初中数学

全 国 中 小 学 教 师 远 程 非 学 历 培 训 课 程 资 源 开 发 项 目 初 中 数 学 课 堂 教 学 设 计 主 编 副 主 编 綦 春 霞 陈 立 雪 黄 耀 杰 高 等 教 育 出 版 社

摘 要 基 础 教 育 课 程 改 革 纲 要 ( 试 行 ) 提 出 要 积 极 利 用 并 开 发 信 息 化 课 程 资 源 全 日 制 义 务 教 育 数 学 课 程 标 准 指 出 数 学 课 程 资 源 是 指 依 据 数 学 课 程 标 准 所 开 发 的 各 种 教 学 材 料 以 及 数 学 课 程 可 以 利 用 的 各 种 教 学 资 源 工 具 和 场 所, 主 要 包 括 各 种 实 践 活 动 材 料 录 像 带 多 媒 体 光 盘 计 算 机 软 件 及 网 络 图 书 馆, 以 及 报 刊 杂 志 电 视 广 播 少 年 宫 博 物 馆 等 教 材 编 写 者 学 校 管 理 者 教 师 和 有 关 人 员 应 因 地 制 宜, 有 意 识 有 目 的 地 开 发 和 利 用 各 种 资 源 因 此 初 中 数 学 教 学 课 堂 教 学 设 计 课 程 资 源 的 开 发, 对 于 贯 彻 课 程 标 准 的 思 想, 更 好 地 指 导 教 学 的 实 践, 具 有 非 常 重 要 的 价 值 同 时, 该 课 程 旨 在 为 课 程 改 革 试 验 区 的 初 中 数 学 教 师 提 供 理 论 和 实 践 的 创 新 课 题, 拓 广 教 师 的 理 论 视 野, 同 时 将 理 论 与 实 践 相 结 合, 提 高 他 们 的 教 学 实 践 能 力 本 课 程 采 取 专 题 的 形 式, 主 要 涉 及 初 中 数 学 教 学 目 标 的 设 计 数 学 教 学 情 境 的 创 设 数 学 课 堂 教 学 中 问 题 的 设 计 数 学 课 堂 教 学 的 组 织 形 式 数 学 课 堂 练 习 题 的 设 计 数 学 课 堂 教 学 与 信 息 技 术 的 整 合 六 个 专 题, 具 体 的 内 容 如 下 : 专 题 一 : 初 中 数 学 教 学 目 标 的 设 计 本 专 题 着 重 探 讨 三 个 方 面 的 目 标, 知 识 性 目 标 过 程 性 目 标 和 情 感 态 度 性 目 标 对 每 个 方 面 的 目 标 提 供 一 系 列 的 案 例 和 建 议 专 题 二 : 数 学 教 学 情 境 的 创 设 本 专 题 根 据 数 学 课 程 标 准 的 要 求, 提 出 数 学 教 学 的 情 景 应 当 是 现 实 的 有 意 义 的 具 有 挑 战 性 的, 分 别 对 于 这 三 个 方 面 的 内 容 进 行 说 明, 并 提 供 相 关 的 案 例 专 题 三 : 数 学 课 堂 教 学 中 问 题 的 设 计 在 本 专 题 中, 我 们 将 课 堂 教 学 中 的 问 题 分 为 三 个 类 型 : 识 记 性 问 题 ; 推 理 性 问 题 ; 探 究 性 问 题, 提 出 在 课 堂 教 学 中 应 根 据 不 同 的 内 容 和 活 动 要 求, 分 别 设 计 不 同 类 型 的 问 题 同 时 建 议 在 教 学 中 多 设 计 后 两 种 类 型 的 问 题, 并 提 出 了 具 体 的 设 计 策 略 专 题 四 : 数 学 课 堂 教 学 的 组 织 形 式 本 专 题 着 重 分 析 数 学 小 组 合 作 学 习, 分 析 了 什 么 样 的 内 容 要 求 适 合 进 行 合 作 学 习, 合 作 学 习 的 方 法 以 及 如 何 评 价 专 题 五 : 数 学 课 堂 练 习 题 的 设 计 本 专 题 分 析 了 课 堂 练 习 的 类 型, 并 提 出 有 效 的 课 堂 练 习 的 问 题 专 题 六 : 数 学 教 学 与 信 息 技 术 的 整 合 本 专 题 分 析 数 学 课 程 中 哪 些 内 容 适 合 通 过 计 算 机 整 合 教 学, 提 出 了 整 合 策 略, 并 提 供 了 典 型 案 例 本 书 由 初 中 数 学 课 堂 教 学 设 计 课 题 组 编 写, 课 题 组 成 员 包 括 : 綦 春

霞 陈 立 雪 王 瑞 霖 梁 莹 莹 陈 艳 莉 刘 莉 梅 李 阳 光 江 守 富 曾 美 露 黄 耀 杰 薛 三 虎 具 体 分 工 : 陈 艳 莉 负 责 专 题 一 的 撰 写 ; 梁 莹 莹 负 责 专 题 二 专 题 五 的 撰 写 ; 王 瑞 霖 负 责 专 题 三 的 撰 写 ; 刘 莉 梅 负 责 专 题 四 的 撰 写 ; 陈 立 雪 负 责 专 题 六 的 撰 写 及 各 章 的 初 步 汇 总 ; 黄 耀 杰 负 责 案 例 整 理 ; 江 守 富 喻 汉 林 薛 三 虎 王 秀 阁 负 责 提 供 案 例 ; 李 阳 光 负 责 技 术 处 理 全 书 的 思 路 设 计 和 统 稿 由 綦 春 霞 负 责 完 成 在 写 作 的 过 程 中, 史 宁 中 齐 放 余 自 强 郑 春 和, 徐 伯 兴 等 专 家 的 给 出 了 宝 贵 的 意 见 和 建 议, 在 此 向 他 们 表 示 诚 挚 的 谢 意! 此 外,Dan Mazol, Dawn Boyer, 史 方 圆 姚 继 红 王 秀 阁 骆 永 波 刘 颖 邹 方 亮 王 金 云 高 峻 青 隋 宝 生 代 明 杨 璐 伊 杨 玉 敏 任 晓 慧 谢 桂 艳 许 磊 樊 峰 王 予 杨 景 珍 何 文 平 罗 婕 陈 翠 红 陈 霖 周 花 等 提 供 了 宝 贵 的 案 例, 在 此 一 并 向 他 们 致 谢! 初 中 数 学 课 堂 教 学 设 计 课 题 组 綦 春 霞 执 笔

目 录 专 题 一 初 中 数 学 教 学 目 标 的 设 计 -------------------------------------------------1 1.1 初 中 数 学 教 学 目 标 -----------------------------------------------------------------------2 1.2 知 识 性 目 标 的 内 容 及 其 设 计 -----------------------------------------------------------4 1.3 过 程 性 目 标 的 内 容 及 其 设 计 ----------------------------------------------------------15 1.4 情 感 态 度 性 目 标 的 内 容 及 其 设 计 ----------------------------------------------------21 1.5 目 标 标 设 计 中 应 注 意 的 几 个 问 题 ----------------------------------------------------33 1.6 教 学 设 计 示 例 ----------------------------------------------------------------------------36 专 题 二 数 学 教 学 情 境 的 创 设 -------------------------------------------------------49 2.1 数 学 教 学 情 境 概 述 ----------------------------------------------------------------------50 2.2 现 实 的 数 学 情 境 及 其 创 设 -------------------------------------------------------------53 2.3 有 数 学 意 义 的 情 境 及 其 创 设 ----------------------------------------------------------62 2.4 挑 战 性 的 数 学 情 境 及 其 创 设 ----------------------------------------------------------69 2.5 情 境 创 设 中 的 几 个 误 区 ----------------------------------------------------------------79 2.6 教 学 设 计 示 例 ----------------------------------------------------------------------------83 专 题 三 数 学 课 堂 教 学 中 的 问 题 设 计 -------------------------------------------- 91 3.1 数 学 课 堂 教 学 中 的 问 题 类 型 ----------------------------------------------------------92 3.2 数 学 课 堂 教 学 中 提 问 的 方 法 ----------------------------------------------------------98 3.3 问 题 设 计 的 注 意 事 项 -------------------------------------------------------------------111 3.4 教 学 设 计 示 例 ----------------------------------------------------------------------------118 专 题 四 数 学 课 堂 教 学 的 组 织 形 式 ------------------------------------------------129 4.1 数 学 小 组 合 作 学 习 的 概 念 -------------------------------------------------------------130 4.2 数 学 小 组 合 作 学 习 的 模 式 及 几 种 评 价 方 式 ----------------------------------------133 4.3 数 学 小 组 合 作 学 习 的 实 施 -------------------------------------------------------------141 4.4 案 例 分 析 ----------------------------------------------------------------------------------154 专 题 五 数 学 课 堂 练 习 题 的 设 计 ----------------------------------------------------161 5.1 数 学 课 堂 练 习 题 概 述 -------------------------------------------------------------------162 5.2 数 学 课 堂 练 习 的 案 例 设 计 -------------------------------------------------------------170 5.3 教 学 设 计 示 例 ----------------------------------------------------------------------------183 i

专 题 六 数 学 教 学 与 信 息 技 术 的 整 合 --------------------------------------------193 6. 1 数 学 课 程 与 信 息 技 术 整 合 概 述 ------------------------------------------------------194 6. 2 数 学 教 学 与 信 息 技 术 整 合 的 设 计 思 路 ---------------------------------------------196 6. 3 案 例 分 析 与 设 计 ------------------------------------------------------------------------212 ii

专 题 一 初 中 数 学 教 学 目 标 的 设 计 [ 内 容 提 要 ] 1.1 初 中 数 学 教 学 目 标 1.1.1 初 中 数 学 的 教 学 目 标 1.1.2 三 维 四 领 域 目 标 的 内 涵 及 分 类 1.1.3 初 中 数 学 教 学 目 标 的 作 用 1.2 知 识 性 目 标 的 内 容 及 其 设 计 1.2.1 知 识 与 技 能 性 目 标 的 内 容 1.2.2 知 识 与 技 能 性 目 标 的 设 计 1.3 过 程 性 目 标 的 内 容 及 其 设 计 1.3.1 过 程 性 目 标 的 内 容 1.3.2 过 程 性 目 标 的 设 计 1.4 情 感 态 度 性 目 标 的 内 容 及 其 设 计 1.4.1 能 积 极 参 与 数 学 学 习 活 动, 对 数 学 有 好 奇 心 和 求 知 欲 1.4.2 在 数 学 学 习 活 动 中 获 得 成 功 的 体 验, 锻 炼 克 服 困 难 的 意 志, 建 立 自 信 心 1.4.3 体 会 数 学 与 人 类 生 活 的 密 切 联 系 1.4.4 形 成 实 事 求 是 态 度 以 及 进 行 质 疑 和 独 立 思 考 的 习 惯 1.5 教 学 设 计 示 例 1.5.1 中 心 对 称 图 形 教 学 设 计 1.5.2 直 线 射 线 线 段 ( 第 1 课 时 ) 教 学 设 计

1.1 初 中 数 学 教 学 目 标 1.1.1 初 中 数 学 的 教 学 目 标 数 学 课 程 目 标 是 社 会 数 学 教 育 的 发 展 对 数 学 课 程 的 期 望 与 要 求, 即 一 定 阶 段 的 学 校 数 学 课 程 力 图 达 到 的 最 终 目 标 数 学 课 程 目 标 反 映 了 数 学 课 程 对 未 来 公 民 在 与 数 学 相 关 的 基 本 素 质 方 面 的 要 求, 体 现 了 不 同 性 质 不 同 阶 段 的 数 学 教 育 价 值 在 学 校 的 数 学 教 育 中, 数 学 课 程 目 标 是 国 家 和 社 会 对 教 师 进 行 数 学 教 学 和 学 生 进 行 数 学 学 习 所 提 出 的 目 标 要 求, 它 是 教 师 教 学 和 学 生 学 习 应 努 力 实 现 的 最 终 目 标 新 课 程 改 革 的 基 本 出 发 点 是 促 进 学 生 全 面 持 续 和 谐 的 发 展, 因 此 新 数 学 课 程 应 该 具 备 现 代 数 学 的 观 念 数 学 课 程 设 置 的 基 本 目 的 不 再 只 是 让 学 生 愿 意 亲 近 数 学 了 解 数 学 运 用 数 学 ; 学 会 用 数 学 的 眼 光 去 认 识 自 己 所 生 活 的 环 境 与 社 会 ; 学 会 做 数 学 和 从 事 数 学 地 思 考 ; 发 展 学 生 的 理 性 精 神 创 新 意 识 和 实 践 能 力 ; 培 养 学 生 克 服 困 难 的 意 志 力, 建 立 信 心 等 因 此, 数 学 课 程 标 准 ( 以 下 简 称 标 准 ) 明 确 将 数 学 思 考 解 决 问 题 情 感 与 态 度 与 知 识 与 技 能 这 四 个 领 域 的 要 求 并 列 在 一 起 作 为 数 学 课 程 教 学 目 标, 即 数 学 课 程 教 学 目 标 还 应 包 括 提 高 学 生 思 维 能 力 思 维 水 平 方 面, 用 数 学 解 决 问 题 的 能 力 方 面, 情 感 与 态 度 等 方 面 发 展 的 要 求, 这 种 从 整 体 上 考 虑 制 定 目 标 的 目 的 是 为 了 确 保 在 实 施 新 数 学 课 程 的 过 程 中 学 生 的 均 衡 与 可 持 续 发 展 在 新 数 学 课 程 的 教 学 目 标 中, 数 学 思 考 和 解 决 问 题 的 实 现 必 须 在 学 生 学 习 数 学 知 识 运 用 数 学 知 识 解 决 数 学 问 题 的 过 程 中, 需 要 学 生 在 学 习 数 学 的 过 程 中 通 过 观 察 思 考 猜 测 交 流 推 理 等 富 有 思 维 的 活 动 来 进 行 这 两 方 面 的 目 标 实 际 上 都 体 现 了 基 本 教 育 课 程 改 革 纲 要 ( 试 行 ) ( 以 下 简 称 纲 要 ) 所 说 的 过 程 与 方 法 的 基 本 要 求, 所 以 我 们 可 以 把 它 们 合 在 一 起 称 为 过 程 与 方 法 教 学 目 标 这 样 就 形 成 了 数 学 新 课 程 的 三 个 维 度 四 个 领 域 教 学 目 标, 简 称 为 三 维 四 领 域 教 学 目 标 0 数 学 教 学 目 标 是 数 学 课 程 目 标 在 教 学 中 的 进 一 步 具 体 化, 是 数 学 课 程 目 标 在 具 体 的 单 元 教 学 课 时 教 学 中 的 落 实 教 学 目 标 应 体 现 课 程 目 标 的 三 维 要 求, 教 学 目 标 也 应 分 类 描 述 为 : 知 识 与 技 能 目 标 过 程 与 方 法 ( 数 学 思 考 解 决 问 题 ) 目 标 情 感 与 态 度 目 标, 即 三 维 四 领 域 目 标, 以 此 来 表 述 数 学 课 堂 教 学 中 师 生 通 过 教 学 活 动 应 达 到 的 预 期 目 标 1.1.2 三 维 四 领 域 目 标 的 内 涵 及 分 类 0 1 总 体 三 维 目 标 内 涵 的 阐 述 (1) 知 识 与 技 能 经 历 将 一 些 实 际 问 题 抽 象 为 数 与 代 数 问 题 的 过 程, 掌 握 数 与 代 数 的 基 础 知 识 和 基 本 技 能, 并 能 解 决 简 单 的 问 题 ( 数 与 代 数 ) 经 历 探 究 物 体 与 图 形 的 形 状 大 小 位 置 关 系 和 变 换 的 过 程, 掌 握 空 间 与 图 形 的 基 础 知 识 和 基 本 技 能, 并 能 解 决 简 单 的 问 题 ( 空 间 与 图 形 ) 经 历 提 出 问 题 收 集 和 处 理 数 据 做 出 决 策 和 预 测 的 过 程, 掌 握 统 计 与 概 率 的 基 - 2 -

