷 载 作 用 情 况 类 似, 反 对 称 荷 载 作 用 时 可 选 取 图 -0 (c) 所 示 半 结 构 计 算 简 图 进 行 求 解 注 意 : 这 种 取 半 结 构 的 思 想 适 用 于 任 意 对 称 静 定 结 构 ( 二 ) 单 杆 和 零 杆 截 面 法 取 出 的 隔 离 体, 不 管 其 上 有 几 个 轴 力, 在 全 部 内 力 未 知 的 条 件 下, 如 果 某 杆 的 轴 力 可 以 通 过 列 一 个 平 衡 方 程 求 得, 则 此 杆 称 为 截 面 单 杆, 可 能 的 截 面 单 杆 如 图 -1 所 示 图 -1 截 面 单 杆 1 单 杆 截 开 桁 架 后, 除 截 面 单 杆 外, 若 其 他 截 断 杆 件 的 轴 力 作 用 线 相 交 于 一 点, 称 为 相 交 情 形 ( 如 图 -1(a) 所 示, 将 隔 离 体 上 所 有 力 对 交 点 取 矩, 列 力 矩 平 衡 条 件 即 可 求 出 单 杆 轴 力 ); 若 其 他 截 断 杆 件 的 作 用 线 互 相 平 行, 称 为 平 行 情 形 ( 如 图 -1(b) 所 示, 将 隔 离 体 上 所 6

有 力 往 平 行 力 的 垂 直 方 向 投 影, 列 投 影 平 衡 方 程 即 可 求 出 单 杆 轴 力 ) 零 杆 对 于 相 交 情 形, 如 果 荷 载 与 支 反 力 对 其 他 未 知 力 交 点 的 总 力 矩 为 零, 则 截 面 单 杆 为 零 杆 对 于 平 行 情 形, 如 果 荷 载 与 支 反 力 对 垂 直 于 平 行 力 的 某 直 线 投 影 之 和 为 零, 则 截 面 单 杆 为 零 杆 此 外, 对 称 结 构 承 受 对 称 或 反 对 称 荷 载 时 ( 如 图 -), 还 有 三 种 零 杆 情 形 图 -(a) 所 示 情 况, 对 称 荷 载 作 用 时, 首 先 根 据 对 称 性 可 知 图 中 两 个 斜 杆 的 轴 力 应 相 等, 再 利 用 K 结 点 的 性 质, 二 杆 轴 力 应 等 值 反 向, 因 此, 二 斜 杆 均 为 零 杆 ; 图 -(b) 所 示 情 况, 在 反 对 称 荷 载 作 用 时, 与 对 称 轴 相 交 且 垂 直 的 杆 件, 先 将 该 杆 件 在 对 称 轴 处 切 开, 暴 露 出 的 轴 力 关 于 对 称 轴 是 对 称 的, 这 与 反 对 称 荷 载 作 用 的 对 称 性 结 论 矛 盾, 因 此 该 杆 件 的 轴 力 必 须 等 于 零, 也 即 为 零 杆 ; 图 -(b) 右 图 所 示 情 况, 在 反 对 称 荷 载 作 用 时, 轴 线 与 对 称 轴 重 合 的 杆 件, 其 中 轴 力 关 于 对 称 轴 也 是 对 称 的, 该 杆 件 轴 力 为 零 ( 也 可 从 其 他 杆 内 力 反 对 称, 故 在 对 称 轴 方 向 投 影 该 杆 轴 力 为 零 进 行 判 断 ), 即 为 零 杆 图 - 需 要 指 出 的 是, 分 析 桁 架 内 力 时, 应 首 先 分 析 并 确 定 单 杆 和 零 杆, 应 充 分 利 用 对 称 性 ( 对 非 对 称 荷 载 作 用 下 的 简 单 结 构, 不 一 定 用 ; 非 对 称 荷 载 作 用 下 的 对 称 复 杂 结 构, 先 将 荷 载 分 成 对 称 与 反 对 称 两 组, 再 分 别 利 用 对 称 性 ), 从 而 使 计 算 过 程 简 化 例 -11 试 求 图 -3(a) 所 示 桁 架 各 杆 轴 力 解 : 这 是 一 个 由 三 刚 片 规 则 组 成 的 复 杂 桁 架 水 平 支 座 链 杆 的 存 在, 使 结 构 成 为 非 对 称 为 了 利 用 对 称 性, 先 把 水 平 支 反 力 Ax ( 很 明 显 Ax = P ( )) 连 同 外 荷 载 P 一 起 分 解 为 对 称 与 反 对 称 的 两 组, 再 分 别 计 算 桁 架 在 这 两 组 荷 载 作 用 下 的 内 力, 最 后 将 两 组 内 力 叠 加 即 得 桁 架 的 最 后 内 力 (1) 对 称 荷 载 作 用 下 各 杆 内 力 ( 图 -3(b)) 结 构 在 对 称 荷 载 作 用 下 内 力 是 对 称 的, 即 对 称 轴 两 边 对 称 位 置 上 的 杆 内 力 数 值 相 等 符 号 相 同 由 整 体 平 衡 条 件 可 求 得 Ay = By =0 63

