2.3 变 量 间 的 相 关 关 系 第 一 课 时 变 量 间 的 相 关 关 系 及 散 点 图 好 中 差 你 的 数 学 成 绩 1. 理 解 相 关 关 系 的 概 念, 明 确 两 个 变 量 之 间 存 在 着 两 你 的 物 理 成 绩 类 关 系 : 一 类 是 确 定 关 系 ; 另 一 类 是 非 确 定 关 系. 讨 论 : 你 认 为 数 学 成 绩 与 物 理 成 绩 之 间 存 在 着 一 种 什 2. 会 作 散 点 图, 并 通 过 散 点 图 直 观 认 识 两 个 变 量 间 的 么 关 系? 相 关 系 关 系 分 析 :( 先 由 学 生 填 表, 然 后 组 识 讨 论 ) 我 们 可 以 发 现 3 明 确 正 相 关 负 相 关 的 意 义, 能 对 两 变 量 的 正 相 自 己 的 数 学 成 绩 和 物 理 成 绩 存 在 某 种 关 系.( 似 乎 就 是 数 关 负 相 关 关 系 作 出 直 观 的 判 断 学 好 的, 物 理 也 好 ; 数 学 差 的, 物 理 也 差, 但 又 不 全 对.) 物 理 成 绩 和 数 学 成 绩 是 两 个 变 量, 从 经 验 看, 由 于 物 理 学 习 要 用 到 比 较 多 的 数 学 知 识 和 数 学 方 法, 数 学 成 绩 的 高 低 对 物 理 成 绩 的 高 低 是 有 一 定 影 响 的, 但 决 非 唯 一 因 素, 还 有 1. 预 习 课 本 第 87 页 至 第 89 页. 2 在 初 中 数 学 及 数 学 必 修 1 中, 我 们 研 究 了 两 个 变 量 之 间 的 函 数 关 系, 试 回 答 : (1) 什 么 是 函 数 关 系? (2) 函 数 关 系 有 什 么 特 点? 答 :(1) 设 在 一 个 变 化 过 程 中 有 两 个 变 量 x 与 y, 如 果 对 于 x 的 每 一 个 值,y 都 有 唯 一 确 定 的 值 与 之 对 应, 那 么 就 说 y 是 x 的 函 数,x 叫 做 自 变 量. (2) 函 数 关 系 是 一 个 确 定 的 关 系, 当 自 变 量 x 的 值 确 定 后, 都 有 唯 一 确 定 的 y 值 与 之 对 应 这 种 关 系 是 一 种 理 想 的 关 系 模 型 3 下 列 两 个 变 量 之 间 的 关 系 是 不 是 函 数 关 系? (1) 正 方 形 的 边 长 与 面 积 ; (2) 人 的 身 高 与 体 重 ; (3) 施 化 肥 量 与 水 稻 的 产 量 答 :(1) 是 函 数 关 系, 因 为 对 一 每 个 确 定 的 边 长, 都 有 唯 一 确 定 的 面 积 与 之 对 应 (2) 不 是 函 数 关 系, 因 为 对 于 每 一 个 确 定 的 身 高, 体 重 的 取 值 不 具 有 确 定 性 (3) 不 是 函 数 关 系, 因 为 施 化 肥 量 一 定, 产 量 的 取 值 不 具 有 确 定 性 上 述 两 个 变 量 之 间 的 关 系 不 是 函 数 关 系, 那 么 是 什 么 关 系 呢? 本 节 课 我 们 来 进 行 研 究 探 究 1: 相 关 关 系 其 它 因 素, 如 是 否 喜 欢 物 理, 用 在 物 理 学 习 上 的 时 间 等 等. ( 总 结 : 不 能 通 过 一 个 人 的 数 学 成 绩 是 多 少 就 准 确 地 断 定 他 的 物 理 成 绩 能 达 到 多 少. 但 这 两 个 变 量 是 有 一 定 关 系 的, 它 们 之 间 是 一 种 不 确 定 性 的 关 系. 如 何 通 过 数 学 成 绩 的 结 果 对 物 理 成 绩 进 行 合 理 估 计 有 非 常 重 要 的 现 实 意 义.) 2. 