础 知 识 和 基 本 技 能, 并 能 解 决 简 单 的 问 题 ( 统 计 与 概 率 ) (2) 过 程 与 方 法 ( 数 学 思 考 解 决 问 题 ) 数 学 思 考 经 历 运 用 数 学 符 号 和 图 形 描 述 现 实 世 界 的 过 程, 建 立 初 步 的 数 感 和 符 号 感, 发 展 抽 象 思 维 ( 数 与 代 数 ) 形 ) 丰 富 对 现 实 空 间 及 图 形 的 认 识, 建 立 初 步 的 空 间 观 念, 发 展 形 象 思 维 ( 空 间 与 图 经 历 运 用 数 据 描 述 信 息 做 出 推 断 的 过 程, 发 展 统 计 观 念 ( 统 计 与 概 率 ) 经 历 观 察 实 验 猜 想 证 明 等 数 学 活 动 过 程, 发 展 合 情 推 理 能 力 和 初 步 的 演 绎 推 理 能 力, 能 有 条 理 地 清 晰 地 阐 述 自 己 的 观 点 ( 实 践 与 综 合 应 用 ) 解 决 问 题 初 步 学 会 从 数 学 的 角 度 提 出 问 题 理 解 问 题, 并 能 综 合 运 用 所 学 的 知 识 和 技 能 解 决 问 题, 发 展 应 用 意 识 新 精 神 形 成 解 决 问 题 的 一 些 基 本 策 略, 体 验 解 决 问 题 策 略 的 多 样 性, 发 展 实 践 能 力 与 创 学 会 与 人 合 作, 并 能 与 他 人 交 流 思 维 的 过 程 和 结 果 初 步 形 成 评 价 与 反 思 的 意 识 (3) 情 感 态 度 与 价 值 观 能 积 极 参 与 数 学 学 习 活 动, 对 数 学 有 好 奇 心 与 求 知 欲 在 数 学 学 习 活 动 中 获 得 成 功 的 体 验, 锻 炼 克 服 困 难 的 意 志, 建 立 自 信 心 初 步 认 识 数 学 与 人 类 生 活 的 密 切 联 系 及 对 人 类 历 史 发 展 的 作 用, 体 验 数 学 活 动 充 满 着 探 索 与 创 造, 感 受 数 学 的 严 谨 以 及 数 学 结 论 的 确 定 性 形 成 事 实 求 是 的 态 度 以 及 进 行 质 疑 和 独 立 思 考 的 习 惯 0 3 三 维 四 领 域 教 学 目 标 之 间 的 关 系 标 准 中 所 提 出 的 关 于 知 识 与 技 能 数 学 思 考 解 决 问 题 情 感 与 态 度 四 个 不 同 目 标 领 域 的 目 标 不 是 孤 立 的, 它 们 之 间 有 着 密 切 的 联 系, 相 辅 相 成 首 先, 以 上 四 个 方 面 的 目 标 是 一 个 密 切 联 系 的 有 机 整 体, 对 人 的 发 展 具 有 十 分 重 要 的 作 用 数 学 课 堂 中 的 数 学 活 动, 是 作 为 实 现 课 程 目 标 的 主 要 途 径, 应 当 将 数 学 课 程 目 标 的 这 四 个 方 面 同 时 作 为 我 们 的 教 学 目 标, 而 不 能 仅 仅 关 注 其 中 的 一 个 或 几 个 方 面 ( 如 只 关 注 知 识 与 技 能 只 关 注 解 决 问 题 等 ), 或 是 只 将 其 中 的 某 一 个 目 标 ( 如 情 感 与 态 度 ) 作 为 实 现 其 他 目 标 过 程 中 的 一 个 副 产 品 其 次, 它 们 是 在 丰 富 多 彩 的 数 学 教 学 活 动 中 实 现 的 其 中, 数 学 思 考 的 发 展 离 不 开 - 3 -

知 识 与 技 能 的 学 习, 同 时, 知 识 与 技 能 的 学 习 必 须 以 有 利 于 其 他 目 标 的 实 现 为 前 提 这 段 话 包 含 两 层 意 思 : 一 是 数 学 思 考 解 决 问 题 情 感 与 态 度 教 学 目 标 的 实 现 是 通 过 知 识 与 技 能 的 学 习 来 完 成 的, 不 需 要 也 不 可 能 为 它 们 设 置 专 门 的 课 程 或 专 门 设 置 几 节 课 来 学 习 ; 二 是 学 什 么 样 的 知 识 与 技 能, 应 当 首 先 考 虑 到 是 否 有 利 于 其 他 三 个 方 面 目 标 的 实 现 最 后, 标 准 指 出, 学 生 在 掌 握 了 必 要 的 基 础 知 识 与 基 本 技 能 之 后, 在 数 学 思 考 解 决 问 题 情 感 与 态 度 等 方 面 的 发 展 比 单 纯 在 知 识 与 技 能 方 面 的 发 展 更 为 重 要, 因 为 数 学 思 考 解 决 问 题 情 感 与 态 度 是 每 一 个 学 生 终 身 可 持 续 发 展 的 基 础 1.1.3 初 中 数 学 教 学 目 标 的 作 用 教 学 目 标 之 所 以 对 教 学 过 程 举 足 轻 重, 主 要 是 因 为 它 具 有 如 下 重 要 作 用 0 : 1 指 向 作 用 教 学 目 标 既 是 教 学 的 出 发 点, 也 是 教 学 的 归 宿, 它 是 教 学 所 要 实 现 的 预 期 成 果, 关 系 着 教 学 活 动 的 全 过 程, 引 导 着 教 学 活 动 向 预 定 的 方 向 发 展 变 化 如 果 我 们 没 有 明 确 的 教 学 目 标, 教 学 活 动 就 会 失 去 正 确 的 方 向 ; 对 于 教 学 程 序 与 方 法 的 设 计 与 挑 选 的 恰 当 合 理 性 的 判 断 也 就 失 去 了 依 据 ; 教 学 重 点 难 点 的 确 定 将 会 显 得 可 有 可 无 2 控 制 作 用 控 制 就 是 操 纵 支 配 的 意 思 教 学 的 航 船 一 旦 启 动, 就 立 即 被 置 于 教 学 目 标 的 控 制 或 制 约 之 中, 使 它 沿 着 正 确 的 航 道, 朝 着 预 定 的 方 向 航 行 教 学 活 动 是 在 教 师 的 有 效 组 织 下 进 行 的, 而 这 些 教 学 的 活 动 安 排 的 依 据 就 是 教 学 目 标 课 堂 教 学 活 动 不 能 超 越 特 定 的 教 学 目 标 所 界 定 的 范 围 ; 教 师 不 能 偏 离 教 学 方 向, 也 不 能 一 直 止 步 不 前, 必 须 按 照 教 学 目 标 的 要 求 进 行 3 激 励 作 用 教 学 活 动 中 的 动 力 源 于 对 教 学 预 期 成 果 的 追 求 当 师 生 双 方 都 明 确 了 教 学 目 标 后, 教 学 目 标 必 将 促 使 教 师 积 极 工 作, 精 心 地 设 计 与 组 织 教 学 ; 同 时 激 发 学 生 努 力 学 习, 反 复 练 习, 不 断 进 取 当 教 学 航 船 一 量 发 生 了 故 障 或 偏 离 了 方 向, 教 学 目 标 也 将 激 励 我 们 振 奋 精 神, 增 强 信 心, 拨 正 船 头, 排 除 故 障, 执 着 地 向 既 定 的 目 标 前 进 所 以, 教 学 目 标 对 参 与 教 学 的 师 生 都 具 有 激 励 作 用 4 衡 量 作 用 衡 量 即 评 定 的 意 思 教 学 目 标 既 是 教 学 活 动 所 要 实 现 的 目 标, 也 是 衡 量 学 生 发 生 预 期 变 化 的 标 准 清 楚 完 整 表 述 的 教 学 目 标 一 经 确 定, 就 可 以 对 学 生 的 学 习 情 况 进 行 衡 量 ; 如 果 学 生 在 教 学 目 标 界 定 的 教 学 内 容 范 围 已 达 到 了 目 标 所 要 求 的 认 知 水 平, 我 们 就 可 以 做 出 他 们 已 经 达 到 了 ( 或 完 成 了 ) 这 条 目 标 的 价 值 判 断 ; 否 则 就 是 没 有 达 标 1.2 知 识 性 目 标 的 内 容 及 其 设 计 - 4 -

1.2.1 知 识 与 技 能 性 目 标 的 内 容 知 识 与 技 能 向 来 是 数 学 课 程 与 数 学 教 学 的 一 个 核 心 问 题, 实 施 新 数 学 课 程 后, 数 学 中 的 基 础 知 识 与 基 本 技 能 ( 简 称 双 基 ) 仍 然 是 学 生 学 习 的 重 点 但 需 要 重 新 思 考 的 是 : 在 当 今 这 个 科 技 信 息 社 会 中, 新 数 学 课 程 中 的 双 基 还 是 不 是 以 往 那 种 形 式 化 规 范 化 的 概 念 与 定 理 法 则 的 表 述 和 运 用, 以 及 快 速 准 确 地 从 事 复 杂 的 数 值 计 算 代 数 运 算 技 能 和 多 种 类 型 多 种 套 路 的 解 题 技 巧? 学 生 还 应 不 应 该 花 费 时 间 和 精 力 去 牢 固 掌 握 基 础 知 识 和 基 本 技 能? 回 答 是 肯 定 的, 但 是 我 们 对 双 基 的 认 识 也 要 与 时 俱 进, 一 些 多 年 以 来 被 看 重 的 基 础 知 识 基 本 技 能 已 不 再 成 为 今 天 或 者 未 来 学 生 数 学 学 习 的 重 点 例 如, 大 数 目 的 数 值 计 算 复 杂 的 有 理 数 混 合 运 算 与 复 杂 的 代 数 运 算 技 巧 一 些 图 形 性 质 的 证 明 技 巧 等 相 反, 一 些 以 往 未 受 关 注 的 知 识 技 能 或 数 学 思 维 方 法 却 应 当 成 为 学 生 必 须 掌 握 的 基 础 知 识 基 本 技 能, 即 双 基 的 内 涵 发 生 了 变 化 例 如, 使 用 计 算 器 处 理 数 据 的 技 能, 利 用 计 算 器 进 行 有 理 数 混 合 运 算 的 技 能, 通 过 网 络 收 集 信 息 的 技 能, 有 关 制 作 统 计 图 表 的 技 能, 获 取 与 处 理 统 计 数 据 并 根 据 所 得 的 结 果 进 行 推 断 的 技 能, 对 变 化 过 程 中 变 量 之 间 变 化 规 律 的 把 握 与 运 算 的 意 识 等, 都 应 该 成 为 新 的 双 基 内 容 1.2.2 知 识 与 技 能 性 目 标 的 设 计 如 何 在 课 堂 教 学 中 完 成 知 识 与 技 能 性 目 标 的 设 计? 下 面 我 们 来 看 一 些 具 体 的 案 例 1 概 念 教 学 案 例 案 例 1-1: 有 趣 的 游 戏 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算 的 知 识 技 能 目 标 : 识 记 : 有 理 数 加 减 法 法 则 ; 理 解 : 有 理 数 加 减 法 法 则, 省 略 加 号 括 号 ; 变 减 为 加 ; 同 号 结 合, 建 立 初 步 的 数 感 ; 运 用 : 能 正 确 使 用 有 理 数 加 减 法 法 则 进 行 运 算 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算 是 北 师 大 版 数 学 七 年 级 上 册 第 二 章 第 六 节 的 内 容, 它 既 是 对 有 理 数 的 加 法 有 理 数 的 减 法 的 深 入 学 习, 又 是 熟 练 掌 握 有 理 数 的 乘 法 除 法 乘 方 及 混 合 运 算 的 前 提 条 件 其 具 体 的 教 学 过 程 分 为 如 下 几 个 方 面 : 首 先 通 过 扑 克 牌 游 戏 引 入 有 理 数 的 加 减 运 算 ; 然 后 在 运 算 的 过 程 中 总 结 出 规 律 ; 最 后 通 过 变 换 游 戏 规 则 和 变 式 来 应 用 所 学 的 知 识 其 具 体 教 学 过 程 如 下 : 环 节 一 : 游 戏 引 入 有 理 数 的 加 减 运 算 - 5 -

教 学 过 程 师 : 我 们 用 一 副 扑 克 牌 来 做 一 个 游 戏 : 其 中 J 代 表 11,Q 代 表 12,K 代 表 13,A 代 表 1; 黑 色 牌 表 示 正 数, 红 色 牌 表 示 负 数, 随 机 的 抽 取 几 张 扑 克 牌, 先 依 次 记 下 各 张 扑 克 牌 所 表 示 的 有 理 数, 再 在 各 个 数 之 间 添 上 加 号 或 者 减 号 和 括 号, 然 后 迅 速 的 计 算 出 结 果 首 先 我 们 抽 取 两 张 牌, 并 添 上 加 号 和 括 号, 即 算 加 法 ; 现 在 我 们 抽 取 三 张 牌, 并 添 上 减 号 和 括 号, 即 算 减 法 ; 现 在 我 们 抽 取 四 张 牌, 并 算 加 法 ; 现 在 我 们 抽 取 四 张 牌, 并 算 减 法 环 节 二 : 归 纳 规 律 教 学 过 程 在 游 戏 过 程 中, 教 师 不 断 的 启 发 学 生 想 到 了 什 么, 发 现 了 什 么, 得 到 了 怎 么 样 的 规 律 学 生 在 轻 松 愉 乐 的 课 堂 环 境 中 感 悟 到 不 同 颜 色 不 同 大 小 的 扑 克 牌 间 存 在 着 一 定 的 运 算 规 则 ; 在 合 作 交 流 的 基 础 上, 认 识 逐 渐 得 到 提 升, 进 而 总 结 出 以 下 规 律 : 师 : 通 过 以 上 游 戏, 你 发 现 了 什 么? 有 什 么 想 法? 快 把 你 算 得 又 快 又 准 的 技 巧 或 想 法 与 其 他 同 伴 交 流 讨 论 吧! 师 : 别 忘 了, 把 你 们 的 发 现 告 诉 我 哟! 如 果 能 整 理 成 简 明 的 文 字, 就 更 好 了 规 律 一 省 略 加 号 括 号 即 如 果 是 加 法, 在 书 写 计 算 式 时, 加 号 可 以 省 略, 同 时 括 号 也 省 略 不 写 即 把 式 子 写 成 省 略 加 号 括 号 和 的 式 子 规 律 二 变 减 为 加 即 如 果 是 减 法, 先 把 减 法 转 变 为 加 法 运 算, 然 后 省 略 加 号 括 号 再 计 算 规 律 三 同 号 结 合 即 根 据 加 法 运 算 律, 先 把 整 数 负 数 分 别 结 合 在 一 起 相 加 环 节 三 : 应 用 教 学 过 程 师 : 我 们 将 游 戏 规 则 改 为 : 红 色 牌 黑 色 牌 仍 分 别 表 示 负 数 正 数, 抽 到 黑 色 牌 则 加 上 牌 上 的 数 字, 抽 到 红 色 牌 则 减 去 牌 上 的 数 字 - 6 -

