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第 九 届 全 国 周 培 源 大 学 生 力 学 竞 赛 试 题 参 考 答 案 出 题 学 校 : 第 题 (5 分 ) 75g () ω () O O G Eb 第 题 (5 分 ) π σ d σ d () [].65 n n () 不 会 波 动, 证 明 见 详 细 解 答 () 可 以, 许 用 荷 载 最 多 可 提 高 76.7% 第 题 (5 分 ) () α, α arccs () 5 () 长 度 小 于 mm 的 杆 水 平 放 置 的 平 衡 是 稳 定 的 长 度 大 于 mm 的 杆 水 平 放 置 的 平 衡 是 不 稳 定 的, 处 于 角 度 α arccs 上 的 平 衡 是 稳 定 的 第 题 ( 分 ) 95Eπd ε ma () 58 () 可 以, 原 因 见 详 细 解 答 () 除 了 温 度 补 偿 片, 至 少 还 应 该 贴 个 应 变 片 J 截 面 的 上 顶 点 处 沿 轴 向 贴 一 个 应 变 片 ε (), 另 外 两 个 应 变 片 ε () 和 ε () 应 该 贴 在 J 截 面 水 平 直 径 的 两 端 处, 并 沿 着 与 轴 线 成 5 夹 角 的 方 向 Eπ d ( ε () + ε () ) Eπd ( ε () ε () ) 上 粘 贴 M J Eπd ε (), T J, S J ( + ν ) ( + ν ) 第 5 题 (5 分 ) () e () v g 6 5 π + 5 8 - -

详 细 参 考 解 答 及 评 分 标 准 评 分 总 体 原 则 各 题 均 不 限 制 方 法 若 方 法 与 本 文 不 同, 只 要 结 果 和 主 要 步 骤 正 确, 即 给 全 分 ; 若 方 法 不 同 而 结 果 不 正 确, 各 地 自 行 统 一 酌 情 给 分 本 文 中 多 处 用 图 形 解 释, 若 试 卷 中 未 出 现 相 应 图 形 但 已 表 达 了 同 样 的 意 思, 则 同 样 给 分 计 算 结 果 用 分 数 或 小 数 表 达 均 可 本 文 中 用 浅 黄 色 标 识 的 公 式 和 文 字 是 给 分 的 关 键 点, 其 后 圆 圈 内 的 数 字 仅 为 本 处 的 所 得 分 值 第 题 (5 分 ) 图 - 为 某 个 装 在 主 机 上 的 旋 转 部 件 的 简 图 四 个 重 量 为 G, 厚 度 为 b, 宽 度 为 b, 长 度 为, 弹 性 模 量 为 E 的 均 质 金 属 片 按 如 图 的 方 式 安 装 在 轴 O O 上 在 处 相 互 铰 结 的 上 下 两 个 金 属 片 构 成 一 组, 两 组 金 属 片 关 于 轴 O O 对 称 布 置 两 组 金 属 片 上 方 均 与 轴 套 O 铰 结, 且 该 轴 套 处 有 止 推 装 置, 以 防 止 其 在 轴 向 上 产 生 位 移 两 组 金 属 片 下 方 均 与 O 处 的 轴 套 铰 结, 该 轴 套 与 轴 O O 光 滑 套 合 当 主 机 上 的 电 动 机 带 动 两 组 金 属 片 旋 转 时,O 处 的 O 轴 套 会 向 上 升 起 但 轴 套 上 升 时, 会 使 沿 轴 安 装 的 弹 簧 G 压 缩 弹 簧 的 自 然 长 度 为, 其 刚 度 k O 和 O b 处 的 轴 套 弹 簧, 以 及 各 处 铰 的 重 量 均 可 以 忽 略 ω () 暂 不 考 虑 金 属 片 的 变 形, 如 果 在 匀 速 转 动 时 O O 处 轴 套 向 上 升 起 的 高 度 H 是 额 定 的 工 作 状 态, 那 么 相 应 的 转 速 ω 是 多 少? H () 当 转 速 恒 定 于 ω 时, 只 考 虑 金 属 片 弯 曲 变 形 的 影 响, 试 计 算 图 示 角 度 O O 相 对 于 把 金 属 片 视 为 刚 体 的 情 况 而 言 的 变 化 量 图 - 解 答 及 评 分 标 准 ()( 本 小 题 6 分 ) 显 然, 在 转 速 ω 下, 各 金 属 片 均 与 竖 直 线 成 - - 6 角 先 分 析 下 片 的 受 力, 如 图 -(a) 所 示 建 立 如 图 所 示 的 局 部 坐 标 系 重 力 为 均 布 荷 载, 合 力 为 G, 作 用 点 在 处 离 心 力 为 线 性 分 布 荷 载, 在 坐 标 为 的 截 面 处, 集 度 为 G G G r ω ω, 其 合 力 为 ω, g g g 作 用 点 在 处 左 端 O 处 的 竖 向 杆 端 力 仅 来 自 于 弹 簧 由 于 弹 簧 的 压 缩 量 为, 故 总 压 缩 力 为 k G, 一 个 下 片 所 受 的 向 下 压 缩 力 为 G 这 样, 根 据 竖 直 方 向 上 的 力 平 衡, 右 端 处 的 竖 向 杆 端 力 5 G (-) 对 O 取 矩, 则 可 求 出 右 端 处 水 平 方 向 杆 端 力 R, 故 有 G G ω + R +, g ω R G (-) g

再 考 虑 上 片 如 图 -(b) 所 示, 与 上 片 类 似, 对 O 取 矩, 可 得 G G + ω + R, g 故 有 ω R G + 6 g (-) X b Y b O G / 下 片 r ϕ G (a) R G ω g 图 - X u Y u O ϕ r (b) G 上 片 R G ω g 式 (-) 和 (-) 中 的 R 在 数 值 上 相 等, 由 此 可 得 ω 75, 即 g 75g ω (-) ()( 本 小 题 9 分 ) 本 小 题 的 求 解 可 以 采 用 下 述 两 类 方 法 叠 加 法 求 角 度 OO 的 增 量 上 下 两 个 金 属 片 所 受 的 离 心 力 和 重 力 在 横 向 上 的 分 量, 导 致 它 们 产 生 弯 曲 变 形 上 下 两 个 金 属 片 都 可 以 简 化 为 简 支 梁, 其 横 向 力 如 图 - 所 示 图 中, q 为 重 力 的 横 向 分 量, q 为 离 心 力 在 处 集 度 的 横 向 分 量, G q 75 G ω (-5) g q O 上 片 下 片 q q O q (a) (b) 图 - 记 重 力 和 离 心 力 的 横 向 分 量 在 端 引 起 的 转 角 数 值 分 别 为 下 片 转 角 为 +, 上 下 两 片 轴 线 的 相 对 转 角 为 b b u - - 和, 则 上 片 转 角 为, (-6) 故 所 求 角 度 的 变 化 量 即 为 图 -(a) 所 示 简 支 梁 端 转 角 的 倍 如 果 说 明 了 在 转 速 ω 下 离 心 力 的 作 用 远 大 于 重 力 的 作 用, 从 而 可 以 忽 略 重 力 的 影 响, 同 时 又 有 上 述 两 处 得 分 点 的 结 论, 此 处 也 算 全 对 u