图 -3 结 点 : 由 对 称 性 条 件 和 K 结 点 的 性 质 可 知 NC 0 NE 结 点 C: 隔 离 体 如 图 -3 (c) 所 示, 列 x =0 P NCD 0, 得 NCD P 列 y =0 NCA NCD 0, 得 P NCA 结 点 A: 隔 离 体 如 图 -3 (d) 所 示, 列 y =0 64

P NAG 0, 得 NAG P 列 x =0 NA P NAG 0, 得 NA P 由 对 称 性 可 知 NDE NDC P, NEB P NCA, NB NA P 结 点 D: 隔 离 体 如 图 -3 (e) 所 示, 列 y =0 NDG NBG NGA P P 0, NDG P 将 对 称 荷 载 作 用 下 桁 架 各 杆 的 内 力 标 注 在 图 -3 (b) 相 应 杆 旁 () 反 对 称 荷 载 作 用 下 各 杆 内 力 ( 图 -3(f)) 由 反 对 称 性 的 条 件 可 知 与 对 称 轴 相 重 合 的 杆 DG 一 定 是 零 杆, 即 NDG = 0 由 于 该 杆 内 力 为 零, 则 结 点 G 就 成 为 不 受 荷 载 的 二 杆 结 点, 且 杆 GA 与 杆 GB 不 在 同 一 直 线 上, 可 知 NGA = NGB = 0 同 理 NDC = NDE =0 由 结 点 A C 的 平 衡 条 件 可 求 得 P P NAC, NA, NC P 由 反 对 称 性 可 知 NBE P NAC, NB P NA, NE NC P 将 反 对 称 荷 载 作 用 下 的 各 杆 内 力 标 注 在 图 -3 (f) 各 杆 旁 结 构 各 杆 内 力 为 上 述 两 组 内 力 之 和, 如 图 -3 (g) 所 示.3.4 桁 架 内 力 分 析 的 联 合 法 图 -4 (a) 所 示 桁 架 通 常 称 为 K 式 桁 架, 确 定 此 类 桁 架 斜 杆 轴 力 需 同 时 应 用 结 点 法 和 截 面 法 凡 需 同 时 应 用 结 点 法 和 截 面 法 才 能 确 定 杆 件 内 力 时, 统 称 为 联 合 法 求 解 65

例 -1 试 求 图 -4(a) 所 示 K 式 桁 架 中 杆 1 3 4 5 杆 的 轴 力 解 :(1) 由 整 体 平 衡 条 件 求 支 座 反 力 图 -4 Ay 3, 0, 3 P Ax By P () 取 隔 离 体, 求 杆 件 截 面 内 力 用 I-I 截 面 从 第 二 节 间 将 桁 架 截 开, 取 左 边 部 分 为 隔 离 体, 如 图 -4(b) 所 示 结 点 C 为 K 结 点 的 性 质 可 知 NCD (a) NC 列 y =0( sinα 1 5) 即 P NCD sinα NC sinα 3P P 0 NCD NC 3P 0 (b) 5 联 合 求 解 式 (a) 和 (b), 得 NCD 3 5 4 P 取 D 点 为 隔 离 体, 如 图 -4(c) 所 示 列 y =0 66