师 : 实 际 上 我 们 是 在 进 行 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算. 用 前 面 的 规 律 与 同 伴 做 这 个 游 戏 吧 自 己 估 计 能 得 多 少 分 : 1. 把 18 (+12)+( 9) ( 6) 写 成 省 略 加 号 和 的 形 式 是 ( ) A.18 12 9 6 C.18+( 12)+( 9)+6 B.18 12 9+6 D.18+12 9 6 2. 计 算 ( 5) (+3)+( 9) ( 7 )+0.5 所 得 结 果 是 ( ) A. 10.5 B. 9.5 C.8.5 D.23.5 3. 小 明 存 折 中 有 450 元, 取 出 80 元, 又 存 入 150 元 后 存 款 余 额 为 ( ) A.520 元 B.680 元 C.380 元 D.220 元 4. 43+( 18) ( 25) (+16)=. 5. 32.74+18 20+32.74 8=. 6. 17 6+5 4+25 3= ( 每 题 10 分, 共 60 分 ) 7. 矿 井 下 A B C 三 处 的 标 高 分 别 是 37.4 米, 129.8 米, 问 A 点 比 B 点 高 多 少? B 点 比 C 点 高 多 少? C 点 比 A 点 高 多 少?(20 分 ) 8. 小 明 从 离 甲 地 西 面 2 千 米 的 A 地 出 发, 向 西 走 了 6 千 米 到 达 B 地, 接 着 再 向 东 走 了 10 千 米 到 达 C 地, 问 小 明 这 时 在 甲 地 的 东 面 还 是 西 面, 距 甲 地 多 少 千 米?(20 分 ) [ 案 例 分 析 ] 对 于 环 节 一, 课 的 开 始 教 师 把 有 趣 的 扑 克 牌 游 戏 引 入 课 堂, 展 开 了 以 学 生 自 主 学 习 为 中 心 的 教 学, 这 极 大 的 激 发 了 学 生 学 习 的 热 情 和 积 极 性, 活 跃 了 课 堂 气 氛, 使 传 统 单 一 的 有 理 数 加 减 混 合 运 算 法 则 的 教 学 变 得 生 动 活 泼 有 理 数 加 法 减 法 的 法 则 在 游 戏 中 反 复 运 用, 从 而 为 有 理 数 加 减 混 合 运 算 知 识 技 能 目 标 的 实 现 奠 定 了 坚 实 的 基 础 在 环 节 二 中, 对 知 识 与 技 能 目 标 的 学 习, 不 能 单 从 是 否 记 住 或 者 掌 握 的 层 面 来 判 断, 其 中 很 重 要 的 一 点 是 学 生 是 否 真 正 理 解 了 这 些 知 识 或 技 能 背 后 所 隐 含 的 数 学 意 义 传 统 的 概 念 教 学 对 知 识 掌 握 主 要 集 中 在 学 生 能 否 记 住 概 念 的 定 义, 能 否 从 给 出 的 几 个 选 项 中 选 择 出 一 个 有 关 这 个 概 念 正 确 例 子, 或 者 在 几 个 相 近 概 念 之 间 区 别 出 符 合 条 件 的 某 个 概 念 新 课 程 对 概 念 教 学 远 不 仅 于 此 标 准 中 对 概 念 真 正 的 理 解 意 味 着 : 学 生 能 够 自 己 举 出 一 定 数 量 的 有 关 这 一 概 念 的 正 例 和 反 例 ; 能 够 在 几 个 相 近 概 念 之 间 比 较 彼 此 的 异 同, 并 且 认 识 到 在 这 些 差 异 上 不 同 的 概 念 所 对 应 的 不 同 解 释 ; 能 够 将 概 念 从 文 字 的 表 述 转 换 成 符 号 的 图 像 的 口 头 的 描 述 或 表 示 在 课 的 最 后, 教 师 通 过 变 式 训 练, 即 改 变 游 戏 规 则, 让 学 生 进 一 步 认 识 到 扑 克 牌 的 加 减 运 算 实 质 上 就 是 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算 ; 通 过 适 当 的 课 堂 练 习 加 强 巩 固 有 理 数 加 减 的 运 算 法 则 最 终 实 现 有 理 数 加 减 混 合 运 算 的 知 识 技 能 目 标 - 7 -

案 例 1-2: 生 动 的 课 件 有 理 数 的 乘 法 有 理 数 的 乘 法 的 知 识 技 能 目 标 : 识 记 : 有 理 数 乘 法 法 则 理 解 : 有 理 数 乘 法 法 则, 两 个 有 理 数 相 乘, 积 的 符 号 和 绝 对 值 如 何 确 定, 建 立 初 步 的 数 感 运 用 : 能 正 确 使 用 有 理 数 乘 法 法 则 进 行 乘 法 运 算 [ 案 例 分 析 ] 有 理 数 乘 法 是 继 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算 水 位 的 变 化 之 后 的 又 一 个 重 要 学 习 内 容, 在 教 科 书 的 编 排 中, 它 有 着 承 上 启 下 的 作 用 在 教 学 过 程 中, 必 须 要 解 决 3 个 难 点 : 如 何 自 然 地 引 入 带 有 负 数 的 乘 法 ; 怎 么 样 体 现 负 负 得 正 的 合 理 性 与 必 要 性 ; 怎 么 样 说 明 有 理 数 与 1 和 0 相 乘 的 结 果 该 教 师 注 重 课 堂 引 入, 不 受 限 于 教 科 书 中 的 问 题 情 境, 并 提 出 了 以 下 四 个 问 题 : 教 学 过 程 一 只 蜗 牛 沿 直 线 l 爬 行, 它 现 在 的 位 置 恰 好 在 l 上 的 o 点. (1) 如 果 蜗 牛 一 直 以 每 分 2cm 的 速 度 向 右 爬 行,3 分 钟 后 它 在 什 么 位 置? ( 生 答 :3 分 钟 后 蜗 牛 在 o 点 右 边 6cm 的 地 方 ) (2) 如 果 蜗 牛 一 直 以 每 分 2cm 的 速 度 向 左 爬 行,3 分 钟 后 它 在 什 么 位 置? ( 生 答 :3 分 钟 后 蜗 牛 在 o 点 左 边 6cm 的 地 方 ) (3)3 分 钟 前 蜗 牛 在 o 点 左 边 6cm 的 地 方. (4)3 分 钟 前 蜗 牛 在 o 点 右 边 6cm 的 地 方. 师 : 通 过 对 以 上 4 个 问 题 的 回 答, 我 们 都 能 想 象 出 蜗 牛 爬 行 的 位 置 关 系, 在 数 学 问 题 中, 速 度 向 左 向 右 我 们 通 常 用 什 么 方 法 表 示 呢? 生 1: 向 右 一 般 用 正 数, 向 左 一 般 用 负 数. 师 : 为 了 区 分 3 分 钟 前 3 分 钟 后 这 一 对 相 反 量, 我 们 也 可 以 用 正 数 和 负 数 表 示. 为 区 分 方 向, 规 定 向 左 为 负, 向 右 为 正 ; 为 区 分 时 间, 规 定 现 在 前 为 负, 现 在 后 为 正 ; 以 上 4 个 小 问 题 的 答 案 是 什 么? 计 算 过 程 如 何 写? - 8 -

通 过 动 画 演 示, 学 生 们 认 识 到 蜗 牛 爬 行 方 向 时 间 前 后 与 路 程 之 间 的 大 小 关 系, 最 终 得 出 结 论 : (1) (+2) (+3)=+6; (2) (-2) (+3)=-6 (3) (+2) (-3)=-6; (4) (-2) (-3)=+6 [ 案 例 分 析 ] 学 生 从 熟 悉 的 正 数 乘 法 解 决 实 际 问 题 中 感 受 到 数 学 知 识 不 是 空 洞 抽 象 枯 燥 的 ; 逐 渐 体 验 带 负 数 乘 法 的 探 索 过 程 ; 自 然 地 加 深 了 对 引 入 负 数 必 要 性 的 认 识 教 师 有 效 地 突 破 了 有 理 数 乘 法 教 学 中 第 一 个 难 关 0 为 了 达 到 理 解 有 理 数 乘 法 法 则 的 教 学 目 标, 教 师 进 而 又 提 出 第 3 个 问 题 : 有 理 数 包 括 正 数 0 负 数, 两 个 有 理 数 相 乘, 有 哪 几 种 情 况? 怎 么 样 进 行 两 个 有 理 数 的 乘 法 运 算? 并 让 学 生 进 行 概 括 应 用 在 课 的 最 后, 教 师 让 学 生 进 行 小 结 通 过 问 题 本 节 课 我 们 学 习 了 哪 些 知 识? 你 有 哪 些 收 获? 的 提 问, 首 先 能 够 了 解 学 生 本 节 课 掌 握 知 识 的 大 体 情 况 ; 其 次 在 梳 理 问 题 时 使 学 生 知 识 系 统 化 ; 最 后 及 时 调 整 教 学 方 法 和 进 度 尽 管 这 个 环 节 如 此 重 要, 但 仍 未 引 起 更 多 教 师 的 重 视 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算 有 理 数 的 乘 法 教 学, 在 性 质 上 都 属 于 概 念 教 学, 实 施 起 来 却 存 在 一 定 的 困 难 要 想 较 好 的 达 成 标 准 中 所 述 的 知 识 技 能 目 标, 教 师 在 教 学 设 计 上 一 定 要 深 思 熟 虑, 有 所 创 新 概 念 教 学 一 般 有 两 种 设 计 方 案 : 一 是 按 照 概 念 - 法 则 ( 定 理 )- 应 用 的 程 序 设 置 实 际 这 上 构 成 了 预 备 知 识 - 基 本 定 理 - 基 本 理 论 的 应 用 的 单 元 教 学 结 构 形 式 这 样 的 教 学 枯 燥 乏 味, 教 师 在 台 上 不 停 的 讲, 学 生 在 台 下 拼 命 的 记, 下 课 以 后 离 开 笔 记 本, 什 么 都 不 记 得 另 一 种 是 按 照 情 境 - 规 律 总 结 - 应 用 的 程 序 设 置 实 际 上 这 不 仅 让 学 生 掌 握 了 基 础 知 识 和 应 用 技 能, 还 加 强 了 学 生 数 学 思 维 方 法 和 创 造 能 力 的 培 养 在 具 体 的 情 境 中, 学 生 从 数 学 的 角 度 提 出 问 题 理 解 问 题 体 验 问 题 解 决, 并 感 受 到 学 习 成 功 的 喜 悦, 建 立 自 信 心, 从 而 积 极 参 与 数 学 学 习 活 动, 激 发 强 烈 的 求 知 欲 2 知 识 应 用 过 程 教 学 案 例 值 得 注 意 的 是, 与 过 去 的 教 学 大 纲 中 仅 仅 呈 现 的 结 果 性 目 标 不 同, 标 准 中 首 次 出 现 了 过 程 性 目 标, 在 这 里, 过 程 被 赋 予 了 更 为 深 刻 的 含 义 过 程 本 身 就 是 一 个 课 程 目 标, 即 首 先 必 须 让 学 生 在 数 学 学 习 活 动 中 去 经 历 过 程, 这 是 学 生 进 行 数 学 学 习 活 动, 获 得 知 识 与 技 能 的 必 要 前 提 在 以 往 的 数 学 教 学 中, 比 较 熟 悉 或 者 能 够 把 握 的 都 是 知 识 与 技 能 目 标, 因 为 它 是 一 种 教 师 和 学 生 都 看 得 见 摸 得 着 的 结 果 性 目 标, 而 过 程 性 目 标 有 一 点 摸 不 着 边 的 感 觉 经 过 了 一 段 较 长 时 间 的 活 动, 学 生 似 乎 没 学 到 什 么 实 质 性 的 东 西, 只 是 在 进 行 操 作 思 考 交 流 等 活 动 例 如 对 平 均 数 中 位 数 众 数 的 掌 握, 不 应 仅 停 留 在 给 定 数 据 的 平 均 数 中 位 数 众 数 的 计 算 层 面, 更 重 要 的 是 能 根 据 实 际 问 题 选 择 恰 当 的 统 计 量 来 描 述 数 据, 并 做 出 正 确 的 判 断 - 9 -