在 现 实 生 活 中 存 在 着 大 量 的 相 关 关 系, 你 能 举 出 一 些 实 例 吗? 分 析 :(1) 人 的 身 高 和 年 龄 是 一 对 相 关 关 系, 因 为 在 某 一 个 年 龄 上, 人 的 身 高 在 取 值 上 带 有 一 定 的 随 机 性 ; (2) 某 公 司 的 产 品 成 本 与 生 产 数 量 是 一 对 相 关 系 关 系. 因 为 生 产 数 量 一 定 时, 产 品 的 成 本 在 取 值 上 具 有 一 定 的 随 机 性, 这 与 市 场 上 生 产 原 料 的 价 格 劳 动 力 的 价 格 是 相 关 的, 故 具 有 随 机 性. (3) 期 终 考 试 数 学 成 绩 与 复 习 时 间 的 投 入 量 的 关 系 是 相 关 关 系. 这 是 因 为 当 复 习 时 间 投 入 一 定 量 时, 数 学 成 绩 的 取 值 具 有 一 定 的 随 机 性, 如 可 能 受 到 当 天 的 身 体 状 况 心 情 问 题 周 边 环 境 的 影 响 等. (4) 商 品 的 销 售 额 与 广 告 费 是 相 关 系. 因 为 当 广 告 费 一 定 时, 商 品 的 销 售 额 的 取 值 具 有 一 定 的 随 机 性. 如 受 到 天 气 的 限 制 人 流 量 的 限 制, 其 他 商 场 促 销 活 动 的 影 响. 反 思 小 结 : 1 什 么 叫 相 关 关 系? 自 变 量 取 值 一 定 时, 因 变 量 的 取 值 带 有 一 定 随 机 性 的 两 个 变 量 之 间 的 关 系 叫 相 关 系. 说 明 : 相 关 关 系 根 据 变 量 性 质 可 分 为 : (1) 两 个 变 量 中, 一 个 变 量 为 可 控 变 量, 另 一 个 变 量 为 随 机 变 量. 例 如, 施 肥 量 与 水 稻 产 量. 1. 请 同 学 们 如 实 填 写 下 表 ( 在 空 格 中 打 ) (2) 两 变 量 均 为 随 机 变 量, 例 如, 某 学 生 的 数 学 成 绩 与 82
广 州 市 玉 岩 中 学 高 二 必 修 3 教 案 数 学? 陈 兴 祥 yyxyzcxq@163.com? 物 理 成 绩. 探 究 2: 两 个 变 量 相 关 关 系 的 判 断 3. 在 一 次 对 人 体 脂 肪 含 量 和 年 龄 关 系 的 研 究 中, 研 究 人 员 获 得 了 一 组 样 本 数 据 : 由 散 点 图 可 知, 图 中 各 个 点 大 致 分 布 在 一 条 直 线 上. (2) 从 散 点 图 可 以 看 出, 年 龄 越 大, 体 内 脂 肪 含 量 越 高. 图 中 点 的 趋 势 表 示 两 个 变 量 之 间 确 实 存 在 一 定 的 关 系. 年 龄 23 27 38 41 45 49 50 (3) 如 果 散 点 图 中 的 点 散 布 在 从 左 下 角 到 右 上 角 的 区 域 内. 对 于 两 个 变 量 的 这 种 相 关 关 系, 我 们 将 它 称 为 正 相 脂 肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 关. 如 果 散 点 图 中 的 点 散 布 在 从 左 上 角 到 右 下 角 的 区 域 年 龄 53 54 56 57 58 60 61 内, 则 称 为 负 相 关. 脂 肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 4. 讨 论 :(1) 两 个 变 量 成 负 相 关 关 系, 散 点 图 有 什 么 特 点? 