第 二 章 内 力 与 内 力 图
Chapter Two Internal orces and Their Diagrams
本 章 基 本 要 求 2.1 内 力 定 义 和 符 号 规 定 2.2 内 力 方 程 及 内 力 图 2.3 梁 的 平 衡 微 分 方 程 及 其 应 用 2.4 用 奇 异 函 数 求 剪 力 弯 矩 方 程 本 章 内 容 小 结
S 2-2, S 4-2, 第 五 章 pp. 271 ~ 310
本 章 基 本 要 求 准 确 理 解 杆 件 内 力 的 定 义 和 符 号 规 定 能 利 用 截 面 法 迅 速 求 出 指 定 截 面 的 内 力 能 利 用 梁 的 平 衡 微 分 关 系 熟 练 画 出 梁 的 剪 力 弯 矩 图 ; 能 正 确 画 出 刚 架 的 内 力 图 能 正 确 运 用 奇 异 函 数 写 出 梁 的 弯 矩 方 程
2.1 内 力 ( internal forces ) 定 义 和 符 号 规 定 1. 内 力 的 定 义 内 力 是 分 布 力 系 但 是 可 以 将 复 杂 的 分 布 力 系 简 化 为 形 心 上 的 主 矢 和 主 矩 这 种 主 矢 和 主 矩 对 于 该 横 截 面 引 起 何 种 变 形 效 应?
2.1 内 力 ( internal forces ) 定 义 和 符 号 规 定 1. 内 力 的 定 义 z 主 矢 轴 力 N ( aial force ) y 剪 力 Sy ( shearing force ) y z y y z y z 剪 力 Sz 主 矩 扭 矩 T ( torue ) y y 弯 矩 y ( bending moment ) z z 弯 矩 z
2. 杆 件 内 力 与 变 形 的 关 系 拉 压 轴 力 N 扭 转 扭 矩 T 剪 切 剪 力 S 弯 曲 弯 矩
3. 内 力 的 符 号 规 定 在 一 个 横 截 面 的 两 侧, 轴 力 的 方 向 是 相 反 的 应 该 用 什 么 方 式 来 确 定 轴 力 和 其 它 内 力 的 符 号? 内 力 符 号 规 定 的 原 则 在 一 个 横 截 面 上, 同 一 种 内 力 只 能 有 唯 一 的 符 号 内 力 的 符 号 是 根 据 它 所 引 起 杆 件 的 变 形 趋 势 规 定 的
轴 力 的 正 号 轴 力 的 负 号 使 微 元 区 段 有 伸 长 趋 势 的 轴 力 为 正
扭 矩 的 正 号 扭 矩 的 负 号 使 微 元 区 段 表 面 纵 线 有 变 为 右 手 螺 旋 线 趋 势 的 扭 矩 为 正
剪 力 的 正 号 剪 力 的 负 号 使 微 元 区 段 有 左 上 右 下 错 动 趋 势 的 剪 力 为 正
弯 矩 的 正 号 弯 矩 的 负 号 使 微 元 区 段 有 变 凹 趋 势 的 弯 矩 为 正
2.2 内 力 方 程 及 内 力 图 用 截 面 法 求 内 力 方 程 依 据 杆 件 整 体 平 衡 时, 它 的 任 何 一 个 局 部 也 平 衡 y 0, 0, 0 z 0, 0, y z 0 在 杆 件 的 任 意 局 部 区 段 中, 所 有 外 力 与 内 力 构 成 平 衡 力 系
方 法 和 步 骤 1) 先 求 出 约 束 反 力 2) 在 指 定 的 位 置, 想 象 用 一 个 截 面 将 杆 件 切 开 留 下 一 部 份 作 为 研 究 对 象, 舍 去 另 一 部 份 舍 去 部 份 对 留 下 部 份 的 作 用 就 是 内 力 一 般 可 将 这 种 内 力 作 用 的 方 向 假 设 为 正 内 力 方 向 3) 留 下 部 份 的 所 有 内 力 外 力 ( 包 括 约 束 反 力 ) 按 照 理 论 力 学 的 符 号 规 定 建 立 力 或 力 矩 的 平 衡 方 程 式 4) 求 解 方 程 即 可 得 内 力 若 所 得 内 力 为 负 值, 表 明 实 际 内 力 方 向 与 设 想 方 向 相 反