知 识 与 技 能 性 目 标 的 教 学 中, 过 程 真 的 如 此 重 要 吗? 我 们 应 当 如 何 理 解 它 的 意 义 与 重 要 性, 如 何 处 理 学 生 掌 握 这 些 基 本 知 识 和 基 本 技 能 及 在 新 情 境 中 的 灵 活 运 用 之 间 的 矛 盾 呢, 北 师 大 版 数 学 八 年 级 下 册 第 五 章 第 四 节 方 差 内 容 的 教 学 案 例 或 许 能 给 以 启 示 案 例 1-3: 丰 富 的 情 境 数 据 的 波 动 : 方 差 方 差 的 知 识 技 能 目 标 识 记 : 刻 画 数 据 离 散 程 度 的 三 个 统 计 量 极 差 方 差 标 准 差 的 意 义 及 计 算. 理 解 : 三 个 度 量 的 特 点 以 及 能 借 助 计 算 器 求 出 相 应 的 数 值. 运 用 : 从 收 集 数 据 的 过 程 中 获 取 有 用 信 息, 并 在 具 体 问 题 情 境 中 对 数 据 尽 可 能 清 晰 有 效 地 描 述 和 分 析, 最 终 做 出 合 理 的 决 策. 情 境 : 为 培 养 新 人, 孙 教 练 要 从 甲 乙 两 名 跨 栏 运 动 员 中 选 取 一 名 队 员 作 为 重 点 培 养 对 象, 假 设 你 是 教 练, 根 据 他 们 平 时 比 赛 成 绩 会 选 择 哪 名 队 员 呢? 表 中 是 他 们 5 次 在 相 同 情 况 下 的 比 赛 成 绩.( 单 位 : 秒 ) 1 2 3 4 5 甲 队 员 14.54 14.47 14.54 14.43 14.52 乙 队 员 14.52 14.47 14.50 14.53 14.48 师 : 现 在 小 组 开 始 讨 论 这 个 问 题. 话 音 刚 落, 各 小 组 就 进 入 了 积 极 的 讨 论 中. 秒. 组 一 : 我 们 组 选 的 是 甲 队 员 因 为 甲 队 员 在 第 四 次 的 比 赛 中 跑 得 最 快, 跑 了 14.43 组 二 : 我 们 组 是 算 了 甲 乙 两 名 队 员 的 平 均 成 绩, 都 是 14.5 秒 因 为 平 均 值 一 样, 所 以 我 们 就 要 看 哪 名 队 员 的 成 绩 比 较 稳 定 一 些 乙 队 员 的 成 绩 与 平 均 值 接 近, 所 以 应 该 选 乙 队 员 参 加 比 赛. 组 三 : 我 们 认 为 暂 时 都 不 选. 因 为 甲 乙 两 队 员 的 成 绩 目 前 都 是 一 样 的, 没 有 办 法 看 出 两 队 员 哪 一 个 好, 应 该 再 做 一 次 比 试, 进 行 一 次 综 合 性 的 评 判 这 样 才 能 更 好 的 选 出 哪 个 队 员 适 合 比 赛. [ 案 例 分 析 ] 三 个 小 组 的 学 生 在 经 过 激 烈 的 讨 论 后 都 发 表 了 各 自 的 意 见 每 个 小 组 都 各 有 道 理, 使 得 同 学 们 急 切 的 想 知 道 究 竟 谁 才 是 真 正 的 入 选 队 员 在 这 个 现 实 的 情 境 当 中, 通 过 图 示 让 学 生 直 观 地 估 计 两 名 队 员 的 成 绩, 并 让 他 们 初 步 体 会 平 均 水 平 相 近 时, 两 者 的 离 散 程 度 未 必 相 同, 从 而 顺 理 成 章 的 引 入 刻 画 数 据 离 散 程 度 的 量 度 : 极 差 方 差 - 10 -

教 学 过 程 师 : 怎 样 衡 量 一 组 数 据 的 波 动 大 小, 进 而 了 解 它 的 稳 定 性 把 表 中 的 数 据 描 在 图 中, 看 看 你 有 什 么 发 现? 学 : 甲 队 员 的 成 绩 比 较 分 散, 它 的 波 动 比 较 大 ; 乙 队 员 的 成 绩 比 较 集 中, 它 的 波 动 比 较 小 我 觉 得 乙 队 员 的 成 绩 比 甲 队 员 的 稳 定 师 : 大 多 数 同 学 通 过 折 线 图 正 确 的 表 示 出 甲 乙 队 员 的 成 绩 情 况, 并 得 出 乙 队 员 的 成 绩 较 甲 的 稳 定 如 果 两 组 数 据 差 距 不 是 很 明 显, 那 么 看 图 得 到 的 答 案 未 必 准 确, 我 们 能 不 能 找 到 一 个 数 量 能 描 述 出 这 组 数 据 与 平 均 值 的 差 异, 并 能 反 应 出 其 波 动 性 的 大 小 呢? 1 生 1: [( x x) + ( x x) +... + ( x x) ] 1 2 n n 师 : 大 家 用 计 算 器 计 算 得 出 的 结 果 是 0 正 的 偏 差 和 负 的 偏 差 相 互 间 抵 消 了, 我 们 要 想 办 法 来 解 决 这 个 问 题 1 [ x x x ] 生 2: n x + x +... + x 1 2 n (1) 师 : 除 了 加 绝 对 值 能 够 使 偏 差 为 正, 还 有 什 么 办 法 呢? 1 ( ) ( )... ( ) 生 : n x 1 x + x 2 x + + x n x 2 2 2 师 :(1) 式 在 统 计 学 中 称 为 平 均 差 ;(2) 式 在 统 计 学 中 称 为 方 差 描 述 一 组 数 据 波 动 大 小 用 这 些 都 可 以, 但 两 者 间 又 有 区 别 这 节 课 我 们 来 研 究 方 差 为 了 刻 画 一 组 数 据 波 动 的 大 小, 可 以 采 用 多 种 方 法 统 计 学 中 常 采 用 下 面 的 做 法 :,, 设 有,..., 2 x1 x2 x ( ) n 个 数 据 各 数 据 与 它 们 平 均 数 的 差 的 平 方 分 别 是 x 1 x, ( ) x x 2 ( x) 2,, xn 2 1 2, 我 们 用 它 们 的 平 均 数, 即 用 ( x ) ( x)... ( x) = n 1 + 2 + + n 2 2 2 S x x x 来 衡 量 这 给 数 据 的 波 动 大 小, 并 把 它 叫 做 这 组 数 据 的 方 差, 记 作 S 2 师 : 既 然 方 差 能 够 衡 量 数 据 波 动 大 小, 那 么 我 们 观 察 公 式 来 考 虑 下 面 几 个 问 题 : (1) 数 据 比 较 分 散 时, 方 差 的 值 怎 样? - 11 -

(2) 数 据 比 较 集 中 时, 方 差 的 值 怎 样? (3) 方 差 大 小 与 数 据 波 动 性 大 小 有 怎 样 的 关 系? 小 组 讨 论 交 流, 交 并 做 出 相 应 的 回 答 生 3: 数 据 分 散 时, 方 差 大 ; 数 据 集 中 时, 方 差 小 ; 方 差 小 时, 数 据 波 动 性 小 师 : 那 么 我 们 就 得 到 了 结 论 方 差 越 大, 数 据 的 波 动 越 大, 方 差 越 小, 数 据 的 波 动 越 小 在 经 历 了 表 示 数 据 离 散 程 度 的 几 个 量 度 的 探 索 学 习 之 后, 教 师 又 向 同 学 们 提 出 了 新 的 要 求 师 : 衡 量 数 据 稳 定 性 的 方 法, 一 种 是 画 图, 另 一 种 是 用 方 差 表 示 前 者 比 较 直 观, 后 者 比 较 准 确 例 怎 样 从 甲 乙 两 组 队 员 中 选 择 一 组 作 为 仪 仗 对? 你 应 该 推 荐 的 品 牌 是 什 么? 其 中 : x =10 甲, x = 80 2 乙 S =10 2 甲 ; S 乙 =16 师 : 选 仪 仗 队 的 时 候 身 高 要 求 整 齐, 这 意 味 着 波 动 性 就 小 ; 向 朋 友 推 荐 甲 品 牌 的 电 脑, 甲 的 方 差 小, 稳 定 性 好, 但 前 提 条 件 是 专 家 给 两 种 电 脑 的 平 均 分 是 一 样 的 如 果 平 均 分 不 相 同, 我 们 肯 定 会 选 择 分 值 高 的 生 活 中 还 有 类 似 的 例 子 吗? 生 1: 心 脏 有 问 题 的 人, 心 率 波 动 不 稳 定, 正 常 人 的 却 是 比 较 稳 定 师 : 你 考 虑 的 是 心 电 图, 这 种 情 况 还 不 是 太 好 用 方 差 来 解 释, 方 差 太 大 或 太 小 都 不 太 好 还 有 别 的 事 例 吗 : 生 2: 比 如 说 射 击 打 靶 的 例 子, 两 名 队 员 的 平 均 环 数 是 一 样 的, 通 过 方 差 来 判 定 队 员 的 成 绩 : 方 差 越 小, 波 动 性 越 好, 否 则 队 员 的 成 绩 就 不 好 生 3: 教 练 要 选 参 加 数 学 竞 赛 的 同 学, 如 果 在 预 选 赛 中 两 名 学 生 的 分 是 一 样 的, 作 为 教 练 一 定 会 选 方 差 小 的 人 参 加 比 赛 师 : 怎 么 利 用 方 差 来 解 决 这 一 类 问 题 呢? - 12 -

例 在 一 次 芭 蕾 舞 比 赛 中, 甲 乙 两 个 芭 蕾 舞 团 都 表 演 舞 剧 天 鹅 湖, 参 加 表 演 的 女 演 员 的 身 高 ( 单 位 :cm) 分 别 是 甲 团 :163 164 164 165 166 165 166 167 乙 团 :164 165 165 165 166 168 167 168 哪 个 芭 蕾 舞 团 女 演 员 的 身 高 更 为 整 齐? 这 时 候 我 们 可 以 考 虑 用 方 差 来 反 映 数 据 波 动 性 大 小 方 差 公 式 中 需 要 知 道 什 么? 在 第 一 个 题 目 中, 我 们 还 有 没 有 必 要 依 据 平 均 值 来 选 哪 个 团 的 队 员 更 好? 下 面 你 们 小 组 讨 论 计 算 一 下, 到 底 哪 个 团 的 演 员 身 高 比 较 整 齐? 经 过 交 流, 同 学 们 得 到 了 如 下 结 论 : 第 1 题 : 解 : 甲 乙 两 组 演 员 的 平 均 身 高 分 别 是 x x S S 甲 乙 163 + 164 2 + 165 2 + 166 2 + 167 = = 165 8 ; 164 ++ 165 3+ 166 + 167 + 168 2 = = 166 8 2 1 ( 163 165) ( 164 165) ( 167 165) 2 2... 2 甲 = + + + = 1.5 8 ; 2 1 ( 164 166) ( 165 166) ( 168 166) 2 2 2... 乙 = + + + = 2 8 ; 第 2 题 : 2 1 ( x ) ( x)... ( x) = n 1 + 2 + + n 2 2 2 S x x x - 13 -

x S S 1 10 + 9 +... + 4 = = 7 10 2 1 ; x ( 10 7) ( 4 7) 2 9+ 2+ 8 +...5 = = 7 10 2 2 1 = +... + = 3 10 ; 2 1 ( 9 7) ( 5 7) 2 2 2 = +... + = 1.2 10 稳 定 乙 的 方 差 比 较 小, 说 明 他 的 平 均 成 绩 稳 定 ; 甲 的 方 差 比 较 大, 说 明 他 的 成 绩 不 是 很 2 2 S1 > S 2 选 择 乙 队 员 [ 案 例 分 析 ] 录 像 中, 同 学 生 列 举 了 生 活 中 丰 富 多 彩 的 实 例, 有 些 用 方 差 能 够 较 好 的 体 现 数 据 波 动 的 大 小, 为 结 果 的 判 定 提 供 一 定 的 依 据, 但 是 有 些 却 不 适 用 教 师 应 强 调 只 有 在 两 组 数 据 的 平 均 数 相 等 或 比 较 相 近 时, 才 用 这 些 量 度 来 比 较 两 组 数 据 的 波 动 大 小, 否 则 要 利 用 变 异 系 数 来 比 较 当 然 后 者 不 必 向 学 生 讲 解, 更 不 可 进 行 相 关 的 考 查 0 知 识 与 技 能 目 标 教 学 已 经 从 只 要 结 果, 不 要 过 程 的 认 识 阶 段 上 升 到 注 重 在 知 识 的 形 成 过 程 ( 应 用 过 程 ) 中 学 习 知 识 的 阶 段 过 程 主 要 是 服 务 于 知 识 的 学 习, 对 过 程 的 把 握 有 利 于 对 应 知 识 的 理 解 和 掌 握 本 案 例 中 的 教 师 对 方 差 教 学 目 标 的 达 成 把 握 得 恰 到 好 处, 他 让 学 生 了 解 刻 画 数 据 离 散 程 度 的 三 个 量 度 极 差 标 准 差 和 方 差, 借 助 计 算 器 求 出 相 应 的 数 值, 并 在 具 体 问 题 情 境 中 加 以 应 用 由 些 可 见 [7], 在 第 三 学 段, 知 识 与 技 能 目 标 对 于 数 与 代 数 空 间 与 图 形 统 计 与 概 率 都 提 出 了 具 体 的 要 求 数 与 代 数 知 识 学 习 的 重 点 是 为 了 解 相 关 概 念 的 由 来, 理 解 相 应 运 算 的 算 理 并 能 够 熟 练 地 进 行 运 算, 同 时 能 够 从 事 探 索 数 量 关 系 和 变 化 规 律 的 活 动, 并 能 够 掌 握 有 关 的 数 学 模 型 ( 代 数 式 方 程 函 数 等 ); 空 间 与 图 形 知 识 学 习 的 重 点 则 是 学 习 用 不 同 的 方 法 ( 操 作 变 换 作 图 论 证 等 ) 研 究 与 表 达 几 何 体 ( 图 形 ) 的 有 关 性 质 和 基 本 关 系, 掌 握 用 平 面 直 角 坐 标 系 表 述 物 体 位 置 关 系 的 方 法 ; 统 计 与 概 率 知 识 学 习 的 重 点 是 完 整 地 经 历 数 据 的 处 理 过 程 收 集 整 理 和 分 析 数 据, 并 根 据 分 析 结 果 做 出 推 断, 学 会 计 算 一 些 事 件 发 生 的 概 率 的 方 法 - 14 -

1.3 过 程 性 目 标 的 内 容 及 其 设 计 1.3.1 过 程 性 目 标 的 内 容 过 程 性 目 标 在 第 一 节 做 了 详 细 的 解 释, 它 是 数 学 思 考 解 决 问 题 结 合, 它 注 重 的 是 学 生 学 习 能 力 的 培 养, 即 发 现 问 题 解 决 问 题 能 力, 数 学 推 理 能 力 表 达 能 力 的 培 养 学 生 学 习 能 力 的 提 高 必 须 建 立 在 对 数 学 认 识 的 基 础 上, 这 不 仅 仅 包 括 一 些 概 念 和 技 能, 还 包 括 调 查 和 推 理 的 方 法, 交 流 的 手 段 以 及 对 数 学 知 识 来 龙 去 脉 的 理 解 也 就 是 说, 学 生 在 数 学 学 习 中 需 要 经 历 探 索 推 测 或 猜 想, 以 及 运 用 有 效 的 推 理 去 解 决 有 关 数 学 问 题 的 过 程 在 传 统 的 数 学 教 学 中, 学 生 解 决 问 题 的 策 略 性 知 识 是 与 例 题 结 合 在 一 起 的, 对 于 具 体 的 策 略 是 如 何 帮 助 学 生 思 考 问 题 的 却 是 很 少 讲 解, 只 有 少 数 学 生 能 通 过 反 思 来 获 得 有 关 这 方 面 的 知 识 1.3.2 过 程 性 目 标 的 设 计 我 们 的 教 学 往 往 让 学 生 去 记 忆 现 成 的 知 识, 有 意 无 意 地 压 缩 了 学 生 对 学 习 知 识 发 现 问 题 解 决 问 题 的 过 程, 造 成 学 生 知 其 然, 不 知 其 所 以 然 建 构 主 义 学 习 理 论 认 为, 数 学 学 习 不 是 一 个 被 动 的 接 受 过 程, 而 是 一 个 主 动 的 建 构 过 程, 即 通 过 内 部 认 识 结 构 与 周 围 环 境 之 间 的 相 互 作 用 来 建 构 真 知 中 学 数 学 教 学 中 有 很 多 课 例 可 为 学 生 提 供 思 考 探 索 知 识 的 机 会, 以 下 给 出 几 个 优 秀 的 案 例 供 大 家 参 考 1 发 现 问 题 和 解 决 问 题 的 教 学 案 例 探 索 规 律 是 数 与 代 数 这 个 领 域 中 的 新 增 内 容, 安 排 在 七 年 级 上 册, 第 三 章 ( 北 师 大 版 教 材 ) 用 字 母 进 行 表 示 的 活 动 目 的 是 体 现 字 母 表 示 是 对 数 量 关 系 的 一 般 化 这 一 认 识 案 例 1-4: 探 索 规 律 发 现 问 题 : 与 同 伴 交 流, 探 索 日 历 中 所 框 的 9 个 数 中, 中 间 数 与 余 下 的 其 他 若 干 数 的 和 的 倍 数 关 系 是 什 么? SUN MON TUE WED THU FRI SAT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 案 例 引 入 的 目 的 是 让 学 生 体 验 分 类 处 理 问 题 的 过 程, 在 学 习 代 数 式 表 示 数 量 关