q q / q / O EI O O (a) (b) (c) 图 - ξ q 可 以 一 般 性 地 假 设, 在 如 同 图 -(a) 那 样 荷 载 呈 线 性 分 布 的 简 支 梁 中, 处 的 转 角 为, EI 其 中 ξ 是 一 个 待 定 的 无 量 纲 常 数 图 -(a) 的 荷 载 可 分 解 为 对 称 部 分 和 反 对 称 部 分 之 和, 分 别 如 图 q q -(b) 和 图 -(c) 所 示 在 图 -(b) 中, 处 转 角 为 在 图 -(c) 中, 由 于 荷 载 EI 8EI 反 对 称, 梁 的 中 点 挠 度 和 弯 矩 均 为 零, 故 中 点 可 视 为 铰 支 点 这 样, 中 点 与 之 间 可 视 为 一 个 简 支 q ξ ξ q 梁, 这 个 简 支 梁 也 作 用 着 线 性 分 布 的 荷 载 根 据 上 述 假 设, 其 处 转 角 必 定 为 EI 6EI 根 据 叠 加 原 理, 有 ξ q q ξ q +,5 EI 8EI 6EI 由 上 式 可 算 出 ξ, 故 有 5 q (-7) 5EI 若 从 式 (-6) 以 后 没 有 任 何 步 骤 直 接 得 到 式 (-7), 则 只 能 得 结 论 的 分 这 样, 所 求 角 度 O O 的 变 化 量 q G O O (-8) 5EI Eb π 该 变 化 量 使 原 有 角 度 得 以 增 大 积 分 法 求 角 度 OO 的 增 量 G 第 一 种 积 分 方 案 : 与 上 述 叠 加 法 中 开 始 的 初 步 分 析 类 似, q 75, 所 求 角 度 的 变 化 量 即 为 图 -(a) 所 示 简 支 梁 端 转 角 的 倍, 然 后 用 下 述 积 分 法 求 解 在 图 -(a) 中, 易 得 左 方 铰 的 支 反 力 为 q, 以 O 为 坐 标 原 点, 可 列 出 弯 矩 方 程 6 M ( ) q + q 6 6 q 故 有 + +, 6EI q 5 w + + + D, 6EI 6 q 5 5 或 记 为 w ( ) + + + D 由 边 界 条 件 可 得 : (-9) 6EI w ( ), D ; w ( ), 7 q 故 有 ( ) 5 + 7 6EI - -

故 q ( ) (-) 5EI 所 求 角 度 O O 的 变 化 量 O O q 5EI G Eb 第 二 种 积 分 方 案 : 可 由 式 (-) (-) 和 (-) 得 5 G, R G, (-) 如 图 -(b) 所 示, 由 平 衡 方 程 可 得 上 片 中, Yu G (-) 8 在 坐 标 为 的 截 面 处, 离 心 力 集 度 的 横 向 分 量 为 上 片 中 的 弯 矩 方 程 为 75 G M u ( ) G G 即 M ( 5 ) u 8 积 分 可 得 转 角 和 挠 度 方 程 为 G, 8 ( 75 8 + ) G u 8, 96EI 5 5 ( 5 + D ) G w u 6 + 96EI 由 边 界 条 件 w ( ) 和 w ( ) 可 得 D,, G 故 有 ( 75 8 8 + ) u, 96EI - 5-75 G, 重 力 集 度 的 横 向 分 量 为 G, 故 9 G u ( ) (-) 8EI 同 样, 在 下 片 中, 如 图 -(a), 由 平 衡 方 程 可 得 故 弯 矩 方 程 为 7 Yb G (-) 8 M b 上 式 同 样 可 整 理 为 75 G G 7 G +, 8 ( 5 + ) G M b 7 8 积 分 可 得 转 角 和 挠 度 方 程 为 ( 75 8 + + ) G b 6, 96EI 5 5 ( 5 + + D ) G w b 5 + 96EI

同 样 由 边 界 条 件 可 得 D, 7 G 故 有 ( 75 8 + 6 ) b 7, 96EI 7 G b ( ) (-5) 6EI 由 式 (-) (-5) 可 得 O O 的 增 量 5 G G b( ) u ( ) 6EI Eb 第 题 (5 分 ) 在 图 - 中, 杂 技 演 员 推 动 着 演 出 道 具 在 平 坦 的 水 平 面 上 缓 慢 滚 动 道 具 的 外 环 和 内 芯 都 是 刚 性 的, D 5D 三 根 直 径 为 d 长 度 相 等 的 实 心 圆 杆 布 置 匀 称, 其 重 量 可 以 忽 略 不 计 圆 杆 两 端 分 别 与 外 环 和 内 芯 用 球 铰 连 结, 且 有 D. 5d 圆 杆 材 料 可 视 为 理 想 弹 塑 性, 比 例 极 限 为 σ, 弹 性 模 量 E 的 数 值 是 σ 的 倍 内 芯 有 轴 承 及 其 他 结 构, 可 以 保 证 悬 挂 在 圆 心 处 的 重 物 始 终 保 持 着 竖 直 悬 垂 的 状 态, 而 且 不 会 与 圆 杆 相 撞 不 考 虑 可 能 存 在 的 间 隙 D D () 若 要 使 每 根 圆 杆 都 不 会 失 稳, 安 全 因 数 取 n, 重 物 ( 包 含 内 芯 ) 的 重 量 最 多 允 许 为 多 大 ( 用 σ d 和 n 表 示 )? () 如 果 的 取 值 在 上 小 题 的 许 用 范 围 内, 内 芯 的 圆 心 位 置 会 不 会 因 为 圆 杆 变 形 而 在 滚 动 过 程 中 产 生 微 小 的 波 动? 试 证 明 你 的 结 论 () 在 保 持 原 结 构 和 构 件 的 形 式 不 变 ( 例 如, 不 允 许 将 实 心 圆 杆 改 为 空 心 圆 杆 ), 连 接 方 式 不 变, 安 全 因 数 不 变, 不 减 小 外 环 外 径, 不 增 加 材 料 用 量, 不 更 换 材 料 的 前 提 下, 能 否 重 新 设 计 和 制 作 这 一 道 具, 使 在 第 () 小 题 所 得 到 的 许 用 值 得 到 提 高? 如 果 你 认 为 这 个 设 想 可 以 实 现, 的 许 用 值 最 多 能 提 高 多 少? 解 答 及 评 分 标 准 第 一 种 解 法 : ()( 本 小 题 8 分 ) 在 道 具 滚 动 的 过 程 中, 每 根 圆 杆 交 替 地 承 受 拉 力 和 压 力 当 道 具 转 动 到 如 图 - 所 示 的 位 置 上 时, 竖 杆 中 承 受 了 最 大 的 压 力, 记 其 轴 力 为 + 等, 且 为 拉 力, 记 其 为 易 得 平 衡 方 程 即 N + N + N cs6, 图 - - 6 - N 显 然 这 种 情 况 下 两 斜 杆 的 轴 力 相 + + N N (-)