例 如 图 的 塔 的 材 料 密 度 为 ρ, 塔 中 了 望 台 总 重, 塔 外 径 为 D, 内 径 为 d, 求 横 截 面 上 的 轴 力 h H ρ g h N1 N2 H 1 2 2 A π ( D d ) 4 0 < h h 1 2 N1 2 + ( D d ) π ρ g 0 4 1 2 ) N1 2 ( D d π ρ g 4 < H 1 2 N2 2 + ( D d ) π ρ g + 0 4 1 2 N2 ) 2 ( D d π ρ g 4
例 如 图 的 塔 的 材 料 密 度 为 ρ, 塔 中 了 望 台 总 重, 塔 外 径 为 D, 内 径 为 d, 求 横 截 面 上 的 轴 力 h ρ g h 轴 力 图 N H H 1 2 2 ( D d ) π ρ gh h 4 1 2 2 ( D d ) π ρ gh H 4 1 2 2 0 < h ( D d ) π ρ g N1 4 1 2 2 h < H N2 ( D d ) π ρ g 4
例 使 用 丝 锥 时 每 手 用 力 10N, 假 定 各 锥 齿 上 受 力 相 等, 试 画 出 丝 锥 的 扭 矩 图 作 用 在 丝 锥 顶 部 的 力 偶 矩 2 150 10 3000 N mm 作 用 在 齿 部 的 平 均 力 偶 矩 150 40 20 3000 20 150 N 计 算 模 型 如 图 T 画 出 扭 矩 图 3000 40 60
例 求 简 支 梁 承 受 均 布 荷 载 的 内 力 方 程, 并 画 出 相 应 的 剪 力 图 和 弯 矩 图 y S l l / l 2 / 2 l / 2 0 y 1 l S ( ) 0 2 1 ( l 2 S ) 结 论 直 梁 某 个 横 截 面 上 的 剪 力, 其 数 值 等 于 该 截 面 左 端 ( 或 右 端 ) 全 部 横 向 力 ( 包 括 支 反 力 ) 的 代 数 和
例 求 简 支 梁 承 受 均 布 荷 载 的 内 力 方 程, 并 画 出 相 应 的 剪 力 图 和 弯 矩 图 y l / 2 S l 0 y 1 l S ( ) 0 2 1 ( l 2 S ) 结 论 直 梁 某 个 横 截 面 上 的 剪 力, 其 数 值 等 于 该 截 面 左 端 ( 或 右 端 ) 全 部 横 向 力 ( 包 括 支 反 力 ) 的 代 数 和
例 求 简 支 梁 承 受 均 布 荷 载 的 内 力 方 程, 并 画 出 相 应 的 剪 力 图 和 弯 矩 图 y l / 2 S l S m 0 1 l 2 1 1 2 l + ( ) 0 2 2 1 ( ) ( l ) 2 结 论 直 梁 某 个 横 截 面 上 的 弯 矩, 其 数 值 等 于 该 截 面 左 端 ( 或 右 端 ) 全 部 力 偶 矩 以 及 全 部 作 用 力 ( 包 括 支 反 力 ) 对 该 截 面 矩 的 代 数 和
例 求 简 支 梁 承 受 均 布 荷 载 的 内 力 方 程, 并 画 出 相 应 的 剪 力 图 和 弯 矩 图 y l / 2 S l S m 0 1 l 2 1 1 2 l + ( ) 0 2 2 1 ( ) ( l ) 2 结 论 直 梁 某 个 横 截 面 上 的 弯 矩, 其 数 值 等 于 该 截 面 左 端 ( 或 右 端 ) 全 部 力 偶 矩 以 及 全 部 作 用 力 ( 包 括 支 反 力 ) 对 该 截 面 矩 的 代 数 和
例 y 求 简 支 梁 承 受 均 布 荷 载 的 内 力 方 程, 并 画 出 相 应 的 剪 力 图 和 弯 矩 图 l / 2 l / 2 S S l l 2 / 8 l / 2 S 1 l 2 1 ( l ) 2 动 脑 又 动 笔 将 弯 矩 和 剪 力 分 别 对 求 导 由 此 能 得 到 什 么 启 示?