系 的 基 础 上, 尝 试 用 合 并 同 类 项 去 括 号 等 法 则 验 证 所 得 到 的 规 律 提 出 问 题 和 解 决 问 题 : 让 学 生 思 考, 日 历 图 的 套 色 方 框 中 的 9 个 数 与 该 方 框 正 中 间 的 数 有 什 么 关 系? 这 些 关 系 在 任 何 一 年 任 何 一 个 月 都 成 立 吗? 你 有 什 么 依 据? 这 些 问 题 对 部 分 同 学 来 说, 存 在 一 定 的 难 度, 但 是, 教 师 应 该 鼓 励 有 兴 趣 的 学 生 在 课 后 继 续 解 决 SUN MON TUE WED THU FRI SAT 1 a-8 a- 7 6 7 8 a-1 a 13 14 15 a+6 a+ 7 a- 6 a+ 1 a+ 8 5 12 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [ 案 例 分 析 ] 本 节 的 活 动 充 分 发 挥 学 生 的 主 体 作 用, 利 用 日 历 创 设 的 实 际 情 境, 激 发 学 生 的 学 习 兴 趣, 使 课 堂 充 满 生 机 通 过 对 数 学 内 部 和 外 部 简 单 关 系 的 探 索, 让 学 生 在 进 行 实 际 操 作 收 集 分 析 数 据 表 示 规 律, 并 用 规 律 进 行 计 算 和 推 测 的 过 程 中, 初 步 学 会 用 字 母 与 代 数 式 表 示 事 物 之 间 的 数 量 关 系 或 变 化 规 律 ; 通 过 解 决 问 题, 发 展 符 号 感, 增 长 学 生 对 知 识 价 值 的 认 识, 培 养 他 们 的 创 新 意 识 合 作 精 神 和 实 践 能 力 为 了 培 养 学 生 问 题 解 决 的 能 力, 除 组 织 学 生 演 练 教 材 中 的 基 础 练 习 题 与 技 能 训 练 题 外, 当 前 特 别 要 注 意 适 当 精 选 或 设 计 非 常 规 的 数 学 问 题 与 实 际 应 用 问 题, 这 对 于 改 革 数 学 教 学 及 促 进 学 生 的 数 学 学 习 是 十 分 必 要 的 2. 数 学 推 理 能 力 的 教 学 案 例 案 例 1-5: 探 索 规 律 如 图, 将 一 张 长 方 形 的 纸 对 折 可 得 到 一 条 折 痕 继 续 对 折, 对 折 时 每 次 折 痕 与 上 次 的 折 痕 保 持 平 行. 连 续 对 折 六 次 后, 可 以 得 到 几 条 折 痕? 如 果 对 折 10 次 呢? 对 折 n 次 呢? 16

折 次 数 折 数 1 1 2 1+2 =2 2-1 3 1+2+2 2 =2 3-1 6 1+2+2 2 +2 3 + +2 5 = 2 6-1 10 1+2+2 2 +2 3 + +2 9 = 2 10-1 n 1+2+2 2 +2 3 + +2 n-1 = 2 n -1 长 期 以 来, 中 学 数 学 教 学 一 直 强 调 教 学 的 严 谨 性, 过 分 渲 染 逻 辑 推 理 的 重 要 性 而 忽 视 了 生 动 活 泼 的 合 情 推 理, 使 人 们 误 认 为 数 学 就 是 一 门 纯 粹 的 演 绎 科 学 波 利 亚 等 数 学 教 育 家 认 为, 演 绎 推 理 是 确 定 的 可 靠 的 ; 合 情 推 理 则 带 有 一 定 的 风 险 性, 而 在 数 学 中 合 情 推 理 的 应 用 于 与 演 绎 推 理 一 样 广 泛 标 准 要 求 学 生 能 通 过 观 察 实 验 归 纳 类 比 等 获 得 数 学 猜 想, 并 进 一 步 寻 求 证 据 给 出 证 明 或 举 出 反 例 培 养 学 生 的 推 理 思 维 习 惯 是 形 成 数 学 直 觉, 发 展 数 学 思 维, 获 得 数 学 发 现 的 基 本 素 质 因 此, 教 师 在 教 学 中 既 要 强 调 思 维 的 严 密 性, 结 果 的 正 确 性, 也 要 重 视 思 维 的 直 觉 探 索 性 和 发 现 性, 充 分 发 挥 课 堂 教 学 的 作 用, 通 过 空 间 与 图 形 数 与 代 数 概 率 与 统 计 实 践 与 综 合 应 用 等 不 同 领 域 的 活 动 来 训 练 具 体 来 说, 有 如 下 几 个 方 面 : 第 一, 创 设 情 境, 引 导 学 生 观 察 推 理 并 非 盲 目 的 漫 无 边 际 的 胡 乱 猜 想, 它 是 以 数 学 中 某 些 已 知 事 实 为 基 础, 通 过 选 择 恰 当 的 复 习 结 构 材 料 创 设 情 境, 引 导 学 生 观 察 欧 拉 曾 说 过 : 数 学 这 门 学 科, 需 要 观 察, 还 需 要 实 验 观 察 是 人 们 认 识 客 观 世 界 的 门 户, 观 察 可 以 调 动 学 生 的 各 种 感 官, 在 已 有 知 识 的 基 础 上 产 生 联 想, 通 过 观 察 还 可 以 减 少 猜 想 的 盲 目 性 同 时, 观 察 力 也 是 人 的 一 种 重 要 能 力, 所 以 在 教 学 中 要 给 学 生 必 要 的 时 间 和 空 间 进 行 观 察, 培 养 良 好 的 观 察 习 惯, 提 高 观 察 力 如 下 述 例 题 : 按 下 图 方 式 摆 放 餐 桌 和 椅 子 : 17

(1)1 张 餐 桌 可 坐 6 人,2 张 餐 桌 可 坐 人. (2) 按 上 图 方 式 继 续 排 列 餐 桌, 完 成 下 表 : 桌 子 张 数 3 4 5 6 n 可 坐 人 数 第 二, 精 心 设 计 实 验, 激 发 学 生 的 思 维 高 斯 曾 提 到 过, 他 的 许 多 定 理 都 是 靠 实 验 归 纳 发 现 的, 证 明 只 是 补 充 的 手 段 在 数 学 教 学 中, 正 确 地 恰 到 好 处 地 应 用 数 学 实 验, 也 是 当 前 实 施 素 质 教 育 的 需 要 著 名 的 数 学 教 育 家 波 利 亚 曾 指 出 : 数 学 有 两 个 侧 面, 一 方 面 是 欧 几 里 德 式 的 严 谨 科 学, 从 这 方 面 看, 数 学 像 是 一 门 系 统 的 演 绎 科 学 ; 但 是 另 一 方 面, 在 创 造 过 程 中 的 数 学 更 像 是 一 门 实 验 性 的 归 纳 科 学, 从 这 一 点 上 讲, 数 学 实 验 对 激 发 学 生 的 创 新 思 维 有 着 不 可 低 估 的 作 用 数 学 理 论 的 抽 象 性, 通 常 都 有 某 种 直 观 的 想 法 为 背 景 作 为 教 师, 就 应 该 通 过 实 验, 把 这 种 直 观 的 背 景 显 现 出 来, 帮 助 学 生 抓 住 其 本 质, 了 解 它 的 变 形 和 发 展 及 其 它 问 题 的 联 系 数 学 实 验 是 帮 助 学 生 理 解 和 巩 固 数 学 知 识 的 一 种 有 效 方 法 学 生 在 实 验 时 要 将 课 本 知 识 与 眼 前 现 实 结 合 起 来, 将 实 验 中 获 得 的 感 性 认 识, 通 过 抽 象 思 维 得 到 对 概 念 定 理 的 深 入 理 解 如 让 学 生 把 纸 片 折 半, 作 出 折 痕 L, 然 后, 打 开 纸 片, 标 出 不 在 折 痕 线 上 的 任 一 点 A, 沿 原 先 的 折 痕 线 折 叠, 透 过 亮 光 看 A 点 落 在 哪 一 点 上 设 该 点 为 A, 向 学 生 指 出 点 A 与 A 关 于 直 线 ( 折 痕 线 )L 对 称, 这 条 直 线 L 就 叫 做 这 些 点 的 对 称 轴 再 建 议 学 生 取 折 痕 线 一 旁 的 另 一 点 B, 用 实 验 的 办 法, 确 定 出 点 B 关 于 同 一 轴 的 对 称 点 B 我 们 发 现, 如 果 在 折 痕 线 上 取 一 点 C, 当 把 纸 折 起 来 时, 这 一 点 不 动, 即 它 不 和 任 何 其 它 的 点 重 合, 我 们 说 对 称 轴 ( 折 痕 线 ) 上 任 意 点 与 其 自 身 对 称 接 着, 研 究 对 称 点 A( 与 A ) B( 与 B ) 关 于 轴 的 位 置 关 系 的 性 质 学 生 就 会 注 意 到 对 称 点 如 果 重 合 的 话, 通 常 是 在 对 称 轴 的 两 侧 如 果 把 每 对 对 称 点 用 线 段 连 接 起 来, 学 生 能 提 出 对 称 点 与 对 称 轴 的 距 离 相 等 这 个 猜 想 也 就 是 说, 线 段 A A B B 被 对 称 轴 二 等 分 这 个 猜 想 随 着 对 各 线 段 的 测 定 而 更 加 明 确 如 果 学 生 未 注 意 到 线 段 A A ( 以 及 B B ) 与 对 称 轴 垂 直 时 ( 通 常, 角 的 相 等 不 象 线 段 的 相 等 那 样 容 易 被 发 现 ), 不 妨 取 不 在 轴 的 垂 直 线 上 而 在 轴 的 两 侧 各 与 轴 等 距 离 的 两 点 C 与 C, 来 提 问 学 生 这 两 个 点 关 于 这 个 轴 是 否 对 称 将 这 两 点 的 位 置 和 对 称 点 的 位 置 作 一 比 较, 学 生 就 会 发 现 对 称 点 是 在 与 对 称 轴 垂 直 的 直 线 上 这 一 性 质 第 三, 仔 细 设 计 问 题, 激 发 学 生 猜 想 数 学 猜 想 是 数 学 研 究 中 合 情 的 推 理, 是 数 学 证 明 的 前 提 只 有 对 数 学 问 题 的 猜 想, 才 会 激 发 学 生 解 决 问 题 的 兴 趣, 启 迪 学 生 的 创 造 思 维, 从 而 发 现 问 题 解 决 问 题 数 学 猜 想 是 在 已 有 数 学 知 识 和 数 学 事 实 的 基 础 上, 对 求 知 量 及 其 规 律 做 出 的 似 真 判 断, 是 科 学 假 说 在 数 学 的 体 现, 它 一 旦 得 到 论 证 便 上 升 为 数 学 理 论 牛 顿 有 一 句 名 言 : 没 有 大 胆 的 猜 想, 就 做 不 出 伟 大 的 发 现 数 学 家 通 过 提 出 问 题 分 析 问 题 检 验 证 明, 开 拓 新 领 域, 创 立 新 理 论 在 中 学 数 学 教 学 中, 许 多 命 题 的 发 现 性 质 的 得 出 思 路 的 形 成 和 方 法 的 创 造, 都 可 以 通 过 数 学 猜 想 而 得 到 通 过 猜 想 不 仅 有 利 于 学 生 牢 固 地 掌 握 知 识, 也 有 利 于 培 养 他 们 的 推 理 能 力 18

第 四, 利 用 类 比 探 讨, 加 深 知 识 理 解 类 比 推 理 是 思 维 过 程 中 由 特 殊 到 特 殊 的 推 理, 是 合 情 推 理 的 主 要 形 式 之 一, 类 比 是 对 知 识 进 行 理 线 串 点 的 一 种 手 法 对 于 相 互 有 联 系 的 命 题 进 行 类 比 分 析, 有 利 于 学 生 对 问 题 的 更 深 层 次 的 认 识, 更 有 利 于 学 生 对 问 题 规 律 的 探 寻 以 问 题 和 条 件, 题 型 结 构 或 题 设 结 论 为 思 维 起 点, 应 用 类 比 的 方 法, 分 析 其 与 已 有 的 认 知 结 构 中 具 有 的 相 似 特 征, 然 后 猜 想 其 解 题 思 维 上 的 类 似 之 处, 从 而 解 决 问 题 例 如 问 题 两 个 人 握 一 次 手, 若 每 两 人 握 一 次 手, 则 3 个 人 共 握 几 次 手? n 个 人 共 握 几 次 手? ( 通 过 合 情 推 理 探 索 规 律 ), 与 由 上 海 开 往 北 京 的 1462 次 列 车 途 中 停 靠 23 个 站 ( 不 包 括 上 海 和 北 京 ), 这 次 列 车 共 发 售 多 少 种 不 同 的 车 票? 这 样 的 问 题 有 什 么 联 系 呢?( 类 比 ) 第 五, 利 用 数 学 归 纳, 巩 固 从 特 殊 到 一 般 的 思 维 归 纳 推 理 是 思 维 过 程 中 从 特 殊 到 一 般 的 推 理, 也 是 合 情 推 理 的 主 要 形 式 之 一 勾 股 定 理 的 发 现 都 是 应 用 归 纳 推 理 的 典 型 例 证 在 学 习 运 用 归 纳 的 过 程 中, 学 生 才 不 断 地 体 会 到 分 析 假 设 结 论 等 多 种 数 学 环 节 此 外, 用 数 学 归 纳 来 证 题, 也 有 助 于 训 练 学 生 用 数 学 符 号 表 达 自 己 的 数 学 思 想 第 六, 利 用 演 绎 证 明, 揭 露 蕴 涵 性 质 演 绎 推 理 又 称 论 证 推 理, 是 思 维 过 程 中 从 一 般 到 特 殊 的 推 理, 其 前 提 和 结 论 间 具 有 蕴 涵 关 系, 是 必 然 性 推 理 它 的 每 一 步 推 理 都 是 可 靠 的 无 可 置 疑 和 终 决 的, 因 而 可 以 用 来 肯 定 数 学 知 识, 建 立 严 格 的 数 学 体 系 把 一 般 结 果 应 用 到 特 殊 中, 能 为 归 纳 类 比 等 得 到 的 猜 想 加 以 证 实, 从 而 培 养 学 生 的 推 理 能 力 逻 辑 推 理 和 合 情 推 理 是 数 学 思 维 的 两 翼, 两 者 相 辅 相 成, 互 相 补 充, 缺 一 不 可 从 功 能 上 来 看, 逻 辑 推 理 是 论 证 的 手 段, 合 情 推 理 是 发 现 的 工 具 ; 从 阶 段 上 来 看, 合 情 推 理 是 逻 辑 推 理 的 前 奏, 逻 辑 推 理 是 合 情 推 理 的 升 华 ; 逻 辑 推 理 能 力 越 强, 合 情 推 理 就 越 活 跃, 推 理 结 果 也 越 可 靠, 因 此 也 可 以 说 逻 辑 推 理 是 合 情 推 理 的 基 础 正 如 数 学 教 育 大 师 玻 利 亚 所 说 : 我 们 靠 论 证 推 理 来 肯 定 我 们 的 数 学 知 识, 而 靠 合 情 推 理 来 为 我 们 的 猜 想 提 供 依 据 演 绎 法 被 广 泛 用 来 建 立 定 理 命 题 和 证 明 推 论 的 正 确 性, 先 前 已 证 明 的 结 论 事 先 做 出 的 假 设 或 设 定 的 概 念 等 都 可 以 直 接 用 来 推 证 新 的 结 论 应 当 指 出 培 养 学 生 的 演 绎 推 理 能 力 不 仅 要 注 意 层 次 性, 而 且 要 关 注 学 生 的 差 异 性 如 用 火 柴 棒 按 下 图 方 式 搭 三 角 形 的 第 二 问, 并 不 是 每 个 学 生 在 教 师 的 引 导 下 都 能 够 总 结 出 规 律 的 用 火 柴 棒 按 下 图 方 式 搭 三 角 形 : 19