3 5 N 1 P sin α P 0 4 = P, 得 N1 4 用 II-II 截 面 从 第 三 节 间 将 桁 架 截 开, 取 左 边 部 分 隔 离 体 如 图 -4(d) 所 示 注 意, 结 点 E 也 是 K 结 点, 即 N3 = - N4, 二 者 对, 点 的 力 矩 等 值 反 向 列 M =0 列 x =0 P N a a P a 3P a 0, 得 N 4 N 5 N 4 P P 列 y =0 考 虑 N3 = - N4, 得 P N 3 sin α N 4 sin α 3P P P 0 N3 5 5 P, N 4 4 4 上 述 分 析 过 程 表 明, 如 果 要 求 1 杆 的 内 力, 应 先 确 定 相 邻 节 间 斜 杆 (D 点 左 节 间 斜 杆 ) 的 内 力, 然 后 再 用 结 点 法 ( 结 点 D) 求 解 需 要 注 意 的 是 : 本 节 例 题 都 是 平 面 桁 架 对 于 空 间 桁 架, 无 论 采 用 结 点 法 还 是 截 面 法, 己 知 力 与 未 知 力 都 将 组 成 空 间 力 系, 这 时 需 应 用 空 间 力 系 平 衡 方 程, 分 析 方 法 和 过 程 与 平 面 桁 架 相 同 空 间 桁 架 等 实 际 结 构 杆 件 很 多, 手 算 很 困 难, 因 此 目 前 都 用 计 算 机 进 行 分 析, 需 要 编 程 序 对 空 间 桁 架 进 行 计 算.3.5 各 类 平 面 梁 式 桁 架 的 比 较 桁 架 内 力 的 变 化 是 有 一 定 规 律 的 掌 握 这 些 规 律 对 于 设 计 时 为 各 种 建 筑 物 选 择 适 当 的 桁 架 形 式 很 有 意 义 通 过 对 桁 架 的 内 力 分 析 可 知, 弦 杆 的 外 形 对 桁 架 的 内 力 分 布 影 响 根 大 下 面 就 常 用 的 四 种 梁 式 桁 架 ( 平 行 弦 桁 架 三 角 形 桁 架 抛 物 线 形 桁 架 折 线 形 桁 架 ) 的 内 力 分 布 情 况 加 以 说 明 对 于 其 中 弦 杆 的 内 力 分 布 情 况, 可 按 其 计 算 内 力 的 公 式 N M r P 加 以 理 解 式 中 M 是 相 应 简 支 梁 上 对 应 点 的 弯 矩,r 是 内 力 N 对 矩 心 的 力 臂 在 图 -5(a) 所 示 荷 载 作 用 下, 相 应 简 支 梁 的 弯 矩 是 按 抛 物 线 规 律 变 化 的, 两 端 小 而 中 间 大 故 可 由 弯 矩 M 和 力 臂 r 的 变 化 情 况 来 讨 论 弦 杆 内 力 大 小 的 变 化 67