记 竖 杆 的 压 缩 量 为, 两 斜 杆 的 伸 长 量 均 为, 则 有 物 理 方 程 +,, E E (-a) 式 中, ( D D ) D 5d, (-b) π (-c) D 考 虑 协 调 方 程, 如 图 - 所 示, 图 中 R 图 -(a) 中 只 考 虑 了 竖 杆 的 情 况 为 竖 杆 压 缩 量 由 于 竖 杆 与 内 芯 铰 结, 因 此 变 形 后 的 内 芯 圆 心 应 在 以 为 圆 心, 以 R 为 半 径 的 圆 上 考 虑 竖 杆 变 形 的 所 有 可 能 位 置 和 实 际 可 能 性, 变 形 后 的 内 芯 圆 心 则 应 在 图 -(a) 中 一 系 列 圆 的 上 包 络 线 上 再 注 意 到 小 变 形, 则 这 个 上 包 络 线 可 用 水 平 直 线 代 替 其 余 两 杆 的 变 形 的 情 况 与 竖 杆 类 似 三 杆 变 形 的 协 调 如 图 -(b) 所 示, 加 载 前 内 芯 圆 心 为 O, 加 载 后 为 O, O O ( 没 有 这 段 话 不 扣 分 ) 从 该 图 可 看 出, 尽 管 存 在 着 内 芯, 但 由 于 内 芯 是 刚 性 的, 协 调 条 件 与 不 存 在 内 芯 的 情 况 相 同, 即 (-) R R R O O R 图 - (a) 图 - (b) 由 式 (-) (-a) (-) 即 可 得 + N, N 5 (-) 由 于 竖 杆 受 压, 故 应 考 虑 竖 杆 的 柔 度 λ 以 确 定 压 杆 的 失 效 形 式, 注 意 到 式 (-b), 且 取 µ, 可 得 µ λ i d (-5a) 同 时 E λ π π < λ, (-5b) σ 故 竖 杆 为 大 柔 度 杆, 应 采 用 欧 拉 公 式 计 算 轴 力 的 许 用 值, 即 N EIπ n 由 此 可 得 满 足 稳 定 性 要 求 的 荷 载 许 用 值 : [ EIπ ] n π σ n d σ d.65 (-6) n 在 这 个 结 构 中, 荷 载 只 要 满 足 稳 定 性 要 求, 就 一 定 满 足 强 度 要 求 ()( 本 小 题 8 分 ) 将 坐 标 系 固 结 于 道 具 的 外 环 上, 如 图 - 所 示 不 妨 设 t 时 结 构 的 位 - 7 -

置 为 图 -5(a) 所 示 在 任 一 时 刻 t, 记 ϕ ωt, 则 在 和 方 向 上 的 分 量 分 别 为 sinϕ, csϕ (-7) 首 先 考 虑 所 引 起 的 内 芯 圆 心 在 方 向 上 的 位 移 如 图 -5(a) 所 示, 这 是 一 个 对 称 结 构 承 受 对 称 荷 载 的 情 况, 根 据 上 小 题 的 计 算 可 知, csϕ (-8) E E 再 考 虑 所 引 起 的 内 芯 圆 心 在 方 向 上 的 位 移 如 图 -5(b) 所 示, 这 是 一 个 对 称 结 构 承 受 反 对 称 荷 载 的 情 况, 故 竖 杆 上 的 轴 力 为 零 左 斜 杆 的 轴 力 为 拉 力, 右 斜 杆 的 轴 力 为 压 力, 两 斜 杆 轴 力 数 值 相 等, 记 为, 如 图 -6(a) 所 示, 故 有 N cs, N (-9) N ϕ 图 - (a) 图 -5 (b) 因 此 两 斜 杆 的 变 形 量 均 为 由 图 -6(b) 可 知 ( 由 于 内 芯 不 影 响 协 调 条 件, 故 未 画 岀 内 芯 ), E cs E 由 式 (-8) 与 式 (-) 可 得,, 这 说 明, 总 位 移 的 方 向 与 的 方 向 重 合 ( 没 有 这 段 话 不 扣 分 ) 内 芯 圆 心 在 竖 直 方 向 上 的 位 移 + E sinϕ (-) E 6πσ d (-) 由 于 该 位 移 为 定 值 而 与 ϕ 无 关, 故 在 滚 动 过 程 中, 内 芯 圆 心 的 位 置 不 会 产 生 波 动 N N (a) 图 -6 (b) () ( 本 小 题 9 分 ) 为 了 提 高 第 () 小 题 得 到 的 许 用 荷 载, 可 以 将 三 杆 的 长 度 做 得 比 原 设 计 长 度 稍 微 短 一 点 并 强 制 安 装, 即 应 用 预 应 力 技 术 来 提 高 结 构 的 承 载 能 力 设 三 杆 都 比 做 短, 这 样, 三 杆 的 预 加 轴 力 - 8 - N 均 为 拉 力, 且 有