试 探 究 以 下 问 题 : (1) 以 x 表 示 年 龄,y 表 示 脂 肪 含 量, 将 表 中 各 数 据 在 下 列 直 角 坐 标 系 中 描 点, 观 察 所 得 图 形 有 何 特 点? (2) 你 能 举 出 一 些 生 活 中 的 变 量 成 正 相 关 或 负 相 关 的 例 子 吗? 解 : 可 先 由 学 生 讨 论, 教 师 进 行 讲 评 : (1) 负 相 关 的 两 个 变 量 的 散 点 图 分 布 的 散 点 图 从 左 上 角 到 右 下 角. (2) 正 相 关 如 学 习 时 间 与 成 绩, 高 学 历 高 收 入 等, 负 相 关 如 : 日 用 眼 时 间 和 视 力 等. 反 思 小 结 : 图 2.3.2-1 2 什 么 是 散 点 图? 把 两 个 变 量 作 为 横 纵 坐 标, 将 各 数 据 在 平 面 直 角 坐 标 中 的 对 应 点 画 出 来, 得 到 表 示 两 个 变 量 的 一 组 数 据 的 图 形, 这 样 的 图 形 叫 做 散 点 图. 3 什 么 是 正 相 关 负 相 关? (2) 根 据 所 作 图 像 你 能 作 出 怎 样 的 结 论? 如 果 散 点 图 中 的 点 散 布 在 从 左 下 角 到 右 上 角 的 区 域 (3) 观 察 点 在 坐 标 系 的 位 置, 它 们 散 布 在 什 么 区 域 内? 内, 称 为 正 相 关. 如 果 散 点 图 中 的 点 散 布 在 从 左 上 角 到 右 分 析 : 观 察 表 中 数 据, 大 体 上 来 看, 随 着 年 龄 的 增 加, 人 体 中 脂 肪 的 百 分 比 也 在 增 加. 为 了 确 定 这 一 关 系 的 细 节, 需 要 对 数 据 进 行 分 析. 通 过 统 计 图 表, 可 以 使 们 们 对 两 个 变 量 之 间 的 关 系 有 一 个 直 观 上 的 印 象 和 判 断. 本 题 可 由 学 生 先 独 立 练 习, 然 后 根 据 再 进 行 点 评, 给 下 角 的 区 域 内, 称 为 负 相 关. 注 : 散 点 图 的 点 如 果 几 乎 没 有 什 么 规 则, 则 这 两 个 变 量 之 间 不 具 有 相 关 关 系. 利 用 散 点 图 可 以 判 断 变 量 之 间 有 地 相 关 关 系. 定 散 点 图 正 相 关 负 相 关 等 概 念. 解 :(1) 以 x 轴 表 示 年 龄, 以 y 轴 表 示 脂 肪 含 量, 得 到 相 应 的 图 像 如 下 图 : 下 列 关 系 : 1 人 的 年 龄 与 他 拥 有 的 财 富 之 间 的 关 系 ; 2 曲 线 上 的 点 与 该 点 的 坐 标 之 间 的 关 系 ; 3 苹 果 的 产 量 与 气 候 之 间 的 关 系 ; 4 森 林 中 的 同 一 种 树 木, 其 断 面 直 径 与 高 度 之 间 的 关 系 ; 5 学 生 与 其 学 号 之 间 的 关 系 其 中 是 相 关 关 系 的 是 ( 填 写 你 认 为 正 确 结 论 的 序 号 ) 解 : 利 用 相 关 关 系 的 概 念 进 行 判 断 25 中 两 变 量 的 关 系 是 一 种 确 定 关 系, 而 134 中 的 两 变 量 的 关 系 是 不 确 定 的, 所 以 它 们 具 有 相 关 关 系 故 应 填 134 图 2.3.2-2 像 上 图 将 各 数 据 在 平 面 直 角 坐 标 中 的 对 应 点 画 出 来, 得 到 表 示 两 个 变 量 的 一 组 数 据 的 图 形, 这 样 的 图 形 叫 做 散 点 图. [ 点 评 ] 本 题 主 要 考 查 函 数 关 系 与 相 关 关 系 的 区 别 与 联 系, 判 断 两 个 变 量 是 否 是 相 关 关 系, 关 键 是 看 其 中 一 个 变 量 确 定 时, 另 一 个 变 量 的 取 值 是 否 具 有 随 机 性. 变 式 迁 移 83