图 -5 在 平 行 弦 桁 架 中 ( 图 -5(b)), 其 弦 杆 的 力 臂 是 一 常 数, 因 此, 弦 杆 的 内 力 随 弯 矩 而 变 化, 即 两 端 小 而 中 间 大 对 于 腹 杆 的 内 力, 由 投 影 法 的 计 算 可 以 看 出, 其 竖 杆 的 内 力 及 斜 杆 的 竖 向 分 力 各 等 于 相 应 简 支 梁 上 所 对 应 节 间 剪 力, 故 它 们 分 别 向 中 间 递 减 在 三 角 形 桁 架 中 ( 图 -5(c)), 其 弦 杆 所 对 应 的 力 臂 是 由 两 端 向 中 间 按 直 线 变 化 递 增 由 于 力 臂 的 增 加 比 弯 矩 的 增 加 快, 因 而 弦 杆 的 内 力 是 从 两 端 向 中 间 递 减 至 于 其 腹 杆 的 内 力, 由 结 点 法 的 计 算 可 以 看 出, 各 竖 杆 及 斜 杆 的 内 力 都 是 分 别 由 两 端 向 中 间 增 加 的 在 抛 物 线 形 桁 架 中 ( 图 -5(d)), 其 竖 杆 的 长 度 像 弯 矩 那 样, 都 是 按 抛 物 线 规 律 变 化, 二 者 的 增 减 速 度 相 同 由 力 矩 法 可 知, 下 弦 杆 的 内 力 和 上 弦 杆 的 水 平 分 力 各 等 于 其 矩 心 处 相 应 的 弯 矩 除 以 该 处 的 竖 杆 长 度 因 此, 下 弦 杆 的 内 力 以 及 各 上 弦 杆 的 水 平 分 力 都 大 小 相 等, 从 而 上 弦 杆 的 内 力 也 近 乎 相 等, 且 斜 杆 的 内 力 为 零 这 样, 如 果 是 下 弦 结 点 受 荷, 则 各 竖 杆 的 内 力 都 等 于 下 弦 结 点 上 所 作 用 的 荷 戟 ; 如 果 是 上 弦 受 荷, 则 竖 杆 为 零 杆 68

从 这 三 种 桁 架 的 内 力 分 布 情 况, 可 以 得 出 如 下 结 论 : (1) 三 角 形 桁 架 的 内 力 分 布 不 均 匀, 其 弦 杆 的 内 力 近 支 座 处 最 大, 这 使 得 每 一 个 节 间 的 弦 杆 要 改 变 截 面, 因 而 增 加 拼 接 的 困 难 ; 如 采 用 相 同 截 面, 则 造 成 材 料 的 浪 费 此 外, 端 结 点 构 造 复 杂, 制 造 困 难, 这 是 因 为 弦 杆 在 端 点 处 形 成 锐 角, 且 其 内 力 很 大 但 因 其 两 面 斜 坡 的 外 形 符 合 普 通 粘 土 瓦 屋 面 对 坡 度 的 要 求, 所 以 在 跨 度 较 小 坡 度 较 大 的 屋 盖 结 构 中 多 采 用 三 角 形 桁 架 () 平 行 弦 桁 架 的 内 力 分 布 也 不 均 匀, 弦 杆 内 力 向 跨 度 中 间 增 加, 因 而 各 节 间 弦 杆 截 面 不 一, 增 加 拼 接 的 困 难 ; 如 采 用 相 同 截 面, 则 浪 费 材 料 但 由 于 它 在 构 造 上 有 许 多 优 点, 例 如, 可 使 结 点 构 造 划 一, 腹 杆 标 准 化 等, 因 而 仍 得 到 广 泛 的 应 用 不 过, 多 限 于 轻 型 桁 架, 这 样 便 于 采 用 相 同 截 面 的 弦 杆, 而 不 致 有 很 大 的 浪 费 厂 房 中 多 用 于 1m 以 上 的 吊 车 梁, 桥 梁 中 多 用 于 50m 以 下 的 跨 度 (3) 抛 物 线 形 桁 架 的 内 力 分 布 均 匀, 在 材 料 使 用 上 最 为 经 济 但 其 上 弦 杆 在 每 一 节 间 的 倾 角 都 不 相 同, 结 点 构 造 较 为 复 杂, 施 工 不 便 在 大 跨 度 的 结 构 中, 例 如 l00~l50m 的 桥 粱 和 l8~30m 的 屋 架, 节 约 材 料 的 意 义 较 大, 常 被 采 用 (4) 我 国 近 年 来 常 采 用 折 线 形 桁 架 其 特 点 是 端 节 间 的 上 弦 坡 度 较 三 角 形 桁 架 为 大, 而 在 斜 坡 一 侧 的 其 他 上 弦 杆 则 仍 在 一 直 线 上 且 坡 度 较 小 这 种 桁 架 的 受 力 性 能 接 近 抛 物 线 形 桁 架 ( 如 图 -5(e) 所 示 ) 又 避 免 了 上 弦 杆 转 折 太 多 的 缺 点, 施 工 制 造 方 便, 又 能 满 足 使 用 要 求 因 此, 在 中 等 跨 度 (18 ~4m) 的 厂 房 中 得 到 广 泛 使 用.4 重 心.4.1 重 心 的 概 念 在 地 球 附 近 的 物 体 都 受 到 地 心 的 引 力 作 用, 即 物 体 的 重 力 ; 若 将 重 物 分 割 成 许 多 微 小 的 物 块, 则 每 一 微 小 的 物 块 都 受 到 重 力 作 用, 重 力 的 方 向 指 向 地 球 中 心, 这 些 分 布 于 不 同 位 置 上 的 重 力 组 成 了 一 个 分 布 力 系 对 于 工 程 中 一 般 形 状 的 物 体, 这 种 分 布 的 重 力 可 足 够 精 确 地 视 为 空 间 平 行 力 系, 一 般 所 谓 重 力, 就 是 这 个 空 间 平 行 力 系 的 合 力 不 变 形 的 物 体 ( 刚 体 ) 在 地 球 表 面 无 论 怎 样 放 置, 其 平 行 分 布 重 力 的 合 力 作 用 线, 都 通 过 该 物 体 上 一 个 确 定 的 点, 这 一 点 称 为 物 体 的 重 心 重 心 在 工 程 实 际 中 具 有 重 要 的 意 义 如 重 心 的 位 置 会 影 响 物 体 的 平 衡 和 稳 定, 对 于 飞 机 和 船 舶 尤 为 重 要 ; 高 速 转 动 的 转 子, 如 果 转 轴 不 通 过 重 心, 将 会 引 起 强 烈 的 振 动, 甚 至 引 起 破 坏 69