E N (-) 在 存 在 着 预 加 轴 力 的 结 构 中 再 作 用 以 外 荷 载, 其 轴 力 为 预 加 轴 力 和 荷 载 引 起 的 轴 力 的 叠 加 在 滚 动 过 程 中 杆 件 承 受 的 由 荷 载 引 起 的 最 大 拉 力 显 然 为, 在 与 预 加 轴 力 叠 加 之 后, 应 该 满 足 拉 伸 强 度 条 件 对 于 理 想 弹 塑 性 材 料, 屈 服 极 限 σ s σ, 故 有 E σ +, (-) n 当 杆 件 承 受 最 大 压 力 时, 根 据 稳 定 性 要 求, 应 有 E EIπ (-) n 要 最 大 限 度 地 提 高 结 构 的 许 用 荷 载, 应 使 式 (-) 和 (-) 都 取 等 号 并 同 时 得 到 满 足, 而 两 式 中 的 便 成 为 这 种 情 况 下 的 荷 载 许 用 值 [ ], 由 此 可 得 EIπ d π σ En, (-5) n 5 [ ] EIπ + n σ π π σ + 6 5 n 与 第 () 小 题 所 得 到 的 许 用 荷 载 相 比, 引 用 式 (-6) 和 式 (-6) 的 结 果 可 得 [ [ ] 5 π ] π + 5 d - 9 - σ d.86 (-6) n.767 (-7) 这 说 明, 经 这 样 的 预 应 力 处 理, 许 用 荷 载 提 高 了 76.7% 若 采 取 的 措 施 是 增 大 D, 或 减 小 D, 其 增 大 或 减 小 的 数 值 为 式 (-5) 的 两 倍, 均 算 正 确 若 说 出 预 应 力 ( 或 装 配 应 力 ) 可 提 高 许 用 荷 载 的 概 念, 但 无 具 体 运 算, 本 小 题 可 得 分 第 二 种 解 法 : ()( 本 小 题 8 分 ) 建 立 如 图 - 所 示 的 坐 标 系 不 妨 设 t 时 结 构 的 位 置 为 图 -5(a) 所 示 在 任 一 时 刻 t, 记 ϕ ωt, 如 图 -7(a)( 图 中 将 和 方 向 分 别 画 为 水 平 和 竖 直 方 向, 并 假 定 N 是 拉 力, N 和 N 是 压 力 ), 可 列 出 平 衡 方 程 : N + N + N csϕ N, (-8a) O N N sinϕ (-8b) 由 于 刚 性 的 内 芯 不 影 响 协 调 条 件, 协 调 条 件 可 由 图 -7(b) 得 到 ( 图 中 仍 未 画 岀 内 芯 ) 结 点 O 变 形 后 位 于 O, 三 杆 的 变 形 量 分 别 为 OG, OH, O, 则 有 OG OK + KG OH + KQ OH + S OH + O OS OH + O + 由 于 各 杆 的 几 何 尺 寸 和 材 料 相 同, 由 上 式 即 可 得 N N + N (-8c) 式 (-8) 的 三 式 联 立, 可 解 得 N csϕ, N ( sinϕ + csϕ), N (sinϕ + csϕ) 5 (-9a) 9 9 N ϕ (a) N 图 -7 H K G (b) S O Q

由 于 N 和 N 是 压 力, 若 将 N 和 N 表 达 式 的 符 号 改 为 负 号, 则 上 式 可 改 写 为 π π N csϕ, N cs ϕ +, N cs ϕ + (-9b) + 由 此 可 见, 在 转 动 的 过 程 中, 三 杆 出 现 的 最 大 拉 力 N ma 和 最 大 压 力 N ma 的 数 值 均 为 以 下 部 分 与 第 一 种 解 法 相 同, 并 同 样 得 分 ()( 本 小 题 8 分 ) 由 式 (-9a) 可 知, 三 杆 的 变 形 量 分 别 为 csϕ, ( sinϕ + csϕ), (sinϕ + csϕ) (-) E 9E 9E 可 由 图 -7(b) 看 出, 结 点 O 在 方 向 上 的 位 移 GO O Q KQ ( O OS) ( ) 将 式 (-) 的 后 两 式 代 入 上 式 即 可 得 sinϕ E 同 时, csϕ E 以 下 部 分 与 第 一 种 解 法 相 同, 并 同 样 得 分 第 () 小 题 的 求 解 与 第 一 种 解 法 相 同 第 题 (5 分 ) 小 明 和 小 刚 有 一 个 内 壁 十 分 光 滑 的 固 定 容 器, 他 们 已 经 知 道 这 个 容 器 的 内 壁 是 一 条 抛 物 线 绕 着 其 对 称 轴 旋 转 而 得 到 的 曲 面 如 何 确 定 这 条 抛 物 线 的 方 程, 是 小 明 和 小 刚 想 要 解 决 的 问 题 他 们 手 里 还 有 一 根 长 度 为 mm 的 同 样 光 滑 的 均 质 直 杆, 能 不 能 借 助 这 根 杆 件 来 做 这 件 事 呢? 数 次 将 这 根 杆 件 随 意 放 入 容 器 之 中 时, 他 们 意 外 发 现, 尽 管 各 次 放 入 后 杆 件 滑 动 和 滚 动 的 情 况 都 不 一 样, 但 最 终 静 止 时 与 水 平 面 的 夹 角 每 次 基 本 上 都 是 5, 如 图 - 所 示 小 明 兴 奋 地 认 为, 由 此 就 可 以 确 定 抛 物 线 方 程 了 小 刚 对 此 表 示 怀 疑, 他 把 杆 水 平 地 放 在 容 器 里, 杆 照 样 静 止 了 下 来 他 认 为, 说 不 定 杆 的 平 衡 状 态 有 很 多, 利 用 这 根 杆 件 来 确 定 抛 物 线 方 程 的 想 法 不 可 靠 小 明 有 些 懊 丧, 一 赌 气 把 那 根 静 止 的 水 平 杆 拨 弄 了 一 下, 那 根 杆 立 刻 滑 动 起 来, 最 终 又 静 止 在 5 的 平 衡 角 度 上 小 刚 再 次 拨 弄 这 根 杆, 杆 运 动 一 番 后, 仍 然 回 到 5 的 平 衡 角 度 上 两 人 就 此 进 行 了 激 烈 的 争 论, 反 复 的 讨 论 和 细 致 的 演 算 ; 甚 至 还 找 了 好 几 根 长 短 不 一 的 均 质 杆 来 进 行 实 验 验 证 () 试 以 杆 的 轴 线 与 水 平 面 的 夹 角 α ( α 9 ) 为 参 数, 推 导 出 杆 件 所 有 可 能 的 平 衡 位 置 () 试 确 定 这 条 抛 物 线 的 方 程 () 试 分 析 静 止 在 这 个 容 器 内 的 各 种 光 滑 均 质 杆, 在 什 么 情 况 下 受 到 扰 动 之 后 还 能 回 到 初 始 的 平 衡 角 度 上, 什 么 情 5 况 下 不 能 解 答 及 评 分 标 准 第 () 小 题 与 第 () 小 题 共 分 第 一 种 解 法 : 基 于 最 小 势 能 原 理 记 杆 的 长 度 为 mm, 设 抛 物 线 方 程 为 - - 图 -