(1) 填 写 下 表 : 三 角 形 个 数 1 2 3 4 5 火 柴 棒 根 数 (2) 照 这 样 的 规 律 搭 下 去, 搭 n 个 这 样 的 三 角 形 需 要 多 少 根 火 柴 棒? 要 使 每 一 个 学 生 都 能 体 会 证 明 的 必 要 性, 从 而 使 学 习 演 绎 推 理 成 为 学 生 的 自 觉 要 求, 克 服 为 了 证 明 而 证 明 的 盲 目 性 ; 又 要 注 意 推 理 论 证 量 的 控 制, 以 及 要 求 的 有 序 适 度 再 如 在 数 与 代 数 的 教 学 中, 计 算 要 依 据 一 定 的 规 则 一 一 公 式 法 则 推 理 律 等, 因 而 计 算 中 有 推 理 ( 算 理 ); 现 实 世 界 中 的 数 量 关 系 往 往 有 其 自 身 的 规 律, 用 代 数 式 方 程 不 等 式 函 数 刻 画 这 种 数 量 关 系 或 变 化 趋 势 的 过 程, 也 不 乏 分 析 判 断 和 推 理 例 观 察 算 式 :34+43=77,51+15=66,26+62=88, 你 发 现 了 什 么? [ 可 能 的 猜 想 ; 个 位 数 字 与 十 位 数 字 互 换 前 后 的 两 个 两 位 数 的 和 是 个 位 数 字 与 十 位 数 字 相 同 的 一 个 两 位 数 ; 所 得 的 两 位 数 能 被 n 整 除 验 证 :74+4=7121, 原 来 的 猜 想 成 立 吗? 再 继 续 验 证, 结 论 仍 然 成 立 吗? [ 以 上 是 进 行 归 纳 推 理 ( 合 情 推 理 ) 的 过 程 ] 问 题 : 能 否 证 明 结 论 是 正 确 的 呢? 若 a,b 表 示 一 个 两 位 数 两 个 数 字 上 的 数 字, 则 (a 10 十 b) 十 (b 10 十 a)=11a+11b=11 (a+b), 于 是 所 得 的 两 位 数 能 被 11 整 除 的 猜 想 得 到 证 实 这 样 的 过 程, 是 一 个 经 历 观 察 猜 想 归 纳 证 明 的 过 程, 既 有 合 情 推 理 又 有 演 绎 推 理 的 过 程 20

1.4 情 感 态 度 性 目 标 的 内 容 及 其 设 计 标 准 中 设 立 了 情 感 与 态 度 目 标, 明 确 提 出 通 过 数 学 学 习 让 学 生 在 情 感 态 度 价 值 观 等 方 面 也 能 得 到 充 分 发 展, 并 强 调 指 出 情 感 与 态 度 不 是 数 学 知 识 教 学 的 副 产 品, 而 其 本 身 就 是 数 学 教 学 的 重 要 目 标 在 数 学 教 学 过 程 中, 学 生 的 情 感 态 度 价 值 观 等 方 面 的 发 展 并 不 是 在 学 到 一 些 具 体 的 概 念 法 则 公 式 以 后 就 能 自 然 形 成 的, 它 贯 穿 于 整 个 数 学 教 学 活 动 过 程 之 中, 它 的 实 现 需 要 长 期 地 月 累 一 旦 形 成, 将 使 学 生 受 益 无 穷 标 准 对 数 学 课 程 中 的 情 感 与 态 度 目 标 的 内 涵 进 行 了 具 体 的 阐 述 [8] : 1.4.1 能 积 极 参 与 数 学 学 习 活 动, 对 数 学 有 好 奇 心 和 求 知 欲 数 学 源 于 生 活, 又 运 用 于 生 活, 生 活 中 充 满 数 学, 数 学 教 育 寓 于 生 活 实 际 有 意 识 地 引 导 学 生 沟 通 生 活 中 的 具 体 问 题 与 有 关 数 学 问 题 的 联 系, 借 助 学 生 熟 悉 的 生 活 实 际 中 的 具 体 事 例, 激 发 学 生 学 习 数 学 的 求 知 欲, 能 够 帮 助 学 生 更 好 的 理 解 和 掌 握 数 学 基 础 知 识, 并 运 用 所 学 的 数 学 知 识 去 解 决 实 际 生 活 中 的 数 学 问 题 因 此, 好 奇 心 求 知 欲 是 学 生 学 习 数 学 的 原 动 力 如 果 一 个 学 生 丧 失 了 学 习 数 学 的 兴 趣, 他 就 有 可 能 厌 倦, 甚 至 放 弃 数 学 学 习 数 学 教 学 主 要 可 以 从 课 堂 教 学 的 丰 富 性 和 趣 味 性 方 面 来 激 发 学 生 的 好 奇 心 与 求 知 欲 案 例 1-6: 一 次 函 数 图 像 的 应 用 师 : 今 天 我 们 学 习 的 新 课 内 容 是 一 次 函 数 图 像 的 应 用 同 学 们 都 很 喜 欢 运 动, 这 几 张 图 片 都 是 些 什 么 运 动 呢? 生 : 足 球 师 : 中 国 男 足 在 世 界 上 的 排 名 是 怎 么 样 的 呢? 这 有 一 张, 我 想 就 一 目 了 然 了 人 们 总 对 自 己 的 智 力 发 展 非 常 关 注, 由 这 张 智 商 与 年 龄 的 走 势 曲 线 图 我 们 是 不 是 可 以 发 现 很 多 信 息 哪 个 年 龄 阶 段 人 的 智 商 最 高? 生 :17 岁 师 : 哪 个 年 龄 阶 段 是 增 长 最 快 的? 生 :11 到 17 岁 师 : 上 述 数 据 广 泛 出 现 在 我 们 的 生 活 中, 渗 透 到 我 们 生 活 中 的 每 个 角 落 在 这 些 图 表 图 像 中 蕴 涵 了 丰 富 的 信 息 从 纷 繁 的 信 息 中 捕 捉 收 集 加 工 处 理 所 需 的 信 息, 是 新 世 纪 对 我 们 每 一 个 同 学 提 出 的 基 本 要 求 那 么, 本 节 课 咱 们 就 学 习 一 次 函 数 图 像 的 应 用 [ 案 例 分 析 ] 实 践 表 明 : 教 师 在 教 学 中 渗 透 数 学 的 社 会 性, 寻 找 教 材 与 现 实 生 活 的 联 系, 使 得 数 学 内 容 变 成 富 有 现 实 性 生 动 性, 有 助 于 激 发 学 生 的 积 极 性 正 如 苏 霍 姆 林 斯 基 所 说 : 学 生 对 知 识 的 兴 趣 的 第 一 源 泉 第 一 颗 火 星, 就 在 于 教 师 上 课 时 所 讲 的 教 材 和 要 分 析 的 事 - 21 -

实 所 抱 的 态 度 只 有 基 于 学 生 生 活 经 验 的 学 习, 才 能 带 来 学 生 更 大 的 学 习 热 情 诚 然, 这 些 能 引 起 学 生 的 数 学 学 习 兴 趣, 但 是 这 种 兴 趣 只 是 表 面 的 浅 层 次 的, 并 且 随 着 学 生 年 龄 的 增 长 逐 渐 消 失 教 师 要 想 学 生 积 极 参 与 数 学 学 习 活 动, 保 持 对 数 学 的 好 奇 心 和 求 知 欲 还 要 通 过 以 下 途 径, 即 通 过 展 示 数 学 自 身 的 无 穷 魅 力 来 促 使 学 生 愿 意 亲 近 数 学 了 解 数 学 谈 论 数 学 学 习 数 学 案 例 1-7: 简 单 的 图 案 设 计 首 先 老 师 向 同 学 们 展 示 了 一 幅 幅 的 图 案 : 考 考 你 的 眼 力 有 一 群 躲 躲 闪 闪 的 隐 形 人 他 们 把 身 体 藏 起 来 不 让 人 看 见, 只 肯 半 遮 半 掩 在 下 图 中 露 出 一 条 腿 来 数 数 看, 在 图 中 共 能 看 到 多 少 条 腿? 这 些 图 案 迅 速 唤 起 了 学 生 的 注 意, 从 内 心 感 受 到 这 些 图 案 的 神 秘, 有 效 地 激 发 了 他 们 的 求 知 欲 这 些 美 丽 的 图 案 是 怎 么 样 画 出 来 的? 这 些 图 案 里 的 奥 妙 是 什 么? 其 次, 充 分 利 用 动 画 的 优 势, 将 静 态 的 图 案 动 态 化, 在 动 态 的 演 示 中, 让 学 生 感 受 图 形 的 平 移, 从 而 自 然 引 入 对 图 形 平 移 的 继 续 探 索 学 习 正 如 布 鲁 纳 所 说 : 学 习 的 最 好 刺 激, 就 是 对 学 习 材 料 的 兴 趣 球 体 截 面 : 案 例 1-8: 切 一 个 几 何 体 - 22 -

小 圆 形 截 面 中 圆 形 截 面 圆 柱 体 截 面 : 大 圆 形 截 面 长 方 形 截 面 部 分 椭 圆 截 面 圆 形 截 面 椭 圆 形 截 面 正 方 体 截 面 : - 23 -

截 正 方 形 截 长 方 形 截 三 角 形 截 梯 形 圆 锥 体 截 面 : 截 五 边 形 截 六 边 形. 三 角 形 截 面 双 曲 线 ( 部 分 ) 形 截 面 抛 物 线 形 截 面 - 24 -

圆 形 截 面 椭 圆 形 截 面 [ 案 例 分 析 ] 在 第 一 个 案 例 中, 教 学 目 标 有 三 个 : 一 是 让 学 生 体 会 平 移 的 方 法 ; 二 是 让 学 生 会 利 用 平 移 的 方 法 设 计 图 形 ; 三 是 让 学 生 在 参 与 活 动 的 过 程 中, 发 现 数 学 学 习 的 趣 味 性 三 个 目 标 的 实 现, 都 需 要 让 学 生 在 操 作 中 体 验 探 索 本 节 课 的 老 师 考 虑 到 学 生 的 认 知 发 展 水 平 和 已 有 的 知 识 经 验, 在 教 学 中 充 分 放 手, 自 主 操 作 探 索, 加 深 了 他 们 对 数 学 知 识 的 理 解 由 于 放 得 恰 当, 操 作 充 分, 教 师 的 引 与 学 生 的 探 有 机 结 合, 整 个 教 学 过 程 生 动 活 泼, 富 有 个 性 在 第 二 个 案 例 中, 让 学 生 去 截 一 个 几 何 体, 看 截 出 平 面 图 形 的 形 状 学 生 对 于 简 单 的 方 式, 是 可 以 做 出 来 的, 但 对 于 某 些 情 况 是 比 较 难 实 现 的, 需 要 教 师 借 助 于 多 媒 体 软 件, 展 示 截 面 的 各 种 形 状, 使 得 学 生 将 操 作 与 思 考 结 合 起 来, 以 激 发 学 习 的 兴 趣 如 何 去 把 握 情 感 态 度 目 标 中 对 数 学 有 好 奇 心 和 求 知 欲 的 教 学, 我 们 认 为 要 注 意 以 下 两 点 : 联 系 实 际 取 材, 让 学 生 欣 赏 数 学 美 教 学 当 中, 无 论 是 对 本 课 情 境 中 取 自 于 现 实 生 活 的 图 案 的 研 究 学 习, 还 是 课 后 的 练 习 都 让 学 生 感 受 到 数 学 源 于 生 活, 用 于 生 活, 这 样 学 生 才 能 感 觉 得 到 数 学 就 在 自 己 身 边, 是 有 源 之 水, 有 本 之 木 当 学 生 意 识 到 数 学 存 在 于 现 实 生 活 中, 并 且 将 数 学 与 生 活 联 系 起 来, 才 能 体 会 到 数 学 的 应 用 价 值, 学 生 学 习 数 学 的 积 极 性 才 能 真 正 被 激 发, 数 学 学 习 的 意 义 才 能 真 正 体 现 多 种 教 学 手 段 巧 妙 运 用, 相 得 益 彰 将 课 本 黑 板 电 脑 等 多 种 媒 体 有 机 结 合, 巧 妙 地 应 用 于 教 学 全 过 程 操 作 作 为 一 个 主 旋 律 萦 绕 于 本 节 课 的 教 学 之 中 ; 在 交 流 时, 平 移 的 方 法 抓 住 一 条 边 几 个 点, 进 行 平 移, 也 就 是 刚 体 变 换 的 方 法 又 利 用 计 算 机 在 重 点 处 闪 现, 给 学 生 一 个 直 观 的 感 受, 这 比 用 语 言 描 述 要 直 观 得 多 简 捷 得 多 ; 图 案 的 美 平 移 方 法 的 引 入 也 是 充 分 利 用 计 算 机 展 示 每 一 种 教 学 手 段 运 用 得 恰 如 其 分, 才 能 有 效 地 突 破 教 学 重 难 点, 达 成 教 学 目 标 1.4.2 在 数 学 学 习 活 动 中 获 得 成 功 的 体 验, 锻 炼 克 服 困 难 的 意 志, 建 立 自 信 心 在 以 往 的 数 学 教 学 中, 关 于 克 服 困 难 的 自 信 心 意 志 力 的 培 养, 存 在 一 些 片 面 的 认 识 我 们 更 多 强 调 的 是 数 学 学 习 的 艰 苦 性, 认 为 在 数 学 学 习 过 程 中 唯 有 通 过 人 为 地 - 25 -