图 -6 如 图 -1 所 示, 设 一 物 体 的 总 重 量 为 G, 现 将 物 体 分 割 成 许 多 微 小 的 物 块, 每 一 个 小 块 体 受 重 力 G i (i=1,,,n) 的 作 用, 各 分 重 力 形 成 了 空 间 平 行 力 系 利 用 平 行 力 系 中 心 的 概 念 不 难 理 解, 该 平 行 力 系 的 合 力 即 为 物 体 得 重 力, 其 大 小 为.4. 重 心 坐 标 公 式 G G i 将 物 体 分 割 成 许 多 微 单 元, 每 微 单 元 体 积 为 V i, 所 受 重 力 为 P i 取 空 间 直 角 坐 标 系 Oxyz, 使 得 z 坐 标 轴 与 物 体 的 各 微 单 元 平 行, 如 图 -19 所 示 设 任 一 微 单 元 的 坐 标 为 (x i,y i,z i ) 重 心 C 的 坐 标 为 (x c,y c,z c ) 根 据 合 力 矩 定 理, 对 x 轴 取 矩, 有 再 对 y 轴 取 矩, 有 Py P y P y... P y P y c 1 1 n n i i Px Px P x... P x Px c 1 1 n n i i 为 求 坐 标 z c, 由 于 重 心 在 物 体 内 占 有 确 定 的 位 置, 可 将 物 体 M, 连 同 坐 标 系 Oxyz 一 起 绕 x 轴 顺 时 针 转 90, 使 y 轴 向 下, 这 样 各 重 力 P i 及 其 合 力 P 都 与 y 轴 平 行 这 也 相 当 于 将 各 重 力 及 其 合 力 相 对 于 物 体 按 逆 时 针 方 向 转 90, 使 之 与 y 轴 平 行, 如 图 -19 中 虚 线 箭 头 所 示 这 时, 再 对 x 轴 取 矩, 得 Pz Pz P z... P z Pz 由 以 上 三 式 可 得 计 算 重 心 坐 标 的 公 式, 即 c 1 1 n n i i n n n Px P y Pz x y z P P P i i i i i i i1 i1 i1 c n c n c n i i i i1 i1 i1 (-) 70