(-) 设 杆 质 心 的 坐 标 为, ), 杆 与 水 平 面 的 夹 角 为 α, 如 图 -, 则 和 的 坐 标 分 别 为 ( + csα, 和 + sinα 将 和 的 坐 标 代 入 抛 物 线 方 程 可 得 ( + csα ) ( sinα ), (-a) ( + csα ) ( sinα ), (-b) 式 (-) 的 两 式 分 别 相 加 和 相 减 得 cs + α, (-a) tanα (-b) 将 式 (-b) 代 入 式 (-a), 即 可 得 以 α 为 参 数 所 表 示 的, 即 tan α + cs α 6 (-5) 由 此 可 得 杆 的 势 能 为 csα (-) sinα U mg tan α + cs α (-6) 平 衡 时 势 能 应 取 极 值 上 式 对 α 求 导 得 du dα sinα mg csα sinα, (-7a) cs α du mg cs α 即 有 sin d cs α (-7b) α α 由 上 式 首 先 可 得 sin α, 相 应 的 平 衡 位 置 为 α 这 是 杆 的 第 一 个 平 衡 位 置 为 了 获 得 其 他 的 平 衡 位 置, 应 要 求 cs α, 显 然, 在 这 种 情 况 下 应 有 附 加 条 件 > (-8) 由 于 物 理 现 象 已 经 表 明 倾 斜 状 态 可 以 平 衡, 因 此 这 一 条 件 能 够 得 到 满 足, 由 此 可 导 岀 cs α ±, 即 α arccs (-9) 原 则 上, 在 余 弦 函 数 的 一 个 周 期 内, α 和 ± ( π α ) 都 是 可 能 的 平 衡 位 置 的 角 度 但 是 可 以 看 出, 在 杆 件 中, 这 些 角 度 或 者 与 α 重 合, 或 者 与 α 事 实 上 确 定 了 除 α 以 外 唯 一 的 平 衡 角 度 特 别 地, 当 mm 时, 由 此 可 知 抛 物 线 方 程 为 α 关 于 轴 对 称 因 此, 在 限 定 α 5 确 定 了 除 α 9 的 条 件 下, α 以 外 唯 一 的 平 衡 角 度 同 时, 有, 即 mm, (-) ( 单 位 :mm) (-) 图 - mg α 注 : 在 得 到 式 (-5) 之 后, 也 可 用 虚 位 移 原 理 得 到 下 述 解 答 - -

考 虑 处 于 容 器 内 任 意 位 置 上 的 杆, 由 于 容 器 内 壁 是 理 想 约 束 ( 光 滑 接 触 面 ), 根 据 虚 功 原 理, 在 杆 处 于 平 衡 时, 重 力 虚 功 为 零, 故 有 mg, (-a) 即 由 式 (-5), 即 tan α + cs α 取 变 分 为 零 可 得 由 sinα cs α (-b) csα α (-) α 的 任 意 性 即 可 得 到 与 最 小 势 能 原 理 解 法 相 同 的 结 论 第 二 种 解 法 : 基 于 刚 体 静 力 学 记 杆 的 长 度 为 mm, 设 抛 物 线 方 程 为 显 然, α 为 杆 的 一 个 平 衡 位 置 若 杆 还 有 其 他 平 衡 位 置, 则 平 衡 时 的 受 力 图 如 图 - 所 示 图 形 分 设 杆 重 力 mg 和 N N 的 作 用 线 的 交 点 为 D, 为 点 处 切 线 与 轴 正 方 向 的 夹 角, 为 点 处 切 线 与 轴 负 方 向 的 夹 角 同 时 注 意 到 几 何 关 系 : D, D, D 9 + α, D 9 α 由 力 系 对 质 心 的 主 矩 为 零 可 得 N sin( 9 + α ) N sin(9 α ) (-) 由 主 矢 在 方 向 上 的 投 影 为 零 可 得 N sin N sin (-5) 由 式 (-) 和 (-5) 可 得 : sin( 9 α) sin(9 + α) (-6) sin sin 展 开 后 得 csα csα sinα + sinα, tan tan 即 tan α (-7) tan tan 注 意 到, 一 般 地, 在 抛 物 线 上 某 点 K, ) ( 处 的 切 线 斜 率 为 N 图 - D H mg N, 故 和 处 切 线 的 斜 率 分 别 为 和 同 时 注 意 到, 如 图 - 所 示, <, 但 应 为 锐 角, 故 有 另 一 方 面, tan, tan tanα + - -

将 以 上 几 何 关 系 式 代 入 式 (-7) 即 可 得 + + 当 α 时,, 由 上 式 即 可 得 + (-8) 上 式 可 以 改 写 为, 而 和 分 别 是 和 处 壁 面 法 线 的 斜 率, 因 此, 上 式 表 明, 若 杆 有 异 于 α 的 平 衡 位 置, 则 N 和 N 的 作 用 线 必 垂 直 ( 没 有 这 段 话 不 扣 分 ) 设 此 时 杆 质 心 的 坐 标 为 (, ), 则 和 的 坐 标 分 别 为 + csα csα, 和 (-9) + sinα sinα 将 和 的 坐 标 代 入 抛 物 线 方 程 可 得 ( + csα ) ( + sinα ), (-a) ( csα ) ( sinα ), (-b) 并 且 ( + cs α 式 (-) 的 三 式 联 立 求 解, 可 得 cs α ±, 即 α )( cs ) (-c) 显 然, 要 使 杆 在 倾 斜 时 仍 然 保 持 平 衡, 则 应 满 足 条 件 α arccs (-) > (-) 由 于 物 理 现 象 已 经 表 明 倾 斜 状 态 可 以 平 衡, 因 此 这 一 条 件 能 够 得 到 满 足 以 下 部 分 与 第 一 种 解 法 相 同, 并 同 样 得 分 注 意 : 考 生 可 能 在 试 卷 中 同 时 采 用 了 不 同 的 方 法 进 行 解 答, 这 种 情 况 只 能 按 得 分 最 高 的 一 种 解 法 进 行 评 分 若 在 第 () 问 中 只 列 出 了 平 衡 位 置 α 和 α 5 而 没 有 推 导 过 程, 只 能 得 分 () ( 本 小 题 5 分 ) 在 这 个 容 器 内 静 止 的 杆 件, 当 受 到 扰 动 之 后 还 能 回 到 初 始 的 平 衡 角 度 上, 说 明 平 衡 是 稳 定 的 ; 不 能 回 到 初 始 的 平 衡 角 度 上, 说 明 平 衡 是 不 稳 定 的 平 衡 的 稳 定 性 可 以 通 过 势 能 U (α) 在 平 衡 点 的 数 值 性 质 来 确 定 当 该 值 为 极 小 值 时 平 衡 是 稳 定 的, 为 极 大 值 时 平 衡 是 不 稳 定 的 对 式 (-7a) 中 势 能 的 一 阶 导 数 再 次 求 导 可 得 d U (cs α + sin α) mg (cs α sin α) (-) dα cs α 对 平 衡 位 置 α, d U mg (-) dα 不 稳 定 稳 定 α d U 若 <, 则 >, 这 说 明, 长 度 小 于 mm 的 短 dα 杆 水 平 放 置 是 稳 定 的, 如 图 - 所 示 ( 图 中 是 抛 物 线 的 焦 点 ) d U 若 >, 则 <, 这 说 明, 长 度 大 于 mm 的 长 dα - - 稳 定 图 - /