1 下 列 两 个 变 量 之 间 的 关 系 是 相 关 关 系 的 是 ( ) 请 画 出 散 点 图, 并 判 断 它 们 是 否 有 相 关 关 系, 若 有, 是 A. 正 方 体 的 棱 长 和 体 积 正 相 关 还 是 负 相 关? B. 单 位 圆 中 角 的 度 数 与 所 对 弧 长 C. 单 产 为 常 数 时, 土 地 面 积 和 总 产 量 D. 日 照 时 间 与 水 稻 的 亩 产 量 解 : 函 数 关 系 是 一 个 变 量 与 另 一 个 变 量 之 间 有 确 定 性 关 系 选 项 A B C 均 为 函 数 关 系, 日 照 时 间 一 定, 但 水 稻 的 产 量 带 有 一 定 的 随 机 性, 故 选 D 已 知 10 只 狗 的 血 细 胞 体 积 及 红 细 胞 数 的 测 量 值 如 下 列 : 血 细 胞 体 积 x(mm 2 ) 45 42 46 48 42 红 细 胞 数 y( 百 万 ) 6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 血 细 胞 体 积 x(mm 2 ) 35 58 40 39 50 红 细 胞 数 y( 百 万 ) 5.90 4.93 6.20 6.55 8.72 (1) 根 据 上 表 画 出 散 点 图 ; (2) 根 据 散 点 图 判 断 血 细 胞 体 积 x 与 红 细 胞 数 y 之 间 是 否 具 有 相 关 关 系? (3) 若 具 有 相 关 关 系, 则 指 出 是 正 相 关 还 是 负 相 关. 解 :(1) 散 点 图 如 下 图 所 示 : 图 2.3.2-6 (2) 由 散 点 图 可 以 看 出, 两 个 变 量 的 对 应 点 都 集 中 在 一 条 直 线 周 围, 且 随 着 x 的 增 大,y 也 在 增 大. 因 此 血 细 胞 体 积 x 与 红 细 胞 数 y 之 间 具 有 相 关 关 系. (3) 由 散 点 图 的 分 布 可 知 x 与 y 之 间 具 有 正 相 关 关 系. [ 点 评 ] 判 断 变 量 间 是 否 具 有 相 关 关 系 是 正 相 关 还 是 负 相 关, 绘 出 散 点 图 是 常 用 的 手 段. 如 果 所 有 的 样 本 点 都 在 某 一 条 函 数 曲 线 的 附 近, 变 量 之 间 就 有 相 关 系 关 系 变 式 迁 移 2 某 小 卖 部 为 了 解 热 茶 销 售 量 与 气 温 之 间 的 关 系, 随 机 统 计 并 制 作 了 某 6 天 卖 出 热 茶 杯 数 与 当 天 气 温 的 对 比 表 : 气 温 x/ C 26 18 13 10 4-1 杯 数 y 20 24 34 38 50 64 84 解 : 散 点 图 如 图 所 示 : 图 2.3.2-3 从 图 中 发 现 气 温 与 杯 数 之 间 具 有 相 关 关 系, 当 气 温 的 值 由 小 到 大 变 化 时, 杯 数 值 由 大 变 小, 所 以 气 温 和 杯 数 成 负 相 关. 1 知 识 结 构 相 关 关 系 : 自 变 量 的 取 值 一 定, 因 变 量 的 取 值 具 有 随 机 性 变 散 点 图 : 把 两 个 变 量 作 为 横 纵 坐 标, 在 平 面 直 量 间 角 坐 标 系 中 描 点 作 出 两 个 变 量 的 对 应 点, 这 样 的 图 形 叫 做 散 点 图 的 正 