动 脑 又 动 笔 下 列 各 截 面 上 的 剪 力 为 多 少? 3kN 3kN 3 1 0 3 ( kn ) 1m 1m 1m 1m 3kN/ m 2kN m 2. 75 2. 75 3. 25 3. 25 ( kn ) 3.25 kn 2m 1m 1 1 1 3 3 ( kn )
动 脑 又 动 笔 下 列 各 截 面 上 的 弯 矩 为 多 少? a 2 a 2 a 2 a 2 L L
动 脑 又 动 笔 下 列 各 截 面 上 的 弯 矩 为 多 少? 3kN/ m 2kN m 3kN 3kN 2m 1m 1m 1m 1m 1m. 5, 0. 5, 3. 5 3. 5 ( kn m ) 0, 3, 6, 3 ( kn m ) 0 2kN 2kN m 2kN 0.5m 1m 1m 1m 1m 1m 1m, 0, 1, 1 ( kn m ) 2, 1, 0. 5, 0. 5 ( kn m ) 1
m 1 3 knm kn m A R A 4 kn 3 kn/m L 2 S m R B 2 kn m 2 1 kn m knm B 例 用 截 面 法 求 图 示 梁 的 剪 力 方 程 和 弯 矩 方 程, 求 弯 矩 的 极 值, 画 出 剪 力 弯 矩 图 由 平 衡 方 程 求 出 支 座 反 力 以 A 点 为 坐 标 原 点, 在 坐 标 为 处 将 梁 截 开 R A S 0 R A 4 3 S 1 2 m R + + 0 1 A 2 弯 矩 极 值 d d 4 3 0 1 A 2 2 m + 1 R 2 3 + 4 1. 5 4 3 ma 3 + 4 1. 5 0. 33 kn m
m 1 3 kn m A 3 kn/m L 2 m m 2 1 kn m B 4 3 S 3 + 4 1. 5 2 S 根 据 方 程 画 出 剪 力 4 kn 图 和 弯 矩 图 0.33 kn m 2 kn 最 大 正 弯 矩 出 现 在 距 左 端 1.3 m 处, 其 值 为 0.33 kn m 3 kn m 1 kn m 最 大 负 弯 矩 出 现 在 左 端 处, 其 值 为 3 kn m
例 计 算 图 示 四 分 之 一 圆 形 梁 的 内 力 R 弯 矩 轴 力 R ( 1 cos α ) cosαα N α 剪 力 sinαα S 动 脑 又 动 笔 计 算 图 弯 矩 R sinαα R α 示 四 分 之 一 圆 形 梁 的 内 力 轴 力 剪 力 sinαα N S cosαα
2.3 梁 的 平 衡 微 分 方 程 及 其 应 用 如 何 画 出 如 图 结 构 的 剪 力 图 和 弯 矩 图? a 2 / 2 a a a a 需 要 分 段 写 出 剪 力 方 程 和 弯 矩 方 程
控 制 面 a 2 / 2 a 分 布 荷 载 的 起 始 点 和 结 束 点 构 成 控 制 面 a a a 集 中 力 或 集 中 力 偶 矩 作 用 处 的 左 侧 面 和 右 侧 面 构 成 控 制 面 S a 两 个 控 制 面 之 间 的 荷 载 : 分 布 荷 载 ( 包 括 荷 载 为 零 ) a 集 中 力 集 中 力 偶 矩 两 个 控 制 面 之 间 的 图 形 : a 2 / 2 a 2 直 线 曲 线 跃 变
2.3.1 梁 的 平 衡 微 分 方 程 ( differential euations of euilibrium ) S m 0 d +d S +d S y 0 d S d 二 阶 小 量 + d ( + d ) 0 S S S 1 2 d + d d ( d ) 0 S S 2 d 重 要 公 式 d d S S d d