杆 水 平 放 置 是 不 稳 定 的 对 平 衡 位 置 α arccs, 由 于 有 cs α, sin α, 故 式 (-) 可 表 达 为 d U mg ( ) (-5) dα d U 由 于 在 这 个 平 衡 位 置, 必 须 满 足 条 件 >, 故 >, 因 此 该 平 衡 位 置 是 稳 定 的 dα 特 别 地, 当 杆 长 为 mm 时, α 5 的 平 衡 位 置 是 稳 定 的 一 当 当 从 大 于 一 侧 趋 近 于 时, 易 于 看 出, α, 即 α α, 两 个 平 衡 状 态 的 角 度 合 二 而 时, 杆 件 的 水 平 位 置 处 于 稳 定 平 衡 状 态 ( 没 有 这 段 话 不 扣 分 ) 注 意 : 考 生 可 能 没 有 应 用 势 能 的 概 念, 而 是 借 助 于 平 衡 稳 定 时 重 心 最 低 的 概 念, 在 导 出 式 (-5) 之 后, 进 行 二 次 求 导 运 算, 这 样 做 也 是 正 确 的 若 考 生 说 出 了 平 衡 稳 定 性 的 概 念, 但 只 是 根 据 题 目 所 提 供 的 信 息, 复 述 了 对 于 长 度 为 mm 的 均 质 杆, α 不 稳 定, α 5 稳 定 而 未 加 以 证 明, 则 只 能 得 分 第 题 ( 分 ) 图 - 是 一 个 吊 装 设 备 的 示 意 图 水 平 平 面 内 的 直 角 刚 架 由 塑 性 材 料 的 实 心 圆 杆 制 成, 其 两 个 短 杆 的 端 面 和 G 牢 固 地 固 定 在 竖 直 的 刚 性 壁 上 吊 装 的 重 物 一 直 不 变, 但 可 以 吊 挂 在 刚 架 的 任 意 部 位 已 知 刚 架 各 部 分 圆 杆 横 截 面 的 直 径 均 为 d, 其 他 尺 寸 如 图 所 示 材 料 的 弹 性 模 量 为 E, 泊 松 比 ν. 5 不 考 虑 刚 架 的 自 重 () 由 于 重 物 的 作 用, 圆 杆 的 截 面 最 上 点 处 会 产 生 沿 着 杆 轴 线 方 向 上 的 线 应 变 尽 管 吊 装 的 重 物 没 有 变 化, 但 由 于 吊 挂 的 位 置 不 同, 这 个 应 变 的 数 值 也 是 不 同 的 ; 无 须 证 明, 在 所 有 可 能 的 数 值 中, 必 定 有 一 个 极 大 值 ε ma 试 用 ε ma 表 示 出 重 物 及 挂 钩 的 总 重 量 () 在 出 现 这 个 极 大 值 ε ma 时, 有 人 直 接 将 E ε ma 作 为 在 相 应 吊 挂 情 况 下 截 面 上 危 险 点 的 屈 服 强 度 准 则 的 相 当 应 力 这 样 做 行 吗? 为 什 么? () 在 图 示 区 段 的 中 截 面 J 处, 如 果 要 利 用 电 测 法 测 算 出 在 各 种 吊 挂 情 况 下 该 截 面 的 全 部 内 力, 同 时 要 求 应 变 片 要 用 得 尽 可 能 地 少, 效 果 要 尽 可 能 地 好, 在 理 论 上 应 该 贴 多 少 个 应 变 片? 应 在 该 截 面 外 圆 的 何 处 粘 贴? 沿 着 什 么 方 向 粘 贴? 如 何 利 用 这 些 应 变 片 的 读 数 来 求 得 J 截 面 上 各 个 内 力 的 数 值? G / J D H 图 - - -

解 答 及 评 分 标 准 ()( 本 小 题 7 分 ) 首 先, 可 以 由 直 觉 确 定, 当 挂 钩 位 于 刚 架 左 边 角 点 处 时, 截 面 最 上 点 沿 轴 线 方 向 上 的 应 变 为 ε ma 也 可 以 做 如 下 初 步 的 定 性 分 析 : 在 区 段 上, 显 然 作 用 力 位 于 处 时, 截 面 有 最 大 的 弯 矩 而 在 D 区 段 上, 作 用 点 往 D 处 移 时,G 处 的 弯 矩 趋 于 增 加 而 处 的 弯 矩 趋 于 减 小 所 以 作 用 点 在 处 时, 应 变 值 为 极 大 值 此 处 只 需 说 明 作 用 力 位 于 处, 无 论 是 否 说 明 理 由, 无 论 说 明 的 理 由 是 否 充 分, 均 给 分 这 样, 便 可 以 只 研 究 集 中 力 作 用 在 左 边 拐 角 处 时 的 情 况 易 于 看 出, 这 种 情 况 下, 长 杆 的 外 伸 部 分 DH 区 段 没 有 任 何 内 力, 也 不 对 其 他 部 分 的 内 力 产 生 影 响, 因 而 可 以 不 予 考 虑 剩 下 的 部 分 是 一 个 对 称 结 构, 其 受 力 可 分 解 为 对 称 与 反 对 称 两 部 分, 分 别 如 图 -(a) 和 -(b) 所 示, 并 可 建 立 如 图 的 坐 标 系 z G D / z G / D / (a) 图 - / (b) 在 图 -(a) 中, 可 以 看 出,D 区 段 中 没 有 内 力, 和 G 截 面 均 有 弯 矩 M 在 图 -(b) 中, 由 于 荷 载 反 对 称, 故 D 杆 中 点 处 截 面 没 有 弯 矩, 只 有 扭 矩 T 和 剪 力 S 想 象 从 截 面 处 将 结 构 截 开, 并 取 其 一 半 考 虑, 如 图 - 所 示 根 据 变 形 的 特 点 可 知, 截 面 绕 杆 轴 线 的 扭 转 角 为 零, 沿 z 方 向 的 挠 度 w z 为 零 在 图 - 中, 由 的 条 件 可 得 T T S + + (-) EI EI GI EI 由 w 的 条 件 可 得 z T S ( S ) S + + +, (-) EI EI EI GI EI 注 意 到 对 于 圆 杆, 有 I I ; 又 有 ν. 5, 故 有 GI EI 5 利 用 上 式, 则 式 (-) 和 式 (-) 可 化 简 并 联 立 为 9T 6T + + S S (-) z S T 由 上 式 可 解 得 9 T 95, S (-) 65 / 图 - 注 : 如 果 计 算 中 一 直 未 将 ν. 5 代 入, 那 么 式 (-) 和 式 (-) 应 分 别 表 示 为 ( + ν ) T T + + (5 + ν ) S S, - 5 -