给 学 生 制 造 解 题 中 的 困 难 与 障 碍, 才 能 培 养 他 们 克 服 困 难 的 自 信 心 意 志 力, 如 数 学 练 习 中 人 为 的 编 造 了 不 少 繁 难 偏 怪 的 问 题 理 论 与 实 践 证 明, 许 多 学 生 在 这 样 的 学 习 过 程 中 认 为 数 学 学 习 是 一 种 痛 苦, 对 数 学 学 习 丧 失 了 信 心, 更 谈 不 上 具 备 克 服 学 习 过 程 中 遇 到 困 难 的 意 志 力 在 培 养 学 生 克 服 困 难 的 自 信 心 意 志 力 方 面, 我 们 应 当 向 学 生 提 供 具 有 挑 战 性 的 问 题, 使 他 们 有 机 会 经 历 困 难 的 活 动 ; 让 他 们 在 从 事 这 些 活 动 的 过 程 中 有 获 得 或 是 解 决 了 相 关 问 题, 或 是 找 到 了 解 决 问 题 的 有 效 思 路, 或 是 得 到 了 对 问 题 进 一 步 理 解 的 成 功 体 验 案 例 1-9: 一 次 函 数 图 像 的 应 用 例 1: 柴 油 机 在 工 作 时 油 箱 中 的 余 油 量 Q( 千 克 ), 与 工 作 时 间 t( 小 时 ) 成 一 次 函 数 关 系 当 工 作 开 始 时 油 箱 中 有 油 40 千 克, 工 作 1 小 时 后, 油 箱 中 余 油 35 千 克 (1) 写 出 余 油 量 Q 与 时 间 t 的 函 数 关 系 式 ; (2) 如 何 根 据 解 析 式 画 出 本 函 数 的 图 像? 生 1:Q=40-5t 师 : 这 位 女 生 有 什 么 不 同 意 见? 生 2: 我 觉 得 t S 师 : 为 什 么 呢? 生 3: 因 为 油 箱 中 最 多 有 40 千 克 油, 最 多 用 8 个 小 时 师 : 两 位 同 学 非 常 好, 这 涉 及 到 一 次 函 数 的 应 用 能 不 能 根 据 解 析 式, 画 出 本 函 数 的 图 像? 回 忆 一 下, 画 函 数 图 像 有 几 个 步 骤? 生 : 列 表 描 点 连 线 师 : 如 果 是 你, 你 会 选 择 哪 两 个 点 描 呢? 生 : 与 y 轴 的 交 点 (0,40), 与 x 轴 的 交 点 (8,0) Q 图 象 是 包 括 两 端 点 的 线 段 40 0 8 t 师 : 这 个 函 数 图 像 是 一 个 包 含 两 端 点 的 线 段, 我 们 通 过 实 际 应 用 列 出 了 函 数 解 析 式, - 26 -

然 后 画 出 图 像 如 果 反 过 来, 给 你 函 数 图 像, 你 能 从 图 像 中 收 获 什 么 信 息? 例 2: 某 种 摩 托 车 油 箱 最 多 可 储 油 10 升, 装 满 油 后, 油 箱 中 的 剩 余 油 量 y ( 升 ) 与 摩 托 车 行 驶 路 程 x ( 千 米 ) 之 间 的 关 系 如 图 所 示 : y 如 图 所 示 10 5 0 500 x 师 : 从 左 图 中, 你 能 发 现 什 么? 生 4: 这 个 油 箱 可 供 摩 托 车 行 驶 500 千 米 它 的 图 像 到 了 500 千 米 的 时 候 是 0 升 生 5: 行 驶 路 程 x 是 自 变 量, 而 剩 余 油 量 y 是 因 变 量 师 : 根 据 图 像 回 答 下 列 问 题 : 1. 一 箱 汽 油 可 供 摩 托 车 行 驶 多 少 千 米? 2. 摩 托 车 每 行 驶 100 千 米 消 耗 多 少 升 汽 油? 3. 油 箱 中 的 剩 余 油 量 小 于 1 升 时, 摩 托 车 自 动 报 警 行 驶 多 少 千 米 后, 摩 托 车 将 自 动 报 警? 生 :1. 可 供 行 驶 500 千 米 2. 消 耗 2 升 汽 油 师 : 你 们 是 怎 么 得 出 2 升 的 呢? 生 6: 我 是 在 x 轴 上 找 到 100, 这 个 点 对 应 上 去 的 纵 坐 标 是 8, 总 油 量 是 10, 所 以 10-8=2 升 师 : 有 没 有 第 二 种 方 法? 难 道 我 们 都 用 这 位 同 学 的 方 法 吗? 当 摩 托 车 行 驶 200 千 米 时, 用 了 4 升, 那 么 100 千 米 就 用 了 2 升 当 摩 托 车 行 驶 300 400 时 都 可 以 用 这 种 方 法 解 决 生 :3. 行 驶 450 千 米 是 摩 托 车 自 动 报 警 生 7: 从 函 数 图 像 上 看, 当 摩 托 车 行 驶 500 千 米 时, 油 箱 中 没 有 油 料, 那 么 当 当 摩 托 车 行 驶 450 千 米 时, 油 箱 中 就 剩 1 升 油 料 师 : 我 们 可 以 通 过 横 坐 标 描 点 求 出 纵 坐 标, 也 可 以 通 过 纵 坐 标 描 点 求 出 横 - 27 -

坐 标 这 样 我 们 就 会 识 图 了 [ 案 例 分 析 ] 数 学 学 习 的 过 程 是 一 种 艰 苦 的 脑 力 劳 动, 当 学 生 在 教 师 的 指 导 下, 经 过 自 己 的 努 力 探 索, 无 论 是 加 深 了 对 某 个 定 理 的 理 解, 还 是 解 决 一 道 难 题 或 是 新 颖 巧 妙 的 解 法, 往 往 激 动 不 已, 充 满 成 功 的 幸 福 情 感 数 学 的 学 习 过 程 需 要 同 学 之 间 互 相 帮 助, 团 结 协 作, 使 学 生 体 验 到 温 暖 友 情 所 以, 教 师 在 教 学 中 介 绍 新 的 数 学 知 识 与 设 计 应 用 所 学 知 识 解 决 问 题 的 情 境 时, 不 是 照 本 宣 科, 应 当 尽 可 能 提 供 一 种 分 层 递 进 的 阶 梯 式 的 问 题 串, 从 最 基 础 的 问 题 开 始, 逐 步 递 进 这 既 适 合 学 生 的 心 理 特 点, 又 符 合 学 生 的 认 知 水 平 的 每 一 个 学 生 都 能 够 在 活 动 中 既 有 成 功 的 体 验, 也 有 面 临 挑 战 的 机 会 与 经 历, 从 而 锻 炼 他 们 克 服 困 难 的 意 志, 建 立 学 好 数 学 的 自 信 心 1.4.3 体 会 数 学 与 人 类 生 活 的 密 切 联 系 数 学 的 发 展 对 社 会 和 科 技 的 进 步 产 生 了 巨 大 的 推 动 作 用, 让 学 生 了 解 这 一 点, 有 助 于 学 生 对 数 学 的 价 值 有 较 全 面 的 认 识, 也 会 激 发 学 生 学 习 数 学 的 欲 望 为 此, 在 数 学 课 堂 教 学 中, 教 师 要 适 时 向 学 生 介 绍 有 关 的 数 学 史 实, 如 著 名 数 学 家 的 事 迹 经 典 事 例 与 故 事 数 学 名 著 等, 让 学 生 初 步 认 识 数 学 与 人 类 生 活 的 密 切 联 系 及 对 人 类 历 史 发 展 的 作 用, 体 验 数 学 活 动 充 满 着 探 索 与 创 造, 感 受 数 学 的 严 谨 性 以 及 数 学 结 论 的 确 定 性 案 例 1-10: 简 单 的 图 案 设 计 师 : 听 故 事 的 时 间 到 了, 让 我 们 一 起 来 看 看 数 学 家 们 走 过 的 足 迹, 听 听 发 生 在 他 们 身 上 的 故 事, 想 想 我 们 的 责 任 生 : 数 学 之 神 : 阿 基 米 德 被 称 为 数 学 之 神 的 称 号, 他 的 几 何 学 著 作 是 古 代 数 学 成 就 的 高 峰 ; 他 是 一 位 杰 出 的 工 程 师, 大 胆 的 用 数 学 方 面 的 发 现 去 解 决 天 文 学 物 理 学 甚 至 是 军 事 上 的 问 题 罗 马 军 队 的 主 帅 说, 我 们 是 在 与 数 学 打 仗 吗? 这 个 数 学 之 神 让 我 们 出 尽 了 洋 相 叙 拉 古 城 被 攻 占 的 时 候, 士 兵 杀 害 了 正 在 地 上 作 几 何 图 形 阿 基 米 德 他 的 生 平 虽 然 没 有 详 细 的 记 载, 但 是 他 的 许 多 故 事 却 广 为 流 传 师 : 这 则 故 事 告 诉 我 们, 科 学 会 是 永 远 的, 而 且 对 于 人 类 做 出 贡 献 的 人, 我 们 都 会 记 住 他, 不 管 他 们 是 朋 友 还 是 敌 人 案 例 1-11: 探 索 勾 股 定 理 师 :2002 年 国 际 数 学 家 大 会 在 我 国 首 都 北 京 召 开, 国 际 数 学 家 大 会 是 最 高 水 平 的 全 球 性 数 学 活 动 的 会 议 它 是 首 次 在 中 国, 也 是 首 次 在 发 展 中 国 家 召 开 请 同 学 观 察 主 题 - 28 -

的 上 方 悬 挂 的 是 本 届 的 会 徽 你 见 过 这 个 正 方 形 图 案 吗? 生 : 没 有 师 : 它 就 在 我 们 身 边, 大 家 看 一 下 ( 教 师 指 着 数 学 课 本 ), 我 们 每 天 都 会 用 到 如 此 重 大 的 数 学 会 议 为 什 么 选 择 这 个 图 案 作 为 会 微 呢, 看 来 它 一 定 有 着 不 寻 常 的 历 史 意 义 有 谁 了 解 它 的 历 史 吗? 生 : 不 了 解 师 : 它 是 我 国 汉 代 数 学 家 赵 爽 在 正 明 一 个 非 常 重 要 的 定 理 勾 股 定 理 时 用 到 的 图 形 这 个 图 形 我 们 就 称 它 为 赵 爽 弦 图 有 哪 位 同 学 听 说 过 勾 股 定 理 吗? 生 1: 听 父 母 说 过 勾 3 股 4 弦 5, 但 是 具 体 的 意 义 也 不 是 特 别 清 楚 生 2: 从 父 母 那 了 解 到 这 个 关 于 直 角 三 角 形 的 一 个 定 理 师 : 刚 才 同 学 说 的 勾 3 股 4 弦 5 是 什 么 意 思 呢, 学 完 这 节 课, 相 信 你 们 肯 定 能 理 解 它 师 : 勾 股 定 理 早 在 几 千 年 前 世 界 上 的 四 大 文 明 古 国, 比 如 古 埃 及 古 希 腊 还 有 咱 们 的 中 国 都 有 所 研 究 首 先 我 给 大 家 介 绍 一 位 数 学 家,2500 年 前 古 希 腊 有 位 非 常 著 名 的 数 学 家 叫 做 毕 达 哥 拉 斯, 他 善 于 观 察 和 思 考 问 题, 经 常 能 够 从 生 活 中 寻 找 一 些 数 学 问 题 有 一 次 他 到 朋 友 家 去 做 客, 朋 友 家 的 地 面 是 用 这 种 方 砖 铺 成 仔 细 看 图, 看 看 有 什 么 发 现? 勾 股 定 理 的 发 现 验 证 及 应 用 的 过 程 蕴 涵 了 丰 富 的 文 化 价 值, 古 代 有 很 多 国 家 和 民 族 都 对 勾 股 定 理 有 不 同 程 度 的 认 识 和 了 解, 我 国 是 最 早 了 解 勾 股 定 理 的 国 家 之 一 教 师 应 充 分 利 用 教 科 书 中 的 素 材 网 络 上 的 资 料 引 导 学 生 体 会 现 实 世 界 中 蕴 涵 着 丰 富 的 数 学 信 息 [ 案 例 分 析 ] 中 学 生 学 习 数 学 的 动 机 受 感 情 支 配 的 比 较 大, 如 果 教 师 掌 握 好 情 感 的 分 寸, 将 情 感 因 素 及 其 对 学 生 的 心 理 影 响 与 备 教 材 备 学 生 备 教 法 结 合 起 来 考 虑, 尽 量 以 生 动 活 泼 的 形 式 教 学, 使 数 学 教 学 适 合 学 生 年 龄 特 点 及 认 识 能 力, 充 分 调 动 初 中 数 学 教 学 过 程 中 所 有 的 情 感 因 素, 强 化 学 生 学 习 数 学 的 动 机, 达 到 学 习 的 最 高 效 率 同 时, 还 应 考 虑 到 不 同 学 段 学 生 的 年 龄 特 征 与 知 识 背 景, 分 别 选 用 数 学 人 物 介 绍 趣 味 数 学 故 事 数 学 典 故 数 学 应 用 介 绍 数 学 问 题 求 解 等 形 式 来 引 起 学 生 学 习 数 学 的 兴 趣 1.4.4 形 成 实 事 求 是 态 度 以 及 进 行 质 疑 和 独 立 思 考 的 习 惯 基 本 的 思 维 能 力 科 学 态 度 理 性 的 精 神 是 未 来 公 民 生 存 与 发 展 所 需 的 最 基 本 最 - 29 -