分 析 和 讨 论 d 导 出 方 程 d S 和 S 时 考 虑 了 什 么 外 荷 载? d d 如 果 有 其 它 类 形 的 外 荷 载 该 如 何 处 理? 试 导 出 下 列 情 况 的 平 衡 微 分 方 程 t t d N d h t t d N d d ht d
控 制 面 AB 之 间 只 有 分 布 荷 载 作 用 () d S d B S ( B) S ( A) + ( ) d A A B d S d B ( B ) ( A ) + S ( )d A 重 要 结 论 直 梁 B 截 面 上 的 弯 S S 矩, 等 于 A 截 面 上 的 弯 矩 与 AB 区 间 内 剪 力 图 的 面 积 的 代 数 和 A S B
剪 力 弯 矩 图 的 规 律 均 布 荷 载 A a B 直 线 A S S B a 二 次 抛 物 线 A S B 剪 力 图 线 穿 过 横 轴 : S 出 现 极 值 A B A B
2.3.2 梁 承 受 集 中 荷 载 的 情 况 集 中 力 m + 0 y S+ + S S S + S S Δ 集 中 力 的 作 用 使 剪 力 在 其 作 用 处 产 生 一 个 增 量, 增 量 的 幅 度 就 是 小 量 m 0 + 1 S Δ Δ 0 2 集 中 力 作 用 处 弯 矩 值 是 连 续 的 +
2.3.2 梁 承 受 集 中 荷 载 的 情 况 集 中 力 m + 剪 力 弯 矩 图 规 律 S S + S 集 中 力 作 用 处 弯 矩 图 是 光 滑 的 吗? S+ + S S A 剪 力 图 产 生 跃 变 A 弯 矩 图 产 生 尖 角
2.3.2 梁 承 受 集 中 荷 载 的 情 况 集 中 力 偶 矩 m m + 0 y S + S S + S S Δ 集 中 力 偶 矩 作 用 处 剪 力 值 小 是 量 连 续 的 m 0 + + Δ m 0 S m 集 中 力 偶 矩 m 的 作 用 使 弯 矩 在 其 作 用 处 产 生 一 个 增 量, 增 量 的 幅 度 就 是 m
2.3.2 梁 承 受 集 中 荷 载 的 情 况 集 中 力 偶 矩 m m + S + S 剪 力 弯 矩 图 规 律 集 中 力 偶 矩 作 用 处 剪 力 图 是 光 滑 的 吗? 集 中 力 偶 矩 作 用 S 处 剪 力 图 是 光 滑 的 吗? m + m + m A 剪 力 图 不 受 影 响 A 弯 矩 图 产 生 跃 变
2.3.3 根 据 外 荷 载 画 剪 力 弯 矩 图 如 何 利 用 荷 载 剪 力 和 弯 矩 之 间 的 关 系 不 经 建 立 剪 力 弯 矩 方 程 而 直 接 画 出 剪 力 弯 矩 图? 悬 臂 梁 m L L L L m L L 2 / 2
简 支 梁 m a/ 2 a/ 2 a a/ 2 a/ 2 / 2 a/ 2 m/ a a/4 a 2 / 8 m/ 2 荷 载 形 式 剪 力 图 和 弯 矩 图 之 间 的 关 系
剪 力 图 弯 矩 图 S 0 C 0 S > 0 均 布 力 S < <00 > 0 < 0
剪 力 图 弯 矩 图 向 上 跃 变 集 中 力 向 下 跃 变 集 中 力 顺 时 针 不 受 影 响 向 上 跃 变 m 偶 矩 m 逆 时 针 不 受 影 响 向 下 跃 变 m
例 画 出 梁 的 剪 力 弯 矩 图 l l/ 2 l/ 2 S l/ 2 l/ 2
例 画 出 梁 的 剪 力 弯 矩 图 S 3a/8 a/ 2 a/ 2 3a/ a/ 8 a/ 8 3a/ a/ 8 a/8 9a a 2 / 128