T ( + ν ) 7 + ν + ν 9, 95 S (5 + ν ) (7 + ν + ν ) 65 可 以 看 出, 在 截 面 处, 剪 力 S 所 引 起 的 弯 矩 M, 引 起 的 扭 矩 M ; 扭 矩 T 引 起 的 弯 矩 M T ; 荷 载 引 起 的 弯 矩 M 所 以, 在 截 面 处, 6 总 弯 矩 : M M M + M + M + M (-5) 95 总 扭 矩 : T M S (-6) 65 这 样, 截 面 处 最 上 点 沿 轴 向 的 应 变 M 6 ε ma, (-7a) EW 95EW 故 有 EWε 6 95 ma 95Eπd ma (-7b) 58 ε S S 注 : 第 () 小 题 中 静 不 定 问 题 的 力 法 求 解 如 图 - 所 示, 将 右 端 G 处 全 部 约 束 解 除, 并 用 X ( 剪 力 ) X ( 弯 矩 ) X ( 扭 矩 ) 取 代, 其 中 红 色 箭 头 表 示 矩 矢 量 分 别 作 出 X X X, 以 及 外 荷 载 在 静 定 基 上 引 起 的 弯 矩 图 和 扭 矩 图 其 中, 绿 色 和 蓝 色 为 弯 矩 图, 红 色 为 扭 矩 图 由 图 乘 法 ( 或 其 他 方 法 ) 可 得 以 下 结 果 : () 65 + + + ( + ), EI GI 6EI 7 + ( ), EI GI EI 9 EI + ( ), GI EI EI 6EI X X X G X D X X 图 - ( + ) + ( ) EI GI 9, EI - 6 -

, EI EI 9 ( ) + ( ), EI GI EI 由 于 在 解 除 约 束 处 各 项 实 际 位 移 为 零, 故 可 得 正 则 方 程 组 65 6EI 7 EI 9 EI 7 X EI 9 X + EI X X X 9 X EI 9 + X EI + 6EI EI,8 即 65 7 9 7 X X X 由 此 可 解 得 X, 65 X, 95 X 65 由 上 述 结 果 即 可 由 平 衡 条 件 得 截 面 的 弯 矩 和 扭 矩 6 M 95, T 65 ()( 本 小 题 分 ) 由 式 (-5) (-6) 和 式 (-7) 可 得 : M EWε ma, T EWε ma (-8) 故 处 横 截 面 上 危 险 点 的 屈 服 强 度 准 则 ( 第 三 强 度 准 则 和 第 四 强 度 准 则 ) 的 相 当 应 力 分 别 为 σ r M + T Eε ma +. Eε ma (-9a) W σ r W + M T Eε ma + 此 处 导 出 式 (-9a) 和 式 (-9b) 中 的 任 一 个 即 可 得 分 上 两 式 的 结 果 都 非 常 接 近 于 E 相 当 应 力 是 可 行 的 ε ma 因 此, 直 接 将. Eε (-9b) ma E ε ma 作 为 截 面 上 危 险 点 的 屈 服 强 度 准 则 的 ()( 本 小 题 分 )J 截 面 上 的 全 部 内 力 包 括 弯 矩 - 7 - M J, 扭 矩 ( 没 有 这 句 话 不 扣 分 ) 在 理 论 上 至 少 应 该 贴 个 应 变 片 T J 和 剪 力 应 在 J 截 面 的 上 顶 点 处 沿 轴 向 贴 一 个 应 变 片 记 该 应 变 片 读 数 为 ε (), 则 有 σ ε () E M J, EW M J (-) 故 Eπd ε () 另 外 两 个 应 变 片 应 该 贴 在 J 截 面 水 平 直 径 的 两 端 K K 处, 并 沿 着 与 轴 线 成 5 的 夹 角 方 向 上 粘 贴, 如 图 -5 所 示 ( 此 处 两 个 5 都 不 限 正 负 ) ε () ε () K 5 J (a) S J 除 了 温 度 补 偿 片, 图 -5 ε () ε () J (b) K 5