相 关 : 随 着 自 变 量 的 变 大 ( 或 变 小 ), 因 变 量 相 也 随 之 变 大 ( 或 变 小 ), 这 种 带 有 随 机 关 性 的 相 关 关 系, 我 们 称 为 正 相 关 关 负 相 关 : 随 着 自 变 量 的 变 大 ( 或 变 小 ), 因 变 量 系 也 随 之 变 小 ( 或 变 大 ), 这 种 带 有 随 机 性 的 相 关 关 系, 我 们 称 为 负 相 关 2 方 法 技 巧 (1) 相 关 关 系 与 函 数 关 系 的 异 同 点 相 同 点 : 两 者 均 是 指 两 个 变 量 的 关 系. 不 同 点 :1 函 数 关 系 是 一 种 确 定 关 系. 如 匀 速 直 线 运 动 中 的 时 间 t 与 路 程 s 的 关 系, 相 关 关 系 是 一 种 非 确 定 关 系, 如 一 块 农 田 的 水 稻 产 量 与 施 肥 量 之 间 的 关 系. 2 函 数 关 系 是 一 种 因 果 关 系, 而 相 关 关 系 不 一 定 是 因 果 关 系, 也 可 能 是 伴 随 关 系. 例 如, 有 人 发 现, 对 于 在 校 儿 童, 鞋 的 大 小 与 阅 读 能 力 有 很 强 的 相 关 关 系, 然 而 学 会 新 词 并 不 能 使 脚 变 大, 而 是 涉 及 到 第 三 个 因 素 年 龄, 当 儿 童 长 大 一 些, 他 的 阅 读 能 力 会 提 高 而 且 由 于 长 大 脚 也 变 大. (2) 散 点 图 的 作 用 : 利 用 散 点 图 可 以 判 断 两 个 变 量 之 间 有 没 有 相 关 关 系. 1 如 果 所 有 的 样 本 点 都 落 在 某 一 函 数 曲 线 上, 就 用 该 函 数 来 描 述 变 量 之 间 的 关 系, 即 变 量 之 间 具 有 函 数 关 系. 2 如 果 所 有 的 样 本 点 都 落 在 某 一 函 数 曲 线 附 近, 变 量 之 间 就 有 相 关 关 系.
广 州 市 玉 岩 中 学 高 二 必 修 3 教 案 数 学? 陈 兴 祥 yyxyzcxq@163.com? 3 如 果 所 有 的 样 本 点 都 落 在 某 一 直 线 附 近, 变 量 之 间 就 有 线 性 相 关 关 系. 4 如 果 散 点 图 中 的 所 有 的 点 有 分 布 几 乎 没 有 什 么 规 则, 则 这 两 个 变 量 之 间 不 具 有 相 关 关 系. 基 础 型 一 选 择 题 1. 哪 些 变 量 是 相 关 关 系 (C) A. 出 租 车 费 与 行 驶 的 里 程 B. 房 屋 面 积 与 房 屋 价 格 C. 身 高 与 体 重 D. 铁 的 大 小 与 质 量 2. 下 列 变 量 之 间 的 关 系 是 函 数 关 系 的 是 (B) A. 光 照 时 间 与 大 棚 内 蔬 菜 的 产 量 B. 已 知 二 次 函 数 y=ax 2 +bx+c, 其 中 a,c 是 常 数,b 是 自 变 量, 因 变 量 是 这 个 函 数 的 判 别 式 Δ=b 2-4ac C. 每 亩 施 肥 量 与 粮 食 亩 产 量 之 间 的 关 系 D. 人 的 身 高 与 所 穿 鞋 子 的 号 码 之 间 的 关 系 3. 下 列 图 形 中, 两 个 变 量 具 有 相 关 关 系 的 是 (B) 其 中 是 相 关 关 系 的 是 24. 6. 当 散 点 图 的 点 散 布 在 从 左 下 角 到 右 上 角 的 区 域, 这 样 的 两 个 变 量 的 相 关 系 关 系, 我 们 称 它 为 正 相 关, 负 相 关 的 散 点 图 的 点 散 布 在 从 左 上 角 到 右 下 角 的 区 域 内. 