例 画 出 梁 的 剪 力 弯 矩 图 a 2 S 3a/ a/ 2 2a a 3a/ a/ 2 a/ 2 3a/ a/ 2 a/ 2 9a a 2 / 8 a 2
根 据 外 荷 载 直 接 画 剪 力 图 弯 矩 图 的 要 点 : 1) 首 先 求 出 支 反 力 及 支 反 力 偶 矩 求 出 之 后, 支 反 力 及 力 偶 矩 便 与 外 荷 载 同 等 看 待 2) 一 般 应 从 左 到 右 地 依 次 画 出 连 续 的 图 线 应 根 据 荷 载 剪 力 弯 矩 之 间 的 微 分 关 系 明 确 图 线 的 走 向 3) 图 形 最 右 端 的 结 束 点 应 该 在 横 轴 上 4) 注 意 标 出 图 形 峰 点 局 部 极 值 点 的 数 值
动 脑 又 动 笔 a a a a a a S S a a a
例 画 出 梁 的 剪 力 弯 矩 图 a 2a a a 结 构 对 称 荷 载 对 称 S a a 剪 力 图 反 对 称 弯 矩 图 对 称 2 a / 2
例 画 出 梁 的 剪 力 弯 矩 图 a/ a a 2 a/ 2 a/ 2 S a/ 2 a/ 2 结 构 对 称 荷 载 反 对 称 剪 力 图 对 称 a 2 / 8 弯 矩 图 反 对 称 a 2 / 8
加 快 画 图 速 度 的 若 干 技 巧 * 在 铰 连 接 处, 如 果 没 有 集 中 力 偶 矩 作 用, 其 弯 矩 应 为 零 * 在 自 由 端 处, 如 果 没 有 集 中 力 作 用, 其 剪 力 应 为 零 ; 如 果 没 有 集 中 力 偶 矩 作 用, 其 弯 矩 应 为 零 * 对 称 结 构 承 受 对 称 荷 载, 其 剪 力 图 反 对 称, 弯 矩 图 对 称 * 对 称 结 构 承 受 反 对 称 荷 载, 其 剪 力 图 对 称, 弯 矩 图 反 对 称
例 画 出 带 中 间 铰 的 梁 的 剪 力 弯 矩 图 a 2 / 2 S a / 2 a/ 2 a a / 2 a / 2 a a / 2 先 考 虑 右 半 部 的 平 衡 再 考 虑 左 半 部 的 平 衡 a 2 / 8 a/ 2 a 2 / 2
例 画 出 带 中 间 铰 的 梁 的 剪 力 弯 矩 图 a a a / 2 / 2 / 2 / 2 a/ 2 / 2 / 2 a/ 2 a/ 2
例 画 出 带 中 间 铰 的 梁 的 剪 力 弯 矩 图 分 析 和 讨 论 a a a a 荷 载 作 用 在 中 间 铰 处, 在 左 端 铰 处 引 起 支 反 力 吗? 在 左 半 部 引 起 内 力 吗? 在 左 半 部 引 起 变 形 吗? 在 左 半 部 引 起 位 移 吗? a
例 画 出 带 中 间 铰 的 梁 的 剪 力 弯 矩 图 m m a a a m m m/ 2a m m/ 2a m/ 2a m/ 2a m/ 2 m/ 2a m m m/ 2a m/2a m 3m/2 m/ 2a m/ 2a 3m/ m/ 2
例 改 正 剪 力 弯 矩 图 的 错 误 a 2 a/4 S a/4 a a 2a 7a/4 5a a 2 / 4 3a a 2 / 2 7a/4 a 2 / 4
分 析 和 讨 论 如 果 已 知 剪 力 图, 可 以 完 全 确 定 弯 矩 图 吗? 在 把 约 束 视 为 外 荷 载 的 前 提 下, 已 知 剪 力 图, 可 以 完 全 确 定 荷 载 图 吗? 如 果 已 知 弯 矩 图, 可 以 完 全 确 定 剪 力 图 吗? 在 把 约 束 视 为 外 荷 载 的 前 提 下, 已 知 弯 矩 图, 可 以 完 全 确 定 荷 载 图 吗?