在 J 截 面 水 平 直 径 的 两 个 端 点 K 和 K 处, 只 有 扭 转 切 应 力 τ T 和 弯 曲 切 应 力 为 零 在 这 两 个 点 中, 必 定 有 一 个 点 τ 和 τ Q 同 向 ( 不 妨 记 该 处 应 变 片 数 值 为 ε () ), 另 一 个 点 τ Q 反 向 ( 记 该 处 应 变 片 数 值 为 ε () T τ Q, 弯 曲 正 应 力 τ T 和 ), 例 如 图 -6 所 示 K 和 K 两 点 均 处 于 纯 剪 状 态 从 结 构 外 平 视 这 两 个 点, 与 轴 向 成 5 的 方 向 是 应 力 的 一 个 主 方 向, 故 有 τ T ± τ Q ε ε () () TJ S J 6 TJ S ± ± J, (-) W πd d 6( + ν ) TJ ( τ + τ ) + J + ν S T Q E Eπd d 6( + ν ) TJ ( τ τ ) J + ν S T Q E Eπd d 式 (-) 的 两 式 分 别 相 加 减 即 可 导 出 扭 矩 Eπ d ( ε () + ε () ) T J, ( + ν ) T J 和 剪 力, (-a) (-b) S J 的 数 值, 即 Eπd ( ε () ε () ) S J ; 6 (-a) ( + ν ) 没 有 下 述 一 段 话 不 扣 分 若 导 出 的 不 是 式 (-a), 而 是 下 面 的 式 (-b), 同 样 得 6 分 在 某 些 情 况 下, 有 Eπ d ( ε () ε () ) T J, ( + ν ) Eπd ( ε () + ε () ) S J (-b) ( + ν ) 是 采 用 式 (-a) 还 是 采 用 式 (-b) 进 行 计 算, 可 根 据 吊 挂 位 置, 以 及 K 和 K 处 应 变 片 粘 贴 的 相 对 方 位 判 定 K K K K 应 该 指 出, 上 述 解 答 是 首 先 满 足 应 变 片 要 用 得 尽 可 能 地 少 的 条 件 在 理 论 上 的 作 法 在 实 际 测 量 中, 则 应 首 先 满 足 效 果 要 尽 可 能 地 好 的 条 件, 利 用 测 量 电 桥 的 特 性 另 行 设 计 实 测 方 案 τ T (a) τ Q 图 -6 (b) 第 5 题 (5 分 ) 在 收 拾 整 理 第 题 中 所 用 的 光 滑 均 质 杆 时, 小 刚 不 小 心 将 一 根 杆 件 滑 落 在 地 上 小 明 当 心 的 话 还 未 说 出 口, 就 被 杆 件 撞 击 地 面 时 的 现 象 所 吸 引, 感 觉 与 自 己 的 想 象 并 不 一 致 两 人 找 出 几 根 材 质 不 同 但 长 度 均 为 的 杆 件, 让 它 们 在 高 度 为 处 与 铅 垂 线 成 ( < 9 ) 角 无 初 速 地 竖 直 落 下, 并 与 固 定 的 光 滑 水 平 面 碰 撞, 如 图 5- 所 示 () 某 根 杆 自 由 下 落 的 倾 角 若 在 碰 撞 刚 结 束 的 瞬 时, 质 心 的 速 度 恰 好 为 零, 那 么, 碰 撞 时 的 恢 复 系 数 e 为 多 大? () 另 一 根 杆 ( 也 记 其 为 ) 自 由 下 落 的 倾 角 5, 且 端 与 地 面 发 生 完 全 非 弹 性 碰 撞 在 碰 撞 后 杆 刚 达 到 水 平 位 置 的 瞬 时, 质 心 的 速 度 为 多 少? 解 答 及 评 分 标 准 ()( 本 小 题 分 ) 杆 在 自 由 下 落 过 程 中 处 于 平 动 状 态 在 碰 撞 前 瞬 时 的 平 动 速 度 为 v g (5-) 设 杆 受 到 的 碰 撞 冲 量 为 S, 方 向 向 上, 如 图 5- 所 示 记 杆 的 质 量 为 m, 碰 撞 刚 结 束 的 瞬 时 杆 质 心 的 速 度 为 v, 角 速 度 为 ω, 则 有 冲 量 定 理 : mv m g S, (5-a) 图 5- - 8 -

冲 量 矩 定 理 : m S ω Ssin (5-b) 设 恢 复 系 数 为 e, 则 点 在 碰 撞 刚 结 束 的 瞬 时 的 竖 向 速 度 v e g (5-) 以 为 基 点 研 究 点 速 度, 记 式 中, v v 为 关 于 的 相 对 速 度, 则 有 v v +, (5-a) ω 上 式 投 影 到 竖 直 方 向 上, 取 向 上 为 正, 则 有 : v + ω sin v + ω (5-b) v v 将 式 (5-) 代 入 式 (5-b), 可 得 运 动 学 关 系 : ( e g + v ) ( e g + v ) ω (5-5) sin 将 式 (5-a) (5-b) (5-5) 联 立 求 解, 可 得 : v g (sin e) ( e) g (5-6a) + sin 7 6 g( e + )sin ω (5-6b) ( + sin ) 由 式 (5-6a) 可 得, 要 使 在 碰 撞 刚 结 束 的 瞬 时 杆 质 心 的 速 度 为 零, 应 有 e. 75 (5-7) ()( 本 小 题 分 ) 当 端 与 地 面 发 生 完 全 非 弹 性 碰 撞, 即 e 时, 取 5, 由 式 (5-6) 的 两 式 可 得 v 6 g sin 6 g, + sin 5 6 g sin 6 ω ( + sin ) 5 g (5-8) 假 设 碰 撞 刚 结 束 的 瞬 时 杆 件 的 受 力 图 可 以 表 示 为 图 5-, 图 中 α 为 杆 件 角 加 速 度, 则 有 质 心 运 动 定 理 : 质 心 动 量 矩 定 理 : ma mg N, (5-9a) m α Nsin N (5-9b) 为 补 充 运 动 学 关 系, 以 为 基 点 研 究 质 心 的 加 速 度, 记 加 速 度 和 相 对 切 向 加 速 度, 则 有 a a + a + a, n t 将 上 式 投 影 到 竖 直 方 向, 取 向 下 为 正, 可 得 a a t cs + a sin ω cs α sin n + - 9 - n a 和 t a 分 别 为 对 的 相 对 法 向 6g sin cs 6 + α sin g + α (5-9c) ( + sin ) 5 由 式 (5-9) 的 三 式 联 立 可 解 出 : N mg 6sin cs mg 6 ( + sin ) ( + sin ) (5-) 5 5 图 5- 地 面 不 可 能 对 杆 有 向 下 的 约 束 力, 故 N 的 方 向 只 能 是 向 上 的, 因 此 在 式 (5-9) 和 (5-) 的 各 个 式 v v v S ω v

6 子 中, 应 有 N 但 是, 在 式 (5-) 中, < 5 面 并 无 相 互 作 用, 即 端 将 会 立 刻 离 开 地 面, 这 说 明, 在 碰 撞 刚 结 束 的 瞬 时, 端 与 地 此 部 分 分 析 的 目 的 在 于 判 断 在 碰 撞 刚 结 束 的 瞬 时 杆 的 运 动 形 态, 所 以 必 不 可 少 如 果 未 进 行 如 上 分 析 而 猜 测 出 点 会 离 开 地 面, 则 只 给 结 论 的 分 在 此 后 的 一 小 段 时 间 内, 杆 将 在 空 中 作 平 面 运 动, 根 据 式 (5-8) 可 得 如 下 的 运 动 参 数 质 心 初 始 速 度 : 6 g v ( 向 下 ), 5 (5-a) 质 心 加 速 度 : g ( 向 下 ), (5-b) mg α 杆 初 始 角 速 度 : ω 6 g 5 顺 时 针 ), (5-c) 杆 角 加 速 度 : (5-d) π 当 杆 水 平 时, 杆 转 动 了, 所 用 时 间 为 π 5π t, (5-) ω g 在 此 段 时 间 内, 质 心 运 动 的 竖 向 距 离 为 s + gt 5π g 5π v t + g g 5 g π 5π +.665 <, (5-) 8 这 说 明 此 时 杆 仍 然 在 空 中, 尚 未 与 地 面 发 生 第 二 次 碰 撞, 由 此 可 得 质 心 的 速 度 v 6 g 5π v + gt + g 6 5 π + g 5 g 5 8 a N n a a 图 5- t a.668 g (5-) - -