三 解 答 题 : 7 试 分 析 下 列 关 系 中, 哪 些 是 相 关 关 系 (1) 光 照 时 间 与 果 树 的 亩 产 量 的 关 系 ; (2) 圆 柱 体 积 与 其 底 面 直 径 的 关 系 ; (3) 自 由 落 体 的 物 体 的 质 量 与 落 地 时 间 的 关 系 ; (4) 球 的 表 面 积 与 球 半 径 之 间 的 关 系 解 :(1) 光 照 时 间 取 值 一 定, 但 果 树 亩 产 量 具 有 随 机 性, 因 此, 光 照 时 间 与 果 树 的 亩 产 量 的 关 系 是 相 关 关 系 (2) 圆 柱 体 积 与 两 个 变 量 有 关, 一 是 底 面 面 积, 二 是 高, 这 里 底 面 积 直 径 决 定 了 底 面 面 积, 而 高 还 是 一 个 可 变 量, 因 此, 在 高 没 有 确 定 的 情 况 下, 圆 柱 体 积 与 其 底 面 直 径 具 有 相 关 关 系, 不 是 函 数 关 系 (3) 自 由 落 体 的 物 体 的 质 量 与 落 地 时 间 无 关, 它 们 不 具 有 相 关 关 系 (4) 球 的 表 面 积 与 球 半 径 满 足 S=4πR 2, 因 此 它 们 具 有 函 数 关 系 8. 下 面 是 某 校 12 名 高 一 同 学 的 身 高 ( 单 位 :cm) 与 体 重 ( 单 位 :kg) 之 间 的 关 系 : 身 高 (cm) 151 152 153 154 156 157 体 重 (kg) 40 41 41 41.5 42 42.5 身 高 (cm) 158 160 160 162 163 164 图 2.3.2-7 解 :A C 为 函 数 关 系,D 两 个 变 量 不 相 关,B 为 相 关 关 系, 故 选 B. 4. 下 列 说 法 中 错 误 的 个 数 是 (D) 1 任 何 两 个 变 量 之 间 一 定 是 线 性 相 关 的 ; 2 函 数 关 系 一 定 是 相 关 关 系 ; 3 若 散 点 图 是 杂 乱 无 章 的, 则 表 明 两 个 变 量 之 间 不 具 有 相 关 关 系. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 二 填 空 题 5. 下 列 四 个 关 系 : 1 正 三 角 形 的 边 长 与 其 面 积 的 关 系 ; 2 产 品 成 本 与 生 产 数 量 之 间 的 关 系 ; 3 圆 柱 体 体 积 与 其 底 面 直 径 的 关 系 ; 4 商 品 的 销 售 额 与 广 告 费 的 关 系. 85 体 重 (kg) 43 44 45 45 46 45.5 画 出 散 点 图, 并 判 断 它 们 是 否 有 相 关 关 系. 解 : 散 点 图 如 图 : 图 2.3.2-9 这 12 名 学 生 的 体 重 和 身 高 具 有 相 关 关 系. 超 越 型? 某 农 场 经 过 观 测 得 到 水 稻 产 量 和 施 化 肥 量 的 统 计 数 据 如 下 : 施 化 肥 量 (x) 15 20 25 30 35 40 45 水 稻 产 量 (y) 330345365405445450455 画 出 散 点 图, 判 断 它 们 是 否 有 相 关 关 系, 并 考 虑 水 稻 的
产 量 会 不 会 随 着 化 肥 施 用 量 的 增 加 而 一 直 增 长. 解 : 散 点 图 如 下 图 所 示 : 这 个 农 场 的 水 稻 产 量 和 施 化 肥 量 具 有 相 关 关 系 ; 水 稻 的 产 量 不 会 随 着 化 肥 施 用 量 的 增 加 而 一 直 增 长. 图 2.3.2-10 86