例 根 据 剪 力 图 画 荷 载 图 和 弯 矩 图 ( 无 集 中 力 偶 矩 作 用 ) 4kN 1kN/m 3kN 2kN 3kN S 3kN 1kN 1kN 2m 2m 4m 3kN 6 kn m 4 kn m 4.5 kn m
例 根 据 弯 矩 图 画 剪 力 图 荷 载 图 2kN 3kN m 1kN m 1kN 1kN S 1kN 1kN 1m 3m 1kN m 1m 1kN m 2kN m
2.3.4 简 单 刚 架 ( frame ) 的 内 力 图 铰 刚 结 点 平 面 刚 架 的 内 力 图 应 包 含 轴 力 图 剪 力 图 和 弯 矩 图 画 刚 架 内 力 图 时, 观 察 者 进 入 刚 架 之 内, 以 刚 架 轮 廓 为 坐 标 横 轴, 从 左 到 右 逐 段 画 出 画 内 力 图 时, 一 般 以 刚 架 外 侧 为 正, 内 侧 为 负 应 标 出 图 形 正 负 号
例 a a a a N S
例 a a a a N S
例 3a/ a/ 2 a a a 2 / 2 a 3a/ a/ 2 3a/ a/ 2 a 2 a 3a a / 2 a 2 / 2 N S 3a/ a/ 2 a
例 a 2 / 2 3a/ a/ 2 3a/ a/ 2 a a a 2 / 2 3a/ a/ 2 a 2 a 3a/ a/ 2 3a/ a/ 2 a 2 a 3a a / 2 a 2 a 2 / 2 N S 3a/ a/ 2 a 2 3a/ a/ 2 a
例 a 2 / 2 a 2 3a/ 3a/ 2 a a 3a/ a/ 2 a 2 a a 2 a 2 3a/ a/ 2 3a/ a/ 2 3a/ a/ 2 a 2 / 2 N S 3a/ a/ 2 a 2 3a/ a/ 2 3a/ a/ 2 a
动 脑 又 动 笔 画 出 结 构 的 内 力 图 N S a a N S a N S
分 析 和 讨 论 刚 结 点 处 力 的 平 衡 有 什 么 特 点? S N S 刚 结 点 处 弯 矩 图 有 什 么 特 点? 同 侧 N 相 等 注 意 : 这 些 规 律 只 是 在 刚 结 点 处 无 集 中 荷 载 时 适 用
内 力 的 基 本 概 念 本 章 内 容 小 结 杆 件 某 截 面 上 的 轴 力 扭 矩 剪 力 弯 矩 是 截 面 截 开 并 移 走 部 份 对 留 下 部 份 的 作 用, 是 截 面 形 心 处 的 主 矢 和 主 矩 内 力 的 符 号 是 根 据 它 所 引 起 杆 件 的 变 形 趋 势 规 定 的
用 截 面 法 求 内 力 一 般 总 是 先 假 设 所 求 内 力 为 正, 再 用 理 论 力 学 的 符 号 规 定 建 立 所 有 内 外 力 ( 或 矩 ) 的 平 衡 方 程 如 果 所 选 择 的 脱 离 体 包 含 支 座, 必 须 先 求 支 反 力 直 梁 某 个 横 截 面 上 的 剪 力, 其 数 值 等 于 该 截 面 左 端 ( 或 右 端 ) 全 部 横 向 力 ( 包 括 支 反 力 ) 的 代 数 和 直 梁 某 个 横 截 面 上 的 弯 矩, 其 数 值 等 于 该 截 面 左 端 ( 或 右 端 ) 全 部 力 偶 矩 以 及 全 部 作 用 力 ( 包 括 支 反 力 ) 对 该 截 面 矩 的 代 数 和
梁 的 平 衡 微 分 方 程 S d +d S +d S d d S d S d 上 述 方 程 是 只 考 虑 横 向 分 布 力 情 况 下 导 出 的 如 果 有 其 它 类 型 的 荷 载, 则 应 另 行 推 导 横 向 集 中 力 作 用 处, 剪 力 产 生 跃 变, 弯 矩 产 生 不 光 滑 点 集 中 力 偶 矩 作 用 处, 弯 矩 产 生 跃 变 根 据 外 荷 载 画 剪 力 弯 矩 图 必 须 首 先 正 确 求 出 支 反 力, 应 对 支 反 力 本 身 进 行 校 核
剪 力 弯 矩 图 应 与 横 轴 构 成 封 闭 图 形, 可 用 最 右 端 的 支 反 力 作 为 校 核 图 形 是 否 正 确 的 手 段 注 意 铰 自 由 端 等 特 殊 截 面 的 剪 力 和 弯 矩 的 特 点 注 意 利 用 对 称 性 和 反 对 称 性 特 点 提 高 画 图 速 度 刚 架 内 力 图 刚 架 内 力 图 应 包 括 轴 力 图 剪 力 图 和 弯 矩 图 画 简 单 刚 架 内 力 图 时, 以 刚 架 外 侧 为 正, 内 侧 为 负 应 从 左 到 右 逐 段 画 出, 注 意 刚 结 点 处 的 内 力 相 依 关 系
本 章 内 容 结 束