物 体 分 割 得 越 多, 即 每 一 小 块 体 积 越 小, 则 按 式 (-) 计 算 的 重 心 位 置 愈 准 确 在 极 限 情 况 下 可 用 积 分 计 算 如 果 物 体 是 均 质 的, 单 位 体 积 的 重 量 为 γ= 常 值, 以 V i 表 示 微 小 体 积, 物 体 总 体 积 为 V=V i 将 P i = γv i 代 入 式 (-), 得 n n n n n n X V X V yv yv z V z V x y z V V V V V V i i i i i i i i i i i i i1 i1 i1 i1 i1 i1 c n c n c n i i i i1 i1 i1 (-3) 上 式 的 极 限 为 x c xdv v V, y c ydv v V, z c zdv v V (-4) 图 -7 可 见, 均 质 物 体 的 重 心 与 其 单 位 体 积 的 重 量 ( 比 重 ) 无 关, 仅 决 定 于 物 体 的 形 状 这 时 的 重 心 称 为 体 积 的 重 心 工 程 中 常 采 用 薄 壳 结 构, 例 如 厂 房 的 顶 壳 薄 壁 容 器 飞 机 机 翼 等, 其 厚 度 与 其 表 面 积 相 比 是 很 小 的, 如 图 -7 所 示 若 薄 壳 是 均 质 等 厚 的, 则 其 重 心 公 式 为 : xs xc S ys yc S zs zc S i i s i i s i i s xds S yds S zds S (-5) 这 时 的 重 心 称 为 面 积 的 重 心 曲 面 的 重 心 一 般 不 在 曲 面 上, 而 相 对 于 曲 面 位 于 确 定 的 一 点 如 果 物 体 是 均 质 等 截 面 的 细 长 线 段, 其 截 面 尺 寸 与 其 长 度 l 相 比 是 很 小 的, 如 图 -8 所 示 则 其 重 心 公 式 为 71

图 -8 xl xc L yl yc L zl zc L i i L i i L i i L xdl L ydl L zdl L (-6) 这 时 的 重 心 称 为 线 段 的 重 心, 曲 线 的 重 心 一 般 不 在 曲 线 上 由 (-3),(-4),(-5), (-6) 可 知, 均 质 物 体 的 重 心 就 是 几 何 中 心, 通 常 也 称 形 心.4.3 确 定 物 体 重 心 的 方 法 一 查 表 法 简 单 形 状 均 质 体 得 重 心 位 置 可 从 有 关 的 工 程 手 册 中 查 到 查 表 - 是 常 见 的 简 单 形 状 均 质 体 重 心 的 位 置 表 - 图 形 面 ( 或 体 ) 积 重 心 三 角 形 7

梯 形 ( 在 上 下 底 中 间 的 连 线 上 ) 半 圆 扇 形 圆 弧 弧 长 长 方 形 73

正 圆 锥 体 正 圆 柱 体 例 -13 试 求 图 -9 所 示 半 径 为 R 圆 心 角 为 α 的 扇 形 面 积 的 重 心 图 -9 解 : 取 中 心 角 的 平 分 线 为 y 轴 由 于 对 称 关 系, 重 心 必 在 这 个 轴 上, 即 x c =0, 现 在 只 需 求 出 y c 把 扇 形 面 积 分 成 无 数 无 穷 小 的 面 积 素 ( 可 看 作 三 角 形 ) 每 个 小 三 角 形 的 重 心 都 在 距 顶 点 O 为 3 R 处 任 一 位 置 θ 处 的 微 小 面 ds 形 总 面 积 为 由 形 心 坐 标 公 式 (-30), 可 得 y c 1 R d S ds 1 R d R 1 yds R cos R d 3 sin R S R 3, 其 重 心 的 y 坐 标 为 y Rcos 扇 3 74