重 要 的 素 质 这 些 素 质 的 形 成 需 要 学 生 有 实 事 求 是 的 态 度, 善 于 质 疑, 并 具 有 独 立 思 考 的 习 惯 案 例 1-12: 平 行 四 边 形 的 判 定 师 : 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 对 不 对? 已 知 : 如 图, 四 边 形 ABCD 中, 对 角 线 AC 和 BD 互 相 一 部 分 求 证 : 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 D C O A B ( 老 师 边 念 题, 边 做 提 示 ) 生 1: 已 知 在 平 行 四 边 形 中,AO=CO,BO=DO 在 中, 因 为 BO=DO,AO=CO, AOD= BOC( 对 顶 角 相 等 ), 所 以 两 个 三 角 形 全 等 则 AD=BC( 全 等 三 角 形 对 应 边 相 等 ) 同 理 可 以 证 明 AB=CD 又 因 为 两 组 对 边 分 别 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形, 那 么 可 以 说 明 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 师 : 这 个 方 法 用 了 刚 才 证 明 的 判 定 定 理 首 先 这 位 同 学 证 明 了 两 个 三 角 形 全 等, 那 么 对 应 边 相 等, 同 理 得 出 另 外 一 组 对 边 也 相 等, 最 终 运 用 先 前 所 学 平 行 四 边 形 的 判 定 定 理 得 出 这 个 四 边 形 是 平 行 四 边 形 还 有 别 的 证 明 方 法 吗? 生 2: 证 明 三 角 形 AOD 与 三 角 形 BOC 全 等 之 后, 可 以 证 明 ADB= BCD, 所 以 AD//BC 同 理 可 以 证 明 AD//BC 最 后 用 平 行 四 边 形 的 定 义 可 以 得 证 师 : 这 个 命 题 是 正 确 的, 那 么 这 就 能 作 为 定 理, 即 判 定 定 理 2, 证 明 过 程 如 下 所 示 : 证 明 :Q 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 AC 和 BD 互 相 平 分 OA=OC,OB=OD Q 在 Δ AOB 和 Δ COD 中 OA = OC AOB = COD OB = OD Δ AOB Δ COD AB=DC 同 理 AD=BC - 30 -

四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 师 : 大 家 还 想 不 想 知 道 别 的 判 定 方 法 呢? 我 们 再 来 研 究 一 下 有 关 平 行 四 边 形 对 角 的 判 定 再 猜 一 猜 平 行 四 边 形 的 性 质 : 平 行 四 边 形 的 两 组 对 角 线 相 等 平 行 四 边 形 的 判 定 :? 师 : 谁 能 把 这 个 问 号 解 答 了? 生 : 两 组 对 角 分 别 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 师 : 这 个 命 题 对 不 对, 我 们 还 是 要 试 着 证 明 一 个 命 题 提 出 来 了, 要 是 正 确 我 们 要 想 办 法 证 明, 要 是 没 有 证 明 出 来 我 们 就 举 个 反 例 由 于 课 堂 时 间 有 限, 把 这 个 当 作 课 下 作 业 探 一 探 观 察 平 行 四 边 形 的 判 定 方 法 : 两 组 对 边 分 别 平 行 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 两 组 对 边 分 别 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 两 条 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 猜 想 : 判 定 一 个 四 边 形 是 平 行 四 边 形 需 要 几 个 条 件? 师 : 判 定 一 个 四 边 形 是 平 行 四 边 形 需 要 几 个 条 件? 生 : 两 个 师 : 条 件 可 能 是 边 的 可 能 是 角 的, 也 可 能 是 对 角 线 的 你 们 能 从 四 边 形 的 边 角 对 角 线 的 位 置 关 系 和 数 量 关 系 出 发, 找 出 其 它 的 平 行 四 边 形 的 判 定 方 法 吗? 请 大 家 讨 论 研 究 一 下 ( 教 师 巡 视, 学 生 用 学 具 比 划 ) 生 2: 我 们 组 认 为 在 一 个 四 边 形 中, 有 一 组 对 边 平 行 且 相 等, 那 么 这 个 四 边 形 也 是 平 行 四 边 形 师 : 我 们 把 它 作 为 数 学 命 题 提 出 来, 能 给 出 证 明 吗? 生 2: 已 知 : 在 四 边 形 ABCD 中,AB 与 CD 平 行 且 相 等 求 证 : 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 证 明 : 连 接 BD 在 三 角 形 ABD 和 CDB 中,AB=CD, ABD= CDB( 两 直 线 平 行, 内 错 角 相 等 ),BD=BD( 公 共 边 相 等 ) 所 以 三 角 形 ABD 和 CDB 全 等 ( 边 角 边 ) 这 时 就 可 以 - 31 -

证 明 AB=CD,AD=CB, 所 以 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 师 : 在 刚 才 的 证 明 中, 这 位 同 学 漏 了 一 步, 正 确 的 如 下 所 示 : 证 明 ; 连 结 BD Q AB//DC D C ABD= CDB Q 在 Δ ABD 和 Δ CDB 中 AB = CD ABD = CDB BD = DB A B Δ ABD Δ CDB AD=BC 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 同 学 们 稍 微 整 理 一 下, 这 节 课 你 们 已 经 证 明 几 个 关 于 四 边 形 的 判 定 定 理 了? 你 还 能 想 出 其 它 的 判 别 方 法 吗? 生 : 一 组 对 角 相 等, 一 组 对 边 平 行 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 生 : 一 组 对 边 相 等, 另 一 组 对 边 平 行 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 师 : 这 两 组 同 学 的 猜 想 咱 们 课 下 研 究, 看 看 正 确 与 否 不 对 的 要 举 出 反 例, 正 确 的 要 给 出 证 明 如 果 还 有 其 它 的 结 论 就 留 在 课 后 交 流 [ 案 例 分 析 ] 平 行 四 边 形 性 质 的 学 习 对 学 生 来 说, 是 一 个 全 新 的 数 学 知 识, 教 师 应 当 鼓 励 他 们 采 用 探 索 的 方 法 经 历 由 已 知 出 发, 经 过 自 己 的 努 力 或 与 同 伴 合 作, 获 得 对 新 知 识 的 理 解, 而 不 采 用 告 诉 的 方 式 ; 当 学 生 面 临 一 个 困 难 时, 引 导 他 们 或 和 他 们 一 起 寻 找 解 决 问 题 的 思 路, 并 在 解 决 问 题 的 过 程 中 总 结 所 获 得 经 验, 而 不 是 直 接 给 出 解 决 问 题 的 方 法 ; 当 学 生 对 自 己 或 同 伴 所 得 到 的 数 学 猜 想 没 有 把 握 时, 要 求 并 帮 助 他 们 为 猜 想 寻 求 证 据, 根 据 实 际 情 况 修 正 猜 想, 而 不 是 直 接 肯 定 否 定 他 们 的 猜 想 ; 当 学 生 对 他 人 ( 包 括 教 科 书 教 师 同 伴 ) 的 思 路 方 法 有 疑 问 时, 应 鼓 励 他 们 对 自 己 的 怀 疑 寻 求 证 据, 以 否 定 或 修 正 他 人 的 结 论 作 为 思 维 目 标, 从 事 研 究 性 活 动 数 学 学 科 知 识 的 特 点 使 数 学 教 育 具 有 这 种 培 养 功 能, 它 对 学 生 这 些 素 质 的 民 展 负 有 重 要 的 职 责 对 这 些 素 质 的 发 展 不 需 要 在 数 学 教 学 中 划 出 特 定 的 课 时 去 专 门 讲 授, 或 是 时 时 处 处 提 及 他 们, 因 为 数 学 学 习 本 身 就 需 要 学 生 有 实 事 求 是 的 态 度 以 及 进 行 质 疑 和 - 32 -

独 立 思 考 的 习 惯, 即 使 质 疑 被 否 定, 教 师 也 应 当 首 先 对 其 遵 循 事 实 敢 于 挑 战 权 威 的 意 识 给 予 充 分 的 肯 定 在 数 学 教 学 中 创 造 更 多 的 方 法 与 机 会 促 进 这 一 目 标 的 实 现 中 学 生 学 习 数 学 的 动 机 受 感 情 支 配 的 比 较 大, 如 果 教 师 掌 握 好 情 感 的 分 寸, 将 情 感 因 素 及 其 对 学 生 的 心 理 影 响 与 教 材 学 生 教 法 结 合 起 来 考 虑, 尽 量 以 生 动 活 泼 的 形 式 教 学, 使 数 学 教 学 适 合 学 生 年 龄 特 点 及 认 识 能 力, 充 分 调 动 初 中 数 学 教 学 过 程 中 所 有 的 情 感 因 素, 强 化 学 生 学 习 数 学 的 动 机, 就 能 达 到 数 学 学 习 的 最 高 效 率 1.5 目 标 设 计 中 应 注 意 的 几 个 问 题 1.5.1 目 标 的 整 体 性 层 次 性 首 先, 数 学 教 学 中 的 三 维 目 标 不 是 孤 立 的, 而 是 一 个 有 机 的 统 一 体, 任 何 一 节 课, 都 要 涉 及 到 如 上 三 维 目 标, 只 是 为 了 考 虑 问 题 的 方 便, 我 们 对 其 进 行 单 独 阐 述 其 次, 教 学 目 标 应 该 体 现 层 次 性 在 教 学 过 程 中 三 维 目 标 是 一 个 整 体, 只 不 过 是 学 生 在 认 知 能 力 情 感 等 方 面 存 在 差 异, 因 此, 在 设 计 教 学 目 标 时 不 仅 考 虑 三 维 所 包 含 的 内 容, 而 且 还 要 根 据 学 生 的 特 点 知 识 的 难 度 设 计 不 同 的 目 标 水 平 要 求 如 下 例 三 角 形 的 中 位 线 [7], 就 是 通 过 区 分 最 低 目 标 基 础 目 标 和 较 高 目 标 来 体 现 学 生 的 不 同 要 求 这 便 是 一 个 很 好 的 参 考 三 角 形 中 位 线 一 节 的 最 低 目 标 是 : 能 够 画 出 三 角 形 的 中 位 线, 能 正 确 表 述 中 位 线 的 两 个 基 本 性 质 基 本 目 标 是 会 运 用 数 学 方 法 证 明 中 位 线 的 性 质, 并 会 利 用 其 解 决 与 实 例 相 似 的 问 题 较 高 目 标 是 能 够 将 三 角 形 的 中 位 线 与 平 行 四 边 形 的 有 关 知 识 联 系 起 来, 分 析 解 决 简 单 的 几 何 问 题 首 先, 为 了 达 到 最 低 目 标, 考 虑 到 每 一 个 学 生 都 有 一 定 的 知 识 体 验 和 生 活 积 累, 都 有 各 自 的 思 维 方 式 和 解 决 问 题 的 策 略, 而 从 数 学 的 发 展 来 看, 其 本 身 也 是 充 满 着 观 察 与 猜 想 的 活 动 基 于 此, 设 计 了 在 纸 片 上 试 着 寻 找 三 角 形 两 边 中 点 并 作 出 中 位 线 的 实 践 活 动 活 动 中, 有 的 学 生 用 对 折 的 方 法, 有 的 学 生 用 度 量 的 方 法, 并 都 出 了 中 位 线, 体 验 到 了 成 功 的 喜 悦 接 着 引 导 他 们 观 察 并 猜 想 中 位 线 与 第 三 边 的 关 系 既 然 是 猜 想, 学 生 更 有 兴 趣 了 可 提 示 他 们 观 察 两 线 的 位 置 和 大 小 关 系 学 生 在 有 目 的 的 猜 想 中, 很 快 得 出 了 结 论 从 而 顺 利 达 到 了 最 低 目 标 表 述 中 位 线 的 两 个 基 本 性 质 其 次, 为 了 达 到 基 本 目 标, 考 虑 到 学 生 的 数 学 学 习 是 一 个 自 主 建 构 的 过 程 他 们 带 着 自 己 原 有 的 知 识 背 景 活 动 经 验 和 理 解 走 进 学 习 活 动, 并 通 过 自 主 活 动, 包 括 独 立 思 考 与 他 人 交 流 和 反 思 等, 去 建 构 对 数 学 的 理 解 通 过 再 现 数 学 知 识 的 直 观 背 景, 培 养 学 生 形 象 思 维 能 力 利 用 多 媒 体 演 示, 设 计 了 沿 三 角 形 中 位 线 剪 开, 将 得 到 的 三 角 形 与 梯 形 部 分 拼 接 成 平 行 四 边 形, 再 利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 得 出 中 位 线 性 质 结 论 的 操 作 活 动 ( 这 也 是 部 分 学 生 在 寻 找 结 论 时 的 一 种 方 法 ) 在 这 一 直 观 背 景 下 建 立 数 学 模 型, 学 生 容 易 接 受, 并 且 证 明 这 一 结 论 时, 对 于 辅 助 线 的 添 加, 大 部 分 学 生 已 能 自 己 解 决 由 于 数 学 教 学 必 须 重 视 数 学 应 用 的 教 学, 使 学 生 具 有 适 应 生 活 和 社 会 的 能 力, 使 他 们 能 亲 身 运 用 所 学 的 知 识 和 思 想 方 法 去 思 考 和 处 理 问 题 因 此 又 设 计 了 一 道 测 量 湖 面 两 端 距 离 的 填 空 题, 大 大 激 发 了 学 生 的 兴 趣 使 学 生 感 到 所 学 的 知 识 是 能 帮 助 他 们 解 决 生 活 中 的 问 题 的, 是 有 用 的 - 33 -

知 识 从 而 达 到 了 基 本 目 标 运 用 数 学 方 法 证 明 中 位 线 的 性 质, 并 会 利 用 其 解 决 与 实 例 相 似 的 问 题 最 后, 为 了 达 到 较 高 目 标, 使 不 同 的 人 在 数 学 学 习 上 得 到 不 同 的 发 展, 培 养 和 发 展 学 生 的 创 新 意 识 和 实 践 能 力, 设 计 了 两 道 利 用 三 角 形 中 位 线 及 平 行 四 边 形 有 关 知 识 解 决 问 题 的 综 合 题 引 导 学 生 仔 细 观 察 其 中 包 含 的 特 殊 图 形, 分 析 中 位 线 性 质 的 条 件 和 结 论, 以 及 平 行 四 边 形 的 有 关 知 识 这 样 便 达 到 较 高 目 标 --- 能 够 将 三 角 形 的 中 位 线 与 平 行 四 边 形 的 有 关 知 识 联 系 起 来, 分 析 解 决 简 单 的 几 何 问 题 1.5.2 目 标 的 灵 活 性 数 学 课 堂 目 标 不 是 一 成 不 变 的 因 为 课 堂 教 学 具 有 较 强 的 现 场 性, 学 生 的 学 习 状 态 学 习 的 条 件 都 会 随 时 发 生 着 变 化 当 条 件 发 生 变 化 的 时 候, 目 标 需 要 根 据 实 际 而 进 行 调 整, 体 现 出 一 定 的 灵 活 性 我 们 用 这 样 一 个 问 题 来 说 明 : 问 题 : 一 个 零 件 的 形 状 如 图 1 所 示, 按 照 规 定 A 应 等 于 90 0, B C 应 分 别 为 20 0 和 30 0, 李 叔 叔 量 的 BCD=142 0, 就 断 定 这 个 零 件 不 合 格, 你 能 说 出 道 理 吗? [ 下 面 是 一 个 教 学 的 片 段 [8] ] 师 : 李 叔 叔 量 了 BCD=142 0, 就 知 道 零 件 不 合 格, 那 么, 合 格 的 度 数 是 多 少 呢? 这 个 问 题 相 当 于 计 算 哪 个 角 的 度 数 呢? 图 1 要 求, 如 图 2 所 示 - 34 -